автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.02, диссертация на тему:Аналитический синтез регуляторов в условиях неопределенности параметров объекта управления

ВВЕДЕНИЕ.

1. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ: ЗАДАЧИ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ

И ЛОКАЛИЗАЦИИ КОРНЕЙ.

1.1. Определения, обозначения и обзор литературы по интервальным полиномам и смежным вопросам.

1.2. Критерии устойчивости интервальных полиномов с минимумом вычислительных затрат.

1.3. Анализ устойчивости интервальных полиномов с коэффициентами, линейно зависящими от интервальной переменной.

1.4. Задача о локализации корней устойчивых интервальных полиномов.

1.5. Синтез устойчивого интервального полинома по заданной области локализации множества его корней.

ВЫВОДЫ ПО РАЗДЕЛУ 1.

2. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ И УПРАВЛЯЕМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В

УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ПАРАМЕТРОВ.

2.1. Математические модели и методы анализа устойчивости и управляемости линейных непрерывных стационарных систем с неопределенными параметрами.

2.2. Анализ устойчивости линейных непрерывных стационарных систем с интервальной неопределенностью параметров.

2.3. Критерии управляемости объектов с неопределенными параметрами.

2.4. Анализ управляемости и устойчивости контура стабилизации продольного движения вертолета с неопределенными параметрами.

ВЫВОДЦ ПО РАЗДЕЛУ 2.

3. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ В УСЛОВИЯХ

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ПАРАМЕТРОВ ИНТЕРВАЛЬНЫМ ВАРИАНТОМ

МЕТОДА. МОДАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ.

3.1. Задача модального управления для систем с неопределенными параметрами и ее особенности.

3.2. Аналитический синтез регуляторов по желаемой области локализации полюсов замкнутой системы. III

3.3. Синтез регулятора стабилизации бокового движения вертолетного буксировочного комплекса. вывода ПО РАЗДЕЛУ 3.

4. СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОДОЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ СИСТИ^Ы "ВЕРТОЛЕТ-ТРОС-ПУЗ" С УЧЕТОМ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ПАРАМЕТРОВ.

4.1. Математическая модель системы "вертолет-трос-груз" с неопределенными параметрами и постановка задачи синтеза.

4.2. Синтез регулятора стабилизации.

4.3. Техническая реализация регулятора и анализ спроектированной системы.

ВЫВОДА ПО РАЗДЕЛУ 4.

Повышение требований к качеству работы автоматических систем заставляет разрабатывать все более совершенные методы их проектирования, в частности, учитывающие влияние различных дестабилизирующих факторов, свойственных реальным условиям функционирования объекта. К числу таких факторов в первую очередь следует отнести изменение и неопределенность его параметров.

При синтезе обычных (неадаптивных) регуляторов учет параметрической неопределенности чаще всего проводится косвенным образом - посредством обеспечения надлежащих запасов устойчивости или минимизацией чувствительности к возможным разбросам численных значений параметров. Основополагающей при этом является гипотеза о малости отклонений действительных значений параметров от расчетных. В настоящее время назрела необходимость получения гарантированных результатов с учетом нарушения такого предположения. Характерным примером может служить задача о назначении и распределении допусков /I/. "Информация о допусках (то есть таких отклонениях параметров, которые принципиально не могут считаться малыми - прим. авт.) становится ценным практическим инструментом проектирования, позволяющим решить большой круг таких задач, как выбор номинальных значений параметров по различным критериям, сдвиг номинальных значений для уменьшения чувствительности системы к вариациям параметров, определение серийно-пригодности изделия, определение оптимальных сроков профилактики изделия, задачи оптимального комплектования ЗИЛа, задачи определения минимального числа типо-номиналов параметров элементов систем управления, задачи взаимозаменяемости блоков и узлов, установление методики проведения настройки системы и т.д.

Таким образом, информация о допусках позволяет решить большой круг задач, связанных с повышением эффективности производства и функционирования систем управления" / I /, с.52. Это, в свою очередь, выдвигает задачи создания специализированных методов синтеза ненастраиваемых регуляторов для существенно неопределенных динамических объектов и анализа свойств систем с большой неопределенностью параметров в число актуальных в научном и практическом отношениях.

Задача синтеза состоит в отыскании необходимых и (или) достаточных условий существования регулятора с постоянными (но также может быть неопределенными, лежащими в некоторых допусках) коэффициентами по области параметрической неопределенности объекта и желаемой цели управления, а также в формировании процедуры, позволяющей найти этот регулятор. Целью управления обычно считается придание замкнутой системе устойчивости, а процессам, в ней протекающим - некоторых качественных показателей, оформленных в виде функционалов или ограничений различного рода.

Задача анализа состоит в получении оценок основных свойств замкнутой системы при неопределенности параметров объекта и коэффициентов регулятора. Решение задачи анализа обычно преследует цель улучшения свойств системы, что предполагает изучение объекта для установления корректности требований к его функционированию. Поэтому в задачу анализа имеет смысл включать анализ управляемости (наблюдаемости) объекта с неопределенными параметрами.

В настоящее время существует довольно много разнообразных методов решения задач синтеза и анализа систем управления с не-настраиваемыми регуляторами в условиях параметрической неопределенности. Данной теме посвящены обзоры / 3 /, / 44 /, / 147 /. Синтез систем может проводиться с позиций теории инвариантности, теории чувствительности, теории систем с переменной структурой, теории игр, теории размытых (нечетких) множеств и др. При этом критериями качества спроектированных систем могут быть квадратичный функционал, различные меры нечувствительности полюсов или выходных координат (состояний).

Сфера действия теории инвариантности, становление и развитие которой связано с именами Г.В.Щипанова, Н.Н.Лузина, Б.Н.Петрова, А.И.Кухтенко / 28 /, первоначально включавшая только внешние возмущения, была затем распространена на параметрическую неопределенность. Появившиеся содержательные понятия двухкратной инвариантности / 43 /, модальной инвариантности / 14 /, параметрической инвариантности, параметрического возмущения, позволили создать методы синтеза систем при произвольных отклонениях значений параметров от расчетных. Различные по сложности ненастра-иваемые регуляторы, синтезированные по принципу инвариантности к неопределенности параметров, предложены в работах / 14 /, / 122 /, /123 /, / 137/, / 138 /, / 46 /, / 60 / и других.

В / 122 /, / 123 / рассмотрены условия достижения инвариантности полюсов замкнутой системы от одного неопределенного параметра при скалярной обратной связи по состоянию. Предложена специальная форма записи неопределенных матриц в виде произведения постоянных столбца и строки на неопределенный параметр, которая позволяет учесть линейный характер зависимости нескольких коэффициентов матрицы состояния от неопределенного параметра.Порознь рассматриваются ситуации с неопределенностью в матрице состояний и в векторе эффективности управлений. В / 138 / рассмотрен случай многих неопределенных параметров, входящих в матрицу состояний как линейно, так и нелинейно. Разработана процедура синтеза обратной связи по состоянию,обеспечивающая параметрическую инвариантность максимально возможного числа полюсов замкнутой системы. При этом подчеркивается, что устойчивость системы не гарантируется. Получены условия, при которых регулятор обеспечивает устойчивость по крайней мере для номинального значения параметров.

В / 137 / предполагается, что с помощью перестановок уравнений и изменений в порядке следования координат состояния можно преобразовать матрицу замкнутой системы так, что параметрические возмущения изменяют только первые ЭС. столбцов этой матрицы. Для синтеза регулятора, обеспечивающего параметрическую инвариантность IX -Э6 собственных значений, предлагается применять процедуру подбора собственных векторов. Утверждается, что если 96 меньше числа Г управлений, то все собственные числа (СЧ) могут быть расположены произвольным образом. Однако, еслиГ,то IX- Г СЧ не могут быть выбраны произвольно. Другими словами, их нельзя достаточно далеко "отодвинуть" от мнимой оси комплексной плоскости с тем, чтобы их изменения при параметрических возмущениях не привели к неустойчивости. Более сложный регулятор, использующий эталонную модель, позволяет строить системы.с числом неподвижных доминирующих полюсов, равных порядку объекта, а остальные полюсы отодвигать влево так, что их изменение не сказывается на устойчивости / 14/. Учет динамики привода не увеличивает порядка решаемых в процессе синтеза уравнений. В / 72 / решена задача обеспечения параметрической инвариантности выходных координат системы (траекторная инвариантность) в задаче слежения с одной неопределенностью. При этом использована предложенная в /122/, /123/ структурная форма записи зависимости объекта от неопределенного параметра. Неопределенность может входить как в матрицу состояния, так и в матрицу эффективности управлений. Обратная связь замыкается не только по вектору состояния, но и по вектору командного сигнала. Отмечается, что при большом числе неопределенных параметров добиться достижения параметрической инвариантности иногда бывает затруднительно.Поэтому предлагаются некоторые условия обеспечения минимальной чувствительности в упомянутой структуре регулятора, причем без привлечения гипотезы о "небольших" отклонениях значений параметров.

Задаче синтеза регуляторов, обеспечивающих минимальную чувствительность полюсов системы к неопределенности параметров, посвящено большое число работ. Отметим среди них те, которые затрагивают наименее разработанные проблемы. В цикле статей /102/, / 130/, /131/ рассматриваются вопросы назначения свободных (не служащих для обеспечения заданного распределения полюсов) коэффициентов матрицы регулятора исходя из требования минимума чувствительности, влияния на устойчивость отклонений параметров в матрице В объекта и коэффициентов регулятора при неточной его реализации, синтеза регуляторов с ограниченными по модулю значениями коэффициентов, построения малочувствительных наблюдателей. Последний вопрос освещается также в /91/. В / 141/ предлагается метод синтеза обратной связи по выходу объекта в условиях как малых, так и больших отклонений значений многих параметров от их номинала. В последнем случае значение каждого параметра считается распределенным внутри интервала с заданной плотностью вероятности. В /146/ предлагается метод синтеза скалярного управления, обеспечивающего разную чувствительность двум группам полюсов: доминирующей группе - минимальную, недоминирующей - несколько большую. В /56/ рассматривается метод проектирования векторного управления, обеспечивающего системе заданный спектр и минимальную его чувствительность к небольшим вариациям параметров в матрицах модели объекта. В отличие от других способов синтеза здесь все коэффициенты регулятора участвуют как в размещении полюсов, так и в минимизации чувствительности. Отметим, что основой методов синтеза регуляторов в изложенных работах является численная минимизация функционалов, содержащих показатели чувствительности полюсов к неопределенным параметрам.

Минимизация чувствительности полюсов дает неполное представление о качестве спроектированной системы, так как остается неучтенным влияние расположения нулей. Поэтому другим направлением синтеза регуляторов является минимизация так называемой траек-торной чувствительности. Задача состоит в нахождении такой обратной связи, чтобы, несмотря на неопределенность параметров, траектории координат системы находились в некоторой трубке, составленной из желаемых кривых. Как правило, добиться этого можно, используя в законе управления замкнутые контуры по функциям чувствительности /47/. В рамках этого подхода в /90/ найдены структурные ограничения для достижимости желаемых траекторий. В /100/ показано, что уравнения для численного определения регулятора зависят от начальных условий, и предлагаются их упрощения в зависимости от имеющейся априорной информации о последних. Статья /120/ посвящена новому доказательству ( с привлечением терминов конечномерных линейных пространств) условий существования закона управления, обеспечивающего нечувствительность траектории при сохранении пространства управляемости. Приближенные методы построения моделей и функций чувствительности /6/ развиваются в /92/, где получены условия, позволяющие упростить алгоритм синтеза и сделать его более эффективным. Обычным инструментом при синтезе является градиентная процедура минимизации с удвоенной размерностью задачи /101/, применяемая к уравнениям Ляпунова или Риккати. Существенно более простыми являются регуляторы, использующие информацию только о выходе системы или о векторе ее состояния. При этом /143/, /144/ порядок задачи оптимизации не увеличивается, однако объем вычислительной работы возрастает, причем рассмотрена только неопределенность матрицы состояний объекта. Иногда /114/ требуемая нечувствительность траектории увязывается со значением интегрального критерия, ограничиваемого нормой начального состояния системы, умноженной на заданную положительную скалярную величину. Методика синтеза состоит в решении уравнения Ляпунова, составленного для функционала с неопределенным множителем Лагранжа.

Различные способы синтеза оптимальных в смысле интегрально-квадратичного функционала регуляторов, придающих системе свойство "грубости" к малым отклонениям параметров объекта, описываются и сравниваются в обзоре /44/. К рассмотренным методам, одновременно учитывающим случайный характер внешних возмущений, относятся: I) сдвиг коэффициентов регулятора от критических значений, 2) деформация расчетного спектра возмущающего воздействия за полосой существенных частот системы, 3) изменение структуры функционала оптимизации за счет введения производных по управлению, 4) искусственное добавление к возмущающему воздействию или измеряемым координатам белого шума. Аналогичную (отличающуюся лишь критерием) задачу решают при создании р о б а с т -ных систем /4/,/128/,/129/,/117/. С довольно обширной библиографией по этому вопросу, а также сравнительной характеристикой различных подходов к решению этой интересной задачи можно ознакомиться в /117/. В /57/,/58/ для объектов специальной ("иерархической") структуры указаны ограничения на нормы матриц погрешностей, удовлетворение которым гарантирует устойчивость оптимальной системы при любых конкретных реализациях этих погрешностей.

Синтез ненастраиваемых регуляторов на основе теории игр (минимаксного подхода) заключается в минимизации функционала, содержащего моделирующую параметрическую неопределенность составляющую. В /87/, /50/ предлагается интерпретировать отклонение реакций системы с параметрической неопределенностью от реакций одной или нескольких моделей как результат игры "противника". В /142/ показано, что в некоторых случаях из области параметрической неопределенности может быть выбрано наихудшее сочетание параметров, не зависящее от начального состояния. В частности, это можно сделать при интервальном характере неопределенности и линейном ее вхождении в матрицу состояний объекта. Предложен численный алгоритм определения этого сочетания. В случае неопределенности матрицы В наихудшее сочетание можно указать при дополнительном условии: любая квадратная размера Г (число управлений) ее подматрица должна быть верхнетреугольной. В общем же случае наихудшее сочетание параметров связано с начальными условиями по состоянию. Эта зависимость используется в "нелинейном" игровом подходе к синтезу регуляторов для объектов с неопределенностью /86/, /118/. При этом в матрицы А и В должны входить разные неопределенные параметры. Регулятор ищется как сумма линейной обратной связи по состоянию и нелинейной . добавки, парирующей неопределенность параметров и произвольные начальные отклонения. В ряде случаев, как показано в /147/,процедуры синтеза при игровом подходе имеют склонность к зацикливанию из-за отсутствия точки минимакса (решались практические задачи по алгоритмам работ /103/, /136/).

Классическим способом подавления параметрических вариаций является применение больших коэффициентов усиления. Этому вопросу посвящены монографии /34/ и /60/. В /19/ указана структура функционала, приводящая к оптимальным регуляторам с неограниченно возрастающими коэффициентами, а в /139/ на основе исследований асимптотического поведения корневых годографов линейных многомерных систем указан класс матриц, описывающих неопределенность параметров, при которых такая обратная связь по состоянию стабилизирует систему. Максимально достижимые характеристики САУ с ненастраиваемыми регуляторами исследуются также в /96/.

Недостатком перечисленных работ является отсутствие оценок для минимально возможных значений коэффициентов регулятора, при которых еще возможно подавление неопределенности параметров. В этом смысле более результативна работа /83/, в которой рассматривается объект с передаточной функцией, не имеющей нулей. При этом все IX коэффициентов в ней ( IX - I в знаменателе и один в числителе) могут принимать произвольные значения из заданных областей (в частности, интервалов). Показано, что при неизменном знаке числителя стабилизирующий регулятор существует, и предложены формулы для вычисления значения его коэффициентов. Для случая разных знаков границ этого элемента получены необходимые условия существования регулятора. Следует сказать, что нижние границы его коэффициентов завышены, так как в процедуре их получения используются оценочные характеристики некоторых трудновычислимых величин. Формулы, по которым осуществляется . синтез, можно значительно упростить, если использовать достаточные условия устойчивости /59/, /30/, /33/. Принципиально иной подход к аналогичной задаче предложен в /145/. Он основан на методах, изложенных в /70/. Большие коэффициенты регулятора расширяют полосу пропускания системы, что ведет к снижению ее помехозащищенности и усилению влияния нелинейностей /38/.

- 13

В отличие от описанного подхода в системах с переменной структурой /66/ парирование внешних и параметрических возмущений достигается с помощью конечных управляющих воздействий /71/.

Частотные методы применительно к задачам синтеза систем с неопределенностью развиваются школой Горовица A.M. /8/, /106/ -/III/. Ими разработаны подходы к синтезу стационарных регуляторов как для объектов со скалярным, так и векторным входом (минимально-фазовых и неминимально-фазовых), линейных и нелинейных, стационарных и изменяющихся во времени. Однако все они основаны на вычислении некоторых линейных стационарных эквивалентов для систем с нелинейностью и нестационарностью, а системы с векторным входом специальным образом преобразуются к системе со скалярным входом. После этого применяются графо-аналитические методы синтеза. Вследствие трудностей определения упомянутых выше эквивалентов и неоднозначности преобразований к скалярной системе, а также неформализованности графо-аналитических методов расчета, этот подход обладает большой трудоемкостью, и его нельзя отнести, строго говоря, к аналитическим. Другие подходы к синтезу в частотной области предлагаются в /115/ (траекторная нечувствительность), а также в /97/, /119/.

Рассмотренные выше работы можно разбить на три группы по

О II II о признаку учитываемой при синтезе "величины" параметрической неопределенности: неограниченная, ограниченная замкнутой областью, малая неопределенность. В большинстве работ второй группы не делается особого акцента на форме области, которой могут принадлежать значения параметров. Между тем, при недостатке информации об объекте, значения его параметров чаще всего задаются в виде интервалов /I/, /24/, /37/, /41/. Можно сказать, что это наиболее естественная форма описания неопределенности, и ".модель, в которой параметрам приписаны не конкретные числа, а интервалы возможных значений, более точно соответствует реальности" /41/, с.171.

Настоящая диссертационная работа посвящена поиску путей решения задачи синтеза ненастраиваемых регуляторов для объектов именно с интервальным характером неопределенности параметров. Следует сказать, что работ по синтезу регуляторов для этого случая известно совсем немного.

В /93/ рассмотрена ситуация, когда интервальные неопределенные параметры входят в матрицу состояний объекта линейно. Синтез регуляторов предлагается проводить методом аналитического конструирования. Для этого интегрируется уравнение типа Риккати, в котором матрица CL функционала оптимизации, в отличие от обычного случая, не является постоянной, а зависит от величины неопределенности и текущей матрицы - решения. В алгоритме построения изменяющейся части матрицы Q. используется свойство прямо-угольности области параметров. Нестационарность & , естественно, ухудшает сходимость процедуры интегрирования и требует гораздо больших затрат машинного времени из-за уменьшенного шага. Причинами отсутствия сходимости могут быть, во-первых, слишком большой разброс значений параметров, во-вторых, неверный выбор шага интегрирования. В /147/ предложен модернизированный (многошаговый) алгоритм этого метода, свободный от указанных недостатков. При невозможности построения регулятора для заданной прямоугольной области пространства параметров указывается подобласть, для которой это осуществимо. Сравнение метода /93/, /147/ с методом случайной переменной /104/ и относительным методом /105/ показало его предпочтительность.

В отличие от /93/ в /9/ найдена структура матрицы замкнутой системы с неопределенными параметрами, при которой возможно так выбрать постоянную матрицу Q, функционала оптимизации, что для любой (в том числе прямоугольной) замкнутой области пространства параметров может быть найден регулятор с постоянными коэффициентами, обеспечивающий заданное время переходных процессов. Область неопределенных параметров накрывается гиперэллипсоидом минимального объема, откуда определяется & , используемая далее в стандартной процедуре метода аналитического конструирования регуляторов.

В /35/ рассматривается ситуация, когда матрица состояний объекта принадлежит некоторому многограннику с заданными вершинами, а матрица В > распределяющая управление, фиксирована. Процедура синтеза состоит в отыскании минимума квадратичной формы на выпуклом множестве положительно определенных матриц. Предварительно необходимо найти матрицу, столбцы которой образуют базис ортогонального дополнения линейной оболочки столбцов матрицы В . Если искомый минимум отрицателен, то регулятор существует. Определены структурные и параметрические отклонения матриц Л и В от исходных форм, не меняющие методики синтеза. Для матрицы А они совпадают с полученными в /9/, а для В - /57/, /58/. Заметим, что по многограннику значений Л легко получить интервалы значений ее элементов, поэтому данный метод может быть отнесен к случаю интервальной параметрической неопределенности.

В /I/ (с.5-6) сформулирована задача параметрической коррекции, под которой понимается "назначение допусков на параметры системы и выбор таких номинальных значений ее параметров в допуске, при которых достигается максимальное или заданное значение каких-либо показателей качества функционирования системы". Получено ее аналитическое решение для случая одного и двух неопределенных параметров. Для этого разработан специализированный математический аппарат с оригинальной аксиоматикой. При большем числе неопределенностей предлагаются алгоритмы решения методами математического программирования (метод "растяжения" точки, метод диагоналей). Задача о выборе номиналов рассматривается со стохастических позиций. При этом, как пишут авторы:". большинство решении получено для одномерного случая и их использование для выбора номинальных значений большего числа параметров возможно лишь в том случае, когда область допустимых значений удается аппроксимировать брусом, а характеристики отклонений параметров полагать независимыми", с.84. Полученные аналитические решения затруднительно применить в каком-либо методе синтеза регуляторов, так как методика /I/ предполагает возможность прямого изменения допусков в замкнутой системе, а не посредством варьирования коэффициентов регулятора.

Однако работа /I/ примечательна тем, что явно отражает потребность в применении к интервальным задачам специального математического аппарата. Действительно, любой алгоритм решения задачи синтеза регуляторов предполагает проведение некоторых действий над интервально-заданными величинами, что затруднительно в рамках обычных математических методов, так как числовой интервал представляет собой множество чисел. Поэтому в диссертационной работе используется интервальный анализ /124/, /84/. Б задачах теории автоматического управления специализированный математический аппарат, приемы и методы этого нового раздела прикладной математики уже нашли свое применение. Так, /23/ и /24/ посвящены задаче управления с неопределенными возмущениями, а /37/ -идентификации.

Недостаточно разработанным остается вопрос о критериях управляемости неопределенных объектов /61/, с. 19. Между тем, управля емость при всевозможных значениях параметров является необходимой предпосылкой для существования искомого регулятора. Но такая вспомогательная задача оказывается ничуть не менее сложной, чем основная. По-видимому, поэтому предпочитают сразу пытаться осуществить синтез регулятора (даже ценой значительных затрат времени работы ЭВМ /147/). Решение задачи может идти, следовательно, по пути создания простых критериев с эффективными алгоритмами, совмещенными с процедурой синтеза регулятора. Это дает возможность использовать информацию, накопленную на этапе анализа управляемости, при синтезе регулятора. Из обзора литературы следует, что в подавляющем большинстве случаев инструментом синтеза регуляторов является решение матричного уравнения типа Рик-кати (метод АКоР). Метод модального управления применяется значительно реже, а для интервально-неопределенных объектов - вообще не применяется. К достоинствам модального подхода следует отнести простоту алгоритма и тесную связь с привычными показателями качества САУ". Известная аналогия между модальной управляемостью (которая достаточно просто устанавливается) и управляемостью по Калману /70/ также говорит в пользу этого метода при синтезе регуляторов для неопределенных объектов.

Существо метода модального управления, как известно, состоит в том, что коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы (ЖЕЗС) записываются в виде функций параметров объекта и регулятора. По заданному распределению корней на комплексной плоскости строится желаемый полином. Затем коэффициенты полученных полиномов при одинаковых степенях приравниваются и получается система линейных алгебраических уравнений, решением которой является искомый регулятор. При неопределенности параметров объекта неопределенными будут и коэффициенты ХПЗС. Если неопределенность интервальная, то, согласно интервальному анализу, ХПЗС будет иметь в качестве коэффициентов числовые интервалы. Поэтому в диссертационной работе большое внимание уделяется изучению свойств полиномов с интервальными коэффициентами.

Цель работы состоит в разработке метода синтеза ненастраиваемых регуляторов по корневым оценкам качества регулирования для линейных непрерывных стационарных систем с неопределенными параметрами на основе специализированного математического аппарата - интервального анализа.

Указанная цель достигается посредством решения следующих конкретных задач:

- получения необходимых и достаточных условий существования регулятора, обеспечивающего локализацию полюсов системы с неопределенными параметрами в желаемой области комплексной плоскости;

- разработки процедуры синтеза такого регулятора;

- разработки критериев управляемости объектов с неопределенными параметрами;

- разработки способа анализа устойчивости систем с неопределенностью параметров объекта и допусками на коэффициенты регулятора на основе алгебраических критериев устойчивости;

- создания программного обеспечения разработанных методов.

Диссертация помимо введения содержит четыре раздела, заключение, список литературы и шесть приложений. Первый раздел посвящен исследованию свойств полиномов, коэффициенты которых могут принимать любые значения из заданных числовых интервалов - интервальных полиномов. По данному вопросу проводится отдельный обзор литературы. Рассматриваются задачи анализа устойчивости, локализации корней в трапецеидальной области, синтеза интервальных полиномов с желаемыми свойствами. Особое внимание обращено на интервальные полиномы с линейной зависимостью коэффициентов от некоторой интервальной переменной. Теоретические результаты иллюстрируются примерами. Во втором разделе предлагаются методики анализа устойчивости и управляемости линейных непрерывных стационарных систем, полученных замыканием объекта с неопределенными параметрами обратной связью с неопределенными коэффициентами (имеющими допуски). Так же как в первом разделе проводится обзор литературы по исследуемому вопросу. Эффективность разработанных методик демонстрируется на примере решения соответствующих задач для канала стабилизации продольного движения вертолета. Втретьем разделе изучается задача синтеза регуляторов - в новой, интервальной постановке рассматривается задача модального управления. Основные этапы метода синтеза подробно разбираются на примере проектирования регулятора стабилизации бокового движения вертолета, транспортирующего груз по водной поверхности. Даются краткие сведения о программном обеспечении" метода. В четвертом разделе решается задача синтеза регулятора стабилизации движения вертолета с грузом на внешней подвеске в условиях неопределенности некоторых физических параметров, характерных для данного режима. Используется разработанный интервальный вариант метода модального управления. Проводится анализ спроектированной системы. Приложения содержат необходимые сведения из интервального анализа и другие вспомогательные материалы, а также документы, подтверждающие практическое использование и внедрение результатов диссертационной работы.

В процессе решения поставленных задач получены следующие основные научные результаты, выносимые автором на защиту:

- сформулирована задача модального управления для объектов с интервальной неопределенностью параметров, и получены достаточные и необходимые условия существования ее решения;

- предложена процедура решения данной задачи (интервальный вариант метода модального управления), при этом, в отличие от известных методов синтеза, неопределенные параметры могут входить в модель объекта нелинейным образом, а регулятор может находиться с допусками;

- доказан алгебраический критерий устойчивости полиномов, коэффициенты которых линейно зависят от одного интервального параметра;

- предложена методика анализа устойчивости линейных непрерывных стационарных систем с интервальной неопределенностью параметров объекта и коэффициентов регулятора, отличающаяся от известных этапами формирования матрицы замкнутой системы, вычисления коэффициентов характеристического полинома и применяемыми критериями устойчивости.

Проведенные в работе исследования выполнены в соответствии с направлением научно-исследовательских работ, предусмотренных пунктом 03.01.01.01 целевой программы 0.Ц.026 ГКНТ при СМ СССР, соисполнителем которого является Саратовский политехнический институт, и находятся в русле одного из основных научных направлений ВУЗа "Аналитическая теория линейных систем автоматического регулирования" и связанных с ним планами госбюджетных и хоздоговорных работ кафедры "Автоматика и телемеханика" СПИ.

Практическая ценность полученных результатов заключается в разработке инженерных процедур конструирования регуляторов для систем с неопределенными параметрами по заданным корневым показателям качества, процедур анализа управляемости, устойчивости и назначения допусков на неопределенность параметров с целью обеспечения указанных требований.

На основе теоретических положений работы создан пакет прикладных программ, с помощью которого решены задачи синтеза регуляторов для вертолета-крана. Программная продукция внедрена, что подтверждается соответствующим актом. Гарантированный экономический эффект от ее использования по одному предприятию составляет 17,6 тыс.рублей в год.

- 21

Основные результаты работы были представлены и обсуждены на У1 Всесоюзном совещании "Теория инвариантности, теория чувствительности и их применения" (Москва, 1982), Всесоюзной конференции "Теория адаптивных систем и ее применения" (Ленинград, 1983), в выступлениях на научных семинарах кафедр "Системы автоматического управления летательных аппаратов" Московского авиационного института им.С.Орджоникидзе (1982) и "Дифференциальные уравнения и прикладная математика" Саратовского государственного университета им. Н.Г.Чернышевского (1982), научных семинарах лабораторий Института теоретической и прикладной механики СО АН СССР (Новосибирск, 1982) и Института проблем управления (1983), докладах на научном семинаре "Аналитические методы синтеза регуляторов" каф. АТМ СПИ (1979-1982), двух областных научно-технических конференциях (Саратов, 1980, 1981), пяти научно-технических конференциях СПИ (1979-1983).

По теме диссертации опубликовано 8 работ: /15/, /52/, /76/, /77/, /78/, /79/,/80/,/81/, из них одна рукописная /15/, остальные печатные.

Прежде чем переходить к изложению существа диссертационной работы, отметим, что в ней рассматривается синтез регуляторов состояния. Вопросы программного управления в условиях неопределенности рассмотрены в /27/, оптимизационные задачи данного направления отражены в /63/. При меньшем количестве информации об объекте имеет смысл переходить к построению самонастраивающихся /46/, адаптивных /66/ и самоорганизующихся /53/ систем управления. Наряду с традиционным и хорошо зарекомендовавшим себя подходом с позиций теории инвариантности /48/,при построении таких систем может оказаться полезной теория размытых множеств /2/, /41/, /ИЗ/.

I. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ: ЗАДАЧИ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ И ЛОКАЛИЗАЦИИ КОРНЕЙ

В данном разделе излагаются результаты, являющиеся основой методов анализа устойчивости и синтеза регуляторов для объектов с неопределенными параметрами, излагаемых в последующих разделах.

Даются основные определения, историческая справка и краткий обзор литературы по вопросам анализа устойчивости, локализации корней и применению упрощенных критериев устойчивости к полиномам, коэффициенты которых могут принимать любые значения из заданных интервалов (интервальным полиномам).

В связи с большой трудоемкостью имеющихся критериев, при рассмотрении задачи анализа устойчивости интервальных полиномов особое внимание обращено на получение критериев с минимальным количеством элементарных арифметических операций.

Впервые рассмотрена задача анализа устойчивости интервальных полиномов, коэффициенты которых линейно зависят от одного интервального параметра, и получены необходимые и достаточные условия их устойчивости.

Впервые исследуются также прямая и обратная задачи о локализации корней интервальных полиномов - определение границ области расположения корней по интервальным коэффициентам полинома и синтез коэффициентов интервального полинома по заданной области локализации его корней.

Частично результаты данного раздела нашли отражение в работах автора /15/, /77/.

- 23

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные в диссертационной работе исследования могут быть представлены в виде следующих основных результатов.

1. Для интервальных полиномов с линейной зависимостью коэффициентов от одного интервального параметра получены необходимые и достаточные алгебраические критерии устойчивости. Для устойчивых полиномов данного класса и интервальных полиномов решена задача локализации корней в трапециедальной области левой комплексной полуплоскости. Предложена методика решения обратной задачи - построения интервального полинома по заданной в виде трапеции области локализации множества его корней.

2. Для объектов с неопределенными параметрами в виде числовых интервалов сформулирована задача модального управления, и получены условия ее разрешимости (достаточное и необходимые). Проверка необходимых условий заключается в анализе полной управляемости объекта и построении интервального полинома по желаемой области локализации полюсов замкнутой системы. Достаточное условие состоит в решении системы линейных алгебраических уравнений и обеспечении справедливости системы линейных неравенств.

3. Разработана процедура решения сформулированной задачи. Она состоит в построении наилучшего интервального полинома, корни которого лежат в заданной области, и решении задачи линейного программирования. В отличие от известных методов проектирования регуляторов, коэффициенты модели объекта могут зависеть от неопределенных параметров нелинейно, а на коэффициенты регулятора в процес

- 179 се синтеза могут быть назначены допуски.

4. Получен достаточный критерий устойчивости систем автоматического управления с интервальным характером неопределенности параметров как в объекте, так и в регуляторе. От известных данный критерий отличается применяемым математическим аппаратом, большей близостью к необходимым условиям и существенно меньшими вычислительными затратами.

5. Разработаны критерии управляемости объектов с интервальной неопределенностью параметров.

6. Создан и внедрен в практику проектирования пакет прикладных программ, реализующий разработанные алгоритмы синтеза регуляторов и анализа устойчивости в условиях неопределенности параметров.

7. С помощью программного обеспечения синтезированы регуляторы стабилизации для вертолетов, выполняющих транспортные и крановые работы.

1. Абрамов O.B., Здор B.B., Супоня A.A. Допуски и номиналы систем управления. - М.: Наука, 1976. - 160 с.

2. Алиев P.A. Теоретические аспекты построения размытых систем управления. Нефть и газ, 1981, В 9, с.14-21.

3. Андреев Ю.Н. Алгебраические методы пространства состояний в теории управления линейными объектами (обзор зарубежной литературы). Автоматика и телемеханика, 1977, № 3, с.5-50.

4. Бесекерский В.А., Небнлов A.B. Робастные системы автоматического управления. М.: Наука, 1983. - 240 с.

5. Браверман A.C., Перлштейн Д.М., Лаписова C.B. Балансировка одновинтового вертолета. М.: Машиностроение, 1975. - 176 с.

6. Вавилов A.A. Частотные методы расчета нелинейных систем. -Л.: Энергия, 1970. 323 с.

7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 575 с.

8. Горовиц A.M. Синтез систем с обратной связью. М.: Советское радио, 1970. - 600 с.

9. Григорьев В.В. Синтез управлений для систем с изменяющимися параметрами. Автоматика и телемеханика, 1983, № 2, с. 6470.

10. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем/Пер. с англ. М. : Наука, 1979. - 304 с.

11. Дмитриев И.С., Есаулов С.Ю. Системы управления одновинтовых вертолетов. М.: Машиностроение, 1969. - 180 с.

12. Евланов Л.Г. Контроль динамических систем. М.: Наука, 1972. - 424 с.

13. Евланов Л.Г., Константинов В.М. Системы со случайными параметрами. М.: Наука, 1976. - 568 с.

14. Елисеев В.Д. Модально-инвариантные системы управления. -Автоматика и телемеханика, 1978, № II, с.26-34.- 181

15. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. - 400 с.

16. Калмыков С.А. Интервально-аналитические методы решения алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений. -Дис. . канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1982. - 141 с.

17. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1980. - 256 с.

18. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. - 650 с.

19. Кожевников В.А. Автоматическая стабилизация вертолетов. -М.: Машиностроение, 1977. 152 с.

20. Кожинская Л.И., Ворновицкий А.Э. Управление качеством систем. М.: Машиностроение, 1979. - 123 с.

21. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). 4-е изд. М.: Наука, 1978. - 831 с.

22. Корноушенко Е.К. Интервальные покоординатные оценки для множества достижимых состояний линейной стационарной'системы.

23. П, Ш, 1У. Автоматика и телемеханика, 1980, № 5, с.12-22, № 12, с.10-17; 1982, № 10, с.47-50; 1983, № 2, с.81-87.

24. Корноушенко Е.К. Алгебраический и интервальный методы в задачах аппроксимации динамических систем. Дис. . канд. физ.-мат. наук. - М., 1980. - 109 с.

25. Красовский A.A. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1977. -560 с.- 182

26. Кузовков Н.Т. Системы стабилизации летательных аппаратов (баллистических и зенитных ракет). М.: Высшая школа, 1976.304 с.

27. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. - 392 с.

28. Кухтенко А.И. Проблема инвариантности в автоматике. -Киев: Гостехиздат, 1963. 376 с.

29. Лебедев А.Н. Простой грубый критерий устойчивости линейных непрерывных систем. Изв. ВУЗов. Приборостроение, 1968, т. II, № 3, с.51-54.

30. Лебедев А.Н. Усиление простого грубого критерия устойчивости. Изв. ВУЗов. Приборостроение, 1975, т.18, № 3, с.29-31.

31. Липатов A.B. О параметрах, характеризующих качество линейной системы. В кн.: Задачи динамики управления летательных аппаратов: Тр. МАИ. Вып. 240. М., 1972, с.31-38.

32. Липатов A.B., Голубничая Т.Ф. Суждение об устойчивости нестационарных систем одного класса по устойчивости множества "замороженных" систем. В кн.: Вопросы исследования и проектирования систем управления: Темат. сб. науч. тр. МАИ. М., 1980, с.18-26.

33. Липатов A.B., Соколов Н.И. О некоторых достаточных условиях устойчивости и неустойчивости линейных непрерывных стационарных систем. Автоматика и телемеханика, 1978, № 9, с.30-37.

34. Мееров М.В. Синтез структур систем автоматического регулирования высокой точности. М.: Наука, 1967. -423 с.

35. Мейлахс A.M. О стабилизации линейных управляемых систем в условиях неопределенности. Автоматика и телемеханика, 1975,2, с.182-184.

36. Мелса Дне.Л., Джонс Ст.К. Программы в помощь изучающим теорию линейных систем управления/Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1981. 200 с.

37. Меркурьев Ю.А. Минимаксные оценки параметров моделей управляемых объектов в условиях интервальной неопределенности исходной информации. Дис. . канд. техн. наук, - Рига, 1982. -160 с.

38. Многорежимные и нестационарные системы автоматического управления/ Б.Н.Петров, А.Д.Александров, В.П.Андреев и др; Под ред. Б.Н.Петрова. М.: Машиностроение, 1978. - 240 с.

39. Неймарк Ю.И. Структура D разбиения пространства полиномов и диаграммы Вышнеградского. - Докл. АН СССР, новая серия, 1948, т.59, № 5, с.853-856.

40. Неймарк Ю.И. Об определении значений параметров, при которых система автоматического регулирования устойчива. Автоматика и телемеханика, 1948, т.9, № 3, с.190-203.

41. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука, 1981. - 208 с.

42. Первозванский A.A., Гайцгори В.Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. М.: Наука, 1979. - 344 с.J

43. Петров Б.Н., Рутковский В.Ю. Двухкратная инвариантность систем автоматического управления. Докл. АН СССР, 1965, т.161, № 4, с.789-790.

44. Петров Ю.П. Синтез устойчивых систем управления, оптимальных по среднеквадратичным критериям качества. Автоматика и телемеханика, 1983, № 7, с.5-24.

45. Постников М.М. Устойчивые многочлены. М.: Наука, 1981. - 176 с.

46. Принципы построения и проектирования самонастраивающихся систем управления / Б.Н.Петров, В.Ю.Рутковский, И.Н.Крутова, С.Д.Земляков. М.: Машиностроение, 1972. - 259 с.

47. Розенвассер E.H., Юсупов P.M. Чувствительность системавтоматического управления. Л.: Энергия, 1969. - 208 с.

48. Рутковский В.Ю., Павлов Б.В. Применение теории инвариантности для синтеза основного контура адаптивных систем. В кн.: Теория инвариантности и ее применение: Тр. У Всесоюз. совещ. 4.1. Киев, 1979, с.195-204.

49. Садыков Ф.Р. Наблюдаемость линейных многомерных систем с неопределенными параметрами. В кн.: Вопросы исследования и проектирования систем управления. У.: Тр. МАЙ. Вып. 398. М.,1977, с.31-35.

50. Садыков Ф.Р. О синтезе минимаксного управления для линейной системы с неопределенными параметрами при интегральном квадратичном критерии качества. В кн.: Вопросы исследования и проектирования систем управления. У1.: Тр. ММ. Вып.434. М.,1978, с.36-40.

51. Садыков Ф.Р. Наблюдаемость и параметрическая инвариантность линейных управляемых систем с неопределенными параметрами.-В кн.: Теория инвариантности и ее применение: Тр. У Всесоюз. совещ. 4.1. Киев, 1979, с.110-120.

52. Саридис Дж. Самоорганизующиеся стохастические системы управления / Пер. с англ; Под ред.Я.З.Цыпкина. М.: Наука, 1980.400 с.

53. Сендов Ел. Хаусдорфовые приближения. София: Болгарская Академия наук, ИМ с ВЦ, 1979. - 372 с.

54. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. Киев: Техн1ка, 1977. - 768 с.- 185

55. Смагина Е.М. Уменьшение чувствительности систем модального управления. В кн.: Теория инвариантности и ее применение : Тр. У Всесоюз. совещ. 4.1. Киев, 1979, с.296-304.

56. Смирнов Е.Я. О стабилизации линейных управляемых систем в условиях неопределенности. Автоматика и телемеханика, 1971, № II, с.167-169.

57. Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математической теории f управления. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. - 200 с.

58. Соболев O.K. Выбор обобщенных параметров при исследовании устойчивости линейных систем. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1970, № 5, с.191-198.

59. Соколов Н.И. Системы автоматического управления, эквивалентные адаптивным. М. : МАИ, 1978. - 91 с.

60. Состояние и перспективы развития теории чувствительности/ А.А.Воронов, Р.М.Юсупов, Е.Н.Розенвассер, Т.К.Сиразетдинов, Л.А.Широков В кн.: Теория инвариантности и ее применение: Тр. У Всесоюз. совещ. 4.1. Киев, 1979, с.5-20.

61. Соколов Н.И., Липатов А.В. О необходимых условиях устойчивости линейных систем. В кн.: Задачи динамики управления летательных аппаратов: Тр. МАИ. Вып.240. М., 1972, с.26-30.

62. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления/ Под ред. Н.Н.Красовского. М.: Наука, 1981. -288 с.

63. Теодорчик К.Ф. Траектории корней характеристического уравнения третьего порядка при непрерывном изменении свободного члена и максимальная достижимая при этом устойчивость. ЖТФ, 1948, т.18, № II, с.1043-1051.

64. Теория автоматического управления. 4.1. Теория линейных систем автоматического управления / Под ред. А.А.Воронова. М.: Высшая школа, 1977. - 303 с.- 186

65. Теория систем с переменной структурой / Под ред. C.B. Емельянова. М.: Наука, 1970. - 592 с.

66. Тихонов B.C. Математическая модель двухмерного движения привязи как объекта САУ на режиме обтекания с малыми скоростями: Тр. МАИ. Вып.476. М., 1979, с.74-79.

67. Удерман Э.Г. Метод корневого годографа в теории автоматических систем. М.: Наука, 1972. - 448 с.

68. Ульященко А.Е. Математическая модель буксируемого комплекса как объекта автоматического управления: Тр. МАЙ. Вып. 367. M., 1976, с.53-59.

69. Уонэм М. Линейные многомерные системы управления: геометрический подход. М.: Наука, 1980. - 376 с.

70. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981. - 368 с.

71. Ушаков A.B. Условия нулевой параметрической чувствительности в задаче слежения. Автоматика и телемеханика, 1981, № 9, с.30-37.

72. Фомин Ю.Т., Шокин Ю.И. Введение в машинную интервальную арифметику. Новосибирск, 1983. - 34 с. (Препринт/ИТПМ СО АН СССР: № 12-83).

73. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. - 448 с.

74. Харитонов В.Л. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений.-Дифференциальные уравнения, 1978, т.14, № II, с.2086-2088.

75. Хлебалин H.A. Построение интервальных полиномов с заданной областью расположения корней. В кн.: Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз.науч. сб. Саратов, 1982, с. 9298.

76. Хлебалин H.A., Солдунов В.А. Некоторые подходы к синтезу регуляторов в условиях неопределенности. В кн.: Создание и расчет электронных устройств и приборов. Саратов, 1982, с.52-55.

77. Хлебалин H.A. Аналитический метод синтеза регуляторов в условиях неопределенности параметров объекта. В кн.: Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз.науч.сб. Саратов,1981, с.107-123.

78. Чернецкий В.И., Дидук Г.А., Потапенко A.A. Математические методы и алгоритмы исследования автоматических систем / Под ред. В.И.Чернецкого. Л.: Энергия, 1970. - 375 с.

79. Чернятин В.А. 0 стабилизации линейных систем регулирования с неизвестными параметрами. Автоматика и телемеханика, 1968, № 9, с.5-17.

80. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981. - 112 с.

81. Янушевский Р.Т. Теория линейных оптимальных многосвязных систем управления. М.: Наука, 1973. - 464 с.- 188

82. Barmish B.R., Petersen I.R. Nonlinear versus linear control for a class of ultimate boundedness problems with uncertainty. Preprints, 8th Triennial World Congress of IFAC, 1981, VIII-109-VIII-114.

83. Basuthakur S., Knapp C.H. Minimax control in substate space of a system with process uncertainty. Automatica, 1974» vol. 10, H 1, p.37-47.

84. Bialas S. A necessary and sufficient condition for the stability of interval matrices. Int. J. Control, 1983, vol.37, H 4, p.717-722.

85. Biaias S. On certain properties of Harwitz determinants for interval polynomials. Computing, 1983, vol. 30, N 2, p.149-155.

86. Bonivento C., Guidorzi R., Marro G. Parametric insensi-tivity and controlled invariance. Automatica, 1975, vol.11,1. N 4, p.381-388.

87. Bongiorno J.J.Jr. On the design of observers for insen-sitivity to plant parameter variations. Int. J. Control, 1973, vol.18, N 3, p.597-605.

88. Byrne P.C., Burke M. Optimization with trajectory sensitivity considerations. IEEE Trans. Aut. Control, 1976, vol. AC-21, N 2, p.282-283.

89. Chang S.S.L., Peng T.K.C. Adaptive guaranteed cost control of systems with uncertain parameters. IEEE Trans. Aut. Control, 1972, vol. AC-17, N 4, p.474-483.

90. Chikte S.D., Barmish B.R. Some fundamental problems associated with guaranteed controllability of uncertain systerns.-Proc. Joint Autom. Contr. Conf., San Francisco, Calif., 1980. Vol.2, S.1, 1980, p.67-74.

91. Crus J.B., Freudenberg J.S., Looze D.P. A relationship- 189 between sensitivity and stability of multivariable feedback systems. IEEE Trans. Aut. Control, 1981, vol. AC-26, N1, p.66-74.

92. Doyle J.C. Achievable performance in multivariable feedback systems.- Proc. 18th IEEE Conf. Decis. and Contr. includ., Symp. Adapt. Process., Port Lauderdale, Pla, 1979. Vol.1, N.J., 1979, p.250-251.

93. Doyle J.C., Stein G. Multivariable feedback design: concepts for a classical / modern synthesis. IEEE Trans. Aut. Control, 1981, vol. AC-26, N 1, p.4-16.

94. Eslami M., Russel D.L. On stability with large parameter variations: stemming from the direct method of Lyapunov. -IEEE Trans. Aut. Control, 1980, vol. AC-25, N 6, p.1231-1234.

95. Paedo S. Un nuovo problema di stabilita per le equazio-ni algebriche a coefficienti reali: Aun. Scuola notm. super. -Piza. Sci. fis. e. mat., 1953, vol.7, N1-2, p.53-63.

96. Plemming P.J., Newmann M.M. Design algorithms for a sensitivity constrained suboptimal regulator. Int. J. Control, 1977, vol. 25, N 6, p.965-978.

97. Fleming P.J. Desensitizing constant gain feedback linear regulators.- IEEE Trans. Aut. Control, 1978, vol. AC-23, N 5, p.933-936.

98. Gourishankar V., Ramar K. Pole assignment with minimum eigenvalue sensitivity to plant parameter variations. Int. J. Control, 1976, vol. 23, N 4, p.493-504.

99. Gutman S. Uncertain dynamical systems a Lyapunov minmax approach. - IEEE Trans. Aut. Control, 1979, v.AC-24, H 3,p.437-443.

100. Hadass Z., Powell J.D. Design method for minimising sensitivity to plant parameter variations. AIAA J., 1975, vol. 13, p.1295-1303.- 190

101. Heath R.E., Dillow J.D. Incomplete feedback control -linear systems with random parameters. Proc. IEEE Conf. Decis. and Contr., Phoenix, AZ, Nov. 1974, p.220-224.

102. Horowitz I., Sidi M. Synthesis of cascaded multiple-loop feedback systems with large plant parameter ignorance. -Automatica, 1973, vol.9, N 5, p.589-600.

103. Horowitz I. A synthesis theory for linear time-varying feedback systems with plant uncertainty. IEEE Trans. Aut.Control, 1975, vol.AC-20, N 4, p.454-464.

104. Horowitz I., Sidi M. Optimum synthesis of non-minimum phase feedback systems with plant uncertainty. Int. J. Control, 1978, vol.27, N 3, p.361-386.

105. Horowitz I. Quantitative synthesis of uncertain multiple input-output feedback system. Int. J. Control, 1979, vol. 30, N 1, p.81-106.

106. Horowitz I., Sidi M. Practical design of feedback system with uncertain multivariable plants. Int. J. Systems Science, 1980, vol. 11, N 7, p.851-875.

107. Horowitz I. Quantitative synthesis of uncertain nonlinear feedback systems with non-minimum phase inputs. Int. J. Systems Science, 1981, vol. 12, W 1, p.55-76.

108. Howze J.W., Gavin R.K. Regulator design with modal in-sensitivity. IEEE Trans. Aut. Control, 1979, vol.AC-24, N 3, p.466-469.

109. Kandel A. On the control and evaluation of uncertain systems. Proc. Joint Autom. Contr. Conf., San Francisco, Calif., 1980, vol. 2, S.1, 1980, p.624-628.

110. Krishnan K.R., Brzezowski S. Design of robust linear regulator with prescribed trajectory insensitivity to parameter variations. IEEE Trans. Aut. Control, 1978, vol. AC-23, N 3, p.474-478.

111. Krishnan K.R., Cruickshanks A. Frequency domain design of feedback systems for specified insensitivity of time-domain response to parameter variation. Int.J.Control, 1977, vol. 25, H 4, p.609-620.

112. Kurzanskii A.B. Estimation of control system dynamic under uncertainty in parameters and inputs. Preprints, 8th Triennial World Congress of IFAC, 1981, p.VI-58-VI-64.

113. Kwatny H.G., Kalnitsky K.C. On alternative methodologies for the design of robust linear multivariable regulators. -IEEE Trans. Aut. Control, 1978, vol. AC-23, N 5, p.930-933.

114. Leitmann G. Guaranteed asymptotic stability for a class of uncertain linear dynamical systems. J. Optimiz. Theory and Appl., 1979, vol.27, N 1, p.99-106.

115. Lentomaki N.A., Sandell N.R., Athans M. Robustness results in linear-quadratic gaussian based multivariable control designs.- IEEE Trans. Aut. Control, 1981, vol. AC.-26, N 1, p.75-92.

116. Locatelli A., Shiavoni N. Further results on trajectory insensitivity. Automatica, 1976, vol.12, N 3, p.285-288.

117. Markov S.M. Extended interval arithmetic. C.R.Acad, bulg. sci., 1977, vol.30, N9, p.1239-1242.

118. Mita T., Ngamkajornvivat K. On the design of a system hairing zero-sensitive poles. IEEE Trans. Aut. Control, 1976, vol. AC-21, N 4, p.601-602.

119. Mita T. Design of a zero-sensitive system. Int. J. Control, 1976, vol. 24, N 1, p.75-81.

120. Moore R.E. Interval analysis. Englewood Cliffs, H.J.: Prentice-Hall, 1966. - 143 p.

121. Hickel K. Intervall-Mathematik. ZAMM, 1978, vol.58, H 6, T72-T85.

122. Paige C.C. Properties of numerical algorithms related- 192 to computing controllability. IEEE Trans. Aut. Control, 1981, vol.AC-26, Ж 1, p.130-138.

123. Patel R.V., Toda M., Sridhar Б. Robustness of linear quadratic state feedback designs in the presence of system uncertainty.- IEEE Trans. Aut. Control, 1977, vol. AC-22, N 6, p.945-949.

124. Pearson J.В., Staats P.W. Robust controllers for linear regulators. IEEE Trans. Aut. Control, 1974, vol.AC-19, N 3, p.231-234.

125. Pearson J.В., Shields R.W., Staats P.W. Robust solutions to linear multivariable control problems. ieee Trans. Aut.Control, 1974, vol.AC-19, N 5, p.508-517.

126. Ramar K., Gaurishankar V. Minimization of observer steady state errors induced by plant parameter variations.- Int. J.Control, 1978, vol. 28, H 6, p.927-932.

127. Ramar K., Gourishankar V. Utilization of the design freedom of pole assignment feedback controllers of unrestrioted rank. Int. J. Control, 1976, vol.24, N 3, p.423-430.

128. Rohn J. Soustavy linearnich rovnic s intervalove zada-nymi koeficienty. Econom.- Mat. Obzor, 1976, vol.12, p.311-315.

129. Rosenbrock H.H. Distinctive problems of process control.- Chem. Engng Progr., 1962, vol. 58, N 9, p.43-50.

130. Safonov M.G., Laub A.J., Hartmann G.L. Feedback properties of multivariable Systems: the role and use of the return difference matrix. IEEE Trans. Aut. Control, 1981, vol.AC-26, N 1, p.47-65.

131. Safonov M.G., Athans M. Gain and phase margin for multiloop LQG regulators. IEEE Trans. Aut. Control, 1977, vol.AC-22, N 2, p.173-179.

132. Salmon D.M. Minimax controller design.- IEEE Trans. Aut.

133. Control, 1968, vol. AC-13, N 4, p.369-376.

134. Shah S.L., Seborg D.E., Fisher D.G. Eigenvalue invariance to system parameter variations by eigenvector assignment.-Int. J. Control, 1977, vol.26, N 6, p.871-881.

135. Shaked U. The design of multivariable systems having zero sensitive poles. ieee Trans. Aut. Control, 1979, vol.AC-24, H 1, p.117-119.

136. Shaked U., Kouvaritakis B. The zeros of linear optimal control systems and their role in high feed-back gain stability design. IEEE Trans. Aut. Control, 1977, vol.AC-22, N 4, p.597-599.

137. Simeunovic D.M. Sur la repartition des zeros d'une classe de polynomes. Publ. Inst, math., 1980, vol.28, p.187-194.

138. Sirisena H.R., Choi S.S. Pole placement in output feedback control systems for minimum sensitivity to plant parameter variations. Int. J.Control, 1975, vol.22, N 1, p.129-140.

139. Spever J.S., Shaked U. Minimax design for a class of linear quadratic problems with parameter uncertainty. IEEE Trans. Aut. Control, 1975, vol. AC-19, N 2, p.158-159.

140. Subbayyan R., Sarma V.V.S., Vaithilingam M.C. Trajectory sensitivity modification in optimal linear systems.- IEEE Trans. Aut. Control, 1977, vol.AC-22, N 4, p.657-659.

141. Subbayyan R., Vaithilingam M.C. Sensitivity reduced design of linear regulators.- Int. J.Control, 1979, vol.29, N 3, p.435-440.

142. Tannenbaum A. Feedback stabilization of linear dynamical plants with uncertainty in the gain factor. Int. J. Control, 1980, vol.32, N 1, p.1-16.

143. Tzafestas Spyros. Eigenvalue controller design of re- 194 duced sensitivity. Proc. ieee, 1975, vol.63, N 7, p.1080-1081.

144. Vinkler A., Wood L.J. A comparison of several techniques for designing controllers of uncertain dynamic systems.-Proc. IEEE Conf. Decis. and Contr. and 17th Symp. Adapt. Process., San Diego, Calif., 1978, N.J., 1978, p.31-38.

145. Wong P.-K., Athans M. Closed-loop structural stability for linear-quadratic optimal systems.- IEEE Trans. Aut. Control, 1977, vol. AC-22, N 1, p.94-99.

146. Wong P.-K., Stein G., Athans M. Structural reliability and robustness properties of optimal linear-quadratic multivariable regulators. Preprints, 7th Triennial World Congress of IFAC, 1978, p.1797-1805.

147. Yeung K.S. Linear system stability under parameter uncertainties.- Int. J. Control, 1983, vol. 38, N 2, p.459-464.

148. Фрагменты из интервального анализа

149. Развитие интервальной математики привело к созыву двух международных симпозиумов по интервальному анализу (1975, 1980 гг.).

150. В нашей стране интервальный анализ развивается около 10 лет. В 1981 г. вышла из печати монография Ю.И.Шокина /84/, в которой впервые в отечественной литературе систематически изложены основы и методы интервального анализа" /17/, с.4.

151. Библиография советских ученых по интервально-аналитическим методам и их приложениям имеется в /73/. К настоящему времени она насчитывает менее 100 работ.

152. В интервальной математике замкнутый интервал вещественных чисел интерпретируется как новый вид числа.- 196

153. П.I.I. Интервальные числа и интервальная арифметика

154. Интервальным числом &1=[CL Д1 называется множество действительных чисел Z таких, что &^ Z ^ CL , то естьaWa.al^zla^z^a, a^ a}.

155. Действительное число CL называется нижней границей интервального числа &1 » соответственно CL верхней границей.

156. Нетрудно видеть, что понятие интервального числа является обобщением понятия действительного (или вещественного) числа. Если GL s 01 , то интервальное число fl. вырождается в действительное число a •

157. Два интервальных числа равны между собой, то есть(Х1=[Ь1, если С1 = Ь , &

158. Интервальное число di меньше интервального числа Ш, то есть Ы<Ш , если а< Ъ,

159. Интервальное число &1 включается в интервальное число 1. , то есть [al £ Ш , если Ьй CL^Séi

160. Длиной интервального числа al называется неотрицательная величина tj ([di) = Й,- CL.

161. Центром интервального числа di называется величинаг г ,>, a+SmCla.)=i

162. Модулем интервального числа называется выражениеall-maxClal,lá\).

163. Интервальное число может быть представлено в центрированной форме:a>m(lal)+l-&a,tftl,где ОТ (til)

164. Операции над интервальными числами вводятся с помощью обычных арифметических операций, в которых участвуют границы интер1. Бало^: ta.aMUbU+l.cUl.,ta,al-tUI -U-l, a-il, ta,al-ti,i. *tmiii(a-i a-1,5'i, a-1),max (a-a-l).,

165. Щ.2. Интервальные расширения

166. Интервальным расширением функции ^(х) называется рациональная интервальная функция3.1 (*(*))х-а.такая, что из Х*€ х! следуетх*) 31 ({(хй)),хЧх.а естественное интервальное расширение функции ^(х) включается в данное ее интервальное расширение.

167. Обычно основной интерес представляет получение истинного интервала значений интервальной функции. Его имеет так называемое объединенное расширение функции ^(х) , обозначаемоеи СК<й).1. X £ X.

168. Естественное интервальное расширение рациональной функции монотонно по включению: еслиХ(.£= ^ Ю , тогде | (.' У1 естественное интервальное расширение ^ 0") •

169. П1.3. Представимость интервально-значных функцийграничными вещественными функциями Результаты взяты из / 84 /, с.33-41, лишь несколько изменены обозначения.

170. Пусть Ы И - мерный вектор интервальных переменных

171. II15ь 1.! 1х ЛД „111= 1£, X1,

172. Ы- И. ~ мерный вектор константных интервалов, причем

173. Здесь векторы fl. и $ такие, чтог nun. umaxmía mía IfCs, X; bmin)еИпгах Ч^.М) = m.a® Ф(Х,Х; l>maoc).x,oc a,x

174. Эти самые общие выражения могут быть упрощены, если учесть причины, по которым функция £ является интервально-значной. Пусть ^ есть функция интервального векторного аргумента х}, аконстанты, входящие в нее вещественные числа.

175. Если элемент 1,11) входят в первой степени и с кратностью единица, тоf(xl)»[míri КЧЬД). мдх f(x,x).,x,3t х,х

176. В общем случае можно поступить следующим образом. Пусть^Х^". встречается в ^(.Х*]) раз и и2 K¡> Q,

177. П1.4. Интервальные матрицы, векторы и полиномы Интервальной матрицей называется таблица соответствующих размеров, элементами которой являются интервальные числа.

178. Интервальные векторы и матрицы можно обозначать через граничные вещественные векторы и матрицы:1. ОД«и1, Ш = Ц,П,

179. Иач11(цгТЯ), ЬИас.11(14=Тп).

180. Для интервальных полиномов запись означает,что П.) , где 41} коэффициенты соответствующих полиномов.

181. П1.5. Системы линейных интервальных алгебраическихуравнений Рассматриваются системы уравнений1. Ш- <Ь Ш, (П1Л)где Л*.-ИЛИ интервальная невырожденная матрица, мерный интервальный вектор.- 204

182. Область всех решений системы (П1.1) имеет вид1. ЛеШ, иш.,

183. Для него справедливо включение1. П1.5)1. П1.6)

184. На рис. П1.1 это решение изображено в виде заштрихованного прямоугольника, включающего начало координат.

185. Области решений системы (П1.3)

186. Достаточные критерии устойчивости полиномов с вещественными коэффициентами

187. Критерии разработаны А.Н.Лебедевым /29/,/30/, Н.И.Соколовым и А.В.Липатовым /33/,/62/. Применяются к полиному

188. Ь.^+М + ^>0(1=0,К). (П2.1)

189. Вводятся в рассмотрение величины(Ь = О, П-3 \ (П2.2)1. А^^сч (1-0, л-4). (П2.з)1.й достаточный критерий устойчивости:

190. Полином устойчив, если все ¿¿^ оС^оС^® 2^5, (П2.4)2.й достаточный критерий устойчивости:

191. Полином &($) устойчив, если все1. АсоСа=Ш (П2.5)

192. Замечание. Условие (П2.4) применяется для полиномов с А условие (П2.5) для полиномов с П.