автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование пространственных автоструктур течений диэлектрических сред в электрических и тепловых полях

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1 СТРУКТУРЫ ЭЛЕКТРОКОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ СЛАБО-ПРОВОДЖЦИХ ДИЭЛЕКТРИКОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЯХ.

1.1. Физические механизмы электроконвективных (ЭК) течений жидких и газообразных диэлектриков.

1.2. Анализ математической модели.

1.3. Применение метода конечных элементов Галеркина в задачах электрогидродинамики Алгоритм. Программа.

Глава 2. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ПРОСТРАНСТВЕННО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ АВТОСТРУКТУР ТЕЧЕНИЯ СЛАБОПРОВОДЯЩИХ ЖИДКОСТЕЙ С УНИПОЛЯРНОЙ ИНЖЕКЦИОННОЙ ПРОВОДИМОСТЬЮ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ.

2.1. Динамика пространственно-периодических вихревых автоструктур вблизи кризиса потери устойчивости равновесия плоского слоя жидкого слабопроводящего диэлектрика.

2.2. Исследование униполярной инжекции в диэлектрических жидкостях методом вычислительного эксперимента.

2.3. Область устойчивости двумерных стационарных пространственно-периодических вихревых автоструктур ЭК-течения жидкого диэлектрика в однородном электрическом поле. Управление динамическими режимами.

2.4. Влияние диффузии ионов на формирование и устойчивость пространственно-периодических ЭК-структур.

2.5. Влияния боковых границ и относительного горизонтального размера слоя на волновое число формирующихся ЭК-структур.

Глава 3. СТРУКТУРЫ ТЕРМОГРАВИТАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ.

3.1 Маломодовые модели термогравитационных течений.

3.2 Анализ математической модели.

3.3 Граничные условия для вихря скорости. Алгоритм. Программа.

Глава 4. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ПРОСТРАНСТВЕННО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ И НЕРЕГУЛЯРНЫХ АВТОСТРУКТУР ТЕРМОГРАВИТАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ.

4.1 Исследование пространственно-периодических вихревых структур конвекции Рэлея-Бенара. Управление динамическими режимами.

4.2 Влияния продольного течения на формирование структур термогравитационной конвекции в плоском горизонтальном слое.

4.3 Численное моделирование термоконвективных структур в областях с нерегулярной геометрией и неоднородными условиями на границах.

4.4 Численное моделирование термоконвективных структур комбинированных течений в областях сложной формы.

Глава 5. СТРУКТУРЫ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД И КРУПНОМАСШТАБНЫЕ СТРУКТУРЫ ИЗОТЕРМИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ.

5.1 Термоконвективные неустойчивости в анизотропных жидкостях. Математическая модель. Численное моделирование локально-индуцированных термоконвективных автоструктур в плоском слое нематической жидкости. г

5.2 Крупномасштабные автоструктуры изотермических течений. Математическая модель. Численное моделирование вихревых автоструктур в изотермических потоках. 158 ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 168 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

Временная эволюция нелинейных систем различной природы имеет много общего. Внутренняя аналогия между сложными режимами в радиофизике, гидродинамике, химической кинетике, механике и электронике является экспериментально установленным фактом. Несмотря на чрезвычайное разнообразие нелинейных физических систем, их переход к нерегулярному поведению осуществляется лишь несколькими способами, часто общими не только для систем разной природы, но и для систем как сосредоточенных, так и распределенных. Основные среди них [1-3]: бесконечная цепочка бифуркаций удвоения периода, возникновение стохастичности при сближении, последующем слиянии и исчезновении устойчивого и неустойчивого периодических движений (перемежаемость), стохастическое разрушение квазипериодических движений и "жесткое" возникновение стохастичности.

За последнее время можно отметить значительные успехи в понимании стохастического поведения простых нелинейных систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями или дискретными отображениями. Временная эволюция таких систем давно находится в центре внимания, и представления о временном порядке и хаосе обрели достаточно четкую математическую формализацию. В связи с этим все актуальней становятся исследования стохастических режимов в более сложных системах - многомерных и распределенных, в которых речь может идти не только о временном, но и о пространственном порядке и хаосе, о пространственной периодичности и апериодичности, регулярности и нерегулярности. В таких нелинейных системах и средах возникает комплекс проблем, связанных с формированием и взаимодействием пространственных структур, названных Пригожиным [4,5] диссипативными, существующих за счет притока энергии и вещества из внешней среды и их диссипации внутри системы. В процессах стохастизации (турбулизации) нелинейных распределенных систем формирование и взаимодействие различных типов сложных стационарных и нестационарных пространственных диссипативных образований (равновесных, периодических, хаотических) играет основополагающую роль.

Кроме того, высокоорганизованные пространственные структуры в диссипативных средах, далеких от термодинамического равновесия, представляют собой центральную проблему во многих областях современной науки. Это в полной мере относится к структурам, образующимся в жидкостях и газах под действием градиента концентрации или температуры [6]; к электронным структурам в плазме твердых тел [7]; диссипативным структурам в нематических жидких кристаллах [8]; к конвективным структурам проводящих жидкостей в магнитном поле [6]; электроконвективным структурам в изотропных жидких диэлектриках [9]; к диссипативным структурам изотермических течений [10]; к структурам диффузии-конвекции [6], капиллярным структурам на поверхности жидкости при её параметрическом возбуждении [11], структурам в биологически возбудимых средах, в газовых разрядах, в нелинейной горящей среде и т.д.

Несмотря на все их многообразие, несомненным является существование многочисленных внутренних и внешних аналогий, связанных с общностью процессов самоорганизации и хаотизации сложных нелинейных систем. При этом наиболее актуальным является исследование формирования и динамики автоструктур (по классификации [12] А.В.Гапонов-Грехов, М.И.Рабинович) - пространственных образований, устойчиво существующих в диссипативных неравновесных средах и не зависящих (в конечных пределах) от граничных и начальных условий.

Среди них большим разнообразием и сложностью выделяются вихревые автоструктуры проводящих, слабопроводящих и электрически нейтральных жидкостей и газов, образующиеся в результате взаимодействия гидромеханических полей с электрическими, магнитными, тепловыми и др.

Научный интерес к этим объектам обусловлен, с одной стороны, их сложной пространственно-временной кооперативной динамикой, эффектами самоорганизации, динамического хаоса и турбулентности, с другой стороны - многочисленными и разнообразными областями практической важности и перспективами использования подобных систем.

Для описания процессов в системах с распределёнными параметрами используются, вообще говоря, три подхода. В первом случае уравнения в частных производных, описывающие распределенную систему, путем разложения по системам собственных функций области заменяют усеченной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. При таком подходе существенным фактором является знание размерности аттракторов системы, которое позволяет количественно оценить число задействованных в движении степеней свободы. Если размерность относительно мала, то моделирование процессов в распределенной системе возможно с помощью конечного числа обыкновенных дифференциальных уравнений. В противном случае усеченная система может обладать аттракторами, качественно отличающимися от аттракторов исходной системы. Примером может служить система Лоренца [13], представляющая собой трехмодовое усечение уравнений Обербека-Буссинеска [14], описывающих термогравитационную конвекцию Рэлея-Бенара. Система демонстрирует сложную, в том числе хаотическую динамику, однако увеличение числа мод в системе приводит сначала к возрастанию хаоса, а затем к его уменьшению и исчезновению [15]. То же относится и к маломодовым моделям некоторых других уравнений, например, уравнений Навье-Стокса. Так в работе [16] используется пятимодовая, а в работе [17] семимодовая модели уравнений Навье-Стокса. В случае модели [16] переход к хаосу происходит только путем бифуркаций удвоения периода, а в модели [17] — через возникновение и последующее разрушение квазипериодических режимов.

Однако оценка размерности аттрактора нелинейной распределенной динамической системы связана с рядом трудностей, кроме того, размерность аттрактора в распределенных пространственно несинхронизованных системах может возрастать неограниченно. В качестве примера оценки размерности аттрактора распределенной гидродинамической системы, можно привести работу [18] или [19].

Второму подходу соответствует моделирование распределённой системы как совокупности связанных сосредоточенных систем, каждая из которых описывается обыкновенным дифференциальным или разностным уравнением, например, [2] или [20,21]. Такой подход наиболее удобен для описания распределённых систем с ярко выраженной постоянной дискретной структурой, таких как цепочки нелинейных радиотехнических осцилляторов, некоторые химические реакции, распределенные экологические популяции и т.д. [22]. Эффективность подхода определяется, в значительной степени, способом введения связи между элементами.

Для распределенных систем и сплошных сред, способных генерировать разнородные, непостоянные интенсивно взаимодействующие пространственные структуры, с изменяющимися в процессе эволюции свойствами, более эффективен третий подход, связанный с использованием непосредственно исходных уравнений в частных производных и их численных аналогов. г

Все это обуславливает актуальность диссертационной темы, выбор моделей и метода, а также определяет цель исследований, которая заключаются в многопараметрическом анализе, на основе прямого численного моделирования методом конечных элементов Галеркина, особенностей формирования и нелинейной динамики пространственно-периодических и нерегулярных вихревых автоструктур, образующихся, как результат самоорганизации, в потоках жидких и газообразных диэлектриков при взаимодействии гидромеханических полей с электрическими и тепловыми.

Это, в свою очередь определяет основные задачи исследований:

1. Разработка эффективных средств (программ) прямого численного моделирования электрогидродинамических и термоконвективных процессов в изотропных и анизотропных сплошных средах.

2. Численное исследование формирования, особенностей нелинейной динамики и устойчивости стационарных пространственно-периодических автоструктур электроконвекции в слабопроводящих жидких диэлектриках с униполярной инжекционной проводимостью.

3. Численное исследование формирования и особенностей нелинейной динамики термоконвективных пространственно-периодических и нерегулярных автоструктур в различных областях сложной формы, а также моделирование термоконвективных автоструктур смешанных течений, термоконвективных автоструктур в анизотропных средах и гидромеханических структур в изотермических потоках.

Среди результатов исследований можно выделить результаты, являющиеся новыми:

1. Впервые осуществлен комплексный анализ, на основе результатов прямого численного моделирования методом конечных элементов (МКЭ), особенностей формирования, динамики и устойчивости пространственно-периодических электроконвективных автоструктур течения слабопроводящих диэлектрических жидкостей с униполярной инжекционной проводимостью в однородном электрическом поле:

- определено пороговое значение напряженности электрического поля, соответствующее потере устойчивости равновесия плоского слоя жидкости и возникновению стационарных пространственно-периодических вихревых автоструктур ЭК-течения для возмущения с волновым числом к = п и жидкости с проводимостью с70 =10~10(Qm-cjw)1; получена зависимость экстремума функции тока от напряженности поля вблизи кризиса;

- исследовано влияние инжекции зарядов с катода на пороговое значение напряженности электрического поля; получена зависимость коэффициента инжекции от проводимости жидкости; определена область устойчивости двумерных стационарных пространственно-периодических вихревых автоструктур электроконвекции; исследована возможность управления динамическими ЭК-режимами вариацией начальных полей объемной плотности зарядов с помощью докризисных изменений; получено семейство стационарных автоструктур при одинаковых внешних условиях;

- исследовано влияние боковых границ и аспектного отношения конвективной ячейки, моделирующей бесконечных плоский слой, на волновое число формирующихся автоструктур многовихревого ЭК-течения.

2. Впервые выполнен комплекс численных экспериментов на основе МКЭ по анализу автоструктур термогравитационной и смешанной конвекции изотропных и анизотропных сред в областях с регулярной и нерегулярной геометрией при однородных и неоднородных условиях на границах: исследованы особенности формирования и динамики пространственно-периодических автоструктур термогравитационного течения в плоском слое жидкости, подогреваемом снизу, при двух типах условий на границах; показана возможность управления динамическими режимами с помощью докризисных вариаций температурных полей; получено семейство структур течения;

- исследовано влияние продольного течения на формирование и динамику термоконвективных автоструктур; исследованы автоструктуры термогравитационных и комбинированных течений в областях нерегулярной формы с неоднородными условиями на границах; исследованы структуры термоконвекции в плоском слое анизотропной жидкости при локальном нагреве.

Можно отметить следующую практическую значимость полученных результатов:

Разработанные средства численного моделирования (программы) могут быть использованы для улучшения характеристик существующих и проектирования новых приборов, устройств и технологий, использующих или основанных на взаимодействии гидромеханических, электрических и тепловых полей.

В частности, средства численного моделирования, а также результаты, полученные при исследовании устойчивости, особенностей формирования и нелинейной динамики автоструктур электроконвективных и термоконвективных течения, имеют практическое приложение при разработке и совершенствовании систем охлаждения радиоэлектронных устройств, в том числе ориентированных на условия невесомости. Позволяют оптимизировать характеристики систем охлаждения и термостабилизации радиоэлектронных приборов, используя эффект интенсификации теплообмена с помощью электрических полей, а также возможность управления динамическими режимами вариацией начальных условий.

Результаты, полученные при исследовании автоструктур электроконвекции, а также средства численного моделирования, могут использоваться при разработке и совершенствовании электрогидродинамических (ЭГД) преобразователей различных типов (ЭГД-генераторов, ЭГД-устройств автоматики, ЭГД-распылителей и др.). При разработке и улучшении характеристик существующих высоковольтных, в том числе и сверхпроводящих кабелей с изоляцией в виде жидких и газообразных диэлектрических сред.

Полученные результаты и разработанные средства численного моделирования могут быть использованы при исследовании влияния электрогидродинамических и термоконвективных процессов на электрооптические свойства нематических жидких кристаллов, а также для улучшения характеристик устройств, созданных на их основе.

Разработанные методики, алгоритмы и программы позволяют проводить многопараметрический анализ и эффективное численное решение широкого круга задач, связанных с взаимодействием электрических, тепловых и гидрогазодинамических полей. В том числе и задач влияния электризации летательных аппаратов на режимы обтекания, задач управления пограничным слоем, проблем статической электризации элементов топливных систем и гидравлических устройств, задач электростатического напыления и др.

Обоснованность и достоверность полученных результатов основывается на качественном и количественном соответствии результатов работы с данными экспериментальных и теоретических исследований других авторов.

Обеспечивается корректностью и полнотой используемых моделей, соответствием области применимости моделей кругу исследуемых явлений, сходимостью вычислительных алгоритмов, проверкой точности вычислений, результатами тестирования алгоритмов и программ.

Подтверждается воспроизводимостью, повторяемостью результатов, сравнением с результатами исследования похожих систем.

Основные результаты работы докладывались на III Минском Международном форуме "Тепломассообмен ММФ-96" (Минск, 20-24 мая 1996), International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine (Saratov, July 8-14, 1996), 4-й Международной теплофизической школе "Теплофизические измерения в начале 21 века" (Тамбов, 24-28 сентября 2001). Материалы диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры электроники и волновых процессов и кафедры прикладной физики Саратовского государственного университета.

По теме диссертации опубликовано и принято в печать 22 работы. Результаты работы использовались при выполнении 11 НИР: "Полином" [23], "Звезда-1" [24], "Земля-2" [25], "Феты-РВО" [26], "Зал" [27], "Зипун" [28], "Зелье" [29], "Залп" [30], "Засветка" [31], "Занзибар" [32], "Зимбабве" [33].

По результатам исследований можно сформулировать основные положения, выносимые на защиту:

1. Величина пороговой напряженности электрического поля, соответствующая кризису потери устойчивости равновесия плоского слоя жидкого слабопроводящего диэлектрика с униполярной инжекционной проводимостью, и началу формирования стационарных пространственно-периодических автоструктур ЭК-течения в плоскопараллельной системе электродов, существенно зависит от электрохимических процессов в приэлектродном слое, приводящих к нелинейности граничных условий для объемной плотности зарядов на катоде и зависимости коэффициента инжекции от проводимости жидкости. Для жидкости с проводимостью т0=10~~10{Ом-см)~х и ЭК-структур с волновым числом к = тг пороговое значение напряженности электрического поля, определенное по результатам серии численных экспериментов, составляет 2.2 кВ/см. Зависимость экстремума функции тока от напряженности поля вблизи кризиса имеет вид vj/m =2.408-102(Е-Е*)1/2.

2. Область устойчивости стационарных пространственно-периодических автострукгур ЭК-течения слабопроводящей диэлектрической жидкости с униполярной инжекционной проводимостью в однородном электрическом поле, подобна области устойчивости вихревых структур рэлеевской термогравитационной конвекции в плоском горизонтальном слое, подогреваемом снизу.

13

3. Волновое число стационарных пространственно-периодических автоструктур многовихревого ЭК-течения слабопроводящей жидкости с униполярной инжекционной проводимостью, формирующихся в плоскопараллельной системе электродов при "неконтролируемых" начальных условиях составляет к = к при аспектом отношении конвективной ячейки L/8 > 6.

4. Показана возможность управления динамическими режимами структурной электро- и термоконвекции с помощью докризисных вариаций начальных полей объёмной плотности зарядов (для электроконвекции) и начальных полей температуры (для термоконвекции).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, проведено комплексное исследование с применением технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента, на основе метода конечных элементов Галеркина, по многопараметрическому анализу закономерностей формирования, динамики и устойчивости пространственно-периодических и нерегулярных автоструктур, образующихся, как результат самоорганизации, в потоках жидких и газообразных диэлектриков при взаимодействии гидромеханических полей с электрическими и тепловыми.

Рассмотрены физические механизмы формирования структур течения жидких и газообразных слабопроводящих диэлектриков в электрическом поле, представлен анализ математической модели, предложен алгоритм и разработана программа решения двумерной нестационарной задачи изотермической электрогидродинамики методом конечных элементов Галеркина (слабая формулировка), представлен обзор работ по данной тематике (Глава1).

Получены результаты численного исследования формирования, динамики и устойчивости пространственно-периодических вихревых автоструктур течения слабопроводящих жидкостей с униполярной инжекционной проводимостью в однородном электрическом поле (Глава2):

- исследованы особенности формирования и динамики структур вблизи кризиса потери устойчивости равновесия плоского слоя жидкого слабопроводящего диэлектрика в электрическом поле;

- методом вычислительного эксперимента исследованы особенности униполярной инжекции вблизи кризиса;

- исследована устойчивость двумерных стационарных пространственно-периодических вихревых автоструктур электроконвективного течения, а также структуры, образующиеся в результате разрушения пространственно-периодических вихрей за пределами области устойчивости; показана возможность управления динамическими режимами с помощью вариаций начальных полей объемной плотности зарядов;

- проведены численные оценки влияния диффузии ионов на особенности формирования и устойчивость ЭК-структур;

- исследовано влияние боковых границ и аспектного отношения конвективной ячейки, моделирующей бесконечный плоский слой, на волновое число формирующихся автоструктур многовихревого ЭК-течения при "неконтролируемых" начальных условиях.

Рассмотрено формирование и нелинейная динамика вихревых структур течения неоднородно нагретых жидкостей и газов, представлен анализ маломодовых и основных моделей, а также совокупности принятых при выводе основных уравнений допущений, предложен алгоритм и разработана программа решения двумерной нестационарной задачи термоконвекции методом конечных элементов Галеркина (слабая формулировка). Представлен краткий обзор основных работ по этой тематике (ГлаваЗ).

Представлены результаты численного исследования формирования и динамики пространственно-периодических и нерегулярных вихревых структур термоконвективных и комбинированных (смешанных) течений жидкостей и газов в областях различной формы с разного типа условиями на границах (Глава4):

- исследованы особенности формирования двумерных стационарных пространственно-периодических вихревых автоструктур рэлеевской термоконвекции при двух типах условий на границах, показана возможность управления динамическими режимами с помощью вариации начальных полей температуры;

- исследовано взаимодействие конвективных и гидродинамических неустойчивостей в плоском горизонтальном слое газа, подогреваемом снизу;

- проведено численное моделирование термоконвективных структур в областях с нерегулярной геометрией и неоднородными условиями на границах;

- проведено численное моделирование структур комбинированных течений в областях сложной формы.

Представлены результаты численного моделирования следующих вихревых структур (Глава5):

- локально-индуцированных термоконвективных автоструктур в плоском слое нематической жидкости (краткий обзор работ, анализ математической модели, результаты моделирования);

- диссипативных крупномасштабных структур для двух видов изотермических течений (краткий обзор работ, анализ математической модели, результаты моделирования).

По результатам исследований сформулированы основные результаты и выводы:

1. Стационарные пространственно-периодические вихревые автоструктуры изотермического ЭК-течения слабопроводящей жидкости в плоскопараллельной системе электродов при униполярной инжекции зарядов с катода подобны структурам термогравитационной конвекции Рэлея-Бенара, возникают кризисным образом в результате потери устойчивости равновесия плоского слоя, неустойчивость является "мягкой". При этом отличием является существенная зависимость кризиса от электрохимических процессов в приэлектродном слое, приводящая к нелинейности граничных условий для объемной плотности зарядов на катоде и зависимости коэффициента инжекции от проводимости жидкости.

Получена зависимость коэффициента инжекции зарядов с катода от проводимости диэлектрической жидкости, определенная по результатам серии вычислительных экспериментов.

Величина пороговой напряженности электрического поля, соответствующая кризису потери устойчивости равновесия и формированию стационарных пространственно-периодических автоструктур течения жидкого слабопроводящего диэлектрика с униполярной инжекционной проводимостью в плоскопараллельной системе электродов, определенная по результатам серии вычислительных экспериментов, составляет 2.2 кВ/см для возмущения с волновым числом к = п и жидкости с проводимостью сг0 = Ю~~10(О.м • см)'1. При этом зависимость экстремума функции тока от напряжённости электрического поля вблизи кризиса имеет вид: v|/m = 2.408-1(Г2(Е-Е*)1/2.

2. Методом вычислительного эксперимента получена область устойчивости стационарных пространственно-периодических вихревых автоструктур течения жидкого слабопроводящего диэлектрика с униполярной инжекционной проводимостью в однородном электрическом поле. А также структуры, образующиеся в результате разрушения пространственно-периодических вихрей за пределами области устойчивости.

Показана возможность управления динамическими режимами электроконвекции вариацией начального поля объёмной плотности зарядов, с помощью докризисных изменений. Методом вычислительного эксперимента получено семейство стационарных режимов структурной электроконвекции при одинаковых внешних условиях и различных вариациях начальных полей.

3. Волновое число стационарных пространственно-периодических автоструктур многовихревого ЭК-течения диэлектрической жидкости с униполярной инжекционной проводимостью в бесконечном плоском слое, моделируемом ограниченной конвективной ячейкой с условиями симметрии на боковых границах составляет к = 7Г при аспектом отношении ячейки

L / 5 > 6, что свидетельствует о независимости волнового числа структур от размеров ячейки. При этом волновое число определяется влиянием боковых границ и пространственным распределением начальных возмущений.

Методом вычислительного эксперимента получена зависимость волнового числа ЭК-структур от аспектного отношения конвективной ячейки.

4. Показана возможность управления динамическими режимами термогравитационной конвекции в плоском горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу, при двух типах условий на границах, вариацией начального поля температур, с помощью докризисных изменений.

Методом вычислительного эксперимента получено семейство стационарных режимов структурной термоконвекции при одинаковых внешних условиях и различных вариациях начальных тепловых полей.

5. На основе результатов вычислительных экспериментов получены качественные и количественные оценки влияния нерегулярности геометрии, неоднородности условий на границах на формирование и динамику автоструктур термоконвективных и комбинированных течений.

6. На основе результатов вычислительных экспериментов получены качественные и количественные оценки влияния анизотропии свойств нематической жидкости со стабилизированной планарной ориентацией директора на формирование и динамику автоструктур термоконвекции в плоском слое при локальном нагреве. А также оценки влияния нерегулярности геометрии на формирование и динамику крупномасштабных вихревых структур в изотермических потоках.

1. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. -М.: Наука, 1983.-280с.

2. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: Наука, 1990. - 312с.

3. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.-424с.

4. Гленсдорф Л., Пригожин И. Термодинамическая теория структур, устойчивости и флуктуайий. М.: Мир, 1973. -312с.

5. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979. 256с.

6. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. - 320с.

7. Бонч-Бруевич В.Л. Проблема Бенара для горячих электронов в полупроводниках // ЖЭТФ, 1974, т.67, №6, с.2204-2214.

8. Kai S., Nirakawa К. Analogy between instabilities in isotropic fluids and nematic liquid crystal // J. Phys. Soc. Japan Letters, 1976, vol.40, №1, p.301-302.

9. Остроумов Г. А. Взаимодействие электрических и гидродинамических полей. Физические основы электрогидродинамики. М.: Наука, 1979. - 320с.

10. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. - 355с.

11. Езерский А.Б., Коротин П.И., Рабинович М.И. Хаотическая автомодуляция двумерных структур на поверхности жидкости при параметрическом возбуждении // Письма в ЖЭТФ. 1985. Т.41, с. 129-131.

12. Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И. Автоструктуры. Хаотическая динамика ансамблей. В кн. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. -М.: Наука, 1987. с.7-44.

13. Lorenz Е. Deterministic Nonperiodic Fiow // J.Atmos. Sci. 1963. v.20. P. 130.

14. Гершуни Г.З., Жуховидкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1972, - 392с.

15. Curry J. Н., Herring J.R., Loncaric J., Orszag S. Order disorder in two- and three-dimensional Benard convection // J. Fluid Mech. 1984. V. 147, №1, p. 1-38.

16. Franceschini V., Tebaldi C. Sequences of Infinite Bifurcations and Turbulence in a Five-Mode Truncation // J. Stat. Phys. 1979. - V.21, №6, p.707-726.

17. Franceschini V. Bifurcations of Tori and Phase Locking in a Dissipative System of Differential Equations II Physica D 1983. - V.6D, №3, p.285-304.

18. Brandstster A., Swift J., Swinney H.L., Wolf A. Low-Dimensional Chaos in Hidrodynamic System//Phys. Rev. Lett. 1983. V.51, №16, p. 1442-1445.

19. Malraison В., Atten P., Berge P., Dubois M. Dimension of Strange Attractors: an Experimental Determination for the Chaotic Regime of Two Convective Systems // J. Physique Lettres. 1983. - V.44, №22, p.897-902.

20. Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М.И., Старобннец И.М. Динамическая модель пространственного развития турбулентности // Письма в ЖЭТФ.1984. Т.39, вып. 12, с.561-563.

21. Анищенко B.C., Арансон И.С., Постнов Д.Э., Рабинович М.И. Пространственная синхронизация и бифуркации развития хаоса в цепочке связанных генераторов // ДАН СССР. 1986, Т.28, №5, с. 1120-1124.

22. Кузнецов С.П., Пиковскнй А.С. Универсальность бифуркаций удвоения периода в одномерной диссипативной среде // Изв. Вузов. Радиофизика.1985. Т.28, №3, с.308-319.

23. Разработка методов, алгоритмов и программ теплофизического расчета и оптимизации элементов и узлов приборов: Отчет о НИР (заключительный) /

24. НИИМФ СГУ. Шифр "Звезда-1". №ГР 0181.5011190. Инв.№02860021017. -Саратов, 1985.-399с.

25. Разработка программ решения, на основе метода конечных элементов, одномерных задач кондуктивно-радиационного теплообмена: Отчет о НИР (заключительный) / НИИМФ СГУ. Шифр "Земля-2". №ГР 0185.0049615. Инв.№0286.0046115. Саратов, 1986. - 33с.

26. Расчет теплообменных процессов в сложном трубопроводе: Отчет о НИР (заключительный) / НИИМФ СГУ. Шифр "Феты-РВО". №ГР У55116. Инв.№Г14602. (часть 1 39с.); Инв.№Г14603. (частъ2 - 36с.) Инв.№Г14604. (частьЗ - 53с.)- Саратов, 1994.

27. Расчет тепловых режимов работы изделия: Отчет о НИР (заключительный) / НИИМФ СГУ. Шифр "Зипун". №ГР 8У00470. Инв.№ 8Г02375. Саратов, 1990. - 34с.

28. Расчет тепловых режимов работы изделия: Отчет о НИР (заключительный) / НИИМФ СГУ. Шифр "Зелье". №ГР 8У00230. Инв.№ Т60029. Саратов, 1990. - 37с.

29. Расчет теплового режима и термомеханического состояния элементов и узлов изделия "Альтаир": Отчет о НИР (заключительный) / НИИМФ СГУ. Шифр "Занзибар". №ГР 8У10174/8Г04571. Инв.№ Т60574. Саратов, 1992. -88с.

30. Рубашов И.Б., Бортников Ю.С. Электрогазодинамика. М.: Атомиздат, 1971.-167с.

31. Болога М.К., Гроссу Ф.П., Кожухарь И.А. Электроконвекция и теплообмен. Кишинев, 1977. - 198с.

32. Стишков Ю.К., Остапенко А.А. Электрогидродинамические течения в жидких диэлектриках. JL: Изд-во Ленинградского ун-та, 1989. - 176с.

33. Остроумов Г.А. Электрическая конвекция II Инженерно-физический журнал, 1966. №5. с.683-695.

34. Мелчер Дж. Электрогидродинамика // Магнитная гидродинамика, 1974. №2. с.3-30.

35. Жакин А.И. Исследование электроконвекции и электроконвективного теплопереноса в жидких диэлектриках при униполярной инжекционной проводимости // Изв. АН СССР Механика жидкости и газа, 1988. №2. с.14-20.

36. Тарунин Е.Л., Ямшинина Ю.А. Расчет электрогидродинамического течения в сильно неоднородных электрических полях // Магнитная гидродинамика, 1990. №2. с.142-144.

37. Тарунин Е.Л., Ямпшнина Ю.А Ветвление стационарных решений системы уравнений электрогидродинамики при униполярной инжекции // Изв. РАН Механика жидкости и газа, 1994. №3. с.23-29.

38. Лбе А., Мори Я., Хидзиката К. Электрогидродинамическое исследование коронного ветра между проволочным и плоским электродами // Ракетная техника и космонавтика, 1978. Т. 16. №4. с.75-82.

39. Roberts Р.Н. Electrohydrodynamic convection // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1969. V.22. №2. p.211-220.

40. Turnbull R.J., Melcher J.R. Electrohydrodynamic Rayleigh-Taylor Bulk Instability // Phys. Fluids. 1969. V.12. №6. p. 1160-1166.

41. Smorodin B.L., Velarde M.G. Electrothermoconvective instability of an ohmic liquid layer under unsteady electric field // J. Electrostal 2000. V.48. №3-4. p.261-277.

42. Семенов B.A. Параметрическая неустойчивость неравномерно нагретого горизонтального слоя жидкого диэлектрика в переменном электрическом поле // Изв. РАН Механика жидкости и газа, 1993. №5. с. 184-186.

43. Болога М.К., Бурштейн И.Ф., Гросу Ф.П. Неустойчивость термически неоднородного слоя слабопроводящей жидкости в электрическом поле // Изв. АН СССР Механика жидкости и газа, 1974. №6. с. 133-138.

44. Саранин В.А О конвективной устойчивости слабопроводящей жидкости в электрическом поле // Изв. АН СССР Механика жидкости и газа, 1976. №5. с.16-123.

45. Макарихин И.Ю. О влиянии электрического поля на устойчивость конвективного течения в вертикальной полости // Изв. РАН Механика жидкости и газа, 1994. №4. с.35-41.

46. Жакин А.И., Таранов И.Е. Электрогидродинамическая неустойчивость слабопроводящей жидкости между двумя цилиндрическими электродами при униполярной инжекции //Магнитная гидродинамика, 1979. №4. с.53-57.

47. Жакин А.И. К вопросу об электроконвективной устойчивости слабопроводящей жидкости // Изв. АН СССР Механика жидкости и газа, 1979. №4. с. 137-142.

48. Жакин А.И., Тарапов И.Е. Неустойчивость и течение слабопроводящей жидкости при окислительно-восстановительных реакциях на электродах и рекомбинации // Изв. АН СССР Механика жидкости и газа, 1981. №4. с.20-26.

49. Смородин Б.Л. Об устойчивости плоскопараллельного течения жидкого диэлектрика в поперечном переменном электрическом поле // Изв. РАН Механика жидкости и газа, 2001. №4. с.25-33.

50. Жданов С.А., Косвинцев С.Р., Макарихин И.Ю. Влияние электрического поля на устойчивость термогравитационного течения в вертикальном конденсаторе // ЖЭТФ, 2000. том 117. вып.2. с.398-406.

51. Денисов А.А., Нагорный B.C. Электрогидро- и электрогазодинамические устройства автоматики. Л., 1979. - 241с.

52. Ватажин А.Б., Улыбышев К.Е. Диффузионные и электрические процессы в турбулентном пограничном слое и в окрестности критической точки обтекаемого тела // Изв. РАН Механика жидкости и газа, 2001. №3. с. 102110.

53. Веников В.А., Зуев Э.Н., Околотин B.C. Сверхпроводники в энергетике. -М.: Энергия, 1972. 169с.

54. Боришанский В.М. Достижения в области теплообмена. М.: Мир, 1970. -211с.

55. Гросу Ф.П., Болога М.К. Электроконвективные явления и интенсификация теплообмена. // Электронная обработка материалов, 1977. №5. с.51-62.

56. Нелсон, Шонесси Влияние электрического поля на свободную конвекцию в полостях. // Теплопередача, 1986. №4. с.22-28.

57. Аладьев И.Т., Ефимов В.А. Интенсификация теплообмена в электрических полях // Инженерно-физический журнал, 1963. т.6. №8. -с. 125-132.

58. Жданов С.А., Косвинцев С.Р., Макарихин И.Ю. Влияние электрического поля на устойчивость термогравитационного течения в вертикальном конденсаторе // ЖЭТФ, 2000. т. 117. вып.2. с.398-406.

59. Пикин С.А. Структурные превращения в жидких кристаллах. М.: Наука, 1981.-324с.

60. Блинов J1.M. Электро- и магнитооптика жидких кристаллов. М.: Наука, 1978. - 354с.

61. Адамчевский И. Электрическая проводимость жидких диэлектриков. Л.: Энергия, 1972. 295с.

62. Сканави Г.И. Физика диэлектриков: область слабых полей. М.: Л., 1949. -411с.

63. Сканави Г.И. Физика диэлектриков: область сильных полей. М.: Л., 1958. 364с.

64. Стишков Ю.К. Электрогидродинамические течения и механизмы электризации "технических" жидких диэлектриков // Электронная обработка материалов, 1977. №6. с.29-32

65. Жакин А.И. Электрогидродинамика жидких диэлектриков на основе диссоциационно-инжекционной модели проводимости. // Изв. АН СССР Механика жидкости и газа, 1986. №4. с.3-13.

66. Felici N.J. D.C. conduction in liquid dielectrics (Part 2). // Direct Current, 1971. V.2 №4. -p.147-165.

67. Felici N.J. D.C. conduction in liquid dielectrics. // Direct Current, 1971.V.3. №2. p.90-98.

68. Hewish T.R., Brignell J. Experimental consequences of the EHD stability criterion for dielectric liquids. // J.Phys. D: Appl. Phys., 1972. V.5. №4. p.747-752.

69. Стишков Ю.К. Электрогидродинамическая модель проводимости изолирующих жидкостей. // Электронная обработка материалов, 1973. №5. -с.62-66.

70. Стишков Ю.К. Наблюдение изотермической конвекции в электрическом поле плоского конденсатора// Электронная обработка материалов, 1972. №1. с.61-62.

71. Стишков Ю.К., Остапенко А.А. Зависимость интенсивности и КПД электродинамических течений от низковольтной проводимости жидкости. // Магнитная гидродинамика, 1979. №1. с.74-79.

72. Lacroix J.С., Atten P. Double injection with recombination: EHD linear and non linear stability study. // J. Electrostatics, 1978. У.5, p.453.

73. Voinov M., Dunnett J.S. Electrochemistry of nematic liquid crystals. // J.Electrochem. Soc., 1973. У.120. №7. p.922-924.

74. Моррисон С. Химическая физика поверхности твердого тела. М.: Мир, 1980.-431с.

75. Гутман Ф., Лайонс Л. Органические полупроводники. М.: Мир, 1970. -272с.

76. Казацкая Л.С., Солодовниченко И.М. О роли электроиндукционных эффектов молекул в механизме генерации носителей заряда в органической жидкости. // Электронная обработка материалов, 1979. №2. с.68-70.

77. Томилов А.П., Майрановский С.Г., Фиошин М.Я., Смирнов В.А. Электрохимия органических соединений. Л.: Химия, 1968. - 367с.

78. Бродский A.M., Гуревич Ю.Я. Теория электронной эмиссии из металлов. -М.: Наука, 1973.-288с.

79. Литвинов Е.А., Месяц Г.А., Проскуровский Д.И. Автоэмиссионные и взрывоэмиссионные процессы при вакуумных разрядах. Успехи физ. Наук, 1983. т. 139. вып.2. - с.265-302.

80. Рычков Ю.М., Кропочева JI.B., Есипок А.В. Особенности молекулярного строения слабопроводящих жидкостей в электрическом поле // Инженерно-физический журнал, 1997. Т.70. №5. с.757-760.

81. Рычков Ю.М. Ион-дипольная модель зарядовых кластеров в жидких слабопроводящих средах// Инженерно-физический журнал, 1997. Т.70. №5. -с.761-763.

82. Рычков Ю.М., Кропочева JI.B., Есипок А.В. Некоторые свойства контакта металлов с жидкими диэлектриками // Инженерно-физический журнал, 1997. Т.70. №6.-с. 1003-1006.

83. Рычков Ю.М. Контактные явления в жидких слабопроводящих средах // Инженерно-физический журнал, 1997. Т.70. №6. с. 1007-1013.

84. Рычков Ю.М., Василевич А.Е. О кинетике образования зарядовых кластеров в слабопроводящих жидкостях // Инженерно-физический журнал, 2000. Т.73. №4. с.823-826.

85. Рычков Ю.М., Зайкова С.А., Василевич А.Е. Кластерная структура приэлектродного слоя в жидких диэлектриках У/ Инженерно-физический журнал, 2000. Т.73. №4. с.827-831.

86. Cross M.J., Porter J.E. Electrically induced convection in dielectric liquids. // Nature, 1966. V.212. №5068. -p.l343-1345.

87. Стишков Ю.К., Остапенко А.А. Границы существования ЭГД-течений в гомогенных жидкостях // Электронная обработка материалов, 1981. №4. -с.62-65.

88. Стишков Ю.К., Остапенко А.А. Два режима ЭГД-течений и конвективная проводимость // Магнитная гидродинамика, 1979. №4. с.46-52.

89. Федоненко А.И., Жакин А.И. Экспериментальные исследования электроконвективного движения в трансформаторном масле // Магнитная гидродинамика, 1982. №3. с.74-82.

90. Михайлов А.А., Стишков Ю.К. Некоторые электрогидродинамические течения в жидких диэлектриках // Магнитная гидродинамика, 1977. №2. -с.76-80.

91. Жакин А.И., Таранов И.Е., Федоненко А.И. Экспериментальное изучение механизма проводимости полярных жидких диэлектриков // Электронная обработка материалов, 1983. №5. с.37-41.

92. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина: Пер.с англ. -М.: Мир, 1988.-352с.

93. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости: Т.1: Пер.с англ. М.: Мир, 1991. - 504с.

94. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости: Т.2: Пер.с англ. -М.: Мир, 1991. 552с.

95. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. — JL: Судостроение, 1979. 230с.

96. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976.-314с.

97. Шабров Н.Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей. JL: Машиностроение, 1983.-212с.

98. Сегерлинд Л.Дж. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.-303с.

99. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.-288с.

100. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. -248с.

101. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976. - 322с.

102. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука. 1989. - 288с.

103. Бурман З.И., Артюхин Г.А., Зархин Б.Я. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах. -М.: Машиностроение, 1988. 256с.

104. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. JL: Изд-во ЛГУ, 1977. - 256с.

105. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса / Полежаев В.И., Бунэ А.В., Верезуб Н.А. и др. М.: Наука, 1987. - 271с.

106. Кочубей А.А., Рядно А.А. Метод конечных элементов в задачах тепло-массопереноса Днепропетровск.: Изд-во Днепропетровск, ун-та. 1986. — 233с.

107. Полежаев В.И., Простомолотов А.И., Федосеев А.И. Метод конечных элементов в механике вязкой жидкости // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа, 1987. Т.21. с.3-92.

108. Блейвас И.М., Ермолаев И.А., Жбанов А.И., Прохоров В.В. Программа решения трёхмерной задачи стационарной теплопроводности методом конечных элементов для ЭВМ БЭСМ-6 // Электронная техника. Сер.1, Электроника СВЧ, 1988. вып.5. (409), с.80.

109. Ермолаев И.А., Жбанов А.И., Кошелев B.C. Моделирование электроконвективных течений методом конечных элементов // Вопросы прикладной физики, Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат.ун-та, 2000. вып.6. - с.98-99.

110. Тарунин Е.Л. О численном исследовании ветвлений при свободной конвекции в замкнутой полости // Изв. АН СССР Механика жидкости и газа, 1967. №5. с.72-74.

111. Шварцблат Д.Л. Стационарные конвективные движения в плоском горизонтальном слое жидкости с проницаемыми границами // Изв. АН СССР Механика жидкости и газа, 1969. №5. с.84-90.

112. Буссе Ф.Г. Переход к турбулентности в конвекции Рэлея-Бенара. В кн.: Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. Пер. с англ./ Под ред. Х.Суинни, Дж.Голлаб. М.: Мир, 1984. - с.124-168.

113. Веларде М.Г., Смородин Б.Л. Конвективная неустойчивость плоского горизонтального слоя слабопроводящей жидкости в переменных и модулированных электрических полях // Изв. РАН Механика жидкости и газа, 2000. №3. с.31-38

114. Остроумов Г.А., Петриченко Н.А. Изолирующие жидкости как ионные проводники электричества. // Электронная обработка материалов, 1974. №1. -С.40-44.

115. Жакин А.И. Редокс-системы в электрогидродинамике и расчет электроконвективных течений. // Магнитная гидродинамика, 1982. №2. -С.70-78.

116. Busse F.H., Whitehead J.A. Instabilities of convection rolls in a hiqh Prandtl number. // J.Fluid Mech. 1971 V.47 p.305-311.

117. Зайцев B.M., Шлиомис М.И. Гидродинамические флуктуации вблизи порога конвекции. //ЖЭТФ, 1970 т.59, №5(11), с.1583-1589.

118. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. О гидродинамических флуктуациях. // ЖЭТФ, 1957. т. 103, №2, с.275-277.

119. Джалурия Й. Естественная конвекция. М.: Мир, 1983. -402с.

120. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Саммакия Б. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен. Т. 1,2. М.: Мир, 1991. - 409с., 367с.

121. Мартыненко О.Г., Соковишин Ю.А. Свободно-конвективный тепло- и массообмен: Библтогр. Указатель (1797-1981). Минск: АН БССР, ИТМО им. А.В. Лыкова, 1982. 4.1. - 390с., 1983. 4.2.-418с.

122. Гетлинг А.В. Конвекция Рэлея-Бенара. Структуры и динамика. М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 214с.

123. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. - 288с.

124. Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. — Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. 225с.

125. Берковский Б.М., Полевиков В.К. Вычислительный эксперимент в конвекции. Минск: Изд-во Минск, ун-та, 1988. — 233с.

126. Ермаков М.К., Никитин С.А., Полежаев В.И. Система и компьютерная лаборатория для моделирования процессов конвективного тепло- и массообмена. // Изв. РАН. Механика жидкости и газа, 1997. №3. с.22-38.

127. Полежаев В.И. Режимы микроускорений, гравитационная чувствительность и методы анализа технологических экспериментов в условиях невесомости. // Изв. РАН. Механика жидкости и газа, 1994. №5. -с.22-36.

128. Дайковский А.Г., Полежаев В.И., Федосеев А.И. Применение метода конечных элементов в механике вязкой жидкости. // Численные методы механики сплошной среды, 1980. №11. с.37-50.

129. Патан кар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. - 197с.

130. Полежаев В.И., Власюк М.П. О ячейковой конвекции в бесконечно длинном горизонтальном слое газа, подогреваемом снизу. // Докл. АН СССР. 1970. Т.195. №5. с.1058-1061.

131. Gelfgat A.Yu. Different model of Rayleigh-Benard instability in two- and three-dimensional rectangular enclosures // J. Comput. Phys. 1999. V.156. №2. -p.300-324.

132. Полежаев В.И., Яремчук В.П. Численное моделирование двумерной нестационарной конвекции в горизонтальном слое конечной длины, подогреваемом снизу // Изв. РАН Механика жидкости и газа, 2001. №4. -с.34-45.

133. Рэнд Д. Топологическая классификация аттракторов Лоренца В кн.: Странные аттракторы. - М. :Мир, 1981. - с.239-251

134. Рабинович М.И. Стохастические автоколебания и турбулентность -Успехи физ. наук, 1978. Т.125. №1. с.123-168

135. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца. В кн.: Бифуркация рождения цикла и ее приложения. - М.:Мир, 1980. - с.317-335

136. Шумова Л.В. Последовательное усложнение структуры течения в модели конвекции Карри. В кн.: Структурная турбулентность. -Новосибирск, 1982. - с.77-86.

137. Ораевский А.Н. Мазеры, лазеры и странные аттракторы // Квантовая электроника. 1981. Т.8. №1. - с. 130-142

138. McGuinness M.J. The Fractal Dimension of the Lorenz Attractor // Phys. Lett., 1983. V.99A. №1. p.5-9.

139. McGuinness M.J. A Computetion of the Limit Capacity of the Lorenz Attractor//PhysicaD., 1985. V.16D. №2. p.265-275.

140. Sparrow C. The Lorenz Equation: Bifurcation, Chaos and Strange Attractors // Appl. Math. Sci., V.41. Berlin: Springer, 1982.

141. Schmutz M., Rueff M. Bifurcation Schemes of the Lorenz Model // Physica D., 1984. V.11D, №1,2 p. 167-178.

142. Franceschini V., Tebaldi C. Breaking and Disappearance of Tori // Comm. Math. Phys., 1984. V.94. №2. p.317-329.

143. Curry J.H. A generalized Lorenz system. II Commim. Math. Phys., 1978. №3.- р.193-204.

144. Петровская Н.В. О применении метода Галеркина к исследованию переходов в задаче рэлеевской конвекции. // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1984. №2. с. 22-27.

145. Maschke Е.К., Saramito В. On the Transition to Turbulens in Magneto-Hydrodynamic models of Confined Plasmas // Physica Scipta., 1982. V.T2. №2. -P.410-417.

146. Marcus Ph. S. Effects of truncation in modal representations of thermal convection. // J. Fluid Mech., 1981. v.1.03. p.241-255.

147. Дроздов C.M. Экспериментальное исследование конвекции в замкнутом торроидальном канале // Изв. РАН. Механика жидкости и газа, 1995. №4. -с.20-28.

148. Wang Y., Singer I., Bau H. Controlling chaos in thermal convection loop // J. Fluid Mech. 1992. V.237. p.479-498.

149. Дроздов C.M. Моделирование возникновения нестационарности и хаоса в гидродинамической системе, управляемой небольшим числом степеней свободы // Изв. РАН. Механика жидкости и газа, 2001. №1. с.31-45.

150. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. -М.: ИЛ. 1960-344с.

151. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.б.Гидродинамика. -М.: Наука. 1986. 736с.

152. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука,1987. - 840с.

153. Boussinesq J. Theorie analytique de la chaleur, T.2, Paris: Gauthier - Villars, 1903. - 625p.

154. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика, Наука, Москва, 1964.-322с.

155. Шапошников И.Г. О термоэлектрических и термомагнитных конвективных явлениях, // Уч.залЛермск.ун-та, 1954. т.8. № 8. с.81-90.

156. Spiegel E.A., Veronis G. On the Boussinesq approximations for a compressible fluid// Astrophys. J., 1960. V.131. №5. p.442- 449.

157. Mihaljan J.M. A rigorous expasiton of the Boussinesq approximations applicable to a thin layer of fluid, // Astrophys. J., 1962. V.136. № 3, p.l 1261131.

158. Gray D., Giorgini A. The Validity of the Boussinesq Approximation for Liquids and Gases //Int. J. Heat Mass Transfer, 1976. V.19. № 5. p.545-551.

159. Miyamoto M. Influence of variable properties upon transient and steady-state free convection//Int. J. Heat Mass Transfer, 1977. V.20. № 11. p. 1258-1261.

160. Yang K.T., Lloyd J.R. Proceedinds of Workshop on Natural Convection, National Science Foundation and University ofNotre Dame, 1983. p.245.

161. Никитин JLB., Рыжак Е.И. О точности приближения Буссинеска для несжимаемой жидкости. // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1981. №2. с. 19-26.

162. Чжун, Ян, Ллойд Влияние переменности свойств на ламинарную свободную конвекцию в квадратной полости. // Теплопередача, 1985. Т. 107. №1.-с.135-141.

163. Никулин Д.А. О применимости приближения Буссинеска для решения задач нестационарной концентрационной естественной конвекции. // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1982. № 5. с.153-155.

164. Королева И.Н., Никулин Д.А., Стрелец М.Х. Оценка влияния эффектов трехмерности на развитие нестационарной концентрационной естественной конвекции в замкнутой области. // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1983. №5.-с. 175-178.

165. Чжан, Бенерджи Трехмерный численный анализ нестационарной свободной конвекции в прямоугольных замкнутых полостях. // Теплопередача, 1979. Т. 101. № 1. с. 133-140.

166. А.Том,К.Эйплт Числовые расчеты полей в технике и физике. М: Энергия. 1964.-282с.

167. Кускова Т.В., Чудов JI.A. О приближенных граничных условиях для вихря при расчете течений вязкой несжимаемой жидкости. В сб. "Вычислительные методы и программирование". Вып.П.,М.,Изд-во МГУ, 1968.-с.27-31.

168. Pearson С.Е. A computation method for viscous flow problem. // J.Fluid Mech., 1965. V.21. №4. -p.611-622.

169. Холпанов Л.П., Исмаилов Б.Р., Болтов Н.П. Математическая модель турбулентного течения газа в зигзагообразном канале // Инженерно-физический журнал, 1989. Т.56. №6. с.910-915.

170. Бодем, Камнаб Установившаяся ламинарная свободная конвекция около горизонтальной поверхности с дискретным нагревом. // Теплопередача, 1977. №2. с. 149-155.

171. Шарье-Майтаби М., Мойтаби А., Кальтажирон Дж. Численное исследование свободной конвекции в горизонтальном цилиндрическом кольцевом канале. // Теплопередача, 1979. Т.101. №1. с.199-201.

172. Ширалкар, Тьен Численное исследование ламинарной свободной конвекции в неглубоких замкнутых полостях. // Теплопередача, 1981. Т. 103. №2. с.46-52.

173. Симановский И.Б. Конечно-амплитудная конвекция в двухслойной системе. // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1979. №5. с.3-9.

174. Абрамов Н.Н., Варапаев В.Н., Перекальский В.М. Конвекция вязкого несжимаемого газа в прямоугольных областях, имеющих подводящие и отводящие каналы. // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1979. №5. -с.126-131.

175. Гилев А.Ю., Симановский И.Б. Конечно-амплитудная конвекция в двухслойной системе. // Инженерно-физический журнал, 1987. Т.52. №2. -с.244-247.

176. Непомнящий А.А., Симановский И.Б. Термокалиллярная конвекция в двухслойной системе. // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1983. №4. с. 158-163.

177. Lugt H.I., Haussling Н.Г. Laminar flow pust abruptly accelerated elliptic cylinder at 45 incidence // J.Fluid.Mech., 1974. V.65. №4. p.711-734.

178. Wu J.C. Numerical boundary conditions for viscous flow problem // AIAA Jorn, 1976. №14. p.1042-1048.

179. Тарунин E.Jl. Оптимизация неявных схем для уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока и вихрь скорости. // Тр. V Всемирного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975, т.4. №1. с.3-20.

180. Тарунин Е.Л. Анализ аппроксимационных формул для вихря скорости на твердой границе. // Уч.зап. ПГПИ, 1975. вып.9. №152. с.167-178.

181. Тарунин Е.Л. О выборе аппраксимационной формулы для вихря скорости на твердой границе при решении задач динамики вязкой жидкости //Численные методы механики сплошной среды, 1978. т.9. №7. с.97-111.

182. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous flow of fluid. // Phys. Fluids, 1965. V.8. №12. p.2182-2189.

183. Браиловская И.Ю., Кускова T.B., Чудов Л.А. Разностные методы решения уравнений Навье-Стокса. В сб. "Вычисл. методы и программирование". М.: Изд-во МГУ. 1968. Вып.11. - с.3-18.

184. Дородницын А.А., Меллер Н.А. О некоторых подходах к решению стационарных уравнений Навье-Стокса // ЖВМ и МФ, 1968. вып.8. №2. -с.393-402.

185. Israeli М.А. A fast implicit numerical methods for time-dependent viscous flows. // Studies in Appl. Math., 1970. V.39. №4. p.327-349.

186. Самарин Э.М. Модификация метода расщепления граничных условий для решения бигармонического уравнения. // ЖВМ и МФ, 1973. вып.13. №5. -с. 1341-1347.

187. Захаренков М.Н. Аппроксимация граничных условий для завихренности на поверхности твердого тела при решении уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока и завихренность. /У Численные методы механики сплошной среды, 1980. т.11. №7. с.56-74.

188. Полежаев В.И., Грязнов В.Л. Метод расчета граничных условий для уравнений Навье-Стокса в переменных "вихрь, функция тока" // ДАН СССР, 1974. Т.219. №2. с.ЗО 1-304.

189. Бабенко К.И., Введенский Н.Д. О численном решении краевой задачи для уравнений Навье-Стокса // ЖВМ и МФ, 1972. т.12. №5. с.1343-1349.

190. Вабшцевич П.Н. Разностные схемы для задач гидродинамики в переменных "функция тока-вихрь скорости" // ДАД 1996. Т.346. №4. с.442-444.

191. Ермолаев И.А., Жбанов А.И., Кошелев B.C., Хроменков В.В. Моделирование естественной термогравитационной конвекции в незамкнутой полости методом конечных элементов // Тепломассообмен-ММФ-96, 3-й Минский Международный форум, 1996. с.236-240.

192. Ermolaev LA., Zhbanov A.I., Kohelev Y.S. Simulation of Rayleigh-Benard convection by finite elements method // ICND-96, Saratov, 1996. c.59.

193. Ermolaev I.A., Zhbanov A.I., Kohelev V.S. Numerical simulation of natural convection secondary regimes arising after losses of base flow stability fflCND-96, Saratov, 1996. c.60.

194. Ермолаев И.А., Жбанов А.И. Численное исследование влияния внешнего течения на структуры конвекции Рэлея-Бенара // Прикладные исследования в радиофизике и электронике: Сб.науч.ст. Саратов: ООО "Исток", 2001. -. с.58-60.

195. Линь Ц.Ц. Теория гидродинамической устойчивости. М.: ИЛ, 1958. -300с.

196. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука, 1977. - 243с.

197. Джозеф Д. Устойчивость движения жидкости./ Пер. с англ. М.: Мир, 1981.-344с.

198. Dubois М., Berge P. Experimental evidence for the oscillators in a convective biperiodic regime // Physics Letters, 1980. V.76A p.53-61.

199. Libchaber A., Fouve S., Laroche C. Two-parameter study of the routes to chaos, //Physica // 1983. V.7D -p.73-81.

200. Berge P, Dubois M., Manneville P., Pomeau Y. Intermittency in Rayleigh-Benard convection, // Le Journal de Physique Letters, 1980. V.L341. p.41-44.

201. Dubois M., Rubio M., Berge P. Experimental Evidence of Intermittencies Associated with a Subharmonic Bifurcation, // Physical Review Letters, 1983. V.51. -p.1446-1451.

202. Герценштейн СЛ., Родичев Е.Б., Сухоруков А.Н. О переходе от ламинарного режима движения к турбулентному в гидродинамических задачах // Изв. Вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1995. Том 3. №2. -с.60-71.

203. Бучин В.А. Стабилизация неустойчивых состояний распределенных механических систем // Механика и научно-технический прогресс. Т.2, Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. с. 18-33.

204. Busse F.H. On the stability of two-dimensional convection in a layer heated from below // J.Math. Phys., 1967. V.46. № 2. P. 140-150.

205. Clever R.M., Busse F.H. Transision to time-dependent convection// J.Fluid Mech. 1974. V.65. №4. P.625-645.

206. Busse F.H., Clever R.M. Instabilities of convection rolls in afluid of moderate Prandtl number// J.Fluid Mech. 1971. V.91. №2. P.319-335.

207. Daniels P.G. Roll-pattern evolution in finite-amplitude Rayleigh-Benard convection in a two-dimensional fluid layer bounded by distant sidewalls// J. Fluid Mech. 1984. V.143. -p.125-152.

208. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M Вибрационная тепловая конвекция в невесомости // Гидромеханика и процессы переноса в невесомости. -Свердловск: УЩ АН СССР, 1983. с.86-105.

209. Hassab М.А., Ozisik M.N. Effects of radiation and convective boundary conditions on the stability of fluid in an inclined slender slot // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1979. V.22. №7. p.1095-1105.

210. Русакова О.JI., Тарунин Е.Л. Бифуркационные режимы свободной конвекции при наличие теплового излучения и наклона полости // Изв. РАН Механика жидкости и газа, 2000. №1. с.42-47.

211. Русаков С.В., Русакова О.Л., Тарунин Е.Л. Влияние теплового излучения границ области на конвекцию газа при подогреве снизу // Изв. РАН Механика жидкости и газа, 1992. №5. с.47-51.

212. Аликина О.Н., Тарунин Е.Л. Подкритические движения жидкости в случае вязкости, зависящей от температуры // Изв. РАН Механика жидкости и газа, 2001. №4. с.55-62.

213. Инкропера, Нокс, Моэн Течение и теплообмен на начальном участке горизонтального канала прямоугольного сечения // Теплопередача, 1988. №1. с.126-133.

214. Хуан, Чжоу Влияние теплопроводности стенки на смешанную свободную и вынужденную ламинарную конвекцию в горизонтальных каналах прямоугольного сечения // Теплопередача, 1988. №3. с. 131-138.

215. Maughan J.R., Incropera F.P. Regions of heat transfer enhancement for laminar mixed convection in a parallel plate channel // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1990. V.33. №3. p.555-570.

216. Галиев И.М., Зубков П. Т. Влияние инверсии плотности воды на плоскопараллельное течение и теплоперенос в канале постоянной ширины // Изв. РАБ Механика жидкости и газа, 2000. №1. с.72-78.

217. Аникеев Г.И., Генкин Н.Д., Добровольский В.А., Перминов С.М. Процесс перемешивания жидкости в плоском канале // Журнал технической физики, 1987. т.57. вып.1. с.171-173.

218. Jlo X., Маслия Дж., Наидакумар К. Влияние неравномерного нагрева на ламинарную смешанную конвекцию в каналах // Теплопередача, 1987. №1. -с.115-122.

219. Кастер Дж., Шонесси Е. Свободное конвективное движение жидкости с низким числом Прандтля в горизонтальном цилиндрическом кольцевом канале // Теплопередача, 1977. №4. с.97-105.

220. Пау Р., Карли К., Каррут С. Численное решение задачи о свободной конвекции в цилиндрических каналах кольцевого сечения // Теплопередача, 1971. №2. с.78-87.

221. Квон С., Кьюэн Т., Ли Т. Свободная конвекция в разделенном тремя продольными перегородками кольцевом зазоре между двумя горизонтальными цилиндрами // Теплопередача, 1981. т.104. №1. с.126-134.

222. Чжан К., Уон Я., Чжо К. Структура свободной конвекции около квадратного стержня, расположенного концентрически внутри горизонтального кругового цилиндра // Теплопередача, 1981. т. 105. №2. -с.64-72.

223. Карякин Ю.Е., Соковишин Ю.А. Нестационарная естественная конвекция в ёмкости треугольного сечения. И Изв. РАН Механика жидкости и газа, 1985. №5. с.169-173.

224. Кавиани М. Влияние выступа на тепловую конвекцию в квадратной полости // Теплопередача, 1984. т.106. №4. с.137-143.

225. Ворожцов А.Б., Жуков А.С. Численный анализ нестационарной естественной конвекции в замкнутой полости со скачком сечения // Численные методы механики сплошной среды, 1986. т. 17. №3. с. 19-28.

226. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Тарунин E.J1. Численное исследование конвекции жидкости, подогреваемой снизу /У Изв. АН СССР Механика жидкости и газа, 1966. №6. с.93-99.

227. Чжен, Уонг, Чань-чжи Численное решение для случая совместной свободной и вынужденной ламинарной конвекции в горизонтальных каналах прямоугольного сечения // Теплопередача, 1969. Т.91. №1. с.51-58.

228. Михалевич А. А., Николаев В.И., Федосова В.К. Численное моделирование турбулентных полей скорости, температуры и концентрации в прямоугольном канале У/ Инженерно-физический журнал, 1989. т.57. №2. -с.246-253

229. Михалевич А.А., Николаев В.И. МКЭ-моделирование теплообмена при течении в каналах сложной формы // Инженерно-физический журнал, 1990. т.59. №3. с.470-478.

230. Валдманис Я.Я., Кукайнис О.А. Аналогия между теплоконвективной и магнитогидродинамической неустойчивостями /У Магнитная гидродинамика, 1977. №2. с.42-44.

231. Фел Л.Г. Бифуркации на пороге электродинамического эффекта в одноосном нематике // ЖЭТФ, 1993. т.ЮЗ. с.1244-1261.

232. Аэро Э.Л., Булыгин А.Н., Кувшинский Е.В. Асимметричная гидромеханика // Прикладная математика и механика, 1965. Т.29. вып.2. -с.297-308.

233. Аэро Э.Л., Булыгин А.Н. Линейная механика жидкокристаллических сред // Физика твердого тела, Т. 13. вып.6. с. 1701-1714.

234. Аэро Э.Л., Булыгин А.Н. Уравнения движения нематических жидкокристаллических сред /У Прикладная математика и механика, 1971. Т.35. вып.5. с.879-891.

235. Фел Л.Г., Ласене Г.Э. Термоконвективный эффект в нематическом жидком кристалле // ЖЭТФ, 1984. Т.86. вып.1. с.157-163.

236. Акопян Р.С., Зельдович Б.Я. Переориентация директора жидкого кристалла светом вблизи порога пространственно-периодической конвективной неустойчивости // ЖЭТФ, 1984. Т.86. вып.2. с.533-545.

237. Дноян В.Э., Галстян Т.В., Алавердян Р.Б., и др. Лазерно-индуцированные гидродинамические неустойчивости и оптическая бистабильность в жидком кристалле: теория и эксперимент // ЖЭТФ, 1993. Т.103. вып.4. с. 1270-1286.

238. Де Жен П.Ж. Физика жидких кристаллов. М.: Наука. 1971. - 213с.

239. MacCormack R.W. Current Status of Numerical Solutions of the Navier-Stokes Equations. AIAA, New York, Reko, Nevada, USA, 1985. - p.423.

240. O.A. Ладыженская Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. - 352с.

241. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х томах: Т.1 М.: Мир, 1990. -322с.

242. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х томах: Т.2 М.: Мир, 1990. - 296с.

243. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. -М.: Мир, 1990.-411с.

244. Фокс, Дирдорф Методы численного моделирования многомерных нелинейных задач дозвуковой гидродинамики несжимаемой жидкости // Теплопередача, 1972. Т.94. №4. с.1-13.

245. Lynch D.R. Progress in hydrodynamic modeling. // Reviews of Geophysics and Space Physics. 1983. V.21. №3. p.741-754.

246. Taylor C., Hood P. A Numerical Solution of the Navier-Stokes Equations Using the Finite-Element Technique // Computers and Fluids, 1973. V.l. p.73-100.

247. Бейкер А. Дж. Алгоритм метода конечных элементов для решения уравнений Навье-Стокса. В сб. Механика, М.: Мир, 1977. №4. - с. 163-173.

248. Темам Р. Решение уравнений Навье-Стокса методом конечных элементов. В сб. Механика, - М.: Мир, 1977. №4. - с. 157-162.

249. Kawahara М., Yoshimura N., Hakagava К., Ohsaka Н. Steady and Unsteady Finite Element Analysis of Incompressible Viscous Fluid // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1976. V.10. p.437-556.

250. Akira M. A stream function-vorticity finite element formulation for Navier-Stokes equations in multi-connected domain // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1983. V.19. №9.-p. 1403-1420.

251. Кантуэлл Б.Д. Организованные движения в турбулентных потоках. В кн.: Вихри и волны. М.: Мир, 1984. с.9-79.

252. Chien-Tung Yang, Satya N. Atluri An Assumed Deviatoric Stress-Pressure-Velocity Mixed Finite Element Method for Unsteady, Convective, Incompressible Viscous Flow: Part 2: Computational Studies // Int. J. Num. Meth. Fluids. 1984. V.4. p.43-69.

253. Thomas C.E., Morgan K., Tayior C.A. Finite Element Analysis of Flow over a Backward Facing Step // Computer and Fluids. 1981. V.9. №3B. p.265-278.

254. Ecer A., Rout R.K., Ward P. Investigation of solution of Navier-Stokes equations using a variational formulation // Int. J. Num. Meth. Fluids. 1983. V.3. -p.23-31.

255. Denham M.K. and Patrick M.A. Laminar flow over a down-stream feeing step in a two-dimensional flow channel // Trans. Instit. Chem. Engrs. 1974. V.52. №4. p.361-367.