автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Моделирование структур зависимостей и взаимодействий случайных событий в статистических системах

Общая характеристика работы

Введение

1 Постановка задачи

1.1 Предварительные сведения из теории случайных событий

1.2 Постановка задачи.

2 Решение задачи

2.1 Ковариации статистических зависимостей случайных событий.

2.2 Силы статистических взаимодействий случайных событий.

2.3 Задача N случайных событий.

2.4 Алгоритм численного решения задачи N случайных событий.

2.5 Орбитальные структуры взаимодействий случайных событий.

2.6 Примеры орбитальных структур взаимодействий звуковых категорий в поэтических текстах.

2.7 Гиббсовские случайные величины, векторы и множества

2.8 Двухуровневая структура зависимостей и взаимодействий гиббсовского случайного вектора

3 Применение полученных результатов

3.1 Статистическая модель потребительского выбора

3.2 Гиббсовский случайный потребитель.

3.3 Применение двухуровневой структуры зависимостей и взаимодействий в алгоритмах статистической оценки распределения гиббсовского случайного потребителя

3.4 Обоснованность статистической модели гиббсовского потребительского выбора.

3.5 Рекомендации по использованию статистической модели случайного потребителя

Актуальность темы. Диссертация развивает теорию случайных событий в направлении упрощения анализа зависимостей и взаимодействий случайных событий в статистических социально - экономических системах.

В связи с развитием таких направлений науки и информационных технологий, как математическое моделирование сложных систем, системный анализ, обработка статистической информации, математическая экономика и социология, возникла потребность в построении математических моделей статистических систем случайных социально - экономических событий, наиболее полно объясняющих структуру зависимостей и взаимодействий случайных событий. Большое число событий в реальных статистических системах создает главную трудность — невозможность даже просто перебрать все состояния, в которых может оказаться система, не говоря уже об анализе статистических зависимостей и взаимодействий событий в таких системах.

Один из способов преодоления подобного рода трудностей заключается в последовательном применении математического аппарата теории случайных событий и случайных множеств. На основе случайно -множественного статистического анализа реальна разработка эффек

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ 4 тивных методов построения статистических моделей в перечисленных выше областях науки и информационных технологий, существенно упрощающих структурный анализ статистических зависимостей и взаимодействий сложных систем случайных событий.

Целью работы является разработка методов моделирования статистических социально - экономических систем, позволяющих упростить измерение и структурный анализ зависимостей и взаимодействий случайных событий в таких системах.

Данная цель достигается решением теоретических и прикладных задач:

• разработка методов моделирования и измерения структур статистических зависимостей и взаимодействий случайных событий, основанных на (1) метрической интерпретации ковариации и понятии силы статистического взаимодействия; (2) понятиях орбитальной и двухуровневой структур зависимостей и взаимодействий систем случайных событий;

• разработка численных методов и алгоритмов решения задачи N случайных событий и динамическая визуализация орбитальной структуры взаимодействий случайных событий в статистических системах;

• построение статистической модели потребительского выбора, опирающейся на разработанные в диссертации методы моделирования и измерения структур зависимостей и взаимодействий

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ 5 случайных событий в статистических системах.

Методы исследования основаны на использовании теории вероятностей, теории случайных событий и случайных множеств, математической статистики, системного анализа и обработки информации для построения моделей структурного анализа сложно взаимодействующих систем случайных событий и их применении в статистическом моделировании социально - экономических систем.

Основные результаты диссертации.

1. Разработаны методы моделирования и измерения структур зависимостей и взаимодействий случайных событий в статистических системах, основанные на (*) метрической интерпретации кова-риации случайных событий, (**) понятии силы статистического взаимодействия случайных событий.

2. Предложена орбитальная структура зависимостей и взаимодействий случайных событий. Сформулирована задача N случайных событий — аналог физической задачи N тел, предложены численные методы её частных решений для произвольного iV;

3. Предложена двухуровневая структура зависимостей и взаимодействий случайных событий, состоящая из случайно - множественного базиса и количественной надстройки, позволяющая упростить статистический анализ множественных и количественных типов статистических зависимостей и взаимодействий случайных событий.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ 6

4. Построена статистическая модель случайного потребителя, объясняющая структуру зависимостей и взаимодействий случайных событий в статистических социально - экономических системах потребительского выбора.

Теоретическая значимость и научная новизна:

• предложенные в диссертации методы моделирования и измерения структур статистических зависимостей и взаимодействий случайных событий являются новыми и основаны на (1) новом понятии силы статистического взаимодействия случайных событий и (2) новых методах орбитального и двухуровневого описания структуры зависимостей и взаимодействий систем случайных событий и позволяют упростить статистический анализ множественных и количественных зависимостей и взаимодействий;

• обоснованы и построены новые алгоритмы численного решения задачи N случайных событий, а также новые алгоритмы динамической визуализации орбитальных структур взаимодействия случайных событий в статистических системах;

• построенная в диссертации статистическая модель случайного потребителя, объясняющая структуры зависимостей и взаимодействий случайных событий в статистической системе потребительского выбора, является новой и позволяет решать разнообразные практически важные задачи в социально - экономической области.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ 7

Практическая значимость Результаты работы могут быть использованы в математическом моделировании и системном анализе — для моделирования, изучения и структурного анализа сложно взаимодействующих социально - экономических систем, в обработке статистической информации множественного характера и в математической статистике — для статистического оценивания сложных вероятностных распределений систем зависимых и взаимодействующих случайных событий.

Апробация работы. Основные научные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих Всероссийских и региональных конференциях и семинарах:

I Всероссийская конференция по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (Красноярск, 2002), V и VIII Всероссийские конференции "Математика, компьютер, образование" (Пущино, 1998 и 2001), I и II Всесибирский конгресс женщин-математиков (Красноярск, 2000 и 2002), II Всероссийская конференции "Достижения науки и техники - развитию сибирских регионов" (Красноярск, 2000), III Всероссийский семинар "Моделирование неравновесных систем" (Красноярск, 2000). I Всероссийский семинар "Кластерные и распределенные системы" (Красноярск, 2001), И, III, IV и V ФАМ конференции (Красноярск, 1998-2001), Конференция молодых ученых-98 красноярского научного центра (Красноярск, 1998), Конференция "Молодежь и наука - третье тысячелетие" (Красноярск, 1998), ФАМ семинар (Красноярск, ИВМ СО РАН, 1998-2002), Семинар ИВМ СО РАН (Красноярск,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ 8

2001), Семинар кафедры прикладной математики (Красноярск, Крас-ГУ, 1998-2002), Семинар кафедры высшей и прикладной математики (Красноярск, КГТЭИ, 1998-2002).

Публикации. По результатам научных исследований соискателем опубликовано 20 печатных работ, в том числе, лично статей (5), в соавторстве (9), всего статей (14), тезисов докладов (6).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы, списка обозначений и предметного указателя. Объем диссертации — 138 страниц.

заключение 111 тистических взаимодействий покупок двух товаров. На втором уровне проводятся статистические оценки количественной надстройки — оцениваются условные функции распределения по выборке стандартными методами математической статистики. На последнем этапе согласно теореме о разложении распределения гиббсовского случайного вектора по случайно-множественному базису строится общая статистическая оценка распределения наблюдаемого двумерного гиббсовского случайного вектора.

Проверка статистической модели потребительского выбора. Приведены результаты проверки статистической модели потребительского выбора на реальных статистических данных. Адекватность модели подтверждена очевидным качественным сходством результатов, полученных при модельных расчетах с реальной статистикой продаж.

Рекомендации использования результатов диссертации. Приведены рекомендации использования результатов диссертации в прикладных областях. Предлагается применять понятие ковариации случайных событий для нового статистического определения экономических характеристик спроса и предложения — взаимозаменяемости и взаимодополняемости двух товаров. Гиббсовскую модель потребительского выбора рекомендуется применять для решения ещё двух задач: статистического анализа распределения дохода случайного потребителя и статистической оценки распределения вероятностей собственных вкусов и предпочтений случайного потребителя.

ИЛЛЮСТРАЦИИ

Рис. 3.1: Распределение вероятностей случайного множества событий под квадруплетом событий X = { покупка кофе, покупка коньяка, покупка чая, покупка пива } на четырех-товарном рынке напитков. иллюстрации 114

Рис. 3.2: Независимые события взаимодействуют: график силы взаимодействия двух независимых случайных событий х и у как функции их вероятностей рх и ру в двух ракурсах.

Рис. 3.3: Сила взаимодействия двух случайных событий как функция их вероятностей рх и ру при фиксированной ковариации Kov^ имеет седловую точку рх = ру = 2Kov:Ey. Показаны (слева направо) графики силы взаимодействия двух случайных событий х и у как функции их вероятностей рх и ру (в пределах границ Фреше) при фиксированных значениях ковариации: Kov^ = 0.20,0.15,0.10,0.05,0.01,0.00 (верхний ряд), Комху = 0.00, -0.01, —0.05, —0.10, —0.15, —0.20 (нижний ряд). иллюстрации 115

Рис. 3.4: Седловые точки силы взаимодействия двух случайных событий как функция их вероятностей рх и ру при фиксированных неотрицательных ковариациях Кочху. При возрастании ковариации в пределах границ Фреше сила взаимодействия возрастает, чтобы устремиться к бесконечности в точке [1/2,1/2], где ковариация достигает максимально разрешенного ей значения: Kov^ = 1/4.

Рис. 3.5: Иллюстрации аналитического решения задачи одного случайного события. Первая (слева) и вторая (справа) задача Коши с одними и теми же начальными условиями. Достоверное событие fi расположено в начале координат (большой белый кружок). Верхний вариант: событие х имеет вероятность рх = 2/3 (белый кружок), событие хс имеет вероятность рхс = 1/3 (черный кружок). Частота колебаний в первой задаче равна ах/2тт рй 0.34, во второй задаче — ахс/2тт к, 0.24. Нижний вариант: рх = 0.4, РхС = 0.6, ах/2п Ра 0.25, ажс/2тг и 0.31. иллюстрации 116

0.5

-1О1

Figure 3. The figure-eight solution.

Рис. 3.6: Два классических (Эйлер, 1765) и (Лагранж, 1772) и одно новое (Монтгомери и др., 2001) частные решения физической задачи трёх тел.

Рис. 3.7: Численное решение задачи 4-х случайных событий на примере четырёх-товарного рынка напитков — кофе (4), коньяк (3), чай (2) и пиво (1); Показаны ор биты: (слева) -— покупки напитков, (в центре) — покупки и "не-покупки", (справа) "не-покупки".

ИЛЛЮСТРАЦИИ

120 ния (справа) гиббсовской случайной величины с параметрами (1,/?,р).

Рис. 3.13: Плотности индивидуальных распределений fx и fy стоимостей Нх и Ну двух товаров х и у, купленных случайным потребителем К, при условии, что покупки совершились с вероятностями рх = Р(х £ К) я ру = Р(у £ К).

ИЛЛЮСТРАЦИИ 121

Рхсус Рхус Нх

РхСуС +РхуС + РхСу + Рху =1

Рис. 3.14: Плотность совместного распределения fxy стоимостей Нх и Ну двух товаров х и у, купленных случайным потребителем К.

О Нх+Ну

Рис. 3.15: Плотность распределения fx+y суммы стоимостей Нх + Ну двух товаров х и у, купленных случайным потребителем К. иллюстрации

Дата

Шифр товара Наименование товара Пена Сумма

02.04.01

9000712 330 Руслан,кафельная плитка 30,2*30,2 10.88 2448

9005431 355 Бежин луг,кафельная плитка 30,2x30,2 10.88 2448

9006'ISO 369-2 Фламенко Беж.,кафельная плитка 30,2x30,2 10.88 262.9.696

02.04.01

1600004 Barselona Negro 20x30 каф/плитка 0.6 155.52

1400003 Beta,кафельная плитка 41*41 14.2066 5369.9527

400010 Capo Noni 25*33.3 каф/плитка 9.96 3764.88

500045 Vesuvio Flor.10x33.3 бордюр 4 1188

02.04.01

1400011 Palladio Beige ,кафельная плитка 31.6*31.6 1.3361 541.1606

400031 Milady Rosa (Милади Росса),каф.плитка 25*33.3 11.111 5158.698

1600002 Barselona Griss ,иаф.плитка 20x30 0.64 165.888

1500075 Ciottoli River ,каф.плитка 31.6x31,6 J.5029 579.1726

-100024 Luna Calante , каф.плитка25*33.3 24.995 9418.11

27.04.01

9004829 257 Гоген светлый,кафельная плитка 20x25 22.5 4230

9004831 259 Сезанн светлый,кафельная плитка 20x25 22.5 4230

9004833 261 Дега светлый,кафельная плитка 20x25 22.5 4230

9004836 264 Ренуар темный,кафельная плитка 20x25 15 3060

27.04.01

9004833 261 Дега светлый,кафельная плитка 20x25 340.5 68031.9

9004835 263 Ренуар светлый,кафельная плитка 20x25 300 59940

27.04.01

9005422 834 Каиалония,кафельная плимка 20x30 4.02 871.134

27.04.01

9005425 828 Бежин луг,кафельная плитка 20x30 15 2727.6

9005421 833 Андалусия,кафельная плитка 20x30 13.98 2758.254

9000713 251 Людмила светлая,кафельная ияитка 20*25 4.5 783.54

9001830 258 Гоген темный,кафельная плитка 20x25 15 2813.55

9004851 339 Сезанн,кафельная плитка 30,2*30,2 6.8 1357.756

9005294 366 Севилья,кафельная плитка 30,2x30,2 6.8 1357.756

9005899 371 Мадейра,кафельная плитка 30,2x30,2 13.6 2715.512

27.04.01

9006285 394 Мозаика голубая, керамическая плитка 30,2x30,2 29.92 9245.28

Рис. 3.18: Типичная статистика продаж строительной торговой фирмы.

ИЛЛЮСТРАЦИИ

Рис. 3.19: Статистическая оценка плотности суммы стоимостей 262 ежедневных покупок из ассортимента в 209 различных сортов колбасы (полугодовая статистика типичного супермаркета: май - октябрь, 2002, 186 дней). личин, разбитых на 37 однородных групп, каждая со своими параметрами: (слепой интервал Ьг, параметр спуска Д, вероятность покупки pi = Xi/Ni), г = 1,., 37.

1. Александров В.В., Арсентьева А.В. Информация и развивающиеся структуры. — Л.: ЛНИВЦ АН СССР, 1984. 185 с.

2. Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. — М.: Наука,1974. 367 с.

3. Бернштейн С.Н. Теория вероятностей. — М.: ГТТИ, 1934. 412 с.

4. Боровков А.А. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1986. 432 с.

5. Воробьев О.Ю. Математическое описание процессов случайного распространения и управление ими // Известия СО АН СССР, 13, 1973. — С. 145-152.

6. Воробьев О.Ю. Среднемерное моделирование. — М.: Наука, 1984. 133 с.

7. Воробьев О.Ю. Исчисление сет-распределений. // Доклады РАН, том 326, 4, 1992. — С.583-588.

8. Воробьев О.Ю., А.О. Воробьёв. Суммирование сет-аддитивных функций и формула обращения Мёбиуса // Доклады РАН, том 335, 4, 1994. — С.417-420.список литературы 127

9. Воробьев О.Ю. Сет суммирование. — Новосибирск: Наука, 1993. 137 с.

10. Воробьёв О.Ю. Статистическая эвентология и финансово-актуарная математика. // Труды I Всероссийской ФАМ конференции. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. — С. 5-12.

11. Воробьёв О.Ю. От множества случайных событий до конфигурации случайных событий. // Труды I Всероссийской ФАМ конференции. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. — С. 13-20.

12. Воробьёв О.Ю. От метафоры Шредингера до метамодели сознания. // Труды I Всероссийской ФАМ конференции. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. — С. 21-30.

13. Воробьёв О.Ю. Гиббсовские случайные величины и гиббсовско -пуассоновские предельные распределения. // Труды I Всероссийской ФАМ конференции. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. — С. 31-37.

14. Воробьёв О.Ю. Теория случайных событий и её применение. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002 (будет опубликовано). 340 с.

15. Гренандер У. Вероятности на алгебраических структурах. — М.: Мир, 1965. 276 с.

16. Иберла К. Факторный анализ. — М.: Наука, 1972. 318 с.

17. Кантор Г. Труды по теории множеств. — М.: Наука, 1985. 431 с.список литературы 128

18. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике. — М.: Мир, 1965. — 408 с. (оригинал: Mark Кас Probability and Related Topics in Physical Sciences. // Interscience Publishers, Inc., New York. 1957.)

19. Кемени Дж., Снелл Дж. , Томпсон Дж. Введение в конечную математику. — М.: Мир, 1965. 487 с. (оригинал: Kemeny J.G., Snell J.L., thompson G.L. Introduction to Finite Mathematics. Englewood Cliffs, New York: Prentice-Hall, 1957)

20. Кендалл M., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, 1973. 792 с.

21. Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. — М.: Наука, 1976. 991 с.

22. Клайн М. Математика. Утрата определенности. — М.: Мир, 1984. 447 с. (оригинал: Kline MORRIS Mathematics. The Loss of Certainty. New York: Oxford University Press, 1980.)

23. Колмогоров A.H. Основные понятия теории вероятностей. — М.: ОНТИ, 1936. (2-е издание — М.: Наука, 1974). 120 с.

24. Лермонтов М.Ю. Сочинения. — М.: Правда, 1, 1988. 720 с.

25. Ляшенко Н.Н. О предельных теоремах для сумм независимых компактных случайных подмножеств евклидова пространства. // Записки научного семинара ЛОМИ, — Ленинград, т. 85, 1979. —С. 113-128.

26. Ляшенко Н.Н. Статистика случайных компактов в евклидовом пространстве. // Записки научного семинара ЛОМИ, — Ленинград, т. 98, 1980. —С. 115-139.

27. Максимов В.М. О сходимости произведений независимых случайных величин, принимающих значения из произвольной конечной группы. // Теория вероятностей и ее приложения, 12, 1967. — С.678-697.

28. Максимов В.М. Необходимые и достаточные условия сходимости композиций неодинаковых распределений на конечной группе. // Теория вероятностей и ее приложения, 13, 1968.—С. 295-307.

29. Максимов В.М. Случайные процессы с независимыми приращениями, принимающие значения в произвольной конечной группе. // Теория вероятностей и ее приложения, 15,1970. —С. 228-242.

30. Максимов В.М. О делимых распределениях на конечных группах. // Теория вероятностей и ее приложения, 16,1971.—С. 306-318.

31. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. — М.: Мир, 1985. 200 с. (оригинал: Herve Moulin Theorie des jeux pour I'economie et la politique. Paris: Hermann, 1981.)

32. Оуэн Г. Теория игр. — Москва: Мир,1971. 232 с. (оригинал: Guillermo Owen Game theory. Philadelphia: W.B. Saunders Company, 1968.)

33. Розенмюллер И. Кооперативные игры и рынки. — М.: Мир, 1974. 168 с. (оригинал: ROSENMULLER J. Kooperative Spiele und Markte. Berlin: Springer Verlag, 1971.)

34. Сантало Jl. Интегральная геометрия и геометрические вероятности. — М.: Наука, 1983. 360 с.

35. Стратонович P.JI. Теория информации. — М.: Советское радио, 1975. 424 с.

36. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1/2, — Москва: Мир, 1984. — С. 528-752. (оригинал: Feller, William An Introduction to Probability Theory and its Applications. 3d ed., Vol. I/II, New York: Wiley, 1970.)

37. Хартли P.В.Jl. Теория информации и ее приложения. Пер. с англ. Под ред. А.А.Харкевича. — Москва: Физматгиз, 1959. 267 с.

38. Ширяев А.Н. Вероятность. — Москва: Наука, 1980. 576 с.

39. Vorob'ov O.Yu. A Random Sets Analysis of Fire Spread. // Fire Thechnology, vol. 32, 2, USA Natioanl Fire Protection Association, 1996. —P.137-173.

40. Vorob'ov O.Yu. Forest Fire Spread as a Probabilistic Modeling Problem // Fire in Ecosystems of Boreal Eurais (Forestry Sciences, Volume 48), Kluwer Academic Publishers, 1996. — P.271-276.

41. Goldenok Ellen, and Oleg Vorob'ov. Random Sets of Events in Nature and Society. Business Information System. Proceedings ofсписок литературы 132

42. BIS 2002. // Poznan, Poland: The Poznan University of Economics, 2002. — P. 12-24.

43. Carnap Rudolf The Logical Foundation of Probability. (2nd ed., 1st ed. — 1950) University of Chicago Press, Chicago, 1962.

44. Kyburg Henry E. Probability and Inductive Logic. The Macmillan Company, Collier-Macmillan limited, London, 1970.

45. Montgomery Richard. A New Solution to the Three-Body Problem. // Notices of the AMS: May 2001, Vol.48, Number 5, — P. 471-481.

46. Ramsey F.P. The Foundation of Mathematics, ed. by Braithwaite. R. and K. Paul, — London, 1950.

47. Robbins H.E. On the measure of a Random Set. I,II. // Ann. Math.Statist., vol. 15/16, — P. 70-74/342-347.

48. Savage L.J. Foundation of Statistics. John Wiley and Sons. — New York, 1954.

49. Feynman R.P. Simulating physics with computers. // International Journal of Theoretical Physics, Vol.21,nos 6/7, — C. 467-488.

50. Публикации по теме диссертации

51. Голденок Е.Е. Статистическая модель потребительского выбора // Труды I Всероссийской конференции по финансово актуарной математике и смежным вопросам. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. —С. 38-48.

52. Голденок Е.Е. О двухуровневой структуре статистических зависимостей и взаимодействий гиббсовских случайных векторов // Труды I Всероссийской конференции по финансово актуарной математике и смежным вопросам. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. —С. 54-64.

53. Голденок Е.Е. Параллельные алгоритмы в случайно множественных исследованиях товарных рынков // Труды I Всероссийского семинара "Кластерные и распределенные системы— Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001. — 19 с.публикации по теме диссертации 134

54. Голденок Е.Е. Случайно множественное измерение спроса и предложения на товарных рынках // Труды пятой ежегодной ФАМ конференции. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001. —С. 225 230.

55. Голденок Е.Е. Оценка веса участника социально экономико -политических коалиций // Труды III ФАМ конференции. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 1999. —С. 37 42.

56. Голденок Е.Е. Случайно множественная модель коалиционного дележа // Материалы второй Всероссийской конференции "Достижения науки и техники — развитию сибирских регионовТез. Докладов. — Красноярск: КГТУ, март 2000. —С. 141-143.

57. Голденок Е.Е. Визуализация и геометрическая интерпретация случайных событий // Ш Всероссийский семинар по моделированию неравновесных систем: Тез. Докладов. — Красноярск: ИВМ СО РАН, октябрь 2000, —С. 69.

58. Голденок Е.Е. Анализ спроса для моделирования оптимальных портфелей на товарном рынке // Молодежь и наука третье тысячелетие: Тез. Докладов. — Красноярск: КГТУ, 1998. —С. 87.

59. Голденок Е.Е. Параллельные алгоритмы генерирования марковского случайного потребителя // II Всесибирский конгресс женщин-математиков: Тез. Докладов. — Красноярск: КрасГУ, 2002. —С. 131.

60. Goldenok Ellen, Vorob'ov Oleg. Statistical Eventology of Nature and Society. // Proceedings of the First All-Russia FAM Conference "Financial Actuarial Mathematics and Related Fields". — Krasnoyarskпубликации по теме диссертации 135

61. M of RAS, 2002. — Р. 64-84.

62. Голденок Е.Е., Воробьев О.Ю. Захват вероятности событиями и визуализация элементов случайного множества // Труды пятой ежегодной ФАМ конференции. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001. —С. 37-51.

63. Goldenok Ellen, Vorob'ov Oleg. Capturing a probability by events and visualizing the elements of a random set // Proceedings of V Annual FAM Conference. — Krasnoyarsk: ICM of RAS, 2001. —P. 52-59.

64. Голденок E.E., Воробьев О.Ю. Ковариация между случайными множествами и ковариации одного случайного множества // Труды пятой ежегодной ФАМ конференции. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001. —С. 182-203.

65. Vorob'ov Oleg, Goldenok Ellen. The covariance between random sets and covariances of a random set // Proceedings of V Annual FAM Conference. ~ Krasnoyarsk: ICM of RAS, 2001. —P. 204-224.

66. Голденок E.E., Воробьев О.Ю. Статистическая случайно множественная визуализация товарных рынков // Труды пятой ежегодной ФАМ конференции. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001. —С. 241-250.

67. Голденок Е.Е., Воробьев О.Ю. Введение в математическую метафизику // VIII международная конференция "Математика, компьютер, образование": Тез. Докладов. — Пущино: МГУ, 2001. —С. 414.публикации по теме диссертации 136

68. Голденок Е.Е., Семенова Д.В. Портфельный анализ на товарных рынках // Всероссийская конференция "Математика, компьютер, образованиеТез. Докладов. — М.: МГУ, 1998. —С. 2.

69. Голденок Е.Е., Воробьев О.Ю. Случайно множественные модели переходных процессов в социально - экономических системах: Учебное пособие. — Красноярск: КГТЭИ, 1999. — 40 с.

70. Голденок Е.Е., Воробьев О.Ю., Семенова Д.В. Трастовое управление портфелями клиентов банка: Учебно методическое пособие для студентов экономических специальностей. — Красноярск: КГТЭИ, 1999. — 43 с.

71. Обозначения и предметный указатель