автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.11, диссертация на тему:Методы и программные средства поддержки принятия решений на основе нечёткого обратного вывода

На правах рукописи

Лаврухин Виталий Сергеевич

. МЕТОДЫ И ПРОГРАММНЫЕ СРЕДСТВА

ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ НЕЧЁТКОГО ОБРАТНОГО ВЫВОДА

Специальность 05.13.11- Математическое и программное

обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 О ИЮН 2010

Москва-2010

004603999

Работа выполнена в филиале ГОУВПО «Московский энергетический институт (технический университет)» в г. Смоленске на кафедре Вычислительной техники.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор Федулов Александр Сергеевич

доктор технических наук, профессор Вагин Вадим Николаевич

доктор технических наук, профессор Лопашинов Пётр Михайлович

Центр информационных технологий и систем органов исполнительной власти (г. Москва)

Защита состоится « ?5~» 2010 г. в 16 час. 09 мин. на заседании

диссертационного совета Д 212.157.01 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу: Москва, Красноказарменная ул., д. 17, ауд. М-704.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (технического университета).

Отзывы в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная ул., д.14, Ученый совет МЭИ (ТУ).

Автореферат разослан «_2У» иЩ>иД 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.157.01 кандидат технических наук, доцент

М. В. Фомина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований. В настоящее время системы поддержки принятия решений (СППР) интенсивно развиваются и внедряются в различные сферы деятельности человека, особенно в те, в которых решаемые задачи являются слабоструктурированными и трудноформализуемыми. Поэтому растёт необходимость в использовании в СППР методов построения моделей объектов, работающих в условиях неопределённости и допускающих неточность, неполноту и противоречивость входных данных.

Для решения задач поддержки принятия решений в этих условиях широко применяются методы «мягких вычислений», в частности, методы, основанные на теории нечётких множеств, нечёткой логики и нечёткой арифметики. Развитию данного направления способствовали, прежде всего, работы Л. Заде, Р. Беллмана, Е. Мамдани, М. Сугаго, А. Кофмана, Д. Дюбуа, А. Прада, Д. А. Поспелова, А. Н. Мелихова, А. Н. Борисова.

В процессе генерации и принятия решений могут решаться два типа задач: прямые и обратные.

Прямые задачи подразумевают, что на входы модели в СППР подаются некоторые данные, для которых требуется определить выходные значения используемой модели. В частности, прямые задачи возникают при оценке различных альтернатив принимаемых решений. Для этого используются оценочные модели. Однако следует отметить, что в настоящее время не существует универсального метода построения нечётких оценочных моделей, позволяющего учитывать различные степени согласованности оцениваемых показателей с общей оценкой.

При решении обратных задач задаются требуемыми выходными значениями модели, используемой в СППР, и в рамках данной модели необходимо найти такие входные воздействия, которые приводят к получению заданных выходных значений. Обратные задачи возникают, в частности, при решении задач планирования, диагностирования, управления ресурсами, что составляет достаточно большую долю в процессе принятия решений. Поэтому наряду с прямыми задачами решение обратных задач является актуальным для современных СППР.

Следует отметить, что методы, предназначенные для решения обратных задач в СППР, разработаны лишь для ряда частных случаев моделей (например, для моделей, основанных на классической логике). В логиках обратная задача связана с так называемым абдуктивным выводом. Большой вклад в развитие теории абдуктивного вывода внесли Ч. Пирс, В. Н. Вагин

Для нечётких систем обратные задачи формулируются как задачи нечёткого обратного вывода. В данном направлении стоит отметить работы Е. Санчеса, Г. Ли. При этом в настоящее время общего подхода к решению задач нечёткого обратного вывода для произвольных нечётких систем не существует.

Таким образом, имеется противоречие между существующими потребностями в методике решения задач нечёткого обратного вывода для нечётких систем и текущим уровнем развития данной области.

Это противоречие обуславливает научную задачу разработки методов и программных средств поддержки принятия решений на основе нечёткого обратного вывода.

Целью исследования является повышение эффективности процессов обработки данных и знаний в СППР с помощью разрабатываемых методов и программных средств поддержки принятия решений на основе нечёткого обратного вывода.

Научной задачей диссертационной работы является исследование и разработка методов и программных средств поддержки принятия решений на основе нечёткого обратного вывода для повышения эффективности процессов обработки данных и знаний в СППР.

Для достижения поставленной цели исследования необходимо решить ряд следующих задач:

1. Анализ существующих способов и средств построения СППР.

2. Анализ существующих методов построения нечётких систем.

3. Анализ постановок задачи нечёткого обратного вывода и выявление их ограничений.

4. Разработка методов нечёткого обратного вывода для нечётких систем.

5. Анализ способов построения нечётких оценочных моделей и их ограничений.

6. Разработка способов построения нечётких оценочных моделей.

7. Разработка методов нечёткого обратного вывода для нечётких оценочных моделей.

8. Анализ существующих способов и средств построения СППР.

9. Разработка методики построения СППР на основе нечёткого обратного вывода.

Ю.Разработка прототипа СППР на основе нечёткого обратного вывода.

Объектом исследования являются программные средства систем поддержки принятия решений на основе нечёткого обратного вывода и нечётких оценочных моделей.

Предметом исследования являются методы нечёткого обратного вывода и способы построения нечётких оценочных моделей для использования в программных средствах поддержки принятия решений.

В ходе работы над диссертацией были использованы следующие методы исследований: методы системного анализа, теории нечётких множеств, нечётких систем и нечёткого логического вывода, методы когнитивного моделирования, методы оптимизации, методы анализа и проектирования программных средств.

Обоснованность научных результатов и выводов, представленных в работе, определяется корректным применением использованных методов исследования.

Достоверность научных положений подтверждена данными экспериментов с привлечением экспертных оценок, апробацией основных результатов работы на конференциях, практическим внедрением предложенных методов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработаны методы нечёткого обратного вывода для различных классов нечётких систем, предназначенные для программной реализации в СППР.

2. Предложен способ построения нечёткой оценочной модели, позволяющий учитывать различную степень согласованности частных целей с общей в программных средствах СППР

3. Разработан метод нечёткого обратного вывода, позволяющий получить обобщённую оценку с учётом различных степеней согласованности частных целей с общей целью в программных средствах СППР. Праюпческая значимость работы состоит в:

1. Разработанных и реализованных алгоритмах обработки данных и знаний на основе нечёткого обратного вывода.

2. Предложенной методике построения СППР на основе нечёткого обратного вывода и нечётких оценочных моделей.

3. Разработанном прототипе СППР на основе нечёткого обратного вывода.

На защиту выносятся:

1. Методы нечёткого обратного вывода для различных классов нечётких систем, предназначенные для программной реализации в СППР.

2. Способ построения нечёткой оценочной модели с учётом частных целей, имеющих различную степень согласованности с общей целью, предназначенный для программной реализации в СППР.

3. Метод нечёткого обратного вывода для предложенной нечёткой оценочной модели, предназначенные для программной реализации в СППР.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

• Четырнадцатая Международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, 2008),

• V Межрегиональная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Информационные технологии, энергетика и экономика» (Смоленск, 2008),

• Пятнадцатая Международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, 2009),

• 6-я Межрегиональная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Информационные технологии, энергетика и экономика» (Смоленск, 2009).

Публикации. Основные результаты работы отражены в 8 научных публикациях, в том числе в 1 статье в журнале из перечня ВАК.

Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований 09-01-00154-а «Развитие теории и методов нечеткого когнитивного анализа и моделирования для формирования и обработки знаний в интеллектуальных системах поддержки принятия решений».

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы, включающего 54 наименования. Диссертация содержит 102 страницы машинописного текста, 38 рисунков, 7 таблиц, приложение.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении диссертации обоснована актуальность темы исследований, определены цель и научная задача диссертационной работы, сформулированы научная новизна и практическая значимость результатов исследований, представлено краткое содержание работы по главам.

В первой главе проведен обзор и анализ существующих методов, используемых в СППР на основе нечётких систем.

Рассмотрены основные типы нечётких систем: нечёткие продукционные системы Мамдани, Сугено, нечёткие реляционные системы.

Представлен алгоритм перехода от произвольной нечёткой продукционной системы к нечёткой реляционной системе.

Рассмотрены когнитивные карты как инструмент для создания моделей сложно формализуемых систем и вспомогательное средство при построении нечётких продукционных систем.

Выделены два класса задач с точки зрения соотношения причина-следствие: прямые и обратные.

В класс прямых задач включают те задачи, в которых известны причины (входы системы) и необходимо найти следствия (выходы системы).

Класс обратных задач содержит задачи, где для известного следствия (выхода системы) требуется определить причины (входы системы).

Обратная задача в общем случае ставится как задача определения таких сигналов, при подаче которых на входы системы, на выходах системы формируются сигналы, удовлетворяющие поставленным требованиям. Например, требование может быть сформулировано как равенство заранее заданному сигналу.

В частности, в теории управления для расчета регуляторов, не имеющих обратных связей, по сути, необходимо решить обратную задачу: то есть, определить такие управляющие воздействия (входные сигналы), чтобы перевести объект управления в требуемое состояние (выходной сигнал).

В логиках обратная задача связана с выводом по правилу modus tollens и так называемым абдуктивным выводом.

Абдуктивный вывод в отличие от обычного дедуктивного вывода решает обратную задачу с целью выявить наиболее правдоподобное объяснение произошедшего события. Оценка степени правдоподобности является процедурой, зависящей от предметной области.

Решение обратных задач может быть широко использовано в системах поддержки принятия решений. Например, в системах диагностирования, прогнозирования, планирования.

Рассмотрены постановки обратной задачи для нечётких систем в подходе Е. Санчеса и выявлены их ограничения.

Пусть задана функция принадлежности выхода системы МеЬи,(У) ■ Требуется найти такую функцию принадлежности входа №ы(х) системы, чтобы было справедливо следующее равенство:

где /лп{х,у) - функция принадлежности нечёткого отношения, описывающего нечёткую систему, ° - операция нечёткой композиции.

Постановка Санчеса представляет собой нечёткое уравнение, для которпго пешение существует далеко не во всех случаях Напрг:г*тАг* ^пи нечёткое отношение системы задано с использованием гауссовской функции принадлежности, а требуемая выходная функция принадлежности ¿ивых(у) имеет треугольный вид, то искомой входной функции принадлежности Мех(х) > удовлетворяющей нечёткому уравнению, не существует.

Впоследствии постановка Санчеса была расширена путем задания

нижней Реых(У) и верхней границ для выходной функции

принадлежности цвых{у)'.

/СМ^/^ОО^/ССу)

Однако в данной постановке имеется то же ограничение, что и в нечётких уравнениях Санчеса. Если все возможные выходные функции принадлежности ¡*€ых(у) нечёткой системы при некотором значении аргумента у хотя бы

незначительно выходят за заданные границы м'^Лу) и Ц°еъа{у), то решения обратной задачи не существует.

То есть, основное ограничение рассмотренных постановок обратной задачи для нечётких систем заключается в том, что требуемая функция принадлежности задаётся «жёстко».

В 2009 году постановка задачи нечёткого обратного вывода была расширена А. Б. Ракитянской путём снятия ограничений на жёсткость задания выходной функции принадлежности. Однако для решения А. Б. Ракитянской предлагалось использовать в совокупности генетический алгоритм и аналитические методы Санчеса, что является трудоёмким.

Рассмотрены постановки задачи и методы построения оценочных моделей, выявлены их недостатки.

В процессе принятия решений часто приходится сталкиваться с задачами, носящими многокритериальный характер. При этом множество критериев, как правило, имеет неравнозначный характер. Оценочные модели применяются для того, чтобы свести множество показателей эффективности (частных целей) к одной оценке эффективности (общей цели). То есть, оценочные модели

предоставляют механизм свертки частных целевых функций в обобщенную целевую функцию.

Задача построения оценочных моделей прежде всего появилась в задачах многокритериальной оптимизации. Для решения задач многокритериальной оптимизации, как правило, сначала задачу сводят к задаче оптимизации одной целевой функции, а затем решают её известными методами.

Для случая сложных систем оценочные модели целесообразно строить на основе методов теории нечётких множеств в силу неопределенности и неточности информации о процессах, протекающих в данных системах.

Описана одна из первых постановок задачи построения нечетких оценочных моделей, предложенная Р. Беллманом и Л. Заде в 1970 году. Рассмотрены её основные достоинства и недостатки. Так, в постановке Р. Беллмана и Л. Заде делается важный вывод об эквивалентности ограничений и целей в случае их задания в форме нечетких множеств, но не учитывается возможность различной степени согласованности частных целей по отношению к общей цели.

Рассмотрен предложенный В. В. Борисовым и А. С. Федуловым в 2003 году способ построения нечётких оценочных моделей. Выявлен его основной недостаток, связанный с тем, что выходное нечёткое множество степени достижимости общей цели явно содержит в себе нечёткие множества достижимости частных целей. Это, в частности, приводит к тому, что алгоритм неработоспособен в случае, если какая-либо из частных целей задана как противоречивая общей цели, то есть своего рода антицель.

Также в первой главе осуществлена постановка задачи исследования со следующими направлениями: разработка и исследование методов нечёткого обратного вывода для различных классов нечётких систем, разработка и исследование способов построения нечётких оценочных моделей, разработка методики построения СППР на основе нечёткого обратного вывода.

Во второй главе представлены предложенные постановки задачи нечёткого обратного вывода для различных типов нечётких систем, разработанные алгоритмы нечёткого обратного вывода для различных типов нечётких систем, алгоритм построения нечёткой оценочной модели с учётом частных целей, имеющих различную степень согласованности с общей целью и алгоритм нечёткого обратного вывода для нечётких оценочных моделей.

Рассмотренные в первой главе постановки задачи нечёткого обратного вывода имеют ряд недостатков.

Для их устранения постановка задачи должна удовлетворять следующим требованиям:

1. Постановка задачи не должна иметь жесткости по отношению к заданию

требуемой выходной функции принадлежности.

2. Требуемый нечёткий выход системы должен задаваться с некоторой

степенью размытости, неточности.

Пусть задана произвольная нечёткая система с одним входом и одним выходом (ОВОВ).

Для определенности будем считать, что система задана своим нечётким отношением R(x,y). Если это не так, то любую форму задания нечёткой системы всегда можно свести к виду нечёткого отношения, как было показано в первой главе.

Пусть задана требуемая на выходе системы функция принадлежности ß"(y). Необходимо найти такую функцию принадлежности входа системы, которая бы давала минимальное среднеквадратичное отклонение получаемой выходной функции принадлежности мвЫ1(у) от заданной функции принадлежности //(>'):

■ F= J

F >min,

где /jR{x,y) - функция принадлежности нечёткого отношения R(x,y), - -операция нечёткой композиции, F - квадрат отклонения выходной функции принадлежности ßeba(y) от заданной функции принадлежности //(>').

Предложенная постановка задачи нечёткого обратного вывода за счет введения критерия близости выходной функции принадлежности системы Мбых(у) к требуемой функции принадлежности //(у) позволяет осуществлять нечёткий обратный вывод даже в тех случаях, когда вид выходной функции принадлежности р"СЬ1Х(у) отличается по форме от заданной функции принадлежности /и"(у). При этом значение критерия близости F может быть использовано для оценки качества найденного решения. Таким образом, исключается жесткость задания требуемой выходной функции принадлежности.

Перейдем к рассмотрению дискретного случая постановки задачи нечёткого обратного вывода.

Пусть область определения нечёткого отношения R(x,y) является конечной:

ЩМя(х,у)}е[хн,хв)х[ун,ув), где D{juR(x,y)} - область определения нечёткого отношения R(x,y), хИ,хе -соответственно, нижняя и верхняя границы области определения по переменной х, у„,ув - соответственно, нижняя и верхняя границы области определения по переменной у.

Выделим на оси определения переменной х Nx отсчетов с шагом дискретизации тх, а ось определения переменной у разобьем на Ny отсчетов с шагом дискретизации г :

Тогда отношение R(x,y) может быть задано в виде матрицы отсчетов R:

>,(1,1) М2Д) -м\,2) мл(2,2) ... mr(nx, 2)

л =

_ßR&Ny) Мя(2,Ny) ... MNz,Ny)_ где /JR(i,j) - дискретная функция принадлежности нечёткого отношения R(x,y),i = l,2,...,NxJ=l,2,...,Ny.

Пусть задана требуемая на выходе системы дискретная функция принадлежности ju{j). Необходимо найти такую дискретную функцию принадлежности входа //¡,(0 системы, которая бы давала минимальное среднеквадратичное отклонение получаемой выходной дискретной функции принадлежности fieux(J) от заданной дискретной функции принадлежности

m'UY

■ F=utimu)-ti<j)f,

м

F > mm,

где ßR(i,j) - функция принадлежности нечёткого отношения R(x,y),

о - операция нечёткой композиции,

F - сумма квадратов отклонений отсчётов выходной функции принадлежности peux(j) от заданной функции принадлежности ß\j).

Отклонение F в дискретной постановке может быть представлено как функция от Nx переменных:

Л',

F(z,, z2,..z ) = £ [Я,, О) (г, j)]2,

№

•^=mJA

.¿ = 1, 2, ...,NX.

Переменные г, являются отсчетами функции принадлежности входа, поэтому необходимо добавить для них следующее ограничение на область принимаемых значений:

V/ = 1, 2, ..., Nx: 0 < Zj < 1.

С учетом предыдущих уравнений получаем:

л\,

^(г,, ,..гл>1) = О') - г, о [Л,, (/,/)]2,

0<7,<1,

■

/ = 1, 2, ..„Л^,

Путем решения данной задачи мы можем получить решение обратной задачи для произвольной нечёткой системы с одним входом и одним выходом.

Для нечётких систем со многими входами и многими выходами (МВМВ) задача нечёткого обратного вывода ставится аналогично: пусть заданы требуемые на выходах функции принадлежности /л*'г(ук). Необходимо найти такие функции принадлежности //"(-О входов системы, которые бы давали в сумме минимум квадратов отклонений получаемых выходных функций принадлежности мИх(Уи) от заданных функций принадлежности цк{ук)\

Г /7(41 ,1 -2 22 М „Л/ ^ Ч _

•V,

= 1>«иЛ)-1 <> г- °...'0г? о Мк^-АоА]2,

м

0<2™<1,

т = 1, 2, ..., М,

Ы\ 2, ...,МХк,

Для решения задачи нечёткого обратного вывода предлагается использовать поисковый алгоритм.

1. Для удобства введем ряд дополнительных обозначений: Лг = ЛГ +Л7+...+ М ,

х1 ХМ '

р = {р1,р1,-,рк),

где р - точка в //-мерном входном пространстве.

2. Выбираем компоненты начальной базовой точки р0 как случайные числа с равномерным распределением в интервале [0,1]:

Р-=гХ 0,1),

где л;(0Д) - случайное число с равномерным распределением на отрезке [0,1], /= 1,2,.

3. Задаём параметры поискового алгоритма: Ах - значение шага поиска, 8р - величина разности между значениями функции Т7 на соседних итерациях, при достижении которой алгоритм останавливается, 8Х - величина шага Ах, по достижении которого итерационный процесс

гт01лг>,этгга*»'ггчсг

Л. V/! .

Исходя из размерности входных переменных Ы, формируется набор из 2 • N векторов, по направлению которых будет осуществляться поиск:

VI =(1,0,0,...,0),

;2=н,о,о, ...,о), 5з=(0,1,0, ...,0),

^4 = (0,-1,0,...,0),

У2Ы-Х= (0,0,0, ...,1), У2Л- =(0,0,0,...,-1).

Начинаем итерационный процесс с первой итерации: к = 1.

4. В соответствии с текущим шагом поиска Ах генерируется сетка из 2 • N тестовых точек:

где р'т - тестовая точка, / = \,2,...,2Ы.

5. Список тестовых точек просматривается по порядку. Для каждой просматриваемой точки р'т вычисляется значение функции Р{р'т) и

ищется такая точка р'т, чтобы было справедливо следующее неравенство:

р{7ш)<РСр).

Если какая-либо точка выходит за допустимую область определения 0 < р'т . < 1, то значение функции считается бесконечно большим:

р(р1) = + оо.

6. Если среди множества тестовых точек находится точка р, удовлетворяющая условию, то итерация считается успешной, данная точка принимается за базовую и шаг поиска увеличивается:

Ах = 2-Ах.

Затем проверяется условие завершения итерационного процесса:

Если неравенство справедливо, то осуществляется переход к шагу 8, в противном случае счетчик числа итераций инкрементируется к = к +1 и выполнение алгоритма продолжается с шага 4.

7. Если среди всех тестовых точек р не существует такой, для которой было бы справедливо неравенство, то поиск считается неуспешным, шаг поиска уменьшается, а базовая точка остается прежней:

л Д* Ах = —.

2

Затем проверяется условие завершения итерационного процесса:

Ьх<.8х.

Если неравенство неверно, то счетчик числа итераций инкрементируется к = к +1 и выполнение алгоритма продолжается с шага 4, иначе осуществляется переход на следующий шаг.

8. Итерационный процесс завершен и текущее значение базовой точки рк с учетом введенных ранее обозначений принимается за решение обратной задачи:

¿1(0 = ,.*МГ; \ „к

) = Ры>

Таким образом, все входные функции принадлежности найдены в виде отсчетов.

Заметим, что в общем случае функция Р' является многоэкстремальной. Кроме того, наибольший интерес представляют такие решения обратной задачи, функции принадлежности которых являются унимодальными.

С учетом данных замечаний предлагается предварительно решить обратную задачу для случая, когда все входные сигналы являются чёткими. Полученные же в результате этого чёткие значения входных сигналов могут быть использованы вместо случайных чисел в шаге 2 алгоритма в качестве

начального приближения базовой точки р°.

Для построения адекватных нечётких оценочных моделей в условиях противоречивости и различной степени согласованности частных целей был предложен следующий метод.

Пусть имеется некоторая сложная система, состояние которой требуется изменить. Новое состояние определяется, во-первых, единой общей целью G и, во-вторых, некоторым набором частных целей {/'/, Т'2, ...,Pq}.

Каждая цель (частная или общая) характеризуется степенью своей достижимости, принимающей значения из лингвистического терм-множества А мощности Na с соответствующими функциями принадлежности. Например, А = {«малая степень достижимости», «средняя степень достижимости», «высокая степень достижимости»}.

Каждая частная цель также характеризуется своей степенью согласованности (или совместимости) с общей целью. Заметим, что степень согласованности может быть задана для каждого достижимости частной

и общей цели. Степень согласованности определяется значением из лингвистического терм-множества С мощности Nc. Например, С = {«несовместимость», «малая совместимость», «большая совместимость», «полная совместимость»}. Каждому элементу множества С ставится в соответствие коэффициент согласованности из множества кс с элементами, принимающими значение от 0 до 1.

Степени согласованности конкретных частных целей с общей задаются с помощью трехмерного массива GG размерности NAxNAxq, каждый элемент которого (Kid, /\ к) е [О, Лгс ] определяет степень согласованности г-го уровня достижимости к-й частной цели с j-м уровнем достижимости общей цели. Значение GG{iJ,k) = о означает отсутствие информации об уровне согласованности.

По заданным значениям согласованности частных целей с общей составляются нечеткие правила вида:

nt: если г, есть Л,1,..., xq есть Aq, то у есть (к[ min{ (х,), G'}) и... u (k'q min{ A'q (xq), G'}), где x„...,xq - входные переменные, используемые для определения степеней достижимости частных целей,

Al,...,Alq - нечеткие подмножества, определяющие степени достижимости соответствующих частных целей для правила с номером / (элементы ранее заданного множества А),

G' - нечеткое подмножество, определяющее степень достижимости общей цели

для правила с номером i (элемент ранее заданного множества А),

kl,...,kq - коэффициенты согласованности соответствующих частных целей для

правила с номером / (элементы ранее заданного множества кс),

и - оператор агрегирования (в данном случае операция взятия максимума

max).

При выполнении нечеткого вывода по построенной оценочной модели для каждого правила с номером / (/ = 1,2, ..., Л^) выполняются следующие действия:

1)по входным значениям х1,.,.,хя вычисляются значения соответствующих функций принадлежности достижимости частных целей л;^),...,^^);

2) определяются усеченные вклады каждой частной цели в результирующую оценку правила: тт{Д,'(х1),С'},...,пип{^(дс4),0''};

3) полученные на предыдущем шаге функции принадлежности дополнительно масштабируются в соответствии со степенями согласованности частных целей с общей: к[ ггап{Д'(х:|),0/},...,^ тт{/^(Х,),С'}.

4) полученные функции принадлежности агрегируются с помощью введенной раннее операции и:

ЛС'(х) = (к!тп{А; (х,), С}) и... и (к\ тш{ А[ (х,). С'}) Для получения выхода модели выходные функции принадлежности правил объединяются:

АС(х) = АО' (х) и... и АС/' (х) Полученный выход модели АС(х), таким образом, представляет собой оценку степени достижимости общей цели, причем данная оценка явно не содержит степеней достижимости частных целей. При необходимости нечеткое множество АС(х) может быть дефаззифицировано любым известным методом, например, центроидным.

Рассмотрим постановку задачи обратного нечёткого вывода для данного типа нечётких оценочных моделей.

Пусть задана требуемая на выходе функция принадлежности АО*(х). Необходимо найти такие функции принадлежности (хт) входов системы, которые бы давали минимум суммы квадрата отклонений получаемой выходной функции принадлежности АС(х) от заданной функций

принадлежности АС*(х):

1>(У г1 г2 г2 22 ^ ^ ) =

= |][АС(х)-АС'(х)]2,

м

<1,

т = 1, 2, ...,М, < = 1. 2,

1 Г1 2 2 2 Я М М ч ■

Для данной постановки задачи нечёткого обратного вывода предложен метод нечёткого обратного вывода, аналогичный представленному выше методу для систем типа МВМВ.

В третьей главе рассматриваются СППР, их классификация, представлена предложенная структура СППР на основе нечёткого обратного вывода (рисунок 1) и её программной реализации.

Подсистема интерфейса с пользователем предназначена для обеспечения пользователя системы возможностью заполнения базы знаний сущностями предметной области и связанными с ними нечёткими множествами, создания и редактирования нечётких правил и отношений, оперирующих сущностями предметной области и интерфейса с подсистемой управления выводом и решения обратной задачи.

База знаний представляет собой хранилище сущностей предметной области и нечётких множеств, связанных с ними. Информация о данных сущностях используется для составления нечётких моделей.

Подсистемы вывода предназначены для определения выходов моделей по заданным входным значениям.

Подсистема управления выводами и решения обратной задачи организует выводы по нечётким моделям и управляет решением обратной задачи (в случае необходимости).

В предложенной структуре СППР предусмотрена возможность использования трех типов нечётких систем: продукционных, реляционных и нечёткой оценочной модели. Это позволяет решать широкий круг задач с применением наиболее удобных способов представления нечёткой информации.

В четвёртой главе в качестве предметной области рассмотрена задача мониторинга радиочастотного спектра и применение разработанных методов и программных средств поддержки принятия решений на основе нечёткого обратного вывода на одном из этапов решения задача мониторинга радиочастотного спектра.

Одной из основных целей мониторинга радиочастотного спектра является обнаружение несанкционированных радиопередающих устройств. Под несанкционированным радиопередающим устройством понимают радиопередающее устройство, имеющее излучение в не разрешенной полосе частот или в разрешенной полосе частот, но с превышенным допустимого уровня мощности.

Для ее достижения применяется сканирование радиочастотного спектра с помощью сканирующих радиоприемных устройств. При этом для заданной полосы частот получают оценки спектральной плотности мощности, характеризующие текущую радиоэлектронную обстановку в эфире. Путем сравнения текущей радиоэлектронной обстановки с заданной эталонной и некоторым порогом принимается решение о наличии или отсутствии факта несанкционированного излучения на некоторой частоте.

Рисунок 1 - Структура СППР на основе нечётких систем с нечётким обратным

выводом

Следует отметить, что свойства текущей радиоэлектронной обстановки (оценки спектральной плотности мощности), а следовательно, и решение о наличии (отсутствии) радиопередачи существенно зависят от выбора параметров сканирования полосы частот. В частности, к данным параметрам можно отнести ширину полосы сканирующего фильтра В, время измерения мощности приемником на одной частоте Т (время, через которое

осуществляется перестройка на новую частоту), величину амплитудного порога Ь и ряд других.

Эффективность мониторинга радиочастотного спектра определяется совокупностью ряда показателей. К ним можно отнести повышение чувствительности системы О; (то есть, возможность обнаружения слабых сигналов на уровне шумов), уменьшение числа ложных срабатываний Q2, возможность обнаружения кратковременных сигналов Оз (повышение скорости мониторинга). Данные показатели зависят от перечисленных выше параметров сканирования неочевидным образом. Поэтому выбор параметров мониторинга в зависимости от требуемых значений показателей эффективности, как правило, возлагается на оператора.

Анализ данной проблемы и опрос экспертов позволили составить знаковую когнитивную карту влияния входных концептов В, Т я Ь па выходные концепты <2/, (?2, Оз, представленную на рисунке 2.

На основе полученной когнитивной карты была построена нечёткая продукционная система, с помощью которой по параметрам сканирования В, Т и Ь можно получить значение показателей эффективности Оз-

Показатели эффективности мониторинга (¿¡, Q2, Оз могут иметь различную степень согласованности с обобщенным показателем эффективности мониторинга 0 в зависимости от важности того или иного показателя в конкретный момент времени.

Поэтому на основе предложенного во второй главе алгоритма была построена нечёткая оценочная модель для свертки частных критериев эффективности ()2, Оз к обобщенному критерию О с учетом различной степени их согласованности.

Рисунок 2 - Знаковая когнитивная карта зависимости показателей эффективности от параметров сканирования

Степени согласованности С {О,,6} частного критерия Qi и обобщенного О могут принимать значения из лингвистического терм-множества {«несовместимость», «малая совместимость», «большая совместимость», «полная совместимость»}. Задавая различные степени согласованности С{0^0} для критерия О/ можно менять вес данного критерия в обобщенном критерии ().

Каскадное соединение двух описанных выше нечётких систем дает возможность вычисления значения обобщенного критерия мониторинга 0 на основе параметров сканирования В, 1\ Ь и степеней согласованности С {О „О}.

Используя предложенную постановку задачи нечёткого обратного вывода и метод ее решения, исходя из заданного нечёткого значения обобщенного критерия эффективности Q могут быть получены требуемые значения параметров сканирования В, Т, L:

'Рд(у) = f(Mxi)>Mx2lMx}))>

+о0

• F= \l»Q{y)-M(y)fdy,

-00

F -> min,

где HQiy) - функция принадлежности обобщенного критерия Q,f~ функция

отображения входов системы в выход, F - квадрат отклонения получаемой функции принадлежности fiQ(y) от требуемой функции принадлежности ,/ал

f* KS/-

Предложенная нечёткая система была реализована в составе СППР. Проверка работоспособности данной системы на реальных данных мониторинга радиочастотного спектра показала хорошее согласование с оценками экспертов.

В заключении представлены основные результаты диссертационной работы и сделаны общие выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные результаты диссертационной работы можно отразить в следующих выводах.

1. Проанализированы существующие способы и средства построения СППР.

2. Выполнен анализ существующих методов построения нечётких систем.

3. Проанализированы постановки задачи нечёткого обратного вывода и выявлены их ограничения.

4. Проанализированы методы построения нечётких оценочных моделей. Выявлены их ограничения.

5. Предложены постановки задачи нечёткого обратного вывода для нечётких систем с одним входом, одним выходом (ОВОВ), многими входами, одним выходом (МВОВ), многими входами, многими выходами (МВМВ), предназначенные для программной реализации в СППР.

6. Разработаны методы нечёткого обратного вывода для нечётких систем типа ОВОВ, МВОВ, МВМВ.

7. Разработан способ построения нечётких оценочных моделей, позволяющих получить оценку достижимости общей цели с учетом степеней согласованности частных целей (в том числе, противоречивых общей цели).

8. Разработаны методы нечёткого обратного вывода для предложенных нечётких оценочных моделей.

9. Разработаны методика построения СППР на основе нечётких систем с нечётким обратным выводом.

Ю.Рассмотрена задача мониторинга радиочастотного спектра, отмечена её актуальность.

1 ¡.Разработан прототип СППР на основе нечётких систем с нечётким обратным выводом для выбора параметров системы мониторинга радиочастотного спектра, показана эффективность предложенного решения.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Лаврухин, B.C. Алгоритм нечеткого оценивания степени достижимости общей цели на основе степеней достижимости частных неравнозначных целей / B.C. Лаврухин // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика, Четырнадцатая Междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов: Тез. докл.: В 3-х т. - М.: Издательский дом МЭИ, 2008. - т. 1.

2. Лаврухин, B.C. К вопросу об обратном нечетком выводе / B.C. Лаврухин // йНФиРМАЦИиННь! Е ТЕХНОЛОГИИ, ЭНЕРГЕТЖА И ЭКОНОМИКА. Сб. трудов V Межрег. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов. В 3 т., т. 1. -2008.

3. Лаврухин, B.C. Применение нечетких систем при решении задачи мониторинга радиочастотного спектра / B.C. Лаврухин // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика, Пятнадцатая Междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов: Тез. докл.: В 3-х т. - М.: Издательский дом МЭИ, 2009.-т. 1.

4. Лаврухин, B.C. Метод решения обратной задачи для нечетких систем / B.C. Лаврухин // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика, Пятнадцатая Междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов: Тез. докл.: В 3-х т. -М.: Издательский дом МЭИ, 2009. - т. 1.

5. Лаврухин, B.C. О сходимости рекурсивной композиции нечетких отношений [Электронный ресурс] / A.C. Федулов, М.Ф. Зуев, B.C. Лаврухин // Математическая морфология. Электронный математический и медико-биологический журнал. - Т. 6., вып. 2., 2007. - Режим доступа к журналу: littp://www.smolensk.ruyuser/sgnia/MMORPH/TITL.HTM.

6. Лаврухин, B.C. Обратный нечеткий вывод в задаче мониторинга радиочастотного спектра / B.C. Лаврухин // ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, ЭНЕРГЕТЖА И ЭКОНОМИКА. Сб. трудов 6-й Межрег. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов. В 3 т., т. 1. - 2009.

7. Лаврухин, B.C. Способ построения нечетких оценочных моделей сложных систем с учетом противоречивости целей / B.C. Лаврухин, Л.В. Максимова // Вестник Войсковой ПВО, вып. 1,2009.

8. Лаврухин, B.C. Метод построения нечетких оценочных моделей сложных систем с учетом противоречивости общей и частных целей / B.C. Лаврухин, A.C. Федулов // Журнал «Нейрокомпьютеры: разработка, применение», №8,

Подписано в печать . £¿.2010 Зак./^Тир. п.л.

Полиграфический центр МЭИ (ТУ)

г. Москва, Красноказарменная ул., д. 13

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР И АНАЛИЗ НЕЧЁТКИХ СИСТЕМ.

1.1 Нечёткие системы.

1.2 Нечёткий обратный вывод.

1.3 Задача построения оценочных моделей.

1.4 Особенности использования нечётких систем для построения оценочных моделей.

1.5 Постановка задачи исследования.

2. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ НЕЧЁТКОГО ОБРАТНОГО ВЫВОДА И СПОСОБА ПОСТРОЕНИЯ ОЦЕНОЧНЫХ МОДЕЛЕЙ.

2.1 Постановки задачи нечёткого обратного вывода.

2.2 Методы нечёткого обратного вывода.

2.3 Способ построения нечётких оценочных моделей.

2.4 Метод нечёткого обратного вывода для нечётких оценочных моделей

3. РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ НЕЧЁТКОГО ОБРАТНОГО ВЫВОДА И ПОСТРОЕНИЯ ОЦЕНОЧНЫХ МОДЕЛЕЙ.

3.1 Системы поддержки принятия решений.

3.2 Предлагаемая структура системы поддержки принятия решений.

3.3 Программная реализация подсистемы вывода.

4. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРАБОТАННЫХ АЛГОРИТМОВ ПРИ РЕШЕНИИ

ЗАДАЧИ РАДИОМОНИТОРИНГА.

4 Л Постановка задачи радиомониторинга.

4.2 Построение нечёткой системы для решения задачи радиомониторинга

4.3 Эффективность предлагаемого решения.

В настоящее время системы поддержки принятия решений (СПГГР) интенсивно развиваются и внедряются в различные сферы деятельности человека, особенно в те, в которых решаемые задачи являются слабоструктурированными и трудноформализуемыми.

Поэтому растёт необходимость в использовании в СППР методов построения моделей объектов, работающих в условиях неопределённости и допускающих неточность, неполноту и противоречивость входных данных.

Для решения задач поддержки принятия решений в этих условиях широко применяются методы «мягких вычислений», в частности, методы, основанные на теории нечётких множеств, нечёткой логики и нечёткой арифметики. Развитию данного направления способствовали, прежде всего, работы JI. Заде [12], Р. Беллмана [8], Е. Мамдани [45], М. Сугено [51], А. Кофмана [13], Д. Дюбуа, А. Прада [11], Д. А. Поспелова [25], А. Н. Мелихова [24], А. Н. Борисова [4].

Задачи, возникающие в процессе принятия решений, условно можно разбить на два класса: прямые задачи и обратные задачи.

Прямые задачи подразумевают, что на входы модели в СППР подаются некоторые данные, для которых требуется определить выходные значения используемой модели. В частности, прямые задачи возникают при оценке различных альтернатив принимаемых решений. Для этого используются оценочные модели. Однако следует отметить, что в настоящее время не существует универсального метода построения нечётких оценочных моделей, позволяющего учитывать различные степени согласованности оцениваемых показателей с общей оценкой.

Для нечётких моделей в СППР решение прямых задач выполняется посредством нечёткого логического вывода.

Класс обратных задач включает в себя те задачи, в которых задаются требуемыми выходными значениями модели, используемой в СППР, и в рамках данной модели необходимо найти такие входные воздействия, которые приводят к получению заданных выходных значений. Обратные задачи возникают, в частности, при решении задач планирования, диагностирования, управления ресурсами, что составляет достаточно большую долю в процессе принятия решений. Поэтому наряду с прямыми задачами решение обратных задач является актуальным для современных СППР.

Решение обратных задач для нечётких систем можно назвать обратным выводом, или нисходящим выводом.

Следует отметить, что методы, предназначенные для решения обратных задач в СППР, разработаны лишь для ряда частных случаев моделей (например, для моделей, основанных на классической логике). В логиках обратная задача связана с так называемым абдуктивным выводом. Большой вклад в развитие теории абдуктивного вывода внесли Ч. Пирс [27], В. Н. Вагин [9].

Для нечётких систем обратные задачи формулируются как задачи нечёткого обратного вывода. В данном направлении стоит отметить работы Е. Санчеса [48], Г. Ли [44]. При этом в настоящее время общего подхода к решению задач нечёткого обратного вывода для произвольных нечётких систем не существует.

Таким образом, имеется противоречие между существующими потребностями в методике решения обратных задач для нечётких систем и текущим уровнем развития данной области.

Это противоречие обуславливает научную задачу разработки методов и программных средств поддержки принятия решений на основе нечёткого обратного вывода.

Целью исследования является повышение эффективности процессов обработки данных и знаний в СППР с помощью разрабатываемых методов и программных средств поддержки принятия решений на основе нечёткого обратного вывода и нечётких оценочных моделей.

Научной задачей диссертационной работы является исследование и разработка методов и программных средств поддержки принятия решений на основе нечёткого обратного вывода для повышения эффективности процессов обработки данных и знаний в СППР.

Для достижения поставленной цели исследования необходимо решить ряд следующих задач:

1. Анализ существующих способов и средств построения СППР.

2. Анализ существующих методов построения нечётких систем.

3. Анализ постановок задачи нечёткого обратного вывода и выявление их ограничений.

4. Разработка методов нечёткого обратного вывода для нечётких систем.

5. Анализ способов построения нечётких оценочных моделей и их ограничений.

6. Разработка способов построения нечётких оценочных моделей.

7. Разработка методов нечёткого обратного вывода для нечётких оценочных моделей.

8. Анализ существующих способов и средств построения СППР.

9. Разработка методики построения СППР на основе нечёткого обратного вывода.

10.Разработка прототипа СППР на основе нечёткого обратного вывода.

Объектом исследования являются программные средства систем поддержки принятия решений на основе нечёткого обратного вывода и нечётких оценочных моделей.

Предметом исследования являются методы нечёткого обратного вывода и способы построения нечётких оценочных моделей для использования в программных средствах поддержки принятия решений.

В ходе работы над диссертацией были использованы следующие методы исследований: методы системного анализа, теории нечётких множеств, нечётких систем и нечёткого логического вывода, методы когнитивного моделирования, методы оптимизации, методы анализа и проектирования программных средств.

Обоснованность научных результатов и выводов, представленных в работе, определяется корректным применением использованных методов исследования.

Достоверность научных положений подтверждена данными экспериментов с привлечением экспертных оценок, апробацией основных результатов работы на конференциях, практическим внедрением предложенных методов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработаны методы нечёткого обратного вывода для различных классов нечётких систем, предназначенные для программной реализации в СГШР.

2. Предложен способ построения нечёткой оценочной модели, позволяющий учитывать различную степень согласованности частных целей с общей в программных средствах СППР

3. Разработан метод нечёткого обратного вывода, позволяющий получить обобщённую оценку с учётом различных степеней согласованности частных целей с общей целью в программных средствах СППР. Практическая значимость работы состоит в:

1. Разработанных и реализованных алгоритмах обработки данных и знаний на основе нечёткого обратного вывода.

2. Предложенной методике построения СППР на основе нечёткого обратного вывода и нечётких оценочных моделей.

3. Разработанном прототипе СППР на основе нечёткого обратного вывода.

На защиту выносятся:

1. Методы нечёткого обратного вывода для различных классов нечётких систем, предназначенные для программной реализации в СППР.

2. Способ построения нечёткой оценочной модели с учётом частных целей, имеющих различную степень согласованности с общей целью, предназначенный для программной реализации в СППР.

3. Метод нечёткого обратного вывода для предложенной нечёткой оценочной модели, предназначенные для программной реализации в СППР.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

• Четырнадцатая Международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, 2008),

• V Межрегиональная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Информационные технологии, энергетика и экономика» (Смоленск, 2008),

• Пятнадцатая Международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, 2009),

• 6-я Межрегиональная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Информационные технологии, энергетика и экономика» (Смоленск, 2009).

Публикации. Основные результаты работы отражены в 8 научных публикациях, в том числе в 1 статье в журнале из перечня ВАК.

Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований 09-01-00154-а «Развитие теории и методов нечеткого когнитивного анализа и моделирования для формирования и обработки знаний в интеллектуальных системах поддержки принятия решений».

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы.

Основные результаты диссертационной работы можно отразить в следующих выводах.

1. Проанализированы существующие способы и средства построения СППР.

2. Выполнен анализ существующих методов построения нечётких систем.

3. Проанализированы постановки задачи нечёткого обратного вывода и выявлены их недостатки. Главный недостаток заключается в «жёсткости» задания требуемых выходных значений.

4. Проанализированы методы построения нечётких оценочных моделей. Выявлены их недостатки.

5. Предложены постановки задачи нечёткого обратного вывода для нечётких систем типа ОВОВ, МВОВ, МВМВ, свободные от «жёсткости» задания требуемых на выходах системы нечётких значений.

6. Разработаны методы нечёткого обратного вывода для нечётких систем типа ОВОВ, МВОВ, МВМВ.

7. Разработан способ построения нечётких оценочных моделей, позволяющих получить оценку достижимости общей цели с учетом степеней согласованности частных целей (в том числе, противоречивых общей цели).

8. Разработан методы нечёткого обратного вывода для предложенных нечётких оценочных моделей.

9. Разработаны методика построения СППР на основе нечётких систем с нечётким обратным выводом.

10.Рассмотрена задача мониторинга радиочастотного спектра, отмечена её актуальность.

11 .Разработан прототип СППР на основе нечётких систем с нечётким обратным выводом для выбора параметров системы мониторинга радиочастотного спектра, показана эффективность предложенного решения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Архипкин, В.Я. B-CDMA: синтез и анализ систем фиксированной радиосвязи / В.Я. Архипкин, И.А. Голяницкий. М.: Эко-Трендз, 2002.

2. Круглов, В.В. Гибридные нейронные сети / В.В. Круглов, В.В. Борисов. -Смоленск: Русич, 2001.

3. Круглов, В.В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика / В.В. Круглов, В.В. Борисов. М.: Горячая линия - Телеком, 2002.

4. Борисов, А.Н. Обработка нечёткой информации в системах принятия решений / А.Н. Борисов. М.: Радио и связь, 1989.

5. Борисов, В.В. Нечеткие модели и сети / В.В. Круглов, В.В. Борисов, А.С. Федулов. М.: Горячая линия - Телеком, 2007.

6. Борисов, В.В. Нечеткие оценочные модели сложных систем с учетом согласования неравнозначных целей / В.В. Борисов, А.С. Федулов // Нейрокомпьютеры: разработка, применение, №5, 2003, с. 3 12.

7. Борисов, В.В. Обобщённые нечёткие когнитивные карты / В.В. Борисов, А.С. Федулов // Нейрокомпьютеры: разработка, применение, №4, 2004, с. 3-20.

8. Беллман, Р. Принятие решений в расплывчатых условиях / Р. Беллман, JI. Заде; под ред. И. Ф. Шахнова. // Вопросы анализа и процедуры принятия решений: Сб. переводов. -М.: Мир, 1976, с. 172-215.

9. Вагин, В.Н. Достоверный и правдоподобный вывод в интеллектуальных системах / В.Н. Вагин, Е.Ю. Головина, А.А. Загорянская, М.В. Фомина. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

10. Ю.Денисов, A.M. Введение в теорию обратных задач / A.M. Денисов. М.: Издательство МГУ, 1994.

11. П.Дюбуа, Д. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике / Д. Дюбуа, А. Прад, пер. с фр. -М.: Радио и связь, 1990.

12. Заде, Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений / Л. Заде. -М.: Мир, 1976.

13. Кофман, А. Введение в теорию нечетких множеств / А. Кофман. М.: Радио и связь, 1982.

14. Лаврухин, B.C. К вопросу об обратном нечетком выводе / B.C. Лаврухин // ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, ЭНЕРГЕТИКА И ЭКОНОМИКА. Сб. трудов V Межрег. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов. В 3 т., т. 1. 2008.

15. Лаврухин, B.C. Обратный нечеткий вывод в задаче мониторинга радиочастотного спектра / B.C. Лаврухин // ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, ЭНЕРГЕТИКА И ЭКОНОМИКА. Сб. трудов 6-й Межрег. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов. В 3 т., т. 1. 2009.

16. Лаврухин, B.C. Способ построения нечетких оценочных моделей сложных систем с учетом противоречивости целей / B.C. Лаврухин, Л.В. Максимова // Вестник Войсковой ПВО, вып. 1, 2009.

17. Лаврухин, B.C. Метод построения нечётких оценочных моделей сложных систем с учетом противоречивости общей и частных целей / B.C.

18. Лаврухин, А.С. Федулов // Журнал «Нейрокомпьютеры: разработка, применение», №8, 2009. с. 12 - 17.

19. Ларичев, О.И. Системы поддержки принятия решений: современное состояние и перспективы развития / О.И. Ларичев, А.Б. Петровский // Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, т.21,1987.

20. Леоненков, А.В. Нечёткое моделирование в среде MATLAB и fuzzy'TECH / А.В. Леоненков. СПб.: БХВ-Петербург, 2005.

21. Максимов, В.И. Структурно-целевой анализ развития социально-экономических ситуаций: Автореферат докт. дис. / В.И. Максимов М.: ИПУ РАН, 2002.

22. Мелихов, А.Н. Ситуационные советующие системы с нечёткой логикой / А.Н. Мелихов, Л.С. Бернштейн, С.Я. Коровин. М.: Наука, 1990.

23. Нечёткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Под ред. Поспелова Д.А. -М.: Наука, 1986.

24. Петровский, А.Б. Компьютерная поддержка принятия решений: современное состояние и перспективы развития / А.Б. Петровский // Системные исследования. Методологические проблемы. М.: Эдиториал УРСС, №24, 1996.

25. Прикладные нечёткие системы / Под ред. Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугено. -М.: Мир, 1993.

26. Прокис, Дж. Цифровая связь / Дж. Прокис, пер. с англ. под ред. Д.Д. Кловского. -М.: Радио и связь, 2000.

27. Раушер, К. Основы спектрального анализа / К. Раушер, Ф. Йанссен, Р. Минихольд, пер. с. англ. С.М. Смольского, под редакцией Ю.А. Гребенко М.: Горячая линия - Телеком, 2006.

28. Роберте, Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам / Ф.С. Роберте. -М.: Наука, 1986.

29. Романов, В.Г. Обратные задачи математической физики / В.Г. Романов. -М.: Наука, 1984.

30. Скляр, Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение / Б. Скляр, 2-е издание, пер. с англ. М.: Издательский дом «Вильяме», 2003.

31. Силов, В.Б. Принятие стратегических решений в нечёткой обстановке / В.Б. Силов. -М.: ИНПРО-РЕС, 1995.

32. Трахтенгерц, Э.А. Компьютерная поддержка принятия решений / Э.А. Трахтенгерц. -М.: СИНТЕГ, 1998.

33. Axelrod, R. Structure of decision: the cognitive maps of political elites / R. Axelrod. Princeton: Princeton University Press, 1976.

34. Bellman, R.E. Decision-making in fuzzy environment / R.E. Bellman, L.A. Zadeh // Management Science, vol.17, no.4, 1970. pp. 141-164.

35. Dieulot, J.Y. Inverse fuzzy sum-product composition and its application to fuzzy linguistic modeling / J.Y. Dieulot, P. Borne // Studies in Informatics and Control, vol. 14, no. 2, 2005.

36. Carvalho, J.P. Automatic implementation and simulation of qualitative cognitive maps / J.P. Carvalho, J. A. Tome. // In Proc. of the 18th International

37. Conference on Computational Science, San Francisco, California, USA, 2001. -pp. 217-221,

38. Carvalho, J.P. Rule-based fuzzy cognitive maps expressing time in qualitative system dynamics / J.P. Carvalho, J.A. Tome. // In Proc. of FUZZ-IEEE'2001, Melbourne, Australia, 2001. - pp. 280-283.

39. Kosko, B. Fuzzy cognitive maps / B. Kosko // International Journal of Man-Machine Studies, vol. 24, 1986. pp. 65-75.

40. Li, G. Solving interval-valued fuzzy relation equations / G. Li, S.C. Fang // IEEE Transactions on Fuzzy Systems, vol. 6-2, 1998. pp. 321-324.

41. Mamdani, E.H. An experiment in linguistic synthesis with a fuzzy logic controller / E.H. Mamdani, S. Assilian // International Journal of Man-Machine Studies, vol. 7, no. 1,1975. pp. 1-13.

42. Sanchez, E. Resolution of composite fuzzy relation equations / E. Sanchez // Inform. Contr., vol.30, 1976. pp. 38-48.

43. Stepnicka, M. Systems of fuzzy relation equations: new solvability criteria based on the orthogonality condition / M. Stepnicka, L. Noskova

44. Tolman, E.C. Cognitive maps in rats and men / E.C. Tolman // Psychological review, vol.42, no. 55, 1948. pp. 189-208.

45. Turban, E. Decision support and expert systems: management support systems / E. Turban. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, 1995.

46. Zadeh, L.A. Fuzzy sets / L.A. Zadeh // Information and Control, vol. 8, 1965. -pp. 338-353.