автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование кондуктивно-ламинарной естественной конвекции во внутренних задачах со свободной границей

005049925

На правах рукописи

СОБОЛЕВА ЕЛЕНА АЛЕКСАНДРОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНДУКТИВНО-ЛАМИНАРНОЙ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНВЕКЦИИ ВО ВНУТРЕННИХ ЗАДАЧАХ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

? , е:;В 2013

Воронеж-2013

005049925

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет инженерных технологий»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Ряжскнх Виктор Иванович

(ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет инженерных технологий»)

Официальные оппоненты: Батаронов Игорь Леонидович

доктор физико-математических наук, профессор,

(ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет»,

зав. каф. высшей математики

и физико-математического моделирования)

Дорняк Ольга Роальдовна

доктор технических наук, доцент,

(ФГБОУ ВПО «Воронежская государственная

лесотехническая академия»,

зав. каф. сопротивления материалов

и теоретической механики)

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Тверской государственный

технический университет»

Защита диссертации состоится «14» марта 2013 года в 1330 на заседании диссертационного совета Д.212.035.02 в ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет инженерных технологий» по адресу: 394036, г. Воронеж, проспект Революции, д. 19 (конференц-зал).

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью учреждения, просим направлять по адресу: 394036, г. Воронеж, проспект Революции, д. 19, ФГБОУ ВПО ВГУИТ.

Текст автореферата и объявление о защите размещены в сети интернет на сайте Минобрнауки РФ http://vak.ed.gov.ru «11» февраля 2013 года.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГБОУ ВПО ВГУИТ.

Автореферат разослан «11» февраля 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат технических наук, доцент ^^¿^-^¿г Хаустов И. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Известно, что свободноконвективное течение вязких жидкостей может осуществляться в ламинарном, переходном и турбулентном режимах. Исследованию этих режимов посвящено достаточно большое число работ известных ученых, таких как, Остроумов Г. А., Ландау Л.Д., Сполдинг Д.Б., Спэрроу Е.М., Полежаев В.И., Черкасов С.Г., Мартыненко О.Г. и др. Наряду с этими режимами выделяется дополнительно кондуктивный режим свободной конвекции, когда из-за малых скоростей течения поле температур аналогично полю температур при молекулярной теплопроводности.

Экспериментальное изучение этого режима затруднено по причине необходимости измерения очень малых скоростей и перепадов давления, что делает актуальным применение в этом случае метода математического моделирования. В настоящее время основным инструментом построения моделей кондуктивного режима являются уравнения Обербека-Буссинеска, решение которых для малых чисел Грасгофа все еще остается проблематичным из-за существенной их нелинейности.

В последнее время стал развиваться альтернативный подход, согласно которому описание кондуктивного режима свободной конвекции возможно по линеаризованным уравнениям Обербека-Буссинеска без конвективных слагаемых, что существенно упрощает задачу в плане аналитического и численного анализа.

Диссертационная работа выполнялась в соответствии с научно-исследовательскими работами Воронежского государственного университета инженерных технологий по теме «Дифференциальные и интегральные уравнения математических моделей естественных и прикладных наук» (№ г.р.0020543), а также в рамках проекта 07-08-00166 по гранту РФФИ «Математическое моделирование образования осадка микропримесей азота и кислорода при испарительном охлаждении жидкого водорода в криогенных резервуарах».

Цель работы: идентификация границы между кондуктивным и ламинарным режимами свободноконвективного течения вязкой несжимаемой жидкости на основе моделирования гидротермических полей во внутренних задачах со свободной границей.

Для достижения цели поставлены задачи:

1) разработать математические модели класса внутренних задач свободной конвекции на примере вертикального цилиндрического

з

резервуара со свободной поверхностью для кондуктивного и ламинарного режимов и определить температурные поля при различных граничных условиях и степенях заполнения вязкой несжимаемой жидкостью;

2) численно проинтегрировать уравнения Обербека-Буссинеска в переменных Гельмгольца с использованием модифицированного вычислительного алгоритма, основывающегося на квазинеявной конечно-разностной схеме;

3) разработать комплекс предметно-ориентированных программ, реализующий предложенный алгоритм;

4) провести вычислительный эксперимент с помощью разработанного комплекса программ и определить границу между кондуктивным и ламинарным режимами свободной конвекции в вертикальном цилиндрическом резервуаре при различных степенях заполнения.

Научная новизна диссертации состоит в:

1) модификации уравнений Обербека-Буссинеска для кондуктивного режима свободной конвекции, заключающаяся в возможности рассмотрения постановки задачи в несопряженном виде за счет раздельного решения уравнения конвективного теплообмена в приближении молекулярной теплопроводности и уравнения количества движения;

2) аналитических решениях задач о нестационарном распределении температурных полей в ограниченном цилиндре при различных граничных условиях, полученных применением конечных интегральных преобразований;

3) адаптации вычислительного алгоритма при аналитическом представлении температурного поля непосредственно в квазинеявной конечно-разностной схеме;

4) разработанном программном комплексе, реализующем предложенные модельные представления и адаптированный вычислительный алгоритм, а также, в методике определения границы между кондуктивным и ламинарным режимами свободной конвекции в вертикальном цилиндрическом резервуаре при различной степени заполнения, основанной на сравнении структуры температурных полей.

Практическая значимость заключается в возможности использования разработанной методики и реализующей ее программного комплекса (свидетельства гос. регистрации № 2012610613, 2012612686) для идентификации границы между кондуктивным и ламинарным режимами свободной конвекции не только для областей в виде

ограниченного вертикального цилиндра со свободной поверхностью, но и для других геометрических объемов.

Апробация. Основные результаты диссертационного исследования доложены и обсуждены на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XVIII» (Воронеж 2007), на IX Всероссийской научно-технической конференции и школ молодых ученых, аспирантов и студентов «Авиакосмические технологии» (Воронеж 2008), на IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - осенняя сессия (Волгоград 2008), на V Международном семинаре «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж 2008).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 10 работах, из них 3 в реферируемых журналах из списка ВАК РФ, в том числе 2 свидетельства на программный продукт.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и приложения. Материал изложен на 153 страницах и содержит 35 рисунков и 1 таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и ее практическая значимость.

В первой главе проанализировано современное состояние проблемы математического моделирования свободноконвективных течений во внутренних задачах.

Отмечается, что для описания термогравитационной свободной конвекции используются уравнения Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска. Из-за существенной нелинейности системы уравнений Обербека-Буссинеска множество аналитических методов ее решения крайне ограничено, а имеющиеся решения получены при существенных упрощениях и не всегда согласуются с результатами опытов. Поэтому, основным подходом к решению этих уравнений является их интегрирование с помощью численных методов, основывающихся, как правило, на конечно-разностных аппроксимациях исходных уравнений и граничных условий.

Известно, что особенностью задач о свободной конвекции является широкий диапазон изменения числа Грасгофа вг, предполагающий их анализ в кондуктивном, ламинарном и турбулентном режимах. При этом определяющим критерием гидродинамического режима является не

только критерий Грасгофа вг, т.е. можно выделить кондуктивный (вг < 102), ламинарный (102 < Ог < 106), переходный (106 < вг < 109), развитый турбулентный (вг > 109), но и геометрия области. Однако следует иметь ввиду, что влияние геометрии области на границы режимов вг практически не исследовалось.

Поэтому в данной работе, на примере вертикального цилиндрического резервуара, рассматривается построение методики определения границы между кондуктивным и ламинарным режимами свободной конвекции при различной степени заполнения.

Во второй главе сформулированы и аналитически решены методом последовательного применения интегральных преобразований задачи определения нестационарных температурных полей в конечной цилиндрической области при различных типах граничных условиях.

В основу анализа кондуктивного режима свободной конвекции положен теоретически обоснованный и экспериментально подтвержденный факт, что при малых Сг конвективное течение является незначительным, и оно практически не оказывает влияния на распределение температур в жидкости. Поэтому объектом исследования явилось уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат:

дг'

а2/ 1 а/ аЧ > ——+— • (1) дг2 гдг С2 1

Данное уравнение анализировалось для граничных условий:

1 рода Иг,0) = /„; / (г, 0, г) = („; Г (г, И, г) = /А;

(2)

дг

аг(/-,о,г) а^(гЛг)

2 рода 1(г,:,0) = 1п- -Л '=<?„; -Л у =ць\

дг дг

= = (3)

дг дг

а также смешанного типа, получаемого комбинацией граннчных условий (2) и (3).

Путем последовательного применения интегральных

преобразований Ханкеля и Лапласа получены аналитические решения для граничных условий 1-го, 2-го рода и граничных условий смешанного типа, записанные с помощью двойных рядов. Ввиду того, что решения были найдены с использованием классических интегральных преобразований, нет никаких сомнений, что указанные ряды сходятся. Поэтому, речь шла о скорости сходимости рядов. Учитывая структуру полученных решений и то, что они представляются с помощью специальных и трансцендентных функций теоретический анализ скорости сходимости затруднен. Очевидно, что наименьшую скорость сходимости имеют решения в начальный момент времени. И, следовательно, от того, насколько точно будет выполняться начальное условие, будет зависеть выбор числа членов ряда. С целью разрешения указанной проблемы были проведены вычислительные эксперименты, по результатам которых установлено, что удовлетворительная сходимость двойных рядов, входящих в решения, наступает при числе членов ряда 1000x1000 инвариантно к параметрам задач (рис. 1).

Рис.1. Зависимость представления начального условия от числа членов ряда в задаче с граничными условиями 1-го рода: а-100х100; 6-1000x1000

На рис. 2 приведены результаты вычислительного эксперимента для ситуации, когда величины теплопритоков через верхний и нижний срезы цилиндра и боковую поверхность одинаковы. Начальное условие выполнено при числе рядов 1000х 1000. Температура более интенсивно повышается в угловых точках, т.е. при пересечении боковой поверхности и нижнего или верхнего оснований. После того, как тепловая волна достигнет середины оси цилиндра (рис. 2-г) увеличение температурного поля происходит со временем эквидистантно. А изменение среднеобъемной температуры носит линейный характер. Даже в случае неравномерного подвода характер изменения среднеобъемной температуры остается линейно возрастающим.

7

Рис. 2. Нестационарные поля температур задачи с граничными условиями 2 рода (а-д) и изменение среднеобъемной температуры (е) при Шь= - !; й/„= 1: /?/„.= -1; £ = 1 и различных числах Ро: а-0; 6-10"': в-10"2; г-10"'; д-1

Кроме того, корректность расчетов подтверждает тот факт, что при равенстве входящего и выходящего количества тепла среднеобъемная температура не изменяется.

Аналогичный анализ был проведен и для смешанных граничных условий.

В третьей главе представлены результаты синтеза математической модели свободноконвективного течения вязкой несжимаемой жидкости в вертикальном цилиндрическом резервуаре со свободной границей.

Формализация задачи приведена с использованием уравнений Обербека -Буссинеска в переменных Гельмгольца:

дв "

дП

дО д2П 1 дП

2о О

дя зт

дг дЯ2 Я дЯ д2г °21

„ дТ дт 1

+ [ „— + £У7 — = — дв " дЯ 2 дг Рг

Я

дтЛ

дя)

04Л д2т

а'ч' з2^ 1 с»'

дг2 дЯ

,---= -ЛП;

2 Я дя

| + Ог—;(4) дЯ

(5)

= Ч^Л.г.О) = 0) = 0; (7)

4>(0,г,в) = У (1,2,0) = 0,0) = Ч^ял,^) = 0; (8)

зг ж

= (12)

е 1 ач7 „ 1 № л „81' 8У7 ^ п , 0 г

где V.. = --, V, =--, 0 = ,?—--2., 2 = 2 1, я = г га, в = т т,

" л эй г я дк дхдя

Уя=игГи-У7=и:Ги- т = ¡V, и = у/г0, £ = /■„//«, Р = рГр, Г = /Д/,-/с), р = ри2/г2, 1 = цг0/Л, Рг = у/а, Ог = ^г03/?(/А-?с)/у2, Рг-число Прандтля, г, г, т -текущие координаты по оси и радиусу резервуара с центром на свободной поверхности и время; г„,И - радиус резервуара и высота столба жидкости; Ук,\'7 - компоненты скорости жидкости, д - плотность теплового потока, Л - теплопроводность, и - кинематическая вязкость, а -температуропроводность среды, р - коэффициент объемного расширения.

Интегрирование системы (4)-(12) осуществлялось по полунеявной конечно-разностной схеме, представленной в виде дискретного аналога шаблоном типа «крест с опережением», которая позволила реализовать вычислительную процедуру маршевого типа по уравнениям для вихря и температуры и неявную организацию нахождения функции тока, трансформирующую уравнение эллиптического типа по методу верхней релаксации:

+ Рг

41Аг(АК)2 4/Д2(ДД)

1

Ки-27м + 7А, , -ТГ-х., , е2 +Км

(ДЯ)2 2/(А 11)2 (А2)2

>Ав; (13)

п,7 =«*,+

4/Л7(АЛ)2 4/Дг(Д/?)::

(А*)"

П,

I2 (ал)

2/(ДЯ)

+ £

(Д2Г

А в;

(14)

2Дг ^ 2ДЛ

|У(ДЯ)2 -У2/(АЛ)2]^Х -2[ек^)1 +[1/(ДЯ)2 -^(дя)2]^. +

= -/ДЙО£'; (15)

= (17)

£!:„ = ■

£-г(70Ч/*о -208^, + 2284^ -112Ч',4, + 22Ч'*„);

24/ дл(дг)

24/ ДЛ(А^)

а

24(АЯ)2 ^22>Р:'/" ~1 ' + ' " 2084^

+ЗбП_3; -484^., +25П-,,); (19)

С =¿(487;' -36Т,12+\6Т'3 -37;44);

= +16^,-4 -збт^,_5 +487;4д/_2);

(20)

^,=¿(48^-36^+16^-3^); 71,., = 0. (21)

Исходя из того, что для кондуктивного режима свободной конвекции характерны небольшие значения компонент скорости, логично в исходной системе уравнений пренебречь конвективными слагаемыми в уравнениях для вихря и температуры. Это дало возможность понизить ее размерность, путем исключения уравнения теплопроводности (температура зависит от скорости), аналитическое решение которого при различных граничных условиях приведено в главе 2.

Подставляя полученные решения в уравнение (22) определяется вихрь. Конечно-разностная схема (13) - (21) модифицируется в конечно-разностную схему вида:

п*:1 = О', +

■1 + 1.1 , "|-И./ 1-1.7 , £1 /./+1 ^1.1 1.1-1

(ДЯ)-

2/(Д«)2

+ <Г

О* -2Г2*.+П*

£1

1 + £ —

2Аг

V „ дт

J ™ '•У

(Агу

\е; (22)

¿47/ +Ч-..Н + ^-.У + Т-и _ + /ддд*+. =0;(23)

(М)1 (АД)2 2/(ДЯ)2

и/* _ и/' _ 11/* _ а/4 _ п. т|. О — тг.М-| — 'о./ ~~ 1 ЛГ-1.7 и>

(24)

(25)

О*. =--^--(70^., - 208^, + 2284^* -1124^, + 22НК* 4);

24/ дя(дг) у

П?*,-, =--—+228Ч/*л/_з -2084^,_4 - 70У*Д,_5 ); (26)

24/ дя(дг) 4

<4 , , =---ЦГ(22Ч'^_,, -1124»* _2, + 228Ч/д._3 у -2084^ _4_, -

24 (Д7?)

+ +36Ч"л,-„ -48П-,, +254^ , ,); (27)

?;'„ =¿(487;', -367;*+167;*-37;*);

25

(-зт;*А,_5 +167;*м.4 -367;*,_з (28)

= ¿(4*7;", -367^ +16Т£ -37;*,); тЦ_и =0. (29)

На основе разработанных математических моделей был создан предметно-ориентированный программный комплекс, представляющий собой компьютерную программу, написанную на языке С++, который

позволяет производить расчет характеристик температурных полей и функции тока для кондуктивного и ламинарного режимов. Программа дает возможность выполнять два независимых расчета и выводить полученные результаты в графическом виде и в файлы, содержащие массивы данных, для построения результатов вычислений в формате ЗГ).

Интерфейс программы представлен на рис. 3.

Брекч рас1£та:С:06;5^

Рис.3. Ввод исходных данных и выполнение расчетов Алгоритм программного комплекса записывается в виде схемы:

Выполнение расчетов

< Вывод

результатов )

Ввод исходных данных

нет

В четвертой главе приведены результаты вычислительного эксперимента по определению границы перехода между кондуктивным и ламинарным режимами свободноконвективного течения вязкой несжимаемой жидкости.

Определение границы между кондуктивным и ламинарным режимами проводилось на основе степени искривления изотерм. Характерная выборка результатов вычислительных экспериментов представлена на рис. 4. Это дало основания считать, что для данной геометрии переход от кондуктивного к ламинарному режиму наступает при Ог=ЮО.

В Я й 8 В В й

Рис. 4. Функция тока (слева) и соответствующие поля температур (справа)

в формате изолиний при числе Рг=0,7, степени заполнения с, = у-=1

п

(га -радиус резервуара, А -высота столба жидкости) и различных Ог: а-1, 6-10, и-100, г-1000

Однако, выбранная зависимость для числа вг не является представительной, т.к. зависит только от высоты цилиндра. Полученные результаты достигают пап, который не отвечает физическому смыслу. С целью решения этой проблемы вводится модифицированный критерий

Грасгофа^-р^.

Помимо визуального контролирования структуры температурных полей рассмотрены и интегральные характеристики, которые основывались на общеизвестных представлениях о расстоянии между функциями в пространстве непрерывных функций.

На основании проведенного вычислительного эксперимента была построена поверхность приближения

С/ = 2,44£"°'9 Рг"и,

Рис. 5. Сравнительный анализ результатов аппроксимации (поверхность) и вычислительных экспериментов (• • •)

В приложении приведено описание предметно ориентированного программного комплекса для идентификации границы между кондуктивньш и ламинарными режимами свободной конвекции в вертикальном цилиндре со свободной границей.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Предложена математическая модель кондуктивно-ламинарного режима термоконвекции в виде линеаризованных уравнений Обербека-Буссинеска.

2. Проведены вычислительные эксперименты для свободно-конвективного течения вязкой несжимаемой жидкости в вертикальном цилиндрическом резервуаре со свободной границей на основе уравнений Обербека-Буссинеска в переменных Гельмгольца в осесимметричной постановке с использованием разработанного вычислительного алгоритма по квазинеявной конечно-разностной схеме.

3. Сформулированы и аналитически решены методом последовательного применения интегральных преобразований Лапласа и Ханкеля по временной и радиальной координатам задачи идентификации нестационарных температурных полей конечной цилиндрической области при наличии различной комбинации граничных условий первого и второго родов на боковой и торцевых поверхностях.

4. Создан предметно-ориентированный программный комплекс для идентификации границы между кондуктивным и ламинарными режимами свободной конвекции в вертикальном цилиндре со свободной границей.

Основные результаты диссертации опубликованы

в следующих работах: публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Ряжских, В.И. Математическое моделирование кондуктивного переноса теплоты в ограниченном цилиндре при смешанных граничных условиях [Текст] / В.И. Ряжских, Е.А. Соболева // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2009. - Т. 16, вып. 3. - С. 560-561.

2. Ряжских, В.И. Алгоритм численного интегрирования уравнений модели кондуктивно-ламинарного режима термоконвекции ньютоновской жидкости в вертикальном цилиндрическом резервуаре [Текст] / В.И. Ряжских, В.Г. Стогней, Е.А. Соболева // Вестник ВГТУ. -2009. - Т. 5, № 8. - С. 8-9.

3. Ряжских, В.И. Кондуктивный перенос теплоты в ограниченном цилиндре при смешанных граничных условиях [Текст] / В.И. Ряжских, Е.А. Соболева // Системы управления и информационные технологии. — 2009.-№4.1(38).-С. 183-188.

статьи и материалы конференций

4. Ряжских, В.И. Кондуктивный режим свободной конвекции в ограниченном цилиндре при граничных условиях второго рода [Текст] / В.И. Ряжских, М.И. Слюсарев, A.A. Богер, Е.А. Соболева//Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения — XVIII». -Воронеж: Изд-во Воронеж гос. ун-та, 2007. - С. 143-144.

5. Ряжских, В.И. Нестационарное температурное поле ограниченного цилиндра при граничных условиях первого рода [Текст] / В.И. Ряжских, М.И. Слюсарев, A.A. Богер, Е.А. Соболева // Вестник Воронеж, гос. технол. акад. Серия: Информационные технологии, моделирование и управление. - 2008, №2. — С. 79-81.

6. Ряжских, В.И. Кондуктивно-ламинарный режим термоконвекции ньютоновской жидкости в вертикальном цилиндрическом резервуаре [Текст] / В.И. Ряжских, E.H. Ковалева, Е.А. Соболева, О.Ю. Никифорова // Авиакосмические технологии "АКТ-2008": тезисы IX Всерос. науч.-техн. конф. и школа молодых ученых, аспирантов и студентов / ГОУ ВПО «Воронеж, гос. техн. ун-т». -Воронеж, 2008. - С. 97.

7. Ряжских, В.И. Кондуктивный перенос теплоты в ограниченном цилиндре при смешанных граничных условиях [Текст] / В.И. Ряжских, Е.А. Соболева // Физико-математическое моделирование систем: материалы V Междунар. семинара / ГОУВПО «Воронеж, гос. техн.ун-т». -Воронеж, 2008. -Ч. 2. - С. 138-141.

8. Соболева, Е.А. Кондуктивно-ламинарный режим свободной конвекции в вертикальном цилиндрическом резервуаре [Текст] / Е.А. Соболева // Материалы XLIX отчет, конф. за 2010 год / Воронеж, гос. технол. акад.- Воронеж, 2011. - 182с.

9. Ряжских, В.И. Расчет кондуктивно-ламинарного режима свободной конвекции в вертикальном цилиндрическом резервуаре [Текст] / В.И. Ряжских, C.B. Рябов, Е.А. Соболева // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012612686.

10. Ряжских, В.И. Расчет свободно-конвективного течения в вертикальном цилиндрическом резервуаре при малых числах Gr [Текст] / В.И. Ряжских, C.B. Рябов, Е.А. Соболева // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012610613.

Подписано в печать 07.02 2013. Формат 60 х 84 1/16 Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 29

ФГБОУВПО «Воронежский государственный университет инженерных технологий» (ФГБОУВПО«ВГУИТ») Отдел полиграфии ФГБОУВПО «ВГУИТ» Адрес университета и отдела полиграфии: 394036, Воронеж, пр. Революции, 19

ФГБОУ ВПО "Воронежский государственный университет инженерных технологий"

На правах рукописи

04201355673

Соболева Елена Александровна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНДУКТИВНО-ЛАМИНАРНОЙ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНВЕКЦИИ ВО ВНУТРЕННИХ ЗАДАЧАХ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Научный руководитель: д.т.н., проф. Ряжских В.И.

Воронеж 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ...................................................................................4

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА ПРИ ЛАМИНАРНОЙ

СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ..........................................................7

1.1. Механизм переноса импульса и теплоты в условиях гравитационной естественной конвекции и его математическое описание.................7

1.2. Аналитические методы анализа моделей свободной конвекции........18

1.3. Численное интегрирование уравнений модели Обербека-Буссинеска.26

1.4. Интегральные соотношения для теплообменных характеристик во внутренних задачах свободной конвекции..................................34

1.5. Выводы, цель и задачи исследования..........................................40

2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ

ДЛЯ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ СО

СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ...........................................................43

2.1. Основные допущения и математическая постановка......................43

2.2. Аналитическое решение задачи для случая граничных условий первого рода..................................................................................44

2.3. Частные случаи £->0 и >ю для задачи с граничными условиями первого рода........................................................................48

2.4. Аналитическое решение задачи для случая граничных условий второго рода........................................................................51

2.5. Частные случаи £->0и £-»оо задачи с граничными условиями второго рода........................................................................55

2.6. Аналитическое решение задачи для случая смешанных граничных условий первого типа.............................................................57

2.7. Аналитическое решение задачи для случая смешанных граничных условий второго типа.............................................................61

2.8. Анализ аналитических решений..............................................64

2.9. Выводы..............................................................................76

3. СИНТЕЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СВОБОДНО-КОНВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ В ОГРАНИЧЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ...................................................78

3.1. Компонентная запись уравнений Обербека-Буссинеска в цилиндрической системе координат и ее представление в переменных Гельмгольца........................................................................78

3.2. Постановка граничных условий...............................................81

3.3. Численная схема решения...........................:..........................86

3.4. Выводы..............................................................................94

4. РЕАЛИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА И АНАЛИЗ ЕГО РЕЗУЛЬТАТОВ....................................................................96

4.1. Идентификация кондуктивного режима свободно-конвективного течения в ограниченном цилиндре............................................96

4.2. Методика идентификации границы между кондуктивным и ламинарным режимами.........................................................102

ВЫВОДЫ..................................................................................106

ЛИТЕРАТУРА............................................................................107

ПРИЛОЖЕНИЕ. Листинг программ

118

ВВЕДЕНИЕ

Известно, что свободноконвективное течение вязких жидкостей может осуществляться в ламинарном, переходном и турбулентном режимах. Исследованию этих режимов посвящено достаточно большое число работ известных ученых, таких как, Остроумов Г.А., Ландау Л.Д., Сполдинг Д.Б., Спэрроу Е.М., Полежаев В.И., Черкасов С.Г., Мартыненко О.Г. и др. Наряду с этими режимами выделяется дополнительно кондуктивный режим свободной конвекции, когда из-за малых скоростей течения поле температур аналогично полю температур при молекулярной теплопроводности.

Экспериментальное изучение этого режима затруднено по причине необходимости измерения очень малых скоростей и перепадов давления, что делает актуальным применение в этом случае метода математического моделирования. В настоящее время основным инструментом построения моделей кондуктивного режима являются уравнения Обербека-Буссинеска, решение которых для малых чисел Грасгофа все еще остается проблематичным из-за существенной их нелинейности.

В последнее время стал развиваться альтернативный подход, согласно которому описание кондуктивного режима свободной конвекции возможно по линеаризованным уравнениям Обербека-Буссинеска без конвективных слагаемых, что существенно упрощает задачу в плане аналитического и численного анализа.

Диссертационная работа выполнялась в соответствии с научно-исследовательскими работами Воронежского государственного университета инженерных технологий по теме «Дифференциальные и интегральные уравнения математических моделей е стественных и прикладных наук» (№ г.р.0020543), а также в рамках проекта 07-08-00166 по гранту РФФИ «Математическое моделирование образования осадка микропримесей азота и кислорода при испарительном охлаждении жидкого водорода в криогенных резервуарах».

Цель работы: идентификация границы между кондуктивным и ламинарным режимами свободноконвективного течения вязкой несжимаемой жидкости на основе моделирования гидротермических полей во внутренних задачах со свободной границей. Для достижения цели поставлены задачи:

1) разработать математические модели класса внутренних задач свободной конвекции на примере вертикального цилиндрического резервуара со свободной поверхностью для кондуктивного и ламинарного режимов и определить температурные поля при различных граничных условиях и степенях заполнения вязкой несжимаемой жидкостью;

2) численно проинтегрировать уравнения Обербека-Буссинеска в переменных Гельмгольца с использованием модифицированного вычислительного алгоритма, основывающегося на квазинеявной конечно-разностной схеме;

3) разработать комплекс предметно-ориентированных программ, реализующий предложенный алгоритм;

4) провести вычислительный эксперимент с помощью разработанного комплекса программ и определить границу между кондуктивным и ламинарным режимами свободной конвекции в вертикальном цилиндрическом резервуаре при различных степенях заполнения.

Научная новизна диссертации состоит в:

1) модификации уравнений Обербека-Буссинеска для кондуктивного режима свободной конвекции, заключающаяся в возможности рассмотрения постановки задачи в несопряженном виде за счет раздельного решения уравнения конвективного теплообмена в приближении молекулярной теплопроводности и уравнения количества движения;

2) аналитических решениях задач о нестационарном распределении температурных полей в ограниченном цилиндре при различных граничных условиях, полученных применением конечных интегральных преобразований;

3) адаптации вычислительного алгоритма при аналитическом представлении температурного поля непосредственно в квазинеявной конечно-разностной схеме;

4) разработанном программном комплексе, реализующем предложенные модельные представления и адаптированный вычислительный алгоритм, а также, в методике определения границы между кондуктивным и ламинарным режимами свободной конвекции в вертикальном цилиндрическом резервуаре при различной степени заполнения, основанной на сравнении структуры температурных полей.

Практическая значимость заключается в возможности использования разработанной методики и реализующей ее программного комплекса (свидетельства гос. регистрации № 2012610613, 2012612686) для идентификации границы между кондуктивным и ламинарным режимами свободной конвекции не только для областей в виде ограниченного вертикального цилиндра со свободной поверхностью, но и для других геометрических объемов.

Основные результаты диссертационного исследования доложены и обсуждены на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XVIII» (Воронеж 2007), на IX Всероссийской научно-технической конференции и школ молодых ученых, аспирантов и студентов «Авиакосмические технологии» (Воронеж 2008), на IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике -осенняя сессия (Волгоград 2008), на V Международном семинаре «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж 2008).

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЯВЛЕНИЙ

ПЕРЕНОСА ПРИ ЛАМИНАРНОЙ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ

1.1. Механизм переноса импульса и теплоты в условиях гравитационной естественной конвекции и его математическое описание

Движение жидкостей, вызванное разностью плотностей в поле внешних сил, называют свободной конвекцией [44]. Такими внешними силами являются силы тяжести, а разность плотностей вызывается перепадом температур между поверхностью твердого тела и жидкостью. Первое теоретическое исследование задачи возникновения конвекции в жидкости было выполнено Рэлеем в 1916 году, а позднее расширено Джеффри и Лоу. Ими было установлено, что переход от режима теплопроводности к режиму конвекции происходит при некотором критическом значении числа Рэлея, которое определяет отношение подъемных сил к силам вязкостного трения. Таким образом, было объяснено возникновение свободного конвективного движения действием архимедовых подъемных сил. Это означает, что свободная конвекция в жидкости возникает из-за нарушения механического равновесия в жидкости из-за наличия градиентного поля температур. При этом отсутствие механического равновесия приводит к возникновению в жидкости внутренних течений, стремящихся перемешать жидкость так, чтобы в ней установилась однородная температура.

Основополагающая математическая модель свободно-конвективного течения была синтезирована Обербеком и Буссинеском. Идея получения математической модели основывалась на линеаризации уравнений Навье-Стокса. Предполагалось, что в процессе все теплофизические переменные постоянны, кроме плотности жидкости, которая зависит от текущей температуры. Предполагая линейную зависимость плотности от

температуры в окрестности первоначальной плотности жидкости, получена следующая система дифференциальных нелинейных уравнений в частных производных смешанного типа [42]. Уравнение для переноса импульса

—+ (й-Ч)и = -—Ур + уДи-^; (1.1)

дт к } р

где - вектор скорости, скаляры давления и температура жидкости;

V, Р - плотность, кинематическая вязкость и коэффициент теплового

расширения жидкости; g- вектор ускорения силы тяжести; т- текущее время; V- градиент; А - оператор Лапласа.

Уравнение (1.1) конвективной теплопроводности в пренебрежении эффекта вязкостной диссипации ввиду малых скоростей перемещения объемов жидкости

& —*

— + иАГ = аМ, (1.2)

дт

где а -коэффициент температуропроводности.

Уравнение неразрывности движения жидкости

сИуи = 0. (1.3)

В общем случае такая линеаризация, приводящая к системе (1.1)-(1.3) существенно ограничивает область применения данной модели. Однако для большинства практически важных задач она остается вполне корректной и адекватной. В последнее время появляются работы, например [73]. В этой работе проведен анализ вывода Обербека-Буссинеска на основе уравнения Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости

Л 1

— + =--+ + (1.4)

дт х ' р

Отказавшись от допущения малости возмущений температуры , плотности р' и давления/?'представлено изменение искомых потенциалов со временем в виде:

где температура, плотность и давление в невозмущенном

состоянии.

Оставляя прежней связь между возмущенной плотностью и возмущенной температурой (линеаризация Обербека-Буссинеска)

Р =

1' =-p.pt', (1.5)

Ы

' и

где /3 - коэффициент объемного расширения жидкости. Так как

= , РОУР'-Р'УРО^ Р Ро р1+РоР'

уравнение (1.4) примет вид:

до /-

1 ' 1 -в?

р' - 4

V Ро

(1.6)

дт х ' \-fii

Если то уравнение (1.6) переходит в классическое уравнение

Обербека-Буссинеска. Полученное уравнение было применено к оценке применимости уравнений Обербека-Буссинеска (1.1) - (1.3) в задаче о свободной конвекции жидкого водорода в сферическом резервуаре РС-1400, при заданном тепловом потоке через смоченную поверхность. Эта оценка позволила идентифицировать временной интервал, на котором использование классических уравнений является правомочным, что в реальном масштабе составляет до 30 суток.

Известно [25], что задачи свободно-конвективного движения классифицируются на внешние и внутренние. Внешней задачей, называется задача естественной конвекции в незамкнутой области, а внутренней - в замкнутой. Хотя такое деление чисто условно, тем не менее, решение первого типа задач менее сложно по причине наличия условия неподвижности жидкости на бесконечности. В дальнейшем будем ограничиваться рассмотрением класса внутренних задач, как наиболее

трудных для формализованного анализа из-за неопределенности динамических структур гидродинамических и тепловых полей.

Уравнения Обербека-Буссинеска "как правило" анализируются в компонентном виде.

В декартовой системе координат (1.1) - (1.3):

1 др

ди ди и

до

дт до

ди

— + о— = дх ду р дх

( Л

о и о и

дх1 ду2

и-

дт дх

до 1 др и— =---— + V

ду р ду

{ л2 \

д о до

дх2 ду2

+

ди до _ + — = 0.

дх ду

В цилиндрической системе координат (для осесимметричной постановки):

до.

дт до

1Л

ди.

дг

о.

дг

1 др'

до.

дт

2 ±Ог-т1- + и.

р дг 1 др'

+■ V

¿д_ г дг

дг

дт

дг р дг

дг' дг' ог — + о2 — = а дг дг

]_д_

г дг

г

дог г—1 дг

доЛ

д2о.. о.

дг

V ™ ;

дг2

ач

Эг2

г дг у дг

1 д(гог) 1 до2=:0

2->

ди

г дг дг

Для сферической системы координат (для осесимметричной

постановки):

ди.

дт

г

о„

1 др

дг г дер г р дг

\_д_ г2 дг

дг

+

1

г ът(р д(р

БШ(р

ЭцЛ 2ог 2 д^ъхткр)

д(р

г эт^?

дер

+ g соэ ср-г\

ди.

дт

* . » ^ , ^ dVV ,

г

1 dp

дг г д<р

1

а

г sin ^z? д(р

sin<p

dt

dt v dt — + ur— + —— = a дт дг г дер

дер г2 дг

рг д(р

2 ди.

]_д_ г2 дг

í

\

,2 dU<p

г2 дер г2 sin2 ср

дг

-gsmcp'f,

дЛ

дг

1

г sin <р дер

sin (р

\

д(р

1 | 1 d(sin<p-uv)

дг

= 0.

rsmcp дер

Учитывая существенно нелинейный характер уравнений математической модели естественной конвекции в переменных скорость-давление на практике при исследовании двумерных течений чаще используется запись уравнений в переменных функция тока-вихрь [43]. Однако такой подход может быть обобщен и на пространственные течения. Применяется векторная операция rot к обеим частям уравнения (1.1)

rot

'дР

\dTJ

л-rot

И)

v = rot

Р )

+ rot( У А и) - rot (/? g tj.

Очевидно, что в силу пространственного характера операции ротирования

/ —4

дт

rot

f диЛ

\dTj

= ^z{rotv),

и с учетом

откуда

rot

Очевидно, что

(v-V^v = ^gradи -их rot и, • v) J = — rot{^ grad u2^ —rot (их rot .

rot^grad v2) = 0,

а

rot [о xrotv^ = (y-V^rotv- {rot и • v) и + и div rot u-rotv div u.

По определению со = rot и, кроме того divu = 0 из (1.3), поэтому div rot и = О, в результате ротор конвективной составляющей переноса

импульса есть

Далее

то есть

тогда

Поэтому

rot

(y.v) u = +

rot roto = -А и,

А и = -rot rot и = -rot со,

rot Av = -rot rot со - -V div со + Aco.

rot(vAuj = -vVdiv co + v Aco.

Ротор от внешней силы

rot (= -P t rot g - J3 (V t x g). На основании выше приведенных выкладок получается уравнение для вихря

--+ v)l> = v(Aco-Vdivco}- p(trotg + Vtxg},

которое с учетом div со = 0 и rot g = 0 упрощается до окончательного вида

^-(v-V}a) + (a-V}u = vA~co-j3Vtxg. (1.7)

Вводится функция у/, которая называется векторным потенциалом в виде:

и = roty/.

Такое введение функции у/ правомочно ввиду того, что дивергенция ротора любого вектора всегда тождественно равна нулю. Как правило, связь между у/ и со отыскивается из следующих соображений. Так как rot и = rot rot ц/, то со, очевидным образом, может быть представлена как

со = Vdivy/ - Ац/. Если выбрать в качестве Ау/ = -со, то

V(divy/^ = 0,

и

V^divy/^j = rot rotif/л- Ау/ - rot и - со = со-со = 0. Отсюда следует уравнение связи

Ац/ = -со.

Таким образом, окончательная модель Обербека-Буссинеска в переменных Гельмгольца представляется в виде:

|+ = (1.8)

= -¿у; (1.9)

v = rotij/\ (1.10) dt -

— + uVt = aAt. (1.11) c>r

Очевидно, что преимущество записи модели Обербека-Буссинеска проявляются при рассмотрении двумерных задач или трехмерных

осесимметричных, которые в окончательной форме записи являются по

существу двумерными. В этом случае векторный потенциал у/ становится функцией тока и, кроме этого, снижается размерность задачи. При переходе к переменным Гельмгольца искомый потенциал давления р нивелируется. Однако он может быть найден после решения системы (1.8)-(1.11) из решения уравнения Пуассона.

АР = -V (Р-У)Р],

где Р, V - нормированные величины текущего давления и скорости.

Для отыскания частного решения системы дифференциальных уравнений (1.8) - (1.11) необходимо ее дополнить краевыми условиями. Это необходимо сделать в связи с тем, что изучение конкретных явлений сводится к решению краевых задач. Чтобы из бесчисленного количества процессов выделить рассматриваемый и дать его полное математическое описание, к дифференциальным уравнениям необходимо присоединить математические формулировки частных особенностей изучаемого объекта -краевые условия, которые совместно с дифференциальными уравнениями дают полное описание конкретной задачи и включают в себя начальные условия и граничные у�