автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование математических моделей с феноменом неединственности

На правах рукописи ¥

Гильмутдинова Альбина Фаритовна

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ С ФЕНОМЕНОМ НЕЕДИНСТВЕННОСТИ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЧЕЛЯБИНСК - 2009

003460133

Работа выполнена в Южно-Уральском государственном университете.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Свиридюк Георгий Анатольевич Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кадченко Сергей Иванович доктор физико-математических наук, доцент Сукачева Тамара Геннадьевна Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Защита состоится 11 февраля 2009 года в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.298.14 при Южно-Уральском государственном университете, по адресу: 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76, ауд. 1001.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южно-Уральского государственного университета.

Автореферат разослан 31 декабря 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, /^

доктор физ.-мат. наук, профессор ' Л. Б. Соколинский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Цели и задачи работы. Пусть П С К", п е N - ограниченная область с границей дС1 класса С°°. В области Й х М рассмотрим начально-краевую задачу

(Л — ^72)(и(х,0) - щ(х)) — 0, а; € $7; (1)

и(х, Ь) = 0, (х, € дП х Е; (2)

для уравнения Корпусова - Плетнера - Свешникова (КПС)

(А - У2К = аУ2и + /?(У, иУи). (3)

В цилиндре П х рассмотрим начально-краевую задачу

г>(х,0) = ^(¡е), а; е Г2; (4)

ди ди)

+ Ау)(х, г) = + Щ(х, г) = о, (х, е х м+; (5)

для системы уравнений Плотникова

VI = Ау - Дго, 0 = V + Аю + 6и) - /Зго3. (6)

Уравнение (3) моделирует метастабильные процессы в жидком двухкомпонентном полупроводнике. Параметры а, ¡3, А € К характеризуют свойства полупроводника, причем квазистационарные процессы в полупроводниках возможны только при условии отрицательности коэффициента А. Именно в данном случае возможен пробой полупроводника, наблюдаемый экспериментально. Впервые уравнение (3) было получено в работе М.О. Корпусова, Ю.Д. Плетнера, А.Г. Свешникова1. Здесь же была установлена однозначная разрешимость задачи (1)-(3) только в случае положительности параметра

1 Корпусов, М. О. О квазистационарных процессах в проводящих средах без дисперсии /Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д., Свешников А.Г.// ЖВМиМФ.-2000,- Т. 4, у8- С. 1237-1249.

Л, что влечет обратимость дифференциального оператора при производной по времени в уравнении КПС. Нашей целью является качественное и численное исследование данной начально-краевой задачи при любых (в том числе и отрицательных) значениях параметра Л.

Система уравнений (6) представляет один из вариантов модели фазового поля в рамках мезоскопической теории в предположении, что время релаксации равно нулю. Параметры ¡3 и 5 характеризуют фазовый переход. Содержание и знак параметра /3 £ К в дальнейшем несущественны, главное, что /3^0. Систему уравнений (б) впервые построил, глубоко и обстоятельно изучал П.И. Плотников с учениками2. В цитированных работах установлено существование решения задачи (4)-(6), и поставлен вопрос о его единственности. Нашей целью является качественное и численное исследование разрешимости задачи (4)-(6) и единственности ее решения при различных значениях параметра 8. Для достижения поставленных целей необходимо было решить следующие задачи. Первая - исследовать морфологию фазовых пространств задач (1)-(3), (4)-(6). Вторая -получить условия неединственности решений поставленных задач. Третья - провести численные эксперименты, иллюстрирующие феномен неединственности решений данных задач.

Качественное исследование задач (1)-(3) и (4)-(6) облегчается тем обстоятельством, что они обе в подходящим образом подобранных банаховых пространствах Я и 5 редуцируются к задаче Шоуолтера - Сидорова

Ь(и{0) — ио) — 0, (7)

для полулинейного уравнения соболевского типа

Ы = Ми + Щи). (8)

2 Плотников П. И. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля / П. И. Плотников , В. Н. Старовойтов // Дифференц. уравнения,- 1993 - Т. 29, № 3 - С. 461-471.

Плотников П. И. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П. И. Плотников , А. В. Клепачева // Сиб. матем. журн,-2001- Т. 42, № 3 - С. 651-669.

Актуальность темы. Впервые уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, появились в работе А. Пуанкаре в 1885 году. Первым, кто начал систематическое изучение начально-краевых задач для линейных уравнений вида (8), где L и М (возможно, матричные) дифференциальные операторы в частных про-изодных по "пространственным" переменным, а оператор N = О, был С. JI. Соболев в 40-х годах прошлого столетия. С тех пор возникла традиция уравнения вида (8) и конкретные их интерпретации вида (3), (6) называть уравнениями соболевского типа. В настоящее время теория уравнений соболевского типа переживает пору бурного расцвета. В этой области активно работают P.E. Шоуолтер, Г.В. Демиденко, С.В. Успенский, Н.В. Сидоров, Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков, И.В. Мельникова, Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров и многие другие. Данная диссертационная работа выполнена в рамках направления, возглавляемого Г.А. Свиридюком.

Методы исследования. Основным методом исследования полулинейных уравнений соболевского типа в данной диссертации служит метод фазового пространства, предложенный Г. А. Свиридюком и Т. Г. Сукачевой. Вкратце суть этого метода заключается в редукции уравнения (8), где, возможно, kerb ф {0}, к регулярному уравнению

й = Su + F(u), (9)

определенному, однако, не на всем пространстве 11, а только на некотором его подмножестве, понимаемом как фазовое пространство урав-yi&tiXlfl (8). Применив описанный выше метод фазового пространства к моделям (3) и (6), нам удалось установить неединственность решения задачи (7), (8). Кроме метода фазового пространства мы широко используем теорию линейных уравнений соболевского типа и порождаемых ими вырожденных групп и полугрупп операторов; теорему о неявной функции и теорему Вишика - Минти - Браудера; теорему Коши как для случая векторных полей на банаховых многообразиях, так и для случая полулинейных эволюционных уравнений в банаховых пространствах. И, наконец, красной нитью через,всю диссертацию проходит идеология теории особенностей Уитни. Поскольку дис-

сертация кроме качественных исследований содержит еще и результаты численных экспериментов, подтверждающих феномен неединственности решения моделей (3) и (6), необходимо отметить метод Галеркина, лежащий в основе наших экспериментов.

Научная новизна. Все результаты, выносимую на защиту, являются новыми и получены автором лично. Достоверность полученных результатов обеспечена полными доказательствами всех утверждений, причем математическая строгость доказательств соответствует современному уровню. Обоснованность научных положений и выводов, сформулированных в диссертации, подкрепляется разработкой программ, основанных на подходе, предлагаемом автором.

Теоретическая значимость. Основное содержание диссертации - качественное исследование морфологии фазовых пространств уравнения Корпусова - Плетнера - Свешникова и системы уравнений Плотникова. Впервые обнаружено, что фазовые пространства (при некоторых критических значениях параметров) расположены на многообразиях, имеющих особенности - складку и сборку Уитни соответственно. Установлена связь между наличием особенностей и единственностью решений физически осмысленной задачи Шоуол-тера - Сидорова, т.е. отмечены области начальных данных, при которых задача имеет одно, два или три решения.

Практическая значимость. Практическая же значимость заключается в том, что данные результаты учитываются при проведении численных экспериментов. Впервые разработаны алгоритмы численного решения задач (1)-(3), (4)-(6), получены графические изображения этих решений. Построенные алгоритмы реализованы в вичислительной среде Maple 12.0. Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях, проводимых по данной тематике.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации были представлены на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2005), студенческой конференции ЧелГУ в 2005 году (г. Челябинск), Всероссийской научной конференции "Математика. Механика. Ин-

форматика посвященной тридцатилетию ЧелГУ (г. Челябинск, 2006), Всероссийской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения "(г. Самара, 2007), Международной1 конференции, посвященной 100-летию со дня рождения И.Н. Векуа "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения "(г. Новосибирск, 2007), Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (г. Стерлитамак, 2008), Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений "(г. Новосибирск, 2008). Также результаты докладывались на семинаре по уравнениям соболевского типа профессора Г. А. Свиридюка в ЮУрГУ (г. Челябинск) и на семинаре чл.-корр. РАН И.А. Шишмарева в МГУ им. М.В. Ломоносова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах, причем статья [1] - в издании, включенном в перечень ВАК. В работах [1], [10], выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит только постановка задачи. Все доказательства выполнены автором диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 123 страницы. Библиография содержит 101 наименование.

Краткое содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, дается обзор литературы по исследуемой проблематике.

Первая глава состоит из семи параграфов и содержит формулировки теорем и определения, которые используются для получения основных результатов диссертации. Первый параграф содержит определения и теоремы об относительно р - ограниченных операторах. Во втором параграфе вводятся определения решения, фазового пространства, аналитических разрешающих полугрупп и групп операторов, теоремы о существовании аналитических разрешающих полугрупп и групп операторов для линейных уравнений

вида (8), а также определения и теоремы об относительно р - сек-ториальных операторах. В третьем параграфе содержатся определение решения задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения (8) и теорема существования и единственности решения обобщенной задачи Шоуолтера-Сидорова для уравнения (8). В четвертом параграфе рассматриваются определения карты, атласа, банахова Ск - многообразия, касательного расслоения Ск - многообразия, векторного поля и теорема Коши. В пятом параграфе определяются пространства Соболева, пространства с негативной и позитивной нормами и приводятся теоремы вложения Соболева и Кондрашова - Реллиха. В шестом параграфе приводятся две теоремы вложения, вводятся определение, решения задачи Коши для полулинейного эволюционного уравнения и теорема существования и единственности этого решения. Седьмой параграф содержит определения радиально непрерывного, монотонного, коэрцитивного оператора, теорему Вишика - Минти - Браудера, определение и свойства производной Фреше, теорему о неявной функции, а также определение к - сборки Уитни.

Вторая глава состоит из шести параграфов и посвящена вопросам несуществования и неединственности решения задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения Корпусова - Плетнера - Свешникова. В п. 2.1 вводятся понятия решения задачи Коши для уравнения соболевского типа (8), фазового пространства, квазистационарной траектории уравнения (8), проходящей через точку щ и доказывается теорема существования и единственности квазистационарной траектории уравнения (8), проходящей через точку щ. В п. 2.2 содержится определение решения задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения (8), доказаны теоремы существования и единственности задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения (8) в случае тривиального и нетривиального ядер оператора Ь, но простого фазового пространства, а также разобран пример в случае непростого фазового пространства. В п. 2.3 рассмотрена краевая задача

и(М) =«(М) =0, (10)

для уравнения Корпусова - Плетнера - Свешникова

Хщ — щхх = аихх +(3(иих)х- (11)

Чтобы редуцировать задачу (10), (11) к уравнению (8) возьмем про-

О

странства И 3 = Пространство сопряжено к И отно-

сительно скалярного произведения < •, • > из Операторы 1и М определим формулами

ь ь

< >= У (Хиь + ихУх^х, < Ми,у >= — J аихьх(1х)

а а

где и,у е И. По построению операторы Ь,М £ £(11;^) и фредголь-мовы.

Теорема 1 Пусть а 6 М\{0}, тогда оператор М (Ь,0)-ограничен.

Обозначим через {А*;} занумерованные по невозрастанию множество собственных значений однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа ^ на (о, 6), а через {у>А;}-ортонормированное в смысле 1,2 множество соответствующих собственных функций. Определим оператор N формулой

ь

< N(4), v >= - J/Зиихухйх, и, v £ Н.

о

Теорема 2 При любых ¡3 б! оператор N принадлежит пространству С°° (11,3) •

В п. 2.4 исследуется морфология фазового пространства уравнения КПС. Построим Ь - спектр оператора М

= {ЙЬ : к 6 : А = А'}} '

Проекторы имеют вид

Построим множество

m = {ueü:{(Mu + N(u)),<pi) = Q, А = Аг} и пространства

IIo = ker L = span{щ: Л = Aj}, it1 = {u <= И: {и,ipi) = О, А = Aj}.

Возьмем произвольную точку и Gil, тогда и = ащ + v, где v = Ри G it1, а 6 R. Точка и € 9Я точно тогда, когда выполнено

у llalli, + « v<pfdx + fj+\J v**ldx =

Введем в рассмотрение функционал

ь ь

A(v) = (J vtfdx + - |М|*з J v2ipidx,

а а

Д : it1 —> R, и построим множества

Ü+ = {v G Н1 : Д(и) > 0}, ill = {и е it1 : A(v) < 0}. Возьмем точку v £ ilíj., тогда уравнение (12) имеет два решения

О- = \Ы\~Ь3 -% - УдЯ ,

, ; <»>

= 1Ы11з ( '- + УВД] •

Построим множества

9н+(_) = {и € н: и = а+(_)(и)^г + v, v €

Теорема 3 Пусть а,/3 € Е\{0} и

(г) Л (¡1 {А^}. Тогда фазовым пространством уравнения (8) является все пространство Я.

(и) А 6 {А*;}. Тогда фазовым пространством уравнения (8) является множество и Ш-, каждая компонента которого ШТ+ и ЯП_ биективно проектируется на множество 11+.

В п. 2.5 рассматривается задача Шоуолтера - Сидорова (7) для уравнения (8) и формулируется следующая

Теорема 4 При любых а, ¡3 € Е\{0} и

(г) А 6 R\{Afc} существует ровно одно решение задачи (7), (8) при любых Uq € н.

(ii) A G {Afc} существует два различных решения задачи (7), (8) при любых щ € 11 таких, что Рщ € il^.

(Hi) А € {Afc} не существует ни одного решения задачи (7), (8) при любых uq £ 11 таких, что Puq £ ill. ■

Пункт 2.6 содержит описание программы, разработанной в вычислительной среде Maple 12.0., которая, опираясь на метод Галеркина, позволяет находить приближенное численное решение задачи (1)-(3) и строит графическое изображение этого решения при различных значениях параметров, показывая нетривиальность фазового пространства.

Рис.1 Фазовое пространство задачи (1)-(3) при а = 20, 0 = 25, А = —1, если u(t,x) = ui(t)у/2/пsinх + U2(t)\/2/n sin2x

Третья глава состоит из пяти параграфов и посвящена вопросу неединственности решения задачи Шоуолтера-Сидорова для системы уравнений Плотникова. В п.3.1 строятся интерполяционные

пространства, вводятся определения квазистационарной полутраектории уравнения (8), проходящей через точку «о, решения задачи Шоуолтера-Сидорова для уравнения (8), доказывается теорема существования и единственности квазистационарной полутраектории уравнения (8), проходящей через точку uq и теорема существования и единственности решения задачи Шоуолтера-Сидорова для уравнения (8). Также здесь построены два примера, один в случае простого фазового пространства, в другом - фазовое пространство представляет собой сборку Уитни. В п.3.2 рассмотрена система уравнений Плотникова

vt=vxx-wxx,0 = v + wxx + Sw-@w3 (14)

с краевыми условиями вида

(их — Хи)(a, t) = (их + Au)(b, í) = 0, í 6 (15)

где ú = col{v,w), v — v{x,t), w = w(x,t), (x,t) e (a, b) x R+, параметры A,5 £ К +,/? e R. Чтобы редуцировать задачу (14), (15) к

уравнению (8) положим И = (L?,)2. Пространство Я - гильбертово со

ь ь

скалярным произведением [u, £] = f v£dx + f wr¡dx = (и,4) + (w,rj),

а а

где С = со/(£, r¡), а через (•,•) обозначено скалярное произведение в L<i- Пусть 5 пространство сопряженное к ÍÍ относительности двойственности [•,■]. Операторы L и М зададим формулами

Ь

[Lu,C} = Jv£dx,

а

b Ь

[Ми, С] - - J vx£xdx - A (u(a)£(a) + v(b)£(b)) + J wx£xdx+

a a

Ь

А (w(a)£(a) + w(b)£(b)) - J wxr¡xdx - А (ги(а)т)(а) + w(b)r](b)),

a -

и, С e ÜM, domM = ílM = {W})2.

Теорема 5 Оператор М сильно (L, 0) - секториален. Построим оператор

ь

[.N{u), С] = j{v + Sw- Pwz)r¡dx

а

и положим dom N — (L4)2 = Ндг. В силу теорем вложения Соболева справедлива следующая

Теорема 6 При любых ¡3,5 еК оператор N 6 С°°(Илг; 5)-

Построим пространства ilQ .Получим, что при a 6 (1/2,1] пространства К® <-> Loo■ Положим 1Í? = Я0 П ÍÍa/ = {0} х и возьмем itQ - И? ф Ц*, где üi = ÍF х {0}.

Следствие 1 При любых ¡5, S € К оператор N € С°°(На;5). Построим множество

ь ь

Ш = {и € : J vr¡dx = J(wxt]x — Swrj + (3w3r])dx+

а а

+X(w(a)r](a) + w(b)r](b))}.

Введем в рассмотрение пространства Юм — Wm — так что теперь Им = ^М х 2Вм- Обозначим через занумерованные по неубыванию с учетом кратности собственные значения следующей спектральной задачи:

~4>хх = (a, tí),

(16)

<рх(а) = А<р(а), <Px(b) = —\<р(Ь).

Обозначим через {<fk} соответствующие собственные функции, ор-тонормированные в смысле скалярного произведения (•, •) из 1*2•

Теорема 7 Пусть /3,А е S G (0, i/i), где v\ - первое собственное значение спектральной задачи (16), а G (1/2,1). Тогда фазовым пространством уравнения (7) служит простое банахово С°° - многообразие Ш.

Теорема 8 Пусть выполнены условия теоремы 7. Тогда для любого ио G íia существует единственное решение задачи (4)-(6).

Теперь рассмотрим случай, когда 5 — v\. В данном случае множество Ш определяется системой из двух уравнений 6 ъ

f v^rj^dx — f {WzVx ~ wLVL + + stp)3î]1-)dx+ +\{wL(a)r]±(a) + w-L{b)rix{b)), (17)

ь

= ¡(w1 + s<p)3ipdx. (18)

o

Здесь числа s, г € M, а <р - собственная функция задачи (16), отвечающая собственному значению щ и нормированная в смысле £2; векторы vx G ilQi, 77х G где Я0-1 = {v G il" : (v,<p) =

Лемма 1 При любых /3, A G М+,s £ 1 11 s1 G ilQl существует единственное решение w G 2üjj уравнения (17).

Теперь перейдем к уравнению (18). Как хорошо известно из формул Кардано, уравнение (18) имеет от одного до трех действительных корней, причем оно имеет ровно два действительных корня, если вдобавок к нему выполняется уравнение

ъ ь

R(s,w1) = s2\\cp\\4Li + 2s J <p3wLdx + s J <p2(ws-)2 = 0.

а а

Введем в рассмотрение следующие множества: ml¡ = {w G WM : R^w1) > 0}, Wm = {w£ <ШМ : Д(в,гих) < 0}.

Лемма 2 При любых /3, A G г S R и v1 е itaJ- существует решение (w±,s) € 227^ х М системы уравнений (17), (18).

Введем в рассмотрение вспомогательный оператор

ь

(B(wx + stp),r)L + t<p) = J(wxr]x - i>iWL77"L + /3(шх + s<^)3ijx)iix-|-

a

b

+\(wL(a)r]X(a) + +wL(b)rjL(b)) + t + syfipdx.

a

Оператор В : Wm —> $) коэрцитивен, монотонен, радиально непрерывен. Sj - пространство, сопряженное к ЯНм относительно двойственности (•,•)• Обозначим Sj~ = f)° = B[W°M], Sj+ =

Рассмотрим множество ф = {и б Ш : R{s, wx) ф 0}.

Теорема 9 При любых /3, А € R+ множество ф является фазовым пространством задачи (17), (18).

Теорема 10 При любых /?, A G Е+ ищ G Яа такого, что

(г) vq е IF Л Я" существует точно одно решение задачи (4)-(6); (ii) г>о 6 Иа ПS)+ существует точно три решения задачи (4)-(6).

П.3.5 содержит описание программы, разработанной в вычислительной среде Maple 12.0., которая, опираясь на метод Галеркина, позволяет находить приближенное численное решение задачи (4)-(6) и строит графическое изображение этого решения при различных значениях параметров, показывая нетривиальность фазового пространства.

Рис.2 Проекция фазового пространства задачи (4)-(5) при Л = 1, 6 = 1,

/?=1, если _

v(t,x)=v1(t) (Ляп(аг) + соа(я:)) + (£)^т(А|+4) (| 8т(ж) + соз(ж)),

■ш{Ь,х) = (Л зт(з;)+сов(а;) )-Ш>2 (¿) ^ +4) (| зт(а;) +со8(з;)) ■

Результаты, выносимые на защиту:

1. Исследована морфология фазового пространства уравнения Корпусова - Плетнера - Свешникова.

2. Найдены достаточные условия, когда задача Шоуолтера - Сидорова для уравнения Корпусова - Плетнера - Свешникова имеет ровно одно, ровно два различных и не имеет решений.

3. Построен алгоритм численного решения задачи Шоуолтера -Сидорова для уравнения Корпусова - Плетнера - Свешникова при различных значениях параметров и получено графическое изображение этого решения.

4. Исследована морфология фазового пространства системы уравнений Плотникова.

5. Найдены достаточные условия, когда задача Шоуолтера - Сидорова для системы уравнений Плотникова имеет ровно одно и ровно три различных решения.

6. Построен алгоритм численного решения задачи Шоуолтера -Сидорова для системы уравнений Плотникова при различных значениях параметров и получено графическое изображение этого решения.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК:

1. Карамова, А. Ф. (Гильмутдинова А. Ф.) О складке фазового пространства одного неклассического уравнения / Г. А. Свиридюк, А. Ф. Карамова (А. Ф. Гильмутдинова) // Дифферёнц. уравнения.-2005.- Т. 41, № 10.- С. 1400-1405.

Другие научные публикации:

2. Карамова, А. Ф. (Гильмутдинова А. Ф.) Складка фазового пространства уравнения двухкомпонентной полупроводниковой плазмы / А. Ф. Карамова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: тез. докл. науч. конф. - Воронеж: ВГУ, 2005-С. 110.

3. Карамова, А. Ф. (Гильмутдинова А. Ф.) О складке фазового пространства уравнения Корпусова-Плетнера-Свешникова / А. Ф. Карамова // Студент и научно-техн. прогресс: тез. докл. науч. студ. конф. - Челябинск: ЧелГУ, 2005.- С. б.

4. Гильмутдинова А. Ф. О простоте фазового пространства системы уравнений Кагиналпа / А. Ф. Гильмутдинова // Вестн. МаГУ. Математика. - Магнитогорск: МаГУ, 2006.- С. 5-16.

5. Гильмутдинова А. Ф. Фазовое пространство системы уравнений Кагиналпа / А. Ф. Гильмутдинова // Дифференциальные уравнения и их приложения: тез. докл. науч. конф.- Самара: "Универс групп 2007 - С. 39.

6. Гилъмутдинова А. Ф. Об особенностях фазового пространства системы уравнений Кана-Хилларда / А. Ф. Гильмутдинова // Дифференциальные уравнения, теория функций и их приложения: тез. докл. междунар. конф., Новосибирск, 28 мая-2 июня 2007 г.Новосибирск: НГУ, 2007.- С. 111.

7. Гильмутдинова А. Ф. О неединственности решений задачи Шоуолтера-Сидорова для одной модели Плотникова / А. Ф. Гильмутдинова // Вестн. СамГУ. - 2007.-№ 9/1.- С. 85-90.

8. Гильмутдинова А. Ф. О феномене неединственности задачи Шоуолтера-Сидорова для полулинейных уравнений соболевского типа / А. Ф. Гильмутдинова // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: тр. междунар. конф., Стерлитамак, 24-28 июня 2008 г.- Уфа: Гилем, 2008.-Т.1.- С. 61-64.

9. Гильмутдинова А. Ф. О неединственности задачи Шоуолтера-Сидорова для полулинейных уравнений соболевского типа / А. Ф. Гильмутдинова // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений: тез. докл. междунар. конф., Новосибирск, 5-12 октября 2008 г.- Новосибирск: НГУ, 2008.-С. 122.

10. Гильмутдинова А. Ф. Неединственность решений системы уравнений Кагиналпа. / Г. А. Свиридюк, А. Ф. Гильмутдинова // Математика. Механика. Информатика: тез. докл. Всерос. научной конф., Челябинск, 19-22 сентября 2006 г.- Челябинск: ЧелГУ, 2006-С. 28.

Гильмутдинова Альбина Фаритовна

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ С ФЕНОМЕНОМ НЕЕДИНСТВЕННОСТИ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Издательство Южно-Уральского государственного университета Подписано в печать 26.12.08. Формат 60 х 84 1/16. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1,16. Уч.-изд. л. 1.

_Тираж 100 экз. Заказ 420/486._

Отпечатано в типографии Издательства ЮУрГУ. 454080, г. Челябинск, пр. им. В.И. Ленина, 76

Обозначения и соглашения

Введение

1 Вспомогательные сведения

1.1 Относительно р-ограниченные операторы.

1.2 Относительно р-секториальные операторы

1.3 Обобщенная задача Шоуолтера - Сидорова.

1.4 Банаховы многообразия и векторные поля.

1.5 Функциональные пространства.

1.6 Полулинейные эволюционные уравнения

1.7 Некоторые результаты нелинейного функционального анализа.

2 Уравнение Корпусова—Плетнера—Свешникова

2.1 Квазистационарные траектории

2.2 Задача Шоуолтера - Сидорова.

2.3 Постановка задачи.

2.4 Морфология фазового пространства.

2.5 Несуществование и неединственность решения задачи Шоуолтера - Сидорова.

2.6 Результаты численных экспериментов.

3 Система уравнений Плотникова

3.1 Квазистационарные полутраектории.

3.2 Постановка задачи.

3.3 Единственность решений задачи Шоуолтера - Сидорова

3.4 Неединственность решений задачи Шоуолтера - Сидорова

3.5 Результаты численных экспериментов.

Постановка задач

Пусть П с 1", и £ N - ограниченная область с границей дО, класса С°°. В области О, х К. рассмотрим уравнение

Л - = сЯ2и +(0.1.1) моделирующее метастабильпые процессы в жидком двухкомпонент-ном полупроводнике. Параметры а, /3, А б М характеризуют свойства полупроводника, причем если знаки параметров о: и (3 для нас безразличны, то о знаке А следует сказать особо ввиду его важности для дальнейшего. Параметр А = к/г2, где к - коэффициент электрической поляризуемости, а г2 - некоторая положительная постоянная отвечающая за другие свойства полупроводника. Так вот, квазистационарные процессы в полупроводниках возможны только при условии отрицательности коэффициента к. Причем именно в данном случае возможен пробой полупроводника, наблюдаемый экспериментально ([32], гл.2, п.1 и п.2).

Впервые уравнение (0.0.1) было получено в работе [21], поэтому в дальнейшем оно будет называться по имени авторов - уравнением Корпусова - Плетнера - Свешникова (уравнением КПС). В этой же работе была установлена однозначная разрешимость уравнения (0.0.1) при краевых условиях Дирихле на границе дО, х М и начальном условии вида

А - У2)(и(£, 0) - и0(ж)) = 0, ж е П, (0.1.2) 7 но только в случае положительности параметра Л, что влечет обратимость дифференциального оператора при производной по времени в уравнении КПС. Нашей задачей является качественное и численное исследование данной начально-краевой задачи при любых (в том числе и отрицательных) значениях параметра Л.

Кроме уравнения КПС в области О, х рассмотрим систему уравнений уг = Ау- Дги, 0 = V + Лги + бии - (Зии3, (0.1.3) представляющей один из вариантов модели фазового поля в рамках мезоскопической теории в предположении, что время релаксации равно нулю. Параметры (3 и 5 характеризуют фазовый переход, причем <5 = (2а£2)-1, где £ 6 М+ - поверхностное натяжение, а е - мера ширины зоны фазового перехода (так называемая длина взаимодействия) [75], [82], [84], [91]. Содержание и знак параметра (3 е К в дальнейшем несущественны, главное, что /3^0.

Поскольку систему уравнений (0.1.3) (с точностью до линейного изоморфизма, предложенного В.Е. Федоровым [62]) впервые построил, глубоко и обстоятельно изучал П.И. Плотников с учениками [30], [31], то в дальнейшем мы будем называть (0.1.3) системой уравнений Плотникова. В цитированных работах [30], [31] установлено существование решения начально-краевой задачи г>(ж,0) = г;0(ж), х е (0.1.4) ди с)ъи (-7^ +Лгу)(ж,г) = 0, (ж,г) едПх М+; (0.1.5) и поставлен вопрос о единственности решения. Нашей задачей является качественное и численное исследование разрешимости задачи (0.1.3)-(0.1.5) и единственности ее решения при различных значениях параметра 6.

Методы исследования

Качественное исследование предложенных в предыдущем параграфе задач облегчается тем обстоятельством, что они обе в подходящим образом подобранных банаховых пространствах Яи^ редуцируются к полулинейному уравнению соболевского типа

Ьй = Ми+ N{4). (0.2.1)

К настоящему времени условия однозначной разрешимости задачи Коши и(0) = щ (0.2.2) для уравнения (0.2.1) достаточно хорошо изучены [89]. В частности если оператор М (Ь,р) - ограничен или сильно (Ь,р) - секториален, то пространства И и $ расщепляются в прямые суммы 11 = 11° ф М1, $ = т?0®!?1 так, что действия операторов Ь и М тоже расщепляются, т.е. Ь е и М е С1{а0,^°)ПС1{а1^1). Это обстоятельство дает возможность уравнение (0.2.1), где, возможно, кет Ь ф {0}, редуцировать к регулярному уравнению й = + (0.2.3) определенному, возможно, не на всем пространстве И, а только на некотором его подмножестве, понимаемом как фазовое пространство уравнения (0.2.1).

При исследовании задачи (0.2.1), (0.2.2) была получена ее однозначная разрешимость только в случае, если точка щ лежит в образе С°° - диффеоморфизма, определенного на области О1 С Я1 [36], [37]. Другими словами потребовалось, чтобы фазовое пространство локально было бы банаховым С°° - многообразием. Здесь же была сформулирована проблема изучения морфологии (т.е. структуры, строения, устройства) фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа. К настоящему времени в этом направлении получен ряд интересных результатов. Именно показано, что в ряде прикладных задач [38], [41], [42], [44], [50], [51] фазовым пространством служит простое банахово С°° - многообразие, моделируемое i юдпространством Я1. Напомним, что банахово С°° - многообразие называется простым, если любой его атлас эквивалентен атласу, содержащему единственную карту. Другими словами, банахово С°° -многообразие является простым, если оно nri04TH"He отличается от подпространства II1.

Между тем в работах P.E. Шоуолтера [86] и независимо от него H.A. Сидорова [52], [53], [54] была поставлена и изучена новая начальная задача для уравнений вида (0.2.1)

L(u(0) - щ) = 0, (0.2.4) которая впоследствии стала называться задачей Шоуолтера - Сидорова. Очевидно, что если оператор L непрерывно обратим, то задача (0.2.4) для уравнения (0.2.1) корректна тогда, когда корректна задача (0.2.2). Наконец, нетрудно убедиться, что если оператор М (Ь, 0) - ограничен или (Ь, 0) - секториален, а фазовым пространством уравнения (0.2.1) служит простое банахово С°° - многообразие, то утверждение об эквивалентности задач (0.2.2) и (0.2.4) для уравнения (0.2.1) остается в силе.

Другое дело, если фазовое пространство уравнения (0.2.1) не является простым. Г.А. Свиридюком [34] показана возможная неединственность решения задачи Шоуолтера - Сидорова для полулинейных уравнений соболевского типа вида (0.2.1). Примеиив описанный выше метод фазового пространства к моделям (0.1.1) и (0.1.3), нам удалось подтвердить гипотезу Г.А. Свиридюка и установить неединственность их решений.

Кроме основного в данной диссертации метода фазового пространства мы широко используем, во-первых, теорию линейных уравнений соболевского типа и порождаемых ими вырожденных групп и полугрупп операторов [89]; во-вторых, такие мощные средства нелинейного функционального анализа как теорему о неявной функции (см. например, [28]) и теорему Вишика - Минти - Браудера (см. теорию монотонных операторов в [9]); в-третьих, теорему Коши как для случая векторных полей на банаховых многообразиях [24], так и для случая полулинейных эволюционных уравнений в банаховых пространствах [67]. И наконец, красной нитью через всю диссертацию проходит идеология теории особенностей Уитни [4], [73], [74].

Поскольку диссертация кроме качественных исследований содержит еще и результаты численных экспериментов, подтверждающих феномен неединственности решения моделей (0.1.1) и (0.1.3), здесь необходимо еще упомянуть метод Галеркина [7], лежащий в основе наших экспериментов.

Актуальность темы диссертации

Впервые уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, появились в работе А. Пуанкаре в 1885 году. Первым, кто начал систематическое изучение начально-краевых задач для линейных уравнений вида (0.2.1), где Ь и М (возможно, матричные) дифференциальные операторы в частных произодных по "пространственным" переменным, а оператор N = О, был С. Л. Соболев в 40-х годах прошлого столетия. В 1954 году в работе [55] им было получено уравнение, моделирующее колебания гравитирующей жидкости, и изучена задача Коши для него. Результаты этой работы стали началом систематических исследований в данном научном направлении.

В настоящее время теория уравнений соболевского типа переживает пору бурного расцвета. Сформировались научные направления, вокруг которых сложились научные школы. С.Л. Соболев, в основном, занимался линейными уравнениями, и его нынешние ученики и последователи составляют обширную и разветвленную научную школу [1], [15], [77], [78]. Наибольший прогресс был достигнут в области линейных уравнений соболевского типа, именно здесь находится большинство из вышедших монографий.

В монографии В.Н. Врагова [8] впервые выделяется класс неклассических уравнений математической физики и изучаются начально-краевые задачи для линейных уравнений вида (0.2.1), где Ь и М -дифференциальные операторы по пространственным переменным.

В монографии А. Фавини и А. Яги [76] построена теория полугрупп операторов, разрешающих дифференциальные включения хг € А(х) с линейным многозначным оператором. К такому включению сводится линейное уравнение соболевского типа вида (0.2.1), если М - (Ь, <т)-ограничеш1ый оператор в случае устранимой особой точки в бесконечности. Теория проиллюстрирована различными примерами и приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными.

В монографии Г.В. Демиденко, С.В. Успенского [10] рассматриваются линейные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, а также их системы, которые в операторной форме могут быть записаны следующим образом:

1-1

До В\и + ^ А-кИ^и = /, к=0 где До, Д-1, ., Д/ - линейные дифференциальные операторы относительно вектора переменных х = (х\,. ,хп), причем оператор До не удовлетворяет условию невырожденности. Изучаются краевые задачи для таких уравнений с использованием метода, основная суть которого заключается в построении последовательностей приближенных решений и получении оценок в соответствующих нормах.

Монография И. Е. Егорова, С. Г. Пяткова и С. В. Попова [83] посвящена исследованию разрешимости краевой нелокальной задачи для неоднородного линейного уравнения (0.2.1), где операторы М - самосопряженные и определенные в гильбертовом пространстве. Доказано существование сильного решения данной задачи и показано, что при выполнении некоторых условий разрешимости (условия ортогональности) решение краевой задачи является гладким.

В монографии И.В. Мельниковой и А.И. Филенкова [81] получены необходимые и достаточные условия равномерной корректности линейной задачи в терминах условий типа Хилле - Иосиды и расщепления пространств в прямые суммы.

Исследуя некоторые аспекты построения теории краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных нечетного порядка А.И. Кожанов [79], в частности, рассматривает уравнения вида

I -А)щ = Ви + !{х^), где А и В - дифференциальные по пространственным переменным операторы четного (второго) порядка. Для линейных уравнений решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах А, В.

Несмотря на то, что большинство работ относятся к линейным уравнениям соболевского типа, исторически первой является монография P.E. Шоуолтера [86], в которой рассматриваются как линейные уравнения, так и полулинейные вида (0.2.1) дифференциально-операторные уравнения, определенные в полугильбертовых пространствах, т.е. пространствах, имеющих нехаусдорфову топологию. Все абстрактные результаты этой монографии снабжены конкретными прикладными примерами.

Начиная с работ P.E. Шоуолтера стало принято как абстрактные уравнения вида (0.2.1), так и их конкретные интерпретации (например, (0.1.1), (0.1.3)) называть уравнениями соболевского типа. К настоящему времени данная терминология стала общепринятой [22], [29], [45], [46], [80], [85], [89]. Далее всюду мы считаем этот термин синонимом терминов "вырожденные дифференциальные уравнения"[76], [81], "неклассические дифференциально-операторные уравнения"[83], "дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно старшей производной"[10], "псевдопараболичес-кие"и "псевдогиперболические"уравнения [10], [79] и "уравнения не типа Коши - Ковалевской"[25], [69]. Исследование подобных уравнений в первую очередь связано с исследованием задач гидромеханики, физики плазмы, физики атмосферы. [27]

В монографии X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса [9] теория монотонных операторов применяется при исследовании и приближенном решении краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, которые трактуются как операторные уравнения или операторные дифференциальные уравнения в рефлексивных банаховых пространствах.

В монографии Н. А. Сидорова, Б. В. Логинова, А. В. Синиципа и М. А. Фалалеева [87] изучены полулинейные уравнения и их обобщения. Разработаны приложения метода Ляпунова - Шмидта, а также доказано существование и единственность решения в классе непрерывных функций задачи Коши для неоднородного уравнения (0.1.2) с сильно измеримой и интегрируемой по Бохнеру неоднородностью и дополнительными условиями на оператор N (типа ограничений). Показано существование ги-периодического решения задачи Коши для неоднородного уравнения (0.1.2) с замкнутыми плотно определенными операторами и ^-периодической неоднородностью.

В монографии А.Г. Свешникова, A.B. Альшина, М.О. Корпусова, Ю.Д. Плетнера [32] рассматриваются проблемы глобальной и локальной разрешимости, как в классическом, так и в сильном и слабом обобщенном смыслах, широких классов задач Коши и начально-краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных высоких порядков, включая псевдопараболические уравнения и уравнения соболевского типа. В случае локальной разрешимости для ряда классов задач получены двусторонние оценки времени разрушения решений. Помимо аналитических методов предложены и реализованы численные методы решений конкретных задач.

В монографии Ю. Е. Бояринцева, В. Ф. Чистякова [2] предметом изучения является алгебро-дифференциальные неоднородные системы вида (0.2.1) с прямоугольной или вырожденной при всех t G [0, Т] матрицей L(t). Доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши для алгебро-дифференциальных систем вида (0.2.1) с регулярной и сингулярной парой постоянных (m х п)-матриц L и M [68].

Данная диссертационная работа выполнена в рамках направления, возглавляемого Г.А. Свиридюком. В его совместной с В.Е. Федоровым монографии [89] вводятся и изучаются относительно спектрально ограниченные операторы и порождаемые ими разрешающие группы, выделяются достаточные (а в некоторых случаях и необходимые) условия относительно спектральной ограниченности. Также вводятся в рассмотрение относительно р - секториальные операторы и порождаемые ими аналитические разрешающие полугруппы и относительно р - радиальные операторы и порождаемые ими сильно непрерывные разрешающие полугруппы. В эту монографию вошли результаты Т.А. Бокаревой [3], JI.JI. Дудко [11], A.B. Келлер [19], В.Е. Федорова [61], A.A. Ефремова [12], Г.А. Кузнецова [23]. После выхода монографии были защищены кандидатские диссертации С.А. Загребиной [13], C.B. Брычева [5], A.A. Замышляевой [14], И.В. Бурлачко [6] и докторская диссертация В.Е. Федорова [62].

В рамках данного направления исторически первой была диссертация Т.Г. Сукачевой [59], в которой линейный метод C.B. Зубовой и К.И. Чернышева [16] был обобщен на полулинейную ситуацию исчерпывающим образом. В дальнейшем Т.Г. Сукачева сосредоточилась на исследовании задачи Коши для неавтономных полулинейных уравнений соболевского типа [45], [47], [48], [57], [58]. Следующим нелинейным исследованием стала диссертация М.М. Яку-иова [72], в которой установлена простота фазового пространства уравнения Осколкова и различных его модификаций. Выявлению достаточных условий существования простых фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа посвящена диссертация В.О. Казака [17]. В диссертации H.A. Манаковой [26] исследовались достаточные условия разрешимости задачи Шоуолтера -Сидорова (0.1.5) оптимального управления для некоторых полулинейных уравнений соболевского типа. Посредством метода Галер-кина в ней построены приближенные решения задач оптимального управления. В диссертации В.В. Шеметовой [71] исследовалась разрешимость линейных и полулинейных уравнений соболевского типа, заданных на конечных ориентированных графах. Диссертация О. Г. Китаевой [20] посвящена обобщению теоремы Адам ара-Перрона для полулинейных уравнений соболевского типа. В диссертации Д.Е. Шафранова [70] исследовалась разрешимость задачи Коши для линейных и полулинейных уравнений соболевского типа в пространствах к - форм, определенных на гладких римановых многообразиях без края.

Теоретическая и практическая значимость

Основное содержание диссертации - качественное исследование морфологии фазовых пространств двух неклассических задач математической физики, возникших в последнее время, - это уравнение Корпусова - Плетнера - Свешникова и система уравнений Плотникова. Впервые обнаружено, что фазовые пространства (при некоторых, критических, значениях параметров) расположены на многообразиях, имеющих особенности - складку и сборку Уитни соответственно. Установлена связь между наличием особенностей и единственностью решений физически осмысленной задачи ТТТоуол-тера - Сидорова, т.е. отмечены области начальных данных, при которых задача имеет одно, два или три решения. Полученные результаты носят окончательный характер, т.е. содержа/г исчерпывающую информацию о фазовых пространствах задач, носящих прикладной характер. В целом результаты диссертации реализуют программу исследований, намеченную Г.А. Свиридюком.

Практическая же значимость заключается в том, что данные результаты должны учитываться при проведении численных расчетов. Необходимость этого обстоятельства уже была отмечена в конечномерном варианте линейной теории уравнений соболевского типа [26], [39], [40]. Проведенные нами численные эксперименты также подтверждают данную необходимость.

Апробация

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж, 2005) [92], студенческой конференции ЧелГУ в 2005 году (г. Челябинск) [93], Всероссийской научной конференции "Математика. Механика. Информатика посвященной тридцатилетию ЧелГУ (г. Челябинск, 2006) [101], Всероссийской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения "(г. Самара, 2007) [95], Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения И.Н. Векуа "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения "(г. Новосибирск, 2007) [96], Международной конференции „Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (г. Стерлитамак, 2008)

98], Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева „Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений" (г. Новосибирск, 2008)

99]. Также результаты докладывались на семинаре по уравнениям соболевского типа профессора Г. А. Свиридюка в ЮУрГУ (г. Челябинск) и на семинаре чл.-корр. РАН И.А. Шишмарева в МГУ им. М.В. Ломоносова.

Краткое содержание диссертации

Диссертация, кроме введения и списка литературы, содержит три главы. Список литературы содержит 101 наименование.

Первая глава состоит из семи параграфов и содержит формулировки теорем и определения, которые используются для получения основных результатов диссертации. Первый и второй параграфы содержат сведения из [89]. Первый параграф содержит определения и теоремы об относительно р - ограниченных операторах. Во втором параграфе вводятся определения решения, фазового пространства, аналитических разрешающих полугрупп и групп операторов, теоремы о существовании аналитических разрешающих полугрупп и групп операторов для линейных уравнений вида (0.2.1), а также определения и теоремы об относительно р - секториальных операторах. В третьем параграфе содержатся определение решения задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.2.1) и теорема существования и единственности решения обобщенной задачи Шоуолтера Сидорова для уравнения (0.2.1) [49]. В четвертом параграфе рассматриваются следующие определения: карты, атласа, банахова Ск - многообразия, касательного расслоения Ск - многообразия, векторного поля и теорема Коши [24]. В пятом параграфе определяются пространства Соболева [56], пространства с негативной и позитивной нормами и приводятся теоремы вложения Соболева и Кондра-шова - Реллиха [60], [66]. В шестом параграфе рассматриваются две теоремы вложения, вводятся определение решения задачи Коши для полулинейного эволюционного уравнения и теорема существования и единственности этого решения [67]. Седьмой параграф содержит сведения из [9], [28], а именно определения радиально непрерывного, монотонного, коэрцитивного оператора, теорему Вишика - Минти —

Браудера, определение и свойства производной Фреше, теорему о неявной функции, а также определение к - сборки Уитни [90].

Вторая глава состоит из шести параграфов и посвящена вопросам несуществования и неединственности решения задачи Шоуолтера-Сидорова для уравнения Корпусова - Плетнера - Свешникова. В первом параграфе вводятся понятия решения задачи Коши для уравнения соболевского типа (0.2.1), фазового пространства, квазистаци-опарной траектории уравнения (0.2.1), проходящей через точку и доказывается теорема существования и единственности квазистационарной траектории уравнения (0.2.1.), проходящей через точку щ. Во втором параграфе содержатся определение решения задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.2.1), доказаны теоремы существования и единственности задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.2.1) в случае тривиального и нетривиального ядра оператора Ь, но простого, фазового пространства, а также приведен пример в случае непростого фазового пространства. В третьем параграфе рассмотрено уравнение Корпусова - Плетнера - Свешникова. Подобраны функциональные пространства, при которых уравнение (0.1.1) можно редуцировать к абстрактному уравнению (0.2.1). Доказана (Ь, 0) - ограниченность оператора М и бесконечная диффе-ренцируемость оператора N. В четвертом параграфе доказывается теорема о фазовом пространстве уравнения (0.1.1) в случаях тривиального и нетривиального ядер. В пятом параграфе доказывается теорема о том, когда задача Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.1.1) имеет ровно одно, два различных и ни одного решения. Шестой параграф содержит описание программного продукта, разработанного в вычислительной среде Maple 12.0. и пример его применения.

Третья глава состоит из пяти параграфов и посвящена вопросу неединственности решения задачи Шоуолтера - Сидорова для системы уравнений Плотникова. В первом параграфе строятся интерполяционные пространства, вводятся определения квазистационарной полутраектории уравнения (0.2.1), проходящей через точку щ, решения задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.2.1), доказывается теорема существования и единственности квазистационарной полутраектории уравнения (0.2.1), проходящей через точку Uq и теорема существования и единственности решения задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.2.1). Также здесь построены два примера, один в случае простого фазового пространства, в другом -фазовое пространство представляет собой сборку Уитни. Во втором параграфе рассмотрена система уравнений Плотникова. Подобраны функциональные пространства, при которых систему уравнений (0.1.3) можно редуцировать к абстрактному уравнению (0.2.1). Доказана (L, 0) - секториальность оператора М и бесконечная диф-ферепцируемость оператора N. В третьем параграфе доказывается теорема существования и единственности задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.1.3). В четвертом параграфе доказывается теорема о фазовом пространстве уравнения (0.1.3) и теорема о том, когда Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.1.3) имеет ровно одно и три различных решения. Пятый параграф содержит описание программного продукта, разработанного в вычислительной среде Maple 12.0. и пример его применения.

Публикации

Все результаты диссертации своевременно опубликованы [92] -[101], причем работа [100] опубликована в журнале, включенном в список ВАК по специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Необходимо отметить, что во всех работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит только постановка задачи и идеи доказательств. Все доказательства выполнены автором диссертации самостоятельно.

Благодарности

В заключение выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Г.А. Свиридюку за неоценимую помощь в работе над диссертацией; коллективу кафедры уравнений математичексой физики ЮУрГУ за ценные советы и конструктивную критику. Особую благодарность выражаю моей семье: маме Гульсине Минабутдиновне за самоотверженность и понимание, мужу Эльдару Рафаильевичу, папе Фариту Файзелхаковичу и брату Альберту Фаритовичу за поддержку и веру в успех.

1. Белоносов, В. С. Качественные свойства одной математической модели вращающейся жидкости / В. С. Белоносов, Т. И. Зеленяк // Сиб. журн. индустр. мат. - 2002. - 5:4 - С.3 13.

2. Боярипцев, Ю. Е. Алгебро-дифференциальные системы: методы решения и исследования / Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков,- Новосибирск: Наука, 1998.- 224 с.

3. Бокарева, Т. А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами: дис. . канд. физ.-мат. наук / Т. А. Бокарева; ЛГПИ им. А.И. Герцена,- СПб., 1993,- 107 с.

4. Бокарева, Т. А. Сборки Уитни фазовых пространств некоторых полулинейных уравнений типа Соболева / Т. А. Бокарева, Г. А. Свиридюк // Матем. заметки.- 1994,- Т. 55, № 3 С. 3-10.

5. Брычев, С. В. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов: дис. . канд. физ.-мат. наук / С. В. Брычев; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 2002,- 124 с.

6. Бурлачко, И. В. Исследование оптимального управления системами уравнений леонтьевского типа: дис. канд. физ.-мат. наук / И. В. Бурлачко; Челяб. гос. ун-т- Челябинск, 2005.122 с.

7. Вайнберг, М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг.-М.: Наука, 1972,- 415 с.

8. Врагов, В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В. Н. Врагов.- Новосибирск: НГУ, 1983.- 179 с.

9. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас М.: Мир, 1978 - 336 с.

10. Демиденко, Г. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский Новосибирск: Науч. кн., 1998 - 438 с.

11. Дудко, Л. Л. Исследование полугрупп операторов с ядрами: дис. . канд. физ.-мат. наук / Л. Л. Дудко.- Новгород, 1996.88 с.

12. Ефремов, А. А. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева: дис. . канд. физ.-мат. наук / А. А. Ефремов; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 1996.102 с.

13. Загребина, С. А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости: дис. . канд. физ.-мат. наук / С. А. Загребина; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 2002.- 100 с.

14. Замышляева, А. А. Исследование одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка: дис. . канд. физ.-мат. наук / А. А. Замышляева; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 2003 101 с.

15. Зеленяк, Т. И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными / Т. И. Зеленяк.- Новосибирск, 1970. 164 с.

16. Зубова, С. П. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной / С. П. Зубова, К. И. Чернышев // Дифференц. уравнения и их применение. 1976. - N14. - С.21-39.

17. Казак, В. О. Исследование фазовых пространств одного класса полулинейных уравнений соболевского типа: дис. . канд. физ.-мат. наук / В. О. Казак.- Челябинск, 2005.- 99 с.

18. Квадарос, Б. О разрешимости задачи Коши для вырожденного квазилинейного дифференциального уравнения / Б. Квадарос // Литовский мат. сб.- 1980.- Т. 20, № 3.- С. 51-55.

19. Келлер, А. В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева: дис. . канд. физ.-мат. наук / А. В. Келлер Челябинск, 1997.- 115 с.

20. Китаева, О. Г. Исследование устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий полулинейных уравнений соболевского типа: дис. . канд. физ.-мат. наук / О. Г. Китаева.-Магнитогорск, 2006.- 111 с.

21. Корпусов, М. О. О квазистационарных процессах в проводящих средах без дисперсии /Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д., Свешников А.Г.// Журн. вычислит, мат. и мат. физики.-2000.- Т. 4, № 8,- С. 1237-1249.

22. Костюченко, А. Г. Задача Коши для уравнений типа Соболева-Гальперна / А. Г. Костюченко, Г. И. Эскин // Тр. Моск. матем. об-ва.- 1961.- Т. 10.- С. 273-285.

23. Кузнецов, Г. А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов: дис. . канд. физ.-мат. наук / Г. А. Кузнецов; Челяб. гос. ун-т- Челябинск, 1999.- 105 с.

24. Ленг, С. Введение в теорию дифференциальных многообразий / С. Ленг.- Волгоград: Платон, 1997.- 203 с.

25. Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе М.: Мир, 1972.- 587 с.

26. Манакова, Н. А. Исследование задач оптимального управления для неклассических уравнений математической физики: дис. . канд. физ.-мат. наук / Н. А. Манакова; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 2005.- 124 с.

27. Маслов, В. П. Уравнения одномерного баротропного газа / В. П. Маслов, П. П. Мосолов.-М.: Наука,1990. 216 с.

28. Ниренберг, Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Ниренберг,- М.: Мир, 1977,- 232 с.

29. Осколков, А. П. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С. Л. Соболева / А. П. Осколков // Зап. науч. сем. ЛОМИ,- 1991.- Т. 198.- С. 31-48.

30. Плотников П. И. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля / П. И. Плотников , В. Н. Старовойтов // Дифференц. уравнения 1993.- Т. 29, № 3.- С. 461-471.

31. Плотников П. И. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П. И. Плотников , А. В. Кле-пачева // Сиб. мат. журн.- 2001,- Т. 42, № 3,- С. 651-669.

32. Свешников А. Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Альшин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.-736 с.

33. Свиридюк, Г. А. Многообразие решений одного класса эволюционных и динамических уравнений / Г. А. Свиридюк // ДАН СССР.- 1989.- Т. 304, № 2.- С. 301-304.

34. Свиридюк, Г. А. Об одной задаче 81юл*гоИ;ег / Г. А. Свиридюк // Дифференц. уравнения,- 1989.- Т. 25, № 2.- С. 338-339.

35. Свиридюк, Г. А. Разрешимость задачи термоконвекции вяз-коупругой несжимаемой жидкости / Г. А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика 1990 - № 12 - С. 65-70.

36. Свиридюк, Г. А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк // Изв. РАН, сер. матем,- 1993.- Т. 57, № 3,- С. 192-207.

37. Свиридюк, Г. А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором / Г.А. Свиридюк // Алгебра и анализ,- 1994.- Т. 6, № 5,- С. 252-272. .

38. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство задачи Коши Дирихле для одного неклассического уравнения / Г. А. Свиридюк, А. В. Анкудинов // Дифференц. уравнения - 2003 - Т. 39, № 11. С. 1556 -1561.

39. Свиридюк, Г. А. Численное решение систем уравнений леон-тьевского типа / Г. А. Свиридюк, С. В. Брычев // Изв. вузов. Математика. 2003,- № 8.- С. 46-52.

40. Свиридюк, Г. А. Алгоритм решения задачи Коши для вырожденных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / Г. А. Свиридюк, И. В. Бурлачко // Журн. вычислит, мат. и мат. физики.- 2003.Т. 43, №11- С. 1677-1683.

41. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа / Г. А. Свиридюк, В. О. Казак // Мат. заметки,- 2002,- Т. 71, № 2- С. 292-297.

42. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для одной обобщенной модели Осколкова / Г.А. Свиридюк, В.О. Казак // Сиб. мат. журн.- 2003.- Т.44, № 5,- С.1124-1131.

43. Свиридюк, Г. А. Неустойчивое инвариантное многообразие уравнения Хоффа / Г. А. Свиридюк, О. Г. Китаева // Мат. заметки,- 2006.-Т. 79, № 2,- С. 440-444.

44. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Г. А. Свиридюк, Н. А. Манакова // Изв. вузов. Математика,- 2003.-№ 9,- С. 36-41.

45. Свиридюк, Г. А. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // Сиб. мат. журн,- 1990.- Т. 31, № 5.- С. 109-119.

46. Свиридюк, Г. А. Фазовые пространства одного класса операторных полулинейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева //Дифференц. уравнения.- 1990.- Т. 26, № 2,- С. 250-258.

47. Свиридюк, Г. А. Медленные многообразия одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, Т. Г.Сукачева // Вестн. Челяб. ун-та. Сер. математика, механика,-1991.- № 1 С. 3-20.

48. Свиридюк, Г. А. О разрешимости нестационарной задачи динамики вязкоупругой жидкости / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // Мат. заметки. 1998. - Т.63, N5. - С.442-450.

49. Свиридюк, Г. А. Линейные уравнения соболевского типа: учеб. пособие / Г. А. Свиридюк, В. Е. Федоров.- Челябинск: ЧелГУ, 2003. 179 с.

50. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство одной неклассической модели / Г. А. Свиридюк, В. В. Шеметова //Изв. вузов. Математика,- 2005.- № 10.- С. 47-52.

51. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова / Г. А. Свиридюк, М. М. Якупов // Дифференц. уравнения,- 1996.- Т. 32, № 11 С. 1538-1543.

52. Сидоров, И. А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / Н. А. Сидоров // Мат. заметки,- 1984,- Т. 25, № 4,- С.569-578.

53. Сидоров, И. А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / Н. А. Сидоров, О. А. Романова //Дифференц. уравнения.- 1983.Т. 19, № 9.- С. 1516-1526.

54. Сидоров, Н. А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н. А. Сидоров, М. В. Фалалеев // Дифференц. уравнения 1987.- Т. 23, № 4,- С. 726-728.

55. Соболев, С. Л. Об одной новой задаче математической физики / С. Л. Соболев // Изв. АН СССР, сер. матем,- 1954,- Т. 18-С. 3-50.

56. Соболев С. Л. Применение функционального анализа к математической физике / С. Л. Соболев.- Л.: Наука, 1961.- 255 с.

57. Сукачева, Т. Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоуиругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка / Т. Г. Сукачева // Изв. вузов. Математика 1998.- № 3,- С. 47-54.

58. Сукачева, Т. Г. О разрешимости нестационарной задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости / Т. Г. Сукачева // Дифференц. уравнения 2000.- Т. 36, № 8 - С. 11061112.

59. Сукачева, Т. Г. Исследование фазовых пространств полулинейных сингулярных уравнений динамического типа: дис. . канд. физ.-мат. наук / Т. Г. Сукачева. Новгород: НГПИ, 1990.-112 с.

60. Трибелъ, X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / X. Трибель.- М.: Мир, 1980.- 664 с.

61. Федоров, В. Е. Исследование разрешающих полугрупп уравнений типа Соболева: дис. . канд. физ.-мат. наук / В. Е. Федоров.- Челябинск, 1996.- 104 с.

62. Федоров, В. Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений соболевского типа в банаховых и локально выпуклых пространств: дис. . д-ра физ.-мат. наук / В. Е. Федоров.- Челябинск, 2005.- 271 с.

63. Федоров, В. Е. Ослабленные решения линейного уравнения соболевского типа и полугруппы операторов / В. Е. Федоров // Изв. РАН. Сер. Математика.- 2003,- Т. 67, № 4.- С. 171-188.

64. Федоров, В. Е. Обобщение теоремы Хилле-Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Сиб. матем. журн.- 2005.- Т. 46, № 2,-С. 426-428.

65. Федоров, В. Е. О некоторых соотношениях в теории вырожденных полугрупп операторов / В. Е. Федоров // Вестн. ЮУр-ГУ. 2008,- № 15(115).- С. 89-99.

66. Хатпеон, В. Приложения функционального анализа и теории операторов / В. Хатсон, Дж. Пим М.: Мир, 1983 - 432 с.

67. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри М.: Мир, 1985.- 376 с.

68. Чистяков, В. Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В. Ф. Чистяков. Новосибирск: Наука, 1996,- 278 с.

69. Чистяков, В. Ф. О методах численного решения и исследования систем не типа Коши-Ковалевской / В. Ф. Чистяков, О. В. Бормотова // Журн. вычислит, мат. и мат. физики.- 2004.Т. 44, № 8.- С. 1380-1387. № 4,- С. 18-29.

70. Якупов, M. М. Фазовые пространства некоторых задач гидродинамики: дис. . канд. физ.-мат. наук / M. М. Якупов; Челяб. гос. ун-т- Челябинск, 1999 83 с.

71. Berger M. S. Folds and cups in Banach spaces, with applications to nonlinear partial differential equations. I /М. S. Berger, P. T. Church, J. G. Timorian // Indiana Univ. Math. J 1985.-V. 34, № 1,- P. 1-19.

72. Berger M. S. Folds and cups in Banach spaces, with applications to nonlinear partial differential equations. II /M. S. Berger, P. T. Church, J. G. Timorian // AMS 1988.- V. 307, № 1,- P. 227-244.

73. Cahn I. W. Free energy of a nonuniform system. 1. Interfacial free energy /1. W. Cahn, I. E. Hillard // J. Chem. Physics.- 1958-V. 28,- P. 258-267.

74. Favini A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi.- N. Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 1999,- 236 pp.

75. Fokin M. V. Existence of singular spectrum and asymptotic dehavior of solution in Sobolev's problem. I / M. V. Fokin // Sib. Adv. in Math. 1994,- V. 4, № 1.- P. 18-51.

76. Fokin M. V. Existence of singular spectrum and asymptotic dehavior of solution in Sobolev's problem. II / M. V. Fokin // Sib. Adv. in Math. 1994,- V. 4, № 2- P. 16-53.

77. Kozhanov A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems / A. I. Kozhanov-Utrecht: VSP, 1999.- 171 p.

78. Lightbourne, J. H. A. Partial functional equations of Sobolev type / J. H. A. Lightbourne // J. Math. Anal. Appl- 1983.- V. 93, № 2.- P. 328-337.

79. Melnikova I. V. The Cauchy problem. Three approaches Monograhps and Surveys in Pure and Applied Mathematics / I. VMelnikova, A. L. Filinkov.- London; N.Y.; Washington, 2001.- 240 P

80. Miranville A. Exponential attractors for the Cahn-Hilliard equation with dynamic boundary conditions / A. Miranville, S. Zelik // Math. Meth. Appl. Sci. 2005. - № 28. - P. 709-735.

81. Pyatkov, S. G. Operator theory. Nonclassical problems / S. G. Pyatkov.- Utrecht; Boston; Tokyo: VSP, 2002.

82. Racke R. The Cahn-Hilliard equation with dynamic boundary conditions / R. Racke, S. Zheng // Adv. Diff. Eqns. 2003. -№ 8.-P. 83-110.

83. Showalter, R. E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type / R. E. Showalter // Pacific J. Math 1963.- V. 31, № 3-P. 787-794.

84. Showalter, R. E. Hilbert space methods for partial differential equations / R. E. Showalter.- Pitman; London; San Francisco; Melbourne, 1977.-152 pp.

85. Sidorov, N. Lyapunov-Shmidt methods in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithyn, M. Falaleev.-Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2002,548 pp.

86. Stefany G. Asymptotic behavior of a phase-field system with dynamic boundary conditions / G. Stefany, A. Miranville // 2006,- P. 149-170.

87. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov.-Utrecht: VSP, 2003.- 216 pp.

88. Whithey, H. Mappings of the plane into the plane / H. Whithey //Ann. Math.- 1955,- V. 62.- P. 374-410.

89. Wu H. Convergence to the equilibrium for the Cahn-Hilliard equation with dynamic boundary conditions / H. Wu, S. Zheng // J. Diff. Eqns. 2004. - № 204. - P. 511-531.

90. Карамова, А. Ф. (Гильмутдинова А. Ф.) Складка фазового пространства уравнения двухкомпонентной полупроводниковой плазмы / А. Ф. Карамова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: тез. докл. науч. конф. — Воронеж, 2005.- С. 110.

91. Карамова, А. Ф. (Гильмутдинова А. Ф.) О складке фазового пространства уравнения Корпусова Плетнера - Свешникова / А. Ф. Карамова // Студент и научно-техн. прогресс: тез. докл. науч. студ. конф. - Челябинск, 2005,- С. 6.

92. Гилъмутдинова А. Ф. О простоте фазового пространства системы уравнений Кагиналпа / А. Ф. Гильмутдинова // Вестн. МаГУ. Математика. Магнитогорск, 2006.- С. 5-16.

93. Гилъмутдинова А. Ф. Фазовое пространство системы уравнений Кагиналпа / А. Ф. Гильмутдинова // Дифференциальные уравнения и их приложения: тез. докл. науч. конф.- Самара, 2007,- С. 39.

94. Гилъмутдинова А. Ф. О неединственности решений задачи Шоуолтера Сидорова для одной модели Плотникова / А. Ф. Гильмутдинова // Вестн. СамГУ. - 2007.-№ 9/1- С. 85-90.

95. Свиридюк, Г. А. О складке фазового пространства одного неклассического уравнения / Г. А. Свиридюк, А. Ф. Карамо-ва (А. Ф. Гильмутдинова) // Дифференц. уравнения.- 2005.Т. 41, № 10.- С. 1400-1405.

96. Свиридюк, Г. А. Неединственность решений системы уравнений Кагиналпа. / Г. А. Свиридюк, А. Ф. Гильмутдинова // Математика. Механика. Информатика: тез. докл. Всерос. науч. конф., Челябинск, 19-22 сентября 2006 г.- Челябинск, 2006.-С. 28.