автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование трехмерной фильтрационной конвекции на основе метода смещенных сеток

На правшпурукописи

Немцев Андрей Дмитриевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ НА ОСНОВЕ МЕТОДА СМЕЩЕННЫХ СЕТОК

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2011

005009111

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и математической физики факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент,

Цибулин Вячеслав Георгиевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор,

Наседкин Андрей Викторович

доктор физико-математических наук, доцент,

Соловьев Аркадий Николаевич

Ведущая организация:

Нижегородский государственный университет

Защита состоится 22 декабря 2011 г. в 14.20 на заседании диссертационного совета Д212.208.22 по физико-математическим наукам Южного федерального университета по адресу:

347928, ГСП-17 А, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д-406. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан « » ноября 2011г.

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Развитие методов математического моделирования конвекции жидкостей и газов в пористой среде (фильтрационной конвекции) обусловлено многочисленными приложениями в геофизике, энергетике и космических технологиях. Наличие примесей в насыщающей пористую среду жидкости существенно влияет на возникающие стационарные и нестационарные движения. Кроме того, исследование задач фильтрационной конвекции представляет интерес из-за новых явлений, недостаточно изученных современной математической физикой. К ним относится обнаруженное Д.В. Любимовым образование однопараметрического семейства стационарных конвективных режимов в плоской задаче Дарси. Сильная неединственность решений в этой задаче была объяснена В.И. Юдовичем на основе разработанной теории косимметрии. В настоящее время большой интерес представляет исследование трехмерных задач фильтрационной конвекции, в которых имеются непрерывные семейства режимов.

При решении нелинейных уравнений в частных производных важно использовать численные схемы, которые приводят к аппроксимациям, сохраняющим основные свойства исходных уравнений. Моделирование фильтрационной конвекции требует развития численных методов и специальных вычислительных средств для проведения компьютерных экспериментов. Для расчета конвективных движений на основе уравнений в естественных переменных эффективны конечно-разностные дискретизации, использующие введение смещенных сеток. На их основе возможно создание специализированных комплексов программ для расчета и анализа конвективных течений, исследования бифуркационных переходов и устойчивости стационарных и нестационарных режимов.

Объектом исследования являются конвективные движения многокомпонентной жидкости в пористой среде, возникающие при ее подогреве снизу.

Предмет исследования составляют численные методы математического моделирования фильтрационной конвекции на основе модели Дарси и программы численного исследования конвективных движений в пористой среде.

Методы исследования. Методы вычислительного эксперимента представляют в настоящее время важнейший инструмент изучения конвективных движений жидкости. В работе применяются аппроксимации на основе метода смещенных сеток для решения трехмерных задач фильтрационной конвекции в естественных переменных (скорость, давление, температура). Методами прямого вычислительного эксперимента на основе разработанного комплекса программ моделирования нестационарных режимов и семейств стационарных решений в задачах фильтрационной конвекции исследуется развитие структур течений одно- и многокомпонентной жидкости в трехмерной задаче конвекции Дарси.

Цель и задачи диссертационной работы. Цель работы - моделирование конвекции жидкости с учетом насыщающих ее примесей на основе

разработанных программных комплексов решения трехмерной задачи фильтрационной конвекции.

Основными задачами являются: разработка численных методов исследования фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости, изучение сценариев развития конвективных движений теплопроводной жидкости в пористой среде, численный анализ эффектов сильной неединственности решений для ряда трехмерных задач фильтрационной конвекции.

Положения, выносимые на защиту.

1. На основе схемы смещенных сеток разработаны новые численные методы моделирования гравитационной конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде, что позволяет в численном эксперименте воспроизвести сильную неединственность решений трехмерных задач в виде семейства стационарных движений.

2. Разработаны программные комплексы для проведения вычислительного эксперимента в трехмерных задачах фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости, которые позволяют исследовать ответвление изолированных конвективных режимов и семейств стационарных движений, продолжать решения по параметрам задачи, изучать устойчивость конвективных движений по отношению к температурным и кинематическим возмущениям.

3. Проведено параметрическое исследование конвективных движений теплопроводной жидкости в параллелепипеде, заполненном пористой средой, при линейном распределении температуры по высоте. Дан анализ ответвления стационарных режимов от состояния механического равновесия для двух типов граничных условий. В численном эксперименте впервые установлено, что с ростом числа Рэлея плоские конвективные режимы становятся устойчивы в меньшем диапазоне расстояний между теплоизлированными гранями.

4. Выполнено численное моделирование конвекции в параллелепипеде с двумя теплоизолированными противоположными стенками и линейным распределением температуры по высоте для других граней, что позволило обнаружить новый эффект - неодновременную потерю устойчивости плоских конвективных режимов из семейства по отношению к трехмерным возмущениям при превышении критической глубины области.

Научная новизна работы. Построены конечно-разностные аппроксимации уравнений движения многокомпонентной жидкости, наследующие свойства исходных систем уравнений. Развиты методы решения нелинейных систем уравнений, в которых имеются непрерывные семейства стационарных решений.

Достоверность полученных результатов. Результаты вычислительных экспериментов обоснованы использованием апробированных методов дискретизации и проведением апостериорного анализа для применяемых численных схем, а также подтверждены сопоставлением с данными, имеющимися в литературе.

Практическая значимость работы. Полученные результаты имеют широкую область применения для моделирования и прогнозирования важных природных конвективных течений в пористой среде, для анализа геофизических явлений и процессов, при разработке технических устройств теплоизоляции и энергетики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывалось на следующих конференциях:

III Школа-семинар «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика», Ростов-на-Дону, 2004; III Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», Абрау-Дюрсо, 2006; Международный конгресс по индустриальной и прикладной математике ICIAM-07, Цюрих, 2007; XII Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов-на-Дону, 2008; Международная конференция-школа «Advanced Problems in Mechanics» APM'2009, Санкт-Петербург, 2009; III международная конференция «Математический анализ и математическое моделирование», Владикавказ, 2010; XIV Всероссийская конференция-школа «Современные проблемы математического моделирования», Абрау-Дюрсо, 2011.

Результаты докладывались на семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики и кафедры математического моделирования Южного федерального университета.

Связанная с диссертацией тематика была поддержана грантами РФФИ 04-01-96815-р2004юг, 05-01-00567-а, 11-01-00708-а, грантом Президента РФ для поддержки ведущих научных школ: « Математическая теория движения жидкости - разрешимость и единственность, аналитическая динамика, конвекция, устойчивость, асимптотические методы, бифуркации» (№ НТТТ-5747.2006.1), целевой программой Министерства образования и науки «Развитие научного потенциала высшей школы» (р.н. 2.1.1/6095).

Публикации. По результатам диссертации автором опубликовано 12 работ. Основные результаты диссертации содержатся в работах [1-3, 8].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы и двух приложений. Общий объем диссертации составляет 158 страниц, включая фигуры, таблицы и список литературы из 181 наименования.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели работы, приведены основные положения, выносимые на защиту. Дана краткая аннотация всех разделов диссертации.

В первой главе представлены постановки исследуемых задач конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде, описаны свойства рассматриваемых систем уравнений, даны ссылки на современное состояние исследований в данной области.

В § 1.1 представлен обзор работ, посвященных моделированию фильтрационной конвекции в замкнутых объемах. Рассмотрены примеры исследования конвекции многокомпонентных жидкостей на основе различных математических моделей, представлены работы по изучению пространственных и плоских движений в трехмерных задачах.

В § 1.2 приведены уравнения фильтрационной конвекции для многокомпонентной жидкости (В.И. Юдович, Изв вузов, Сев.-Кав. per. Естеств. науки, 2001). Для случая S компонент и при отсутствии массовых сил уравнения в безразмерных переменных имеют вид

Здесь у = V(х,у,г,Ь) - вектор скорости, р = р(х, ?/, - давление, 91 (х, у, г, Ь) - температура, отсчитываемая от среднего значения, 0г(х, у, г, г), г = 2,..., 5 - массовые концентрации, (х, у, г) - пространственные координаты, точка означает дифференцирование по времени к - орт, направленный против действия силы тяжести, е - коэффициент пористости среды, /Зт и кг - кинетические и диффузионные коэффициенты, Аг - числа Рэлея для температуры (г = 1) и примесей (г > 1).

Далее сформулированы начально-краевые задачи, которые исследуются в последующих главах. На рис. 1 схематически представлено разбиение границы области для задачи о конвекции в параллелепипеде с двумя тепло-и массоизолированными гранями. На всей границе ставятся условия непротекания, через д\Т> обозначены теплоизолированные грани, на остальных гранях поддерживается равновесное распределение температуры и концентраций примесей.

В § 1.3 даны постановки задач, в которых имеется косимметрия, приводящая к рождению однопараметрического семейства устойчивых стационарных режимов. Впервые ответвление семейства стационарных конвективных режимов от состояния механического равновесия обнаружил Д.В. Любимов для плоской задачи движения несжимаемой жидкости в пористой среде с законом трения Дарси (ПМТФ, 1975). Данное явление было объяснено В.И. Юдовичем на основе теории косимметрии (Мат. заметки, 1991). Вычисления семейств стационарных решений в конвекции Дарси были выполнены В.Н. Говорухиным на основе метода Галеркина, развитию метода конечных разностей и спектрально-разностного метода посвящены работы В.Г. Цибу-лина и соавторов. Эксперименты по конвекции в пористой среде, иллюстрирующие эффекты множественности движений, были проведены Г.Ф. Путиным, А.Ф. Глуховым.

Вторая глава посвящена разработке численных методов решения уравнений трехмерной задачи фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости.

-гТ= -Vp-v + y^XTerk, V ■ v = 0,

(1)

/3Г6Г + v ■ V9T = кгАвг + v-k, г = 1,...,S.

(2)

В § 2.1 описана аппроксимация уравнений конвекции в естественных переменных (скорости, давление, температура) на основе схемы смещенных сеток. Далее рассматривается параллелепипед V = [О, Ьх] х [О, Ьу) х [0, Ьг], вводятся равномерные сетки по каждой координате ж; = Игх, 1гх = ЬХ/(ЫХ +1), Уз = ~1гу/2 + Ьу = Ьу/Ыу, гк = кЬ,г, 1гг = Ьг/{Ыг + 1), и смещенные на полшага вспомогательные сетки: а:;_1/2, ¿к-1/2- Здесь Ых, Ыу и ЛГг -

соответственно число внутренних узлов по координатам х, у и г.

Температура в определяется на основной сетке в^^ = % ! ¿к), а давление р - во вспомогательных узлах 1/2) 2^-1/2)- Компоненты вектора скорости v1, v2 и v3 находятся в узлах, смещенных относительно точек (^¿-1/2! 2/^-1/21 ^-1/2) на полшага по соответствующей координате. Схематическое расположение узлов показано на рис. 1.

Рис. 1: Область (слева) и размещение узлов в элементарной ячейке (справа)

Разностные аналоги дифференциальных операторов первого порядка и операторы усреднения по координатам построены на двухточечных шаблонах:

/ . дч 01+1 ,з,к - ,г аЧ 01+1/2,],к + ^-1/2,к

У^1")г+1/2,з,к = -^-, (<>1У)^,к = ---,

/ . п\ _ ег,3 + 1,к ~ &1,},к ,, д> _ 3+1/2,к + $1,3-1/2,к

№<')м+1/2,к = -^-. (д2У)г,3,к = -^-' ^

(А - е^З.к+1 - 01,3,к /г т дг^,к+1/2 + 9(,з,к-1/2

(1|з1').^Н1/2 - -^-1 К°?,У)г,з,к = ---•

С помощью этих операторов записываются производные на трехточечных шаблонах Ви = <^<4, оператор усреднения по ячейке ¿о = <51<Мз и аппроксимация лапласиана Д/, = + ¿2^2 4- <¿3*^3. Формулы (3) справедливы как для целых, так и для дробных индексов.

Для аппроксимации конвективных членов применяются следующие формулы

(V ■ V(9)í,J■tfc к 3{в, = [а^ + (1 - , (4)

3 / 3 \ 3 3

л = £ в П - ь = Е П№•

в=1 V П^в / 3=1

С помощью разностных операторов (3) ,(4) записывается аппроксимация второго порядка точности по пространственным координатам для уравнений (1),(2):

\в-hhв-\5152vz + J{в,v)] =0,

[гЛ - е{-й1Р - V1)] =0, \vt-Ei-d2p-v2)] =0,

Гг/3 - е(-сг3р — V3 Ч- бхба^)] =0,

I. и+1/2,]+1/2,к

+ <Ь°2 + ^3]{+1/2,Н1/2М1/2 =

В § 2.2 приведено описание комплекса программ, разработанного для вычислительного эксперимента в задачах фильтрационной конвекции и состоящего из приложений «Сп1_11а», «Багсу» и «ВШ^ЗВ». Приложение «Crit._R.as> позволяет производить расчет критических значений чисел Рэ-лея для задачи фильтрационной конвекции однокомпонентной жидкости в параллелепипеде. Приложение «Багсу» предназначено для вычисления непрерывных семейств стационарных режимов в двумерной задаче конвекции Дарси. Программа «В^ЗВ» предназначена для расчета конвективных режимов теплопроводной жидкости, насыщающей параллелепипед. Для расчета спектра устойчивости найденного режима в программе «В1Й:-ЗВ» реализовано сопряжение с программным комплексом МАТЬАВ.

В § 2.3 развит метод расчета трехмерных конвективных движений многокомпонентной жидкости в пористой среде, описана дискретизация уравнений В.И. Юдовича для описания конвективных движений жидкости, содержащей примеси (1),(2). Для решения задачи в естественных переменных используется метод искусственной сжимаемости и схема смещенных сеток с узлами пяти типов: единые узлы для температуры в1 и всех примесей вт (г = 2,..., 5), узлы для давления р и узлы для каждой компоненты вектора скорости v.

Температура 91 и концентрации примесей вг, (г = 2,..., 5) определяются на основной сетке . к = Равномерная по каждой координате

сетка введена таким образом, что на границе д^Б краевые условия для температуры, скорости и концентрации примесей удовлетворяются автоматически, а на границе д\0 краевые условия реализуются с помощью законтурных узлов.

Полученные в результате дискретизации по пространственным переменным обыкновенные дифференциальные уравнения могут быть записаны в

векторном виде:

V" = -В3+кр - С1+кУк + 6зк £ лгс50г, к = 1,2,3,

Г=1

3

Р=-^2вкУк, вг = кгАг&т - СгУ3 - J{вr,V), г = 1,..., 5.

*=1

Здесь введены векторы узловых переменных: У1, У2, У3, ©Г,Р; например, 1/1 = (и1,1/2,1/2'-"'г;^1,лг1,+1/2,^+1/2)- Матрица ^ отвечает аппроксимации оператора Лапласа, матрицы В,- (г = 1,..., 6) соответствуют операторам дифференцирования первого порядка, С^ (г = 1,..., 5) - операторам вычисления среднего, член J(Q, V) представляет аппроксимацию конвективного слагаемого.

Для анализа устойчивости механического равновесия полагается J = 0 и производятся замены: Vк —» а\/к, Р —> сгР, О —> <70 :

стУ* = -В3+*Р " + ¿з* XI Л^50г, й = 1,2,3,

Т"—1

3

аР = -^вкУк, а@г = КгА^ +СгУ3. к=1

При декременте а = 0 получается спектральная задача для вычисления критических значений параметров Рэлея, соответствующих монотонной потере устойчивости.

В § 2.4 приведено краткое описание программного комплекса «ВШМп1НР]шс1-ЗВ» для моделирования фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости в параллелепипеде. На основе модели Дарси и аппроксимации уравнений методом смещенных сеток решается система уравнений, описывающих процесс фильтрационной конвекции системы «жидкость + примеси». Расчет на установление осуществляется одним из методов Рунге-Кутты 4 порядка точности.

В главном окне программы «В1йМиШПшс1-ЗВ» (рис. 2) задаются следующие безразмерные физические и расчетные параметры: геометрические размеры области (Ьх, Ьу, £2); коэффициент пористости среды (72 = £-1); тип граничных условий на боковых гранях (условия Дирихле или смешанные краевые условия); безразмерные физические параметры жидкости и примесей (Апараметры сетки (число узлов по координатам х, у, г). Также в главном окне определяются начальные условия для распределения температуры жидкости и концентраций примесей. Визуализация получаемого решения (поле скорости, температура, концентрации примесей) проводится непосредственно в процессе расчета.

Программа Окну Равновесия 20 Время. 8.727450Е+01 £ кик 3..5Э3334Е+01 I1

Задача

Число компонент для ■ ~......многокомпонентной среды

i'-íí- I Стоп | Возо6новить|( Пошаговое 0-005 у2: 0.05

Область Сила тяжести № fia |к \Ыв 1

be г Ея: 0 1 1:2' НИ1

Цг 0.5 Bit 0 i i г -ад \\

lifi................. $S:M.................. Г

Краевые условия

©Дирихле __

Смешанные (тепловой лоток = 0 при у»0.1_у] ! Неравномерный подогрев ;

Сеточные параметры fpaíw ни ДТ: 1.0....... К1: 1.0

.Установление ^определять

Мс Й Ш * Mi 5 а. г 1 А2: 1.0 К2: 1.0

М?: 6 Щ и»; 3.................. dÉUEfe 1Е-Ё . № 5...... 8: К2.1..... 9 | АЗ: щ...... КЗ: i 1.0

Nz- 6 йр:щПравильная ■ аптдакснмация Мах шагов: 30000 ; 0: 5...... КЗ; 1..... L....

Отображение; .........~

i Перерисовка: 50 Щ :

Í ' Фильтрация i;' i Запись анимации • ©Скорость Сетка L - Пропорциональные векторы скорости Длина вектора 1.0

" о * .......

Ми и mi i ш ■ В И ■

I Sirr Bandomi

ij Температура ; Даеление l VI , 1 V2 шз>

i ...':";...............................

Ип

I Применить

Heípaé. ашрэх.-, 1 Тип неправ, алпрокс;. 1

Рис. 2: Главное окно программы «В1йМи1Ш?1шс1-ЗВ

В § 2.5 приведены результаты численного эксперимента по выбору коэффициента искусственной сжимаемости для расчета нестационарных режимов фильтрационной конвекции и представлены данные апостериорного анализа по расчету стационарных конвективных движений. На основе схемы Эйткена были проведены вычисления конвекции в параллелепипеде Ьх = 2, Ьу = 1, Ьг = 1 на последовательностях сеток 2N х N х ЛГ, где N = 8,16,32,... Например, для существенно трехмерного конвективного режима определялась температура в в точке (-т*Для сеток с N = 8,16,32 и были получены соответственно значения -0.018294, -0.020188, -0.020256. Найденная по схеме Эйткена оценка температуры составила 9* = -0.020259, то есть сетки с общим числом узлов 40960 (ТУ = 16) достаточно для расчета конвективных движений теплопроводной жидкости.

Третья глава посвящена численному исследованию задач фильтрационной конвекции для многокомпонентной и теплопроводной жидкости. При помощи развитых во второй главе методов изучено ответвление семейств стационарных конвективных режимов для параллелепипедальных контейнеров.

В § 3.1 исследован первый переход в трехмерной задаче фильтрационной конвекции теплопроводной жидкости. Проанализирована потеря устойчивости состоянием механического равновесия в случае параллелепипеда с граничными условиями Дирихле и параллелепипеда с двумя боковыми стенками, на которых потоки тепла и примеси равны нулю, а на остальной границе

поддерживаются линейные по высоте распределения температуры («смешанные» краевые условия). Произведены расчеты критических значений числа Рэлея для обеих задач. На рис. 3 для различных значений длины области Ьх (при фиксированной величине высоты Ь2 = 1) изображены критические значения чисел Рэлея, соответствующих ответвлению семейства (пунктир) и трехмерных изолированных режимов (сплошная линия) в зависимости от глубины области Ьу. С ростом Ьх происходит уменьшение значений А, при которых рождению семейства предшествует ответвление изолированных трехмерных режимов.

Рис. 3: Зависимость от глубины Ьу минимальных критических значений ответвления изолированных стационарных режимов (сплошная линия) и рождения семейства равновесий (пунктир): кривая 1 - Ьх = 1; 2 - Ьх = 1.5; 3 -

= 2; 4 — Ьх = 3; Ьг = 1

В § 3.2 приведены результаты расчетов конвективных движений в параллелепипеде со «смешанными» краевыми условиями. Численно проанализирована устойчивость стационарных движений из семейства к трехмерным возмущениям, найдено, что возникновение неустойчивости на семействе зависит от глубины Ьу параллелепипеда. В трехмерной задаче фильтрационной конвекции получено семейство стационарных движений с переменным спектром, что наблюдается в косимметричных динамических системах. В ходе численных экспериментов было установлено, что с ростом числа Рэлея плоские конвективные режимы становятся устойчивы в меньшем диапазоне расстояний между теплоизлированными гранями Ьу.

В § 3.3 исследована устойчивость плоских конвективных движений к трехмерным возмущениям. Обнаружено, что в параллелепипеде с двумя теплоизолированными боковыми гранями имеются такие глубины Ьу, при которых возможно сосуществование устойчивых плоских и существенно трехмер-

ных режимов. Проанализирована устойчивость стационарных движений из семейства к трехмерным возмущениям. На рис. 4 представлена кривая семейства и изотермы пяти стационарных режимов, рассчитанных при Ах = 120. Режимы 1 и 5 симметричны относительно центральной линии х = Ьх/2, а ре-

Рис. 4: Семейство стационарных режимов и распределения температуры для пяти членов непрерывного семейства; Aj = 120, Ly = 0.5

жимы 2, 3, 4 соответствуют движениям с несимметричными конвективными валами.

Для исследования устойчивости плоских конвективных режимов из семейства к трехмерным возмущениям была проведена серия вычислительных экспериментов. Начальное распределение температуры задавалось в виде 0 = 0S + Ор, где 9S - температура, соответствующая стационарному режиму, а 0Р = d sin ^р - возмущение. Поле скорости и давление брались такими же, как и для стационарного режима. Далее проводился расчет и анализировался полученный в результате установления режим. При симметричных относительно сечения у = Ly¡2 возмущениях ©р = d sin р и

6р = d sin в результате установления получались плоские режимы. При

возмущении 9р = císin ^р в зависимости от глубины области Ly и исходного стационарного движения жидкости могут устанавливаться плоские или трехмерные режимы.

В таблице через Р1г .. ,Р5 обозначены плоские конвективные режимы из семейства (нумерация режимов соответствует нумерации на рис. 4), а буква А соответствует трехмерному конвективному движению. Волной помече-

Ьу 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56

Рх Рх Р1 Р\ Рх А

р2 Р2 Рг Рх Рх А

Рз Рз Рх Рх А А

Р4 А Ра Рь Рь А

Ро Рь Рь Рь Рь А

ны режимы, получающиеся смещением вдоль кривой семейства. Например, при возмущении несимметричного режима Р2 в случае глубины Ьу = 0.53 установление приводит к близкому несимметричному режиму а при Ьу = 0.54 к симметричному режиму Р\. Таким образом, устойчивость плоских конвективных режимов к трехмерным возмущениям зависит как от глубины области Ьу, так и от континуального номера стационарного режима на семействе.

Рис. 5: Распределение температуры и концентрации примеси для трехмерных режимов. Ьх = 3, Ьу = 1, Ьг = 1, А1 = 120, А2 = 10.

В § 3.4 проанализированы изолированные трехмерные конвективные режимы, возникающие в результате потери устойчивости состоянием механического равновесия. Изучено влияние геометрических параметров области на формирующиеся трехмерные конвективные режимы. Сравнение конвективных движений для параллелепипедов с Ьх = 3 и Ьх = 2 показало, что при Ьх = 3 имеется большее число сосуществующих режимов, а характер движения жидкости может быть более сложным из-за увеличения числа конвек-

тивных ячеек. При этом для параллелепипеда с Ьх = 3 наиболее стабильные режимы напоминают двумерные, то есть практически не изменяющиеся в направлении х. Это можно видеть из рис. 5, где трехмерный характер течения жидкости проявляется только в окрестности плоскостей х = 0 и х = Ьх.

-2 л---©-<Э-—

-2.5 -4 -Н >>

1-...1 а

-6

-3.5 д

Рис. 6: Разрушение семейства стационарных состояний в результате некорректной аппроксимации; кружочки - начальные точки на семействе, звездочки - изолированные конвективные режимы; Ах = 120, А2 = 10 (слева), А! = 250, А2 = 10 (справа).

В § 3.5 изучено влияние аппроксимации конвективных слагаемых на расчет семейства конвективных режимов. При некорректной аппроксимации конвективного слагаемого семейство разрушается и получается конечное число стационарных движений, см. рис. 6. Процесс установления может занимать длительное время, при этом типичная траектория (пунктирная линия) располагается вдоль «исчезнувшего» семейства стационарных решений (сплошная линия). Имеется зависимость количества изолированных конвективных движений, получаемых в результате установления, от величины фильтрационного числа Рэлея. Так, при А1 = 120 имеется два плоских изолированных режима (/,<?), а при А1 = 250 - четыре стационарных изолированных режима (/, Р, О, Н).

Основные результаты

1. На основе схемы смещенных сеток построены новые численные методы, которые позволяют в численном эксперименте воспроизвести семейства стационарных решений трехмерных задач фильтрационной конвекции. Разработаны специальные способы аппроксимации нелинейных конвективных членов, которые сохраняют свойство косимметрии и дискретные симметрии исходных уравнений. Построены дискретизации задач гравитационной конвекции на смещенных сетках с равномерным расположением узлов по пространственным координатам.

2. Разработаны программные комплексы для проведения вычислительного эксперимента в трехмерных задачах фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости. Программы комплекса «Darcy-FD» позволяют осуществлять анализ двумерных и трехмерных конвективных движений теплопроводной жидкости в пористой среде с учетом сильной неединственности решений. Программа «DiffMultiFluid-3D» предназначена для проведения компьютерного моделирования трехмерных конвективных движений многокомпонентной жидкости в пористой среде.

3. Проведено параметрическое исследование конвективных движений теплопроводной жидкости в параллелепипеде, заполненном пористой средой, при линейном распределении температуры по высоте. Установлено наличие обратной зависимости между числом Рэлея и критической глубиной области, превышение которой приводит к установлению изолированных конвективных движений.

4. С применением разработанных программных комплексов проведено численное моделирование конвекции теплопроводной и многокомпонентной жидкостей в параллелепипеде с двумя теплоизолированными противоположными стенками и линейным распределением температуры по высоте для других граней. Проведенные численные эксперименты позволили исследовать устойчивость режимов семейства к трехмерным возмущениям и обнаружить эффект неодновременной потери устойчивости плоскими конвективными режимами. Проанализировано ответвление стационарных режимов от состояния механического равновесия для задачи фильтрационной конвекции, что позволило определить геометрические параметры, при которых в параллелепипеде возникают устойчивые непрерывные семейства стационарных движений.

Список основных публикаций по теме диссертации В изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Немцев А.Д., Цибулин В.Г. Численное исследование первого перехода в трехмерной задаче фильтрационной конвекции // Изв. РАН, МЖГ. 2007. № 4. С. 144-150.

2. Karasdzen В., Nemtsev A.D., Tsybulin V.G. Staggered grids discretization in three-dimensional Darcy convection // Comput. Phys. Comm. 2008. Vol. 170. P. 885-893.

3. Немцев А.Д., Цибулин В.Г. Численный метод исследования конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде // Вестник ЮНЦ РАН. 2009. Т. 5, № 4. С. 23-26.

В других изданиях:

4. Немцев А.Д., Цибулин В.Г. Вычисление стационарных решений трехмерной задачи фильтрационной конвекции // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. Тр. III Школы-семинара, Ростов-на-Дону, Изд-во ЦВВР, 2004. С. 110-112.

й-

5. Немцев А.Д., Цибулин В.Г. Семейство стационарных режимов в трехмерной задаче фильтрационной конвекции // Тез. III Всерос. конф. «Актуальные проблемы прикладной математики и механики». Екатеринбург. УрО РАН. 2006. С. 84-86.

6. Tsybulin V.G., Nemtsev A.D., Karasozen В. Cosymmetric families of steady states in 3D convection of incompressible fluid in a porous medium // PAMM. Proc. Appl. Math. Mech. 2007. Vol. 7. P. 1030407-1030408.

7. Немцев АД. Расчет конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде // Тр. XII междунар. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону, Т. 2. 2008. С. 138-142.

8. Tsybulin V.G., Nemtsev A.D., Karasozen В. A Mimetic Finite-Difference Scheme for Convection of Multicomponent Fluid in a Porous Medium // CASC 2009, LNCS 5743. Springer-Verlag. 2009. P. 322-333.

9. Nemtsev A.D., Tsybulin V.G. Computer experiment on convection of multicomponent fluid in a porous medium // Book of Abstracts of XXXVII Summer School «Advanced Problems in Mechanics» APM'2009. Saint-Petersburg. 2009. P. 65-66.

10. Немцев А.Д. Численный анализ трехмерных режимов фильтрационной конвекции // Тр. III междунар. конф. «Математический анализ и математическое моделирование». ЮМИ ВНЦ РАН. Владикавказ. 2010. С. 153-154.

11. Курдюмов А.Н., Немцев А.Д., Цибулин В.Г. Комплекс программ Darcy-FD расчета конвективных движений теплопроводной жидкости в пористой среде и РО ОФЭРНиО. № 16591. 2010.

12. Немцев А.Д. Программа моделирования конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде DiffMultiFluid-3D // РО ОФЭРНиО. № 16436. 2010.

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве:

[1, 2, 4-6] - разработка численной схемы расчета конвективных движений жидкости в параллелепипеде, проведение вычислительных экспериментов; [3, 8, 9] - математическое моделирование трехмерной фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости, анализ и описание результатов расчета конвективных режимов; [11] - программная реализация приложений «Diff-3D» и «Crit_Ra» для комплекса Darcy-FD по моделированию фильтрационной конвекции теплопроводной жидкости.

Печать цифровая. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Формат 60x84/16. Объем 1,0 уч.-изд.-л,

Заказ № 2421. Тираж 100 экз. Отпечатано в КМЦ «КОП Я ЦЕНТР» 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Суворова, 19, тел. 247-34-88

Введение.

1 Задачи фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости

§1.1 Исследование конвекции в замкнутых областях и модель Дарси.

§1.2 Уравнения конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде.

§1.3 Задачи фильтрационной конвекции и теория косимметрии.

Работа посвящена численному анализу конвекции одно- и многокомпонентных жидкостей в пористой среде, разработке эффективных методов расчета конвективных движений, изучению сценариев переходов от состояния механи-ческого .равновесия.к стационарньши нестационарным режимам, исследованию особенностей конвективных переходов в случае многокомпонентной жидкости.

Актуальность темы диссертации. Развитие методов математического моделирования конвекции жидкостей и газов в пористой среде (фильтрационной конвекции) обусловлена многочисленными приложениями в геофизике, энергетике и космических технологиях. Наличие примесей в насыщающей пористую среду жидкости существенно влияет на возникающие стационарные и нестационарные движения. Кроме того, исследование задач фильтрационной конвекции представляет интерес из-за новых явлений, недостаточно изученных современной математической физикой. К ним относится обнаруженное Д.В. Любимовым образование однопараметрического семейства стационарных конвективных режимов в плоской задаче Дарси. Сильная неединственность решений в этой задаче была объяснена В.И. Юдовичем на основе разработанной им теории косимметрии. В настоящее время большой интерес представляет исследование трехмерных задач фильтрационной конвекции, в которых имеются непрерывные семейства режимов.

При решении задач математической физики важно использовать численные схемы, которые приводят к аппроксимациям, сохраняющим основные свойства исходных уравнений. Моделирование фильтрационной конвекции требует развития численных методов и специальных вычислительных средств для проведения компьютерных экспериментов. Для расчета конвективных движений на основе уравнений в естественных переменных эффективны конечно-разностные дискретизации, использующие введение смещенных сеток. На их основе возможно создание специализированных комплексов программ для расчета и анализа конвёктив: ных течений, исследования бифуркационных переходов и устойчивости стационарных и нестационарных режимов.

Объектом исследования являются конвективные движения многокомпонентной жидкости в пористой среде, возникающие при ее подогреве снизу.

Предмет исследования составляют численные методы математического моделирования фильтрационной конвекции на основе модели Дар-си и программы численного исследования конвективных движений в пористой среде.

Методы исследования. Методы вычислительного эксперимента представляют в настоящее время важнейший инструмент изучения конвективных движений жидкости. В работе развиты специальные варианты метода конечных разностей для уравнений фильтрационной конвекции в естественных переменных (скорость, давление, температура), применяются аппроксимации на основе метода смещенных сеток для решения трехмерных задач.Методами прямого вычислительного эксперимента на основе разработанного комплекса программ моделирования нестационарных режимов и семейств стационарных решений в задачах фильтрационной конвекции исследуется развитие структур течений одно- и многокомпонентной жидкости в трехмерной задаче конвекции Дарси.

Цель и задачи диссертационной работы. Цель работы - моделирование конвекции жидкости с учетом насыщающей ее примесей на основе развйвМмых программных комплексов-решения-трехмерной задачи -фильтрационной конвекции.

Основными задачами являются: разработка численных методов исследования фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости, изучение сценариев развития конвективных движений теплопроводной жидкости в пористой среде, численный анализ эффектов сильной неединственности решений для ряда трехмерных задач фильтрационной конвекции.

Положения, выносимые на защиту.

1. На основе схемы смещенных сеток разработаны новые численные методы моделирования гравитационной конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде, что позволяет в численном эксперименте воспроизвести сильную неединственность решений трехмерных задач в виде семейства стационарных движений.

2. Разработаны программные комплексы для проведения вычислительного эксперимента в трехмерных задачах фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости, которые позволяют исследовать ответвление изолированных конвективных режимов и семейств стационарных движений, продолжать решения по параметрам задачи, изучать устойчивость конвективных движений по отношению к температурным и кинематическим возмущениям.

3. Проведено параметрическое исследование конвективных движений теплопроводной жидкости в параллелепипеде, заполненном пористой средой, при линейном распределении температуры по высоте. Дан анализ ответвления стационарных режимов от состояния механического равновесия для двух типов граничных условий. В численном эксперименте впервые установлено, что с ростом числа Рэлея плоские конвективные" режимы становятся устойчивы в меньшем диапазоне расстояний между теплоизлированными гранями.

4. Выполнено численное моделирование конвекции в параллелепипеде с двумя теплоизолированными противоположными стенками и линейным распределением температуры по высоте для других граней, что позволило обнаружить новый эффект - неодновременную потерю устойчивости плоских конвективных режимов из семейства по отношению к трехмерным возмущениям при превышении критической глубины области.

Научная новизна работы. Построены конечно-разностные аппроксимации уравнений движения многокомпонентной жидкости, наследующие свойства исходных систем уравнений. Развиты методы решения нелинейных систем уравнений, в которых имеются непрерывные семейства стационарных решений.

Достоверность полученных результатов. Результаты вычислительных экспериментов обоснованы использованием апробированных методов дискретизации и проведением апостериорного анализа для применяемых численных схем, а также подтверждены сопоставлением с данными, имеющимися в литературе.

Практическая значимость работы. Полученные результаты имеют широкую область применения для моделирования и прогнозирования важных природных конвективных течений в пористой среде, для анализа геофизических явлений и процессов, при разработке технических устройств теплоизоляции и энергетики.

Апробация работы. Основное содержание диссертации докладывалось на следующих конференциях:

III Школа-семинар «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика», Ростов-на-Дону, 2004;

III Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», Абрау-Дюрсо, 2006;

Международный конгресс по индустриальной и прикладной математике ICIAM-07, Цюрих, 2007;

XII Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов-на-Дону, 2008;

Международная конференция-школа «Advanced Problems in Mechanics» АРМ'2009, Санкт-Петербург, 2009;

III международная конференция «Математический анализ и математическое моделирование», Владикавказ, 2010;

XIV Всероссийская конференция-школа «Современные проблемы математического моделирования», Абрау-Дюрсо, 2011.

Результаты докладывались на семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики и кафедры математического моделирования Южного федерального университета.

Связанная с диссертацией тематика была поддержана: - грантом Президента РФ для ведущей научной школы «Математичеекая теория движения жидкости - разрешимость и единственность, аналитическая динамика, конвекция, устойчивость, асимптотические методы, бифуркации» (№ НШ-5747.2006.1, рук. В.И. Юдович),

- целевой программой Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы» (р.н. 2.1.1/6095, рук. М.Ю. Жуков),

- грантами РФФИ:

Математическое моделирование фильтрационной конвекции: бифуркации, переходы, хаотические движения» (РФФИ 04-01-96815-р2004юг, рук. В.Г. Цибулин);

Математическая теория конвекции жидкости (динамическая неустойчивость, асимптотические эффекты, переходы при разрушении косим-метрии в фильтрационной конвекции)» (05-01-00567-а, рук. В.И. Юдович);

Конвективные движения многокомпонентной жидкости в пористой среде: вычислительный эксперимент и анализ бифуркаций» (11-01-00708-а, рук. В.Г. Цибулин).

Публикации. По результатам диссертации автором опубликовано 12 работ. Основные результаты диссертации содержатся в работах [53, 54, 123, 177].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы и двух приложений.

Заключение

В диссертации разработаны численные методы и программные комплексы для моделирования трехмерной фильтрационной конвекции теплопроводной жидкости с учетом насыщающих ее примесей. Предложены численные схемы метода конечных разностей для решения трехмерных уравнений конвекции одно- и многокомпонентной жидкости в пористой среде. Для уравнений конвекции в естественных переменных на основе модели Дарси построены дискретизации с вычислением переменных в узлах смещенных сеток. Для моделирования фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости предложена дискретизация на основе смещенных сеток с вычислением температуры и концентрации примесей в единых узлах. Развит специальный способ аппроксимации нелинейных конвективных членов, что позволило воспроизвести в этих задачах эффект сильной неединственности - ответвление непрерывного семейства стационарных режимов от состояния механического равновесия. Реализован алгоритм расчета стационарных и нестационарных конвективных движений с использованием метода искусственной сжимаемости.

На основе разработанных методов расчета созданы программные комплексы Багсу-РО и Б1А[МиШР1шс1-ЗВ для проведения вычислительного эксперимента и анализа конвективных режимов в задачах фильтрационной конвекции теплопроводной и многокомпонентной жидкостей. Комплекс Багсу-РВ состоит из программ анализа устойчивости стационарных режимов, расчета критических чисел Рэлея (потеря устойчивости механического равновесия), вычисления семейств плоских движений фильтрационной конвекции Дарси и вычислительного эксперимента по изучению трехмерных конвективных режимов. Программа

В1йМиШР1шс1-ЗВ разработана для моделирования фильтрационной конвекции многокомпонентных жидкостей в параллелепипеде и предназначена для проведения вычислительного эксперимента в интерактивном режиме.

Для задачи фильтрационной конвекции в параллелепипеде проанализировано ответвление стационарных режимов от состояния механического равновесия. Изучено формирование конвективных движений для параллелепипеда с двумя теплоизолированными противоположными стенками и линейным распределением температуры по высоте для других граней. Найдены условия на геометрические характеристики параллелепипеда, при которых в нем возникают устойчивые непрерывные семейства стационарных движений.

Приведены примеры разрушения семейства стационарных конвективных движений в случае использования некоторых аппроксимаций второго порядка точности. Показано, что в зависимости от числа Рэлея разрушение семейства может приводить к появлению различного числа изолированных стационарных плоских режимов.

Основными результатами диссертационной работы являются

1. На основе схемы смещенных сеток построены новые численные методы, которые позволяют в численном эксперименте воспроизвести семейства стационарных решений трехмерных задач фильтрационной конвекции. Разработаны специальные способы аппроксимации нелинейных конвективных членов, которые сохраняют свойство косимметрии и дискретные симметрии исходных уравнений. Построены дискретизации задач гравитационной конвекции на смещенных сетках с равномерным расположением узлов по пространственным координатам.

2. Разработаны программные комплексы для проведения вычислительного эксперимента в трехмерных задачах фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости. Программы комплекса «Багсу-РБ» позволяют осуществлять анализ двумерных и трехмерных конвективных движений теплопроводной жидкости в пористой среде с учетом сильной неединственности решений. Программа «Б1йМиШР1шс1-ЗБ» предназначена для проведения компьютерного моделирования трехмерных конвективных движений многокомпонентной жидкости в пористой среде.

3. Проведено параметрическое исследование конвективных движений теплопроводной жидкости в параллелепипеде, заполненном пористой средой, при линейном распределении температуры по высоте. Установлено наличие обратной зависимости между числом Рэлея и критической глубиной области, превышение которой приводит к установлению изолированных конвективных движений.

4. С применением разработанных программных комплексов проведено численное моделирование конвекции теплопроводной и многокомпонентной жидкостей в параллелепипеде с двумя теплоизолированными противоположными стенками и линейным распределением температуры по высоте для других граней. Проведенные численные эксперименты позволили исследовать устойчивость режимов семейства к трехмерным возмущениям и обнаружить эффект неодновременной потери устойчивости плоскими конвективными режимами. Проанализировано ответвление стационарных режимов от состояния механического равновесия для задачи фильтрационной конвекции, что позволило определить геометрические параметры, при которых в параллелепипеде возникают устойчивые непрерывные семейства стационарных движений.

1. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетпчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. - М.: Мир. 1990. тт. 1-2. 728 с.

2. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Наука. Новосибирск, 1994. 319 с.

3. Андреев В.К., Гапоненко Ю.А., Гончарова О.Н., Пухначев В.В. Современные математические модели конвекции. М.: Физматлит. 2008. 368 с.

4. Бабский В.Г., Жуков М.Ю., Юдович В.И. Математическая теория электрофореза: Применение к методам фракционирования биополимеров. Киев: Наукова думка, 1983. 202 с.

5. Баженов В.Г., Чекмарев Д. Т. Об индексной коммутативности численного дифференцирования. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1989. Т. 29. 5. 662 с.

6. Бедриковецкий П.Г., Полонский Д.Г., Шапиро A.A. Анализ конвективной неустойчивости бинарной смеси в пористой среде // Изв. РАН, МЖГ. Ж 1. 1993. С. 110-119.

7. Белоцерковский О.В. Численные методы решения задач механики сплошной среды. М.: Наука. 1994.

8. Бессонов O.A., Брайловская В.А. Пространственная модель тепловой конвекции в зазоре между горизонтальными коаксиальными цилиндрами с анизотропным пористым заполнением // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 1. С. 145-155.

9. Брайловская В.А., Петражицкий Г.Б., Полежаев В.И. Естественная конвекция и перенос тепла в пористых прослойках между горизонтальными коаксинальными цилиндрами // ПМТФ. 1978. № 6. С. 91-96.

10. Брайловская В.А., Коган В.Р., Полежаев В.И. Влияние анизотропии на конвекцию и перенос тепла в пористой кольцевой прослойке // Изв. РАН. МЖГ. 1980. № 1. С. 59-64.

11. Брацун Д.А. Динамические свойства тепловой конвекции в двухфазной среде. Автореферат диссертации на звание к.ф.м.н. Пермь. 1997.

12. Брацун Д.А., Любимов Д.В., Теплое B.C. Трехмерные конвективные движения в пористом цилиндре конечной длины // Гидродинамика, Пермь, 1998. Вып. 11. С. 58-77.

13. Владимирова H.A., Кузнецов Б.Г., Яненко H.H. Численный расчет симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости. В кн. Некоторые вопросы прикладной и вычислительной математики // Новосибирск. Наука. 1966. С. 186192.

14. Воеводин А.Ф., Гончарова О.Н. Реализация метода расщепления по физическим процессам для численного решения трехмерных задач конвекции // Вычислительные технологии. 2009. Т. 14. Na 1. С. 2133

15. Гебхарт В., Джалурия Й., Махаджан Р., Саммакия Б. Свободно-конвективные течения, тепло- и массообмен. М.: Мир. 1991.

16. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972, 392 с.

17. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Любимов Д. В. О термоконцентрационной неустойчивости смеси в пористом слое // Докл. АН СССР. 1976. Т. 229. № 3. С. 575-578.

18. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Любимов Д. В. Об устойчивости стационарной конвективной фильтрации смеси в вертикальном пористом слое // Изв. РАН, МЖГ. 1980. № 1. С. 150-157.

19. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Сорокин Л.Е. Об устойчивости конвективного течения бинарной смеси с термодиффузией // ПММ. 1982. Т. 46. Вып. 1. С. 66-71.

20. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий Л.Л. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989, 325 с.

21. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Тарунин Е.Л. Численное исследование конвекции жидкости, подогреваемой снизу // Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. № 6. С. 93-99.

22. Гетплинг A.B. Конвекция Рэлея-Бенара. Ижевск. Эдиториал. 1999. -248 с. Перевод: Getting A.V. Rayleigh-Benard Convection: Structures and Dynamics,- Singapore: World Scientific Publishing Co, 1998.

23. Глухое А.Ф., Любимов Д.В., Путин Г.Ф. Конвективные движения в пористой среде вблизи порога неустойчивости равновесия // Докл. АН СССР. 1978. Т. 238. № 3. С. 549-551.

24. Глухое А.Ф., Путин Г.Ф. Экспериментальное исследование конвективных структур в насыщенной жидкостью пористой среде вблизи порога неустойчивости механического равновесия // Гидродинамика. Пермь. Вып. 12, 1999. С. 104-120.

25. Глухое А.Ф., Демин В.А. Путин Г.Ф. Конвекция бинарной смеси в связанных каналах при подогреве снизу // Изв. РАН, МЖГ. 2007. № 2. С. 13-23.

26. Говорухин В.Н. Численное исследование потери устойчивости вторичными стационарными режимами в задаче плоской конвекции Дарси // Докл. РАН. 1998. Т. 363. № 6. С. 772-774.

27. Говорухин В.Н. Анализ семейств вторичных стационарных режимов в задаче плоской фильтрационной конвекции в прямоугольном контейнере // Изв. РАН, МЖГ. 1999. № 5. С. 53-62.

28. Говорухин В.Н. Численное исследование плоской конвекции Дарси. Автореферат диссертации на звание к.ф.м.н. Ростов-на-Дону. 1999.

29. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Компьютер в математическом исследовании. СПб.: Питер. 2001. 624 с.

30. Говорухин В.Н., Шевченко И. В. Численное решение задачи плоской конвекции Дарси на компьютере с распределенной памятью // Вычислительные технологии. 2001. Т. 6. № 1. С. 3-12.

31. Говорухин В.Н., Шевченко И.В. Численное исследование второго перехода в задаче плоской фильтрационной конвекции // Изв. РАН, МЖГ. 2003. № 5. С. 115-128.

32. Говорухин В.Н., Шевченко И.В. Сценарии возникновения нестационарных режимов в задаче плоской фильтрационной конвекции // Изв. РАН, МЖГ. 2006. № 6, С. 115-128.

33. Евсеев Н.В., Кудинов И. В. К вопросу о вязких эффектах при макроскопическом описании течения через пористую среду // Изв. РАН, МЖГ. 2009 № 3, С. 120-128

34. Жуков М.Ю. Массоперенос электрическим полем. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ. 2005. 216 с.

35. Ильин В. П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики. 2000. 345 с.

36. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука. 1978. 512 с.

37. Кантур О.Ю., Цибулин В. Г. Спектрально-разностный метод расчета конвективных движений жидкости в пористой среде и сохранение косимметрии // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42. №. 6. С. 913-923.

38. Кантур О.Ю., Цибулин В. Г. Расчет семейств стационарных режимов фильтрационной конвекции в узком контейнере // ПМТФ. 2003. Т. 44. № 2. С. 92-100.

39. Кантур О.Ю., Цибулин В. Г. Численное исследование плоской задачи конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 3. С. 123-134.

40. Коннор Дою., Вреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. JL:Судостроение. 1979. 264 с.

41. Куракин Л.Г., Юдоеич В.И. Бифуркации при монотонной потереустойчивости равновесия косимметричной динамической системы // Докл. РАН. 2000. Т. 372. № 1. С. 29-33.

42. Куракин Л.Г., Юдович В. И. О бифуркациях равновесий при разрушении косимметрии динамической системы // СМЖ. 2004. Т. 45. № 2. С. 356-374.

43. Курдюмов А.Н., Немцев А.Д., Цибулин В.Г. Комплекс программ Darcy-FD расчета конвективных движений теплопроводной жидкости в пористой среде // Объединенный фонд электронных ресурсов «Наука и образование». № 16591. 2010.

44. Любимов Д. В. О конвективных движениях в пористой среде, подогреваемой снизу // ПМТФ. № 2. 1975. С. 131-137.

45. Любимов Д.В., Любимова Т.В., Муратов И.Д., Шишкина Е.А. Влияние вибраций на возникновение конвекции в системе горизонтального слоя чистой жидкости и слоя пористой среды, насыщенной жидкостью // Изв. РАН. МЖГ. 2008. № 5. С. 132-143.

46. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир. 1981. 216 с.

47. Моисеенко Б.Д., Фрязинов И.В. Полностью нейтральная схема для уравнений Навье-Стокса // Изучение гидродинамической неустойчивости численными методами. М. 1980. С. 186-209.

48. Мызникова В.И., Смородин Б.Л. О конвективной устойчивости горизонтального слоя двухкомпонентной смеси в модулированном поле внешних сил. // Известия РАН, МЖГ, № 1, 2001, С. 3-13.

49. Немцев А.Д., Цибулин В. Г. Вычисление стационарных решений трехмерной задачи фильтрационной конвекции // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. Труды III школы-семинара, Ростов-на-Дону, Изд-во ЦВВР, 2004. С. 110-112.

50. Немцев А.Д., Цибулин В.Г. Семейство стационарных режимов в трехмерной задаче фильтрационной конвекции // Тезисы III Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики». Екатеринбург. УрО РАН. 2006. С. 84-86.

51. Немцев А.Д., Цибулин В.Г. Численное исследование первого перехода в трехмерной задаче фильтрационной конвекции // Изв. РАН, МЖГ. 2007. № 4. С. 144-150.

52. Немцев А.Д., Цибулин В.Г. Численный метод исследования конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде // Вестник ЮНЦ. 2009. Т. 5, № 4. С. 23-26.

53. Немцев А.Д. Программа моделирования конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде DiffMultiFluid-3D // Объединенный фонд электронных ресурсов «Наука и образование». № 16436. 2010.

54. Никитин Н.В. Спектрально-конечный-разностный метод расчета турбулентных течений несжимаемой жидкости в трубах и каналах // Журн. вычисл. математики и мат. физики, N. 34. № 6. 1994. С. 909-925.

55. Никитин Н.В., Полежаев В. И. Трехмерная конвективная неустойчивость и колебания температуры при выращивании кристаллов пометоду Чохральского // Изв. РАН, МЖГ. № 3. 1999. С. 26-39.

56. Пасконов В.М., Полежаев В.П., Чудов Л. А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М. Наука, 1984, 288 с.

57. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М. Энергоатомиздат, 1984. 150 с.

58. Петровская Н.В., Фадеев А.К., Юдович В.И. Численное исследование стационарных режимов вращательно-гравитационной конвекции // ПМТФ. 1991. С. 35-39.

59. Полежаев В.П., Вунэ A.B., Верезуб H.A. и др. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М.: Наука, 1987. 271 с.

60. Полежаев В. И. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи: итоги и перспективы // Инженерно-физический журн. 1996. Т. 69. № 6. С. 909-920.

61. Полежаев В.И., Яремчук В.П. Численное моделирование двумерной нестационарной конвекции в горизонтальном слое конечной длины, подогреваемом снизу // Изв РАН. Механика жидкости и газа. 2001. № 4. С. 34-45.

62. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир. 1980. 616 с.

63. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука. 1989, 616 с.

64. Самарский A.A., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Операторные разностные схемы // Дифференциальные уравнения. Т. 17. № 7. 1981. С. 1317-1327.

65. Смородин Б.Л. Конвекция бинарной смеси в условиях термодиффузии и переменного градиента температуры. // ПМТФ. 2002. Т. 43. № 2. С. 54-61.

66. Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Иркутск, у-т, 1990, 225 с.

67. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. М.: Мир. 1991.

68. Цибулин В. Г. Реализация разностной схемы суверенных скоростей для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости // Современные проблемы механики сплошной среды, II конференция Ростов-на-Дону, 1996. С. 144-148.

69. Цибулин В. Г. Разрушение косимметричного семейства равновесий в задаче фильтрационной конвекции // Труды XI Между-нар. Конф. «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов-на-Дону. 2007. Т. 1. С. 398-402

70. Цибулин В.Г., Шевченко С.В. Исследование конвекции в двухслойной системе в прямоугольнике // Труды XII международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов-на-Дону. 2008. Т. 1. С. 213-217

71. Юдович В.И. Косимметрия, вырождение решений операторных уравнений, возникновение фильтрационной конвекции // Мат. заметки. 1991. Т. 49. № 5. С. 142-148.

72. Юдович В. И. О границе монотонной и колебательной конвективной устойчивости горизонтального слоя жидкости // ПМТФ. Т. 49. № 6, 1991. С. 44-50.

73. Юдович В. И. Теорема о неявной функции для косимметрических уравнений // Мат. заметки. 1996. Т. 60, Вып. 2. С. 313-317.

74. Юдович В. И. О бифуркации рождения цикла из семейства равновесий динамической системы и ее затягивании // ПММ. 1998. Т. 62. № 1. С. 22-34.

75. Юдович В. И. Косимметрия и конвекция многокомпонентной жидкости в пористой среде // Изв. вузов. Северо-кавказский регион, Естествен, науки, Спецвыпуск. 2001. С. 174-178.

76. Юдович В. И. О проблемах и перспективах современной математической гидродинамики // Успехи механики. 2002. Т. 1. № 1. С. 61102.

77. Юдович В.И. О бифуркациях при возмущениях, нарушающих ко-симметрию // Докл. РАН. 2004. Т. 398. № 1. С. 57-61.

78. Куракин Л.Г., Юдович В.И. Устойчивость и бифуркации в системах с косимметрией, Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2009. 230 с.

79. К. Al-Farhany, A. Turan Non-Darcy effects on conjugate double-diffusive naturally convection in a variable porous layer sandwiched by finite thickness walls // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2011. Vol. 54. P. 2868-2879.

80. Z. Alloui, L. Dufau, H. Beji, P. Vasseur Multiple steady states ina porous enclosure partially heated and fully salted from bellow // International Journal of Thermal Sciences. 2008. Vol. 48. P. 521-534.

81. Arakawa A. Computational Design for Long-Term Numerical Integration of the Equations of Fluid Motion: Two-Dimensional Incompressible. Flow. Part 1 // J. Comput. Physics. 1966. Vol. 1. P. 119-143.

82. Barten W., Lucke M., Kamps M. Conservation and Breaking of Mirror Symmetry in a Numerical Simulation of Vortex Flow. // J. Comput. Phys. 1990. Vol. 91. P. 486-489.

83. Baytas A.C., Pop I. Natural convection in a trapezoidal enclosure filled with a porous medium // Int. J. Engin. Sci. 2001. № 39. P. 125-134.

84. A. Bejan. Convection Heat Transfer. Wiley, New York. 1984.

85. Bera P., Khalili A. Double-diffusive natural convection in an anisotropic porous cavity with opposing buoyancy forces: multisolutions and oscillations // Internat. J. Heat and Mass Transfer. 2002. V 45. P. 3205-3222.

86. Bratsun D.A., Lyubimov D.V., Roux B. Co-symmetry breakdown in problems of thermal convection in porous medium // Physica D. V. 82, № 4. 1995. P. 398-417.

87. Busse F.H. Fundamentals of thermal convection // Mantle Convection: Plate Tectonics and Global Dynamics. 1989. 23-95.

88. Busse F.H., Clever R.M. Mechanism of the onset of time-dependence in thermal convection // Time-Dependent Nonlinear Convection. Southampton: Computational Mechanics Publications. 1999. 1-50.

89. Caltagirone J.P., Cloupeau M., Combarnous M. Convection naturelle fluctuante dans une couche poreuse horizontale // Acad. Sci. Paris.1971. Vol. 273. P. 833-836.

90. Caltagirone J. P. Thermoconvective instabilities in a horizontal porous layer //J. Fluid Mech. 1975. Vol. 72, P. 269-287.

91. Canuto C., Hussaini M.Y., Quarteroni A., Zang T.A. Spectral methods in fluid dynamics. Springer-Verlag. 1988.

92. Charrier-Mojtabi M.C., Karimi-Fard M., Mejdi A., Azeiez M., Mojtabi A. Onset of a double-diffusive convection regime in a rectangular porous cavity // J. Porous Media. 1998. Vol. 1, P. 107121.

93. Chen C.F., Chen F. Double diffusive convection instability problem in a vertical porous enclosure // J. Fluid Mech. 1998. Vol. 368. 263.

94. Cherkaoui A.S.M., Wilcock W.S.D. Characteristics of high Rayleigh number two- dimensional convection in an open-top porous layer heated from below //J. Fluid Mech. 1999. Vol. 394. P. 241-260.

95. Chorin A.J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems // J. Comput. Phys. 1967. Vol. 2. 12-26.

96. Dijkstra H.A. Pattern selection in surface tension driven flows // Free Surface Flows, ed. Kuhlman, H., Rath, H.J., №. 391, Springer, 1998. P. 101-144.

97. Franceschini V., Zanasi R. Three-dimensional Navier-Stokes equations truncated on a torus // Nonlinearity. 1992. Vol. 4 P. 189-209.

98. Ganzha V.G., Vorozhtsov E.V. Numerical Solutions for Partial Differential Equations. Problem Solving Using Mathematica. CRC Press, Boca Raton, New York, London, 1996.

99. Gelfgat A.Yu., Bar-Yousef P.Z. Yarin A.L. Stability of multiple steady states of convection in laterally heated cavities //J. Fluid Mech. 1999.1. V. 388. 315-334.

100. G elf gat A.Yu. Different modes of Rayleigh-Benard instability in two-and three-dimensional rectangular enclosures //J. Comp. Phys. 1999. V. 156. 300-324.

101. Golubitsky M., Swift J., Knobloch E. Symmetries and pattern selection in Rayleigh-Benard convection // Physica D. 1984. Vol. 10. P. 249-276.

102. Govorukhin V. Computer experiments with cosymmetric models. // Z. Angew. Math Mech. 76, Suppl. 4, 1996, P. 544-547.

103. Govorukhin V. Calculation of one-parameter families of stationary regimes in a cosymmetric case and analysis of plane filtration convection problem // Continuation Methods in Fluid Dynamics. Eds. D. Henry, A. Bergeon, 2000, p. 133-144.

104. Govorukhin V.N., Yudovich V.I. Bifurcations and selection of equilibria in a simple cosymmetric model of filtrational convection // Chaos. 1999. Vol. 9. № 2. P. 403-412.

105. Govorukhin V.N., Tsybulin V.G., Karasdzen B. Dynamics of Numerical Methods for Cosymmetric Ordinary Differential Equations // Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 2001. Vol. 11. № 9. P. 2339-2357.

106. Graham M.D., Steen P.H. Plume formation and resonant bifurcations in porous-media convection // J. Fluid Mech. 1994. Vol. 272. P. 67-89.

107. Ham F.E., Lien F.S., Strong A.B. A Fully Conservative Second-Order Finite Difference Scheme for Incompressible Flow on Nonuniform Grids // J. Comput. Phys. 2002. Vol. 177. P. 117-133.

108. Harlow F. H., Welch J.E. Numerical Calculation of Time-Dependent Viscous Incompressible Flow of Fluid with Free Surface // Phys. Fluids.1965. Vol. 8. P. 2182-2189.

109. Hirata S.C., Goyeau B., Gobin D., Carr M., Cotta R.M. Linear stability of natural convection in superposed fluid and porous layers: Influence of the interfacial modelling // Internat. J. Heat and Mass Transfer. 2007. Vol. 50. P. 1356-1367.

110. Home R.N., Caltagirone J.P. On the evaluation of thermal disturbances during natural convection in a porous medium //J. Fluid. Mech. 1980. Vol. 100. P. 385-395.

111. Home R.N., O'Sullivan M.J. Oscillatory convection in a porous medium heated from below //J. Fluid Mech. 1974. Vol. 66. P. 339-352.

112. Home R.N., O'Sullivan M.J. Origin of oscillatory convection in a porous medium heated from below. // Phys. Fluids. 1978. Vol. 21. P. 1260-1264.

113. Horton C. W., Rogers Jr. F. T. Convection currents in a porous medium // J. Appl. Phys. 1945. Vol. 16, 367.

114. Hyman J.M., Morel J., Shashkov M., Steinberg S. Mimetic Finite Difference Methods for Diffusion Equations // Comput. Geosciences. 2002. Vol. 6. P. 333-352.

115. Hyman J.M., Bochev P.B. Principles of Mimetic Discretizations of Differential Operators // IMA Volumes in Mathematics and Its Applications. 2006. Vol. 142. P. 89-114.

116. Jespersen D.C. Arakawa's Method is a Finite-Element Method //J. Comput. Phys. 1974. Vol. 16. 383-390.

117. Kalla L., Mamou M., Vasseu P.R, Robillard L. Multiple solutions for double diffusive convection in a shallow porous cavity with vertical fluxes of heat and mass // Internat. J. Heat and Mass Transfer. 2001. Vol. 44. P. 4493-4504.

118. Karasdzen B., Nemtsev A.D.,< Tsybulin V.G. Staggered grids discretization in three-dimensional Darcy convection // Comput. Phys. Comm. 2008. Vol. 170. P. 885-893.

119. Karasdzen B., Tsybulin V.G. Finite-difference approximation and cosymmetry conservation in filtration convection problem // Physics Letters A. 1999. Vol. 262. P. 321-329.

120. Karasdzen B., Tsybulin V.G. Conservative Finite Difference Schemes for Cosymmetric Systems // Proc. 4th Conf. on Computer Algebra in Scientific Computing, Springer-Verlag. 2001. P. 363-375.

121. Karasdzen B., Tsybulin V.G. Cosymmetric families of steady states in Darcy convection and their collision // Physics Letters A. 2004. Vol. 323. p. 67-76.

122. Karasdzen B., Tsybulin V. G. Mimetic discretization of two-dimensional Darcy convection // Comput. Phys. Comm., 2005. Vol. 167. P. 203-213.

123. Karasdzen B., Tsybulin V.G. Cosymmetry preserving finite-difference methods for convection equations in a porous medium // Appl. Num. Math., 2005. Vol. 55. P. 69-82.

124. Karasdzen B., Tsybulin V.G. Selection of steady states in planar Darcy convection // PAMM. Proc. Appl. Math. Mech. 2007. Vol. 7. P. 1030401-1030402.

125. Karasdzen B., Tsybulin V. G. Destruction of the family of steady states in the planar problem of Darcy convection // Physics Letters A. 2008. Vol. 372. P. 5639-5643.

126. Karimi-Fard M., Charrier-Mojtabi M.C., Vafai K. Non-Darcian effects on double-diffusive convection wihin a porous medium // Numer. Heat Transfer A. 1997. Vol. 31. P. 837-852.

127. Karimi-Fard F., Charrier-Mojtabi M.C., Mojtabi A. Onset of stationary and oscillatory convection in a tilted porous cavity saturated with a binary fluid: Linear stability analysis // Phys. Fluids. 1999. Vol. 11. P. 1346.

128. Koschmieder E.L. Benard Cells and Taylor Vortices. Cambridge: Cambridge University Press, 1993.

129. Kurakin L.G., Yudovich V.I. Bifurcation of a branching of a cycle in n-parametric family of dynamic systems with cosymmetry // Chaos. 1997. Vol. 7. № 2. P. 376-386.

130. Kurakin L.G., Yudovich V.I. Bifurcations accompanying monotonic instability of an equilibrium of a cosymmetric dynamical system // Chaos, 2000. Vol. 10. № 2. P. 311-330.

131. Kurakin L.G., Yudovich V.I. Branching of 2D tori off an equilibrium of a cosymmetric system (codimension-1 bifurcation) // Chaos. 2001. Vol. 11. № 4, P. 780-794.

132. Lapwood E.R. Convection of a fluid in a porous medium // Proc. Camb. Phil. Soc. 1948. Vol. 44. P. 508-521.

133. Le Bars M., Grae Worster M. Interfacial conditions between a pure fluid and a porous medium: implications for binary alloy solidification// J. Fluid Mech. 2006. Vol. 550. P. 149-173.

134. Lyubimov D. V. Instabilities in Multiphase Flows. Plenum, New York, 1993, Vol. 289.

135. Lyubimov D.V., Lyubimova P.P., Mojtabi A., Sadilov E.S. Thermosolutal convection in a horizontal porous layer heated from below in the presence of a horizontal through flow // Phys. Fluids. 2008. Vol. 20, 044109.1-10.

136. Lyubimov DGavrilov K., Lyubimova T. Soret-driven convection in a porous cavity with perfectly conducting boundaries // Comptes Rendus Mecanique. 2011. Vol. 339, P. 297-302.

137. Mamou M., Vasseur PBilgen E. Multiple solutions for double diffusive convection in a vertical porous enclosure // Int. J. Heat Mass Transfer. 1995. Vol. 38. 1787.

138. Mamou M., Vasseur P., Bilgen E. Double diffusive convection instability problem in a vertical porous enclosure //J- Fluid Mech. 1998. Vol. 368, P. 263-288.

139. Mamou M., Vasseur P., Bilgen E. A Galerkin finite-element study of the onset of double-diffusive convection in an inclined porous enclosure // Int. J. Heat Mass Transfer. 1998. Vol. 41, 1513.

140. Mamou M., Vasseur P., Hasnaoui M. On numerical stability analysis of double-diffusive convection in confined enclosures //J. Fluid Mech. 2001. Vol. 433. P. 209-250.

141. Mamou M. Stability analysis of thermosolutal convection in a vertical packed porous enclosure // Physics of Fluids. 2002. Vol. 14. № 12. P. 4302-4314.

142. Margolin L.G., Shashkov M., Smolarkiewicz P.K. A Discrete Operator Calculus For Finite Difference Approximations // Comput. Methods

143. Appl. Mech. Engrg. 2000. Vol. 187. No. 3-4. P. 365-383.

144. McKay G. Onset of double-diffusive convection in a saturated porous layer with time-periodic surface heating // Continuum Mech. Thermodyn. 1998. Vol. 10. P. 241-251.

145. McKay G. Double-diffusive convection motions for a saturated porous layer subject to modulated surface heating // Continuum Mech. Thermodyn. 2000. Vol. 12. P. 69-78.

146. Mojtabi A., Charrier-Mojtabi M. Double-diffusive convection in porous media //in «Handbook of Porous Media». Marcel Dekker. New York. 2000. P. 559-603.

147. Mohamad A. A., Bennacer R. Double diffusion, natural convection in an enclosure filled with saturated porous medium subjected to cross gradients // Int. J. Heat Mass Transfer. 2002. Vol. 45. P. 3725-3740.

148. Morinishi Y., Lund T.S., Vasilyev O.V., Moin P. Fully Conservative Higher Order Finite Difference Schemes for Incompressible Flow // J. Comput.Phys. 1998. Vol. 143. P. 90-124.

149. Morinishi Y., Vasilyev O. V., Ogi T. Fully conservative finite difference scheme in cylindrical coordinates for incompressible flow simulations // J. Comput. Phys. 2004. № 197. P. 686-710.

150. Muskat M., The Flow of Homogeneous Fluids Through Porous Media, McGraw-Hill, N.Y., 1937, P. 121.

151. Mikhailenko B.G. Seismic modeling by the spectral-finite differencemethod. // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 2000. Vol. 119. P. 133-147.

152. Nagata M. Nonlinear analysis on the natural convection between vertical plates in the presence of a horizontal magnetic field // Eur. J. Mech. B/ Fluids. 1998. Vol. 17. P. 33-50.

153. Nemtsev A.D., Tsybulin V.G. Computer experiment on convection of multicomponent fluid in a porous medium // Book of Abstracts of XXXVII Summer School «Advanced Problems in Mechanics» APM'2009. Saint-Petersburg. 2009. P. 65-66.

154. Nield D.A., Bejan A. Convection in Porous Media. Springer-Verlag. New York. 3rd edition. 2006. 641 p.

155. Nield D.A. Some Pitfalls in the modelling of convective flows in porous media // Transport in porous media. 2001. Vol. 43. P. 597-601.

156. Nilsen T., Storesletten L. An analytical study on natural convection in isottopic and anisotropic porous channels // Trans. ASME. Heat Transfer. 1990. Vol. 112. 2. P. 396-401.

157. Qin Y., Guo J., Kaloni P.N. Double diffusive penetrative convection in porous medium // Internat. J. Engng. Sci. 1995. Vol. 33. P. 303-312.

158. Riley D.S., Winters K.H. Modal exchange mechanisms in Lapwood convection // J. Fluid Mech. 1989. Vol. 204. P. 325-358.

159. Riley D.S., Winters K.H. Time-periodic convection in porous media: The evolution of Hopf bifurcations with aspect ratio //J. Fluid Mech. 1991. Vol. 223. P. 457-474.

160. Rudraiah N., Siddheshwar P.G. A weak nonlinear stability analysis of double diffusive convection with cross-diffusion in a fluid-saturated porous medium // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1998. Vol. 33. P. 287

161. Salmon R., Talley L.D. Generalization of Arakawa's Jacobian //J. Comput. Phys. 1989. Vol. 83. 247-259.

162. Shashkov M. Conservative Finite-Difference Methods on General Grids. CRC Press, Boca Raton, Fl. 1996. 359 p.

163. Steen P.H. Pattern selection for finite-amplitude convection states in boxes of porous media // J. Fluid Mech. 1983. Vol. 136. P. 219-241.

164. Straughan B. Surface-tension-driven convection in a fluid overlying a porous layer // J. Comp. Phys. 2001. Vol. 170. P. 320-337.

165. Straughan S., Walker D. W. Multi-component diffusion and penetrative convection // Fluid Dynamics Research. 1997. Vol. 19. P. 77-89.

166. Straus J.M. Large amplitude convection in porous media //J. Fluid Mech. 1974. Vol. 64. P. 51-63.

167. Straus J.M., Schubert G. Three-dimensional convection in a cubic box of fluid-saturated porous material //J. Fluid Mech. 1979. Vol. 91. P. 155-165.

168. Trevisan O.V., Bejan A. Combined heat and masstransfer by natural convection in a porous media // Adv. Heat Transfer. 1990. Vol. 20. 315.

169. Tsybulin V.G. Cosymmetry Preserving Discretization and Multiple Convective Regimes // Patterns and Waves. Saint Petersburg. 2003. 42-54.

170. Tsybulin V.G., Karasozen B., Ergench T. Selection of steady states in planar Darcy convection // Physics Letters A. 2006. Vol. 356. P. 189— 194.

171. Tsybulin V.G., Nemtsev A.D., Karasozen B. Cosymmetric familiesof steady states in 3D convection of incompressible fluid in a porous medium // PAMM. Proc. Appl. Math. Mech. 2007. Vol. 7. P. 10304071030408.

172. Tsybulin V.G., Nemtsev A.D., Karasdzen B. A Mimetic Finite-Difference Scheme for Convection of Multicomponent Fluid in a Porous Medium // CASC 2009, LNCS 5743. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 2009. P. 322-333.

173. Turner J.S. Multicomponent convection // Annual Rev. Fluid Mech. 1985. Vol. 17. P. 11-44.

174. Vasilyev O. V. High order finite difference schemes on non-uniform meshes with good conservation properties // J. Comput. Phys. 2000. Vol. 57. P. 746-761.

175. Yudovich V.I. Secondary cycle of equilibria in a system with cosymmetry, its creation by bifurcation and impossibility of symmetric treatment of it // Chaos. 1995. Vol. 5. № 2. P. 402-411.

176. Fu-Yun Zhao, Di Liu, Guang-Fa Tang. Natural convection in a porous enclosure with a partial heating and salting element // Internat. J. Thermal Sciences. 2008. Vol. 47. P. 569-583.