автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование и численный анализ конвективных движений жидкости в пористой среде

На правах рукописи

ДИБУЛМН Вячеслав Георгиевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ КОНВЕКТИВНЫХ ДВИЖЕНИЙ ЖИДКОСТИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 7 МАР 2011

Ростов-на-Дону 2010

4840842

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и математической физики факультета математики, механики и компьютерных паук Южного федерального университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор М. Ю. Жуков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Н.В. Никитин (Научно-исследовательский институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва),

доктор физико-математических наук, профессор А. И. Сухинов (Таганрогский технологический институт ЮФУ, г. Таганрог),

доктор физико-математических паук, профессор Ю.Ю. Тарасевич (Астраханский государственный университет, г. Астрахань)

Ведущая организация: Пермский государственный университет

Защита состоится «17» марта 2011г. в 14.20 на заседании диссертационного совета Д212.208.22 по физико-математическим паукам Южного федерального университета по адресу: 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский 44, ауд. Д-406.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан « февраля 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д212.208.22 доктор технических наук, профессор ' Целых А.Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задачи фильтрационной конвекции представляют большой интерес благодаря многочисленным приложениям в геофизике, космической технологии, энергетике и др. В зависимости от свойств жидкости и условий (внешних полей, источников тепла, концентраций примесей) возможны различные сценарии возникновения конвективных режимов. На характер формирующихся движений и последовательности переходов от одних режимов к другим существенно влияют пористость среды и многокомпонедтность насыщающей ее жидкости.

В задачах фильтрационной конвекции обнаружена неединственность решений, приводящая к образованию однопараметрических семейств стационарных решений после потери устойчивости состоянием механического равновесия. Это явление было объяснено В.И. Юдовичем с помощью развитой им теории косимметрии. Исследование нелинейных задач с семействами режимов, чей спектр устойчивости меняется вдоль семейства, представляет большой интерес из-за нетривиалыюсти возможных бифуркационных переходов. Системы с подобными свойствами возникают также при моделировании динамики популяций на основе нелинейных уравнений параболического типа.

Исследование режимов косимметричных систем фильтрационной конвекции требует развития вычислительных средств, разработки специальных численных методов и программного обеспечения для проведения компьютерных экспериментов. При решении задач математической физики важно использовать численные методы, которые приводят к аппроксимациям, сохраняющим основные свойства исходных уравнений. Для расчета конвективных движений на основе уравнений в естественных переменных эффективны дискретизации метода конечных разностей, использующие введение смещенных сеток и специальные аппроксимации конвективных членов.

Обнаруженное в задачах фильтрационной конвекции ответвление семейств стационарных режимов накладывает особые требование на алгоритмы расчета стационарных режимов. Необходимо сохранять свойство косимметрии исходных уравнений в частных производных в их конечномерных аппроксимациях. Из-за вырожденности векторных полей, получаемых в результате дискретизации рассматриваемых задач, необходима разработка специальных методов для расчета семейств и продолжения их по параметрам задачи.

Инструменты численного анализа могут быть применены к задачам популяционной динамики, где также обнаружены системы, обладающие свойством косимметрии.

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка численных методов исследования фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости, изучение сценариев развития конвективных движений теплопроводной жидкости в пористой среде, численный анализ эффектов сильной неединственности решений для ряда двумерных и трехмерных задач фильтрационной конвекции и динамики популяций.

Основные усилия сосредоточены на исследовании конвективных движений многокомпонентной жидкости в пористой среде: анализу возникновения и развития непрерывных семейств стационарных конвективных движений для различных областей, изучению разрушения семейств стационарных решений и селекции режимов, рассмотрению ряда интересных двумерных и трехмерных задач.

Методология исследования. Методы математического моделирования представляют в настоящее время важнейший инструмент изучения конвективных движений. Основное внимание уделяется развитию и совершенствованию численных методов решения задач массопереноса для многокомпонентных сплошных сред. В работе развиты специальные варианты метода конечных разностей для уравнений конвекции в естественных переменных (скорость, давление, температура), применяются аппроксимации на основе метода смещенных сеток для решения различных двумерных и трехмерных задач конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде. Для уравнений, записанных относительно функции тока, температуры и концентраций примесей, развиты метод конечных разностей и спектрально-разностный метод. Разработаны численные методы вычисления однопараметрических семейств стационарных режимов, продолжения их по параметру, анализа устойчивости и бифуркаций. Разработан комплекс программ для расчета нестационарных режимов и семейств стационарных решений в задачах фильтрационной конвекции одно- и многокомпонентной жидкости, исследования развития структур конвективных течений.

Научная новизна положений, выносимых на защиту. В диссертации развито новое научное направление - моделирование конвективных движений и процессов переноса в многокомпонентных жидкостях. Построены аппроксимации математических моделей движения многокомпонентных сред, наследующие свойства исходных систем уравнений. Развиты и усовершенствованы методы решения нелинейных систем уравнений, обладающих свойством косимметрии и в которых имеются непрерывные семейства стационарных решений. Изучен ряд новых специфических косимметричных эффектов: столкновение семейств стационарных движений, свойство памяти системы при нарушении ко-

симметрии (сохранение информации о исчезнувшем семействе стационарных движений), селекция или выделение предпочтительных состояний в случае сильной неединственности решений. Результаты вычислительных экспериментов обоснованы использованием различных методов дискретизации и проведением расчетов на основе принципиально различных численных методик, а также подтверждены сопоставлением с данными, имеющимися в литературе.

Практическая значимость. Полученные результаты имеют широкую область применения для моделирования и прогнозирования важных природных конвективных течений, для анализа геофизических явлений и процессов, при разработке технических устройств теплоизоляции и энергетики. Разработанные методы исследования позволяют изучать процессы, протекающие в стратифицированных многокомпонентных сплошных средах с учетом конвекции насыщающих ее жидкостей и газов. Развитые подходы к решению задач могут использоваться для анализа систем нелинейных уравнений.

Апробация работы, публикации. Основные результаты диссертации докладывалось на следующих конференциях: 2-ая международная конференция по численным методам в механике сплошной среды, Прага, Чехия, 1997, IV Международная конференция «Средства математического моделирования», Санкт-Петербург, 1997, 2003; семинар NATO Advanced Study Institute «Error Control and Adaptivity in Scientific Computing», Анталия, Турция, 1998, EquaDifï'99, Берлин, Германия, 1999, 8-ая Всероссийская школа-семинар,«Современные проблемы математического моделирования», Абрау-Дюрсо, 1999, конгресс «Complexity and Chaos», Турин, Италия, 1999; 6, 10-14 международные конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов-на-Дону, 1999, 2006-2010, семинар «Симметрия и косимметрия в динамических системах», Азов, 2000; IX Всероссийская конференция «Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности», п. Дюрсо, Но-воросийск, 2000; «Collatz'2000 colloquium», Гамбург, Германия, 2000; 4, 7, 10 и 11 конференциях «Компьютерная алгебра и научные вычисления» («Computer Algebra and Scientific Computing»), (Констанц, Германия, 2001, Санкт-Петербург, 2004, Бонн, Германия, 2007, Кобе, Япония, 2009) ; 7 Всероссийский конгресс по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001); II международная конференция «Применение симметрии и косимметрии в теории бифуркаций и фазовых переходов», Сочи, 2001; IX Всероссийская конференция «Современные проблемы математического моделирования», п. Дюрсо, Новороссийск, 2001, 2005; международная конференция «Структуры и потоки в жидкостях», Санкт-

Петербург, 2003; V European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications, Прага, Чехия, 2003; XV и XVI международные Крымские осенние школы, Симферополь, Украина, 2004, 2005; семинаре «Комплесные движения жидкости», Хамлебаек, Дания, 2004; конференция «Differential Equations: From Theory to Computational Science and Engineering», Цюрих, 2005; III Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» п. Дюрсо, Новороссийск, 2006; международном конгрессе по индустриальной и прикладной математике ICIAM-07, Цюрих, 2007; IV Всероссийской научной конференции "Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB" 2009.

Результаты докладывались на семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики Ростовского государственного университета (ЮФУ), семинаре кафедры математического моделирования Южного федерального университета, заседании Ростовского математического общества, семинаре кафедры высшей математики Таганрогского технологического института ЮФУ, семинаре института математики Ростокского университета (Германия), семинарах департамента математики и института прикладной математики Средне-Восточного технического университета и семинаре департамента математики университета Атылым (Анкара, Турция).

Связанная с диссертацией тематика была поддержана программой «Интеграция», грантами Санкт-Петербургского конкурсного центра в 1992-1994 гг. и 1994-1995 гг., грантами РФФИ 93-01-17337-а, 96-01-01791-а, 99-01-01023-а, 02-01-00337-а, 01-01-22002-НЦНИ-а, 05-01-00567-а в 1993-2007 гг. («Математическая теория конвекции жидкости» ) и 04-01-96815-р2004юг в 2004-2005 гг. («Математическое моделирование фильтрационной конвекции: бифуркации, переходы, хаотические движения»), программой «Российские университеты - фундаментальные исследования», (проекты 4087, 04.01.063, 04.01.035, «Динамические системы с косимметрией» ), грантами Президента РФ на поддержку ведущих научных школ. «Математическая теория движения жидкости - разрешимость и единственность, аналитическая динамика, конвекция, устойчивость, асимптотические методы, бифуркации» (№ НШ-1768.2003.1 и № НШ-5747.2006.1 ), целевой программой Министерства образования и науки «Развитие научного потенциала высшей школы» (р.н. 2.1.1/6095).

Объем диссертации — 297 страниц, включая фигуры, таблицы и список литературы из 236 наименований. По результатам диссертации автором опубликовано 58 работ. Основные результаты диссертации содержатся в работах [1-19, 28, 55]

Содержание работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели работы, приведены основные положения, выносимые на защиту. Дана краткая аннотация всех разделов диссертации.

В первой главе представлены постановки исследуемых задач конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде, описаны свойства рассматриваемых систем уравнений, даны ссылки на современное состояние исследований в данной области.

В § 1.1 представлен обзор работ по задачам фильтрационной конвекции, в которых возникают непрерывные семейства стационарных режимов, и теории косимметрии. Д.В. Любимов (ПМТФ, 1975) обнаружил ответвление от состояния механического равновесия семейства стационарных конвективных режимов для плоской задачи движения несжимаемой жидкости в пористой среде с законом трения Дарен. Данное явление было объяснено В.И. Юдовичем на основе теории косимметрии (Мат. заметки, 1991). По определению, косимметрии векторного поля (и определяемого им автономного дифференциального уравнения), есть аннулирующая его в каждой точке дифференциальная 1-форма. Равновесие векторного поля называется косимметричным, если косимметрии на нем аннулируется. Для динамической системы с косимметрией в условиях общего положения возможно существование непрерывного семейства некосимметричных равновесий, спектр устойчивости которых меняется вдоль такого семейства (при отсутствии вырождения). Здесь устойчивость равновесия понимается как нейтральная устойчивость вдоль семейства равновесий и, одновременно, асимптотическая устойчивость в трансверсальных направлениях. Главное отличие косимметричных динамических систем от систем, в которых семейства стационарных состояний возникают из-за имеющейся непрерывной группы симметрии, заключается в изменчивости спектра устойчивости по семейству.

Развитию теории косимметрии посвящены работе В.И. Юдовича, Л.Г. Куракина, Н.И. Макаренко. Вычисления семейств стационарных решений, в частности, анализ первого перехода в конвекции Дарен методом Галеркина, впервые было выполнены В.Н. Говорухиным. Эксперименты по конвекции в пористой среды проведены Г.Ф. Путиным, А.Ф. Глуховым.

В § 1.2 дан обзор работ по фильтрационной конвекции одно- и многокомпонентных жидкостей для ограниченных областей и рассмотрено

использование численных методов и вычислительного эксперимента для исследования возникающих проблем. Состояние исследований по конвекции в пористой среде отражено в книге Д.А. Нилда и А. Бежана «Convection in porous medium» (Springer, 2006). Для расчета непрерывных семейств решений фильтрационной конвекции необходимы численные схемы и дискретизации, сохраняющие косимметрию исходной системы. В научной литературе в последнее время для вычислительных схем, наследующих свойства исходных задач, закрепилось название «миметические». Анализу разностных аппроксимаций, сохраняющих свойства дифференциальных операторов, посвящены работы В.И. Лебедева, А.Л. Крылова, A.A. Самарского, В.Ф. Тишкина, А.П. Фаворского, М.Ю. Шашкова и др.

В § 1.3 приведены уравнения фильтрационной конвекции для многокомпонентной жидкости (В.И. Юдович, Изв вузов, Сев.-Кав. per. Естеств. науки, 2001). Для случая S компонент и при отсутствии массовых сил уравнения в безразмерных переменных имеют вид

s

ev = -Vp-v+J2K0rk, V-v = 0, (1)

т=1

ßr9r + v- V9r = кгА9г + v ■ к г = 1,..., S. (2)

Здесь v = v{x, у, z, t) - вектор скорости, p = p(x, у, z, t) - давление, в1(х,у, z,t) - температура, отсчитываемая от среднего значения, вг(х,у, z,t), г = 2,...,S - массовые концентрации, (x,y,z) - пространственные координаты, точка означает дифференцирование по времени t, к - орт, направленный вертикально вверх. Безразмерные параметры ßr и кг соответствуют кинетическим и диффузионным коэффициентам, Аг есть числа Рэлея для каждой компоненты жидкости (температуры и концентраций примесей).

Даны постановки задач, в которых имеется косимметрия, приводящая к рождению однопараметрического семейства устойчивых стационарных режимов и ряду специфических бифуркаций. Так, для плоских движений уравнения конвекции Дарси могут быть записаны через функцию тока

ßrer = кгА9г + \ripx — J(9r, ф) = Fr, г = 1,..., S. (3) 0 = Д</> - £ 0Z = G, J{9\ ф) = егхфу - 9гуфх. (4)

r=1

Задача рассматривается в области D с краевыми условиями

0r = O, г = 1,..., S, ip = 0, (х,у)£дV. (5)

Система (3)-(5) обладает косимметрией Ь = ф, ф,..., ф, — кгвг ,

V 5 ' /

так что выполняется интегральное тождество (условие косимметрии): Е / (Ргф - Скгвг)<1х<1у = 0. (6)

т=1р

Справедливость данного равенства проверяется непосредственно интегрированием по частям, использованием формулы Грина и, в частности, следующими свойствами якобиана 3(ф, в)

/ J(ф, вг)ф<1х<1у — 0, / J(ф, вг)вЧх(1у = 0. (7)

V V

В § 1.4 даны постановки задач, описывающих конвекцию теплопроводной жидкости в кольцевых областях пористой среды для полярной системы координат. Выделены задачи, относящиеся к классу систем с косимметрией, и задачи, для которых далее вычисляются и изучаются однопараметрические семейства стационарных решений.

Вторая глава посвящена описанию численных методов решения уравнений конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде.

В § 2.1 изложена схема метода конечных разностей для расчета плоских движений конвекции Дарси на основе уравнений, записанных относительно температуры и функции тока. Все переменные вычисляются в единых узлах, применяются разностные отношения второго порядка точности и формула Аракавы (Л. Сотр. РЬуэ., 1966) для аппроксимации якобиана.

В § 2.2 описана аппроксимация уравнений конвекции в естественных переменных (скорости, давление, температура) на основе схемы смещенных сеток. Дискретизация проводится на неравномерной сетке, определены операторы первых разностных производных и вычисления средних, с их помощью построены аппроксимации вторых производных и конвективных членов.

В § 2.3 развит метод смещенных сеток для расчета трехмерных конвективных движений в пористой среде. Для дискретизации задачи в естественных переменных используется метод смещенных сеток с узлами пяти типов: для температуры, давления и трех компонент вектора скорости.

В параллелепипеде V = [0, Ьх] х [0, Ьу] х [0, Ьг] вводятся равномерные сетки по каждой координате с узлами Х{ = Игх, Нх — ЬХ/{ЫХ + 1), =

—hy/2 + jhy, hy = Ly/Ny, Zfc = khz, hz = LZ/(NZ + 1), и смещенные на полшага вспомогательные сетки: £¿-1/2, 2/7-1/21 zk-i/2- Здесь JV^, А^ и АГ2 - соответственно число внутренних узлов по координатам х, у и г.

Температура определяется на основной сетке (я,, yj, z^), а давление -в узлах (£¿-1/2,2/7-1/2, ¿ft-i^)- Компоненты вектора скорости г;1, v2 и v3 находятся в узлах, смещенных относительно точек (£¿-1/2,2/7-1/2; ^-1/2) на полшага по соответствующей координате: ^-1/2^-1/2' ^-i/2j,t-i/2>

1/2 j—i/2,fc- Схематическое расположение узлов показано на рис. 1. Равномерная по каждой координате сетка введена таким образом, что

Рис. 1. Размещение узлов в элементарной ячейке

на границе Зг-О краевые условия для температуры и скорости удовлетворяются автоматически, а на границе краевые условия реализуются с помощью законтурных узлов для температуры и скорости V2.

Разностные аналоги дифференциальных операторов первого порядка и операторы усреднения по координатам вводятся на двухточечных шаблонах:

тш = (8)

/г д\ 0Ц+1/2,к + #¿¿-1/2,к

[020)1,],к = -^-1

(5ф) ■ -к = 0Ч'к+1/2 + ^-У2

С помощью этих операторов записываются производные на трехточечных шаблонах = оператор усреднения по ячейке ¿о =

1/2,fc =

hx hy

%,j,k+1 ~ ^¿¿,fc h.

ил

и аппроксимация лапласиана Д/, = + с?2^2 + ^з^з- Формулы (8) справедливы как для целых, так и для дробных индексов.

Конвективные члены аппроксимируются следующим образом

(У-Щг,^ « (9)

= а £ ¿А П +(1-а)Е4Р» (бовб.у8)

В § 2.4 описана дискретизация уравнений В.И. Юдовича для описания конвективных движений многокомпонентной жидкости. Рассмотрена задача для параллелепипеда, позволившая использовать метод смещенных узлов, лежащих на параллелепипедальных сетках.

В § 2.5 рассмотрено применение спектрально-разностного метод для плоской задачи Дарси в области В = [0, а] х [О, Ь]. На основе спектрального разложения по вертикальной координате и метода конечных разностей по горизонтальной координате построена конечномерная система обыкновенных дифференциальных уравнений, наследующая свойство косимметрии исходной задачи, и получены аппроксимации нелинейных членов, сохраняющие свойство косимметрии (6). Для решения задачи

(3)-(5) с начальными условиями развит спектрально-разностный метод

[4], основанный на использовании галеркинских разложений по координате у и разностных аппроксимаций по координате х. Решение разыскивалось в виде рядов

{вг(х,у,1),ф(х,у,Ь)} = (10)

j=l 0

После подстановки (10) в уравнения (3), (4) получается следующая система уравнений:

Щ = кЩУ - с3ктв] + ХГфГ - 3], з = \ ,...,т, (И) 0 = ¿ = (12)

г=1 "

где штрих означает дифференцирование по х, ц = ) 7г/¿г и <2~ j-l

Ъ = (13)

" г=1 су т-з

+ те[(<+- ю'м+т+3УФг - .

0 г=1

Из краевых условий (5) получаются граничные условия для гармоник: 0;М) = 0;(*,а) = О, ] = 1,...,т, (14)

Ф№,0) = грэ(Ъа) = 0, з = 1,...,т. и

Начальные условия имеют вид: ь

в]{х, 0) = / er0(x, у) sin Шау> j = 1,..., то. (15)

о Ь

Для аппроксимации уравнений (11)—(12) по переменной х применялся метод конечных разностей. На отрезке [0, а] вводится сетка

ш = {хк\хк = kh, к = 0,..., п, h = а/(п + 1)}

и далее используются следующие обозначения

eik = erj(xk,t), ф^ = t), rjík = j¡{xk,t).

Первые и вторые производные линейной части уравнений (11) (12) аппроксимировалось при помощи центральных разностных отношений. Для аппроксимации нелинейных членов вводились антисимметричный и симметричный дифференциальные операторы

Da{e, ф) = в'ф - вф\ D3(d, ф) = в'ф + 9ф'.

Здесь и далее при выводе формул для краткости вместо обозначения вг используем в.

В случае однокомпонентной жидкости (в1 = в) выражения для Jj с помощью операторов Da и Ds записываются следующим образом

2тг /™-з j~l \

Jj = y^Exj. + gx^ J, (16)

х),г = ^Y1 [Ds(ei+j, Фг) - Ds(0i, фг+j)} - 3- [Da(0i+j, 1M + Da{6i, Фг+j)} ,

Xj,i = ^ {Ds{du rpj-i) + ад, Фм) - Ds{0j-u 1¡>i) + Daft-i, фг)] .

Специальные аппроксимации операторов Da и Ds построены с помощью метода неопределенных коэффициентов. Доказаны леммы. Лемма 1. На трехточечном шаблоне имеется однопараметрическое семейство аппроксимации второго порядка точности антисимметрического оператора Da с параметром 7:

daM-Ф) = {^ + 1)Ш+1-0к.1)фк-вк(фк+1-фк.1)} (17)

+7{вк-1фк+1 - вк+1фк-г). 12

Лемма 2. На трехточечном шаблоне аппроксимация симметрического оператора со вторым порядком точности дается двухпараметриче-ским семейством разностных операторов

й3,к{в,ф) = авк-^к-1 + (6/3 - а)9шфш - (18)

- (■^ + а + Р){вк-11рк + вьФк-1) +

+ {^ + а-ЗР){вкфш + вшфк) + + + Мкфк + вк+1фк^).

Показано, что формулы (17)—(18) обеспечивают наследование косим-метрпи для любого числа гармоник т. Таким образом, была получена спектрально-разностная аппроксимация уравнений фильтрационной конвекции, сохраняющая косимметрию для задачи о движении многокомпонентной жидкости в пористом прямоугольнике. Численный анализ далее проводился для смешанной системы дифференциальных и алгебраических уравнений:

(ЗгРм = ^-с^в^ + ХМф^-^^Ф^, (19) О = с121ф:!к-с^л + с1151в1к = Ф2^к. (20)

Дано развитие спектрально-разностного метода на случай смещенных сеток; по вертикальной координате используется метод Фурье, а по горизонтальной - метод конечных разностей, причем температура определяется в узлах основной сетки, а функции тока - в узлах смещенной сетки. Методом неопределенных коэффициентов получены аппроксимации, обеспечивающие сохранение косимметрии исходной задачи. В этом же параграфе приведен вариант спектрально-разностного метода для областей бочкообразной формы.

В § 2.6 реализоыван метод вычисления семейств стационарных конвективных режимов, основанный на коснмметрической версии теоремы о неявной функции (В.И. Юдович, 1991). Первые реализации алгоритма для систем, полученных в результате дискретизации исходной задачи, были развиты в работах В.Н. Говорухина (1995).

В плоской задаче конвекции Дарси семейство стационарных движений ответвляется при переходе фильтрационного числа Рэлея (А = Аг) через критическое значение первого перехода Ац. При малых надкри-тичностях все точки на семействе устойчивы. Стартуя из окрестности неустойчивого нулевого равновесия и интегрируя методом Рунге-Кутты систему обыкновенных дифференциальных уравнений © = ^(0), полученную в результате дискретизации, можно выйти на одно из равновесий

семейства. Затем для определения всего семейства используется следующая процедура: 1) при помощи метода Ньютона равновесие уточняется, 2) вычисляется ядро матрицы Якоби (матрицы линеаризации) для полученного рановесия, 3) методом Адамса находится прогнозное значение для следующей точки на семействе. Шаги 1-3 повторяются до получения всего семейства. Вблизи семейства используется модифицированный метод Ньютона, когда итерации производятся без перевычисления матрицы Якоби. Из-за вырождения матрицы Якоби около семейства решение ищется для редуцированной системы на ортогональном к семейству подпространстве.

В § 2.7 метод смещенных сеток применен для аппроксимации уравнений фильтрационной конвекции в кольцевых областях. Рассмотрены разностные аналоги уравнений, записанных для температуры и функции тока, и уравнений в естественных переменных (скорости, давление, температура). Для аппроксимаций уравнений используются узлы четырех типов: для температуры, двух компонент вектора скорости и давления.

В § 2.8 развит метод дискретизации плоской задачи для двухслойной системы, состоящей из прямоугольника с пористой средой, насыщенной жидкостью, поверх которого размещается слой той жидкости. Модель Обербека-Буссинеска применяются для описания конвективных движений в слое чистой жидкости и модель Дарси — для описания конвекции в жидкости, заполняющей пористый материал. Задача рассматривается в естественных переменных, на границе раздела используются эмпирические условия Биверса-Джозефа для согласования движений свободной жидкости и жидкости, насыщающей пористую среду.

Третья глава посвящена численному исследованию задач фильтрационной конвекции для многокомпонентной и теплопроводной жидкости. При помощи развитых во второй главе методов изучено ответвление семейств стационарных конвективных режимов для прямоугольных и параллелепипедальных контейнеров, а также для кольцевых секторов. Проанализировано возникновение неустойчивости на первичном семействе, изучен случай столкновения семейств.

В § 3.1 на основе спектрально-разностной дискретизации плоской задачи конвекции теплопроводной жидкости представлены результаты численного эксперимента для плоской задачи конвекции Дарси, дано сопоставление с известными результатами. Приведены результаты расчета плоской задачи фильтрационной конвекции методом ссток.

В § 3.2 проведено параметрическое исследование семейств стационарных конвективных режимов для плоской задачи конвекции теплопроводной жидкости. В вычислительном эксперименте найдены критические значения фильтрационного числа Рэлея А, при которых на первичном семействе возникает неустойчивость (второй переход). Изучен характер неустойчивости (колебательная или монотонная) и число теряющих устойчивость стационарных движений. Представлены сценарии развития семейств стационарных режимов для прямоугольника. Проанализировано столкновение семейств стационарных режимов и установлено, что в результате перезамыкания ветвей сталкивающихся семейств образуются новые семейства, состоящие из устойчивых и неустойчивых стационарных режимов.

При малых надкритичностях первичное семейство полностью устойчиво. С увеличением параметра А происходит рост семейства, и при А = Аи на нем возникают равновесия с нейтральным спектром. Число таких стационарных режимов зависит от геометрии контейнера. Далее эти равновесия теряют устойчивость (второй переход), и возникают дуги из неустойчивых равновесий. При дальнейшем увеличении числа Рэлея наблюдается расширение областей неустойчивости на первичном семействе. При А = А0 достигается неустойчивость семейства в целом, когда все первичное семейство состоит из неустойчивых стационарных конвективных режимов. Результаты вычислений для различных (3 удобно представить для относительных критических значений А/Ац, где Ац -критическое значение первого перехода. На рис. 2 кривые 1 и 2 соответствуют возникновению монотонной и колебательной неустойчивости на семействе, кривая 3 отвечает потере устойчивости всего первичного семейства (А = А0), а кривая 4 - критическим значениям влипания вторичного семейства в первичное (А = Ас).

В § 3.3 исследуются конвективные движения двух- и трехкомпонент-ной жидкостей в высоком прямоугольном контейнере и анализируется возникновение семейств стационарных решений и автоколебательных режимов после потери устойчивости механического равновесия в случае умеренных надкритичностей. Изучен новый сценарий образования непрерывного семейства стационарных решений, реализующийся в случае колебательной неустойчивости механического равновесия. При достаточно больших по абсолютной величине отрицательных градиентах концентраций и малости соответствующих коэффициентов диффузии механическое равновесие теряет устойчивость колебательным образом. В этом случае наблюдается новый сценарий развития конвективных движений, в котором участвуют ответвляющийся от механического равно-

р

Рис. 2. Зависимость критических значений от высоты контейнера; /? = Ь/а

весия автоколебательный режим, а также два семейства стационарных решений, рождающихся «из воздуха». Например, данный сценарий реализуется для случая двухкомпонентной жидкости при следующих значениях параметров: Л2 = —10, «2 = 0.3 и Ь = 2. На рис. 3 для этих значений параметров представлено развитие семейств стационарных решений и автоколебательных режимов.

При А1 и 76 нулевое равновесие устойчиво и существуют два семейства стационарных решений (кривые 1 и 2), возникшие в результате бифуркации «рождения из воздуха» (Л.Г. Куракин, В.И. Юдович, Докл. РАН. 2000). Каждое семейство состоит из двух дуг: устойчивых и неустойчивых равновесий. При Ах и 77 нулевое равновесие теряет устойчивость колебательным образом и возникает устойчивый предельный цикл (кривая 3). С ростом А1 семейства 1 и 2 усложняются и при Ах ~ 79.4 происходит их столкновение. В результате ветви обоих семейств перезамыкаются, и формируются два новых семейства: полностью неустойчивое (кривая 4) и семейство, состоящее из устойчивых и неустойчивых равновесий (кривая 5).

При дальнейшем увеличении Ах дуги неустойчивых равновесий на семействе (кривая 5) сокращаются и исчезают, так что при 80 < Ах < 156.5 это семейство полностью устойчиво. Предельный цикл на малом промежутке значений Ах претерпевает последовательность бифуркаций, в результате чего формируется хаотический автоколебательный режим, который затем гибнет, сталкиваясь с неустойчивым семейством (кривая 4). С ростом Ах неустойчивое семейство (кривая 4) уменьшается в размерах и исчезает при Ах = 85, влипая в нулевое равновесие. При этом

-6 8 Ми 22 36 -6 8 Ми 22

Рис. 3. Развитие конвективных режимов при колебательной потере устойчивости механическим равновесием (крест): кривые 1 и 2 - семейства, состоящие из устойчивых и неустойчивых равновесий, кривая 3 - автоколебательный режим, кривая 4 - неустойчивое семейство стационарных решений, кривая 5 - объединенное семейство, звездочки - неустойчивые равновесия; 5 = 2, 6 = 2, Л2 = -10, к2 = 0.3.

в спектре механического равновесия два собственных числа переходят из правой в левую полуплоскость по вещественной оси. С ростом А1 семейство увеличивается, а при А1 = 156.6 в результате колебательной неустойчивости на нем возникают четыре дуги неустойчивых равновесий. При дальнейшем увеличении А1 происходит столкновение с неустойчивым семейством, которое ответвилось от механического равновесия при следующем критическом значении числа Рэлея.

Столкновения семейств стационарных состояний на основе спектрально-разностного метода изучены в § 3.4. Обнаружен сценарий, при котором устойчивое первичное семейство стационарных движений последовательно сталкивается с вторичными и третичными семействами, состо-

ящими из неустойчивых равновесий.

Расчеты столкновения семейств стационарных состояний на сетке 20 х 10 дали следующий результат: первое столкновение происходит при числе Рэлея 240 < Л < 245. При Л = 240 семейства F2l и Рп еще существуют независимо друг от друга, с увеличением Л происходит сближение непрерывных кривых, их контакт и перезамыкание ветвей. В результате образуются новые замкнутые непрерывные кривые, отвечающие формированию семейств стационарных режимов С\ и что видно на рис. 4.

Рис. 4. Семейства ^21 и до столкновения (Л = 240, слева) и возникшие после столкновения семейства (Л = 245, справа), пунктир обозначает ветвь ^2? принадлежащую инвариантному многообразию

В <| 3.5 исследован первый переход в трехмерной задаче фильтрационной конвекции. Проанализировано возникновение семейства стационарных плоских движений в случае параллелепипеда с двумя боковыми стенками, на которых потоки тепла и примеси равны нулю, а на остальной границе поддерживаются линейные по высоте распределения температуры и концентраций.

Конвективные движения двухкомпонентной жидкости в параллеле-

пипеде с двумя боковыми тепло- и маесоизолированными стенками рассмотрены в § 3.6.

В § 3.7 изучена селекция стационарных режимов для задачи о подогреве снизу прямоугольника [0, о] х [О, Ь], заполненного пористой средой и насыщенного жидкостью. Для жидкости, подчиняющейся закону Дарси, начально-краевая задача в безразмерных переменных имеет вид

в1 = Ав+\фх + Дв,ф), 0 = Аф-вх, (21)

^ = 0, (х,у)едТ>, 0(0, у, 0 = #(«,!/,*) = 0, в{х, 0, ¿) = /(4)01 (х), в(х, Ь, Ь) = №02{х), в{х,у, 0) = 00{х,у).

Здесь д - отклонение температуры от равновесного профиля, ф - функция тока, А - фильтрационное число Рэлея. Начальное возмущение задавалось гармоническим распределением температуры на горизонтальных границах, в^х) = щвт^пх/а) и 02(я) = Щбш^тгх/а) - распределения температуры соответственно на нижней и верхней границах, /(£) -заданная функция времени.

Для численного решения системы (21) использовался метод, развитый в [2, 9]. Было рассчитано континуальное семейство стационарных режимов проведена параметризация, так что каждое состояние получило индивидуальный номер - число из интервала в 6 [0,1]. На конечном промежутке времени задавалось возмущение температурного поля на границе с ¡(1) = (£ 6 [0, г], т = 1.0) и проводился расчет из начальных данных, соответствующих стационарному режиму с параметром е. Далее расчет производился с однородными граничными условиями, что соответствует исходной косиммстричной постановке задачи. Вычисления продолжались до установления стационарного режима, принадлежащего семейству. Других состояний не было достигнуто. Финальное состояние обозначается далее Яоо, время установления не превышало 3т.

Численное интегрирование уравнений (21) с краевыми условиями, зависящими от времени, показало, что различные устойчивые стационарные конвективные движения могут быть достигнуты из данного режима подходящим выбором возмущения температуры на границе. Начальные условия при нулевой амплитуде возмущения отвечали стационарному режиму из семейства.

В ходе эксперимента строилось селективное отображение Яоо^), устанавливающее соответствие между начальной точкой я и реализующимся стационарным режимом вое- Неподвижным точкам этого одномерного отображения отрезка [0,1] в себя отвечают стационарные режимы из семейства, которые устойчивы к действию возмущенияю

На рис. 5 представлены результаты вычислений для различного числа полугармоник. При ко = 1 из большинства начальных точек, взятых

Рис. 5. Селективное отображение для четного (слева) и нечетного (справа) числа полугармоник

на семействе, устанавливается режим с двумя симметричными конвективными валами й = 0 (в = 1). При возмущении с числом полугармоник к0 > 2 эффект смещения от начального состояния выражен слабо.

Рис. 6. Селективное отображение для возмущений на верхней и нижней границах; ко = 2. Слева: Vo — Vb = -Ю (кружки), 77о = —щ — —10 (плюсы), Справа: r¡o — Vb = Ю (кружки), г)о = —щ = 10 (плюсы)

В численном эксперименте обнаружено, что подходящим выбором возмущения можно получить селективное отображение без неподвижных точек, когда из любого равновесия в результате переходного процесса устанавливается состояние, смещенное относительно исходного вдоль

кривой семейства. Направление сдвига определяется знаком амплитуды возмущения, причем при уменьшении амплитуды возмущения это явление сохраняется, но снижается относительная величина смещения.

На рис. 6 приведены результаты для совместного действия возмущений на нижней (у = 0) и верхней (у = Ъ) границах. Видно, что комбинации г]оТ]ь > 0 приводят к сдвигу, в то время как случай щт]ь < 0 дает селективное отображение с единственной неподвижной точкой.

В § 3.8 проанализирован распад семейства стационарных режимов в плоской задаче конвекции Дарси. Рассмотрена конвекция в прямоугольнике при неравномерном нагреве и при фильтрации жидкости через боковые стенки, проанализировано поведение системы для больших значениях неоднородности краевых условий.

Результаты численного эксперимента для прямоугольника со сторонами а = 2 и Ъ = 1 приведены на рис. 7 (скорость протекания через боковые стенки ц) и рис. 8 (неравномерный подогрев на горизонтальной границе). Для изображения семейства и орбит предельных циклов использованы интегральные числа Нуссельта

Хин = £ вх(а/2, у)йу, Nи„ = £ 9у(х, 0)<1х.

Рис. 7. Семейство равновесий (пунктир) и предельные циклы при различных скоростях протекания жидкости д: А = 60 (слева) и А = 240 (справа)

При малой скорости протекания жидкости образующийся предельный цикл располагается вблизи исчезнувшего семейства стационарных решений. С увеличением интенсивности фильтрации орбита предельного цикла удаляется от кривой семейства равновесий. Дальнейшее повышение скорости протекания приводит к быстрому выносу нагретых жидких частиц и подавлению конвективного режима. При возрастании градиента температуры (рост параметра Рэлея Л) конвективные движения

обладают большей сопротивляемостью по отношению к скорости фильтрации ¡л. При Л = 240 с увеличением (1 вначале орбита предельного цикла смещается вправо от кривой семейства, затем происходит деформирование периодического режима, и уже потом большая интенсивность фильтрации приводит к подавлению конвекции.

При неравномерном подогреве снизу и отсутствии фильтрации возможны два сценария разрушения семейства: образование изолированных стационарных режимов и формирование предельных циклов. Вычислительный эксперимент проводился для задаваемого гармоническим законом отклонения температуры на нижней кромке прямоугольника 9{х,0,Ь) = цът^-пх/а). Это позволило рассмотреть случай возмущения равномерного подогрева с нулевым средним. В расчетах менялась интенсивность подогрева Л (фильтрационное число Рэлея), амплитуда неоднородности г) число полугармоник к.

N11

-30

\ V у\

/ \ \ / \ \ л >.-•■■\ \ \ ч ч

Рис. 8. Семейство равновесий и установление к изолированным стационарным режимам (звезда) при неравномерном подогреве снизу: г] = 4 (пунктир) и ту = —4 (штрих-пунктир); Л = 70, к = 4

В зависимости от параметров семейство стационарных режимов распадается на конечное число изолированных стационарных состояний или предельный цикл. При двух гармониках (к = 4) получаются два изолированных стационарных движения, см. рис. 8. Одно из них оказывается устойчивым, а другое - неустойчивым, это зависит от знака амплитуды г]. На рисунке показаны проекции траекторий, выпущенных их точек, принадлежавших семейству. При малых г) установление к изолированному стационарному состоянию происходит вдоль бывшего семейства, причем чем меньше возмущение граничной температуры, тем медленнее движение к финальному состоянию.

В § 3.9 приведены результаты исследования плоских движений в кольцевых областях на основе уравнений фильтрационной конвекции

в полярных координатах. Изучены особенности формирования конвективных структур в трапециевидных областях, найдены примеры образования семейств стационарных режимов.

В § 3.10 проведено параметрическое исследование областей устойчивости основных стационарных двумерных конвективных движений для контейнера прямоугольного сечения, заполненного вязкой несжимаемой теплопроводной жидкостью (модель Обербека-Буссинеска). Построены карты режимов на плоскости параметров (число Рэлея, длина контейнера), изучены переходы при изменении параметров, вызывающих потерю устойчивости стационарных состояний с числом валов от 1 до 11.

В § 3.11 представлены результаты вычисления конвективных режимов для различных высот слоя чистой жидкости и значений проницаемость пористой среды (чисел Дарси).

Четвертая глава посвящена исследованию математических моделей динамики популяций со свойством косимметрии. Рассмотрены нелинейные параболические уравнения с одной пространственной переменной, в которых имеется неединственность решений в виде семейств равновесий с переменным спектром устойчивости вдоль семейства. На основе специального варианта метода конечных разностей изучены режимы системы, проанализированы сценарии возникновения и развития семейств стационарных режимов (равновесий), а также распад семейств равновесий при возмущении уравнений и краевых условий.

В § 4.1 представлены модели динамики популяций, обладающие свойством косимметрии. Показано, что косимметрия имеется в широком диапазоне изменения параметров. Предложена модель для описания динамики трех пространственно-распределенных популяций с учетом диффузии и нелинейных эффектов миграции

Здесь ги — (и>1, Ю2, мз) - отклонение плотности распределения популяций относительно средних значений, точка и штрих означают соответственно производные по времени Ь и пространственной координате х е О, = [0,а], ъио(х) - начальное распределение, 7 - граничные значения плотности ю. Матрица диффузионных коэффициентов диа-гональна: К = <11а§(А;1, кз).

В (22) межвидовое взаимодействие (миграционные потоки) представлено линейным Ми/ и нелинейным Р(и>',ъи) членами, описывающими

й = Кхи" + Мы' 4- Г(и!', го) = Ф(ш) ш(0,г) = ги{а,Ь) = 7, и>(ж,0) = и)°(х), же [0,а].

(22)

(23)

(24)

изменение плотностей распределения особей одного вида под влиянием других. Рассматривается случай, когда на изменение плотности популяции г-го вида влияют линейные потоки остальных видов, причем вторая и третья популяции напрямую не взаимодействуют друг с другом, т.е. матрица коэффициентов переноса М имеет вид

/ 0 ти тп13 ^ М = \ тг г 0 0 , (25)

\ -77131 0 0 ,

где Шгг, ^ = 1,2,3 — вещественные параметры.

Вектор соответствует нелинейному переносу, который определяется плотностью популяций и их производными:

Р^^-из) =

- З^&хЦги!, щк2{уо'^2 + 2и}'2и]{), щк3(ю'^3 + 2-и13и]1)

Показано, что система (22)-(24) при £ = 7 = 0 и щ = щ = щ обладает косимметрией = АК~1К\ь.А = <11а§(1) —1,1). Матрица Лх совпадает с М (25) в случае, если гп\2 = т2\,тп\3 = 77131.

В § 4.2 описан метод прямых для моделирования динамики популяций. Для аппроксимации производных применяются формулы второго порядка точности на трехточечном шаблоне, х^ = где ] = 0,..., тг + 1, Н = а/(п + 1). Уравнения аппроксимируются с использованием конечно-разностных операторов второго порядка точности

, _ Щ+1 - 2 _ щ+х - 2щ + 1

2/г ' ^ /г2

Сохранение свойства косимметрии в дискретных аналогах исходных уравнений обеспечивается специальными разностными формулами, аппроксимирующими нелинейные слагаемые.

2 11 V) = + - -В){иу).

Дискретный аналог системы (22)-(24) имеет вид

щ = + + , ¿=1,...)п, г = 1,2,3, (26)

г%(0) = = Мг,п+1 = 7г,

Ри = —377^1^(^1, гиг), Рц = т}Й2[^(ги1,ги2) + 2ф(ш2, кл)], ^ад = ^зИЛ^ь шз) + «л)].

В § 4.3 изучено ответвление семейств равновесий и нестационарных режимов для модели трех сосуществующих популяций (22)-(24). Из-за

имеющейся в задаче симметрии возникновение ненулевых режимов из неустойчивого нулевого равновесия анализировалось численно при положительных Л и гл При фиксированных значениях коэффициентов диффузии к\ — кз = 1, = 0.1 и а = 1 вычислены нейтральные кривые, дающие границу области устойчивости нулевого равновесия. При малых значениях и имеет место монотонная неустойчивость, а колебательная неустойчивость начинается при достаточно больших V, при этом также растут критические значения параметра Л. При увеличении коэффициента диффузии /сг происходит сдвиг границы колебательной и монотонной неустойчивости. При значениях параметра Л < 2тгу/к\кз нулевое равновесие полностью устойчиво. Результаты вычисления ненулевых режимов для различных значений параметров Лиг/ приведены на рис. 9. Плоскость параметров разделяется на четыре зоны: область устойчиво-

61-,-._

о 2 4

V

Рис. 9. Карта режимов. Нейтральная кривая (пунктирная линия)

сти нулевого равновесия помечена цифрой 1, цифрами 2 и 4 обозначены области параметров, при которых обнаружены соответственно семейства стационарных решений и нестационарные режимы. Область 3 отвечает сосуществованию нестационарных режимов и семейств.

В § 4.4 проведено исследование разрушения семейств стационарных распределений популяций вследствие возмущения нелинейность и не сохраняющей свойство косимметрии дискретизации. Показано, что семейство не разрушается при варьировании коэффициентов линейного переноса и разрушается при возмущении численности популяции на грани-

це или при несогласованных нелинейных членах. В результате распада может получиться конечное число стационарных распределений популяций, либо сформироваться волновые движения, отвечающие нестационарному переносу плотности от одной границы ареала к другой. При исследовании разрушения семейства эффективно использование функции косимметрического дефекта (нижняя часть рис. 10). Когда при

Рис. 10. Предельные циклы (сплошная линия) и изолированные равновесия (квадрат - устойчивое равновесие, крестик - неустойчивое), появившиеся в результате распада семейства стационарных состояний (пунктир); А = 15; и — 5.5. Снизу: график изменения селективной функции ¿'1 (сплошная линия) при движении вдоль семейства (я - континуальный номер).

распаде семейства образуется предельный цикл, то на графике отсутствуют пересечения с линией 51 = 0. Если для косимметрического дефекта наблюдаются две точки пересечения, то фазовый портрет имеет пару стационарных режимов (квадрат на рис. 10 отвечает устойчивому равновесию, а крестик - неустойчивому).

Получающиеся в результате распада семейства изолированные равновесия близки к кривой семейства, и установление к ним может быть достаточно длительным. Траектории при этом располагаются вблизи кривой семейства.

Заключение (основные полученные результаты)

1. Разработаны схемы смещенных сеток для решения двумерных и трехмерных задач гравитационной конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде. Развиты специальные способы аппроксимации нелинейных конвективных членов, сохраняющие свойство косимметрии

и дискретные симметрии исходных уравнений. Построены дискретизации двумерных задач на регулярных и смещенных сетках с неравномерным расположением узлов по пространственным координатам.

2. На основе развитых методов, сохраняющих свойство косимметрии задачи, получены разностные аналоги уравнений фильтрационной конвекции в полярных координатах. Реализована численная схема для исследования конвекции в двухслойной системе, состоящий и насыщенного жидкостью слоя пористого материала и слоя свободной жидкости.

3. Проведено параметрическое исследование семейств стационарных движений теплопроводной жидкости в прямоугольнике, заполненном пористой средой, при линейном распределении температуры по высоте. Найдены критические значения фильтрационного числа Рэлея, при которых на первичном семействе возникает неустойчивость в результате второго перехода, изучен характер неустойчивости и найдено число теряющих устойчивость стационарных движений.

4. Разработан спектрально-разностный метод решения плоской задачи конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде. Построены аппроксимации нелинейных слагаемых, обеспечивающие сохранение в дискретной системе свойства косимметрии, имеющегося для исходной задачи. Реализованы алгоритмы и программы вычисления однопарамет-рических семейств стационарных решений в компьютерном эксперименте.

5. Проанализировано столкновение семейств стационарных режимов для плоской задачи фильтрационной конвекции. Численно исследован сценарий перезамыкания ветвей сталкивающихся семейств и образования новых семейств, состоящих из устойчивых и неустойчивых стационарных режимов.

6. Для плоской задачи фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости, насыщающей пористый массив прямоугольного сечения, исследованы сценарии развития непрерывных семейств стационарных режимов, ответвляющихся от механического равновесия. Рассмотрена конвекция двух- и трехкомпонентной жидкости, проанализированы одно- и разнонаправленные вертикальные градиенты температуры и концентраций. Найден новый сценарий образования непрерывного семейства стационарных решений в задаче фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости, реализующийся в случае колебательной неустойчивости механического равновесия.

7. Для задачи фильтрационной конвекции в параллелепипеде проанализировано ответвление стационарных режимов от состояния механического равновесия. Изучено формирование конвективных движений

для параллелепипеда с двумя теплоизолированными противоположными стенками и линейного распределения температуры по высоте для других граней. Найдены условия на геометрические параметры, при которых возникают устойчивые непрерывные семейства стационарных движений. В численном эксперименте с применением метода сеток исследована устойчивость режимов семейства к трехмерным возмущениям.

8. Развитая методика вычислительного эксперимента для косиммет-ричных систем применена к исследованию математических моделей динамики популяций. Изучены режимы модели популяционной кинетики с косимметрией и исследовано развитие ответвляющихся семейств стационарных режимов и нестационарных режимов. Для интеисивностей миграции получена область значений параметров, при которых в системе имеется сосуществование континуальных семейств стационарных режимов и предельных циклов.

В Приложении описан комплекс программ, разработанных под руководством В.Г. Цибулина для проведения вычислительных экспериментов с рассматриваемыми моделями конвекции и динамики популяций, Сведения об их регистрации даны в диссертации. Комплекс программ ConPorMed-2d состоит из двух программ на языке MATLAB и предназначен для проведения компьютерного моделирования плоских конвективных движений теплопроводной жидкости в пористой области. Программы комплекса Darcy-FD позволяют проводить анализ двумерных и трехмерных конвективных движений теплопроводной жидкости в пористой среде с учетом сильной неединственности решений. Программа DiffMultiFluid-3D предназначена для проведения компьютерного моделирования конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде. Комплекс программ DyPoMC предназначен для исследования динамики популяционных моделей с косимметрией и проведения расчетов различных режимов в системах дифференциальных уравнений в частных производных.

Список основных публикаций автора по теме диссертации Статьи в журналах из Перечня ВАК Минобрнауки РФ:

1. Tsybulin V.G., Yudovich V.I. Invariant sets and attractors of quadratic mapping of plane: computer experiment and analytical treatment // Int. J. Difference Equations and Applications. 1998. Vol. 4. P. 397-423.

2. Karasozen В., Tsybulin V.G. Finite-difference approximation and cosymmetry conservation in filtration convection problem // Physics Letters A. 1999. Vol. 262. P. 321-329.

3. Govorukhin V.N., Tsybulin V.G., Karasozen B. Dynamics of Numerical Methods for Cosymmetric Ordinary Differential Equations // Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 2001. Vol. 11. № 9. P. 2339-2357.

4. Кантур О.Ю., Цибулин В.Г. Спектрально-разностный метод расчета конвективных движений жидкости в пористой среде и сохранение косимметрии // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., Т. 42, № 6. 2002. С. 913-923.

5. Кантур О.Ю., Цибулин В.Г. Расчет семейств стационарных режимов фильтрационной конвекции в узком контейнере // ПМТФ, 2003. Т. 44, N. 2. С. 92-100.

6. Frischmuth К., Tsybulin V.G. Computation of a family of non-cosymmetrical equilibria in a system of nonlinear parabolic equations // Computing, Suppl. 16, Springer, Vienna. 2003. P. 67-82.

7. Кантур О.Ю., Цибулин В.Г. Численное исследование плоской задачи конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 3. С. 123-134.

8. Karasozen В., Tsybulin V.G. Cosymmetric families of steady states in Darcy convection and their collision // Physics Letters A. 2004. Vol. 323. p. 67-76.

9. Karasozen В., Tsybulin V.G. Mimetic discretization of two-dimensional Darcy convection // Comput. Phys. Comm., 2005. Vol. 167. P. 203-213.

10. Karasozen В., Tsybulin V.G. Cosymmetry preserving finite-difference methods for convection equations in a porous medium // Appl. Num. Math., 2005. Vol. 55. P. 69-82.

11. Frischmuth K., Tsybulin V.G. Families of equilibria and dynamics in a population kinetics model with cosymmetry // Physics Letters A. 2005. Vol. 338. P. 51-59.

12. Tsybulin V.G., Karasozen В., Ergench T. Selection of steady states in planar Darcy convection // Physics Letters A. 2006. Vol. 356. P. 189-194.

13. Немцев А.Д., Цибулин В.Г. Численное исследование первого перехода в трехмерной задаче фильтрационной конвекции // Изв. РАН, МЖГ. 2007. № 4. С. 144-150.

14. Ковалева Е.С., Цибулин В.Г., Фришмут К. Динамика модели популяционной кинетики с косимметрией // Математ. моделирование, 2008. Т. 20. № 2, С. 85-92.

15. Karasozen В., Nemtsev A.D., Tsybulin V.G. Staggered grids discretization in three-dimensional Darcy convection // Comput. Phys. Comm. 2008. Vol. 170. P. 885-893.

16. Tsybulin V. G., Karasozen B. Destruction of the family of steady states in the planar problem of Darcy convection 11 Physics Letters A. 2008. Vol. 372. P. 5639—5643.

17. Ковалева E.C., Цибулин В.Г., Фришмут К. Семейство стационарных режимов в модели динамики популяций // Сиб. журн. индустр. математики. 2009. Т. 12. № 1 (37), С. 98-108.

18. Немцев А.Д., Цибулин В.Г. Численный метод исследования конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде // Вестник ЮНЦ РАН. 2009. Т. 5, № 4. С. 23-26.

19. Трофимова А.В., Цибулин В.Г. Расчет конвективных режимов в пористой трапециевидной области // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. Науки. Спецвыпуск. 2009. С. 211-215.

Публикации в сборниках, трудах конференций и др.:

20. Цибулин В.Г. Реализация разностной схемы суверенных скоростей для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости // Тр. II конф. «Современ. проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону, 1996. С. 144-148.

21. Цибулин В.Г. О конечно-разностной аппроксимации задач механики сплошной среды на основе схемы суверенных скоростей // Современ. проблемы матема-

тического моделирования, VII Всерос. шк.-семинар. Дюрсо, 1997. С. 148-152.

22. Karasdzen В., Tsybulin V.G. Finite-Difference Approximations for Cosymmetry Preservation in a Filtration Convection Problem // Proc. «Equadiff 99» World Sci, Pub. Co. 2000. Vol. 2. P. 221-223.

23. Кантур О.Ю., Цибулин В.Г. Спектрально-разностный метод расчета плоской задачи фильтрационной конвекции в пористой среде // Труды 9 Всеросс. Шк.-сем. «Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности", Изд-во РГУ, Ростов-на-Дону, 2000, с. 93-100.

24. Tsybulin V.G. Preservation of cosymmetry by finite-difference approximations for filtration convection problems // Int. Colloquium on the Applic. of Mathematics. Hamburg. 2000. P. 40-41.

25. Цибулин В.Г. Расчет семейств стационарных режимов в задаче фильтрационной конвекции Дарси // Аннот. докл. «VIII Всерос. съезд по теорет. и прикл. механике, Пермь, 2001». Екатеринбург: УРО РАН, 2001. С. 590.

26. Цибулин В.Г. Разностные аппроксимации и сохранение косимметрии // Тр. VI конф. «Современ. проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону, 2001. С. 102-106.

27. Кантур О.Ю., Цибулин В. Г. Расчет семейств стационарных режимов фильтрационной конвекции Дарси в узком контейнере // Деп. ВИНИТИ, N 2625-В2001,

2001, 24 с.

28. Karasdzen В., Tsybulin V.G. Conservative Finite Difference Schemes for Cosymmetric Systems // Proc. 4th Con}, on Computer Algebra in Scientific Computing, Springer-Verlag, 2001. P. 363-375.

29. Kantur O.Yu., Tsybulin V.G. Filtration-convection problem: spectral-difference method and preservation of cosymmetry // ICCS 2002, LNCS 2330, Springer-Verlag Berlin Heidelberg. P. 432-441.

30. Соболев С. О., Цибулин В.Г. Расчет конвективных движений жидкости и переходов в прямоугольном контейнере при подогреве снизу // Деп. ВИНИТИ.

2002. 24 с.

31. Tsybulin V.G. Cosymmetry Preserving Discretization and Multiple Convective Regimes 11 Patterns and Waves. Saint Petersburg. 2003. 42-54.

32. Кантур О.Ю., Цибулин В.Г. Численное исследование конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде // Деп. ВИНИТИ, № 6-В2003, 2003, 18 с.

33. Кантур О.Ю., Цибулин В.Г. Численное исследование плоской задачи фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости // Современные проблемы тепловой конвекции, Пермь, 2003. С. 123.

34. Кантур О.Ю., Цибулин В.Г. Конвекция многокомпонентной жид-кости в пористой среде и вычисление семейств стационарных режимов // Proc. «Fluxes and Structures in Fluids - 2003». IPM RAS. 2004. C. 228-233.

35. Kantur O.Yu., Tsybulin V.G. Convection of multi-component fluid in porous medium and computation of the families of steady states // Abstracts Internat. Conf. on Fluxes and structures in fluids. 2003. P. 82.

36. Kantur O.Yu., Tsybulin V.G. Computer modelling of convective flows in porous medium //IV Internat. Conf. «Tools for mathematical modelling». 2003. P. 81.

37. Frischmuth K., Tsybulin V.G. Cosymmetry preservation and families of equilibria // Computer Algebra in Scientific Computing. Proc 7th workshop CASC, St. Petersburg, July 12-19, 2004. Technische University Muenchen. 2004. P. 163-172.

38. Немцев А.Д., Цибулин В.Г. Вычисление стационарных решений трехмерной задачи фильтрационной конвекции // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. Тр. III Школы-семинара, Ростов-на-Дону, Изд-во ЦВВР, 2004. С. 110-112.

39. Kantur 0. Yu., Tsybulin V.G. Numerical Study of Convection of Multi-Component Fluid in Porous Medium // Proc. ENUMATH 2003. Springer-Verbg. 2004. P. 531538.

■10. Цибулин В.Г. Переходы и селекция режимов в плоской задаче конвекции Дарен // Тр. XI Всерос. шк.-сем. «Современные проблемы математ. моделирования». РГУ. Ростов-на-Дону. 2005. С. 392-398.

41. Цибулин В. Г. Метод сеток для расчета фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости // Труды X междунар. копф. «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. 200G. Т. 1. С. 271- 275.

42. Немцев А.Д., Цибулин В.Г. Семейство стационарных- режимов в трехмерной задаче фильтрационной конвекции // Тез. III Всерос. копф. «Актуальные проблемы прикладной математики и механики". Екатеринбург. УрО РАН. 2000. С. 84-86.

43. Цибулин В.Г. Разрушение коснмметричпого семейства равновесий в задаче фильтрационной конвекции // Тр. XI междунар. копф. «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. 2007. Т. 1. С. 398-402.

44. Ковалева E.G., Цибулин В.Г. Разрушение коспммегрпчного семейства равновесий в задаче нопуляциопной кинетики // Тр. 12 Всеросс. Шк.-сем. «Современные проблемы математического моделирования", Изд-во ЮФУ, Ростов-на-Дону. 2007. С. 108-114.

45. Kamsozen, В., Tsybulin V.G. Selection on the family of steady states in Darcv convection // CFM-07. Congres Francais de Mecanique. Grenoble. 2007. 0 p.

46. Kamsozen В., Tsybulin V.G. Selection of steady states in planar Darcy convection // PAMM. Proc. Appl. Math. Mech. 2007. Vol. 7. P. 1030405-1030406.

47. Kovaleva E.S., Tsybulin V.G., FHschmuth K. Dynamics of nonlinear parabolic equations with co-symmetry // Proc. lOlh Conf. on Computer Algebra in Scientific Computing, Springer-Verlag, 2007. P. 265-274.

48. Kovaleva E.S., Tsybulin V.G., Frischmuth K. Dynamics and family of equilibria in a population kinetics model with cosymmetry // PAMM. Proc. Appl. Math. Mech. 2007. Vol. 7. P. 1030401-1030402.

49. Tsybulin V.G., Nemtsev A.D., Kamsozen B. Cosymmetric families of steady states in 3D convection of incompressible fluid in a porous medium // PAMM. Proc. Appl. Math. Mech. 2007. Vol. 7. P. 1030407-1030408.

50. Трофимова А.В., Цибулин В.Г. Расчет нестационарной конвекции в пористой кольцевой области // Тр. XII междунар. копф. «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. 200S. Т. 2. С. 188-192.

51. Цибулин В.Г., Шевченко С.В. Исследование конвекции в двухслойной системе в прямоугольнике // Тр. XII междунар. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. 2008. Т. 1. С. 213-217.

52. Цибулин В.Г. Конвекция в пористой среде и разностные аппроксимации // Тр. VII шк.-сем. «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика». Ростов-па-Дону. ЮФУ. 2009. С. 54-6G.

53. Ковалева E.G., Цибулин В.Г. Комплекс программ для исследования динамики популяцпопных моделей с косимметрией // Тез. IV Всеросс. конф. «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB». Астрахань. 2009. С. 330-337.

54. Трофимова А.В., Цибулин В.Г. Расчет семейства конвективных движений в кольцевом пористом секторе // Тр. XIII междунар. копф. «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. 2009. Т. 1. С. 204-208.

55. Tsybulin V.G., Nemtsev A.D., Kamsozen В. A Mimetic Finite-Difference Scheme for Convection of Multicomponent Fluid in a Porous Medium // CASC 2009, LNCS

5743. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 2009. P. 322 -333.

56. Ncmtsev A.D., Tsybulin V.G. Computer experiment, on convection of inulüconiponent fluid in a. porous medium /'/' Book of Abstracts of XXXVII Summer School «Advanced Problems in Mechanics» APM'2009. Saint-Petersburg. 2009. P. 65-66.

57. Цибулуи В. Г. Разностные схемы, наследующие свойства уравнений фильтрационной конвекции // Тр. XIV междунар. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-иа,-Дону. 2010. 'Г. 1. С. 331-338.

58. Цибулин В.Г. Применении МЛТЬЛВ дли анализа нелинейной динамики // Тр. конф. «Математический анализ и математическоое моделирование». Владикавказ. 2010. С. 63-68.

Личный вклад автора в основных работах, опубликованных в соавторстве:

[1] - разработка программного обеспечения для исследования итераций отображений, проведение вычислительных экспериментов; [2, 810, 12, 10, 28] - постановка задачи, разработка численных схем конечных разностей, сохраняющих косимметрию, проведение компьютерного исследования; [3] - постановка задачи, исследование динамики отображений, анализ результатов; [4, 5, 7, 13, 18, 19] - постановка задачи, разработка спектрально-разностного метода и схемы смещенных сеток, анализ результатов; [15, 55] - постановка задачи, разработка схем смещенных сеток для трехмерных задач фильтрационной конвекции, анализ результатов; (6, 11, 14, 17] - постановка задачи, разработка численных схем конечных разностей, сохраняющих косимметрию, проведение компьютерного исследования.

Подписано в печать 11.02.2011 г. Формат 60x84 Усл. сеч. л 1,86. Уч. -изд. л. 2,08. Тираж 100 экз. Заказ № 1592.

Типография Южного федерального университета 344090, г Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1. тел (863) 247-80-51

Введение

1 Начально-краевые задачи конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде.

§ 1.1 Плоская задача фильтрационной конвекции и теория косим метрии.

§ 1.2 Моделирование конвекции жидкости в пористой среде

§ 1.3 Задачи фильтрационной конвекции жидкости на основе модели Дарси.

§ 1.4 Уравнения в цилиндрических координатах.

Работа посвящена численному анализу конвекции одно- и многокомпонентных жидкостей в пористой среде, разработке эффективных методов расчета конвективных движений и продолжения их по параметрам задачи, изучению сценариев переходов от состояния механического равновесия к стационарным и нестационарным режимам, исследованию особенностей конвективных переходов в случае многокомпонентной жидкости, изучению развития семейств стационарных режимов в задачах фильтрационной конвекции для конечных областей, анализу трансформаций непрерывных семейств стационарных решений.

Актуальность темы. Задачи фильтрационной конвекции представляют большой интерес благодаря многочисленным приложениям в геофизике, космической технологии, энергетике и др. В зависимости от свойств жидкости и условий (внешних полей, источников тепла, концентраций примесей) возможны различные сценарии возникновения конвективных режимов. На характер формирующихся движений и последовательности переходов от одних режимов к другим существенно влияют пористость среды и многокомпонентность насыщающей ее жидкости.

В задачах фильтрационной конвекции обнаружена неединственность решений, приводящая к образованию однопараметрических семейств стационарных решений после потери устойчивости состоянием механического равновесия. Это явление было объяснено В.И. Юдовичем с помощью развитой им теории косимметрии. Исследование нелинейных задач с семействами режимов, чей спектр устойчивости меняется вдоль семейства, представляет большой интерес из-за нетривиальности возможных бифуркационных переходов. Системы с подобными свойствами возникают также при моделировании динамики популяций на основе нелинейных уравнений параболического типа.

Исследование режимов косимметричных систем фильтрационной конвекции требует развития вычислительных средств, разработки специальных численных методов и программного обеспечения для проведения компьютерных экспериментов. При решении задач математической физики важно использовать численные методы, которые приводят к аппроксимациям, сохраняющим основные свойства исходных уравнений. Для расчета конвективных движений на основе уравнений в естественных переменных эффективны дискретизации на основе метода конечных разностей, использующие введение смещенных сеток и специальные аппроксимации конвективных членов.

Имеющееся в задачах фильтрационной конвекции ответвление семейств стационарных режимов накладывает особые требование на алгоритмы расчета стационарных режимов. Требуется сохранять свойство косимметрии исходных уравнений в частных производных в их конечномерных аппроксимациях. По причине вырожденности векторных полей, получаемых в результате дискретизации рассматриваемых задач, необходима разработка специальных методов для расчета семейств и продолжения их по параметрам задачи.

Инструменты численного анализа помимо задач фильтрационной конвекции могут быть применены к задачам популяционной динамики, где также обнаружены системы, обладающие свойством косимметрии.

Целью работы является разработка численных методов исследования фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости, изучение сценариев развития конвективных движений теплопроводной жидкости в пористой среде, численный анализ эффектов сильной неединственности решений для ряда двумерных и трехмерных задач фильтрационной конвекции и динамики популяций.

Основные усилия сосредоточены на исследовании конвективных движений многокомпонентной жидкости в пористой среде: анализе возникновения и развития непрерывных семейств стационарных конвективных движений для различных областей, изучении разрушения семейств ста.ционарных решений и селекции режимов, рассмотрении ряда интересных двумерных и трехмерных задач.

Методология исследования. Методы математического моделирования представляют в настоящее время важнейший инструмент изучения конвективных движений. Основное внимание уделяется развитию и совершенствованию численных методов решения задач массопереноса для многокомпонентных сплошных сред. В работе развиты специальные варианты метода конечных разностей для уравнений конвекции в естественных переменных (скорость, давление, температура), для решения различных двумерных и трехмерных задач конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде применяются аппроксимации на основе метода смещенных сеток. Для уравнений, записанных относительно функции тока, температуры и концентраций примесей, развиты метод конечных разностей и спектрально-разностный метод. Разработаны численные методы вычисления одиопараметрических семейств стационарных режимов, продолжения их по параметру, анализа устойчивости и бифуркаций. Разработан комплекс программ для расчета нестационарных режимов и семейств стационарных решений в задачах фильтрационной конвекции одно- и многокомпонентной жидкости, исследования развития структур конвективных течений.

Достоверность полученных результатов обусловлена корректной постановкой задач, применением математически обоснованных методов, использованием в численных экспериментах надежных алгоритмов и отлаженных программ, совпадением результатов с известными в тех случаях, когда таковые имеются в литературе.

Практическая значимость. Результаты диссертации'могут быть использованы при моделировании конвекции в пористых средах, задачах геофизики и космической технологии, популяционной динамики. Разработанные методы позволяют проводить расчет в условиях сильной неединственности решений задач, вести прямое интегрирование нелинейных систем по времени и продолжать решения по параметрам задачи, анализировать спектральные характеристики стационарных решений.

В частности, проведенный численный анализ позволил изучить возникновение неустойчивости на семействе стационарных режимов, проанализировать различные бифуркации семейств конвективных движений и изучить сценарии развития семейств стационарных режимов.

В последнее время при исследовании биологических моделей большое значение приобретает математическое моделирование задач, в которых имеется зависимость анализируемых величин от пространственных переменных. Такие модели представляют собой системы уравнений в частных производных, при исследовании которых обнаружены интересные переходы, нетривиальная динамика, сосуществование режимов. В то же время, практически не изучены модели, в которых бы получалось наблюдающееся в экспериментах сосуществование множества близких равновесных состояний или периодических режимов.

Результаты исследований, вошедших в диссертации, были получены в рамках работы по программе «Интеграция» и грантов:

1. «Бифуркации и стохастические движения динамических систем с симметрией и косимметрией» (Санкт-Петербургский конкурсный центр, 1992-1993, 1994-1995, рук. В.И. Юдович);

2. «Вибромеханика континуума» (РФФИ 93-01-17337-а, рук. В.И. Юдович);

3. «Математическая теория конвекции жидкости (асимптотики, переходы, турбулентность)» (РФФИ 96-01-01791-а и РФФИ 99-01-01023-а, рук. В.И. Юдович);

4. «Математическая теория конвекции жидкости (переходы, параметрическое возбуждение волн, асимптотические методы, магнитогидро-динамические и вибрационные эффекты)» (РФФИ 02-01-00337-а, рук.

В.И. Юдович);

5. «Математическая теория конвекции жидкости (динамическая неустойчивость, асимптотические эффекты, переходы при разрушении ко-симметрии в фильтрационной конвекции)» (РФФИ 05-01-00567-а, рук. В.И. Юдович);

6. «Методы теории бифуркаций и спектральной теории в проблеме формирования пространственно-временных структур в жидкости» (РФФИ 01-01-22002-НЦНИ-а, рук. В.И. Юдович);

7. Грант поддержки ведущих научных школ РФФИ «Математическая теория движения жидкости» (РФФИ 15-01-96188, рук. В.И. Юдович);

8. «Динамические системы с косимметрией», программа «Российские университеты - фундаментальные исследования» (проекты 4087, 04.01.063, 04.01.035, рук. В.И. Юдович);

9. «Математическое моделирование фильтрационной конвекции: бифуркации, переходы, хаотические движения» (РФФИ 04-01-96815-р2004юг, рук. В.Г. Цибулин);

10. Гранты Президента РФ на поддержку ведущих научных школ. «Математическая теория движения жидкости - разрешимость и единственность, аналитическая динамика, конвекция, устойчивость, асимптотические методы, бифуркации» (№ НШ-1768.2003.1 и № НШ-5747.2006.1, рук. В.И. Юдович).

11. Целевая программа Министерства образования и науки «Развитие научного потенциала высшей школы» (р.н. 2.1.1/6095, рук. М.Ю. Жуков).

Научная новизна работы заключена в следующих результатах:

- развит метод смещенных сеток для моделирования трехмерных конвективных движений многокомпонентной жидкости, насыщающей пористую среду,

- разработаны конечно-разностные схемы решения задач фильтрационной конвекции на неравномерных смещенных сетках и алгоритмы вычислсния семейств стационарных режимов,

- развит спектрально-разностный метод решения плоской задачи конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде,

- проведено исследование фильтрационной конвекции Дарси для многокомпонентной жидкости в прямоугольнике при одно- и разнонаправленных градиентах температуры и концентрации и изучены сценарии перехода развития конвективных движений для двух- и трехкомпонент-ных жидкостей, насыщающей пористую среду,

- для плоской задачи фильтрационной конвекции в прямоугольном контейнере проведено параметрическое исследование развития семейств стационарных режимов, возникновения неустойчивости на них, проанализированы столкновения первичного и последующих семейств стационарных режимов,

- исследовано разрушение косимметричных семейств стационарных решений при действии возмущений, нарушающих косимметрии рассматриваемых задач,

- изучены модели динамики популяций, сосуществующих в одном пространственном ареале, с учетом условий, приводящих к возникновению семейств равновесий.

Апробация работы. Основное содержание диссертации докладывалось на следующих конференциях:

- 2-ая международная конференция по численным методам в механике сплошной среды, Прага, Чехия, 1997;

- IV Международная конференция «Средства математического моделирования», Санкт-Петербург, 1997;

- семинар NATO Advanced Study Institute «Error Control and Adaptivity in Scientific Computing», Анталия, Турция, 1998;

- EquaDiff'99, Берлин, Германия, 1999,

- 8-ая Всероссийская школа-семинар, «Современные проблемы математического моделирования», Абрау-Дюрсо, 1999;

- конгресс «Complexity and Chaos», Турин, Италия, 1999;

- 6, 10-13 международные конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов-на-Дону, 1999, 2006-2009; семинар «Симметрия и косимметрия в динамических систем.ах», Азов, 2000;

- IX Всероссийская конференция «Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности», п. Дюрсо, Новоросийек, 2000;

- «Collatz'2000 colloquium», Гамбург, Германия, 2000;

- 4, 7, 10 и 11 конференции «Компьютерная алгебра и научные вычисления» («Computer Algebra and Scientific Computing»), (Констанц, Германия, 2001, Санкт-Петербург, 2004, Бонн, Германия, 2007, Кобе, Япония, 2009);

- VII Всероссийский конгресс по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001);

- II международная конференция «Применение симметрии и косиммет-рии в теории бифуркаций и фазовых переходов», Сочи, 2001;

- IX Всероссийская конференция «Современные проблемы математического моделирования», п. Дюрсо, Новороссийск, 2001, 2005;

- международная конференция «Структуры и потоки в жидкостях», Санкт-Петербург, 2003;

- V European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications, Прага, Чехия, 2003;

- XV и XVI международные Крымские осенние школы, Симферополь, Украина, 2004, 2005;

- семинар «Комплесиые движения жидкости», Хамлебаек, Дания, 2004;

- конференция «Differential Equations: From Theory to Computational Science and Engineering», Цюрих, 2005;

- Ill Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» п. Дюрсо, Новороссийск, 2006;

- международный конгресс по индустриальной и прикладной математике ICIAM-07, Цюрих, 2007;

- IV Всероссийская научная конференция «Проектирование инженерных и научных приложений в среде МАТЬАВ», 2009;

- 14 международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов-на-Дону, 2010.

Результаты докладывались на семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики и кафедры математического моделирования Южного федерального университета, заседании Ростовского математического общества, семинаре кафедры высшей математики Таганрогского технологического института ЮФУ, семинаре института математики Ростокского университета (Германия), семинарах департамента математики и института прикладной математики СреднеВосточного технического университета и семинаре департамента математики университета Атылым (Анкара, Турция).

Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в работах [42-45, 48, 50, 51, 86, 131-133, 159, 162-164, 166-169, 171, 226-229].

Личный вклад автора в основных работах, опубликованных в соавторстве: [222] - разработка программного обеспечения для исследования итераций отображений, проведение вычислительных экспериментов; [164, 166-169, 226, 227] - постановка задачи, разработка численных схем конечных разностей, сохраняющих косимметрию, проведение компьютерного исследования; [144] - постановка задачи, исследование динамики отображений, анализ результатов; [43, 45, 48, 64, 65, 86] - постановка задачи, разработка спектрально-разностного метода и схемы смещенных сеток, анализ результатов; [172, 229] - постановка задачи, разработка схем смещенных сеток для трехмерных задач фильтрационной конвекции, анализ результатов; [50, 51, 131, 133] - постановка задачи, разработка численных схем конечных разностей, сохраняющих косимметрию, проведение компьютерного исследования.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 235 наименований. Диссертация со

Заключение

Работа посвящена моделированию конвекции одно- и многокомпонентных жидкостей в пористой среде, разработке эффективных методов расчета конвективных движений. Представлены результаты исследования сценариев переходов от состояния механического равновесия к стационарным и нестационарным режимам, изучены особенности конвективных переходов в случае многокомпонентной жидкости и развитие семейств стационарных режимов в задачах фильтрационной конвекции для конечных областей. Проанализированы двумерные и трехмерные задачи фильтрационной конвекции, относящиеся к классу систем с ко-симметрией. Развиты численные методы решения уравнений конвекции одно- и многокомпонентной жидкости в пористой среде.

Предложены численные схемы метода конечных разностей для решения двумерных и трехмерных задач фильтрационной конвекции. Для уравнений конвекции в естественных переменных развиты конечно-разностные схемы, основанные на вычислении переменных в узлах смещенных сеток.

Для решения двумерных задач конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде развиты метод конечных разностей и спектрально-разностный метод решения.

Для плоской задачи фильтрационной конвекции (модель Дарси) и уравнений в переменных функция тока, температура, концентрации примесей на основе спектрального разложения по вертикальной координате и метода конечных разностей по горизонтальной координате. Показано, что метод конечных разностей и спектрально-разностный метод позволяют получить конечномерные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которые наследуют свойство косимметрии исходной задачи.

Предложен метод вычисления непрерывных семейств стационарных конвективных режимов, основанный на применении метода Адамса для вычисления прогнозного режима, численном определении ядра матрицы линеаризации и итераций метода Ньютона.

Для исследования фильтрационой конвекции в кольцевых областях развит метод конечных разностей для уравнений, записанных в полярных координатах. В случае системы для температуры и функции тока используется метод на регулярной сетке, а для уравнений в естественных переменных применен подход на основе смещенных сеток.

Предложена основанная на методе смещенных сеток численная схема расчета движения жидкости в двухслойной системе, состоящей из области свободной жидкости и пористого массива, насыщенного той же жидкостью. Для описания конвекции в слое свободной жидкости применяются уравнения в приближении Обербека-Буссинеска, а для пористого слоя используются уравнения, основанные на законе Дарси. Для аппроксимации уравнений на границе раздела при помощи интегро-интерполяционного метода получены специальные формулы, учитывающие разнотипность уравнений в двух областях.

На основе развитых методов расчета разработано программное обеспечение для анализа конвективных режимов и сценариев бифуркационных переходов в задачах фильтрационной конвекции. Проведено параметрическое исследование ответвления от механического равновесия первичных непрерывных семейств стационарных движений для прямоугольных областей. Проанализированы явления возникновения неустойчивости на первичном семействе, потеря устойчивости всеми режимами семейства, а также эффекты столкновения семейств. Найдено, что характер неустойчивости (колебательная или монотонная) зависит от параметра относительной высоты, при этом из-за имеющихся в задаче дискретных симметрий одновременно могут терять устойчивость от двух до восьми стационарных состояний.

Для задачи фильтрационной конвекции в параллелепипеде проанализировано ответвление стационарных режимов от состояния механического равновесия. Изучено формирование конвективных движений для параллелепипеда с двумя теплоизолированными противоположными стенками и линейного распределения температуры по высоте для других граней. Найдены условия на геометрические параметры, при которых возникают устойчивые непрерывные семейства стационарных движений. В численном эксперименте с применением метода сеток исследована устойчивость режимов семейства к трехмерным возмущениям.

Для плоской задачи фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости, насыщающей пористый массив прямоугольного сечения, исследованы сценарии развития непрерывных семейств стационарных режимов, ответвляющихся от механического равновесия. Рассмотрена конвекция двух- и трехкомпонентной жидкости и проанализированы одно- и разнонаправленные вертикальные градиенты температуры и концентраций. Изучен новый сценарий образования непрерывного семейства стационарных решений, реализующийся в случае колебательной неустойчивости механического равновесия, когда семейство равновесий получается в результате взаимодействия автоколебательного режима и возникающих «из воздуха» двух семейств.

Изучена селекция режимов в задаче о подогреве снизу контейнера прямоугольного сечения, заполненного пористой средой и насыщенного жидкостью, при начальном возмущении в виде гармонического распределения температуры на горизонтальных границах. Для начальных данных, соответствующих возмущениям принадлежащих семейству стационарных состояний, обнаружено явление формирования предпочтительных состояний. Найдены условия, при которых реализуется направленный сдвига стационарных режимов, что открывает возможности управления отбором конвективных режимов.

Проведено исследование распада семейства стационарных режимов для задачи Дарси в прямоугольнике при неравномерном нагреве и при фильтрации жидкости через боковые стенки. Проанализировано поведение системы в случае значительных неоднородностей на границе (неравномерность подогрева и фильтрация через боковые границы). Показано, что при аппроксимации, которая не наследует косимметрии рассматриваемой задачи, возможно разрушение косимметричного семейства стационарных состояний.

Проведено параметрическое исследование областей устойчивости основных стационарных двумерных конвективных движений для контейнера прямоугольного сечения, заполненного вязкой несжимаемой теплопроводной жидкостью. Построены карты режимов на плоскости параметров «число Рэлея, длина контейнера» для чисел Прандтля 1, 10 и изучены переходы при изменении параметров, вызывающих потерю устойчивости стационарных состояний с числом валов от 1 до 11. Исследование областей устойчивости и переходов представляет большой интерес для исследования механизмов реализации режимов при различных условиях, и, в частности, для проблемы селекции.

Рассмотрена задача фильтрационной конвекции в кольцевом секторе при подогреве снизу. Представлены результаты вычисления семейств стационарных конвективных режимов в двух областях. Исследование семейств стационарных режимов в рассмотренных областях показало, что режимы впервые теряют устойчивость вследствие монотонной неустойчивости. Это соответствует переходу вещественной спектральной величины из левой полуплоскости в правую [181]. Колебательная неустойчивость, которая может приводить к появлению периодических нестационарных режимов для рассмотренных областей и приведенных диапазонов числа Рэлея, не была обнаружена.

Развитая методика вычислительного эксперимента для косимметрич-ных систем была применена к исследованию математических моделей динамики популяций.

Изучены режимы модели популяционной кинетики с косимметрией и исследовано развитие ответвляющихся семейств стационарных режимов и нестационарных режимов. Для интепсивностей миграции получены область значений параметров, при которых в системе имеется сосуществование континуальных семейств стационарных режимов и предельных циклов.

1. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Наука., Новосибирск, 1994. 319 с.

2. Афонин А.А., Сухинов А.И. Математические модели геофильтрации и геомиграции в пористых средах, обладающих фрактальной структурой // Изв. ЮФУ. Технич. науки. 2009. Т. 97. № 8. С. 62-70.

3. Бабский В. Г., Жуков М. Ю., Юдович В. И. Математическая теория электрофореза: Применение к методам фракционирования биополимеров. Киев: На-укова думка, 1983. 202 с.

4. Бедриковецкий П.Г., Полонский Д.Г., Шапиро А.А. Анализ конвективной неустойчивости бинарной смеси в пористой среде // Изв. РАН, МЖГ. №. 1. 1993. С. 110-119.

5. Белоцерковский О. В. Численные методы решения задач механики сплошной среды. М.: Паука. 1994.

6. Березовская Ф.С., Карев Г.П. Бифуркации бегущих волн в популяционных моделях с таксисом // УФН. 1999. Т. 169. № 9. С. 1011-1024.

7. Бессонов О.А., Брайловская В.А. Пространственная модель тепловой конвекции в зазоре между горизонтальными коаксиальными цилиндрами с анизотропным пористым заполнением // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 1. С. 145-155.

8. Брайловская В.А., Петраэ/сицкий Г.Б., Полежаев В.И. Естественная конвекция и перенос тепла в пористых прослойках между горизонтальными коакси-нальными цилиндрами // ПМТФ. 1978. № 6. С. 91-96.

9. Брайловская В.А., Коган В.Р., Полежаев В.И. Влияние анизотропии на конвекцию и перенос тепла в пористой кольцевой прослойке // Изв. РАН. МЖГ. 1980. № 1. С. 59-64.

10. Брацун Д.А. Динамические свойства тепловой конвекции в двухфазной среде.

11. Автореферат диссертации на звание к.ф.м.н. Пермь. 1997.

12. Брацун Д. А., Любимов Д.В., Теплое В. С. Трехмерные конвективные движения в пористом цилиндре конечной длины // Гидродинамика, Пермь, 1998. Вып. 11. 58-77.

13. Владимирова H.A., Кузнецов Б. Г., Яненко Н. Н. Численный расчет симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости. В кн. Некоторые вопросы прикладной и вычислительной математики // Новосибирск. Наука. 1966. 186-192.

14. Гебхарт Б., Джалурия И., Махадэ/саи Р., Саммакия Б. Свободноконвектив-ные течения, тепло- и массообмеи. М.: Мир. 1991.

15. Герценштейн С.Я., Шмидт В.М. Нелинейное взаимодействие конвективных волновых движений и возникновение турбулентности во вращающемся горизонтальном слое // Изв. АН СССР, МЖГ. 1977. № 2. С. 9-15.

16. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972, 392 с.

17. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Любимов Д.В. О термоконцентрационной неустойчивости смеси в пористом слое // Докл. АН СССР. 1976. Т. 229. № 3. С. 575-578.

18. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Любимов Д.В. Об устойчивости стационарной конвективной фильтрации смеси в вертикальном пористом слое // Изв. РАН, МЖГ. 1980. № 1. С. 150-157.

19. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Сорокин Л.Е. Об устойчивости конвективного течения бинарной смеси с термодиффузией // ПММ. 1982. Т. 46. Вып. 1. С. 66-71.

20. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий A.A. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989, 325 с.

21. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Тарунин Е. Л. Численное исследование конвекции жидкости, подогреваемой снизу // Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. № 6. С. 93-99.

22. Гетлинг A.B. Конвекция Рэлея-Бенара. Ижевск. Эдиториал. 1999. -248 с. Перевод: Getting A.V. Rayleigh-Benard Convection: Structures and Dynamics,-Singapore: World Scientific Publishing Co, 1998.

23. Глухое А.Ф., Любимов Д.В., Путин Г.Ф. Конвективные движения в пористой среде вблизи порога неустойчивости равновесия // Докл. АН СССР. 1978. Т. 238. № 3. С. 549-551.

24. Глухое А.Ф., Путин Г.Ф. Экспериментальное исследование конвективных структур в насыщенной жидкостью пористой среде вблизи порога неустойчивости механического равновесия // Гидродинамика. Пермь. Вып. 12, 1999. С. 104-120.

25. Глухое А.Ф., Делшн В.А., Путин Г.Ф. Конвекция бинарной смеси в связанных каналах при подогреве снизу // Изв. РАН, МЖГ. 2007. № 2. С. 13-23.

26. Говорухин В.Н. Численное исследование потери устойчивости вторичными стационарными режимами в задаче плоской конвекции Дарси // Докл. РАН. 1998.

27. Т. 363. Л1*- 6. С. 772-774.

28. Говорухин В.Н. Анализ семейств вторичных стационарных режимов в задаче плоской фильтрационной конвекции в прямоугольном контейнере // Изв. РЛЫ, МЖГ. 1999. № 5. С. 53-62.

29. Говорухин В.Н. Численное исследование плоской конвекции Дарси. Автореферат диссертации на звание к.ф.м.н. Ростов-на-Дону. 1999.

30. Говорухин В.Н., Моргулис А.Б., Тютюнов Ю.В. Медленный таксис в модели хищник-жертва // Докл. РАН. 2000. Т. 372. № 6. С. 730-732.

31. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Численно-аналитическое исследование бассейнов равновесий косимметричной динамической системы // Деп. ВИНИТИ. № 3658-В97. 1997. 40 с.

32. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Компьютер в математическом исследовании. -СПб.: Питер. 2001. 624 с.

33. Говорухин В.Н., Шевченко И.В. Численное решение задачи плоской конвекции Дарси на компьютере с распределенной памятью // Вычислительные технологии. 2001. Т. 6. № 1. С. 3-12.

34. Говорухин В.В., Шевченко И.В. Численное исследование второго перехода в задаче плоской фильтрационной конвекции // Изв. РАН, МЖГ. 2003. Ш 5. С. 115-128.

35. Говорухин В.Н., Шевченко И.В. Сценарии возникновения нестационарных режимов в задаче плоской фильтрационной конвекции // Изв. РАН, МЖГ. 2006. Лг° 6, С. 115-128.

36. Гореликов А. В., Зубков Г1.Т., Моргун Д.А. Численное исследование конвекции воды вблизи экстремума плотности в квадратной полости с движущейся верхней стенкой // Изв РАН. Механика жидкости и газа. 2001. № 2. С. 23-27.

37. Жуков М. Ю. Массоперенос электрическим полем. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ. 2005. 216 с.

38. Кантур О.К)., Цибулин В.Г. Спектрально-разностный метод расчета конвективных движений жидкости в пористой среде // SCDS-2 Межд. Шк.-сем. «Применение симметрии и косимметрии в теории бифуркаций и фазовых переходов», г. Сочи, Лазаревское, 2001. С. 89-94.

39. Кантур 0.10., Цибулин В.Г. Расчет семейств стационарных режимов фильтрационной конвекции Дарси в узком контейнере // Деп. ВИНИТИ, N 2625-В2001, 2001, 24 с.

40. Кантур О.Ю., Цибулин В. Г. Спектрально-разностный метод расчета конвективных движений жидкости в пористой среде и сохранение косимметрии // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42. №. 6. С. 913-923.

41. Кантур O.IO., Цибулин В.Г. Численное исследование конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде // Деп. ВИНИТИ, N 6-В2003. 2003. 18 с.

42. Кантур О.Ю., Цибулин В. Г. Конвекция многокомпонентной жидкости в пористой среде и вычисление семейств стационарных режимов // Proc. «Fluxes and Structures in Fluids 2003». IPM RAS. 2004. С. 228-233.

43. Кантур 0.10., Цибулин В. Г. Численное исследование плоской задачи конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 3. С. 123-134.

44. Ковалева Е.С., Цибулин В.Г. Разрушение косимметричного семейства равновесий в задаче популяционной кинетики // Тр. 12 Всеросс. Шк.-ссм. «Современные проблемы математического моделирования», Изд-во ЮФУ, Ростов-на-Дону. 2007. С. 108-114.

45. Ковалева E.G., Цибулин В.Г., Фришмут К. Динамика модели популяционной кинетики с косимметрией // Математич. моделирование, 2008. Т. 20. JV5 2, С. 8592.

46. Ковалева E.G., Цибулин В.Г., Фришмут К. Семейство стационарных режимов в модели динамики популяций // Сибирский журнал индустриальной математики. 2009. Т. 12. № 1 (37), С. 98-108.

47. Ковалева E.G., Цибулин В.Г. Комплекс программ для исследования динамики популяционных моделей с косимметрией // Тез. IV Всеросс. конф. «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB» Астрахань. 2009. С. 336-337.

48. Куракин Л.Г., Юдович В.И. Бифуркации при монотонной потере устойчивости равновесия косимметричной динамической системы // Докл. РАН. 2000. Т. 372. № 1. С. 29-33.

49. Любимов Д.В. О конвективных движениях в пористой среде, подогреваемой снизу // ПМТФ. № 2. 1975. С. 131-137.

50. Любимов Д.В., Любимова Т.В., Муратов И.Д., Шишкина Е.А. Влияние вибраций на возникновение конвекции в системе горизонтального слоя чистой жидкости и слоя пористой среды, насыщенной жидкостью // Изв. РАН. МЖГ.2008. № 5. С. 132-143.

51. Немцев А.Д., Цибулин В.Г. Вычисление стационарных решений трехмерной задачи фильтрационной конвекции // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. Тр. III Школы-семинара, Ростов-на-Дону, Изд-во ЦВВР, 2004. С. 110-112.

52. Немцев А.Д., Цибулин В.Г. Семейство стационарных режимов в трехмерной задаче фильтрационной конвекции // Тез. III Всерос. конф. «Актуальные проблемы прикладной математики и механики». Екатеринбург. УрО РАН. 2006. С. 84-86.

53. Немцев А.Д., Цибулин В.Г. Численное исследование первого перехода в трехмерной задаче фильтрационной конвекции // Изв. РАН, МЖГ. 2007. № 4. С. 144-150.

54. Немцев А.Д., Цибулин В.Г. Численный метод исследования конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде // Вестник ЮНЦ. 2009. Т. 5, Л'2 4. С. 23-26.

55. Никитин II.В. Спектрально-конечный-разностный метод расчета турбулентных течений несжимаемой жидкости в трубах и каналах // Журн. вычисл. математики и мат. физики, N. 34. N° 6. 1994. С. 909-925.

56. Никитин Н.В., Полежаев В.И. Трехмерная конвективная неустойчивость и колебания температуры при выращивании кристаллов по методу Чохральско-го // Изв. РАН, МЖГ. № 3. 1999. С. 26-39.

57. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М. Наука, 1984, 288 с.

58. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М. Энергоатомиздат, 1984. 150 с.

59. Петровская Н.В., Фадеев А.К., Юдович В.И. Численное исследование стационарных режимов вращательно-гравитационной конвекции // ПМТФ. 1991. С. 35-39.

60. Полежаев В.И., Бунэ A.B., Верезуб H.A. и др. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М.: Наука, 1987. 271 с.

61. Полежаев В.И. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи: итоги и перспективы // Инженерно-физический журн. 1996. Т. 69. Л'2 6. С. 909-920.

62. Полежаев В.И., Яремчук В.П. Численное моделирование двумерной нестационарной конвекции в горизонтальном слое конечной длины, подогреваемом снизу // Изв РАН. Механика жидкости и газа. 2001. № 4. С. 34-45.

63. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир. 1980. 616 с.

64. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука. 1989, 616 с.

65. Самарский A.A., В.Ф. Тишкин, Л.П. Фаворский, Шашков М.Ю. Операторные разностные схемы // Дифференц. уравнения. Т. 17. № 7. 1981. С. 1317-1327.

66. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативньте структуры и катастрофы в экологии. М. Наука, 1987.

67. Смородин B.JI. Конвекция бинарной смеси в условиях термодиффузии и переменного градиента температуры. // ПМТФ. 2002. Т. 43. № 2. С. 54-61.

68. Соболев С. О., Цибулин В.Г. Расчет конвективных движений вязкой жидкости в прямоугольном контейнере при подогреве снизу // Современ. проблемы ма-темат. моделирования, 10-ая Всерос. Школа-семинар, Ростов-на-Дону, Изд-во РГУ, 2001. С. 92-94.

69. Соболев С.О., Цибулин В.Г. Численное исследование стационарных конвективных движений вязкой жидости при неравномерном подогреве снизу / / Деп. ВИНИТИ. 2002. 24 с.

70. Сухинов А.И., Никитина А.В. Об исследовании условий существования и единственности решений для системы уравнений динамики фитопланктона // Изв. ТГРУ. 2001. № 1. С. 222.

71. Тар а се вин 10.10. Механизмы и модели дегидратационной самоорганизации биологических жидкостей // Успехи физических наук. 2004. Т. 174. № 7. С. 779.

72. Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. -Иркутск: Иркутск, у-т, 1990, 225 с.

73. Трофимова A.B., Цибулин В.Г. Расчет нестационарной конвекции в пористой кольцевой области // Труды XII Между нар. Конф. «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов-на-Дону. 2008. Т. 2. С. 188-192.

74. Трофимова A.B., Цибулин В.Г. Расчет конвективных режимов в пористой трапециевидной области // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. Науки. Спецвыпуск. 2009. С. 211-215.

75. Трофимова A.B., Цибулин В.Г. Расчет семейства конвективных движений в кольцевом пористом секторе // Труды XIII Междунар. Конф. «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов-на-Дону. 2009. Т. 1. С. 204-208.

76. Флетпчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. М.: Мир. 1991.

77. Цибулин В.Г. Реализация разностной схемы суверенных скоростей для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости // Современ. проблемы механики сплошной среды, II конф. Ростов-на-Дону, 1996. С. 144-148.

78. Цибулин В.Г. О конечно-разностной аппроксимации задач механики сплошной среды на основе схемы суверенных скоростей // Современ. проблемы математического моделирования, VII Всерос. шк.-семинар. Дюрсо, 1997. С. 148-152.

79. Цибулин В. Г. Расчет семейств стационарных режимов в задаче фильтрационной конвекции Дарси // Аннотации докл. «VIII Всерос. съезд по теорет. и прикл. механике, Пермь, 2001». Екатеринбург: УРО РАН, 2001. С. 590.

80. Цибулин В. Г. Разностные аппроксимации и сохранение косимметрии // Со-времен. проблемы механики сплошной среды, VI конф. Ростов-на-Допу, 2001. С. 102-106.

81. Цибулин В.Г. Переходы и селекция режимов в плоской задаче конвекции Дар-си // Тр. XI Всерос. Шк.-сем. «Современные проблемы математ. моделирования». РГУ. Ростов-на-Дону. 2005. С. 392-398.

82. Цибулин В.Г. Метод сеток для расчета фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости // Труды X Междупар. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Допу. 2006. Т. 1. С. 271-275.

83. Цибулин В.Г. Разрушение косимметричного семейства равновесий в задаче фильтрационной конвекции // Труды XI Междунар. Конф. «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов-па-Дону. 2007. Т. 1. С. 398-402

84. Цибулин В.Г., Шевченко С.В. Исследование конвекции в двухслойной системе в прямоугольнике // Труды XII Междунар. Конф. «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов-на-Дону. 2008. Т. 1. С. 213-217

85. Цибулин В.Г. Разностные схемы, наследующие свойства уравнений фильтрационной конвекции // Тр. XIV междунар. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. 2010. Т. 1. С. 334-338.

86. Цыганов М.А., Бикташев В.Н., Бриндли До/с., Холден A.B., Иваницкий Г.Р. Волны в кросс-диффузионных системах — особый класс нелинейных волн // УФН. 2007. Т. 177. № 3. С. 275-300.

87. Шишеня A.B., Афонин A.A., Сухииов А.И. Построение трёхмерной модели геофильтрации флюида в многослойных пористых средах // Изв. ЮФУ. Технич. науки. 2009. Т. 97. № 8. С. 52-62.

88. Юдович В.И. Косимметрия, вырождение решений операторных уравнений, возникновение фильтрационной конвекции // Мат. заметки. 1991. Т. 49. N° 5. С. 142-148.

89. Юдович В.И. О границе монотонной и колебательной конвективной устойчивости горизонтального слоя жидкости // ПМТФ. Т. 49. № 6, 1991. С. 44-50.

90. Юдович В.И. Конечномерные модели плоской конвекции Дарси и косимметрия. Ч. 1 // Деп. ВИНИТИ, № 2871-В93. 1993. 27 с.

91. Юдович В.И. О несуществовании статической группы симметрии для косим-метричных динамических систем // Деп. ВИНИТИ, № 929-В93, 1993, 37 с.

92. Юдович В.И. Косимметрия и фильтрационная конвекция с источниками тепла // Деп. ВИНИТИ. № 2057-В93. 1993.

93. Юдович В.И. Конечномерные модели плоской конвекции Дарси и косимметрия. Ч. 2 // Деп. ВИНИТИ. № 2871-В95. 1995.

94. Юдович В. И. Теорема о неявной функции для косимметрических уравнений // Мат. заметки. 1996. Т. 60, Вып. 2. С. 313-317.

95. Юдович В. И. О бифуркации рождения цикла из семейства равновесий динамической системы и ее затягивании // ПММ. 1998. Т. 62. № 1. С. 22-34.

96. Юдович В. И. Косимметрия и конвекция многокомпонентной жидкости в пористой среде // Изв. вузов. Северо-кавказский регион, Естествен, науки, Спецвыпуск. 2001. С. 174-178.

97. Юдович В. И. О проблемах и перспективах современной математической гидродинамики // Успехи механики. 2002. Т. 1. № 1. С. 61-102.

98. Юдович В. И. О бифуркациях при возмущениях, нарушающих косимметрию // Докл. РАН. 2004. Т. 398. № 1. С. 57-61.

99. Arakawa. A. Computational Design for Long-Term Numerical Integration of the Equations of Fluid Motion: Two-Dimensional Incompressible. Flow. Part 1 // J. Comput. Physics. 1966. Vol. 1. P. 119-143.

100. Barten W., Lucke M., Kamps M. Conservation and Breaking of Mirror Symmetry in a Numerical Simulation of Vortex Flow, //J. Comput. Phys. 1990. Vol. 91. P. 486-489.

101. Baytas A.C., Pop I. Natural convection in a trapezoidal enclosure filled with a porous medium // Int. J. Engin. Sci. 2001. № 39. P. 125-134.

102. Beavers G.S., Joseph D.D. Boundary conditions at a naturally permeable wall // J. Fluid Mech. 1967. Vol. 30. P. 197-207.

103. A. Bejan. Convection Heat Transfer. Wiley, New York. 1984.

104. Bera P., Khalili A. Double-diffusive natural convection in an anisotropic porous cavity with opposing buoyancy forces: multi-solutions and oscillations // Internat. J. Heat and Mass Transfer. 2002. V 45. P. 3205-3222.

105. Bratsun D.A., Lyubimov D.V., Roux B. Co-symmetry breakdown in problems of thermal convection in porous medium // Physica D. Vol. 82, № 4. 1995. P. 398-417.

106. Busse F.H. Fundamentals of thermal convection // Mantle Convection: Plate Tectonics and Global Dynamics. 1989. 23-95.

107. Busse F.H., Clever R.M. Mechanism of the onset of time-dependence in thermal convection // Time-Dependent Nonlinear Convection, Southampton: Computational Mechanics Publications. 1999. P. 1-50.

108. Caltagirone J.P., Cloupeau M., Combarnous M. Convection naturelle fluctuante dans une couche poreuse horizontale // Acad. Sci. Paris. 1971. Vol. 273. P. 833-836.

109. Caltagirone J.P. Thermoconvective instabilities in a horizontal porous layer // J. Fluid Mech. 1975. Vol. 72, P. 269-287.

110. Canuio C., Hussaini M.Y., Quarteroni A., Zang T.A. Spectral methods in fluid dynamics. Springer-Verlag. 1988.

111. Chairier-M оjtabi M.C., Karimi-Fard M., Mejdi A., Azeiez M., Mojtabi A. Onset of a double-diffusive convection regime in a rectangular porous cavity //J. Porous Media. 1998. Vol. 1. P. 107-121.

112. Chen C.F., Chen F. Double diffusive convection instability problem in a vertical porous enclosure //J. Fluid Mech. 1998. Vol. 368. 263.

113. Cherkaoui A.S.M., YVilcock W.S.D. Characteristics of high Rayleigh number two-dimensional convection in an open-top porous layer heated from below //J. Fluid Mech. 1999. Vol. 394. P. 241—260.

114. ChorinA.J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems // J. Comput. Phys. 1967. Vol. 2. 12-26.

115. Czaran T. Spatiotemporal Models of PopulationCommunity and Dynamics. L: Chapman and Ilall, 1998.

116. Dijkstra H.A. Pattern selection in surface tension driven flows // Free Surface Flows, ed. Kuhlman, H., Rath, H.J., №. 391, Springer, 1998. P. 101-144.

117. Franceschini V., Zanasi R. Three-dimensional Navier-Stokes equations truncated on a torus // Nonlinearity. 1992. Vol. 4 P. 189-209.

118. Feudel F., Seehafer N., Schmidtmann 0. Nonlinear Galerkin methods for 3D magnetohydrodynamic equations // Int. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Eng. 1997. Vol. 7, № 7. P. 1497-1507.

119. Frischmuth K., Tsybulin V.G. Computation of a family of non-cosymmetrical equilibria in a system of nonlinear parabolic equations // Computing, Suppl. 16, Springer, Vienna. 2003. P. 67-82.

120. Frischmuth K., Tsybulin V.G. Cosymmetry preservation and fami-lies of equilibria // Computer Algebra in Scientific Computing. Proc 7th workshop CASC, St. Petersburg, July 12-19, 2004. Technische University Muenchen. 2004. P. 163-172.

121. Frischmuth K., Tsybulin V.G. Families of equilibria and dynamics in a population kinetics model with cosymmetry // Physics Letters A. 2005. Vol. 338. P. 51-59.

122. Fukagata K., Kasagi N. Highly energy-conservative finite difference method for the cylindrical coordinate system // J. Comput. Phys. 2002. № 181. P. 478-498.

123. Ganzha V.G., Vorozhtsov E.V. Numerical Solutions for Partial Differential Equations. Problem Solving Using Mathematica. CRC Press, Boca Raton, New York, London, 1996.

124. Gelfgat A.Yu., Bar-Yousef P.Z., Yarin A.L. Stability of multiple steady states of convection in laterally heated cavities // J. Fluid Mech. 1999. Vol. 388. 315-334.

125. Gelfgat A.Yu. Different modes of Rayleigh-Benard instability in two- and three-dimensional rectangular enclosures //J. Comp. Phys. 1999. Vol. 156. 300-324.

126. Golubitsky M., Swift J., Knobloch E. Symmetries and pattern selection in Rayleigh-Benard convection // Physica D. 1984. Vol. 10. P. 249-276.

127. Govorukhin V. Computer experiments with cosymmetric models. // Z. Angew. Math Mech. 76, Suppl. 4, 1996, P. 544-547.

128. Govorukhin V. Calculation of one-parameter families of stationary regimes in a cosymmetric case and analysis of plane filtration convection problem // Continuation Methods in Fluid Dynamics. Eds. D. Henry, A. Bergeon, 2000. P. 133144.

129. Govorukhin V.N., Yudovich V.I. Bifurcations and selection of equilibria in a simple cosymmetric model of filtrational convection // Chaos. 1999. Vol. 9. № 2. P. 403-412.

130. Govorukhin V.N., Tsybulin V.G. Dynamics of the map with continuous family of fixed points // Proc. 4 Int. Conference on Difference Equations and Applications. Poznan. 1998. P. 123-126.

131. Govorukhin V.N., Tsybulin V.G. Computer experiment with cosymmetrical systems // School «Symmery and Cosymmetry in dynamical systems». Azov. 2000. P. 28-29.

132. Govorukhin V.N., Tsybulin V.G., Karasozen B. Dynamics of Numerical Methodsfor Cosymmetric Ordinary Differential Equations // Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 2001. Vol. 11. № 9. P. 2339-2357.

133. Graham M.D., Steen P.H. Plume formation and resonant bifurcations in porous-media convection // J. Fluid Mech. 1994. Vol. 272. P. 67—89.

134. Ham F. E., Lien F. S., Strong A. B. A Fully Conservative Second-Order Finite Difference Scheme for Incompressible Flow on Nonuniform Grids //J. Comput. Phys. 2002. Vol. 177. P. 117-133.

135. Harlow F. H., Welch J.E. Numerical Calculation of Time-Dependent Viscous Incompressible Flow of Fluid with Free Surface // Phys. Fluids. 1965. Vol. 8. P. 2182-2189.

136. Hirata S.G., Goyeau B., Gobin D., Carr M., Gotta R.M. Linear stability of natural convection in superposed fluid and porous layers: Influence of the interfacial modelling // Internat. J. Heat and Mass Transfer. 2007. Vol. 50. P. 1356-1367.

137. Horne R.N., Caltagirone J.P. On the evaluation of thermal disturbances during natural convection in a porous medium //J. Fluid. Mech. 1980. Vol. 100. P. 385395.

138. Home R.N., O'Sullivan M.J. Oscillatory convection in a porous medium heated from below // J. Fluid Mech. 1974. Vol. 66. P. 339-352.

139. Horne R.N., O'Sullivan M.J. Origin of oscillatory convection in a porous medium heated from below. // Phys. Fluids. 1978. Vol. 21. P. 1260-1264.

140. Horton C. W.> Rogers Jr.F.T. Convection currents in a porous medium //J. Appl. Phys. 1945. Vol. 16, 367.

141. Howie L.E. Control of Rayleigh-Benard convection in a small aspect ratio container // Int. J. Mass Transfer. 1997. V. 40. P. 817-822.

142. Hyman J.M., Shashkov M. Natural discretization for the divergence, gradient and curl on logically rectangular grids // Comput. Math. Appl. 1997. Vol. 33. P. 81-104.

143. Hyman J.M., Morel J., Shashkov M., Steinberg S. Mimetic Finite Difference Methods for Diffusion Equations // Comput. Geosciences. 2002. Vol. 6. P. 333352.

144. Hyman J.M., Bochev P.B. Principles of Mimetic Discretizations of Differential Operators // IMA Volumes in Mathematics and Its Applications. 2006. Vol. 142. P. 89-114.

145. Jespersen D.C. Arakawa's Method is a Finite-Element Method //J. Comput. Phys. 1974. Vol. 16. 383-390.

146. Kalla L., Mamou M., Vasseu P.R, Robillard L. Multiple solutions for double diffusive convection in a shallow porous cavity with vertical fluxes of heat and mass // Internat. J. Heat and Mass Transfer. 2001. Vol. 44. P. 4493-4504.

147. Kantur O.Yu., Tsybulin V.G. Filtration-convection problem: spectral-difference method and preservation of cosymmetry // ICCS 2002, LNCS 2330, Springer-Verlag Berlin Heidelberg. P. 432-441.

148. Kantur O.Yu., Tsybulin V.G. Convection of multi-component fluid in porous medium and computation of the families of steady states // Proc. Internat. Conf. on Fluxes and structures in fluids. 2003. P. 82.

149. Kantur O. Yu., Tsybulin V.G. Computer modelling of convective flows in porous medium //IV Internat. Conf. «Tools for mathematical modelling». 2003. P. 81.

150. Kantur O.Yu., Tsybulin V.G. Numerical Study of Convection of Multi-Component Fluid in Porous Medium // Proc. ENUMATH 2003. Springer-Verlag. 2004. P. 531538.

151. Karasdzen B., Nemtsev A.D., Tsybulin V.G. Staggered grids discretization in three-dimensional Darcy convection // Comput. Phys. Comm. 2008. Vol. 170. P. 885-893.

152. Karasdzen B., Tsybulin V.G. Finite-difference approximation and cosymmetry conservation in filtration convection problem // Physics Letters A. 1999. Vol. 262. P. 321-329.

153. Karasdzen B., Tsybulin V.G. Finite-Difference Approximations for Cosymmetry Preservation in a Filtration Convection Problem // Proc. «Equadiff 99» World Sci, Pub. Co. 2000. Vol. 2. P. 221-223.

154. Karasdzen B., Tsybulin V.G. Conservative Finite Difference Schemes for Cosymmetric Systems // Proc. 4 th Conf. on Computer Algebra in Scientific Computing, Springer-Verlag, 2001. P. 363-375.

155. Karasdzen B., Tsybulin V.G. Cosymmetric families of steady states in Darcy convection and their collision // Physics Letters A. 2004. Vol. 323. p. 67-76.

156. Karasdzen B., Tsybulin V.G. Mimetic discretization of two-dimensional Darcy convection // Comput. Phys. Comm., 2005. Vol. 167. P. 203-213.

157. Karasdzen B., Tsybulin V.G. Cosymmetry preserving finite-difference methods for convection equations in a porous medium // Appl. Num. Math. 2005. Vol. 55. P. 69-82.

158. Karasdzen B., Tsybulin V.G. Selection on the family of steady states in Darcy convection // CFM-07. 2007. 6 p.

159. Karasdzen B., Tsybulin V.G. Selection of steady states in planar Darcy convection // PAMM. Proc. Appl. Math. Mech. 2007. Vol. 7. P. 1030405-1030406.

160. Karasdzen B., Nemtsev A.D., Tsybulin V.G. Staggered grids discretization in three-dimensional Darcy convection // Comput. Phys. Comm. 2008. Vol. 170. P. 885-893.

161. Karimi-Fard M., Charrier-Mojtabi M.C., Vafai K. Non-Darcian effects on double-diffusive convection wihin a porous medium // Numer. Ileat Transfer A. 1997. Vol. 31. P. 837-852.

162. Karimi-Fard F., Charrier-Mojtabi M.C., Mojtabi A. Onset of stationary and oscillatory convection in a tilted porous cavity saturated with a binary fluid: Linear stability analysis // Phys. Fluids. 1999. Vol. 11. P. 1346.

163. Keller E.F., Segel L.A. Traveling bands of chemotactic bacteria: a theoretical analysis // J. Theor. Biol. 1971. V. 30. P. 235-248.

164. Koschmieder E.L. Benard Cells and Taylor Vortices. Cambridge: Cambridge University Press, 1993.

165. Kovaleva E.S., Tsybulin V.G., Frischmuth K. Dynamics of nonlinear parabolic equations with co-symmetry // Proc. 10th Conf. on Computer Algebra in Scientific Computing, Springer-Verlag, 2007. P. 265-274.

166. Kovaleva E.S., Tsybulin V.G., Frischmuth K. Dynamics and family of equilibria ina population kinetics model with cosymmetry // PAMM. Proc. Appl. Math. Mech. 2007. Vol. 7. P. 1030405-1030406.

167. Kovaleva E.S., Tsybulin V.G., Frischmuth K. Dynamics of a population kinetics model with cosymmetry // Mathematical Models and Computer Simulations, 2009. Vol. 1. P. 150-155.

168. Kurakin L.G., Yudovicli V.I. Bifurcation of a branching of a cycle in n-parametric family of dynamic systems with cosymmetry // Chaos. 1997. Vol. 7. № 2. P. 376-386.

169. Kurakin L.G., Yudovich V.I. Bifurcations accompanying monotonic instability of an equilibrium of a cosymmetric dynamical system // Chaos, 2000. Vol. 10. N- 2. P. 311-330.

170. Kurakin L.G., Yudovich V.I. Branching of 2D tori off an equilibrium of a cosymmetric system (codimension-1 bifurcation) // Chaos. 2001. Vol. 11. 4, P. 780-794.

171. Lapwood E.R. Convection of a fluid in a porous medium // Proc. Camb. Phil. Soc. 1948. Vol. 44. P. 508—521.

172. Le Bars M., Grae Worster M. Interfacial conditions between a pure fluid and a porous medium: implications for binary alloy solidification //J. Fluid Mech. 2006. Vol. 550. P. 149-173.

173. Lyubimov D.V. Instabilities in Multiphase Flows. Plenum, New York, 1993, Vol. 289.

174. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Mojtabi A., and Sadilov E.S. Thermosolutal convection in a horizontal porous layer heated from below in the presence of a horizontal through flow // Phys. Fluids. 2008. Vol. 20, 044109.1-10.

175. Mamou M., Vasseur P., Bilgen E. Multiple solutions for double diffusive convection in a vertical porous enclosure // Int. J. Heat Mass Transfer. 1995. Vol. 38. 1787.

176. Mamou M., Vasseur P., Bilgen E. Double diffusive convection instability problem in a vertical porous enclosure // J. Fluid Mech. 1998. Vol. 368, P. 263-288.

177. Mamou M., Vasseur P., Bilgen E. A Galerkin finite-element study of the onset of double-diffusive convection in an inclined porous enclosure // Int. J. Heat Mass Transfer. 1998. Vol. 41, 1513.

178. Mamou M., Vasseur P., Hasnaoui M. On numerical stability analysis of double-diffusive convection in confined enclosures //J. Fluid Mech. 2001. Vol. 433. P. 209250.

179. Mamou M. Stability analysis of thermosolutal convection in a vertical packed porous enclosure // Physics of Fluids. 2002. Vol. 14. № 12. P. 4302-4314.

180. Margolin L. G., Shashkov M., Smolarkiewicz P. K. A Discrete Operator Calculus For Finite Difference Approximations // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2000. Vol. 187. No. 3-4. P. 365-383.

181. Mojtabi A., Charrier-Mojtabi M. Double-diffusive convection in porous media // in «Handbook of Porous Media». Marcel Dekker. New York. 2000. P. 559-603.

182. Mohamad ^4.^4., Bennacer R. Double diffusion, natural convection in an enclosure filled with saturated porous medium subjected to cross gradients // Int. J. Heat Mass Transfer. 2002. Vol. 45. P. 3725-3740.

183. Morinishi Y., Lund T.S., Vasilyev O. V., Moin P. Fully Conservative Higher Order Finite Difference Schemes for Incompressible Flow // J. Comput. Phys. 1998. Vol. 143. P. 90-124.

184. Morinishi Y., Vasilyev O.V., Ogi T. Fully conservative finite difference scheme in cylindrical coordinates for incompressible flow simulations //J. Comput. Phys. 2004. № 197. P. 686-710.

185. Murray J.D. Mathematical biology. An Introduction. Springer, 2002.

186. Muskat M., The Flow of Homogeneous Fluids Through Porous Media, McGraw-IIill, N.Y., 1937, P. 121.

187. Mikhailenko B.G. Seismic modeling by the spectral-finite difference method. // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 2000. Vol. 119. P. 133-147.

188. Nagata M. Nonlinear analysis on the natural convection between vertical plates in the presence of a horizontal magnetic field // Eur. J. Mech. 13/ Fluids. 1998. Vol. 17. P. 33-50.

189. Nemtsev A.D., Tsybulin V.G. Computer experiment on convection of multicomponent fluid in a porous medium // Book of Abstracts of XXXVII Summer School «Advanced Problems in Mechanics» APM'2009. Saint-Petersburg, 2009. P. 65-66.

190. Nield D.A., Bejan A. Convection in porous media. Springer-Verlag, New York, 1999. 2nd ed. 546 p.

191. Nield D.A., Bejan A. Convection in Porous Media. Springer-Verlag. New York. 3rd edition. 2006. 641 p.

192. Nield D.A. Some Pitfalls in the modelling of convective flows in porous media // Transport in porous media. 2001. Vol. 43. P. 597-601.

193. Nilsen T., Storesletten L. An analytical study on natural convection in isottopic and anisotropic porous channels // Trans. ASME. Heat Transfer. 1990. Vol. 112. № 2. P. 396-401.

194. Qin Y., Guo J., Kaloni P.N. Double diffusive penetrative convection in porous medium // Internat. J. Engng. Sei. 1995. Vol. 33. P. 303-312.

195. Qin Y., Guo J., Kaloni P.N. Double diffusive penetrative convection in porous medium // Internat. J. Engng. Sei. 1995. Vol. 33. P. 303-312.

196. Riley D. S., Winters K. H. Modal exchange mechanisms in Lapwood convection // J. Fluid Mech. 1989. Vol. 204. P. 325-358.

197. Riley D. S., Winters K. H. Time-periodic convection in porous media: The evolution of Hopf bifurcations with aspect ratio // J. Fluid Mech. 1991. Vol. 223. P. 457-474.

198. Rudraiah N., Siddheshwar P. G. A weak nonlinear stability analysis of double diffusive convection with cross-diffusion in a fluid-saturated porous medium // Int, J. Heat and Mass Transfer. 1998. Vol. 33. P. 287-293.

199. Salmon R., Talley L.D. Generalization of Arakawa's Jacobian //J. Comput. Phys. 1989. Vol. 83. 247-259.

200. Shashkov M. Conservative Finite-Difference Methods on General Grids. CRC Press, Boca Raton, Fl. 1996. 359 p.

201. Steen P. H. Pattern selection for finite-amplitude convection states in boxes of porous media // J. Fluid Mech. 1983. Vol. 136. P. 219-241.

202. Straughan B. Surface-tension-driven convection in a fluid overlying a porous layer // J. Comp. Phys. 2001. Vol. 170. P. 320-337.

203. Straughan S., Walker D. W. Multi-component diffusion and penetrative convection // Fluid Dynamics Research. 1997. Vol. 19. P. 77-89.

204. Straus J. M. Large amplitude convection in porous media //J. Fluid Mech. 1974. Vol. 64. P. 51-63.

205. Straus J. M., Schubert G. Three-dimensional convection in a cubic box of fluid-saturated porous material // J. Fluid Mech. 1979. Vol. 91. P. 155—165.

206. Trevisan O.V., Bejan A. Combined heat and masstransfer by natural convection in a porous media // Adv. Heat Transfer. 1990. Vol. 20. 315.

207. Tsybulin V. G Multiple convective regimes in filtration convection // School and conference on spatiotemporal chaos. Trieste. 2002. P. 77.

208. Tsybulin V.G. Cosymmetry Preserving Discretization and Multiple Convective Regimes // Patterns and Waves. Saint Petersburg. 2003. 42-54.

209. Tsybulin V.G. Karasozen B., Ergench T. Selection of steady states in planar Darcy convection // Physics Letters A. 2006. Vol. 356. P. 189-194.

210. Tsybulin V.G., Karasozen B. Destruction of the family of steady states in the planar problem of Darcy convection // Physics Letters A. 2008. Vol. 372. P. 5639—5643.

211. Tsybulin V.G., Nemtsev A.D., Karasozen B. Cosymmetric families of steady states in 3D convection of incompressible fluid in a porous medium // PAMM. Proc. Appl. Math. Mech. 2007. Vol. 7. P. 1030407-1030408.

212. Tsybulin V.G., Nemtsev A.D., Karasozen B. A Mimetic Finite-Difference Scheme for Convection of Multicomponent Fluid in a Porous Medium // CASC 2009, LNCS 5743. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 2009. P. 322—333.

213. Tsyganov M.A., Biktashev V.N. Half-soliton interaction of population taxis waves in predator-prey systems with pursuit and evasion // Phys. Rev. E. 2004. T. 70.2. P. 031901-10.

214. Turner J.S. Multicomponent convection. // Annual Rev. Fluid Mech. 1985. Vol. 17. P. 11-44.

215. Vasilyev O. V. High order finite difference schemes on non-uniform meshes with good conservation properties //J- Comput. Phys. 2000. Vol. 57. P. 746—761.

216. Yudovich V.I. Secondary cycle of equilibria in a system with cosymmetry, its creation by bifurcation and impossibility of symmetric treatment of it // Chaos. 1995. Vol. 5. № 2. P. 402-411.

217. Fu-Yun Zhao, Di Liu, Guang-Fa Tang Natural convection in a porous enclosure with a partial heating and salting element // internat. J. Thermal Sciences. 2008. Vol. 47. P. 569-583.