автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Метод двудольных множеств событий в эвентологическом анализе сложных систем

На правах рукописи

БАРАНОВА Ирина Владимировна

Метод двудольных множеств событий в эвентологическом анализе сложных систем

05 13 01 системный анализ, управление и обработка информации (но отраслям информатика, вычислительная техника и управление)

Автореферат диссертации аа соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск — 2006

Работа выполнена в ГОУ B1IO "Красноярский государственный упигюргитп "

Научный руководи 1 (~ль доктор физико-малемзтических наук, профессор

Воробьев Олег Юрьевич

Официальные оппоненты, доктор физико-математических наук, профессор

Смирнова Елена Валентиновна

кандидат физико-математических паук Сенашова Мария Юрьевна

Ведущая организация ГОУ ВПО "Томский государственный университет"

(г Томск)

Защита состоится 31 марта 2006 года в 14-00 на заседании диссертационно!о совета Д 212 098.04 при Красноярском государственном техническом университете по адресу ул академика Кирепского, 26, Красноярск, 660074, ауд Д 501

Факс: (3912) 43-06-92 (КГТУ, для каф. САПР)

E-mail: sovet@front ru

Телефон- (391-2) 91-22-95 (КГТУ, каф. САПР)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке' Красноярского государственного техническою университета

Автореферат разослан «¿А февраля 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета дт.н

С А. Бронов

2006 А-4224

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации определив кя по грсбпос 1 ыо современной науки и 1РХНИКИ п изучении сложных систем, которые характеризую гея сложной струк^рой ¡ависимосюй между элементами Интерес к мой важной задаче обу-словтеп стремлением выявить закономерности функционирования и развития объектв и процессов, преде мнимых как системы, и выработав мероприятия по совершепс шованию управления ими и принятию решении

Основная фудносль при проведении анализа («южных сисюм согюиг в юм, что из за большого числа собышй в них число всех вошожиых состояний, и коюрых может оказаться сисюма, очень велико Особенно остро стоит эта проблема в [ех прикладных областях коюрые связаны < анализом технических, экономических, биолос ических, медицинских и социальных систем. К числу таких областей науки относятся здравоохранение, экология, биология, экономика, фи-нанс ы страхование, социология, история, психолсмия полиюлогия, этнология, филолошя. лишвистика, педатгика и др.

Большинство известных методов системною анализа направлено на изучение систем поведение которых описывается количественными или качественными показателями Также существуют методы, позволяющие работать с разнотипными данными количес тчонными и качественными. К ним относился методы теории фафов (Ф Хараре, ФС Роберте А А Зыков), имитационного моделирования (Р Шшнон НП Вусленко), пенараметрических методов статистического анализа (Г Дэйвид, А В Лапко, С В Ченцов, Б Г Миркин, В Т Пе])екрест), экспертных оценок (Дж Элти Л А Панкова) теории нечисловых статистик (А И Орлов Г В Раушенбах, А Ю Терехина и др ) и нечетких множеств (Л А Заде, Р. Белл-ман А Кофман ДА Поспелов. С А Орловский А К Алтунин М Земанкова Лич В Коеко и др ) ЕВ Смирновой был предложен мел од повышения корреляций между данными при изучении адаптации и организации сложных систем характеризующихся разнотипными данными.

Чаще исто на практике встречается ситуация, когда поведение сложных систем характеризуется разнотипными данными, из которых одни числовые, а другие множес Iвенные. Изучением множоо венных показателей систем занимались преимущественно представители двух направлений теории нечисловых сла-гистик (А И Орлов) и нечетких множесIв (М Земанкова Лич В Коско, А Е Ал-тунин М В Семухин ) Число работ, посвященных данной тематике, очень мало Кроме1 того математические модели сложных систем предложенные в рамках данных направлений имсю1 ряд ограничений Поэтому можно констатировать, что па данный момент сложные системы, поведение которых характеризуется числовыми и множественными данными, недоелаточно хорошо изучены

О Ю Воробьевым был предложен общий ^онтологический метод анализа различных сие юм как систем событий, которые лежат в основе их поведения С помощью данпси о метода были и ее тедованы системы поведение которых характе-

ризуется то пжо одним из типов 1аппых (ксыич ыми мчо

Таким образом, на сегодняшний день существует проблема развития системного анализа в направлении исс ледования сложных сип см, поведение которых хара к I ори чуется С1 лгистикой, состоящей из числовых и множественных дан-пых Решение данной проблемы позволит обеспечить дальнейшее развитие системного анализа и будет способствовать повышению -эффективности управлении и приия1ия решений в технических, экономических, биологических медицинских и социальных системах.

Научная проблема диссертационного исследования заключается в создании математической модели сложных систем, поведение которых характеризуется числовыми и множественными данными, и разработке нового метода системного апали!а, рассматривающего системы как множеова событий, характеризующих их поведение.

Изучением распределений случайных событий и случайных множеств событий, зависимостей и взаимодействий случайных событий, которые лежат в основе поведения различных систем занимается эвентология Основоположником эвептоло-гии является ОЮ Воробьев Понятие случайного множества событий - центральное в эвептологии позволяет выявить общие статистические закономерности распределения случайных событий в различных системах. Одной из положительных сторон эвептологии является возможность учета попной структуры зависимостей и взаимодействий систем случайных событий.

Для исследования объектов и субъектов, представимых как системы событий, О Ю Воробьевым был предложен общий метод эвептологического системного анализа, в основе которого лежит рассмотрение объектов и субъектов как систем событий в целостности многообразных типов взаимосвязей событий Данный метод применялся для анализа систем из различных прикладных областей здравоохранения, финансов и страхования, товарных рынков и др События, описывающие поведение исследованных систем, определялись данными одного типа

Изучение систем, поведение которых характеризуется разнотипными данными, предо авляст собой повое, никем не исследованное направление в эвентологичес-кой теории

Объект исследований. Сложная система, поведение которой характеризуется числовыми и множественными данными.

Предмет исследований. Математическая модель сложной системы, поведение которой характеризуется числовыми и множественными данными, и разработка нового метода сиоемпога анализа, рассматривающего системы как множества событий, характеризующих их поведение

Цель работы. Целью работы является разработка метода анализа сложных систем, характеризующихся числовыми и множественными данными, рассматривающего систему как двудольное множег гво событий, первая доля которого определяется случайными величинами, а вторая случайными множествами

Задачи исследований.

Цепь работы достигается решением следующих задач:

• построение двудольной эвонтологической модели сложной системы, основан-

ной па понятиях двудольно! о множества случайных эггемеп юн и двудольного множества случайных событий;

• нахождение эвентологического распределения двудольного множества случайных событий для двух ситуаций бернуллиевских случайных величин (индикаторных функций на множестве случайных событий) и произвольных случайных величин;

• и лучение связи эвентологического распределения мпожсст ва событий и функции распределения множеста их индикаторов, а также эвентологического распределения множества событий и эвентологического распределения множества их индикаторов,

• разработка метода двудольных множеств собьиий в эвентологическом системном анализе сложных систем и применение предложенного метода к решению задачи нахождения экстремального элемента системы.

Основная идея диссертации заключается в представлении любой сложной гистемы с помощью двудольной эвентологической модели, в которой каждый элемент системы характеризуема двудольным множеством событий: его первая доля определяется случайными величинами а вторая случайными множествами событий За1ем анализ поведения элементов сисчсмы сводится к анализу эвен-юлогичсских распределений соответствующих им двудольных множеств событий Сравнение эвептологических распределений двудольных множеств событий предлагается осуществлять с помощью предложенной в диссертации вероятности гет-оперяции симметрической разности по Минковскому двудольных множеств событий.

Методы исследования основаны на использовании теории вероятностей, ЭПСПТ0Л01 ии и эвентологического анализа сисхем случайных событий.

Основные новые научные результаты.

1 Предложена двудольная эвентоло[ ическая модель сложной системы, основанная на новых понятиях двудольного множества случайных событий и двудольного множества случайных элементов

2 Получены эвен гологичсские распределения двудольных множеств случайных событий для двух ситуаций- бернуллиевских случайных величии и произвольных случайных величин.

3 Впервые введены эвептологические распределения множества индикаторов событий Сформулированы и доказаны теоремы о связи эвентологического распределения множества событий и функции распределения множества их индикаторов, а также эвентологического распределения множества событий и эвептоло! ического распределения множества их индикаторов Выведены формулы обращения Мебиуса, связывающие между собой все эвептояо! и чес-кие распределения множества индикаторов событий

4 Разработан ме\од двудольных миожес гв событий п эвенюло! ическом системном анализе сложных сисчем. Введены поняшя <ет операций по Минковскому для двудольных множес1В событий Для измерения расстояния между

двудольными множествами событий предложено исполь ювать вероятность сет операции симметрической разности по Минковекому Предложен метод двудольных множеств событий в эвечполо! ичсском системном анализе с лож пых сип ем Метод двудольных мпожег и? событий был применен к решению задачи нахождения экстремального элемента системы.

Значение для теории. Полученные в диссертации резулыты создают строгую матемн I ичес кую основу для исследования сложных систем, поведение кото рых характеричуется числовыми и множественными данными, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации.

Значение для практики состоит в том, что предложенный в диссертации метод двудольных множеств событий существенно упрощает и nafioiy с разнотипными данными, описывающими поведение системы, и сравнение элементов системы как эвенiо югических распределений соответствующих им двудольных множеств событий.

Достоверность полученных результатов работы под| верждается строгими математическими доказаюльствами, опирающимися на аппарат эвентологии, теории вероятностей и математической статистики Все результаты /еоретически доказаны и оформлены в виде теорем.

Использование результатов диссертации. Работ предложенного в дис-сер1ации мел ода двудольных множеств событий в эврптологическом системном авали ¡с нрои i.not i риронана на практическом примере задам! нахождения экстремального элемента системы задаче определения неблагополучных районов Кр к ноярс кого края по состоянию здоровья их населения Ре зупьтатьт диссертаци-оигого исследования вк иомены в учебную прсирамму дисциплин «Введение в menionoi ию» «Прикладная эвентология» и «"Эконом и ческа-л эвен i оиогия» ка-федрьт «Прикладная математика» факультета математики и информатики Красно» рекою государетвепного университета для преподавания студентам специальностей 010101 «Математика», 010501 «Прикладная маюматика и информатика»

Личный вклад автора. Все результант диссертации получены лично автором

Рекомендации по использованию результатов диссертации. Результаты работы рекомендуется использовать для решения задач управления в здравоохранении, обязательном медицинском страховании и банковском кредитовании, задач классификации и ранжирования на фондовом и говарном рынках и в обработке результатов социологических опросов.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационных исследований докладывались па конференциях молодых ученых по матема!ическому моделированию и информационным техпемклиям (МВТ СО РАН, Новосибирск, 2001. 2002), конференциях молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск 1999, 2002), всероссийских конференциях по финансово актуарной математике и смежным вопросам (ИВМ СО РАН, Красноярск 2002 2005), малых ФАМ-конферен-циях (Красноярский государственный торгово экономический ипсги1у), 2004

G

2005), III IV V ежегодных городских конференциях по финансово актуарной ма-н'мачике (ИВМ СО РАН, Красноярск, 1998 2000), I и II всееибирских конгрессах женщин математиков (Красноярский государственный университет, 2000, 2002), межрегиональных конференциях «Математичсс кие модели природы и общества» (Красноярский государственный торгово-экономический институт, 2002, 200-1), всероссийской конференции «Информационно аналитические системы и технологии в здравоохранении и обязательном медицинском страховании» (КМИАД, Красноярск, 2004) научно-практической конференции «Вопросы сохранения и развития здоровья населения Севера и Сибири» (ГУ НИИ медицинских проб чем Севера СО РАН, Красноярск, 2002), международных научных студенческих конференциях «.Студен'» и научно-технический прогресс» (Новосибирский государственный университет, 1999 — 2001), я также на постоянно действующем семинаре кафедры «Прикладная математика» Красноярского государственного университета (1998 2006гг) и на постоянно действующем семинаре по финансово актуарной математике Института вычислительного моделирования СО РАН (1998 - 2006гг).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 статей, из которых 1 оагья в периодическом издании по списку ВАК, 1 статья в периодическом издании, 12 статей в сборниках |рудов всероссийских конференций, 1 депонированная статья.

Общая характеристика диссертации. Диссертация состоит из 3 разделов, введения, заключения, содержит основной текс1 па 139 с, 10 иллюстраций, 12 1аблиц, список использованных источников из 110 наименований.

Содержание работы

Введение представляет цель и задачи диссертационной работы, раскрывает ее актуальность, новизну полученных результатов, теоретическую и практическую значимость, апробироваппость и методологию исследований.

В разделе 1 изложена проблема развития системного анализа и научная проблема диссертационного исследования, сформулирована и обоснована цель работы. Приведен обзор работ ряда авюров по тематике диссертационного исследования и показана ограниченность полученных ими результатов в части исследования сложных систем, поведение которых характеризуется числовыми и множественными данными. Для решения научной проблемы предлагается использовать эвен-тал ог ячеек и й подход, поскольку он позволяет преодолеть трудности анализа сложных сисхем, связанные с большой размерностью, сложной структурой зависимостей между элементами и разнотипностью данных, описывающих их поведение Сформулирована основная идея ¡решения научной проблемы диссертационной) исследования

Также в разделе 1 приведены основные понятия эвенгологии и теории вероятностей.

Определение 1 Вероятностным пространством называема тройка ,

где Г2 прог jpaiif то элементарных событий, iF алгебра событий и вероятность Р, определенная на (лучайньп событиях т,у,. f .Т элементах алгебры 3"

Определение 2 Конечное множесшо избранных с<)быгий X £ J~, выбранных из алгебр],i вероятностного пространства (Г2,3\ Р) и сосюящее из N = |Х[ событий, называется MttoyrmveoM случай чьи событий.

Определение 3 Случайное множество событий под X определяется как измеримое отображение / „ п,\

К . (i2,J,P) (2х, 22 J ,

где 2х множество всех подмножеств множества X

Множество случайных событий X £ 3" или эквивалентное ему случайное множество событий К можно определить путем задания па множестве всех под-мпожес тв ЗЕ одной из шести функций мпожесхв. эвепт ологичес кого распределения (О распределения) вероятностей пересечений событии

р(Х) = Р{К = Х) = Р (ter(A-)) = Р ( р) г f| У ] , X Ç X.

\;ел' ;е v /

либо Э-распредепения вероятностей прямых пересечений событий

Рх = Р {X С К) = Р (ter*) = либо Э-распределения вероятностей дополнительных пересечений событий рх = Р (К С X) = Р (terY) = Р ( f] г' ) , X С X,

\ж£ X' /

либо Э-рас нределепия вероятностей объединений событий

i{X) - 1 - Р(К = X') - P(Ier(X)) = Р ( (J х [J тс I , X ÇX,

\reX re.V / г-деиения вероятное j ей прямых объединени

i V = 1 - р (к С Х<) - Р (Тегу) - р j U :

VjCA'

г'деления вероятностей дополнительных об] Vх = 1 - Р (Xr С К) — Р (Тег*) = Р ( U :

\.1 ;Х'

либо Э рас нределепия вероятное j ей прямых объединений собьпий

X С X,

либо Э-рас пределения вероятностей дополнительных обьедичений событий

X С X

Приведены формул],I обращения Мебиуса попарно связывающие все функции Э-распределений событий.

Определение 4 Два случайных события х, у С X (х ф 0. у Ф 0) называюн-я нпоженныыи, если между ними возможны только дна отношения

. ь

г П у ~ <

ю есть одно н ! )1их событий вложено в другое г С у. у С ?

Определение 5 Если каждые два события из X вложенные, jo X называния множа твом вложенных событии или множеством случайных событий с ело жатой эв(нтопо?ической структурой

Определение б Случайная величина определяется как измеримое отображение

е. (п,у, р) (к,®),

1де Р вещественная прямая 2з - борелевская алгебра подмножеств Е

Определение 7 Функции'! распределения (Путиной величины £ называется вещее i венная функция F коюрая определяется в точках г £ I как вероятность события {£ < г}- F(r) = р ({£ < г}).

Пусть А множество индексов случайных величин

Определение 8 Функцией совместного put преде пену и случайных величин £ ~ {Си а € Á}> называется с[)ункция F, которая определяется в точках rn £ К, а 6 А как вероятное 1ь одновременною выполнения событий {£„ < г„}-

F(ra. а € А) =- Р ( f|{w : ^Н < г0}\ .

Чпел /

В разделе 2 разрабатывается метод двудольных множеств событий в эвен-юло1ическом системном анализе сложных сисюм и с его помощью находится решение одной из наиболее востребованных задач системного анализа задачи нахождения экстремального элемента системы.

В диссертации предлагается представить объект, порождающий двудольную статистику (одна часть которой является числовой, а другая множественной) как двудольное множество случайных элементов Поскольку, но Колмогорову, любую случайную величину и любое случайное конечное множество событий можно рассматривать как реализацию случайного элемента

Первая доля эю случайные величины £ = {£„, о £ А}, вторая случайные множества событий К = {Кр, /3 С В} Здесь А множество индексов случайных величин, В - множество индексов случайных множеств событий.

Определение 9 Множество случайных элементов {£, К}, представимое в виде обьединения двух этих долей, будем называть двудольным множеством случай-пых элементов

{£, К} = £ U К = {£„, а С А, К,), (3 С В) . (1)

Рассмотрены практические примеры двудольных множес ib случайных элементов, в том числе и для с истемы состояния здоровья населения районов края, на кою-рой в третьем разделе будет иллюстрироваться работа предлатаемого в диссертации метода анализа сложных систем.

Полной характеристикой двудольного множества случайных элементов служит его эвентолот ическое распределение Предлагается искать эвенсологичсское распределение двудэтытою множества {£,К} для двух ситуаций когда случайные величины £ из первой час хи двудольного множества являются

1 Бернуллиевскими случайными величинами индикаторными функциями, определенными на множестве случайных событий X' (введем обозначение X'

для множества связанно! о г первой долей £ поскольку множество X связано

со шорой долей К) £ — {£,, г G X'} = {],, г G X'} , где 1, индикаюр

( обытия и равен г -,

л , ч J 1 , ш G х.

2 Произвольными случайными величинами общий случай

Находится Э-распределеиие совместного распределения случайных множеств событий К так как для обоих вышеуказанных ситуаций оно определяется одинаково Здесь двудольное множество состоит из одной доли {£ К} = К Каждому случайному множеству событий {Кр, /3 G В} ставикя в соответствие множество случайных событий {Х^. ft G В] Множество всех возможных случайных событий X - ^ Хр (Хр не пересекаются) Введем обозначение X = Хр С X, Хр С

0ев йев

Хр, Р G В Получены Э-распределения совместною распределения случайных множеств: / \ / \

р(Х) = Р П tcr(Xp) U Р П .CP f| х}\ , VeB / \'»ех )

= pfn(n п

\0CJB / / /

РХ - р ( П ^ ) = р ( П ( П ) = р ( П *')

\0€В ) \/ЗЕВ \retrXe J ) \r„tAГ /

Далее изучается связь эвентологическо1 о распределения множества событий и эвент о логического распределения множества их индикаторов Функция распределения индикатора имеет вид F(r7) = Р ({w : 1 r(o;) < rr}).

Множеству событий X' предлагается поставив в соответствие множество индикаторов событий {1т, х G X'} Введем обозначение г - {г,, т Ç X'} Определяется совместная функция распределения множества индикаторов-

F(г) = F{rXJ х G X') = Р ^ р) . lr(w) < „>) .

Обозначим совместную функцию распределения множества индикаторов F (г) — F(rJt х G X') — рг по аналогии с вероятностями /юполнительных пересечений событий рх.

Определение 10 Распределение {pr, г G R'*''} будем называть распределением вероятностей допалнигпельнъи пересечений множества индикаторов {1,, х G X'}

Также введем вероятное ти Р I f] {ui • 1, (w) — г,} J — p(r) по аналогии с вероят-

Чз-eï' J

ностями пересечений событий р(Х) и Р I f) {w 1 г(ш) > гх} I — рг по аналогии

Vieï' /

с вероятностями прямых пересечений событий р\

Определение 11 Распределение (p(r), г С Е'1''} будем начина Jb pntvpt делением аероягтю/ metí rxpt < с чении множес íea индикаторов {],, х G £'}

Определение 12 Распределение {рг, г G К'5'} будем называть pnenpedv tu иием вероятностей прямыз пересечении мпожесчва индикаторов {l.r, х G X'}

Определение 13 Эти распределения являются функциями эоснтопогического рас преде некая множества индикаторов событий.

В диссертации сформулированы и дока ¡лпы 1еоремы о связи эвептолсл ическо-го распределения множества событий н функции распределения множес nia их индикаторов а также эвеп ronoi ическо) о распределения мпожеепза событий и эвептологического распределения множес 1ва их ипдикаюров

Теорема 1 Э распределение вероя шооей доно ши|етьных пересечений событий jp*, X С X'j множества событий X' и совместная функции распределения F(r) множества индикаторов собьиий {1г, т 6 X'} связаны следующими соотношениями. . , ... .

С"о

рХ = р = Р (1Д.(Л)) X G X'), X С X'. (3)

На основе соотношений этой теоремы и формул обращения Мебиуса находятся связи для остальных 5 функций эвептологического распределения множества событий и функции распределения множества их индикаторов

Теорема 2 Э-распределение вероятностей пересечений событий jp(JY), X С

jE'I множес хва событий X' и распределение вероятностей пересечений |p(r), г G

Rl*''j множества индикаторов {1,, х Г _£'} связаны соотношениями:

(г)= Гр({*:г, = 1}) , r^O.r^l.xGX', 1 |Г| (4)

[ 0 , иначе J

р(Х) ^ р (rx) = p(lx(x), X е X'), X С X'. (о)

Теорема 3 Э-распределсние вероятностей прямых пересечений событий |рх,

X С Х'| множества событий X' и распре деление вероятностей прямых пересечений |рг, г G множества индикаторов {lr, г с X'} связаны cooj ношениями. г „ ^ i ^ -у-/

Рг = { ° ' (G)

I Р{т i j >0} i r,<\,x9X J

Px=P{rx) = P{i*{r),,cX'}, X С X' (7)

В диссерищии также получены формулы обращения Мебиуса, связывающие между собой все функции эвептологического распределения множества, индикаторов событий.

На основе выражений для совместного распределения случайных величин (и ! теорем) и совместного распределения случайных множеств находится эвептологи-ческое распределение двудольного множеччва случайных элементов {£,К} для

(i-пуации с бсрнуллиевс кими случайными величинами

Э-распределение верой l нос i ей дополни хсльны к пересечений собыхий двудольного множества' , Y, / _ _ \

p(r'Ä) = p( П П ^ С ж,/Зев).

9-ряс пределение вероя-i посмей прямых пересечений

Р(г,Х) = Р( П х* G ЗЕ, /3 G Д).

Э-распрсдслсние верояшостей пересечений

Р(г,х) = р( П ж П ^ П п

i G { г 7* г 1} 7^=0} Jjf.Y xafXc

х G X'. Жд £ G ß).

Находится эвептологичес кое распределение двудольного множества случайных элементов в ситуации произвольных случайных величин Для этого предлагается событие {£ < г} — {w . <г}Г(1 предствип.. как событие-терраску для случайной величины гю апапоши с событием терраской для множества случай-пых событий terA. , , , „

У>1

Пусть г — {ги, а С A} Fai пределение- дополнихсуп.пых пересечений событий совместного распределения случайных величин предлагается выразить через события-терраски

уае4 / \rtS4 Ъ/>|, ) )

Р1 =Р

Vif 4 / \«€ 4 kl/j

Также в форме событ ий-1еррассж прсдлагапся записан» события

U > г} = teri«"> = f|{<; = УУ и = trr«='> = Г|{£ - у}'

у<<

Через эти события-терраски выражаются распределения вероятностей и прямых вероятностей пересечении совместного распределения случайных величин Получаем Э-распределение вероятностей дополнихельных пересечений событий двудольного множества случайных элементов {£,К}

Р(Г,Х) =Р (pijpl {£> ^ vy\ р xrh а 6 д ß е в] .

y«e4 lif>'„ J хдеХ" J

Э-распреде [епие вероятностей прямых пересечений

\асА U^', J ¿¿e.Y /

Э-распределение вероятностей пересечений

р(г,х) = р П ГК^ уУ ? П ^ П « е А /з е в . \«е 1 [>//' J /

Далее рассматривается двудотыюе множес 1во с лучайных событий, описывающее поведение элемент гипемы, и показывался ого связь с введенным выше двудольным множеством случайных ¡лемептов

Пусп, {£„, а € Л} случайные г?о жчины с конечным мпожег том возможных значений Ца — {г,,,, . } С К, о, С Л Каждой случайной величине а £ А предлагается постаешь в соответствие множество собьпий Уа.

& У„ - Шг„),г„ е я,}.

Событие У„(гп) ~ < г,,} = {и,1 < г„} это событие из определения

функции распределения Р(г„) с туманной величины Множество событий У„ о е А обладает вложенной структурой зависимостей, поскольку Уи(га,) С У„(га!) Я. Уа{га)), если г„, < г„2 < г0)

Всей первой доле £ случайным величинам, предлагается поставить в соот-ветс твие множество событий У"

пел

Каждому случайному множеству собьпий Кр, (3 £ В ставится в соответствие множество случайных событий Хр. Кр Хр

Вто1>ой доле случайным множествам иредлг гастся поставить в соотвсчствие множество всех возможных случайных собьпий .X

к х = Хр, /з е в.

/Зев

Предлагается двудольному множеству случайных элементов {£,К} поставить в соотвекпзие двудольное множество ин/чайнмг событий:

а,к} (8)

Определение 14 Дицдопмюс множггтво случайных событии представляет собой объединение двух множеств множества событий, которое определяется случайными величинами, и множества событий, которое определяекя случай ными множествами собьпий

{У,Х}~ {Уп,Хр,а<=А,0£В}. (9)

Соотвсчовие (8) однозначно поэтому по [ученные ранее выражения для Э-рас-пределепий множее тва случайных »лементов справедливы и д ;я двудольно! о мно жества случайных событий

Поскольку поведение сиоемы определяется поведением каждого 01 о элемента югда двудольной ю( что логической моделью (/южной системы будем называть такую систему для ко юрой поведение каждою элемеша характеризуется двудольным множеством случайных собьпий {3^, X}, первая доля У определяется случайными величинами £ я вторая доля X с лучайными множествами собьпий К Интерпретация множее из событий У и X в р:мичпых прикладных областях

может быть гамой разной В третьем разделе диссертации рассматривается эвеп-юло] ическа.я модеиь сооояния здоровья населения районов края, где под множеством У нонимаекя множество событий, определяемое числовыми показателя ми здоровья населения района, а под множеством X множество событий определяемое множественными показателями

Формулируется метод двудо (ытых множее j в с тучайпых событий в эвентолот и-ческом системттоы анализе и рассматриваете я его применение к решению задач анализа сложивix сип ем Основная идея метода двудольных множеств случай-пых событий заключается в представлении сложной системы, поведение которой характеризуется числовыми и множественными данными, с помотцыо двудольной -»понто логической модели и сведению авали ¡а поведения элементов системы к анализу Э-распределепий соответствующих им двудольных множеств событий Работа метода иллюстрируется на задаче нахождения экстремального (наилучшего или наихудшет о) элемента системы

Пусть система состоит из тг элементов Каждый элемент характеризуется показателями, одни из которых являются числовыми, а другие - множественными. Пусть = — двудольное множество событий, характеризующих пове-

дение идеального «наилучшего» элемента системы (те элемента, все показатели

которого имеют наилучшие значения) - X j двудольное множество

событий, характеризующих поведение идеального «наихудшего» элемента (показании которого имеют наихудшие значения), s1 = {У1,^1}, . .., s" = двудольные множества событий, характеризующих поведение каждою элемета с истемы.

= \у~\ = • = 1Л- 1х+| = |эг| = |г1| = ... = |хп|.

Идеальный «наилучший» и п элементов системы представимы в более подробном виде

- {у:, Хд, « 6 А, р е в}, s- - [уа, Xj, a G А, (3 е в} ,

s1 = {увх, х10, а е А, ¡3 е в),..., s» = {У':, Ц,аеА,0е В}

Зная Э-распредсления двудольных множеств событий можно над ними производит!, любые действия с помощью вводимых в лиесертании cei операций по Мин-ковскому

Пусть имеются два двудольных множеств? s1 = a G А, /3 G sj- и

.s2 = {У1 Х% а € А, (3 £ В).

Определение 15 Произвольной сет операцией по Минковскому над двумя двудольными множествами событий а1 и ъ2 называется теоретико множественная операция, которая представляемся как множество событий, полученных с помощью операций но Минковскому над соответствующими событиями из каждой доли ¿^^{yiïowlxKoïxlaeA^eB}--

= {XÎWO^M, ХрОХ%, r„ G na, X0 СХц,аеА,13еВ} Здесь У},,У1 Ç У„, Ç Хд Вероятность произвольной оттерации

P(*W) -тттЕпП E Р(^(ги)оз;п2(гп)) +

11 «e/! |Л| .„ет?„ ^

Примером cei операции по Мипковскому являет сч сет операция симметрической разности по Мипковскому двух двудольных множеств событий s1 и S2

sl(A)s2 = {^(^)А^(^), XlAXl т„ е Па, Хр с а е Л, ß с ß} . (12) Вероятность симметрической разности равна

рИдИ = lirEivT Е Р».)ДЗ£М + + ¡éfE¿í Е PWAXI).

1 "Util XgÇXg

В диссерьчции доказано чго вероятность сет операции симметрической разности по Миикопскому двух двудолы ых мпожес1в "обьпий является псевдометрикой между ними, и предлагается применять ее для измерения распояпия между двудольными множествами событий Также в диссертации введено понЯ1Ис произвол!,пой сет операции по Минковскому над мпожеспзом двудольных множеств событий

Далее рассматривается применение метода двудольных множепв событий к решению задачи нахождения экстремального элемеп та с ис темы Задача формулируется в наминах эвентологии и двудол1>ных множеств событий

Наилучшим элементом системы будет элемен] у которого Э-распределеиие двудольного множества событий s' наиболее близко к Э-расиределению двудольного множества событий идеального «наилучшего» элемента s4.

P(s+(A).s")= min Р(.9~(Д)*'), (14)

р(»+(дк) --Ет^т Е р(№«)дт)) +

11 afr/l ,„67¿„

+ ¿¡E¿¡ Т.

1 ' ßeB 1 ,л XjCXn

Наихудшим элементом системы будет элемент 7, у которого Э-распределепис двудольного множества событий s' наиболее б ш жо к '^-распределению двудольно! о мпожеона событий идеального «наихудшего» элемен:а ь~.

Р(4-(Д)б") =- min P(s"(A),sl). (15)

В разделе 3 рас< матривдется применение предложен noi о в диссертции мегода двудольных множес ib событии к решению прак i ичсс кого примера задачи нахождения же |ремгЫьпого элемента системы задаче определения неблагополучных

районов по состоянию здоровья их населения Решение задачи основано на статистине показателей здоровья населения 50 районов Красноярского края, предоставленной Институтом комплексных проблем гигиены и профзаболеваний Сибирского отделения Рогеийской Академии медицинских паук Показа [ели подразделяются на климатические, зколого гигиенические, антропогенные (воздействие человека на окружающую среду) и экономические (социальное положение, ресурсы здравоохранения) Всего показателей здоровья населения 74, из них 72 числовых и 2 множественных: химический состав загрязнения почв данного района и множество заболеваний населения района

Красноярский край предлагается рассматривать как систему, представимую в виде двудольной '-»¡онтологической модели в которой состояние здоров!,я населения каждого района края характеризуется двудольным множеством с [учайных событий: в1 = {У>, Х)р а € А, /3 е В} , .. , л50 = {Уа50, Х$>, а £ А,/3 е В}

Вводятся понятия идеального «наилучшего» и идеального «наихудшего» районов как наилучших и наихудших значений для каждого показателя здоровья

= {Уа , Ц, о е А, /3 6 в), з- = [у- , Хр, а € А, [Зев]

Э-распределения двудольных множеств случайных событий, описывающих поведение районов, оцениваются из статистики показателей здоровья их населения Для идеальных районов Э-распределения задаю 1 си экспертом Решение задачи определения неблагополучных районов находится для двух практических примеров В первом примере состояние здоровья населения оценивается по 26 показателям, из них - 24 числовых и 2 множественных Во втором по всем 74 показателям, представленным в статистике. Для каждого района были найдены расстояния до идеального «наилучшего» и «наихудшего» районов. Затем эт и два расстояния были пронормированы таким образом, чтобы их сумма была равна 1 Идеальный «наилучший» и «наихудший» районы выступают в роли полюсов, между которыми располагаются 50 районов края. Полученные расстояния для всех районов Красноярского края позволяют их классифицировать (определить на каком месте по состоянию здоровья находится каждый район)

На рисунке 1 приведены результаты эвептологической классификации районов Красноярского края по всем 74 ноказаюлям здоровья населения Для первого примера с 26 показателями было определено, что самым неблагополучным районом по состоянию здоровья его населения является Сухобу зиме кий район, а самым благополучным - Краспотурапский Для второго примера со всеми показателями самым неблагополучным районом оказался Норильск, а самым благополучным — Идринекий район В диссертации проводится сравнение предложенного метода с двумя методами комплексной оценки здоровья населения- инте-[ральной оценки социально гигиенического риска потерь здоровья населения (Т В Крупкина, В Ф Мажаров, И В Тихонова, К А Детцоль) и методом главных компонент в кластерном анализе (А С Савельев и М И Колмаков) Работа этих двух методов проводилась па той же статистике показателей здоровья населения края. Для каждой пары методов было вычислено расстояние между полученными результатами классификации районов по формуле

Ригмюк I И пюс трлпяя работы мегода лшуюиьного чпожесгна собылш на примере адснто Ю1 ичогкой кчлх<ификации районов Красноярского край по состоянию здоровья наср юпия Дтя каждого района ирос пиыеио его место п классификации

17

(т,(п) - m,(n)f

где т,(п), Wj(r?) места, отданные иым и ;-тым алгоритмами n-гому району Сравнение показало,что резу ibiaiы меюда двудольных множеств событий достаточно близки к результатам обоих рассмотренных методов комплексной оценки состояния здоровья населении К от личиям и преимущес т вам метода двудольно! о множества < обьиий относя гея возможность учета полной ст руктуры завис имоетей и взаимодействий случайных событий описывающих состояние здоровья населения, а также учет множественных показателей здоровья населения

Также в третьем разделе производится обсуждение полученных результатов диссертационного исследования и предлагаются рекомендации их по исполыо-ванию

В заключении кратко подводятся итоги диссертации, показывается что намеченные задачи решены и достигнута цель диссертационного исследования Приведена оцеттка новизны полученных результатов, их значение для теории и практики

Заключение

Предложенные в диссертации новые понятия двудольною множества случайных элемошоп и двудольного множества случайных событий позволили построит!, двудольную ^'.онтологическую модель с чожнь'х сис тем и преодолеть трудное i и их анализа связанные с большой размерностью, (ложной с i рук турой зависимостей меж,цу элементами и ра шелиш ос i ыо данных опие ывающих их поведение И ре-з>лыатс изучения связи зы н i о тел ичсс кот о раитрслс лепил множества с событий и функции распределения множества их индикаторов, а также эвентологи-ческого распределения множества событий и впервые введенных эвентототиче ских распределений множества их индикаторов были но тучеш.т эвен тологичес кие распределения двудольных множеств случайных событий для берпуллисвских случайш,1х величин Эвопюлот ичег кие распределения двудольных множеств событий для ситуации произвол! пых случайных величин были получены с помощью выражения совместного распреде [ршля случайных величин через события-терраски Метод двудольных множеств событий в эвен толот ичсском системном анализе, предложенный в диссертации, заключайся в преде лавпении любой сложной системы с помощью двудольной эвентоло^ичсской модели и сведению анализа поведения элементов сиеломьл к анализу Э-распределений соответствующих им двудольных множеств событий Дтя измерения расе тяпия между двудо п.пыми множествами событий была использована вероятность сет операции еимметриче ской разнос ти по Минковскому, котрая являелся примером произвольной сел операции по Минковскому двудо плтых мпожеелв соб[,ллий Метод двудольных множеств событий был применен к решению задачи определения экстремального элемента системы. В диссертации работа предложенного метода проил постриро-ватта на практическом примере задачи нахождения экстремальною элемент,i задаче определении пеблат оно тучш.тх районов Красноярского края по состоянию

здоровья их населения Выло проведено сравнение предложенного метода с двумя известными методами комплексной оценки здоровья населения, коюрое показало близость к ре'зульта1ам других методов, а также преимущества метода двудольного множества событий возможность учета ночной структуры зависимостей и взаимодейсизий случайных событий, описывающих состояние элементов сис 1емы, и учета множественных показателей здоровья населения

Таким образом, были решены все намеченные задачи диссертационного исследования и дог I hi nyia его цель Разработка метода двудольных миожес тв событий позволила и полной мере решит!» поставленную научную проблему и проблему развития системного анализа в направлении исследования сложных cucicm, поведение которых характеризуется статистикой, состоящей из числовых и множественных данных.

Автор выражает благодарность научному руководителю Воробьеву О Ю за помощь и цепные советы при работе над диссертацией

Публикации автора по теме диссертации:

1 Баранова, И В Метод двудольных множеств событий в эвептологическом анализе социально экономических систем /ИВ Баранова // Вестник Красноярского государственного университета физико-математические науки -Красноярск-Крас ГУ, 2006 Вын.1 С 182 194

2 Баранова, И В Об звентологических распределениях двудольных множеств случайных-элементов / И.В Баранова//Экономика Психология Бизнес. Красноярск Красноярский гос. торг.-экон. ин-т, 2004 - JV"5 -С 229 239.

3 Баранова, И В Эвентологическое распределение двудольного множества случайных элементов /ИВ Баранова // Труды IV всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам - Красноярск ИВМ СО РАН, КрасГУ, КГТУ, КГТЭИ, 2005. - 1т - С 28 46

4 Баранова ИВ Случайно множест ценный анализ показателей здоровья населения /ИВ Баранова, О Ю Воробьев, В Ф Мажаров // Труды всероссийской конференции «Информационно аналитические системы и технологии в здравоохранении и обязательном медицинском страховании» - Красноярск: КМИАЦ, 2004 2т - С 39-50

5 Иванюкова (Баранова), И.В. Визуализация статистических данных, заданных в абстрактных пространствах / ИВ. Иванюкова, О Ю Воробьев М , 2000 - 10с - Дел в ВИНИТИ, \«1903-В00

6 Баранова, И В Задача классификации рынков здоровья /ИВ Баранова, В Ф Мажаров, РСКульпеко // Труды III всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам - Красноярск' ИВМ СО РАН, КрасГУ, КГТУ, КГТЭИ. 2004 -Ii - С 17 23

7 Баранова, И В Кластеризация регионов Красноярского края по экономическим показателям с помощью самоорганизующихся карт / И.В Баранова, Р С Кульпеко, В Ф Мажаров // Труды III всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам Красноярск ИВМ СО РАН, КрасГУ, КГТУ, КГТЭИ, 2004 2i - С 130 138

И" 4 2

8 Баранова, И В Задача исследования рынка здоровья / И В.Баранова, В Ф Мажаров '/ Труды II всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам Красноярск- ИВМ СО РАН, КрасГУ, КГТУ, КГТЭИ, 2003. - 2т. - С. 25-29

9 Баранова, И В Динамика роста и развития дошкольников г. Красноярска (за период с 1970 по 2000 г г1) / В Л Грицинская, И В Баранова // Труды II всероссийской конференции по финансово - актуарной математике и смежным вопросам Красноярск: ИВМ СО РАН, КрасГУ, КГТУ, КГТЭИ, 2003. — 2т — С 77 80

10 Баранова, И В Мо ¡аичный алгоритм визуализации элементов случайного множества // И В Баранова // Труды I всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. - Красноярск- ИВМ * СО РАН, КрасГУ, КГТУ, КГТЭИ, 2002. - 2т. - С 27 33.

11 Баранова, И В Выявление взаимосвязи соматотипов и темперамента у детей дошкольного возраста / И.В.Баранова, В Л Грицинская // Труды I всерос- ^ сийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. - Красноярск: ИВМ СО РАН, КрасГУ, КГТУ, КГТЭИ, 2002 - 2т. -

С. 33-39

12 Баранова И В Показатели сердечно - сосудистой системы при нагрузке у детей с различными вариантами роста и развития / В Л. Грицинская, Е В Мякишев, И В Баранова, М Ю Галактионова // Труды I всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. 1 Красноярск- ИВМ СО РАН, КрасГУ, КГТУ, КГТЭИ, 2002 - 2т. - С 119

124.

13 Баранова, И В Случайно множественная визуализация множества заболеваний /' И В.Баранова // Сб. статей II веееибирского конгресса женщин математиков. Красноярск- КрасГУ, 2002. - С 8-12

14 Баранова, И В Задача исследования рынка здоровья /ИВ Баранова / / Труды межрегиональной конференции «Математические модели природы и общества». Красноярск: Красноярский гос. торг.-экон. ин т, 2002 — С 16 21 ,

Баранова Ирина Владимировна Метод двудольных множеств событий в эвентологическом анализе сложных систем.

Авторсф дисе. на соискание ученой степени кандидата физ -мат паук Подписано в печать ЛР..О:. 2006г Заказ •>'> . . .

Формат 60 x 84 1/16 Ус. печат. лис 0,9 Тираж 100 экз.

Издательский центр Красноярского государственного университета, 660041. г Красноярск, пр Свободный, 79

Введение

1. Постановка задачи

1.1 Научная проблема и цель диссертационного исследования

1.2 Основные понятия эвентологии и теории вероятностей

2. Решение задачи

2.1 Двудольное множество случайных элементов.

2.2 Совместное распределение случайных множеств.

2.3 Связь эвентологических распределений множества событий и эвентологических распределений множества их индикаторов

2.4 Эвентологическое распределение двудольного множества случайных элементов

2.5 Двудольное множество случайных событий.

2.6 Двудольная эвентологическая модель сложных систем

2.7 Метод двудольных множеств случайных событий в эвентоло-гическом системном анализе

3. Применение полученных результатов

3.1 Описание статистики.

3.2 Задача определения неблагополучных районов по состоянию здоровья населения.

3.3 Решение задачи определения неблагополучных районов по состоянию здоровья населения для практических примеров

Актуальность темы диссертации определяется потребностью современной науки и техники в изучении сложных систем, которые характеризуются сложной структурой зависимостей между элементами. Интерес к этой важной задаче обусловлен стремлением выявить закономерности функционирования и развития объектов и процессов, представимых как системы, и выработать мероприятия по совершенствованию управления ими и принятию решений.

Основная трудность при проведении анализа сложных систем состоит в том, что из - за большого числа событий в них число всех возможных состояний, в которых может оказаться система, очень велико. Особенно остро стоит эта проблема в тех прикладных областях, которые связаны с анализом технических, экономических, биологических, медицинских и социальных систем. К числу таких областей науки относятся здравоохранение, экология, биология, экономика, финансы, страхование, социология, история, психология, политология, этнология, филология, лингвистика, педагогика и др.

Большинство известных методов системного анализа направлено на изучение систем, поведение которых описывается количественными или качественными показателями. К числу методов, занимающихся количественными показателями, относятся методы общеалгебраические (В.И. Городецкий и О.В. Карсаев [36], Б. Уимен [90]), теории игр (Дж. фон Нейман и О. Моргенштейн [68], Н.Н. Воробьев [27], Э.Й. Вилкас [25], Г. Оуэн [74]), исследования операций (Н.Н. Моисеев [65], JI.A. Раскин [80], Т. Саати [82]), многомерного статистического анализа (М. Кендалл и А. Стыоарт [49 - 51], Т. Андерсон [2], Р.Дж. Литтл и Д.Б.Рубин [58], B.C. Муха [66]), теории вероятностей и математической статистики, в т.ч. выдвижения и проверки статистических гипотез (А.Н. Колмогоров [52, 53], В. Феллер [91], Г. Крамер [55], А.А. Боровков [20, 21]), теории массового обслуживания (Б.В. Гнеденко и И.Н. Коваленко [35], А.А. Боровков [22]), марковских процессов (В.В. Калашников [46], Е.Б. Дынкин [41], Т.Саати [83]), теории информации (А.Дж. Вильсон [26], P.B.JI. Хартли [95]) и другие. Также существуют методы, позволяющие работать с разнотипными данными: количественными и качественными. К ним относятся методы теории графов (Ф. Харари [93, 94] , Ф.С. Роберте [104], А.А.Зыков [44]), имитационного моделирования (Р. Шэннон [97], Н.П. Бусленко [23]), непараметрических методов статистического анализа (Г. Дэйвид [42], А.В. Лапко и С.В. Чепцов [56], Б.Г. Миркин [64], В.Т. Перекрест [76]), экспертных оценок (Дж. Элти [98], Л.А. Панкова [75]), теории нечисловых статистик (А.И. Орлов [70-72], Г.В. Раушенбах [81], А.Ю. Терехина [89] и др.) и нечетких множеств (Л.А. Заде [43, 108, 109], Р. Беллман [17], А. Кофман [54], Д.А. Поспелов [78], С.А. Орловский [73], А.Е. Алтунип [1], М. Земанкова-Лич [110], Б. Коско [101] и др.). Е.В. Смирновой [86, 87] был предложен метод повышения корреляций между данными при изучении адаптации и организации сложных систем, характеризующихся разнотипными данными.

Чаще всего на практике встречается ситуация, когда поведение сложных систем характеризуется разнотипными данными, из которых одни — числовые, а другие — множественные. Изучением подобных систем занимались преимущественно представители двух направлений: теории нечисловых статистик (А.И. Орлов) и нечетких множеств (М. Земанкова-Лич , Б. Коско, А.Е. Алтунин , М.В. Семухин). Число работ, посвященных данной тематике, очень мало. Кроме того, математические модели сложных систем, предложенные в рамках данных направлений, имеют ряд ограничений. Поэтому можно констатировать, что на данный момент сложные системы, поведение которых характеризуется числовыми и множественными данными, недостаточно хорошо изучены.

О.Ю. Воробьевым был предложен общий эвентологический метод анализа различных систем как систем событий, которые лежат в основе их поведения [34]. С помощью данного метода были исследованы системы, поведение которых характеризуется только одним из типов данных (количественными, качественными, множественными).

Таким образом, на сегодняшний день существует проблема развития системного анализа в направлении исследования сложных систем, поведение которых характеризуется статистикой, состоящей из числовых и множественных данных. Решение данной проблемы позволит обеспечить дальнейшее развитие системного анализа и будет способствовать повышению эффективности управления и принятия решений в технических, экономических, биологических, медицинских и социальных системах.

Научная проблема диссертационного исследования заключается в создании математической модели сложных систем, поведение которых характеризуется числовыми и множественными данными, и разработке нового метода системного анализа, рассматривающего системы как множества событий, характеризующих их поведение.

Изучением распределений случайных событий и случайных множеств событий, зависимостей и взаимодействий случайных событий, которые лежат в основе поведения различных систем, занимается эвентология. Основоположником эвентологии является О.Ю. Воробьев. Понятие случайного множества событий — центральное в эвентологии — позволяет выявить общие статистические закономерности распределения случайных событий в различных системах. Одной из положительных сторон эвентологии является возможность учета полной структуры зависимостей и взаимодействий систем случайных событий.

Для исследования объектов и субъектов, представимых как системы событий, О.Ю.Воробьевым был предложен общий метод эвентологическо-го системного анализа [34], в основе которого лежит рассмотрение объектов и субъектов как систем событий в целостности многообразных типов взаимосвязей событий. Данный метод применялся для анализа систем из различных прикладных областей: здравоохранения, финансов и страхования, товарных рынков и др. События, описывающие поведение исследованных систем, определялись данными одного типа.

Изучение систем, поведение которых характеризуется разнотипными данными, представляет собой новое, никем не исследованное направление в эвентологической теории.

Объект исследований. Сложная система, поведение которой характеризуется числовыми и множественными данными.

Предмет исследований. Математическая модель сложной системы, поведение которой характеризуется числовыми и множественными данными, и разработка нового метода системного анализа, рассматривающего системы как множества событий, характеризующих их поведение.

Цель работы. Целью работы является разработка метода анализа сложных систем, характеризующихся числовыми и множественными данными, рассматривающего систему как двудольное множество событий, первая доля которого определяется случайными величинами, а вторая — случайными множествами.

Задачи исследований.

Цель работы достигается решением следующих задач:

• построение двудольной эвентологической модели сложной системы, основанной на понятиях двудольного множества случайных элементов и двудольного множества случайных событий;

• нахождение эвентологического распределения двудольного множества случайных событий для двух ситуаций: бернуллиевских случайных величин (индикаторных функций на множестве случайных событий) и произвольных случайных величин;

• изучение связи эвентологического распределения множества событий и функции распределения множества их индикаторов, а также — эвентологического распределения множества событий и эвентологического распределения множества их индикаторов;

• разработка метода двудольных множеств событий в эвентологичес-ком системном анализе сложных систем и применение предложенного метода к решению задачи нахождения экстремального элемента системы.

Основная идея диссертации заключается в представлении любой сложной системы с помощью двудольной эвентологической модели, в которой поведение каждого элемента системы характеризуется двудольным множеством событий: его первая доля определяется случайными величинами, а вторая — случайными множествами событий. Затем анализ поведения элементов системы сводится к анализу эвентологических распределений соответствующих им двудольных множеств событий. Для измерения расстояния между двудольными множествами событий предложено использовать вероятность сет-операции симметрической разности по Минковскому.

Методы исследования основаны на использовании теории вероятностей, эвентологии и эвентологического анализа систем случайных событий.

Основные новые научные результаты.

1. Предложена двудольная эвентологическая модель сложной системы, основанная на новых понятиях двудольного множества случайных событий и двудольного множества случайных элементов.

2. Получены эвентологическис распределения двудольных множеств случайных событий для двух ситуаций: бернуллиевских случайных величин и произвольных случайных величин.

3. Впервые введены эвентологические распределения множества индикаторов событий. Сформулированы и доказаны теоремы о связи эвентологического распределения множества событий и функции распределения множества их индикаторов, а также эвентологического распределения множества событий и эвентологического распределения множества их индикаторов. Выведены формулы обращения Мебиуса, связывающие между собой все эвентологические распределения множества индикаторов событий.

4. Разработан метод двудольных множеств событий в эвентологическом системном анализе сложных систем. Введены понятия сет-операций по Минковскому для двудольных множеств событий. Для измерения расстояния между двудольными множествами событий предложено использовать вероятность сет-операции симметрической разности по Минковскому. Предложен метод двудольных множеств событий в эвентологическом системном анализе сложных систем. Метод двудольных множеств событий был применен к решению задачи нахождения экстремального элемента системы.

Значение для теории. Полученные в диссертации результаты создают строгую математическую основу для исследования сложных систем, поведение которых характеризуется числовыми и множественными данными, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации.

Значение для практики состоит в том, что предложенный в диссертации метод двудольных множеств событий существенно упрощает и работу с разнотипными данными, описывающими поведение системы, и сравнение элементов системы как эвентологических распределений соответствующих им двудольных множеств событий.

Достоверность полученных результатов работы подтверждается строгими математическими доказательствами, опирающимися на аппарат эвентологии, теории вероятностей и математической статистики. Все результаты теоретически доказаны и оформлены в виде теорем.

Использование результатов диссертации. Работа предложенного в диссертации метода двудольных множеств событий в эвентологическом системном анализе проиллюстрирована на практическом примере задачи нахождения экстремального элемента системы — задаче определения неблагополучных районов Красноярского края по состоянию здоровья их населения. Результаты диссертационного исследования включены в учебную программу дисциплин «Введение в эвентологию», «Прикладная эвен-тология» и «Экономическая эвентология» кафедры «Прикладная математика» факультета математики и информатики Красноярского государственного университета для преподавания студентам специальностей 010101 «Математика», 010501 «Прикладная математика и информатика».

Личный вклад автора. Все результаты диссертации получены лично автором.

Рекомендации по использованию результатов диссертации.

Результаты работы рекомендуется использовать для решения задач управления в здравоохранении, обязательном медицинском страховании и банковском кредитовании; задач классификации и ранжирования на фондовом и товарном рынках и в обработке результатов социологических опросов.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационных исследований докладывались на конференциях молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (ИВТ СО РАН, Новосибирск, 2001, 2002), конференциях молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 1999, 2002), всероссийских конференциях по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (ИВМ СО РАН, Красноярск, 2002 - 2005), малых ФАМ-конференциях (Красноярский государственный торгово-экономический институт, 2004 - 2005), III, IV, V ежегодных городских конференциях по финансово-актуарной математике (ИВМ СО РАН, Красноярск, 1998 - 2000), I и II всесибирских конгрессах женщин-математиков (Красноярский государственный университет, 2000, 2002), межрегиональных конференциях «Математические модели природы и общества» (Красноярский государственный торгово-экономический институт, 2002, 2004), всероссийской конференции «Информационно-аналитические системы и технологии в здравоохранении и обязательном медицинском страховании» (КМИАЦ, Красноярск, 2004), научно-практической конференции «Вопросы сохранения и развития здоровья населения Севера и Сибири» (ГУ НИИ медицинских проблем Севера СО РАН, Красноярск, 2002), международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирский государственный университет, 1999 — 2001), а также на постоянно действующем семинаре кафедры «Прикладная математика» Красноярского государственного университета (1998 — 2006гг.) и на постоянно действующем семинаре по финансово-актуарной математике Института вычислительного моделирования СО РАН (1998 - 2006гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 статей, из которых 1 статья в периодическом издании по списку ВАК, 1 статья в периодическом издании, 11 статей в сборниках трудов всероссийских конференций, 1 депонированная статья.

Общая характеристика диссертации. Диссертация состоит из 3 разделов, введения, заключения, содержит основной текст на 139 е., 10 иллюстраций, 12 таблиц, список использованных источников из 110 наименований.

1 Постановка задачи

В данном разделе рассматривается проблема развития системного анализа и научная проблема диссертационного исследования, формулируется и обосновывается цель и задачи работы. Проводится обзор работ ряда авторов по тематике диссертационного исследования.

Во многих областях современной научной и практической деятельности при проведении различных исследований возникает необходимость изучения сложных систем, поведение которых характеризуется разнотипными данными, из которых одни — числовые, а другие — множественные. К числу таких систем относятся технические, экономические, биологические, медицинские и социальные системы.

Трудность изучения подобных систем обусловлена большой размерностью (большим числом составляющих элементов) и сложной структурой зависимостей между элементами, а также разнотипностью данных, описывающих их поведение.

Диссертационное исследование посвящено решению актуальной на сегодняшний день проблемы развития системного анализа в направлении исследования сложных систем, поведение которых характеризуется статистикой, состоящей из числовых и множественных данных. Решение данной проблемы позволит обеспечить дальнейшее развитие системного анализа и будет способствовать повышению эффективности управления и принятия решений в технических, экономических, биологических, медицинских и социальных системах.

Многие известные методы системного анализа направлены на изучение систем, поведение которых описывается разнотипными данными: количественными и качественными. Подробный перечень данных методов был приведен во введении.

Изучением сложных систем, характеризующихся числовыми и множественными данными, занимались преимущественно представители двух направлений: теории нечисловых статистик (А.И. Орлов [71, 72], В.Н.Жихарев [71]) и нечетких множеств (А.Е. Алтунин и М.В. Семухин [1], М. Земанкова-Лич [110], Б. Коско [101]).

Хотя А.И. Орловым предложена обобщенная модель данных, лежащая в пространстве общей природы, большинство работ теории нечисловых статистик посвящено изучению объектов нечисловой природы определенного вида (результатам измерений в различных шкалах, интервалам, результатам парных и множественных сравнений). Кроме того, сравнение элементов систем затруднено ввиду громоздкости предлагаемых вероятностных метрик.

Методы теории нечетких множеств и нечеткой логики, разработанные профессором Л. Заде [43, 108, 109] и развитые его последователями Р. Беллманом [17], А. Кофманом [54], Д.А. Поспеловым [78], С.А. Орловским [73], А.Е. Алтуниным [1], М. Земанковой-Лич [110], Б. Коско [101] и другими, позволяют успешно моделировать сложные системы управления и экспертные системы нового поколения, способные хранить и обрабатывать неточную информацию, в том числе качественную и множественную. Но математические модели данной теории имеют серьезный недостаток: из-за отсутствия строгого обоснования правил задания функции принадлежности элементов к нечеткому множеству, изучение конкретной системы требует подбора функций принадлежности и операций над ними. Следовательно, успешность решения задач системного анализа методами теории нечетких множеств и нечеткой логики зависит от правильности выбора функции принадлежности.

Таким образом, можно говорить об ограниченности результатов, полученных вышеупомянутыми авторами, в области исследования сложных систем, характеризующихся числовыми и множественными данными, и решении поставленной проблемы развития системного анализа.

Для устранения трудностей анализа сложных систем, связанных с большой размерностью, сложной структурой зависимостей между элементами и разнотипностью данных, описывающих их поведение, предлагается применить эвентологический подход к изучению систем и рассматривать системы как множества событий, характеризующих их поведение.

В ы в о д ы. В третьей главе рассмотрено применение предложенного в диссертации метода двудольных множеств событий в эвентологическом системном анализе сложных систем к решению практического примера задачи нахождения экстремального элемента системы — задачи определения неблагополучных районов по состоянию здоровья их населения. Решение задачи основано на статистике показателей здоровья населения районов Красноярского края. Приведено описание этой статистики и дана классификация показателей здоровья населения по группам. Дана формулировка задачи определения неблагополучных районов по состоянию здоровья их населения и показана ее актуальность. Предложено рассматривать Красноярский край как систему, состоящую из районов края и пред-ставимую в виде двудольной эвентологической модели, в которой состояние здоровья населения каждого района края характеризуется двудольным множеством случайных событий. Найдено решение задачи определения неблагополучных районов по состоянию здоровья населения для двух практических примеров. В первом примере состояние здоровья оценено по 26 показателям, во втором — по всем 74 показателям, представленным в статистике. Было проведено сравнение предложенного метода с двумя известными методами оценки здоровья населения: интегральной оценки социально - гигиенического риска потерь здоровья населения и методом главных компонент в кластерном анализе показателей здоровья населения. Проведено обсуждение полученных результатов диссертационного исследования и показана их научная новизна. Предложены рекомендации по использованию результатов диссертации.

Заключение

Предложенные в диссертации новые понятия двудольного множества случайных элементов и двудольного множества случайных событий позволили построить двудольную эвентологическую модель сложных систем и преодолеть трудности их анализа, связанные с большой размерностью, сложной структурой зависимостей между элементами и разнотипностью данных, описывающих их поведение.

Находятся эвентологические распределения двудольных множеств случайных событий для двух ситуаций: бернуллневских случайных величин и произвольных случайных величин. Эвентологические распределения двудольных множеств случайных событий для бернуллиевских случайных величин были получены в результате изучения связи эвентологического распределения множества событий и функции распределения множества их индикаторов, а также — эвентологического распределения множества событий и впервые введенного эвентологического распределения множества их индикаторов. Эвентологические распределения для ситуации произвольных случайных величин были найдены с помощью выражения совместного распределения случайных величин через события-терраски.

Метод двудольных множеств событий в эвентологическом системном анализе, разработанный в диссертации, заключается в представлении сложной системы с помощью двудольной эвентологической модели и сведению анализа поведения элементов системы к анализу эвентологических распределений соответствующих им двудольных множеств событий. Введены понятия сет-операций по Минковскому для двудольных множеств событий. Для измерения расстояния между двудольными множествами событий была использована вероятность сет-операции симметрической разности по Минковскому, которая является примером произвольной сет-операции по Минковскому. Метод двудольных множеств событий был применен к решению задачи определения экстремального элемента системы. В диссертации работа предложенного метода проиллюстрирована на практическом примере задачи нахождения экстремального элемента — задаче определения неблагополучных районов Красноярского края по состоянию здоровья их населения. Ее решение основано на реальной статистике показателей здоровья населения районов Красноярского края. Было проведено сравнение предложенного метода с двумя известными методами комплексной оценки здоровья населения, которое показало близость к результатам других методов, а также выявило преимущества метода двудольного множества событий: возможность учета полной структуры зависимостей и взаимодействий случайных событий, описывающих состояние элементов системы, и учета множественных показателей здоровья населения.

Таким образом, были решены все намеченные задачи диссертационного исследования и достигнута его цель. Разработка метода двудольных множеств событий позволила в полной мере решить поставленную научную проблему и проблему развития системного анализа в направлении исследования сложных систем, поведение которых характеризуется статистикой, состоящей из числовых и множественных данных.

Все научные результаты, полученные в диссертационном исследовании, являются новыми в эвентологической теории и в анализе сложных систем, характеризующихся числовыми и множественными данными.

Значение для теории. Полученные в диссертации результаты создают строгую математическую основу для исследования сложных систем, поведение которых характеризуется числовыми и множественными данными, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации.

Значение для практики состоит в том, что предложенный в диссертации метод двудольных множеств событий существенно упрощает и работу с разнотипными данными, описывающими поведение системы, и сравнение элементов системы как эвентологических распределений соответствующих им двудольных множеств событий.

1. Алтунин, А.Е. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях: монография / А.Е.Алтунин, М.В.Семухин. — Тюмень: Изд-во Тюменского государственного университета, 2000. — 352с.

2. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ / Т.Андерсон. — М.: Физматгиз, 1963. — 500с.

3. Баранова, И.В. Об эвентологических распределениях двудольных множеств случайных элементов / И.В.Баранова // Экономика. Психология. Бизнес. — Красноярск: Красноярский гос. торг.-экон. ин-т, 2004. т. - С. 229-239.

4. Иванюкова (Баранова), И.В. Визуализация статистических данных, заданных в абстрактных пространствах / И.В. Иванюкова, О.Ю.Воробьев М., 2000. - 16с. - Деп. в ВИНИТИ, №1903-В00.

5. Баранова, И.В. Задача исследования рынка здоровья / И.В.Баранова,

6. B.Ф. Мажаров // Труды II всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. — Красноярск: ИВМ СО РАН, КрасГУ, КГТУ, КГТЭИ, 2003. 2т. - С.25-29.

7. Баранова, И.В. Мозаичный алгоритм визуализации элементов случайного множества // И.В.Баранова // Труды I всероссийской конференции ио финансово-актуарной математике и смежным вопросам. Красноярск: ИВМ СО РАН, КрасГУ, КГТУ, КГТЭИ, 2002. - 2т.1. C.27-33.

8. БАРАНОВА, И.В. Случайно множественная визуализация множества заболеваний/ И.В.Баранова. // Сб. статей II всесибирского конгресса женщин - математиков / Краснояр. гос. ун-т. — Красноярск, 2002. - С. 8-12.

9. Баранова, И.В. Задача исследования рынка здоровья / И.В.Баранова. // Труды межрегиональной конференции "Математические модели природы и общества". Красноярский гос. торгово экономический инст-т. — Красноярск, 2002. — С.16-21.

10. Беллман Р., Заде JI. Принятие решений в расплывчатых условиях / Р.Беллман, Л.Заде // Вопросы анализа и процедуры принятия решений: сб. науч. статей. — М: Мир, 1976. — С.172-215.

11. Бернштейн, С.Н. Теория вероятностей / С.Н.Бернштейн. — М.: ГТТИ, 1934. 412с.

12. Большаков, A.M. Оценка и управление рисками влияния окружающей среды на здоровье населения / А.М.Большаков, В.Н.Крутько, Е.В.Пуцилло. М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 256с.

13. Боровков, А.А. Теория вероятностей / А.А.Боровков. — М.: Наука, 1986. 432с.

14. Боровков, А.А. Математическая статистика / А.А.Боровков. — Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1997. — 771с.

15. Боровков, А.А. Асимптотические методы в теории массового обслуживания / А.А.Боровков. — М.: Наука, 1980. — 381с.

16. Бусленко, Н.П. Автоматизация имитационного моделирования сложных систем / Н.П.Бусленко. — М.: Наука, 1977. — 400с.

17. Бусленко, Н.П. Моделирование сложных систем / Н.П.Бусленко. — М.: Наука, 1978. 400с.

18. Вилкас, Э.Й. Оптимальность в играх и решениях / Э.И.Вилкас. — М.: Наука, 1990. 256с.

19. Вильсон, А.Дж. Энтропийные методы моделирования сложных систем / А.Дж.Вильсон. — М.: Наука, 1978. — 247с.

20. Воробьев, Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры / Н.Н.Воробьев. М.: Наука, 1984. - 495с.

21. Воробьев, О.Ю. Среднемерное моделирование / О.Ю.Воробьев. — М.: Наука, 1984. 133с.

22. Воробьев, О.Ю. Сет-суммирование / О.Ю.Воробьев. — Новосибирск: Наука, 1993. 137с.

23. Воробьев, О.Ю. Теория случайных событий и ее применение / О.Ю.Воробьев, Е.Е. Голденок, Т.В. Куприянова, Д.В. Семенова, А.Ю. Фомин. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2003. - 502с.

24. Воробьев, О.Ю. Структурный сет-анализ зависимостей случайных событий / О.Ю.Воробьев, Е.Е.Голденок. Красноярск: КрасГУ, ИВМ СО РАН, 2003. - 106с.

25. Воробьев, О.Ю. Регрессионный сет-анализ случайных событий / О.Ю.Воробьев, А.Ю.Фомин. Красноярск: КрасГУ, ИВМ СО РАН, 2004. - 116с.

26. Воробьев, О.Ю. Эвентологические структуры и эвентологический скоринг / О.Ю.Воробьев // Труды III всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. — Красноярск: ИВМ СО РАН, КрасГУ, КГТУ, КГТЭИ, 2004. Т.1. - С.49-90.34