автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Оценка числовых характеристик параметров технических объектов при нечетких исходных данных

На правах р\комиси

ПЕРВУШИНА Наталья Александровна

ОЦЕНКА ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПАРАМЕТРОВ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ПРИ НЕЧЁТКИХ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Челябинск - 2005

Работа выполнена на кафедре автоматизированных информационных и вычислительных систем государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Снежинская государственная физико-техническая академия», г. Снежинск Челябинской области.

Научный руководитель: кандидат технических наук, доцент

Крушный Валерий Васильевич

1

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент

Соколинский Леонид Борисович

кандидат физико-математических наук, кандидат технических наук, доцент Рыжов Александр Павлович

Ведущая организация: Российский Федеральный ядерный центр -

всероссийский научно-исследовательский институт имени акад. Е. Н. Забабахина, г. Снежинск

Защита состоится « 14 » декабря 2005 г. в 11.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.296.02 по присуждению учёной степени доктора (кандидата) наук при Челябинском государственном университете по адресу: 454021, г. Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Челябинского государственного университета.

Автореферат разослан «» /¿¿£^£¿¿-2005 г.

Учёный секретарь диссертационного совета доктор физ. - мат. наук, профессор

Yo&oXi

В. И. Ухоботов

2

184 54

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Оценка числовых характеристик параметров технических объектов и процессов является неотъемлемой процедурой при определении их точности и надёжности. В инженерной практике часто возникает необходимость решения задач оценивания при наличии неполной статистической информации или отсутствии таковой вследствие невозможности проведения эксперимента по причинам дороговизны или аппаратурной недоступности исследуемого технического параметра. Такие ситуации возникают вследствие недостаточной изученности объектов, невозможности получения той или иной информации в полном объёме, а также при наличии неполных или приблизительных числовых данных в форме оценок экспертов.

В языке традиционной математики нет объектов, с помощью которых можно было бы достаточно точно отразить нечёткость представлений экспертов, нечёткость исходных данных. Поэтому, представляют интерес работы, связанные с развитием аппарата математического моделирования нечётко заданных параметров технических объектов с целью дальнейшей работы по оценке влияния этих параметров на качество объекта в целом.

Актуальность работы по созданию математического аппарата теории оценивания на основе нечётких множеств (в рамках теории нечётких множеств) обусловлена необходимостью проведения расчётов точности технических устройств при наличии нечётких исходных данных.

Одним из математических направлений, которое занимается классификацией, анализом и работой с нечёткими данными является теория нечётких множеств. Эта теория была впервые предложена американским математиком Лот-фи Заде в 1965 году и предназначалась для представления неточных понятий, возникающих при решении задач как континуальной, так и дискретной математики. Эта теория развивалась и отображалась в научных работах самого Л. Заде1, в работах А. Кофмана2, Р. Ягера и многих других. Проблеме нечётких вычислений, а также автоматизированной обработке знаний с НЕ-факторами4 (нечёткость, неопределённость, неточность, неполнота) посвящены многие современные научные исследования как в России, так и за рубежом.

Другим математическим направлением, занимающимся решением задач в условиях неопределённости и неточности является интервальный анализ. Интервальный анализ или теория грубых множеств или была предложена Ж. Пав-лаком в начале 1980-х годов как новый математический инструмент для работы с неопределённостью и неточностью.

' Заде Л. А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближённых решений. - М: Мир, 1976. - 165 с.

2 Кофмаи А. Введение в теорию нечётких множеств / Пер. с франц - М . Радио и связь, 1982. - 432 е., ил.

' Нечёткие множества и теория возможностей/ Под ред. Р. Р. Ягера. - М.: Радио и связь. 1986. - 498 с. 4 Нариньяни А. С. Неопределённость в системах представления и обработки знаний // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1989. - №5.

Задачами интервальной арифметики в настоящее время занимаются многие учёные: Шокин Ю. И., академик, д.ф-м.н., директор Института вычислительных технологий СО РАН, профессор НГУ5, Меньшиков Г. Г., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой математической теории микропроцессорных систем управления Санкт-Петербургского государственного университета', Шарый С. П., профессор, д.ф-м. н., сотрудник институт вычислительных технологий СО РАН (Новособирск)7 и многие другие. За 25 лет это направление эволюционировало и получило широкое применение.

Основными недостатками интервальных оценок в сравнении с нечёткими является их «грубость», получение конечного результата только в виде интервала и невозможность работы в условиях отсутствия статистической информации. Поэтому в диссертационной работе в качестве способа описания нечётких данных выбраны математические модели теории нечётких множеств - нечёткие числа. Они оказались удобны для описания случайных погрешностей технических устройств в условиях отсутствия статистической информации. Оценивание параметров методами теории нечётких множеств является альтернативой общепринятым количественным методам анализа систем. Основным достоинством указанной теории является то, что существует большая гибкость в представлении исходных данных и интерпретировании конечных результатов.

Оценкам числовых характеристик нечётких чисел (среднего значения и дисперсии), повещён, например, труд Роберта Фуллера8, но наряду с существующими методами описания и преобразования нечётко заданных параметров, обнаруживается отсутствие практических методик оценки числовых характеристик нечётких чисел произвольной формы. Эти характеристики необходимы, например, чтобы, например, оценить суммарную погрешность технического устройства, если её составляющие описаны нечётко. В диссертации предложены математические методы, позволяющие более гибко подходить к классической задаче оценивания таких числовых характеристик технических параметров как математическое ожидание, дисперсия и ковариация в условиях недостаточности статистической информации или отсутствия таковой и на их основе проводить комплексную оценку влияния нечётко заданных параметров на исследуемый объект.

Цель диссертационной работы заключалась в разработке математического аппарата, предназначенного для обеспечения эффективной оценки числовых характеристик параметров технического объекта при наличии нечёткой статистической информации или её отсутствии, основой которого является теория нечётких множеств.

Шокин Ю И. Об интервальных задачах, интервальных алгоритмах и их трудоёмкости // Вычислительные технологии. - 1996. - Т. 1.

6 Меньшиков Г.Г Интервальный анализ и методы вычислений Конспект лекций Отдел оперативной

полиграфии НИИХ СПБГУ, 1998 - 2001 Шарый С П Конечномерный интервальный анализ. (http://w\vw ict.nsc.ru/interval/Books/Shary/FlnAnal.pdf)

* Fuller R., Majlender P. On Weighted possibilistic mean and variance of fuzzy numbers, 2001. (http://www tucs.fi/Publications/techneports/TR466.pdf)

Направление исследований определено как развитие теоретических положений по решению задач оценивания параметров технических объектов и разработка методических и инструментальных средств поддержки данной технологии оценивания.

Научная новизна предлагаемых методов и методик в том, что впервые

■ предложена математическая модель для описания случайной погрешности технического устройства при наличии нечётких данных;

■ создана классификация типов нечётких чисел, используемых для описания случайных погрешностей;

• усовершенствованы математические методы оценки числовых характеристик нечётких чисел;

• выполнены оценки среднего значения и дисперсии для стандартного набора нечётких чисел;

■ произведён анализ явления корреляции между нечёткими числами различной формы, а также выполнена количественная оценка коэффициентов корреляции;

■ разработана и алгоритмизирована методика оценки суммарного влияния нечётко заданных погрешностей в многозвенных системах;

• разработана методика оценки поглощённой дозы излучения рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01;

" создан программный комплекс, с помощью которого практически реализуются предложенные автором математические методы.

Достоверность результатов, представленных в диссертации подтверждена сравнением достоверных статистических оценок с нечёткими оценками на практических примерах; проверкой достоверности отличий результатов, полученных статистически и нечёткими оценками, по параметрическому критерию; экспериментальным подтверждением результатов моделирования и согласованием с литературными данными других авторов.

Практическая ценность новых методик в том, что ими заполняется пробел в теории оценивания, связанный с невозможностью математического описания технических параметров при отсутствии статистической информации, невозможностью оценки среднего значения и дисперсии без статистических данных, невозможностью определения степени взаимосвязи между техническими параметрами, статистическую информацию о которых получить затруднительно или невозможно.

Разработанные методики расчёта числовых характеристик нечётких чисел I дают возможность оперировать с нечёткими числами как с вероятностными

распределениями, что даёт возможность использовать известные вероятностные методики оценки, например, их суммарного влияния.

Предлагаемый математический и моделирующий аппарат может быть использован как инженерами-исследователями измерительной техники при оценке точности и надёжности технических устройств, так и аналитиками-статистами, имеющими недостаточный объём исходной информации для оценки.

Результаты диссертационных исследований внедрены и применяются:

1) на предприятии РФЯЦ-ВНИИТФ (г. Снежинск) для оценки поглощённой дозы рентгеновского излучения компьютерного томографа РКТ-01, а также для оценки степени рассеяния рентгеновского излучения трубкой и определения средней дозы;

2) в Снежинской государственной физико-технической академии на базе предложенных в диссертации методик оценки числовых характеристик нечётких чисел, а также методики оценки суммарного влияния нечётко заданных погрешностей на точность технического устройства в целом, разработано программное средство, предназначенное для оценки точности технического устройства при нечёткой исходной информации - «HOTO».

Методы и алгоритмы оценки числовых характеристик технических объектов, предлагаемые в диссертации, используются в Снежинской государственной физико-технической академии в рамках курса «Теория нечётких множеств»; издано методическое пособие [8].

Автор защищает:

■ математические методы и алгоритмы идентификации формы и построения функций принадлежности, нечётких чисел описывающих параметры технического объекта;

■ математические методы и алгоритмы оценки числовых характеристик (среднего значения, дисперсии), а также степени взаимосвязи (ковариация и корреляция) для нечётких чисел произвольного вида;

■ методику оценки суммарного влияния нечетко заданных погрешностей в многозвенных системах;

■ методику оценки величины поглощённой дозы излучения рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01;

• инструментальные средства поддержки предлагаемых методов.

Апробация работы. Материалы, вошедшие в диссертацию, докладывались и были представлены на научно-технических конференциях «Дни науки ОТИ МИФИ» (Озёрск, 2002, 2003), на III межвузовской отраслевой научно-технической конференции «Автоматизация и прогрессивные технологии (Но-воуральск, 2002), на международной научно-практической конференции «Снежинск и наука» (Снежинск, 2003), на IX Нижегородской сессии молодых учёных (Саров, 2004), на отраслевой научно-технической конференции «Технология и автоматизация атомной энергетики» ТААЭ-2004 (Северск, 2004). Практическая ценность подтверждена хоздоговорными и госбюджетными практическими исследованиями: НИР по техническому заданию Российского Федерального Ядерного Центра Всероссийского научно-исследовательского института теоретической физики имени академика Забабахина Е. Н. (РФЯЦ-ВНИИТФ) от 18.11.2002 года «Определение статистических характеристик параметров рентгеновского тракта компьютерного томографа РКТ-01», работы по программе совместного инновационного сотрудничества Министерства образования России и Министерства РФ по атомной энергии - проект 4.03.-07 «Методы оценки состояния технических систем по нечётким данным». В 2003 году исследования

автора по данной тематике признаны победителем конкурса научных проектов аспирантов и молодых учёных ВУЗов Челябинской области.

Публикации. Основное содержание диссертационного исследования опубликовано в 10 научных работах и использовано в методическом пособии к практическим работам по курсу «Теория нечётких множеств».

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложений и списка литературы, включающего 104 источника, изложена на 180 страницах, включает 65 рисунков и 14 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулирована актуальность темы диссертационной работы, её цель, научная новизна и практическая ценность исследований, а также приведены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертационной работы проведён обзор существующих математических методов, применяемых при решении задач оценивания. Значительное внимание уделено существующим методам оценки числовых характеристик технических объектов при наличии нечёткой исходной информации и методам теории нечётких множеств на основе известной аналогии «вероятность - случайность - нечёткость».

Выявлено отсутствие практических методов оценки числовых характеристик нечётких чисел произвольной формы: среднего значения, дисперсии, среднеквадратического отклонения, а так же отсутствие математических методов оценки степени взаимосвязи между нечёткими числами произвольной формы.

Выполнен обзор современных пакетов прикладных программ, работающих как со статистическими данными, так и с нечёткостями. Выявлено, что типовые программные средства требуют дополнительных знаний об их структуре и возможностях применения, а также позволяют выполнять ограниченный набор операций с нечёткими множествами и нечёткими числами, не достаточный для решения конкретных задач в рамках теории оценивания. Поэтому, возникает необходимость в разработке математико-аналитического аппарата на основе теории нечётких множеств, позволяющего не только описывать нечёткие параметры, но и производить оценку числовых характеристик.

В заключение главы поставлены задачи исследования, которые сводятся к следующему:

■ разработка математических методов идентификации формы и моделирования функций принадлежности нечётких чисел, предназначенных для описания технических параметров при наличии неполной статистической информации или её отсутствии;

■ разработка математических методов оценки числовых характеристик технических параметров и степени взаимосвязи между ними при нечёткой исходной информации;

■ создание математической модели процесса оценки суммарного влияния нечётко заданных погрешностей в многозвенных системах;

■ решение задачи оценки числовых характеристик для стандартного набора нечётких чисел;

■ алгоритмизация математических методов оценки числовых характеристик технических параметров при нечётких исходных данных;

■ разработка программного средства, позволяющего моделировать нечёткие числа различной формы, производить расчёт числовых характеристик и оценку суммарного влияния нечётких погрешностей в многозвенных системах;

■ анализ достоверности результатов, полученных предложенными в диссертации методами и практическое подтверждение результатов исследования моделированием процесса оценки поглощённой дозы рентгеновского излучения компьютерного томографа РКТ-01.

Сделан вывод о необходимости и возможности применения методов теории нечётких множеств к решению поставленных задач оценивания в связи с недостаточностью и отсутствием методов классической процедуры оценивания в области нечётких данных.

Вторая глава посвящена концепциям по способам моделирования параметров технических объектов на примере погрешностей функциональных блоков при помощи нечётких чисел и аналитическому решению задачи оценивания числовых характеристик этих параметров методами теории нечётких множеств.

В качестве нечёткого параметра технического объектз рассматривается случайная погрешность, как наиболее статистически трудно определимый параметр. Предложено случайные погрешности описывать кгк унимодальными (треугольное, колоколообразное), так и толерантными (трапецеидальное, Г1-бразное) нечёткими числами в зависимости от способа задания - точечного или интервального.

Наиболее часто встречающиеся и наиболее сложные в подборе параметров и построении являются асимметричные нечёткие числа. Практические методы определения параметров формы колоколообразного левостороннего и колоко-лообразного правостороннего нечётких чисел отсутствуют. Задача нахождения этих параметров требует удобного в практическом использовании решения.

Асимметричные нечёткие числа заданы кусочно-непрерывными функциями относительно центра числа и графически нечёткие числа представлены на рисунках 1 и 2.

Ц1(х) = 1 -ехр(-к]х~), х е[0, а]; = ехр(-к2(х-а)2). хе[а,+ос);

1

0.5

где к| и к2 - коэффициенты формы левее и правее центра соответственно.

О

а/п а

а+ш-

х

Рисунок 1 - Левостороннее колоколообразное нечёткое число.

Получены следующие зависимости kl(a) и к2(а, ш):

kl(a) = ^I, к2(а,ш) = 4^Т< где m>l/3, n=3. (1)

a a m

И(х)

0.5

0

ц,(х) = [1 + ехр(-а,(х-Ь))] 1

\(х) = ' H2(*) = [l + exp(-a"(x-d))r а^О, а"<0, а' < b<ja"¡ < d.

i \ Цг(х)

Ь а ё *

Рисунок 2 - Правостороннее колоколообразное нечёткое число. Зависимость между коэффициентами формы а' и а" следующая:

1-т

-а , если

b(a) = т • а,

(2)

n d(a) = а + п • а,

Соотношения (1) и (2) используются для ручного подбора параметров формы нечётких чисел с асимметрией, а также для машинных расчётов.

Оценка параметров формы нечётких чисел более простых форм (треугольное, трапециидальное) не представляет вычислительной сложности вследствие простоты математического описания.

В случае наличия статистической (измерительной) информации об оцениваемом техническом параметре (случайной погрешности) при его описании, автором предлагается применять метод наименьших квадратов (МНК). Особенность применения МНК к подобным данным заключается в том, что необходима предварительная сортировка имеющихся данных..

Предлагается общий принцип предварительной сортировки данных для оценки параметров формы нечётких чисел.

На первом этапе исходные данные (событие и вероятность его появления в ходе эксперимента) должны быть преобразованы следующим образом: «вероятность превращается в принадлежность».

Для того чтобы нечёткое число наилучшим образом соответствовало своему определению или форме, необходимо выбрать из всех точек нечёткого множества те, которые дают «наилучшее» (по мнению лица принимающего решение) представление о форме.

Основными точками, определяющими форму нечёткого числа, предложено считать «краевые» точки. Для выделения краевых точек предлагается применять следующий алгоритм:

1 -ый шаг - нахождение х, со степенью принадлежности ц,=цтах.

2-ой шаг - для всех точек x¡ левее и правее хтах - вычислить Л, = и™« - n¡;

- найти шт{ Л,}, точку хт,„ отнести к краевым;

- все точки в интервале [хтт; хтач] отбросить.

3-ий шаг - точку хт,„ считать хтач и выполнить 2-ой шаг.

Если левее или правее хтщ. точек нет, то конец работы алгоритма.

После проверки данных на наличие резко выделяющихся значений подбирается подходящее нечёткое число для их описания. Коэффициенты выбранной модели оцениваются, пользуясь стандартной процедурой МНК.

В диссертации предложена методика оценки среднего значения и дисперсии нечётких чисел произвольной формы, разработанная на базе методики Р. Ф^ллкра8. Вычислять взвешенное среднее значение нечёткого числа предложено как Ьисредаее значение, т.е. среднее по у-уровню и среднее среди у-\ ровней нечёткого числа, считая, что у-уровни распределены равномерно.

Графически нечёткое число произвольной формы представлено на рисунке 3 и его функция принадлежности, в общем виде, записывается так: \ Йа(х),

г

ГТК , м.с)-{'"м 0£х5а; <з>

а < х.

I ■

:

__Л

о а X,,

Рисунок 3 - Унимодальное нечёткое число произвольного вида и его среднее значение.

Метод оценки среднего значения

! Опреде.-яеюя среднее значение по у-уровням нечёткого числа (штрич-п\ нкгирнай линия на рисунке 4:

где цГ'(у) и р/'(у) - обратные функции к Ц)(х) и Ц:(х)-2 Находится среднее значение среди средних величин каждого из у-уровней нечёткого числа А (биереднее):

МА)=1Цср(УЖу)<1у (5)

где цСр"'(у) - обратная к рср(х) функция, Ду) - весовая функция.

С учётом предположения о равномерности распределения у-уровней формула (5)принимает вид:

М(А)=1цс'р(у)с1у (6)

Площадь под кривой щ, '(у) (на рисунке 3 показана штриховкой) равна площади эквивалентного прямоугольника (жирная линия), одна из сторон которого равна единице, а другая оказывается равна площади фигуры и определяет среднее значение нечёткого числа.

Преимущество предложенного метода оценки в том, что с его помощью может быть произведена оценка среднего значения нечёткого числа любой формы. И на базе предложенного метода оцениваются остальные числовые характеристики нечётких чисел, такие как дисперсия, среднеквадратическое отклонение, ковариация и корреляция.

Дисперсию, ковариацию и коэффициент корреляции нечётких чисел предложено вычислять в соответствии с определениями, данными вероятностной теорией, но ка основе бисреднего значения нечёткого числа (б)-

ЩА) — ! (цд (у) - Ис1>\У))2а? (7)

О

1де Цп '(у) ~ обратная к функции принадлежности нечеткого числа функция, р,г '(у) - обратная к Цср(х) функция.

Оценка ксвариаиии двух нечетких чисел А и В произвольной формы запишется в виде:

СО\'( А, В) =! (цХ (у) - (У»(Ив (У)"! (У)^У- &>

где рд(у), цдГу) - обратные функции принадлежности н;«5гких чисеп А и В М-гпл(у)' РсрВ()0 обратные функции средних значений нечётких чисел А и 3 по /-уровням.

Коэффициент корреляции дв\\ печёт ?.их \ и В гро-.з"!^"ы:ой формы

~.апи:ие-1ея р. зиде:

о»

_ а(А,)-о(В)

!де ст( Л1 - ЛI - ГКО нечёткого числа А (В) 10(Л) (0{'3;) - дисперсия чёткого числа А (В)).

Значение коэффиииента корреляции изменяется в и^терязле от О

до I, как

в вероятностной теории. Чем ближе по форме нечёткие числа А и В, тем ближе к 1 коэффициент корреляции (это свойство отображено в таблице 4 см. далее).

На базе оценок представленных числовых характеристик нечётких чисел предложена методика оценки суммарного влияния нечётко заданных погрешностей функциональных блоков технического устройства многозвенной структуры.

В общем случае возможна корреляция между составляющими погрешно-с ги, тогда СКО суммарной погрешности, если составляющие описаны нечёткими числами, оценивается согласно правилу:

£а2(А;) + 2£К(АЬА;) ■ а(А;) • ст(^) (9)

¡=1 ¡-1

Правомерность использования соотношения (9) в отношении нечётких чисел объясняется тем, что распределение у-уровней нечётких чисел считается

равномерным, это распределение является аналогом плотности распределения вероятностей случайных погрешностей в классическом методе.

После того, как случайные погрешности функциональных блоков описаны в виде нечётких чисел, согласно таблице 1, проводится оценка суммарной погрешности технического устройства, если известна схема соединения функциональных блоков.

Возможны три способа соединения: последовательное, параллельное, соединение с обратной связью.

При последовательном и параллельном соединении числовые характеристики суммарной нечёткой погрешности суммируются, а при соединении с обратной связью числовые характеристики суммарной погрешности (10) вычисляются по формулам:

где М,, О, - средние значения и дисперсии случайных погрешностей функциональных блоков исследуемой системы.

Предложенный метод оценки суммарного влияния нечётких случайных погрешностей на погрешность технического устройства в целом, используется в любых условиях неточности, неопределённости или неполноты информации.

Достоинством предложенных методов оценки числовых характеристик нечётких чисел и степени их взаимосвязи является то, что они пригодны для нечётких чисел любого вида.

В третьей главе решена задача оценки числовых характеристикдля стандартного набора нечётких чисел, используемых при описании нечётких параметров в теории оценивания.

Получены новые аналитические зависимости средних значений и дисперсий от параметров формы нечётких чисел. Решена задача оценки ковариации для унимодальных и толерантных нечётких чисел, а также задача оценки коэффициента корреляции между техническими параметрами, описанными нечёткими числами. Оценены предельные значения коэффициентов корреляции для различных сочетаний нечётких чисел и получены зависимости величин коэффициентов корреляции от изменения коэффициентов формы того или иного нечёткого числа. Все расчёты сведены в структурированные таблицы и удобны для дальнейшего применения - таблицы 1,2 и 3.

Четвёртая глава посвящена алгоритмизации, предложенных во второй главе, процедур оценивания числовых характеристик параметров технических объектов, а также разработке и описанию программного комплекса, учитывающего структурированные алгоритмы построения функций принадлежности нечётких чисел, алгоритмы оценки числовых характеристик нечётких чисел и алгоритмы оценки суммарного влияния нечёткости.

Созданы:

■ оригинальный алгоритм построения функции принадлежности нечётких чисел, который имеет свои особенности в зависимости от типа исходной информации

I

I !

I

■ алгоритм оценки числовых характеристик нечетких чисел и корреляции, который складывается из алгоритмов оценки среднего значения, дисперсии и коэффициента корреляции;

■ алгоритм оценки суммарной погрешности технических объектов многозвенной структуры.

Предложенные алгоритмы упорядочены в виде структур и схем, которые явились основой для создания программного обеспечения в виде комплекса программных модулей с единым пользовательским интерфейсом, реализующего эти алгоритмы.

Таблица 1 - Числовые характеристики унимодальных нечётких чисел.

№ п/п Название нечёткого числа ЬИ-представление Среднее значение 1 1 Дисперсия

1 треугольное . ЫКа, а, (3) Цх) - —3- +1, х 6 [а - а: а]; а Я(х) = ——+ !, х €|а;а -|-р1: / В 1 ! | а + Р_'_а ! (а + С'Г 1 4 | 1? 1 и ...

2 колоколообразное симметричное (х-гг Цх) = И(х) = е ! , | 1 1 ! .. ______ .1

3 1 колоколообразное правостороннее 1-Ща, Ь, а) Цх) =-'-, !+схр(-а'(х-Ь)) х<=[-со;а]; Щх)=---, 1+ехр(-а"(х-а)) х е [а:+оо]; |'>0; а"<0; а'<Ь<|а"|<<1. Ь + <1 1 (Ъ-<1)2 + 4 3,29 1 1ч2 4 а а

4 колоколообразное левостороннее ЬЯ(а, к,, к2) Г 2 1Цх)=1-е"к'х , х6[0;а]; 1я(х) = е-к|(х-а>2,хе[а;«>]; к,>к2 0,443<^ 2 к| + к2+а2 4к,к2 4 0,291 + 0,443а(Тк! -л/Ь)

Лк2

!

Таблица 2 - Числовые характеристики толерантных нечётких чисел.

№ п/п Название нечёткого числа ЬЯ-представление Среднее значение Дисперсия

1 трапецеидал ьное ЬЯ(а, Ь, а, Р) Цх) = —- +1, х 6 [а -а; а]: а 1, х е [а; Ь]; Щх) = ^ + 1,хе[а;а + Р]: а+Ь В-а -+ г- 2 4 (а + р)2 12 -|(а + Ь)2(Ь-а) 4

П-образное ЬЩа, Ь, а, р) Цх) = е-<х-а>2/а2,х<а; 1,хе[а,Ь]; Я(х) = е'(х-Ь'2/а2,х>Ь. а + Ь 2 -|(а + Ь)2(Ь-а) + 4

3 1 ! П-образное правостороннее ЬЩа, Ь, п, ш) Цх) =-]-, 1+ехр(-а'(х-п)) х е [-со; а]; 1, х е [а; Ь]; Я(х) =-!-, 1 + ехр(-а"(х - ш)) х е [Ъ; + °о]; а'> 0; а"<0; а'<п<|а"|<ш. п + т 2 -—(а + Ь)2(а-Ь) 4 2 (п-т + Ь-а) +--— + 4 а а

4 П-образное левостороннее Ща.Ь.кька) 2 Цх) = 1-е"к'х , хе[0;а]; 1, хе[а,Ь]; 2 К(х) = е-к|(х-Ь) хе[Ьх]. к,>к2 ь —+ 2 +0,443( I—+ — -^(а4Ь)2(Ь-а) + 4 к| 4 к? а2 +_!-£ +-- 4к)к2 4 0,582 0,886а(71ч->/^2) 2^

Таблица 3 - Корреляция нечётких чисел.

Треугольное (Трапецеидалы юе) Колоколообразное (П-образное) симметричное Колоколообразное (П-образное) левостороннее Колоколообразное (П-образное) правостороннее

Треугольное (Трапецеидальное) 1 0,99 7Т2 5.724 ш +1,037 0,702

4 ^1.955 + 6.78 т + 6.237 т2 1^=0,99 Кт,п=0,587

Колоколообразное (П-образное) симметричное 0,99 1 2,497т+ 1,358 0,858

^6,;37т2 + 6,78т + 1,955 К-тах-1 ^,„=0,988

Колоколообразное (П-образное) левостороннее •Лг 5.724 т^ 1.037 8 ^1.955-^ 6.78 т+6.237 т2 Я™х=0,99 Ктп=0,587 2.497т+ 1.358 1 1,72 (1,006т+ 0,647)

■Уб.237т2+6,78т + 1 955 Ят,„=0,988 7б, 237т2+ 6.78т+ 1,955 ^тах=0,763 ^,„=0,692

Колоколообразное (П-образное) правостороннее 0,702 0,858 1.72 0-006т +0.647) 1

х/бД37п)2 + 6,78т+ 1,«55 1^=0,763 ^„„=0,692

Примечание: гп - масштабный коэффициент асимметричного левостороннего нечёткого числа, формирующий функцию принадлежности левее центра.

Разработан программный комплекс, как необходимое инструментальное средство, позволяющее использовать предложенные методы непосредственно в инженерной практике. Программный комплекс получил наименование «HOTO» - «Нечёткая Оценка Точности».

В пятой главе выполнен анализ достоверности результатов, получаемых нечёткими методами и практическое подтверждение результатов исследования созданием методики оценки поглощённой дозы излучения рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01.

Достоверность оценок, полученных новыми методами, подтверждена на практическом примере и статистическим критерием. Разница статистических и нечётких оценок среднего значения при наличии достаточного объёма исходной информации составляет примерно 1%, а разница значений дисперсий может достигать 50%. Это связано с тем, что при нечётом задании происходит охват большей области действительных чисел, чем область реальных статистических значений, т.е. даётся более расплывчатое представление, чем в действительности, но значения дисперсий могут быть уменьшены, если появляется дополнительная информация, уточняющая область возможных значений. Подтверждено, что отсутствие различия между статистической и нечёткой оценкой среднего значения статистически достоверно.

Подтверждена работоспособность новых методов на конкретных примерах: оценки погрешности измерения силы ионизационного тока и на примере определения суммарной погрешности технического устройства многозвенной структуры.

Впервые появилась возможность оценки поглощённой дозы излучения рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01 с учётом двух важных источников нечёткости - неравномерность распространения рентгеновского излучения за счёт краевого эффекта коллимирующих пластин и нелинейность формы ионизационной камеры, регистрирующей излучение. Предложенные автором методы оценки позволили учесть в анализе поглощенной дозы эти два вида нечёткостей и получить результат очень близкий к эксперименту.

Оценка поглощённой дозы производилась при помощи пропорционального сопоставления среднего значения нечёткого числа, полученного пересечение двух исходных, с известной максимально возможной дозой излучения. Аналитическая оценка поглощённой дозы при однослойном сканировании органа пациента может быть использована в медицинских целях для контроля величины суммарной дозы.

Основные выводы по диссертационной работе

■ Проведён анализ математических методов теории оценивания связанных с нахождением числовых характеристик параметров технических объектов в условиях наличия информации и в условиях неопределённости или неполноты таковой. Выявлено отсутствие методик описания параметров и оценивания их числовых характеристик (среднего значения и дисперсии), при нечётком задании.

■ Выполнен обзор современных программных средств по обработке полной статистической информации, а так же нечётких, неточных или неполных

статистических данных об исследуемом параметре или характеристике технического объекта. Выявлены их основные достоинства и недостатки.

■ Представлены теоретические положения по принципам задания нечётких параметров при помощи нечётких чисел в зависимости от их лексического описания. Предложены методы оценки среднего значения и дисперсии нечётких чисел различной формы. Разработанные положения теории оценивания, позволили повысить вероятность решения задач оценивания в условиях невозможности получения статистической информации.

■ Практически и математически подтверждена достоверность результатов полученных предложенными методами, что позволяет их использовать при решении реальных практических задач. Полученное аналитическое соотношение для среднего значения нечёткого числа предложено использовать как новый метод дефаззицикации.

■ Создана классификация типов нечётких чисел, применяемых для описания случайных погрешностей технических устройств, представлены их математические модели и получены зависимости средних значений и дисперсий от параметров формы. Предложен метод проведения количественной оценки нечётко заданных погрешностей функциональных блоков многозвенной технической системы, а также метод оценки их суммарного влияния. Предложен метод оценки степени взаимосвязи нечётко заданных параметров при помощи коэффициента корреляции, которая учитывается при оценке суммарного влияния нечётко заданных погрешностей. Получены зависимости коэффициента корреляции от параметров формы нечётких чисел. Все аналитические зависимости числовых характеристик нечётких чисел от параметров формы сведены в структурированные таблицы, позволившие упростить решение сложных задач по оценке точности работы устройства.

■ Разработанные теоретические положения опробованы экспериментально на базе РФЯЦ-ВНИИТФ, что подтверждается отчётом на НИР.

■ Результаты эксперимента и испытаний проанализированы и сопоставлены с известными данными других исследователей. Методики оценки, предложенные в работе, используются в Снежинской государственной физико-технической академии при изучении курса теории нечётких множеств и включены в методическое пособие.

■ На базе новых методик разработаны алгоритмы и программное средство «HOTO», позволившие провести комплексную оценку суммарной погрешности технического устройства в зависимости от его структуры при наличии полной статистической информации и при её отсутствии, максимально упрощающее и визуализирующее результаты всех расчётов

Публикации:

1. Еронина Н. А. Описание нечёткостей теории оценивания при помощи теории нечётких множеств //Автоматизация и прогрессивные технолгии: Труды III межотраслевой научно-технической конференции. - Новоуральск: НГТИ, 2002.-С. 78-81.

2. Еронина Н. А. Оценка дисперсии нечёткого числа //Снежинск и наука

2003. Современные проблемы атомной науки и техники: Сборник научных трудов Международной научно-практической конференции. - Снежинск Челябинской области: изд-во СГФТА, 2003. - С. 132-133.

3. Еронина Н. А. Оценка ковариации и корреляции нечётких чисел //Снежинск и наука 2003. Современные проблемы атомной науки и техники: Сборник научных трудов Международной научно-практической конференции. -Снежинск Челябинской области: СГФТА, 2003. - С. 130-131.

4. Еронина Н. А. Оценка среднего значения нечёткого числа //Снежинск и наука 2003. Современные проблемы атомной науки и техники: Сборник научных трудов Международной научно-практической конференции. - Снежинск Челябинской области: СГФТА, 2003.-С. 134-136.

5. Еронина Н. А. Применение методов теории нечётких множеств в теории оценивания //ТЕЗИСЫ межотраслевой научно-технической конференции «Дни науки ОТИ МИФИ». - Озёрск Челябинской области: ООО «Форт Диалог-Исеть», 2002. - С. 129-131.

6. Еронина Н. А., Мякушко Э. В. Контроль работоспособности и функционирования в понятиях нечётких множеств //Ядерно-промышленный комплекс Урала: проблемы и перспективы. Труды второй молодёжной научно-практической конференции. - Озёрск Челябинской области: ОТИ МИФИ, 2003. -С. 35-36.

7. Определение статистических характеристик параметров рентгеновского тракта компьютерного томографа РКТ-01 (Отчёт по НИР). № ПС.05.9469/1-Снежинск: РФЯЦ-ВНИИТФ, 2005. - 27 с.

8. Первушина Н. А. Методическое пособие к практическим работам по курсу: «Теория нечётких множеств». Моделирование решений математических задач в нечётких условиях. - Снежинск: СГФТА, 2004. - 40 с

9. Первушина Н. А. Алгоритм оценки суммарной погрешности при нечёткой исходной информации //Технология и автоматизация атомной энергетики: Материалы отраслевой научно-технической конференции..- Северск: СГТИ,

2004.-С. 75.

10. Первушина Н. А. Оценка суммарного влияния нечётких погрешностей функциональных блоков на точность технического устройства в целом //Сборник трудов IX Нижегородской сессии молодых учёных. - Саров: СарФТИ, 2004.

11. Первушина Н. А. Построение функций принадлежности нечётких чисел при наличии неполных статистических данных //Технология и автоматизация атомной энергетики: Сборник научных трудов отраслевой научно-технической конференции.. - Северск: СГТИ, 2004.

12. Первушина Н. А. Применение метода наименьших квадратов к оценке параметров формы нечётких чисел /Технология и автоматизация атомной энергетики: Материалы отраслевой научно-технической конференции. - Северск: СГТИ, 2004.

ПЕРВУШИНА Наталья Александровна

ОЦЕНКА ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПАРАМЕТРОВ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ПРИ НЕЧЁТКИХ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Гарнитура «Times New Roman». Бумага офсетная. Формат 210x145. Тираж 100 экз. Заказ № 562 от 10.10.2005 г. Отпечатано в ПМЛ СГФТА с готового макет-оригинала заказчика.

456770, г. Снежинск, Челябинская область, ул.Комсосмольская, д.8, а/я 911 тел. (351-46)-315-41 тел/факс (351-46)-325-26

«216 58

РНБ Русский фонд

2006-4 18454