автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Численный анализ устойчивости стержневых систем и оболочек при упругих и пластических деформациях с учетом начальных несовершенств

На правах рукописи

Бегичев Максим Михайлович

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ОБОЛОЧЕК ПРИ УПРУГИХ И ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ С УЧЕТОМ НАЧАЛЬНЫХ НЕСОВЕРШЕНСТВ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 1 'ОЯ 2013

005540540

Москва-2013

005540540

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» МГУПС (МИИТ)

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

Косицын Сергей Борисович

Официальные оппоненты:

Демьянушко Ирина Вадимовна,

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ)», кафедра «Строительная механика», заведующий кафедрой

Ведущая организация:

Трушин Сергей Иванович,

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет (МГСУ)», кафедра «Строительная механика», профессор

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Российский университет дружбы народов (РУДН)»

Защита состоится 18 декабря 2013 г., в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 218.005.05 на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» по адресу: 127994, г. Москва, ул. Образцова, д. 9, стр. 9 (7ой корпус МИИТа, Минаевский переулок, д. 2, ауд. 7618).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУПС (МИИТ).

Автореферат разослан « /У» ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Шавыкина Марина Витальевна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Стремительный прогресс в области вычислительных технологий позволил разработать и внедрить в инженерную практику большое число мощных программных комплексов, чаще всего основанных на методе конечных элементов (МКЭ). Однако, недостаточное внимание к особенностям решения даже относительно простых классических задач■ устойчивости равновесия стержневых систем и оболочек с применением МКЭ в ряде случаев приводит к получению ошибочных результатов, которые могут привести к катастрофическим последствиям.

Результаты ряда экспериментальных исследований показали, что расчеты оболочек по линейной теории порой дают завышенные (а иногда и сильно завышенные) значения величин критических нагрузок. Реальные системы часто теряют устойчивость при нагрузках меньших, чем показывает расчет. Нелинейная теория дает результаты, более близкие к экспериментальным данным, поэтому развивать исследования устойчивости стержневых и оболочечных систем в дальнейшем целесообразно путем учета геометрической нелинейности.

На практике элементы конструкций всегда имеют начальные несовершенства. Они могут представлять собой как отклонения геометрии от идеальной (прямолинейной, цилиндрической, сферической и т.д.) формы, так и изменчивость эксцентриситетов приложения нагрузок. Многие;' реальные тонкостенные системы весьма сильно чувствительны к упомянутым выше несовершенствам, что приводит к заметному снижению критических нагрузок потери устойчивости.

Решение задач устойчивости в эйлеровой постановке с линейно упругими материалами не всегда корректно, так как не отражает в полной мере особенности работы материала исследуемой системы. В связи с этим для повышения точности решения задач устойчивости равновесия стержневых систем и оболочек необходимо учитывать физическую нелинейность.

Учет больших перемещений и работы материала за пределом упругости при анализе устойчивости конструкций и их элементов приводит к необходимости решения значительно более сложных и трудоемких нелинейных уравнений, поэтому тема настоящей диссертации, посвященной анализу особенностей решения нелинейных задач устойчивости равновесия стержневых систем и оболочек методом конечных элементов, актуальна.

Целью работы является совершенствование методов оценки влияния начальных несовершенств на величины критических нагрузок потери устойчивости стержневых систем и оболочек.

Задачи исследования.

1. Разработка методики оценки поведения стержневых систем и тонкостенных оболочек с начальными несовершенствами в нелинейной постановке.

2. Сравнительный анализ критических нагрузок, полученных в результате линейного и нелинейного расчетов рассматриваемых объектов в упругой стадии деформирования материала, оценка возможностей и ограничений линеаризованного анализа.

3. Оценка влияния начальных несовершенств на величины критических нагрузок для систем, имеющих неустойчивое закритическое поведение.

4. Проверка работоспособности существующих наиболее распространенных типов конечных элементов в задачах устойчивости равновесия в геометрически нелинейной постановке и оценка влияния конечноэлементной дискретазации на критические нагрузки потери устойчивости, а также закритическое поведение стержневых систем и оболочек.

5. Проведение эксперимента для подтверждения оценок влияния начальных несовершенств на критические нагрузки потери устойчивости преднапряженных арок.

6. Анализ напряженно-деформированного состояния и потери устойчивости металлической рамы молочно-товарной фермы и двухбалочного мостового крана.

Научная новизна.

Разработана методика оценки влияния начальных несовершенств на величины критических нагрузок потери устойчивости элементов тонкостенных конструкций, основанная на представлениях о «наихудших несовершенствах».

Определены схемы потери устойчивости упругих стержневых систем и некоторых оболочек в зависимости от геометрических и жесткостных характеристик с учетом геометрической нелинейности.

Получены экспериментальные данные о влиянии приложения сосредоточенных нагрузок с эксцентриситетом к упругим преднапряженным аркам со стрелой подъема различной величины на характер потери устойчивости. Преднапряженные арки с устойчивым закритическим поведением слабо чувствительны к приложению нагрузки с эксцентриситетом.

Установлены критерии чувствительности стержневых систем и некоторых оболочек к начальным несовершенствам в упругой постановке задачи: высокую чувствительность к несовершенствам проявляют системы, теряющие устойчивость в точке симметричной неустойчивой бифуркации, а также в точке несимметричной бифуркации (при реализации неустойчивой ветви равновесий); слабую чувствительность к несовершенствам проявляют системы, теряющие устойчивость в предельной точке, а также в точке симметричной устойчивой бифуркации.

Установлено, что линеаризованный анализ в задачах устойчивости в ряде случаев некорректно учитывает влияние начальных несовершенств и дает увеличение величины критической нагрузки вместо ее снижения.

Показано, что учет упругопластических деформаций может приводить к неустойчивому закритическому поведению и высокой чувствительности к начальным несовершенствам, что вызывает сильное снижение критических нагрузок.

Достоверность результатов.

В основу методики положены корректные математические и конечноэлементные модели. Результаты тестовых расчетов сопоставлены с данными экспериментов, проведенных ранее другими учеными, а также с известными решениями и дают хорошее совпадение.

Достоверность расчетов также подтверждается анализом сходимости численных решений при различной густоте конечноэлеменгной сетки.

Результаты экспериментов автора по устойчивости преднапряженных арок с учетом начальных несовершенств хорошо согласуются с численными решениями, как качественно, так и в количественном отношении.

Практическая ценность работы состоит:

> в разработанной методике оценки влияния начальных несовершенств на величины критических нагрузок потери устойчивости элементов тонкостенных конструкций;

> в критериях, определяющих чувствительность стержневых систем и некоторых оболочек к начальным несовершенствам;

> в полученных предельных нагрузках для металлической рамы молочнотоварной фермы и двухбалочного мостового крана.

Апробация работы.

Основные результаты работы доложены и опубликованы в трудах и тезисах докладов следующих научно-технических конференций.

> 67, 68, 69, 70, 71 Научно-методическая и научно-исследовательская конференция МАДГТУ (МАДИ). Подсекция «Строительная механика и вопросы надежности на транспорте». 2009,2010, 2011,2012, 2013 г.

> Международная научно-практическая конференция «Инженерные системы», Москва, РУДН, 2009,2010,2011,2012,2013 г.

> III Международная научно-практическая конференция «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы» (посвященная 100-летию со дня рождения Б.Г. Коренева), Москва, МГСУ, 17 ноября 2010 г.

> IV Международная научно-практическая конференция «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы» (посвященная 100-летию со дня рождения А.Р. Ржаницына), Москва, МГСУ, 29 июня 2011 г.

> Международная научная конференцию "Задачи и методы компьютерного моделирования конструкций и сооружений" ("Золотовские чтения"). Москва, МГСУ, 2012, 2013 г.

> XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI Российская конференция пользователей программного обеспечения фирмы MSC SOFTWARE Corporation. М.: 2008, 2009,2010, 2011,2012,2013 г.

> VII Международная научно-практическая конференция «Trans-Mech-Art-Chem», М.: МИИТ, 2010.

> Конференция «Наука МИИТа транспорту», М.: МИИТ 2008, 2009, 2010, 2011,2012, 2013 г.

Публикации.

Основные положения диссертации опубликованы в 33 печатных работах. Из них 5 в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК РФ.

На защиту выносятся.

> Результаты численного анализа устойчивости и закритического поведения стержневых систем и оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей.

> Результаты оценки влияния геометрических и жесткостных параметров на характер сценариев плоской и пространственной потери устойчивости равновесия круговых арок.

> Сравнительный анализ теоретических и экспериментальных исследований устойчивости равновесия плоских преднапряженных двухшарнирных арок.

> Результаты оценки влияния начальных несовершенств геометрии и приложенных к системе сил на величины критических нагрузок потери устойчивости для некоторых тонкостенных систем с различными типами закритического поведения.

Структура и обьем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, содержащего 194 наименования, и приложения. Общий ее объем составляет 229 страниц и включает 117 рисунков, 7 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи работы, отмечена научная новизна и практическая значимость полученных результатов, а также изложены основные положения, которые выносятся на заицпу.

В первой главе проведен обзор литературы по теории и численным методам расчета стержневых систем и оболочек, а также рассмотрены основные методы решения задач устойчивости, в том числе с применением метода конечных элементов (МКЭ).

Вопросами устойчивости стержневых и тонкостенных элементов конструкций занимались многие ученые, среди которых следует отметить A.B. Александрова, H.A. Алфутова, И. Арбоча, В. Баженова, В.В. Болотина, Б. Будянски, Д. Бушнелла, Н.В. Валишвили, Ван Дер Нейта, A.C. Вольмира, Э.И. Григолюка, ЯМ. Григоренко, В.И. Гуляева, Д. Даниельсона, J1. Доннела, A.A. Ильюшина, В.В. Кабанова, С.Н. Кана, Ю.И. Каллана, Т. Кармана, В.Т. Койтера, М.С. Корнишина, Н.В. Корноухова, Х.М. Муштари, В.В. Новожилова, Б.О. Олмрота, A.B. Погорелова, Э. Секлера, А.Ф.Смирнова, М.Дж. Сьюэлла, В. Твергарда, С.П. Тимошенко, Дж. Томпсона, В.И. Феодосьева, Дж. Фитча, В. Флюгте, Дж.В. Ханта, Дж. Хатчинсона, Д. Хо, Н. Хуана, К. Черных, Цзяня, В.В. Шкутана и др.

В настоящее время проблемы расчета и оценки устойчивости равновесия конструкций не потеряли своей актуальности. К ней обращались и обращаются многие исследователи: И.Д. Грудев, Е.М. Зверяев, В.Б. Зылев, И.В. Демьянушко, В.Д. Клюшников, С.Б. Косицын, С.Н. Коробейников, С.Н. Кривошапко, Л.С. Ляхович, Г.А. Мануйлов, В.Б. Мещеряков, Г.М. Муртазалиев, A.B. Перельмутер, В.Д. Потапов, В.И. Сливкер, С.И. Трушин, В.В. Улитин, Дж. Хадцлстон, Г. Циглер, В.Л. Якушев и др.

Кроме того, в рамках первой главы приведены основные типы канонических бифуркационных диаграмм для одно- и двухпараметрических систем. Эти диаграммы связаны с простейшими типами катастроф.

Катастрофа складки соответствует потере устойчивости в предельной точке и имеет лишь один управляющий параметр - нагрузка. В разложении по

бифуркационной координате отсутствует член, учитывающий начальные несовершенства:

Это обстоятельство указывает на слабую чувствительность к начальным несовершенствам при потере устойчивости в предельной точке. В данной работе потеря устойчивости в предельной точке рассмотрена на задачах устойчивости пологих круговых двухшарнирных арок и при вторичной потере устойчивости подъемистых арок и различных симметричных рам.

В случае двух управляющих параметров (нагрузка Р и несовершенство е), эта катастрофа соответствует потере устойчивости в точке несимметричной бифуркации, и записывается в следующем виде:

При такой потере устойчивости чувствительность к начальным несовершенствам весьма сильная, описывается «законом 1/2»:

1/

Ркр{е) = РбУф{\-се/г). Эта катастрофа в настоящей работе встречается при

потере устойчивости геометрически несимметричных рам, а также при потере устойчивости симметричной двухстержневой рамы под действием несимметричной нагрузки.

Потеря устойчивости в точке симметричной бифуркации соответствует катастрофе сборки:

У = ±-а<+{РБИФ-Р)чг+еЧ 4

Потеря устойчивости «в . малом» (точка устойчивой симметричной бифуркации) описывается стандартной сборкой («+» перед ростком). Данный тип потери устойчивости в работе рассмотрен на примере плоской потери устойчивости симметричных двухконтурных рам, рамы с двумя сжатыми стержнями, подъемистых арок и пространственной потери устойчивости круговых арок с весьма малой поперечной изгибной жесткостью и др. задачах.

Неустойчивая симметричная бифуркация (потеря устойчивости «в большом») соответствует двойственной сборке («-» пред ростком). Такие системы чувствительны к начальным несовершенствам. Падение критической нагрузки в предельных точках в зависимости от величины несовершенства

2/

описывается известным «законом 2/3»: Ржр (е) = Рй11ф{\ - се/ъ). Эта катастрофа рассмотрена на задачах устойчивости симметричной фермы с жесткими узлами, двухшарнирных арок с углами раствора 10°<2а<135° при нагружении силой в замке и 10°<2а<125° при действии распределенной вертикальной нагрузки и др. задача.

Если число управляющих параметров равно четырем (для симметричных систем трем), то при простой критической нагрузке имеет место «катастрофа бабочки» (стандартная или двойственная):

У = ±^д<+щ*+/]д>+(Р-Ркр)д1+ед,

В данной работе эта катастрофа встречалась в задаче плоской устойчивости подъемистых арок при устойчивой симметричной бифуркации и в задаче о пространственной потере устойчивости круговых арок. В этих случаях вблизи точки бифуркации арки имеют не три, а пять равновесных состояний.

Когда количество управляющих параметров больше трех, при потере устойчивости упругих систем могут встречаться бифуркации с кратными критическими нагрузками, соответствующие двум, трем и более формам выпучивания. В настоящей работе такая ситуация встречалась при исследовании потери устойчивости плоских арок в момент перехода от потери устойчивости в предельной точке к потери устойчивости в точке неустойчивой бифуркации. Двукратная критическая нагрузка соответствовала полусимметричной точке ветвления (ветвление «в вершине холма») - одному из вариантов катастрофы гиперболической омбилики с потенциалом:

у = \я\ +{Р-Р„,)ЯхЧг -ад ~е2?2-

Как показано в работе, при таком переходе весьма сильно меняется характер чувствительности к начальным несовершенствам.

Отметим, что кратные критические нагрузки встречались при потере устойчивости замкнутой сферической и цилиндрической оболочек, сферических сегментов. Во всех этих случаях оболочки оказались весьма чувствительны к начальным несовершенствам, однако не все случаи кратных критических нагрузок поддаются классификации в соответствии с представлениями теории катастроф.

Для одно- и двухпараметрических систем рассмотрены возможные типы сценариев потери устойчивости равновесия в зависимости от степени полноты докритического напряженно деформированного состояния (НДС) системы. Напряженно деформированное состояние называется неполным, если для него существует энергетически ортогональное дополнительное НДС, которое в сумме с исходным дает полное (или относительно более полное) НДС. Неполное докритическое НДС часто называют идеальным или совершенным

Необходимым условием реализации бифуркационной потери устойчивости является неполнота НДС исходного (докритического) равновесия. В точке бифуркации происходит фактическое пересечение двух серий равновесных состояний: исходного и более полного закритического равновесия, обязательно включающего в себя все компоненты исходного. В результате бифуркации упругая система переходит в более полное равновесие.

Если деформированная стержневая система имеет полное НДС, то при увеличении нагрузки она ведет себя как однопараметрическая. Согласно теории особенностей такая система может потерять устойчивость только в предельной точке (катастрофа «складки»), или не теряет устойчивость вообще.

Во второй главе приведена методика численной оценки влияния начальных несовершенств на величины критических нагрузок потери устойчивости с учетом геометрической нелинейности в упругой постановке.

I. Определение возможности потери устойчивости в точке бифуркации на основе исследования степени неполноты докритического равновесия и представлений теории катастроф.

И. Построение кривой равновесных состояний на основе статического анализа с учетом геометрической нелинейности и (или) упругопластических деформаций материала. Оценка устойчивости начального послебифуркационного равновесия.

III. Решение линейной задачи на собственные значения для идеальной системы (без несовершенств); определение кратности наименьшей критической нагрузки и соответствующих ей собственных форм.

IV. Построение кривых падения критических нагрузок в зависимости от амплитуды начальных несовершенств для систем с неустойчивым закритическим равновесием. Оценка влияния «наихудших начальных несовешенств».

Кроме того, в рамках главы изучен характер развития закритического равновесия некоторых упругих арок и плоских рам под действием сосредоточенной и распределенной нагрузок. Это позволило сделать вывод о степени чувствительности указанных систем к начальным несовершенствам.

Для круговых двухшарнирных арок с длиной дуги / = /м и прямоугольным поперечным сечением 1 *4 см исследованы границы типов потери устойчивости в плоскости при действии сосредоточенной и распределенной нагрузки в диапазоне углов раствора от 2° до 330°. Установлено, что увеличение параметра «растяжимости» арок вызывает смещение зоны потери устойчивости в предельной точке в сторону больших углов.

Показано, что для двухшарнирных круговых арок существует широкая область значений углов раствора (125°<2а<250° для арок, нагруженных силой, и 135°<2а<250° для арок, находящихся под действием распределенной нагрузки), в пределах которой арки теряют устойчивость по двухступенчатому сценарию: сначала в точке устойчивой бифуркации, а затем хлопок из предельной точки. В этом случае арки относительно «слабо» чувствительны к начальным несовершенствам. Наибольшая чувствительность к начальным несовершенствам наблюдалась при потере устойчивости в точках неустойчивой бифуркации.

Линеаризованный расчет в ряде случаев дает ошибочные представления о влиянии малых несовершенств нагружения на критическую нагрузку потери устойчивости. Большая погрешность линейного расчета возможна когда:

• докритическое равновесие развивается нелинейно;

• потеря устойчивости происходит в предельной точке.

Для арки с углом 2а=90° при смещении точек приложения сосредоточенной силы Р по дуге от замкового сечения всего на 5 см (рисунок 1, а) уменьшение критической нагрузки составило 23,7% (рисунок 1, б, кривая 1). Линеаризованный анализ устойчивости в этой ситуации (смещение точки приложения силы от замка) дает не уменьшение, а наоборот некоторое увеличение критической нагрузки (рисунок 1, б, кривая 2).

Наличие двухступенчатого сценария потери устойчивости, а также результаты исследования характера чувствительности к начальным несовершенствам арок, теряющих устойчивость в точках неустойчивой и устойчивой бифуркаций подтверждены экспериментально на модели

преднапряженной двухшарнирной арки, выполненной из металлической полосы (рисунок 2).

б)

£ 19

|17 15

О 1 2 Г» 4 5

мсцсмрнсше^см

Рисунок 1. Чувствительность критических нагрузок в подчиненных предельных точках для арки с углом 2а= 90° в зависимости от величины смещения сосредоточенной силы: а) схема исследованных несовершенств; б) кривая чувствительности критических нагрузок.

Рассмотрены два варианта моделирования шарнирных опор: односторонние опоры - в виде упора остро заточенного конца арки в полукруговую выточку или тупоугольную канавку, и двусторонние опоры — в виде шарнирных петель. Полученные экспериментально значения критических нагрузок хорошо совпали с результатами расчетов: для опор-выточек погрешность определения критической нагрузки поставила АР < 2%, для шарниров петель ДР < 7%.

Рисунок 2. Устойчивое несимметричное закритическое равновесие арки.

Установлено, что при пространственной потере устойчивости плоских круговых защемленных арок при относительно малой поперечной изгибной жесткости арки теряют устойчивость «в малом» в точке устойчивой симметричной бифуркации. Увеличение жесткости сечения увеличивает критическую нагрузку, но вместе с тем меняет характер точки бифуркации. Она становится неустойчивой, и арка теряет устойчивость из плоскости «в большом». Дальнейшее увеличение жесткости приводит к тому, что минимальная критическая нагрузка соответствует потере устойчивости уже в плоскости арки.

Показано, что для арок с двуступенчатой плоской потерей устойчивости, возможна вторичная потеря устойчивости из плоскости арки при достаточно близких соответствующих критических нагрузках.

Несимметричные упругие стержневые системы, теряющие устойчивость в точке несимметричной бифуркации, весьма сильно чувствительны к начальным несовершенствам в случае провоцирования потери устойчивости «в большом» (попадания на неустойчивую ветвь закритических равновесий). Такое закритическое поведение проявляют, например, несимметричные рамы с треугольными (рисунок 3, а) и прямоугольными ячейками.

В зависимости от направления малого несовершенства (силового или несовершенства формы), такие рамы теряют устойчивость «в малом» или же сразу «в большом». В последнем случае они оказываются сильно чувствительными к начальным несовершенствам (рисунок 3, б). Такое же поведение характерно и для некоторых геометрически симметричных, но нагруженных несимметричной нагрузкой систем.

Рисунок 3. Потеря устойчивости равновесия рамы с треугольной ячейкой: а) схема рамы и несовершенств; б) падение величин критических нагрузок.

Симметричная ферма с треугольными замкнутыми контурами и жесткими узлами теряет устойчивость в точке неустойчивой бифуркации. Она сильно чувствительна к начальным несовершенствам.

В противоположность предыдущему случаю, симметричные упругие системы, теряющие устойчивость «в малом» в точке симметричной устойчивой бифуркации, к несовершенствам чувствительны слабо.

В третьей главе приведены результаты исследования устойчивости упругих круглых пластин и некоторых оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке.

Круглая пластина под действием поперечной распределенной нагрузки или сосредоточенной силы в центре и с шарнирным опиранием или скользящей заделкой на контуре при больших прогибах может потерять устойчивость осесимметричного равновесия и перейти в несимметричную или кососимметричную форму. Потерю устойчивости в этом случае вызывают большие окружные сжимающие усилия в приконтурной зоне. Такой переход в новое равновесие означает пополнение НДС системы - добавляется окружная поперечная сила <3, и крутящий момент М„. Это может произойти только в результате бифуркационной потери устойчивости. Для рассмотренной модели пластины, в случае шарнирного опирания на контуре потеря устойчивости

оказалась «в большом» (неустойчивая бифуркация, высокая чувствительность к несовершенствам). При закреплении скользящей заделкой пластина как под действием сосредоточенной силы, так и распределенной нагрузки теряла устойчивость «в малом» (устойчивая бифуркация). Последний результат согласуется с результатами, приведенными в работах A.B. Погорелова.

Исследование показало высокую чувствительность модели пластины к виду конечноэлементной сетки. Сетка неправильной (неосесимметричной) формы с самого начала порождает несовершенства геометрии, что приводит к уменьшению критической нагрузки потери устойчивости. Использование смешанных сеток (часть осесимметричная, а часть неправильной формы) показало существенное снижение величины критической нагрузки (=25%), когда сетка неправильно формы затрагивает сжатую приконтурную область.

Аналогичный характер закритического поведения (образование волн вследствие наличия сжимающих окружных напряжений) можно наблюдать у непологой сферической оболочки нагруженной сосредоточенной силой, направленной к центру кривизны. Образующаяся под силой вмятина может потерять устойчивость в точке бифуркации с образованием волн. У рассмотренной модели оболочки потеря устойчивости сначала была «в малом» с образованием трех волн, которые затем перестраивались в четыре волны.

Такая непологая (очень тонкая, с отношением радиуса к толщине R/5=2000) оболочка под действием равномерного давления теряет устойчивость в точке неустойчивой бифуркации с переходом в некоторую циклически симметричную форму, которая характеризуется образованием шестнадцати полуволн по окружности оболочки. Начальные несовершенства формы поверхности такой оболочки, заданные по первой (осесимметричной) и второй (неосесимметричной) собственным формам привели к падению нагрузки при максимальной амплитуде несовершенства, равной одной толщине оболочки (15) на 16,9% и 43,2% соответственно. В данной задаче худшим оказалось несовершенство, заданное по второй собственной форме.

Замкнутая сферическая оболочка под действием внешнего давления может потерять устойчивость либо в точке бифуркации, либо в предельной точке. При бифуркационной потере устойчивости изменение объема оболочки равно нулю, поскольку нулевой оказывается суммарная работа ( ffq^ w dAs = 0 ) нагрузки q

на бифуркационных перемещениях (прогибы w). В случае потери устойчивости

оболочки после хлопка оказывается несколько меньше предкритического. Последний из описанных сценариев потери устойчивости замкнутой сферической оболочки реализован в КЭ комплексах МА8"ГОАМ и А^УЭ на моделях тонкой сферической оболочки (Я=5м, 5 = 0,5 см, 11/5= 1000, Е = 210 МПа, V = 0,3) с использованием плоских трех- и четырехузловых и криволинейных восьмиузловых конечных элементов. Характерная особенность задачи устойчивости сферической оболочки заключается в асимптотической бесконечной кратности всех ее собственных форм (Х1 = Х2=Х3=... =Х). Очевидно, что конечноэлементная модель не может иметь одно собственное

s

в предельной точке эта работа не равна нулю

объем

значение бесконечной кратности. Однако при достаточно большом количестве элементов сетки собственные значения модели будут весьма близкими друг к другу и образовывать очень густой спектр критических нагрузок. Решение линеаризованной задачи устойчивости методом конечных элементов дало первые 10 собственных значений, различающихся лишь в пределах четвертого-пятого знаков. Собственные формы, полученные из этих расчетов, существенным образом зависят от формы КЭ сетки модели оболочки. С использованием плоских треугольных конечных элементов только при сравнительно большом числе КЭ (80 000) критическая нагрузка бифуркации составила q^ = 0,2675 МПа. (погрешность относительно классического значения q6ui,=l,21ES2/it=0,254 МПа - лишь 5,3%). В то же время сетка, составленная из гораздо меньшего числа аналогичных четырехугольных элементов (5400 КЭ), позволила получить весьма хорошее приближение к бифуркационной нагрузке (qv= 0,253 МПа). Увеличение числа КЭ до 61 000 дало практически точное значение критической нагрузки (qv = 0,2542 МПа). Отметим, что напряжения на экваторе, вычисленные по безмоментной теории, совпадают с результатами КЭ расчета уже на модели из 800 плоских четырехузловых КЭ.

Особенность моделирования сферической оболочки заключается в том, что при полностью осесимметричной сетке КЭ элементы вблизи полюса оболочки вырождаются в «сильно вытянутые» треугольники. Решение нелинейных задач (с моделями, различавшимися густотой и формой КЭ сетки) показало, что с самого начала нагружения «неправильности» конечноэлементной сетки (элементы, по форме сильнее других отличающиеся от квадратных) провоцируют развитие малых местных вмятин и выступов, заметных уже при очень малой внешней нагрузке (0,01qv). Это подтверждает неоднократно высказанное Д. Бушнеллом замечание о том, что появление сети мелких вмятин и выступов на поверхности сферической оболочки происходит задолго до достижения критической нагрузки хлопка. Потеря устойчивости моделей оболочки происходила в подчиненной предельной точке, а не в точке бифуркации, так как фактически использованная модель не позволила реализовать теоретическое безмоментное докритическое равновесие. Форму неустойчивого закритического равновесия удалось получить на модели из 5400 плоских четырехузловых КЭ при помощи алгоритма дуговых засечек (Агс-lenth). После потери устойчивости вмятина образовалась в «наиболее возмущенном» месте КЭ сетки, где элементы имели наиболее «неправильные» формы.

Показана крайне высокая чувствительность сферических оболочек к несоврешенствам: уплощениям и вмятинам. Так увеличение кривизны участка сферической оболочки в два раза привело к падению критической нагрузки на 87,5%.

Известно, что для пологой сферической оболочки (параметр пологости А. >5,7), нагруженной равномерным гидростатическим давлением, наименьшей критической нагрузке будет соответствовать неосесимметричная форма потери устойчивости. У такого пологого сферического сегмента (К ~ 8) первая критическая нагрузка - двукратная, поэтому положение о том, что наихудшим

является несовершенство, заданное по первой собственной форме, оказывается неприменимым. У рассмотренной оболочки наименьшая критическая нагрузка потери устойчивости (q= 0,181 МПа) соответствовала варианту с четырехполуволновым (по окружности) силовым возмущением. При отсутствии неосесимметричных возмущений оболочка хлопком теряет устойчивость в предельной точке при значительно большей нагрузке (qKp = 0,286 МПа). На основании расчетов с несовершенствами формы оболочки установлено, что при максимальной амплитуде несовершенства А < 0,258 худшим является четырехполуволновое несовершенство (рисунок 4). Для больших по глубине несовершенств (0,255 - 15) наименьшая критическая нагрузка соответствует оболочке с несовершенством, заданным по двум полуволнам.

0,3 SZZI-I--^-

I 0,25 \---------

g Y\ -♦-несовершенство 4

0,2 —wt-----полуволны

« Jo,15---VS^.-----«-несовершенство 2

<5 ^^^ полуволны

т 0,1------------——»

^—----——*-осесимметричное

о. 0,05------несовершенство

0 -I-----

о 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Максимальное отклонение формы, А/б Рисунок 4. Влияние несовершенств формы на нагрузку потери устойчивости пологого сферического сегмента.

Устойчивость цилиндрической оболочки при продольном сжатии с шарнирным опиранием торцевых сечений исследована для двух вариантов нагружения.

1. Силовое, создаваемое действием равномерно распределенных сжимающих усилий вдоль одной из торцевых кромок оболочки.

2. Кинематическое, при котором задается перемещение одной из кромок цилиндра по направлению к другой.

Кинематическое нагружение в значительной степени моделирует процесс сжатия оболочки в испытательной машине и позволяет наблюдать закритические равновесия оболочки. В результате потери устойчивости равновесия исходная поверхность цилиндрической оболочки переходит в новую складчатую невыпуклую поверхность (изометричную поверхности гладкого цилиндра) с плоскими гранями (в пределе), которые после хлопка образуют серию ромбовидных вмятин (вмятины Иошимуры, рисунок 5), расположенных в шахматном порядке.

Критические нагрузки потери устойчивости, полученные из линеаризованного расчета посредством моделей из прямоугольных, треугольных и ромбических КЭ, сравнивались с нагрузкой, вычисленной по формуле Лоренца-Тимошенко. Наиболее точный результат получен при помощи модели с элементами прямоугольной формы (ДР < 0,1%).

Рисунок 5. Формы закритического равновесия продольно сжатой цилиндрической оболочки: а) результат эксперимента A.B. Погорелова; б) форма, полученная при помощи конечноэлементной модели (7200 КЭ).

Установлено, что геометрически нелинейный расчет на силовое и кинематическое воздействия в условиях линейно упругих деформаций дает практически одинаковые значения критической нагрузки. Это позволяет сделать вывод о возможности анализа устойчивости цилиндрических оболочек, нагруженных силой, при помощи кинематического нагружения (сжатие в испытательных машинах).

Результаты проведенного численного эксперимента с цилиндрическими оболочками показали хорошее совпадение как в качественном, так и количественном отношении (ДР = 3%) с результатами эксперимента, проведенного A.B. Погореловым (рисунок 5, а) с оболочками, изготовленными напылением в вакууме.

Исследование показало высокую чувствительность продольно сжатой цилиндрической оболочки к начальным несовершенствам различного вида. Так оказалось, что среди всех цилиндрических продольно сжатых оболочек с одинаковым периметром эллиптического поперечного сечения наибольшую критическую нагрузку имеет круговая цилиндрическая оболочка.

Влияние различных несовершенств формы на критические нагрузки представлены на рисунке 6. Ассимптотическая кривая, полученная В.Т. Койтером, иллюстрирует худшее из представленных несовершенств (кривая 1). Линия, соответствующая осесимметричному несовершенству (кривая 2), заданному по собственной форме, почти совпадает с кривой В.Т. Койтера.

Несовершенство, заданное по неосесимметичной собственной форме, дало несколько большие критические нагрузки (кривая 3). Еще выше прошла кривая, полученная для несовершенств, соответствующих серии ромбовидных вмятин, образующихся в результате потери устойчивости (кривая 4). Влияние одиночных осесимметричных канавок представлено на кривых 5 и 6. Канавка, направленная к центру оболочки (кривая 5), вызвала значительно большее снижение нагрузки (ДРтах ~ 55,2%) по сравнению с канавкой, направленной наружу (ДРтах ~ 37,7%, кривая 6).

Рисунок 6. Кривые падения величин критических нагрузок для цилиндрических оболочек с различными начальными несовершенствами.

Потеря устойчивости торообразных оболочек с круговым поперечным сечением может произойти в точке симметричной устойчивой или неустойчивой бифуркации с переходом в некоторое несимметричное относительно экваториальной плоскости равновесие. При этом форма кругового поперечного сечения в плоскости меридиана существенно искажается. Наружние экваториальные точки поверхности оболочки получают перемещения, перпендикулярные плоскости экватора. С целью вдвое уменьшить размерность решаемых задач устойчивости можно попытаться рассмотреть модель в виде половины тора (разрез по экватору) со связями, поставленными по условиям симметрии. Однако такое упрощение модели приводит к пропуску описанной выше формы потери устойчивости, являющейся для оболочек с небольшим соотношением радиуса к толщине (R/8 ~ 100-250) первой.

Другой возможный сценарий - потеря устойчивости в предельной точке с образованием круговых симметрично расположенных канавок-вмятин вдоль полюсных параллелей (наиболее слабая зона с нулевой или почти нулевой гауссовой кривизной).

Рассмотренные замкнутые торообразные оболочки при действии внешнего давления теряют устойчивость «в малом» при сравнительно небольших отношениях R/5 ~ 100-250. При больших отношениях R/6 ~ 1000 бифуркационная потеря осесимметричного равновесия происходит «в большом». Однако все рассмотренные оболочки (в пределах R/5 ~ 100-1200) проявляют весьма малую чувствительность к начальным несовершенствам независимо от характера точки бифуркации идельной торообразной оболочки.

В четвертой главе представлен анализ решения задач устойчивости некоторых стержневых систем и оболочек, теряющих устойчивость за пределами упругости. Учитывалась геометрическая нелинейность моделей исследуемых объектов. Применялась теория пластического течения,

реализованная в используемых КЭ комплексах. В качестве диаграмм «сг-е» использованы диаграмма Прандтля и билинейная диаграмма с упрочнением.

На примере консольного центрально сжатого стержня исследованы возможности применения различных конечноэлементных моделей в задачах устойчивости равновесия с учетом геометрической и физической нелинейностей. Использована модель идеального упругопластического материала Прандтля. Рассмотрены четыре КЭ модели стержня:

• из объемных элементов (5*5x60) кубической формы;

• из плоских четырехузловых элементов (5x60), расположенных в плоскости потери устойчивости;

• из плоских четырехузловых элементов (5x60), теряющих устойчивость из плоскости деформирования;

• из 60 одномерных элементов.

Установлено, что для трех моделей критические нагрузки оказались практически одинаковыми (максимальное расхождение составило ДРкр = 2%, рисунок 7). Несколько большую нагрузку (ДРкр = 9%) выдержала модель из плоских КЭ, работавших при потере устойчивости «из плоскости». Отсюда следует, что для решения задач устойчивости с учетом физической и геометрической нелинейностей не обязательно строить объемные модели. Плоские изгибаемые элементы и даже балочные позволяют получать приемлемые результаты. Такие элементы значительно уменьшают размерность задачи (по сравнению с объемными КЭ) и, как следствие, сокращают время

На примере задачи устойчивости консольного центрально сжатого стержня (рисунок 8, а), имеющего билинейную модель материала с упрочнением, исследовано влияние начальных несовершенств в виде смещения точки приложения нагрузки (эксцентриситетов) относительно оси симметрии стержня. Такой стержень с использованием неограниченно линейно упругой модели

решения.

е (в плоскости ) 60x5 К")

plate (из плоскости) 60x5 КЭ

beam

сжимающая нагрузка, *107 Н Рисунок 7. Кривые «нагрузка - прогиб» для консольного продольно сжатого

стержня.

материала теряет устойчивость в точке устойчивой бифуркации, и кривые его равновесных состояний будут плавно возрастать с ростом нагрузки. Когда же материал стержня оказывается упругопластическим, центрально (и внецентренно) сжатый стержень теряет устойчивость «в большом» (рисунок 8, б). При этом падение критических нагрузок в предельных точках оказывается весьма сильно зависящим от величины начальных несовершенств (указанных эксцентриситетов).

Рисунок 8. Упругопластическая потеря устойчивости консольного продольно сжатого стержня: а) деформированный вид стержня; б) график падения величин критических нагрузок; в) кривые полных перемещений конца стержня.

При смещении точки приложения силы от центра на 0,01 м падение критической нагрузки составило -30%, а при эксцентриситете 0,04 м эта величина увеличилась до -52% (рисунок 8, в).

Симметричная рама с двумя сжатыми стойками в упругой постановке задачи слабо чувствительна к несовершенству в виде симметричного смещения точек приложения сил от узлов к оси симметрии рамы или от нее (на консоли). Такая рама теряет устойчивость в точке бифуркации «в малом» с переходом в кососимметричную форму. Однако, при расчете этой рамы с использованием диаграммы идеального упругопластического материала Прандтля потеря устойчивости происходит «в большом», а описанные выше симметричные несовершенства вызывают существенное уменьшение критических нагрузок. При смещении нагрузки на половину ширины стойки (эксцентриситет 2,5 см) критическая нагрузка падает на ДР = 29,6%.

SO см

Рисунок 9. Деформирование двухопорной швелерной балки: а) чертеж швеллерной балки; б) КЭ модель балки; в) кривая вертикльных перемещений

среднего сечения.

Устойчивость двухопорной швелерной балки, исследована в двух вариантах опорных закреплений: при двух неподвижных шарнирных опорах (рисунок 9, а) и варианте с одной подвижной и одной неподвижной опорами.

?ГИ Г; 0,3см д., .

Поведение материала балки описывалось диаграммой Прандтля. В первом варианте (две шарнирно неподвижных опоры) после достижения предельного пластического момента и развития относительно больших прогибов (-1/161/12 /) балка постепенно начинала работать преимущественно на растяжение вследствие развития сильных «цепных» усилий, воспринимаемых неподвижными опорами (рисунок 9, в, кривая 1). Сжатая зона постепенно уменьшалась и смещалась к верхнему поясу (рисунок 10). Никаких эффектов, связанных с потерей устойчивости стенки балки, не наблюдалось.

.:■■>«.;...„ III пни III illlliMlffT

„ .. , ""-••««i. сжатвязона-ц*<

:*МШШКГ ' - сас-иячутар зон«

Рисунок 10. Закритические деформации швеллерной балки на шарнирно-неподвижных опорах.

Во втором варианте (при одной шарнирно подвижной опоре) достижение предельной нагрузки (Ркр = 6,59 кН) сопровождалось локальной упругопластической потерей устойчивости полок швелерной балки вблизи наиболее нагруженной средней части. При этом интенсивно развивались закритические прогибы при одновременном снижении уровня внешней

нагрузки (рисунок 9, в, кривая 2). Это свидетельствовало о неустойчивости закритического упругопластического равновесия данной балки.

Результаты решения задачи устойчивости сфероидального днища химического резервуара, сечение которого представляет собой половину эллипса с полуосями 0,15 и 0,075 м, сопоставлены с экспериментальными критическими нагрузками, полученными В.И. Рачковым для оболочек с различным соотношением максимального радиуса к толщине днища. Разница между экспериментальными критическими нагрузками и нагрузками, найденными с помощью конечноэлементных моделей с неограниченно линейно упругим материалом, оказалась значительной (в ~3-10 раз в зависимости от отношения радиуса к толщине оболочки). При использовании упругопластической модели материала, подчиняющейся диаграмме Прандтля, установлено, что для относительно толстостенных оболочек (11/5=62,5) расчетные значения критического давления оказались весьма близки к экспериментальным (разница ~5-7%). При 11/5=103 погрешность критических нагрузок составила =13%; при 14/5=198 экспериментальные результаты оказались меньше расчетных примерно в 2 раза. Установлено, что характер упругопластической потери устойчивости достаточно близок к тому, который описан в статье В.Н. Рачкова - возникновение в окрестности полюса оболочки вмятины, размер которой быстро увеличивается при одновременном падении внешней нагрузки.

Устойчивость плоской

четырехпанельной фермы (рисунок 11, а), нагруженной двумя силами, исследована статическим и динамическим методами при использовании различных моделей материала ее стоек: линейно упругого (рисунок 11, б), нелинейно-упругого (рисунок 11, в) и упругопластического (рисунок 11, г).

При статическом нагружении критические нагрузки для фермы из нелинейно упругого и

упругопластического материалов за счет значительного уменьшения жесткости конструкции при сжатии оказались существенно ниже аналогичных нагрузок для фермы из неограниченно линейно упругого материала. Так если для линейно упругого материала Ркр, = 7200 Н, то для нелинейно упругого и упругопластического материалов вышеуказанная нагрузка при потере устойчивости «в малом» составила 952 Н и 984 Н соответственно. Учет разгрузки в модели упругопластического материала приводит к некоторому повышению критических нагрузок, по сравнению с нагрузками для фермы со стойками из нелинейно-упругого материала. Вторичные критические нагрузки «хлопка» из предельных точек оказались

б)

в)

Е = 2-10"Н/м->

Е,= 2.10"Н/ма Ег = 2,5-1 о'°НЛ1 о„,=2'10" Н/м2

Е,= 2.10"Н/м2 Е2= 2,5*Ю10Н/&1 Ооц-2-108 Н/м2

Рисунок 11. Устойчивость четырехпанельной фермы:

а) расчетная схема фермы;

б) линейно упругая модель материала; в) билинейная;

г) билинейная с учетом разгрузки.

равными Ркр2 = 1280 Н и 1568 Н для нелинейно-упругого и упругопластического материалов, соответственно.

При динамическом нагружении величины критических нагрузок существенно зависят от времени полного нагружения независимо от типа модели материала. Поэтому для вычисления статических критических нагрузок при помощи динамического подхода требуется брать достаточно большое время возрастания нагрузки (не менее 20-30 сек).

В пятой главе рассмотрены задачи анализа напряженно-деформированного состояния и устойчивости плоской рамы каркаса здания и двухбалочного мостового крана.

Анализ НДС плоской металлической рамы молочно-товарной фермы на КЭ модели, построенной из одномерных элементов, показал запас прочности по отношению к расчетным нагрузкам 1,54. Запас по перемещениям в этом случае составил 2,86 (рисунок 12). Модель рамы сооружения, построенная из конечных элементов - пластин, с шарнирным соединением колонн со стропильной балкой дала существенно более высокое значение максимальных эквивалентных (по четвертой теории прочности) напряжений (а[пах=233 МПа). Согласно результатам этого расчета запас прочности будет уже значительно ниже: 1,03 (вместо 1,54).

Если же допустить развитие пластических деформаций в конструкции, то возможно оценить реальный запас прочности. При использовании модели идеального пластического материала Прандтля установлено, что при воздействии на конструкцию нагрузок в 1,7 раза больше проектных в стропильных балках в области конька и около мест примыкания внутренних колонн образовались пластические шарниры.

Рисунок 12. Деформированный вид балочной модели рамы.

На основе анализа результатов расчета модели крана КЭ02К (грузоподъемность Юти пролет 28,5 м), выполненной из плоских четырехузловых элементов, показано, что наиболее «слабым» его звеном являются стенки пролетных балок, которые могут терять устойчивость (рисунок 13). Однако, напряжения в стенках в момент потери устойчивости (атах=1000 МПа), намного превышают предел текучести (от=328 МПа) для материала крана (сталь 09Г2С). Поэтому в целях определения критического веса груза выполнены расчеты с учетом физической нелинейности материала. Использованы диаграмма идеального пластического материала Прандтля и диаграмма стали 09Г2С, построенная по результатам испытания образцов на растяжение.

Рисунок 13. Форма потери устойчивости стенок пролетной балки.

Установлено, что в данной задаче результаты, полученные с использованием диаграммы Прандтля и реальной диаграммы, различаются незначительно. Разница величин критических нагрузок составила всего ДРкр.груза=2,5 %. Это позволяет сделать вывод о возможности использования упрощенных диаграмм работы материала в подобных расчетах.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Изучены потеря устойчивости и закритическое поведение широкого класса стержневых систем и оболочек при упругих и упругопластических деформациях.

2. Проанализирована возможность применения наиболее распространенных типов конечных элементов для решения задач устойчивости оболочек. Плоские четырехузловые элементы дают приемлемые значения критических нагрузок в задачах устойчивости оболочек нулевой и не нулевой гауссовой кривизны. Использование плоских трехузловых элементов в задачах устойчивости оболочек приводит к получению больших погрешностей величин критических нагрузок.

3. Изучена чувствительность к начальным несовершенствам при потере устойчивости в точках бифуркации и предельных точках. Показано, что наибольшая чувствительность к несовершенствам проявляется в точках неустойчивой бифуркации и по своей величине она, как и предсказывается теорией, подчиняется «закону 1/2» (для несимметричной бифуркации) и «закону 2/3» (в случае симметричной неустойчивой бифуркации).

4. Проанализировано влияние начальных несовершенств приложения сил на нагрузку потери устойчивости в упругопластической стадии работы материала. Обнаружено, что система, теряя устойчивость за пределами упругости, может быть сильно чувствительна к начальным несовершенствам даже при слабой чувствительности к несовершенствам в упругой постановке задачи.

5. Системы, теряющие устойчивость «в малом» при использовании линейно-упругой модели материала, могут терять устойчивость «в большом», если учитывать в задаче появление пластических деформаций.

6. Линеаризованный расчет на устойчивость не всегда позволяет адекватно оценивать критические нагрузки, если система теряет устойчивость в

предельной точке. В некоторых нелинейных задачах критическая нагрузка оказывалась в 2-3 раза меньше по сравнению с линейным расчетом.

7. Линеаризованный расчет в ряде случаев ошибочно оценивает влияние начальных несовершенств: дает повышение критической нагрузки вместо ее снижения, по мере роста эксцентриситетов приложения силы.

8. Эксперимент по изучению потери устойчивости преднапряженных арок подтвердил наличие двухступенчатой потери устойчивости для подъемистых арок, а также характер их чувствительности к начальным несовершенствам при потере устойчивости в точках бифуркации: устойчивой и неустойчивой. Результаты эксперимента хорошо согласуются с численными решениями, как в качественном, так и количественном отношении.

Основное содержание диссертации опубликовано в 33 работах.

В изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Бегичев, М.М. Исследование устойчивости круговых двухшарнирных арок с учетом влияния начальных несовершенств [Текст] / Г.А. Мануйлов, С.Б. Косицын, М.М. Бегичев // Строительная механика и расчет сооружений. — 2009.-№1,-С. 17-23.

2. Бегичев, М.М. Численное исследование процесса потери устойчивости продольно сжатой круговой цилиндрической оболочки [Текст] / Г.А. Мануйлов, С.Б. Косицын, М.М. Бегичев // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. - 2010. - Volume 6. - Issue 1&2.-P. 254-262.

3. Бегичев, М.М. Исследования устойчивости упругих пластин и оболочек при помощи конечно-элементного моделирования [Текст] / Г.А. Мануйлов, С.Б. Косицын, М.М. Бегичев // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. -2011. — №1. - С. 58-65.

4. Бегичев, М.М. Исследование устойчивости четырехпанельной фермы в условиях статического и динамического нагружений с учетом упругопластических деформаций [Текст] / М.М. Бегичев // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. - 2011. - Volume 7. - Issue 3.-P. 55-61.

5. Бегичев, М.М. Численное исследование пространственной устойчивости упругих круговых защемленных арок [Текст] / Г.А. Мануйлов, С.Б. Косицын, М.М. Бегичев // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. - 2013. - Volume 9. - Issue 1. - P. 78-84.

Основные публикации в других изданиях:

1. Бегичев, М.М. Исследование устойчивости упругих рам с учетом начальных несовершенств [Текст] / Г.А. Мануйлов, С.Б. Косицын, М.М. Бегичев // Труды Международной научно-практической конференции «Инженерные системы - 2009», Москва, 06 - 09 апреля 2009 г., М.: РУДН, 2009, Т. II. С. 273-279.

2. Бегичев, М.М. Особенности численного моделирования в задачах устойчивости упругих пластин и оболочек [Текст] / М.М. Бегичев // Труды

научно-практической конференции Неделя науки - 2010. «Наука МИИТа -. транспорту» М.: МИИТ, 2010. С. VI-61 - VI-62.

3. Бегичев, М.М. Численное исследование устойчивости осесимметричного равновесия геометрически нелинейных упругих пластин и оболочек [Текст] / Г.А. Мануйлов, С.Б. Косицын, М.М. Бегичев // Тезисы доклада 69 Научно-методической и научно-исследовательской конференции МАДГТУ (МАДИ). 31 января - 04 февраля 2011 г., М.: МАДИ, 2011 - С. 7 - 8.

4. Бегичев, М.М. Численное моделирование процессов потери устойчивости равновесия тонкостенных элементов конструкций в условиях упругопластических деформаций [Текст] / Г.А. Мануйлов, С.Б. Косицын, М.М. Бегичев // Труды III Международной научно-практической конференции «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы» (посвященной 100-летию со дня рождения Б.Г. Коренева), 17 ноября 2010 г. - М.: МГСУ. -2010.-С. 218-230.

5. Бегичев, М.М. Влияние параметра «растяжимости» на характер плоской потери устойчивости круговых арок [Текст] / Г.А. Мануйлов, С.Б. Косицын, М.М. Бегичев // Труды Международной научно-практической конференции «Инженерные системы - 2013», Москва, 24 - 26 апреля 2013 г., М.: РУДН 2013. С. 60-64.

Бегичев-Максим Михайлович

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ОБОЛОЧЕК ПРИ УПРУГИХ И ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ С УЧЕТОМ НАЧАЛЬНЫХ НЕСОВЕРШЕНСТВ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано к печати /ty.//» И- Формат 60x80 1/16

Объем 1,5 п.л. ¿hÜJgt&lbl Тираж 80 экз.

УПЦ ГИ МИИТ, Москва, 127994, ул. Образцова, д. 9, стр. 9

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения»

МГУПС (МИИТ)

На правах рукописи

04201450437

БЕГИЧЕВ Максим Михайлович

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ОБОЛОЧЕК ПРИ УПРУГИХ И ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ С УЧЕТОМ НАЧАЛЬНЫХ НЕСОВЕРШЕНСТВ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор

Косицын Сергей Борисович

Москва-2013

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ................................................................................................................6

ГЛАВА 1. ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ В ЗАДАЧАХ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ..................................................................................................................11

1.1 Обзор исследований устойчивости стержневых систем...........................11

1.2 Обзор теоретических и экспериментальных исследований устойчивости тонких оболочек........................................................................................................22

1.3 Учет физической нелинейности материалов..............................................37

1.4 Устойчивость равновесия упругих консервативных систем....................42

1.5 НДС и закритическое поведений тонкостенных конструкций................50

Выводы по главе 1...............................................................................................54

ГЛАВА 2. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ И ЗАКРИТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ ПЛОСКИХ УПРУГИХ РАМ И АРОК............................................55

2.1 Методика оценки чувствительности стержневых систем и оболочек к начальным несовершенствам в упругой постановке.............................................55

2.2 О сценариях потери устойчивости распорных систем «в большом».....62

2.3 Устойчивость упругих рам...........................................................................64

2.3.1 Рама с двумя сжатыми стержнями.......................................................65

2.3.2 Симметричные двухконтурные рамы..................................................67

2.3.3 Симметричная ферма с жесткими узлами...........................................69

2.3.4. Симметричная рама под действием несимметричной нагрузки......72

2.3.5 Несимметричные рамы с треугольными и прямоугольными контурами...............................................................................................................73

2.3.6 Пространственная устойчивость плоской рамы со сжатой стойкой.76

2.4 Устойчивость круговых арок «в плоскости» с учетом влияния начальных несовершенств...........................................................................................................78

2.4.1. Вводные замечания...............................................................................78

2.4.2. Анализ устойчивости равновесия двухшарнирных арок в плоскости. .................................................................................................................................80

2.4.3 Влияние параметра «растяжимости» на тип плоской потери устойчивости арок.................................................................................................92

2.4.4 Экспериментальное исследование устойчивости равновесия преднапряженных арок с учетом начальных несовершенств..........................96

2.5 Пространственная устойчивость круговых арок с учетом влияния начальных несовершенств......................................................................................102

2.5.1 Жесткозаделанные арки......................................................................102

2.5.2 Двухшарнирные арки..........................................................................110

Выводы по главе 2.............................................................................................116

ГЛАВА 3. УСТОЙЧИВОСТЬ И ЗАКРИТИЧЕСКИЕ РАВНОВЕСИЯ УПРУГИХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК.....................................................................117

3.1 Вводные замечания.....................................................................................117

3.2 Круглая шарнирно опертая пластина при больших прогибах...............117

3.3 Пологий сферический сегмент..................................................................126

3.4 Непологий сферический сегмент..............................................................129

3.4.1 Непологий сферический сегмент под действием распределенной нагрузки................................................................................................................129

3.4.2 Непологий сферический сегмент под действием сосредоточенной силы......................................................................................................................132

3.5 Замкнутая сферическая оболочка..............................................................135

3.6 Цилиндрическая оболочка при осевом сжатии........................................146

3.7. Торообразная оболочка под действием внешнего давления.................158

Выводы по главе 3.............................................................................................167

3

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ И ОБОЛОЧЕЧНЫХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧЕСКИХ

ДЕФОРМАЦИЙ..........................................................................................................171

4Л Анализ особенностей работы КЭ различных типов в задачах устойчивости с учетом геометрической и физической нелинейностей............171

4.2 Консольный стержень и рама с двумя сжатыми стойками....................173

4.3 Швеллерная балка на двух опорах............................................................176

4.4 Сфероидальное днище под действием равномерного внешнего давления ...................................................................................................................................178

4.5 Сравнительный анализ устойчивости четырехпанельной фермы с использованием различных моделей материала..................................................180

4.5.1 Модели материала для учета физической нелинейности................180

4.5.2 Материал стоек фермы - линейно упругий......................................182

4.5.3 Материал стоек фермы - нелинейно-упругий..................................184

4.5.4 Материал стоек фермы - упругопластический.................................186

4.5.5 Анализ результатов расчетов..............................................................188

Выводы по главе 4.............................................................................................189

ГЛАВА 5. КРИТИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ И УСТОЙЧИВОСТЬ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ........................................................................191

5.1 Анализ напряженно-деформированного состояния и устойчивости плоской рамы каркаса здания................................................................................191

5.2 Устойчивость стенок пролетной балки мостового крана.......................198

Выводы по главе 5.............................................................................................205

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ........................................................206

Список литературы...............................................................................................208

Приложение 1. Программа-макрос для задания несовершенств геометрии модели.......................................................................................................................228

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Стремительный прогресс в области вычислительных технологий позволил разработать и внедрить в инженерную практику большое число мощных программных комплексов, чаще всего основанных на методе конечных элементов (МКЭ). Однако, недостаточное внимание к особенностям решения даже относительно простых классических задач устойчивости равновесия стержневых систем и оболочек с применением МКЭ в ряде случаев приводит к получению ошибочных результатов, которые могут привести к катастрофическим последствиям.

Результаты ряда экспериментальных исследований показали, что расчеты оболочек по линейной теории порой дают завышенные (а иногда и сильно завышенные) значения величин критических нагрузок. Реальные системы часто теряют устойчивость при нагрузках меньших, чем показывает расчет. Нелинейная теория дает результаты, более близкие к экспериментальным данным, поэтому развивать исследования устойчивости стержневых и оболочечных систем в дальнейшем целесообразно путем учета геометрической нелинейности.

На практике элементы конструкций всегда имеют начальные несовершенства. Они могут представлять собой как отклонения геометрии от идеальной (прямолинейной, цилиндрической, сферической и т.д.) формы, так и изменчивость эксцентриситетов приложения нагрузок. Многие реальные тонкостенные системы весьма сильно чувствительны к упомянутым выше несовершенствам, что приводит к заметному снижению критических нагрузок потери устойчивости.

Решение задач устойчивости в эйлеровой постановке с линейно упругими материалами не всегда корректно, так как не отражает в полной мере особенности работы материала исследуемой системы. В связи с этим для повышения точности решения задач устойчивости равновесия стержневых систем и оболочек необходимо учитывать физическую нелинейность.

Учет больших перемещений и работы материала за пределом упругости при анализе устойчивости конструкций и их элементов приводит к необходимости решения значительно более сложных и трудоемких нелинейных уравнений, поэтому тема настоящей диссертации, посвященной анализу особенностей решения нелинейных задач устойчивости равновесия стержневых систем и оболочек методом конечных элементов, актуальна.

Целью работы является совершенствование методов оценки влияния начальных несовершенств на величины критических нагрузок потери устойчивости стержневых систем и оболочек.

Задачи исследования.

1. Разработка методики оценки поведения стержневых систем и тонкостенных оболочек с начальными несовершенствами в нелинейной постановке.

2. Сравнительный анализ критических нагрузок, полученных в результате линейного и нелинейного расчетов рассматриваемых объектов в упругой стадии деформирования материала, оценка возможностей и ограничений линеаризованного анализа.

3. Оценка влияния начальных несовершенств на величины критических нагрузок для систем, имеющих неустойчивое закритическое поведение.

4. Проверка работоспособности существующих наиболее распространенных типов конечных элементов в задачах устойчивости равновесия в геометрически нелинейной постановке и оценка влияния конечноэлементной дискретизации на критические нагрузки потери устойчивости, а также закритическое поведение стержневых систем и оболочек.

5. Проведение эксперимента для подтверждения оценок влияния начальных несовершенств на критические нагрузки потери устойчивости преднапряженных арок.

6. Анализ напряженно-деформированного состояния и потери устойчивости металлической рамы молочно-товарной фермы и двухбалочного мостового крана.

Научная новизна.

Разработана методика оценки влияния начальных несовершенств на величины критических нагрузок потери устойчивости элементов тонкостенных конструкций, основанная на представлениях о «наихудших несовершенствах».

Определены схемы потери устойчивости упругих стержневых систем и некоторых оболочек в зависимости от геометрических и жесткостных характеристик с учетом геометрической нелинейности.

Получены экспериментальные данные о влиянии приложения сосредоточенных нагрузок с эксцентриситетом к упругим преднапряженным аркам со стрелой подъема различной величины на характер потери устойчивости. Преднапряженные арки с устойчивым закритическим поведением слабо чувствительны к приложению нагрузки с эксцентриситетом.

Установлены критерии чувствительности стержневых систем и некоторых оболочек к начальным несовершенствам в упругой постановке задачи: высокую чувствительность к несовершенствам проявляют системы, теряющие устойчивость в точке симметричной неустойчивой бифуркации, а также в точке несимметричной бифуркации (при реализации неустойчивой ветви равновесий); слабую чувствительность к несовершенствам проявляют системы, теряющие устойчивость в предельной точке, а также в точке симметричной устойчивой бифуркации.

Установлено, что линеаризованный анализ в задачах устойчивости в ряде случаев некорректно учитывает влияние начальных несовершенств и дает увеличение величины критической нагрузки вместо ее снижения.

Показано, что учет упругопластических деформаций может приводить к неустойчивому закритическому поведению и высокой чувствительности к начальным несовершенствам, что вызывает сильное снижение критических нагрузок.

Достоверность результатов.

В основу методики положены корректные математические и конечноэлементные модели. Результаты тестовых расчетов сопоставлены с

данными экспериментов, проведенных ранее другими учеными, а также с известными решениями и дают хорошее совпадение.

Достоверность расчетов также подтверждается анализом сходимости численных решений при различной густоте конечноэлементной сетки.

Результаты экспериментов автора по устойчивости преднапряженных арок с учетом начальных несовершенств хорошо согласуются с численными решениями, как качественно, так и в количественном отношении.

Практическая ценность работы состоит:

> в разработанной методике оценки влияния начальных несовершенств на величины критических нагрузок потери устойчивости элементов тонкостенных конструкций;

в критериях, определяющих чувствительность стержневых систем и некоторых оболочек к начальным несовершенствам;

> в полученных предельных нагрузках для металлической рамы молочнотоварной фермы и двухбалочного мостового крана.

Апробация работы.

Основные результаты работы доложены и опубликованы в трудах и тезисах докладов следующих научно-технических конференций.

> 67, 68, 69, 70, 71 Научно-методическая и научно-исследовательская конференция МАДГТУ (МАДИ). Подсекция «Строительная механика и вопросы надежности на транспорте». 2009, 2010, 2011, 2012, 2013 г.

> Международная научно-практическая конференция «Инженерные системы», Москва, РУДН, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013 г.

> III Международная научно-практическая конференция «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы» (посвященная 100-летию со дня рождения Б.Г. Коренева), Москва, МГСУ, 17 ноября 2010 г.

> IV Международная научно-практическая конференция «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и

численные методы» (посвященная 100-летию со дня рождения А.Р. Ржаницына), Москва, МГСУ, 29 июня 2011 г.

> Международная научная конференцию "Задачи и методы компьютерного моделирования конструкций и сооружений" ("Золотовские чтения"). Москва, МГСУ, 2012, 2013 г.

>XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI Российская конференция пользователей программного обеспечения фирмы MSC SOFTWARE Corporation. M.: 2008, 2009, 2010, 2011,2012, 2013 г.

> VII Международная научно-практическая конференция «Trans-Mech-Art-Chem», M.: МИИТ, 2010.

> Конференция «Наука МИИТа транспорту», М.: МРШТ 2008, 2009, 2010, 2011,2012, 2013 г.

Публикации.

Основные положения диссертации опубликованы в 33 печатных работах. Из них 5 в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК РФ.

На защиту выносятся.

> Результаты численного анализа устойчивости и закритического поведения стержневых систем и оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей.

> Результаты оценки влияния геометрических и жесткостных параметров на характер сценариев плоской и пространственной потери устойчивости равновесия круговых арок.

> Сравнительный анализ теоретических и экспериментальных исследований устойчивости равновесия плоских преднапряженных двухшарнирных арок.

> Результаты оценки влияния начальных несовершенств геометрии и приложенных к системе сил на величины критических нагрузок потери устойчивости для некоторых тонкостенных систем с различными типами закритического поведения.

ГЛАВА 1. ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ В ЗАДАЧАХ СТРОИТЕЛЬНОЙ

МЕХАНИКИ

1.1 Обзор исследований устойчивости стержневых систем.

Задача об устойчивости равновесия упругих стержневых систем известна исследователям уже более двухсот лет, однако и в настоящее время не потеряла своей актуальности.

Первым ученым, который ввел в механику понятие устойчивости равновесия упругих стержневых систем, был Эйлер. Предложенный им в 1744 г. подход впоследствии был развит Ж. Лагранжем.

На существование проблемы расчета сооружений на устойчивость указали катастрофы, произошедшие в конце XIX - начале XX века (крушение Кевдинского моста в России в 1875 г., Менхенштейнского моста в Швейцарии в 1891г., Квебекского моста через р. св. Лаврентия в 1907 г., Гамбургского газгольдера в 1907 г. и др. [99]).

Ряд исследователей добились результатов в изучении вопросов устойчивости: проф. Ф.С Ясинский [142] решил задачу об устойчивости сжатого верхнего пояса открытых мостов; акад. А.Н. Динник [43] и Р.В. Саусвелл [192] решили целый ряд сложных задач по устойчивости и, в частности, задачу об устойчивости сжатого стержня на упругих опорах; проф. С.П. Тимошенко [121] развил энергетический метод расчета упругих систем; В.В. Болотин [15, 16] дал формулировку и строгое обоснование вариационного критерия устойчивости равновесия упругих тел; проф. И.Г. Бубнов предложил приближенный метод, не требующий вычисления потенциальной энергии, который был развит акад. Б.Г. Галеркиным [28]. Неоценимый вклад в развитие теории устойчивости сооружений также внесли A.B. Александров [2], H.A. Ал футов [5], В.В. Болотин [15], В. Будянский [149], Д. Бушнелл [19], В.З. Власов [22], A.C. Вольмир [24], И.И. Ворович [26], Г.Ю. Джанелидзе, Л. Доннел [44], A.A. Ильюшин, Т. Карман [170], В.Т. Койтер [175], Н.В. Корноухов [61], Р. Мизес [181], Е.Л. Николаи, В.В.

Новожилов [85], Я.Л. Нудельман [86], Я.Г. Пановко [89], П.Ф. Папкович, Ю.Н.

11

Работнов [103], А.Р. Ржаницин [107], А.Ф. Смирнов [112], В. Твергард [116], JI. Тетмайер, С.П. Тимошенко [121], Дж. Томпсон [122], В.И. Феодосьев [128], Дж. Хант [168], Дж. Хатчинсон [169], Н.Дж. Хофф [134], Р. Хилл [132], В.Л. Якушев [139].

В наши дни проблема устойчивости равновесия