автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Компьютерное моделирование взаимодействия заряженных пучков с плазмой на основе самосогласованной системы интегро-дифференциальных уравнений методом независимых частиц

На правах рукописи

СТАРОВОЙТОВ Александр Степанович

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ПУЧКОВ С ПЛАЗМОЙ НА ОСНОВЕ САМОСОГЛАСОВАННОЙ

СИСТЕМЫ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ НЕЗАВИСИМЫХ ЧАСТИЦ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород - 2003

Работа выполнена в Белгородском государственном университете

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Сидельников Г. Л.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кравченко В. Ф.

доктор физико-математических наук, профессор Шульга Н.Ф.

Ведущая организация Московский физико-технический инстшуг

(государственный университет)

Защита состоится 22 октября 2003 г. в 17 часов на заседании диссертационного совета Д 212.015.04 в Белгородском государственном университете, по адресу: 308015 г. Белгород, ул. Победы, 85.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан « г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Савотченко С.Е.

А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Математическое моделирование является общепризнанным методом научного исследования, особенно в тех отраслях наук, где проведение натурных экспериментов сильно затруднено. Одна из таких отраслей - плазменная электроника и, в частности, задача исследования взаимодействия заряженных пучков с плазмой.

Один из наиболее распространенных методов математического моделирования для исследования взаимодействия заряженных пучков с плазмой это метод крупных частиц для кинетической модели пучков и плазмы. Нами же рассмотрен другой метод, заключающийся в разрешении уравнений Максвелла и уравнения движения частиц относительно напряженности электрических и магнитных полей методом преобразований Фурье-Бесселя и переход к системе интегро-дифференциальных уравнений, описывающих модель взаимодействия заряженных пучков с плазмой. Этот метод имеет некоторые преимущества перед методом крупных частиц, а именно: уменьшение количества независимых переменных с 7 до 2 в одномерном и 3 в аксиально-симметричном случае; учет некоторых условий, например, закона сохранения заряда в исходной системе уравнений, в то время как в методе крупных частиц необходимо дополнительно совершать проверку на выполнимость этого закона; и, наконец, простота алгоритмизации, которая в сочетании с описанными выше преимуществами дает возможность создать комплекс быстродействующих программ, позволяющих проводить вычислительный эксперимент и получать результаты предварительного анализа процесса взаимодействия в режиме реального времени.

Актуальность настоящей работы заключается в реализации эффективных по быстродействию численных методов решения интегро-дифференциальных уравнений, описывающих взаимодействие интенсивных электронных пучков с плазмой и создании комплекса программ для визуального моделирования динамики частиц и возбуждения кильватерного поля.

Цель и задачи исследования.

Основная цель диссертации состояла в разработке комплекса программ для проведения вычислительного эксперимента взаимодействия пучков релятивистских электронов с плазмой, основанного на использовании эффективных по быстродействию численных методов решения интегро-дифференциальных уравнений. Для достижения поставленной цели решен ряд частных задач, а именно:

- реализация эффективных по быстродействию численных мето-

,'с. национальная

библиотека

дов решения системы интегро-дифференциальных уравнений, описывающей процесс взаимодействия пучков релятивистских электронов с одномерной плазмой в виде программного компонента;

- реализация эффективных по быстродействию численных методов решения систем интегро-дифференциальных уравнений, описывающих процесс взаимодействия пучков релятивистских электронов с аксиально-симметричной плазмой в виде программного компонента;

- разработка технологии компьютерного моделирования, включающей создание интерфейса ввода данных и документации, осуществление визуализации и настроек программной среды.

Методы исследований. Построение математической модели, реализация численных методов, разработка программного комплекса с развитой системой визуализации основаны на методах теории интегральных и дифференциальных уравнений, вычислительной математики и теории алгоритмов.

Научная новизна работы.

1) Для численного решения интегро-дифференциальных уравнений, описывающих процесс взаимодействия заряженных пучков с плазмой, использована алгоритмическая методика дискретизации на неравномерные сетки, позволяющая в распределении узлов сетки учитывать плотность пучка и тем самым улучшить сходимость используемых численных методов.

2) Существующие интегро-дифференциальные модели взаимодействия пучков с одномерной и аксиально-симметричной плазмой распространены на продольно-неоднородную плазму.

Практическая и научная значимость работы.

Созданный комплекс программ может быть использован исследователями: для проведения вычислительных экспериментов в режиме реального времени при исследовании взаимодействия пучков электронов с одномерной и аксиально-симметричной плазмой; в качестве базовой алгоритмической модели динамики сгустков в продольно-неоднородной плазме, описываемой системой интегро-дифференциальных уравнений; а также в образовательных целях как учебный курс по средствам визуального моделирования пучково-плазменного взаимодействия.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) реализация эффективных по быстродействию численных методов для решения систем интегро-дифференциальных уравнений, описывающих математическую модель взаимодействия пучков электронов с однородной и аксиально-симметричной плазмой в виде программных компонентов, а также алгоритмов их реализации;

2) методика использования неравномерных сеток, для дискретизации уравнений исходных интегро-дифференциальных систем;

3) технология реализации комплекса программ для компьютерного моделирования взаимодействия заряженных пучков с одномерной и аксиально-симметричной плазмой.

Апробация и внедрение результатов работы.

Результаты работы докладывались: на Межвузовской научной конференции (Тамбов, 2000 г.), Всероссийской научной конференции (Белово, 2003 г.), Международной научно-методической конференции (Белгород, 2003 г.), университетских конференциях и семинарах (20002003 гг.).

Созданный комплекс программ внедрен в учебный процесс и в настоящее время используется как специальный курс по математическому моделированию в Белгородском государственном университете. Написанное на основе проведенных исследований и полученных результатов учебное пособие имеет гриф УМО при МГУ и рекомендовано для обучения студентов по специальности 010400 - физика.

Публикации.

Основные положения и результаты диссертации отражены в 7 публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Личный вклад соискателя.

К личному вкладу соискателя относится разработка алгоритмической методики дискретизации на неравномерные сетки и создание комплексов программ для компьютерного моделирования взаимодействия пучков электронов с одномерной и аксиально-симметричной плазмой.

Объем и структура диссертации.

Диссертационная работа изложена на 126 страницах и состоит из введения, четырех глав, 40 рисунков, заключения, библиографического списка из 134 наименований, 5 приложений. Во введении дан литературный обзор по теме диссертационного исследования, сформулирована основная цель и задачи диссертации. Первая глава посвящена выводу численно-алгоритмической модели взаимодействия пучков релятивистских электронов с одномерной плазмой. Во второй главе модель реализуется в виде пакета программ Dynamic 1.0. Третья глава посвящена выводу численно-алгоритмической модели взаимодействия пучков релятивистских электронов с аксиально-симметричной плазмой. В четвертой главе модель реализуется в виде пакета программ Dynamic 3D 1.0. В заключении диссертации сформулированы основные результаты исследований. Приложения содержат программный код основных процедур разработанных пакетов программ.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении рассмотрен литературный обзор становления и развития исследований по плазменно-пучковому взаимодействию. Описаны различные математические методы исследований и преимущества используемого нами метода преобразований перед наиболее распространенным методом крупных частиц. Сформулированы цель, задачи и научная новизна диссертации.

В первой главе, используя метод преобразования Фурье, переходим от системы уравнения Максвелла и уравнения движения к системе интегро-дифференциапьных уравнений для одномерной плазмы. Для этого рассмотрим холодную полуограниченную плазму, занимающую область г > 0, в которую инжектируется сгусток с плотностью частиц

¿па1 (1)

где е - заряд электрона (знак «-» в явной форме выражает его отрицательность), vr(tn,z) - лагранжева скорость заряженной частицы, г; (/„, 2) - лагранжево время заряженной частицы, /'(/„) - ток сгустка в плоскости инжекции, /0 - время влета заряженной частицы в плазму, 2 - продольная координата (расстояние, пройденное заряженной частицей от плоскости инжекции), S{t-t[) - дельта-функия Дирака. Тепловым разбросом частиц в сгустке пренебрегаем. Система плазма-пучок предполагается неограниченной в поперечном направлении, вследствие чего, не нарушая общности рассуждений, заряженная частица может быть представлена заряженной плоскостью.

В отсутствие магнитного поля в рассматриваемой одномерной геометрии возбуждаемое сгустком потенциальное электрическое поле описывается системой дифференциальных уравнений

со/ с от

где ] = -епр(2)ур-еЪ1(10,2)с1пех1 = -епр(г^р - ,

N = - число частиц в сгустке (ввиду одномерности модели,

-е

здесь и далее знак вектора опускаем).

Решение задачи может быть получено методом преобразования Фурье. Для упрощения всех расчетов вводятся безразмерные перемен-

ные и производится переход от одного сгустка к их последовательности с периодом влета 2к. Для описания динамики изменения энергии и координат частиц сгустков в лагранжевых переменных имеем систему

= -/?> [Пт'Жт, - т[) С08[/(^)(г£ - т[)] йх'а, < -1 (4)

< А

и уравнение для напряженности электрического поля кильватерной волны, возбуждаемого этими сгустками:

е{т, С) = /30а ]т{т0Жт ч) со з[/(0(г - С~ Ч)} (5)

-00

где р0,а - постоянные; т'0,т0 - переменные интегрирования (безразмерное время влета частиц в плазму); ¿¡,т - переменные величины (безразмерная координата и нормированное время); уь (г„, ть (та, е(т, £) - неизвестные функции (энергия и время частицы с заданными временем влета и координатой в лагранжевой системе отсчета и напряженность электрического поля); Т,в,/ - известные функции. Т- функция, описывающая профиль плотности всей цепочки сгустков. В наиболее простом случае это последовательность прямоугольных импульсов

по-и 2<б)

[О, иначе,

где т. - длительность одного сгустка; п = 0,1,..., р -1, где р - количество сгустков.

В рамках предлагаемой нами модели это может быть линейно нарастающий либо гаусовский профиль плотности, в - функция Хеви-сайта, / - функция, описывающая профиль плотности плазмы, и в рамках предлагаемой нами модели рассмотрим следующие случаи: /(¿Г)=1 - в случае однородной плазмы,

= 1 + 0</, - в случае плазмы с нарастающим

профилем плотности, где £ — коэффициент неоднородности, Ь — характерный масштаб неоднородности (продольный размер плазмы).

Проведем дискретизацию функций у , т1(ти,£) и

. Можно для этой цели использовать привычные всем равно-

мерные сетки, но мы предлагаем также использовать неравномерную сетку для безразмерного времени влета сгустков, содержащую в себе информацию о профиле плотности этих сгустков. Введем: равномерную сетку по продольной координате £, т.е. множество точек

и^ (я) = {<-,= ./А, у = 0,1,...,«, Л« = где гшх - исследуемая протя-

женность плазмы, п - количество точек дискретизации; равномерную сетку по нормированному времени г,

И', (и) = = АЛ, к = 0,1.....п, И ■ п = /пт}, где tшx - время исследования

динамики кильватерной волны; равномерную сетку по безразмерному времени влета ти, и>г(т) = {тоМ = го<(1 Л+,2) = (/2-1)■ Л + /1 • 2я, И-(ра~\) = и),

где /1 = 0,1,...,/?-1, /2 = 1,2,...,р„, ра - количество частиц в одном сгустке, р - количество сгустков, г, - временная протяженность сгустка, т~Р'Ро ~ количество частиц во всех сгустках; а также неравномерную сетку по безразмерному времени влета г0,

(т) = {?„,<„ = г„ ((1 РоН2) = х,2 + /1 ■ 2к: £(х,2) = 51(р„ -1), £ 5(хк) = 5},

/Ы

г» гк+1

где 5= \т(т)с1т, \тШт /1 = 0,1,...,/>-1, /2 = 1,2,...,Ро, рп -

О хк

количество частиц в одном сгустке, р — количество сгустков, т = р- ра - количество частиц во всех сгустках. Как видно, сетка йг(/и) задана неявно, и трудно аналитически вычислить значения узлов сетки, но мы использовали простой и достаточно точный численный алгоритм, позволяющий вычислить значение узлов с заданной точностью любым из численных методов вычисления интегралов.

Алгоритм состоит в следующем. Выбираем численный метод вычисления интегралов, например, метод левых прямоугольников. Вычисляем интеграл 5 с заданной точностью е , а последнюю итерацию вычисления интеграла повторяем, фиксируя узлы сетки, в которых |5-5/(р„-1)|<г/2. Эти узлы, количество которых, включая конечные, составляет т и есть узлы неравномерной сетки по безразмерному времени влета т„.

После дискретизации имеем дискретные функции уь(то0),£у), г,(гн(,и на равномерных сетках; либо функции

У/.С^д»»^)» и на неравномерных сетках,

где / = 1,2,..., т, у = 0,1,..., и и к = 0,1,..., п.

В результате получаем стандартную задачу Коши системы двух дифференциальных уравнений (4) с начальными условиями (7)

=Уо > Гд(Гя.(;)>£о) = Го,(/)> где / = 1,2,...,/я, и уравнение (5), допускающее простейшее численное решение, используя методы численного интегрирования. То есть энергия частиц на входе в плазму одинакова, а безразмерное лагранжево время частиц на входе в плазму принимается равным безразмерному времени влета, если вести отсчет лагранжева времени от первой частицы, время влета которой равно нулю.

Для решения системы дифференциальных уравнений (4) с начальными условиями (7) можно воспользоваться различными численными методами вычисления интегралов и решения дифференциальных уравнений.

После проведенных исследований, используя апостериорную оценку погрешности, оказалось, что для численного вычисления интегралов наиболее удобен метод прямоугольников, а для численного решения дифференциальных уравнений - метод Эйлера, либо метод Адамса второго порядка аппроксимации, которые позволяют быстрее всего осуществлять вычислительный процесс. Эффективность использования неравномерных. сеток также проверялась с использованием апостериорной оценки. Исследования показали, что применение неравномерных сеток по сравнению с равномерными сетками ускоряет сходимость используемых численных методов (см. рис. 1). ов|

006:

05 04

" из 02 01 о

50 100 1^0 200 2^0 300 350

°5[)0 1000 1500 2000 2500 ЗОЙ) т т

Рис. 1. Зависимость глобальной погрешности для от количества

частиц сгустков т на сетке и^ (100)

Исходные сеточные уравнения для численных методов первого порядка точности с начальными условиями (7) могут быть представлены в виде

Ги+1 = -А,2«-Д<Г-Лг0 • -г,>о8[Ж)(г„ -г*.,)],

ß„

г-1

(8)

j rma\

£4,j = aro-ßoa^e(r4 -cj -cj

r=1

где / = 1,2,...,/и; j = 0,1,...,и-1; q = 0,1,...,и1; = max(/), где / выбирается из условия го (/) < r( J , I = 1,2,..., от ; rmax r^max^j), где /, выбирается из условия ro,(/,) < Tq' А = 1,2,.»,« ; Л^ = zmax jn, Дг0 = r./m - для равномерных сеток и Дг0 = т0(к+])-т0(к) - для неравномерных сеток.

Исходные уравнения для численных методов второго порядка представляются в виде

£

r^^-Äa.Äi.Äf.'J^-^l.coOTr,,.-^)!,

ßo

г-1

1 \ k=1

Л

к

Sj+i - 4j~r 2

ßo

г — 1

А

г-1

где /-пробегает значения от 1 до /и при фиксированном _/ = 1,2,...,л-1; ^ = Агв-Да^^г, -г^)-со8[/(0(г, -¿Г, +

где / -пробегаетзначения от 1 до т при фиксированных у = 0,1,...,« —1; Атах=шах(/), где / выбирается из условия тп (1) < + £J, / = 1,2,...,т; ^ах=шах(/,), где /, выбирается из условия г».(/,) < > 1\ = 1,2,..., т ; Ктх = тах(/2), где /2 выбирается из

условия г0 (,г) < гI, ¡2= !>2.....т ■

Обе альтернативы реализованы во второй главе в компьютерной программе Dynamic 1.0, созданной в среде визуального программирования Delphi 5. Программа может выполняться на любых компьютерах, работающих под управлением операционной системой Windows 95/98/ME/NT/2000/XP. Для нормальной работы программы желательно наличие 32Mb оперативной памяти и тактовой частоты процессора не менее 200 МГц. Для ускоренной работы желательно - 64Mb и более 400 МГц. Вид окна проекта программы представлен на рис. 2 и состоит I из следующих основных элементов: 1) меню; 2) поле визуализации ре-

зультата; 3) панели ввода начальных условий; 4) панель выбора режима визуализации; 5) индикатор хода процесса вычисления; 6) кнопка запуска вычислений; 7) строка состояния.

НдарсЯм СнЦшл-0 1. . ■•; • :: . . I..1.' • 'its-'"- V "-iKii1' V, »5

: 1-15,71 ф ч 1-31,42

-Пчш HltWCrilClMfr-'^-l йавк^-мгч ЯшшгспрЛ* Is'iu iffarnap 'истиц У ,1 ¿JM* cryrme e -

1*47,12 /Л. (4) •••"" &ЯФ4М1И1НТ41« IHftA' Ja

й ЯШНтт» КМШ Г5=Ж|

jCmMffw»** - jfatraafBbWBCi«^ процесса состоя»»» са^ • ,

Р и с. 2. Вид окна проекта программы Dynamic 1.0

В поле визуализации результата самосогласованная динамика сгустков будет представляться в виде фазовых портретов сгустков в координатах {yL -у„,т,) и профиля кильватерной волны. Фазовые портреты сгустков представляют собой зависимость разности энергии на входе в плазму и текущей энергии от безразмерного времени частицы в любой точке сетки по z в лагранжевых переменных. В фазовом портрете мы показываемым, как распределяются частицы по энергиям

и времени лёта в любой точке сетки по z, т.е. в некоторой точке плазмы. Кильватерная волна представляет собой зависимость амплитуды волны от координаты в любой момент времени или, точнее, в любой точке сетки по t (см. рис. 3).

При необходимости пользователь сможет самостоятельно настроить цветовые параметры визуализации, используя команду Параметры визуализации из меню Настройка.

Панели ввода начальных условий необходимы для задания начальной конфигурации задачи. Ввод параметров осуществляется в пределах допустимых диапазонов при помощи кнопок-счетчиков, расположенных справа от поля ввода. Панель выбора режима визуализации позволяет переключаться между тремя возможными вариантами: схематическим - отображающим динамику набором любого количества схем в фиксированных точках, на которых видны изменения процесса; детальном -отражающем графики совместно с числовыми данными, и анимационным - представляющем пространственно-временную динамику сгустков. При переключении на один из этих режимов становятся доступными дополнительные параметры настройки визуализации, свойственные выбранному режиму.

Вычислительный процесс начинается при нажатии на кнопку Вычисление, процесс которого отображает индикатор. В случае затруднений при работе с программой Dynamic 1.0 можно воспользоваться контекстной справкой, активизирующейся при наведении курсора мыши на любой из элементов программы либо справочной системой, доступной из меню Справка-Содержание.

Адекватность математической модели и достоверность полученных результатов основаны на использовании строгих математических методов, теории дифференциальных и интегральных уравнений, вычислительной математики, теории алгоритмов, а также на совпадении результатов вычислительного эксперимента с результатами, полученными другими авторами при использовании других методов.

Нами также была проведена проверка численного алгоритма на обратимость по времени. Данная проверка показала, что используемые

и кильватерная волна (снизу)

нами численные алгоритмы первого и второго порядков аппроксимации являются обратимыми по времени и не вносят дополнительных погрешностей.

В третьей главе, используя метод преобразования Фурье-Бесселя, также переходим от систем уравнений Максвелла и уравнений движения и непрерывности к системам интегро-дифференциальных уравнений, но для аксиально-симметричной плазмы. Для этого рассмотрим плазму, в центральной области которой вдоль оси системы прямолинейно и равномерно движется аксиально-симметричный релятивистский сгусток электронов с плотностью тока в плоскости инжек-ции г = 0:

где }т - максимальная плотность тока, ПО _ функция, описывающая продольный профиль сгустка, Я(га) - функция распределения тока в поперечном сечении, - время влета в плазму, га - радиальная координата в плоскости г = 0, е. - орт в направлении продольной оси. Тепловым движением электронов плазмы и сгустков пренебрегаем, а ионы считаем неподвижными. Задача заключается в определении кильватерных полей, возбуждаемых сгустком электронов в такой системе; исследовании продольных и поперечных сил, действующих на частицы сгустка и определяющих его динамику.

Плотность тока кольцевой «макрочастицы» описывается выражением

где га - радиус кольца, t0 - время влета в плазму, - лагранжево время частиц, у0 - скорость инжекции, N0 (/„, га) - число частиц в кольце, связанное с плотностью тока сгустка на входе в плазму К(0. га) соотношением Иа = (1 /е)■ г0)2лг0А0<1г0.

Если нам известны электромагнитные поля, возбуждаемые элементарным током (10), то электромагнитное поле всего сгустка (9) находим простым суммированием полей элементарных зарядов, т.е. интегрированием по времени влёта и поперечному сечению.

Исходная система уравнений содержит уравнения Максвелла

(9)

(Ю)

с

(И)

сИУН = 0,

сИуЁ = -Але(пх + с]пе11),

и линеаризованные уравнения непрерывности и движения электронов плазмы

где и,, V, - возмущения плотности и скорости электронов плазмы.

Решение электродинамической задачи возбуждения продольно-неоднородной аксиально-симметричной плазменной системы сгустками электронов получено методом преобразования Фурье-Бесселя. После преобразований и приведения к безразмерному виду для компонент кильватерного электромагнитного поля сгустков имеем следующие выражения:

Е^-^ЩгЩО, (13)

А7Г / Луг [

Ег=--—Пх(г+ ——-£-П1(г)Г(?Л) , (14)

Я^-^АЛЛгТО, С15>

Хй>„

здесь:

Ч со

Пц(^) = К0{гг)\10{гЖОг0<1г0 +/п(г,)¡Ка(г,Ж>-оУЛо ,

о п

'г. -00

Г 00

П±(г)^К,(г)1/0(гаЩгМ, -1х{г)\К0(гоЖ(гпУис1г0,

о

11

¡ПШ,.-(',)м[сор(1, -/[Ж,

где ш1, (!'0,г0,г,2).

Самосогласованную систему интегро-дифференциальных уравнений получим, подставляя вычисленные значения компонент кильватерных полей (13-15) в уравнения движения частиц, разложенные на продольную и поперечную составляющие. Для существенного упрощения модели и ускорения процесса численного решения в поперечном сечении будем рассматривать сгусток как микрочастицу. Это позволит неизвестные функции считать функциями трех переменных (?„,/•, г).

Далее после приведения к безразмерному виду имеем

^ = -Д>П„(7) 'hr:Mr:-T[)c0s[f(O(r:-T':)]dT'o,

-t (16)

St. P„.

dC Pz

1,

&L.

drj

= -a

Пх(/7) \Пг'0Щгг -r;)sin[/(0(r,-OK +4-Пх(7)Г(гг)

-00 Го

dn pr'

(17)

здесь:

п„07) = кму.ЮЯЛоУПоЪ, +Ш¡кАПоЖЧо^По> о ,

rj оо

о ч

где = и Гг(Ч,г10,г},0 = (1-у2г/с2Гш -

продольный и поперечный релятивистские факторы частиц, v. и vr -продольная и поперечнай лагранжевы скорости частиц, г„ = co^t,, -безразмерное время влета в продольном направлении, rja = сорйгп - безразмерное поперечное время влета (поперечная координата влета частиц), р. = v./с, p,=vjс, a = nbjnpa, nh - плотность сгустка в импульсе, 1а - enbv0s - ток сгустка, s-2n j"k(r0)r0dr0 - эффективная

площадь поперечного сечения сгустка, /„(*), К„(х) - модифицированные функции Бесселя.

Исследования о выборе оптимальных численных методов и об эффективности неравномерных сеток остаются справедливыми и для систем (13-17), так как они по форме практически не отличаются. Реализация численных методов осуществляется аналогично случаю одномерной плазмы.

Конечную численно-алгоритмическую модель мы приводить не будем ввиду ее громоздкости.

В четвертой главе описывается компьютерная программа Dynamic 3D 1.0, осуществляющая численные решения систем (13-17). Она является модернизацией предыдущей программы Dynamic 1.0, с возможностями трехмерных построений для исследования взаимодействия

сгустков с аксиально-симметричной плазмой.

Программа Dynamic 3D 1.0 позволяет проводить двумерную и трехмерную визуализацию амплитуды полей Е,, Er, Hv в зависимости от продольной либо поперечной координаты для различных характеристик сгустков и их временную либо пространственную динамику; фазовые портреты сгустков в продольном либо поперечном направлении или динамику пространственного расположения частиц сгустка в лагранжевых переменных. Перечисленные поля можно отображать в трехмерном виде в различных проекциях, ракурсах и сечениях. При этом для построения поверхностей используются различные методы отсечения невидимых частей поверхности, цветового оформления поверхностей и образующих их линий (см. рис. 4, 5).

J ^ оЗиПиИрГ,

©*я>1

■мям?~ ,., —„ I

«■mi_г^м___

Р и с. 4. Фазовый портрет Р и с. 5. Кильватерная волна Е,

Программа Dynamic 3D 1.0 реализована в среде визуального программирования Delphi 5.0. Нормальная работа программы возможна при использовании компьютера, работающего под управлением операционной системы Windows 95/98/ME/NT/2000/XP с 64 Mb оперативной памятью и тактовой частотой более 400 МГц. Для визуализации трехмерных поверхностей, ввиду сложности их топологии, используются более скоростные алгоритмы построений, основанные на прямой адресации к памяти. Эта технология позволяет сложные трехмерные поверхности выстраивать за короткий промежуток времени, что совместно с небольшой продолжительностью численных расчетов позволяет получать результаты в режиме реального времени. В программу дополнительно введена функция произвольного масштабирования и прокрутки в дополнение к существующей ранее функции автоматического масштабирования графиков под размеры контейнеров, в которых они отображаются. Для ускоренного ввода параметров плазмы, сгустков и процедуры вычислений усовершенствованы технологии ввода данных. Рабочее окно программы теперь автоматически масштабируется под любой размер окна приложения.

В заключении отмечено, что разработан комплекс программ для проведения вычислительного эксперимента взаимодействия пучков релятивистских электронов с одномерной и аксиально-симметричной плазмой, основанный на использовании эффективных по быстродействию численных методов решения интегро-дифференциальных уравнений, описывающих процесс пучково-плазменного взаимодействия.

Впервые предложена алгоритмическая методика дискретизации уравнений исходной интегро-дифференциальной модели на неравномерные сетки, которая позволяет улучшить сходимость используемых численных методов и тем самым ускорить вычислительный процесс.

Программные компоненты комплекса, Dynamic 1.0 и Dynamic 3D 1.0, зарегистрированы в отраслевом фонде алгоритмов и программ с присвоением номера государственной регистрации. Написанные на их основе электронные учебники нашли применение в образовательном процессе при изучении курсов компьютерного моделирования и визуального программирования.

На основе полученных математических и компьютерных моделей издано учебно-методическое пособие Сидельникова Г.Л., Старовойтова A.C. «Компьютерное моделирование динамики релятивистских электронных пучков в схемах кильватерного ускорения частиц в плазме», сертифицированное грифом УМО при МГУ для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 010400 - физика.

В приложении представлен листинг основных процедур реализации численных методов, методики дискретизации на неравномерные сетки и визуализации результатов.

Основные публикации автора по теме диссертации:

1. Старовойтов A.C. Проблемы построения интерпретаторов и пути их решения // Актуальные проблемы информатики и информационных технологий: Материалы Тамбовской межвуз. науч. конф.- 2000.- С.63-64.

2. Старовойтов A.C. Использование кильватерных полей для ускорения заряженных частиц // Аспирант и соискатель,- 2002,-№3(10).- С.287-288.

3. Старовойтов A.C. Использование комплексов программ при преподавании моделирования динамики сгустков в схемах плазменного ускорения частиц // Наука и образование: Материалы Всерос. науч. конф,- Белово: Электронное издание ("http://conference.kemsu.ru/niobeI4).

4. Старовойтов A.C., Сидельников Г.Л. Использование компьютерного моделирования для интеграции дисциплин в вузе //

Научно-методические и практические аспекты подготовки специалистов в современном техническом вузе: Сб. науч. тр. Междунар. науч.-метод. конф- Белгород: Изд-во БелГТАСМ, 2003 - Направление 2; Ч.2.- С.289-291.

5. Старовойтов A.C. Моделирование динамики релятивистских электронных пучков в схемах кильватерного ускорения частиц в одномерной плазме (пакет программ) // Свидетельство об отраслевой регистрации разработки в Отраслевом фонде алгоритмов и программ - М.: ВНТИЦ, 2002,-№50200200588.

6. Старовойтов A.C., Сидельников Г.Л. Исследование численных методов при моделировании динамики пучков электронов в одномерной плазме // Вычислительные методы и программирование. - 2003- № 2,- С. 188-193 (http://www.srcc.msu.su/ num-meth/index. html).

7. Старовойтов A.C. Моделирование динамики релятивистских электронных пучков в схемах кильватерного ускорения частиц в одномерной плазме // Компьютерные учебные программы и инновации - 2003 - № 4,- С.35.

Подписано в печать 18.09.2003. Формат 60x80/16 Гарнитура Times Уел п л 1,05. Тираж 100 экз. Заказ № 150. Оригинал-макет подготовлен и тиражирован в издательстве Белгородского государственного университета. 308015 г. Белгород, ул. Победы, 85

2©os-A 1

* 1 5 5 0 6

Введение.

Глава 1. Априорные методы исследования свойств разностных схем.

§1. Механизмы диссипации энергии в методах расчета ударных волн.

§2. Разностные схемы в дифференциальном представлении.

§3. Акустическое приближение.

§4. Метод исследования диссипативных свойств разностной схемы.

§5. Метод исследования дистракции сильного разрыва.,.

§6. Метод исследования немонотонности.

Глава 2. Анализ свойств разностных схем.

§ 1. Разностная схема Д.Неймана - Р.Рихтмайера.

§2. Разностная схема П. Лакса.

§3. Разностная схема С.К.Годунова.

§4. Недивергентная разностная схема В.Ф.Куропатенко.

§5. Разностная схема П.Лакса, Б.Вендрофа.

Глава 3. Новая разностная схема.

§1. Выбор сетки. Типы интервалов.

§2. Разностные уравнения для ударной волны.

§3. Погрешности аппроксимации на ударной волне.

§4. Анализ устойчивости разностной схемы для ударной волны.

§5. Анализ монотонности и дистракции разностной схемы на ударной волне.

§6. Разностные уравнения для волны разрежения.

§7. Погрешности аппроксимации на волне разрежения.

§8. Анализ устойчивости разностной схемы на волне разрежения.

§9. Анализ монотонности разностной схемы на волне разрежения.

§ 10. Повышение порядка аппроксимации.

§11. Уменьшение немонотонности на слабых разрывах.

§12. Краткое описание программы КАМА.

§13. Верификация разностной схемы.

Глава 4. Исследование влияния свойств разностных схем на моделирование разрушения веществ.

§1. Характерные погрешности за фронтом ударной волны. Дистракция и осцилляции

§2. Выход стационарной ударной волны на свободную поверхность. Аналитическое решение и результаты расчетов.

§3. Взаимодействие двух волн разрежения с образованием откола. Аналитическое решение.

§3.1. Область стационарного течения за фронтом ударной волны.

§3.2. Область центрированной волны разрежения.

§3.3. Область взаимодействия двух волн разрежения.

§3.4. Точка смены краевого условия.

§3.5. Течение в области у свободной границы.

§3.6. Масса отколовшегося слоя.

§4. Зависимость положения трещины от дистракции и осцилляции разностной схемы

Выводы.

В основе моделей механики сплошной среды, описывающих поведение вещества под действием динамических нагрузок, лежат законы сохранения массы, количества движения и энергии. Для разных задач эти законы сохранения записываются в разных формах. Ниже мы будем рассматривать их, следуя [1]. В случае непрерывных течений законы сохранения образуют систему дифференциальных уравнений в частных производных. В прямоугольных декартовых координатах эта система имеет вид dV dt

VdivU = 0,

0.1) + VgradP-dt as asv as, дх dy dz 0,

0.2) dps dГ div((pS + P)U-q)asxu + asyu ( aszu V ax ay az

0.3) где U - скорость, p - плотность, V = 1/p - удельный объем, 8 = Е + 0.5U2, Е -удельная внутренняя энергия, Р - давление, q - тепловой поток, t - время. Векторы

Sx -Sxxi +xxyJ

Sy =TyxT + SyyJ+Xyzk? sx =tzxi + tzyj+szzk.

0.4) образуют девиатор тензора напряжений, а давление Р является шаровой частью тензора напряжений. Векторы i, j, k - единичные векторы ортогонального базиса.

Система уравнений (0.1)—(0.3) замыкается уравнениями состояния

F(P,V,E)=0, Ф(Т,У,Е)=0, (0.5) определяющими уравнениями для q, S„, т^ и уравнением траектории частиц

§ = U. (0.6) а

При интенсивных динамических воздействиях на материалы, таких, как электровзрыв фольги, детонация взрывчатого вещества, удар пластиной, поток электронов или частиц, мощное рентгеновское, лазерное или другие виды излучений, как правило, возникают ударные волны. Распространяясь по веществу и взаимодействуя со свободными или контактными поверхностями, они могут отражаться волнами разрежения. При взаимодействии встречных волн разрежения возникают растягивающие напряжения. Под действием растягивающих нагрузок сначала рвутся наиболее слабые связи между кристаллами и зернами, затем эти микроразрушения сливаются, и возникает трещина.

Разрушение вещества в различных условиях зависит от характера динамического воздействия. В одних экспериментах определяющей причиной разрушения является большая дисторсия и связанная с ней работа девиатора тензора напряжений. При этом дилатация, а значит, работа давления PdV может быть малой. В других экспериментах причиной разрушения являются большие отрицательные давления, а работа напряжений сдвига может быть малой. В большом количестве экспериментальных работ по изучению откольного разрушения опыты ставятся так, что нормаль к фронту ударной волны ортогональна свободной поверхности вещества, и до наступления разрушения движение можно рассматривать как плоское. В таких экспериментах разрушение происходит, в основном, из-за больших растягивающих давлений.

Основным методом исследования откольного разрушения является физический эксперимент, основным методом прогнозирования разрушения является математическое моделирование. Существует много различных моделей, описывающих отклик вещества на динамическое воздействие, в том числе моделей прочности и разрушения. Следует заметить, что в каждой модели можно выделить адиабатическое ядро, в котором присутствует только шаровая часть тензора напряжений, т.е. давление. Под адиабатическим ядром понимается система законов сохранения в дифференциальной форме без учета теплопроводности, девиаторов тензора напряжений и энерговыделения. Общая погрешность математической модели может быть представлена в виде суммы погрешностей физической модели, погрешности аппроксимации адиабатического ядра и погрешности аппроксимации уравнений, порождаемых девиатором тензора напряжений. д = дф +дм + дм. '-'мод ая 1 "д •

Следствием уравнений адиабатического ядра является постоянство энтропии вдоль линии тока. При расчетах реальных задач сильные и слабые разрывы взаимодействуют друг с другом и с контактными разрывами, в результате чего может произойти необратимое накопление погрешностей из-за осцилляций и дистракции разрывов, что в итоге дает существенное различие между характеристиками реального физического процесса и его математического образа. Для адекватного описания поведения материалов необходима высокая точность как кинетических моделей разрушения, так и численных методов с оптимальными дистракцией и немонотонностью.

В случае идеальной сжимаемой жидкости без учета теплопроводности и девиатора тензора напряжений (вязкости, упругости, пластичности) система законов сохранения (0.1)—(0.3) имеет вид: dV dt dU dt

- VdivU = 0, + VgradP = 0,

0.7) 2

2 Л dt VdivPU = 0.

В случае плоских, сферически-симметричных или цилиндрически-симметричных движений, когда все величины зависят только от времени и одной лагранжевой координаты, уравнения (0.7) принимают вид at

0.8) аи , v аЧ ар . + аф(а)г -= 0, at v ; ам

0.9) д at и2 аф(а)—-(ra1PU) = 0.

0.10)

Здесь М - массовая лагранжева координата, dM = cp(a)pdra, г - расстояние до центра или оси симметрии, a =1,2,3, ср(1)=1, ф(2)=71, ф(3)=4тт;/3. Для замыкания к уравнениям (0.7) или (0.8)—(0.10) добавляется уравнение состояния

F(P, V, Е) = 0. (0.11)

Положение каждой частицы в пространстве определяется ее эйлеровой координатой г = r(M,t), удовлетворяющей уравнению f-1 v3tJM u = o.

0.12)

В случае одномерных симметричных движений справедливо также уравнение ф(сс) кдМ j V = о,

0.13) которое также может использоваться для нахождения г. Во многих численных методах применяются следствия из уравнений (0.8)—(0.10) дЕ | р аф(а)5га"'и at зм " '

0.14) at at

0.15)

Одним из важнейших следствий системы законов сохранения (0.8)—(0.10) и уравнения состояния (0.11) является постоянство энтропии вдоль линии тока в адиабатических течениях. Уравнения (0.8)-(0.15) содержат три термодинамические функции Р, V и Е. Пусть V и Е независимы. В этом случае все остальные термодинамические функции, в том числе и на изэнтропе, зависят от V и Е. Уравнение скорости изменения энтропии S(V,E) вдоль линии тока имеет вид as at av f +

Uv, Е dt V аЕ Л at

0.16)

Поскольку

J Т fasY р = —, то из (0.16) следует v3VjE т

Tas = aE + pav at at at

0.17)

Из (0.15), (0.17) следует уравнение сохранения энтропии вдоль линии тока (траектории частицы) идеальной среды at

0.18)

Продифференцировав по t уравнение состояния (0.11), получим скорость изменения давления ар at арЛ v<?VyE av dt дЕ dt

Подставив сюда (0.15), получим еще одно следствие из уравнения состояния и законов сохранения ар 2 av Л + а — = 0. at at

0.19) арл где а = vdVyE P арл дЕ

- квадрат скорости распространения звуковых

V^Wv возмущений в лагранжевых (массовых) координатах. Из (0.8) и (0.19) следует ар , аф(а)ага1и л --ьа v 7-= 0. dt ам

0.20)

На поверхности сильного разрыва система законов сохранения принимает вид условий Гюгонио-Ренкина w(v+-v) = -(u+-u),

W(U+-U) = P+-P , E+-E+0.5(P++P)(V+-V) = 0,

0.21) (0.22) (0.23) где W = —— - скорость распространения разрыва в лагранжевых (массовых) dt координатах, величины с индексом "-" характеризуют состояние вещества перед линией разрыва, а с индексом "+" - за линией разрыва, U+, U. -нормальные к поверхности разрыва компоненты вектора скорости U.

Условия на контактных границах (КГ) получаются из (0.21)-(0.23) в частном случае, когда поток массы через поверхность разрыва отсутствует, т.е. при W = 0. Тогда из (0.21)-(0.23) следует непрерывность интенсивных величин - скорости и давления - на КГ:

U+=U, Р+=Р. (0.24)

При этом экстенсивные величины - удельный объем и удельная внутренняя энергия - могут оставаться разрывными.

В силу нелинейности уравнений газовой динамики их решение в общем случае можно найти лишь численно. Наиболее разработанным численным методом решения задач газодинамики является метод конечных разностей. В разностных методах непрерывные функции заменяются дискретными, определенными в узлах разностной сетки. Вообще говоря, для каждой функции может быть выбрана своя сетка, однако, во избежание дополнительных интерполяций при вычислении давления из уравнения состояния по V и Е, эти величины задаются на одной и той же сетке. После этого остается две возможности: 1) значения скорости определяются на той же сетке, что и давление; 2) значения скорости определяются на сетке, отличной от той, на которой определяется давление.

Разностная схема, вообще говоря, должна отражать основные свойства сплошной среды. Поэтому естественно требовать, чтобы в разностной схеме прежде всего выполнялись разностные аналоги законов сохранения. Разностные схемы, в которых изменение массы, количества движения и полной энергии в области интегрирования определяются только потоками массы через границы, импульсом и работой сил, действующих на границах, называются консервативными. На важность требования консервативности схемы обращали внимание многие исследователи. Так, например, в начале 50-х годов А.Н. Тихонов и А.А. Самарский [2] для обоснования интегро-интерполяционного подхода к конструированию разностных схем построили пример, когда неконсервативная разностная схема, обеспечивающая второй порядок точности в классе достаточно гладких коэффициентов, расходится в классе разрывных коэффициентов [2]. Однако требование консервативности не исчерпывает всех требований к разностной схеме. Дело в том, что в так называемом дивергентном уравнении энергии «сохраняется» только полная энергия £ = Е + 0.5U2. Поэтому погрешности в определении скорости, т.е. кинетической энергии, влияют на точность вычисления внутренней энергии, которая является суммарной величиной, состоящей из упругой (холодной) энергии, тепловой энергии ядер, тепловой энергии электронов, свободной энергии и т.д. Упомянутые выше требования консервативности оставляют без контроля переходы энергии из одной формы в другую, а это может исказить температуру, давление, энтропию, энтальпию и другие термодинамические величины. В [3] приведен пример, когда погрешности аппроксимации приводят к заметному искажению внутренней энергии.

Для изучения свойств разностных схем разностные уравнения чаще всего рассматриваются в дифференциальной форме. Вопросы получения разностных уравнений газовой динамики в дифференциальной форме и исследование свойств их дифференциальных приближений подробно изучены в [4]. В [5] показано, что для того, чтобы определить диссипативные свойства разностной схемы, нужно построить для нее уравнение производства энтропии и уравнение производства массы и исследовать остаточные члены для этих уравнений. Очевидно, что изменение энтропии из-за погрешностей аппроксимации не должно превосходить ее изменений в характерных физических процессах.

Конечноразностные методы расчета нестационарных течений сжимаемых сред основываются на системе законов сохранения либо в форме Эйлера, либо в форме Лагранжа. И лагранжевы, и эйлеровы методы имеют свои достоинства и недостатки. Выбор системы координат для расчета течения газа определяется постановкой задачи. Если важны параметры потока в заданной пространственной области (например, течение газа в газопроводе, задачи обтекания жесткой поверхности и т.д.), то естественно выбрать эйлеровы координаты. В связи с тем, что в этом случае сетка является неподвижной в пространстве, не возникают проблемы, связанные с сеткой. Однако, при расчете задач, связанных с течением определенной массы вещества, применение эйлеровых координат может привести либо к неоправданному уменьшению, либо к увеличению количества точек сетки и, следовательно, к потере точности численного решения. Например, при сильном сжатии вся рассчитываемая масса вещества может попасть в один счетный интервал эйлеровой сетки, что приводит к полной потере точности.

Чтобы обеспечить необходимую точность расчета центрированных волн разрежения в самом начале их существования, когда градиенты велики, С.К. Годунов предложил использовать подвижные сетки [6], В этом случае точки сетки, связанные с контактными границами или со слабыми разрывами, движутся вместе с ними. Промежуточные точки сетки получаются по произвольному закону с сохранением определенного минимума или максимума точек.

При использовании лагранжевых координат в задачах с большими деформациями в двумерной или трехмерной постановке возникают проблемы, ю связанные с перестройкой сетки. Но при необходимости детально исследовать газодинамические процессы, происходящие в некоторой фиксированной массе вещества, применение лагранжевых методов является наиболее целесообразным. В этом случае легко проследить историю деформирования частицы вещества, не возникает проблем с отслеживанием контактных границ, местами зарождения микроповреждений, зародышей новой фазы, что особенно важно для описания сложных процессов, связанных с деформациями и фазовыми переходами.

Область, в которой рассматривается движение вещества, разбивается сильными и слабыми разрывами на области гладкого течения, в которых выполняются законы сохранения в дифференциальной форме, тогда как на разрывах удовлетворяются условия совместности. Наиболее общим является решение, представляющее собой совокупность гладких решений, примыкающих друг к другу через линии сильных, слабых или контактных разрывов с соблюдением условий совместности. Такая структура решения естественно описывается методом характеристик [7], учитывающим, в принципе, все особенности решения. От других разностных методов его отличает аппроксимация не законов сохранения, а характеристических уравнений и многократное использование операторов интерполирования. Сглаживание профилей, характерное для разностных схем с фиксированной сеткой, является минимальным в методе характеристик, так как применяемая в нем сетка строится с учетом области зависимости решения. Альтернативой методу характеристик являются разностные методы с нулевой дистракцией, выделяющие особенности в решении, например, ударные волны, слабые и контактные разрывы. В этом случае для расчета параметров течения используются алгебраические и дифференциальные уравнения - законы сохранения и их следствия, записанные для каждого типа разрыва. Примером является неоднородный метод В.Ф. Куропатенко, реализованный в программе "Волна" [8], где для решения системы разностных уравнений используется регулярная сетка для областей интегрирования с гладкими решениями и размазанными" особенностями и сетка особенностей, которая накладывается на регулярную сетку.

Наиболее простыми для реализации на ЭВМ являются методы с ненулевой дистракцией, получившие название "однородных". Для описания течения в ударном слое, заменяющем сильный разрыв, в этом случае в уравнения гидродинамики вводятся диссипативные члены. Первой схемой такого рода была схема Неймана-Рихтмайера [9], в которой по аналогии с физической вязкостью в уравнения газодинамики вводится псевдовязкость. При этом были использованы результаты Беккера [10], который в 1922 году показал, что введение физической вязкости в уравнения газодинамики приводит к появлению переходного слоя, толщина которого в газах сравнима с длиной пробега молекулы. В методе Неймана-Рихтмайера после введения псевдовязкости сильный разрыв заменяется переходным слоем конечной ширины. Другим вариантом однородных методов с псевдовязкостью, является метод, предложенный в США Лаксом и Вендрофом [11]. Лаке [12] предложил однородный метод с аппроксимационной «вязкостью». В СССР были созданы разностные схемы, в которых для диссипации энергии использовались уравнения физических процессов. Первой схемой такого рода была схема, предложенная С.К.Годуновым [13], в которой для расчета диссипации энергии применяются соотношения для распада произвольного разрыва. В отличие от схем Неймана-Рихтмайера и Лакса-Вендроффа, этот метод не содержит эмпирических констант. В методе, предложенном В.Ф. Куропатенко [14], [15] применяется разнородная аппроксимация на ударных волнах (УВ) и волнах разрежения (BP). Такие схемы в области гладкого течения аппроксимируют уравнения газодинамики, а на разрывах - условия Гюгонио. Диссипация энергии учитывается при расчете вспомогательного давления. Применение специальных разностных уравнений в ячейках сетки, содержащих сильный разрыв, приводит к конечной дистракции, т.е к замене сильного разрыва ударным слоем, шириной в несколько счетных интервалов. Таким образом, рассчитываемая ударная волна заменяется конечным числом ударных волн меньшей интенсивности. Этот метод, также не имеющий эмпирических констант, был реализован в разностных схемах, в которых давление, плотность и энергия определялись, как правило, в серединах интервалов, а скорость в узлах разностной сетки (недивергентные схемы). Предпринимались также попытки создания дивергентных разностных схем расчета ударных волн, реализующих этот метод, например [15]. Однако во всех реализациях немонотонность зависела от числа Куранта и при произвольном соотношении шагов по времени и по пространству наблюдались осцилляции за фронтом УВ.

Введение диссипативных членов в разностные уравнения приводит с одной стороны к дистракции разрывов, а с другой стороны, к осцилляциям в решении. Как правило, рост дистракции сопровождается уменьшением амплитуды осцилляций и наоборот. Все разностные методы обладают различными дистракцией и осцилляционными свойствами. Так, например, метод Неймана-Рихтмайера дает сильные осцилляции как за фронтом УВ, так и в окрестности слабого разрыва на волне разрежения. Метод С.К. Годунова, являющийся монотонным, обладает сильной дистракцией слабых разрывов. При сложной картине течения, взаимодействии сильных и слабых разрывов друг с другом, а также с контактными разрывами влияние этих свойств разностного метода может накапливаться, что может быть причиной значительного отличия параметров численного решения от характеристик реального физического процесса. Особенно существенным это влияние становится при описании таких тонких эффектов, как откольное разрушение и зарождение фазовых переходов. При применении подавляющего большинства существующих разностных методов для расчета откольного разрушения масса и начальный импульс отколов определяются с низкой точностью. Поэтому представляется актуальной задача построения разностного метода, сочетающего в себе малые амплитуды осцилляций и малую дистракцию разрывов.

В диссертации излагается разностный метод расчета неустановившихся течений сжимаемой жидкости, который на волне сжатия в акустическом приближении удовлетворяет условиям теоремы С.К. Годунова и обеспечивает монотонность профилей, обладает небольшой дистракцией разрывов, имеет нулевую диссипацию в области, где справедливы законы сохранения в дифференциальной форме, и практически не дает энтропийных следов при выходе УВ на свободную поверхность.

Созданный метод излагается в одномерной постановке в случае плоской симметрии. Уравнения в случае сферической и цилиндрической симметрии не обсуждаются в данной работе, так как для описания подавляющего большинства экспериментов по откольному разрушению достаточно рассмотреть плоский случай. В [16] показана принципиальная возможность обобщения метода на двух- или трехмерный случай, однако это выходит за рамки данной работы.

На защиту выносятся:

1. Дивергентная разностная схема расчета ударных волн, реализующая метод В.Ф. Куропатенко, основанный на применении условий Гюгонио для определения характеристик среды в области ударных слоев.

2. Уравнения для определения вспомогательных величин - давления и скорости - в области непрерывных течений и их обоснование.

3. Исследование диссипации энергии, дистракции разрывов, устойчивости и монотонности предложенной разностной схемы. Обоснование отсутствия диссипации энергии на волнах разрежения и малости амплитуды осцилляций за разрывом.

4. Аналитическое решение задачи о выходе ударной волны на свободную поверхность конденсированной среды с последующим взаимодействием двух волн разрежения и откольным разрушением среды.

5. Сравнительный анализ точности разностных схем при решении задачи об откольном разрушении конденсированной среды.

Диссертация состоит из введения и четырех глав. В первой главе излагаются априорные методы исследования свойств разностных схем и выбираются критерии их сравнения. Во второй главе проводится теоретический анализ свойств методов расчета ударных волн и волн разрежения. Поскольку известно всего четыре принципиально различных механизма описания диссипации энергии в разностных методах расчета ударных волн, то исследуются только разностные схемы Неймана-Рихтмайера, Лакса, Годунова и Куропатенко. В третьей главе излагается новая разностная схема, исследуются ее свойства и проводится верификация численного метода. Четвертая глава посвящена аналитическому решению задачи с откольным разрушением и исследованию влияния свойств разностных схем и характерных погрешностей в окрестности сильных и слабых разрывов на моделирование откольного разрушения.

Выводы

1. Предложена разностная схема расчета неустановившихся течений сплошных сред, относящаяся к классу схем, не содержащих эмпирических констант при описании диссипации энергии в ударном слое, заменяющем сильный разрыв. Разностная схема реализует метод В.Ф.Куропатенко, основанный на применении условий Гюгонио для определения характеристик среды в области ударных слоев и на интегрировании с наперед заданной точностью уравнений изэнтроп в случае адиабатических течений. Исследована устойчивость, аппроксимация, диссипация энергии, дистракция и монотонность новой разностной схемы. Для обоснования ее достоинств проведены аналогичные исследования разностных схем Неймана-Рихтмайера, Лакса, Годунова и недивергентной разностной схемы Куропатенко.

2. Построено аналитическое решение задачи с откольным разрушением конденсированной среды после выхода ударной волны на свободную поверхность. Специально подобранное граничное условие позволяет реализовать режим откола только в одной точке среды.

3. Создана методическая программа «Кама», в которой реализована предложенная разностная схема. Расчеты по программе показывают, что разностная схема «Кама» сочетает в себе малую амплитуду осцилляций и малую дистракцию разрывов, что позволяет наиболее точно описывать взаимодействие разрывов различных типов друг с другом и, следовательно, поведение веществ при откольном разрушении. Применение условий Гюгонио для описания диссипации энергии в области ударного слоя и выбранный вид разностных уравнений позволяют избежать появления энтропийных следов при выходе ударной волны на свободную поверхность вещества.

4. Проведен сравнительный анализ точности разностных схем при решении задачи об откольном разрушении конденсированной среды. Показано, что погрешность определения массы откола в расчете по предложенной в диссертации разностной схеме «Кама» значительно меньше, чем при расчете по разностным схемам [9], [13], [14], [44].

1. Глушак Б.Л., Куропатенко В.Ф., Новиков С.А. Исследование прочности материалов при динамических нагрузках //Наука Новосибирск - 1992. -294 с.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. О сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов //ДАН СССР 1959 - т. 124, №3

3. Поттер Д. Вычислительные методы в физике //М. Мир - 1975г.

4. Яненко Н.Н., Шокин Ю.И. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике //Наука Новосибирск - 1985 - с.364

5. Куропатенко В.Ф. Локальная консервативность разностных схем для уравнений газовой динамики //Журнал выч. матем. и матем. физики. -М. т.25, №8. - 1985. - с.1176-1188.

6. Годунов С.К. Численное решение многомерных задач газовой динамики //М. Наука - 1976. - 400 с.

7. Жуков А.И. Применение характеристик к численному решению одномерных задач газовой динамики //Труды матем. ин-та АН СССР 7. -(1960).

8. Neumann J., Richtmayer R. A method for the numerical calculation of hydrodynamical shocks //J. Appl. Phys. -1950 V.21, #3 - pp.232-237

9. O.Becker R. Stosswelle und Detonation //Z. Phys. 1922 - V.8 - pp.43-521 l.Lax P.D., Wendroff B. System of Conservation Laws //Сотр. Pure Appl. Math. -№13.- 1960.-p.217

10. Lax P.D. Weak solution of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computations //Comn. Pure and Appl. Math. 1954 - V7 - pp. 159-193

11. З.Годунов С.К. Разностный метод счета разрывных решений уравнений газодинамики //Матем. сб. -1959 -№47(89), вып.З С.271-306

12. Куропатенко В.Ф. Метод расчета ударных волн //ДАН СССР в.З, №4 -1960 - С.771.

13. Куропатенко В.Ф. О разностных методах для уравнений гидродинамики //Труды матем. инст. им. В.А.Стеклова т.74, ч.1. - 1966. - С.107-137.

14. Куропатенко В.Ф., Кузнецова И.И., Макеева И.Р., Мурашко А.С., Уваров

15. B.Н. Исследование влияния пульсирующего вдува на поток возле обтекаемого тела //Вопросы атомной науки и техники. Серия: Математическое моделирование физических процессов-вып.З.—20021. C.60-71.

16. Kuropatenko V.F., Makeeva I.R. Calculational Technique for Shock Waves with elevated Monotonocity //New Models and Numerical Codes for Shock Wave Processes in Condensed Media -Aldermaston-1997.-p. 598-609.

17. Куропатенко В.Ф., Макеева И.Р. Разностный метод расчета ударных волн //Аннотации докладов Зимней школы по механике сплошных сред-Пермь.-1997.-С.21.

18. Makeeva I.R. Calculational Technique for Heightened Monotonocity // Shock Wave Processes in Condensed Matter-Saint-Petersburg 1998-p. 213.

19. Куропатенко В.Ф., Макеева И.Р. О точности расчета откольного разрушения //Труды V Забабахинских научных чтений-Снежинск-1998-С.649-659.

20. Kuropatenko V.F., Makeeva I.R. Calculational Technique for Shock Waves with elevated Monotonocity. // Finite-Difference Methods: Theory and Application-National Academy of Sciences of Belorus.-Minsk.-1998.-p. 80-85.

21. Kuropatenko V.F., Makeeva I.R. On the Accuracy of Failure Calculations // Shock Waves in Condensed Matter Saint-Petersburg.-2000.-p. 147.

22. Макеева И.Р. О точности расчета откольного разрушения //Труды 8 Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике-Пермь.-2001 .-С .411.

23. Куропатенко В.Ф., Кузнецова И.И., Макеева И.Р., Мурашко А.С., Уваров В.Н. Исследование влияния пульсирующего вдува на поток возле обтекаемого тела // Труды VI Забабахинских научных чтений.-Снежинск.-2001 .-С.214.

24. Куропатенко В.Ф., Макеева И.Р. Моделирование фильтрации дисперсионной среды через пористую преграду //Труды VI Забабахинских научных чтений.-Снежинск.-2001 .-С.215.

25. Куропатенко В.Ф., Макеева И.Р. О точности расчета откольного разрушения //Хим. физ. т.21, №9. - 2002. - С. 72-78

26. Куропатенко В.Ф., Макеева И.Р Разностный метод расчета ударных волн с повышенными свойствами монотонности //Препринт ВНИИТФ №120 -1997.

27. Жукова Т.В. Моделирование импульсного нагружения керамических элементов конструкций с учетом микроструктуры материала. //Автореферат диссертации на соискание степени кандидата физ.-мат. наук.-Томск.-2002.

28. Самарский А.А., Арсенин В.Я. О численном решении уравнений газодинамики с различными типами вязкостей //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. т.1, №2 - С.357-380.

29. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод «крупных частиц» для задач газовой динамики //Числ. методы механики сплошной среды -Новосибирск 1970 - т.1, №3 - С.3-23.

30. Куропатенко В.Ф. Об одной форме псевдовязкости //Изв. СО АН СССР. Сер. технич. 1967. -МЗ, вып.З. - С.81-82.

31. Уилкинс M.JI. Расчет упругопластических течений //Вычисл. методы в гидродинамики М. - Мир. - 1967. - С. 212-263.

32. Яненко Н.Н., Неуважаев В.Е. Один метод расчета газодинамических движений с нелинейной теплопроводностью //Труды матем. института им.

33. B.А.Стеклова 1966 - т.74 - С. 118-146.

34. Шокин Ю.И., Федотова З.И. Об одном классе инвариантных разностных схем //ЧМСС Новосибирск - 1972 - тЗ, №5, - С. 85-94.

35. Русанов В.В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений //Докл. АН СССР 1968 - т. 180, №61. C.1303-1305.

36. Яненко Н.Н., Анучина Н.А., Петренко В.Е., Шокин Ю.И. О методах расчета задач газодинамики с большими деформациями //ЧМСС 1970 -т.1, №1 - Новосибирск. - С. 40-62.

37. Моисеев Н.Я. Об одном способе повышения точности решений в разностных схемах, построенных на основе метода С.К.Годунова //ВАНТ, серия: Методики и программы числ. решения задач мат. физики 1988, вып. 1.-С. 38-45

38. Куропатенко В.Ф. Метод построения разностных схем для численного интегрирования уравнений газодинамики //Известия ВУЗов сер. Математика - №3(28) - 1962 - С. 75-83.

39. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. Физ.-мат. лит. М. -1963-632 с.

40. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. -М. -Мир.- 1972.-418 с.

41. Рождественский Б.Л., Яненко Н.К. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М. - Наука, 1968. - 591с.

42. Моисеев Н.Я. Об одной модификации разностной схемы С.К.Годунова //ВАНТ, серия: Методики и программы числ. решения задач мат. физики -1986, вып. 3.-С. 35-43

43. Куропатенко В.Ф., Сапожников А.Т. Расчет неустановившихся движений сжимаемых сред с фазовыми переходами //Численные методы механики сплошной среды. -т.З, №5 -1971г. -С. 93-105.

44. Lax P.D., Wendroff В. Difference Schemes for Hyperbolic Equation with High Order of Accuracy //Сотр. Pure Appl. Math. №17. - 1964. - P.381.

45. Мурашкина B.A., Неуважаев B.E. Новые типы вязкости для расчета ударных волн //Труды IV всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Новосибирск. - 1973. - С. 105-112

46. Жуков А.И. Об одной разностной схеме для одномерной задачи гидродинамики //ВАНТ, серия: Методики и программы числ. решения задач мат. физики 1986, вып. 3. - С. 71-77