автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Теоретико-конструктивные основы моделирования нечетких множеств в инженерной геометрии и их применение

На правах рукописи

ЛУКИНА ОЛЬГА ВИКТОРОВНА

ТЕОРЕТИКО-КОНСТРУКТИВНЫЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ В ИНЖЕНЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

Специальность 05.01.01 - Инженерная геометрия и компьютерная трафика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Омск 2006

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Омском государственном институте сервиса»

Научный руководитель: доктор технических наук, доцент

Юрков Виктор Юрьевич

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат.наук, профессор

Гуц Александр Константинович

кандидат техн. наук, доцент Панчук Константин Леонидович

Ведущая организация: Тюменский государственный нефтегазовый университет

Защита диссертации состоится 17 ноября 2006 года в 16 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212,250.03 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия» по адресу: 644080, г. Омск, пр. Мира, 5, зал заседаний

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия» по адресу: 644080, г. Омск, пр. Мира, 5.

Автореферат разослан 17 октября 2006 г.

Ученый секретарь регионального диссертационного совета

Юрков В. Ю.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Моделирование сложных систем часто связано с * необходимостью учета нечетко заданных параметров или неточной технологической информации, возникающей вследствие разного рода причин, поэтому точный количественный анализ, вносящий определенность туда, где ее в действительности не существует, для реальных слабоформализованных систем не имеет практического значения.

Существуют различные методы обращения с неточно известными величинами. При задании для элементов множества соответствующей, степени принадлежности к этому множеству применяют теорию нечетких множеств, которая впервые была предложена американским математиком Лотфи Заде в 1965 г. В настоящее время теория активно развивается, формируются новые научные понятия, ее прикладные направления. Отмечается тенденция к объединению в общую теорию анализа неопределенностей, где операции с нечеткими множествами являются одними из основных.

Наиболее значимыми из работ в области развития теории нечетких множеств считаются публикации Л. Заде, Д. Дюбуа, Е. Мамдани, А. Прада, М. Су-гено, Б. Коско, А. Кофмана, Дж. Клира, Ч. Kappa, О. Кордона, Т. Фукуда, Ф. Херреры, Р. Ягера, Р. Янга. Следует отметить большой вклад в развитие науки отечественных ученых: А. Н. Аверкина, А. Н. Борисова, И. 3. Батыршнна, В. В. Круглова, А. В. Леоненкова, А. О. Недосекина, А. И. Орлова, С- А. Орловского, В. В. Подиновского, Д. А. Поспелова, А. П. Рыжова, Н. Г. Ярушкиной.

Теория нечетких множеств - перспективное направление в науке. Однако недостаточно изучена ее графическая (синтетическая, конструктивная) реализация, адекватная четким конструктивным построениям и аналитическим выражениям, описывающая нечеткие объекты: фигуры, условия, преобразования; слабоформализованные отношения между объектами.

В настоящее время не существует общепризнанной теории геометрической интерпретации нечетких множеств: изображений нечетких точек, прямых, пространств, функций, а также способов решения метрических и позиционных задач, конструктивных методов решения прикладных алгоритмов и тд. Поэтому актуальным является исследование конструктивных свойств тех геометрических образов, которые могут быть сопоставлены с нечеткими множествами, поскольку нечеткая геометрическая модель, основанная на нечетких образах, позволяет получить приближенные к реальности изображения объектов, исследовать геометрические параметры объекта, а операции с геометрическими объектами являются более наглядными и представляют самостоятельный метод для решения прикладных задач.

Объект исследования — геометрические средства, методы и образы, которые могут использоваться в задачах геометрического моделирования систем й объектов с нечетко определенными параметрами.

Цель диссертационной работы — исследование геометрических образов, наиболее полно удовлетворяющих требованиям учета нечеткой информации,

разработка алгоритмического и методического обеспечения, определяющего условия их применения в задачах инженерной геометрии.

В соответствии с целью были поставлены следующие научные и практические задачи:

- обосновать необходимость развития теории изображения нечетких геометрических множеств (НГМ);

- разработать методы изображения НГМ на плоскости и показать существование их аналитических моделей;

- доказать применимость нечетких геометрических образов дня решения задач геометрического моделирования систем с нечетко определенными параметрами;

- разработать алгоритмы, программные решения и методическое обеспечение для решения ряда прикладных задач этого класса.

. Методы исследования: начертательной, аналитической и вычислительной геометрии; теории интервального анализа и интервальных вычислений; теории нечетких множеств и нечеткой логики; классических способов геометрических построений и компьютерной визуализации.

Научная новизна работы: * - предложена конструктивно-геометрическая интерпретация интервальных и нечетких множеств геометрических объектов в евклидовом пространстве;

- дана конструктивно-геометрическая интерпретация понятий «нечеткий объект», «нечеткое преобразование», «нечеткое условие»;

- предложены алгоритмы решения метрических и позиционных задач евклидовой геометрии в условиях нечеткой информации и нечетких исходных данных;

- разработаны алгоритмы построения статических аналитических моделей многопараметрических систем при нечеткой исходной информации.

Практическая значимость работы заключается в разработке алгоритмического, методического и программного обеспечения, реализующего аналитические и конструктивные методы моделирования нечетких геометрических множеств, в частности:

- разработан геометрический модуль оценки качества нечетко определенных объектов при помощи нечеткой рейтинговой системы, создано программное обеспечение геометрического модуля;

- предложены методы развития и оценки визуального мышления, адаптированные к современным интеллектуальным автоматизированным системам обучения; разработан алгоритм реализации;

- разработана методика анализа геометрических параметров поверхностей катания вагонных колесных пар, алгоритм построения их геометрических моделей и методика принятия решения об их качестве.

Основные положения, выносимые на защиту:

- методы моделирования нечетких геометрических объектов, условий, преобразований евклидовой плоскости; •

- алгоритмы построения моделей систем при нечеткой исходной информации;

- нечеткий классификаггор как метод оценки качества при помощи нечеткой рейтинговой системы с применением метода разнесенных плоскостей и осей проекций;

- методика геометрического моделирования поверхностей катания вагонных колесных пар;

- методика развития и оценки визуального мышления в интеллектуальных автоматизированных системах обучения, ■

Внедрение результатов работы. Результаты работы используются:

- в учебном процессе ОГИС для рейтинговой системы оценки качества успешности обучения по дисциплинам «Информационные технологии в социально-культурном сервисе и туризме. Оргтехника» и «Оборудование гостиничных комплексов ц техника безопасности их эксплуатации» на кафедре «Социально-культурный сервис и туризм»;

- в учебном процессе СибАДИ и в научной работе на кафедре «Начертательная геометрия, инженерная и машинная графика» для создания автоматизированной обучающей системы развитня и оценки визуального мышления;

- в ОмГУПС результаты диссертации приняты для использования в научных и учебных целях на кафедре «Вагоны и вагонное хозяйство» при диагностировании геометрических параметров колесных пар подвижного состава;

- в НИИ ТКД (научно-исследовательский институт технического контроля И диагностики) «ТРАНСПОРТ» АО РЖД для научной работы по созданию автоматизированной системы контроля нарушений геометрических параметров колесных пар в процессе эксплуатации. .... -

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы представлялись на международных конференциях: «Актуальные проблемы подготовки специалистов для сферы сервиса» (Омск, ОГИС> 2003), «Проблемы совершенствования качественной подготовки специалистов высшей квалификации», (Омск, ОГИС, 2004 г.), «Современные тенденции и перспективы развития образования в высшей школе» (Омск, ОГИС, 2005), III международного технологического конгресса «Военная техника, вооружение и технологии двойного применения» (Омск, ОмГУ, 2005); на Международной научно-практической конференции «Туризм: подготовка кадров, проблемы и перспективы развития» (Москва, 2006); Украино-российской научно-практической конференции «Современные проблемы геометрического моделирования» (Харьков, 2005), а также на ежегодных межвузовских научно-практических конференциях студентов и аспирантов «Молодежь, наука, творчество» (2002-2006).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12; печатных работах [I - 12J. * • • •

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения, изложенных на 218 страницах машинописного текста, и включает в себя 106 рисунков, 8 приложений. Библиографический список содержит 152 наименования.

Автор выражает искреннюю благодарность проректору по YP ОГИС, заведующему кафедрой социально-культурного сервиса и туризма, к.п.н., профессору Гулиеву Новрузу Амирхановичу за систематические консультации и оказанную помощь в подготовке диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, отмечена научная новизна и практическая значимость результатов работы, кратко описывается структура диссертации.

Первая глава посвящена исследованиям геометрических моделей нечетких образов. Проведен анализ способов геометрических интерпретаций нечетких множеств, й выявлено, что в настоящее время нет общепризнанной геометрии нечетких множеств: изображений нечетких точек, прямых, пространств, функций, а также способов решения метрических и позиционных задач, геометрических прикладных алгоритмов в вычислительной геометрии.

Выполнены следующие исследования:

1) Проведен сравнительный анализ изображения основных объектов пространства классической и интервальной геометрии, описаны отличия нечетких геометрических объектов от классических и интервальных. Показано, что нечеткая геометрия есть обобщение интервальной геометрии, которая, в свою очередь, является обобщением классической геометрии.

2) Исследованы конструктивные и аналитические задания нечетких линейных образов. Показано, что следует различать нечеткое лингвистическое описание (НЛО) и нечеткое лингвистическое задание (НЛЗ) нечетких геометрических образов. НЛО можно рассматривать как соответствие между множеством геометрических терминов и областью рассуждений. Это соответствие связывает с каждым термином и каждым элементом области рассуждений степень принадлежности, которая характеризует применимость термина к рассуждению. Нечеткое лингвистическое задание (НЛЗ) геометрического объекта есть снабженное смыслом множество нечетких геометрических условий, выделяющее из множества объектов нечеткое подмножество. Например, НПО «нечеткая точка» могут соответствовать различные НЛЗ (рисунок 1).

На рисунке 1 изображены нечеткие точки двумерного континуума (для п=2): А (л,—«около л1в»; -«около хи »)-первого типа (прямоугольная); в («около

- второго типа (круговая); С (С, 1с1>Х2с}У )о

ис'(*,л) |)-третьего типа (с областью толерантности). Значение функции принадлежности, равное единице, существует только в одной точке подмножества, называемой ядром нечеткой точки. Для упрощения вычислений и изображений использованы треугольные функции принадлежности (рисунок 2).

Нечеткая прямая представляет собой либо множество точек, либо множество линий, каждой из которых приписано значение функции принадлежности. Предлагается различать НЛЗ трех типов нечетких прямых.

Нечеткая прямая первого типа — нечеткое множество четких прямых, определи оюе двумя нечеткими точками Я и В, В = 0, как геометрическими местами одноточечных множеств, через которые могут пройти точные прямые (рисунок 3).

ХЬ лин-а^х + Ь^, Где ^„-(л.ц.а^Х.иСв^),, - {¿и, А^ДиД,

У1= я»*!*"1" Ьш*\'>У2= ■

\Ь ггер=аоерх+ЬпгрУ где а^ - (а^а^Х^а^^ Ь„р = (Ь^,Ьт/>4}0У (Ьтрср\,

Уз= ; У¿„и *

Ядром нечеткой прямой называется четкая прямая, проходящая через ядра нечетких точек, определяющих эту прямую.

Также в работе рассмотрен случай, когда нечеткая прямая 1 задается нечеткой точкой А и нечетким направлением <р, под которым понимается нечеткий угол с осью ОХ. Изображены частные случаи, когда одно из заданий — четкое (либо направление, либо точка, либо одна из координат нечеткой точки).

Нечеткая прямая второго типа

- множество нечетких точек, через которые можно провести хотя бы одну четкую прямую (рисунок 4),

Нечеткая прямая третьего типа ЪЬ-

непрерывное множество четких точек, расстояние от каждой из которой до некоторой четкой прямой не превышает понятия «около» (рисунок 5).

и и

Н

Аналитическое описание всех типов прямых, несмотря на их различные НЛЗ, можно задать некоторым набором четко заданных прямых с применением а- уровней) метода описания нечетких множеств: границами их области толерантности с о уровнем, равным нулю, и ядром - четкой прямой с (^уровнем, равным единице.

^.......

Рис, 4 - Нечеткая прямая второго типа 21 Рис, 5 - Нечеткая прямая третьего типа 31

В качестве иллюстрации определения положения нечетких прямых в евклидовом пространстве предлагается графоаналитическое решение системы нечетких уравнений, где изучается область пересечения прямых а, ь и с .

3) Дана интерпретация нечетких геометрических условий. Нечеткие условия можно разделить на условия полной и неполной инццдентности, аффинные условия, условия метрические, дифференциальные. Нечеткие условия можно определить при помощи соответствующей функции, которая принимает значение, равное единице, в случае выполнения данного условия; значение, равное нулю, при его невыполнении и с некоторой степенью принадлежности ц при частичном выполнении. Приведем несколько примеров, рассмотренных в работе.

Так, ЛеД,, если (Л) * 0. АвВя, если V ЛеЛ, ¡лЪж (Л)* О, То есть А еВг>

если о УЛе Л. С = АгхВ, => ¡Л^х) = «ш^ОеЛ/^СхН» №еХ()где

/«Ли. а П 5 П с о, /лАшВ^(а,до=ш¡п}

Рассмотрены случаи параллельности для всех типов нечетких прямых, а также нечеткая параллельность для четких прямых. Например, четкие прямые а и Ь «почти параллельны», если угол допустимого наклона прямых друг относительно друга а„ не превышает значения «около» с носителем нечеткого множества яирра,,—{[а^,, ];яв//>0 }, зависящего от точности конкретной задачи. «Почти параллельность» имеет формализацию «небольшой угол наклона» в виде нечеткого множества а„, где функция принадлежности:

I, при х=0;

х ~ адт1.Н

адет.

. при Обо«.„. ^ * < 0;

, при 0<х<,

Две указанные прямые Д* + В,у + С, = 0; Агх+В2у+Сг = 0 будут почти параллельны, если коэффициенты при х и у будут почти пропорциональны, т.е. существуют числа р} и рг> рх<* такие, что Аг = р,Ах, Вг~ ргВ^ С2 * * р2С}. Можно

сказать, что если р,~р2~р, то Лг « рхАх, В1» ргВ,, С1*рС,. Если прямьге заданы уравнениями: у, «*;,*+а,; у2 -кгх + аг, то они примерно параллельны при

Параллельные нечеткие прямые первого типа 1Ь — это такие прямые, ка-;, ждая четкая прямая одной из которых параллельна соответственной четкой прямой другой нечеткой прямой (рисунок б). Данные прямые должны быть образованы подобными нечеткими точками.

Рис. 6 —'Параллельные нечеткие прямые первого типа \L

Сформулировано условие «почти перпендикулярности» прямых. Если даны две прямые у = к{х+ах и у = к1х+а1, то они будут примерно перпендикулярны, если к, к2 е «около - 1» с функцией принадлежности Ой ¡л £ 1. Рассмотрена задача о построении взаимно «примерно» перпендикулярных прямых конструктивно (рисунок 7), Va, аХЬЗ beb => а ± b, ^iglS=JUbcS- V3>, если

Условия нечеткого касания рассмотрены на примере касания прямой с окружно-

Рис. 7 - Построение почти Рис. 8 - Касание нечеткой прямой €

перпендикулярных линий нечеткой окружности (О, г )

4) Исследованы нечеткие преобразования плоскости, такие,' как1 поворот, перенос, симметрия (осевая и центральная), гомотетия и подобие; Показано, что их нечеткость также необходимо рассматривать с точки зрения их НЛЗ.

На примерах решены задачи на преобразования. Так, для нечеткого переноса выясняется, в какой степени два множества точек (А(}-+{А',}> 1=1.к можно считать соответственными в переносе и в какой степени их можно считать соответственными в заданном переносе (рисунок 9). Вычисляя ui = - х1, уу = у' ~ у,, получим множество точек (и,,V,). Построив по координатам и^, итп, ут1а прямоугольник, найдем интервальную точку (й ). Вычислив центр тяжести (иг,уг ) множества точек («,, V,) и придав ему значение функции принадлежности //=1, получим не*

четкую точку (и ,7 ) с координатами Я-Ь- типа. Итак, множества 4 и 4 являются примерно соответственными в переносе с коэффициентами нечеткости: = ы. = Если (и* ,у*) _ заранее задан-

ный нечеткий перенос, то степень соответствия построенного переноса и заданного определяется заштрихованными областями функции принадлежности.

Для более сложных преобразований, таких, как нечеткая осевая симметрия

Рис. 9 - Нечеткий перенос Рис. 10 - Нечеткая ось, нечеткое расстояние,

нечеткий перпендикуляр для осевой симметрии

Нечеткий поворот плоскости рассматривается для следующих вариантов: поворот относительно нечеткой точки на четкий угол; поворот относительно четкого центра на нечеткий угол; поворот относительно нечеткого центра на нечеткий угол. На рисунке II изображен поворот относительно нечеткого центра б на угол 30° и 90°. Образом точки А при повороте на 30° является нечеткая точка А', а при повороте на 90° - нечеткая точка А'.

Нечеткой гомотетией с центром О и коэффициентом к называется преобразование плоскости, которое каждую точку А отображает в такую точку А', что

о а ' я 'к ол для каждой точки Ое. б и каждого к е к , Рассматриваются три случая гомотетии: гомотетия с четким центром О и нечетким к; гомотетия с нечетким центром б и четким к; гомотетия с нечетким центром б и нечетким к (рисунок 12).

5) Выделены общие принципы построения и формализации нечетких геометрических образов, которые демонстрируют универсальность алгоритмов для решения отдельных задач. В решении конструктивных задач нечеткой геометрии отмечается следующая особенность: нечеткая геометрия есть обобщение интервальной геометрии, которая, в свою очередь, является обобщением классической геометрии. Любая конструктивная геометрическая задача интервальной геометрии сводится к решению конечного числа задач классической геометрии. Любая конструктивная задача нечеткой геометрии сводится к трем основным процедурам:

- построение адекватных графиков функций принадлежности для всех геометрических образов данной задачи;

- решение конечного числа задач классической геометрии, приводящих к решению задачи интервальной геометрии, то есть к определению области толерантности;

- реализация заранее определенных процедур определения значения функции принадлежности для решения задачи нечеткой геометрии.

Задача формализации применительно к геометрии нечетких образов может быть поставлена в виде четырех определенных подзадач:' ! 4 "'

- формализация лингвистических переменных, характеризующих нечеткие отношения, условия и образы;

- описание геометрического образа в виде совокупности исходных данных (чисел, отношений, более простых образов и т.д.); " •

- определение класса математических средств, пригодных для обработки описанного геометрического образа;

- описание нечеткого результата как совокупности четких результатов с функцией принадлежности.

Рис. 11 - Нечеткий поворот Рис. 12 - Гомотетия с нечетким центром О и нечетким к

Во второй главе рассматриваются некоторые общие задачи с нечеткими геометрическими образами, для которых использованы принципы построения и формализации, разработанные в первой главе.

1. Задана установления нечеткой математической модели, которая не противоречит экспериментальным данным. Проведено шх« экспериментов по следующей схеме: для каждого хь 1-1,..„т, получены значения { у0 (рисунок 13, группа

1). Очевидно, что модель может быть линейной: у=ах+Ь. Предположим, что для оценки параметров а и Ь были использованы следующие способы: метод наименьших квадратов, выбор средних точек, выбор крайних точек и пр. Для решения задачи установления математической модели должны рассматриваться все возможные варианты прохождения прямых по экспериментальным точкам, поэтому применяется аппроксимация нечеткой прямой первого типа, состоящей из множества четких прямых. Такой подход особенно важен для соблюдения принципа внешнего дополнения (рисунок 13, группа 2). Если модель сформирована как нечеткая: + где =/(а), 0<и<1, УЬ е [Ь^Ь^ц, = 0 <;//<; 1,

то принцип свободы выбора сохраняется, что позволяет впоследствии уточнить модель - уменьшить параметры ее нечеткости.

2, Интерполяция нечетких лингвистических данных. В моделях с некоторой неопределенностью и зависимостями между переменными, описанными с помощью таблицы, которую словесно можно представить в виде набора высказываний типа «если А, то В», где А и В - символы нечетких множеств, представляющих собой значения переменных х и у, бывает необходимо вывести определенную аналитическую зависимость между ними, и возникает проблема: как для любого нечеткого подмножества хе X определить нечеткое подмножество у е У.

В общем виде задача одномерной нечеткой интерполяции заключается в поиске нечеткой функции вида у = аЙх' +aя.1л"", +... + Зг1У+50. Пусть

У = (У»,У,У.)-, а, =(4а,,а,.),/-/,и

Ун - ая.»х"+ + -+а\,*х+^о.» - нижняя граница,

у = а„хп + ап^х'~к + ... + ^х+а0 - ядро,

У, ~ ая..х"+ а«-1,«л:""1 + + а, +- верхняя граница.

Запись функции по а-уровням:

Поэтому фактически задача нечеткой интерполяции (с применением треугольных функций принадлежности) заключается в нахождении функций границ и ядра. В работе приведены примеры нечеткой интерполяции («¿2), при которой число заданных нечетких точек не превышает трех. На интервале [х|,х3] решение

(гига» 2 груш»

Рис. 13 - Нечеткая модель с внешним дополнением

ищется в виде: ув(х)= у(х)+ссЛх)> У(х)-а№> где аМ)> ' любые

функции с областью определения j-«°,°o[t областью значений [0, »[. ,

Рис. 14 - Задача интерполяции с одномерными нечеткими точками вида: а) (х; «не слишком больше у»); б) (х, «не слишком больше у») и (х, «не слишком меньше у»); в) («не слишком больше (меньше) х, у»); г) («не слишком больше х»,у) и («не слишком меньше х»,у); д) («не слишком больше (меньше) х», у) и (х, «не слишком больше (меньше) у»)|

Предложена классификация задач нечеткой интерполяции, сформированная по признаку зависимости от типов и смыслового назначения нечетких точек (геометрическое место возможного прохождения кривой или же нечеткая точка формализует понятие некоторого ограничения: заданы такие значения нечеткого параметра >, которые не следует превышать на области определения х), а также от вида предполагаемой функции для интерполяции: ступенчатая, линейная, квадратичная. Некоторые примеры даны на рисунке 14.

3. Задача нечеткой классификации (рисунок 15).

Для визуализации многомерной нечеткой классификации предлагается наглядная графическая модель многомерного пространства, основанная на методе разнесенных плоскостей проек-

Х2

К4

\\ КлаЬс2 Клфсс 5 А# Кл^ссб

^ Класс 9 ' Клфсс10

Knicc1 .Класс 4

/ о КгфССЗ в 1 Класс 7 t

О

XI

у I 1 КлфсеЭ

"'А 1 KnaLc 10

КласА 1 ч-Кпасё 2 , ч Клас4,4 1 ( в k " i Q

/ Классё в Класс? 7 д Класо8 А Кл^ссЗ Кл^сс 6

0

Класс 1 Класс 2 Класс 3 Класс 4 Класс S Класс 6

А

Класс 7 Класс 8 Класс 10

хэ

Класс 9

Рис. 15 - Пример примсиа п и метода разнесенных пгоскостсй и осей проекций для пятимершй нечеткой клэссифигаш ш

ций, где каждая плоскость является двумерным континуумом по двум параметрам, а функции принадлежности каждого параметра спроецированы на плоскость, параллельную плоскости параметров в виде нечетких точек первого типа.

4. Применение нечетких точек разных типов для решения задач. Рассмотрено несколько задач, в которых указывается, что следует учитывать особенности форм нечетких точек для решения задач.

В третьей главе рассмотрены конкретные примеры применения нечетких геометрических образов в решении прикладных задач с использованием теоретических и конструктивных основ моделирования нечетких множеств, разработанных в первой и второй главах.

1. Рейтинговая оценка качества знаний студентов с применением нечеткой классификации методом разнесенных плоскостей проекций (рисунок 16). Рейтинговая система с применением ТИМ позволяет оценивать качество знаний студента с учетом нечеткости качественных характеристик, что приводит к более адекватным реальному соответствию объекта результатам. Для перевода шкал результатов измерения необходимо представить классические оценки в виде нечетких множеств с нечеткими границами на универсуме X. В качестве носителей множеств используются заданные экспертами интервалы. Затем фаззифицируются результаты измерений, получив оценки по разным параметрам с некоторыми значениями функции принадлежности к нечетким множествам привычных оценок. В результате получаются одноточечные нечеткие множества. Для дальнейшей обработки полученной информации предлагается использовать метод центра тяжести для одноточечных нечетких множеств, применяяемый для дефаззифика-ции лингвистической переменной «оценка»:

(-1

где п—число одноточечных нечетких множеств.

Таким образом образуется количественная оценка. Разработана программа с применением нечеткого геометрического моделирования Р1шуР.айп& позволяющая наглядно оценить качество объекта (рисунок 17).

Л В данном случае оценивается успешность обучения студентов с помощью многомерной рейтинговой системы. Качественные оценки представляют собой нечеткие

£*йл . Оряек* ' 6"Д Вст§вк* Фсрдот •• >.

Ю'в* ы '«"г.® (& а* :*'*»«,• * Т* --» Ч* т ; =>/»

5 т*»к<м - ю .,1ж К Ы I Ш Ш Ш

Т'ГГГ.—> .. ."„'.Л-•'—Г":-5--Т» .7~

} г- *--- и а; -*—— -I й' г

.......л......1 ........■ ;.._;.

14 v ► м \ 1/2 /э/л/1/6/7/в/ц /10/11/и

Рис. 16 - Изображение плоскости проекций нечетких оценок

точки, и показаны следующие их обозначения: л > где А.- оценка («1», «2»,

«3», «4», «5»),у=/,5; м {Х1) - значение функции принадлежности в точке <*.), 1=1,п,

где п - максимально возможное количество баллов. Создан удобный пользовательский интерфейс, и данное программное средство может применяться также для других целей при оценке качества объектов в качестве экспертной системы. *

- - * и

• 14 3.00 . ' — 1.0» »1 . -1.50 в Г Х/5 л

велико» Емм 11 13 о.оо 5 . 4.00 . 1.0* , Д I 5.00 - 1М> а к

бпан Нктк 1 11 " 2.50 .. .1.60 з.ло • 100 ® 4

Г»н«н С**1* I II 0.97 з.ио 1,8» 2

Г «М13.1 И«СГЛ 11 1) в.оо 4 г 5.00 - 1.Ц0 **

11 * . И,О» . —о.« * ) 4,17 д;"

Кима* Н*№ы* м 12 4.00 Л 4.1) в дГ 4,00

Клкулук •м к 4.00 ■ ■ . 1*» Л , ; <й,ьо 5>Д» 4,75

Лммммч плетя 1» и 4.»« Л 1 V: 4.оо .., - 4,^0 4 >

ЛИСП«* К#Л « 12 4,»о д;- : а.зо : * 1 3.75

ЛИНИЯ Ом » 11 Д^* 3.7 Я

п 15 ».оо . . ~ 1.М , е.ио 5 1л* З.М? в1«

Огш 11 и а;-04 4,6.0- ■ 5 Г Л.Т5 с М> 4

лн

а > I >' |><Н - :

Рис. 17 - Ввод данных по группе и расчет оценок

2. Формирование геометрической модели поверхности катания вагонной колесной пары. На основе понятий нечеткой геометрии разработана,методика формирования геометрической модели поверхности катания колесной пары с нарушениями в процессе эксплуатации ее геометрических параметров, которые имеют сложные формы и характер движения и могут быть представлены в виде нечетких геометрических образов.

Показан пример применения математической модели поверхности катания колеса для контроля нарушений геометрических параметров колес (рисунок 18). При диагностике нарушений геометрических параметров колесных пар следует учитывать самое неблагоприятное положение колес друг относительно друга (рисунок 19). В основе моделирования лежит задача о приближении точек плоскости кривой

2-го порядка, а именно эллипсом. Уравнение эллипса в общем виде:

1 , л,*1 +агху + а3у2 + а4х+а,у+а6 =0, —^->0. Функция отклонения точки А'(х',у1)

от эллипса может быть представлена в виде <5, = аухг, + агх;у, + а^у} + а4х, + а%у + а6. Искомый эллипс может быть найден из условия минимума суммы квадратов . Построив таким образом эллипсы для нескольких выбранных сечений поверхности катания колеса (сечения перпендикулярны оси вращения), вычислив для них центры, направ-

ления главных диаметров и длины осей, получим модель всей поверхности в виде нечеткого эллипса ...уор - примерный центр О поверхности катания в проекции на плоскость, перпендикулярную оси вращения; А-,'^к^.^к^ - примерное к' направление главного диаметра поверхности катания; — примерное направление к' сопряженного главного диаметра поверхности катания. Можно вьще-лить область минимальной площади, включающую все точки О» ¡-¡....р, и считать эту область нечетким центром колеса - нечеткой точкой О. Ядро О находим как центр тяжести всех 0}. Точно так же можно найти, ; к"т,а, к"^ и считать их угловыми нечеткими коэффициентами к' =<к'т^КР,Кж >, к"~<к^т>к'р,к^>, а сами направления - нечеткими прямыми главных диаметров. Длины главных диаметров и . Сравнив экспериментальную модель с идеальной нечеткой моделью, можно делать вывод о возможности дальнейшей эксплуатации колеса. Важным параметром контроля считается разность диаметров колес. Разницу диаметров можно представить в различных видах нечеткости (рисунок 20).

Рис. 18 - Модель поверхности катания колеса Рис 19 - Самое неблагаршпюе положение колес

Рис. 20 - Нечеткая разность диаметров: а) в виде нечеткой прямой первого типа; б) в виде нечеткой точки; в) в виде нечеткой прямой третьего типа Комплексная нечеткая оценка нарушений геометрических размеров колесных пар, произошедших в процессе их эксплуатации по нескольким параметрам, позволяет более дифференцированно определять наиболее опасные их сочетания, а иногда и заранее, до превышения контрольных пороговых значений,-избежать негативные последствия путем повышения внимания к данным колесным парам, измеренные ■ параметры которых находятся достаточно близко к порогрвьш.

3. Нечеткая геометрия в автоматизированных системах развития и диагностики уровня пространственного фактора интеллекта На рисунке 21: ГЗ -генерация задачи, ВУН - выбор уровня нечеткости, ВУС - выбор уровня сложности, ВР - выбор метода решения, ГЧГД - генерация части графических данных, В - вопрос, ГСНОО - генерация скрытого нечеткого образа, СОР - создание области реагирования, АОО - анализ ответа обучаемого, ПО - проверка ответа, ПР -продолжение решения, ВСПО - вычисление степени приближения ответа, Р - результат. Приведены примеры решения задач (рисунок 22). Нечеткие геометрические образы используются в качестве формальной модели мысленных образов и процесса визуального мышления с алгоритмическим решением.

Рис. 21 - Блок-схема алгоритма Рис. 22 - Область толерантности точ-

автомаггоированного контроля решения задачи ки пересечения прямой и плоскости

Для реализации этой идеи применяются понятия нечеткой фигуры, нечеткого условия, нечеткого преобразования, алгоритмы генерации нечетких образов для задач. В данной работе для оценки уровня развития пространственного интеллекта предлагается условная зависимость в виде нечеткого классификато-. ра, изображенного по методу разнесенных плоскостей проекций.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основные результаты работы заключаются в достижении поставленной цели: исследованы геометрические образы, наиболее полно удовлетворяющие требованиям учета нечеткой информации, что позволило применять их для разработки алгоритмического и методического обеспечения в задачах инженерной геометрии, в частности:

1. Предложены теоретико-конструктивные основы моделирования нечетких множеств: геометрическая интерпретация нечетких образов двумерного конти- 1 нуума и их аналитическое описание, представляющие теорию изображений нечетких геометрических множеств (НГМ).

2. Выделены обшие принципы построения НГМ, демонстрирующие универсальность алгоритмов для решения отдельных задач. Показано, что нечеткая -геометрия есть обобщение интервальной, которая, в свою очередь, является >' обобщением классической геометрии. ' * г <;л

• 3. Исследованы нечеткие геометрические условия (инцидентности, метрические, аффинные,'дифференциальные) и преобразования (поворот, перенос, симметрия, гомотетия, подобие).

Доказано, что разработанные методы изображений НГМ применимы к решению7i широкого круга задач при исследовании систем с нечетко-определенными параметрами и условиями, таких, как задача установления математической модели по экспериментальным данным с использованием принципа внешнего дополнения, задача интерполяции нечетких лингвистических данных, задача «нечеткой классификации» с применением метода разнесенных плоскостей и осей проекций для многомерного объекта.

5. На основе «нечеткого классификатора», изображенного на плоскости проекций нечетких оценок, разработана программа Fuzzy Rating для определения качества объекта (в данном случае качество знаний студентов). Рейтинговая система с применением теории нечетких множеств (ТНМ) учитывает нечеткость качественных характеристик, что привод ит к более адекватным реальному соответствию объекта результатам. Автоматизация процесса оценки по рейтинговой системе позволяет ускорить выставление отметки, что было апробировано в ОГИС, что подтверждено актом о внедрении.

6. На основе понятий НГМ впервые разработана методика формирования геометрических параметров колеса колесной пары вагона, которая позволяет анализировать не учитываемые ранее важнейшие параметры, влияющие на безопасность движения, такие, как неблагоприятное сочетание эллипсности и нечетких центров колес в колесной паре, нечеткое нормирование параметров, ведущее к более дифференцированной оценке разности диаметров колес. О применении данной методики свидетельствуют акты о внедрении НИИ ТКД «Транспорт» и ОмГУПС.

7. Показано, что возможности компьютерной техники и нечеткой геометрии следует использовать в целях развития и диагностики уровня пространственного интеллекта, а также контроля знаний алгоритмов решения конструктивных задач, для чего разработан алгоритм работы модуля автоматизированной интеллектуальной системы контроля и обучения. Данная разработка внедрена в СиБАДИ.

Таким образом, моделирование нечетких геометрических множеств в инженерной геометрии - перспективная область исследований, и теоретико-конструктивные основы и примеры решения задач с нечетко-определенными параметрами, разработанные и показанные в данной работе, могут повлиять на ее дальнейшее развитие.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В РАБОТАХ:

1. Гулиев, Н. А. Оценка качества знаний студентов / Н. А. Гулиев, О. В. Лукина, В. Ю. Юрков // Актуальные проблемы подготовки специалистов для сферы сервиса. Международная научно-практическая конференция: сборник статей / под ред. проф. Н.А.Гулиева. - ОГИС, 2004. - С. 217-219.

2. Гулиев, Н. А. Некоторые проблемы оценки качества подготовки специалистов в области годаально-культурного сервиса и туризма / Н. А. Гулиев, О. В. Лукина // Актуальные проблемы подготовки специалистов для сферы сервиса. Международная научно-практическая конференция: сборник статей. Часть 1 / под ред. проф. НАГулиева. - ОГИС, 2003. - С 89-91.

3. Гулиев, Н. А. Рейтинговая система с применением нечетких множеств / Н. А. Гулиев, О. В. Лукина // Современные тенденции и перспективы развития образования в высшей школе. Форум «Омская школа дизайна». 111 Международная научно-практическая конференция: сборник статей / под общей редакцией ректора ОГИС, проф. Н.У. Казачуна. - Омск: ОГИС, 2005. - С. 111-112.

4. Лукина, О. В. Применение нечетких множеств в рейтинговой оценке качества знаний студентов / О. В. Лукина // Туризм: подготовка кадров, проблемы и перспективы развития: сборник материалов Международной научно-практической конференции (Москва, 23-24 марта2006г.) - М.: Прометей, 2006. - С. 142-145.

5. Лукина, О. В. Задача о близости и принятие решения в условиях нечеткости / О. В. Лукина, В. Ю. Юрков // Актуальные проблемы подготовки специалистов для сферы сервиса. Международная научно-практичес кая конференция: сборник статей. Часть I / под рея. проф. Н, АГулиева. -ОГИС, 2003. - С. 169-170.

6. Лукина, О. В. Нечеткое геометрическое модоирование слабоформажэованных систем / О. В. Лукт и, В. Ю. Юрков // Мя1Ерналы III ме>кд>тчарод|кхо теэшогюгического конгресса «Военная техника, вооруже* ine и технологии двойного грименения». - ОмГУ,2005, - С 81—83.

7. Лукина, О. В. К вопросу применения нечеткой логики в тестировании при оценке качества специалистов / О. В. Лукина // Сборник статей II межвузовской научно-практической конференции студентов и аспирантов «Молодежь, наука, творчество — 2004» / под ред. проф. Н.У. Казачуна, - ОГИС, 2004. - С. 20-23.

8. Лукина, О. В. Принятие решении в гедагопместой диапюсгике / О. В. Лукина // Сборник сталей III межвузовской научно-пракгаческой конференции студентов и аспирантов «Молодежь, наука,творчесгво-2005»/под ред. гроф. Н.У. Каздауна - ОГИС, 2005.-С 81-83.

9. Лукина, О. В. Изображение нечетких объектов / О. В Лукина, В. Ю. Юрков // Современные тенденции и перспективы развития образования в высшей школе. Форум «Омская школа дизайна». Ш Международная научно-пракшческая конференция: сборник статей / под обшей редакцией ректора ОГИС, проф. Н.У. Казачуна.-Омск ОГИС 2005.-С. 171-173.

10. Юрков, В. Ю. Геометрия нечетких множеств / В. Ю. Юрков, О. В. Лукина // Электронный журнал «Прикладная геометрия», -2006. - Выпуск 8 (№18)-С. 9-36.

11. Юрков, В. Ю. Геомегрия нечетких образов и моделирование нечетких систем / В. Ю. Юрков, О. В. Лукина// Современные проблемы геометрического моделирования. Материалы Украино-россииской научно-практческой конференции. - Харьков,2005. - С. 100-106.

12. Юрков, В. Ю. Интервальная и нечеткая геометрия в системе развития и диагностики пространственного фактора интеллекта / В. Ю. Юрков, О. В. Лукина // Омский научный вестник. -2006. - № 2 (35) - С. 96-99.

Лицензия ЛР Ка 021278 от 06.04.98 г.

Подписано в печать 11.10.06. Формат 60x84 1/16 Бумага типограф. Оперативный способ печати. Усл. печ. л. 1,11 Уч.-изд. л. 1,05 Тираж 100 экз.

Изд. № 603 Заказ Кг 186 Цена договорная Издательско-полиграфический центр ОГИС 644099, Омск, Красногвардейская, 9

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕЧЕТКИХ

ОБРАЗОВ.

1.1 Анализ способов геометрических интерпретаций нечетких множеств.

1.2 Формализации нечетких лингвистических описаний и нечетких лингвистических заданий геометрических образов

1.3 Изображение нечетких линейных образов.

1.3.1 Сравнительный анализ изображения основных объектов пространства классической и интервальной геометрии.

1.3.2. Нечеткие точки и прямые.

1.3.3 Нечеткие плоскости.

1.3.4 Некоторые свойства линейных образов.

1.3.5 Графоаналитическое решение системы нечетких уравнений.

1.4 Интерпретация нечетких геометрических условий.

1.4.1 Условия инцидентности.

1.4.2 Интерпретация расстояний между нечеткими объектами

1.4.3 Нечеткие афинные условия.

1.4.4 Нечеткие метрические условия.

1.4.5 Условия нечеткого касания.

1.5 Нечеткие преобразования плоскости.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1.

ГЛАВА 2 ЗАДАЧИ ИНЖЕНЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ

С НЕЧЕТКИМИ ОБРАЗАМИ.

2.1 Задача установления математической модели по экспериментальным данным.

2.2 Интерполяция нечетких лингвистических данных.

2.2.1. Постановка задачи нечеткой интерполяции.

2.2.2 Геометрическая интерпретация нечетких лингвистических данных интерполяции.

2.2.3 Классификация задач интерполяции по нечетким точкам

2.3 Задача нечеткой классификации.

2.3.1 Постановка задачи нечеткой классификации.

2.3.2 Геометрическая модель классификации, основанная на методах разнесенных плоскостей и полей проекций.

2.4 Применение нечетких точек разных типов для решения задач.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2.

ГЛАВА 3 ПРИМЕНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ

ОБРАЗОВ В ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ.

3.1 .Оценка качества знаний студентов с применением нечеткой классификации методом разнесенных плоскостей проекций.

3.1.1 Анализ современных средств оценки знаний.

3.1.2 Рейтинговая система с применением нечеткого геометрического моделирования FuzzyRating.

3.2 Формирование геометрической модели поверхности катания вагонной колесной пары.

3.2.1 Математическая модель поперечного сечения.

3.2.2 Геометрическая модель поверхности катания колеса.

3.2.3 Применение модели поверхности катания колеса для контроля нарушений геометрических параметров колесных пар . 152 3.3 Нечеткая геометрия в автоматизированных системах развития и диагностики уровня пространственного фактора интеллекта.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 3.

Моделирование сложных систем часто связано с необходимостью учета нечетко заданных параметров или неточной технологической информации, возникающие вследствие разного рода причин: недостаточной изученности объектов, из-за участия в управлении системой человека, наличия качественных характеристик, лингвистической неопределенности и т.д. Поэтому точный количественный анализ, вносящий определенность туда, где ее в действительности не существует для реальных слабоформализованных систем, не имеет практического значения [6].

В настоящее время существуют различные методы обращения с неточно известными величинами. Постепенно становится ясным, какие подходы к разного рода неопределенностям, в каких ситуациях и в каких сочетаниях нужно использовать [39]. Например, если для элементов множества заданы соответствующие вероятностные характеристики, то имеет место стохастическая неопределенность и следует применять теорию вероятностей. Если известны только граничные элементы множества, то существует интервальная неопределенность, используются интервальные методы [51].

При задании для элементов множества соответствующей степени принадлежности к этому множеству применяют теорию нечетких множеств [66,109].

Операции с нечеткими множествами являются одними из основных в новой общей теории анализа неопределенностей [39], которая объединяет весь комплекс новых теорий и методов обращения с неточно известными величинами. Об этом свидетельствуют работы многих ученых, которые находят взаимосвязи между тем или иным направлением [6,17,39,46,63,104,128,132,139].

Этот процесс начался с появлением теории нечетких множеств, которая была впервые предложена американским математиком Лотфи Заде в 1965 г. и изначально предназначалась для преодоления трудностей представления неточных понятий, анализа и моделирования систем, в которых участвует человек. [45]. С тех пор теория бурно развивается, формируются новые научные понятия и ее прикладные направления, находятся взаимосвязи между различного рода неопределенностями.

В 1970-е годы были развиты понятия лингвистической переменной, Е. Мамдани сформулировал основные идеи нечетких регуляторов [143]. В 1978 г. JI. Заде предложил вариант исчисления неопределенностей, опирающийся на неаддитивную меру возможности, т.е. на интерпретацию нечеткого множества как функции распределения возможностей. В 1979 г. он же ввел теорию приближенных рассуждений [44,45,149].

Наиболее значимыми из работ в области развития теории нечетких множеств отмечают публикации JI. Заде, Д. Дюбуа, и А. Прада по теории нечеткой меры и меры возможности, Е. Мамдани, М. Сугено по нечеткому выводу и нечеткому интегралу, Дж. Беждека по нечеткой кластеризации и распознаванию образов, Р. Ягера по нечеткой логике [11,14,42,44,143,149]. Исследованием экспертных систем посвящены работы ученых А. Н. Аверкина, А. Н. Борисова, Л. А. Заде, А. Кофмана, Дж. Клира, Е. А. Мамдани, Д. А. Поспелова и других. [3,20,60,101,143]. Появился новый класс адаптивных нечетких моделей. В них параметры нечеткой модели подбираются в процессе обучения на экспериментальных данных. Исследованиям в этой области посвящены работы Ч. Карра, Б. Коско, О. Кордона, Т. Фукуда, Ф. Херреры, Р. Янга и других [140,141,142].

Научная школа по нечетким множествам в нашей стране создавалась еще во времена СССР, а в перестроечный период практически все исследования по направлению нечетких множеств были свернуты из-за недостатка средств. Однако интерес к нечетким системам не угас и на постсоветском пространстве продолжает развиваться и укрепляться научная школа общей теории нечетких множеств и многочисленных приложений. Следует отметить большой вклад в развитие науки отечественных ученых: А. Н. Аверкина, А. Н. Борисова, И. 3. Батыршина, В. В. Круглова, А. В. Леоненкова, А. О. Недосекина, А. И. Орлова, С. А. Орловского, В. В. Подиновского, Д. А. Поспелова, А. П. Рыжова, Н. Г. Ярушкиной и других [3,19,20,66,84,92,93,96,101,107,109,128].

В настоящее время отмечается тенденция развития гибридных интеллектуальных систем, в которых используются нечеткие множества и нечеткая логика. Гибридизация представляет собой интеграцию методов и технологий на глубинном, а не на внешнем уровне, когда различные блоки системы взаимодействуют между собой [62,63,87,104,128,150].

За период существования теории нечетких множеств этой теме были посвящены тысячи книг и статей, появилось новое направление в математической кибернетике - теория нечеткости, выходит международный журнал «Нечеткие множества и системы», по этой теории проводятся конференции за рубежом и в нашей стране. Существуют стандартные программные комплексы, использующие нечеткую логику в расчетах для различных прикладных задач. К таким системам относятся: MATLAB и fuzzy'TECH [66].

Появился ряд новых научных дисциплин: теория возможностей и теории свидетельств Демстера-Шефера, частными случаями которой являются аксиоматики теории возможностей и классической теории вероятностей. Эти направления не отрицают, а обобщают традиционные представления. Так, например, в работе [39] показано, что теория вероятностей является частным случаем теории возможностей. В свою очередь математической основой последней является теория нечетких множеств. В работе [6] отмечено, что даже в тех случаях, когда неопределенность в процессе принятия решений может быть представлена вероятностной моделью, удобнее оперировать с ней методами теории нечетких множеств без привлечения аппарата теории вероятностей.

Более того, согласно теореме FAT (Fuzzy Approximation Teorem), доказанной Б. Коско в 1993 г. любая математическая система может быть аппроксимирована системой, основанной на нечеткой логике [141]. Понятие нечеткости позволяет «удвоить математику» [92]: заменяя обычные множества нечеткими, можно каждому математическому термину поставить в соответствие его нечеткий аналог. Рассматривают, например, нечеткие классификации, упорядочения, логики, теоремы, алгоритмы, правила принятия решений и т.д. и т.п.

Основоположник теории нечетких множеств Лотфи Заде в 2005 году в статье «Toward a Generalized Theory of Uncertainty (GTU) An Outline» [150] дает основные понятия Обобщенной Теории Неопределенности (Generalized Theory of Uncertainty (GTU)), в которой он отмечает как взаимосвязи, так и различия разного рода неопределенностей, предлагает новый язык для их описания -Обобщенный Язык Ограничения (The Generalized Constraint Language (GCL)).

Обобщенный Язык Ограничения играет ключевую роль в GTU, служа формализованным языком для суждений, команд и вопросов, выраженных на естественном языке. Обобщенное ограничение - ограничение формы X isr R, где X - ограниченная переменная, R - отношение ограничения и г - переменная индексации, которая идентифицирует метод ограничения. Основные ограничения: возможность (possibilistic) (r=blank); вероятность (probabilistic) (г = р): правдивость (veristic) (r=v); обычность (usuality) (r=u), случайный набор (random set) (r=rs): нечеткий граф (fuzzy graph) (r=fg), бимодальный (bimodal) (r=bm); и группа (group) (r=g).

Процесс объединения в общую теорию анализа неопределенностей еще не завершен и требует своего развития. Из всего многообразия новых теорий и методов оперирования с неопределенностями наибольшее распространение и интерес в практических приложениях получили методы теории нечетких множеств и прикладного интервального анализа, которые находятся в тесной взаимосвязи и уже прочно занимают свои позиции в науке и в решении многих прикладных задач [109]. Идея представления нечетких множеств в виде совокупности а-уровней оказалась очень продуктивной в приложениях, поскольку она позволяет использовать при оперировании с нечеткими числами методы интервальной арифметики [6,39,122]. Можно заметить взаимосвязи в способах изображения объектов, которые характеризуют нечеткие и интервальные величины. Общими следует считать изображения объектов теории нечетких множеств, поскольку помимо интервальной характеристики у них существует и функция принадлежности, изменяющаяся на интервале 0 < ji < 1, тогда как у интервальной величины при необходимости можно ввести значение функции принадлежности ц=1.

В настоящее время теория нечетких множеств широко используется при решении различных слабоформализованных задач, поскольку нечеткое множество является формализацией нечеткой информации, необходимой для построения математических моделей (Приложение 1). В основе этого понятия лежит представление о том, что составляющие данное множество элементы, обладающие общим свойством, могут обладать этим свойством в различной степени и, следовательно, принадлежать к данному множеству с различной степенью.

Теория нечетких множеств - перспективное направление в науке. Однако недостаточно изучена ее графическая (синтетическая, конструктивная) реализация, адекватная четким конструктивным построениям и аналитическим выражениям, описывающая нечеткие объекты: фигуры, условия, преобразования; слабоформализованные отношения между объектами. В настоящее время не существует общепризнанной теории геометрической интерпретации нечетких множеств: изображений нечетких точек, прямых, пространств, функций, а также способов решения метрических и позиционных задач, конструктивных методов решения прикладных алгоритмов и данная область остается не проработанной.

Имея в виду геометрическую или конструктивную сторону проблемы, утверждаем, что необходимо изучить конструктивные свойства тех геометрических образов, которые могут быть сопоставлены с нечеткими множествами. Нечеткая геометрическая модель, основанная на нечетких образах, может позволить получить приближенные к реальности изображения объектов, исследовать геометрические параметры объекта. А операции с геометрическими объектами могут явиться более наглядными и представлять самостоятельный метод для решения прикладных задач.

Объект исследования - геометрические средства, методы и образы, которые могут использоваться в задачах геометрического моделирования систем и объектов с нечетко определенными параметрами.

Цель диссертационной работы - исследование геометрических образов, наиболее полно удовлетворяющих требованиям учета нечеткой информации, разработка алгоритмического и методического обеспечения, определяющего условия применения в задачах инженерной геометрии.

В соответствии с целью поставлены следующие научные и практические задачи:

- выполнить анализ современного состояния вопроса, касающегося изображения нечетких множеств, применяемых при решении задач и обосновать необходимость развития теории изображения нечетких геометрических множеств;

- разработать методы моделирования нечетких геометрических множеств на плоскости и показать существование их аналитических и синтетических моделей,

- доказать применимость нечетких геометрических образов для решения задач геометрического моделирования систем с нечетко определенными параметрами;

- разработать алгоритмы, программные средства и методическое обеспечение для решения ряда прикладных задач этого класса.

Методы исследования: При решении поставленных задач использовались методы начертательной, аналитической и вычислительной геометрии, теории интервального анализа и интервальных вычислений, теории нечетких множеств и нечеткой логики, классических способов геометрических построений и компьютерной визуализации.

Общей теоретической базой исследований послужили работы:

- по вопросам теории нечетких множеств: А. Н. Аверкина, А. Е. Алтунина, Д. Дюбуа, JI. Заде, Б. Коско, А. Кофмана, А. В. Леоненкова, Е. А. Мамдани, А. И. Орлова, С.А. Орловского, А. П. Ротштейна, А. П. Рыжова, Н. Сугено, С. Д. Штовбы и других [3,6,14,42,44,45,60,91,93,104,109,122,128,141,143,149,150].

- по вопросам геометрического моделирования: Г. С. Иванова, А. Г. Ивах-ненко, Н. Пратта, Ф. Препарата, 3. А. Скопеца, П. В. Филиппова, А. Фокса, Н. Ф. Четверухина, М. Шеймоса и других [18,28,48,49,65,76,83,103,117].

Научная новизна работы:

- предложена конструктивно-геометрическая интерпретация интервальных и нечетких множеств геометрических объектов в евклидовом пространстве;

- дана конструктивно-геометрическая интерпретация понятий «нечеткий объект», «нечеткое преобразование», «нечеткое условие»;

- предложены алгоритмы решения метрических и позиционных задач евклидовой геометрии в условиях нечеткой информации и нечетких исходных данных;

- разработаны методика и алгоритмы построения статических аналитических моделей многопараметрических систем при нечеткой исходной информации.

Практическая значимость работы заключается в разработке алгоритмического, методического и программного обеспечения, реализующего аналитические и конструктивные методы моделирования нечетких геометрических множеств, в частности:

- разработан геометрический модуль оценки качества нечетко определенных объектов при помощи нечеткой рейтинговой системы, создано программное обеспечение геометрического модуля;

- предложен метод развития и метод оценки визуального мышления, адаптированный к современным интеллектуальным автоматизированным системам обучения. Разработан алгоритм его реализации;

- разработана методика анализа геометрических параметров поверхностей катания вагонных колесных пар, алгоритм построения их геометрических моделей и методика принятия решения об их качестве.

Основные положения, выносимые на защиту:

- метод визуализации нечетких геометрических объектов, условий, преобразований евклидовой плоскости;

- методика и алгоритмы построения моделей систем при нечеткой исходной информации;

- нечеткий классификатор как метод оценки качества при помощи нечеткой рейтинговой системы;

- методика геометрического моделирования поверхностей катания вагонных колесных пар;

- методика развития и оценки визуального мышления в интеллектуальных автоматизированных системах обучения.

Внедрение результатов работы. Результаты работы используются:

- в учебном процессе ОГИС для рейтинговой системы оценки качества успешности обучения по дисциплинам «Информационные технологии в социально-культурном сервисе и туризме. Оргтехника» и «Оборудование гостиничных комплексов и техника безопасности их эксплуатации» на кафедре «Социально-культурный сервис и туризм»;

- в учебном процессе СибАДИ и в научной работе на кафедре «Начертательной геометрии, инженерной и машинной графики» для создания автоматизированной обучающей системы развития и оценки визуального мышления;

- в ОмГУПС результаты диссертации приняты для использования в научных и учебных целях на кафедре «Вагоны и вагонное хозяйство» при диагностировании геометрических параметров колесных пар подвижного состава;

- в ГУП ЦЕНТР «ТРАНСПОРТ» для научной работы по созданию автоматизированной системы контроля нарушения геометрических параметров колесных пар в процессе эксплуатации.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы представлялись на международных конференциях: «Актуальные проблемы подготовки специалистов для сферы сервиса» (Омск, ОГИС, 2003), «Проблемы совершенствования качественной подготовки специалистов высшей квалификации» (Омск, ОГИС, 2004 г.), «Современные тенденции и перспективы развития образования в высшей школе» (Омск, ОГИС, 2005), III международного технологического конгресса «Военная техника, вооружение и технологии двойного применения» (Омск, ОмГУ, 2005), Международной научно-практической конференции «Туризм: подготовка кадров, проблемы и перспективы развития» (Москва, 2006); Украино-российской научно-практической конференции «Современные проблемы геометрического моделирования» (Харьков, 2005), а также на ежегодных межвузовских научно-практических конференциях студентов и аспирантов «Молодежь, наука, творчество» (2002-2006).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 печатных работах [34,35,36,68,69,70,71,72,73,125,126,127].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения, изложенных на 218 страницах машинописного текста и включает в себя 106 рисунков, 8 приложений. Библиографический список содержит 152 наименования.

Основные результаты работы заключаются в достижении поставленной цели: исследованы геометрические образы, наиболее полно удовлетворяющие требованиям учета нечеткой информации, что позволило их применять для разработки алгоритмического и методического обеспечения в задачах инженерной геометрии.

В работе решены следующие задачи:

- выполнен анализ современного состояния вопроса, касающегося изображения нечетких множеств, применяемых при решении задач; обоснована необходимость развития теории изображения нечетких геометрических множеств;

- разработаны методы моделирования нечетких геометрических множеств на плоскости и показаны их аналитические и синтетические модели;

- доказана применимость нечетких геометрических образов для решения задач геометрического моделирования систем с нечетко определенными параметрами;

- разработаны алгоритмы, программные решения и методическое обеспечение для решения ряда прикладных задач этого класса.

Следует отметить, что моделирование нечетких множеств в инженерной геометрии - перспективная научная область исследования и теоретико-конструктивные основы, разработанные в данной работе, могут повлиять на ее дальнейшее развитие.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Моделирование геометрических образов нечетких множеств имеет большое значение для прикладных задач инженерной геометрии: их геометрическая интерпретация позволяет не только продемонстрировать наглядность решения в качестве дополнительного метода формализации нечеткой информации, но и часто оказывается необходимым условием реализации нечетких алгоритмов, и в этих случаях конструктивный метод является одним из основных. Более того, бывают задачи, в которых конструктивное задание формирует аналитическое, а не наоборот. Для исследований нечетких геометрических образов следует применять а - уров-невый принцип их описания.

1. Аванесов, В. С. Научные проблемы тестового контроля знаний / В. С. Аванесов М., 1994. - 48 с.

2. Аванесов, В. С. Основы научной организации педагогического контроля в высшей школе / В. С. Аванесов М., 1989. - 166 с.

3. Аверкин, А.Н. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / А. Н. Аверкин, И. 3. Батыршин, А. Ф. Блишун, В. Б. Си-лов, В. Б. Тарасов М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1986. - 312 с.

4. Алефельд, Г. Введение в интервальные вычисления: пер. с англ. / Г. Алефельд, Ю. Херцбергер М.: Мир, 1987. - 360 с.

5. Алтунин, А. Е. Новый метод оптимизации сложной иерархической системы газодобычи на основе теории нечетких множеств / А. Е. Алтунин // Тезисы докладов II зональной научно-технической конференции. Тюмень, 1978, -С. 16-17.

6. Алтунин, А. Е. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях: монография / А. Е. Алтунин, М. В. Семухин Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2000. - 352 с.

7. Алтунин, А. Е. Методическое руководство по технологическим расчетам сложных систем газодобычи при неточных параметрах / А. Е. Алтунин, С. Н. Чуклеев, М. В. Семухин, Л. Д. Крел Тюмень, 1984. - 48 с.

8. Алчинов, В. Рейтинг-контроль успеваемости курсантов / В. Алчинов, А. Купцов // Высшее образование в России. 1998. - № 1. - С. 95-97.

9. Артемов, А. Модульно-рейтинговая система / А. Артемов, Н. Павлов, Т. Сидорова // Высшее образование России. 1999. - №4. - С. 121-125.

10. Асаи, К. Прикладные нечеткие системы: Пер с япон. / К. Асаи, Д. Ватпда, С. Иваи и др. / Под ред. Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугено М.: Мир, 1993. - 368 с. - ISBN 5-03-002326-7.

11. Бахитов, Р. Принятие решения о выборе инвестиционного проекта методом нечетких оценок / Р. Бахитов, Н. Коробейников // Вестник инжинирингового центра ЮКОС. 2001. - № 2. - С. 23-25.

12. Беллман, Р. Принятие решений в расплывчатых условиях / Р. Беллман, JI. Заде // Вопросы анализа и процедуры принятия решений: кн. М.: Мир, 1976.-С. 172-215.

13. Беседина, В.Н. О рейтинговой системе контроля знаний / В.Н. Беседи-на // Специалист. 1996. - № 4. - С. 6-8.

14. Бир, Ст. Кибернетика и управление производством / Ст. Бир М.: Наука, 1965.-391 с.

15. Блохнин, А. Г. Разработка и исследование нечеткой системы управления на базе современной информационной технологии: автореф. дисс. . канд. физ.-мат. н.: 05.13.18 / А. Г. Блохнин -М.: МФТИ, 2000.-22 с.

16. Болотов, В. П. Начертательная геометрия многомерного пространства: монография / В. П. Болотов. Сеть Интернет, адрес: http://vm.msun.ru/Autor/ Disdokt/ Ngeomng.htm.

17. Борисов, А. Н. Принятие решений на основе нечетких моделей / А. Н. Борисов, О. А. Крумберг, И. Н. Федоров Рига.: Зинатне, 1990. - 198 с.

18. Борисов, А.Н. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. / А.Н. Борисов, А.В. Алексеев, Г.В. Меркурьева и др. М.: Радио и связь, 1989. - 304 с. - ISBN 5-256-00178-7.

19. Бубенников, А. В. Начертательная геометрия: Учебник для втузов / А. В. Бубенников 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. Шк., 1985. - 288 с.

20. Веселов, А. П. Лекции по аналитической геометрии: Учебное пособие / А. П. Веселов, Е. В. Троицкий СПб.: Изд-во «Лань», 2003. - 160 с. - ISBN 58114-0498-0.

21. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский -М.: Изд-во физико-математической литературы, 1962. 870 с.

22. Глухов, В. И. Методика технических измерений в машиностроении: учебное пособие для вузов / В.И. Глухов Омск: Изд-во ОмГТУ, 2001. - 248 с.

23. Головаш, А. Н. Контроль и диагностирования технических объектов / А. Н. Головаш // Железнодорожный транспорт. 2002. - №9. - С. 34-36.

24. Горбунова, Л. Г. О реализации рейтинговой системы в педагогических вузах / Л. Г. Горбунова, Р. И. Кишик // Материалы 2 международной методической конференции «Университетское образование». Пенза, 1998. - Ч. 1. - С. 105-106.

25. Гордон, В. О. Курс начертательной геометрии: учеб. пособие для втузов / В. О. Гордон, М. А. Семенцов-Огиевский; под ред. В. О. Гордона (24-е изд. ред. Ю. Б. Иванов). - 26 изд., стер. - М.: Высш. Шк., 2004. - 272 с. -ISBN 5-06-003518-2.

26. ГОСТ 4835-80. Колесные пары для вагонов магистральных железных дорог колеи 1520 (1524) мм. -М.: Издательство стандартов, 1980.

27. ГОСТ 9036-88. Колеса цельнокатаные. Конструкция и размеры. М.: Государственный комитет СССР по стандартам: Издательство стандартов, 1989.

28. Гулидов, И. Н. Методика конструирования тестов / И. Н. Гулидов, А. Н. Шатун М.: Форум: Инфра-М, 2003. - 112 с.

29. Гулиев, Н. А. Информационные технологии в социально-культурном сервисе и туризме. Оргтехника: учебное пособие / Н. А. Гулиев, О. В. Лукина -Омск: ОГИС, 2004. 215 с. - ISBN 5-93252-030-2.

30. Гулиев, Н. А. Оборудование гостиничных комплексов и техника безопасности их эксплуатации: учебное пособие / Н. А. Гулиев, О. В. Лукина -Омск: ОГИС, 2004.-216 с.

31. Гунин, Г. А. Особенности практического применения искусственных нейронных сетей к прогнозу финансовых временных рядов / Г. А. Гунин // Экономическая кибернетика: системный анализ в экономике и управлении: кн. -СПб: СПбУЭФ, 2001. С. 55-65.

32. Гусева, А. Ф. Рейтинговая система новый подход к организации контроля в обучении общей химии / А. Ф. Гусева, Е. В. Закс // Тезисы доклада XVI Менделеевского съезда по общей и прикладной химии. Т.1. - СПб., 1998. - С. 370-371.

33. Дружинин, В. Н. Психологическая диагностика: теоретические основы / В. Н. Дружинин. Саратов: Издательство Саратовского университета, 1990. - 156 с.

34. Дюбуа, Д. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. / Д. Дюбуа, А. Прад М: Радио и связь, 1990. - 288 с.

35. Жирабок, А. Н. Нечеткие множества и их использование для принятия решений / А. Н. Жирабок // Соросовский образовательный журнал, том 7. -2001.- №2. -С. 109-115.

36. Заде, Л. А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений / JI. А. Заде // Математика сегодня: кн. М.: Знание, 1974.-С. 5-49.

37. Заде, JI. А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений / JI. А. Заде. М: Мир, 1976. - 165 с.

38. Зайченко, Ю. П. Исследование операций: учебное пособие / Ю. П. Зайченко. Сеть Интернет, адрес: http://iasa.org.ua/.

39. Зотов, Г.А., Алиев З.С. Инструкция по комплексному исследованию газовых и газоконденсатных пластов и скважин / Г. А. Зотов, 3. С. Алиев. -М.: Недра, 1980. 301с.

40. Иванов, Г. С. Конструирование технических поверхностей / Г. С. Иванов. -М.: Машиностроение, 1987. 188 с.

41. Ивахненко, А. Г. Индуктивный метод самоорганизации моделей сложных систем / А. Г. Ивахненко. Киев.: Наук. Думка, 1982. - 296 с.

42. Калиткин, Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1978. - 512 с.

43. Калмыков, С. А. Методы интервального анализа / С. А. Калмыков, Ю. И. Шокин, 3. X. Юлдашев. Новосибирск: Наука, 1986. - 222с.

44. Касимов, Р. Я. Рейтинговый контроль / Р. Я. Касимов, В.Я. Зинченко, И.И. Грантберг // Высшее образование в России. 1994. - № 2. - С. 83-92.

45. Киселев, В. В. Нечеткие алгоритмы в некоторых задачах распознавания и управления: дисс. . канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Виталий Валерьевич Киселев. Челябинск, 2004. - 172 с.

46. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн М.: Наука, 1968. - 832 с.

47. Коробова, Н. Ю. Опыт создания заданий измерителей для формирования точных параметров обратной связи / Н. Ю. Коробова // Идеи, гипотезы, поиск. Магадан: СМУ, 1999. - Вып. VI. - С. 33.

48. Коробова, Н. Ю. Принципы модульно-рейтинговой технологии, влияющие на качество учебного процесса / Н. Ю. Коробова // Тезисы докладов II Международной научно-методической конференции. Новосибирск, 1999. - С. 150-155.

49. Королев, Ю. И. Начертательная геометрия: учебник для вузов / Ю. И. Королев. СПб.: Питер, 2006. - 252 с. - ISBN 5-469-00349-3.

50. Кофман, А. Введение в теорию нечетких множеств / А. Кофман. М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.

51. Кофман, А. Введение теории нечетких множеств в управлении предприятиями / А. Кофман, X. Хил Алуха. Минск: Вышэйшая школа, 1992.

52. Круглов, В. В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика / В. В. Круглов, В. В. Борисов М.: Горячая линия-Телеком, 2001. - 382 с.

53. Круглов, В. В. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети / В. В. Круглов, М. И. Дли, Р. Ю. Голунов. М.: Физматлит, 2001. - 224 с.

54. Кучин, Б. JI. Управление системой газоснабжения в осложненных условиях эксплуатации / Б. JI. Кучин, А. Е. Алтунин. М: Недра, 1987. - 209 с.

55. Лагерь, А. И. Основы начертательной геометрии: Учебник / А. И. Лагерь, А. Н. Мота, К. С. Рушелюк. М.: Высш. Шк., 2005. - 281 е.: ил. - ISBN 506-004808-Х.

56. Леоненков, А. В. Нечеткое моделирование в среде Matlab и fuzzytech / А. В. Леоненков Спб.: БХВ-Петербург, 2003. - 736 с.

57. Лукина, О. В. Оборудование для обеспечения безопасности в гостиничных комплексах: Учебное пособие / О. В. Лукина ОГИС, 2005. - 65 с.

58. Маркович, Э. С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики: учеб. пособие для вузов / Э. С. Маркович. Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: «Высш.школа», 1972. - 480 с.

59. Масалович, А. Этот нечеткий, нечеткий, нечеткий мир / А. Масало-вич. Сеть Интернет, адрес: www.tora-centre.ru/library/fuzzy/fuzzy.htm.

60. Михайленко, В. Е. Инженерная графика: учебник для вузов / В. Е. Ми-хайленко, А. М. Пономарев. Изд. 2-е, перераб и доп. - К.: Вмща шк. Головное изд-во, 1985.-295 с.

61. Наделяев, В. Рейтинговая система оценки знаний при изучении общетехнических дисциплин / В. Наделяев, Т. Мартынова, В. Герстенбергер и др. // Высшее образование в России. 1997. - №2. - С. 103-107.

62. Нариньяни, А. С. Неточность как НЕ-фактор. Попытка доформального анализа / А. С. Нариньяни // Препринт РосНИИ ИИ N 2. Москва-Новосибирск, 1994.-34 с.

63. Наук, П. Е. Тенденции формирования новых интегральных дисциплин в образовании / П. Е. Наук // Математика и информатика: наука и образование. Межвузовский сборник научных трудов. Ежегодник. - Омск, 2001. - Вып. 1. -С. 281 -286.

64. Наумов, О. Л. Учебное пособие по математике для слушателей подготовительного факультета / О. Л. Наумов, С. К. Гаврилов, В. М. Приходько -Ростов н/Д: Рост. Гос. Ун-т путей сообщения, 2001. 164 с.

65. Начертательная геометрия: Учеб. для вузов / Н. Н. Крылов, Г. С. Иконникова, В. Л. Николаев, Н. М. Лаврухина; под ред. Н. Н. Крылова. 6 изд., перераб. и доп. - М.: Высш. Шк., 1990. - 240 с. - ISBN 5-06-000490-2.

66. Недосекин, А. О. Нечеткий финансовый менеджмент / А. О. Недосекин. М.: Аудит и финансовый анализ, 2003. - Сеть Интернет, адрес: http://sedok.narod.ru/scgroup.html.

67. Никитина, Н. Ш. Модульно-рейтинговая система обучения глазами студентов / Н. Ш. Никитина // Проблемы высшего технического образования / под общ. ред. А. С. Вострикова. Новосибирск.: Изд-во НГТУ, 1998. - С. 87-89.

68. Николаев, А. Б. Нейросетевые методы анализа и обработки данных. Учебное пособие. / А. Б. Николаев, И. Б. Фоминых М.: МАДИ (ГТУ), 2003. -95 с. - Сеть Интернет, адрес: http://test.madi.ru/study/kafedra/asu/metod/ner.shtml.

69. Никулин, Е. А. Компьютерная геометрия и алгоритмы машинной графики / Е. А. Никулин. СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 560 с. - ISBN 5-94157-264-6.

70. Новицкий, П. В. Оценка погрешностей результатов измерений / П. В. Новицкий, И.А. Зограф. Л.: Энергоатомиздат, 1985. - 248 с.

71. Образцов, П. И. Методология и методы психолого-педагогического исследования: Курс лекций / П. И. Образцов. Орел, 2002 . - 292 с.

72. Орлов, А. И. Математика нечеткости / А. И. Орлов // Наука и жизнь. -1982.- №7.-С. 60-67.

73. Орловский, С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации / С. А. Орловский. М.: Наука, 1981. - 208 с.

74. Паклин, Н. Нечеткая логика математические основы / Н. Паклин. -Сеть Интернет, адрес: http://www.basegroup.ru/fuzzylogic/math.htm.

75. Пивкин, В. Я. Нечеткие множества в системах управления. Учеб. пособие / В. Я. Пивкин, Е. П. Бакулин, Д. И. Кореньков. Сеть Интернет, адрес http: // idisys.iae.nsk.su/fuzzybook.

76. Подиновский, В. В. Коэффициенты важности критериев в задачах принятия решений. Порядковые или ординальные коэффициенты важности / В. В. Подиновский // Автоматика и телемеханика. 1978. - № 10.

77. Полещук, О. М. Методы предварительной обработки нечеткой экспертной информации на этапе ее формализации / О. М. Полещук // Вестник Московского государственного университета леса Лесной вестник. - 2003. -№5 (30).-С. 160-167.

78. Положение об оценке качества подготовки выпускников школы // Народное образование. 2000. - № 7.

79. Понарин, Яж. П. Перемещение и подобие плоскости / Яж. П. Понарин, 3. А. Скопец. К.: Рядянська школа, 1981. - 175 с.

80. Пореев, В. Н. Компьютерная графика / В. Н. Пореев СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 432 с. - ISBN 5-94157-139-9.

81. Поспелов, Д. А. Моделирование рассуждений / Д. А. Поспелов. М.: Радио и связь, 1989.

82. Поспелов, Д. С. «Серые» и/или «черно-белые» шкалы. / Д. С. Поспелов // Прикладная эргономика. Специальный выпуск «Рефлексивные процессы».-1994.- №1.

83. Препарата, Ф. Вычислительная геометрия: введение / Ф. Препарата М. Шеймос. М. Мир, 1989. - 478 с.

84. Ротштейн, А. П. Интеллектуальные технологии идентификации: нечеткая логика, генетические алгоритмы, нейронные сети / А. П. Ротштейн. -Винница: УНИВЕРСУМ Винница, 1999. — 320 с. - Сеть Интернет, адрес: http:// exponenta.ru| fuzzylogic / book5.

85. Рузина, А. В. Рейтинговая система оценки результатов обучения / А. В. Рузина // Основы психологии и педагогики высшей школы. Новосибирск: НГЛЭиУ, 1997.-С. 52-60.

86. Рукавишников, В. А. Новый уровень в развитии графического образования / В. А. Рукавишников, И. Л. Голубева, А. Р. Альтапов // Третьи Вавилов-ские чтения: Материалы Всеросс. междисцип. науч. конф., ч. 1. Йошкар-Ола, 1999.-С. 200-202.

87. Рутковская, Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы / Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский. М.: Горячая линия -Телеком, 2004. - 452 с.

88. Рыбкин, А. А. Справочник по математике: Справочное пособие для учащихся сред. спец. учеб. заведений и поступающих в вузы / А. А. Рыбкин, А. 3. Рыбкин, Л. С. Хренов. 4-е изд., перераб. и доп. -М. Высш.шк., 1987. - 480 с.

89. Рыжов, А. П. Элементы теории нечетких множеств и измерения нечеткости / А.П. Рыжов. М.: Диалог-МГУ, 1998. - 82 с.

90. Ю.Симонов, В. П. Новая философия оценки степени обученности личности / В. П. Симонов // Специалист. 2000. - № 4. - С. 26-30.

91. Скороход, С. В. Применение нечеткого подхода для оценки и подбора персонала / С. В. Скороход // Электронный научный журнал «Исследовано в России». С. 1253 - 1261. - Сеть Интернет, адрес: http: // zhurnal.ape. relarn. ru / articles/2005/122.pdf.

92. Тэттэр, В. Ю. Программно аппаратные средства для контроля технического состояния колесных пар вагонов / В. Ю. Тэттэр, В. Н. Черняев, Ю. С. Щапин, В. И. Щедрин. - Омск: Изд-во ОмГУПС, 2002.

93. У сков, А. А. Интеллектуальные системы управления на основе методов нечеткой логики / А. А. Усков, В. В. Круглов. Смоленск: Смоленская городская типография, 2003. - 177 с. - ISBN 5-94223-038-2.

94. Фарбер И. Е. Очерки вузовской педагогики / И. Е. Фарбер. Саратов: Издательство Саратовского университета, 1984. - 252 с.

95. Фетисов, В. М. Основы инженерной графики / В. М. Фетисов. Ростов н/Д: Феникс, 2004. - 160 с. - ISBN 5-222-05263-Х.

96. Филиппов, П. В. Начертательная геометрия многомерного пространства и ее применение / П. В. Филиппов. Л.: Изд-во ЛГУ, 1979. - 280 с.

97. Фокс, А. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве / А. Фокс, М. Пратт. -М.: Мир, 1982. 304 с.

98. Хил Лафуенте, А. М. Финансовый анализ в условиях неопределенности / А. М. Хил Лафуенте. Минск: Тэхнолопя, 1998.

99. Шипачев, В. С. Математический анализ: учеб. пособие для вузов / В. С. Шипачев. -М.: Высшая школа, 1999. 176 с. - ISBN 5-06-003510-7.

100. Шокин, И. Ю. Интервальный анализ / И. Ю. Шокин. Новосибирск: Наука, 1981.-112 с.

101. Штовба, С. Д. Введение в теорию нечетких множеств и нечеткую логику / С. Д. Штовба. Сеть Интернет, адрес: http: // matlab.exponenta.ru / fuzzy-logic / bookl / index.php.

102. Штовба, С. Д. Идентификация нелинейных зависимостей с помощью нечеткого логического вывода в системе MATLAB / С. Д. Штовба // Exponenta Pro: Математика в приложениях 2003. - № 2. - С. 9-15.

103. Щапов, А. Н. Роль научно-обоснованных тестовых материалов в упра-лении качеством образовательного процесса / А. Н. Щапов // Тезисы докладов Всероссийской Конференции «Развитие системы тестирования в России» М., 1999.- ч. 4.-С. 19.

104. Юрков, В. Ю. Геометрия нечетких множеств / В. Ю. Юрков, О. В. Лукина // Электронный журнал «Прикладная геометрия». 2006. - Выпуск 8 (№ 18)-С. 9-36.

105. Юрков, В. Ю. Геометрия нечетких образов и моделирование нечетких систем / В. Ю. Юрков, О. В. Лукина // Современные проблемы геометрического моделирования. Материалы Украино-российской научно-практической конференции. Харьков, 2005. - С. 100-106.

106. Юрков, В. Ю. Интервальная и нечеткая геометрия в системе развития и диагностики пространственного фактора интеллекта / В. Ю. Юрков, О. В. Лукина // Омский научный вестник. 2006. - № 2 (35) - С. 96-99.

107. Ярушкина, Н. Г. Основы теории нечетких и гибридных систем: Учеб. Пособие / Н. Г. Ярушкина М.: Финансы и статистика, 2004. - 320 с.

108. Batyrshin, I. Towards a Linguistic Description of Dependencies in Data /1. Batyrshin, M. Wagenknecht // Int. J. Appl. Comput. Sci., 2002. Vol. 12. - № 3.

109. Bertoline, G. R. Visual Science: An emerging discipline / G. R. Bertoline // Journal for Geometry and Graphics. 2(2). - 1998. - P. 181 - 187.

110. Bojadziev, G. Fuzzy Logic for Business, Finance and Management / G. Bojadziev // Advances in Fuzzy Systems. 1997. - Vol. 12. - ISBN 9810228945.

111. Bojadziev, G. Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, Applications / G. Bojadziev, M. Bojadziev. World Scientific Pub Co, 1996. - ISBN 9810226063.

112. Buckley, J. Solving fuzzy equations in economics and finance / J. Buckley // Fuzzy Sets & Systems. 1992. - N 48. - Сеть Интернет, адрес: http: // www.math.uab.edu / buckley / pubs.html.

113. Buckley, J. The Fuzzy Mathematics of Finance / J. Buckley // Fuzzy Sets & Systems. 1987. - N 21. - Сеть Интернет, адрес http: // www.math.uab.edu / buckley / pubs.html.

114. Couturier, A. Debt Level and Company Efficiency: Independence or Implication? An Evaluation of Fuzzy Implication / A. Couturier, B. Fioleau // European Journal of Economic and Social Systems. 2002. - № 14.

115. Dimitras, A. I. Business Failure Prediction Using Rough Sets / A. I. Dimi-tras, R. Slowinski, R. Susmaga, C. Zopounidis // European Journal of Operational1. Research. 1999.-№ Ц4.

116. Dimova, L. On the Fuzzy Internal Rate of Return / L. Dimova, P. Sevastjanov, D. Sevastianov // Chenstohova Tech. Univercity Proceedings, 2001. Сеть Интернет, адрес http://sedok.narod.ru/sfiles/poland/DimSevSev2003.doc.

117. Dourra, H. Investment Using Technical Analysis and Fuzzy Logic / H. Dourra, P. Siy // Fuzzy Sets and Systems. 2002. - P. 127.

118. Kosko, Bart. Fuzzy Systems as Universal Approximators / Bart. Kosko // IEEE Transactions on Computers. 1994. - vol. 43, no. 11. - P. 1329-1333. -Сеть Интернет, адрес http://sipi.usc.edu/~kosko/FuzzyUniversalApprox.pdf.

119. Kosko, Bart. Optimal Fuzzy Rules Cover Extrema / Bart. Kosko // International Journal of Intelligent Systems. 1995. - vol. 10, no. 2. - P. 249-255. - Сеть Интернет, адрес : http://sipi.usc.edu/~kosko/patchbumps.J04.pdf.

120. Mamdani, E. N. Application of fuzzy logic to approximate reasoning using linguistic synthesis / E. N. Mamdani // IEEE Transactions on Computers. 1977. -vol. 26, no. 12.-P. 1182-1191.

121. Murr, L. E. In the visual culture / L. E. Murr // Engineering Education. -December. 1998. - P. 170 - 172.

122. Rosenfeld, A. Fuzzy geometry: An overview // Proc. IEEE Intl. Conf. on Fuzzy Systems, San Diego, CA, March 1992, pp. 113-117.

123. Shi-Min, Hu. Error Propagation through Geometric Transformations / Hu Shi-Min, Wallner Johannes // Journal for Geometry and Graphics. 2004. - Volume 8,No. 2.-P. 171-183.

124. Trippi, R. R. Artificial Intelligence in Finance & Investing: State-of-the-Art Technologies for Securities Selection and Portfolio Management / R. R. Trippi, J. K.Lee Irwin Professional Publishing, 1995.-ISBN 1557388687.

125. Zadeh, L. A. Fuzzy logic / L. A. Zadeh // IEEE Transactions on Computers. 1988. - vol. 21, no. 4. - P. 83-93.

126. Zadeh, L. A. Fuzzy sets / L. A. Zadeh // Information and control. 1965. -vol. 8,-P. 338-353.

127. Zadeh, Lotfi A. Toward a Generalized Theory of Uncertainty (GTU) An Outline. 20.01.2005 / Lotfi A. Zadeh. Сеть Интернет, адрес: www.ifel.ru/ content/ docs/Zadeh2005.pdf.

128. Zimmerman, H.-J. Fuzzy Sets Theory and Its Applications / H.-J. Zimmerman. Kluwer Academic Publishers, 2001. - 435 p. - ISBN 0792374355.

129. Zopounidis, C. Multi-Group Discrimination Using Multi-Criteria Analysis: Illustrations from the Field of Finance / C. Zopounidis, M. Doumpos // European Journal of Operational Research. 2002. - 139.191