автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Экстремальные задачи для стационарных уравнений гидродинамики вязкой теплопроводной жидкости

Введение

1 Обзор предыдущих исследований задач оптимального управления в термогидродинамике

1.1 Анализ краевых задач.

1.2 Анализ экстремальных задач.

2 Разрешимость краевых задач для системы уравнений тепловой конвекции с неоднородными граничными условиями

2.1 Постановки краевых задач. Функциональные пространства

2.1.1 Постановки краевых задач.

2.1.2 Функциональные пространства

2.2 Локальная разрешимость краевой задачи.

2.2.1 Определение слабого решения краевой задачи.

2.2.2 Доказательство разрешимости краевой задачи

2.3 Глобальная разрешимость краевой задачи.

2.3.1 Определение слабого решения Задачи 1а.

2.3.2 Доказательство глобальной разрешимости.

2.3.3 Единственность решения Задачи 1а.

2.3.4 Случай линейной задачи тепловой конвекции.

2.3.5 Введение граничных и распределенных управлений

3 Исследование экстремальных задач для системы уравнений тепловой конвекции с неоднородными граничными условиями

3.1 Постановки и разрешимость обратных экстремальных задач

3.1.1 Постановка и разрешимость экстремальной задачи в общем случае.

3.1.2 Некоторые частные случаи экстремальных задач

3.2 Вывод системы оптимальности

3.2.1 Существование множителей Лагранжа.

3.2.2 Вывод дифференциальных уравнений и граничных условий для множителей Лагранжа

3.2.3 Система оптимальности в случае линейной Задачи 2а

3.3 Единственность решения экстремальной задачи.

3.3.1 Положительность множителя Лагранжа Ао.

3.3.2 Единственность оптимального решения в одном частном случае.

3.4 Система оптимальности для уравнений Навье-Стокса

4 Исследование линеаризованной задачи граничного управления

4.1 Постановка и разрешимость краевой задачи.

4.2 Разрешимость экстремальных задач

4.3 Дискретизация и численный алгоритм для решения задач граничного управления.

4.4 Используемые разностные схемы и порядок их аппроксимации

4.5 Анализ результатов вычислительных экспериментов.

Большое количество инженерных задач и задач экологии связано с оптимальным управлением течения жидкости.

Первые работы, посвященные теоретическому исследованию задач управления в гидродинамике, появились в начале 80-х годов в работах A.B. Фур-сикова [57-59]. В начале 90-х годов с прогрессом в области вычислительной техники появилась возможность численного решения сложных задач оптимального управления для нелинейных систем уравнений гидродинамики. В большинстве работ, посвященных как теоретическому так и численному исследованиям задач оптимального управления, в качестве модели движения жидкости рассматривалась система уравнений Навье - Стокса. Однако в некоторых случаях важную роль играют тепловые процессы, происходящие в жидкости. Поэтому исследование экстремальных задач для уравнений вязкой теплопроводной жидкости представляет теоретический и практический интерес.

В теоретическом исследовании таких задач основные трудности связаны с наличием неоднородных граничных условий для скорости и температуры. В плане численных расчетов основную трудность представляет наличие дополнительного (в общем случае нелинейного) уравнения, связанного с описанием процессов теплопроводности, происходящих в жидкости.

Целями диссертационной работы, продолжающей исследования Г.В. Алек сеева, являются:

1. Исследование разрешимости краевых задач для стационарных уравнений вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости, рассматриваемых при смешанных граничных условиях для температуры и неоднородных нестандартных граничных условиях для скорости.

2. Теоретическое исследование экстремальных задач для системы стационарных уравнений вязкой теплопроводной жидкости. Обоснование применения принципа неопределенных множителей Лагранжа.

3. Численное исследование экстремальных задач для линеаризованной системы стационарных уравнений вязкой теплопроводной жидкости.

Исходя из целей работы, были сформулированы следующие задачи:

1. Доказать теоремы существования и единственности слабого решения стационарной системы уравнений Обербека - Буссинеска при смешанных краевых условиях для температуры и неоднородных нестандартных граничных условиях для скорости.

2. Получить априорные оценки решения, позволяющие сделать вывод о его ограниченности в случае, когда данные краевой задачи принадлежат ограниченным множествам.

3. Исследовать разрешимость экстремальных задач для стационарных урав нений вязкой теплопроводной жидкости при смешанных граничных условиях для температуры и неоднородных нестандартных граничных условиях для скорости.

4. Разработать численный алгоритм решения указанных выше задач граничного управления для линеаризованной системы Обербека-Буссинеска.

5. Провести вычислительные эксперименты по решению задачи оптимального управления течением жидкости за счет граничных управлений Дирихле и Неймана для температуры.

Сформулируем далее основные результаты диссертационной работы, написанной по материалам [13,14,45,46]. По своей структуре диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 155 наименования и приложения.

Первая глава носит обзорный характер. В разделе 1.1 представлено современное состояние как теоретических, так и численных исследований, касающихся краевых задач для систем уравнений Навье - Стокса и Обер-бека - Буссинеска. В разделе 1.2 дан краткий обзор экстремальных задач гидродинамики и раскрыто современное состояние исследований указанных задач.

Вторая глава посвящена исследованию разрешимости краевых задач для стационарных уравнений Обербека - Буссинеска с неоднородными нестандартными граничными условиями для скорости и смешанными граничными условиями для температуры. В разделе 2.1 ставится основная краевая задача, вводятся основные функциональные пространства, билинейные и трилинейные формы, приводятся их свойства и доказываются леммы, используемые в дальнейшем. В п.2.2.1 представлена слабая формулировка основной краевой задачи и доказаны леммы, показывающие связь между слабой и классической формулировками, а также исследуются вопросы существования и единственности слабого решения краевой задачи. Основным результатом этого раздела являются теорема об однозначной разрешимости указанной краевой задачи. Полученные условия на исходные данные можно трактовать как ограничения на коэффициенты вязкости и температуропроводности. Раздел 2.3 посвящен исследованию разрешимости указанных краевх задач в частном случае неоднородных нестандартных граничных условий для скорости без привлечения дополнительных ограничений на коэффициенты вязкости и температуропроводности. Доказаны теоремы о разрешимости указанных краевых задач " в целом" и при дополнительных условиях на коэффициенты вязкости и температуропроводности - единственности решения.

Третья глава посвящена теоретическому исследованию экстремальных задач. В разделе 3.1 указанные задачи формулируются как задачи минимизации определенных функционалов качества на слабых решениях системы уравнений Обербека-Буссинеска при неоднородных нестандартных гранчиных условиях для скорости и смешанных граничных условиях для температуры. Доказывается общая теорема существования решения экстремальной задачи для произвольного ограниченного снизу слабо полунепрерывного снизу функционала. Здесь же представлено семь функционалов, удовлетворяющих условиям этой теоремы и имеющих конкретный физический смысл. Раздел 3.2 посвящен обоснованию применения метода неопределенных множителей Лагранжа. В п.3.2.1 доказывается теорема о существовании множителей Лагранжа, основанная на экстремальном принципе в гладко-выпуклых задачах условной минимизации, изложенном в [27]. В п.3.2.2 из уравнения Эйлера-Лагранжа выводятся дифференциальные соотношения и граничные условия, которым (в предположении определенной гладкости) удовлетворяют множители Лагранжа и оптимальное состояние: скорость и температура. Указанные соотношения сначала выводятся для произвольного дифференцируемого функционала качества, а затем конкретизируются для всех семи рассматриваемых в работе функционалов. В п.3.2.3 указанная система оптимальности выводится в случае линеаризованной системы уравнений Обербека-Буссинеска. Получен результат о том, что если функционал качества не зависит от скорости, то множители Лагранжа, соответствующие скорости, обращаются в нуль. Обоснован подход, предложенный в работе [38], решения задач минимизации в случае линейного функционала качества, зависящего от температуры. Раздел 3.3 посвящен исследованию регулярности множителей Лагранжа с использованием условий типа "малости" размера множества управлений. В п.3.3.2 изучается вопрос единственности решения экстремальной задачи для конкретного функционала качества. В разделе 3.4 приводятся результаты о разрешимости экстремальных задач для системы Навье-Стокса, которые являются следствиями соответствующей теории для модели Обербека-Буссинеска.

Четвертая глава диссертации посвящена теоретическому и численному исследованию экстремальных задач для линеаризованной системы уравнений Обербека - Буссинеска. В разделе 4.1 представлена постановка краевой задачи, вводятся основные функциональные пространства и делается переход к слабой формулировке. Проводится исследование разрешимости поставленной задачи для области с кусочно-гладкой границей и выводятся априорные оценки ее решения. В разделе 4.2 рассматриваются два функционала качества, один из которых имеет смысл отклонения по норме Ь2(0.) поля завихренности го!и и заданного поля второй функционал связан с задачей разделения течения. Далее ставятся две задачи условной минимизации и доказываются теоремы об их однозначной разрешимости. Раздел 4.3 посвящен дискретизации и построению численного алгоритма решения указанных задач оптимального управления. В разделе 4.4 описывается численный алгоритм решения указанных экстремальных задач, основанный на применении компактных разностных схем. В разделе 4.5 представлен анализ результатов проведенных вычислительных экспериментов по решению задач граничного управления течением вязкой теплопроводной жидкости.

В заключение сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

По материалам проведенных исследований было опубликовано: одна статья, два препринта и семь тезисов докладов на международных и отечественных научных конференциях.

Заключение

В данном заключении сформулируем основные результаты диссертации.

1. Доказаны теоремы существования и единственности "в малом" и в "целом" слабого решения стационарной системы уравнений Обербека -Буссинеска при смешанных краевых условиях для температуры и неоднородных нестандартных граничных условиях для скорости.

2. Получены априорные оценки решения, позволяющие сделать вывод о его ограниченности в случае, когда данные краевой задачи принадлежат ограниченным множествам.

3. Доказаны теоремы разрешимости экстремальных задач для системы уравнений Обербека-Буссинеска, обоснован принцип неопределенных множителей Лагранжа, выведены системы оптимальности в общем случае и для конкретных функционалов качества.

4. Получены условия регулярности множителей Лагранжа и установлены достаточные условия единственности решения экстремальной задачи.

5. Доказана однозначная разрешимость экстремальных задач для стационарных линеаризованных уравнений вязкой теплопроводной жидкости при однородном граничном условии Дирихле для скорости.

6. Разработан эффективный численный алгоритм решения задач граничного управления для линеаризованной системы Обербека-Буссинеска, на основе которого проведены вычислительные эксперименты по решению задач управления течением вязкой теплопроводной жидкости путем выбора температуры на границе рассматриваемой области.

В заключение хочу выразить благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук, профессору Г.В. Алексееву за ценные советы и постоянное внимание к данной работе.

1. Адомавичюс Э.А. О разрешимости некоторых экстремальных задач для стационарных уравнений тепловой конвекции // Дальневосточный матем. сб. 1998. Вып. 5. С. 74-85.

2. Адомавичюс Э.А., Алексеев Г.В. Теоретический анализ обратных экстремальных задач для стационарных уравнений массопереноса. Препринт N 7. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1999. 47 с.

3. Адомавичюс Э.А., Алексеев Г.В. Теоретический анализ обратных экстремальных задач для стационарных уравнений массопереноса II. Препринт N 18. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1999. 37 с.

4. Алексеев Г.В., Малыкин В.В. Численное исследование стационарных экстремальных задач для двумерных уравнений вязкой жидкости // Вычислительные технологии. 1993. Т. 2. N 5. С. 5-16.

5. Алексеев Г.В. Теоретический анализ стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции. Препринт N 16. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1996. 64 с.

6. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции. Препринт N 9. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1997. 56 с.

7. Алексеев Г.В. Стационарные задачи граничного управления для уравнений тепловой конвекции // Докл. РАН. 1998. Т. 362. N 2. С. 174-177.

8. Алексеев Г.В. Разрешимость стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, N 5. С. 982-998.

9. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции И. Препринт N 30. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1998. 48 с.

10. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Стационарные задачи оптимального управления для уравнений гидродинамики вязкой теплопроводной жидкости // Сибирский журнал индустриальной математики. 1998. Т. 1. N 2. С. 22-44.

11. Алексеев Г.В. Обратные задачи обнаружения источников примеми в вязких жидкостях. Препринт N 8. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1999. 57 с.

12. Алексеев Г.В., Смышляев А.Б. Разрешимость неоднородных краевых задач для стационарных уравнений гидродинамики вязкой теплопроводной жидкости. Препринт N 6. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1999. 56 с.

13. Алексеев Г.В., Смышляев А.Б. Разрешимость экстремальных задач для стационарных уравнений тепловой конвекции с неоднородными граничными условиями. Перпринт N 17. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1999. 42 с.

14. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов A.A. Применение теоретико групповых методов в гидродинамике. Н.: Наука, 1994. 319 с.

15. Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983. 343 с.

16. Белолипецкий В.М., Шокин Ю.И. Математическое моделирование в задачах защиты окружающей среды. Новосибирск: ИНФОЛИО-пресс, 1997. 240 с.

17. Быховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональных разложениях пространства вектор-функций, квадратично суммируемых на заданной области // Тр. Мат. института им. В.А. Стеклова АН СССР. 1960. Т. 59. С. 3-63.

18. Васильев Ф.П., Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.

19. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981. 640 с.

20. Зарубин А.Г. Задача о стационарной свободной конвекции // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8, N 6. С. 1378-1383.

21. Зарубин А.Г., Тиунчик М.Ф. О некоторых задачах механики с разрывными граничными условиями и негладкой границей // Дифференц. ур-я. 1978. Т. 14, N 9. С. 1632-1637.

22. Зарубин А.Г. Численный анализ начально-краевой задачи для уравнений тепловой конвекции // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31, N 6. С. 471-473.

23. Зарубин А.Г. Начально-краевая задача для нестационарных уравнений тепловой конвекции // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35, N 5. С. 728-738.

24. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир. 1986.

25. Илларионов A.A., Чеботарев А.Ю. Существование слабых решений смешанной стационарной задачи для уравнений Навье-Стокса. Препринт N 11. Владивосток. ИПМ ДВО РАН, 1999. 16 с.

26. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

27. Кажихов A.B. Разрешимость некоторых односторонних краевых задач для уравнений Навье-Стокса // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1974. Вып. 16. С. 5-34.

28. Кажихов A.B., Рагулин В.В. О задаче конвекции в вязкой жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1979. Вып. 40. С. 127-133.

29. Канторович J1.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука. 1977.

30. Коренев Н.К. О некоторых задачах конвекции в вязкой несжимаемой жидкости // Вестник ЛГУ. 1971. Вып. 2, N 7. С. 29.

31. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Линейные операторы и некорректные задачи. М.: Наука, 1991. 331 с.

32. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с.

33. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 538 с.

34. Ландау Л.Д., Лившиц В.М. Гидродинамика. (Теоретическая физика. Т. VI.). М.: Наука, 1988. 736 с.

35. Лионе Ж.-JI. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587 с.

36. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987. 412 с.

37. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. 319 с.

38. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. М.: Мир,1989. 494 с.

39. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. 288 с.

40. Пененко В.В., Алоян А.Е. Модели и методы для задач охраны окружающей среды. Новосибирск: Наука, 1985. 256 с.

41. Прилепко А.И., Васин И.А. Разрешимость трехмерной обратной задачи для нелинейных уравнений Навье-Стокса // Ж. вычисл. матем. физ.1990. Т. 30. N 2. Р. 1540-1552.

42. Рагулин В.В. К задаче о протекании вязкой жидкости сквозь ограниченную область при заданном перепаде давления или напора / / Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1976. Вып. 27. С. 78-92.

43. Сегерлинд Л., Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.

44. Смышляев А.Б. Экстремальные задачи граничного управления для линейной системы уравнений тепловой конвекции // Дальневосточный матем. сб. 1998. Вып. 5. С. 86-101.

45. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 352 с.

46. Тарунин E.J1. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. 227 с.

47. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.

48. Терешко Д.А. Исследование обратных экстремальных задач для стационарных уравнений вязкой теплопроводной жидкости / / Дальневосточный матем. сб. 1997. Вып. 4. С. 75-85.

49. Терешко Д.А. Обратные экстремальные задачи для уравнений вязкой теплопроводной жидкости с нестандартными граничными условиями. Тез. Международной конференции по обратным задачам математической физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1998. С. 73-74.

50. Терешко Д.А. Разрешимость экстремальной задачи для течения вязкой теплопроводной жидкости в канале // Дальневосточный математический сборник. 1998. Вып. 5. С.75-85.

51. Толстых А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах динамики жидкости. М.: Наука, 1990.

52. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

53. Уховский М.Ф., Юдович В.И. Об уравнениях стационарной конвекции // Прикл. матем. и механика. 1963. Т. 27, N 2. С. 295-300.

54. Флетчер К., Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, Т.1,2, 1991.

55. Фурсиков A.B. О некоторых задачах управления и результатах, касающихся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных систем Навье-Стокса и Эйлера // Докл. АН СССР. 1980. Т. 252, N 5. С. 1066-1070.

56. Фурсиков A.B. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных уравнений Навье-Стокса // Мат. сб. 1981. Т. 115, N 2. С. 281-306.

57. Фурсиков A.B. Свойства решений некоторых экстремальных задач, связанных с системой Навье-Стокса // Мат. сб. 1982. Т. 118, N 3. С. 323-349.

58. Чеботарев А.Ю. Граничные экстремальные задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34. N 5. С. 202-213.

59. Чеботарев А.Ю. Нормальные решения краевых задач для стационарных систем типа Навье-Стокса // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36. N 4. С. 934-942.

60. Черняков П.С. О нестационарной свободной конвекции в ограниченной области // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1966. Т. 6, N 2, С. 283-303.

61. Шайдуров В.В., Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989.

62. Эмануилов О.Ю. О некоторых задачах оптимального управления, связанных с системой Навье-Стокса // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1991. N 15. С. 108-127.

63. Юдович В.И. О возникновении конвекции // Прикл. матем. и механика. 1966. Т. 30, N 6. С. 1000-1005.

64. Юдович В.И. Свободная конвекция и ветвление // Прикл. матем. и механика. 1967. Т. 31, N 1. С. 101-111.

65. Abergel F., Temam R. Optimality conditions for some nonqualified problems of distributed control // SIAM. J. Control and Optimization. 1989. V. 27. N 1. P. 1-12.

66. Abergel F., Temam R. On some control problems in fluid mechanics // Theoret. Comput. Fluid Dynamics. 1990. V. 1. P. 303-325.

67. Abergel F., Casas E. Some optimal control problems of multistate equations appearing in fluid mechanics // Math. Modelling Numer. Anal. 1993. V. 27. P. 223-247.

68. Adams R. Sobolev Spaces. Academic Press. New York, 1975.

69. Alekseev G.V., Malikin V.V. Optimal control problems for the stationary Navier-Stokes equations with boundary control. Preprint. Vladivostok: Dalnauka, 1993. 40 p.

70. Alekseev G.V., Malikin V.V. Numerical analysis of optimal boundary control problems for Navier-Stokes equations // Сотр. Fluid Dynamics J. 1994. V. 3. N 1. P. 1-26.

71. Alekseev G.V., Malikin V.V. Numerical study of control problems for the stationary Navier-Stokes equations with boundary controls // Extended abstracts. The Third World Congress of Computational Mechanics. 1994. V.2. P.976-977

72. Alekseev G.V., Tereshko D.A. On solvability of inverse extremal problem for stationary equations of viscous heat conducting fluid // J. Inverse Ill-Posed Probl. 1998. V. 6. P.521-562.

73. Antontsev S.N., Kazhikhov A.V., Monakhov V.N. Boundary value problems in mechanics of nonhomogenuous fluids. North-Holland, 1990.

74. Bègue C., Conca C., Murât F., Pironneau O. A nouveau sur les équations de Stokes et de Navier-Stokes avec des conditions aux limites sur la pression // C. R. Acad. Sci. Paris, Série I. 1987. V. 304, N 2. P. 23-28.

75. Bendali A., Dominguez J.M., Gallic S. A variational approach for the vector potential formulation of the Stokes and Navier-Stokes problems in three dimensional domains //J. Math. Anal. Appl. 1985. V. 107, N. 2. P. 537560.

76. Bernardi C., Canuto C., Maday Y. Spectral approximations of the Stokes equations with boundary conditions on the pressure // SIAM J. Numer. Anal. 1991. V. 28, N 2. P. 333-362.

77. Bochev P.B. Analysis of least-squares finite element methods for the Navier-Stokes equations // SIAM. J. Numer. Anal. 1997. V. 34. P. 1817-1844.

78. Bramble J.H. and Lee P. On variational formulation for the Stokes equations with nonstandard boundary conditions // Math. Model. Numer. Anal. 28. 1994. P. 903-919.

79. Burkardt J., Peterson J. Control of steady incompressible 2D channel flow // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P.lll-126.

80. Casas E., Fernández L. A Green's formula for quasilinear elliptic operators // J. Math. Anal. Appl. 1989. V. 142. P. 62-72.

81. Casas E. The Navier-Stokes equations coupled with the heat equation: analysis and control // Control Cybernet. 1994. V. 23, N 4. P. 605-620.

82. Casas E. Optimality conditions for some control problems of turbulent flows // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P. 127-147.

83. Chen H., Rannacher R. Superconvergence Properties of Finite Element Schemes for the Navier-Stokes Problem // University of Heidelberg. 1993. Preprint.

84. Chen G.Q., Gao Z., Yang Z.F. A pertubational há exponential finite difference scheme for the convective diffusion equation // Journal of computational physics. 1993. 104. P. 129-139.

85. Christopher R., Anderson F. Vorticity boundary conditions and boundary vorticity generation for two-dimensional viscous incompressible flows // Journal of computational physics. 1989. 80. P. 72-97.

86. Conca C. Approximation de quelques problemes de type Stokes par une method d'elements finis mixtes // Numer. Math. 1984. V. 45, N 1. P. 7591.

87. Conca C. On the application of the homogenization theory to a class of problems arising in fluid mechanics //J. Math. Pures Appl. 1985. V. 64, N 1. P. 31-75.

88. Conca C., Murat F., Pironneau O. The Stokes and Navier-Stokes equations with boundary conditions involving the pressure // Japan. J. Math. 1994. V. 20, N 2. P. 279-318.

89. Conca C., Parés C., Pironneau 0., Thiriet M. Navier-Stokes equations with imposed pressure and velocity fluxes //J. Numer. Methods Fluids. 1995. V. 20. P. 267-287.

90. Dabaghi F.E., Pironneau 0. Stream vectors in three dimensional aerodynamics // Numer. Math. 1986. V. 48. P. 561-589.

91. Dari E., Duran R., Padra C. Error Estimators for Nonconforming Finite Element Approximations of the Stokes Problem // Mathematics of Computations. 1995. V. 64. N 211. P. 1017-1033.

92. Dennis S.C.R. and Hudson J.D., Compact h4 Finite Approximation to Operators of Navier-Stokes Type // Journal of Computational Physics. 1989. V.85. P.390-416.

93. Desai M., Ito K. Optimal control of Navier-Stokes equations // SIAM J. Contr. Opt. 1994. V. 32. N 5. P. 1428-1446.

94. Dubois F. Discrete vector potential representation of a divergence-free vector field in three-dimensional domains: numerical analysis of a model problem // SIAM J. Numer. Anal. 1990. V. 27, N 3.

95. Fattorini H., Sritharam S.S. Existence of optimal controls for viscous flow problems // Proc. of the Royal Soc. of London, Serie 1. 1992. V. 439. P.81-102.

96. Fletcher D.F., Maskell S.J., Patrie M.A. Heat and mass transfer computations for laminar flow in an axisymmetric sudden expansion // Computers & Fluids. 1985. V. 13. N 2. P. 207-221.

97. Foias C., Temam R. Remarques sur les equations de Navier-Stokes stationnaires et les phenomenes successifs de bifurcation // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, IV. 1978. V. 5, N 1. P. 29-63.

98. Fursikov A.V., Imanuilov O.Yu. On exact boudary zero-controllability of two-dimensional Navier-Stokes equations // Acta Appl. Math. 1994. V. 37. P. 67-76.

99. Fursikov A.V. Exact boudary zero controllability of three dimensional Navier-Stokes equations // J. of Dynamical and Control Syst. 1995. V. 1, N 3. P. 325-350.

100. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. On controllability of certain systems simulating a fluid flow // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P.149-153.

101. Fursikov A.V., Imanuilov O.Yu. Local exact controllability of the Navier-Stokes equations // C.R. Acad. Sci. Paris, Série I. 1996. V. 323, N 3. P. 275-280.

102. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. Local exact boundary controllability of the Boussinesq equations // SIAM J. Contr. Optim. 1998. V. 36, N 2. P. 391-421.

103. Fursikov A.V., Gunzburger M.D., Hou L.S. Boundary value problems and optimal boundary control for the Navier-Stokes system: the two-dimensional case // SIAM J. Contr. Optim. 1998. V. 36, N 3. P. 852-894.

104. Gad-el-Hak M. Flow control // Appl. Mech. Rev. 1989. V. 42. P. 261-293.

105. Gaultier M., Lezaun M. Equations de Navier-Stokes couplées a des équations de la chaleur: résolution par une méthode de pointe fixe en dimension infininie // Ann. Sc. Math. Québec. 1989. V. 13. P. 1-17.

106. Girault V., Raviart P.A. Finite Element Approximation of the Navier-Stokes Equations // Springer-Verlag. 1981. 205 p.

107. Girault V., Raviart P.A. Finite element methods for Navier-Stokes equations. Theory and algorithms. Berlin: Springer-Verlag, 1986.

108. Girault V. Incompressible finite element methods for Navier-Stokes equations with non-standard boundary conditions in R3 // Math, of Comp. 1988. V. 15, N 183. P. 55-74.

109. Gresho P.M. Incompressible fluid dynamics: Some fundamental formulations issues. Ann. Rev. Fluid Mech. 23. 1991. P. 413-453.

110. Grisvard P. Boundary value problems in non-smooth domains. Pitman. London, 1985.

111. Gunzburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. Numerical approximation of an optimal control problem associated with the Navier-Stokes equations // App. Math. Letters. 1989. 2. N 1. P.29-31.

112. Gunzburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. Analysis and finite element approximation of optimal control problems for the stationary Navier-Stokes equations with distributed and Neumann controls // Math, of Comp. 1991. V. 57, N 195. P. 123-151.

113. Gunzburger M., Hou L., Svobodny T. Analysis and finite element approximation of optimal control problems for the stationary Navier-Stokes equations with Dirichlet conditions // Math. Modelling Numer. Anal. 1991. V. 25. P. 711-748.

114. Gunzburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. Boundary velocity control of incompressible flow with application to viscous drag reduction / / SI AM J. Control Optim. 1992. V. 30, N 1. P. 167-182.

115. Gunzburger M.D., A prehistory of flow control and optimization // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P.185-195.

116. Gupta M.M., High accuracy solutions of incompressible Navier-Stokes equations // J. Comput. Phys. 1991. V.93. N 2. P.343-359.

117. Harig J. A 3-D Finite Element Upwind Approximation of the Stationary Navier-Stokes Equations // University of Heidelberg. 1992. Preprint.

118. Haslenger J., Hlavacek J. Approximation of the Signorini Problem with Friction by a Mixed Finite Element Method //J. Math. Anal. Appl. 1982. V. 86. P. 99-122.

119. Hishida T. Asymptotic behavior and stability of solutions to the exterior convection problem // Nonlinear Anal. 1994. V. 22. P. 895-925.

120. Hopf E. Ein all gemeiner Endlichkeitssatz der Hydrodinamik // N. Math. Ann. 1940-1941, V. 117, P. 764-775.

121. Hiinlich R., Naumann J. On general boundary value problem and duality in linear elastity // Apl. Matematiky. 1978. V. 23. P. 208-299 h 1980. V. 25. P. 11-32.

122. Ito K., Ravindran S.S. A reduced basis method for control problems goverened by PDEs. Preprint, Department of Mathematics, North Carolina State University, USA, 1997.

123. Jensen S. On computing the pressure by the finite element method for Stokes problem // Numer. Math. 1991. 59. P. 581-601.

124. Jiang B., Loh C. and Polinelli L. Theoretical study of the incompressible Navier-Stokes equations by the least-square method // NASA Lewis Tech. Memo. 106535. ICOMP-94-04.

125. Lauriat G., Altimir I. A new formulation of the SADI method for the prediction of natural convection flows in cavities // Computers & Fluids. 1985. V. 13. N 2. P. 141-155.

126. Le Quere P. Accurate solutions to the square thermally driven cavity at high Rayleigh number // Computers k Fluids. 1991. V. 20. N 1. P. 29-41.

127. Lukaszewicz G. On the stationary flows of viscous incompressible and heat-conducting fluids // Math. Methods in the Appl. Sci. 1988. V. 10. P. 329-337.

128. Morimoto H. On the existence of weak solutions of equation of natural convection // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. 1989. Sect. IA. V. 36. P. 87-102.

129. Morimoto H. On the existence and uniqueness of the stationary solution to the equations of natural convection // Tokyo J. Math. 1991. V. 14. P. 217-226.

130. Morimoto H. Non-stationary Boussinesq equations //J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA. 1992. V. 39. P. 61-75.

131. Necas J. Les methodes directese en theorie des equations elliptiques. Masson. Paris, 1967.

132. Neittaanmaki P., Saranen J. Finite Element Approximation of Vector Fields Given by Curl and Divergence // Math. Meth. in the Appl. Sol. 1981. 3. P.515-535.

133. Oeda K. Weak and strong solutions of the heat convection equations in regions with moving boundaries //J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA. 1989. V. 36. P. 491-536.

134. Oeda K. Stationary solutions of the heat convection equations in exterior domains // Proc. Japan Acad. Sci., Ser. A. 1997. V. 73. N 61. P. 111-115.

135. Pironneau 0. Conditions aux limites sur la pression pour les equations de Stokes et de Navier-Stokes // C. R. Acad. Sci. Paris, Serie I. 1986. V. 303, N 9. P. 403-406.

136. Ramaswamy B. Finite Element Solution for Advection and Natural Convection Flows // Computers k Fluids. 1988. V. 16. N 4. P. 349-388.

137. Rannacher R. On the Numerical Solutions of the Incompressible Navier-Stokes Equations // University of Heidelberg. 1992. Preprint.

138. Saranen J. On generalized harmonic fields in domains with anizotropic nonhomogeneous media // J. Math. Anal. Appl. 1982. V. 88, N 1. P. 104115.

139. Shinbrot M., Kotorynski W.P. The initial value problem for viscous heat-conducting fluid //J. Math. Analys. and Appl. 1974. V. 45. P. 1-22.

140. Steffler P.M. Upwind Basis Finite Elements for Convection-Dominated Problems // Intern. Journ. for Num. Meth. in Fluids. 1989. V. 9. P. 385403.

141. Svobodny T. Shape optimization and control of separating flow in hydrodynamics // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P. 325-339.

142. Temam R. Remarks on the control of turbulent flows // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P.357-371.

143. Turek S. A compartive study of some time-stepping techniques for the incompressible Navier-Stokes equations: From fully implicit nonlinear schemes to semi-implicit methods // University of Heidelberg. 1995. Preprint.

144. Vasin I.A. Inverse boundary value problems in viscous fluid dynamics // Ill-Posed Problems in Natural Sciences. Proc. Intern. Conf. Moscow. August, 19-25. 1991. VSP. Moscow. 1992. P. 423-430.

145. Verfurth R. Finite element approximation of steady Navier-Stokes equations with mixed boundary conditions // RAIRO Model. Math. Anal. Numer. 1985. V. 19. P. 461-475.

146. Verfurth R. Finite element approximation of incompressible Navier-Stokes equations with slip boundary conditions // Numer. Math. 1987. V. 50. P. 697-721.

147. Verfurth R. Mixed finite element approximation of the vector potential // Numer. Math. 1987. V. 50. P. 685-695.

148. Yuh-Roung Ou. Mathematical modelling and numerical simulation in external flow control // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P.219-255.

149. OO' i 08'0 09'0 Ofr'O OZ'O OO'O1. VZ 'OHd

150. ООЧ 06 0 09 0 OZ.O 09 0 OSO Ofr'O oeo ого otoovz 'OHd00' U 06'0 08 0 ОЛ О 09'0 oco ог о oto

151. ООЧ Об'О 08 O OZ'O ОО О OS O Ot-'O OE'O 02Г 0 OLIо 'о;1. Рис. 2.2с1. Рис. 2.2е1. Рис. 2.2b1. Рис. 2.2d1. Рис. 2.2f1. Рис. 2.3а