автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Численный анализ деформирования и устойчивости пластин и пологих оболочек с учетом больших перемещений и нелинейной работы материала

005045555

На правах рукописи

ИВАНОВ СЕРГЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ БОЛЬШИХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ РАБОТЫ МАТЕРИАЛА

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

- 7 ш 2012

Москва 2012

005045555

Работа выполнена в ОАО «НИЦ «Строительство» - Центральном научно-исследовательском институте строительных конструкций им.В.А.Кучеренко (ЦНИИСК им.В.А.Кучеренко)

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Трушин Сергей Иванович

Официальные оппоненты: Косицын Сергей Борисович

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет путей сообщения», заведующий кафедрой «Теоретическая механика»

Клейн Владимир Георгиевич

кандидат технических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ)», профессор кафедры строительной механики

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Российский универси-

тет дружбы народов»

Защита состоится «28» июня 2012 года в 12:00 час. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» по адресу: 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, ауд. № 9 «Открытая сеть»..

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет».

Автореферат разослан « ЯЛ » 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Николай Николаевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В связи с применением в практике строительства оболочечных конструкций и использованием конструкционных материалов, обладающих пластическими свойствами, важным вопросом является разработка эффективных численных методик расчета пространственных систем на прочность и устойчивость в нелинейной постановке с оценкой предельных и бифуркационных нагрузок.

При расчете несущих конструкций реальных сооружений требуется оценка их структурной устойчивости при выключении из работы отдельных элементов или опорных связей. В этом случае при изменении конструктивной схемы оболочки в ней, как правило, возникают большие перемещения, а также пластические деформации. В связи с этим вопросы разработки численных методик и алгоритмов решения задач деформирования и устойчивости тонкостенных пространственных конструкций с учетом геометрической и физической нелинейностей являются актуальными.

Цели работы

1. Построить базовую математическую модель тонких и средней толщины пластин и оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей, ориентированную на численную реализацию решения.

2. Разработать численные методики решения задач устойчивости в геометрически и физически нелинейной постановке на базе вариационно-разностного подхода и метода продолжения по параметру.

3. Создать алгоритмы решения задачи устойчивости и реализовать разработанные алгоритмы в виде программного обеспечения для ЭВМ.

4. Выполнить расчеты пластин и оболочек на различные виды воздействий.

Научная новизна работы

1. Получен вариант энергетического функционала Лагранжа теории пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига, геометрической нелинейности и физической нелинейности по теории малых упругопластиче-ских деформаций.

2. Разработана методика решения геометрически и физически нелинейной задачи на основе вариационно-разностного подхода с использованием метода продолжения решения по параметру.

3. Решен ряд задач расчета гибких тонкостенных пространственных конструкций при различных видах воздействий в физически линейной и физически нелинейной постановках.

4. Выполнены расчеты пологих нелинейно деформируемых цилиндрических оболочек при выключении из работы отдельных опорных связей.

Достоверность результатов

В основе методики лежат корректные математические модели и методы решения нелинейных задач. Решение ряда тестовых задач дает хорошее совпадение полученных численных результатов с расчетными данными других

авторов. Достоверность результатов подтверждается также анализом сходимости численных решений при различной густоте разностной сетки.

Практическая ценность работы

Разработано программное обеспечение для ЭВМ на языке FORTRAN 90/95, позволяющее выполнять расчет изотропных пластин и оболочек при различных видах статического и кинематического воздействия с учетом деформаций поперечного сдвига, геометрической нелинейности и неупругой работы материала.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались или опубликованы в трудах и тезисах докладов научно-технических конференций:

- Международная научно-практическая конференция «Инженерные си-стемы-2009» (РУДН, Москва, 2009 г.);

- 23-я международная конференция BEM&FEM-2009 (Санкт-Петербург, 2009 г.);

- Международная научно-практическая конференция «Инженерные си-стемы-2010» (РУДН, Москва, 2010 г.);

- Научная сессия «Актуальные вопросы исследований и проектирования пространственных конструкций с применением физического и компьютерного моделирования» (НИИЖБ, Москва, 2011);

- Научный семинар кафедры строительной механики МГСУ (Москва, 2011 г.).

Публикации

По теме работы имеется 9 публикаций.

На защиту выносятся

1. Численная методика решения задач устойчивости нелинейно деформируемых оболочек из неупругих материалов.

2. Результаты исследования устойчивости и напряженно-деформированного состояния оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей.

3. Анализ влияния геометрических характеристик, граничных условий и начальных несовершенств на устойчивость оболочек из неупругих материалов.

4. Результаты исследования напряженно-деформированного состояния оболочек из упругопластического материала при сложном нагружении.

Объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 112 наименований. Общий объем диссертации составляет 133 страницы, в текст включены 77 рисунков и 7 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи работы, изложены основные положения, которые выносятся на защиту.

В первой главе приводится обзор литературы по теории и численным методам расчета оболочек, а также по методам решения нелинейных задач.

Основы геометрически нелинейной теории оболочек были заложены работой Маргерра, хотя идейные вопросы этой теории обсуждались еще раньше в работах Навье, С. П. Тимошенко и Бицено по прощелкиванию стержней и сферического купола.

Теории оболочек и методам расчета тонкостенных конструкций посвящено большое число работ, среди которых можно отметить работы A.A. Амосова, В.З. Власова, A.C. Вольмира, К.З. Галимова, А.Л. Гольденвейзера, Э.И. Григолюка, В.Н.Иванова, В.В.Карпова, Н.В.Колкунова, С.Н.Кривошапко, И.Е.Милейковского, Х.М. Муштари, В.В. Новожилова, А.Р. Ржаницына'

B.А.Смирнова, Л.Ю.Ступишина, С.П. Тимошенко, В.В.Шугаева и др. Рассмотрены численные методы решения задач строительной механики,

такие как метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод граничных элементов, вариационно-разностный метод. Отмечаются их достоинства и недостатки. Вопросы построения и реализации данных численных методов рассмотрены в работах Н.П.Абовского, П.А.Акимова, A.M. Белостоц-кого Д.В. Вайнберга, Р.Ф.Габбасова, А.Б. Золотова, С.Б.Косицына, Г.А. Мануйлова, В.А. Постнова, В.И. Прокопьева, Л.А. Розина, В.Н. Сидорова,

C.И.Трушина, H.H. Шапошникова, В.Л. Якушева, К.-Ю. Бате, Е.Вилсона, р! Галлагера, О.Зенкевича, Р. Клафа и других авторов.

Применение в рамках перечисленных методов исходных нелинейных геометрических и физических соотношений приводит к системе нелинейных алгебраических уравнений. Наиболее эффективным методом решения таких задач является метод продолжения решения по параметру, который рассматривался В.З.Власовым, И.И.Воровичем, В.В. Петровым, В.И.Шалашилиным, М.Крисфилдом, Э.Риксом и другими.

Во второй главе приведен вывод геометрических соотношений с учетом больших перемещений и деформаций поперечного сдвига, физических соотношений теории оболочек для неупругих материалов с применением теории малых упругопластических деформаций, а также функционала Лагранжа теории изотропных оболочек в физически нелинейной постановке.

Оболочка рассматривается в системе ортогональных криволинейных координат oti , оь , z, при этом оси а, и а2 совпадают с линиями главных кривизн. Исходные нелинейные геометрические соотношения имеют вид: £n(oii , a2,z) = en (а, , а2 )+zkm((xi , а2 ); s22(ai , а2 , z ) = е22 (а, , а2 ) + zK22(aj , а2 );

е12(а, , а2 , z ) = е12 (а, , а2 ) + гк,2(а, , а2 ); (1)

£i3(a, , а2 , z ) = е13 (а, , а2 ) ; е23(а, , а2 , z ) = е23 (а! , а2 ), где еи, е22, е12, е,3, е23 - деформации срединной поверхности оболочки, которые для пологой оболочки в декартовой системе координат х, у запишутся следующим образом:

1 1

— w + -дх Rl 2

'ЭиЛ2 8v 1 V" л2 — ; е27= — + — w+-дх J 2- ду R2 2

d\v) ди ov dw d\v

— =--v — +---;

ду J ду дх дх ду ^

_ S0, _ дв2 _ дв2 50, а . _ Svf fi

К11~—! К22--К12_ е\3 ~ + е23 _ ^ h "2'

ох ду дх ду дх ду

где и и v - тангенциальные перемещения в срединной поверхности оболочки; w — нормальные перемещения; 0i и 92 — углы поворота поперечного сечения соответственно в плоскостях xz и yz\ R\ и R2 — радиусы кривизны соответственно в плоскостях xz и yz.

При расчете тонкостенных пространственных конструкций в нелинейной постановке с использованием вариационно-разностного метода возникает необходимость построения матриц вторых производных дискретного аналога исходного функционала. В связи с этим для формулировки краевой задачи записаны исходные геометрические соотношения, связывающие приращения деформаций с приращениями перемещений. При выводе зависимостей между усилиями и деформациями для описания поведения материала используется теория малых упругопластических деформаций. При этом полагается, что зависимость между интенсивностью деформаций и интенсивностью напряжений изначально задана и одинакова для всех точек оболочки.

Напряженное состояние оболочки характеризуется внутренними погонными усилиями Nu,N22,Nn,Mu,M22,Mn,Qi3,Q23, которые определяются по формулам:

Nu = Вп( а„ a2)el X+Bl2{ cq, а 2)е22+С, ^сц, а2)к, 1+С12(а„ а2)к22; N22 = 521(а1,а2)е11+522(а1,а2)е22+С21(а1,а2)к11+С22(а„а2)к22; Nn = 53з(а1,а2)е12+сзз(а1,а2)к12;

Ми =С11(а„а2)е11+С12(а1,а2)е22+£>11(а1,а2)к11+Д2(а1,а2)к22; (3)

М22 = С21(а[,а2)е11+С22(а1,а2)е22+£>21(а1,а2)к11+Д22(а1,а2)к:22;

МХ2 = С3з(а1' аг)е12+Аз(а1' «2)к12; Q3 = 533(а1,а2)е13; Q23 = 533(а,,а2)е23. Коэффициенты, входящие в (3), имеют следующий вид:

А/2 0 j hl2 С V

511(а„а2) = Л22(а„а2)= f -i--—Tdz; В12(а„а2) = 521(а,,а2) = f тdz;

J/2£.1-v2 -Inh 1-v2

Л/2 c Л/2 ^

С11(а„а2) = С22(а1,а,)= f -i-—Ц-ife; С12(а„а2) = С21(а„а2) = J ^-rfz;

-Л/2 £/ 1-V' -Л/2 1-V2

Л/2 j Л/2

В„(а„а2)= J -¿-_---cfe; С33(а,,а2) = J <fe; (4)

-л/2 Е; 2(1+v) _in s, 2(l + v)

л/2 cj z2 hn cj v^2

£>п(а,,а2)= f —Tit; Д2(а„а2) = 021(а„а2)= J

-л/2 Е/ 1-v2 -ii/2 E/ 1— v"

л/2 ст £>33(а,,а2) = f

где А - толщина оболочки; е( - интенсивность деформаций; а,- - интенсивность напряжений; v - коэффициент Пуассона; г - координата по нормали к срединной поверхности.

Представим полные деформации оболочки как суммы упругих и пластических деформаций:

е,1 = <, + <,; Е22=е«2+е£2; Е12=ЕГ2+ей; е13=Е'13+^3; е23 =Е53 + Е£, (5) где деформации с индексом е - упругие, а с индексом р - пластические. Записывая теперь выражение для полной потенциальной энергии оболочки с

учетом соотношений (3), (4) и (5), получим:

п п

где N = {^ПМ22Ы12М1ХМ22МХ-^Х^2Ъ)Т - вектор усилий, вычисляемых по формулам (3); г = (,епе22е12кик22к12е13еп)т - вектор деформаций срединной поверхности; q = (qlq 2Ягтхт2)т - вектор внешней нагрузки; и = {и VIV 0( в2У - вектор обобщенных перемещений, а вектор

содержит особые величины, вычисляющиеся по формулам:

Н'? Е ! \ 1,12 Р /

Л■' = I I /

-«21 У -Л/2 .¿/22(1 + У)

Н',2 /Г - / \ ;,/2 С / А/2

-л/21 у -ьп^-ч ¿,2(1 +у)

-Л/2

''/2 р Л/2 „

> г с*-

где Ес = ст, /е, - секущий модуль упругости.

Уравнениями Эйлера функционала (6) являются уравнения равновесия в перемещениях (система уравнений десятого порядка).

В третьей главе приведены описания численных методик решения задач устойчивости с учетом физической нелинейности, а также результаты решения тестовых задач.

Алгоритм формирования разрешающих уравнений ВРМ включает в себя следующие основные этапы:

1. Область изменения независимых переменных О разбивается на элементарные ячейки.

2. Значения искомой функции, доставляющей стационарное значение функционалу энергии, и ее производные в каждой ячейке приближенно задаются через значения функции в узловых точках.

3. Интегралы по ячейкам заменяются приближенными квадратурными формулами.

4. Для

скалярной функции векторного аргумента, которая является дискретным аналогом исходного функционала, записывается необходимое усло-

вие стационарности. При фиксированном значении параметра нагрузки оно дает систему нелинейных алгебраических уравнений, представляющих собой уравнения Эйлера.

Предположим, что на область О наложена сетка х^ = ха+Иц\ /=0, 1,..., Л]; у'=0, 1,..., и2; /;=тах (/?,, /г2),

где 1ц, /?2 - линейные размеры ячейки в направлении координатных осей.

Рассмотрим ячейку области О с вершинами в точках (.т„ у,), (*„ >'г О, (х, - ], _ ]) и обозначим значения сеточных функций в этих точках и0, и1, и2, и3 соответственно. Функционал энергии ./(и) может быть представлен в виде суммы интегралов по ячейкам сетки J = ^JJiJ . Для вычисления инте-

(8)

грала .]ч по ячейке используется его дискретный аналог Iч:

5 = 1 т=О "1/н=0 "2"1®

где/- подынтегральная функция; N - число подсчетов функции по ячейке; ит - значения искомых функций перемещений в узлах; с, а, р, у - параметры схемы.

Для того, чтобы разностно-квадратурная аппроксимация (8) имела порядок относительной погрешности 0{И2), параметры схемы должны удовлетворять дополнительным соотношениям. Для единственности решения дискретной задачи необходимо потребовать, чтобы аппроксимационная схема сохраняла свойство строгой выпуклости исходного функционала. Кроме того, в целях построения наиболее экономичных схем, желательно, чтобы число подсчетов подынтегральной функции было минимальным.

При N = 4 симметричная аппроксимационная схема, сохраняющая свойство строгой выпуклости, может быть представлена в виде:

/

т=О

¿1

+ /

V~2, m U -U U Lar»u >—7—>--;

т=0 «1 I

+ /

^ 3 - «'-и° и3 - и'

>--7->—7-

т=0 «1 «2

+ /

т=О

4 т U —W U' —U

(9)

¿1 ^

Далее представим уравнение равновесия оболочки в виде: F(u,p) = VW(u)-pQ = 0, (10)

где УЩи) - градиент потенциальной энергии деформации; Q - нормированный вектор узловых нагрузок.

Будем полагать, что все компоненты вектора перемещений и параметр нагрузки являются функциями некоторого параметра s и каждому значению этого параметра однозначно соответствует некоторое равновесное состояние u(s), p(s). При решении рассматриваемого класса задач наиболее целесообразным представляется подход, основанный на введении дополнительно к N уравнениям (10) N+l-ro вспомогательного уравнения типа:

F0(u,p,s) = 0. (11)

Наиболее целесообразно принять в качестве ведущего параметра длину дуги 5 кривой состояний равновесия рассматриваемой механической системы, задаваемую соотношением:

Д52=£лг/,2+А^2

i=i

(12)

В итерационных методах на каждом уровне нагружения т , которому соответствует значение параметра продолжения sm , искомые функции и(хт) и находятся путем последовательных приближений к точному решению В качестве начального приближения обычно выбираются значения н^»,.,) и p(sm.¡) с предыдущего шага нагружения. Одним из наиболее эффективных, с вычислительной точки зрения, методов решения рассматриваемого класса задач является метод Ньютона-Рафсона, численная процедура для которого может быть записана в виде:

VW(0)A«*+1 = QApl+1 +Qpk(sJ-VW(uk(sm)l

им=ик+х"Аиш, (13)

где к - номер итерации; uk{sm), p\sm) - значения искомых функций на итерации с номером к; и + - значение искомой функции на итерации с номером к +1; Дн™, Д

приращения функций на последующей итерации;

V Щи (хт)) - матрица Гессе (матрица вторых производных) функции

Щи СО) ; WW{u\sm)) - градиент функции W{u\sm)) ■ т* - итерационный параметр.

Эффективный численный алгоритм, обладающий высокой точностью и не накапливающий погрешность вычислений, может быть построен путем применения процедуры Рунге-Кутга четвертого порядка, сводящейся к последовательному решению систем уравнений:

V2W(uk)Auk = QApk + Qpk - VlV(uk); П4л

II Auk 12+(Др*)2 = As2.

При определении компонентов вектора градиента и коэффициентов матрицы Гессе используется подход, основанный на вычислении первых и вторых производных Щи) по своим явным выражениям.

В случае упругого материала коэффициенты матрицы Гессе и компоненты вектора градиента определяются на основе формул (3) и (4) без учета представлений (5),

при этом деформационные характеристики материала — модуль упругости, коэффициент Пуассона - принимаются равными их начальным значениям и не изменяются. В случае же неупругого материала при вычислении интегралов в формулах (4) используется явная зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций в каждой точке оболочки. Для вычисления интегралов в разработанной методике используется формула трапеций с фиксированным шагом.

В разработанном численном алгоритме используется приближенная диаграмма работы материала, приведенная на рис. 1. При этом зависимость £, приравнивается к зависимости e-a, a нелинейные ветви разгрузки

материала приближенно заменяются линейно-упругой разгрузкой с начальным модулем упругости (участки ВС, СБ, БЕ на диаграмме на рис. 1).

Рис. 1. Приближенная диаграмма работы материала.

Зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций задается таблично, затем аппроксимируется кубическими сплайнами для получения зависимости ст, = /(е,), где /- кусочно-полиномиальная функция от е, . Зависимость ст, = /(е,) используется при вычислении интегралов в формулах (4), (7). Для этого оболочка разбивается по толщине на некоторое количество участков. Далее численный алгоритм для каждого элемента оболочки на одной итерации к представляет собой цикл подсчета интегралов в формулах (4) и (7) по толщине (по координате г) по формуле трапеций.

Цикл включает в себя следующие операции (для каждого узла у по толщине):

1) Вычисляются полные деформации (1). Затем вычисляется интенсивность деформаций на текущей итерации б* и приращение интенсивности деформаций Де* = £* — е?-1-

2) Вычисляется секущий модуль на предыдущей итерации. На первой итерации принимается начальный модуль упругости.

3) Проверяется знак Де* . В зависимости от него, а также от значения ст, и е, на предыдущей итерации, определяется, в какой стадии нагружения или разгрузки находится материал в каждой точке оболочки, в соответствии с чем определяются ст, на текущей итерации. Если материал после активного нагружения переходит в стадию разгрузки, то выполняются следующие операции:

- вычисляются напряжения в данной точке оболочки по закону Гука, но с использованием секущего модуля с предыдущей итерации:

I — v 2(1 +у)

/г*"1 р4-1 —

^э = ^гтт^з; = где ЕГ = СТ'

4-1

2(123 2(1 +у) £.

- вычисляется пластическая часть деформации.

^ = е?, - « - ™122); = Аг - ~~ ;

«Й* =е*3^ = (16)

°о Сг0 С0

- вычисляется интенсивность напряжений на текущей итерации по формуле

, с А к

СТ, =ст, +£0Ле,., (17)

т.е. реализуется разгрузка материала по линейному закону, при этом модуль упругости материала принимается равным начальному Е0 .

При активном нагружении интенсивность напряжений вычисляется по формуле ст* = /(е*), а при повторной догрузке после стадии разгрузки - по формуле (17). Момент перехода с линейной ветви диаграммы на нелинейную определяется в зависимости от значения е, в момент начала разгрузки.

3) Вычисляется секущий модуль на текущей итерации и коэффициент Пуассона на текущей итерации.

4) Прибавка у'-х слагаемых при вычислении интегралов в формулах (4) и

В результате вышеприведенных вычислений формируется упругопласти-ческая матрица содержащая коэффициенты при деформациях в правых частях (3), для одного элемента, и вектор для того же элемента.

Поскольку N = о':рг, то функционал полной потенциальной энергии записывается в виде:

П('<) = ЯГ^М-О^)] сК1-\[(ч,и)сК1. (18)

Л п

Разработанный алгоритм апробирован на следующих тестовых задачах: задаче об изгибе прямоугольной пластины из упругопластического материала, задаче о пологой цилиндрической панели из упругопластического материала под действием равномерно распределенной нагрузки (схема оболочки приведена на рис. 2, а), а также осесимметричной задаче о цилиндрическом резервуаре с защемленной в уровне днища стенкой под действием гидростатического давления жидкости (рис. 2, б). На рис. 3 приведена диаграмма работы материала.

На рис. 4 приведены кривые равновесных состояний для прогибов в центральной точке изгибаемой пластины размерами в плане а = 6 = 1 м и толщиной /; = 0,05 м, при использовании длины дуги кривой равновесных со-

стояний по схеме Крисфилда в качестве ведущего параметра. Сплошной линией показаны кривые, полученные с использованием метода Ньютона-Рафсона, штриховой линией - самокорректирующегося метода Рунге-Кутта. При этом более тонкие линии соответствуют расчету с сеткой 4x4 элемента, более толстые - 16x16 элементов. Квадратами показаны значения, полученные при расчете методом конечных разностей с использованием теории Кирхгофа-Лява в работе А.И. Стрельбицкой, В.А. Колгадина и С.П. Матош-ко, треугольниками - полученные при расчете МКЭ в ПК Лира (сетка 16x16 элементов). На рис. 5 приведены кривые равновесных состояний для прогибов в центральной точке оболочки при разной густоте сетки. Штриховой линией показаны кривые, соответствующие сетке элементов 4x4, штрихлунктирной — 8x8, сплошной — 16x16. В табл.1 приведено сравнение величин верхних критических нагрузок при различной густоте сетки, в табл.

Рис. 3. Диаграмма работы материала Рис. 4. Кривые равновесных состоя-(зависимость а, (е,)). ний квадратной пластины.

дг, кг/см2

Рис. 5. Кривые равновесных состояний цилиндрической оболочки. Метод Ньютона-Рафсона.

Табл. 1. Сравнение результатов расчета оболочки с использованием различ-

Величина Сетка Метод

Ньютона-Рафсона Рунге-Кутга

ц. для 1-й предельной точки, кг/см2 4x4 2,636 2,716

8x8 2,899 3,029

16x16 2,981 3,117

д. для 2-й предельной точки, кг/см2 4x4 0,8279 0,8385

8x8 0,5588 0,5589

16x16 0,5109 0,5090

п'с для 1-й предельной точки, см 4x4 1,00 1,00

8x8 0,900 0,850

16x16 0,850 0,800

^ для 2-й предельной точки, см 4x4 4,50 4,60

8x8 4,60 4,55

16x16 4,50 4,50

Табл. 2. Сравнение результатов расчета вариационно-разностным методом и методом конечных элементов.

Величина ВРМ, метод Рунге-Кутта, сетка 8x8 ВРМ, метод Ньютона-Рафсона, сетка 8x8 МКЭ, сетка 8x8

<7_ для 1-й предельной точки, кг/см2 3,029 2,905 3,2

и-'с для 1-й предельной точки, см 0,850 0,880 0,807

Полученные результаты показывают, что сгущение сетки увеличивает ординату первой предельной точки и существенно сказывается на ветви

устойчивых состояний после 2-й предельной точки. При этом сгущение сетки приводит к увеличению прогиба оболочки при одинаковых значениях параметра нагрузки. До достижения 2-й предельной точки разностно-квадратурная схема быстро сходится уже при густоте сетки 8x8, однако использование даже грубой сетки 4x4 дает погрешность около 10%. Увеличение количества участков разбиения оболочки по толщине для проведения численного интегрирования практически не влияет на результат, при количестве участков разбиения более четырех. Значения предельной нагрузки для пологой цилиндрической оболочки из расчетов по ВРМ и МКЭ при одинаковой густоте сетки различаются не более чем на 10%, при этом МКЭ дает более высокое значение нагрузки, чем ВРМ.

В четвертой главе приведены результаты решения ряда задач исследования устойчивости оболочек из упругопластических материалов при различных геометрических характеристиках, граничных условиях и видах нагружения.

1. Исследована задача о пологой цилиндрической панели из упругопла-стического материала под равномерно распределенной нагрузкой (схема оболочки приведена на рис. 2, а). Работа материала описывается диаграммой, приведенной на рис. 3. В расчетах принято: Е0 = 2,1 • 10 Па; у0 = 0,3; а = Ь = 1 м; /г = 0,01 м. Граничные условия соответствуют опиранию по контуру на абсолютно жесткие в своей плоскости и абсолютно гибкие из плоскости диафрагмы, т. е. приняты следующие условия: при х = 0 и х = а V = 62 = IV = 0; при у = 0 и у = Ь и = 0, = у/ = 0. Кривые равновесных состояний оболочки при различных значениях кривизны к1 =1/ Я приведены на рис. 6. На рис. 7 приведены распределения интенсивностей напряжений (рис. 7, а - в верхней фибре, рис. 7, б - в нижней фибре панели) при достижении первой предельной точки (соответствующей верхней критической нагрузке). Заштрихованные участки соответствуют значению ст( =2100 кг/см2, что соответствует площадке текучести материала.

Рис. 6. Кривые равновесных состояний оболочки при к = 0,01 м. Кривые без значков - кх = 0,2 м"1; квадрат - к\ =

0,3 м"1; треугольник - кх = 0,4 м"1; круг -к\ = 0,5 м"1. Сплошные линии -

нелинейно-упругий материал, штриховые линии — упругий материал.

20.0-

а)

0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 X, см

б)

0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 X, см

Рис. 7. Распределение зон текучести (ст/> сгт) в верхней (а) и нижней (б) фибрах оболочки при достижении 1-й предельной точки.

Из результатов расчета видно, что нелинейная работа материала значительно сказывается на величине нагрузки, соответствующей предельной точке, при увеличении кривизны оболочки. Степень снижения критической нагрузки при значении безразмерной кривизны 20...50 составляет 1...50% соответственно.

2. Исследовано поведение пологой цилиндрической панели из линейно-упругого и упругопластического материалов при изменении граничных условий, моделирующем разрушение характерных опор конструкции. Схема панели приведена на рис. 8. Рассмотрено 3 варианта удаления опор: удаление опоры А, удаление опоры В и удаление обеих опор. На рис. 9 приведены зависимости безразмерной критической нагрузки ц'сг = с/ _ (а / Ь)4 / Еи от безразмерной кривизны к* = а1 /{Юг) для оболочки из упругопластического материала, работа которого описывается диаграммой, приведенной на рис. 4. Сплошной линией показана кривая, соответствующая исходной схеме оболочки, квадратами - соответствующая опиранию по варианту 1, кругами - по варианту 2, крестами - по варианту 3.

Угловые опоры закрепляют горизонтальные и вертикальные перемещения оболочки, а также углы поворота, т. е. и = V = 0, = 02 = \\> = 0. Граничные условия в остальных опорах у = 02 =и> = 0.

Для 4-х вариантов опирания оболочки (первый — основной, и 3 случая удаления различных опор) получены кривые равновесных состояний оболочки, зависимости верхней критической нагрузки от граничных условий и от геометрических характеристик оболочки. Приведенные результаты показывают, что при изначально принятой схеме опирания пологой цилиндрической панели на идеальные диафрагмы, закрепляющие горизонтальные смещения в углах, удаление угловой опоры значительно снижает величину верхней критической нагрузки для оболочки, как из упругого, так и из упругопластического материалов. Величина снижения критической нагрузки возрастает с увеличением кривизны панели.

- ш

20 30 40 50 60 Рис. 8. Схема цилиндрической Рис. 9. Зависимость верхней

оболочки критической нагрузки от кривизны

оболочки. Упругопластический материал.

3. Исследовано влияние малых начальных несовершенств на устойчивость пологой цилиндрической панели (рис. 2, а) из упругого и упругопла-стического материалов. Начальные несовершенства заданы в виде начальных

перемещений, определяемых как = Е/гзт^^'^^зт^7^^, где с »0,01. На

рис. 10 приведены кривые равновесных состояний и изменения знаков определителя матрицы Гессе сЫ <7 и параметра жесткости = и12, где вектор

17 определяется из решения уравнения У21У(ик(.чт))и = Q, для упругопла-стической оболочки. Точки, в которых меняет знак только с!е1 С, являются точками бифуркации решения (для оболочки без начальных несовершенств), одновременно с1й О и Б — предельными точками. Сплошные кривые соответствуют идеальной оболочке, штриховые — с начальными перемещениями. На рис. 10 qz - величина равномерно распределенной нагрузки, 1ес - перемещение центральной точки оболочки по нормали. На рис. 11 приведены кривые для оболочки с начальными несовершенствами: сплошная кривая соответствует упругопластическому материалу, штриховая — упругому.

4. Исследовано поведение пологой упругопластической цилиндрической панели под действием равномерно распределенной нагрузки при пошаговом статическом приложении нагрузки и последующем ее снятии. Схема панели приведена на рис. 2, а, работа материала описывается диаграммой на рис. 3. Приняты следующие условия: при х = 0 и х = а v = B2=^IV = 0; при у = 0 и

у = Ь м=01=11' = 0.В расчетах принято: Е0 = 2,1 • 1011 Па; у0 = 0,3; а = Ъ = 1 м; /г = 0,01 м. В качестве ведущего параметра использовались прогиб центрального узла оболочки и величина равномерно распределенной нагрузки цг. Для решения нелинейных уравнений использовался самокорректирующийся метод Рунге-Кутта.

Рис. 10. Кривые равновесных состояний Рис. 11. Кривые равновесных сои изменения знаков определителя матри- стояний оболочки с начальными цы Гессе и параметра жесткости. Упру- несимметричными прогибами, гопластический материал

На рис. 12 приведены кривые равновесных состояний оболочки с кривизной = 0,15 м"1 при нагружении (кривая 1) и последующей разгрузке (кривая 2). Расчеты выполнены с использованием в качестве ведущего параметра прогиба центра оболочки и величины нагрузки. На рис. 13 приведено распределение остаточных прогибов оболочки после полного снятия нагрузки.

0 12 х, см

Рис. 12. Кривые равновесных состояний Рис. 13. Остаточные прогибы обо-оболочки при /7 = 0,01 м и = 0,15 м"1. лочки при полной разгрузке (д = 0).

5. С помощью разработанного алгоритма исследована осесимметричная задача о цилиндрическом резервуаре из упругопластического материала со стенкой, защемленной в уровне днища, при действии гидростатического давления жидкости (схема задачи приведена на рис. 2, б). Исследовано напряженно-деформированное состояние стенки в зоне краевого эффекта при возникновении и развитии пластических деформаций.

6. С помощью разработанного алгоритма произведен расчет листового цилиндрического резервуара РВС-20000 м3 №32 ССН ЛИДС «Самара», ранее

выполненного в ЛМК ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко с использованием ПК Stark ES. Расчет произведен на действие полных расчетных нагрузок, включая ветровую нагрузку. Сопоставление полученных результатов показывает их достаточно хорошую согласованность, как в качественном, так и в количественном отношении.

7. С помощью разработанного алгоритма произведен расчет конструкций подземных баков дизтоплива у здания ДГС 2-й очереди Белоярской АЭС, ранее выполненного ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко совместно с НИИЖБ с использованием ПК Stark ES. Расчет произведен на действие полных расчетных нагрузок. Оболочка имеет кольцевые ребра, которые были учтены при расчете по вариационно-разностному алгоритму. Получены кривая равновесных состояний оболочки, распределение усилий и перемещений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Получен вариант функционала Лагранжа теории тонких и средней толщины оболочек с учетом геометрической нелинейности и физической нелинейности (нелинейно-упругий и упругопластический материал) при учете сдвиговых деформаций по толщине.

2. Разработан и реализован численный алгоритм решения задач устойчивости оболочек с применением полученной математической модели.

3. Исследовано поведение пологой цилиндрической панели из линейно-упругого и упругопластического материалов под действием равномерно распределенной нагрузки при изменении геометрических характеристик оболочки, граничных условий, при наличии начальных несовершенств, при простом и сложном нагружении.

4. Получены оценки верхних критических нагрузок для пологой цилиндрической панели из упругопластического материала.

5. Получены распределения перемещений, внутренних усилий и интен-сивностей напряжений для характерных состояний оболочки при статическом приложении нагрузки.

6. Сопоставление результатов расчета с результатами, полученными другими методами и в работах других авторов показало их достаточно хорошее совпадение.

7. С помощью разработанной методики выполнен расчет оболочечных конструкций реальных сооружений. Полученные результаты имеют хорошее схождение с результатами расчетов по сертифицированным конечно-элементным программных комплексам.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК России для кандидатских диссертаций:

1. Трушин С.И., Иванов С.А., Журавлева Т.А. Численные исследования нелинейно деформируемых металлических конструкций покрытия при слож-

ном нагружении // Строительная механика и расчет сооружений, 2009, №2, с. 37-44.

2. Иванов С.А. Разработка и оценка численного алгоритма расчета на устойчивость нелинейно деформируемой пологой цилиндрической оболочки // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений, 2010, №3, с. 41-47.

3. Трушин С.И., Иванов С.А. Численное исследование устойчивости пологой цилиндрической оболочки с учетом физической и геометрической не-линейностей при различных граничных условиях // Строительная механика и расчет сооружений, 2011, №5, с. 43-46.

4. Трушин С.И., Иванов С.А. Устойчивость цилиндрических оболочек из упругопластического материала в процессе статического нагружения и разгрузки // Промышленное и гражданское строительство, 2012, №3, с. 13-15.

5. Трушин С.И., Иванов С.А. Численный алгоритм расчета нелинейно деформируемых замкнутых цилиндрических оболочек с низкой сдвиговой жесткостью // Строительная механика и расчет сооружений, 2012, №2, с. 7679.

Публикации в других изданиях:

6. Иванов С.А. Расчет пластин с учетом физической и геометрической не-линейностей вариационно-разностным методом // Труды международной научно-практической конференции «Инженерные системы - 2009». Москва, 6-9 апреля 2010 г. - М.: РУДН, 2009, т.П, с. 232-239.

7. Иванов С.А. Исследование устойчивости пологой цилиндрической оболочки с учетом физической и геометрической нелинейности вариационно-разностным методом // Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. Тезисы докладов 23-й Международной конференции, т.1, 2009. - СПб: СПбГАСУ, с. 91-93.

8. Трушин С.И., Иванов С.А. Численное исследование устойчивости пологих оболочек с учетом больших перемещений и нелинейной работы материала // «Инженерные системы - 2010»: Международная научно-практическая конференция: Тезисы докладов. Москва, 6-9 апреля 2010 г. -М.: РУДН, 2010, с. 74.

9. Иванов С. А. Численное исследование влияния граничных условий на устойчивость пологой цилиндрической оболочки // Актуальные вопросы исследований и проектирования пространственных конструкций с применением физического и компьютерного моделирования. Тезисы докладов научной сессии. 20 апреля 2011 г. - М.: НИИЖБ, 2011, с. 27-28.

Лицензия ЛР № 020675 от 09.12.97 Московский государственный строительный университет

Подписано в печать 23.05.2012 Формат 60x84/16 Печать офсетная Объём 1,25 п.л. Тираж 100 Заказ 35к

Отпечатано в Типографии МГСУ 129337, г.Москва, Ярославское шоссе, д.26, корпус 8 Качество печати соответствует качеству предоставленных оригиналов

61 12-5/2855

ОТКРЫТОЕ АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО «НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЦЕНТР «СТРОИТЕЛЬСТВО» -ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ИМЕНИ В.А. КУЧЕРЕНКО

На правах рукописи

Иванов Сергей Александрович

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ БОЛЬШИХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ РАБОТЫ МАТЕРИАЛА

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель -д.т.н., проф. Трушин С.И.

Москва 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение....................................................................................................... 4

Глава 1. Обзор исследований по теории и численным методам расчета тонкостенных конструкций с учетом геометрической и физической нелинейности....................................................................... 7

1.1. Развитие теории устойчивости нелинейно деформируемых стержневых и тонкостенных конструкций............................................... 7

1.2. Численные методы исследования напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек................................. 11

1.3. Методы и алгоритмы решения нелинейных задач с параметром

продолжения................................................................................................ 18

Глава 2. Построение исходных соотношений теории гибких оболочек с учетом физической нелинейности...................................... 26

2.1. Геометрические соотношения нелинейно деформируемых оболочек........................................................................................................ 26

2.2. Физические соотношения для оболочек из упругопластического материала................................................................ 35

2.3. Функционал Лагранжа для оболочек из упругопластического

материала и граничные условия................................................................ 39

Глава 3. Методика численного решения задачи.................................. 41

3.1. Разностно-квадратурная аппроксимация функционала............... 41

3.2. Алгоритм решения упругопластических задач............................ 47

3.3. Нелинейная работа материала........................................................ 61

3.4. Решение тестовых задач................................................................. 69

Глава 4. Численный анализ устойчивости гибких

упругопластических оболочек................................................................. 81

4.1. Расчет пологой цилиндрической оболочки при действии поперечной равномерно распределенной нагрузки................................. 81

4.2. Исследование влияния граничных условий на устойчивость

пологой цилиндрической упругопластической оболочки....................... 93

4.3. Исследование влияния начальных несовершенств на устойчивость упругопластической оболочки........................................... 98

4.4. Исследование поведения пологой цилиндрической упругопластической оболочки при статическом приложении равномерно распределенной нагрузки и последующей разгрузкой....... 102

4.5. Расчет вертикального цилиндрического резервуара, защемленного в уровне днища, под действием гидростатического давления жидкости...................................................................................... 107

4.6. Расчет листового цилиндрического резервуара......................... 109

4.7. Исследование устойчивости подземного цилиндрического

металлического резервуара, подкрепленного ребрами............................ 115

Заключение................................................................................................. 122

Литература................................................................................................... 124

Введение

Исследование устойчивости пологих оболочек имеет большое практическое значение, так как строительные конструкции, имеющие подобную форму, часто являются большепролетными и весьма ответственными. Учет перемещений конструкций и нелинейной работы материала при анализе устойчивости позволит оценить возможное уменьшение опасных нагрузок, которые могут привести к резкому возрастанию перемещений и деформаций, т. е. привести к потере устойчивости конструкции.

В задачу исследования устойчивости оболочек входит определение их критических нагрузок и форм потери устойчивости. Проинтегрировать уравнения устойчивости в замкнутом виде удается лишь в простейших случаях одномерных задач при однородном исходном состоянии, когда уравнения имеют постоянные коэффициенты. В общем же случае, в том числе при учете перемещений оболочек и нелинейной работы материала, получение точного решения уравнений устойчивости связано с непреодолимыми математическими трудностями. Поэтому большинство результатов в области устойчивости оболочек получено различными приближенными методами. Один из путей решения данного класса задач состоит в непосредственном решении нелинейных уравнений с использованием различных численных методов: метода Ньютона-Рафсона, последовательных приближений, последовательных нагружений, различных методов численного интегрирования и других. В этом случае нет необходимости в разделении задачи на задачу определения исходного состояния оболочки и задачу устойчивости, как это делается при использовании статического критерия устойчивости. Критические нагрузки определяются по предельным точкам в характеристиках задачи (нагрузка-характерный параметр) или в точках разветвления нелинейного решения. Этот путь довольно трудоемок в машинной реализации, однако он дает

возможность получать более полную информацию о поведении оболочки по сравнению, например, с методом конечных элементов. Вместе с критическими нагрузками при таком подходе можно найти нижние критические нагрузки. Первая нижняя критическая нагрузка является нагрузкой выхлопа с первого закритического равновесного состояния. Эта нагрузка, в отличие от традиционно определяемой нижней критической нагрузки как наименьшей из всех нижних нагрузок, может быть также принята за характеристику устойчивости оболочек.

В диссертационной работе исследование устойчивости оболочек производилось путем решения нелинейных уравнений методом продолжения в сочетании с вариационно-разностным методом. При таком подходе задача расчета нелинейно деформируемой оболочки формулируется как вариационная и сводится к нахождению функций перемещений на каждом шаге по ведущему параметру, дающих минимальное значение полной потенциальной энергии системы.

Целью диссертационной работы является:

- Построение базовой математической модели тонких и средней толщины пластин и оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей, ориентированной на численную реализацию решения;

- Разработка численных методик решения задач устойчивости в геометрически и физически нелинейной постановке на базе вариационно-разностного подхода и метода продолжения решения по параметру;

- Создание алгоритмов решения задач устойчивости и реализация их в виде программного обеспечения для ЭВМ;

- Выполнение расчетов пластин и оболочек на различные виды воздействий.

Научную новизну работы составляют:

- Вариант энергетического функционала Лагранжа теории пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига, геометрической

нелинейности и физической нелинейности по теории малых упруго-пластических деформаций;

- Методика решения геометрически и физически нелинейной задачи на основе вариационно-разностного подхода с использованием различных вариантов метода продолжения решения по параметру;

- Решение ряда задач расчета гибких тонкостенных пространственных конструкций при различных видах воздействий в физически линейной и физически нелинейной постановках.

Практическая ценность диссертации состоит в разработке программного обеспечения для расчета изотропных пластин и оболочек при различных видах статического и кинематического воздействия с учетом деформаций поперечного сдвига, геометрической нелинейности и неупругой работы материала, которое реализовано на языке программирования Fortran 90/95 и позволяет визуализировать результаты расчетов, в т. ч. кривые равновесных состояний оболочек и напряженно-деформированное состояние.

Глава 1. Обзор исследований по теории и численным методам расчета тонкостенных конструкций с учетом геометрической и физической нелинейности

1.1. Развитие теории устойчивости нелинейно деформируемых стержневых и тонкостенных конструкций

Основы расчета конструкций на устойчивость за пределом упругости были заложены работами по устойчивости стержней. В 1895 г. Эссенгер [82] распространил критерий Эйлера на стержни, теряющие устойчивость за пределом упругости. Согласно этому критерию переход из исходного состояния в смежное совершается при постоянной нагрузке. В изогнутом состоянии стержня напряжения на вогнутой стороне за счет изгиба возрастут, а на выпуклой - уменьшатся, т. е. изгиб на вогнутой стороне оказывает догружающее, а на выпуклой - разгружающее действие. При разгрузке зависимость а - е будет линейной, характеризуемой модулем упругости Е, а при догрузке - нелинейной, характеризуемой касательным модулем Ек. Из равенства нулю равнодействующей изгибных напряжений и суммы моментов внутренних и внешних сил получается уравнение нейтральной оси стержня, в которое вместо модуля упругости Е входит приведенный модуль Энгессера Ещ. Он зависит от модулей Е и Ек, а также от формы поперечного сечения. При этом зависимость от форма поперечного сечения слабая [108], так что можно использовать приведенный модуль для прямоугольного поперечного сечения. Еще в более ранней работе (1889 г.) [83] Эссенгер определил критическую силу неупругого стержня, заменив в формуле Эйлера для упругого стержня модуль Е на касательный модуль Ек. Соответствующая критическая нагрузка известна как энгессерова, или касательно-модульная критическая нагрузка. Она несколько меньше приведенно-модульной нагрузки и может быть реализована только при допущении

продолжающегося в процессе потери устойчивости нагружения, поскольку при этом предполагается отсутствие зон разгрузки.

Вплоть до работ Шенли [100] (1946) и [99] (1947) использование критерия приведенно-модульной нагрузки не подвергалось сомнению, а решения, основанные на гипотезе отсутствия нагрузки, не вызывали доверия. Шенли при испытании шарнирно опертого стержня путем замера деформаций заметил, что после достижения касательно-модульной нагрузки стержень изгибается и что одновременно растет и сжимающая сила. Таким образом, была подтверждена касательно-модульная нагрузка. Анализ этого эксперимента, проведенный с помощью модели Ридера (двух жестких стержней, соединенных двумя одинаковыми упругими стержнями), послужил основанием для формулировки концепции продолжающегося нагружения и пересмотра классического подхода Эйлера - Энгессера. Концепция продолжающегося нагружения позволяет значительно упростить решение устойчивости оболочек, поскольку при этом нет необходимости определять границу раздела зон разгрузки и догрузки.

При одноосном напряженном состоянии (стержни) расчеты на устойчивость можно производить, пользуясь тем или иным критерием и диаграммой растяжения материала. При двухосном напряженном состоянии (пластины, оболочки) этого оказывается недостаточно. В этом случае необходимо иметь зависимость между напряжениями и деформациями за пределом упругости. Эти зависимости определяются теориями пластичности. Все известные теории пластичности относятся или к деформационным теориям, или к теориям течения. В деформационных теориях устанавливаются связи непосредственно между напряжениями и деформациями, а в теориях течения - между малыми приращениями деформаций и напряжений и напряжениями. Из деформационных теорий наибольшее распространение получила теория малых упруго-пластических деформаций, развитая Генки [86] и А. А. Ильюшиным [24].

В 1934 г. Доннелл [81] обратил внимание на важность учета нелинейных членов в геометрических соотношениях. Основы геометрически нелинейной теории были заложены работой Маргерра [91] (1938), хотя идейные вопросы этой теории были обсуждены еще раньше в работах Навье (1833), С. П. Тимошенко (1925) и Бицено (1935) [15] по прощелкиванию стержней и сферического купола. Позднее Карман и Цзян [88] на основе уравнений Маргерра установили, что в закритической стадии нагрузка с ростом деформации падает. Такой результат был весьма неожиданным и противоречил известным фактам, полученным в решениях аналогичных задач для стержней и пластин, где нагрузка с ростом деформации непрерывно возрастала.

Резкое падение нагрузки после смены исходной невозмущенной формы равновесия свидетельствует о наличии несмежных изгибных форм равновесия при малых уровнях нагрузки и чрезвычайной чувствительности оболочки ко всякого рода возмущениям: начальным прогибам, несоблюдению граничных условий, динамическим эффектам окружающей среды и пр. При наличии этих возмущений оболочка скачком переходит от исходной формы равновесия к несмежным изгибным формам. Нагрузка, соответствующая перескоку от исходного состояния к несмежному, является действительной верхней критической нагрузкой. Величина ее определяется видом и мерой возмущений и в основном несовершенствами формы срединной поверхности.

У совершенных оболочек в идеальных условиях нагружения действительная и классическая верхние критические нагрузки совпадают. Решение нелинейных задач заключается в изучении несмежных равновесных форм, т. е. в исследовании закритического поведения оболочки. Обычная процедура исследования задач - построение кривых «нагрузка - прогиб» или «напряжение - деформация» для этих равновесных форм. Нагрузку, соответствующую нижней точке огибающей кривых, принято называть нижней критической нагрузкой.

Таким образом, нижняя критическая нагрузка определяется уровнем средних напряжений в оболочке, ниже которого не могут существовать другие равновесные формы, кроме исходной. Нижняя критическая нагрузка, найденная в первых решениях, лучше соответствовала эксперименту, чем классическая верхняя критическая нагрузка. В связи с этим появились рекомендации оценивать устойчивость оболочек по нижней критической нагрузке, а вместе с тем и большое количество решений нелинейных задач в указанной постановке.

Теория устойчивости на данном этапе в основном развивалась вширь: исследовались различные классы оболочек, разные виды нагрузок, метод же решения оставался стандартным. Задачи решались на основе канонизированных уравнений пологих оболочек. Функция прогиба аппроксимировалась тригонометрическим рядом. Обычно в ряде удерживалось малое количество членов. Этим оболочка как система с бесконечным числом степеней свободы заменялась системой с малым числом степеней свободы.

Положение изменилось с привлечением к исследованиям ЭВМ. Появилась возможность уточнять решения, увеличивая число степеней свободы оболочки. В результате в ряде работ [70,90,92,102] было найдено, что нижняя критическая нагрузка уменьшается с увеличением числа членов, удерживаемых в разложении искомых функций. Более того, в некоторых работах получены отрицательные значения критической нагрузки. Эти, а также некоторые экспериментальные работы [104,105], в которых было дано обоснование нелинейной теории, изменили прежнюю точку зрения на нижнюю критическую нагрузку как на характеристику устойчивости оболочек.

1.2. Численные методы исследования напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек

Расчет гибких тонкостенных конструкций типа пластин и оболочек приводит к решению задач, описываемых нелинейными дифференциальными выражениями в частных производных (уравнения равновесия или функционалы). Получение точных аналитических решений в подавляющем большинстве случаев не представляется возможным. Поэтому большое теоретическое и практическое значение приобретает разработка и исследование численных методов и алгоритмов применительно к ЭВМ.

Одним из наиболее эффективных современных методов численного решения инженерных задач с применением ЭВМ является метод конечных элементов. Идея представления сплошной среды в виде системы элементов конечных размеров восходит еще к Пуассону. Развитие МКЭ шло по двум направлениям. С одной стороны, он разрабатывался на основе методов строительной механики стержневых систем, и в частности, метода перемещений. С другой стороны, МКЭ развивался как некоторая разновидность вариационно-разностного метода решения задач математической физики. Начала этих направлений заложены в работах Хренникова [87], Мак Генри [93], Р.Куранта [77], Тернера, Клафа, Мартина, Топпа [110], Аргириса [72], а термин "конечный элемент" впервые появился в работе Клафа [76]. Постепенно оба эти направления стали объединяться друг с другом. В настоящее время общее количество публикаций по МКЭ насчитывает тысячи названий. Обширная библиография работ по этому методу, включающая свыше 8 тысяч источников, представлена в книге Д.Норри, Ж. де Фриза [96]. Описание основ МКЭ и его применение к задачам теории упругости, теории пластин и оболочек,