автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Интервальные методы в задачах построения моделей объектов и процессов управления

На правах рукописи

СКИБИЦКИЙ НИКИТА ВАСИЛЬЕВИЧ

ИНТЕРВАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ОБЪЕКТОВ И ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ

05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации

(по отраслям: энергетика, приборостроение, информатика, производственные процессы)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва - 2005

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский энергетический институт (технический университет)» на кафедре управления и информатики

Официальные оппоненты

Д.т.н., профессор Д.т.н., профессор Д.т.н., профессор

Орлов Александр Иванович Новиков Дмитрий Александрович Митрофанов Сергей Александрович

Ведущая организация

Федеральное государственное унитарное предприятие «Центральный научно-исследовательский институт управления, экономики и информации»

Защита состоится 16 февраля 2006 г. в 16.00 на заседании диссертационного Совета Д212.157.08 при ГОУВПО «Московский энергетический институт (технический университет)» по адресу: 111250 г. Москва, Красноказарменная ул., д. 14, малый актовый зал.

Отзывы на автореферат, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу: 111250 г. Москва, Красноказарменная ул., д.14, Ученый Совет МЭИ

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУВПО «МЭИ (ТУ)»

(ТУ).

Автореферат разослан «12» января 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета

7т

(Беседин В.М.)

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. При решении многих прикладных задач исследователь имеет дело с неточными или неопределенными данными с которыми необходимо выполнять различные функциональные преобразования. Результаты этих операций и их интерпретация зависят от принятой модели описания неопределенности и неточности данных.

Наиболее популярной моделью описания неопределенности и неточности данных является вероятностная, точнее статистическая модель, в которой неточные данные рассматриваются как случайные величины. Для данного типа моделей имеется хорошо разработанная теория, подкрепленная стандартными программными средствами.

Вместе с тем, в последнее десятилетие произошло энергичное развитие другой парадигмы описания неопределенности данных. Одной из причин такой смены стали, в том числе, произошедшие глобальные техногенные и природные катастрофы, другие масштабные явления, которые не имели прецедентов в прошлом, т.е. рассматривались как невероятные. Это привело к необходимости изменить методологический подход к оценке риска, отказаться от его трактовки, как вероятности и перейти к более широкому термину - возможности неблагоприятного события. Результатом стало появление термина «неопределенные числа», модели которых включают наряду с вероятностной также нечеткие и интервальные модели. Аналогичные изменения происходят в концепции описания неопределенности в метрологии, где от понятия неточности измерений осуществляется переход к понятию неопределенности измерений. В данных случаях, как и в целом ряде других, одной из основных моделей описания неопределенности является интервальная модель, когда неопределенность величины описывается в терминах интервала ее возможных значений.

В связи с этим проблема решения прикладных задач управления и построения моделей в условиях неопределенности интервальными методами является актуальной.

Работа проводилась в рамках тематики научно-технических программ Ми-

нобразования России «Научные исследования вьффж.ШКФДООВДЛ^НАодтетным

БИБЛИОТЕКА

•э М®,

С.Пете*4»г ти/ ,

направлениям науки и техники», «Малое предпринимательство в науке и научном обслуживании высшей школы», «Государственная поддержка региональной научно-технической политики высшей школы и развитие ее научного потенциала», по тематическим планам Минобразования РФ.

Цель и задачи работы. Целью работы является разработка интервальных методов в задачах построения объектов и процессов управления. В соответствии с этим основными задачами работы являются:

-сравнительный анализ концепций описания и обработки неточных и неопределенных данных;

-разработка методов и алгоритмов построения прямых и обратных характеристик объектов по интервальным данным;

-разработка метода идентификации моделей ошибок системы с использованием интервального подхода;

-разработка методов градуировки измерительных систем по интервальным данным и повышения точности градуировочной характеристики в мультисен-сорных измерительных системах;

-постановка задач управления и разработка методов и алгоритмов их решения для объектов с интервально заданными параметрами.

Научная новизна исследования состоит в следующих результатах: -предложен новый метод нахождения параметров статических характеристик объекта по интервальным данным, обеспечивающий корректную, однозначную обратимость полученной модели;

-для описания линейного сплайн-коридора с интервально заданными эмпирическими зависимостями разработан алгоритм аппроксимации с использованием неявных и полиномиальных функций, основанный на управляемом вычислительном эксперименте;

-показана принципиальная разница между моделями помех в эксперименте и в реальных условиях, предложен подход к идентификации модели помех;

-с использованием интервальных методов разработана новая методология градуировки измерительных систем, предполагающая раздельное решение задач

нахождения градуировочной характеристики и ее коридора неопределенности;

-предложен подход к анализу однофакторных мультисенсорных систем с интервально заданными данными и методы повышения их точности;

-разработаны новая постановка и метод решения задачи оптимального управления объектами при интервально заданных параметрах и определены априорные требования к точности идентификации объекта.

Практическая ценность. Полученные теоретические результаты доведены до уровня конкретных методик, алгоритмов и позволяют решать ряд важных прикладных задач в условиях неопределенности и неточности исходных данных, в том числе:

-построения прямых и обратных интервальных аналитических моделей сложных систем на основе неточных данных;

-градуировки систем измерения с учетом различных факторов неопределенности и моделей их воздействия на показания сенсора;

-формирования паспорта системы измерения с указанием ее рабочего диапазона, интервальных границ неопределенности измерения и допустимого диапазона изменения внешних факторов;

-анализа и синтеза систем управления при интервально заданных параметрах системы.

Результаты работы внедрены в ИВЦ - филиале ОАО «Мосэнерго», в Федеральном государственном унитарном предприятии «Особое конструкторское бюро Московского энергетического института», в учебном процессе МЭИ (ТУ) при подготовке бакалавров, специалистов и магистров по специальности 220201 «Управление и информатика в технических системах» и включены в дисциплины «Методы оптимизации», «Управление в больших системах». Результаты нашли отражение в учебно-методических пособиях.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на 17 международных, всесоюзных и всероссийских конференциях, проходивших в СССР, Российской Федерации, за рубежом в период с 1984 по 2005 годы.

Публикации по работе. Результаты диссертационной работы опубликова-

ны в 44 печатных работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 186 наименований, 3 приложений, имеет объем 310 страниц, включая 54 рисунка и 24 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования, определены цели и задачи работы, сформулированы научная новизна и практическая значимость полученных результатов, приводятся сведения об апробации и публикациях по теме диссертации.

Первая глава посвящена анализу подходов к описанию неопределенности и неточности данных, к решению задач построения прямых и обратных статических характеристик объекта (преобразователя) и оптимального управления динамическими системами при неточных и неопределенных данных.

Построение прямых статических характеристик преобразователей. Задача основана на концепции «черного ящика», предложенной Н. Винером (рис 1а). На рис 1а) приняты следующие обозначения: х - вектор входных (независимых) переменных, у - выходная (зависимая) переменная объекта, г - вектор помех, порождающих ошибки в выходной переменной, /(х, т.) - статическая характеристика преобразователя. В ходе исследования преобразователя наблюдению и измерению доступны только переменные х и у.

Задача нахождения характеристики преобразователя /(х) по данным измерений х и у детально разработана в рамках статистического подхода в предположении, что вид функции /(х) известен, а действия помех могут быть сведены к случайной, аддитивной ошибке измерения е (рис. 16). Наиболее детально проработан случай для линейной по параметрам функции преобразования вида:

у = Ъ1-<р1(х) + ...+Ьт-<ря(х) + е, (1)

где <р,(х) - известные базисные функции, ЬГ неизвестные коэффициенты, е- случайная, аддитивная, нормально распределенная ошибка измерения с нулевым математическим ожиданием.

В рамках методологии регрессионного анализа (РА) неизвестные оценки Ь1

коэффициентов модели (1) определяются методом наименьших квадратов (МНК) по известной формуле

5 = (/<'гР)~1 -ГТУ, (2)

где F -(ЛОг от) матрица значений базисных функций <р/х,), У- (Ых1) вектор значений зависимой переменной у, в N опытах, В=(Ьх,...Ь1,...Ьт)т - вектор искомых МНК-оценок. Доказано, что оценки (2) являются состоятельными, несмещенными и эффективными в статистическом смысле. Итоговая оценка характеристики преобразователя имеет вид

У = Ьх -ц>х{х) + Ъг •<р2(х) + ... + Ъя •<рт(х) . (3)

а)

X Преобразователь

№

б)

Рис. 1. Блок-схема объекта в виде «черного ящика»

Наличие модели (3) позволяет рассчитать предсказанное значение зависимой переменной у при заданном значении входной переменной х.

Дисперсия ошибки предсказания и доверительный интервал предсказания У в рамках статистического подхода находятся по формулам

(У(х)) = фтВф, [Я*)] = Кх) ± ■ <т(у(х),

(4)

где ог(у(х)) - дисперсия ошибки предсказания, 1 - ковариационная

матрица оценок, я2 - выборочная оценка дисперсии ошибки е; [£(*)] - доверительный интервал, - квантиль распределения Стьюдента, определяемый

для заданной доверительной вероятности а и числа степеней свободы {Ы-т).

7

Достоинством РА является его глубокая теоретическая проработка и наличие многочисленных пакетов программ статистического анализа.

Вместе с тем, РА обладает рядом недостатков, связанных с жесткими исходными предпосылками. В реальных условиях ошибки измерения могут описываться, как мультипликативными, так и сложными аддитивно-мультипликативными моделями. Во многих прикладных задачах распределение ошибки отлично от нормального; не разработано теоретически обоснованных процедур РА при наличии ошибок не только на выходе, но и на входе объекта; часто нет оснований единственным источником неопределенности данных считать случайность. Во всех перечисленных выше случаях нарушения исходных предпосылок РА его применение становится необоснованным и приводит к получению смещенных оценок коэффициентов и неадекватных доверительных интервалов.

Построение обратных статических характеристик преобразователей. Приведенная выше характеристика преобразователя позволяет решать так называемые «прямые» задачи, связанные с оценкой значения у при заданном значении х. Однако во многих случаях при исследовании систем автоматического управления, следящих систем, в приложениях к экономическим задачам и др., кроме прямой необходимо решать и обратную задачу, а именно находить оценку х при заданном значении у. Нахождение обратной функции является важным этапом при разработке измерительных систем. При этом на первом этапе по данным специального эксперимента строится характеристика сенсора у=^х), где х - измеряемая величина, у - выходное значение сенсора. Если прямая характеристика точно известна, то переход к обратной х=/!(у), которая получила название гра-дуировочной характеристики (ГХ), не представляет трудностей. Однако задача существенно осложняется, если прямая характеристика получена по неточным данным с применением статистических методов. В этом случае формальный переход задается следующими формулами

у = Ьх + Ь2 • х , х = -Ь1/Ь + (1/Ь2)у.

В рамках статистического подхода оценки Ъ1 являются случайными величинами, поэтому для нахождения обратной характеристики и ее интервала неоп-

ределенности требуется определить распределение отношения нормально распределенных величин, которые теоретически имеют неограниченный диапазон, что связано с возможностью деления на ноль. Кроме того, все оптимальные свойства МНК-оценок справедливы только для прямой модели. Определение доверительного интервала для предсказанного значения переменной х при статистическом подходе теоретически не обосновано и представляется крайне затруднительным. Таким образом, в рамках статистического подхода не удается получить теоретически обоснованной аналитической оценки ни предсказанного значения х, ни доверительного коридора для обратной характеристики.

Модели погрешностей и ошибок измерительных систем. Одним из недостатков модели ошибок (рис. 16), используемой в статистическом подходе, является необоснованное упрощение механизма воздействия помех на выходную величину. Существующий в метрологии подход основан на более широком спектре моделей ошибки используемого средства измерения (СИ). Паспортные характеристики точности СИ могут задаваться в одной из трех форм: абсолютной ошибки А, относительной ошибки 8, доверительного интервала единичного измерения. При известных значениях ошибок Д или 5 интервалы возможных значений неизвестного истинного значения х0 при наличии единичного измерения х записываются соответственно в виде:

Х-А <Х0 < Х+Д= *т„< Х0 < Хтах, X ^ Х„ <, X + 5-\х\. В рамках статистического подхода доверительный интервал единичного измерения вычисляется по формуле (4), недостатки которой обсуждались выше.

Вывод: статистические методы, применяемые для определения прямых и обратных характеристик, основаны на предположении, что единственным источником неопределенности являются случайные вариации, хотя на практике имеет место совокупное действие источников различной природы, включая систематические ошибки, ошибки округления, дискретизации и т.п. Учет этих факторов требует перехода к более универсальным моделям описания неопределенности при решении рассмотренных задач.

Задача оптимального управления динамическими системами. При решении

этой задачи описание объекта задается в нормальной форме и для линейного стационарного объекта имеет вид

х = Ах + bu(t), (5)

где: хеR" - вектор переменных состояния, меЯ1 - входное управляющее воздействие, А е R""" - матрица системы; Ь е Л" - вектор, компоненты которого непосредственно связаны с параметрами системы. Матрица А может иметь разные формы представления, но результаты, полученные для одной из форм записи матрицы А, будут справедливы и для других.

Задача состоит в нахождении управления, которое минимизирует критерий

оптимальности, в наиболее общем случае имеющий вид

<*

J = P(x0,xl[,t0,tk)+

<о

где функционал Р( ) определяет требование к точности управления в конечный момент времени, а функционал £(•) определяет требование к качеству управления в процессе управления.

В условиях, когда описание объекта является неточным, обычно применяют статистическую модель, при определении управления по которой приходится сталкиваться с теми же проблемами, что и при построении обратных моделей.

Новая парадигма описания неопределенности. Термин «неопределенность» впервые приобрел строгий научный статус в квантовой механике как принцип неопределенности Гейзенберга, из которого следует, что невозможно одновременно определить координату и импульс часгицы. Во второй половине ХХ-го века при изучении неравновесных динамических систем был открыт другой феномен, связанный с непредсказуемостью траектории системы в точке бифуркации. Все это привело к пересмотру научных и философских представлений о случайности, детерминированности, неопределенности и хаосе не только в теории эволюции, но также и в теории управления. Яркое выражение новый подход к описанию неопределенности нашел в двух прикладных задачах.

-при описании и выражении неопределенности измерения в метрологии;

-при решении задач оценки рисков.

Новый подход к описанию неопределенности измерений описан в «Руководстве по выражению неопределенности измерения», разработанном экспертами Международного бюро мер и весов, Международной электротехнической комиссии, Международной организации по стандартизации, Международной организации законодательной метрологии и ряда других международных организаций. Руководство направлено на установление общих правил оценки и выражения неопределенности измерения, которые могли бы быть применены к широкому спектру измерений. Основной целью документа является предложение простой общепризнанной методики для характеристики качества результата измерения, т.е. для оценки и выражения его неопределенности. В отличие от традиционного подхода признается, что даже когда все известные или предполагаемые компоненты погрешности оценены и внесены соответствующие поправки, все еще остается неопределенность относительно истинности указанного результата. В Руководстве подчеркивается, что термины "погрешность" и "неопределенность" являются различными понятиями. Погрешность результата измерения является идеализированным понятием, связанным с несовершенством измерения.

Неопределенность измерения трактуется как оценка, характеризующая диапазон значений, в пределах которого находится истинное значение измеряемой величины. Для этой оценки, определяющей полуширину интервала неопределенности, используют общий термин - «стандартное отклонение» и.

Для сохранения преемственности с предшествующей методикой, основанной на статистических методах, в Руководстве введены два метода оценки неопределенности:

- по типу А: путем статистического анализа рядов наблюдений;

- по типу В: иным способом, чем статистический анализ рядов наблюдений.

Оценку и, найденную статистическими методами, называют стандартным отклонением по типу А, а нестатистическими методами - стандартным отклонением по типу В.

Новый подход к оценке риска основан на описании неопределенности в

терминах не вероятности, а возможности неблагоприятного события. Переход от

11

вероятности к возможности является не просто сменой терминов, а сменой парадигмы и модели описания неопределенности. При оценке риска специалист имеет дело не со случайными, а с неточными и неопределенными данными. Для их описания в научный обиход был введен новый термин - "неопределенные числа" (uncertain numbers). Тогда неопределенность точного числа А=5 может описываться: в виде интервала В=[2; 6], в виде границ и лучшей оценки С=[2; 3; 6], параметрами нормального распределения случайной величины D=N(5; 1) или другим более сложным способом. Наиболее часто используются три модели: вероятностная, нечеткая и интервальная.

Вероятностная модель является наиболее проработанной в теоретическом плане и используется для описания неточных данных в предположении, что они являются случайными величинами.

Нечеткая модель изначально разрабатывалась с целью формализации действий оператора, управляющего объектом в условиях неопределенности с использованием нечетких инструкций.

Интервальная модель описания неопределенности и неточности данных исторически появилась раньше, чем другие модели и до сих пор широко применяется в метрологии, где интервал неопределенности описывается своими нижней хтт и верхней хшах границами: [х]=[х: хтт- хгаах].

Принципиальное отличие интервальной модели от вероятностной и нечеткой в том, что на интервале не определяется никакой меры, аналогичной плотности вероятности fix) или функции принадлежности ц(х). Все значения внутри интервала [х] считаются "равновозможными", что не означает тождественности интервальной модели и вероятностной модели с равномерным распределением случайной величины на интервале [*], т.к. результатом любой операции с интервалами будет интервал, тогда как операции с равномерно распределенными величинами приводят к изменению плотности вероятности.

Каждая из рассмотренных выше моделей неопределенных чисел порождает свою арифметику.

Арифметика интервальных чисел. Пусть даны два интервала [а\=[атт; аИ£Ц]

и [b}={bmin; bmax] и условный знак # обозначает любую арифметическую опера-

12

цию над ними типа +; х или /. Результатом операции является интервал [z], границы которого находятся как решение задач на минимум и максимум: й=[а]# [b]=[zm,„= mir1 (а# b); 2^= max (a# b)].

Арифметика случайных чисел. Результат z любой арифметической операции со случайными величинами х и у есть также случайная величина, распределение которой f(z) зависит от вида плотности распределения х и у, а также от характера арифметической операции. Так, сумма и разность равномерно распределенных величин с нулевым средним порождает распределение в форме трапеции. Нахождение плотности f(z) при умножении и делении случайных величин является довольно трудоемкой операцией.

Арифметика нечетких чисел. Арифметические операции над нечеткими числами осуществляются сведением нечеткого числа к множеству интервальных чисел с помощью «дефазификации» нечетких чисел. При заданной функции принадлежности /л эта операция реализуется выделением конечного числа ее дискретных уровней ///,...//„.../4, каждый из которых порождает обычный интервал, т.е. fit ->[amln; атаJ. Результаты арифметических операций рассчитываются для каждого уровня принадлежности д с использованием интервальной арифметики. «Сборка» интервальных оценок, полученных для фиксированных уровней д., формирует функцию принадлежности результата, т.е. интервальные операции являются составной частью операций над нечеткими числами.

Проведенный в главе анализ позволил сделать следующие выводы.

Задачи построения прямых и обратных статических характеристик преобразователей по неточным данным в настоящее время решаются в основном статистическими методами, когда единственным источником неопределенности считаются случайные вариации переменных. Эта гипотеза часто не выполняется на практике. Численные методы РА разработаны для простой модели аддитивных ошибок, которая на практике является скорее исключением, чем правилом. При действии более сложных моделей ошибок применение РА приводит к смещенным оценкам и неадекватному доверительному коридору для характеристики

преобразователя, найденной по неточным данным. Построение обратной характеристики с помощью РА теоретически не обосновано.

Задача оптимального управления динамическими системами детально разработана в классической детерминированной постановке и подкреплена эффективными численными методами. Однако имеется сравнительно мало исследований по особенностям постановки и решения этой задачи при интервальной модели описания неопределенности.

Рассмотрен новый подход к описанию неопределенности, реализованный в метрологии и в задачах оценки рисков, основанный на переходе от вероятностных моделей к интервальным и нечетким. Показано, что наименее ограничительной и наиболее универсальной является интервальная модель, которая позволяет описать широкий класс неопределенных, вариабельных и неточных исходных данных.

Проведенный анализ позволяет перейти в последующих главах работы к решению задач, сформулированных в цели работы.

Во второй главе с применением интервального подхода решаются задачи построения характеристик статических преобразователей вида (1), включая прямые многофакторные и обратные однофакторные характеристики. Методология ее решения далее описывается применительно к однофакторной модели у(х), что позволяет дать графическую интерпретацию результатов. Значения входной и выходной переменных, необходимые для решения задачи, в общем случае задаются не в виде чисел, как в РА, а в форме интервальных векторов [?]=([*;]...и ШКСу^-'-М-'-Ь'^Х которые формируют интервальные выборки размера N. Каждое интервальное наблюдение [х,] или [у,] определяет множество всех возможных значений переменной в данном опыте.

На рис 2 изображены четыре интервальных наблюдения функции у{х), зависящей от одной переменной х. При наличии ошибок как в переменной х, так и в у, интервальные наблюдения приобретают вид прямоугольников. Предполагается, что неизвестное истинное значение переменной достоверно принадлежит данному интервалу.

В частном случае, когда ошибки в переменной х отсутствуют, интервальная выборка имеет более простой вид:

X — (х1,...,Х1,...,Хх')

и

[Я=([У11-Ы-Ы).

Построение прямой модели включает ряд этапов.

1. Определение вида функции у(х). Адекватной интервальным данным естественно считать любую функцию, которая проходит через все интервальные наблюдения. На рис. 2 таковой является только логарифмическая кривая. Если адекватными являются несколько разных функций, то выбирается наиболее простая. Если через все интервальные наблюдения можно провести горизонтальную линию, это свидетельствует об отсутствии связи между переменными.

2. Расчет области возможных значений коэффициентов. Через интервальные наблюдения можно провести много функций заданного вида, каждой из которых соответствует свой вектор коэффициентов Ь,. Область О всех возможных значений коэффициентов является решением интервальной системы линейных уравнений

где Ь - вектор искомых коэффициентов, [/"] - матрица интервальных значений базисных функций (принципиально отметить, что в формуле (2) это обычная числовая матрица), [у] - вектор интервальных наблюдений выходной переменной. Область О - выпуклый многогранник, что позволяет при ее описании ограничиться вычислением её вершин Ь1, формирующих подмножество РУ. Каждой из

вершин соответствует характеристика, проходящая по границам интервальных

15

наблюдений. Отдельно рассчитывается средняя точка многогранника Ьср, которой соответствует характеристика, рассчитанная с использованием центров интервальных наблюдений.

3. Расчет интервального коридора неопределенности. При фиксированном значении х интервал неопределенности предсказанного значения у определяется

выражением [у] = [у'',у*} = {у-/(]ь,х), Ьеф}. Множество интервалов [у^ для разных значений х формирует интервальный коридор характеристики преобразователя.

На рис. За показан интервал неопределенности, построенный по трем интервальным наблюдениям для линейной функции у(х)~Ь0+ЬгХ. В этом случае область изменения коэффициентов содержит четыре экстремальных «вершины»; т.е. , Ь2, ¿э, ЬА]. Модели, соответствующие этим наборам коэффициентов, помечены на рисунке номера эксперимента в котором переменные установлены на своих верхних границах Х,шх >У,"> модель 2 с коэффициентами 62 - по данным нижних границ х1ЯШ ,у,„т; модели 3 и 4 с коэффициентами Ъг и Ъ^ определяются по двум наиболее разнесенным в области переменной у экспериментальным точкам. В данном случае коридор неопределенности описывается не гладкой функцией, как при статистическом подходе, а кусочно-линейным сплайном (рис.За). При этом ширина коридора неопределенности быстро возрастает вне диапазона изменения входной переменной в эксперименте (при 0<х<2).

Рис. За. Интервал неопреде- 36. Интервал неопреде-лености прямой функции лености обратной функции

:: модель 1 с коэффициентами 5, рассчитывается для

Построение обратной характеристики преобразователя. В технических приложениях задача обратного преобразования обычно решается для однофак-торных, монотонных функций, обеспечивающих однозначность преобразования. Примеры таких функций представлены в таблице.

Таблица

Типовые прямые и обратные функции

Прямая функция Обратная функция Формулы пересчета

Линейная у=Ь,+Ь2 х Линейная д:-а1+а2 у ¡¡1 =-6,/¿г, аг = МЪг

Логарифмическая у=Ь,+Ь21о§(х) Показательная х=а1Л0°'" ^=10"^, аг = 10"^

Степенная у=Ь,+Ь2хт Нелинейная х=(а,+а2 -у)1"" а жЛ,а =± 1 ъг' 2 Ь2

При нахождении коэффициентов и интервального коридора обратных функций, представленных в таблице, возможны два подхода:

1. Непосредственное построение обратной функции по интервальным данным.

2. Нахождение прямой функции по интервальным данным и ее обращение.

При первом подходе цель состоит в нахождении области изменения коэффициентов а/ функций, представленных во втором столбце таблицы. В этом случае происходит «инверсия» переменных, т.е. в качестве независимой переменной выступает интервальный вектор (>•], а в качестве зависимой вектор [х], но полностью сохраняется описанная выше методология построения прямой функции.

При втором подходе используются результаты, полученные по интервальным данным для прямой модели, и с использованием формул пересчета, представленным в последнем столбце таблицы, осуществляется расчет коэффициентов моделей обратной функции с помощью правил интервальной арифметики.

Оба подхода дают совпадающие результаты, однако второй предпочтительнее, т.к. обеспечивает построение одновременно прямой и обратной интервальных характеристик. Построенный по этой методике интервал неопределенности обратной функции показан на рис. 36.

Аппроксимация интервальных сплайн-моделей гладкими функциями. Выше было показано, что границы интервальных коридоров неопределенности линейных однофакторных моделей описываются линейными сплайн-функциями. Для удобства дальнейшей работы с ними целесообразно аппроксимировать сплайны гладкой аналитической функцией, в качестве которой в работе используются полиномиальные или неявно заданные функции.

Решение задачи включает следующие этапы:

1. В ходе управляемого вычислительного эксперимента генерируется набор точек {х„ у,} на границах интервального коридора, необходимый для расчета коэффициентов аппроксимирующей функции (рис. 4.).

2. С помощью МНК определяются коэффициенты аппроксимирующей функции у=с, ■<р,(х■) +....+ ск-<рк(х). Максимальная относительная ошибка аппроксимации <У^ = тах|0/,-;р()/у,! сравнивается с допустимым значением е.

3. Если Ьапр<г, задача считается решенной. Если же 0апр>е, то в план вычислительного эксперимента добавляется точка, в которой имела место наибольшая ошибка.

В работе показано, что: аппроксимация сплайна полиномом второго порядка и неявно заданными функциями обеспечивает высокую точность (¿^<1%); симметрия интервального коридора позволяет при аппроксимации квадратичной функцией провести все расчеты только для одной из границ с последующим простейшим расчетом параметров другой границы, что практически вдвое сокращает объем вычислений.

В третьей главе решаются задачи:

- разработки моделей воздействия помехи на объект в условиях реальной

Рис.4. Пример генерации экспериментальных точек

эксплуатации (далее - в условиях реальных измерений (РИ)) и при разных схемах эксперимента;

- идентификации моделей ошибок в условиях реальных измерений и при разных схемах градуировочного эксперимента (ГЭ);

- разработки методики градуировки СИ на основе 2-х этапного ГЭ;

- обработки интервальных наблюдений в однофакторных мультисенсор-ных системах.

Методология ГЭ предполагает, что значение входной величины х, , подаваемой на вход сенсора, измеряется с помощью другой, высокоточной СИ.

Модели воздействия помехи на объект.

Модели помехи е реальных условиях. Блок-схема, иллюстрирующая механизм возникновения ошибок для этого случая, представлена на рис.5а. На результат преобразования входной величины * в выходную у влияет не только измеряемая величина х0, но и неконтролируемые внешние факторы г/,..., 2/,... гт, где г, е[г,], I=1,...,т, т.е. предполагается, что во время проведения изме-

» Объект

1 X

Ь) Дй

Ах

Объект

с)

Объект Д)

Рис.5. Модели ошибок при РИ и в эксперименте

рений внешние факторы г, «пробегают» весь возможный диапазон их изменения.

Модели помехи при пассивном эксперименте. В этом случае (рис.5Ь) исследователь вынужден использовать значения входной переменной которые оказываются доступными в результате ее естественных флуктуаций. Хотя на вход поступает истинное значение входной переменной хд, в таблицу результатов записывается значение х, включающее ошибку измерения Ах. Показано, что при

такой схеме даже в случае линейной модели объекта МНК-оценки ее коэффициентов содержат систематическую ошибку, т.е. пассивный эксперимент неприемлем для построения характеристики объекта.

Модели помехи в активном эксперименте. В этом случае (рис.5с) исследователь реализует заранее заданную матрицу планирования, но в ходе управляемого эксперимента неизбежны ошибки Ах «установки» входной переменной на заданные уровни. В случае аддитивной ошибки на вход объекта подается значение х= Хо +Лх, а на выходе имеем (для случая линейной функции преобразования объекта)

у=Ь0+Ь1 х0+ Ъ; Ах= Ь0+Ь] хо+Ау. Показано, что при воздействии ошибок по схеме рис.5с МНК-оценки коэффициентов модели являются несмещенными.

Идентификация модели помехи тесно связана с условиями функционирования объекта и организацией эксперимента. В работе рассмотрены три наиболее часто встречающиеся модели ошибок для линейной функции преобразования объекта вида у=Ь1+Ь2-х.

Идентификация модели помех СИ в реальных условиях. Алгоритм построения ГХ можно представить с помощью схемы (рис. 6), на которой СИ включает два блока: сенсор (измерительное устройство) и вычислитель для расчета результата измерений. Измеряемая величина х0 воздействует на вход сенсора и преобразуется в выходную величину у, на результат преобразования влияют внешние факто-

ры 2;, 22,— 2т. Во втором блоке по заданной обратной характеристике рассчитывается оценка х измеряемой величины.

Предположим, что при отсутствии внешних факторов функция преобразования сенсора (прямая функция) и ГХ описываются линейными уравнениями

Ъ\ 1

уо = Ь,+ Ъ2-хо=> х0=~т~ + ~-Уо=а,+ а2-у0, (6)

ьг Ь1

где Ъ, - коэффициенты прямой, = -Ъ\/Ъ2, а2 ~ 1 /Ъ2 - коэффициенты обратной функций преобразования, хо - оценка измеряемой величины при отсутствии шумов. Рассмотрим три модели влияния помех, которые порождают разный тип ошибок измерения: аддитивные, мультипликативные, аддитивно- мультипликативные помехи.

Аддитивные помехи. В этом случае функция преобразования сенсора линейна относительно как измеряемой величины х0, так и внешних факторов г„ т.е.

т

>'= Ь,+ Ъ2 -Хо+ Y^Ci^Zi=Уo +Лу, (7)

1=1

где Ду - суммарная ошибка на выходе сенсора, вызванная влиянием внешних факторов в условиях РИ; с, - коэффициенты влияния внешних факторов г,. Используя (6)-(7), получим выражения для оценки хгш измеряемой величины и реальной ошибки измерения Ах^ на выходе СИ

1 1 1 т *юм= хо+ — Ду Д^реал= — -ДУ = — -Ус, • г, . (8)

о2 Ъг Ьг м

Из (8) следует, что для рассматриваемого случая реальная ошибка Ахрел, не зависит от Хо.

Мультипликативные помехи. Рассмотрим простейшую мультипликативную модель влияния помех

т т

у= Ь,+ -2.-х0 — у о + Хо'^а,-г, =у0+Ау, (9)

»! «1

где <1, - коэффициенты влияния внешних факторов г,. Тогда можно записать выражения для оценки хюм измеряемой величины и ошибки РИ Ахреа,

= + х0 •

т

Ы_

я

где ¿¡,еал - относительная ошибка РИ, порождаемая помехами, описываемыми моделью (10). При ограниченных диапазонах изменения г, интервал значений ¿>рсал - постоянная величина.

Аддитивно-мультипликативные помехи. Рассматриваемая модель помех является комбинацией моделей (7) и (9). При этом функция преобразования сенсора имеет вид неполной квадратичной зависимости:

В (11) имеются две составляющих ошибок на выходе сенсора: Ау( 1) и Ау(2).

Выражения для оценки х измеряемой величины х0 и ее абсолютной ошибки на выходе СИ имеют вид

т.е. ошибка измерения на выходе СИ включает постоянную и зависящую от значения измеряемой величины составляющие. При этом ни абсолютная, ни относительная ошибки в отдельности не могут быть использованы в качестве характеристики точности СИ в случае аддитивно-мультипликативной модели влияния помех.

Проведенный анализ различных схем воздействия помех на ошибки измерения позволяет сделать следующие выводы:

абсолютная погрешность Ах (постоянная на всем диапазоне измерений) может быть использована в качестве характеристики точности СИ только для линейной модели аддитивных помех;

относительная погрешность ёх может быть использована в качестве характеристики точности СИ в случае модели мультипликативных помех, содержащей только произведения переменных влияния; даже для простой аддитивно-мультипликативной модели, учитывающей только линейные члены и произведе-

Хш*=х0+~—Ахреал= — -(Ус,-г, -г,), (12)

Ъг Ь2 %

ния измеряемой величины х0 и внешних факторов, точность СИ не может быть описана в терминах абсолютной или относительной погрешностей.

Таким образом, корректное описание ошибки измерения возможно только при идентификации модели воздействия помех.

Модели ошибок при градуировке. Различают два типа ГЭ - пассивный и активный градуировочный эксперимент (АГЭ), которые порождают принципиально разные модели ошибок. О неприемлемости применения пассивного эксперимента уже на стадии построения прямой характеристики сенсора было сказано выше.

При построении коридора ошибок ГХ необходим учет принципиальной разницы между источниками и природой ошибок в АГЭ и ошибок при проведении реальных измерений, которые вызываются следующими причинами:

-основным источником ошибок в АГЭ являются ошибки «установки», которые отсутствуют в условиях РИ. При РИ источником ошибок является влияние на сенсор внешних факторов (температура, влажность, освещенность и т.п.);

-АГЭ, как правило, ограничен во времени, поэтому влияние внешних факторов 2„ искажающих показание сенсора в условиях РИ, проявляется в ходе эксперимента лишь в ограниченной степени;

-в сравнении с ошибкой измерения в реальных условиях АГЭ с одной стороны занижает составляющую ошибок, связанную с влиянием возмущающих факторов шумами в условиях РИ, а с другой стороны вносит дополнительную составляющую ошибки, порожденную ошибками «установки».

Принимая во внимание вышеизложенное, можно сформулировать следующее утверждение: традиционный подход к определению коридора ошибок по данным эксперимента является некорректным, т.к. игнорирование разницы между условиями эксперимента и РИ приводит к искаженной и необоснованной оценке ошибки на выходе.

Методология планирования АГЭ разработана для устранения приведенных недостатков традиционного подхода и нахождения обоснованной оценки коридора ошибок ГХ. Важное отличие предлагаемой методологии от традиционной

состоит в том, что задача построения ГХ и задача определения погрешности СИ решаются раздельно и для их решения применяются разные планы АГЭ.

Разработан детальный алгоритм решения задачи градуировки СИ, описание которого ниже приводится в предположении линейности функции преобразования, когда у= Ь]+ Ь2-хо,х0=а1+ а2у.

Алгоритм включает следующие шаги:

1. Проведение АГЭ №1 с изменением измеряемой величины в диапазоне Яотш^о^отах при неизменных внешних условиях. Оценка коэффициентов а0, а\ прямой характеристики сенсора и их погрешностей по данным эксперимента.

2. Проведение АГЭ в точке хосрсд при изменении предполагаемых доминирующих факторов г, внешней среды и построение многофакторной модели у=Дхосред, г<)- Определение на ее основе допустимого диапазона изменения факторов г, из условия заданной допустимой ошибки А^.

3. Определение результирующего интервала неопределенности и рабочего диапазона СИ.

4. Формирование паспортной характеристик СИ.

Обработка интервальных наблюдений однофакторных мультисенсорных систем. Задача возникает, когда для измерения одной физической величины х используются т различных датчиков. Подобные системы используются для контроля однородности физических полей, повышения точности измерений и т.д.

Предполагается, что в ходе эксперимента получена совокупность {xJ; [у1Р]-\у\т)]> где х] - значение входной величины в у'-ом наблюдении,

[у^] - интервальное значение на выходе /-го сенсора в этом же наблюдении. На основе исходных данных для рассматриваемой однофакторной мультисенсорной системы с т датчиками возникает необходимость решать следующие задачи:

- выбора из заданного множества т сенсоров «наилучшего» датчика (если такой существует);

- исключения из заданного множества «наихудших» датчиков и формирования подмножества к датчиков, сопоставимых по точности измерения;

- определения интегрированной характеристики исследуемой системы на основе выделенного подмножества к датчиков.

Решение задач основано на предположении, что каждый интервал неопределенности достоверно содержит неизвестное истинное значение выходной величины в данном опыте, т.е. выполняется условие

При этом «наилучшим» называется датчикр, для которого:

Ь^]С[>■;"], V; = 1...Л',У/ = 1...7Я, Ыр, (13)

т.е. все интервальные наблюдения точного сенсора вложены в соответствующие интервалы остальных сенсоров. «Наихудшим», г.е. наименее точным, называется такой датчик с номером м>, для которого выполняется условие

Ь?] с {у(;]1 V/=1 ...ЛГ, V/ = 1.../И.7 (14)

Геометрически условие (14) означает, что в любом наблюдении интервал наихудшего сенсора целиком накрывает интервалы всех остальных сенсоров.

Все сенсоры подмножества Я, включающего к сенсоров, считаются эквивалентными по точности, если внутри исследуемого подмножества не существует наилучшего и наихудшего сенсора.

Алгоритм обработки результатов интервальных наблюдений, полученных с использованием т сенсоров, включает следующие шаги по выделению подмножества Я эквивалентных по точности датчиков:

1. Проверяется условие (13). Если существует единственный наиболее точный сенсор с номером р, то процедура анализа прекращается. При этом искомое подмножество 5 содержит единственный сенсор. В противном случае переход к следующему шагу.

2. Проверяется условие (14). Путем последовательного исключения наихудших датчиков формируется множество 5 эквивалентных датчиков.

3. Формируется интервальный коридор интегрированной характеристики на основе подмножества 5 выделенных датчиков.

Для интегрирования информации, полученной от разных датчиков для каждого 1-го наблюдения, могут быть использованы различные методы, среди которых (для упрощения текущий индекс i интервального наблюдения опускается):

среднее арифметическое интервалов

*

среднее взвешенное интервалов

м;=£«,м,,1>,=1, (16)

где веса а, отражают степень достоверности показания соответствующего датчика. Формулу (16) целесообразно применять, если имеется дополнительная информация о достоверности показаний датчиков, включая их точность, надежность, характер зависимости: линейная, нелинейная и т.п. Кроме того, для агрегирования информации может быть использовано пересечение интервальных наблюдений.

В главе описан алгоритм сплайн-апроксимации интегрированного коридора ошибок и приведены численные примеры его реализации.

В четвертой главе разработаны методы и алгоритмы решения задачи управления линейным стационарным объектом по квадратичному критерию

ч

(17)

'о

при известных с точностью до интервалов параметрах объекта и состояния системы. Целью является разработка общей методологии решения таких задач в условиях интервальной неопределенности.

Решение задачи оптимального управления. В классической теории оптимального управления постановка задачи имеет вид: найти такое оптимальное управление линейным стационарным объектом (5), которое переводило бы его из заданного состояния 5(г0) = х0 в состояние х^к) = хк, обеспечивая при этом минимум критерия (17).

Известно, что оптимальное управление для поставленной задачи имеет

вид:

,=1 р 1

где РЛ„+, >#,.„+, представляют собой (и+г)-е составляющие векторов р] и соответственно; р, е Я2" - собственные векторы матрицы

А ЬЬТ/2

Q =

О -Ат

соответствующие собственным числам Я,,/ = 1,2,...,и; q, еЛ2" - собственные векторы матрицы g, соответствующие собственным числам — Я,,г =1,2,...,«; г,,а,, /' = 1,2,- параметры, определяемые из соотношений

x(t) = A5c(t) + bbTa(t)/2, â(t) = -ATâ(t).

Если матрица состояния А имеет диагональную форму, то оптимальное управление при точно известном описании объекта принимает вид:

n(0 = i(®,e-v)/2. (18)

В работе с использованием классических методов, разработанных для точно известного описания системы, для случая, когда параметры системы известны с точностью до интервала, т.е.

[¿] = № + [Ь]и(0, (19)

последовательно решаются задачи: прогноза состояния системы; определения множества параметров управляющих воздействий, обеспечивающих заданную точность решения; получения необходимых и достаточных условий существования решения; определения подмножества правильной формы (и-мерного параллелепипеда) полученного множества параметров; учета фактора наличия связи между параметрами управляющего воздействия.

Необходимым условием решения задачи управления является управляемость системы. В работе показано, что необходимое и достаточное условие управляемости системы с диагональной матрицей имеет вид: [a,] n[aj] = <Д[Л] = {a,),i,j = 1Д...Л i*j.

Прогноз состояния системы. В отличие от случая точно известного описания системы интервальная неопределенность на значения ее параметров приводит к тому, что в каждый момент времени прогноз состояния системы будет определяться коридором ее возможных значений. В работе показано, что множество параметров , определяющих прогноз состояния системы при реализации воздействия (18), задается соотношением

Q, = {œ е R" : 3G е G{I),Gcb = с(/)},

где GW=te„(7)U = )/№,№,]))}, с(1) = хк -е«1*'"^,

и представляет собой объединение конечного числа выпуклых областей ûf, к = 1,2,... Д" :

Qf =

min G(A)ô й шах с(А),

geg(a) аеа(/)

max G(A)a> > min с (А).

geg(a) aea(i)

Таким образом, задачу определения множества удается свести к решению системы линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами.

Решение задачи оптимального управления с заданной точностью. Проведенный в работе анализ показал, что при наличии интервальной неопределенности на параметры объекта решение задачи из условия обеспечения х{1к) - хк для всех возможных значений параметров получить не удается. Поэтому в работе обоснована постановка задачи управления, когда конечное состояние задается с точностью до интервала, т.е. )ехк(Г)=[хк,хк], и определяется такое множество управляющих воздействий, каждое управление из которого гарантирует заданную точность решения для УА е А(Г). При этом значения границ интервала

х'к, задаются исследователем из условия достаточной точности решения. Решением задачи в данной постановке будут управляющие воздействия, параметры которых задаются множеством

П2 = {ё е Я" : УС7 е в(1\ва е с,(/)},

ГДе с,(/) = г4(/)^(/К""о) =

[Х1с,п]вХо,пе

У

Показано, что множество определяется как решение системы линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами 0(1)3 = с,(I) и представляет собой выпуклый многогранник с граничными гиперплоскостями, определяемыми системой неравенств

а2 =

шах (?<» 2 с,+,

СбО(/1 1

тш Оа > с,", сес;(/) 1

где с[,с* - граничные значения вектора с, (/).

Показано, что необходимым условием существования множества ^является выполнение неравенства:

Гк -х; > тах(еж/)(''~'о) • £,)- лип■£,) ЛеЛ(У) ЛеЖО

В работе сформулировано также достаточное условие существования множества П2, требующее выполнения соотношения

6<У0 сс,(/),

где: вектор 30 является решением системы уравнений О0со0 =с0> с0 - центральная (по элементам) матрица из множества матриц С(/): С0 с0 - центральный (по элементам) вектор из множества векторов с, (/).

Условия, аналогичные приведенным выше, но в более жестком варианте могут быть получены как решение задачи: множество П2 существует, если

ти^(<3) = тш Л>;-г;)2+]>,-= о,

V 1=1 '=1

где

л

с~ ,если тт У >сГ;

л л

тр У 8,(0 ,если тахУ^

с*,если тахУ £ а>у

СО, > с, ,

Определение подмножества правильной формы максимального объема. Множество О, представляет собой выпуклый многогранник и его определение является трудоемкой в вычислительном отношении задачей. Кроме того, такое представление множества управлений является недостаточно наглядным и затрудняет выбор единственного управления. Поэтому в работе разработан алгоритм определения прямоугольного многогранного подмножества П\ максимального объема, удовлетворяющее условию П2 с 02. Пример построения множеств П2и П2, а также изменения состояния объекта при реализации управляющих воздействий из соответствующих множеств приведен на рис. 7 и рис. 8.

О 2 -02$

Рис. 7. Графическое представление множества 02 и множества

Рис. 8. Изменение состояния объекта во времени

Решение задачи при наличии связи между параметрами управляющего

воздействия. До сих пор при определении множеств П2 и элементы матрицы

(7(/) считались взаимно независимыми. Однако в ряде случаев (в зависимости от

вида матрицы А(1), критерия задачи) они могут включать, одинаковые элементы,

с которыми в дальнейшем проводятся интервальные арифметические операции.

30

Именно такая ситуация имеет место в рассматриваемой задаче, т.к. в различные элементы матрицы G(I) входят одни и те же интервально заданные параметры системы:

gn = - e-(0- + 0'"»)/{2(a, + а,)}, а, е [а,];

ga = ~ е-1а'+а^)!{2(а1 + а2)},а2 е[а22).

В выражениях gn и g п параметр а, принимает одно и тоже значение из интервала [ a ¡ ] , поэтому элементы g :J матрицы G(I) не могут рассматриваться как независимые интервалы. В этом случае будем говорить, что существует связь между элементами и gl2 , а матрица G(I) является матрицей со связанными элементами.

Показано, что множество П3 параметров управляющих воздействий, гарантирующих решение задачи с учетом связи между элементами, является выпуклым и всегда включает множество решений Q2 :П2 с Í23. Разработан алгоритм построения множества 03.

Получены соотношения, позволяющие определить прямоугольное многогранное подмножество О, максимального объема, удовлетворяющее условию

filcfij. Показано, что П'2аП'3. Таким образом, учет связи между элементами матрицы G(J) позволяет получить более широкое множестве параметров управляющих воздействий.

Решение задачи при интервальной неопределенности на параметры задачи. Рассмотрены особенности решения задачи оптимального управления для системы с заданными с точностью до интервала не только параметрами объекта, но и вектора состояния. Показано, что общая методика решения задач прогноза состояния объекта и управления с заданной точностью совпадает с выше рассмотренной для случая интервальной неопределенности только в параметрах системы и может быть успешно применена и к другим формам описания матрицы А(1), в частности, так называемой канонической. Получены соотношения для соответствующих множеств, задающих допустимые значения параметров управляющего

воздействия. Показано, что они представляют собой выпуклые многогранники и

31

могут быть построены из решения соответствующих систем линейных интервальных уравнений. Для задачи управления сформулированы условия отсутствия решения, наличия единственного или множества решений. Сформулированы требования к точности идентификации параметров задачи.

Решение задачи регулирования. Рассмотрена задача регулирования общего вида с критерием

<Ю

J = J(3fг (t)Qx(t)) + u\t))dt min 5

Iо

где Q = сст е M"*"(R) - положительно полуопределенная симметричная матрица, когда оптимальное управление ищется в классе линейных регуляторов.

При точно известном описании объекта (5) решение имеет вид

u(t) = -bTVx(t)=-k'x(t), где к а к{1) с М""1(Щ - подлежащий определению вектор коэффициентов регулятора; x(t) е R" - вектор текущих состояний системы, V- матрица решений алгебраического уравнения Риккати.

Показано, что в том случае, когда матрица системы известна с точностью до интервала (соотношение (19)), регулирующее воздействие определяется из соотношения

u(t) = -bTVx(t),V e Qv, где: Qу = {V е : (VA e A(!)),(3Q e Q(l)),(ATV + VA-VbbTV = -0}, ß(/) - интервальная положительно полуопределенная матрица, задающая точность решения задачи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе проведенных исследований в диссертации получены следующие результаты.

Проведен анализ применения статистических методов к решению задач построения прямых и обратных статических характеристик объектов (преобразователей) по экспериментальным данным и показано, что помимо общеизвестных ограничений (не соответствия во многих случаях реальности базовых предпосы-

лок регрессионного анализа о случайности, нормальности и аддитивном характера ошибок эксперимента) необходимо отметить следующие недостатки:

- классическая методология регрессионного анализа не позволяет включить в рассмотрение информацию об ошибках нестатистической природы;

- разделение переменных на точно измеряемые "независимые" и измеряемые с ошибками "зависимые" для большого числа приложений является искусственным и нарушается при построении обратных характеристик;

- в рамках регрессионного анализа не разработан теоретически обоснованный метод построения обратной характеристики и её доверительного интервала;

- в рамках статистического подхода к градуировке систем измерения не рассмотрена задача идентификации модели помех в ходе активного эксперимента и при измерениях в реальных условиях, которые принципиально различаются по источникам и природе неопределенности.

Проведен анализ новой парадигмы описания неопределенности, основанной на моделях неопределенных чисел, и показано, что:

- вероятностная модель может быть использована только в случае, когда неопределенность связана со случайной вариабельностью, описание других источников неопределенности в рамках этой модели затруднительно;

- нечеткая модель пригодна для описания любых источников неопределенности, однако она базируется в основном на экспертных данных, ее применение встречает методологические трудности при сравнении и ранжировании нечетких чисел и сглаживании нечетких данных;

- интервальная модель, обеспечивающая описание неопределенности и неточности данных при любых источниках погрешностей, включая источники, не связанные со случайной вариабельностью, является наиболее универсальной.

Полученные в работе результаты основываются на интервальных моделях описания неопределенности, которые позволяют учесть как статистические данные, так и любую априорную информацию о неточности и неопределенности

данных, включая экспертную информацию о саютоматнчоокнх ошибках, ошибках

РОС НАЦИОНЛ.-:ЬН г, БИБЛИОТЕКА

округления, дискретизации и т.п.

СПетерДург ' Ю К к* '

I II *

С использованием интервальных моделей в работе получены следующие результаты.

1. Разработан метод построения прямых и обратных характеристик преобразователей по экспериментальным данным, представленным в интервальной форме, который позволяет рассчитать характеристику обратного преобразования как в виде однозначной функции, так и симметричного относительно неё гарантированного интервала неопределенности. Предложены алгоритмы аппроксимации сплайн-функций, описывающих границы интервального коридора неопределенности гладкими функциями второго порядка, и вычислительного эксперимента для их построения.

2. Решена задача идентификации модели помех, представленных в интервальном виде, в системах измерения и показано что:

- абсолютная ошибка может быть использована в качестве характеристики точности СИ только для линейной модели аддитивных шумов;

- относительная ошибка может быть использована в качестве характеристики точности СИ только в случае модели мультипликативных шумов;

- для аддитивно-мультипликативной модели точность СИ не может быть описана в терминах абсолютной или относительной ошибок.

3. Показано, что при проведении градуировки СИ ошибки в реальных условиях и в градуировочном эксперименте имеют принципиально разную природу, а их модели - разный состав переменных, так как ГЭ ограничен во времени и в пространстве и в ходе его реализации невозможно воссоздать условия будущих реальных условий измерений с широкой вариацией внешних факторов.

4. Предложен новый, основанный на интервальной модели ошибок, подход к градуировке измерительных систем, в котором задачи построения ГХ и определения погрешности измерительной системы разделяются и для их решения применяются разные планы активного ГЭ. Показано, что в ходе обработки результатов эксперимента по построению ГХ ошибки установки можно исключить из рассмотрения. Описанная формализованная процедура по постановке решаемой задачи соответствует современному метрологическому подходу, когда указываются границы интервала неопределенности. В рамках принятого подхода

34

эти границы описываются линейным сплайном.

Решена задача отбора лучшего сенсора, отбраковки заведомо непригодных сенсоров, разработан алгоритм агрегирования интервально заданных результатов измерений нескольких отобранных сенсоров, что позволяет повысить точность градуировочной характеристики.

5. Решена задача оптимального управления в ее классической постановке для линейной динамической системы при интервальной модели задания исходных данных. Для данной модели проведен анализ задачи и сформулированы необходимые и достаточные условия устойчивости и управляемости. Решена задача определения множества управляющих воздействий, гарантирующих заданную точность решения, и получены необходимые и достаточные условия его существования.

Показано, что общая методика решения задач прогноза и управления с требуемой точностью для системы с заданными с точностью до интервала не только параметрами объекта, но и компонентами вектора состояния совпадает с методикой их решения для случая интервальной неопределенности только в параметрах системы.

Решена задача регулирования из условия минимизации квадратичного критерия качества при интервальной модели описания объекта. Сформулированы условия устойчивости синтезируемой замкнутой системы.

6. Разработан алгоритм получения прямоугольного подмножества максимального объема для множества управляющих воздействий.

Сформулированы требования к точности идентификации объекта с учетом условий, предъявляемых к точности решаемой на ее основе задачи управления, что позволяет проводить априорный анализ разрешимости задачи управления.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Вощинин А.П., Скибицкий Н.В., Капорская М.А. Двухэтапные задачи стабилизации стохастических систем на основе регрессионной модели. Всесоюзная конференция «Теория адаптивных систем и ее применение», Тезисы докладов, М.-Л., 1983, с. 48-49.

2. Бочков А.Ф., Капорская М.А., Скибицкий Н.В. Один подход к решению

35

задачи оперативной коррекции суточного прогноза энергопотребления. II Всесоюзная конференция «Перспективы и опыт внедрения статистических методов в АСУ ТП», Тезисы докладов, М., 1984, с. 162-163.

3. Бурдаков Н.И., Скибицкий Н.В. Двухэтапная процедура решения задачи управления по статистической модели. П Всесоюзная конференция «Перспективы и опыт внедрения статистических методов в АСУ ТП», Тезисы докладов, М., 1984, с. 60-62.

4. Бочков А.Ф., Скибицкий Н.В. Один подход к получению моделей с заданными точностными свойствами в задачах энергетики. VIII Всесоюзная конференция по планированию и автоматизации эксперимента в научных исследованиях», Тезисы докладов, Л., 1986, с. 114-116.

5. Вощинин А.П., Бочков А.Ф., Сидулов М.В., Скибицкий Н.В., Рюкин А.Н., Милевский М.В. Диалоговый комплекс программ для оптимального распределения нагрузок между агрегатами ТЭЦ. Сборник научных трудов «Диалоговые системы в проектировании, обучении и управлении», МЭИ, 1987, с. 81-83.

6. Егоров C.B., Скибицкий Н.В. Моделирование и системы управления с прогнозирующими моделями в энергетике. III Всесоюзная конференция «Перспективы и опыт внедрения статистических методов в АСУ ТП», Тезисы докладов, Тула, 1987, с. 198-199.

7. Скибицкий Н.В. Решение задачи минимизации функционалов в условиях неопределенности подынтегральной функции. Ш Всесоюзная конференция «Перспективы и опыт внедрения статистических методов в АСУ ТП», Тезисы докладов, Тула, 1987, с. 149-150.

8. Скибицкий Н.В. Задачи стабилизации динамических объектов по регрессионной модели. «Заводская лаборатория», 1988, №1. с. 76-79.

9. Вощинин А.П., Рюкин А.Н., Скибицкий Н.В., Синтез управления в условиях неопределенности. Методические указания к лабораторным работам по курсу АСУ ТП, М., МЭИ, 1988,28 с.

10.Скибицкий Н.В. Один подход к управлению линейным объектом при интервальной неопределенности на параметры модели. Международная конференция по методам управления. Тезисы докладов, София, 1989, с. 115-118.

36

11.Скибицкий H.B. Определение области допустимых значений оценки параметра, гарантирующей заданную точность решения одной задачи терминального управления. IX Всесоюзная конференция по планированию и автоматизации эксперимента в научных исследованиях, Тезисы докладов, М., 1989, с. 71-72.

12.Скибицкий Н.В. К решению задачи управления по интервальной модели методами математического программирования. Деп. в ВИНИТИ, 1989, 3564-В89, 9с.

13.Скибицкий Н.В., Тянь Юйпин Анализ задачи управления одним классом линейных объектов по интервальной модели. Деп. в ВИНИТИ, 1989, 3563-В89, 7с.

14.Скибицкий Н.В. Применение методов математического программирования для решения задачи управления в условиях неопределенности. IV Всесоюзная конференция «Перспективы и опыт внедрения статистических методов в АСУ ТП», Тезисы докладов, Тула, 1990, с. 118-119.

15.Скибицкий Н.В. Тянь Юйпин Управление одним классом объектов в условиях интервальной неопределенности. IV Всесоюзная конференция «Перспективы и опыт внедрения статистических методов в АСУ ТП», Тезисы докладов, Тула, 1990, с. 120-121.

16.Скибицкий Н.В. Решение задачи управления линейным динамическим объектом по интервальной модели. Межвузовский сборник научных трудов «Вопросы кибернетики. Устройства и системы», МИРЭА, М. 1990г., с. 18-25.

17.Скибицкий Н.В., Тянь Юйпин Управление линейным динамическим объектом по интервальной модели. Всесоюзная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики», Тезисы докладов, том 1, Саратов, 1991, с. 85-88.

18.Скибицкий Н.В., Тянь Юйпин Алгоритм построения области управлений, гарантирующих заданную точность решения задачи перевода, в условиях интервальной неопределенности на параметры. Всесоюзная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики», Тезисы докладов, том 3, Саратов, 1991, с. 286.

19.Скибицкий Н.В. Тянь Юйпин Устойчивость и управляемость одного

класса линейных динамических объектов с интервально заданными параметрами. Деп. в ВИНИТИ, 1991, № 1754-В91. 5 с.

20.Скибицкий Н.В. Определение множества управляющих воздействий, гарантирующих заданную точность решения задачи управления в условиях интервальной неопределенности. Межвузовский сборник научных трудов «Вопросы кибернетики. Устройства и системы», МИРЭА, М., 1991, с. 22-27.

21.Скибицкий Н.В. Тянь Юйгага К решению системы линейных интервальных уравнений при «жесткой» связи между коэффициентами. Деп. в ВИНИТИ, 1991,1753-В91,25 с.

22.Скибицкий Н.В. Решение задачи регулирования из условия обеспечения заданных характеристик устойчивости при интервально заданных параметрах модели. Межвузовский сборник научных трудов «Вопросы кибернетики. Устройства и системы», МИРЭА, М. 1991, с. 18-21.

23.Скибицкий Н.В., Тянь Юйпин Определение множества управляющих воздействий, гарантирующих заданную точность решения задачи управления линейным динамическим объектом в условиях интервальной неопределенности. Международная конференция по интервальным и стохастическим методам в науке и технике "Интервал-92", М., 1992, сб. трудов, т.1, с. 153-156.

24.Скибицкий Н.В., Тянь Юйпин Стабилизация линейной стационарной системы в условиях интервальной неопределенности. Международная конференция по интервальным и стохастическим методам в науке и технике "Интер-вал-92", М., 1992, сб.трудов, т.1, с. 156-158.

25.Скибицкий Н.В., Тянь Юйпин Управление линейными динамическими объектами с интервально заданными параметрами из условия обеспечения заданной точности решения. "Интервальные вычисления", С.-Петербург - Москва, №4(6), 1992, с. 88-93.

26.Скибицкий Н.В. Алгоритмы стабилизации динамических объектов в условиях интервальной неопределенности. Межвузовский сборник научных трудов "Вопросы кибернетики. Устройства и системы", МИРЭА, М., 1992, с.4-7.

27.Скибицкий Н.В., Тянь Юйпин Управление линейным динамическим

объектом в условиях интервальной неопределенности на параметры задачи. "Заводская лаборатория", 1993, №3, с. 71-74.

28.Скибицкий Н.В. Методы управления динамическими объектами в условиях интервальной неопределенности. Proceeding of the 2nd scientific-technical conference "Process control", Pardubice, 1994, c. 369-374.

29.Skibitski N. Control of linear dynamical systems under interval uncertainty. Proceeding of the 2nd scientific-technical conference "Process control", Horni Becva, 1996, vol. 1, pp. 312-313.

ЗО.Вощинин А.П., Рюкин A.H., Скибицкий Н.В. Методические указания к лабораторному практикуму по курсу "Информационные технологии реального времени: автоматизированное управление технологическими объектами", М., МЭИ, 1996,44 с.

31 .Skibitski N.V. Management of dynamic object with intervally given parameters of a problem for a partial vector of conditions. Proceeding of the 3nd scientific-technical conference "Process control", Kouty nad Desnou, 1998, vol. 1, pp. 373-376.

32. Skibitski N.V. Control of linear dynamic objects with intervally given parameters from a condition of maintenance of given accuracy of solution. Proceeding of the 4nd scientific-technical conference "Process control", Kouty nad Desnou, 2000, vol. l,p. 157.

33.Вощинин А.П., Скибицкий H.B. Интервальный метод калибровки. «Датчики и системы», №9,2000, с.52-60.

34.Skibitski N., Igochin Е. Control of object at interval indefiniteness for deriving given quality. Proceeding of the 5nd scientific-technical conference "Process control", Pardubice, 2002, p. 142.

35.Скибицкий Н.В. Интервальный подход к решению задачи градуировки. Сб. трудов Международной конференции «Информационные средства и технологии», т.2, М., 2003, с. 243.

36.Voschinin A., Skibitski N. Interval model of multisensor system. Proceeding of the Second International Workshop on Intelligent Data Acquisition and Computing Systems: Technology and Applications. Lviv, 2003, pp. 253-255.

(126 0 1 1

37,Skibitski N. The interval approach to the solution of a problem of calibration of one-factor multisensor systems. Proceeding of the 6nd scientific-technical conference "Process control", Pardubice, 2004, c. 126.

38.Skibitski N. The solution of a problem of select of the best transmitter in a multisensor system. Proceeding of the 6nd scientific-technical conference "Process control", Pardubice, 2004, c. 174.

39.Skibitski N. Problem of calibration of multisensor systems and comparative analysis of methods of its solution. Proceeding of the б™5 scientific-technical conference "Process control", Pardubice, 2004, c. 41.

40.Скибицкий H.B. Особенности решения задачи калибровки с использованием интервального подхода. Труды Международной конференции «Информационные средства и технологии», т.2, М.: Янус-К, 2004, с. 198-201.

41.Вощинин А.П., Скибицкий Н.В. Обработка неточных данных как неопределенных чисел. Вестник МЭИ, №3,2005, с. 95-107.

42.Вощинин А.П., Скибицкий Н.В. Идентификация моделей шумов в реальных измерениях и градуировочном эксперименте, Вестник МЭИ, 2005, №4, с. 97-102.

43.Скибицкий Н,В. Решение задачи регулирования при интервально заданной модели объекта. Известия ТулГУ. Серия «Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления». Вып. 4. Информационные системы. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2005, с. 74-78.

44.Скибицкий Н.В. Решение задачи оптимального управления при интервально заданных параметрах объекта. Известия ТулГУ. Серия «Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления». Вып. 4. Информационные системы. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2005, с. 78-84.

Подписано в печать I £ ^ Зак. kC-Ц Тир. Н С П.л. (Лд

Полиграфический центр МЭИ (ТУ)

Красноказарменная ул., д. 13 рНБ ру сский фонд

2006-4 28336

Введение

Глава 1. Анализ подходов к решению задач построения моделей объектов и управления при неточных данных

1.1. Построение прямых и обратных статических характеристик объектов при неточных данных

1.1.1. Построение прямых статических характеристик объектов

1.1.2. Ограниченность гипотез статистического подхода

1.1.3. Построение обратных статических характеристик объектов

1.2. Погрешность средств измерения и статическая характеристика преобразования

1.2.1. Оценка ошибок измерительных систем

1.2.2. Статическая характеристика преобразования

1.3. Задача управления

1.3.1. Задачи оптимального управления: классификация и методы решения

1.3.2. Модели описания объекта управления

1.4. Новая парадигма описания неопределенности

1.4.1. Источники неопределенности в научных и прикладных задачах

1.4.2. Современный подход к выражению неопределенности измерений

1.4.3. Новый подход к оценке риска

1.4.4. Модели описания неопределенных чисел

1.4.5. Арифметические операции с неопределенными числами

1.5. Постановка задачи 77 Выводы к главе

Глава 2. Построение прямых и обратных статических характеристик объектов по интервальным данным

2.1. Построение прямых характеристик объекта

2.1.1. Этапы решения задачи

2.1.2. Сравнительный анализ статистического и интервального подходов к построению прямой характеристики

2.2. Построение обратных характеристик объекта

2.3. Аппроксимация интервальных сплайн-моделей гладкими функциями

2.3.1. Аппроксимация полиномами второго порядка

2.3.2. Аппроксимация неявной функцией

2.3.3. Сравнительный анализ методов по качеству аппроксимации 116 Выводы к главе

Глава 3. Интервальные модели в задачах градуировки

3.1. Идентификация модели помех объекта

3.1.1. Модели помех в реальных условиях

3.1.2. Модели помех при пассивном эксперименте

3.1.3. Модели помех при активном эксперименте

3.2. Методология градуировки измерительных систем

3.3. Пример построения градуировочной характеристики

3.4. Интервальный подход к анализу однофакторных мультисенсорных систем

3.4.1. Решение задачи выбора единственного датчика

3.4.2. Усреднение показаний датчиков

3.4.3. Интегрирование градуировочных характеристик 182 Выводы к главе

Глава 4. Интервальные модели в задачах управления автоматическими системами

4.1. Решение задачи оптимального управления

4.1.1. Основные понятия и определения

4.1.2. Прогноз состояния системы

4.1.3. Решение задачи оптимального управления с заданной точностью

4.1.4. Решение задачи при наличии связи между параметрами управляющего воздействия

4.2. Решение задачи при интервальной неопределенности на параметры задачи

4.2.1. Задача разгона

4.2.2. Задача сближения

4.3. Решение задачи регулирования 241 Выводы к главе

Актуальность проблемы.

При решении большинства прикладных задач исследователь, как правило, имеет дело с неточными или неопределенными данными. При анализе и обработке неточных данных, необходимо выполнять с ними различные арифметические операции, вычислять значения функций от неточных переменных и т.п. Результат этих операций и его интерпретация зависит от принятой исследователем модели описания неопределенности и неточности данных.

Наиболее популярной моделью описания неопределенности и неточности данных является вероятностная, точнее статистическая модель, в которой неточные данные рассматриваются как случайные величины. Доминирование вероятностных моделей описания неточности и неопределенности связано не только с хорошо разработанной теорией вероятности и математической статистики, но и с наличием многочисленных пакетов программ для обработки статистических данных. Существующие подходы к решению задач идентификации и управления в основном ориентированы на вероятностные модели описания неточности и неопределенности.

Вместе с тем, по ряду причин в последнее десятилетие произошло энергичное развитие другой парадигмы описания неопределенности данных. Одной из причин такой смены стали, в том числе, произошедшие глобальные техногенные и природные катастрофы, другие масштабные явления, которые не имели прецедентов прошлом, т.е. рассматривались как невероятные. Это привело к необходимости изменить методологический подход к оценке рисков, отказаться от его узкой трактовки, как вероятности и перейти к более широкому термину - возможности неблагоприятного события. Результатом смены парадигмы явилось появление нового термина «неопределенные числа», модели которых включали наряду с вероятностной моделью описания также нечеткие и интервальные модели.

Аналогичные изменения происходят в концепции описания неопределенности в метрологии, где от понятия неточности измерений перешли к понятию неопределенности измерений.

В данных случаях, как и в целом ряде других, одной из основных моделей описания неопределенности является интервальная модель, когда неопределенность величины описывается в терминах интервала ее возможных значений.

В связи с этим проблема решения прикладных задач управления и построения моделей в условиях неопределенности интервальными методами является актуальной.

Работа проводилась в рамках тематики научно-технических программ Минобразования России «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники», «Малое предпринимательство в науке и научном обслуживании высшей школы», «Государственная поддержка региональной научно-технической политики высшей школы и развитие ее научного потенциала», по тематическим планам, утвержденным Минобразования России.

Цель и задачи работы.

Целью работы является разработка интервальных методов в задачах построения объектов и процессов управления. В соответствии с этим основными задачами работы являются:

-сравнительный анализ концепций описания и обработки неточных и неопределенных данных;

-разработка методов и алгоритмов построения прямых и обратных характеристик объектов по интервальным данным;

-разработка метода идентификации моделей ошибок системы с использованием интервального подхода;

-разработка методов градуировки измерительных систем по интервальным данным и повышения точности градуировочной характеристики в мультисенсорных измерительных системах;

-постановка задач управления и разработка методов и алгоритмов их решения для объектов с интервально заданными параметрами. Методы исследования.

Для решения поставленных в работе задач использовались методы описания и анализа объектов и систем в условиях неопределенности, методы регрессионного и интервального анализа, методы исследования и градуировки односенсорных и многосенсорных систем, методы оптимального управления и анализа качества систем автоматического управления при неточных параметрах системы.

Научная новизна исследования состоит в следующих результатах: -предложен новый метод нахождения параметров статических характеристик объекта по интервальным данным, обеспечивающий корректную, однозначную обратимость полученной модели;

-для описания линейного сплайн-коридора с интервально заданными эмпирическими зависимостями разработан алгоритм аппроксимации с использованием неявных и полиномиальных функций, основанный на управляемом вычислительном эксперименте;

-показана принципиальная разница между моделями помех в эксперименте и в реальных условиях, предложен подход к идентификации модели помех;

-с использованием интервальных методов разработана новая методология градуировки измерительных систем, предполагающая раздельное решение задач нахождения градуировочной характеристики и ее коридора неопределенности;

-предложен подход к анализу однофакторных мультисенсорных систем с интервально заданными данными и методы повышения их точности;

-разработаны новая постановка и метод решения задачи оптимального управления объектами при интервально заданных параметрах и определены априорные требования к точности идентификации объекта. Практическая ценность.

Полученные теоретические результаты доведены до уровня конкретных методик, алгоритмов и позволяют решать ряд важных прикладных задач в условиях неопределенности и неточности исходных данных, в том числе:

-построения прямых и обратных интервальных аналитических моделей сложных систем на основе неточных данных;

-градуировки систем измерения с учетом различных факторов неопределенности и моделей их воздействия на показания сенсора;

-формирования паспорта системы измерения с указанием ее рабочего диапазона, интервальных границ неопределенности измерения и допустимого диапазона изменения внешних факторов;

-анализа и синтеза систем управления при интервально заданных параметрах системы.

Результаты работы внедрены в ИВЦ - филиале ОАО «Мосэнерго», в Федеральном государственном унитарном предприятии «Особое конструкторское бюро Московского энергетического института», в учебном процессе МЭИ (ТУ) при подготовке бакалавров, специалистов и магистров по специальности 220201 «Управление и информатика в технических системах» и включены в дисциплины «Методы оптимизации», «Управление в больших системах». Результаты нашли отражение в учебно-методических пособиях. Апробация работы.

Основные результаты работы доложены и обсуждены на 17 международных, всесоюзных и всероссийских конференциях, проходивших в СССР, Российской Федерации и за рубежом в период с 1984 по 2005 годы. Результаты работы опубликованы в 44 печатных работах и в 9 отчетах по НИР.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 186 наименований, 3 приложений, имеет объем 310 страниц, включая 54 рисунка и 24 таблицы.

Выводы к главе 4

Для линейной динамической системы с известными с точностью до интервалов параметрами:

1. Сформулирована задача оптимального управления линейной стационарной системой при интервальной модели задания исходных данных, определены необходимые и достаточные условия её устойчивости и управляемости.

2. Получено решение, определяющее множество управляющих воздействий, гарантирующих заданную точность решения задачи оптимального управления при интервальной модели исходных данных. Сформулированы необходимые и достаточные условия существования данного множества и разработан вычислительный алгоритм его получения. Разработан алгоритм получения прямоугольного подмножества максимального объема для множества управляющих воздействий.

3. Показано, что общая методика решения задач прогноза и управления с требуемой точностью для системы с заданными с точностью до интервала не только параметрами объекта, но и компонентами вектора состояния совпадает с методикой их решения для случая интервальной неопределенности только в параметрах системы.

4. Сформулированы априорные требования к точности идентификации системы с учетом требований к точности решения задачи управления.

5. Сформулирована и решена задача регулирования из условия минимизации квадратичного критерия качества. Получены условия устойчивости синтезируемой замкнутой системы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе проведенных исследований в диссертации получены следующие результаты.

Проведен анализ применения статистических методов к решению задач построения прямых и обратных статических характеристик объектов (преобразователей) по экспериментальным данным и показано, что помимо общеизвестных ограничений (не соответствия во многих случаях реальности базовых предпосылок регрессионного анализа о случайности, нормальности и аддитивном характера ошибок эксперимента) необходимо отметить следующие недостатки:

- классическая методология регрессионного анализа не позволяет включить в рассмотрение информацию об ошибках нестатистической природы;

- разделение переменных на точно измеряемые "независимые" и измеряемые с ошибками "зависимые" для большого числа приложений является искусственным и нарушается при построении обратных характеристик;

- в рамках регрессионного анализа не разработан теоретически обоснованный метод построения обратной характеристики и её доверительного интервала;

- в рамках статистического подхода к градуировке систем измерения не рассмотрена задача идентификации модели шумов в ходе активного эксперимента и при измерениях в реальных условиях, которые принципиально различаются по источникам и природе неопределенности.

Проведен анализ новой парадигмы описания неопределенности, основанной на моделях неопределенных чисел, и показано, что:

- вероятностная модель может быть использована только в случае, когда неопределенность связана со случайной вариабельностью, описание других источников неопределенности в рамках этой модели затруднительно;

- нечеткая модель пригодна для описания любых источников неопределенности, однако она базируется в основном на экспертных данных, ее применение встречает методологические трудности при сравнении и ранжировании нечетких чисел и сглаживании нечетких данных;

- интервальная модель, обеспечивающая описание неопределенности и неточности данных при любых источниках погрешностей, включая источники, не связанные со случайной вариабельностью, является наиболее универсальной.

Полученные в работе результаты основываются на интервальных моделях описания неопределенности, которые позволяют учесть как статистические данные, так и любую априорную информацию о неточности и неопределенности данных, включая экспертную информацию о систематических ошибках, ошибках округления, дискретизации и т.п.

С использованием интервальных моделей в работе получены следующие результаты.

1. Разработан метод построения прямых и обратных характеристик преобразователей по экспериментальным данным, представленным в интервальной форме, который позволяет рассчитать характеристику обратного преобразования как в виде однозначной функции, так и симметричного относительно неё гарантированного интервала неопределенности. Предложены алгоритмы аппроксимации сплайн-функций, описывающих границы интервального коридора неопределенности гладкими функциями второго порядка, и вычислительного эксперимента для их построения.

2. Решена задача идентификации модели помех, представленных в интервальном виде, в системах измерения и показано, что:

- абсолютная ошибка может быть использована в качестве характеристики точности системы измерения только для линейной модели аддитивных шумов;

- относительная ошибка может быть использована в качестве характеристики точности системы измерения только в случае модели мультипликативных шумов;

- для аддитивно-мультипликативной модели точность системы измерения не может быть описана в терминах абсолютной или относительной ошибок.

3. Показано, что при проведении градуировки системы измерения ошибки в реальных условиях и в градуировочном эксперименте имеют принципиально разную природу, а их модели - разный состав переменных (так как градуировочный эксперимент ограничен во времени и в пространстве и в ходе его реализации невозможно в полной мере воссоздать условия будущих реальных условий измерений с широкой вариацией внешних факторов).

4. Предложен новый, основанный на интервальной модели ошибок, подход к градуировке измерительных систем, в котором задачи построения градуировочной характеристики и определения погрешности измерительной системы разделяются и для их решения применяются разные планы активного градуировочного эксперимента. Показано, что в ходе обработки результатов эксперимента по построению градуировочной характеристики ошибки установки можно исключить из рассмотрения. Описанная формализованная процедура по постановке решаемой задачи соответствует современному метрологическому подходу, когда указываются границы интервала неопределенности. В рамках принятого подхода эти границы описываются линейным сплайном. Решена задача отбора лучшего сенсора, отбраковки заведомо непригодных сенсоров, разработан алгоритм агрегирования интервально заданных результатов измерений нескольких отобранных сенсоров, что позволяет повысить точность градуировочной характеристики.

5. Решена задача оптимального управления в ее классической постановке для линейной динамической системы при интервальной модели задания исходных данных. Для данной модели проведен анализ задачи и сформулированы необходимые и достаточные условия устойчивости и управляемости. Решена задача определения множества управляющих воздействий, гарантирующих заданную точность решения, и получены необходимые и достаточные условия его существования.

Показано, что общая методика решения задач прогноза и управления с требуемой точностью для системы с заданными с точностью до интервала не только параметрами объекта, но и компонентами вектора состояния совпадает с методикой их решения для случая интервальной неопределенности только в параметрах системы. Решена задача регулирования из условия минимизации квадратичного критерия качества при интервальной модели описания объекта. Сформулированы условия устойчивости синтезируемой замкнутой системы.

6. Разработан алгоритм получения прямоугольного подмножества максимального объема для множества управляющих воздействий. Сформулированы требования к точности идентификации объекта с учетом условий, предъявляемых к точности решаемой на ее основе задачи управления, что позволяет проводить априорный анализ разрешимости задачи управления.

1. Айвазян С.А., Бежаева З.И., Староверов О.В. Классификация многомерных наблюдений. М: Статистика, 1974, 240 с.

2. Айвазян С. А., Бухштабер В. М., Юнюков И. С., Мешалкин J1. Д. Прикладная статистика: Классификация и снижение размерности. М.: Финансы и статистика, 1989, 606 с.

3. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. -М.: Юнити, 1998, 312 с.

4. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.Р. Оптимальное управление. -М.: Наука, 1979,429 с.

5. Алексеева И. У. Теоретическое и экспериментальное исследование законов распределения погрешностей, их классификация и методы оценки их параметров: Автореф. дис. на соиск. учен, степени канд. техн. наук. Л., 1975, 20 с.

6. Алефельд ГШ., Херцберг Ю. Введения в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987, 370 с.

7. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976,424 с.

8. Антончик B.C. Методы стабилизации программных движений. СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского государственного университета, 1998, 208 с.

9. Анциферов Е.Г. и др. Методы оптимизации и их приложения -Новосибирск: Наука, 1990,160 с.

10. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998, 326 с.

11. Батенко А.П. Управление конечным состоянием движущихся объектов. -М.: Сов. радио, 1977, 232 с.

12. Беллман Р. Динамическое программирование М.: Иностранная литература, 1960,400 с.

13. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамическогопрограммирования. М.: Наука, 1965, 458 с.

14. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969, 118 с.

15. Беляев JI.C. Решение сложных оптимизационных задач в условиях неопределенности. Новосибирск: Наука, 1978, 126 с.

16. Бессекерский В.А., Фабрикант Е.А. Динамический синтез систем гироскопической стабилизации. М.: Судостроение, 1968, 351 с.

17. Бессекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. -М.: Наука, 1975, 767 с.

18. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления М.: Наука, 1969,408 с.

19. Бородюк В.П., Лецкий Э.К. Статистическое описание промышленных объектов. М.: Энергия, 1971, 110 с.

20. Бочков А.Ф., Евтушенко Т.В. Один подход к выбору стационарных режимов технологических процессов в условиях неопределенности. Деп. в ВИНИТИ,№ 2991-И88Д988Д2 с.

21. Бурдаков Н.И., Скибицкий Н.В. Двухэтапная процедура решения задачи управления по статистической модели. II Всесоюзная конференция «Перспективы и опыт внедрения статистических методов в АСУ ТП», Тезисы докладов, М.: МЭИ, 1984, с. 60-62.

22. Васильев В.В., Баранов В.Л. Моделирование задач оптимизации и дифференциальных игр Киев: Наук. Думка, 1989, 293 с.

23. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Высшая школа, 1998, 575 с.

24. Вощинин А.П. Интервальный анализ данных: развитие и перспективы. -Заводская лаборатория, 2002, №1, с. 95-98.

25. Вощинин А.П., Метод анализа данных с интервальными ошибками в задачах проверки гипотез и оценивания параметров неявных и линейно параметризованных функций. Заводская Лаборатория, 1998, №7, 48-53 с.

26. Вощинин А.П., Скибицкий Н.В. Идентификация моделей шумов в реальных измерениях и градуировочном эксперименте. Вестник МЭИ, 2005, №4, с. 97-102.

27. Вощинин А.П., Бочков А.Ф., Сотиров Г.Р. Интервальный анализ данных как альтернатива регрессионному анализу. Заводская Лаборатория, 1990, №7, с. 77-81

28. Вощинин А.П., Скибицкий Н.В. Обработка неточных данных как неопределенных чисел. Вестник МЭИ, №3, 2005, с. 95-107.

29. Вощинин А.П., Скибицкий Н.В. Интервальный метод калибровки. -«Датчики и системы», №9, 2000, с.52-60.

30. Вощинин А.П., Скибицкий Н.В., Капорская М.А. Двухэтапные задачи стабилизации стохастических систем на основе регрессионной модели. Всесоюзная конференция «Теория адаптивных систем и ее применение», Тезисы докладов, М.-Л.: 1983, с. 48-49.

31. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. -М.: изд-во МЭИ, 1989, 224 с.

32. Вощинин А.П., Рюкин А.Н., Скибицкий Н.В., Синтез управления в условиях неопределенности. Методические указания к лабораторным работам по курсу АСУ ТП. М.: изд-во МЭИ, 1988, 28 с.

33. Вощинин А.П., Рюкин А.Н., Скибицкий H.B. Методические указания к лабораторному практикуму по курсу "Информационные технологии реального времени: автоматизированное управление технологическими объектами". М.: изд-во МЭИ, 1996,44 с.

34. Гайдук А.Р. Алгебраические методы анализа и синтеза систем автоматического управления. М.: Наука, 1988, 208 с.

35. Галочкина В. Я. Исследование энтропийных оценок случайных погрешностей измерительных устройств: Автореф. дис. на соиск. учен, степени канд. техн. наук,-Л., 1971,18 с.

36. Гилл Ф. Практическая оптимизация М.: Мир, 1985, 509 с.

37. Горский В.Г., Адлер Ю.П., Талалай A.M. Планирование промышленного эксперимента. Модели статики. М.: Металлургия, 1974, 112 с.

38. Государственные эталоны и общесоюзные поверочные схемы. М.: Изд-во стандартов, 1978, 645 с.

39. Гранатуров В.М., Некрасов И.С. Организация, планирование и управление метрологическим обеспечением в отрасли связи. М.: Радио и связь, 1987, 184 с.

40. Грешилов A.A. Анализ и синтез стохастических систем. Параметрические модели и конфлюентный анализ. М.: Радио и связь, 1991, 319 с.

41. Грешилов A.A. Метод наименьших квадратов и элементы конфлюентного анализа. М: изд-во МГТУ, 1992, 84 с.

42. Грешилов A.A., Стакун В.А., Стакун A.A. Статистические задачи принятия решений с элементами конфлюентного анализа,- М: Радио и связь, 1998, 212 с.

43. Данчев А. Системы оптимального управления: возмущения, приближения и анализ чувствительности М.: Мир, 1987, 156 с.

44. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. М.: Финансы и статистика, 1981, 302 с.

45. Джури Э.И. Робастность дискретных систем. Автоматика и телемеханика, 1990, №5, с. 3-28.

46. Долинский Е.Ф. Обработка результатов измерений. М.: Изд-во стандартов, 1973, 216 с.

47. Дугарова И.В., Смагина Е.М. Обеспечение устойчивости системы с неопределенными параметрами. Автоматика и телемеханика, 1990, 11, с. 176-181.

48. Егоров C.B., Скибицкий Н.В. Моделирование и системы управления с прогнозирующими моделями в энергетике. III Всесоюзная конференция «Перспективы и опыт внедрения статистических методов в АСУ ТП», Тезисы докладов, Тула, 1987, с. 198-199.

49. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования М.: Наука, 1976,239 с.

50. Жданов Н.Г., Курепин М.Г., Мельников Е.К. Обработка измерительной информации при подготовке измерительного преобразователя к эксплуатации. Метрология, 1975, №8, с. 57-61.

51. Загоруйко Н.Г. Прикладные методы анализа данных и знаний. -Новосибирск: Наука, 1999,270 с.

52. Заде JI.A. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию решения. М.: Мир, 1976, 165 с.

53. Захаров A.B., Шокин Ю.И. Синтез систем управления при интервальной неопределенности параметров их математических моделей. Известия ДАН СССР, 1988, т. 299, №1, с. 292-295.

54. Иванников Д.А., Фомичев E.H. Основы метрологии и организации метрологического контроля. Нижний Новгород: изд-во Нижегородского государственного технического университета, 2001, 316 с.

55. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления. М.: Наука, 1881, 386 с.

56. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1988, 223 с.

57. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. М.: Наука, 1975,432 с.

58. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервальногоанализа. Новосибирск: Наука, 1986, 224 с.

59. Карташова А.Н. Достоверность измерений и критерии качества испытаний приборов. -М.: Изд-во стандартов, 1967, 178 с.

60. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977, 434 с.

61. Корноушенко Е.К. Интервальные покоординатные оценки для множества достижимых состояний линейной стационарной системы. 4.1. -Автоматика и телемеханика, 1980, №2, с. 13-22.

62. Корноушенко Е.К. Интервальные покоординатные оценки для множества достижимых состояний линейной стационарной системы. 4.2. -Автоматика и телемеханика, 1980, №5, с. 11-17.

63. Корноушенко Е.К. Интервальные покоординатные оценки для множества достижимых состояний линейной стационарной системы. Ч.З. -Автоматика и телемеханика, 1980, №10, с. 47-52.

64. Корноушенко Е.К. Интервальные покоординатные оценки для множества достижимых состояний линейной стационарной системы. 4.4. -Автоматика и телемеханика, 1980, №12, с. 81-87

65. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975, 648 с.

66. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука , 1968, 356 е.

67. Красовский H.H. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970, 420 с.

68. Крутько П.Д. Обратные задачи управляемых систем, линейные модели. -М.: Наука, 1987, 304 с.

69. Куликовский К.Л., Купер В.Я. Методы и средства измерений. М.: Энергоатомиздат, 1986,447 с.

70. Кротов В.Ф. и др. Основы теории оптимального управления. М., Высшая школа, 1990, 424 с.

71. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез оптимальных и адаптивных систем управления: игровой подход. Киев: Наук. Думка, 1985, 247 с.

72. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности.-М.: Наука, 1977, 390 с.

73. Куржанский А.Б. Динамическое программирование и процессы управления. М.: Наука, 2005, 412 с.

74. Кэмпион П. Дж., Варне Д. Е., Вильяме А. Практическое руководство по представлению результатов измерений. М.: Атомиздат, 1979,128 с.

75. Лабутин С.А. Статистические модели и методы в измерительных задачах. -Нижний Новгород: изд-во Нижегородского государственного технического университета, 2000, 115 с.

76. Магнус К. Гироскоп: теория и применение. М.: Мир, 1974, 526 с.

77. Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов (вторая редакция). М.: Экономика, 2000, 86 с.

78. Метрологическое обеспечение систем передачи: Учеб.пособие для вузов / Б.П.Хромой, В.И.Мудров, В.Л.Кушко. -М.: Сов. радио, 1976, 178 с.

79. Милютин A.A. и др. Оптимальное управление в линейных системах. М.: Наука, 1983, 216 с.

80. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975, 526 с.

81. Мудров В. И., Кушко В. Л. Метод наименьших модулей. М.: Знание, 1971, 312 с.

82. Налимов В.В. Чернова H.A., Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. М.: Наука, 1965, 340 с.

83. Налимов В.В. Чернова H.A., Теория эксперимента. М.: Наука, 1971, 207 с.

84. Новицкий П.В. Об основных свойствах 95%-ной квантили большого класса распределений и предпочтительных значениях доверительной вероятности при указании погрешностей приборов и измерений. Метрология. 1979, №2,с. 18-24.

85. Новицкий П.В., Зограф И.А., Лабунец B.C. Динамика погрешности средств измерений. JL: Энергоатомиздат, 1990,192 с.

86. Новицкий П.В., Зограф H.A. Оценка погрешностей результатов измерений. Л.: Энергоатомиздат, 1991, 304с.

87. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений./

88. A.Н.Борисов, А.В.Алексеев, и др. М.: Радио и связь, 1989, 308с.

89. Орлов А.И. Эконометрика. М.: Экзамен, 2002, 576 с.

90. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. -М.: Наука, 1981,224 с.

91. Орнатский П. П. Теоретические основы информационно-измерительной техники. Киев: Вища школа, 1983,430 с.

92. Основополагающие стандарты в области метрологии. М.: Изд.-во стандартов, 1986, 246 с.

93. Основы метрологии и электрорадиоизмерения / Б.Н.Лозицкий,

94. B.Г.Воеводин, В.И.Коткин, И.И.Мельниченко; Под ред. Б.Н.Лозицкого. -М.: МО СССР, 1983, 326 с.

95. Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973,321 с.

96. Первозванский A.A. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986,438 с.

97. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983, 344 с.

98. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002, 248 с.

99. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976, 392 с.

100. Понтрягин Л.С. Принцип максимума в оптимальном управлении. М., Наука, 1989, 60 с.

101. Проблемы обеспечения безопасности и эксплуатационной надежности химических производств, Итоги науки и техники, серия "Процессы иаппараты химической технологии", том 19, под ред. Кафарова В.В., ВИНИТИ, Москва., 1973, 186 с.

102. Проненко В. И., Якирин Р. В. Метрология в промышленности. Киев: Техника, 1979, 328 с.

103. Пугачев B.C. и др. Основы Статистической теории автоматических систем. -М.: Наука, 1974, 400с.

104. Пупков К.А., Фалдин Н.В., Егунов Н.Д. Методы синтеза оптимальных систем автоматического управления. М.: МГТУ им. Баумана. 2000, 286 с.

105. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М., Наука, 1984, 261 с.

106. Руководство по выражению неопределенности измерения. СПб.: ВНИИМ им. Д.И. Менделеева, 1999, 126 с.

107. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 1993,314 с.

108. Селиванов М. Н., Фридман А. Э., Кудряшова Ж. Ф. Качество измерений: Метрологическая справочная книга. JI: Лениздат, 1987, 294 с.

109. Семенов Л.А., Сирая Т.Н. Методы построения градуировочных характеристик средств измерения. М.: Из-во стандартов, 1986, 127 с.

110. Сирая Т.Н., Тардеев Ю. Методы обработки результатов измерений: Погрешности измерений. М.: Из-во стандартов, 1990, 212 с.

111. Сирая Т.Н., Грановский В.А. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях. М.: Энергоатом, 1990, 236 с.

112. Сингх М., Титли А. Системы: декомпозиция, оптимизация, управление. -М.: Машиностроение, 1986, 496 с.

113. Скибицкий Н.В. Решение задачи минимизации функционалов в условиях неопределенности подынтегральной функции. III Всесоюзная конференция «Перспективы и опыт внедрения статистических методов в АСУ ТП», Тезисы докладов, Тула, 1987, с. 149-150.

114. Скибицкий Н.В. Задачи стабилизации динамических объектов по регрессионной модели. Заводская лаборатория, 1988, №1, с. 76-79.

115. Скибицкий H.B. Один подход к управлению линейным объектом при интервальной неопределенности на параметры модели. Международная конференция по методам управления. Тезисы докладов, София, 1989, с. 115-118.

116. Скибицкий Н.В. К решению задачи управления по интервальной модели методами математического программирования. Деп. в ВИНИТИ, 1989, 3564-В89, 9с.

117. Скибицкий Н.В., Тянь Юйпин. Анализ задачи управления одним классом линейных объектов по интервальной модели. Деп. в ВИНИТИ, 1989, 3563-В89, 7с.

118. Скибицкий Н.В. Тянь Юйпин. Управление одним классом объектов в условиях интервальной неопределенности. IV Всесоюзная конференция «Перспективы и опыт внедрения статистических методов в АСУ ТП», Тезисы докладов, Тула, 1990, с. 120-121.

119. Скибицкий Н.В. Решение задачи управления линейным динамическим объектом по интервальной модели. Межвузовский сборник научных трудов «Вопросы кибернетики. Устройства и системы». М.: МИРЭА, 1990, с. 1825.

120. Скибицкий Н.В., Тянь Юйпин. Управление линейным динамическим объектом по интервальной модели. Всесоюзная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики», Тезисы докладов, том 1, Саратов,1991, с. 85-88.

121. Скибицкий Н.В. Тянь Юйпин. Устойчивость и управляемость одного класса линейных динамических объектов с интервально заданными параметрами. Деп. в ВИНИТИ, 1991, № 1754-В91, 5 с.

122. Скибицкий Н.В. Тянь Юйпин. К решению системы линейных интервальных уравнений при «жесткой» связи между коэффициентами. -Деп. в ВИНИТИ, 1991, 1753-В91, 25 с.

123. Скибицкий Н.В., Тянь Юйпин. Управление линейными динамическими объектами с интервально заданными параметрами из условия обеспечения заданной точности решения. "Интервальные вычисления". СПб - Москва,4(6), 1992, с. 88-93.

124. Скибицкий Н.В. Алгоритмы стабилизации динамических объектов в условиях интервальной неопределенности. Межвузовский сборник научных трудов "Вопросы кибернетики. Устройства и системы". М.: МИРЭА, 1992, с.4-7.

125. Скибицкий Н.В., Тянь Юйпин. Стабилизация линейной стационарной системы в условиях интервальной неопределенности. Международная конференция по интервальным и стохастическим методам в науке и технике "Интервал-92". М.: 1992, сб.трудов, т.1, с. 156-158.

126. Скибицкий Н.В., Тянь Юйпин. Управление линейным динамическим объектом в условиях интервальной неопределенности на параметры задачи. Заводская лаборатория, 1993, №3, с. 71-74.

127. Скибицкий Н.В. Методы управления динамическими объектами в условиях интервальной неопределенности. Proceeding of the lnd scientific-technical conference "Process control". Pardubice, 1994, c. 369-374.

128. Скибицкий Н.В. Интервальный подход к решению задачи градуировки. Труды Международной конференции «Информационные средства и технологии». М.: Янус-К, 2003, т.2, с. 243.

129. Скибицкий Н.В. Особенности решения задачи калибровки с использованием интервального подхода. Труды Международной конференции «Информационные средства и технологии». М.: Янус-К, 2004, т.2, с. 198-201.

130. Скибицкий Н.В. Решение задачи регулирования при интервально заданной модели объекта. Известия ТулГУ. Серия «Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления». Вып. 4. Информационные системы. Тула: Изд-во ТулГУ, 2005, с. 74-78.

131. Смагина Е.М., Дугарова И.В. Синтез модального регулятора для системы с неопределенными параметрами. М.: Деп. в ВИНИТИ, №789-В87, 1987, 38 с.

132. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. -М.: Физматгиз, 1960, 656 с.

133. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применение. М.: Машиностроение, 1972, 550 с.

134. Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование. -М.: Наука, 1975, 280 с.

135. Таушанов 3., Тонева Е., Пенова Р. Вычисление энтропийного коэффициента при малых выборках. София: Изобретательство, стандартизация и качество, 1973, №5, с. 48-52.

136. Теория автоматического управления, ч.1, под редакцией Воронова A.A. -М.: Высшая школа, 1986, 504 с.

137. Ту Ю. Современная теория управления. М.: Машиностроение, 1971, 472 с.

138. Тутубалин В.Н. Границы применимости (Вероятностно-статистические методы и их возможности). М.: Знание, 1977,48 с.

139. Тюрин A.B., Системная модель конкурентоспособного развития атомной энергетики России. Доклады Международной конференции «Планирование развития энергетики: методология, программное обеспечение, приложения». М., 2002, с. 56-58.

140. Тюрин Н.И. Введение в метрологию. М.: Изд-во стандартов, 1985, 247 с.

141. Устойчивые статистические методы оценки данных//Под ред. JT.P. Лонера, Г.Н. Уилкинсона. М.: Машиностроение, 1984,414 с.

142. Филаретов Г.Ф., Горяинов C.B. Проблема градуировки мультисенсорных измерительных систем: Доклады международной конференции "Информационные средства и технологии". - М.: изд-во " Станкин", т. 1, 1997, с. 114-116.

143. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах. под редакцией ЛеондесаК.Т. - М.: Мир, 1980, 407 с.

144. Фомина Т.К., Сафин М.Я. Методическое пособие по изучению раздела математики "Кривые второго порядка". М., Изд-во РУДН, 1999, 90 с.

145. Флеминг У., Ришел Р., Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Наука, 1978, 228 с.

146. Харитонов В.Л. Об асимптотической устойчивости положения семейства линейных дифференциальных уравнений. Дифференциальное уравнение, Минск, 1978, т. 14, №11, с. 2086-2088.

147. Химмелблау Д. Анализ процессов статистическими методами. М.: Мир, 1973, 948 с.

148. Хлебалин И.А. Аналитический синтез регуляторов в условиях неопределенности параметров объекта управления. канд. диссер. Л., 1984, 140 с.

149. Худсон Д. Статистика для физиков.-М.: Мир, 1967,286 с.

150. Черников С.Н. Линейные неравенства. М.: Наука, 1968, 334 с.

151. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления: Численные методы. М.: Наука, 1973, 238 с.

152. Черноусько Ф.Л., Меликян A.A. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978, 270 с.

153. Чураков Е.П. Оптимальные и адаптивные системы. М.: Энергоатомиздат, 1987, 256 с.

154. Шайдуров В.В., Шарый С.П. Решение интервальной алгебраической задачи о допусках. Красноярск: Препринт ВЦ СО СССР, 1988, №5, 27 с.

155. Шарый С.П. Интервальные алгебраические задачи и их численное решение. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, Новосибирск, 2000, 322 с.

156. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981,281 с.

157. Шарый С.П. Алгебраический подход во «внешней задаче» для интервальных линейных систем. Вычислительные технологии, 1998. Т.З,2, с. 67-114.

158. Шарый С.П. Внешнее оценивание обобщенных множеств решений интервальных линейных систем. Вычислительные технологии, 1999, Т.4, №4, с. 82-110.

159. Юдин Д.Б. Задачи и методы стохастического программирования. М.: Сов. Радио, 1979, 392 с.

160. Яковлев Н.Е., Эволюционный подход к моделированию и управлению экономикой отрасли. Доклады Международной конференции «Планирование развития энергетики: методология, программное обеспечение, приложения», М., 2002, с. 47-51.

161. Brown P.J. Multivariate calibration, J. R. Statist.Soc.B, 1982, 44, N3, pp. 86-94.

162. Ferson Scott. Risk Assessment with Uncertain Numbers, Lewis Publishers, 2002, 214 p.

163. Hanss M., Wilner K. On using fuzzy arithmetic to solve problems with uncertain model parameters. Institute A of Mechanics, University of Stuttgart, 1996, 246 P

164. Lin S.H., Juang Y.T., Fong I.K., Hsu C.F., Kuo T.S. Dynamic interval system analysis and design. Int. J.Control, 1988, Vol. 48, N5, p. 1807-1818.

165. Moore R. E. Interval Analysis. N.Y.: Englewood cliffs, Prentice-Hall, 1966, 390 p.

166. Skibitski N. Control of linear dynamical systems under interval uncertainty. Proceeding of the 2nd scientific-technical conference "Process control", Horni Becva, 1996, vol. 1, pp. 312-313.

167. Skibitski N.V. Management of dynamic object with intervally given parameters of a problem for a partial vector of conditions. Proceeding of the 3nd scientific-technical conference "Process control", Kouty nad Desnou, 1998, vol. 1, pp. 373376.

168. Skibitski N., Igochin E. Control of object at interval indefmiteness for deriving given quality. Proceeding of the 5nd scientific-technical conference "Process control", Pardubice, 2002, p. 142.

169. Skibitski N. The interval approach to the solution of a problem of calibration of one-factor multisensor systems. Proceeding of the 6nd scientific-technical conference "Process control", Pardubice, 2004, c. 126.

170. Skibitski N. The solution of a problem of select of the best transmitter in a multisensor system. Proceeding of the 6nd scientific-technical conference "Process control", Pardubice, 2004, c. 174.

171. Skibitski N. Problem of calibration of multisensor systems and comparative analysis of methods of its solution. Proceeding of the 6nd scientific-technical conference "Process control", Pardubice, 2004, c. 41.

172. Voschinin A., Skibitski N. Interval model of multisensor system. Proceeding of the Second International Workshop on Intelligent Data Acquisition and Computing Systems: Technology and Applications. Lviv, 2003, pp. 253-255.

173. Zadeh, L.A. Fuzzy sets. Information and Control, 1965, №8. pp. 338-353

174. Zadeh L.A., Whalen B.H. On optimal control and linear programming. IRE Trans. Automatic control, Ac-7,1962, pp. 45-46.

175. Zimmerman, H.-J. Fuzzy sets Theory and its Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991, 256 p.