автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Оценка числовых характеристик параметров технических объектов при нечётких исходных данных

1 <

На правах ру

ПЕРВУШИНА Наталья Александровна

оценка числовых характеристик параметров технических объектов при нечётких исходных данных

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических на\к

Челябинск - 2006

\

Работа выполнена на кафедре автоматизированных информационных и вычислите тьных систем государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Снежинская государственная физико-техническая академия», г. Снежинск Челябинской области.

На> чный р> ководитель: кандидат технических на> к, доцент

Крушный Валерий Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент

Соколинский Леонид Борисович

кандидат физико-математических наук, кандидат технических наук, доцент Рыжов Александр Павлович

Ведущая организация: Уральский государственный технический

университет - Уральский политехнический институт, г. Екатеринбург

Защита состоится «Л'3» ¡ЛССумЯ-2006 г. в часов на заседании дис-

сертационного совета Д 212.296.02 по присуждению учёной степени доктора (кандидата) наук при Челябинском государственном университете по адресу: 454021. г. Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Челябинского государственного \ниверситета.

Автореферат разослан « /у* » аг&ЬьСии! 2006 г.

Учёный секретарь диссертационного совета доктор физ. - мат. наук, профессор

у7^ г В. И. Ухоботов

/

д006&

^ общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Оценка числовых характеристик параметров технических объектов и процессов является неотъемлемой процедурой при определении их точности и надёжности. В инженерной практике часто возникает необходимость решения задач оценивания при наличии неполной статистической информации или отсутствии таковой вследствие невозможности проведения эксперимента по причинам дороговизны или аппаратурной недоступности исследуемого технического параметра. Такие ситуации возникают вследствие недостаточной изученности объектов, невозможности получения той или иной информации в полном объёме, а также при наличии неполных или приблизительных числовых данных в форме оценок экспертов.

В языке традиционной математики нет объектов, с помощью которых можно было бы достаточно точно отразить нечёткость представлений экспертов, нечёткость исходных данных. Поэтому, представляют интерес работы, связанные с развитием аппарата математического моделирования нечётко заданных параметров технических объектов с целью дальнейшей работы по оценке влияния этих параметров на качество объекта в целом.

Актуальность работы по созданию математического аппарата теории оценивания на основе нечётких множеств (в рамках теории нечётких множеств) обусловлена необходимостью проведения расчётов точности технических >ст-ройств при наличии нечётких исходных данных.

Одним из математических направлений, которое занимается классификацией, анализом и работой с нечёткими данными является теория нечётких множеств. Эта теория была впервые предложена американским математиком Лот-фи Заде в 1965 году и предназначалась для представления неточных понятий, возникающих при решении задач как континуальной, так и дискретной математики. Эта теория развивалась и отображалась в научных работах самого Л Заде1, в работах А. Кофмана2, Р. Ягера и многих других Проблеме нечётких вычислений, а также автоматизированной обработке знаний с НЕ-факторами4 ( чёткость, неопределённость, неточность, неполнота) посвящены многие современные научные исследования как в России, так и за рубежом.

Др>гим математическим направлением, занимающимся решением задач в условиях неопределённости и неточности является интервальный андип Интервальный анализ или теория грубых множеств или была предложена Ж Пав-лаком в начале 1980-х годов как новый математический инструмент для работы с неопределённостью и неточностью.

Зале .1 А Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию при" Ы/Кеннь \ ,ч шений -М Мир. 1976 - 165 с

" Кофман А Введение в теорию нечетких множеств Пер с фрака - \1 Радиоисвя!ь. 1^82 -4-2, нт

Нечеткие мно/кества и теория возможностей Под ре I 1' Р Я|ера -М Радиоисвяп, .''86 -498 с " Нариньяни А С Неопределенность в системах представпения и обработки знаний И)в \НС(СР

Техническая кибернетика -1989 -.N'«5 ----

>>«>(.. НАЦИОНАЛЬНАЯ 1 БИБЛИОТЕКА {

С.Петарбург /^^ • *, р»

Задачами интервальной арифметики в настоящее время занимаются многие ученые Шокин Ю. П.. академик, дф-мн.. директор Института вычислительных технологий СО РАН, профессор НГУ", Меньшиков Г. Г, д.т.н., профессор. заведующий кафедрой математической теории микропроцессорных систем управления Санкт-Петербургского государственного университета6, Шлрый С П.. профессор. д ф-м. н., сотрудник институт вычислительных техно-югий СО РАН (Новособирск)7 и многие другие. За 25 лет это направление эво-чюшюнирова ю и получило широкое применение.

Основными недостатками интервальных оценок в сравнении с нечёткими является их «грубость», получение конечного результата только в виде интервала и невозможность работы в условиях отсутствия статистической информации Поэтому в диссертационной работе в качестве способа описания нечётких данных выбраны математические модели теории нечётких множеств - нечёткие иисла. Они оказались удобны для описания случайных погрешностей технических устройств в условиях отсутствия статистической информации. Оценивание параметров методами теории нечётких множеств является альтернативой общепринятым количественным методам анализа систем. Основным достоинством у казанной теории является то, что существует большая гибкость в представлении исходных данных и интерпретировании конечных результатов.

Оленкам числовых характеристик нечётких чисел (среднего значения и дисперсии), повещён, например, труд Роберта Фуллера8, но наряду с существующими методами описания и преобразования нечётко заданных параметров, обнаруживается отсутствие практических методик оценки числовых характеристик нечётких чисел произвольной формы. Эти характеристики необходимы, например, чтобы, например, оценить суммарную погрешность технического устройства, если её составляющие описаны нечётко. В диссертации предложены математические методы, позволяющие более гибко подходить к классической задаче оценивания таких числовых характеристик технических параметров как математическое ожидание, дисперсия и ковариация в условиях недостаточности статистической информации или отсутствия таковой и на их основе проводить комплексную оценку влияния нечётко заданных параметров на исследуемый объект.

Це1ь диссертационной работы заключалась в разработке математического аппарата, предназначенного для обеспечения эффективной оценки числовых характеристик параметров технического объекта при наличии нечёткой статистической информации или её отсутствии, основой которого является теория нечётких множеств.

Шокин Ю И Об интервальных задачах, интервальных алгоритмах и их тр\доемкости /■■' Вычисли-*ельные технологии - 1996 - Т. ]

Меньшиков Г Г Интервальный анализ и методы вычислений Конспект лекций. Отдел оперативной почиграфии НИИХ СПБГУ, 1998 - 2001 Шарый С П Конечномерный интервальный анализ (http www ictnsc.ru/interval/Books/Sharx/FInAnalpdf) ' Fuller R . Vlajlender P On Weighted possibihstic mean and variance of fuzzy numbers. 2001 (http www tucb f]'Publications/techreports/TR466 pdf)

Направление исследований определено как развитие теоретических положений по решению задач оценивания параметров технических объектов и разработка методических и инструментальных средств поддержки данной технологии оценивания.

Научная новизна предлагаемых методов и методик в том, что впервые

■ предложена математическая модель для описания случайной погрешности технического устройства при наличии нечётких данных;

■ создана классификация типов нечётких чисел, используемых для описания случайных погрешностей;

■ усовершенствованы математические методы оценки числовых характеристик нечётких чисел;

■ выполнены оценки среднего значения и дисперсии для стандартного набора нечётких чисел;

■ произведён анализ явления корреляции между нечёткими числами различной формы, а также выполнена количественная оценка коэффициентов корреляции;

• разработана и алгоритмизирована методика оценкч суммарного влияния нечётко заданных погрешностей в многозвенных системах;

■ разработана методика оценки поглощённой дозы излучения рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01;

■ создан программный комплекс, с помощью которого практически реализуются предложенные автором математические методы.

Достоверность результатов, представленных в диссертации подтверждена сравнением достоверных статистических оценок с нечёткими оценками на практических примерах; проверкой достоверности отличий результатов, полеченных статистически и нечёткими оценками, по параметрическому критерию; экспериментальным подтверждением результатов моделирования и согласованием с литературными данными других авторов.

Практическая ценность новых методик в том, что ими заполняется пробел в теории оценивания, связанный с невозможностью математического описания технических параметров при отсутствии статистической информации, невозможностью оценки среднего значения и дисперсии без статистических данных, невозможностью определения степени взаимосвязи между техническими параметрами, статистическую информацию о которых получить затруднительно или невозможно.

Разработанные методики расчёта числовых характеристик нечётких чисет дают возможность оперировать с нечёткими числами как с вероятностными распределениями, что даёт возможность использовать известные вероятностные методики оценки, например, их суммарного влияния.

Предлагаемый математический и моделирующий аппарат может быть использован как инженерами-исследователями измерительной техники при оценке точности и надёжности технических устройств, так и аналитиками-статистами, имеющими недостаточный объём исходной информации для оценки.

Ра\ тьтаты диссертационных исследований внедрены и применяются", в Снежинской государственной физико-технической академии. На базе предложенных в диссертации методик оценки числовых характеристик нечётких чисел. а также методики оценки суммарного влияния нечётко заданных погрешностей на точность технического устройства в целом, разработано программное средство. чредназначенное для оценки точности технического устройства при нечёткой исходной информации - «HOTO».

Методы и алгоритмы оценки числовых характеристик технических объектов. предлагаемые в диссертации, используются в Снежинской государственной физико-технической академии в рамках курса «Теория нечётких множеств». издано методическое пособие [8].

Автор iащищает

■ математические методы и алгоритмы идентификации формы и построения функций принадлежности, нечётких чисел описывающих параметры технического объекта;

■ математические методы и алгоритмы оценки числовых характеристик (среднего значения, дисперсии), а также степени взаимосвязи (ковариация и корреляция) для нечётких чисел произвольного вида;

• методику оценки суммарного влияния нечётко заданных погрешностей в многозвенных системах;

■ методику оценки величины поглощённой дозы излучения рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01;

■ инструментальные средства поддержки предлагаемых методов.

Апробация работы Материалы, вошедшие в диссертацию, докладывались

и были представлены на научно-технических конференциях «Дни науки ОТИ МИФИ» (Озёрск, 2002, 2003). на III межвузовской отраслевой научно-технической конференции «Автоматизация и прогрессивные технологии (Но-воуральск. 2002), на международной научно-практической конференции «Сне-жинск и наука» (Снежинск, 2003), на IX Нижегородской сессии молодых учёных (Саров. 2004), на отраслевой научно-технической конференции «Технология и автоматизация атомной энергетики» ТААЭ-2004 (Северск, 2004). Практическая ценность подтверждена хоздоговорными и госбюджетными практическими исследованиями: НИР по техническому заданию Российского Федерального Ядерного Центра Всероссийского научно-исследовательского института теоретической физики имени академика Забабахина Е. Н. (РФЯЦ-ВНИИТФ) от 18.11.2002 года «Определение статистических характеристик параметров рентгеновского тракта компьютерного томографа РКТ-01», работы по программе совместного инновационного сотрудничества Министерства образования России и Министерства РФ по атомной энергии - проект 4.03.-07 «Методы оценки состояния технических систем по нечётким данным». В 2003 году исследования автора по данной тематике признаны победителем конкурса научных проектов аспирантов и молодых учёных ВУЗов Челябинской области.

Публикации Основное содержание диссертационного исследования опубликовано в 10 научных работах и использовано в методическом пособии к практическим работам по курсу «Теория нечётких множеств».

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложений и списка литературы, включающего 104 источника, изложена на 180 страницах, включает 65 рисунков и 14 таблиц.

основное содержание работы

Во введении сформулирована актуальность темы диссертационной работы, её цель, научная новизна и практическая ценность исследований, а также приведены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертационной работы проведён обзор существующих математических методов, применяемых при решении задач оценивания. Значительное внимание уделено существующим методам оценки числовых характеристик технических объектов при наличии нечёткой исходной информации и методам теории нечётких множеств на основе известной аналогии «вероятность - случайность - нечёткость».

Выявлено отсутствие практических методов оценки числовых характеристик нечётких чисел произвольной формы: среднего значения, дисперсии, среднеквадратического отклонения, а так же отсутствие математических методов оценки степени взаимосвязи между нечёткими числами произвольной формы.

Выполнен обзор современных пакетов прикладных программ, работающих как со статистическими данными, так и с нечёткостями. Выявлено, что типовые программные средства требуют дополнительных знаний об их структуре и возможностях применения, а также позволяют выполнять ограниченный набор операций с нечёткими множествами и нечёткими числами, не достаточный для решения конкретных задач в рамках теории оценивания. Поэтому, возникает необходимость в разработке математико-аналитического аппарата на основе теории нечётких множеств, позволяющего не только описывать нечёткие параметры, но и производить оценку числовых характеристик.

В заключение главы поставлены задачи исследования, которые сводятся к следующему:

■ разработка математических методов идентификации формы и моделирования функций принадлежности нечётких чисет, предназначенных дтя описания технических параметров при наличии неполной статистической информации или её отсутствии;

■ разработка математических методов оценки числовых xapakicpiu . технических параметров и степени взаимосвязи между ними при нечёткой исходной информации:

■ создание математической модели процесса оценки суммарного влияния нечётко заданных погрешностей в многозвенных системах;

■ решение задачи оценки числовых характеристик для стандартного набора нечётких чисел;

■ алгоритмизация математических методов оценки числовых характери-и г к технических параметров при нечётких исходных данных;

■ ра¡работка программного средства, позволяющего моделировать нечёткие числа различной формы, производить расчёт числовых характеристик и опенк> суммарного влияния нечётких погрешностей в многозвенных системах;

■ анализ достоверности результатов, полученных предложенными в диссертации методами и практическое подтверждение результатов исследования моделированием процесса оценки поглощённой дозы рентгеновского изучения компьютерного томографа РКТ-01.

Сделан вывод о необходимости и возможности применения методов теории неч^.ких множеств к решению поставленных задач оценивания в связи с недостаточностью и отсутствием методов классической процедуры оценивания в области нечётких данных.

Вторая глава посвящена концепциям по способам моделирования параметров технических объектов на примере погрешностей функциональных блоков при помощи нечётких чисел и аналитическому решению задачи оценивания числовых характеристик этих параметров методами теории нечётких множеств

В качестве нечёткого параметра технического объекта рассматривается случайная погрешность, как наиболее статистически трудно определимый параметр. Предложено случайные погрешности описывать как унимодальными (треуготьное, котоколообразное), так и толерантными (трапецеидальное, П-бразное) нечёткими числами в зависимости от способа задания - точечного или интервального

Наиболее часто встречающиеся и наиболее сложные в подборе параметров и построении являются асимметричные нечёткие числа. Практические методы определения параметров формы колоколообразного левостороннего и колоко-юобраэ'-ого правостороннего нечётких чисел отсутствуют. Задача нахождения этих параметров требует удобного в практическом использовании решения.

Асимметричные нечёткие числа заданы кусочно-непрерывными функциями относительно центра числа и графически нечёткие числа представлены на рисунках 1 и 2.

И(х)'

щ(х) = 1-ехр(-к1х2), х е[0, а]; = ехр(-к2(х-а)"), хе[а, +ос);

0.

х

где к| и кг - коэффициенты формы левее и правее центра соответственно.

Рису нок 1 - Левостороннее колоколообразное нечёткое число. Получены следующие зависимости к1 (а) и к2(а, ш):

к!(а) =

6.237

к2(а,т) =

1п2

а2т2

где т>1/3, п=3.

1-1

(1)

|д,(х) = [1 + ехр(-а'(х-Ь))] ', хе[0.а]: И2(х) = [1 + ехр(-а"(х - сОД-', х е [а. х]. а">0, а"<0, а' < Ь<|а"| < ё.

Рисунок 2 - Правостороннее колоколообразное нечёткое число.

Зависимость между коэффициентами формы а' и а" следующая:

1-ш , Ь(а) = ш-а,

а =--а , если

п а(а) = а + п • а,

(2)

Соотношения (1) и (2) используются для ручного подбора параметров формы нечётких чисел с асимметрией, а также для машинных расчётов.

Оценка параметров формы нечётких чисел более простых форм (треугольное, трапециидальное) не представляет вычислительной сложности вследствие простоты математического описания.

В случае наличия статистической (измерительной) информации об оцениваемом техническом параметре (случайной погрешности) при его описании, автором предлагается применять метод наименьших квадратов (МНК). Особенность применения МНК к подобным данным заключается в том, что необходима предварительная сортировка имеющихся данных..

Предлагается общий принцип предварительной сортировки данных для оценки параметров формы нечётких чисел.

На первом этапе исходные данные (событие и вероятность его появления в ходе эксперимента) должны быть преобразованы следующим образом' «вероятное ь превращается в принадлежность».

Для того чтобы нечёткое число наилучшим образом соответствовало своему определению или форме, необходимо выбрать из всех точек нечёткого множества те, которые дают «наилучшее» (по мнению лица принимающего решение) представление о форме.

Основными точками, определяющими форм\ нечёткого числа, предложено считать «краевые» точки. Для выделения краевых точек предлагается применять следующий алгоритм:

1-ый шаг - нахождение х, со значением функции принадлежности ¡¿,=1.11ЫХ и отнести х, к краевым.

2-ой шаг - для всех точек х, левее и правее х11ич (по двум ветвям алгоритма)

- вычислить Д, = |дтач - ц,;

- найти min{ Д,}, точку xmm отнести к краевым;

- все точки в интервале [хтш; хтач] отбросить. З-нй шаг - точку \П)1П считать хпыч и выполнить 2-ой шаг.

Если левее или правее xmdX точек нет, то конец работы алгоритма.

После проверки данных на наличие резко выделяющихся значений подбирается подходящее нечёткое число для их описания. Коэффициенты выбранной модели оцениваются, польз) ясь стандартной процедурой МНК.

В диссертации предложена методика оценки среднего значения и дисперсии нечётких чисел произвольной формы, разработанная на базе методики Р Фулекра и Кр. Маджлендера8. Вычислять взвешенное среднее значение нечет1 ого числа предложено как бисредпее значение, т е. среднее по у-} ровню и среднее среди 7-уровней нечёткого числа, считая, что 7-уровни распределены равномерно.

Графически нечёткое число произвольной формы представлено на рисун-r е 3 и его функция принадлежности, в общем виде, записывается так: АМа(х),

^5)-4Ц1(Х)' ^ (3)

\ц2(Х>, а < X

HiW : N \ll;(x sMx X.

/ : \ X

О а хср

Рисунок 3 - Унимодальное нечёткое число произвольного вида и его среднее значение.

Метод оценки среднего значения

i Определяв 1ся сроднее значеьие по у-\роиням нечё1кого числа (штрих-г>нкт!:рн?о тнния на гис^ч^е 4

inf X + sup X

(4)

где inf х и sup х границы уровня (при определённых условиях это функции, хеАу

совпадающие с |Д|"'(у) и ЦгЛу))-

2 Находится среднее значение среди средних величин каждого из у-\ ровней нечёткого числа А (бисреднее):

1 ,

хср = iMbp(y)f(7)dy (5)

О

где цСр '(У)- обратная к цср(х) функция, f(y) - весовая функция.

С учётом предположения о равномерности распределения у-уровней формула (5) принимает вид:

1 ,

хср = Жср(У^У (6)

Площадь под кривой цср"'(у) (на рис. 3 показана штриховкой) равна площади эквивалентного прямоугольника (жирная линия), одна из сторон которого равна 1. а лр\ гая оказывается равна площади фигуры и определяет среднее значение нечёткого числа.

Существуют и другие методы оценки среднего значения нечёткого числа называемые методами дефаззификации, например метол центра тяжести или метод центра площади. Эти методы обладают своими вычислительными тр\ л-ностями и более того, главным преимуществом описанного метода является то, что с его помощью может быть произведена оценка средне' о значения нечёткого числа с разрывной или кусочно-непрерывной функцией принадлежности на ограниченном и неограниченном носителе. И на базе предложенного метода оцениваются остальные числовые характеристики нечётких чисел, такие как дисперсия, среднеквадратическое отклонение, ковариация и корреляция.

Дисперсию, ковариацию и коэффициент корреляции нечётких чисел предложено вычислять в соответствии с определениями, танными вероятностниь теорией, но на основе бисреднего значения нечёткого числа (6):

- 11 -у

D(A) = -J( sup х- inf х) dy П

4 0 хеАу хбАУ

где inf х и sup х границы уровня (при определённых условиях это функция хеАу NeAy

совпадающие с цГ'(у) и Из '(у))> цср"'(у) - обратная к и,г(х) функция.

Оценка ковариации двух нечётких чисел А и В произвольной формы запишется в виде:

1 1

COV(A,B) = - J( sup хд - inf xA)(supxg- inf xg)dy (8)

40 хеАу хеАу хбАу хеАу

где inf x и sup x границы уровня (при определённых условиях это функции,

хеАУ хеАу совпадающие с цГ(у) и Мг Чу))-

Коэффициент корреляции двух нечётких чисел А и В произвольной формы запишется в виде:

R(A.B) = ^j|, (9,

о( А) • а(В)

где а(А) = ^D(A) - СКО нечёткого числа А (В) (D(A) (D(B)) - дисперсия нечёткого числа А (В)).

Значение коэффициента корреляции изменяется в интервале от 0 до 1, как в вероятностной теории. Чем ближе по форме нечёткие числа А и В, тем ближе к 1 коэффициент корреляции (это свойство отображено в таблице 4 см. далее).

На базе оценок представленных числовых характеристик нечётких чисел предложена методика оценки суммарного влияния нечётко заданных погрешностей функциональных блоков технического устройства многозвенной структуры.

В общем случае возможна корреляция между составляющими погрешности, тогда СКО суммарной погрешности, если составляющие описаны нечёткими числами, оценивается согласно правилу:

=. ¿ст2(А;) + 2|;К(А1,А])-о(А1)-ст(А]) (9)

>¡=1 ¡=1

Правомерность использования соотношения (9) в отношении нечётких чисел объясняется тем, что распределение у-уровней нечётких чисел считается равномерным, это распределение является аналогом плотности распределения вероятностей случайных погрешностей в классическом методе.

После того, как случайные погрешности функциональных блоков описаны в виде нечётких чисел, согласно таблице 1, проводится оценка суммарной погрешности технического устройства, если известна схема соединения функциональных блоков.

Возможны три способа соединения: последовательное, параллельное, соединение с обратной связью.

При последовательном и параллельном соединении числовые характеристики суммарной нечёткой погрешности суммируются, а при соединении с обратной связью числовые характеристики суммарной погрешности (10) вычисляются по формулам:

где М,, О, - средние значения и дисперсии случайных погрешностей функциональных блоков исследуемой системы.

Предложенный метод оценки суммарного влияния нечётких случайных погрешностей на погрешность технического устройства в целом, используется в тюбых условиях неточности, неопределённости или неполноты информации.

Достоинством предложенных методов оценки числовых характеристик нечётких чисел и степени их взаимосвязи является то. что они пригодны для нечётких чисел любого вида.

В третьей главе решена задача оценки числовых характеристик для пред-ю,кенного набора нечётких чисел, используемых при описании нечётких параметров в теории оценивания. /

Получены новые аналитические зависимости средних значений и дисперсий от параметров формы нечётких чисел. Решена задача оценки ковариации мя унимодальных и толерантных нечётких чисел, а также задача оценки коэффициента корреляции между техническими параметрами, описанными нечёт-

кими числами. Оценены предельные значения коэффициентов корреляции для различных сочетаний нечётких чисел и получены зависимости величин коэффициентов корреляции от изменения коэффициентов формы того или иного нечёткого числа Все расчёты сведены в структурированные таблицы и удобны для дальнейшего применения - таблицы 1, 2 и 3.

Четвёртая глава посвящена алгоритмизации, предложенных во второй главе, процедур оценивания числовых характеристик параметров технических объектов, а также разработке и описанию программного комплекса, учитывающего структурированные алгоритмы построения функций принадлежности нечётких чисел, алгоритмы оценки числовых характеристик нечётких чисел и алгоритмы оценки суммарного влияния нечёткости

Созданы:

■ оригинальный алгоритм построения функции принадлежности нечётких чисел, который имеет свои особенности в зависимости от типа исходной информации

■ алгоритм оценки числовых характеристик нечётких чисел и корреляции, который складывается из алгоритмов оценки среднего значения, дисперсии и коэффициента корреляции;

• алгоритм оценки суммарной погрешности технических объектов многозвенной структуры.

Предложенные алгоритмы упорядочены б виде структур и схем, которые явились основой для создания программного обеспечения в виде комплекса программных модулей с единым пользовательским интерфейсом, реализующего эти алгоритмы.

Разработан программный комплекс, как необходимое инструментальное средство, позволяющее использовать предложенные методы непосредственно в инженерной практике. Программный комплекс получил наименование «HOTO» - «Нечёткая Оценка Точности».

В пятой главе выполнен анализ достоверности результатов, получаемых нечёткими методами и практическое подтверждение результатов исследования созданием методики оценки поглощённой дозы излучения рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01.

Достоверность оценок, полученных новыми методами, подтверждена на практическом примере и статистическим критерием Разница статистических и нечётких оценок среднего значения при наличии достаточного объёма исходной информации составляет примерно 1%, а разница значений дисперсий может достигать 50%. Это связано с тем, что при нечётом задании происходит охват большей области действительных чисел, чем область реальных статистических значений, т.е. даётся более расплывчатое представление, чем в действительности, но значения дисперсий могут быть уменьшены, если появляется дополнительная информация, уточняющая область возможных значений. Подтверждено, что отсутствие различия между статистической и нечёткой оценкой среднего значения статистически достоверно.

Подтверждена работоспособность новых методов на конкретных примерах: оценки погрешности измерения силы ионизационного тока и на примере определения суммарной погрешности технического устройства многозвенной структуры.

Таблица 1 - Числовые характеристики унимодальных нечётких чисел.

„4° п/п

Название нечёткого числа

ЬЯ-представление

Среднее значение

Дисперсия

ЬЯ(а, а, Р)

треугольное

Цх) = —- +1, х б [а - а; а]; а

1*(х) = ^- + 1.хе[а.а + р]

а +

р-а

(а + рг 12

колоколообразное симметричное

1Л1(а)

(х-аГ

Цх) = Л(х) = е

= Р 2а

ЬЩа, Ь, с1)

колоколообразное правостороннее

Цх) = -

-ехр(-а'(х-Ь))

хе[-оо;а]; Я(х) =

1

ъ + л

1 + ехр(-а"(х - а)) х е [а;+°о]; а1 >0, а"<0; а'<Ь<|а"|<с1.

(Ь-«Г

4 а а

колоколообразное левостороннее

кьк2) ]Цч) = 1-е"к|Х~, \е[0.а],

[к(ч) = е"к1(ч"а)".х€[а:со]. к,>к2

к)+а" 0,29!

0,443(,,--

|7~)+ т ; 0.443а(Д| / кл 1 i т-. -!

Таблица 2 - Числовые характеристики толерантных нечётких чисел.

№ п/п Название нечёткого числа ЬЯ-представление Среднее значение Дисперсия

1 трапецеидальное Ь,4Х, Р) Ь(\) = +1. х е [а - а. а]: о 1. х 6 [а, Ь], 1*(х) = ^р + 1,хе[а;а + р], а + Ь (3 — ос -+ г- 2 4 (и + Р)2 12 , (а-Ьг 4

2 П-образное симметричное ЬЛ(а, Ь, а, (3) Цх) = е-(х"а>2/о2,х<а; 1,х 6 [а,Ь]; Я(х) = е"(х"Ь)2/с\х>Ь а + Ь ~2~ (а-Ь)2+о2 4

3 П-образное правостороннее ЬЩа, Ь, п, ш) Цх) =-5-, 1 - ехр(-а'(х - п)) х е [-оо: а], 1, х е [а; Ь], Щх) =-!-. 1 + ехр(-а"(х - т)) хе[Ь; + оо]; ' > 0- а" < 0; а' < п<|а"[ < т п + т 2 (а-Ь)2 + 4 2 (п-ш + Ь-а) 4 3,29,. 1 +~г(~—^ • 4 а а

4 П-образное левостороннее ЬЩа, Ь, к|, к2) Цх)=1-е"к1х . \е[0,а], 1, х £ [а,Ь], 2 Я(х) = е"к1(х_Ь) ,хе[Ь,*], к,>к2 ь - + 2 +0,443( — + — \к1 \к2 (а-ЬГ ^ 4 к) + к? а' +_!-+-- 4к)к2 4 0,582 0,886а(ч/Ц г/цк^

Таблица 4 Корреляция нечетких чисел.

Треугольное (Трапецеидальное) Колоколообразное (П-образное) симметричное Колоколообразное (П-образное) левостороннее Колоколообразное (П-образное) правостороннее

Треугольное (Трапецеидальное) 1 0,99 -/¡2 Ч 724 П1 + 1.037 0,702

8 -^1.955 + 6.7К т + 6,237 т2 Ктач=0,99 Ктт=0>587

Колоколообразное (П-образное) симметричное Колоколообрашое (П-образное) левостороннее 0,99 1 2,497т+ 1,358 0,858

^6,237т2+ 6,78т+ 1,955 ^ та\ 1 Ктт=0,988

ч/П> 5,724 п< +1.017 2,497т+1,358 1 1,72 (1,006т+ 0,647)

* </|,955 + 6 7К т + 0.237 т2 Ятт=0,587 76,237т2+6,78т+ 1,955 ^„=0,988 \/б,237т2 +6,78т +1,955 Ятах=0,763 1*тш=0,692

Колоколообра шое (11-образное) правостороннее 0,702 0,858 1,72 (1,006т+ 0,647) 1

х/б,237т" +6,78т+ 1,955 ^та\=0,763 Я,,„„=0,692

Примечание: т - масштабный коэффициент асимметричного левостороннего нечёткого числа, формирующий функцию принадлежности левее центра.

Впервые появилась возможность оценки поглощённой дозы излучения рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01 с учётом двух важных источников нечёткости - неравномерность распространения рентгеновского излучения за счёт краевого эффекта коллимирующих пластин и нелинейность формы ионизационной камеры, регистрирующей излучение. Предложенные автором методы оценки позволили учесть в анализе поглощенной дозы эти два вида нечёткостей и полу чить результат очень близкий к эксперименту.

Оценка поглощённой дозы производилась при помощи пропорционально1 о сопоставления среднего значения нечёткого числа, полученного пересечение двух исходных, с известной максимально возможной дозой излучения. Аналитическая оценка поглощённой дозы при однослойном сканировании органа пациента может быть использована в медицинских целях для контроля величины суммарной дозы.

Основные выводы по диссертационной работе

* Проведён анализ математических методов теории оценивания связанных с нахождением числовых характеристик параметров технических объектов в условиях наличия информации и в условиях неопределённости или неполноты таковой. Выявлено отсутствие методик описания параметров и оценивания и\ числовых характеристик (среднего значения и дисперсии), при нечётком задании.

■ Выполнен обзор современных программных средств по обработке полной статистической информации, а так же нечётких, неточных или неполных статистических данных об исследуемом параметре или характеристике технического объекта. Выявлены их основныеЩостоинства и недостатки.

■ Представлены теоретические положения по принципам задания нечётких параметров при помощи нечётких чисел в зависимости от их лексического описания. Усовершенствованы методы оценки среднего значения и дисперсии нечётких чисел различной формы. Разработанные положения теории оценивания, позволили повысить вероятность решения задач оценивания в условиях невозможности получения статистической информации.

■ Практически и математически подтверждена достоверность результатов полученных предложенными методами, что позволяет их использовать при решении реальных практических задач. Полученное аналитическое соотношение для среднего значения нечёткого числа предложено использовать как новый метод дефаззицикации.

■ Создана классификация типов нечётких чисел, применяемых для описания случайных погрешностей технических устройств, представлены их математические модели и получены зависимости средних значений и дисперсий от параметров формы. Предложен метод проведения количественной оценки нечётко заданных погрешностей функциональных блоков многозвенной технической системы, а также метод оценки их суммарного влияния. Предложен метод оценки степени взаимосвязи нечётко заданных параметров при помощи коэффициента корреляции, которая учитывается при оценке суммарного влияния нечётко заданных погрешностей. Получены зависимости коэффициента корреляции от параметров формы нечётких чисел. Все аналитические зависимости числовых ха-

рактеристик нечётких чисел от параметров формы сведены в структурированные таблицы, позволившие упростить решение сложных задач по оценке точности работы устройства.

■ Разработанные теоретические положения опробованы экспериментально. Техническим объектом исследования явился рентгеновский компьютерный томограф РКТ-01.

■ Методики оценки, предложенные в работе, используются в Снежинской государственной физико-технической академии при изучении курса теории нечётких множеств и включены в методическое пособие.

• На базе новых методик разработаны алгоритмы и программное средство «HOTO», позволившие провести комплексную оценку суммарной погрешности технического устройства в зависимости от его структуры при наличии потной статистической информации и при её отсутствии, максимально упрощающее и визуализирующее результаты всех расчётов

Публикации:

1. Еронина Н. А. Описание нечёткостей теории оценивания при помощи теории нечётких множеств //Автоматизация и прогрессивные технолгии: Труды III межотраслевой научно-технической конференции. - Новоуральск: НГТИ,

2002.-С. 78-81.

2. Еронина Н. А. Оценка дисперсии нечёткого числа //Снежинск и наука

2003. Современные проблемы атомной науки и техники: Сборник научных трудов Международной научно-практической конференции. - Снежинск Челябинской области: изд-во СГФТА, 2003. - С. 132-133.

3. Еронина Н. А. Оценка ковариации и корреляции нечётких чисел //Снежинск и наука 2003. Современные проблемы атомной науки и техники: Сборник научных трудов Международной научно-практической конференции. -Снежинск Челябинской области: СГФТА, 2003. - С. 130-131.

4. Еронина Н. А. Оценка среднего значения нечёткого числа //Снежинск и паука 2003. Современные проблемы атомной науки и техники: Сборник научных трудов Международной научно-практической конференции. - Снежинск Челябинской области: СГФТА, 2003. - С.134-136.

5. Еронина Н. А. Применение методов теории нечётких множеств в теории оценивания //ТЕЗИСЫ межотраслевой научно-технической конференции «Дни пачки ОТИ МИФИ». - Озёрск Челябинской области: ООО «Форг Диалог-Ис'еть». 2002.-С. 129-131.

6. Еронина Н А., Мякушко Э. В. Контроль работоспособности и функционирования в понятиях нечётких множеств //Ядерно-промышленный комплекс Урала: проблемы и перспективы. Труды второй молодёжной научно-практической конференции - Озёрск Челябинской области: ОТИ МИФИ, 2003.

С. 35-36

7. Первушина Н. А. Методическое пособие к практическим работам по ку рсу: «Теория нечётких множеств». Моделирование решений математических ja 1лч в нечётких условиях. - Снежинск: СГФТА, 2004. - 40 с

8. Первушина Н. А. Алгоритм оценки суммарной погрешности при нечёткой исходной информации //Технология и автоматизация атомной энергетики: Материалы отраслевой научно-технической конференции.- Северск: СГТИ. 2004.-С. 75.

9. Первушина Н. А.' Оценка суммарного влияния нечётких погрешностей функциональных блоков на точность технического устройства в целом //Сборник трудов IX Нижегородской сессии молодых учёных. - Саров: СарФТИ, 2004.

10. Первушина Н. А. Построение функций принадлежности нечётких чисел при наличии неполных статистических данных //Технология и автоматизация атомной энергетики: Сборник научных трудов отраслевой научно-технической конференции.. - Северск: СГТИ. 2004.

11. Первушина Н. А. Применение метода наименьших квадратов к оценке параметров формы нечётких чисел //Технология и автоматизация атомной энергетики: Материалы отраслевой научно-технической конференции. - Северск: СГТИ, 2004.

Гарнитура «Times New Roman» Бумага офсетная Формат 60x84 1\16. Тираж 90 зкз Заказ № 6 С'/от fSC^ С6

Снежинская государственная физико-техническая академия Типография СГФТА. 456776, г. Снежинск, ул Комсомольская. 8.

¿OOS ft

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.II

ГЛАВА 1 Обзор математических методов оценивания числовых характеристик технических параметров.

1.1 Вероятностные методы точечного и интервального оценивания.

1.1.1 Задачи оценивания параметров случайных погрешностей.

1.1.2 Предварительная обработка статистических данных.

1.1.3 Достоинства и недостатки вероятностного подхода к оценке числовых характеристик случайной погрешности.

1.1.4 Случайная суммарная погрешность измерений.

1.2 Интервальная арифметика и нечёткие множества в задачах оценивания.

1.2.1 Интервальный анализ.

1.2.2 Нечёткость, вероятность и случайность.

1.2.3 Нечёткие числа, как способ описания нечётких параметров.

1.2.4 Построение функций принадлежности нечётких чисел.

1.2.5 Современное состояние методов оценки характеристик нечётких чисел. Сильные и слабые стороны.

1.3 Анализ программных средств обработки статистической информации.

1.3.1 Пакеты прикладных программ 81аиз1лса, МаШета^са, Ма1ЬаЬ, Ма^Сас! для обработки статистических данных.

1.3.2 Современное состояние задачи обработки нечёткой информации.

1.4 Постановка задач исследования.

Выводы к первой главе.

ГЛАВА 2 Математические методы оценки числовых характеристик технических параметров при нечёткой информации.

2.1 Методы идентификации формы и моделирования функций принадлежности нечётких чисел.

2.1.1 Математические модели случайных погрешностей.

2.1.2 Метод наименьших квадратов в оценке параметров формы нечётких чисел.

2.2 Методы оценки среднего значения и дисперсии нечётких чисел.

2.2.1 Метод оценки среднего значения нечёткого числа.

2.2.2 Метод оценки дисперсии нечёткого числа.

2.3 Метод оценки ковариации и корреляции нечётких чисел.

2.3.1 Метод оценки ковариации.

2.3.2 Метод оценки корреляции.

2.4 Методика оценки суммарного влияния нечётко заданных погрешностей в многозвенных системах.

Выводы ко второй главе.

ГЛАВА 3 Решение задачи оценивания числовых характеристик нечётких чисел.

3.1 Оценка среднего значения и дисперсии нечётких чисел.

3.1.1 Треугольное нечёткое число.

3.1.2 Трапецеидальное нечёткое число.

3.1.3 Колоколообразное симметричное нечёткое число.

3.1.4 П-образное симметричное нечёткое число.

3.1.5 Колоколообразное правостороннее нечёткое число.

3.1.6 П-образное правостороннее нечёткое число.

3.1.7 Колоколообразное левостороннее нечёткое число.

3.1.8 П-образное левостороннее нечёткое число.

3.2 Оценка ковариации и корреляции нечётких чисел.

3.2.1 Ковариация унимодальных нечётких чисел.

3.2.2 Ковариация толерантных нечётких чисел.

3.2.3 Корреляция нечётких чисел.

Выводы к третьей главе.

ГЛАВА 4 Алгоритмизация математических методов и разработка инструментальных средств.

4.1 Алгоритмизация математических методов оценки числовых характеристик технических параметров.

4.1.1 Алгоритм построения функций принадлежности нечётких чисел (А-ПФП).

4.1.2 Алгоритм оценки числовых характеристик нечётких чисел и корреляции (А-ОЧХ).

4.1.3 Алгоритм оценки суммарной погрешности технических объектов различной структуры (А-ОСП).

4.2 Разработка программного комплекса «HOTO».

4.2.2 Назначение.

4.2.3 Требования к программному комплексу.

4.2.4 Функции.

4.2.5 Инструментальная среда.

4.2.6 Требования к пользователю.

4.2.7 Структура программного комплекса.

Выводы к четвёртой главе.

ГЛАВА 5 Практическое подтверждение результатов исследования.

5.1 Анализ достоверности оценок числовых характеристик нечётких технических параметров.

5.1.1 Достоверность оценок.

5.2.2 Работоспособность методов.

5.1 Методика оценки поглощённой дозы рентгеновского излучения компьютерного томографа РКТ-01.

Выводы к пятой главе.

Оценка статистических характеристик параметров технических объектов, процессов и любых измеренных экспериментальных данных является неотъемлемой процедурой при определении их точности и надёжности. В инженерной практике часто возникает необходимость решения задач оценивания при наличии неполной статистической информации или отсутствии таковой вследствие невозможности проведения эксперимента или аппаратурной недоступности исследуемого технического параметра.

В языке традиционной математики нет моделей, с помощью которых можно было бы достаточно точно отразить нечёткость представлений экспертов, нечёткость исходных данных. Эта нечёткость обычно связана с интервальной неопределённостью описания того или иного технического параметра и возникающими трудностями его описания и дальнейшей обработки [81, 16, 28, 79-81]. Поэтому, представляют интерес работы, связанные с развитием аппарата математического моделирования нечётко заданных параметров технических объектов с целью дальнейшей работы по оценке влияния этих параметров на качество объекта в целом.

Актуальность работы по созданию математических методов теории оценивания на основе нечётких множеств (в рамках теории нечётких множеств) обусловлена необходимостью проведения расчётов точности технических устройств при наличии нечётких исходных данных. Предлагаемый математический аппарат позволяет более гибко подходить к классической задаче оценивания таких числовых характеристик как математическое ожидание, дисперсия и ковариация и на их основе проводить комплексную оценку влияния нечётко заданных параметров на исследуемый объект.

Теория нечётких множеств была впервые предложена американским математиком Лотфи Заде в 1965 году и предназначалась для представления неточных понятий, возникающих при решении задач как континуальной, так и дискретной математики. Эта теория развивалась и отображалась в научных работах самого Л. Заде [24], в работах А. Кофмана [29], Р. Ягера [47] и многих других. Методы, предложенные Заде, получили большую востребованность и применение только в конце ХХ-го века, в связи с появлением ЭВМ для широкого пользования. Теперь задачи с нечёткими параметрами легко могли быть запрограммированы и быстро решены.

Задача оценивания заключается в определении (оценивании) технических параметров с использованием характеристик измерения реальных процессов. При этом даётся не только описание уже происшедших явлений, но и их прогнозирование на будущее. Математическая теория решения задач рассматриваемого типа является теорией оценивания. Классическая теория оценивания опирается на теорию вероятностей и математическую статистику. В настоящее время к теории оценивания активно подключается математический аппарат теории нечётких множеств. На практике, оказалось, очень удобно совмещать математический аппарат теории нечётких множеств с математическим аппаратом теории вероятностей и математической статистики, т.е. появилась возможность оперировать не с обычными множествами, а с нечёткими множествами [58, 94, 96, 102].

Среди части математиков существует мнение, что нечёткая математика -часть теории случайных множеств. Случайное множество - это множество, зависящее от случая. Нечёткое множество можно свести к случайному. Поэтому, есть основание предполагать, что связь между размытостью и вероятностью позволит применить в теории нечёткости методы и результаты, накопленные в теории случайных множеств и наоборот [50, 85].

Общих черт между случайностью и нечёткостью много, но нельзя забывать и о различиях, которые приводят к тому, что математические методы нечётких множеств совершенно не похожи на методы теории вероятностей. Они по многом проще вследствие того, что понятию «вероятность» в теории вероятностей соответствует более простое понятие «функция принадлежности» в теории нечётких множеств. По этой причине, когда неопределённость может быть представлена вероятностной моделью, обычно удобнее с ней оперировать методами теории нечётких множеств [29].

Оценивание параметров методами теории нечётких множеств является альтернативой общепринятым количественным методам анализа систем.

Основным достоинством указанной теории является то, что существует большая гибкость в представлении исходных данных и интерпретировании конечных результатов.

Существенное влияние на развитие такого научного направленил как нечёткое оценивание оказывает современный уровень компьютеризации математических вычислений. В настоящее время накоплен значительный материал в этой области. Например, проблеме нечётких вычислений, а также автоматизированной обработке знаний с НЕ-факторами (нечёткость, неопределённость, неточность, неполнота) посвящены многие современные научные исследования как в России [2, 6, 30, 34, 44, 46, 47, 50, 64-66, 69, 82, 85], так и за рубежом [86-104]. Оценке числовых характеристик нечётких чисел, основного средства описания НЕ-факторов, повещён труд Роберта Фуллера [94]. Однако исследования в этой области не носили системного характера. Кроме того, требуют дальнейшего развития теоретические положения указанной теории относительно нечётких чисел произвольной формы, так как в описании параметров технических устройств нельзя обойтись парой, тройкой стандартных нечётких чисел.

Нечёткие числа во многом аналогичны распределениям теории вероятностей, но свободны от присущих последним недостатков: малое количество пригодных к анализу функций распределения; необходимость их принудительной нормализации; соблюдение требований аддитивности; трудность обоснования адекватности математической абстракции для описания поведения фактических величин.

По сравнению с вероятностным методом, нечёткий метод позволяет резко сократить объём производимых вычислений, что, в свою очередь, приводит к увеличению быстродействия нечётких систем.

При всех видимых достоинствах нечётких систем основным их недостатком является отсутствие стандартной (практически признанной) методики оценки параметров технических объектов и невозможность математического анализа существующими методами.

Цель диссертационной работы - разработка математического аппарата, предназначенного для обеспечения эффективной оценки числовых характеристик параметров технического объекта при наличии нечёткой статистической информации или её отсутствии, основой которого является теория нечётких множеств.

Диссертационная работа направлена на повышение степени разрешимости задач оценивания параметров технических объектов за счёт использования наиболее современных и эффективных математических методов теории нечётких множеств.

Исходя из изложенного, научная проблема диссертационного исследования формулируется следующим образом - разработка математического аппарата, предназначенного для оценки числовых характеристик параметров технических объектов, таких как среднее значение, дисперсия и корреляция, при нечёткой или неполной исходной информации.

Направление исследований определено как развитие теоретических положений по решению задач оценивания параметров технических объектов и разработка методических и инструментальных средств поддержки данной технологии оценивания.

В диссертационной работе в качестве основных концептуальных положений выносятся: математические методы и алгоритмы идентификации формы и построения функций принадлежности, нечётких чисел описывающих параметры технического объекта; математические методы и алгоритмы оценки числовых характеристик (среднего значения, дисперсии), а также степени взаимосвязи (ковариация и корреляция) для нечётких чисел произвольного вида; методика оценки суммарного влияния нечётко заданных пог решностей в многозвенных системах; методика оценки величины поглощённой дозы излучения рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01; инструментальные средства поддержки предлагаемых методов.

Научная новизна предлагаемых методик в том, что впервые предложена математическая модель для описания случайной погрешности технического устройства при наличии нечётких данных; усовершенствованы математические методы оценки числовых характеристик нечётких'чисел; выполнены оценки среднего значения и дисперсии для стандартного набора нечётких чисел; произведён анализ явления корреляции между нечёткими числами различной формы, а также выполнена количественная оценка коэффициентов корреляции; разработана и алгоритмизирована методика оценки суммарного влияния нечётко заданных погрешностей в многозвенных системах; разработана методика оценки поглощённой дозы излучения рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01; создан программный комплекс, с помощью которого практически реализуются предложенные автором математические методы.

Практическая ценность новых методик в том, что ими заполняется пробел в теории оценивания, связанный с: невозможностью математического описания технических параметров при отсутствии статистической информации, невозможностью оценки среднего значения и дисперсии случайных технических параметров без статистических данных, невозможностью определения степени взаимосвязи между техническими параметрами, статистическую информацию о которых получить затруднительно или невозможно.

Практическая ценность подтверждается ещё и тем, что появилась возможность получать эффективную оценку случайной погрешности многозвенной системы в условиях неопределённости, не прибегая к грубым интервальным оценкам, резко завышающим границы интервала варьирования параметра с ростом числа звеньев системы.

Достоверность оценок, получаемых при помощи новых методик, подтверждена сравнением достоверных статистических оценок с нечёткими оценками на практических примерах; проверкой достоверности отличий результатов, полученных статистически и нечёткими оценками, по параметрическому критерию.

В первой главе диссертационной работы проведён обзор существующих математических методов, применяемых при решении задач оценивания. Значительное внимание уделено существующим методам оценки числовых характеристик технических объектов при наличии нечёткой исходной информации и методам теории нечётких множеств на основе известной аналогии «вероятность - случайность - нечёткость».

Выявлено отсутствие практических методов оценки числовых характеристик нечётких чисел произвольной формы: среднего значения, дисперсии, среднеквадратического отклонения, а так же отсутствие математических методов оценки степени взаимосвязи между нечёткими числами произвольной формы. Эти характеристики участвуют в процессе оценки случайной суммарной погрешности технического устройства, если погрешности функциональных блоков имеют нечёткое задание.

Выполнен обзор современных пакетов прикладных программ, работающих как со статистическими данными, так и с нечёткостями. Выявлено, что типовые программные средства требуют дополнительных знаний об их структуре и возможностях применения, а также позволяют выполнять ограниченный набор операций с нечёткими множествами и нечёткими числами, не достаточный для решения конкретных задач в рамках теории оценивания. Поэтому, возникает необходимость в разработке математико-аналитического аппарата на основе теории нечётких множеств, позволяющего не только описывать нечёткие параметры, по и производить оценку числовых характеристик (среднего значения, дисперсии).

В заключение главы поставлены задачи исследовании, которые сводятся к следующему: разработка математических методов идентификации формы и моделирования функций принадлежности нечётких чисел, предназначенных для описания технических параметров при наличии неполной статистической информации или её отсутствии; разработка математических методов оценки числовых характеристик технических параметров и степени взаимосвязи между ними при нечёткой исходной информации; создание методики оценки суммарного влияния нечётко заданных погрешностей в многозвенных системах; решение задачи оценки числовых характеристик для стандартного набора нечётких чисел; алгоритмизация математических методов оценки числовых характеристик технических параметров при нечётких исходных данных; разработка программного средства, позволяющего моделировать нечёткие числа различной формы, производить расчёт числовых характеристик и оценку суммарного влияния нечётких погрешностей в многозвенных системах; анализ достоверности результатов, полученных предложенными в диссертации методами и практическое подтверждение результатов исследования моделированием процесса оценки поглощённой дозы рентгеновского излучения компьютерного томографа РКТ-01.

В заключение главы сделан вывод о необходимости и возможности применения методов теории нечётких множеств к решению поставленных задач оценивания в связи с недостаточностью и отсутствием методов классической (вероятностной) процедуры оценивания в области нечётких данных.

Вторая глава посвящена концепциям по способам моделирования параметров технических объектов на примере погрешностей функциональных блоков при помощи нечётких чисел и аналитическому решению задачи оценивания числовых характеристик (среднего значения, дисперсии) этих параметров методами теории нечётких множеств.

Предложены математические методы оценки среднего значения и дисперсии для нечётких чисел произвольной формы. Достоинством предложенных методов является их новизна и универсальность применения. Любая статистическая нечёткость, неточность или неполнота описывается нечётким числом с известными параметрами формы и числовыми характеристиками (средним значением и дисперсией). При нечётком представлении случайных погрешностей, среднее значение и дисперсия характеризуют их в числовом отношении и позволяют оценить суммарное влияние на точность технического устройства.

Предложены математические методы оценки ковариации и корреляции между нечёткими числами произвольного вида, а также выполнено моделирование процесса оценки суммарного влияния нечётко заданных погрешностей функциональных блоков технического устройства на основе классического метода суммирования, пользуясь знанием числовых характеристик нечётких погрешностей и корреляции между ними.

В третьей главе решена задача оценки числовых характеристик (среднего значения, дисперсии, ковариации и корреляции) для стандартного набора нечётких чисел, используемых при описании нечётких параметров в теории оценивания.

Получены новые аналитические зависимости средних значений и дисперсий от параметров формы нечётких чисел.

Решена задача оценки ковариации для унимодальных и толерантных нечётких чисел.

Решена задача оценки коэффициента корреляции между техническими параметрами, описанными нечёткими числами.

Оценены предельные значения коэффициентов корреляции для различных сочетаний нечётких чисел и получены зависимости величин коэффициентов корреляции от изменения коэффициентов формы того или иного нечёткого числа.

Все расчёты сведены в структурированные таблицы и удобны для дальнейшего применения.

Четвёртая глава посвящена алгоритмизации, предложенных во второй главе, процедур оценивания числовых характеристик параметров технических объектов, а также разработке и описанию программного комплекса, учитывающего структурированные алгоритмы построения функций принадлежности нечётких чисел, алгоритмы оценки числовых характеристик нечётких чисел и алгоритмы оценки суммарного влияния нечёткости.

Создан оригинальный алгоритм построения функции принадлежности нечётких чисел, который имеет свои особенности в зависимости от типа исходной информации; алгоритм оценки числовых характеристик нечётких чисел и корреляции, который складывается из алгоритмов оценки среднего значения, дисперсии и коэффициента корреляции; алгоритм оценки суммарной погрешности технических объектов многозвенной структуры.

Предложенные алгоритмы упорядочены в виде структур и схем, которые явились основой для создания программного обеспечения в виде комплекса программных модулей с единым пользовательским интерфейсом, реализующего эти алгоритмы.

Разработан программный комплекс, как необходимое инструментальное средство, позволяющее использовать предложенные методы оценки числовых характеристик нечётких чисел непосредственно в инженерной практике. Программный комплекс получил наименование «HOTO» - «Нечёткая Оценка ТОчности».

Созданный программный комплекс, позволяет максимально просто и быстро в автоматизированном режиме выполнять следующие операции: подбирать функцию принадлежности для описания нечёткости в задании параметра (погрешности) технического объекта; оценивать параметры формы нечёткого числа и его числовые характеристики; оценивать суммарное влияние нечётко заданных погрешностей отдельных блоков технического с учётом корреляции.

В пятой главе выполнен анализ достоверности результатов, получаемых нечёткими методами и практическое подтверждение результатов исследования созданием методики оценки поглощённой дозы излучения рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01.

Работа выполнялась в Снежинской государственной физико-технической академии с 2001 года и прошла апробацию на шести конференциях различного уровня, основное содержание работ опубликовано в [18-23, 53-57]. Материалы, вошедшие в диссертацию, докладывались и были представлены на научно-технических конференциях «Дни науки ОТИ МИФИ» (Озёрск, 2002, 2003), на III межвузовской отраслевой научно-технической конференции «Автоматизация и прогрессивные технологии (Новоуральск, 2002), на международной научно-практической конференции «Снежииск и наука» (Снежинск, 2003), на IX Нижегородской сессии молодых учёных (Саров, 2004), на отраслевой научно-технической конференции «Технология и автоматизация атомной энергетики» ТААЭ-2004 (Северск, 2004).

Практическая ценность подтверждена хоздоговорными и госбюджетными практическими исследованиями: НИР по техническому заданию Российского Федерального Ядерного Центра Всероссийского научно-исследовательского института теоретической физики имени академика Забабахина Е. Н. от 18.11.2002 года «Определение статистических характеристик параметров рентгеновского тракта компьютерного томографа РКТ-01»; работы по программе совместного инновационного сотрудничества Министерства образования России и Министерства РФ по атомной энергии - проект 4.03. -07 «Методы оценки состояния технических систем по нечётким данным». Кроме того, в 2003 году исследования автора по данной тематике признаны победителем конкурса научных проектов аспирантов и молодых учёных ВУЗов Челябинской области (Приложение М).

Математические методы, предложенные в диссертационной работе, используются в учебном процессе Снежинской государственной физико-технической академии в рамках учебного курса «Теория нечётких множеств». Издано методическое пособие [53].

Автор выражает благодарность научному руководителю к.т.н., доценту Крушному В. В, научному консультанту к.т.н., доценту Мякушко В. В. и коллегам по работе, оказавшим поддержку и помощь в работе над диссертацией.

Выводы к пятой главе

1 Подтверждена достоверность оценок, полученных новыми методами, на практическом примере и статистическим критерием. Разница статистических и нечётких оценок среднего значения при наличии достаточного объёма исходной информации составляет примерно 1%, а разница значений дисперсий может достигать 50%. Это связано с тем, что при нечётом задании происходит охват большей области действительных чисел, чем область реальных статистических значений, т.е. даётся более расплывчатое представление, чем в действительности, по значения дисперсий могут быть уменьшены, если появляется дополнительная информация, уточняющая область возможных значений. Подтверждено, что отсутствие различия между статистической и нечёткой оценкой среднего значения статистически достоверно.

2 Подтверждена работоспособность новых методов на конкретных примерах: оценки погрешности измерения силы ионизационного тока и на примере определения суммарной погрешности технического } стройства многозвенной структуры. Полученные оценки сопоставимы со значениями, рассчитанным вероятностным методом, что свидетельствует о возможности применения предложенного автором метода оценки суммарной погрешности технической системы на базе методов теории нечётких множеств при анализе точности сложных технических систем в условиях неопределённости и неполноты информации.

3 Впервые появилась возможность оценить поглощённую дозу излучения рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01 с учётом двух важных источников нечёткости - неравномерность распространения рентгеновского излучения за счёт краевого эффекта коллимирующих пластин и нелинейность формы ионизационной камеры, регистрирующей излучение.

4 Предложено, каждую из нечёткостей описать нечётким числом, учёт обеих нечёткостей одновременно осуществить посредством применения операции пересечения нечётких чисел и оценивать поглощённую дозу при помощи пропорционального сопоставления среднего значения нечёткого числа, полученного пересечение двух исходных, с известной максимально возможной дозой излучения.

5 Проведение аналитической оценки поглощённой дозы при однослойном сканиррвании органа пациента предлагается использовать в медицинских целях для контроля величины суммарной дозы.

Заключение

Проведён системный анализ существующих математических методов теории оценивания, связанных с нахождением числовых характеристик параметров технических объектов в условиях наличия информации и в условиях неопределённости или неполноты таковой. Выявлено отсутствие методик описания параметров и оценивания их числовых характеристик (среднего значения и дисперсии), при нечётком задании.

Выполнен аналитический обзор современных программных средств по обработке статистической информации, а так же нечётких, неточных или неполных статистических данных об исследуемом параметре или характеристике технического объекта. Выявлены их основные достоинства и недостатки, позволившие утвердиться в поставленных целях и задачах исследовательской работы, а именно в качестве одной из задач выявить создание инструментального визуального программного средства поддержки предлагаемых методик.

В качестве научного результата, представлены теоретические положения по принципам задания нечётких параметров при помощи нечётких чисел в зависимости от их лексического описания. Усовершенствованы и предложены методы и алгоритмы оценки среднего значения и дисперсии нечётких чисел различной формы. Разработанные в диссертационной работе положения теории оценивания, позволяют повысить вероятность решения задач в условиях невозможности получения статистической информации, что заполняет пробел в теории оценивания, связанный с отсутствием подобных методов. Предложенное решение задач, поставленных в работе базируется на строго доказанных выводах таких фундаментальных и прикладных наук, как: теория нечётких множеств, теория вероятностей, математическая статистика, математический анализ, теория оценивания и теория погрешностей.

Полученное аналитическое соотношение для среднего значения нечёткого числа предлагается использовать как новый метод дефаззицикации, т.е. перехода от нечёткого понятия к чёткому, что на практике оказывается очень удобным, т.к. исключает дефаззификацию как отдельную процедуру нечёткого алгоритма. С практической точки зрения, разработанный математический аппарат предназначен для инженеров-исследователей измерительной техники при оценке точности и надёжности и аналитиков-статистов, имеющих недостаточный объём исходной информации для оценки параметров технических устройств.

Создана классификация типов нечётких чисел, применяемых для описания случайных погрешностей технических устройств, представлены их математические модели и получены зависимости средних значений и дисперсий от параметров формы. Представленные в диссертации методы позволили предложить метод проведения количественной оценки нечётко заданных погрешностей функциональных блоков многозвенной технической системы, а также метод оценки их суммарного влияния па точность работы системы в целом. Появилась возможность получать эффективную оценку случайной погрешности многозвенной системы в условиях неопределённости, не прибегая к грубым интервальным оценкам, резко завышающим границы интервала варьирования параметра с ростом числа звеньев системы.

В работе предложен метод оценки степени взаимосвязи нечётко заданных параметров при помощи коэффициента корреляции, которая так же учитывается при оценке суммарного влияния нечётко заданных погрешностей при анализе точности работы многозвенных систем. Получены зависимости коэффициента корреляции от параметров формы нечётких чисел. Все найденные аналитические зависимости числовых характеристик нечётких чисел от параметров формы сведены в структурированные таблицы, что позволило упростить решение сложных задач по оценке точности работы устройства, если погрешности функциональных блоков описаны стандартным набором нечётких чисел.

Разработка теоретических положений по оценке числовых характеристик нечётких чисел и создание на их основе комплексного алгоритма оценки суммарной погрешности технического устройства стала возможной благодаря функциональной математической совместимости теоретических знаний в области статистической теории оценивания и теории нечётких множеств.

Решение задач теории оценивания предлагаемыми методами позволяет существенно сократить объём экспериментальных исследований, что даёт возможность снизить затраты времени, материальных ресурсов и денежных средств на проведение статистических исследований, если имеются косвенные наблюдения, экспертные заключения или теоретические выводы, позволяющие судить о наблюдаемом параметре с той или иной степенью достоверности.

Разработанные теоретические положения опробованы экспериментально. Экспериментальные исследования методологически обеспечены и проводились на базе РФЯЦ-ВНИИТФ, что подтверждается отчётом на выполнение технического задания и актом внедрения НИР (Приложение М). Техническим объектом исследования явился рентгеновский компьютерный томограф РКТ-01.

Подтверждена достоверность оценок, получаемых при помощи предложенных методик, путём сравнения достоверных статистических оценок с нечёткими оценками на практических примерах, а также проверкой достоверности отличий результатов, полученных статистически и нечёткими оценками, по параметрическому критерию.

Результаты расчёта проанализированы и сопоставлены с известными данными других исследователей [62, 63]. Методики оценки, предложенные в работе, используются в Снежинской государственной физико-технической академии при изучении курса теории нечётких множеств и включены в методическое пособие [53]. На базе предложенных методик разработано программное средство «HOTO», позволяющее проводить комплексную оценку суммарной погрешности технического устройства в зависимости от его структуры при наличии полной статистической информации и при её отсутствии, максимально упрощающее и визуализирующее результаты всех расчётов.

1. Айвазян С. А. и др. Прикладная статистика: Исследование зависимостей / С. А. Айвазян, И. С. Ешокон, Л. Д. Мешалкин - М.: Финансы и статистика, 1985. - 280 с.

2. Алтунин А. Е., Семухин М. В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечётких условиях. Монография. Тюмень: ТГУ, 2000.

3. Андропов А. М. И др. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник для вузов / А. М. Андронов, Е. А. Копытов, J1. Я. Гринглаз. СПб.: Питер, 2004. - 464 с.

4. Бсшелев С.Д., Гурвич Ф.Г. Экспертные оценки. М.: Паука, 1973. - 79с.

5. Блюмин С. Л., Шуйкова И. А. Введение в математические методы принятия решений. Липецк., 1999. - 100 с.

6. Борисов А. Н. Обработка нечёткой информации в системах принятия решений. М.: Радио и связь, 1989. - 304 с.

7. Борисов А.Н. и др. Принятие решения на основе нечетких моделей: примеры использования / А.Н. Борисов, O.A. Крумберг, И.П. Федоров. Рига: Знание, 1990.- 184 с.

8. Браверманн Э. М., Мучник И. В. Структурные методы обработки эмпирических данных. М.: Наука, 1983. - 340 с.

9. Браславский Д. А., Петров В. В. Точность измерительных устройств. -М.: Машиностроение, 1976. 312 с.

10. Ю.Венцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и её инженерные приложения: Учебное пособие для студентов вузов 3-е изд., доп. и иерераб-М.: Изд. цент «Академия», 2003. - 464 с.

11. Вучков И. и др. Прикладной линейный регрессионный анализ/ Пер. с бол г. и предисл. Адлера Ю. П. М.: Финансы и статистика, 1987. - 240 с.

12. Грановский В. А., Сирая Т. Н. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях. -Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-пие, 1990. 288 е.: ил.

13. З.Гришин В. К. и др. Математическая обработка и интерпретация физического эксперимента / В. К. Гришин, А. А. Живописцев, В. А. Иванов -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. 312 с.

14. М.Гудман С., Хидетниеми С. Введение в разработку и анализ алгоритмов. М.: Мир, 1981. - 368.

15. Гусев А., Лидский Э., Мироненко О. Малые выборки при оценке работоспособности и надежности электронных компонентов. Часть 1. (http://www.chip-news.rU/archive/chipnews/200201/8.html)

16. Гусейнов X. Г., Незнахин А. А., Ушаков В. Н. Приближенное построение множеств достижимости с интегральными ограничениями на управление // Прикл. Математика и механика. 1999. Т. 63, вып. 4. С. 580-590.

17. Давыдов П. С. Техническая диагностика радиоэлектронных устройств и систем. М.: Радио и связь, 1988. - 256 е., ил.

18. Еронина Н. А. Описание нечёткостей теории оценивания при помощи теории нечётких множеств // Автоматизация и прогрессивные технолгии: Труды III межотраслевой научно-технической конференции. Новоуральск: НГТИ, 2002.-С. 78-81.

19. Еронина Н. А. Оценка дисперсии нечёткого числа //Снежинск и наука 2003. Современные проблемы атомной науки и техники: Сборник научных трудов Международной научно-практической конференции. Снежинск Челябинской области: изд-во СГФТА, 2003. - С. 132-133.

20. Еронина Н. А. Оценка среднего значения нечёткого числа //Снежинск и наука 2003. Современные проблемы атомной науки и техники: Сборник научных трудов Международной научно-практической конференции. -Снежинск Челябинской области: СГФТА, 2003. С. 134-136.

21. Еронина Н. Л. Применение методов теории нечётких множеств в теории оценивания // ТЕЗИСЫ межотраслевой научно-технической конференции «Дни пауки ОТИ МИФИ». Озёрск Челябинской области: ООО «Форт Диалог-Исеть», 2002.-С. 129-131.

22. Интервальный анализ и его приложения (http://www-sbras.nsc.ru/interval)

23. Колемаев В. А., Калинина В. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник / Под ред. В. А. Колемаева М.: ИНФРА-М, 1999.-302 с.

24. Королёв Л. Н. Информатика. Введение в компьютерные пауки. Учебник.- М.: Высш. шк., 2003. 341 е.: ил.

25. Костоусова Е. К., Куржанский А. Б. Гарантированные оценки точности вычислений в задачах управления и оценивания // Вычисл. технологии. -1997.-Т. 2, № 1.С. 19-27.

26. Кофман А. Введение в теорию нечётких множеств / Пер. с франц. М.: Радио и связь, 1982. -432 е., ил.

27. Красинский В. И. Лингвистическая аппроксимация высотного распределения сборов из Тувы по роду ASTERACEAE ARTEMISIA в гербарии NS. Новосибирск, 2003. (http://ptz.karelia.ru/hortus/bgm/artnl.htm)

28. Лавренчик В. II. Постановка физического эксперимента и статистическая обработка его результатов. Учеб. пособие для вузов. М.: Энергогатомиздат, 1986. - 272 е.: ил.

29. Лемешко Б. Ю. О задаче идентификации закона распределения случайной составляющей погрешности // Метрология, 2004. № 7. С. 8-17.

30. Леман Э. Теория точечного оценивания. М.: Наука, 1991.-448 с.

31. Леоненков А. Нечеткое моделирование в среде Matlab и fuzzyTECH. /Для программистов СПб.: ВХВ - Петербург, 2003., 436 с.

32. Лернер Э. Ю., Кашина О. А. Пакет MATHEMATICA: Первые уроки Казань-2001 (http://exponenta.ncstu.ru/educat/systemat/lerner/1 .asp.htm).

33. Маркин Н. С. Основы теории обработки результатов измерений. Уч. пособие для техникумов. М., Изд-во стандартов, 1991. - 175 с.

34. Меньшиков Г.Г. Интервальный анализ и методы вычислений. Конспект лекций. Отдел оперативной полиграфии МНИХ СПБГУ. 1998 2001.

35. Мерков A.M., Поляков Л.Е. Параметрические методы оценки достоверности результатов статистического исследования. (http://www.uran.donetsk.ua/~masters/2001/fvti/zcherkasova/diss/bibl/book30.htm

36. Методы анализа данных/ Под ред. Э. Дидэ и др. М.: Финансы и статистика, 1985. - 360 с.

37. Михайлов А. В., Савин К. С. Точность радиоэлектронных устройств. -М.: «Машиностроение», 1976.-214 е.: ил.

38. Назаров Н. Г. Измерения: планирование и обработка результатов. М.: ИПК Изд-во стандартов, 2000, - 304 с.

39. Назаров Н. Г. Метрология. Основные понятия и математические модели. Учеб. пособие для вузов М.: Высш. шк., 2002. - 348 е.: ил.

40. Налимов В. В., Голикова Т. И. Логические основания планирования эксперимента. 2-е изд. доп. и перераб. - М.: Металлургия, 1980. - 152 с.

41. Нариньяни А. С. Неопределённость в системах представления и обработки знаний // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1989. - №5.

42. Недосекии А. Нечёткие множества, любовь моя. (http://sedok.narod.ru/fuzzy.html)

43. Нечёткие множества и теория возможностей/ Под ред. Р. Р. Ягера. -М.: Радио и связь, 1986.-498 с.

44. Новицкий П. В., Зограф И. А. Оценка погрешностей результатов измерений. Л.: Энергоатоиздат, 1985. -346 с.

45. Определение статистических характеристик параметров рентгеновского тракта . компьютерного томографа РКТ-01 (отчёт о НИР). № ПС.05.9469/1- Снежинск: РФЯЦ-ВНИИТФ, 2005. 27 с.

46. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечёткой исходной информации. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 208 с.

47. Основы метрологии, точность и надёжность в приборостроении. Учебное пособие для студентов приборостроительных специальностей вузов. М.: Машиностроение, 1991. - 304 е.: ил.

48. Оценка точности результатов измерений /Пер. с нем. М.: Энергоатомиздат, 1988. - 88 е.: ил.

49. Первушина Н. А. Методическое пособие к практическим работам по курсу: «Теория нечётких множеств». Моделирование решений математических задач в нечётких условиях. Снежинск: СГФТА, 2004. - 40 с

50. Первушина Н. А. Алгоритм оценки суммарной погрешности при нечёткой исходной информации //Технология и автоматизация атомной энергетики: Материалы отраслевой научно-технической конференции. -Северск: СГТИ, 2004. С. 75.

51. Первушина Н. А. Оценка суммарного влияния нечётких погрешностей функциональных блоков на точность технического устройства в целом //Сборник трудов IX Нижегородской сессии молодых учёных. Саров: СарФТИ, 2004.

52. Первушина Н. А. Применение метода наименьших квадратов к оценке параметров формы нечётких чисел //Технология и автоматизация атомной энергетики: Материалы отраслевой научно-технической конференции. -Северск: СГТИ, 2004. С. 74.

53. Пивкин В. Я., Бакулин Е. П., Кореньков Д. И. Нечёткие множества в системах управления. Методическое пособие, (http://home.od.ua/~relayer/algo/ /neuro/fuzzy-use/fuzzyO.html)

54. Плескуиип В. И., Воронина Е. Д. Теоретические основы организации и анализа выборочных данных в эксперименте / Под ред. А. В. Башарина. JI.,: Изд-во Ленингр. ун-та, 1979. - 232 с.

55. Поспелов Д.А. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. М. :Наука, 1986. -312с.61 .Пфанцагль И. Теория измерений. М: Мир, 1976. - 166 с.

56. Рабинович С. Г. Погрешности измерений. Л.: Энергия, 1978. - 262 с.

57. Радиационная доза рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01 (технический отчёт), № ПС00.7206. Снежинск: РФЯЦ-ВНИИТФ, 2000.-26 с.

58. Раннев Г. Г., Тарасенко А. П. Методы и средства измерений: Учебник для вузов М.: Изд. центр «Академия», 2003. - 336 с.

59. Рыбина Г. В., Душкин Р. В. Некоторые аспекты автоматизированного извлечения и обработки знаний с НЕ-факторами. М.: МИФИ. (http://roman-dushkin.narod.ru/paper05.html)

60. Рыжов А. П. «Элементы теории нечётких множеств» М.: Диалог-МГУ, 1998. - 116 с. (http://intsys.msu.ru/staff/ryzhov/FuzzySetsTheory& Applications.pdf)

61. Смоляк С.Д., Титарспко Б.П. Устойчивые методы оценивании. Статистическая обработка неоднородных совокупностей. М.: Статистика, 1980.-208 с.

62. Современный эксперимент: подготовка, проведение, анализ результатов / В. Г. Блохнп, О. I I. Глудкип, А. И. Гуров, М. А. Хаппп. М.: Радио и связь, 1997. - 232 е.: ил.

63. Соколов А.И. Математические системы обработки данных // Труды Международной конференции по мягким вычислением и измерениями ЬСМ-2001. Санк т-Петербург, 2001, т. I. - С.280-282.

64. Солодовников В. В. и др. Теория автоматического управления техническими системами: Учеб. пособие/ В. В. Солодовников, В. Н. Плотников, А. В. Яковлев М.: Изд-во МГТУ, 1993. 492 е., ил.

65. Статистическая обработка результатов экспериментов па микро-')ВМ и программируемых калькуляторах/ Костылёв А. А., Миляев II. В., Дорский Ю. Д. и др. Л.: Эиер1 оатомиздаг. Лепипгр. отд-иие, 1991. - 304 е.: пл.

66. Стахов А. П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. М.: «Сов. Радио», 1977.- 288 с.

67. Тихонов А. 11., Уфимцев М. В. Статистическая обработка результатов экспериментов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. - 320 с.

68. Усков А. А., Круглов 13. В. Нечёткий дополняющий алгоритм идентификации динамических объектов // Информационные юмюлопш. -2003.-№3.-С. 32 34.

69. Фрумкии В. Д., Рубичёв И. А. Теория вероятностей и статистика в метрологии и измерительной технике. -М: Машиностроение, 1987. 168 с.

70. Ханг Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. /Перевод с анг. М.: Мир, 1969. - 504 с.

71. Хартман К. и др. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов / Перевод с нем. М.: Мир, 1977. - 446 с.

72. Шапиро Д. И. Принятие решений в системах организационного управления: использование расплывчатых категорий. М.: Паука, 1(Я-Х.

73. Шарый С. П. Алгебраический подход к анализу линейных статических систем с интервальной неопределённостью // Известия РАМ. Теория систем управления. 1999. - № 3. - С. 51 -61.

74. Шарый С. П. Конечномерный интервальный анализ (http://www.ict.nsc.ru/interval/Books/Shary/FInAnal.pdf)

75. Шокин Ю. И. Об интервальных задачах, интервальных алгоритмах и их трудоёмкости // Вычислительные технологии. 1996. - Т. 1.

76. Штовба С. В. Введение в теорию нечётких множеств и нечёткую логику, (http://www.matlab.ru /fuzzylogic)

77. Эльясберг П. Е. Измерительная информация: сколько её нужно? Как её обрататывать? М.: Наука, Главная редакция физико-математической литратуры, 1982. - 208 с.

78. Яноши JI. Теория и практика обработки результатов измерений /Перевод с анг. М.: Мир, 1968. - 504.

79. Ярушкипа Н. Г. Основы теории нечётких и гибридных систем: Учебное пособие. М.: Финансы и статистика, 2004. - 320 е.: ил.

80. Carlsson С., Fuller R, Majlender P. Possibility versus probability: falling shadows versus falling integrals, 2003. (http://www.abo.fi/~rfuller/ifsa03.pdf)

81. Carol L. Walker and Elbert A. Walker Fuzzy sets of Type II. New Mexico State University, Department of mathematical science Las Crues, NM 88003. -USA, 2003. (http://matli.nmsu.edu/~elbert/TypeIIforFSSl.pdf)

82. Dubois D., Foulloy L., Mauris G., Prade H. Probability-Possibility Transformations, Triangular Fuzzy Sets and Probabilistic Inequalities, «Reliable Computing», №10, 2004, pp. 273-297. (http://zeus.polsl.gliwice.pl/~pownuk/ /fuzzy.htm)

83. Dubois D., Prade H. and Smets Ph. New Semantics for Quantitative Possibility Theory, 2001. (http://zeus.polsl.gliwice.pl/~pownuk/fuzzy.htm)

84. Dubois, Didier; Prade, Henri Properties of measures of information in evidence and possibility theories Fuzzy Sets and Systems Volume: 100, Supplement 1, 1999, pp. 35-49 (http://zeus.polsl.gliwice.pl/~pownuk/fuzzy.htm)

85. Fuller R., Majlender P. On Weighted possibilistic mean and variance of fuzzy numbers, 2001. (http://www.tucs.fi/Publications/techrcports/TR466.pdf)

86. Hass M. On the Implementation of Fuzzy Arithmetical Operations for Engineering Problems. (http://www.mecha.uni-stuttgart.de/Mitarbeiter/Hanss/ /papers/nafips99.pdf)

87. Hsien-Chung Wu Probability density functions of fuzzy random variables Fuzzy Sets and Systems Volume 105, Issue 1 , 1 July 1999, Pages 139-158 (http://zeus.polsl.gliwice.pl/~pownuk/fuzzy.htm).

88. Hung T. Nguyen, Berlin Wu, and Vladik Kreinovich ON COMBINING STATISTICAL AND FUZZY TECHNIQUES: DETECTION

89. OF BUSINESS CYCLES FROM UNCERTAIN DATA, 1999. (http://zeus.polsl.gli wice.pl/~pownuk7fuzzy.htm).

90. Neumaier A. Clouds, fuzzy sets and probability intervals, «Reliable Computing» №10, 2004, pp. 249-272. (http://zeus.polsl.gliwice.pl/~pownuk/ /fuzzy.htm)

91. Oberguggenberger M., Fellin W. From probability to fuzzy sets: the struggle for meaning in geotechnical risk assessment, (http://techmath.uibk.ac.at/ /research/fuzzy/failureprobability new.pdf)

92. Shyllon E. A. Fuzzy system as applied to geodetic data analisis: Turku Center for Computer Science. — Finland, 2002. (http://dgfi2.dgfi.badw-muenchen.de/ssg4.190/SSGMeeting-Shyllon.doc)

93. Tsau Young Lin Granular fuzzy sets: a view rough set and probability theories/ International journal of fuzzy systems, Vol.3, №2, 2001. P. 373-380. (http://www.abo.fi/~rfuller/ifsa03.pdi)

94. Wolkenhauer O. Fuzzy Mathematics: fuzzy sets, relations, logic, graphs, mappings and the extension principle. Control Systems Center: Umist, 2003. (http://www.csc.umist.ac.uk/fstb/lecturenotes/fuzzymath.pdf)162