автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Алгоритмы сужения множества Парето на основе информации о предпочтениях ЛПР

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

БАСКОВ Олег Владимирович

АЛГОРИТМЫ СУЖЕНИЯ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО НА ОСНОВЕ ИНФОРМАЦИИ О ПРЕДПОЧТЕНИЯХ ЛПР

05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Гч

Санкт-Петербург 2014

2 ОКТ 2014

005552942

Работа выполнена в ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Ногин Владимир Дмитриевич Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Петровский Алексей Борисович (Институт системного анализа РАН, заведующий лабораторией методов и систем поддержки принятия решений) доктор физико-математических наук, профессор Флегонтов Александр Владимирович (Российский государственный педагогический университет им. А.И.Герцена, заведующий кафедрой информационных систем и программного обеспечения) Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки «Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН» (СПбЭМИ)

Защита состоится 29 октября 2014 г. в 15 часов на заседании совета Д212.232.50 по защите диссертаций на соискание учёной степени кандидата наук, на соискание учёной степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петро-дворец, Университетский пр., 35, факультет ПМ—ПУ, ауд. 327.

Отзывы на автореферат в 2-х экземплярах просим направлять по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 35, учёному секретарю диссертационного совета Д212.232.50 Г. И. Курбатовой.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9. Автореферат и диссертация размещены на сайте www.spbu.ru.

Автореферат разослан «и ьСеиТл^А 2014 г. Учёный секретарь диссертационного совета

д-р физ.-мат. наук, проф. Г. И. Курбатова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи принятия решения часто встречаются в различных областях человеческой деятельности. В них лицу, принимающему решение (ЛПР), необходимо выбрать одну или несколько альтернатив из множества возможных вариантов. При этом каждая альтернатива оценивается, как правило, по нескольким критериям, и варианта, оптимального с точки зрения всех критериев, не существует, что существенно осложняет выбор.

Центральную роль в задачах многокритериального выбора играет принцип Эджворта — Парето, в соответствии с которым выбор должен производиться из множества парето-оптимальных вариантов, также называемого множеством Парето. Однако на практике оно, как правило, оказывается довольно широким, причём все его элементы имеют различную значимость для ЛПР. Выбор конкретного парето-оптималыюго решения (или некоторого сравнительно узкого подмножества таких решений) до настоящего времени представляет собой открытую концептуальную проблему, от успешного решения которой зависит качество принимаемых решений во многих областях техники и экономики.

К настоящему времени разработано большое число подходов к решению задач многокритериального выбора. Значительный вклад в эту область внесли такие известные учёные, как Ю. Б. Гермейер, О. И. Ларичев, А. В. Лотов, В. Д. Ногин, А. Б. Петровский, В. В. Подиновский, F. Y. Edgeworth, R. L. Keeney, V. Pareto, Н. Raiffa, В. Roy, Т. L. Saaty и многие другие отечественные и зарубежные авторы. Предложенные подходы можно выделить в следующие группы: методы многокритериальной теории полезности (MAUT — Multiattribute Utility Theory), «outranking approaches», методы вербального анализа решений, различные итеративные процедуры принятия решений, а также аксиоматический подход к сужению множества Парето.

Многие существующие подходы являются эвристическими: предлагается правило поиска «наилучшего» решения, однако, в каком смысле оно «наилучшее» и для какого класса задач это правило применимо, не обосновывается. Поэтому актуальным представляется развитие таких методов, для которых известен класс задач, где их применение допустимо.

К числу таких методов относится развиваемый с 1980-х годов В. Д. Ноги-

ным аксиоматический подход к сужению множества Парето. Он существенно отличается от многих других методов тем, что не ставит задачу предоставить ЛПР решение, которое оно должно выбрать. Цель данного похода в том, чтобы помочь ЛПР сузить круг поиска «наилучшего» решения, которым изначально является множество парето-оптимальных вариантов. Сужение производится с помощью «квантов» информации об отношении предпочтения ЛПР, характеризующих готовность ЛПР пойти на компромисс. То, что при этом все исключённые при сужении варианты заведомо выбраны быть не могут, строго доказывается при условии выполнения аксиом «разумного» выбора.

Предметом исследования являются задачи принятия решений при многих критериях.

Цель диссертационной работы заключается в развитии аксиоматического подхода к сужению множества Парето.

Ставятся задачи:

1. предложить алгоритм, обеспечивающий сужение множества Парето на основе произвольного конечного набора числовой информации об отношении предпочтения ЛПР и оформить этот алгоритм в виде пакета прикладных программ ParSetRe;

2. построить и обосновать алгоритм, обеспечивающий сужение множества Парето на основе произвольного конечного набора числовой информации о нечётком отношении предпочтения ЛПР;

3. разработать критерий проверки предоставленных ЛПР «квантов» на непротиворечивость, т. е. на согласованность с аксиомами «разумного» выбора.

Научная новизна диссертации заключается в создании новых алгоритмов сужения множества Парето при помощи произвольного конечного набора числовых «квантов» информации об отношении предпочтения ЛПР.

Теоретическая и практическая значимости. В работе развивается аксиоматический подход к сужению множества Парето и тем самым вносится определённый вклад в теорию принятия решений при многих критериях. Полученные результаты могут быть применены в различных задачах науки, техники и экономики. Разработан программный пакет Раг8е111е, который

позволит ЛПР применять аксиоматический подход в стоящих перед ним задачах.

Достоверность научных результатов обеспечивается строгостью доказательств и согласованностью со всеми ранее полученными результатами в этой области.

Апробация результатов исследования. Приведённые в диссертации результаты докладывались на ХЫ, ХЫ1, ХЫП, Х1ЛУ международных научных конференциях аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» факультета прикладной математики — процессов управления СПбГУ (Санкт-Петербург, 2010-2013), международной конференции «Конструктивный негладкий анализ и смежные вопросы» (Санкт-Петербург, 2012), VII московской международной конференции по исследованию операций ОГШ-2013 (Москва, 2013).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в девяти работах [1-9], из которых три [1-3] являются статьями в журналах, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы, включающего 48 наименований. Объём составляет 84 страницы.

Поддержка. Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проекты №№ 08-01-00301, 11-07-00449а, 14-07-00899).

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновываются актуальность и научная новизна работы, обозреваются известные методы решения задачи многокритериального выбора, приводятся основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава диссертации посвящена рассмотрению случая чёткого отношения предпочтения ЛПР. Описывается модель многокритериального выбора, состоящая из трёх объектов: множества возможных вариантов X, числового векторного критерия / размерности т и бинарного отношения предпочтения определённого на множестве возможных вариантов, но известного лишь частично. Отношение предпочтения отражает вкусы ЛПР в том смысле, что запись х' К х" содержательно означает, что из пары вариан-

tob x', x" ЛПР выберет первый и не выберет второй. Отобразив множество вариантов с помощью векторного критерия / в пространство Rm, можно получить множество возможных векторов ¥ = /(X), на котором индуцировано отношение предпочтения Это так называемая векторная форма задачи многокритериального выбора.

Формулируются аксиомы «разумного» выбора, накладывающие ограничения на свойства отношения предпочтения. Среди существенных требований, которые могут нарушаться в некоторых практических задачах, стоит отметить транзитивность и инвариантность относительно положительного линейного преобразования. Кроме того, в них отношение предпочтения yY распространяется на всё пространство Мт и получает обозначение Таким образом, становится возможным сравнивать и те варианты, которые не являются допустимыми.

Цель ЛПР — найти множество выбираемых вариантов С(Х). Однако математическое определение этому множеству в данном подходе сознательно не даётся, т. к. оно существенно зависит от предпочтений ЛПР, которые может быть трудно выразить. На него лишь накладывается одно ограничение: множество выбираемых вариантов С(Х) не должно содержать альтернатив, доминируемых по отношению предпочтения. Поэтому ищется не само множество С(Х), а оценка сверху на него, которая предъявляется ЛПР для окончательного выбора.

При выполнении аксиом справедлив принцип Эджворта — Парето, в соответствии с которым все выбираемые варианты должны лежать во множестве Парето Р/(Х) = {х е Х|Дг' G X: х' х}. Это исходная оценка сверху на множество выбираемых вариантов, которую предстоит улучшать в процессе решения задачи.

Сужение множества Парето производится с помощью «квантов» дополнительной информации об отношении предпочтения ЛПР.

Определение 1. Вектор u£lm задаёт «квант» информации об отношении предпочтения ЛПР, если он имеет хотя бы одну положительную и хотя бы одну отрицательную компоненты и и >■ 0.

Содержательно «квант» информации описывает компромисс, на который согласно ЛПР. Отрицательные компоненты соответствуют тем критериям, по которым ЛПР готово пойти на уступки. Абсолютные величины этих компо-

нент показывают наибольший приемлемый размер уступок. Положительные компоненты показывают наименьший прирост по тем критериям, ради повышения оценок по которым которых ЛПР идёт на компромисс.

Для учёта одного «кванта» информации применяется теорема, доказанная В. Д. Ногиным (см. монографию «Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход», изд. 2, испр. и доп. М.: Физмат-лит, 2005). В ней строится новый векторный критерий д и доказывается, что множество Парето относительно него окажется лучшей оценкой сверху на множество выбираемых решений, нежели исходное множество Парето: С(Х) С Р5(Х) С Р/(Х).

Преобразование векторного критерия линейно, и его можно записать в виде д = Т/, где Т — матрица соответствующей размерности, компоненты которой полностью определяются учитываемым «квантом» информации. С её помощью строится множество возможных векторов Ъ относительно нового векторного критерия д как образ исходного множества возможных векторов: Ъ = TY. На нём также можно индуцировать отношение предпочтения >-г. Оказывается, что тройка (Т., д, >-х) описывает задачу многокритериального выбора, для которой выполнены все аксиомы «разумного» выбора.

Пусть теперь в исходной задаче (X, /, Ух) задано несколько «квантов» и1,.. .,ир. После учёта первого так, как описано выше, появляется новая задача многокритериального выбора. Если удастся перенести в неё оставшиеся «кванты» информации, то задача учёта р «квантов» будет сведена к задаче учёта р — 1 «кванта». Роль новых «квантов» играют образы исходных: доказывается, что Ти2 >- 0, ..., Тир У- 0. Однако в соответствии с определением у каждого из этих векторов должны найтись хотя бы одна строго положительная и хотя бы одна строго отрицательная компоненты. Поэтому возможны два специальных случая.

Если какой-либо из образов «квантов» не имеет отрицательных компонент, не умаляя общности, Тир > 0, то соотношение Ти» У 0 не несёт дополнительной информации и полностью соответствует аксиомам. Поэтому такие образы можно отбросить: описываемая этими «квантами» информация излишняя.

Если какой-либо из образов «квантов» не имеет положительных компонент или вовсе оказывается нулевым вектором, не умаляя общности, Тир ^ 0,

то можно показать, что тогда нарушаются аксиомы «разумного» выбора. Другими словами, ЛПР предоставлена противоречивая информация.

Определение 2. Набор «квантов» и1,... ,ир непротиворечив, если существует отношение У, удовлетворяющее аксиомам разумного выбора, при котором верны соотношения и1 >- 0, ..., ир >- 0.

Если не выявлена противоречивость и отброшены не все образы «квантов», то процесс учёта можно продолжать: взять один образ и применить к нему упомянутую выше теорему В. Д. Ногина. В диссертации приведён пример, как таким образом учитываются два «кванта». Однако из него становится очевидно, что получаемый в результате новый векторный критерий неоптимален: некоторые критерии можно исключить без изменения множества Парето относительно него.

Для исключения лишних критериев рассматривается связь между задачей учёта нескольких «квантов» информации и построением образующих двойственного конуса. Оказывается, что если представить новый векторный критерий, полученный в результате учёта «квантов» и1,..., и3, в виде ^ = Яз/, то коническая оболочка строк матрицы <3 двойственна к конической оболочке «квантов» и1,...,и3 и ортов е1,...^™ пространства Мт. Следовательно, вопрос об исключении лишних критериев сводится к исключению лишних образующих. Для этого доказывается следующий критерий. Каждой строке q матрицы ставится в соответствие множество Т(д) = {ег |де* = 0 } и {и' = 0, г < в }. Строка qa является лишней тогда и только тогда, когда существует строка qь, Ь ± а, для которой Т(дь) Э Т(да).

Таким образом, основным результатом первой главы является алгоритм последовательного учёта набора «квантов» информации о чётком отношении предпочтения ЛПР, который выглядит следующим образом.

Пусть задан набор «квантов» Обозначим через т - т0 раз-

мерность исходного векторного критерия /.

Алгоритм 1. На первом шаге строится матрица Тг, порождённая вектором и10. Вводится матрица <31 = Ть Если р0 = 1, то других «квантов» нет, и алгоритм завершается. Если р0 > 1, то строятся образы оставшихся «квантов» Тхи1,... ,7^0°. Если среди них есть хотя бы один вектор Тги^ ^ 0, алгоритм завершается с предупреждением о противоречивости исходного набора «квантов». Все векторы 7\и§ > 0 отбрасываются. Если все векторы

оказались отброшены, алгоритм завершается. Если нет, то оставшиеся векторы переобозначаются как и\,... , п алгоритм переходит на следующий шаг.

Пусть проделано я — 1 шагов, построены матрицы Тк размерности т/. х гпк-1,к = 1,5 — 1, и известна текущая матрица С}3-\- Остаются неучтёнными «кванты» и\_х,... ,ир3'2На в-ом шаге строится матрица Т3, порождённая вектором Вычисляется = Тв(Э8_1. Если = 1, то «квантов» больше нет, и алгоритм завершает свою работу. Если же р5_1 > 1, то строятся образы «квантов» Т^и^,.. Если среди получившихся векторов есть такие, которые не имеют строго положительных компонент, то алгоритм завершается с предупреждением о противоречивости исходного набора «квантов». Все векторы, не имеющие отрицательных компонент, удаляются. Оставшиеся переобозначаются как и],... ,ир3'. Если векторов не осталось, алгоритм завершается. Если р3 > 1, алгоритм переходит к следующему шагу.

На каждом шаге я можно делать проверку существенности строк матрицы Для этого каждой её строке (¡1 ставится в соответствие множество = {еш0 к^то = 0} и {<, = < а}, и затем по одной вычёр-

киваются те строки д®, для которых 3] ф г: Т(^) Э Т(^). Вычёркивание строк по одной необходимо потому, что возможна, например, ситуация, когда два новых критерия идентичны: тогда они оба детектируются как лишние, однако вычеркнуть необходимо лишь один, тогда второй перестаёт считаться лишним.

Вторая глава посвящена обобщению результатов первой на случай нечёткого отношения предпочтения ЛПР. Напомним, что нечёткое множество А определяется как множество объектов из некоторого универсального множества X с ассоциированной функцией принадлежности Аа: X [0;1]. Значение функции Ад(х) показывает степень уверенности в том, что элемент х принадлежит множеству А. Нечёткие множества, обладающие свойством \/х € X, Уа > 0 ХК(ах) = ХК(х), называются нечёткими конусами.

Далее обобщается понятие конической оболочки. Теперь наряду с образующими должны быть заданы и степени их принадлежности порождаемому нечёткому конусу. Вводятся три определения.

Определение 3. Нечёткая коническая оболочка конечного числа векторов а1,..а4 € со степенями уверенности а1,... ,ач £ [0; 1] — нечёткое

множество с функцией принадлежности

Л(х) = max _niin ак, Ух € Rm,

(xi.....x,)gR^: k=l,q:xk^0

х= хка* к= 1

где Ж\ = {(ц,... ,хя) € R9 |VÄ = hq =» хк > 0}.

Максимум и минимум существуют, потому что различных ак конечное число. Минимум по пустому множеству считается равным 1; максимум по пустому множеству — 0.

Определение 4. Нечёткая коническая оболочка конечного числа векторов а1,... ,ач € Rm со степенями уверенности а1,...,а4: 1 = а0 ^ а1 ^ а2 ^ ... ^ а4 > 0 — нечёткое множество с функцией принадлежности

4х) = _ max aki Vх е Rm-

k=0,q: xeconeio1,...^'}

Максимум по пустому множеству считается равным 0, а коническая оболочка пустого множества векторов — {0}.

Определение 5. Нечёткая коническая оболочка конечного числа векто- j ров а1,... ,aq 6 Rm со степенями уверенности а1,... ,ач € [0; 1] — минимальный по включению выпуклый нечёткий конус с такой функцией принадлежности Л(х), что Ук = Т7д => А(ак) ^ ак, и А(0) = 1.

Доказывается, что эти определения эквивалентны и действительно задают нечёткие конусы.

Затем обобщается определение двойственности.

Определение 6. Двойственный нечёткий конус к нечёткому множеству с функцией принадлежности Х(х) — нечёткое множество с функцией принадлежности ц(х) = inf (1 — А (у)).

у£Жт: ху<0

Показывается, что двойственный нечёткий конус действительно является нечётким конусом, причём всегда выпуклым и замкнутым. Кроме того, нечёткий конус, двойственный к двойственному к конечнопорождённому нечёткому конусу, совпадает с ним, так что можно говорить о взаимодвойственности нечётких конечнопорождённых конусов.

Одним из результатов этой главы является алгоритм построения образующих нечёткого конуса, двойственного к нечёткой конической оболочке,

содержащей неотрицательный ортант.

Алгоритм 2. Пусть требуется найти образующие нечёткого конуса, двойственного к нечёткой конической оболочке векторов е1,..., ет,и1,..., ир с соответствующими степенями принадлежности 1,..., 1, и1,..., vv, где ег суть орты пространства Rm.

Работа алгоритма начинается с образующих неотрицательного ортанта: б1 = е1, ..., Ът = ет с единичными степенями принадлежности ß1 — ■■■ — ßm= 1.

На шаге s к исходному конусу добавляется образующая и3 со степенью принадлежности и3. Построенные к данному шагу образующие Ь1 разбиваются на три группы: А = {г \и3Ь* > 0}, В = {j |u3V < О}, С = {к \и3Ък = 0}. Сначала добавляются новые образующие вида = (u8?;1)^ — (usbP)b% со степенями принадлежности min {ß';ßj] для V(i,j) € АхВ. Затем у всех образующих Ы, j £ В степень принадлежности полагается равной min {/3J; 1 — Если и3 — 1, то образующие этой группы просто удаляются. Построенные образующие переобозначаются за bl,...,bq' со степенями принадлежности ß1,... ,ß4'. В завершение шага для каждой образующей Ък строится множество Т(Ьк) = {е11ёЬк = 0} U {и1 |и1Ък = 0, и{ + ßk > 1,г s}, и те образующие Ьк, для которых 31 ф к: ßl ^ ßk,T(bl) Э Т(Ь*), удаляются как несущественные.

В результате работы алгоритма получаются векторы Ь1,...,ЬЧр со степенями принадлежности ß1,..., ß4p, нечёткая коническая оболочка которых двойственна к нечёткой конической оболочке векторов е1,..., ет, и1,..., ир со степенями принадлежности 1,..., 1, и1,..., ур.

Далее рассматривается задача многокритериального выбора (X,/, >-х), в которой отношение предпочтения Хх нечёткое и характеризуется функцией принадлежности цх(х',х"). Равенство цх(х',х") = [л означает, что при выборе из двух вариантов х', х" ЛПР отдаёт предпочтение первому со степенью уверенности ц.

Аксиомы «разумного» выбора естественным образом обобщаются на случай нечёткого отношения предпочтения. Определение «квантов» информации приобретает следующий вид.

Определение 7. Пусть и 6 Rm — вектор, имеющий хотя бы одну положительную и хотя бы одну отрицательную компоненты. Если имеет место

равенство ц{и, 0) = 1/, то говорят, что задан «квант» (нечёткой) информации об отношении предпочтения ЛПР.

Основным результатом этой главы является утверждение об оценке сверху на множество выбираемых вариантов.

Утверждение 1. Пусть для k = 1 ,р векторы ик >- 0 со степенями уверенности vk > 0. Пусть Х(х) — функция принадлежности нечёткой конической оболочки векторов е1,..., ет, и1,..., ир со степенями уверенности 1,..., 1, v1,..., ир. Пусть двойственный к А нечёткий конус с функцией принадлежности ц{х) представим в виде нечеткой конической оболочки векторов д1,...,дч со степенями уверенности в1,... ,9я. Пусть Y — множество возможных векторов. Пусть х — функция принадлежности множества выбираемых векторов. Тогда Va; S Y => и(х) ^ min _max в1.

у6Y\{x} ¿=1,?: gix>giy

Видно, что в процессе построения этой оценки необходимо применение алгоритма 2 для нахождения образующих нечёткого двойственного конуса.

Последний оставшийся вопрос касается проверки информации, предоставленной ЛПР, на согласованность с аксиомами.

Определение 8. Набор квантов информации il1, ... ,ир с соответствующими степенями уверенности г/j,..., vp называется противоречивым, если не существует такого нечёткого отношения У с функцией принадлежности ц, которое удовлетворяет всем аксиомам «разумного» выбора и соотношениям fi (и1,0) ^ щ, ..., д (ир, 0) ^ vp.

Проверять «кванты» на непротиворечивость позволяет следующий критерий.

Утверждение 2. Набор нечётких «квантов» информации и1,...,ир с соответствующими степенями уверенности ui,...,vp противоречив в том и только в том случае, если для некоторого номера s = 1 ,р среди образующих Ък нечёткого конуса, двойственного к нечёткой конической оболочке векторов е1,..., ет, и1,..., и5-1 с соответствующими степенями принадлежности 1,..., 1, г/1,..., г/5-1, нет таких, степень принадлежности которых равна единице и Ъки3 > 0.

Таким образом, проверку можно осуществлять по ходу работы алгоритма 2. Поэтому можно называть его алгоритмом последовательного учёта набора «квантов» информации о нечётком отношении предпочтения ЛПР.

В третьей главе описана программная реализация разработанных алго-

ритмов на языке Java, получившая название ParSetRe.

Наконец, четвёртая глава содержит пример применения алгоритма последовательного учёта «квантов» информации к одной экономической задаче. Исследуется набор из трёх «квантов», который не подпадает ни под одну из ранее известных теорем о сужении множества Парето.

Результаты, выносимые на защиту:

1. алгоритм последовательного учёта набора «квантов» информации о чётком отношении предпочтения ЛПР, его обоснование и программная реализация;

2. оценка сверху для множества выбираемых вариантов, построенная на основе конечного набора «квантов» нечёткой информации;

3. критерий противоречивости «квантов» информации о нечётком отношении предпочтения ЛПР;

4. алгоритм последовательного учёта набора «квантов» информации о нечётком отношении предпочтения ЛПР, его обоснование и программная реализация.

Тематика диссертации соответствует пунктам 4 и 5 паспорта специальности 05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления).

Публикации по теме диссертации:

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Ногин В. Д., Басков О. В. Сужение множества Парето на основе учёта произвольного конечного набора числовой информации об отношении предпочтения // Доклады Академии Наук, 2011, т. 438, № 4. С. 1-4.

2. Басков О. В. Алгоритм сужения множества Парето на основе конечного набора нечёткой информации об отношении предпочтения ЛПР // Искусственный интеллект и принятие решений, 2014, № 1. С. 57-65.

3. Басков О. В. Критерий непротиворечивости «квантов» информации о нечётком отношении предпочтения лица, принимающего решения //

Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2014. Вып. 2. С. 13-19.

Другие публикации:

4. Басков О. В. Алгоритм последовательного учёта информации об относительной важности критериев в задаче многокритериального выбора. // Процессы управления и устойчивость: Труды XLI международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. Спб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2010. С. 553-558.

5. Басков О. В. Последовательный алгоритм построения двойственного конуса и его применение в принятии решений // Процессы управления и устойчивость: Труды XLII международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. Спб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2011. С. 427-431.

6. Басков О. В. Двойственные нечёткие конусы // Процессы управления и устойчивость: Труды XLIII международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А.С.Ерёмина, Н.В.Смирнова. Спб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2012. С. 449-453.

7. Baskov О. V. Dual fuzzy cones // Конструктивный негладкий анализ и смежные вопросы. Тезисы докладов международной конференции. СПб.: Изд-во Санкт-Петербургкого университета, 2012. С. 25-26

8. Басков О. В. Свойства острых нечётких конечнопорожденных конусов // Труды 44-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Т. Е. Смирновой. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2013. С. 557-559.

9. Baskov О. V. Narrowing the Pareto set using fuzzy information on the preference relation // VII Moscow International Conference on Operations Research (ORM2013). Proceedings. Vol. 1. Moscow: MAKS Press, 2013. P. 98-101.

Подписано к печати 08.07.14. Формат 60x84 '/и . Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00.

Тираж 100 экз. Заказ 6063._

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043, 428-6919