Методы эллипсоидальной аппроксимации распределений в задачах нелинейного анализа и оперативной обработки информации в стохастических системах

Синицин, Владимир Игоревич

Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы эллипсоидальной аппроксимации распределений в задачах нелинейного анализа и оперативной обработки информации в стохастических системах

доктора физико-математических наук: Синицин, Владимир Игоревич
город: Москва
год: 2005
специальность ВАК РФ: 05.13.01

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Методы эллипсоидальной аппроксимации распределений в задачах нелинейного анализа и оперативной обработки информации в стохастических системах»

Автореферат диссертации по теме "Методы эллипсоидальной аппроксимации распределений в задачах нелинейного анализа и оперативной обработки информации в стохастических системах"

На правах рукописи

Синицин Владимир Игоревич

МЕТОДЫ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ В ЗАДАЧАХ НЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА И ОПЕРАТИВНОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

и?

Москва - 2006

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей Московского авиационного института (государственного технического университета)

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Кибзун Андрей Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Хохлов Юрий Степанович, доктор физико-математических наук, профессор

Пантелеев Андрей Владимирович., доктор технических наук, профессор Шаламов Анатолий Степанович Ведущая организация: Институт проблем управления РАН (Москва)

Защита состоится "21" апреля 2006 г. в 11 часов на заседании диссертационного Совета Д 212.125.01 Московского авиационного института по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4, Ученый совет МАИ

Автореферат разослан "20" марта 2006 г.

Отзывы просим направлять в 2-х экземплярах, заверенных печатью, по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4, Ученый совет МАИ

У"ояый cevpcTppb диссертационного Совета Д 212.125.04 кандидат физико-математических наук

Общая характеристика работы

«ателя эффективного алгоритмического и программного обеспечения, в собенности для ПЭВМ, а также ограниченными возможностями современных ПЭВМ особенно для систем высокой размерности, работающих в экстремальных динамических условиях. А ведь именно высокая размерность характерна для большинства математических моделей систем авиационно-космической техники. При этом требуются нелинейные методы исследования, в первую очередь, одно- и многомерных распределений процессов в конечно- и бесконечномерных СтС.

Центральной задачей прикладной теории СтС является задача анализа одно- и многомерных распределений. В задачах линейного анализа качества сложных динамических систем обычно ограничиваются спектрально-корреляционными характеристиками. Функционирование систем в экстремальных динамических условиях требует развития нелинейных методов анализа, основанных на одно- и многомерных распределениях.

Для решения задачи анализа распределений применяют следующие три принципиально различных подхода [28, 31, 44].

Первый подход состоит в использовании прямого численного решения уравнений СтС методом Монте-Карло. Часто этот метод называют

•методом статистического моделирования (МСМ). В случае стохастических дифференциальных систем (СДС) этот метод сводится к численному интегрированию уравнений СДС со статистическим моделированием приращений винеровского и пуассоновских процессов на каждом шаге интегрирования, а также к статистическому моделированию начальных условий и последующей статистической обработке полученных реализаций. При реализации МСМ для нелинейных и параметрических задач ключевой проблемой является задача разработки стохастических аналогов формулы Тейлора и специальных вычислительных методов аппроксимации повторных стохастических интегралов. Слабо развита теория многошаговых численных схем. К недостаткам МСМ можно отнести необходимость проведения большого количества моделирования реализаций для получения приемлемой точности и сильный рост объёмов вычислительных экспериментов с увеличением размер-

ности вектора состояния, что затруднительно выполнить оперативно в реальном масштабе времени. Широчайшее использование МСМ обусловлено небольшой вычислительной трудоёмкостью исследования СтС и простотой программной реализации МСМ. Кроме того, МСМ позволяет включать в процесс моделирования некоторые реальные элементы моделируемой системы или их действующие макеты, а также людей, участвующих в работе системы.

Второй подход, например, применительно к СДС состоит в непосредственном составлении и интегрировании эволюционных функциональных уравнений, например, уравнений Фоккера-Планка-Колмого-рова, Колмогорова-Феллера и их обобщений и уравнений Пугачева для характеристических функций. Этот подход позволил найти точные решения для ряда простых СДС. Для многомерных СтС единственным путем решения эволюционных функциональных уравнений является численное интегрирование на высокопроизводительных средствах вычислительной техники (СВТ) и, в первую очередь, суперЭВМ и с использованием GRID технологий. В настоящее время использование рассматриваемого подхода для задач анализа многомерных СтС даже для высокопроизводительных СВТ проблематично.

Третий подход состоит в применении аналитических методов для приближенного решения уравнений, определяющих параметры одно- и многомерных распределений. К их числу относятся методы нормальной аппроксимации и статистической линеаризации, методы эквивалентной линеаризации, методы моментов, семиинвариантов, квазимоментов и их модификации, методы ортогональных разложений и др. Эти методы позволяют по исходной СтС получить детерминированные уравнения для параметров одно- и многомерных распределений. Основной трудностью практического применения упомянутых методов, особенно для многомерных СтС, является чрезвычайно быстрый рост числа уравнений для параметров распределений с увеличением размерности вектора состояния. Сокращение числа уравнений для параметров распределений возможно только путем введения дополнительных ограничений на структуру распределения. Существенный вклад в развитие методов параметризации распределений внесли Пугачев B.C., Доступов Б.Г., Казаков И.Е., Синицин И.Н., Мальчиков C.B., Евланов Л.Г., Демух В.И., Шайкин М.Е., Шин В.И., Могцук Н.К., Кузнецов П.И., Стратоно-вич P.JL, Тихонов В.И., Малахов А.Н., Липцер Р.Ш., Первозванс-кий A.A., Богуславский И.А., Пупков К.А., Бутон Р.К., Альбе-рендт Н., Кемпе Ф., Фокс Р.Ф.

Радикальным подходом к сокращению числа уравнений для параметров распределения является подход, основанный на параметризации структуры распределения. Так, как установлено автором [1, 4, 6,11,12], радикального сокращения числа уравнений для параметров распределения удается добиться для эллипсоидальной структуры распределения.

Прикладные статистические методы оперативной обработки ^■информации в сложных динамических системах как в условиях нор-^^ мальной эксплуатации, так и в экстремальных условиях, доказали свою практическую эффективность. Развитие прикладной теории стохастических систем идет как в направлении всё большего усложнения моделей и методов адекватного описания, так и путём создания современных вычислительных стохастических информационных технологий. Важнейшей причиной, затрудняющей использование оптимальных методов оперативной обработки информации в СтС, является, во-первых, отсутствие необходимой априорной информации и, во-вторых, требование к быстроте реализации вычислительных стохастических технологий. В настоящее время сформировались такие подходы, как минимаксный, адаптивный, самообучающиеся и др., получившие общее название гибридных. В основе оперативных версий этих подходов лежат методы условно оптимального оценивания В.С.Пугачева [6, 37, 49], развитые Дашевским М.Л., Шином В.И., Силуяновой И.Д., Синициным И.Н., Казаковым И.Е., Шайкиным М.Е., Мощуком Н.К., Корепановым Э.Р., Белоусовым В.В., Ушмаевым О.С., Раол Дж., Синха Н., Ли У., Чо Ю., Менхо О.

Цели и задачи работы. Целью работы является разработка прикладных статистических методов нелинейного анализа и оперативной ^^ обработки информации в конечно- и бесконечномерных стохастических системах на основе методов эллипсоидальной аппроксимации и линеаризации.

Для достижения сформулированной цели ставятся следующие задачи.

1) Построить прикладную теорию эллипсоидальной аппроксимации и линеаризации одно- и многомерных распределений в непрерывных, дискретных и непрерывно-дискретных нелинейных стохастических системах.

2) Разработать комплекс эффективных методов, алгоритмов и программного обеспечения, основанных на методах эллипсоидальной аппроксимации и линеаризации для нелинейного анализа распределений в стохастических системах.

3) Разработать комплекс эффективных методов, алгоритмов и программного обеспечения для синтеза нелинейных эллипсоидальных условно оптимальных и субоптимальных фильтров для оперативной обработки информации стохастических системах.

4) Оценить эффективность разработанных методов статистического анализа и оперативной обработки информации в задачах статистической теории воздушной стрельбы, динамической точности акселерометров летательных аппаратов (ЛА) в экстремальных динамических условиях, а также синтеза подсистем оперативной обработки, контроля и управления в крупномасштабных информационно-управляющих системах высокой точности и доступности.

Методы исследования. В работе использованы современные методы теории вероятностей и математической статистики, стохастического анализа и теории стохастических дифференциальных уравнений, теории оптимального оценивания и управления, численные методы, алгоритмы и программное обеспечение функционального анализа.

Научная новизна. В работе получены новые теоретические результаты в области статистического системного анализа и оперативной обработки информации, среди которых выделяются следующие.

1) Теория эллипсоидальной аппроксимации (ЭА) плотностей случайных векторов плотностями эллипсоидальной структуры. Свойства таких плотностей, определяющих их полиномов, характеристических функций и моментов. Теория распределений нелинейных функций эллипсоидального случайного аргумента.

2) Метод эллипсоидальной аппроскимации (МЭА) одно- и многомерных распределений в непрерывных, дискретных и непрерывно-дискретных нелинейных СтС. Методы вычисления интегралов для типовых нелинейностей. Примеры точных решений для многомерных СтС.

3) Метод эллипсоидальной линеаризации (МЭЛ) (в том числе и на основе канонических разложений Лоэва-Карунена-Пугачева) одно-и многомерных распределений в непрерывных, дискретных и непрерывно-дискретных нелинейных СтС. Методы вычисления интегралов для типовых нелинейностей.

4) МЭА и МЭЛ для нахождения одно- и многомерных распределений в бесконечномерных гильбертовых и банаховых (с базисом) нелинейных СтС. Свойства эллипсоидальных стохастических систем Пугачева.

5) Методы синтеза дискретных эллипсоидальных условно оптимальных и субоптимальных фильтров, экстраполяторов и интерполято-

ров на базе МЭА и МЭЛ (в том числе на базе уравнения Закаи-Уонхэма и МЭА) для оперативной обработки информации в нелинейных СтС.

6) Научные основы условно оптимального синтеза систем контроля и управления в крупномасштабных информационно-управляющих системах высокой точности и доступности.

• Практическая ценность работы состоит в том, что она является основой для создания современных стохастических информацион-^^ных технологий нелинейного анализа и синтеза сложных динамических информационных систем авиакосмической техники, в том числе функционирующих в условиях экстремальных динамических воздействий, а также крупномаштабных информационно-управляющих систем высокой точности и доступности. На основе результатов разработано:

1) универсальное алгоритмическое и программное обеспечение МЭА, МЭЛ и синтеза фильтров Пугачева (библиотеки NALIB, TRANSSTATLIB, ППП "СтС-АНАЛИЗ", "СтС-ФИЛЬТР" и их MATLAB функции);

2) специальное алгоритмическое и программное обеспечение для задач воздушной стрельбы, расчетного обоснования точности акселерометров ЛА в экстремальных условиях, а также синтеза подсистем оперативной обработки, контроля и управления в крупномасштабных информационно-управляющих системах высокой точности и доступности.

Апробация работы и публикации. Результаты работы докладывались на 32 международных и всероссийских конференциях по системному анализу, управлению, прикладной информатике, а также научных семинарах под руководством академиков РАН В.С.Пугачева, Во-^^ ронова A.A., Самарского A.A., Наумова Б.Н., Куржанского A.B., Кузнецова H.A., Журавлева Ю.И., Мизина И.А.. Коровина С.К., Бурце-. ва B.C., член-корреспондентов РАН Реутова А.П., Соколова И.А., Петрова В.В., Рудакова К.В., Четверушкина Б.Н., профессоров Казакова И.Е., Буравлева А.И., Солодова A.B., Кибзуна А.И., Лотоцкого В.А., Рыкова A.C.

Исследования и разработки были поддержаны 6 грантами РФФИ и контрактами Отделения информационных технологий и вычислительных систем РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 книгах и монографиях, в 41 статьях, препринтах и сборниках трудов, список которых приведен в конце работы, а также в 50 научно-технических отчетах МАИ, ИПИ РАН, ФГУП ЦНИИ "Комета" и др. организаций.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения и приложения. Содержание работы изложено на 363 страницах машинописного текста, иллюстрировано 8 рисунками и 2 таблицами. Список использованных источников составляет 235 наименований.

Содержание работы. Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована ее цель, определена научная новизна и практическая ценность работы. Кратко изложены основные результаты работы.

Раздел 1 содержит изложение и обоснование предложенного автором принципа эллипсоидальной аппроксимации (ЭА) распределений конечномерных случайных величин.

Предлагается для структурной аппроксимации плотностей вероятности конечномерных случайных векторов использовать плотности, имеющие эллипсоидальную структуру, т.е. плотности, у которых поверхностями уровней равной вероятности являются подобные концентрические эллипсоиды (эллипсы для двумерных векторов, эллипсоиды для трехмерных векторов, гиперэллипсоиды для векторов размерности больше трех). В частности, эллипсоидальную структуру имеет нормальное (гауссовское) распределение в любом конечномерном пространстве. Характерная особенность таких распределений состоит в том, что их плотности вероятности являются функциями положительно определенной квадратичной формы и = и(у) = (ут — тт)С(у — ш), где тп - математическое ожидание случайного вектора У, С - некоторая положительно определенная матрица.

Для нахождения ЭА плотности вероятности г-мерного случайного вектора будем пользоваться конечным отрезком разложения по биорто-нормальной системе полиномов {Рг,н(и(у)), <]г^(и(у))}, зависящих только от квадратичной формы и = и(у), весом для которых служит некото-рал плотность вероятности эллипсоидальной структуры и>(и(у)). Тогда плотность вероятности вектора У может быть приближенно представлена выражением следующего вида:

(1.1)

или с учетом совпадения первых и вторых моментов:

(1.2)

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.1. Если для г-мерного случайного вектора У существует плотность вероятности, то формула (1.2) выражает принцип эллипсоидальной аппроксимации плотности вероятности.

При этом выбор системы полиномов {рГ1у(и), 9г,^(и)}, используемой при ЭА плотностей (1.1) и (1.2), сводится к нахождению биортонор-мальной системы полиномов, для которой весом служит х2-распреде-

Гение с г степенями свободы.

Введем систему полиномов, ортогональных по отношению к х2-распределению с г степенями свободы:

Здесь и далее символом обозначено количество сочетаний из V по ц.

Между полиномами 5Р>„(и) и системой полиномов {рг>„(и), 9г,ц(и)} имеют место следующие соотношения:

Рг,Ли) = ЧгЛ") = (г + 2^12))!!(2^)!!5г,',(")' Г~2' (1'4)

Основные свойства полиномов 5Г,[,(и). Свойство 1:

5г_1,„(и) = (и) + 2иЗг,и-1 (и).

^^ Свойство 2. Полиномы 5г,„(и) согласованы в том смысле, что в результате интегрирования полинома 5л+:,1/(и1 + иг), соответствующего ^-распределению с Н + I степенями свободы, по х2"РаспРеДе" лению с I степенями свободы получается полином Б^и^щ), соответствующий ^-распределению с Л степенями свободы:

Г ы'/2-1е-и2/2

Здесь и далее Г (и) - гамма-функция. Свойство 3:

5г,„(и) = -(41/ + г - 4 - и)5г,„_!(«) - 2(1/ - 1)(г - 4 + 2и)3Т,„-г(и).

Свойство 4:

Свойство 5:

«о

I и^^е-^БрА^и = -2</2е-и°/25р+1,„_1(ы0).

Свойство 6:

[ у?12-1е~и12 а , ч. Г 0 при

У -2^72-при ^

Доказаны следующие теоремы о разложении плотности случайного вектора по полиномам 5г,„(и).

Теорема 1.2. Разложение

/(«)

-7=== = ^МЕ^А'Н

с.к. сходится к функции /(и)/-\/га(и) в 1/г(Лг) при ЛГ оо:

г ч _ N л2

¿я = { Г—ГТ ~ У! сг,„Рг,„(и) > О,

{у/и){и) ^ J

если ¡{и)/у/ю(и) € Ь2(ЯТ).

Теорема 1.3. Система функций {\/ги(и)Зг^(и)} образует базис в подпространстве пространства Ьч(11г), порожденном функциями /(и) квадратичной формы и = (у — т)ТС(у — т).

Теорема 1.4. Если равномерно относительно А приИ —>• оо насг-алгебре борелевских множеств пространства 11Т выполняется условие

J ш(и)^2сг>„рг<1/(и)(1у ->■ J/(и)(1у,

то имеет место слабая сходимость вероятностный мер, порожденных разложениями плотностей по полиномам к вероятностной мере, порожденной самой плотностью.

Теорема 1.5. При разложении по полиномам 5Гплотности вероятности случайного вектора У и всех его возможных проекций согласованы: при интегрировании разложения по полиномам йл+^^и), Л +1 = г, плотности вероятности г-мерного вектора К,

т =

у/(2*)Ь+ЧК\

-и/2

1 + ^ сп+1,гЗн+1,1>{и)

и = {у-т)ТК-1(у-т), у = [у'Т у"Т ]Т,

по всем компонентам вектора у" получается разложение по полиномам 5/,1[/(и1) плотности вероятности И-мерного вектора У с теми же коэффициентами

НУ') =

-иг/2

1 +

1/=2

«1 = (У' - т')ТК1^{у' - тп'), = Сн+1,и,

где К\\ - ковариационная матрица вектора у'.

Свойства моментов при ЭА содержатся в следующих утверждениях.

Теорема 1.6. Для случайного г-мерного вектора с произвольным I распределением ЭА его распределения (1.2) точно определяет моменты 'до порядка N включительно квадратичной формы V = = (У — т)ТК~1(У - тп), т.е. МЭАи» = Ми», (1 < N.

Следствие 1.6. ЭА любого распределения точно определяет математическое ожидание полиномов рГ<о(и),дГ>о(и), ... , рГ1м(и),

Теорема 1.7. При ЭА распределения случайного вектора его моменты складываются из соответствующих моментов нормального распределения и математических ожиданий произведений полиномов Рг,1>{и) на степени компонент вектора У.

Теорема 1.8. Для случайного вектора У с эллипсоидальным распределением (1.2) справедливы следующие рекуррентные формулы, связывающие старшие и младшие начальные моменты:

{у > [ |г| /2]);

<*?А = с? + £ Сг^Шгг (у < { |г| /2]), и=2

где

= С1,\...С1)1'га^1_11.....

N - символ нормального распределения.

Развита теория распределения нелинейных функций эллипсоидального случайного аргумента. Доказаны теоремы, устанавливающие структуру функции распределения и плотности. Приведено шесть точных распределений нелинейных функций эллипсоидального аргумента известных из математической статистики.

Оценку точности ЭА, т.е. приближения функции разложением (1.2) можно производить различными способами, например, сравнением с известным точным (явным) решением. Но наиболее естественным способом оценки точности аппроксимации распределения является сравнение вероятностных характеристик, вычисленных с помощью известной плотности и ее приближенного выражения. Наиболее полная оценка точности аппроксимации может быть получена сравнением вероятностей попадания на множества некоторого заданного класса. Кроме того, имея в виду, что плотность вероятности обычно аппроксимируется конечным отрезком ее ортогонального разложения, например по полиномам Эрмита или конечным отрезком ряда Эджуорта, содержащим моменты до четвертого порядка, точность ЭА можно характеризовать точностью определения моментов случайного вектора или отдельных его компонент, в частности, моментов четвертого порядка. Приведены соответствующие формулы.

Результаты раздела 1 позволяют решать широкий круг задач прикладной теории вероятностей и математической статистики случайных векторов с эллипсоидальными плотностями распределения.

В 1990 году В.С.Пугачевым была поставлена проблема развития теории воздушной стрельбы для эллипсоидальных ошибок рассеивания. Её решение разработано автором в НИР "СтС-МОДЕЛЬ" (ИПИ РАН, 1991-1993 г.). При этом для негауссовских (эллипсоидальных) законов распределения получены следующие основные результаты:

1) для воздушной стрельбы одиночными выстрелами построены модели эллипсоидального закона рассеивания для различного числа параметров .¿V, обусловленные информационными, методическими, инструментальными ошибками наводки, ошибками стрельбы за счет маневра

цели, техническими ошибками и баллистическими ошибками. Предложена методика планирования объема испытаний; методом Монте-Карло подтверждена практическая точность метода уже при N = 4;

2) для воздушной стрельбы при зависимых выстрелах (стрельба очередно, залпом из нескольких орудий, серией залпов и др.) построены модели эллипсоидальных законов рассеивания, обусловленных эллипсоидальными групповыми и индивидуальными ошибками. Разработаны и подтверждены методом Монте-Карло методики планирования объемов испытаний для N = 4;

3) на основе эллипсоидальной аппроксимации условных законов поражения различных целей и формул п.1.6.6 предложена методика оценки эффективности воздушной стрельбы управляемыми и неуправляемыми ракетами при эллипсоидальных ошибках.

В разделе 2 применительно к непрерывным, дискретным и непрерывно-дискретным нелинейным СтС получены уравнения методов эллипсоидальной аппроксимации (МЭА) для одно- и многомерных распределений.

Предполагается, что эволюция состояния системы (в общем случае расширенного вектора состояния Y) описывается стохастическим дифференциальным уравнением Ито следующего вида:

Y = a(Y,t)+b(Y,t)V, (2.1)

где a(y,t) и b(y,t) - известные функции у и i размерности р х 1 и р х хтп соответственно. Белый шум V в (2.1) понимается как т-мерный векторный белый шум в строгом смысле. Начальное значение У (¿о) = = Y0 вектора состояния всегда будем считать независимым от белого шума V(t), t > to-

Для некоторых сложных СДС в конечномерных пространствах используется векторное стохастическое дифференциальное уравнение Ито вида:

cLY = a(Y,t)dt + b{Y,t)dW0 + f c{Y,t,v)P°(dt,dv). (2.2)

JRI

Здесь a = a(y, t) и b — b(y,t) - известные (p x 1)-мерная и (рхт)-мерная функции вектора Y и времени i; Wo = Wo(t) - m-мерный винеровский случайный процесс интенсивности uq = Vq(t); c(y,t,v) -(p x 1)-мерная функция y, t и вспомогательного (g x 1)-мерного параметра v\ J dP°(t, A) - центрированная пуассоновская мера: д

J dP°(t,A) = J dP(t, A) — J uP(t,A)dt,

где / А) - число скачков пуассоновского процесса в интервале вред

мени Д; А) - интенсивность пуассоновского процесса

Р(£, Л); А - некоторое борелевское множество пространства с выколотым началом координат. Интеграл (2.2) в общем случае распространяется на все пространство Дц с выколотым началом координат. Начальное значение Уо вектора У представляет собой случайную величину, не зависящую от приращений винеровского процесса и пуассоновского процесса Р(Ь,А) на интервалах времени Д = (£ц ¿э]» следующих за £сь ¿о < ¿1 < ¿2, для любого множества А.

Предполагается, что (2.1) и (2.2) удовлетворяют известным достаточным условиям Пугачева-Синицына существования многомерных распределений в терминах характеристических функций.

В том случае, когда функции а, Ь или а, Ь, с в уравнениях (2.1) или (2.2) зависят от случайных параметров 0 с известным распределением, то путем расширения вектора состояния [УТ0Т] , придем к уравнениям вида (2.1) или (2.2).

Методы параметризации одно- и многомерных распределений (методы моментов, квазимоментов, семиинвариантов и их модификации) для многомерных СДС требуют составления и решения большого количества уравнений для параметров распределений.

В тех случаях, когда известны дополнительные ограничения на структуру распределения, удается существенно сократить число параметров распределения при любой конечной размерности СДС. Так для структурной параметризации одно- и многомерных плотностей можно использовать эллипсоидальные плотности ([1, 4, 6, 11, 12], а также в канд. дисс. В.И.Синицина, 1994).

Применим ЭА (1.2) для нахождения одномерной плотности вероятности (у;<) р-мерного случайного процесса У(£), определяемого стохастическим дифференциальным уравнением Ито (2.2). Предположим, что нам известно распределение начального значения У0 = У (¿о) случайного процесса У(£). Представим одномерную плотность в виде отрезка ортогонального разложения по полиномам, зависящим от квадратичной формы и{у) = (ут — пгт)С(у — тп), где тп и К = С-1 - математическое ожидание и ковариационная матрица случайного процесса У(£):

(2.3)

1/=2

Здесь и> 1 (и) - нормальная плотность р-мерного случайного вектора. ОП-

ТУ

1 + У^Ср,„Рр,„(и)

тимальные коэффициенты разложения сР(1/ определяются

оо

сР,и = I 1Лу^)Чр,и{и)йу = МЧр,ы(и) {и = \,...,Ы). (2.4)

—оо

Система полиномов {рр,иЫ), др,1,(и)} строится на основе ортогональной системы полиномов {5р>у(и)} согласно формулам (1.4). В основе МЭА лежит следующая теорема.

Теорема 2.1. Если в нестационарной нелинейной СДС (2.2) существует одномерная плотность Д (у; 4) режима У(1;), то уравнения

т = <р1о(т, + сР,*<р1„{т> *)> (2-5)

1/=2

К = ч>2й{™.,К,Ь) + 2„(т,К,г), (2.6)

и—2

■ _ (сР,к-1 \

+ /с = 2,..., АГ, (2.7)

«/=2

при условиях

оо

¥>ю = <рю(т,ЛГ,0 = / а(у,Ь)ъи1{и)с1у, (2.8)

—оо

оо

VII/ = = I а(у,1)рр^{и)ю1 (и)с1у, (2.9)

— ОО

<Лго = =

оо

I [а(у,г)(уТ - тТ) + (у - т)а(у,г)Т +&(у,г)]и}1(и)с1у, (2.10) —оо

(2.11)

■фк о = ■фчо (m,K,t) =

оо

= / {<?;,» [2(У - m)TK-la{y,t) + trJTVfo.í)] Ч

—со

+2q'¿(u)(y - тп)тK~*o{y,t){y - m)+

+ f{qPA(vT+cr-mT)K~1(v + c-m)]-

-ЯР,к(и) ~ 2q'p K(u){y-m)TK~1c}uP(T,dv)^wi(u)dy;

оо

4>2u = 4>2Árn,K,t)= J [a{y,t)(yT-mT) + (y-m)a(y,t)T+

—оо

+Hy,t)]pPAu)wi(u)dy> (2-12)

фю = iMm, K,t)= J {<¿il((tt)[2(y - m^K^aiy, t) + tr K~la{y, t) ]+

— OO

+2fi(u)(y - m)TK~1a(y, ^K'^y - m)+ + J{ЧрА(УТ + <? ~ mT)K-l(y + с - m))-

~ЯР,к(и) 1c}i/P(t,dv)^pp¡¡,(u)wi(u)dy. (2.13)

m(t0)=m0, K{t0) = K0l cp¡K(t0) = (k = 2,...,N) (2.14)

определяют ЭА его одномерного распределения (2.3).

МЭА для многомерных плотностей основан на следующей теореме. Теорема 2.2. Если существуют многомерные плотности fn(yi, • • • , Уп, h , ■ ■ • , tn), то уравнения (2.5), (2.6), (2.7),

дспр,к _ _ | Спр.к—1 КСПр<к \ ^ Г дк^с

dtn \ 2пр пр ) [ dtn п.

ОО ОО s

J ••• J hq'np^(uKyn-rhn)TC^a(yn>tn)+

—оо —оо

+2<ЗпР,к(и)(Уп - тп)тС%а(уп^п)Сп(уп - тпп)+

+9пр,«(") [Спп *»)] + {[9пР,«(и) - 9пР>«(и)-

(и)х

1 + ХЗ спр."Рпр."(и)

|с*У1 ...(¿?/„, (« = 2,3.....ЛГ).

оо оо

дКд^2) = I / (У1-т1)а(у2^2)'г^А(и)ау^у2.

(2.15)

(2.16)

—оо —оо

при условиях теоремы 2.1 определяют ЭА его многомерных плотностей

/«(Уъ-..,У»;*ъ---,*п) « /пА(и) = N

, спр,„ = MqnPtV{U).

и = (У„ - т„)ГС„(У„ - т„); С„ = ЯГ"1; У„ = [У,7, У2Т ... У„т]; У/с = У(«*); ш„ = [ш^ т^ ... тл=т(^);

ГЛГ(<ъ«1) ЯГ(*1,*2) ... К (г ь*п)

.ЛГ(«П,*1) ЛГ (*„, «а) •••

гс?е - ковариационная функция процесса У(0>

сп — ГГ(п) Г(п) 21 Мп) °22 Г-(п) -1 ■ Чп

г'м Н») °п2 г'М Опп .

(2.17)

(2.18)

(2.19)

м=о

(2.20)

(2.21) (2.22)

(лр-2)!1

Теоремы 2.1 и 2.2, во-первых, положены в основу МЭА для нахождения эллипсоидальных распредлений, во-вторых, использованы для исследования асимптотической среднеквадратической устойчивости, решений полученных согласно МЭА, в-третьих, применены к изучению вырожденных случаев МЭА, в-четвертых, использованы для вычисления типовых интегралов и рекуррентных формул.

Для различных классов дискретных и непрерывно-дискретных СтС получены аналогичные теоремы, лежащие в основе МЭА одно- и многомерных распределений.

Развиты методы определения точных распределений эллипсоидальной структуры в линейных СтС.

Последний подраздел содержит эллипсоидальный анализ нелинейных СтС. Приведены алгоритмы расчета одно- и многомерных распределений, кратко описано программное обеспечение МЭА (МЭЛ), разработанное при участии автора. На примере статистической динамики нуль-индикатора скорости летательного аппарата показана эффективность МЭА (МЭЛ) по сравнению с другими методами. Приведены точные эллипсоидальные распределения в СДС второго и 2п-мерного порядка, в многомерной поисковой градиентной СДС, а также в многомерных СДС с инвариантной мерой.

Раздел 3 посвящен методам анализа одно- и многомерных распределений процессов в нелинейных нестационарных СтС посредством эллипсоидальной линеаризации нелинейностей.

В основе метода эллипсоидальной линеаризации (МЭЛ) нелинейной векторной детерминированной функции 2 = <р (У) для вектора У с плотностью ffл(y) эллипсоидальной структуры

/хЫ = ЛЭЛ(2/) = 1?Л(и(у),ту,Ку,с). (3.1) по первому способу

тг(У) = /1хУ0 + а, Ь.1*=КхуК-г, а = тг-Ь1ту. (3.2) лежат формулы

= Н?л(ту,Ку,с) =

оо

= I [тг(у) -тг](у -тПу^К^^МуЪтПу^^фу. (3.3)

—ОО

тДУ) и т?л + /1?л (ту, Ку, с)У° (3.4)

при условии с1е1 \КУ\ ф 0 (теорема 3.1), Ку - ковариационная матрица вектора У, Кгу - совместная ковариационная матрица векторов г и у. А в основу МЭЛ по второму способу

т*(У) = /12У, Лг^Г^Г"1 (3.5)

положены формулы

оо

Л|Л(Гу,с)= У тг(у)уТГуЧ1{и{у),ту,Ку,с)(1у, (3.6)

—оо

т2(У)«/>?Л(Гу,с)У. (3.7)

при условии с^ |Гу| ф 0 (теорема 3.2), Гу - матрица начальных моментов вектора У, Тгу матрица совместных начальных моментов векторов г и у.

Теоремы 3.1 и 3.2 допускают различные модификации и обобщения на случай матричных функций 2 — у (У) размерности (р х хд). В этом случае, разбивая матрицу 93(У) на д столбцов: <р(У) — = [<р1(У)...(р?(У)], где МУ) = [ч>а1У)...Ч>ь<У)? (« = 1,... ,«), и используя теоремы 3.1 и 3.2, получим следующие представления соответственно по первому и второму способам:

тг(У) м + Я?л(ту, Ку, с)(У - ш); (3.8)

тх(У) « ЛУ. (3.9)

Здесь

1^(ту,Ку,с)=№?{ту,К9,с)...^?(ту,Ку,с)]; (3.10)

Я2эл(Гу,с) = [^л(Гу,с)...Л|л(Гу,с)], (3.11)

причем Л®л и Л,®/1 (г = 1, ... , <7) определяются согласно (3.3) и (3.6). Рассмотрим нелинейную СДС (2.2) при следующих условиях:

1) b(Y, t) — bo(t), c(Y,t,v) = c'(u), где логарифмические производные по времени от нормального белого шума Vo — IVo и пуассоновского белого шума Vp — Wp, определяются формулами:

= ХрМ= J [eiAVW-l-i>rc'(t;)]i/p(t,t;)d«.

Здесь vo — fo(t) — интенсивность нормального белого шума Vo, a vp = fp(t, v) = [dfi(t,v)/dt]dv — интенсивность пуассовского потока скачков, равных с'(и).

2) Нелинейная векторная функция а (У, t) допускает ЭЛ согласно (3.4):

a(Y,t) я aHjn,K,cut) + ai{m,K,cut){Y - m). (3.12)

Здесь aot — а о (m,К,ci,t) и сщ = a"(m,К,ci, t) называются соответственно вектором смещения нуля и матричным коэффициентом усиления ЭЛ.

3) Одномерная плотность Д (у; t) существует и имеет эллипсоидальную структуру вида (2.2.1):

f?Jl(v;t) = «я (и)

1 + Л Cp,„ppi„(u)

v=2

wi(u) = , 1 6~Ц/2;

Cj,iV = MBJlqPtV{u), U = (Y — m)TK~'i{Y - т),

причем структурные коэффициенты одномерного эллипсоидального распределения ci = {cp,v} известны, а первые и вторые моменты m и К неизвестны.

Теорема 3.3. Пусть нелинейная нестационарная СДС (2.2) удовлетворяет условиям 1)—3), тогда в основе МЭЛ для одномерной плотности с известными структурными коэффициентами ci = = {cPlV} лежат уравнения

т ~ а%(т, К, ci,t), m(t0) — т0; (3.13)

k = autK + Kalt + äo,t, K(to)=Ko (3.14)

при условиях

оо

<Рю(т,К,г)= ^ а(у, Ь)и}1(и)(1у, —оо

оо

= J а{у,1)рРуи{и)г1л{и)йу\

—оо

а1,е - а^(т,К,С!,1) = аю(т,К,г) + 'уУ^сР1„а1,р^(т)К,Ь),

1>=2

оо

а10(т,К^)= I а^Му-т^К-^^ау, (3.15)

—со оо

- J а{у,{)(у - т)ТК'^-рр^^гих^йу,

—оо

сг04=ао(*) + !с!{у)с'(р)тир{г)йи-, <т0Ц) = Ь0(*М*)Ьо(г)Т.

Теорема 3.3, во-первых, положена в основу определения асимптотической с.к. устойчивости процессов, определяемых по МЭЛ, во-вторых, она использована для определения одно- и многомерных характеристических функций, а также начальных и центральных моментов. Количество уравнений для параметров п-мерного распределения составляет фМэл _ Пр(Пр з)/2, что совпадает с количеством уравнений в методе нормальной аппроксимации [28].

В основе нелинейной спектрально-корреляционной теории процессов в стационарной нелинейной СДС (2.2), основанной на МЭЛ, лежат уравнения

а$(т,К,С1)К + КаЦт^К^г)7, + а0 = 0, (3.16)

Ф(*, а?) =-К-ЗД-1. (3.17)

8у(и,а1) = а?)*. (3.18)

при условии асимптотической устойчивости описывающей функции (3.17). Здесь и далее символом "*" обозначена операция транспонирования с заменой элементов на комплексно-сопряженные.

Получены уравнения МЭЛ для дискретных СтС.

Особое внимание уделено методам эллипсоидальной линеаризации СтС, основанные на канонических разложениях Лоэва-Карунена-Пугачева (КР). Общее количество уравнений для параметров п-мерного распределения равно Qj^9J1(KP)— p(N + п), где N - число членов в КР. Такое развитие МЭЛ особенно важно для СтС высокой размерности р.

Последний подраздел посвящен эллипсоидальному анализу распределений в нелинейных СтС на основе МЭЛ. Рассмотрены особенности методов расчета распределений, проведен анализ динамической точности маятникового акселерометра в условиях вибраций и гиромаятни-кового акселерометра в экстремальных стохастических динамических условиях.

В разделе 4 дается обобщение МЭА и МЭЛ на случай бесконечномерных СтС и СтС, изучаемых в общей теории.

Предполагается, что заданы X и У — два сепарабельных действительных гильбертовых пространства, £.{У, X) — пространство линейных операторов, действующих из У в X, Wo(t) - винеровский процесс со значениями в У и с ковариационным оператором значения при данном t

Kw(t) = j u0 (r)dr. (4.1)

Здесь vo(t) — положительный ядерный оператор, представляющий собой непрерывную в равномерной топологии пространства С(У) функцию t 6 [0,+оо). Гильбертовы стохастические дифференциальные системы (СДСН) описываются уравнениями Ито следующего вида:

dZ = A(Z, t)dt + B(Z,t)dW0 + J С(Z, t, v)P°(dt, dv). (4.2)

Здесь P°(A,E) = P(A,E) — ц(А, E) — независимая от винеровского процесса Wo(t) центрированная пуассоновская мера,

ц(А,Е) = МР(А,Е) = fvP(t,E)dt, (4.3)

интегрирование по v производится по некоторому линейному пространству S с выколотым нулем; A(Z,t), B(Z,t) и C(Z,t,v) — нормально

распределенные случайные функции со значениями в X, £(У, X) и X, соответственно, не зависимые от винеровского процесса Wo(t) и пуассо-новской меры Р(А,Е) и начального значения Zq процесса Z(t), а величина Z0 независима от Wo(t) и Р(А,Е).

Будем предполагать, что функция A(Z, t) выражается формулой

A(Z, t) = a{t)Z + A'{Z, t), (4.4)

где a(t) — детерминированный замкнутый линейный оператор с плотной в X областью определения, для которого существует семейство ограниченных эволюционных операторов {fi(f, г)}.

Достаточные условия существования, единственности и с.к. непрерывности процессов в (4.2) определяются следующей теоремой.

Теорема 4.1. Если функции A(Z,t), B(Z,t) и C(Z,t,v) удовлетворяют условиям

1) №(t,T)A(z,T)\\2 <kl + k¡\z\2;

2) \\n(t,T)B(z,rW<i2o + ii И2;

3) S\\n(t,t)C(z,t,v)\\2uP{r,dv) < ml + ml |г|2;

4) ЦП^тЩгьг) - il(t,T)A(z2,T)\} < a \Zl -z2\;

5) \\Щ1,т)В(21,т) - Cl(t,t)B(z2,t)\\ < c2 |;zi -z2\; ,

6) S\\n(t,T)C(zut,v) - n(t,t)C(z2,t,v)\\2vp(t,dv) < c3|zi-z2|, то существует единственный случайный режим Z(t), для которого соответствующее интегральное уравнение справедливо с точностью до эквивалентности. Этот режим представляет собой сильное решение стохастического дифференциального уравнения (4.2) с начальным условием Z(to) — Zq, причем ||2(f)|| < если ||Zo|| < оо.

Автором получено обобщение теоремы 4.1 на случай, когда

7) функция A(Z,t) в (4.4) не удовлетворяет условиям 1) и 4), т.е. когда

A'(Z,t) = b(Z,t)Z, (4.5)

где b(Z, t) — неограниченный линейный оператор, зависящий от Z и t с плотной в X областью определения;

8) случайная функция B(Z, t) имеет значения в пространстве неограниченных замкнутых линейных операторов, причем оператор a(Z,t) = B(Z1t)u0(t)B(Z,t)* является ядерным.

Теорема 4.2. Если выполнены условия 2), 3), 5), 6) теоремы 4.1 и условия 7), 8), тогда существует единственный случайный режим Z(t), для которого соответствующее интегральное уравнение справедливо с точностью до эквивалентности. Этот режим представляет собой сильное решение стохастического дифференциального урав-

нения (4.2) с начальным условием Я(^) = 2о> причем ||£(£)|| < со, если Ш\ < оо.

Теорема 4.3. При выполнении условий теорем 4.2 все многомерные характеристические функционалы режима .£(<), определяемого уравнением (4.2), удовлетворяют при ¿1 < ¿2 < - • • < ¿п-1 < уравнениям

)}ехр

*£( (4.6)

где

+ У [ехр {г(А, с(г, «))} - 1 - »(А, ф, I,«)) ] А?), (4.7) с начальными условиями

5Х(А,*О)=РЬ(АО), (4-8)

<7п(А1,... , Ап^1, ... , ¿п_1,*п_1) =

= 9п-1&1 > • • • , А„_1 + , ... , (4.9)

где <?о(А) — характеристический функционал случайной величины

Из функционального анализа известно, что любое сепарабельное гильбертово пространство изометрически изоморфно пространству Изоморфизм устанавливается разложением любого сепарабельного гильбертова пространства по любому ортонормальному базису и формулой Парсеваля. Благодаря этому изоморфизму стохастическое дифференциальное уравнение в любом гильбертовом пространстве сводится к бесконечной системе стохастических дифференциальных уравнений в пространстве

оо .

ОУп = Ап(У,*)& + Впт{У,г)йит + / Сп{У,г,¿и), (4.Ю)

где {жп} и {уп} — произвольные ортонормальные базисы в пространствах X и У,

у„Ю = (£(«),*„), у(*) = {у„(*)}, Кп(0 = (^о(О,»™);

Л„(у,г) = (А(г,Ь),хп), Впт(у,Ъ = (В(г,г)ут,хп), С(у,1,у) = (С(г,Ь,ь),хп). (4.11)

При этом, как известно, справедлива

Теорема 4.4. Конечномерная аппроксимация стохастического дифференциального уравнения в пространстве ¿2 определяет все многомерные распределения его решения с любой степенью точности (в смысле слабой сходимости вероятностных мер).

Трактовка стохастического дифференциального уравнения в В-пространстве X как уравнения в Я-пространстве Хц с последующим приведением к уравнению в ¡2 и конечномерной аппроксимацией (теорема 4.4) дает возможность применять методы СДСН для исследования любых СДС в ^-пространствах с базисом.

В основе МЭА и МЭЛ для бесконечномерных СДСН(В^ лежат следующие положения.

Теорема 4.5. В условиях теорем 4.2-4.4 МЭА для конечномерных стохастических дифференциальных систем позволяет с любой степенью точности (е смысле слабой сходимости вероятностных мер) находить одно- и многомерные распределения режимов эллипсоидальной структуры в гильбертовых (банаховых с базисом) стохастических системах.

Теорема 4.6 Пусть задана нестационарная гильбертова (банахова с базисом) СДСР^, удовлетворяющая условиям теорем 4.1-4.4 и условиям:

1) А{г,г) = а{г,ь), в(г,г) = ь0(г), с{г,г,у) = <*(«).

2) Операторная функция а(У,£) допускает следующую эллипсоидальную линеаризацию:

а{г,г) « а0,г 4- а^г?.

Здесь = Ег-т^ а0.* = а%{тиКис1^) иа1г = а\(тиКис1^) - операторные коэффициенты ЭЛ, зависящие от неизвестных векторных операторов математического ожидания ггц — Aí'ЭJlZt, ковариационного оператора К^ КьА = Мэл£°(А, 2°) и известных коэффициентов С1,г» определяющих эллипсоидальную структуру распределения. Оператор математического ожидания Мэл вычисляется на основе одномерного характеристического функционала, отвечающего одномерному распределению эллипсоидальной (ядерной) структуры. Тогда в основе МЭЛ лежат уравнения

= (А,а1,«РлР?л) +

¿(А, «о,«) - ^(А,?еА)

„эл.

91 I

Л(А;0)=ЫА); (4.И)

^ = (Ап,аМпГ>А„^) + [<(Л,а0А.) - |(А„,<г,„ А„)] (4Л2)

Рп(А1, . ■ • , А„;^ , ... , ¿п_1,<„_1) =

= Эп-1(А1, ■■■ , А„_1 + А„; ... , £п-1); (4-13)

Здесь — оператор сильной производной по Ап п = 1,2,...;

9\п — а0Хп + / со(и)(Х П»

<г0А„ = Ьо^п)М*п)Ъ{ЬпУ\п, (4.14)

1/0(<„) и — операторы интенсивностей винеровского и пуассо-

новских процессов.

Следствие 4.1 В основе МЭЛ для стационарных гильбертовых (банаховых с базисом) СДСР(В\ удовлетворяющих условиям теоремы 4.6, лежат спектрально-корреляционные уравнения

а0 = 0; сцКХ + К\а\ + стА = 0;

1 - „ Л •

^ л2 — а1,гА2,

в(о|)А2 = Ф(го;;ао)а1)81/(ш)Ф*(гс<;;о:о,а1). (4-15)

Здесь х, ¿г) = к[т), (¿1 —¿2 = т) — ковариационный оператор; в(ш) — спектральный оператор; Ф(в; 00,0:1) — эквивалентный передаточный оператор эллипсоидальной структуры.

Рассмотрены особенности методов расчета эллипсоидальных распределений режимов в бесконечномерных СтС. Получены уравнения МЭЛ для струнного акселерометра летательного аппарата в условиях стохастической вибрации.

В заключительном подразделе рассматриваются вопросы ЭА распределений в общей теории СтС. Следуя Пугачеву [28], предполагается, что поведение СтС описывается переходной вероятностью цу = ц(Еу\х) принадлежности выходного сигнала множеству Еу с У при данном входном сигнале х € X. Функция цу, которая называется условной вероятностной мерой (УВМ) СтС, при каждом х € X представляет собой нормированную меру, определенную на некоторой ст-алгебре В множеств пространства У, и при каждом множестве Еу 6 В является

функцией переменной х, измеримой относительно некоторой сг-алгебры Л множеств пространства X.

Принимая во внимание свойство согласованности полиномов З'г.е (и) дается следующее определение эллипсоидальной стохастической системы (ЭСтС). Стохастическая система называется эллипсоидальной, если совместное распределение входного сигнала X и выходного сигнала У эллипсоидально при эллипсоидальном входном сигнале.

Доказана следующая теорема.

Теорема 4.7. Для эллипсоидальной линеаризации СтС достаточно линеаризовать регрессию выхода У на вход X и осреднить по всем возможным реализациям в классе эллипсоидальных распределений входного сигнала X условный ковариационный оператор входного сигнала У при данном входном сигнале X = х.

Для ЭСтС доказаны теоремы, устанавливающие связь между УВМ для типовых соединений ЭСтС, рассматриваемых в системном анализе и теории управления.

Раздел 5 посвящен методам синтеза эллипсоидальных условно и субоптимальных фильтров для оперативной обработки информации в СтС. Показано, что использование МЭА и МЭЛ для ЭА одно- и многомерных распределений позволяет существенно упростить известные алгоритмы синтеза фильтров в особенности для многомерных СтС.

Разработаны методы синтеза дискретных эллипсоидальных условно оптимальных фильтров, экстраполяторов и интерполяторов на базе МЭА и МЭЛ. Предложены методы синтеза непрерывных эллипсоидальных субоптимальных фильтров, основанные на уравнениях Закаи-Уонхэма и МЭА. Получены уравнения субоптимальных эллипсоидальных фильтров на базе МЭЛ. Особое внимание уделено фильтрам, основанным на канонических разложениях Лоэва-Карунена-Пугачсва.

Развит общий подход к синтезу так называемых модифицированных эллипсоидальных непрерывных и дискретных условно оптимальных фильтров па базе уравнений Закаи-Уонхэма и МЭА. Предложены 4 новых класса алгоритмов синтеза структурных функций эллипсоидальных фильтров.

Заключительный подраздел раздела 5 посвящен практическим вопросам синтеза нелинейных эллипсоидальных фильтров. Кратко описано программное обеспечение "СтС-ФИЛЬТР" и его "МАТЬАВ" функции.

Приведен пример синтеза эллипсоидального условно оптимального фильтра для радиолокационной системы на основе ППП "СтС-ФИЛЬТР".

В рамках договорных работ ИПИ РАН в 1995-2005 годах под руководством и непосредственном участии автора как ответственного исполнителя и заместителя главного конструктора выполнен цикл работ по созданию образцов подсистем функционирования и контроля крупномасштабных информационных систем. К числу основных результатов следует отнести следующие общесистемные результаты:

1) условно оптимальную концепцию контроля (принципы, структура систем контроля, синтез характеристик систем контроля, организация контроля);

2) методы анализа систем, в том числе на основе МЭА и МЭЛ;

3) методы условно оптимального синтеза систем (оценка качества решений, распознавание и выделение сигналов, оценка параметров);

4) условно оптимальные методы построения моделей объектов контроля;

5) условно оптимальные методы назначения гарантированных допусков (принципы, алгоритмы определения допусков, точность при контроле по допускам);

6) условно оптимальные методы измерения (модели типовых сигналов, синтез зондирующих сигналов, измерение параметров системы и показателей качества, точность измерений показателей качества);

7) условно оптимальные методы прогнозирования (модели измерения параметров и их прогнозирование, прогнозирование показателей качества);

8) условно оптимальные методы принятия решений (схемы принятия решений, контрольные допуски, вероятности ошибок контроля);

9) условно оптимальный синтез характеристик контроля (эффективность, достоверность и точность контроля, значимость параметров, объем контроля).

В их основе лежат материалы разделов 1-3 и подраздела 5.1. Следует отметить, что при нормальных условиях функционирования определение распределений проводилось по методу нормальной аппроксимации (статистической линеаризации), а для экстремальных условий -по МЭА (МЭЛ).

В приложение 1 вынесены вопросы вычисления типовых интегралов в уравнениях МЭА и МЭЛ.

Приложение 2 посвящено синтезу дискретных условно оптимальных интерполяторов.

Алгоритмическое обеспечение эллипсоидальных условно оптимальных фильтров приведено в приложении 3.

Заключение

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1) Теория эллипсоидальной аппроксимации плотностей случайных векторов плотностями эллипсоидальной структуры. Свойства эллипсоидальных плотностей и определяющих их полиномов.

2) Теория распределений нелинейных функций эллипсоидального случайного аргумента.

3) Метод эллипсоидальной аппроксимации (МЭА) одно- и многомерных распределений в непрерывных, дискретных и непрерывно-дискретных нелинейных стохастических систем. Методы вычисления интегралов для типовых нелинейностей.

4) Метод эллипсоидальной линеаризации (МЭЛ) в том числе и на основе канонических разложений Лоэва-Карунена-Пугачева для одно-и многомерных распределений в непрерывных, дискретных и непрерывно-дискретных нелинейных стохастических систем.

5) МЭА и МЭЛ для нахождения одно- и многомерных распределений в бесконечномерных гильбертовых и банаховых (с базисом) нелинейных стохастических систем.

6) Применение МЭЛ для анализа эллипсоидальных распределений в общей теории конечно- и бесконечномерных стохастических систем. Свойства эллипсоидальных стохастических систем Пугачева и их соединений.

7) Методы синтеза дискретных нелинейных эллипсоидальных условно оптимальных фильтров, экстраполяторов и интерполяторов на базе МЭА и МЭЛ для оперативной обработки информации в нелинейных стохастических системах.

8) Методы синтеза непрерывных и дискретных эллипсоидальных условно- и субоптимальных фильтров, основанные на уравнениях Закаи-Уонхэма и МЭА (МЭЛ).

9) Алгоритмическое и программное обеспечение в составе библиотек КАЫВ, ТЫЛ^БТАТЫВ, МАТЬАВ и ППП "СтС-АНАЛИЗ", "СтС-ФИЛЬТР".

10) Специальное алгоритмическое и программное обеспечение для задач воздушной стрельбы, расчетного обоснования точности акселерометров летательных аппаратов в экстремальных условиях, а также синтеза подсистем оперативной обработки, контроля и управления в крупномасштабных информационно-управляющих системах высокой точности и доступности.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основные результаты опубликованы в свыше 50 научно-технических отчетах МАИ, ИПИ РАН, ФГУП ЦНИИ "Комета" и др. организаций, а также следующих статьях, книгах и монографиях.

• 1*. Синицын В.И. Новый приближенный метод нахождения одномерного распределения векторного процесса, определяемого стохастическим дифференциальным уравнением // Докл. АН СССР. 1989. Т.309. N 3. С.541-544.

2. Карпенко А.Н., Петрова М.В., Синицын В.И., Чередниченко A.A., Шин В.И. Принципы разработки диалоговых пакетов прикладных программ для исследования линейных и нелинейных стохастических дифференциальных систем. Пакет прикладных программ "СтС-Анализ" (версия 1.0) (Под. ред. В.С.Пугачева, И.Н.Синицына). -М.: ИПИ АН СССР. 1989.

3. Синицын И.Н., Синицын В.И., Карпенко А.Н., Ступин A.B. Опыт использования диалогового пакета прикладных программ "СтС-анализ" для исследования распространения эпидемических заболеваний // Тезисы докладов научно-практической конференции "Информатика-здравоохранению". Суздаль, 16-18 апреля, 1990. С.17-19.

4. Синицын В.И. Эллипсоидальная аппроксимация распределений //в Препринте ИПИ АН СССР "Уравнения, определяющие распределения в стохастических дифференциальных системах". -М.: ИПИ АН СССР, 1990. С.13-55.

5. Карпенко А.Н., Маишева Е.Ю., Огнева О.С., Синицын И.Н., Синицын В.И., Чередниченко A.A., Шин В.И. Принципы разработки диалоговых пакетов прикладных программ для исследованя дискретных' стохастических систем. Пакет прикладных программ "СтС-анализ" (версия 2.0) Под ред. Пугачев B.C., Синицын И.Н. -М.: Препринт. ИПИ АН СССР, 1990.

6. Пугачев B.C., Синицын И.Н. (1990). Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация. - М.: Наука, 2-е изд. (§6.7, Приложение 2).

7. Синицын И.Н., Шин В.И., Мощук Н.К., Хатунцев А.П., Огнева О.С., Синицын В.И. Новые методы анализа стохастических систем и их применение // Тезисы докладов IV Всесоюзной научно-технической конференции "Перспективные методы анализа и планирования экспериментов при исследовании случайных полей и процессов". -М.: Изд. МЭИ, 1991; С.111-112.

8. Синицын И.Н., Шин В.И., Хатунцев А.П., Маишева Е.Ю., Ко-репанов Э.Р., Синицын В.И. Программные средства для анализа и моделирования случайных процессов, проектирование фильтров и идентификаторов на ПЭВМ // Тезисы докладов IV Всесоюзной научно-технической конференции "Перспективные методы анализа и планирования экспериментов при исследовании случайных полей и процессов". -М.: Изд. МЭИ. 1991. С.82-83.

^^ 9. Синицын И.Н., Шин В.И., Хатунцев А.П., Маишева Е.Ю., Ко-

^Щюпанов Э.Р., Синицын В.И. Интеллектуализированное обучающее программное обеспечение для анализа и моделирования процессов в динамических системах со случайными возмущениями на ПЭВМ. -М.: Изд. ИПИ АН СССР, 1991. С.97-117.

10. Принципы разработки интеллектуальных пакетов прикладных программ для построения условно оптимальных фильтров. Пакет прикладных программ "СтС-фильтр" // Г.К.Алдушин, Р.Н.Бабкина,

B.Ф.Бурлака, В.Ю.Вигдерович, Б.И.Гершиков, Э.Р.Корспанов, О.А.Куленко, В.С.Пугачев, И.Н.Синицын, В.И.Синицын, А.П.Хатунцев, В.И.Шин (Под ред. В.С.Пугачева, Р1.Н.Синицына). -М.: ИПИ АН СССР. 1991.

4 11*. Синицын В.И. Нахождение многомерных распределений процесса, определяемого стохастическим дифференциальным уравнением методом эллипсоидальной аппроксимации // Докл. АН СССР. 1991. Т.320. N 2. С.280-283.

12*. Синицын В.И. Метод эллипсоидальной аппроксимации в задачах анализа и фильтрации процессов в стохастических системах // Системы и средства информатики. Вып.2. - М.: Наука. 1992. С.154-

фбо.

■ 13*. Пугачев B.C., Синицын И.Н., Корепанов Э.Р., Синицын В.И., Шин В.И., Хатунцев А.П. Математическое обеспечение для проектирования условно оптимальных фильтров и анализа процессов в дискретных стохастических системах // Автоматика и Телемеханика, N 6,1992.

C.78-85.

14*. Пугачев B.C., Синицын И.Н., Синицын В.И., Чередниченко A.A., Шин В.И. Проблемы разработки математического обеспечения для проектирования дискретных условно оптимальных фильтров // Системы и средства информатики. Вып.З. - М.: Наука, 1992. С.28-36.

15. NALIB. Библиотека программ для решения научно-технических задач на ПЭВМ типа IBM PC, PS/2 и совместимых (версия 1.0). Руководство пользователя. -М.: ИПИ РАН. МНТК "Пер-

сональные ЭВМ", 1993.

16*. Пугачев B.C., Синицын ИгН., Синидын В.И., Шин В.И. Новые методы статистического анализа стохастических систем // Системы и средства информатики. Вып.4. -М.: Наука, 1993. С.138-154.

17*. Пугачев B.C. Синицын И.Н., Корепанов Э.Р., Шин В.И., Синицын В.И. Новые информационные технологии исследования стохастических систем на ПЭВМ // Системы и средства информатики. Вып.4. -М.: Наука, 1993. С. 128-137.

18. Sinitsyn I.N., Shin V.I., Sinitsyn V.I. Recurrent spectral numerical analysis of linear stochastic functional differential equations // Intern. Conf. on Functional Differential Equations and Applications. Moscow, Russia. 1994 August 14-21. Abstracts. P.78-79.

19. "NALIB". Библиотека программ для решения научно-технических задач на ПЭВМ типа IBM PC, PS/2 и совместимых с ними. Руководство пользователя (версия 2.0). Т.1, 2, 3. ИПИ РАН, МНТК "Персональные ЭВМ", Москва, 1994.

20. Pugachev V.S., Sinitsyn I.N., Korepanov E.R., Sinitsyn V.I. Analytical Research Problems in Stochastic Differential Systems // Proceedings of International Conference (AMCA-95) (Eds. A.S.Alekseev, N.S.Bakhva-lov). - Novosibirsk: NCC Publisher. 1995. P.629-648.

21. Вербицкий Б.В., Синицын В.И., Хафизов М.У. Сборник задач по функциональному анализу. Учебное пособие. -М.: Изд. МАИ. 1997. 116с.

- 22*. Доступов Б.Г., Емельянов С.В., Казаков И.Е., Кибзун А.И., Кузнецов Н.А., Мизин И.А., Синицын И.Н., Синицын В.И. Обзор научных трудов академика В.С.Пугачева // Автоматика и Телемеханика, 1998. N 11. С.8-20.

23*. Синицын В.И. Теория эллипсоидальной аппроксимации распределений в стохастических дифференциальных системах // Системы и средства информатики. Вып.10. -М.: Наука, 2000. С.116-127.

24*. Соколов И.А., Борисов А.В., Босов А.В., Синицын В.И. Основные принципы построения автоматизированных систем диспетчеризации служб экстренного реагирования // Системы и средства информатики. Вып.10. -М.: Наука, 2000. С.54-68.

25. Синицын И.Н., Корепанов Э.Р., Синицын В.И., Белоусов В.В. Структурные методы параметризации сигналов в стохастических системах, основанные на канонических разложениях // Труды 1-й Всероссийской конференции по обработке информации в научных исследованиях ( Спектр-2000). С.150-152.

» 26*. Синицын И.Н., Киселев Э.В., Синицын В.И., Илюшин Г.Я.

Развитие интегрированных медицинских информационных технологий // Наукоемкие технологии, N 2, 2000. С.33-39.

27. Синицын И.Н., Киселев Э.В., Синицын В.И., Илюшин Г.Я. Принципы построения и основные технические решения по созданию медицинских информационно-телекоммуникационных систем интегрированного типа в России // Международная школа-семинар по компьютерной автоматизации и информации ACS'2000.

• 28. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Теория стохастических систем. -М.: Изд. Логос. 2000 (§7.6, Приложения 2 и 7).

, 29*. Синицын И.Н., Синицын В.И., Соколов И.А. О работах академика В.С.Пугачева в области математических методов информатики // Системы и средства информатики. Специальный выпуск. Математические методы информатики. -М.: Наука, Физматлит, 2001. С.5-15.

• 30*. Синицын В.И. Теория эллипсоидальной аппроксимации распределений в дискретных стохастических системах // Системы и средства информатики. Специальный выпуск. Математические методы информатики. -М.: Наука, Физматлит, 2001. С.32-36.

31. Pugachev V.S., Sinitsyn I.N. Stochastic Systems. Theory and Applications. World Scientific. Singapore. 2001. 908p. (§7.6, Appendix 2).

32. Синицын И.Н., Марков Ю.Г., Синицын В.И. и др. Информационные ресурсы для исследования движения полюса деформируемой Земли // Международная школа-семинар по автоматизации и компьютеризации в науке и технике (ACS'2002) http://www.elicsnet.ru.

' 33*. Васильев К.К., Крашенинников В.Р., Синицын И'Н., Синицын В.И. Представление и быстрая обработка многомерных изображений // Наукоемкие технологии. N 4, 2002. С.4-25.

34. Синицын И.Н., Синицын В.И., Корепанов Э.Р., Белоусов В.В. Точные методы расчета стационарных режимов с инвариантной мерой в стохастических системах управления // Труды III Международной научно-технической конференции "Кибернетика и технологии XXI века" С & Т'2002, Воронеж, Изд. НПФ "Саквоее". С.1-10.

- 35*. Борисов A.B., Босов A.B., Синицын В.И., Чавтараев Р.Б. Проблема построения систем мониторинга исполнительных органов государственной власти // Системы и средства информатики. Вып.12. -М.: Наука, 2002. С.3-28.

• 36*. Синицын И.Н., Синицын В.И., Корепанов Э.Р., Белоусов В.В. Точные аналитические методы в статистической динамике нелинейных информационно-управляющих систем // Системы и средства информатики. Спец.вып. "Математическое и алгоритмическое обеспечение информационно-телекоммуникационных систем". -М.: Изд. ИПИРАН.

2002. С.220-234.

37. Пугачев B.C. "Теория вероятностей и математическая статистика" (2-е изд. исправленное и дополненное). -М.: Физматлит. 2002 (разделы 2.5, 4.6, 5.5; пп. 3.6.6, 4.5.10).

38. Витковский В.В., Желенкова О.П., Калинина H.A., Будзко В.И., Синицын И.Н., Синицын В.И. Проблемы обеспечения доступности и катастрофоустойчивости интегрированной архивной системы для построения композиции многочастотных изображений в задачах астрофизики // Труды 6-ой международной конференции "Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии" (Великий Новгород, 21-26 октября 2002 г.) Новгородский государственный университет. 2002. Т.1. С.110-114.

39. Белоусов В.В., Корепанов Э.Р., Синицын В.И., Синицын И.Н. Развитие теории быстрых алгоритмов обработки сигналов в нелинейных стохастических системах // Сб. материалов 6-й международной конференции " Оптико-электронные приборы и устройства в системах распознавания образов, обработка изображений и символьной информации" "Распознавание-2003" Изд. Курского государственного технического университета, 2003. С.6-7.

40. Синицын И.Н., Синицын В.И., Степанов A.M., Ушмаев О.С. Проблемы реализации вычислительных методов обработки и анализа сигналов и изображений на архитектурах с ассоциативной памятью // Труды 1-ой Всероссийской конференции "Методы и средства обработки информации". -М.: Изд. МГУ им.Ломоносова. 2003. С.137-141.

41. Синицын И.Н., Синицын В.И., Корепанов Э.Р., Белоусов В.В., Ильясов Д.Ф., Ушмаев О.С. Субоптимальные обучающиеся информационные технологии и системы // Материалы межрегиональной научно-технической конференции "Интеллектуальные информационные системы" (Интеллект-2003). Тула. Изд. Тульского государственного университета. С.25-27.

42. Пугачев B.C., Синицын В.И. Функциональный анализ // Машиностроение. Энциклопедия. Раздел 1. Инженерные методы расчетов. Том.1. Математика. -М.: Машиностроение. 2003. С.540-582.

43. Синицын И.Н., Синицын В.И., Корепанов Э.Р., Белоусов В.В. О некоторых точных решениях уравнений статистической динамики систем управления // Труды II международной конференции "Идентификация систем и задачи управления", 2003, CD-ROM.

44. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Теория стохастических систем (2-е издание исправленное и дополненное). -М.: Изд. Логос. 2004 (§7.6, Приложения 2 и 7).

• 45*. Синицын И.Н., Синицын В.И., Корепанов Э.Р., Белоусов В.В. Информационная технология синтеза параметризованных фильтров Пугачева // Наукоемкие технологии. 2004. N7. С.50-72.

46. Синицын И.Н., Синицын В.И., Корепанов Э.Р., Белоусов В.В. Современное методическое и программное обеспечение анализа качества и моделирования стохастических систем управления // Труды III международной конференции "Идентификация систем и проблемы

•управления" (SICPR.O'04). 2004. CD-ROM. ISBN 5-201-14966-9. С.17-43.

47. Синицын И.Н., Синицын В.И., Корепанов Э.Р., Ильясов Д.Ф. Современное состояние и приложения теории канонических представлений случайных функций // Материалы конференции "Математика в современном мире-2004" в г. Калуге. 8, 9 октября 2004 г. С.43-52.

48. Синицын И.Н., Синицын В.И., Чумин Ю.В., Хоанг Тхо Ши. Аналитическое моделирование выбросов в нелинейных стохастических системах, допускающих эллипсоидальную аппроксимацию распределений // Тезисы докладов 10-й международной конфренции "Системный анализ, управнение и навигация". -М.: Изд. МАИ. 2005. С.149.

49. Синицын И.Н. Фильтры Калмапа и Пугачева. -М.: Изд. Логос. 2005 (раздел 4.9 и п.1.8.4).

Примечание. Символом "*" обозначены публикации в изданиях рекомендованных "Перечнем ВАК ...". ^

Принято к исполнению 16/03/2006 Исполнено 17/03/2006

Заказ № 159 Тираж: 100 экз.

ООО «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Варшавское ш., 36 (495) 975-78-56 (495) 747-64-70 www.autorelerat.ru

Оглавление автор диссертации — доктора физико-математических наук Синицин, Владимир Игоревич

ВВЕДЕНИЕ

1. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

1.1. Принцип эллипсоидальной аппроксимации распределений. Полиномы, ортогональные по отношению к гамма и хи-квадрат распределениям

1.1.1. Вводные замечания

1.1.2. Принцип эллипсоидальной аппроксимации

1.1.3. Программное обеспечение для расчетов рГ)„(и) и qr>u(u)

1.2. Свойства полиномов 5" (и) и (и)

1.2.1. Вводные замечания

1.2.2. Полиномы 5" (и) и их свойства

1.2.3. Полиномы SrjU(u) и их свойства

1.3. Разложение плотностей неотрицательных случайных величин по полиномам 5" (и) и SrfV(u)

1.3.1. Разложение по полиномам S"(u)

1.3.2. Разложение плотности случайного вектора по полиномам 5Г)1/(и)

1.3.3. Согласованность разложений вектора и его проекций по полиномам Sr,v(u)

1.4. Моменты и характеристическая функция случайного вектора при эллипсоидальной аппроксимации его плотности вероятности 50 1.4.1. Моменты квадратической формы при эллипсоидальной аппроксимации плотности

1.4.2. Моменты случайного вектора при эллипсоидальной аппроксимации плотности

1.4.3. Рекуррентные формулы для моментов различного порядка случайного вектора с эллипсоидальным распределением

1.4.4. Характеристическая функция и моменты при эллипсоидальной аппроксимации плотности

1.5. Нахождение распределения нелинейных функций эллипсоидального случайного аргумента

1.5.1. Моменты функций эллипсоидального случайного аргумента

1.5.2. Нахождение функции и плотности распределения нелинейной функции эллипсоидального случайного аргумента

1.5.3. Некоторые точные распределения функций эллипсоидального случайного аргумента

1.6. Оценка точности эллипсоидальной аппроксимации распределений

1.6.1. Предварительные замечания

1.6.2. Оценка точности по вероятностям попадания на множества

1.6.3. Нахождение эллипсоида с заданной вероятностью попадания

1.6.4. Оценка точности по начальным моментам

1.6.5. Применение к задачам воздушной стрельбы в условиях эллипсоидальных ошибок

Выводы по разделу

2. МЕТОДЫ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ОДНО- И МНОГОМЕРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

2.1. Уравнения стохастических дифференциальных систем

2.1.1. Уравнения стохастических дифференциальных систем

2.1.2. Достаточные условия существования многомерных распределений в стохастических дифференциальных системах

2.1.3. Центральная задача теории стохастических дифференциальных систем

2.2. Метод эллипсоидальной аппроксимации одномерного распределения в стохастических дифферен циальных системах

2.2.1. Вводные замечания

2.2.2. Уравнения для математического ожидания и ковариационной матрицы

2.2.3. Уравнения для коэффициентов разложения

2.2.4. Стационарные распределения

2.2.5. Асимптотическаяк. устойчивость режимов, определяемых по методу эллипсоидальной аппроксимации

2.2.6. Вырожденные случаи метода эллипсоидальной аппроксимации

2.2.7. Типовые интегралы и рекуррентные формулы метода эллипсоидальной аппроксимации

2.3. Метод эллипсоидальной аппроксимации многомерных распределений в стохастических дифференциальных системах

2.3.1. Вводные замечания

2.3.2. Уравнения для коэффициентов разложения

2.3.3. Стационарные распределения

2.3.4. Типовые интегралы и рекуррентные формулы

2.4. Эллипсоидальная аппроксимация распределений в дискретных и непрерывно-дискретных стохастических системах

2.4.1. Уравнения дискретных стохастических систем

2.4.2. Уравнения для параметров эллипсоидальной аппроксимации одномерного распределения

2.4.3. Об асимптотическойк. устойчивости режимов, определяемых по методу эллипсоидальной аппроксимации

2.4.4. Уравнения для параметров эллипсоидальной аппроксимации многомерных, распределений

2.4.5. Метод эллипсоидальной аппроксимации для дискретных автокоррелировапных шумов

2.4.6. Метод дискретной эллипсоидальной аппроксимации для непрерывно-дискретных стохастических систем

2.5. Методы определения точных распределений эллипсоидальной структуры в линейных стохастических системах

2.5.1. Метод интегральных уравнений

2.5.2. Метод дифференциальных уравнений

2.6. Эллипсоидальный анализ в стохастических системах на основе метода эллипсоидальной аппроксимации распределений

2.6.1. Расчет эллипсоидальных одномерных распределений в стохастических дифференциальных системах

2.6.2. Расчет эллипсоидальных многомерных распределений в стохастических дифференциальных системах

2.6.3. Расчет эллипсоидальных распределений в дискретных стохастических системах

2.6.4. Программное обеспечение метода эллипсоидальной аппроксимации

2.6.5. Статистическая динамика нуль-ипдикатора скорости

JIA в условиях вибраций

2.6.6. Точные эллипсоидальные распределения в нормальных стационарных нелинейных стохастических дифференциальных системах второго порядка

2.6.7. Точные эллипсоидальные распределения в 2п-мерных нормальных стационарных нелинейных стохастических дифференциальных системах

2.6.8. Точные эллипсоидальные распределения в многомерной нормальной стационарной градиентной стохастической системе

2.6.9. Эллипсоидальные распределения с инвариантной мерой в многомерных стохастических дифференциальных системах

Выводы по разделу

3. МЕТОДЫ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

3.1. Эллипсоидальная линеаризация нелинейностей

3.1.1. Эллипсоидальная линеаризация детерминированных нелинейностей

3.1.2. Эллипсоидальная линеаризация стохастических нелинейностей

3.1.3. Модификации метода эллипсоидальной линеаризации

3.1.4. Обобщения МЭЛ

3.2. Метод эллипсоидальной линеаризации для нахождения одномерных распределений

3.2.1. Уравнения метода эллипсоидальной линеаризации для одномерных плотностей

3.2.2. Стационарные распределения

3.2.3. Асимптотическаяк. устойчивость режимов, определяемых по методу эллипсоидальной линеаризации

3.2.4. Уравнения метода эллипсоидальной линеаризации для одномерных характеристических функций

3.3. Метод эллипсоидальной линеаризации для нахождения многомерных распределений

3.3.1. Уравнения метода эллипсоидальной линеаризации

3.3.2. Эллипсоидально-линеаризированные спектрально-корреляционные уравнения

3.4. Метод эллипсоидальной линеаризации для нелинейных дискретных стохастических систем

3.4.1. Одномерные распределения

3.4.2. Многомерные распределения

3.4.3. Эллипсоидально-линеаризированые спектрально-корреляционные уравнения

3.4.4. Обобщения дискретного МЭЛ

3.5. Метод эллипсоидальной линеаризации, основанный на канонических разложениях Лоэва-Карунена-Пугачева

3.5.1. Эллипсоидальная линеаризация нелинейностей посредством канонических разложений Лоэва-Карунена-Пугачева

3.5.2. Об уравнениях метода эллипсоидальной линеаризации посредством канонических разложений

3.5.3. Обобщения

3.6. Эллипсоидальный анализ распределений в стохастических системах на основе метода эллипсоидальной линеаризации 174 3.6.1. Особенности методов расчета одно- и многомерных распределений на основе метода эллипсоидальной линеаризации

3.6.2. Стохастические колебания маятникового акселерометра в условиях гармонической и случайной поступательной вибрации

3.6.3. Статистическая динамика гиромаятникового акселерометра в экстремальных динамических условиях 183 Выводы по разделу

4. МЕТОДЫ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ И ЛИНЕАРИЗАЦИИ В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

4.1. Гильбертовы стохастические дифференциальные системы

4.1.1. Определения

4.1.2. Достаточные условия существования, единственности ик. непрерывности режимов

4.1.3. Уравнения для многомерных характеристических функционалов

4.1.4. Конечномерная аппроксимация стохастических дифференциальных уравнений

4.2. Банаховы (с базисом) стохастические системы

4.2.1. Банаховы (с базисом) стохастические дифференциальные системы

4.2.2. Дискретные гильбертовы и банаховы стохастические системы

4.3. Методы эллипсоидальной аппроксимации и линеаризации в бесконечномерных стохастических системах

4.3.1. Эллипсоидальная аппроксимация в гильбертовых (банаховых) стохастических системах

4.3.2. Эллипсоидальная линеаризация в гильбертовых (банаховых) стохастических системах

4.3.3. Обобщения МЭА и МЭЛ

4.3.4. Особенности методов расчета эллипсоидальных распределений в бесконечномерных стохастических системах

4.3.5. Струнный акселерометр в условиях вибраций

4.4. Эллипсоидальная аппроксимация распределений процессов в общей теории стохастических систем

4.4.1. Определение стохастической системы по Пугачеву

4.4.2. Основные типы соединений стохастических систем и их условные вероятностные меры

4.4.3. Условные вероятностные меры для типовых соединений стохастических систем

4.4.4. Эллипсоидальные стохастические системы

4.4.5. Применение метода эллипсоидальной линеаризации для анализа распределений в общей теории стохастических систем

Выводы по разделу

5. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ УСЛОВНО И СУБОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ ДЛЯ ОПЕРАТИВНОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

5.1. Методы синтеза дискретных эллипсоидальных условно оптимальных фильтров, идентификаторов и экстраполяторов

5.1.1. Вводные замечания

5.1.2. Постановка задачи синтеза дискретных эллипсоидальных условно оптимальных фильтров и идентификаторов

5.1.3. Уравнения дискретного эллписоидального условно оптимального фильтра

5.1.4. Уравнения линеаризованного дискретного эллипсоидального условно оптимального фильтра

5.1.5. Априорная оценка точности дискретных эллипсоидальных условно оптимальных фильтров

5.1.6. Дискретные эллипсоидальные условно оптимальные экстраполяторы

5.2. Методы синтеза эллипсоидальных субоптимальных фильтров, основанные на уравнениях Закаи-Уонхэма и методе эллипсоидальной аппроксимации

5.2.1. Вводные замечания

5.2.2. Эллипсоидальные субоптимальные фильтры, основанные на методе эллипсоидальной аппроксимации

5.3. Методы синтеза эллипсоидальных субоптимальных фильтров, основанные на методе эллипсоидальной линеаризации

5.3.1. Эллипсоидальные субоптимальпые фильтры, основанные па эллипсоидальной линеаризации

5.3.2. Эллипсоидальные субоптимальные фильтры, основанные на эллипсоидальной линеаризации посредством канонических разложений Лоэва-Карупена-Пугачева

5.4. Модифицированные эллипсоидальные условно оптимальные фильтры

5.4.1. Вводные замечания

5.4.2. Эллипсоидальные условно оптимальные фильтры, основанные на уравнении Закаи-Уонхэма

5.4.3. Обобщения модифицированных эллипсоидальных условно оптимальных фильтров

5.5. Синтез нелинейных эллипсоидальных условно оптимальных фильтров

5.5.1. Программное обеспечение синтеза эллипсоидальных условно оптимальных фильтров

5.5.2. Дискретный ЭУОФ для радиолокационной системы

5.5.3. Стохастические модели флуктуаций вращательного движения Земли

5.5.4. Управление функционированием и контроль информационных систем

Выводы по разделу

Введение 2005 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Синицин, Владимир Игоревич

Актуальность работы. Современная прикладная теория стохастических систем (СтС) обладает обширным арсеналом эффективных статистических методов анализа и оперативной (быстрой) обработки информации. Применение методов прикладной теории СтС резко тормозится практически полным отсутствием доступного для инженера и исследователя эффективного алгоритмического и программного обеспечения, в особенности для ПЭВМ, а также ограниченными возможностями современных ПЭВМ особенно для систем высокой размерности, работающих в экстремальных динамических условиях. .А ведь именно высокая размерность характерна для большинства математических моделей систем авиационно-космической техники. При этом требуются нелинейные методы исследования, в первую очередь, одно- и многомерных распределений процессов в конечно- и бесконечномерных СтС.

Для решения задачи анализа распределений применяют следующие три принципиально различных подхода. Обширная биобиблиография работ содержится в [154].

Первый подход состоит в использовании прямого численного решения уравнений СтС методом Монте-Карло. Часто этот метод называют методом статистического моделирования (МСМ). В случае стохастических дифференциальных систем (СДС) этот метод сводится к численному интегрированию уравнений СДС со статистическим моделированием приращений винеровского и пуассоновских процессов на каждом шаге интегрирования, а также к статистическому моделированию начальных условий и последующей статистической обработке полученных реализаций. При реализации МСМ для нелинейных и параметрических задач ключевой проблемой является задача разработки стохастических аналогов формулы Тейлора и специальных вычислительных методов аппроксимации повторных стохастических интегралов. Слабо развита теория многошаговых численных схем. К недостаткам МСМ можно отнести необходимость проведения большого количества моделирования реализаций для получения приемлемой точности и сильный рост объёмов вычислительных экспериментов с увеличением размерности вектора состояния, что затруднительно выполнить оперативно в реальном масштабе времени. Широчайшее использование МСМ обусловлено небольшой вычислительной трудоёмкостью исследования СтС и простотой программной реализации МСМ. Кроме того, МСМ позволяет включать в процесс моделирования некоторые реальные элементы моделируемой системы или их действующие макеты, а также людей, участвующих в работе системы.

Пугачев B.C., Доступов Б.Г., Казаков И.Е., Сипицин И.Н., Мальчиков С.В., Евланов Л.Г., Демух В.И., Шайкин М.Е., Шин В.И., Мощук Н.К., Кузнецов П.И., Стратонович Р.Л., Тихонов В.И., Малахов А.Н., Лип-пер Р.Ш., Первозванский А.А., Богуславский И.А., Пупков К.А., Бутон Р.К., Альберендт Н., Кемпе Ф., Фокс Р.Ф.

Радикальным подходом к сокращению числа уравнений для параметров распределения является подход, основанный на параметризации структуры распределения. Так, как обнаружено автором [175, 177, 179], радикального сокращения числа уравнений для параметров распределения удается добиться для эллипсоидальной структуры распределения.

Прикладные статистические методы оперативной обработки информации в сложных динамических системах как в условиях нормальной эксплуатации, так и в экстремальных условиях, доказали свою практическую эффективность. Развитие прикладной теории стохастических систем идет как в направлении всё большего усложнения моделей и методов адекватного описания, так и путём создания современных вычислительных стохастических информационных технологий. Важнейшей причиной, затрудняющей использование оптимальных методов оперативной обработки информации в СтС, является, во-первых, отсутствие необходимой априорной информации и, во-вторых, требование к быстроте реализации вычислительных стохастических технологий. В настоящее время сформировались такие подходы, как минимаксный, адаптивный, самообучающиеся и др., получившие общее название гибридных. В основе оперативных версий этих подходов лежат методы условно оптимального оценивания В.С.Пугачева, развитые Дашевским M.JL, Шином В.И., Силуяновой И.Д., Синициным И.Н., Казаковым И.Е., Шайкиным М.Е., Мощуком Н.К., Корепановым Э.Р., Белоусовым В.В., Ушмаевым О.С., Раол Дж., Синха Н., Ли У., Чо Ю., О М.

Цели и задачи работы. Целью работы является разработка прикладных статистических методов нелинейного анализа и оперативной обработки информации в конечно- и бесконечномерных стохастических системах на основе методов эллипсоидальной аппроксимации и линеаризации.

Для достижения сформулированной цели ставятся следующие задачи.

1) Построить прикладную теорию эллипсоидальной аппроксимации и линеаризации одно- и многомерных распределений в непрерывных, дискретных и непрерывпо-дискретпых нелинейных стохастических системах.

4) Оцепить эффективность разработанных методов статистического анализа и оперативной обработки информации в задачах статистической теории воздушной стрельбы, динамической точности акселерометров ЛА в экстремальных динамических условиях, а также синтеза подсистем оперативной обработки, контроля и управления в крупномасштабных информационно-управляющих системах высокой точности и доступности.

2) Метод эллипсоидальной аппроскимации (МЭА) одно- и многомерных распределений в непрерывных, дискретных и непрерывно-дискретпых нелинейных СтС. Методы вычисления интегралов для типовых нелинейностей. Примеры точных решений для многомерных СтС.

4) МЭА и МЭЛ для нахождения одно- и многомерных распределений в бесконечномерных гильбертовых и банаховых (с базисом) нелинейных СтС. Свойства эллипсоидальных СтС Пугачева.

5) Методы синтеза дискретных эллипсоидальных условно оптимальных и субоптимальных фильтров, экстраполяторов и интерполяторов на базе МЭА и МЭЛ (в том числе уравнения Закаи-Уонхэма и

МЭА) для оператвной обработки информации в нелинейных СтС.

Практическая ценность работы состоит в том, что она является основой для создания современных стохастических информационных технологий нелинейного анализа и синтеза сложных динамических информационных систем авиакосмической техники, в том числе функционирующих в условиях экстремальных динамических воздействий, а также крупномаштабных информационно-управляющих систем высокой точности и доступности. На основе результатов разработано:

1) универсальное алгоритмическое и программное обеспечение МЭА, МЭЛ и синтеза фильтров Пугачева ( библиотеки NALIB, TRANSSTATLIB, ППП "СтС-АНАЛИЗ", "СтС-ФИЛЬТР" и их MATLAB функции;

Апробация работы и публикации. Результаты работы докладывались на 32 международных и всероссийских конференциях по системному анализу, управлению, прикладной информатике, а также научных семинарах под руководством академиков РАН В.С.Пугачева, Воронова А.А., Самарского А.А., Наумова Б.Н., Куржанского А.В., Кузнецова Н.А., Журавлева Ю.И., Мизина И.А. Коровина С.К., Бурцева B.C., член-корреспондентов РАН Реутова А.П., Соколова И.А., Петрова В.В., Рудакова К.В., Четверушкина Б.Н., профессоров Казакова И.Е., Буравлева А.И., Солодова А.В., Кибзуна А.И., Лотоцкого В.А., Рыкова А.С.

Заключение диссертация на тему "Методы эллипсоидальной аппроксимации распределений в задачах нелинейного анализа и оперативной обработки информации в стохастических системах"

ВЫВОДЫ ПО РАЗДЕЛУ 5

1. Разработаны методы синтеза дискретных эллипсоидальных условно оптимальных фильтров, экстраполяторов и интерполяторов па базе МЭА и МЭЛ.

2. Развиты методы синтеза модифицированных эллипсоидальных субоптимальных фильтров, основанные на уравнениях Закаи-Уонхэма и МЭА.

3. Получены уравнения субоптимальных эллипсоидальных фильтров на базе МЭЛ. Особое внимание уделено фильтрам, основанным на КР.

4. Развит общий подход к синтезу модифицированных условно оптимальных фильтров на базе уравнений Закаи-Уонхэма и МЭА. Предложены 4 класса алгоритмов синтеза структурных функций эллипсоидальных условно оптимальных фильтров.

5. Решены задачи синтеза эллипсоидальных условно оптимальных фильтров для оперативной обработки информации и контроля в рамках договорных работ ИПИ РАН с МЧС России, Банком России, ФГУП "Комета" и др.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На защиту выносятся следующие результаты:

2) Теория распределений нелинейных функций эллипсоидального случайного аргумента.

9) Алгоритмическое и программное обеспечение в составе библиотек NALIB, TRANSSTATLIB, МАТЬ А В и ППП "СтС-АНАЛИЗ", "СтС-ФИЛЬТР".

Библиография Синицин, Владимир Игоревич, диссертация по теме Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

1. Адамиан Дж. Стохастические системы. М.:Мир. 1987.

2. Альберендт Н., Кемпе Ф. (N.Ahlbehrendt, V.Kempe). Analyse Stochastischer Systeme. Berlin: Akademie-Verlag. 1984.

3. Андронов А.А., Витт А.А., Понтрягин Jl.С. О статистическом рассмотрении динамических систем // ЖЭТФ. Т.З. Вып.З. 1933. С.165-180.

4. Артемьев С.С. Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд. ВЦ СО РАН. 1993.

5. Артемьев С.С., Михайличенко И.Г., Синицын И.Н. Статистическое моделирование сложных финансовых операций. Новосибирск: Изд. ВЦ СО РАН. Кн.1 и 2. 1996.

6. Базазянц С.И., Меднов А.Н., Букшин А.Ф., Иоффе З.А., Лыр-щиков П.К. Боевая живучесть летательных аппаратов. -М.: Воениздат. 1983.

7. Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

8. Баркин А.И. Оценки качества нелинейных систем регулирования. М.: Наука. 1982.

9. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентальные функции. М.: Наука. 1966.

10. Библиотека программ "NALIB" для решения научно-технических задач на ПЭВМ типа IBM PC, PS/2 и совместимых с ними (версия 1.0). Руководство пользователя. ИПИ РАН. МНТК "Персональные ЭВМ", 1993.

11. Библиотека программ "NALIB" для решения научпо-техничес-ких задач на ПЭВМ типа IBM PC, PS/2 и совместимых с ними (версия 2.0). Руководство пользователя. Т.1, 2, 3. ИПИ РАН, МНТК "Персональные ЭВМ", Москва, 1994.

12. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука. 1977.

13. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. -М.: Наука. 1974.

14. Богуславский И.А. Статистический анализ многомерной динамической системы при использовании полиномов Эрмита многих переменных// Автоматика и телемеханика, N 7. 1969. С.36-51.

15. Борисов А.В., Босов А.В., Сипицыи В.И., Чавтараев Р.Б. Проблемы построения систем мониторинга исполнительных органов государственной власти // Системы и средства информатики. Вып.12. -М.: Наука, 2002. С.3-28.

16. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.: Наука.

17. Буслеико Н.П., Калашников В.В., Коваленко И.Н. Лекции по теории сложных систем. М.: Сов. радио. 1973.

18. Бутон Р.К. (R.C.Booton). Nonlinear control systems with random inputs // Trans. IRE, V.CT-1. 1954. P.9-18.

19. Васильев К.К., Крашенинников. Синицын И.Н., Синицын В.И. Представление и быстрая обработка многомерных изображений // Наукоемкие технологи. N 4. 2002. С.4-25.

20. Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. М.: Наука. 1986.

21. Вербицкий Б.В., Синицын В.П., Хафизов М.У. Сборник задач по функциональному анализу. Учебное пособие. -М.: Изд. МАИ. 1997.

22. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. -М.: Энергия. 4.1-3. 1965, 1966, 1970.

23. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. -М.: Наука. 1979.

24. Воронов А.А. Введение в динамику сложных управляющих систем. М.: Наука. 1985.

25. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -М.: Наука. 1967.

26. Гейдаров Т.Г. Разложение n-мерных законов распределения в ряд Эджворта // Изв. АН Азерб. ССР. Сер. физ.-техн. и мат. наук. N 4. 1966. С.237-246.

27. Гиббс Дж.В. Термодинамика. Статистическая механика. М.: Наука. 1982.

28. Гихман Н.Н., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова думка. 1968.

29. Гихман Н.Н., Скороход А.В. Теория случайных процессов. -М.: Наука. Т.1-3. 1971, 1973, 1975.

30. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука. 1971.

31. Далецкий Ю., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука. 1970.

32. Дашевский M.J1. Приближенный анализ точности нестационарных нелинейных систем методом семиинвариантов // Автоматика и телемеханика. N И. 1967. С.62-81.

33. Дашевский M.J1. Уравнения семиинвариантов нелинейной динамической системы // Автоматика и телемеханика. N 10. 1968. С.63-71.

34. Дашевский M.JI. A semiinvariant method of closing the equations for moments in statistical analysis of nonlinear systems // Пробл. упр. и теории информ. V.4. N 4. 1975. Р.317-326.

35. Дашевский M.J1. Техническая реализация моментно-семи-ипвариантного метода анализа случайных процессов // Автоматика и телемеханика. N 10. 1976. С.23-26.

36. Дашевский M.J1. Синтез условно оптимальных фильтров на основе уравнений оптимальной нелинейной фильтрации // Автоматикаи телемеханика. N 10. 1981. С.35-42.

37. Дашевский М.Л., Липцер Р.Ш. Приближенный анализ нелинейных нестационарных динамических систем // Автоматика и телемеханика. N 8. 1967. С.32-43.

38. Дашевский М.Л., Липцер Р.Ш. Приближенный анализ точности нестационарных нелинейных систем методом семиинвариантов // Автоматика и телемеханика. N 11. 1967. С.62-81.

39. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. М.: Финансы и статистика. 1981.

40. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука. 1966.

41. Джеймс X., Никольс Н., Филлипс Р. Теория следящих систем. М.: ИЛ. 1951.

42. Доступов Б.Г. (ред.). Статистические методы в проектировании нелинейных систем автоматического управления. М.: Машиностроение. 1970.

43. Доступов Б.Г., С.В.Емельянов Б.Г., Казаков И.Е., Кибзун А.И., Кузнецов Н.А., Мизин И.А., Синицып И.Н., Синицын В.И. Обзор научных трудов академика В.С.Пугачева // Автоматика и Телемеханика. N 11. 1998. С.8-20.

44. Драган Я.П. Структура и представление моделей стохастических сигналов. Киев: Наукова думка. 1980.

45. Дуб Дж. Вероятностные процессы, М.: ИЛ. 1956.

46. Дункан Д.Б. (D.B.Duncan). Response of linear time dependent systems to random inputs// Journ. Appl. Phys. V.24. 1953. P.609-611.

47. Евланов Л.Г. Контроль динамических систем (2-е изд.). М.: Наука. 1979.

48. Емельянов С.В. Новые типы обратной связи. Управление при неопределенности. М.: Наука. 1997.

49. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука. 1975

50. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. 2-е изд., дополн. М.: Наука. 1982.

51. Ермаков С.М., Некруткин В.В., Сипин А.С. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. М.: Наука. 1984.

52. Заде JI.A. (L.A.Zadeh). On a Class of Stochastic Operators// Journ. Math. Phys. V.32. 1953. P.48-53.

53. Закаи M. (Zakai M.) On the optimal filtering of diffusion processes // Ztschr. Wahrschein lichkeitstheor. verm. Geb. 1969. Bd. P.230-243.

54. Казаков И.Е. Приближенный вероятностный аиализ точности работы существенно нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. N 5. 1956. С.385-409.

55. Казаков И.Е. Статистический анализ систем с многомерными нелинейностями // Автоматика и телемеханика. N 3. 1965. С.463-469.

56. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. М.: Наука. 1975.

57. Казаков И.Е. Статистическая динамика систем с переменной структурой. М.: Наука. 1977.

58. Казаков И.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. М.: Наука. 1980.

59. Казаков И.Е., Мальчиков С.В. Анализ стохастических систем в пространстве состояний. М.: Наука. 1983.

60. Калабухова Е.П. Основы теории эффективности воздушной стрельбы и бомбометания. -М.: Машиностроение. 1991.

61. Калиткип Н.Н. Численные методы. -М.: Наука. 1978.

62. Кашкарова А.Г., Шин В.И. Модифицированные семиинвари-антные методы анализа нелинейных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. N 2. 1986. С.69-79.

63. Кашьяп P.JI. и Рао А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. М.: Наука. 1983.

64. Кибзун А.И., Кан Ю.С. (A.I.Kibzun, Yu.S.Kan). Stochastic Programming Problems with Probability and Quantile Functions. Chichester: Wiley. 1996.

65. Клойден П., Платен E. (P.Kloeden, E.Platen). The Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Berlin-Heidelberg-New York: Springer. 1992.

66. Колмогоров A.H. Об аналитических методах в теории вероятностей // Успехи мат. наук. 1938. N 5. С.5-41.

67. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. -М.: Наука. 1974.

68. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.: Наука. 1980.

69. Конашенкова Т.Д., Шин В.И. Приближенный метод определения моментов фазовых координат многомерных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. N 1. 1990. С.43-52.

70. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука. 1984.

71. Корепанов Э.Р. Разработка и реализация информационной технологии синтеза фильтров Пугачева. Автореф.дис.канд.техн. наук. М.: ИПИ РАН. 1998.

72. Королюк B.C., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. -М.: Наука. 1985.

73. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир. 1975.

74. Крамер Г., Литбеттер М. Стационарные случайные процессы. Свойства выборочных функций и их приложения. М.: Мир. 1969.

75. Красовский А.А. (ред.). Справочник по теории автоматического управления. М.: Наука. 1987.

76. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. -М.: Высшая школа. 1973.

77. Кузнецов Д.Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов. СПб. Наука. 1999.

78. Кузнецов Д.Ф. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Изд-во С.-Петербургского Университета. 2001.

79. Кузьминский Р.Д. Управляемое ракетное оружие авиации: Учебное пособие. 4.1. УР класса "воздух-воздух". М. 1975.

80. Кузьминский Р.Д. Системы наведения ракет класса "воздух-поверхность": Учебное пособие. М. 1981.

81. Кушнер Г.Дж. (Kushner H.J.) On the Differential Equations Satisfied by the Conditional Diesities of Markov Processes with Applications. J. SIAM Control. Ser.A. 1964. 2. P.106-119.

82. Кушнер Г.Дж. (Kushner H.J.) On the Dynamical Equations of Conditional Probability Density Functions with Applicatoins to Optimal Stochatic Control Theory. J.Math. Anal. Appl. 1964. 8. P.332-344.

83. Кушнер Г.Дж. (Kushner H.J.) Dynamical Equations for Optimal Nonlinear Filtering. J. Differential Equations. 1967. 3. P.179-1990.

84. Леннинг Д.Х. и Беттин Р.Г. Случайные процессы в задачах автоматического управления. М.: ИЛ. 1958.

85. Лидбеттер М., Г.Линдгрен, Н.Ротсен Экстремумы случайных последовательностей и процессов. М.: Мир. 1986.

86. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука. 1974.

87. Лоэв М. Теория вероятностей. -М.: ИЛ. 1962.

88. Маишева Е.Ю., Мошук Н.К., Синицып И.Н. Анализа нелинейных стохастических систем. Стационарные и периодические решения. Методы исследования и математическое обеспечение // Inzenyrska mechanics 1992. BRNO. CSFR. P.l-14.

89. Малышев B.B., Кибзун А.И. Анализ и синтез высокоточного управления летателььными аппаратами. -М.: Машиностроение. 1987.

90. Мальчиков С.В. Приближенный метод определения законов распределения фазовых координат нелинейных автоматических систем // Автоматика и телемеханика. N 5. 1970. С.43-51.

91. Мальчиков С.В. Приближенный метод статистического анализа динамических систем, содержащих нелинейности мультипликативного типа // Автоматика и телемеханика. N 10. 1973. С.3-38.

92. Мальчиков С.В. Определение закона распределения выходных переменных многомерной нелинейной системы / / Автоматика и телемеханика. N 1. 1973. С.16-21.

93. Марков Ю.Г., Синицын И.Н. Распределение флуктуаций движения полюса Земли // ДАН. Т.390. N3. 2003. С.343-346.

94. Марков Ю.Г., Синицын И.Н. Многомерные распределения флуктуаций движения полюса Земли // ДАН. Т.391. N2. 2003. С.194-198.

95. Марков Ю.Г., Дасаев Д.Д., Перепелкин В.В., Синицын И.Н., Синицын В.И. Стохастические модели вращения Земли с учетом влияния Луны и планет // Космические исследования. 2004. N4. С.10-21.

96. Медич Дж. Статистически оптимальные линейные оценки и управление. -М.: Энергия. 1973.

97. Мельц И.О., Пухова Т.А., Усков Г.В. Многомерная статистическая линеаризация функций, содержащих множители степенного, показательного и тригонометрического типов // Автоматика и телемеханика. N 12. 1967. С.65-75.

98. Мельц И.О., Пухова Т.А., Усков Г.В. Применение корреляционной системы уравнений для анализа точности в задачах динамики полета// Нелинейные и оптимальные системы. М.: Наука. 1971. С.246-263.

99. Мерклингер К.Д. Численный анализ нелинейных систем с помощью уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова // Труды II Международного конгресса ИФАК по автоматическому управлению. М.:1. Изд-во АН СССР. 1963.

100. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. М.: Сов. радио. Т.1. 1961. Т.2. 1962.

101. Милынтейн Г.Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Свердловск: Изд. Свердл. ун-та. 1988.

102. Михайлов Ф.А. Теория и методы исследования нестационарных линейных систем. М.: Наука. 1986.

103. Мопин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. -М.: Наука. 4.1. 1965.

104. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. -М.: Наука. 4.2. 1967.

105. Мортон Дж., Коррисин С. (Morton J., Corrisin S.) Experimental Confirmation of the Applicability of the Fokker-Planck Equation to Nonlinear Oscillator //J. Math. Phys. 1969. 10. 361.

106. Мощук H.K. Приближенный метод определения конечномерных распределений вектора состояния в стохастических дифференциальных системах // Автоматика и телемеханика. N 1. 1994. С.72-87.

107. Мощук Н.К., Синицын И.Н. О стохастических неголономных системах// ПММ. Т.54. Вып.2. 1990. С.213-223.

108. Мощук Н.К., Синицын И.Н. On stationary distributions in nonlinear stochastic differential systems // Quart. J. Mech. and Appl. Math. N 4. 1991. P.571-579.

109. Мощук H.K., Синицын И.Н. Распределения с инвариантной мерой в механических стохастических системах // Докл. АН России. Т.322. N 4. 1992. С.662-667.

110. Мубаракшип Р.В. Точность приборов управления установками летательных аппаратов: Учебное пособие. М.: 1977.

111. Назаров Б.И. Гироскопические устройства. -М.: Изд. МО СССР. 1970.

112. Наумов Б.Н. Теория нелинейных автоматических систем. Частотные методы. М.: Наука. 1972.

113. Никитин Н.Н., Разевиг В.Д. О вычислении коэффициентов сноса марковского процесса по стохастическому уравнению динамической системы// Автоматика и телемеханика. N 4. 1976. С.46-54.

114. Никитин Н.Н., Разевиг В.Д. Методы цифрового моделирования стохастических дифференциальных уравнений и оценка их погрешностей// Журн. вычислит, матем. и мат. физики. Т.18. N 1. 1978. С.106-117.

115. Никифоров А.Ф., Суслов С.К., Уваров В.Б. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной. М.: Наука. 1985.

116. Острём К.Ю. Введение в статистическую теорию управления. М.: Мир. 1973.

117. Ольшевский В.В. Статистические методы в гидролокации (модели, алгоритмы, решения). JL: Судостроение. 1983.

118. Панков А.Р. Оптимизация алгоритмов оценивания параметров стохастических систем в условиях неопределенности // Автоматика и телемеханика. N 7. 1985.

119. Панков А.Р. Методы идентификации регрессионных моделей в условиях неопределенности //В кн. "Задачи стохастического управления". -М.: Изд. МАИ. 1986.

120. Первозванский А.А. Случайные процессы в нелинейных автоматических системах. М.: Физматгиз. 1962.

121. Перов В.П. Статистический синтез импульсных систем. М.: Сов. радио. 1956.

122. Прато Дж., Сабзук Ж (G. Prato, J. Zabczyk). Stochastic Equations in Infinite Dimensions. Cambridge University Press. 1992.

123. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. Основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы. М.: Наука. 1967.

124. Пугачев B.C. Случайные функции, определяемые обыкновенными дифференциальными уравнениями // Тр. ВВА им. Н.Е.Жуковского. Т.118. 1944. С.3-36.

125. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1-3-е изд. 1957, 1960, 1962.

126. Пугачев B.C. Применение теории марковских процессов к анализу точности автоматических систем // Изв. АН СССР ОТН. Энергетика и автоматика. N 3. 1961. С.46-57.

127. Пугачев B.C. Основы автоматического управления. М.: Наука, 1-3-е изд. 1962, 1966, 1974.

128. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука. 2002.

129. Пугачев B.C. Конечномерные распределения процессов, определяемых стохастическими дифференциальными уравнениями, и экстраполяция таких процессов // Докл. АН СССР. Т. 251. N 1. 1980. С.540-543.

130. Пугачев B.C. Стохастические дифференциальные уравнения в гильбертовых пространствах // Докл. АН России. Т.336. N 6. 1994. С.741-744.

131. Пугачев B.C. Стохастические дифференциальные уравнения в гильбертовых пространствах // Дифференциальные уравнения. N 3. 1995. С.456-464.

132. Пугачев B.C. Стохастические дифференциальные уравнения в банаховых пространствах с базисом // Докл. АН России. Т.342. N 5. 1995. С.592-595.

133. Пугачев B.C. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд. МАИ. 1996.

134. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Физматлит. 2-е изд. 2002.

135. Пугачев B.C., Кибзун А.И., Панков А.Р. Проблема оценивания в неопределнно-стохастических системах // Сборник избранных работ по грантам в области информатики, радиоэлектроники и систем управления. С.-Петербург. 1994. С.5-11.

136. Пугачев B.C., Силуянова И.Д. A method of normalization as an approximate method for stochastic system research // IFAC Vllth Triennial World Congress. Helsinki: Helsinki Univ. teehn. 1978. V.3. P.2147-2152.

137. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация. М.: Наука, 2-е изд. 1990 Англ. пер.: Stochastic Differential Systems. Analysis and Filtering. - Chichester, New York: John Wiley, 1987.

138. Пугачев B.C., Сипицып И.Н. Направления развития математического обеспечения для исследования стохастических систем //В кн.: Информатика: проблемы, перспективы. М.: Наука. 1986. С.30-38.

139. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Приближенные методы статистического анализа распределенных стохастических систем // Системы и средства информатики. М.: Наука. Вып.2. 1992. С.146-154.

140. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические системы. Теория и программное обеспечение // Юбилейный сборник трудов институтов Отделения информатики, вычислительной техники и автоматизации РАН. М.: Т. 1. 1993. С.75-93.

141. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Прикладные методы анализа стохастических систем // Вестник МАИ. N 1. 1994. С.39-47.

142. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные уравнения в гильбертовых пространствах для некоторых случай-пых функций векторного аргумента// Докл. АН России. Т.346. N 3. 1996. С. 1-4.

143. Пугачев B.C., Сипицып И.Н. Стохастические дифференциальные уравнения со случайной изменяющейся структурой в банаховых пространствах // Вестн. МГУ. Сер.1, Математика. Механика. N 6. 1996. С.86-89.

144. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Теория стохастических систем. -М.: Изд. АО "Советник". 1997.

145. Пугачев B.C., Синицын И.Н. (Pugachev V.S., Sinitsyn I.N.) Stochastic Systems. Theory and Applications. World Scientific. 2001.

146. Пугачев B.C., Синицын В.И. Функциональный анализ // Машиностроение. Энциклопедия. Раздел 1. Инженерные методы расчетов. Том.1. Математика. -М.: Машиностроение. 2003. С.540-582.

147. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Теория стохастических систем (2-е издание исправленное и дополненное). -М.: Изд. Логос. 2004.

148. Пугачев B.C., Синицын И.Н., Зацман И.М., Чередниченко А.А., Шип В.И. Перспективы применения ПЭВМ для исследования стохастических систем / / Тез .докл. Всесоюзной конференции "Иифор-матика-87", Ереван. 1987. С.110-111.

149. Пугачев B.C. Синицын И.Н., Корепанов Э.Р., Шин В.И., Синицын В,И. Новые информационные технологии исследования стохаотических систем на ПЭВМ // Системы и средства информатики. Вып.4. -М.: Наука, 1993. С.138-154.

150. Пугачев B.C., Синицын И.Н., Корепанов Э.Р., Синицын В.И. Analysis Research Problems in Stochastic Differential Systems // Proceedings of International Conference (AMCA-95). Novosibirsk, NCC Publisher. 1995. P.629-648.

151. Пугачев B.C., Синицын И.Н., Синицын В.И., Чередниченко А.А., Шин В.И. Проблемы разработки математического обеспечения для проектирования дискретных условно оптимальных фильтров // Системы и средства информатики. Вып.2. М.: Наука, 1992. С.28-36.

152. Пугачев B.C., Синицын И.Н., Синицын В.И., Шин В.И. Новые методы анализа стохастических систем // Системы и средства информатики. Вып.4. -М.: Наука, 1993. С.

153. Пугачев B.C., Синицын И.Н., Чередниченко А.А., Шин В.И., Синицын В.И. Математическое обеспечение для анализа многомерных нелинейных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. N 1. 1991. С.87-97.

154. Пупков К.А. Статистический расчет нелинейных систем автоматического управления. М.: Машиностроение. 1965.

155. Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко А.С. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. М.: Наука. 1976.

156. Разевиг В.Д. Цифровое моделирование многомерных динамических систем при случайных возмущениях // Автоматика и телемеханика. N 4. 1980. С.177-180.

157. Ривкин С.С. Теория гироскопических устройств. 4.2. -Л.: Судпромгиз. 1964.

158. Ригли У., Холлистер У., Денхард У. Теория проектирования и испытания гироскопов. -М.: Мир. 1972.

159. Розовский Б.Л. Эволюционные стохастические системы. М.: Наука. 1983.

160. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Изд. МГУ. 1986.

161. Саульев В.К. Численное решение уравнений случайных процессов. -М.: Изд. МАИ. 1989.

162. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. Л.: Судпромгиз. 1961.

163. Сейдж Э. Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управления. М.: Связь. 1976.

164. Семенов В.В. Уравнения обобщенной характеристической функции вектора состояния автоматической системы // Аналитические методы синтеза регуляторов. Саратов: Сарат. политехи, ин-т. Вып.2. 1977. С.3-36.

165. Силуянова И.Д. Приближенное исследование одноканальной системы обслуживания методом нормализации // Автоматика и телемеханика. N 11. 1975. С.23-27.

166. Силуянова И.Д. The finite-dimensional distributions of the outputs of one class of non-linear systems // Пробл. упр. и теории информ. V.ll. N 6. 1982. Р.407-418.

167. Синицын В.И. Новый приближенный метод нахождения одномерного распределения векторного процесса, определяемого стохастическим дифференциальным уравнением // Докл. АН СССР. Т.309. N 3. 1989. С.541-544.

168. Синицын В.И. Эллипсоидальная аппроксимация распределений //в Препринте ИПИ АН СССР "Уравнения, определяющие распределения в стохастических дифференциальных системах". Эллипсоидальная аппроксимация распределений. -М.: ИПИ АН СССР. 1990. С.13-55.

169. Синицын В.И. Нахождение многомерных распределений процесса, определяемого стохастическим дифференциальным уравнением методом эллипсоидальной аппроксимации // Докл. АН СССР. Т.320. N 2. 1991. С.280-283.

170. Синицын В.И. Метод эллипсоидальной аппроксимации в задачах анализа и фильтрации процессов в стохастических системах // Системы и средства информатики. М.: Наука. Вып.2. 1992. С. 154160.

171. Синицын В.И. Метод эллипсоидальной аппроксимации распределений в задачах анализа процессов в стохастических системах. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М.: МАИ. 1994.

172. Синицын В.И. Теория эллипсоидальной аппроксимации распределений в стохастических дифференциальных системах / / Системы и средства информатики. Вып.10. -М.: Наука, 2000. С.116-127.

173. Синицын В.И. Теория эллипсоидальной аппроксимации распределений в дискретных стохастических системах // Системы и средства информатики. Специальный выпуск. Математические методы информатики. -М.: Наука, Физматлит, 2001. С.32-36.

174. Синицын И.Н. Автоколебания струнного генератора при аддитивной помехе // Автоматика и телемеханика. N 12. 1967. С.173-176.

175. Синицын И.Н. О статистической линеаризации стохастических нелинейностей // Реф. докл. 5 Всесоюзн. совещания по проблемам управления. М.: Наука. 4.1. 1971. С.50-52.

176. Синицын И.Н. Методы статистической линеаризации (Обзор) // Автоматика и телемеханика. N 5. 1974. С.74-94.

177. Синицын И.Н. Stochastic hereditary control systems // Пробл. упр. и теории ииформ. V.15. N 4. 1986. Р.287-298.

178. Синицын И.Н. Некорректные задачи условно оптимальной фильтрации // Труды международной конференции "Некорректно поставленные задачи в естественных науках" (19-25 августа, Москва) Изд. ТВП Москвы. 1992. С.211-220.

179. Синицын И.Н. Lectures on PC-based Nonlinear Stochastic Mechanical Systems Research. Praha: Ustav Thermomechaniky CAV. 1992.

180. Синицын И.Н. Конечномерные распределения с инвариантной мерой в стохастических механических системах / / Докл. АН СССР. Т.238. N 3. 1993. С.308-310.

181. Синицын И.Н. Parallel Methods in Nonlinear Statistical Dynamics // Proceedings EUROMECH 2nd European Nonlinear Oscillations Conference. Prague: V.l. 1996. P.407-410.

182. Синицын И.Н. Parallel Simulation Technologies for Stochastic Systems // Lecture Notes in Computer Science, 1277. 4th Intern. Conf.

183. РАСТ-97. -Berlin: Springer. 1997. Р.383-388.

184. Синицын И.Н. Конечномерные распределения с инвариантной мерой в нелинейных стохастических дифференциальных системах // Сб. научных тр. "Алгоритмы управления и идентификации". М.: Диалог МГУ. 1997. С.129-140.

185. Синицын И.Н. Фильтры Калмана и Пугачева. -М.: Изд. Логос. 2005.

186. Синицын И.Н., Киселев Э.Р., Синицын В.И., Илюшин Г.Я. Развитие интегрированных медицинских информационных технологий // Наукоемкие технологии, N 2, 2000. С.33-39.

187. Сииицын И.Н., Корепанов Э.Р., Шин В.И. Methods, algorithms and software tools for CAE of stochastic control systems// EUROSIM'98 Congress. Helsinki. 1998. P.344-348.

188. Синицын И.Н., Синицын В.И., Корепапов Э.Р., Белоусов В.В. О некоторых точных решениях уравнений статистической динамики систем управления // Труды II международной конференции " Идентификация систем и задачи управления". 2003. CD-ROM. С.11-23

189. Синицын И.Н., Синицын В.И., Соколов И.А. О работах академика В.С.Пугачева в области математических методов информатики // Системы и средства информатики. Специальный выпуск. Математические методы информатики. -М.: Наука, Физматлит, 2001. С.5-15.

190. Синицын И.Н., Синицын В.И., Корепанов Э.Р., Белоусов В.В. Информационная технология синтеза параметризованных фильтров Пугачева // Наукоемкие технологии. 2004. N7. С.50-72.

191. Синицын И.Н., Синицын В.И., Корепанов Э.Р., Ильясов Д.Ф. Современное состояние и приложения теории канонических представлений случайных функций // Материалы конференции "Математика в современном мире-2004" в г. Калуге. 8, 9 октября 2004 г. С.43-52.

192. Синицын И.Н., Марков Ю.Г., Синицын В.И. и др. Информационные ресурсы для исследования движения полюса деформируемой Земли // Международная школа-семинар по автоматизации и компьютеризации в науке и технике (ACS'2002) http://www.elicsnet.ru.

193. Синицын И.Н., Шин В.И. Условно оптимальная интерполяция случайных последовательностей, определяемых разностными уравнениями // Доклады Академии паук. 1994. Т.ЗЗб. N 4. С.453-456.

194. Скороход А.В. Случайные процессы с независимыми приращениями. М.: Наука. 1964.

195. Скороход А.В. Стохастические уравнения для сложных систем. М.: Наука. 1983.

196. Сойз С. (Soize С.) The Fokker-Plank Equation for Stochastic Dynamical Systems and its Explicit Steady Solutions. World Scientific. Singapore. 1994.

197. Соколов И.А., Борисов А.В., Босов А.В., Синицын В.И. Основные принципы построения автоматизированных систем диспетчеризации служб экстренного реагирования // Системы и средства информатики. Вып.10. -М.: Наука, 2000. С.54-68.

198. Стратонович P.JI. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М.: Изд. МГУ. 1966.

199. Суэтин П.К. Классические ортогональьные многочлены. 2-е изд. -М.: Наука. 1979.

200. Тихонов В.И. Выбросы случайных процессов. М.: Наука. 1970.

201. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио. 1977.

202. Уонхэм М. (Wonham М.) Some application of Stochastic differential equations to optimal nonlinear filtering // J.Soc. Industr. Appl. Math. Control. 1965. Vol. 2. P.347-369.

203. Феллер В. К теории стохастических процессов (теоремы существования и единственности) // Успехи мат. наук. 1938. N 5. С.57-96.

204. Фридман A. (A.Friedman). Stochastic Differential Equations and Applications. New York: Academic Press. 1975.

205. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциаль ных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука. 1969.

206. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. М.: Физматгиз. 1963

207. Чернецкий В.И. Анализ точности нелинейных систем управления. -М.: Машиностроение. 1968.

208. Шайкин М.Е. Эффективный алгебраический формализм в задаче вычисления моментов распределения квадратичных форм // Автоматика и телемеханика. N3. 2002. С.76-84.

209. Шайкин М.Е. Бескоординатный подход к методу моментов в теории многомерных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. N5. 2002. С.81-91.

210. Шатин С.М. Программная реализация теории условно-оптимальной фильтрации и условио-оптимального управления в задачах анализа и синтеза линейных стохастических управляемых систем // Техническая кибернетика. N4. 1994. С.64-70.

211. Ширяев А.Н. Вероятность. -М.: Наука. 1980.

212. Шусс 3. (Shuss Z.) Theory and Applications of Stochastic Differential Equations. John Wiley & Sons. 1980.

213. Яхеди, Ахмади Г. (Jzhedi, Ahmadi G.) Application of Wiener-Hermite Expansions to Nonstationary Random Vibration of a Duffing Oscillator // Transactions of ASME. Vol.50. June 1983. P.436-442.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00