автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Теоретико-игровые методы анализа случайных множеств событий

На правах рукописи

ТЯГЛОВА Елена Григорьевна

ТЕОРЕТИКО-ИГРОВЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВ СОБЫТИЙ

05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации областям: информация, вычислительная техника и управление)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2006

Работа выполнена в Научно-исследовательском учреждении Институте вычислительного моделирования СО РАН (г. Красноярск)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Олег Юрьевич Воробьев

Официальные оппоненты: доктор технических наук, доцент

Слюсарчук Валентин Федерович

доктор физико-математических наук, с.н.с. Садовский Михаил Георгиевич

Ведущая организация: ГОУ ВПО Томский государственный

университет

Защита диссертации состоится 14 апреля 2006 года в 14.00 на заседании диссертационного совета Д. 212.098.04 в Красноярском государственном техническом университете по адресу: ул. академика Киренского, 26, Красноярск, 660074, ауд. Д 501.

Факс: (3912) 43-06-92 (КГТУ, для каф. САПР)

E-mail: sovet@front.ru

Телефон: (391-2) 91-22-95 (КГТУ, каф. САПР)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан xltfLp***- 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, доцент

ШЗ

Тяглова Автореферат диссертации

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теоретико-игровые методы анализа случайных множеств событий развиваются автором для построения и обобщения математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта. Характерной особенностью рассматриваемых систем является то, что они зачастую трудно поддаются формализации. Практический интерес к изучению этой важной задачи обусловлен потенциальными возможностями наиболее полно объяснить структуру зависимостей и взаимодействий случайных событий. В большинстве случаев участники сложных системы играют несколько ролей одновременно, причем данные роли между собой взаимодействуют. На данный момент существует ограниченное количество игровых математических моделей, описывающих игру N лиц, в которой игроки участвуют в конфликте двух сторон, при этом игроки влияют на действия каждого участника конфликта.

В теории игр N лиц основной задачей является задача дележа выигрыша коалиции игроков между ее участниками. Основоположниками теории игр Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном сформулировали определение дележа. В теории коалиционных игр наиболее известны три дележа: функция Шепли, индекс Банзафа и формула Вилкаса, причем первые два являются частным случаем формулы Вилкаса. В самой формуле Вилкаса не ясно из каких условий выбирать распределения для каждого игрока, которыми описывается участие каждого игрока в кооперативной игре.

Научная проблема заключается в создании методов построения игровых математических моделей, описывающих игру N лиц, в которой игроки участвуют в конфликте двух сторон. Поскольку рассматривается игра N лиц, то возникает необходимость в том, чтобы полученное решение можно было использовать в задаче дележа. В задаче дележа теории игр необходимо обобщить формулу дележка Вилкаса, с целью устранения произвола в выборе распределений для игроков, которыми описывается участие игроков в кооперативной игре.

Основная идея диссертации состоит в применении теории случайных множеств событий — эвентологии для построения эвентологических теоретико-игровых моделей принятия решений в условиях конфликта и для решения задачи дележа на основе классического определения.

Таким образом, объектом исследования диссертации являются множества случайных событий и их эвентологические распределения, а методы пос троения зависимостей и взаимодействМилу чаПпы^.-событий представляют собой предмет исследования. I ВИБлм°НАЯЬ * * I

Целью работы является развитие теоретико-игровых методов анализа случайных множеств событий, позволяющих решать задачи принятия решений в сложных системах и задачу коалиционного дележа в игре N лиц.

Данная цель достигается решением следующих задач:

• разработка теоретико-игровых методов моделирования кооперативного поведения игроков с помощью аппарата теории случайных множеств событий;

• выявление и исследование вида структуры зависимости между игроками в играх двух случайных коалиций событий;

• постановка и решение задачи распределения выигрыша случайной коалиции событий между игроками коалиции, на основе классического определения дележа теории игр (дележа по Нейману-Моргенштер-ну);

• разработка алгоритмов построения классов эвентологических распределений, проекции которых на любого игрока совпадают с распределением в функции Шеили, в индексе Банзафа.

Методы исследования основаны на использовании теории вероятности, математической статистики, теории случайных событий и случайных множеств, теории игр, методов оптимизации, системного анализа, управления и обработки информации.

Основные результаты диссертации

1. Разработаны теоретико-игровые методы кооперативного поведения игроков с применением теории случайных множеств событий: определена игра двух случайных коалиций событий, сформулирована и доказана теорема о существовании равновесия по Нэшу в игре двух случайных коалиций событий, сформулирована и доказана теорема о максимине для игры двух случайных коалиций событий.

2. Выявлена и исследована двухступенчатая структура зависимостей в играх двух случайных коалиций событий: введено понятие нового объекта в теории игр — псевдоигрока, установлена его свя ¡ь с обычными с точки зрения теории игр игроками.

3. Поставлена и решена задача распределения выигрыша случайной коалиции событий между игроками коалиции. на основе классического

определения дележа теории игр: сформулировано и доказано необходимое и достаточное условие случайно коалиционного дележа по Нейману - Моргенштерну.

4. Предложены и теоретически обоснованы алгоритмы построения классов звентологических распределений, проекции которых на любого игрока совпадают с распределением в функции Шепли, в индексе Банзафа.

Научная новизна.

• Предложенные методы построения статистических зависимостей случайных событий основаны на случайно - множественной переформулировке теоремы о существовании равновесия по Нэшу и теоремы о максимине, что позволило упростить процесс построения множественных и количественных зависимостей между случайными событиями.

• Обоснованы модели поведения игроков и псевдоигроков в антагонистической игре, в игре с равновесием по Нэтпу, в игре с совместным поведением случайных коалиций событий.

• Предложен и обоснован новый алгоритм построения класса распределений случайной коалиции событий, для которого выполнено условие дележа, что позволило уточнить формулу Вилкаса, сделать вывод,

' что индекс Банзафа не является дележом в смысле рассматриваемого определения.

• Предложены и обоснованы новые алгоритмы построения классов распределений случайной коалиции событий, проекции которых на любого игрока совпадают с распределением в функции Шепли, с индексом Банзафа.

Теоретическая значимость. Применение эвентологических методов позволило обобщить ранее известные в теории игр формулы дележа, сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие случайно - коалиционного дележа по Нейману Моргенштерну.

Достоверность полученных результатов. Все результаты работы подтверждены сформулированными и доказанными теоремами.

Личный вклад автора. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Практическая значимость. Предложенный в работе аналитический способ нахождения оптимальных, в смысле рассмотренных критериев, двух эвентологических распределений позволяет использовать полученные чвон-тологические распределения для решения задачи дележа.

Результаты работы были применены для формирования товарной политики двух фирм. Полученные в работе результаты используются в учебном процессе Красноярского государственного университета при преподавании следующих дисциплин: «Прикладная эвентология», «Введение в эвентологию», «Экономическая эвентология».

Результаты диссертационной работы могут быть использованы в разнообразных экономических, социальных приложениях, требующих принятия решения в условиях конфликта, а также в задачах распределения ресурсов между элементами системы, которую можно описать с помощью случайного множества событий.

Апробация работы. Основные результаты, отдельные положения, а также результаты конкретных прикладных исследований и разработок докладывались и обсуждались на следующих Всероссийских и региональных конференциях и научных семинарах: I, II, III и IV Всероссийская конференция по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (Красноярск, 2002, 2003, 2004, 2005); Межрегиональная конференция «Математические модели природы и общества» (Красноярск, 2002): I, II и III Всесибирский конгресс женщин - математиков (Красноярск, 2000, 2002 и 2004); Конференция молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике (ИВТ СО РАН, Новосибирск, 2000, 2001); Конференция молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 1999, 2000, 2001, 2002); V ежегодная городская конференция по Финансово-Актуарной Математике (2000); XXXVII Международная Научная Студенческая Конференция (Новосибирск, 1999); ФАМ семинар ИВМ СО РАН (Красноярск, 1998-2006); Семинар кафедры прикладной математики (Красноярск, Крас-ГУ, 1998-2006); Семинар ИВМ СО РАН (2003,2006);

Публикации. По результатам научных исследований опубликовано 12 печатных работ, из которых 1 статья в периодическом издании по перечню ВАК, 1 депонированная статья, 10 работ в трудах всероссийских конференций.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит и ? введения, 3 разделов, содержит основной текст на 127 е., 12 иллюстраций, 5 таблиц, список использованных источников из 80 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение представляет цели и задачи диссертационной работы, раскрывает ее актуальность, новизну полученных результатов, практическую значимость и апробированность, методологию исследований, проводится об юр литературы по тематике работы, сформулированы положения выдвигаемые на защиту.

В первом разделе приведены предварительные сведения из теории случайных множеств событий и теории игр, дана постановка задачи разработки теоретике игровых методов анализа случайных множеств событий, позволяющих решать задачи принятия решений в условиях конфликта в сложных системах и задачу коалиционного дележа в игре N лиц.

Предварительные сведения.

Случайным множеством событий под ЗС называется измеримое отображение

где С Т выделенное конечное множество событий, (состоящее из N = |Х| событий), - множество всех подмножеств ЗС (булеан множеств)

Распределением вероятностей (эвентологическим распределением) случайного множества событий К называется набор из 2м вероятностей р{Е) = Р(К = Е), Ее 2х.

Пусть X = {х\,... ,х V} — конечное множество игроков. Множество Ж неупорядочено, а индекс введен, чтобы различать игроков.

Коалицией игроков называется любое подмножество Е С X.

Функция множеств:

V : 2* -»■ II, »(в) = О1

называется характеристической функцией. Данная функция определяет выигрыш или ценность ь(Е) любой коалиции игроков Е С X.

Рассмотрим игру, которая состоит в образовании и не образовании игроками коалиций. Будем считать, что на булеане множеств задана характеристическая функция игры и. После игры встает вопрос дележа выигрыша коалиции между игроками.

' Данное условие принято для удобства вычислений.

t,

Данной проблемой занимались такие классики теории игр, как Нейман, Моргенштерн, Шепли, Шубик, Банзаф, Вилкас. Ими было введено следующее определение дележа.

Определение 1. Дележом (для игры N лиц с характеристической функцией v) называется вектор ip = (ipXl,..., tpXN), который удовлетворяет условиям:

£>.=«(£). (1) 1=1

<Px.>v(xi), i:=l,...,N. (2)

Шепли определяет функцию дележа - функцию Шепли - аксиоматически.

Носителем игры v называется множество X, для которого выполнено условие ?;(£) -v(XC\E), Е С X.

AI. О носителе игры. Если X - любой носитель игры, то е х срх [и] = v(X).

А2. Линейность. Для любых игр и, v tp[u + v\ — <р[и] + <p[v].

Теорема.(О функции Шепли). Существует единственная функция Ф[v], определенная для всех игр и удовлетворяться аксиомам AI и А2

Ч>М= Y, aJ\e\ (v(Eu{x})-v(E)j, хеХ,

ЕС{х}с NCN~ 1 Индекс Банзафа задается формулой

Е J"T («(Я U {*})-«(£)), are 3t.

EClzyc

Затем Вилкас вводит определение вероятностного значения игры, которое обобщает функцию Шепли и индекс Банзафа

= £ nx(E)(biEU{x})-v(E)y х&Х.

ЕС{хУ

Постановка задачи В диссертации поставлена задача разработки теоретико-игровых методов анализа случайных множеств событий, позволяющих решать задачи принятия решений в сложных системах и задачу коалиционного дележа в игре N лиц.

Предполагается, что в системе выделено конечное множество событий, рассматривается конфликт двух случайных множеств событий. Необходимо обосновать и применить методы теории игр для двух игроков к игре двух случайных коалиций событий. Исследовать возможность ипользова-ния решений этой игры в решении задачи дележа теории игр.

В теории кооперативных игр обычно считается, что изначально задана характеристическая функция игры и необходимо решить задачу дележа выигрыша между игроками, вступающими коалиции. Рассуждения о дележе авторами в большинстве случаев проводились с точки зрения отдельного игрока: каким образом он участвует в образовании коалиций. Введенное в теории игр определение дележа Неймана-Моргенштерна конкретизировало свойства функций, с помощью которых осуществлялось нахождение среднего выигрыша отдельного игрока от его участия в образовании и необразовании коалиций. Поэтому необходимо определить игру случайной коалиции событий, где событие заключается в образовании игроками коалиций и решить задачу распределения выигрыша случайной коалиции событий между игроками коалиции, на основе классического определения дележа теории игр (дележа но Нейману-Моргенштерну).

Во втором разделе разрабатываются теоретико-игровые методы анализа случайных множеств событий; решается задача распределения выигрыша случайной коалиции событий между ее участниками.

Случайные коалиции событий как псевдоигроки и игровые модели их поведения. Введем следующее определение.

Определение 2. Случайной коалицией событий К. называется случайное конечное множество событий К под где ЭС — конечное множество игроков.

Рассмотрим конечное множество игроков ЗЕ = {хг,г — 1,... , п}, принимающих решение на примере коллектива музыкантов. Музыканты имеют возможность выступать в ресторане и в метро, причем в любом составе. Таким образом, в ресторане может выступать любое множество музыкантов X € 2-* и в метро может выступать любое множество музыкантов У 6 2^. Если в ресторане выступает множество музыкантов X, то это означает, что произошло событие: «множество музыкантов X приняло решение играть в ресторане». Аналогично, если в метро выступает множество музыкантов У, то это означает, что произошло событие:«множество музыкантов приняло решение играть в мегро». Поскольку X произвольное подмножество множества Э£ и может принимать любое значение из то выступление музыкантов в ресторане можно описать случайной коалицией событий 1С\,

заданной под Л-. С помощью случайной коалиции событий К 2, заданной под будем описывать выступление музыкантов в метро. Каждый игрок музыкант может принимать участие как в коалиции К.i, так и коалиции К.2- В результате у каждого игрока имеется 4 исхода (1,1), (1,0), (0,1), (0,0). Например, исход (0,1) означает, что игрок играет в метро и не играет в ресторане. После того, как каждый игрок выбрал одну из четырех альтернатив, получаем, что случайная коалиция К.\ приняла значение X, а случайная коалиция К.2 приняла значение Y.

Определение 3. Псевдоигроком называется субъект, который не может самостоятельно принимать решения (выбирать свои стратегии), за него это делают игроки, принимающие решение.

Исходя из определения, случайные коалиции ACi и К.? являются псевдоигроками, а множество 2является множеством чистых стратегий каждого из псевдоигроков.

Определение 4. Игрой двух случайных коалиций fCi и /С. > событий будем называть следующий набор (К.i ,1С2,2^,д1,д2), гдед1, д2 функции полезности (выигрыша) коалиций Ki и АС2 соответственно.

Рассматриваемые функции множеств заданы на декартовом произведении 2 х х 2-* и представлены в виде матриц.

Определение 5. Смешанной стратегией псевдоигрока Ki (/С2) назовем распределение р(X) = P(/Ci = X) (q(X) = Р(/Сг = X)), X С

Независимое поведение псевдоигроков. Предположим, что при выборе альтернативы каждый игрок тг принимает решение о выступлении в метро независимо от того, какое решение он принял относительно ресторана. Таким образом, псевдоигроки ведут себя независимо.

Определение 6. Ситуацией равновесия называется пара распределений (смешанных стратегий псевдоигроков К\ и /Сг) (р*-,<]*), если выполнены условия

для любого р = {р(X), X е 2-*-},

£ £ gi(X,Y)p'(X)<f(Y)> £ Y1 9dX,Y)p(X)q'(Y), (3)

для любого q = {9(F), Y € 2х}

£ £ g2(X,Y)P*(X)q*(Y)> £ g2(X,Y)p*(X)q(Y). (4) xeix у62х хе2х у t2*

Рассматриваемая ситуация равновесия носит название равновесие по Нэшу. В работе сформулирована и доказана георема о существовании ситуации равновесия в смешанных стратегиях для рассмотренной игры двух случайных коалиций событий.

Теорема 1. Для любой игры (К.у,К.2, 2* >91,9-2), существуют такие случайные коалиции К\ и К,? с распределениями

Рк> = {рк.(Я) : Е е 2*} , я*Ка = {<7кЛЕ) : Е € 2*} , (5)

что выполняются соотношения (3) и (4)-

Нахождение ситуаций равновесия (р*, д*) осуществляется с помощью алгоритма Лемке - Хоусона.

Совместное поведение псевдоигроков. Предположим, что при выборе альтернативы каждый игрок х, принимает решение о выступлении в метро в зависимости от того какое решение он принял относительно ресторана. Таким образом, псевдоигроки ведут себя зависимо. Следовательно, необходимо вести речь совместном поведении псевдоигроков (хотя независимое поведение является частным случаем совместного).

Определение 7. Говорят, что р*(Х,У) = Р()Сг = X, ¡С2 — У) есть равновесие в совместных смешанных стратегиях , если выполнены следующие неравенства: для любых X, Е € = Зк.1

£ 91{Х,У)р*{Х,У)> £ д1(Е,У)р*(Х,¥), (6)

для любых У,Е е 2^ =

£ д2(Х,У)р*(Х,У)> ¿2 д-2(Х,Е)р*(Х,¥). (7)

Х62* Х€2*

Один из наиболее простых путей получения преимуществ от корреляции индивидуальных стратегий состоит в том, чтобы найти все ситуации равновесия в случае независимого поведения псевдоигроков и брать их выпуклые комбинации.

Случайные коалиции событий как игроки и игровые модели их поведения Рассмотрим конечное множество товаров ЗС = {.г,. г = 1,...,п}, имеющихся на рынке. На этом же рынке будем следить в течение некоторого периода времени за продажами одного магазина. В различные моменты времени магазин может предлагать для продажи различные подмножества товаров X С 3£, тем не менее, в каждый момент времени мы

можем указать множество товаров, выставленных на продажу. Таким образом, предложение магазина будем описывать случайной коалицией событий /С), где выражение /С] = X означает, что произошло событие: «маг газин предложил для продажи множество товаров X». Назовем случайную коалицию событий К, 1 случайным продавцом. Вторым интересующим нас объектом будет покупатель, который делает покупки в рассматриваемом нами магазине. Будем наблюдать за ним в течении того же периода времени. Причем, каждый раз при походе в магазин покупатель может желать купить любое подмножество товаров У С ЗЕ, но в каждый момент времени мы можем указать множество товаров, которое хочет купить покупатель. Следовательно, желание покупателя будем описывать случайной коалицией событий К-2, где выражение /С а = У означает, что произошло событие: «покупатель пожелал купить множество товаров У». Назовем случайную коалицию событий К-ч случайным покупателем. Случайные продавец и покупатель являются игроками, которые сами могут выбирать любую свою чистую стратегию, то есть любое подмножество из

Исходя из определения 3, любой товар х, из X является псевдоигроком, а множество пар (1,1), (1,0), (0,1), (0,0) является множеством чистых стратегий каждого из псевдоигроков. Например, пара (1,1) для товара хг означает, что этот товар предложен случайным продавцом для продажи и случайный покупатель пожелал его купить.

После того как случайный продавец и случайный покупатель выбрали свои чистые стратегии X и У соответственно, у каждого из псевдоигроков хг однозначно определяется чистая стратегия (1С,(Х), 1Х>(У)), где

1 - I если Хг 6

;"\0, иначе.

Для определения игры двух случайных коалиций событий необходимо задать следующий набор (К.1,К.2,2^,д1,д2), где д1: д2 ~ функции полезности (выигрыша) коалиций 1С\ и К,2 соответственно. Рассматриваемые функции множеств заданы на декартовом произведении

2* х и представлены в виде матриц.

Для задания игры также необходимо указать критерий оптимального поведения игроков. В работе рассмотрим три критерия: равновесие но Нэшу, равновесие в оптимальных смешанных стратегиях и критерий мак-симина.

Независимое поведение игроков. Предположим, что при выборе альтернативы игрок К-1 принимает решение о продаже множества товаров X неза-

висимо от желания игрока К >. Таким образом, игроки веду г себя независимо.

Равновесие по Ношу. В рассматриваемом случае под ситуацией равновесия будем понимать равновесие по Нэшу, то есть пару распределений (смешанных стратегий игроков К.у и Къ) (р*,Ч*)- если выполнены условия (3) и (4). Для рассматриваемой ситуации справедлива теорема 1.

После того, как игроки определили свои оптимальные стратегии, для каждого псевдоигрока - товара х{ можно также определить оптимальные стратегии по формулам

Р».(1,1)= £ 5>*(*)0*(П р*.(0,1)= £ 2>*(Л-)д*(П

ХЭх, ГЭх, Х1х, УЭх,

Х^х.У^х, ХЭх.У^Х! ' —

Максиминные случайные коалиции событий. Рассмотрим еще один пример независимого поведения случайных коалиций. Предположим, что матрицы связаны соотношением для любой ситуации (X, У) £ х

д1(Х,¥)+д2(Х,¥) = 0.

Тогда функция выигрыша случайной коалиции К? отличается от дх только знаком, поэтому для задания игры достаточно знать только, например, д1. Далее индекс будем опускать и обозначим д1 = д.

Определение 8. (Игра двух случайных коалиций с нулевой суммой). Игрой двух случайных коалиций с нулевой суммой называется набор объектов , состоящий из двух случайных коалиций К\ и /Сг,

матрицы игры д и множеств чистых стратегий 2^.

Для рассматриваемой игры справедлива

Теорема 2. (О максимине для игры двух случайных коалиций с нулевой суммой). Для любой игры (АСьд,/Сг) существуют такие случайные коалиции К,\ и К-2 с распределенный

р = {р(Х) : хе 2Х}, я= {9(У) : У € 2*} , (8)

что

тахтшЕ.9(/С),/С2) = тттахЕ^/Сь/Сг),

К\ /С 2 /Са К-1

где

Е^(ДС1,ДС2) = £ g(X,Y)p(X)q(Y)

jv62* у £2*

— математическое ожидание выигрыша первой случайной коалиции.

Иными словами, — это математическое ожидание случайной величины g(ICi,IC2), значениями которой служат соответствующие элементы g(X,Y) матрицы g с вероятностями

p(X)q(Y) = Р(£! = Х)Р()С2 = Y), (X,Y) € 2* х 2х.

В результате, в силу теоремы о максимине для игры двух случайных коалиций с нулевой суммой, существуют оптимальные случайные коалиции К\ и К-2, обеспечивающие оптимальную игру, любое отклонение от которой приводит к потерям в выигрыше той коалиции, которая ведет себя неоптимальным образом.

Совместное поведение игроков. Предположим, что оптимальное поведение игроков 1С\ и /С2 есть равновесие в совместных смешанных стратегиях р"(Х, Y) = P(K.i ~ X. IC2 = Y), то есть выполнены неравенства (6) и (7).

В качестве оптимальных стратегий можно рассматривать линейные комбинации эвентологических распределений, найденных с помощью алгоритма Лемке - Хоусона.

После того, как игроки определили свои оптимальные стратегии, для каждого псевдоихрока - товара хг можно также определить оптимальные стратегии по формулам

р*.(м)= £ !>*(*, п Р*.(о,1)= £ $>w),

ХЭх, УЭх, Xjx, Y Эх,

PzÀ0,0)= £ П ^.(1,0) = £

X?x,Y Эх, Хэх,У2*,

Рассмотренные методы позволяют находить два оптимальных, в смысле рассматриваемых критериев, эвентологических распределения, таким образом, появилась возможность использовать результаты игры двух случайных коалиций в задаче дележа.

Распределение выигрыша между игроками случайной коалиции. Пусть под множеством игроков Ж задана случайная коалиция событий. Под событием понимается образование коалиции Е, а следовательно и ее дополнения

Определение 9. Проекцией случайной коалиции 1С на игрока х называется случайная коалиция игроков (событий) К(х). заданная под ЗС\ {.г},

с распределением рх = (^рх(Е) = Р{К-{х) —- Е), Е С причем

px(E)=p(E)+p(EU{xj).

Теперь средний выигрыш игрока х £ X будем вычислять по формуле Вилкаса, только будем полагать, что кх(Е) = рх(Е) — р(Е) + р{Е U {а-}) и называть случайно-множественным значением игры для игрока х

<Р*М= £ (p(E)+p(EU{x})y{v(EU{x})-v(E)). (9)

Если в кооперативной игре задана характеристическая функция, то в качестве эвентологического распределения для случайной коалиции событий можно брать решения игр двух случайных коалиций событий, поскольку они представляют собой оптимальные эвенюлогические распределения. Причем каждый игрок х получает выигрыш от участия на стороне как первой, гак и второй случайных коалиций.

Будем говорить, что распределение случайной коалиции событий удовлетворяет условию дележа (1), если справедлива следующая теорема

Теорема 3. Для того чтобы распределение случайной коалиции событий /С, заданной под множеством игроков X, в игре с характеристической функцией v(E), Е С X удовлетворяло условию XlfLi <Р*. —

где ipXt рассчитываются по формуле ¡px[v] — YLbc{x)c (р(Е) +р{ЕЬ {х}) j •

('v(E U {а;}) — v{E)^j необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения:

для любого фиксированного множества

ХсХ, 1<\Х\ — т < N: (2m — N) ■ р(Х) + £ р(Е)~ JT р(Е) = О,

ЕСХ,\Е\ = т-\ ЕЭХ,\Е\ = т+\

а если X = Л, то

22 p(E) + N-p(X) = 1.

Следствие 1. Если распределение случайной коалиции событий удовлетворяет теореме 3, то верно следующее равенство

('2т - N) ■ £ р(Е) + (iV — т + 1) ■ £ р(Е) - (10)

ЕС.Х,\Е\ = т ЕсХ,\Е\ = т-1

- (m + 1)- ]Г Р(Е) = 0.

ЕСХ,\Е\=т+1

Следствие 1 показывает как связана вероятность трех последовательных слоев m - 1, го и m + 1 распределения случайной коалиции событий К, егли распределение К принадлежит классу распределений, для которого выполнены условия теоремы 3.

Следствие 2. Если распределение случайной коалиции событий К, удовлетворяет теореме 3, то выполняется следующее равенство

т £ р(Е) + {N - m + 1) P(£) = 1-

E<ZX,\E\—m EcX,\E\ = m-l

Следствие 2 показывает как связана вероятность двух последовательных слоев тит + 1 распределения случайной коалиции событий К, если распределение /С принадлежит классу распределений, для которого выполнены условия теоремы 3.

Классы случайных коалиций событий для функции Шепли и индекса Бан-зафа. Класс распределений случайной коалиции К, проекции которых на каждого игрока х £ совпадают с распределением в функции Шепли строится по следующему алгоритму:

1) Необходимо выбрать значения ро — р(0), исходя из условий

а) Если N = 4*1, /=1,2,...., то выполняется неравенство

2 1 2-, 1 i. , . , -vfc+l 1

b) Если N = 4 * l - 1, / = 1,2,...., го выполняется неравенство ü±i_2 'v+1 | E (-в*- L.2Z>PO> E(-4t+1---

k=o N-CnIÍ 2~k 4 ^V-^ílí 1 *

с) Если N = 4 * I — 2, 1 — 2,3,...., то выполняется неравенство

tí> N-C¿:I к tí N ■ C¿J k

d) Если N — 4 * l — 3, / = 2,3,...., то выпотнястся неравенство

N + l 2 íll_¡

E í-1)^1—E (-1)

—0 N-ChIÍ ' * N-CnI! 1 "

2) Вероятности значения p(E), E С ЗЕ вычисляются по следующей формуле

m—1 1

fc=0 л ' °JV-1

Замечания. При ЛГ = 1 тривиальный случай 1 > ро > 0. При N = 2 получаем | > ро > 0. Понятно, что в силу того, что в функции Шеили выполнены соотношения

1 1 р(<ь)+р(х)=р(9)с)+р(хс), vxe3t,

i i

N■0^ N.($11-™

=>р(Е)+р(Еи{х}) =р(£°)+1)({£и{х}}С), Ух е X, £СЯ\{*},

то в качестве свободной переменной вместо р(0) можно рассматривать р($с) = р{Х) и алгоритм построения распределения случайной коалиции /С, чьи проекции на каждого игрока совпадают с распределением в функции Шепли, останется прежним.

Индекс Банзафа. Класс распределений случайной коалиции событий, проекции которого на каждого игрока К(т) имеют равномерное распределение

„гр\ _ / \Е\ - четная;

"1^1 -Р(0), \Е\ ~ нечетная.

0 < р(0) < 1

2n-I-

В диссертации показано, что данный класс распределений при N > 2 не удовлетворяет необходимому и достаточному условию дележа по Нейману - Моргенштерну и, следовательно, не является дележом в смысле классического определения дележа.

В третьем разделе рассматривается и анализируется применение разработанных в диссертации методов построения статистических зависимостей случайных событий в статистических системах потребительского выбора, а также предлагаются рекомендации по использованию разработанных в диссертации методов по распределению ресурса между элементами статистической системы. Результаты апробированы на реальной статистике двух фирм-производителей г. Красноярска.

Рассмотрим рынок мебели. На этом рынке имеются N наименований товаров 3£. Предположим, что на нем работают две фирмы, которые могут производить любые подмножества наименований товаров. Перед каждой фирмой стоит задача сформировать товарную политику, другими словами определить ассортимент выпускаемой продукции. Рассмотрим эвентологи-ческую игровую модель для решения поставленной задачи.

Предложение каждой фирмы будем описывать случайной коалицией событий АГ;. i := 1.2, где выражение 1С, = X означает, что произошло событие: «ьая фирма-производитель выпустила для продажи множество наименований товаров X». Назовем случайную коалицию событий Кг х - ым случайным производителем. Случайные производители в рассматриваемой модели являются игроками, которые сами могут выбирать любую свою чистую стратегию, то есть любое подмножество из 2^.

В работе рассматриваются три модели оптимального поведения игроков

• антагонистическая (некооперагивное поведение);

» равновесие по Нэшу (кооперативное поведение на основе необязательных соглашений);

• равновесие в совместных смешанных стратегиях (кооперативное поведение) .

Антагонистическая эвентологическая модель поиска товарной политики для фирмы. Предположим, что при выборе альтернативы игрок /С 1 принимает решение о производстве множества наименований товаров X независимо от того, какое множество наименований товаров решил производить игрок

а функции выигрыша игроков д\,д2 для любой пары X х У 6 2^ х связаны соотношением У) + д2(Х,У) - 0. Критерием оптимального

поведения является максимин.

Согласно теореме о максимине для игры двух случайных коалиций в смешанных стратегия всегда существует ситуация равновесия. Ситуаций равновесия в данном случае может быть несколько, но они обладают тем свойством, что выигрыши игроков одни и те же в любой из этих ситуаций.

Функцию игры будем формировать на основе трехмерной матрицы БКГ. Поэтому для каждого подмножества наименований товаров IcX необходимо получить значения экспертных оценок П\ х, Rl2X, Щх> г = 1,2 Это можно вычислить, например, как

• среднее арифметическое; RlkX = f£\ ** > ' = 1,2, к = 1,2,3;

• максимальное значение R\x = max{i?J.:c, х € г = 1,2, к = 1,2,3;

• минимальное значение Щх = х € ЗС}, г = 1,2, к = 1,2,3.

Из всех рассматриваемых маркетинговых стратегий метода БКГ наилучшей являет ся стратегия №1, поэтому одна из возможных формул для задания функции выигрыша имеет вид

У) = ах • |я£ - Я?| • ßv ■ sign(cos(fl{ - (1,1,1))), (11)

где ох- ßy ~ коэффициенты, которые могут иметь смысл, например, прибыли от производства множества наименований товаров X для одного случайного производителя и множества наименований товаров У для другого случайного производителя.

|Я* - = sj{R\x - Я{у? + (Щх - ЩуУ + (Щх - Щу)2,

sign(cos(HY -Я^; (1,1,1))) - знак косинуса угла между векторами Rx —Лу и (1,1,1). *

Нахождение ситуаций равновесия можно выполнить с помощью алгоритма фиктивного разыгрывания. Полученные оптимальные в смысле максимина стратегии р*(Х), X С X и д*(У), У С Э£ являются искомыми товарными политиками для одного случайного производителя и для другого соответственно. .< .

Эвентологическая модель поиска товарной политики для фирмы на основе кооперативного поведения игроков с необязательными соглашениями. Предположим, что как и в случае максимина при выборе альтернативы игрок ICi принимает решение о производстве множества наименований товаров

X независимо от того, какое множество наименований товаров решил производи! ь игрок К.2-

В рассматриваемом случае оптимальным критерием будем считать равновесие, по Ношу. Ситуация равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях существует, согласно теореме о существовании ситуации равновесия по Нэ-шу в смешанных стратегиях для игры двух случайных коалиции событий. Однако, если ситуаций равновесия несколько, то в отличие от максимина, в каждой ситуации выигрыши игроков различны, поэтому им необходимо каким-либо образом выбрать ситуацию равновесия, которой они должны придерживаться.

Теперь зададим функции выигрышей для случайных производителей следующим образом

дг(Х, У) = + - х

х818п(со8(Д!спу - Я2Хпу; (1,1,1)))) • ах, (12)

д2{Х,У) = + |Яупх _ Яупх|х

хз1^(соз(Я^ - Я^; (1,1.1)))) ■ ву. (13)

Нахождение ситуаций равновесия осуществляется методом Лемке - Хо-усона. Полученные оптимальные в смысле равновесия по Нэшу стратегии р'(Х), 1сХи Ч*(У), являются искомыми товарными политика-

ми для одного случайного производителя и для другого соответственно.

Эвентологическая модель поиска товарной политики для фирмы на основе кооперативного поведения игроков. Предположим, что оптимальное поведение игроков 1С\ и К.2 ~ есть равновесие в совместных смешанных стратегиях р*(Х,У) = Р(К.1 — Х,К.2 = У). Функции выигрыша игроков можно задать по формулам (12) и (13). Найти оптимальные товарные политики можно следующим образом: с помощью алгоритма Лемке Хоусона найти все ситуации равновесия по Нэшу, множество линейных комбинаций этих ситуаций равновесия и будет решение данной задачи.

Применение эвентологической игровой модели для формирования товарной политики. Рассмотрим предложенные модели для формирования товарной политики двух фирм-прои (водителей мебели г. Красноярска. Имеется статистика в виде двух таблиц экспертных оценок для 19 наименований товаров рынка производителей мебели. Одна таблица содержит экспертные оценки для одной фирмы-производителя, другая таблица для

Ов

ое

04

02

I

I

04

о?

I

2 3 4 5 9 7 8 9 10 11 12 13 15

1 2 3 4 5 3 7 9 9 10 1' 12 13 14 15

р(общее назначение) р(игры)

р(общее назначение, спорт)

=-461,8;

0.02; ц(общее назначение) = 0.33;

0.62; ц(общее назначение, огдых) — 0.67. 0.36;

92 = 461,8;

Рис. 1. Антагонистическая модель(максимум). Эта игра выгоднее для второго

случайного производителя.

второй фирмы -произвоителя. Поскольку 219 достаточно большое число, то предлагается множество наименований товаров сначала поделить на четыре группы по типу производства. Таким образом, выделено конечное множество групп наименований Э£ = {#1, х2 , х% ,14}, где х\ — мебель общего назначения, х2 мебель для игр, хл — мебель для спорта, х.\ — мебель для отдыха.

На рисунке 1 приведены оптимальные товарные политики для фирм.

При принятии практически любого решения, связанного с управлением распределения ресурсов, приходится «алкиваться с различного рода статистическими зависимостями, игнорирование которых может привести к неоптимальному использованию ресурсов. Предложенные в работе методы можно рекомендовать к практическому использованию в системном анализе, в теории случайных множеств событий, в задачах принятия решений, в задачах распределения ресурсов.

В диссертации решена задача разработки теоретико-игровых методов анализа случайных множеств событий, позволяющих решать задачи принятия решений в сложных системах и задачу коалиционного дележа в игре N лиц.

Рассмотрены системы, в которых исследуется конфликт двух случайных множеств событий. Обоснованы и применены методы теории игр для двух игроков к игре двух случайных коалиций событий. В результате вве-

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

дено новое понятие в теории игр — псевдоигрок. Введение понятия псевдоигрока привело к возникновению двух уровневой структуры в игре. Сформулированы и доказаны теоремы о максимине для игры двух случайных коалиций, о существовании равновесия по Нэшу для игры двух случайных коалиций событий. Эти теоремы утверждают существование оптимальных случайных коалиций в смысле максимина и в смысле равновесия по Нэшу.

Для решения задачи дележа в работе предложено рассматривать игру в образование и необразование коалиций как случайное множество событий, определенное под множеством всех игроков, распределение которого показывает каким образом происходит образование коалиций игроков. Определено случайно-множественное значение игры для игрока. Указана возможность применения решения игры двух случайных коалиций событий в формуле случайно-множественного значения игры. Сформулировано и доказано необходимое и достаточное условие дележа по Нейману-Моргенщтерну на распределение случайной коалиции событий. В рамках изложенного случайно-множественного подхода предложен алгоритм, с помощью которого строится класс распределений случайной коалиции событий, проекции которых на каждого игрока совпадают с распределением в функции Шепли. С помощью вышеупомянутого критерия проверено, что любое распределение и) полученного класса удовлетворяет условию дележа Неймана-Моргенштерна. Предложен алгоритм, с помощью которого строится класс распределений случайной коалиции событий, проекции которых на каждого игрока совпадают с распределением в индексе Банзафа. Данный класс распределений имеет один свободный параметр. С помощью вышеупомянутого критерия проверено, что любое распределение из полученного класса удовлетворяет условию дележа Неймана-Моргенштерна лишь в случае двух игроков. Если же ш роков больше двух, то индекс Банзафа не является дележом в смысле определения Неймана-Моргенштерна.

Полученные в работе результаты используются в учебном процессе Красноярского государственного университета в специальных дисциплинах. Результаты апробированы на реальной статистике двух фирм-производителей города Красноярска. Предложены рекомендации по использованию полученных результатов в системном анализе, теории случайных множеств событий, в задачах принятия решений, а также в задачах распределения ресурсов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Тяглова, Е.Г. Случайные коалиции событий как псевдо игроки и их игровое поведение / Е.Г. Тяглова //Вестник Красноярского государственного университета, физико - математические науки. — 2004. Хв 3. - С.139 - 143.

2. Тяглова, Е.Г. Формирование товарной политики фирмы случайно-множественными игровыми методами / Е.Г. Тяглова // Труды IV Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (март 2005). - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. - С.441 - 451.

3. Тяглова, Е.Г. Эвентологические модели товарного рынка / Е.Г. Тяглова // Труды IV Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (март 2005). — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. - С.452 - 458.

4. Тяглова, Е.Г. Кооперативное поведение псевдоигроков как модель товарного рынка / Е.Г. Тяглова // Труды III Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (март 2004)- Красноярск: ИВМ СО РАН, 2004. - С. 254 - 260.

5. Тяглова, Е.Г. Теорема о классе распределений случайной коалиции событий, удовлетворяющем условию дележа / Е.Г. Тяглова // Труды

11 Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (март 2003). Красноярск: ИВМ СО РАН, 2003. - С. 269 - 278.

6. Тяглова, Е.Г. Случайные коалиции событий и коалиционный дележ в примерах / Е.Г. Тяглова // Труды II Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (март 2003). Красноярск: ИВМ СО РАН, 2003. - С. 251 - 268.

7. Тяглова, Е.Г. Игровое моделирование рынка услуг / Е.Г. Тяглова /¡Труды конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН. - Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2001. - С. 87 91.

8. Воробьев, О.Ю., Тяглова, Е.Г. О теории игр случайных коалиций и коалиционном дележе / Е.Г. Тяглова, О.Ю. Воробьев. - М., 2000. -

12 с - Деп. в ВИНИТИ 08.11.00, 2814-В00.

9. Тяглова, Е.Г. Случайно - множественные игровые модели, описывающие взаимодействия случайного продавца и случайного покупателя на рынке товаров / Е.Г Тяглова // Труды межрегиональной конференции ММПО ( Красноярск 2002). Красноярск: КГТЭИ, 2002. -С. 229 233.

10. Тяглова, Е.Г. Случайно-множественная модель «компания случайный потребитель» / Е.Г. Тяглова //Труды I Всероссийской конференции тю финансово-актуарной математике и смежным вопросам (март 2002). - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. - С. 264 - 272.

11. Тяглова, Е.Г. Моделирование процесса поиска оптимального поведения компании и случайного потребителя игровыми случайно - множественными методами / Е.Г. Тяглова //Труды I Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (март 2002). Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. - С. 273-281.

12. Тяглова, Е.Г. Случайно-множественная модель «компания - случайный потребитель» и ее применение / Е.Г. Тяпова //Труды II Всеси-бирского конгресса женщин-математиков (в день рождения Софьи Васильевны Ковалевской) (15-16.01.2002 г. Краноярск). — Красноярск: КрасГУ, 2002. - С. 144 - 149.

Тяглова Елена Григорьевна

Теоретико-игровые методы анализа случайных множеств событий

Автореферат диссертации

Подписано в печать б'.СЪ 2СС<зг.

Уч.-нзд.л. 1.0

Тираж 100 экз.

Формат 60x84/16 Заказ ЛЧ7.

Отпечатано в типографии КГТУ 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26.

<

t

i

*

V

i

¿ ер ¿A

i

-532Î

Общая характеристика работы

Введение

1 Постановка задачи

1.1 Постановка задачи.

1.2 Предварительные сведения из теории игр.

1.2.1 Бескоалиционные игры

1.2.2 Кооперативные игры.

1.3 Предварительные сведения из теории случайных событий

2 Решение задачи

2.1 Случайные коалиции событий как псевдоигроки и игровые модели их поведения

2.1.1 Независимое поведение псевдоигроков

2.1.2 Совместное поведение псевдоигроков.

2.2 Случайные коалиции событий как игроки и игровые модели их поведения.

2.2.1 Независимое поведение игроков.

2.2.2 Совместное поведение игроков.

2.3 Необходимое и достаточное условие случайно - коалиционного дележа по Нейману - Моргенштерну.

2.3.1 Случайно - множественный подход к формуле дележа Вилкаса.

2.3.2 Класс распределений случайных коалиций событий, управляющий функцией Шепли.

2.3.3 Проверка условия дележа для класса распределений, управляющих функцией Шепли

2.3.4 Индекс Банзафа и случайная коалиция, им управляющая.

2.3.5 Проверка условия дележа для класса распределений, управляющих индексом Банзафа

2.3.6 Задача максимизации выигрыша игрока при классическом дележе.

2.4 Случайно-множественное значение игры в играх двух случайных коалиций событий.

3 Применение полученных результатов

3.1 Моделирование товарной политики на основе трехмерной матрицы БКГ.

3.2 Эвентологическое игровое моделирование товарной политики.

3.2.1 Антагонистическая эвентологическая модель поиска товарной политики для фирмы.

3.2.2 Эвентологическая модель поиска товарной политики для фирмы на основе кооперативного поведения игроков с необязательными соглашениями.

3.2.3 Эвентологическая модель поиска товарной политики для фирмы на основе кооперативного поведения игроков.

3.2.4 Применение эвентологической игровой модели для формирования товарной политики.

3.3 Рекомендации по использованию результатов диссертации

Актуальность темы. Теоретико-игровые методы анализа случайных множеств событий развиваются автором для построения и обобщения математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта. Характерной особенностью рассматриваемых систем является то, что они зачастую трудно поддаются формализации. Практический интерес к изучению этой важной задачи обусловлен потенциальными возможностями наиболее полно объяснить структуру зависимостей и взаимодействий случайных событий. В большинстве случаев участники сложных системы играют несколько ролей одновременно, причем данные роли между собой взаимодействуют. На данный момент существует ограниченное количество игровых математических моделей, описывающих игру N лиц, в которой игроки участвуют в конфликте двух сторон, при этом игроки влияют на действия каждого участника конфликта.

В теории игр N лиц основной задачей является задача дележа выигрыша коалиции игроков между ее участниками. Основоположниками теории игр Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном сформулировали определение дележа. В теории коалиционных игр наиболее известны три дележа: функция Шепли, индекс Банзафа и формула Вилкаса, причем первые два являются частным случаем формулы Вилкаса. В самой формуле Вилкаса не ясно из каких условий выбирать распределения для каждого игрока, которыми описывается участие каждого игрока в кооперативной игре.

Научная проблема заключается в создании методов построения игровых математических моделей, описывающих игру N лиц, в которой игроки участвуют в конфликте двух сторон. Поскольку рассматривается игра N лиц, то возникает необходимость в том, чтобы полученное решение можно было использовать в задаче дележа. В задаче дележа теории игр необходимо обобщить формулу дележа Вилкаса, с целью устранения произвола в выборе распределений для игроков, которыми (вписывается участие игроков в кооперативной игре.

Основная идея диссертации состоит в применении теории случайных множеств событий — эвентологии для построения эвентологических теоретико-игровых моделей принятия решений в условиях конфликта и для решения задачи дележа на основе классического определения.

Таким образом, объектом исследования диссертации являются множества случайных событий и их эвентологические распределения, а методы построения зависимостей и взаимодействий случайных событий представляют собой предмет исследования.

Целью работы является развитие теоретико-игровых методов анализа случайных множеств событий, позволяющих решать задачи принятия решений в сложных системах и задачу коалиционного дележа в игре N лиц.

Данная цель достигается решением следующих задач:

• разработка теоретико-игровых методов моделирования кооперативного поведения игроков с помощью аппарата теории случайных множеств событий;

• выявление и исследование вида структуры зависимости между игроками в играх двух случайных коалиций событий;

• постановка и решение задачи распределения выигрыша случайной коалиции событий между игроками коалиции, на основе классического определения дележа теории игр (дележа по Нейману-Моргенштерну);

• разработка алгоритмов построения классов эвентологических распределений, проекции которых на любого игрока совпадают с распределением в функции Шепли, в индексе Банзафа.

Методы исследования основаны на использовании теории вероятности, математической статистики, теории случайных событий и случайных множеств, теории игр, методов оптимизации, системного анализа, управления и обработки информации.

Основные результаты диссертации

1. Разработаны теоретико-игровые методы кооперативного поведения игроков с применением теории случайных множеств событий: определена игра двух случайных коалиций событий, сформулирована и доказана теорема о существовании равновесия по Нэшу в игре двух случайных коалиций событий, сформулирована и доказана теорема о максимине для игры двух случайных коалиций событий.

2. Выявлена и исследована двухступенчатая структура зависимостей в играх двух случайных коалиций событий: введено понятие нового объекта в теории игр — псевдоигрока, установлена его связь с обычными с точки зрения теории игр игроками.

3. Поставлена и решена задача распределения выигрыша случайной коалиции событий между игроками коалиции, на основе классического определения дележа теории игр: сформулировано и доказано необходимое и достаточное условие случайно - коалиционного дележа по Нейману - Моргенштерну.

4. Предложены и теоретически обоснованы алгоритмы построения классов эвентологических распределений, проекции которых на любого игрока совпадают с распределением в функции Шепли, в индексе Бан-зафа.

Научная новизна.

• Предложенные методы построения статистических зависимостей случайных событий основаны на случайно - множественной переформулировке теоремы о существовании равновесия по Нэшу и теоремы о максимине, что позволило упростить процесс построения множественных и количественных зависимостей между случайными событиями.

• Обоснованы модели поведения игроков и псевдоигроков в антагонистической игре, в игре с равновесием по Нэшу, в игре с совместным поведением случайных коалиций событий.

• Предложен и обоснован новый алгоритм построения класса распределений случайной коалиции событий, для которого выполнено условие дележа, что позволило уточнить формулу Вилкаса, сделать вывод, что индекс Банзафа не является дележом в смысле рассматриваемого определения.

• Предложены и обоснованы новые алгоритмы построения классов распределений случайной коалиции событий, проекции которых на любого игрока совпадают с распределением в функции Шепли, с индексом Банзафа.

Теоретическая значимость. Применение эвентологических методов позволило обобщить ранее известные в теории игр формулы дележа, сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие случайно - коалиционного дележа по Нейману - Моргенштерну.

Достоверность полученных результатов. Все результаты работы подтверждены сформулированными и доказанными теоремами.

Личный вклад автора. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Практическая значимость. Предложенный в работе аналитический способ нахождения оптимальных, в смысле рассмотренных критериев, двух эвентологических распределений позволяет использовать полученные эвен-тологические распределения для решения задачи дележа.

Результаты работы были применены для формирования товарной политики двух фирм. Полученные в работе результаты используются в учебном процессе Красноярского государственного университета при преподавании следующих дисциплин: «Прикладная эвентология», «Введение в эвентологию», «Экономическая эвентология».

Результаты диссертационной работы могут быть использованы в разнообразных экономических, социальных приложениях, требующих принятия решения в условиях конфликта, а также в задачах распределения ресурсов между элементами системы, которую можно описать с помощью случайного множества событий.

Апробация работы. Основные результаты, отдельные положения, а также результаты конкретных прикладных исследований и разработок докладывались и обсуждались на следующих Всероссийских и региональных конференциях и научных семинарах: I, II, III и IV Всероссийская конференция по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (Красноярск, 2002, 2003, 2004, 2005); Межрегиональная конференция «Математические модели природы и общества» (Красноярск, 2002); I, II и III Всеси-бирский конгресс женщин - математиков (Красноярск, 2000, 2002 и 2004); Конференция молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике (ИВТ СО РАН, Новосибирск, 2000, 2001); Конференция молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 1999, 2000, 2001, 2002); V ежегодная городская конференция по Финансово-Актуарной Математике (2000); XXXVII Международная Научная Студенческая Конференция (Новосибирск, 1999); ФАМ семинар ИВМ СО РАН (Красноярск, 1998-2006); Семинар кафедры прикладной математики (Красноярск, Крас-ГУ, 1998-2006); Семинар ИВМ СО РАН (2003,2006);

Публикации. По результатам научных исследований опубликовано 12 печатных работ, из которых 1 статья в периодическом издании по перечню ВАК, 1 депонированная статья, 10 работ в трудах всероссийских конференций.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3 разделов, содержит основной текст на 127 е., 12 иллюстраций, 5 таблиц, список использованных источников из 80 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации решена задача разработки теоретико-игровых методов анализа случайных множеств событий, позволяющих решать задачи принятия решений в сложных системах и задачу коалиционного дележа в игре N лиц.

Рассмотрены системы, в которых исследуется конфликт двух случайных множеств событий. Обоснованы и применены методы теории игр для двух игроков к игре двух случайных коалиций событий. В результате введено новое понятие в теории игр — псевдоигрок. Введение понятия псевдоигрока привело к возникновению двух уровневой структуры в игре. Сформулированы и доказаны теоремы о максимине для игры двух случайных коалиций, о существовании равновесия по Нэшу для игры двух случайных коалиций событий. Эти теоремы утверждают существование оптимальных случайных коалиций в смысле максимина и в смысле равновесия по Нэшу.

Для решения задачи дележа в работе предложено рассматривать игру в образование и необразование коалиций как случайное множество событий, определенное под множеством всех игроков, распределение которого показывает каким образом происходит образование коалиций игроков. Определено случайно-множественное значение игры для игрока. Указана возможность применения решения игры двух случайных коалиций событий в формуле случайно-множественного значения игры. Сформулировано и доказано необходимое и достаточное условие дележа по Нейману-Моргенштерну на распределение случайной коалиции событий. В рамках изложенного случайно-множественного подхода предложен алгоритм, с помощью которого строится класс распределений случайной коалиции событий, проекции которых на каждого игрока совпадают с распределением в функции Шепли. С помощью вышеупомянутого критерия проверено, что любое распределение из полученного класса удовлетворяет условию дележа Неймана-Моргенштерна. Предложен алгоритм, с помощью которого строится класс распределений случайной коалиции событий, проекции которых на каждого игрока совпадают с распределением в индексе Банзафа. Данный класс распределений имеет один свободный параметр. С помощью вышеупомянутого критерия проверено, что любое распределение из полученного класса удовлетворяет условию дележа Неймана-Моргенштерна лишь в случае двух игроков. Если же игроков больше двух, то индекс Банзафа не является дележом в смысле определения Неймана-Моргенштерна.

Полученные в работе результаты используются в учебном процессе Красноярского государственного университета в специальных дисциплинах. Результаты апробированы на реальной статистике двух фирм-производителей города Красноярска. Предложены рекомендации по использованию полученных результатов в системном анализе, теории случайных множеств событий, в задачах принятия решений, а также в задачах распределения ресурсов.

1. Адельсон-Вельский, Г.М., Арлазаров, B.JL, Донской, М.В. Программирование игр / Г.М. Адельсон-Вельский, B.JI. Арлазаров, М.В. Донской — М.: Наука, 1978. — 255с.

2. Ауман, Р., Шепли, J1. Значения для неатомических игр / Р. Ауман, JI. Шепли — Москва: Мир, 1977. — 359с.

3. Banzhaf, J.F. Weighted voting doesn't work: a mathematical analysis /J.F.Banzhaf //Rutgers Law Rev. 1965. - Vol. 19. - C.317 - 343.

4. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д.В. Беклемишев М.:"ФИЗМАТЛИТ", 2000. - 376с.

5. Беленький, В.З., Волконский, В.А., Иванков, С.А., Поманский, А.Б., Шапиро А.Д. Итеративные методы в теории игр и программировании / В.З. Беленький, В.А. Волконский, С.А. Иванков, А.Б. Поманский, А.Д. Шапиро — М.: Наука, 1974. 239с.

6. Берж, К.Общая теория игр нескольких лиц / К. Берж — Москва: Гос.изд.физ.мат.лит., 1961. — 127с.

7. Берн, Э. Игры, в которые играют люди. Люди, которые играют в игры / Э. Берн М.: Прогресс, 1988. — 400с.

8. Боровков, A.A. Теория вероятностей / A.A. Боровков — М.: Наука, 1986. 432с.

9. Венда, В.Ф. Системы гибридного интеллекта: эволюция, психология, информатика / В.Ф. Венда — М.: Машиностроение, 1990. — 448 с.

10. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель — М.: "Высшая школа", 1999.

11. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия /Гл.ред. О.Ю.Прохоров — М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. — 910с.

12. Вилкас, Э.Й. Оптимальность в играх и решениях / Э.Й. Вилкас — Москва: Наука, 1990. — 256с.

13. Воробьев, H.H. Основы теории игр. Бескоалиционные игры /Н.Н.Воробьев — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 496с.

14. Воробьев, H.H. Теория игр для экономистов-кибернетиков /Н.Н.Воробьев — М.: Наука, 1985. — 272с.

15. Воробьев, О.Ю. Среднемерное моделирование /О.Ю.Воробьев — М.: Наука, 1984. — 133с.

16. Воробьев, О.Ю. Теория случайных событий и ее применение /О.Ю.Воробьев Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. - 340 с.

17. Воробьев, О.Ю. Сет суммирование / О.Ю.Воробьев — Новосибирск: Наука, 1993. — 137 с.

18. Воробьев, О.Ю. Статистическая эвентология и финансово-актуарная математика / О.Ю. Воробьев // Труды I Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (март 2002, Красноярск). — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. С.5 — 12.

19. Высшая математика: Математическое программирование / A.B. Кузнецов, В.А. сакович., Н.И. Холод — Мн.: Вышейшая школа, 1994. — 286с.

20. Гермейер, Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами / Ю.Б. Гер-мейер — М.: Наука, 1976. — 327с.

21. Голденок, Е.Е. Статистическая модель потребительского выбора / Е.Е. Голденок // Труды I Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (март 2002, Красноярск). Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. - С.20 - 34.

22. Горелик, В.А., Кононенко, А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах / В.А. Горелик, А.Ф. Кононенко — М.: Радио и связь, 1982. — 144с.

23. Губко, М.В., Новиков, Д.А. Теория игр в управлении организационными системами / М.В. Губко, Д.А. Новиков — М.: Синтег, 2002. -148с.

24. Данилов, В.И. Лекции по теории игр / В.И. Данилов — М.: Российская экономическая школа, 2002. — 140с.

25. Дюбин, Г.Н. Введение в прикладную теорию игр / Г.Н. Дюбин — М.: Наука, 1981. 336с.

26. Жуковский В.И., Салуквадзе, М.Е. Некоторые игровые задачи управления и их приложения В.И. Жуковский, М.Е. Салуквадзе — Тбилиси: Мецниереба, 1998. — 462с.

27. Зинченко, В.И., Новиков, Д.А., Старостенко, В.В. Об одной теоретико-игровой модели фондового рынка /В.И. Зинченко, Д.А. Новиков,

28. B.В.Старостенко // Материалы IV Международной конференции "Современные сложные системы управления". — Тверь: ТГТУ, 2004. —1. C.294 297.

29. Young, H.P.The market value of a game. / H.P. Young // Laxenburg: IIASA working paper, 1979.

30. Kakutani, S. Generalization of Brower's Fixed Point Theorem. /S.Kakutani // Duke Math. Journal — 1941. — 8. — C.457 — 459.

31. Кантор, Г. Труды по теории множеств / Г. Кантор — М.: Наука, 1985.- 431с.

32. Караваев, А.П. Парето-эффективность игры центров в активных системах А.П. Караваев //Автоматика и Телемеханика. — 2002. — №12.

33. Карлин, С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. / С. Карлин — М.: Мир, 1964. — 838с.

34. Клайн, М. Математика. Утрата определенности / М. Клайн — М.: Мир, 1984. 447с.

35. Колмановский, В.Б. Игровые задачи управления. / В.Б. Колмановский- М.: МИЭМ, 1990. — 82 с.

36. Колмогоров, А.Н. Основные понятия теории вероятностей / А.Н. Колмогоров М.: ОНТИ, 1936. - 120 с.

37. Кузин, Б., Юрьев, В., Шахдинаров, Г. Методы и модели управления фирмой / Б. Кузин, В. Юрьев, Г. Шахдинаров — СПб.: Питер, 200. — 432с.

38. Кукушкин, Н.С., Морозов, В.В. Теория неантагонистических игр. / Н.С. Кукушкин, В.В. Морозов М.: МГУ, 1984. — 104с.

39. Кулжабаев, Н.М. Игровой анализ некоторых моделей системы «поставщик-потребитель» / Н.М. Кулжабаев // Моделирование и управление в развивающих системах. — М.: Наука, 1978.

40. Лабскер, Л.Г., Бабешко, Л.О. Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом. / Л.Г. Лабскер, Л.О. Бабешко — М.: Дело. 2001.

41. Льюс, Р.Д., Райфа, X. Игры и решения. Введение и критический обзор/ Р.Д. Льюс, X. Райфа — Москва: ИЛ, 1961. 643 с.

42. Мак-Кинси, Д. Введение в теорию игр. / Д. Мак-Кинси — М.: Физмат-гиз, 1960.

43. Мулен, Э. Теория игр с примерами из математической экономики /Э.Мулен — М.: Мир, 1985. 200 с.43. фон Нейман, Дж., Моргенштерн, О. Теория игр и экономическое поведение / Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн — Москва: Наука, 1970. 708 с.

44. Новиков, A.M. Методология игровой деятельности. / A.M. Новиков — М.: Издательство «Эгвес», 2006. — 48с.

45. Нэш, Д. Бескоалиционные игры / Д. Нэш // Матричные игры. — М.: Физматгиз, 1961. С. 205 — 221.

46. Оуэн, Г. Теория игр. / Г. Оуэн — Москва: Мир, 1971. — 232с.

47. Партхасаратхи, Т., Рагхаван Т. Некоторые вопросы теории игр двух лиц / Т. Партхасаратхи, Т. Рагхаван — М.: Мир, 1974. — 295с.

48. Петросян, JI.A., Зенкевич, H.A., Семина, Е.А. Теория игр / JI.A. Пет-росян, H.A. Зенкевич, Е.А. Семина — М.: Высшая школа, 1998. — 304с.

49. Петросян, JI.A., Кузютин, Д.В. Игры в развернутой форме: оптимальность и устойчивость / JI.A. Петросян, Д.В. Кузютин — СПб.: СПбГУ, 2000. 292с.

50. Петросян, JI.A., Гарнаев, А.Ю. Игры поиска / JI.A. Петросян, А.Ю.Гарнаев СПб: изд-во СПбГУ, 1992. - 216 с.

51. Печерский, C.JL, Беляева, A.A. Теория игр для экономистов. Вводный курс/ C.JI. Печерский, A.A. Беляева // — СП-б. Изд-во Европеского университета в СПб., 2001. — 342с.

52. Протасов, И.Д. Теория игр и исследование операций / И.Д. Протасов — Издательство: Гелиос АРВ, 2003. — 368с.

53. Робинсон, Дж. Итеративный метод решения игр / Дж. Робинсон // Матричные игры под ред. H.H. Воробьева — М.: Физматгиз, 1961. — 280с.

54. Розенмюллер, И. Кооперативные игры и рынки./ И. Розенмюллер — М.: Мир, 1974. 159с.

55. Семенова, Д.В., Голденок, Е.Е. Портфельный анализ на товарных рынках / Д.В. Семенова, Е.Е. Голденок // Всероссийская конференция «Математика, компьютер, образование»: Тез. докладов. — М.: МГУ, 1998. С.2.

56. Смольяков, Э.Р. Всегда существующее решение кооперативных игр и его применение к анализу рынков / Э.Р. Смольяков — М.: ВНИИСИ, 1978. — 52с.

57. Сорос, Дж. Алхимия финансов. Рынок: как читать его мысли. /Дж.Сорос М.: ИНФРА-М, 1996. - 416с.

58. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения / В. Фел-лер Т. 1,2 М.: Мир, 1984. - С.528 - 752.

59. Фишберн, П. Теория полезности для принятия решений / П. Фишберн М.: Наука, 1978. - 352с.

60. Харшаньи, Д., Зельтен, Р. Общая теория выбора равновесия в играх / Д. Харшаньи, Р. Зельтен — СПб.: Экономическая школа, 2001. — 405с.

61. Чхартишвили, А.Г. Теоретико-игровые модели информационного управления /А.Г. Чхартишвили — М.: ЗАО «ПМСОФТ», 2004. 227с.

62. Shapley, L.S. A value for n-person games. / L.S. Shapley // Contribution to the theory of games.— vol. II (Kuhn H. W., Tucker A.W., eds.), Annals of Mathematics Studies. — 28. Princeton: Princeton University Press. —1953. C.307 - 317.

63. Shapley, L.S., Shubik, M. A method for evaluating the distribution of power in a committee system. / L.S. Shapley, M.Shubik // Amer. Polit. Rev. —1954. Vol. 48.- C.787 - 792.

64. Shapley, L.S., Shubik, M. Quasi-cores in a monetary economy with non-convex preferences. / L.S. Shapley, M.Shubik //Econometrica. — 1966. — 34. N 4. - C.805 - 827.

65. Шикин, E.B. От игр к играм. Математическое введение Е.В. Шикин — М.: Едиториал УРСС, 2003. 112с.

66. Ширяев, А.Н. Вероятность / А.Н. Ширяев — М.: Наука, 1980. — 576с.

67. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

68. Тяглова, Е.Г. Случайные коалиции событий как псевдо игроки и их игровое поведение / Е.Г. Тяглова //Вестник Красноярского государственного университета, физико математические науки. — 2004.- № 3. - С.139 - 143.

69. Тяглова, Е.Г. Эвентологические модели товарного рынка / Е.Г. Тяглова // Труды IV Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смеэ1сным вопросам (март 2005). — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. С.452 - 458.

70. Тяглова, Е.Г. Кооперативное поведение псевдо игроков как модель товарного рынка / Е.Г. Тяглова // Труды III Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (март 2004). Красноярск: ИВМ СО РАН, 2004. - С. 254 - 260.

71. Тяглова, Е.Г. Случайные коалиции событий и коалиционный дележ в примерах / Е.Г. Тяглова // Труды II Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (март 2003). Красноярск: ИВМ СО РАН, 2003. - С. 251 - 268.

72. Тяглова, Е.Г. Игровое моделирование рынка услуг / Е.Г. Тяглова //Труды конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН. Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2001. - С. 87 - 91.

73. Воробьев, О.Ю., Тяглова, Е.Г. О теории игр случайных коалиций и коалиционном дележе / Е.Г. Тяглова, О.Ю. Воробьев. — М., 2000. — 12 с. Деп. в ВИНИТИ 08.11.00, № 2814-В00.

74. Тяглова, Е.Г. Случайно-множественная модель «компания случайный потребитель» / Е.Г. Тяглова //Труды I Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (март 2002). - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. - С.264 - 272.

75. Список обозначений и предметный указатель

76. К(х) — проекция случайной коалиции событий /С на игрока х, 53х С Т — конечное множество событий, 28 X = {х\,. х^} — множество игроков, 25 р смешанная стратегия, 24 рк — распределение вероятностей, 28