автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Аналитические и численные методы математического моделирования при исследовании внутренних задач свободной конвекции в кондуктивно-ламинарном режиме

На правах рукописи

ПОПОВ МИХАИЛ ИВАНОВИЧ

АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ВНУТРЕННИХ ЗАДАЧ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ В КОНДУКТИВНО-ЛАМИНАРНОМ РЕЖИМЕ

Специальность: 05.13.18 —Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005557338

Воронеж —2014

005557338

Работа выполнена на кафедре высшей математики ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет инженерных технологий».

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор Ряжскпх Виктор Иванович

Батаронов Игорь Леонидович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», кафедра высшей математики и физико-математического моделирования, заведующий

Постников Евгений Борисович, доктор физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Курский государственный университет», кафедра физики и нанотехнологий, профессор

Тверской государственный университет (г. Тверь)

технический

Защита состоится 11 февраля 2015 г. в 15:10 на заседании диссертационного совета Д 212.038.20 при ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет» по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., д.1., ауд. 335

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет», полный текст размещен по адресу Ь«р:/Лу\у\у.5с1епсе.ухи.П1.

Автореферат разослан «9» декабря 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат

физико-математических Л / / »

наук, доцент / //С-Сы/ Шабров Сергей Александрович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Исследование явлений переноса в технических системах предметного назначения, таких как охладительные контуры тепловыделяющих элементов в атомной энергетике, резервуары хранения сжиженных газов в криогенной технике, продукционные реакторы химического и пищевого производства при термической обработке жидких субстанций напрямую связано с моделированием свободной конвекции как одного из основных механизмов переноса тепла и массы. Наибольший интерес в этой связи представляет моделирование кондуктивно-ламинарного режима свободной конвекции во внутренних задачах, так как чувствительность современной контрольно-измерительной аппаратуры не позволяет с достаточной степенью точности определять гидротермические характеристики процесса. Таким образом, вычислительный эксперимент является основным источником выявления закономерностей. Существует два подхода к решению данной проблемы. При первом из них используется полная система уравнений Обербека-Буссинеска при малых числах Грасгофа, но в силу остающейся нелинейности уравнений, анализ такой модели затруднен. Во втором, уравнения линеаризуются за счет пренебрежения конвективными слагаемыми, что отвечает физическому смыслу для очень медленных течений. Преимущества такого подхода в линейности получаемых уравнений, что позволяет применять классический математический аппарат для их решения. В рамках этих представлений математическая формализация внутренних задач кондуктивного режима свободной конвекции приводит к краевым задачам для уравнений в частных производных четвертого порядка относительно функции тока, которые по постановкам аналогичны задачам теории пластин и оболочек. К настоящему времени данный подход уже позволил получить ряд точных решений задач о свободной конвекции у бесконечной вертикальной стенки, в плоском вертикальном канале и в прямоугольной каверне с отношением высоты к ширине намного больше единицы, а также приближенные аналитические решения для ряда внутренних задач кондуктивно-ламинарного режима свободной конвекции. Однако остается неясным насколько полученные решения соответствуют реальным процессам.

Диссертационная работа выполнялась в соответствии с планом научно-исследовательских работ Воронежского государственного университета инженерных технологий по теме «Дифференциальные и интегральные уравнения математических моделей естественных и прикладных наук» (№ г. р. 0020543).

Цель работы: разработка аналитических и численных методов исследования математической модели кондуктивно-ламинарной свободной конвекции в замкнутых объемах на основе интегральных преобразований и конечно-разностных схем.

Для достижения цели поставлены задачи:

1) проанализировать математическую модель внутренней задачи свободной конвекции для кондуктивно-ламинарного режима, основанную на линеаризации уравнений Обербека-Буссинеска;

2) на примере прямоугольной области получить приближенное аналитическое решение задачи в нестационарной постановке;

3) разработать конечно-разностные схемы численного интегрирования для стационарной и нестационарной постановок в прямоугольных областях, методами функционального анализа показать их устойчивость и сходимость к точному решению задачи;

4) разработать комплекс предметно-ориентированных программ, реализующих решения задач, и с их помощью провести вычислительные эксперименты по определению стационарных и нестационарных гидродинамических полей;

5) на основании данных вычислительных экспериментов сравнить численные и аналитические решения, выявить наиболее эффективные подходы к решению.

Методы исследования. В ходе выполнения исследования были использованы методы математического моделирования явлений переноса, теоретической гидродинамики, теории дифференциальных уравнений математической физики, функционального анализа, вычислительной математики и программирования.

Тематика работы соответствует пункту 2 "Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей", пункту 3 "Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий", пункту 4 "Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента" паспорта специальности 05.13.18 — "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ".

Достоверность и обоснованность полученных результатов

основывается на использовании законов явлений тепломассопереноса, на проведении вычислительных экспериментов и сравнительном анализе с классическими данными.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты характеризующиеся новизной:

1. Приближенное аналитическое решение задачи нестационарной кондуктивно-ламинарной свободной конвекции в прямоугольной области, позволяющее описывать возникновение и развитие течения, которое отличается от известных возможностью идентификации основных гидротермических характеристик в явном виде.

2. Явная итерационная и полунеявная двухслойная конечно-разностные схемы численного интегрирования соответственно стационарных и нестационарных постановок задач кондуктивно-ламинарной свободной

конвекции с модификацией способа весового перераспределения невязки по смоченной поверхности, что позволяет упростить процедуру вычисления за счет снижения размерности сеточных уравнений.

3. Теоретические оценки способа дискретизации области интегрирования, обеспечивающие условия сходимости и устойчивости вычислительной процедуры, отличающиеся возможностью рационального выбора дискретных шагов интегрирования с наибольшей скоростью сходимости.

4. Структура предметно-ориентированного программного комплекса, отличающаяся комбинированием численного и приближенного аналитического подходов, позволяющая оптимизировать вычислительный процесс.

Практическая значимость состоит в разработке предметно-ориентированного программного комплекса, который позволяет рассчитывать гидротермические характеристики даже на грубых сетках с достаточной степенью точности, имеет высокую скорость сходимости и устойчив, что существенно рационализирует проведение вычислительных экспериментов.

Реализация и внедрение результатов. Результаты диссертационного исследования используются в учебном процессе ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет инженерных технологам» при чтении курса «Математическое моделирование» для демонстрации применения эффективных численных схем в анализе явлений переноса.

Апробация. Результаты диссертационной работы докладывались на научных конференциях и семинарах. Среди них «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2011), V международная конференция «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования» (Воронеж, 2011), IV международная конференция для молодых математиков по дифференциальным уравнениям и их приложениям, посвященная Я. Б. Лопатинскому (Донецк, 2012), «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения XXIII н XXIV» (Воронеж, 2012, 2013).

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из них 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, в том числе зарегистрированная программа для ЭВМ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных ниже, лично соискателем предложены: в [1] — построение конечно-разностной схемы, получение теоретических оценок для выбора оптимального итерационного шага, разработка программы для вычислительного эксперимента, реализация и анализ вычислительного эксперимента, [2] — разработка численной схемы, доказательство ее сходимости и устойчивости, реализация и анализ вычислительного эксперимента, теоретическое обоснование метода перераспределения невязки, [4] - вывод уравнений деформации, выбор вспомогательных параметров, [5] - организация и проведение

вычислительной процедуры, [6] - расчет гидродинамических полей, [8] -обобщение задачи на прямоугольную область, [9] - реализация метода конечного интегрального синус-преобразования Фурье, способы определения неизвестных коэффициентов.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных выводов, списка литературы и приложения. Материал изложен на 116 страницах и содержит 25 рисунков и 8 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и ее практическая значимость.

В первой главе проанализировано современное состояние проблемы математического моделирования внутренних задач свободной конвекции в кондуктивно-ламинарном режиме. Рассмотрена математическая модель, базирующаяся на уравнениях Обербека-Буссинеска

— + (v • V)v =——Vp +vAv -gpt, 8т p0

dt -r,

8т

divv" = 0,

где v, g - векторы скорости и ускорения силы тяжести; р - давление; г -текущее время; р0 - плотность среды в невозмущенном состоянии; а, v, /? -коэффициенты температуропроводности, кинематической вязкости и объемного расширения жидкости; V, Д - дифференциальные операторы "набла" и Лапласа.

Простейшей геометрией, для которой удалось получить аналитическое решение задачи свободной конвекции, является вертикальная бесконечная пластина. Так же известно решение Польгаузена у вертикальной полуограниченной пластины. Получены аналитические решения в плоском вертикальном канале (Aung W.) и в прямоугольной каверне с отношением высоты к ширине намного больше единицы (Моргунов К.П.).

Во второй главе получены приближенные аналитические выражения для функции тока в нестационарной задачи о кондуктивно-ламинарной свободной

конвекции в квадратной каверне.

Пусть имеется квадратная плоская область (рис. 2.1), полностью заполненная вязкой несжимаемой жидкостью, в начальный момент находящейся в состоянии покоя с температурой t„. Далее, например, температура левой стороны области скачком Рис. 1. Расчетная схема изменяется до температуры th, при этом

верхнее и нижнее основания теплоизолированы, т.е. тепловой поток отсутствует (?=0, а температура правой стенки остаётся равной первоначальной температуре жидкости

В соответствии с физической постановкой и на основе системы Обербека-Буссинеска уравнения математической модели для последующего анализа таковы

Эуг £Н> —- + у,—-

дт дх

Зу 1 ар -V —=---- + у

ду р дх

дх1 +

<ту.

- + V,.

дх дг

дуу 1 др

■ V —¡¡- =---- + У

ду р ду

д2У„

с! д!

+ --ь V — = а\

дт дх ду

дх2 ду1 Э2Г дЧ

-Р

ду2

дх ду

Далее применена физическая линеаризация (в кондуктивно-ламинарном режиме конвективные слагаемые нивелируются вследствие малых скоростей уг » 0, V,, « 0 )

'д2г.

5уг 1 др —ь =---£. + „

дт р дх

дхг

д\ ду2

дт

1 др

рду д1_ дт '

дх2 ду2

-Ни

(1) (2) (3)

я л - (4)

дх ду

Приведем систему (1)-(4) к безразмерному виду для сокращения числа параметров путем введения относительных величин в = г/г , X = х/И,

И2 V

У = у/к, кг=ух./у, Уу= v,/», Р = р/р,Т = (1-Т0)/(1„-10), г = —,

дх2 + ду2

_ V

дК__дР_ д2Ух,

дв~ дХ + дХ2 + дУ2 '

г,

дв дУ дХ2 дУ2

(5)

где Gт=—Jвg(th -/„) - число Грасгофа.

ч ЗУ: гдУу дК) Ж

дв\ , дх дУ у 1 сИ удх "к) V дХ дУ )

Чтобы избавиться от давления сначала продифференцируем уравнение (5) по У и умножим на -1, а уравнение (6) по Х,а затем сложим полученные уравнения

г дТ -Ог-.

дх

~ дК аК *

Обозначим через Г2 = —---- - безразмерный вихрь, тогда

Н дХ дУ

дв ~ дХ2 + дУ2 Г дХ' Уравнение неразрывности (4) в безразмерных переменных примет вид

дУ дУ с^Р с^Р

—+ —*!- = 0. Введем функцию тока У=-, V = --—. Тогда

дХ дУ дУ ЭХ

О = —^---- =-------. Уравнение (7) примет вид

дх дУ дх1 дУ

—- -Т + -—г =-т + 2——-—т + —-—(—Ог)——.

дв{дХ2 дУ2 ) дХ4 ВХ2дУ2 дУ4 дХ

Введя переменную Ф =--, получим уравнение, не содержащее

Ог

параметр вг

а (а2ф , в2ф |=а4ф|0 э4ф | о4ф ет дв I ох2 + дУ1) ~ ¿ж4 + дх2ду2 + дУ дх'

Перепишем уравнение (3) в безразмерных переменных

дв Рг V дХ2 ЗУ2)

где Рг — число Прандтля.

Поскольку в начальный момент жидкость находилась в состоянии покоя и имела всюду одинаковую температуру /„, то

Ф(Х,Г,0) = 0, (10)

Т(Х, К,0) = 0. (И)

Далее, т.к. температура левой стороны области скачком изменяется до температуры (/,. а температура правой стенки остаётся равной первоначальной температуре жидкости ?0, граничные условия для температуры примут вид

Т(0,У,в) = \, Т(\,У,в) = 0. (12)

Условие непротекания жидкости через границу выражается уравнением

ф(о,к,в) = ф(1,г,в) = ф(лг,о,0) = ф(Х,1,е) = О, (13)

условие прилипания

9Ф(0,У,0) _ дФ(\,У,в) _ дФ(Х,О,0) _ дФ(ХЛ,в) __0 ^

дХ дХ дУ ЗУ

Таким образом, система уравнений (1Н4) путем обезразмеривания и перехода к переменным «вихрь-функция тока», свелась к несопряженной системе уравнений (8) и (9) с начальными условиями (ЮН11) и граничными условиями (12)-(14).

Поскольку система уравнений (8)-(14) носит несопряженный характер, она декомпозируется на две последовательно решаемые задачи: тепловую -(9), (11), (12), и гидродинамическую - (8), (10), (13), (14). Решение тепловой задачи известно

Г(Х,У,6>) = \-Х + -jri-^sin[(l -Х)кр\ещ>\ -!Lfre

я Я р ~ - - \ Рг

_2 „2

(15)

Двойным применением конечного интегрального синус преобразования Фурье по пространственным переменным получено аналитическое представление функции тока в виде

Ф(Л',Г,0) = еХр[~У21/f2)3/][Ясо5ЯЛ(^)- ЩМ +

/1=1 »1=1 л +// \0 +//cosрС{Л,г)- рП(Л,2)]ехр[6>(Л2 + /г)]dz + cosц -11(cosЛ - 1){ехр[6>(Я2 + /Г )] -1} |

// I Л(Л2 + р2)

[cos Я - соа(лр)]{ехр[-0~^ + в(Л2 + р2)] -1} f2 РГ (х2р2-Л2)[к2р2-ЫЛ2+р2)]

•8т(ЛЛ>т(/уГ). О6)

Для интегралов от неизвестных коэффициентов Аг(р,г),Вг(/л,г), С(Я,г),£)(Я,г) принята гипотеза асимптотического приближения к стационарному состоянию. Коэффициенты находятся из системы линейных уравнений, составленной по граничному условию на градиент функции. Достоверность принятой гипотезы подтверждена согласованностью результатов с численным решением данной задачи.

Третья глава посвящена построению явной итерационной и полунеявной двухслойной конечно-разностных схем численного интегрирования стационарной и нестационарной задач о кондуктивно-ламинарной свободной конвекции в квадрате и прямоугольнике.

Математическая формулировка стационарной задачи в квадрате сводится к неоднородному бигармоническому уравнению

а^Фгх.у) а4Ф(х,к) | 84Ф(х,уу_ 1 дХ4 + дХ'дУ1 дУ4

с граничными условиями

Ф(0, У) = Ф( 1, У) = Ф(Х,0) = Ф(Х, 1) = 0,

<ЗФ(0,У) _ ЭФ(1,У) _ дФ(Х,0) _ дФ(Х,1) _

дХ дХ дУ дУ

С помощью метода установления разработана маршевая конечно-разностная схема по фиктивной переменной 0 (аналог времени)

= 0,1,..., Ф0 = 0. (17)

Ф -Ф, *+' *+ДФ,=-1,

Область решения разбита равномерной сеткой На множестве сеточных функций введено гильбертово пространство Нн со скалярным произведением

и-2т-2 п-2т-2 1

(м, v) = JV' fi и нормами || и ||,= max|M;j|, || и |¡2=

i=2 j-2 ' " " 1=2 j=2

Вычислена погрешность аппроксимации | s |= М,/г2 + A4,h4.

Теорема 1. Оператор В положительно определенный. Вычислена норма оператора перехода и оптимальный итерационный шаг

[511 A-, А.

= />о>

2/г4

. ГДе

максимальное и

Aiiax Anin ' "шах ' " 'min

минимальное собственные значения оператора B = hAB. Доказаны устойчивость схемы и ее сходимость к точному решению задачи. На рис. 2 приведены поле функции тока и ее профиль в сечении У = 0.5 .

01

-0.001

-0.0012

Рис. 2. Функция тока и ее профиль в сечении У = 0.5. Для системы (8), (10), (13)-(15) построена явная по времени и неявная по координатам конечно-разностная схема, каноническая форма которой

" -<рк, к = 0,1,..., Фо=0. (18)

СФМ

-+ВФ,

Аналогично стационарному случаю вводится гильбертово пространство Нк

Теорема 2. Оператор С положительно определенный. Вычислена норма оператора перехода и оптимальный итерационный шаг

д _д 2/2

1£11з= Т^—г212- = А» т = т0 = --Г— - где Япцч,Ятш - максимальное и

я,,,.. + я„.„ я„„„ + я„

так пил

минимальное собственные значения оператора С а = 1г2С 'В. Вычислена погрешность аппроксимации | е | < М0И* + Л/,/г2.

Теорема 3. Для устойчивости схемы (18) достаточно, чтобы выполнялось условие для разрешающего оператора Т„ ,. = 5'„ч5,п_2...5;:

\\Тп)\\йМ У0<7<и. при этом верна априорная оценка

I,

|Ф„Н+2>||С>(.|

1=0

Теорема 4. Если:

1) решение краевой задачи (8), (10), (13)-(15) существует в некотором классе функций,

2) разностная задача (18) аппроксимирует краевую (8), (10), (13)-(15) на классе решения,

3) разностная задача (18) корректна, то:

при И ~> 0 решение ф(1 разностного уравнения стремится к решению ф дифференциального уравнения, т.е. || Ф - ФЛ —> 0.

Теоремы 3 и 4 обеспечивают устойчивость схемы и ее сходимость к точному решению. Показано, что при #—» °о решение сходится к решению стационарной задачи.

Численные схемы и модифицированы с помощью весового перераспределения невязки по граничному условию "прилипания" на смоченной поверхности в теле процедуры вычисления функции тока вместо необходимости постановки сеточного граничного условия для функции вихря. В расширенном гильбертовом пространстве Н,, доказаны устойчивость и сходимость полученных схем.

Для системы (8), (10), (15) рассмотренной в прямоугольнике с граничными условиями

Ф(0, У, в) = Ф( 1, У, в) = Ф(^, 0, в) = Ф(Х, в) = 0, 5Ф(0,Г,|9) _ дФ(\,У,в) _ ЭФ(Х,0,<9) _ дФ{Х,£,в)_ дХ дХ дУ дУ

где £ - отношение сторон прямоугольника, аналогично построена конечно-разностная схема. Доказаны ее устойчивость и сходимость.

В четвертой главе проведен анализ численного и аналитического решения стационарной и нестационарной задачи с целью установления эффективности развиваемого подхода.

На рис. 3 показано изменение функции тока при уменьшении шага сетки области: И = 0.1 - сплошная линия, И = 0.05 — штрих-пунктир, И = 0.02 — штриховая. Как видно, при уменьшении шага сетки значение в центральной

точке области сначала резко увеличивается по модулю, а затем практически не меняется, что свидетельствует о быстрой сходимости численной схемы.

О

-0 001

Ф

-0.001

Рис. 3. Профили функции тока при Рис. 4. Профили функции тока при

изменении сеточного шага. различной точности аппроксимации

граничных условий.

На рис. 4. сплошной изображены профили при А = 0.05 : сплошная линия - точность аппроксимации граничных условий 0(И), штриховая -

точность 0(Иг). По рис. 3 и 4 видно, что решение точности О(И) при к = 0.02 практически совпадает с решением точности 0(к2) при И = 0.05 , что говорит об ускорении сходимости с увеличением точности решения.

На рис. 5 изображены численное (при И = 0.04) — штриховая линия и аналитическое (при Л^ = 51, предельное значение индексов суммирования в (16)) - пунктир решения. Как видно, они незначительно отличаются лишь в центральной точке и приграничных областях, что подтверждает корректность предложенного подхода.

-0.0012

\ г

\ /

\ /

\ /

\ /

\ /

\ /

\ /

\ /

Рис. 5. Сравнение численного и аналитического решений

-0.0012

Рис. 6. Сравнение аналитических решений.

Из рис. 6 видно, что значения функции тока практически не меняются при увеличении слагаемых в приближенном аналитическом решении: сплошная линия соответствует индексу суммирования К = 2\, штриховая — К = 51 и пунктир — К = 201.

На рис. 6 показано изменение профиля функции тока при уменьшении шага сетки области при 6> = 0.01: /г = 0.1 - сплошная линия, // = 0.05 -штриховая, Л = 0.02 — штрих-пунктир. Максимальное по модулю значение функции тока ведет себя также как и в стационарном случае, смещаясь к нагретой стенке, то есть течение возникает у границы.

-0.00015

Рис. 7. Профили функции тока при изменении сеточного шага.

-0.0008

0 х 1

Рис. 8. Изменение функции тока во времени.

Рис. 8. отражает изменение функции тока во времени при А = 0.05: сплошная - время течения в = 0.01, пунктир -(9 = 0.1, штриховая - в = 1.

01

-0.00016

Рис. 9. Сравнение численного и аналитического решений.

-0.0004

0 х 1

Рис. 10. Зависимость аналитического решения от числа Прандтля.

Течение развивается, смещаясь к центру области, и постепенно переходит в стационарный режим.

На рис. 9 штриховая линия изображает численное решение при А = 0.02 и # = 0.01, а пунктир - аналитическое при АГ = 51 и <9 = 0.01. Аналогично стационарному случаю, есть незначительное отличие в точке минимума, а также возле нагретой стенки.

На рис. 10 изображена зависимость профиля функции тока от числа Прандтля для аналитического решения при А^ = 51 и 0 = 0.01: сплошная — Рг = 100, штриховая - Рг = 1, пунктир - Рг = 0.01. Как видно, с уменьшением числа Прандтля интенсивность течения возрастает, а при очень больших числах возникает инверсия течения.

3x18'

Ф

- 0 0002

Рис. 12. Зависимость числа итераций от выбора итерационного шага.

Рис. 11. Зависимость численного решения от отношения длины горячей стенки к теплоизолированной

Рис. 11 показывает, что увеличение длины нагретой стенки по отношению к теплоизолированной приводит к повышению интенсивности течения и сокращению времени перехода течения в стационарное состояние: штриховая линия - ^ = 0.2, пунктир — £ = 5.

Сравнительный анализ результатов вычислительного эксперимента при различных шагах сетки с приближенным аналитическим решением (см. рис. 1 — рис. 11) показал, что предложенные конечно-разностные схемы (17) и (18) обладают следующими свойствами:

1) объем расчетов по этим схемам может быть осуществлен на грубых сетках без существенной потери точности вычислений;

2) в зависимости от выбора шагов интегрирования по геометрическим координатам, согласно теоремам 1 и 2, могут быть определены границы между областями сходимости и расходимости (например, при И = 0.1 граница области в стационарной задаче есть 2.45 10"6, рис 12), что позволяет сократить затраты машинного времени за счет уменьшения числа итераций с одновременным достижением заданной точности вычислений.

В этом смысле предложенные вычислительные схемы являются более эффективными, чем классические маршевые схемы, реализуемые с помощью сеточных уравнений большей размерности. Кроме того гибридное

применение вычислительных схем и приближенного аналитического решения позволяет снивелировать проблему идентификации искомых гидротермических полей вне сеточных узлов без потери физического смысла рассматриваемых задач.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Анализ математической модели внутренних задач свободной конвекции в кондуктивно-ламинарном режиме, основанной на линеаризованных уравнениях Обербека-Буссинеска без учета конвективных слагаемых в уравнениях переноса импульса и теплоты, показал ее адекватность, что дает преимущество, заключающееся в возможности использования классических методов при получении аналитических решений, описывающих гидротермическую структуру течений.

2. Получены приближенные аналитические решения в квадратной и прямоугольной областях, согласующиеся как с численными решениями, так и с известными данными.

3. Для стационарной и нестационарной постановок разработаны конечно-разностные схемы численного интегрирования. Методами функционального анализа получены оценки численного решения, определены оптимальные условия сходимости, доказаны устойчивость и сходимость полученных схем к точному решению задачи в гильбертовом пространстве сеточных функций.

4. Разработанный предметно-ориентированный программный комплекс позволяет рассчитывать гидротермические характеристики даже на грубых сетках с достаточной степенью точности, имеет высокую скорость сходимости и устойчив, что существенно рационализирует проведение вычислительных экспериментов.

5. Анализ результатов вычислительных экспериментов позволил установить некоторые закономерности при формировании гидротермической структуры свободноконвективньгх течений, такие как инверсия поля скоростей в момент образования течения, а также сформировать эффективные подходы к решению подобных задач.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях: публикации в изданиях рекомендованных ВАК РФ

1. Ряжских В. И. Численное интегрирование бигармонического уравнения в квадратной области / Ряжских В. И., Слюсарев М. И., Попов М. И. //Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10. — 2013. — вып. 1,— С. 52-62.

2. Ряжских В.И. О численном интегрировании нестационарного неоднородного бигармонического уравнения в задачах кондуктивной свободной конвекции / Ряжских В.И., Попов М.И. // Вестник Воронежского государственного технического университета, 2014, т. 10, № 1, С. 56-62.

Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ

3. Попов М.И. Идентификация нестационарного гидродинамического

поля во внутренних задачах кондуктпвно-ламинарной свободной конвекции на примере квадратной каверны / Попов М.И. - Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013615004 от 9.04.2013. - М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, 2013.

Статьи и материалы конференций

4. Ряжских В.И. О применимости метода гомотопного анализа к решению внутренних задач свободной конвекции / Ряжских В.И., Попов М.И. // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней математической школы. — Воронеж: изд-во Воронеж гос. ун-та, 2011. - С. 295-296.

5. Ряжских В. И. Численное интегрирование неоднородного бигармонического уравнения методом установления / Ряжск1гх В. И., Слюсарев М. И., Попов М. И. // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2011). - Воронеж: Издательско-полнграфический центр ВГУ,

2011,- С. 256.

6. Ряжских В. И. О численном интегрировании нестационарного неоднородного бигармонического уравнения в задачах кондуктивной свободной конвекции / Ряжских В. И., Слюсарев М. И., Попов М. И. // Современные методы теории краевых задач: материалы весенней математической школы «Понтрягинские чтения-ХХШ». — Воронеж: ВГУ,

2012.-С. 161-162.

7. Попов М. И. Конечно-разностная схема интегрировании нестационарного неоднородного бигармонического уравнения в квадратной области / Попов М. И. // Fourth International Conference for Young Mathematics on Differential Equations and Applications dedicated to Ya. B. Lopatinskii. Book of Abstracts. - Donetsk, 2012. - P. 64-65.

8. Попов M. И. Конечно-разностная схема интегрировании нестационарного неоднородного бигармонического уравнения в прямоугольнике / Попов М. И., Ряжских В. И. // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней математической школы. — Воронеж: изд-во Воронеж гос. ун-та, 2013. — С. 195-196.

9. Попов М. И. Анализ первой тестовой задачи кондуктивно-ламинарной свободной конвекции в нестационарной постановке / Попов М. И. Ряжских В. И. // Современные методы теории краевых задач: материалы весенней математической школы «Понтрягинские чтения-XXIV». — Воронеж: ВГУ, 2013.-С. 151-152.

Подписано в печать 01.12.2014. Формат 60 х 84 1/16 Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 242

ФГБОУ ВПО («Воронежский государственный университет инженерных технологий» (ФГБОУ ВПО «ВГУИТ») Отдел полиграфии ФГБОУ ВПО «ВГУИТ» Адрес университета и отдела полиграфии: 394036, Воронеж, пр. Революции, 19