автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование задач оптимального управления для неклассических уравнений математической физики

На правах рукописи

Манакова Наталья Александровна

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО

УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ НЕКЛАССИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЧЕЛЯБИНСК - 2005

Работа выполнена в Челябинском государственном университете на кафедре математического анализа.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Свиридюк Георгий Анатольевич Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Чистяков Виктор Филимонович доктор физико-математических наук, доцент Сукачева Тамара Геннадьевна Ведущая организация:

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Защита состоится 2005 года

ч. 00 м. на заседании диссертационного совета Д 212.296.02 по присуждению ученой степени доктора (кандидата) физико-математических наук в Челябинском государственном университете, по адресу: 454021, г. Челябинск, ул. Бр. Кашириных, 129.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Челябинского государственного университета.

Автореферат разослан

" £В " СКуиЛ^Л 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, /

профессор ^/¿¿^Зс^/ Ух°ботов

ZQQ6-A_

ель работы. Пусть П с К™ - ограниченная область с границей дП класса С°°. В цилиндре О. x R+ рассмотрим начально-краевую задачу

(Л - A )(x{s, 0) - x0(s)) =0,s€i]; (1)

x(s, t) = 0, (s, t) 6 dïï x R+ (2)

для: обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска

(Л - A)xt = аЛ(\xlp'2x) + щ (3)

уравнения Осколкова нелинейной фильтрации

(Л - A)xt = аАх - \х\р~2х + и; (4)

уравнения нелинейной диффузии

(Л - A)xt = div(|Vx|p_2Va;) + и. (5)

В цилиндре Îî x R+ рассмотрим краевую задачу (2) и начальную

(А 4- Д)(х(з, 0) — xo(s)) = 0, s € ii (6)

для уравнения Хоффа выпучивания двутавровой балки

(Л + A)xt = ах + /?х3 + и. (7)

Уравнение (3) является наиболее интересным частным случаем уравнения, полученного Е. С. Дзекцером1. Здесь искомая функция x — x (s, t) отвечает потенциалу скорости движения свободной поверхности фильтрующейся жидкости; параметры a G R+, А € R характеризуют среду; свободный член и = u(s, t) соответствует внешней нагрузке, т. е. истокам и стокам жидкости.

1Дзекцер, Е. С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод / Е. С. Дзек-цер // ДАН СССР,- 1972 - № 5 - С. 1031-1033.

3 _„ _ .

гос. национальная] БИБЛИОТЕКА |

¿здк? !

Уравнение (4) получено А. П. Осколковым2 и моделирует процесс фильтрации вязкоупругой несжимаемой жидкости (например, нефти). Искомая функция х = x(s,t) соответствует потенциалу скорости свободной поверхности фильтрующейся жидкости; параметры а, А € R характеризуют вязкие и упругие свойства жидкости соответственно; свободный член и — u(s,t), как и выше, отвечает внешней нагрузке.

Уравнение (5) моделирует процесс нелинейной диффузии. Свободный член и = u(s,t), как и выше, отвечает внешней нагрузке.

Уравнение (7) получено Н. Дж. Хоффом3. В случае п = 1 искомая функция х — x(s,t) показывает отклонение балки от вертикали под действием постоянной нагрузки А € R+. Параметры a,ß € К характеризуют свойства материала балки; свободный член и = u(s,t) соответствует внешней (боковой, в случае п = 1) нагрузке.

В подходящих функциональных пространствах Х,2) задача (1), (2) или (2), (6) для уравнений (3) - (5), (7) редуцируется к задаче Шоуолтера-Сидорова

Цх(0) - *0) = 0 (8)

для полулинейного операторного уравнения соболевского типа

L х +М(х) = и. (9)

Нас интересует оптимальное управление

J(x, и)—»min (10)

решениями задачи (8), (9). Здесь J(x,u) - некоторый специальным образом построенный функционал качества; управление и € Uа(г,

2Осколков, А. П. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С. Л. Соболева / А. П. Осколков // Зап. науч. сем. ЛОМИ - 1991.- Т. 198.- С. 31-48.

3Hoff, N. J. Creep buckling / N. J. Hoff // Аегоп,- 1956,- V. 7, № 1- P. 1-20.

где ílad - некоторое замкнутое и выпуклое множество в пространстве управлений ÍÍ. Основная наша задача заключается не только в поиске достаточных условий разрешимости задачи (8) - (10), но и необходимых условий в терминах сопряженной задачи.

Актуальность темы. Уравнения, неразрешенные относительно старшей производной, впервые появились, видимо, в работах А. Пуанкаре. Первым, кто начал систематическое изучение начально-краевых задач для уравнений вида

L х Ч-Мх = и, (11)

где L и М (возможно, матричные) дифференциальные операторы в частных произодных по "пространственным" переменным, был С. JI. Соболев в 40-х годах прошлого столетия. С тех пор возникла традиция уравнения вида (9), (11) и конкретные их интерпретации вида (3) - (5), (7) называть уравнениями соболевского типа. В настоящее время теория уравнений соболевского типа переживает пору бурного расцвета, - за последние семь лет вышло шесть монографий, целиком или частично посвященных уравнениям (9), (II)4.

4Showalter, R. Е. Hilbert space methods for partial differential equations / R. E. Showalter.- Pitman, London, San Francisco, Melbourne, 1977.

Демиденко, F. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский.- Новосибирск: Научная книга, 1998.

Sidorov, N. Lyapunov-Shmidt methods in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithyn, M. Falaleev.- Dordrecht, Boston, London: KIu-wer Academic Publishers, 2002.

Бояринцев, Ю. E. Алгебро-дифференциальные системы: методы решения и исследования / Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков.- Новосибирск: Наука, 1998.

Melnikova, I. V. Abstract Cauchy problems: three approaches. Chapman and Hall / I. V. Melnikova, A. Filinkov - CRC, Boca Raton, FL, 2001.

Егоров, И. E. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И. Е. Егоров, С. Г. Пятков, С. В. Попов.- Новосибирск: Наука, 2000.

Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифферен-

■ Данная диссертация лежит в русле научного направления, развиваемого Г. А. Свиридюком и его учениками. Главным здесь является нахождение и изучение фазовых пространств уравнений соболевского типа. В частности, простота фазовых пространств уравнений (3) - (5), (7) была доказана В. О. Казаком и Н. А. Манаковой.

Физические процессы, имеющие место в технике, как правило, управляемы. Теорию оптимального управления обыкновенными дифференциальными уравнениями создавали JI. С. Понтрягин, Н. Н. Красовский, В. И. Зубов, В. М. Матросов и многие другие. Задачи оптимального управления для уравнений в частных производных изучали Ж.-Л. Лионе, А. В. Фурсиков, Н. Папагеоргио, А. В. Аргучинцев и многие другие. Задачи оптимального управления для уравнений соболевского типа изучали Г. А. Свиридюк, А. А. Ефремов, В. Е. Федоров, М. В. Плеханова, В. Ф. Чистяков, С. В. Гайдомак и многие другие.

Методы исследования. Основным методом исследования полулинейных уравнений соболевского типа в данной диссертации служит метод фазового пространства, предложенный Г. А. Свиридюком и Т. Г. Сукачевой. Вкратце суть этого метода заключается в редукции уравнений (9), (11) к стандартным уравнениям

х = Sx + F{x), х — Sx,

определенным однако не на всем пространстве, а на некотором его подпространстве, понимаемом как фазовое пространство уравнений (9), (11)- Для изучения вопроса существования решения уравнения (9) с самосопряженным, неотрицательно определенным, фредголь-мовым оператором L и s-монотонным и р-коэрцитивным оператором

циальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас- М.: Мир, 1978.

Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov.- Utrecfit : VSP, 2003.

М мы используем метод монотонности. Мы строим приближенные решения посредством метода Галеркина-Петрова-Фаэдо; существование приближенных решений доказывается с помощью теоремы существования решения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Далее нас интересует вопрос существования оптимального управления задачи (10) решениями задачи (8), (9), здесь управление и берется из некоторого замкнутого и выпуклого множества в пространстве управлений. Поскольку решение получается непрерывным, то функционал стоимости (10) можно записать в виде J(x, и) = J (и) и, пользуясь теоремой Мазура, получить существовав ние оптимального управления.

Новизна полученных результатов. Основным результатом диссертации является теорема существования оптимального управления для полулинейных уравнений соболевского типа. Полученные абстрактные результаты реализованы в конкретных начально-краевых задачах для уравнений (3) - (5), (7). Получены необходимые условия, которым удовлетворяет любое оптимальное управление уравнениями (3) - (5), (7).

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. К результатам теоретической значимости следует отнести теоремы существования решения и оптимального управления абстрактными полулинейными уравнениями соболевского типа. Полученные абстрактные результаты затем используются при исследовании задач оптимального управления для уравнений (3) - (5), (7). Эти результаты необходимы при построении численных алгоритмов решения задач. Построенные алгоритмы реализованы в вычислительной среде Maple 9.0 и найдены галеркинские приближения решения и оптимальное управление для уравнений (4), (7).

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации,

докладывались на VI Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти М. А. Лаврентьева, в 2000 году (г. Новосибирск), Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" в 2001 и 2004 году (г. Екатеринбург), Международной школе-семинаре по геометрии и анализу в 2000 году (г. Ростов-на-Дону), Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения акад. М. А. Лаврентьева, в 2005 году (г. Новосибирск). Также результаты докладывались на семинаре профессора Г. А. Свиридюка в Челябинском государственном университете (г. Челябинск).

Данное исследование поддержано стипендией Президента РФ (2004 г.), грантом Правительства Челябинской области (2003 г.) и стипендией Законодательного собрания г. Челябинска (2002 г.).

Публикации. Все результаты диссертации своевременно опубликованы [1] - [10]. Необходимо отметить, что во всех работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит только постановка задачи и идеи доказательств.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 111 страниц. Библиография содержит 114 наименований работ российских и зарубежных авторов.

Краткое содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, дается обзор литературы по исследуемой проблематике, кратко излагаются основные результаты диссертации.

Первая глава состоит из четырех параграфов, в которых рассмотрен вопрос существования и единственности задачи (0.8), (0.9). П. 1.1 содержит сведения из теории банаховых пространств, операторов в банаховых пространствах и алгебро-дифференциальных сис-

тем. Этот параграф носит вспомогательный характер. В п. 1.2 изучена структура фазового пространства задачи Шоуолтера-Сидорова (8), (9) в эволюционном и динамическом случаях. П. 1.3 и п. 1.4 посвещены вопросу однозначной разрешимости задачи (8), (9).

Пусть И — {Л\ (■,■)) - вещественное сепарабельное гильбертово пространство, отождествленное со своим сопряженным; (й, ?)*) и (©,05*) - дуальные (относительно двойственности {•,•)) пары рефлексивных банаховых пространств. Оператор Ь € - линейный, самосопряженный, неотрицательно определенный фредгольмов оператор, чей ортонормальный (в смысле Л) набор собственных векторов {фк} образует базис в пространстве й, а М £ Сг (55; 58*), г > 1, - в-монотонный и р-коэрцитивный оператор.

Эволюционный случай. Пусть вложения 55 <-» й "Н Р)* <—> 55* плотны и непрерывны. Обозначим через проектор ©* вдоль сокег Ь на нп Ь и сделаем допущение

(I -0)и не зависит от Ь € (О, Г). (12)

Тогда, если х = х(£),4 € [0, Т] - решение уравнения (9), то оно с необходимостью лежит во множестве

_ , ^ € 05 : (П -<2)М(х) = (П ~Я)и}, если кег Ь ф {0};

55, если кег! = {0}.

Теорема 1. При любых хо € /), Т € у € Ьд(0, Т; 55*) таких, что выполнено (12), существует единственное решение х € Ьос(0, Т; сот Ь) П Ьр(0,Т; Ж) задачи (8), (9).

Динамический случай. Пусть вложения £ <—► 53 <—► Н <—> 55* » #* плотны и непрерывны. Обозначим через проектор вдоль сокег Ь на цп Ь П 93* и сделаем допущение

(I -<2)и не зависит от « € (0, Т). (13)

Теорема 2. При любых хо 6 Sj, Т 6 К+, у € Lq{О, Т; 5В*) таких, что выполнено (13), существует единственное решение х € £оо(0, Т; coim L) П Lp(0, Т; DJI) задачи (8), (9).

Вторая глава состоит из пяти параграфов, в которых рассмотрен вопрос существования оптимального управления. В п. 2.1 представлены основные результаты по теории эллиптических дифференциальных операторов в банаховых пространствах. Этот параграф носит вспомогательный характер. В п. 2.2 рассмотрен вопрос существования оптимального управления абстрактной задачи (8) - (10).

Построим пространство И = {гь G Lg(0,T;®*) : (I — Q)u{t) = 0, t £ (0, Г)} и определим в пространстве ii замкнутое и выпуклое множество Had-

Определение 1. Пару (х,й) е Ь<х>(0,Т; coim L) П Lp(0,T;ffl) х ilod называют решением задачи (8) - (10), если J(x,u) = inf J(x, и), и (х, й) удовлетворяет уравнению L х + М{х) = и; вектор й называют оптимальным управлением в задаче (8) - (10).

Теорема 3. При любых хо G Sj,T б R+ существует решение задачи (8) - (10).

В п. 2.3 рассмотрено обобщенное фильтрационное уравнение Бус-синеска (3). Подобраны функциональные пространства, при которых уравнение (3) можно редуцировать к абстрактному эволюционному уравнению (9). Вопрос существования и единственности решения задачи (1) - (3) был впервые решен Г. А. Свиридюком, мы установили существование оптимального управления задачи (10) и нашли необходимые условия существования минимума функционала. В п. 2.4 изучается уравнение Хоффа выпучивания двутавровой балки (7). Подобраны функциональные пространства, при которых уравнение (7) можно редуцировать к абстрактному эволюционному уравнению

(9). Методами, предложенными в главе 1, изучается вопрос существования и единственности решения задачи (2), (6), (7). Установлено существование оптимального управления задачи (10) и найдены необходимые условия существования минимума функционала. В п. 2.5 рассмотрено уравнение Осколкова нелинейной фильтрации (4). Чтобы редуцировать задачу (1), (2), (4) к задаче (8), (9), положим

о

5) = 95 Н = 1*2 (все функциональные пространства определе-

о

ны на области О). Заметим, что в силу теоремы Соболева И7^ непрерывно при п>3и2<р<4/(п — 2) + 2 и имеют место плотные и непрерывные вложения. Положим пространство 95* = И^1. Операторы Ь ш М определим формулами:

где х, у € 05, (■, •) - скалярное произведение в Ь2. Обозначим через {А*;} последовательность собственных значений однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа —Д в области П, занумерованное по неубыванию с учетом их кратности.

Лемма 1. (г) При всех А > —Хх оператор Ь е £(95; 05*) самосопряжен, фредгольмов и неотрицательно определен, причем ортонор-малъное семейство {<рк} функций тотально в пространстве 95.

(гг) При всех а € п > 3, 2 < р < 4/(п — 2) + 2 оператор М € С1 (95; 95*) з-монотонен и р-коэрцитивен.

При А > — А1 проектор

П, А > — Аи

Построим множество

95, А > -Ах; {х € 95 : (М(х), щ) = {и, щ)}, А = Аь

Теорема 4. Пусть А > -Аь а е Ш+ и п > 3, 2 < р < 4/(п -2) + 2. Тогда множество Ш - простое банахово С1 -многообразие, моделируемое пространством coimL.

Теорема 5. Пусть А > —Ai, а € R+ и п > 3, 2 < р < 4/(п — 2) + 2, тогда при любых х0 € 93, Т в R+, / S Z,2(0,T;®*) таких, что выполнено (13), существует единственное решение х S ¿«.(O.TjcoimL) П Х,2(0, Т;!Ш) задачи (1), (2), (4).

Перейдем к рассмотрению задачи оптимального управления для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации. В цилиндре Qt = П х (0, Т) зададим функционал качества

г г

J(«,tt) - i J ||*- zd\\%AQ)dt + % J ||«||^-i(n)dt (14) о 0

и выберем ilaii С 1-2(0, T; ^¿"1(f2)) - замкнутое, выпуклое множество, для которого выполнено (I — Q)u = 0.

Теорема 6. Пусть А > -Aj, a € R+, п > 3, 2 < р < 4/(п - 2) + 2, тогда существует оптимальное управление в задаче (1), (2), (4),

т

Приведем теперь необходимые условия, которым удовлетворяет любое оптимальное управление и решениями задачи (1), (2), (4), (14).

Теорема 7. Пусть А > -Aia € R+, п > 3, 2 < р < 4/(тг-2)+2, если и - оптимальное управление задачи (14), то существует вектор у е i-oo(0, Т; coim L) П 1-2(0, Т; 25) такой, что

(А - A)xt - аДх + \х\р~2х — и,

(-А + A)yt - аАу + (р- 1)|х\р~2у = (-Д)(х(и) - zd), (a, t) е QT, x{s, t) = y(s, t) = 0, (s, t) 6 ЭП x (0, Г),

(Л - Д)(®(з,0) - хо(«)) = 0, (-А + А)у(8,Т) = 0, 5 е П, J(у + ЛГ(-Д)-г(и))(и - и)Лий > 0. Уг> € Е^.

С?т

В п. 2.6 рассмотрено уравнение нелинейной диффузии (5). Ана-логино п. 2.5 подобраны функциональные пространства, при которых уравнение (5) можно редуцировать к абстрактному эволюционному уравнению (9). Методами, предложенными в главе 1, изучается вопрос существования и единственности решения задачи (1), (2), (5). Установлено существование оптимального управления задачи (10) и найдены необходимые условия существования минимума функционала.

Третья глава состоит из двух параграфов и содержит приложения, разработанные в вычислительной среде Мар1е 9.0. В п. 3.1 представлены результаты работы программ, вычисляющих оптимальное управление для уравнения Хоффа в случае п = 1, 0 = 0. В п. 3.2 представлены результаты работы программ, вычисляющих оптимальное управление для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации в случае п — 2, р = 2. Для нахождения оптимального управления задачи (1), (2), (4), (14) с условиями Т = 1, жц(0) = 0, £21(0) = 2, 2:12(0) = 2, х22(0) = 2, «(0) = 0, и(Т) = 1, ау(в1,в2) = ип(а0 + зш(в2) (для определенности) была разработана программа, которая, опираясь на метод Ритца, ищет оптимальное управление в виде

«(*, Ю : (*, АО ~ .(0) + Щ^Ш + £ ^ ¿ьф.

п—1

Для задачи (1), (2), (4), (14) при N = 4 получим

31,82) = (* - 7.695362486 8т(тг<) - 3.674132956 зш(2тгё)-2.940115757зт(Зтгг) - 1.9047656518т(4тг«))8т(2з1)8т(2в2)-

Результаты, выносимые на защиту:

1. Теоремы существования и единственности задачи Шоуолтера-Сидорова для полулинейных уравнений соболевского типа методом Галеркина-Петрова-Фаэдо для эволюционного и динамического случаев.

2. Достаточное условие существования оптимального управления для полулинейного уравнения соболевского типа.

3. Необходимые условия существования оптимального управления для уравнений (3) - (5), (7).

4. Разработка численного метода решения задач оптимального управления для уравнений (4), (7).

Публикации автора по теме диссертации

1. Манакова, Н. А. О регулярных возмущениях уравнений соболевского типа / Н. А. Манакова // Студент и научно-технический прогресс: Тез. науч. студ. докл.- Челябинск: ЧелГУ, 2002.- С.З.

2. Манакова, Н. А. О фазовом пространстве задачи Коши-Дирихле для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Н. А. Манакова // Студент и научно-техн. прогресс: Тез. науч. студ. докл.- Челябинск: ЧелГУ, 2003 - С.З.

3. Манакова, Н. А. О фазовом пространстве для одной модели Осколкова / Н. А. Манакова // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф., Екатеринбург, 2-6 февраля 2004 года. - Екатеринбург, 2004 - С. 191-192.

4. Манакова, Н. А. О задаче оптимального управления для уравнения Хоффа / Н. А. Манакова // Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике. Тез. докл. международной конф. 27 - 30 мая 2005 г.- Новосибирск, 2005 - С. 62.

5. Манакова, Н. А. Задача оптимального управления для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска/ Н. А. Манакова // Вест. МаГУ. Сер. Математика.- Магнитагорск, 2005.-Вып. 8.- С. 113-122.

6. Свиридюк, Г. А. О нелинейных регулярных возмущениях одного класса уравнений соболевского типа / Г. А. Свиридюк, Н. А. Манакова // Межд. школа-семинар по геометрии и анализу. -Ростов-на-Дону, 2000 - С. 239-240.

7. Свиридюк, Г. А. О регулярных возмущениях уравнений соболевского типа / Г. А. Свиридюк, Н. А. Манакова // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф., Екатеринбург, 26 февраля - 2 марта 2002 г.- Екатеринбург, 2002,- С. 164-165.

8. Свиридюк, Г. А. Регулярные возмущения одного класса линейных уравнений соболевского типа / Г. А. Свиридюк, Н. А. Манакова // Дифференц. уравнения - 2002.- Т. 38, № 3.- С. 423425.

9. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Г. А. Свиридюк, Н. А. Манакова // Изв. вузов. Математика.- 2003.-№ 9.- С. 36-41.

10. Свиридюк, Г. А. Задача оптимального управления для уравнения Хоффа / Г. А. Свиридюк, Н. А. Манакова // Сиб. жур. индустр. математики - 2005 - Т. 8, № 2 - С. 144-151.

РНБ Русский фонд

2006-4 17346

Подписано в печать 27.10.05. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 0,7. Тираж 100 экз. Заказ £. Бесплатно.

Челябинский государственный университет 454021, г. Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129

Полиграфический участок издательского центра

Челябинского государственного университета 454021, г. Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 576

Обозначения и соглашения

Введение

1 Задача Шоуолтера-Сидорова

1.1 Предварительные сведения.

1.2 Фазовые пространства.

1.3 Однозначная разрешимость, эволюционный случай

1.4 Однозначная разрешимость, динамический случай

2 Оптимальное управление

2.1 Функциональные пространства и дифференциальные операторы.

2.2 Достаточные условия разрешимости.

• 2.3 Обобщенное фильтрационное уравнение Буссинеска

2.4 Уравнение Хоффа.

2.5 Уравнение Осколкова нелинейной фильтрации

2.6 Уравнение нелинейной диффузии

Постановка задач

Пусть О С Мп - ограниченная область с границей д£1 класса С°°. В цилиндре х рассмотрим начально-краевую задачу

А - Д)(:ф,0) - а?0(в)) = 0, ее П; (0.1) х{з, г) = о, (в, г) едПх м+ (0.2) для:

- обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска

Л - А)хг = аД(|я|р-2:г) + щ (0.3)

- уравнения Осколкова нелинейной фильтрации

А - А)хг = аАх - \х\р~2х + щ (0.4)

- уравнения нелинейной диффузии

А - А)хг = сИу(|Уж|р-2Уж) + и. (0.5)

В цилиндре О х рассмотрим начально-краевую задачу (0.2),

А + Д)(ф, 0) - я0(в)) = 0, в € П (0.6) для

- уравнения Хоффа выпучивания двутавровой балки

А + А)хь = ах + /Зх* + и. (0.7)

Уравнение (0.3) является наиболее интересным частным случаем уравнения, полученного Е. С. Дзекцером [16]. Оно появилось в ответ на критику П. Я. Полубариновой-Кочиной [48] фильтрационного уравнения Буссинеска, которое недостаточно полно моделирует процесс фильтрации. Более общее уравнение (0.3) устраняет этот недостаток. Здесь искомая функция х = £) отвечает потенциалу скорости движения свободной поверхности фильтрующейся жидкости; параметры а € К+) А 6 I характеризуют среду, причем параметр А может принимать отрицательные значения; свободный член и = и(з, £) соответствует внешней нагрузке, т. е. истокам и стокам жидкости.

Однозначная разрешимость задачи (0.1) - (0.3) была получена Г. А. Свиридюком (анонсированный результат [50], доказательства [53]), Г. А. Свиридюком и И. Н. Семеновой [65] (с неоднородными краевыми условиями), Г. А. Свиридюком и М. В. Климентьевым [63] (полученные выше решения продолжены на полуось Е+). Во всех случаях показано, что фазовым пространством задачи является простое гладкое банахово многообразие. (Напомним, что простым называется такое многообразие, любой атлас которого эквивалентен атласу, содержащему единственную карту).

Уравнение (0.4) моделирует процесс фильтрации вязкоупругой несжимаемой жидкости (например, нефти). Искомая функциям = х(в, ¿) соответствует давлению фильтрующейся жидкости; параметры а, А € М+ характеризуют вязкие и упругие свойства жидкости соответственно; свободный член и = и(з^), как и выше, отвечает внешней нагрузке. Задача (0.1), (0.2), (0.4) в разных аспектах была исследована А. П. Осколковым [43], [44] и его учениками [45] в случае положительности параметра Л. Однако экспериментально [2] было показано, что параметр Л может принимать отрицательные значения. Задача (0.1), (0.2), (0.4) при любых значениях параметра А 6 1 была изучена Г. А. Свиридюком и Н. А. Манаковой [113]. Показано, что фазовым пространством этой задачи служит простое банахово С°°-многообразие.

Уравнение (0.5) моделирует процесс нелинейной диффузии. Свободный член и = ¿), как и выше, отвечает внешней нагрузке. Однозначная разрешимость задачи (0.1), (0.2), (0.5) была установлена Г. А. Свиридюком [53]. Другими методами при Л € данная задача была изучена Лиу Чангчунгом и было показано существование слабого решения [88] и его асимптотические свойства [89].

Уравнение (0.7) получено Н. Дж. Хоффом [93] в случае п = 1. Искомая функция х = £) показывает отклонение балки от вертикали под действием постоянной нагрузки Л 6 Параметры а, (3 €Е К характеризуют свойства материала балки; свободный член и = и(з, £) соответствует внешней (боковой, в случае п = 1) нагрузке. Однозначная разрешимость задачи (0.2), (0.6), (0.7) была установлена Г. А. Свиридюком [55], [56]. Здесь было показано, что фазовое пространство локально является банаховым С°°-многообразием. Простота фазового пространства была доказана Г. А. Свиридюком и В. О. Казаком [62] в случае aß > 0, что охватывает физически осмысленную ситуацию.

В подходящих функциональных пространствах 3£, 2) задача (0.1), (0.2) или (0.2), (0.6) для уравнений (0.3) - (0.5), (0.7) редуцируется к задаче Шоуолтера-Сидорова

L(x(0) -х0)=0 (0.8) для полулинейного операторного уравнения соболевского типа

L х +М(х) = и. (0.9)

Нас интересует оптимальное управление

J(x, и) —> min (0.10) решениями задачи (0.8), (0.9). Здесь J(x,u) - некоторый специальным образом построенный функционал качества; управление и € ilad, где Had - некоторое замкнутое и выпуклое множество в пространстве управлений Я. Линейная задача оптимального управления (т. е. оператор М : X —> 2) линеен и непрерывен) была изучена Г. А. Свиридюком и А. А. Ефремовым [60], [61] (см. также гл. 7 [103]). Эти результаты были развиты В. Е. Федоровым и М. В. Плехановой [80], [79], [79] и В. Е. Федоровым и О. А. Рузаковой [81]. Успех линейной теории во многом был предопределен тем обстоятельством, что фазовым пространством линейного уравнения служит подпространство некоторого банахового пространства. Поэтому изучение задач оптимального управления в полулинейной ситуации естественно начать со случая, когда фазовым пространством служит простое банахово многообразие. Именно простое банахово многообразие наименее отличается от подпространства. Основная наша задача заключается не только в поиске достаточных условий разрешимости задачи (0.8) - (0.10), но и необходимых условий в терминах сопряженной задачи.

Актуальность темы диссертации

Уравнения, неразрешенные относительно старшей производной, впервые появились, видимо, в работах А. Пуанкаре (см. обстоятельный обзор в монографии Г. В. Демиденко и С. В. Успенского [15]). Затем они возникали в работах С. В. Озеена, Ф. К. Ж. Одквиста, У. Буссинеска, С. Г. Россби и многих других, что было связано с исследованием некоторых проблем гидродинамики. Первым, кто начал систематическое изучение начально-краевых задач для уравнений вида

Ь х— Мх, (0.11) где Ь и М (возможно, матричные) дифференциальные операторы в частных произодных по "пространственным" переменным, был С. Л. Соболев в 40-х годах прошлого столетия. В 1954 году в работе [63] им было получено уравнение, моделирующее колебания гравити-рующей жидкости, и изучена задача Коши для него. Эта работа легла в основу нового направления, которое первоначально развивалось учениками С. Л. Соболева - Р. А. Александряном [67], С. А. Галь-перном [13], А. Г. Костюченко и Г. И. Эскиным [27], Т. И. Зеленяком [22] и многими другими. Их результаты инициировали работы В. Н. Врагова [11], А. И. Кожанова [26], [94] и С. Г. Пяткова [18] по неклассическим уравнениям математической физики.

Первым абстрактные уравнения вида (0.11) в их связи с уравнениями в частных производных начал изучать Р. Е. Шоуолтер [100], [101]. Независимо от него М. И. Вишик [10] рассмотрел задачу Коши для уравнения (0.11) и разработал численные методы ее решения. Р. Е. Шоуолтер [101] и независимо от него Н. А. Сидоров со своими учениками [69], [70] первыми начали изучать полулинейные уравнения вида (0.9) с различными вырождениями оператораЬ и получать приложения абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам для уравнений в частных производных.

Первыми, кто начал изучать разрешимость задачи Коши для абстрактного линейного операторного уравнения (0.11), были С. Г. Крейн [30] и его ученики. В их работах был детально изучен случай (Ь, сг)-ограниченного оператора М. Показано, что фазовым пространством уравнения (0.11) служит некоторое подпространство в И коразмерности, равной размерности М-корневого пространства фредгольмова оператора Ь. Все работы имеют сугубо теоретический характер и не содержат никаких приложений, как и тесно примыкающие к ним результаты И. В. Мельниковой и ее учеников [40], [98].

Отдавая дань С. Л. Соболеву, уравнения вида (0.11) и конкретные их интерпретации (вида (0.3) - (0.5), (0.7)) часто называют уравнениями соболевского типа [27], [44], [66], [67], [97], [100], [103]. Далее всюду мы считаем этот термин синонимом терминов "вырожденные дифференциальные уравнения" [91], [98] и "дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно старшей производной" [15], "неклассические дифференциально-операторные уравнения" [18], "псевдопараболические" и "псевдогиперболические" уравнения [15], [94] и "уравнения не типа Коши - Ковалевской" [37]. Уравнения соболевского типа являются самостоятельной частью обширной области неклассических уравнений математической физики. Заметим еще, что важность и необходимость создания общей теории уравнений вида (0.9), (0.11) отмечали И. Г. Петровский [46] и Ж.-Л. Лионе [35].

В настоящее время уравнения соболевского типа переживают поРУ бурного расцвета, - за последние семь лет вышло шесть монографий, целиком или частично посвященных уравнениям (0.9), (0.11). Открывает этот список монография Р. Е. Шоуолтера [101], в которой расматриваются уравнения (0.9), (0.11) с самосопряженным оператором Ь, определенные в полугильбертовом пространстве, т. е. пространстве, имеющем нехаусдорфову топологию. Очень своеобразный подход позволил автору получить результаты о разрешимости задачи (0.8) для уравнения (0.9), где в качестве прообраза оператора Ь выступает эллиптический оператор, вырождающийся на множестве ненулевой меры.

В монографии Г. Е. Демиденко и С. В. Успенского [15] методом построения последовательностей приближенных решений и получения их оценок в соответствующих нормах изучены задача Коши и смешанная задача для уравнения

-1

Ьь{ра)Е& + £ Ц-к{ра)1$х = /(в, I) к=0 с квазиэллиптическим оператором £о(Д?)- Получены результаты об однозначной разрешимости данных задач.

В монографии А. Фавини и А. Яги [91] построена теория полугрупп операторов, разрешающих дифференциальные включения хг € А(х) ' с линейным многозначным оператором. К такому включению сводится линейное уравнение соболевского типа (0.11) с (Ь, ^-ограниченным оператором М в случае устранимой особой точки в бесконечности. Теория проиллюстрирована различными примерами и приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными.

В монографии Н. А. Сидорова, Б. В. Логинова, А. В. Синици-на и М. А. Фалалеева [102] разработаны приложения метода Ляпунова - Шмидта к полулинейным уравнениям и их обобщениям. Доказано существование и единственность решения в классе непрерывных функций задачи Коши для неоднородного уравнения (0.9) с сильно измеримой и интегрируемой по Бохнеру неоднородностью и дополнительными условиями на оператор N (типа ограничений). Показано существование ги-периодического решения задачи Коши для неоднородного уравнения (0.11) с замкнутыми плотно определенными операторами и ги-периодической неоднородностью.

В монографии Ю. Е. Бояринцева, В. Ф. Чистякова [4] предметом изучения является алгебро-дифференциальные неоднородные системы вида (0.11) с прямоугольной или вырожденной при всех£ 6 [0, Т] матрицей £(£). Доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши для алгебро-дифференциальных систем вида (0.11) с регулярной и сингулярной парой постоянных (га х п)-матриц Ь и М. Рассматривается задача об оптимальном управлении с квадратичным функционалом общего вида и с условием, представляющим собой сингулярную систему.

Для случая постоянных матриц имеются два подхода к сведению задачи оптимизации к решению регулярной системы. В работах Г. А. Свиридюка и С. В. Брычева [58], Г. А. Свиридюка и И. В. Бурлачко [59] на основе метода фазового пространства построен новый численный алгоритм для решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот алгоритм доведен до конечного программного продукта. Данный алгоритм отличается от ставшими классическими аналогов Ю. Е. Бояринцева и В. Ф. Чистякова [4].

В монографии И. В. Мельниковой и А. И. Филенкова [98] получены необходимые и достаточные условия равномерной корректности в терминах условий типа Хилле - Иосиды и расщепления исходных пространств в прямые суммы ядра и образа оператора при производной по времени.

В монографии И. Е. Егорова, С. Г. Пяткова и С. В. Попова [18] исследована разрешимость краевой нелокальной задачи для неоднородного уравнения (0.11), где опеарторы Ь, М - самосопряженные (или диссипативные) операторы, определенные в гильбертовом пространстве. Получен результат о существовании сильного решения данной задачи и показано, что при выполнении некоторых условий разрешимости (ортогональности) решение краевой задачи является гладким.

В монографии X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса [12] исследуется задача Коши для псевдопараболического уравнения (0.9) с равномерно липшиц-непрерывным и сильно монотонным оператором Ь и липшиц-непрерывным оператором Вольтерры М. Доказываются теоремы существования и единственности решений данной задачи, а также сходимость метода Галеркина.

Несмотря на обилие аспектов, в которых изучаются уравнения соболевского типа, во всех цитированных выше монографиях отсутствует объяснение феномена принципиальной неразрешимости задачи (0.8), (0.9) при произвольных начальных данных пусть даже из плотного в X множества. Впервые данный феномен был замечен в [90], [96], затем он отмечался многими авторами; однако удовлетворительное его объяснение впервые было получено Г. А. Свиридюком и Т. Г. Сукачевой [66], [67] с точки зрения предложенного ими метода фазового пространства. Вкратце суть этого метода заключается в редукции уравнения (0.9), (0.11) к стандартным уравнениям х = Бх + Р(х), х — вх, определенным однако не на всем пространстве, а на некотором его подпространстве, понимаемом как фазовое пространство уравнений (0.9), (0.11). Таким образом, изучение начально-краевых задач для различных линейных и полулинейных уравнений соболевского типа сводятся к изучению их фазовых пространств. Последовательное применение метода фазового пространства к изучению уравнений вида (0.11) позволило не только построить стройную теорию вырожденных (полу)групп операторов, но и разработать приложения этой теории к задачам устойчивости и задачам оптимального управления. Первые итоги этих исследований подведены в монографии Г. А. Свиридюка и В. Е. Федорова [103]. К настоящему времени В. Е. Федоров обобщил теорию вырожденных (полу)групп операторов на случай локально выпуклых пространств [76], [77], [78].

Изучение фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа начато Г. А. Свиридюком [50] в 1986 году для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска. Г. А. Свиридюком и М. М. Якуповым [68] было изучено фазовое пространство уравнения Осколкова и доказано, что фазовое пространство является простым банаховым С°°-многообразием. В диссертации М. М. Якупова [86] была установлена простота фазового пространства задачи Коши - Бенара для гибрида уравнения Осколкова и уравнения теплопроводности в приближении Обербека - Буссинеска, моделирующего плоскопараллельную термоконвекцию вязкоупругой несжимаемой жидкости. Непосредственным продолжением [68] являются работы [57], [62] и [113].

Физические процессы, имеющие место в технике, как правило управляемы. В связи с этим возникает вопрос о нахождении наилучшего в том или другом смысле или, как говорят, оптимального управления процессом. В настоящее время в математической литературе существует несколько основных подходов к решению задач оптимального управления. Один из них относится к изучению задач оптимального управления для обыкновенных дифференциальных уравнений. JL С. Понтрягин [49] рассматривал такие управляемые процессы, каждый из которых может быть описан системой обыкновенных дифференциальных уравнений dxi = f{x\ ., хп, и\ ., О, i = 1,., п. (0.12) at

JL С. Понтрягину, его ученикам и соратникам принадлежит решение значительного числа таких вариационных задач. Решение это в существенных чертах объединяется одним общим приемом, - прин-ципумом максимума. Для задачи быстродействия принцип максимума был в качестве гипотезы впервые высказан JI. С. Понтряги-ным. Первое доказательство принципа максимума было дано Р. В. Гамкрелидзе для линейных управляемых систем. В общем нелинейном случае принцип максимума доказал В. Г. Болтянский, который вслед за тем построил основы нелинейной теории оптимального управления.

Для теории управляемых систем и для ее приложений важна задача о построении управляющего воздействия и, которое приводит объект в заданное состояние. Такие задачи для систем (0.12) были изучены Н. Н. Красовским [29] и его учениками. Н. Н. Красовским была проведена аналогия между теорией линейных управляемых систем и теорией игр. В частности, была выяснена тесная связь между правилами минимакса, определяющими решение задач об управлении и наблюдении, с условием седловой точки для тех игр, которые можно сопоставить этим задачам.

В. И. Зубовым [23] была решена проблема стабилизации программных движений, включая их построение, а также методы синтеза управлений, в том числе построения оптимальных управлений. На основе второго метода Ляпунова В. И. Зубовым построен подход к нахождению необходимых и достаточных условий оптимальности в различных вариационных задачах.

Для исследования широкого класса нелинейных задач управления В. М. Матросовым [39] и его учениками был применен метод вектор-функций Ляпунова. Этот метод был применен для анализа устойчивости и других динамических свойств для нелинейных систем с распределенными параметрами вида (0.12), и были получены теоремы сравнения и теоремы экспоненциальной устойчивости.

В работах Г. А. Куриной [32], [33] изучаются матрично сингулярно возмущенные задачи оптимального управления. Исследуется вопрос о поведении решений этих задач при стремлении к нулю малого параметра. Изучена взаимосвязь между множествами сингулярно возмущенной системы

Нт

А + еВ)— = С(Ь)х + х(0) = х0

1м1г и вырожденной системы. Доказаны теоремы о структуре множества достижимости, равномерной сходимости по е.

Другой подход представлен в работах Ж.-Л. Лионса [35], [36], А. В. Фурсикова [82] и многих других, он основан на изучении уравнений в частных производных. Теория оптимизации для систем с распределенными параметрами, описываемыми уравнениями с частными производными, стала разрабатываться уже после того, как были получены основные результаты в теории оптимизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. Работа Ж.-Л. Лионса [35] была первой монографией, в которой систематически изучаются оптимальные задачи для уравнений с частными производными. Наибольшее внимание в ней уделено линейным эллиптическим, параболическим, гиперболическим системам с квадратичной функцией стоимости и изучаются соответствующие односторонние граничные задачи. Кроме того, рассмотрены вопросы аппроксимации оптимальных решений.

Еще одну свою монографию [36] Ж.-Л. Лионе посвятил проблемам управления сингулярными распределенными системами. В таких системах заданному управлению может не соответствовать единственное устойчивое состояние. Поэтому Ж.-Л. Лионсом рассматривается вопрос существования обобщенных оптимальных пар, изучаются их свойства и предлагаются численные методы для их определения. На широком наборе примеров из различных прикладных областей иллюстрируются необходимые условия оптимальности, которые в случае обычных рапределенных систем переходят в известные (принцип максимума).

Продолжением и развитием последних результатов стала монография А. В. Фурсикова [82]. А. В. Фурсиков исследовал абстрактные оптимальные задачи с линейной и нелинейной упавляемыми системами (0.9), (0.11), где операторы Ь и М непрерывны. Показано, что линейная экстремальная задача разрешима при условии нетривиальности и коэрцитивности. Для разрешимости нелинейной экстремальной' задачи к указанным выше условиям добавляется условие компактности, накладывающее достаточно жесткие условия на оператор М. Все абстрактные результаты были применены к различным классам задач оптимального управления.

В работах Николаса Папагеоргио [92], [99] рассматривается задача оптимального управления для нелинейного эволюционного уравнения х + М(Ь,х) = В(Ь)и, х(0) = аг0, и(г) е И, в банаховом пространстве X с измеримым по £, монотонным и хеми-непрерывным по х оператором М. Причем (М(£, х),х) > С1(£)||а;||2,

М(£,ж)||* < а(£) + 6ЦЖ11, а,сх е сх(^) > с > 0. Развивается теория существования решений, и находятся необходимые условия оптимальности.

Задачами оптимального управления для линейных уравнений соболевского типа впервые занялись Г. А. Свиридюк и А. А. Ефремов [60], [61] и А. А. Ефремов [19]. В их работах исследована задача Коши для уравнения (0.11) с (£, <т)-ограниченным и (Ь,р)~ секториальным оператором М и получены результаты о существовании и единственности классического и сильного решения. Изучена задача оптимального управления для линейного уравнения

Ьх = Мх + у + Ви. (0.13)

Получены необходимые и достаточные условия существования оптимального управления в случаях (Ь, <т)-ограниченного и (Ь,р)~сек-ториального оператора М, минимизирующего квадратичный функционал стоимости. Разработаны приложения для некоторых уравнений математической физики. Эти результаты инициировали работы В. Е. Федорова и М. В. Плехановой [47], [79], [80]. Ими показано существование и единственность сильных и слабых решений задачи Коши для уравнения (0.11) для сильно (£,р)-радиального оператора М. Исследована задача оптимального управления для уравнения (0.13). Полученные абстрактные результаты приложены к некоторым начально-краевым задачам в частных производных. Разработан подход, при котором начальное условие берется из всего пространства, а не из фазового пространства, как у Г. А. Свиридюка и

А. А. Ефремова.

В. Ф. Чистяков и С. В. Гайдомак [85] исследовали задачи оптимального управления вырожденными гиперболическими системами (0.11), где Ь, М - (п х п)-матрицы с элементами, зависящими от переменных (б,£). Найдены условия непрерывности аппроксимации целевого функционала по управлению. Создан комплекс программ, позволяющий решать задачи оптимального управления для таких систем с квадратичным целевым функционалом.

Задачами оптимального управления для полулинейных уравнений соболевского типа впервые занялись Г. А. Свиридюк и М. В. Плеханова [64]. Методами теории (Ь,сг)-ограниченных операторов ими было изучено уравнение Осколкова и показана локальная разрешимость задачи оптимального управления для него.

В заключение дадим краткий обзор диссертационных работ учеников Г. А. Свиридюка, не имеющих непосредственного отношения к нашей диссертации. Так в диссертации Т. Г. Сукачевой были изучены быстрые и медленные движения уравнения с возмущенным оператором при производной по времени (0.9). Исследуется морфология медленного многообразия данного уравнения. Абстрактные результаты применяются к задаче Коши-Дирихле и задаче Тейлора для системы уравнений Осколкова, моделирующей динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта порядка 1. В диссертации Т. А. Бокаревой [5] изучена морфология фазового пространства (0.9) в эволюционном случае. Найдены условия, при которых фазовое пространство содержит к- сборку Уитни. Абстрактные результаты были применены к системам, имеющим важное прикладное значение. В диссертации Л. Л. Дудко [17] были найдены необходимые и достаточные условия относительной сг-ограниченности линейных операторов. В диссертации Г. А. Кузнецова [31] найдены достаточные условия относительных сильной р-секториальности и сильной р-радиальности линейных операторов, доказан критерий сг-ограниченности относительно бирасщепляющего и фредгольмова операторов. Диссертация А. В. Келлер [25] посвящена экспоненциальным дихотомиям линейных однородных и ограниченным решениям линейных неоднородных уравнений соболевского типа. В диссертации С. В. Брычева [6] построен новый численный алгоритм для решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (так называемых "систем леонтьевского типа", к которым относится знаменитая система Леонтьева "затраты - выпуск" с учетом запасов). В диссертации С. А. Загребиной [20] рассматривается задача Веригина для уравнения (0.11), которая обобщает классическую задачу Коши (0.8). Здесь, как и во всех работах, абстрактные результаты богато проиллюстрированы прикладными задачами. В диссертации А. А. Замышляевой [21] изучено фазовое пространство уравнения соболевского типа высокого порядка. Построено семейство вырожденных аналитических М, ЛГ-функций.

Методы исследования

Для изучения вопроса существования решения уравнения (0.9) с самосопряженным, неотрицательно определенным, фредгольмовым оператором Ь и б-монотонным и р-коэрцитивным оператором М мы используем метод монотонности. Мы строим приближенные решения посредством метода Галеркина-Петрова-Фаэдо; существование приближенных решений доказывается с помощью теоремы существования решения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для метода монотоности требуется построение априорных оценок. Наиболее простые априорные оценки проистекают из физических соображений и свойств операторов Ьи М. Далее, пользуясь теоремой Банаха-Алаоглу, мы переходим к слабому пределу и доказываем, что он и есть искомое решение. Доказательство единственности решения существенным образом опирается на свойство я-монотонности оператора М. Как правило, оно устанавливается посредством умножения уравнения, которое мы решаем, на линейные комбинации неизвестных функций и подходящего интегрирования по частям. Далее нас интересует вопрос существования оптимального управления задачи (0.10) решениями задачи (0.8), (0.9), здесь управление и берется из некоторого замкнутого и выпуклого множества в пространстве управлений. Поскольку решение получается непрерывным, то функционал стоимости (0.10) можно записать в виде J(x, и) = ,/(и) и, пользуясь теоремой Мазура, получить существование оптимального управления.

Для расмотрения вопроса разрешимости уравнений (0.3) - (0.5), (0.7) существенную роль играет выбор функциональных пространств, в которых решается задача. Важность этого факта отмечали О. А. Ладыженская и Ж.-Л. Лионе [35]. Эта трудность связана с вопросом о гладкости: если удается доказать, что рассматриваемая (нелинейная) задача является корректной в некотором функциональном классе, то, как правило, неверно, что решение будет очень гладким, коль скоро этим свойством обладают данные задачи. Опираясь на построенную абстрактную теорию для уравнения (0.9), мы решаем задачу оптимального управления. Необходимое условие минимума функционала ищется в терминах сопряженной задачи. На этом пути получаются граничные задачи, которые являются линейными и также могут решаться методом монотонности.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. К результатам теоретической значимости следует отнести теоремы существования решения и оптимального управления абстрактных полулинейных уравнений соболевского типа. Полученные абстрактные результаты затем используются при исследовании задач оптимального управления для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска, уравнения Хоффа выпучивания двутавровой балки, уравнения Осколкова нелинейной фильтрации, уравнения нелинейной диффузии. Эти результаты необходимы при построении численных алгоритмов решения задач. Построенные алгоритмы реализованы в вычислительной среде Maple 9.0 и найдены галеркинские приближения решения и оптимальное управление для уравнений (0.4), (0.7).

Апробация

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на VI Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти М. А. Лаврентьева, в 2000 году (г. Новосибирск), Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" в 2001 и 2004 году (г. Екатеринбург) [112], [107], Международной школе-семинаре по геометрии и анализу в 2000 году (г. Ростов-на-Дону) [111], студенческих конференциях Челябинского государственного университета в 2001 и 2002 году (г. Челябинск) [110], Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения акад. М. А. Лаврентьева, в 2005 году (г. Новосибирск) [108]. Также результаты докладывались на семинаре профессора Г. А. Свиридюка в Челябинском государственном университете (г. Челябинск).

Данное исследование поддержано стипендией Президента РФ (2004 г.), грантом Правительства Челябинской области (2003 г.) и стипендией Законодательного собрания г. Челябинска (2002 г.).

Краткое содержание диссертации

Диссертация, кроме введения и списка литературы, содержит три главы. Список литературы включает 114 наименований работ отечественных и зарубежных авторов, составляющих информационную базу диссертации.

Первая глава состоит из четырех параграфов, в которых рассмотрен вопрос существования и единственности задачи (0.8), (0.9). П. 1 содержит сведения из теории банаховых пространств, операторов в банаховых пространствах [12], [41] и алгебро-дифферен-циальных систем [53]. Этот параграф носит вспомогательный характер. В п. 2 изучена структура фазового пространства уравнения (0.9). Впервые схема доказательства простоты фазового пространства была предложена Г. А. Свиридюком в его работе [53] для эволюционного случая, мы ее продолжили на динамический случай. В п. 3 рассмотрен вопрос однозначной разрешимости задачи Коши (0.8) для эволюционного операторно-дифференциального уравнения (0.9). Впервые эта задача была решена Г. А. Свиридюком в его работе [53], мы адаптировали данные результы к нашей ситуации и востановили пропущенные этапы доказательств. В п. 4 рассмотрена задача Коши (0.8) для динамического операторно-дифференциаль-ного уравнения (0.9).

Вторая глава состоит из пяти параграфов, в которых рассмотрен вопрос существования оптимального управления. В п. 1 представлены основные результаты по теории эллиптических дифференциальных операторов в банаховых пространствах. Основное внимание здесь уделено формализации понятия "дифференциальный оператор" в областях с границей класса С°° [75]. Также этот параграф содержит определение пространств Соболева и теорему вложения Соболева. В п. 2 рассмотрен вопрос существования оптимального управления абстрактной задачи (0.8) - (0.10). В п. 3 рассмотрено обобщенное фильтрационное уравнение Буссинеска (0.3). Подобраны функциональные пространства, при которых уравнение (0.3) можно редуцировать к абстрактному эволюционному уравнению (0.9). Вопрос о существовании и единственности решения задачи (0.1) - (0.3) был впервые решен Г. А. Свиридюком в его работе [53], мы установили существование оптимального управления задачи (0.10) и нашли необходимые условия существования минимума функционала. В п. 4 изучается уравнение Хоффа выпучивания двутавровой балки (0.7). Подобраны функциональные пространства, при которых уравнение (0.7) можно редуцировать к абстрактному эволюционному уравнению (0.9). Методами, предложенными в главе 1, изучается вопрос существования и единственности решения задачи (0.2), (0.6), (0.7). Установлено существование оптимального управления задачи (0.10) и найдены необходимые условия существования минимума функционала. В п. 5 рассмотрено уравнение Осколкова нелинейной фильтрации (0.4). Подобраны функциональные пространства, при которых уравнение (0.4) можно редуцировать к абстрактному эволюционному уравнению (0.9). Методами, предложенными в главе 1, изучается вопрос существования и единственности решения задачи (0.1), (0.2), (0.4). Установлено существование оптимального управления задачи (0.10) и найдены необходимые условия существования минимума функционала. В п. 6 рассмотрено уравнение нелинейной диффузии (0.5). Подобраны функциональные пространства, при которых уравнение (0.5) можно редуцировать к абстрактному уравнению (0.9). Методами, предложенными в главе 1, изучается вопрос существования и единственности решения задачи (0.1), (0.2), (0.5). Установлено существование оптимального управления задачи (0.10) и найдены необходимые условия существования минимума функционала.

Третья глава состоит из двух параграфов и содержит приложения, разработанные в вычислительной среде Maple 9.0. В п. 1 представлены результаты работы программ, вычисляющих оптимальное управление для уравнения Хоффа в случае п = 1, (5 = 0. В п. 2 представлены результаты работы программ, вычисляющих оптимальное управление для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации в случае п — 2, р — 2.

Публикации

Все результаты диссертации своевременно опубликованы [105] -[114]. Необходимо отметить, что во всех работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит только постановка задачи и идеи доказательств. Все доказательства выполнены автором диссертации самостоятельно.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Теоремы существования и единственности задачи Шоуолтера-Сидорова для полулинейных уравнений соболевского типа методом Галеркина-Петрова-Фаэдо для эволюционного и динамического случаев.

2. Достаточное условие существования оптимального управления для полулинейного уравнения соболевского типа.

3. Необходимые условия существования оптимального управления для уравнений (3) - (5), (7).

4. Разработка численного метода решения задач оптимального управления для уравнений (4), (7).

Благодарности

В заключение считаю своим приятным долгом выразить огромную благодарность моему научному руководителю профессору Г. А. Свиридюку за постановку задачи, постоянную поддержку и внимание к работе; коллективу кафедры математического анализа Челябинского государственного университета за строгую, но конструктивную критику, а также моей семье.

1. Александрян, Р. А. Спектральные свойства операторов, порожденных системами дифференциальных уравнений типа Соболева / Р. А. Александрян // Тр. ММО - 1960 - Т. 9-С. 455-505.

2. Амфилохиев, В. Б. Течения полимерных растворов при наличии конвективных ускорений / В. Б. Амфилохиев, Я. И. Войт-кунский, Н. П. Мазаева // Тр. Лен. кораблестр. ин-та.- 1975Т. 96 С. 3-9.

3. Аргучинцев, А. В. Оптимальное управление начально-краевыми условиями гиперболических систем / А. В. Аргучинцев.- Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2003.- 155 с.

4. Бояринцев, Ю. Е. Алгебро-дифференциальные системы: методы решения и исследования / Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков Новосибирск: Наука, 1998 - 224 с.

5. Бокарева, Т. А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами. Дис. . канд. физ.-мат. наук / Т. А. Бокарева; РГПУ им. А.И. Герцена СПб, 1993 - 107 с.

6. Брычев, С. В. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов. Дис. . канд.физ.-мат. наук / С. В. Брычев; Челяб. гос. ун-т- Челябинск, 2002 124 с.

7. Бурбаки, Н. Элементы математики. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / Н. Бурбаки .М: Мир, 1975.- 220 с.

8. Васильев, С. Н. К теории редукции в качественном анализе и управлении динамическими системами / С. Н. Васильев // Тр. ИММ УрО РАН.- 2004.- Т. 10, № 2.- С. 20-34.

9. Вайпберг, М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин М.: Наука, 1969527 с.

10. Вишик, М. И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения / М. И. Вишик // Матем. сб.- 1956.- 39(81):1.- С. 51-148.

11. Врагов, В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В. Н. Врагов Новосибирск: НГУ, 1983.- 179 с.

12. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас М.: Мир, 1978 - 336 с.

13. Гальперн, С. А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными / С. А. Гальперн // Тр. ММО- 1960.- Т. 9.- С. 401-423.

14. Гохберг, И. Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн М.: Наука, 1965.- 448 с.

15. Демиденко, Г. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский.- Новосибирск: Научная книга, 1998.- 438 с.

16. Дзекцер, Е. С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод / Е. С. Дзекцер // ДАН СССР.- 1972.- № 5.- С. 1031-1033.

17. Дудко, Л. Л. Исследование полугрупп операторов с ядрами. Дис. . канд. физ.-мат. наук / Л. Л. Дудко.- Новгород, 199688 с.

18. Егоров, И. Е. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И. Е. Егоров, С. Г. Пятков, С. В. Попов.- Новосибирск: Наука, 2000 336 с.

19. Ефремов, А. А. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева. Дисканд. физ.-мат.наук / А. А. Ефремов; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 1996.102 с.

20. Загребина, С. А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости. Дис. . канд. физ.-мат. наук / С. А. Загребина; Челяб. гос. ун-т- Челябинск, 2002 100 с.

21. Замышляееа, А. А. Исследование одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка. Дис. канд. физ.-мат. наук / А. А. Замышляева; Челяб. гос. ун-т- Челябинск, 2003 101 с.

22. Зеленяк, Т. И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными / Т. И. Зеленяк Новосибирск, 1970. - 164 с.

23. Зубов, В. И. Лекции по теории управления / В. И. Зубов.- М.: Наука, 1975.-494 с.

24. Квадарос, Б. О разрешимости задачи Коши для вырожденного квазилинейного дифференциального уравнения / Б. Квадарос // Литовский мат. сб.- 1980 Т. 20, № 3 - С. 51-55.

25. Келлер, А. В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева. Дис. канд. физ.-мат. наук / А. В. Келлер Челябинск, 1997.- 115 с.

26. Кожанов, А. И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А. И. Кожанов.- Новосибирск: НГУ, 1990.- 132 с.

27. Костюченко, А. Г. Задача Коши для уравнений типа Соболева-Гальперна / А. Г. Костюченко, Г. И. Эскин // Тр. Моск. матем. об-ва- 1961- Т. 10 С. 273-285.

28. Котсиолис, А. А. Нелокальные задачи для класса нелинейных диссипативных уравнений типа С. Л. Соболева / А. А. Котсиолис, А. П. Осколков, Р. Д. Щадиев // Зап. научн. сем. ЛОМИ.-1992 Т. 199.- С. 91-113.

29. Красовский, Н. Н. Теория управления движением / Н. Н. Красовский.- М.: Наука, 1968 475 с.

30. Крейн, С. Г. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С. Г. Крейн, К. И. Чернышов- Новосибирск: Препр. ин-та математ. СО АН СССР, 1979.- 18 с.

31. Кузнецов, Г. А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов. Дис. . канд. физ.-мат. наук / Г. А. Кузнецов; Челяб. гос. ун-т- Челябинск, 1999.- 105 с.

32. Курина, Г. А. Асимптотика решения задач оптимального управления для дискретных слабоуправляемых систем / Г. А. Курина // ПММ.- Т. 66, № 2 С. 214-227.

33. Курина, Г. А. О поведении множеств достижимости линейных матрично сингулярно возмущенных систем / Г. А. Курина // Тр. МИРАН.- 1995.- Т. 211- С. 316-325.

34. Ленг, С. Введение в теорию дифференциальных многообразий / С. Ленг.- Волгоград: Платон, 1997.- 203 с.

35. Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе М.: Мир, 1972 - 587 с.

36. Лионе, Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Ж.-Л. Лионе М.: Наука, 1987 - 367 с.

37. Лионе, Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес.- М.: Мир, 1971- 371 с.

38. Матвеев, А. С. Абстрактная теория оптимального управления / А. С. Матвеев, В. Я. Якубович.- СПб.: Изд-во ун-та, 1994 361 с.

39. Матросов, В. М. Нелинейная теория управления и ее приложения / Под ред. В. А. Матросова- М.: Физмалит, 2000.320 с.

40. Мельникова, И. В. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве / И. В. Мельникова, М. А. Алыпан-ский // ДАН.- 1994.- Т. 336, № 1.- С. 17-20.

41. Ниренберг, Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Ниренберг- М.: Мир, 1977 232 с.

42. Осколков, А. П. Некоторые модельные нестационарные системы в теории неньютоновых жидкостей / А. П. Осколков // Зап. научн. сем. ЛОМИ.- 1981- Т. 110.- С. 141-162.

43. Осколков, А. П. Начально-краевые задачи для уравнений движения нелинейных вязкоупругих жидкостей / А. П. Осколков // Зап. научн. сем. ЛОМИ 1985 - Т. 147.- С. 110-119.

44. Осколков, А. П. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С. Л. Соболева / А. П. Осколков // Зап. науч. сем. ЛОМИ.- 1991.- Т. 198.- С. 31-48.

45. Осколков, А. П. Нелокальные задачи для уравнений фильтрации неньютоновых жидкостей в пористых средах / А. П. Осколков, М. М. Ахматов, Р. Д. Щадиев //Зап. научн. сем. ЛОМИ.- 1991.- Т. 189.- С. 82-100.

46. Петровский, И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И. Г. Петровский.- М.: Физматгиз, 1961- 360 с.

47. Плеханова, М. В. Задача оптимального управления для одного класса вырожденных уравнений / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы управления 2004-№ 5.- С. 40-44.

48. Полубаринова-Кочина, П. Я. Теория движения грунтовых вод / П. Я. Полубаринова-Кочина М.: Наука, 1987.- 664 с.

49. Понтрягин, Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко М.: Физматгиз, 1961 - 120 с.

50. Свиридюк, Г. А. Многообразие решений одного сингулярного псевдопараболического уравнения / Г. А. Свиридюк // ДАН СССР.- 1986 Т. 289.- № 6.- С. 1315-1318.

51. Свиридюк, Г. А. О разрешимости сингулярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Г. А. Свиридюк // Дифференц. уравнения 1987 - Т. 23, № 9 - С. 1637-1639.

52. Свиридюк, Г. А. Многообразия решений одного класса эволюционных и динамических уравнений / Г. А. Свиридюк // ДАН СССР 1989.- Т. 304, № 2.- С. 301-304.

53. Свиридюк, Г. А. Одна задача для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска / Г. А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика 1990 - № 2 - С. 55-61.

54. Свиридюк, Г. А. Об одной задаче динамики вязкоупругой жидкости / Г. А. Свиридюк // Дифференц. уравнения.- 1990.Т. 26, № 11- С. 1992-1998.

55. Свиридюк, Г. А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк // Изв. РАН, сер. матем.- 1993.- Т. 57, № 3,- С. 192-207.

56. Свиридюк, Г. А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором / Г.А. Свиридюк // Алгебра и анализ.- 1994.- Т. 6, № 5.- С. 252-272.

57. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство задачи Коши Дирихле для одного неклассического уравнения / Г. А. Свиридюк, А. В. Анкудинов // Дифференц. уравнения - 2003- Т. 39, № 11. С. 1556 -1561.

58. Свиридюк, Г. А. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа / Г. А. Свиридюк, С. В. Брычев // Изв. вузов. Математика. 2003 № 8 - С. 46-52.

59. Свиридюк, Г. А. Алгоритм решения задачи Коши для вырожденных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / Г. А. Свиридюк, И. В. Бурлачко // ЖВМиМФ.- 2003.-Т. 43, № 11. С. 1677-1683.

60. Свиридюк, Г. А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальными операторами / Г. А. Свиридюк, А. А. Ефремов // Дифференц. уравнения 1995.- Т. 31, № 11.- С. 1912-1919.

61. Свиридюк, Г. А. Задача оптимального управления для одного класса линейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, А. А. Ефремов // Изв. вузов. Математика 1996-№ 2 - С. 7583.

62. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа / Г. А. Свиридюк, В. О. Казак // Матем. заметки 2002 - Т. 71, № 2 - С. 292-297.

63. Свиридюк, Г. А. Фазовые пространства уравнений типа Соболева с я-монотонными и сильно коэрцитивными операторами / Г. А. Свиридюк, М. В. Климентьев // Изв. вузов. Математика 1994 - № 11- С. 75-82.

64. Свиридюк, Г. А. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова / Г. А. Свиридюк, М. В. Плеханова // Дифферент уравнения 2002 - Т. 38, № 7 - С. 997-998.

65. Свиридюк, Г. А. Разрешимость неоднородной задачи для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска / Г. А. Свиридюк, И. Н. Семенова // Дифференц. уравнения- 1988.Т. 24, № 9 С. 1607-1611.

66. Свиридюк, Г. А. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // Сиб. матем. журн.- 1990 Т. 31, № 5 - С. 109-119.

67. Свиридюк, Г. А. Фазовые пространства одного класса операторных полулинейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева //Дифференц. уравнения 1990 - Т. 26, № 2.- С. 250-258.

68. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова / Г. А. Свиридюк, М. М. Якупов // Дифференц. уравн.- 1996.- Т. 32, № 11.- С. 1538-1543.

69. Сидоров, Н. А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / Н. А. Сидоров, О. А. Романова //Дифференц. уравнения.- 1983.Т. 19, № 9.- С. 1516-1526.

70. Сидоров, Н. А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н. А. Сидоров, М. В. Фалалеев // Дифференц. уравнения.-1987 Т. 23, № 4 - С. 726-728.

71. Соболев, С. Л. Об одной новой задаче математической физики / С. Л. Соболев // Изв. АН СССР, сер. матем 1954 - Т. 18-С. 3-50.

72. Соболев С. Л. Применение функционального анализа к математической физике / С. Л. Соболев.- Л.: Наука, 1961- 255 с.

73. Сукачева, Т. Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка / Т. Г. Сукачева // Изв. вузов. Математика 1998 - № 3 - С. 47-54.

74. Сукачева, Т. Г. О разрешимости нестационарной задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости / Т. Г. Сукачева // Дифференц. уравнения 2000 - Т. 36, № 8 - С. 11061112.

75. Трибель, X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / X. Трибель М.: Мир, 1980 - 664 с.

76. Федоров, В. Е. Сильно голоморфные группы линейных уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Дифференц. уравнения. 2004- Т. 40, № 5. С. 702-712.

77. Федоров, В. Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах/ В. Е. Федоров // Матем. сборник 2004 - Т. 195, № 8. С. 131160.

78. Федоров, В. Е. Обобщение теоремы Хилле-Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Сиб. матем. журн 2005 - Т. 46, № 2. С. 426428.

79. Федоров, В. Е. Слабые решения и проблема квадратического регулятора для вырожденного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве / В. Е. Федоров, М. В. Плеханова // Вычислительные технологии 2004 - Т. 9, № 2 - С. 92-102.

80. Федоров, В. Е. Оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа / В. Е. Федоров, М. В. Плеханова // Дифференц. уравнения 2004 - Т. 40, № 11- С. 1548-1556.

81. Федоров, В. Е. Одномерная управляемость в гильбертовых пространствах линейных уравнений соболевского типа / В. Е. Федоров, О. А. Рузакова // Дифференц. уравнения-2002 Т. 38, № 8.- С. 1137-1139.

82. Фурсиков, А. В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / А. В. Фурсиков.- Новосибирск: Научная книга, 1999.- 350 с.

83. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри М.: Мир, 1985.- 376 с.

84. Чистяков, В. Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В. Ф. Чистяков Новосибирск: Наука, 1996 - 278 с.

85. Чистяков, В. Ф. О системах не типа Коши-Ковалевской индекса (1,к) / В. Ф. Чистяков, С. В. Гайдомак // Вычислительные технологии 2005 - Т. 10, № 2 - С. 45-59.

86. Якупов, М. М. Фазовые пространства некоторых задач гидродинамики. Дис. . канд. физ.-мат. наук / М. М. Якупов; Че-ляб. гос. ун-т.- Челябинск, 1999.- 83 с.

87. Эмануилов, О. Ю. Оптимальное управление уравнением теплопроводности с обратным течением времени / О. Ю. Эмануилов // Сиб. матем. журн 1993 - Т. 34, № 1- С. 83-103.

88. Changchun L. Weak solutions for a viscous p-Laplacian equation // Electronic Journal of Differential Equations.— 2004. — V. 15. P. 1-11.

89. Changchun L. Some properties of solutions of the pseudo-parabolic equation // Lobachevskii J. of Math — 2003. — V. 63. P. 3-10.

90. Coleman, B. D. Instability, uniqness and nonexistance theorems for the equation ut = uxx — uxxt on a strip / B. D. Coleman, R. J. Duffin, V. J. Mizel // Arch. Rat. Mech. Anal.- 1965.- V. 19-P. 100-116.

91. Favini A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi- New York, Basel, Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 1999 236 pp.

92. Halidias, N. Optimal control problems for a class of nonlinear evolution equations / N. Halidias, N. S. Papageorgiou // Period. Math. Hung.- 2002.- V. 45, № 1-2.- P. 43-63.

93. Hoff, N. J. Creep buckling / N. J. Hoff // Aeron.- 1956 V. 7, № 1- P. 1-20.

94. Kozhanov, A. I. Composite type equations and inverse problems / A. I. Kozhanov VSP: Zeist, 1999 - 200 pp.

95. Lamnabhi-Lagarrigue, F. Singular optimal control problems: on the necessary conditions of optimality / F. Lamnabhi-Lagarrigue,G. Stefani // SIAM J. Contr. and Optim- 1990 V. 28, № 4P. 823-840.

96. Levine, H. A. Some nonexistance and instability theorems for solutions of formally parabolic equations of the form Dut = — Au+ F{u) / H. A. Levine // Arch. Rat. Mech. Anal 1973 - V. 51, № 5.- P. 371-386.

97. Lightbourne, J. H. A. Partial functional equations of Sobolev type / J. H. A. Lightbourne // J. Math. Anal. Appl 1983 - V. 93, № 2 - P. 328-337.

98. Melnikova, I. V. Abstract Cauchy problems: three approaches / I. V. Melnikova, A. Filinkov.- CRC, Boca Raton, FL: Chapman and Hall, 2001- 158 pp.

99. Papageorgiou, N. S. On the optimal control of strongly nonlinear evolution equations / N. S. Papageorgiou //J. Math. Anal, and Appl 1992 - V. 164, № 1.- P. 83-103.

100. Showalter, R. E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type / R. E. Showalter // Pacific J. Math 1963 - V. 31, № 3-P. 787-794.

101. Showalter, R. E. Hilbert space methods for partial differential equations / R. E. Showalter Pitman, London, San Francisco, Melbourne, 1977.-152 pp.

102. Sidorov, N. Lyapunov-Shmidt methods in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithyn, M. Falaleev.-Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2002548 pp.

103. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov-Utrecht: VSP, 2003,- 216 pp.

104. Wang, G. Optimal control problems governed by non-well-posed semilinear elliptic equation / G. Wang / / Nonlinear Anal 2002-V. 49, № 3.- P. 315-333.

105. Манакова, H. А. О регулярных возмущениях уравнений соболевского типа / Н. А. Манакова // Студент и научно-технический прогресс: Тез. науч. студ. докл.- Челябинск: Чел-ГУ, 2002 С.З.

106. Манакова, Н. А. О фазовом пространстве задачи Коши-Дирихле для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Н. А. Манакова // Студент и научно-техн. прогресс: Тез. науч. студ. докл.- Челябинск: ЧелГУ, 2003.- С.З.

107. Манакова, Н. А. О фазовом пространстве для одной модели Осколкова / Н. А. Манакова // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф., Екатеринбург, 2-6 февраля 2004 года. Екатеринбург, 2004 - С. 191-192.

108. Манакова, Н. А. О задаче оптимального управления для уравнения Хоффа / Н. А. Манакова // Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике. Тез. докл. международной конф. 27 30 мая 2005 г.- Новосибирск, 2005 - С. 62.

109. Манакова, Н. А. Задача оптимального управления для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска/ Н. А. Манакова // Вест. МаГУ. Сер. Математика.- Магнитогорск, 2005.-Вып. 8.- С. 113-122.

110. Свиридюк, Г. А. О нелинейных регулярных возмущениях одного класса уравнений соболевского типа / Г. А. Свиридюк, Н. А. Манакова // Межд. школа-семинар по геометрии и анализу. Ростов-на-Дону, 2000 С. 239-240.

111. Свиридюк, Г. А. Регулярные возмущения одного класса линейных уравнений соболевского типа / Г. А. Свиридюк, Н. А. Манакова // Дифференц. уравнения 2002 - Т. 38, № 3 - С. 423425.

112. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Г. А. Свиридюк, Н. А. Манакова // Изв. вузов. Математика- 2003-№ 9 С. 36-41.

113. Свиридюк, Г. А. Задача оптимального управления для уравнения Хоффа / Г. А. Свиридюк, Н. А. Манакова // Сиб. жур. индустр. математики 2005 - Т. 8, № 2 - С. 144-151.