автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Группы симметрий уравнения Власова в кинетической теории плазмы

р. " Г4 г

! к О См

Физический институт им. П.Н.Лебедева РАН

На правах рукописи УДК 517.958; 530.182; 533.9

Кривенко Сергей Владимирович

ГРУППЫ СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА В КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАЗМЫ

специальность: 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях.

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1996

Работа подготовлена в Отделе лазерного термоядерного синтеза Отделения Квантовой Радиофизики Физического института им. П.Н.Лебедева РАН.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В.П.Гердт

кандидат физико-математических наук С.Р.Свирщевский

Ведущая организация - Нижегородский государственный Университет им. Лобачевского, кафедра Прикладной математики.

Зашита диссертации состоится 14 июня 1996 года в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 047.01.04 при лаборатории вычислительной техники и автоматизации Объединенного института ядерных исследований по адресу: 141980, г. Дубна Московской обл.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИЯИ. Автореферат разослан 13 мая 1996 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

З.М.Иванченко

Общая характеристика работы

Актуальность темы работы. Мощным методом исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений, позволяющим находить их точные решения на основе допускаемых групп симметрии, является метод группового анализа, созданный норвежским математиком Мариусом Софусом Ли (18421899) в конце прошлого века и получивший заметное развитие в последние десятилетия (см. монографии12 и цитированную в них литературу, а также "Справочник по групповому анализу"3, в котором представлены основные достижения в этой области за последние сто лет). Однако в рамках традиционного подхода не могут быть рассмотрены уравнения с нелокальными вкладами. К таким уравнениям, представляющим как общефизический, так и прикладной интерес, относится, например, кинетическое уравнение Власова с самосогласованным полем, являющееся основным уравнением теории бесстолкновнтельной плазмы. Поэтому актуальной представляется задача распространения методов группового анализа на интегро-дифференциальные уравнения (системы уравнений), применение этих методов для вычисления симметрий указанных уравнений и нахождения на их основе точных аналитических решений.

Целью настоящей работы является а) развитие метода нахождения спмме-трий интегро-дифференциальных уравнений; б) вычисление с помощью этого метода симметрий уравнений Власова-Максвелла для различных плазменных систем.

Научная новизна и значимость работы определяется тем, что в ней

— развит регулярный метод нахождения симметрий систем интегро-диффе-

ренциальных уравнений;

- впервые найдены группы точечных преобразований уравнений Власова-

Максвелла в бесстолкновительпой плазме при различных формулировках исходных моделей плазмы, связанных с учетом многих сортов частиц, конечного значения скорости света и массы частиц плазмы и др.;

— пайдены группы точечных симметрий, учитывающие преобразования пара-

метров системы наравне с динамическими переменными;

- предложен способ, дозволяющий осуществлять продолжение найденных

симметрий на нелокальные переменные и функционалы от функции распределения частиц плазмы.

Эти основные положения и выносятся на защиту.

'Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск, СО АН СССР, 1962.

'Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М., Наука, 19S3 г.

3CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, Ed.N.H.Ibragimov, CRC Press, Boca Raton, Florida, USA. Vol.1 (1994), Vol.2 (1995), Vol.3 (1995).

Практическая значимость работы заключается в том, что в ней предложен эффективный метод группового анализа интегро-дифференциальных уравнений, позволяющий регулярным образом находить их симметрии. С помощью этого метода вычислены группы точечных симметрии для более чем десяти моделей, описывающих различные плазменные системы, отличающиеся числом сортов частиц, их массой, учетом релятивистского движения, наличием внешнего магнитного поля и т.д. Полученные группы симметрий являются основой для построения инвариантных и частично-инвариантных решений исследованных систем уравнений, используемых для интерпретации физических явлений в лабораторной и ионосферной плазме.

Структура работы. Работа состоит из введения, пяти глав и списка цитируемой литературы 48 наименований, содержит 161 страницу текста, включая оглавление и список литературы.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференциях по "Современному групповому анализу и его применениям" (Уфа-91, Нижний-Новгород-92, Самара-93), а также на конференциях "Методы симметрий в физике" (памяти проф. Я.А. Смородинского, Дубна 93), на "Международном Конгрессе по компьютерным системам и прикладной математике" (Санкт-Петербург-93), на Международной конференции "Симметрии в нелинейной математической физике" (Киев-95), на семинарах лабораторий ЛТФ, ЛВТА Объединенного института ядерных исследований, Физического института РАН и кафедры прикладной математики Нижегородского государственного университета.

Содержание работы.

Во введении сформулированы основные задачи работы, а также дал обзор подходов, применявшихся ранее для нахождения симметрий нелокальных уравнений. Задана поиска симметрии таких уравнений сталкивается с необходимостью определения понятия симметрии интегро-дифференциальпого уравнения. Введение этого определения приводит к формулировке критерия инвариантности исходных нелокальных уравнений относительно группы симметрий. Нахождение решения получаемых из такого критерия инвариантности нелокальных определяющих уравнений составляет основную проблему группового анализа нелокальных уравнений.

Один из способов нахождения симметрий нелокальных уравнений состоит в переформулировке исходной системы интегро-дифференциальных уравнений в виде бесконечной системы дифференциальных уравнений и последующем применении к полученной системе методов стандартного группового анализа. Этот моментяый метод впервые был применен В.Б. Тараповым4 для нахождения точечных симметрий одномерных уравнений Власова-Максвелла, описывающих высокочастотные движения бесстолкновительной плазмы. Аналогичный метод использовал A.B. Краснослободцев для поиска точечных симметрий одномерных кинетических уравнений "власовского" типа5. Однако нелокальное уравнение не всегда можно преобразовать к системе "моментных уравнений''. Даже в том случае, когда это оказывается возможным, применение моментвого метода может быть связано с непреодолимыми вычислительными трудностями. Поэтому он не может рассматриваться как регулярный.

Другой способ группового анализа нелокальных уравнений был предложен в работах C.B. Мелешко6. В предложенном им методе симметрии нелокального уравнения определяются как группа преобразований, переводящая решения исходного уравнения в решения того же уравнения. Следующая из этого определения схема построения определяющих уравнений имеет общий характер, однако получаемые при этом координаты инфинитезимального оператора искомой группы вычисляются на частных, имеющих специальный вид решениях исходного уравнения. Это затрудняет применение данного метода к произвольным нелокальным уравнениям.

В первом разделе первой главы диссертации симметрия иатегро-дифферен-циального уравнения, записанного в виде равенства нулю некоторого функционала

[/(*)] = 0, (1)

4Таранов В.Б. Препринт КИЯИ-74-21, Киев, 1974.

5Краснослободцев A.B. Труды Института Обшей Физики, 1989, т.18, С.33-71.

6Мелешко C.B. Докторская диссертация. Новосибирск, Институт теоретической и прикладной механики СО АН СССР, 1991.

определяется как однопараметрическая группа преобразований О с параметром а пространства х, /, /х, ..., обладающая следующим свойством: преобразованная функция / с помощью канонического представления группы (У:

х' = х- — f аге{х, f, fx, ...) + о (а) , (2)

удовлетворяет исходному уравнению (1) для любого значения параметра а:

= 0. (3)

Такое определение приводит к следующему инфинитезимальному критерию инвариантности исходного интегро-дифференциального уравнения (1) относительно допускаемой группы преобразований (2):

алл

¿а

= 0. (4)

а=0

Выбор канонического представления группы С не случаен. Это представление позволяет для вычисления производной в соотношении (4) воспользоваться формулой дифференцирования функционала по параметру (М. й-есЬе!:, 1912):

'<ЩЯ /, э/'й^л

(1а J да 5/'

Выражение ¿.Р [/] /£/ (х) под интегралом в правой части равенства (5) задается вариационной производной функционала Р на функции / в точке х.

Получаемые из критерия (4) нелокальные определяющие уравнения записываются в привычном для группового анализа виде

=0, ' (6)

где оператор группы преобразований У представляет собой обобщение стандартного канонического инфинитезимального оператора группы7 на иптегро-дифференциальные уравнения и дается формулой:

В следующих разделах главы 1 предложенный метод группового анализа интегро-дифференциальных уравнений проиллюстрирован на примере вычисления точечной группы уравнений Власова-Максвелла, описывающих одномерные нерелятивистские движения электронного газа. Исходная система уравнений состоит из уравнения Власова на функцию распределения электронов /

+ + -£/„ = 0, - (8) т

7Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М., Наука, 1983 г.

одномерных уравнений поля

Ех - Аттр = 0 ; Ег + 4тг/ = 0 , (9)

с плотностями заряда р и тока 1 в виде источников. Последние выражаются через функцию распределения с помощью формул:

+оо +СО

р = ет J ¿V / ; ] = ет ^ с1уь/. (10)

— ОО — ОО

Добавление к этим уравнениям, еще четырех очевидных соотношений

£„ = 0; ¿>„ = 0; ¿, = 0, Рг+]х = 0, (11)

завершает список исследуемой системы уравнений.

В предложенном подходе дифференциальные ц интегро-диффереициальные уравнения рассматриваются единообразно. Это достигается обобщением канонического представления инфинитезимального оператора искомой группы типа

(7). В случае системы (8)-( 11) оператор группы, продолженный на производные, задается следующим выражением

У — .[ «й^Лиж1——^-г I 1 ае3а +гв4а„

J ¿/(¿, х, V)

+ А (а;2) дЕ, + А (ее2) дВх + А (ае2) дЕ„ + Ас (ае3) д]х

+ А (ае3) д^ + А (ге4) 0Рс + А (ге4) 8,. . (12)

Координаты этого оператора в случае точечных преобразований являются линейными формами по всем первым производным соответствующих им функций; например, для координаты ае1 имеем следующее соотношение:

п^'Г-еь-еь-еъ, аз)

где функции г)1 и зависят от всего набора групповых переменных задачи

(8)-(И):

(14)

Определяющие уравнения группы получаются непосредственным действием оператора (12) на исходные уравпения системы (8)-(11):

А (ж1) + vT)x (аз1) + -Е А + - а:2/„ = 0 ,

V/ V ) т \ ! т

А (зэ2) - 4га4 = 0 , А (ж2) + 4тгзэ3 = 0, А (ае4) + £>г (ге3) = 0,

А (ае2) = 0 , А (се3) = 0 , А (ае4) = 0, (15)

эе4 — ет у ¿V а;1 = 0; ае3 — ет J (IV иэг1 = О. (16)

Определяющие уравнения решаются с учетом того обстоятельства, что на входящие в них групповые переменные наложены связи (8) - (11), причем переменные /, /х , р, , }х, Рх рассматриваются как независимые, групповые пере менные. Это очевидное предположение (в разделе 1.6 главы 1 продемонстрировано, что отказ от этого предположения не меняет результатов проделанного группового анализа), приводит к тому, что семь определяющих уравнений ((15) из девяти (15)-(16) оказываются локальными. Поэтому их решение, выполняется методами классического группового анализа.

Получаемый результат такого решения, дается формулами для координат оператора (12)

ае1 = т,1 (/) + а (*) (ь/х + - [* (*) + Л4) + /3 (*)] /,-

[и (л4 - + ^хаи + /„ ; аг2 = Е (А4 - |а4) + ™ (^-хаш + /3„) + 4тг]а (г)

+ (17)

=1Еаа - £ +" Г«)+" (1ха"+

-а (4) ^ - [г (4) + Л4) + /3 (*)] Л ;

ж4 = - 2/>а, + а - [г (0 + уц) + /3 (4)] рх ,

п носит название группы промежуточной симметрии [7]. Континуальный произвол координат (17) характеризуется тремя функциями

«(О. №, •?'(/) (18)

и одной константой Л4.

Группа промежуточной симметрии (17) порождается лишь дифференциальными соотношениями (8) -(9), (11) в интегро-дифференциальной системе уравнений (8) - (11) и никак не учитывает интегральных вкладов в материальных уравнениях (10), определяющих плотности заряда и тока. Ясно, что для полной интегро-дифференциальной системы уравнений самосогласованного поля (8) -(11) она играет вспомогательную роль и (алгоритмически) служит лишь

удобным средством отыскания окончательных выражений для координат ин-финитезимального оператора искомой группы Ли: Решение локальных определяющих уравнений в настоящее время выполняется на ЭВМ с помощью стандартных программ. Такая "автоматизация" счета промежуточной симметрии в качестве независимого составного блока в общей схеме отыскания группы, допускаемой интегро-дифференциальной системой уравнений, служит важной частью в решении нелокальных определяющих уравнений и всей задачи в целом. В диссертации для вычисления ряда групп промежуточных симметрии использовался пакет 'Symmetiy determination and linear diifeiential equation package' "DIMSYM 2.0'' (автор - James Sherring, Department of Mathematics, LaTrobe University, Bundoora, Australia), выполненный (в октябре 1993 г.) как библиотечный пакет системы аналитических вычислений "REDUCE".

Решение нелокальных определяющих уравнений складывается пз двух шагов. Сначала проводится упрощение определяющих уравнений с помощью найденной группы промежуточной симметрии. На втором шаге выполняется расщепление нелокальных определяющих уравнений вариациоппым дифференцированием.

Уравнения (16) решены указанным выше способом в разделе 1.4.3 главы 1. Подстановка значений координат оператора группы промежуточной симметрии (17) в уравнения (16), приводит их к виду

ет J dv ^ (/ (и)) + / (и) (д4 + (t)) j - = 0 ;

ет J dv v [т?1 (/ („)) + / (ü) (Л4 + ±at (*))] - = 0 . ■. (19)

В результате вычисления вариационной производной 8/8 f [у') от функционалов, совпадающих с левыми частями равенств (19) получается обыкновенное дифференциальное уравнению на коордипату т?1 (/)

+ At + ^ot («) = 0. (20)

Решение этого уравнения, при учете уравнений (19), дает окончательное выражение для координат оператора (12).

Полученные таким образом точечные операторы симметрии уравнений (8)-(11) имеют следующий вид:

Х2 = дх]

Хз = 2га, + хдх - vdy - 3 fdf - ЗЕЭе - 5jdj - 4рдр;

Х4 = хдх + vdv - fd} + ЕдЕ + jdj; Х5 = tdx + dv + pdj ■

t2 771

x6 = jdx + t(\ + 7dE + tpdj. (21)

Эти операторы замыкаются в шестимерную алгебру Ли Се

Сй = {Хг, Х3, ... Х6) (22)

В заключительном разделе главы 1 предлагаемая схема группового анализа интегро-дифференциальных уравнений, подробно проиллюстрированная на описанном выше примере вычисления точечной группы (21), формулируется в виде общей концепции поиска симметрии систем уравнений Власова-Максвелла, основными моментами которой являются следующие:

- Построение и решение локальных определяющих уравнений. Этот шаг вы-

полняется обычными методами классического группового анализа. Группу, найденную в результате их решения мы называем группой промежуточной симметрии. Для ее нахождения можно использовать пакеты прикладных программ по поиску симметрий дифференциальных уравнений систем компьютерной алгебры.

— Построение нелокальных определяющих уравнений достигается использо-

ванием специального представления канонического оператора (см. (7))

У = з:д, --> У = I

¿1 ¿х ¿V;

(г, X, „)■

В процессе решения нелокальных определяющих уравнений используется знание группы промежуточной симметрии, а процедура их расщепления, проводится с использованием вариационной производпой. Алгорит-мичность такого расщепления нелокальных определяющих уравнений для систем Власова-Максвелла вполн<ГСШОставимя~с~алгоритмичность:ю соответствующих этапов расщепления локальных определяющих уравнений.

. В второй главе предложенная схема группового анализа применяется к уравнениям Власова-Максвелла, в их наиболее общей формулировке:

+ ^ + ^{Е+1с [УВ] - ^(УЕ)}^ = °

Вг сгс^Е = 0,; &УЕ = 4Яр; Е1 - схо!В + Аж} - 0; ЖУВ = 0; Р = Е / ¿V /У ; j = ¿ [ ¿V /<У V;

Д=1 /л-1

Еу = 0; Ву = 0; ^ = 0; = 0;

* + <Цу]=0; 7 = 1 -. (23)

\/1 - ^/с)2

Уравнения (23) описывают трехмерные движения релятивистской квазинейтральной бесстолкновительной плазмы (состоящей из частиц к сортов) в самосогласованных электрическом Е и магнитном В полях.

Нахождение группы точечных преобразований такой системы выполняется аналогично проделанному в главе 1. Результат вычислений приводится в виде следующего набора инфшштезимальных операторов

Х0 = д(; X — Эг;

V = гд< + с\дт + сЧ - V (V, д.) - с [В, дЕ] + с [Е, 5П] + с2рд} + Я ;

г = [г, дг1 + [V, а,] + [в, ад + [в, зв] + и, ;

(24)

К

= tдí + гдг - 2 ]Г Гд}> - Е9е - В9П - 2^ - 2рд„ ;

Ц=1

Х£ = —Цэ/.- —ЦЗ/. , 2 < р < к,

и формулируется следующим образом: система уравнений Власова-Максвелла (23) допускает 11 -+- (к — 1) - параметрическую группу Ли с группой Пуанкаре < Х0, X, У, Ъ > в качестве подгруппы. Последний оператор в сводке (24) является "оператором квазинейтральности" Х£ и возникает только в многокомпонентной плазме к > 2, количество таких операторов на единицу меньше числа компонент плазмы.

В третьей глава исследуется попрос о расширении точечной группы симме-трий системы уравнений Власова-Максвелла. Показано, что такое расширение возникает если рассматривать параметры исходной системы уравнений (заряд и массу частиц плазмы, скорость света, постоянное внешнее магнитное поле) как независимые переменные, входящие на "равных условиях" с остальными групповыми переменными в набор (14).

Принципиальную важность вовлечения параметров системы в групповые преобразования демонстрирует вычисление бесконечной точечной группы, допускаемой уравнениями Власова-Максвелла релятивистской электронной плазмы

е ( г<2 \ *

/. + «/* + - 1--,- Е}»= 0; Ех-41гр = 0, Е1 + 4^-0, £„ = 0; (25) т\ с'}

У ( ^у 7 / и2\'

р = ет | (¡14 1--- I / + ега ; ] = ет / сЬ I 1--- I /у + епи , (26)

- с ^ ^ —с ^

Здесь постоянные слагаемые в материальных соотношениях (26) описывают вклад ионной компоненты плазмы. Общее выражение для оператора группы X дается линейной комбинацией восьми базисных операторов

8

X = т, ё, п, и, с) X,; (27)

Хг = д,; Х2 = сдх; Х3 = гд( + хдх - 2пдп - 2/5/ - - - 2рд„;

+ сЧ8х + [г - V2) д„ + (с2 - и2) & + ипдп + - Я] ;

с

Хь = еде + тдт - 2/9/ ; Хв = гпдт + пдп + -\-Едв + ¿д] -4 рд„; Ху = ёдё — п<9„;

= Хдх + + сдс + иди - /д/ + Едв + ¡д,, (28)

шесть из которых обязаны своим существованием неинвариантности параметров.

В этой же главе выполнен групповой анализ системы уравнений Власова-Максвелла (23), в которых осуществлен переход к лагранжевому импульсу. При этом, в дополнении к симметриям (24), возникает бесконечномерный оператор, континуальный произвол которого обусловлен не только функциональной зависимостью от набора параметров системы, но также и от динамической переменной - лагранжевой скорости.

В четвертой главе найдены группы симметрии одномерных систем Власова-Максвелла, описывающих электронный газ, электронную плазму, двухкомпо-нентную плазму в релятивистском и нере.тятивистском приближениях. С помощью вычислений, выполненных в пакете "БШЗУМ", продемонстрировано отсутствие у таких систем группы Ли-Беклупда вплоть до третьего порядка. При этом функция распределения /, ее производные (по координате х и скорости и) и интегралы от нее по скорости, считались независимыми в групповом смысле — так, что по ним (по отдельности) проводилось расщепление определяющих уравнений группы промежуточной симметрии.

В заключительном разделе четвертой главы продемонстрирована возможность применения развиваемого подхода к групповому анализу интегро-дифференциальных уравнений на примере системы уравнений, более общего типа, чем система уравнений Власова-Максвелла:

Выполненная задача классификации системы уравнений по произвольному элементу (п) приводит к следующим его реализациям:

расширяющим группу основной симметрии системы (29).

В пятой главе продемонстрирована возможность осуществления регулярного продолжения найденных групп на нелокальные переменные — фурье-переменные п на некоторые функционалы от решения.

(29)

-с»

V = п-1 ; <р = п3; (р = пь (Ъ ф -1,6^3) ,

Для получения групповой симметрии уравнений Власова-Максвелла, записанных в фурье переменных предложена следующая процедура. Продолжая канонический оператор

У = (<И йх Л> ге1—--- + ж1 <9,- (30)

J 6} (<, х, у) 1

на фурье образ функции распределения

/ = /(ш, х, у) = J г, и) ехр(гш4), (31)

и действуя им на это определение, имеем интегральную связь между координатами оператора (30):

к1 = I Лге1 ехр(гс^). (32)

Применительно к системе уравнений (8)-(11), например, операторы, найденные в (4, х. и) представлении (21), в (и', г, и) переменных перейдут в следующие:

уг = -ш (/а7 + Ёд&); у2 = Да; + ЁхдЁ ■

У3 = (/ - 2+ х}х - vfv) д} +(Ё- 2и£ш + ХЁХ) дЁ ;

П = (/ + *Д Ь гЛ) д} + (-£ + хЁх) ; . Ув = (->/» + Л) д} + (-»Я«,) Эе ; Уо = - «Л») 3/ + - 2*™%)) 9,5 ■ (33)

Аналогичным образом выполняется продолжение найденных симметрии различных систем Власова-Максвелла и на другие физические величины, характеризующие электродинамику и кинетику плазмы и явно выражающихся через исходные групповые переменные.

Выводы.

1. Развит регулярный метод нахождения спмметрий систем интегро-диффе-

ренциальных уравнений Власова-Максвелла в бесстолкновительной плазме.

2. Найдены группы точечных преобразований для указанной системы при раз-

личных формулировках исходных моделей плазмы, связанных с учетом многих сортов частиц, конечного значения скорости света и массы частиц плазмы'и др.

3. Обнаружено расширение групповой симметрии исследуемых систем при во-

влечении параметров плазмы в групповые преобразования.

4. Выполнено продолжение оператора найденных групп на нелокальные пере-

менные п функционалы от функции распределения частиц плазмы.

Основные результаты диссертации изложены в работах [1]-[12].

[1] Ковалев В.Ф., Кривеико C.B., Пустовалов В.В. О ренормгруппе в групповом анализе дифференциальных уравнений. // Межд. семидар "Современный групповой анализ", Уфа, 17-22 июля, 1991, Тезисы докладов, с.19-21.

[2] Ковалев В.Ф., Кривеико C.B., Пустовалов В.В. Ренормгрупповой подход в групповом анализе дифференциальных уравнений. // Препринт ФИАН СССР им. П.Н.Лебедева, 1991, N 152.

[3] Ковалев В.Ф., Кривеико C.B., Пустовалов В.В. Группа симметрий уравнений кинетики плазмы без соударений. // Письма в ЖЭТФ, 1992, Т.55, N 4, С.256-259.

[4] Ковалев В.Ф., Кривеико C.B., Пустовалов В.В. Симметрия Ли кинетического уравнения Власова. 1. Электронный газ. Одномерное нерелятивистское приближение. // Препринт Физического института им. П.Н.Лебедева РАН, 1992, N 62.

[5] Ковалев В.Ф., Кривеико C.B., Пустовалов В.В. Симметрия Ли кинетического уравнения Власова. // Доклад на IX Коллоквиуме "Современный групповой анализ. Методы и приложения", Нижний Новгород, июнь, 24-30, 1992, Тезисы докладов, С.28.

[6] Ковалев В.Ф., Кривенко С.В., Пустовалов В.В. Симметрия Ли кинетического уравнения Власова 2. Электронный газ. Одномерное релятивистское приближение. // Препринт ФИАН СССР им. П.Н.Лебедева. 1993, N 58.

[7] Ковалев В.Ф., Кривенко С.В., Пустовалов В.В. Решение нелокальных определяющих уравнений в групповом анализе кинетического уравнения Власова. // Краткие сообщения по физике, 1993, N 3-4, С.27.

[8] Ковалев В.Ф., Кривенко С.В., Пустовалов В.В. Групповая симметрия кинетического уравнения Власова и ее продолжение на нелокальные переменные. // Доклад на XI Российском Коллоквиуме "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования", Самара, июнь, 7-11, 1993, Тезисы докладов, С.69-70.

[9] Ковалев В.Ф., Кривенко С.В., Пустовалов В.В. Групповой анализ кинетического уравнения Власова. I. // Дифференциальные уравнения, 1993, N 10, С.1804-1817.

[10] Ковалев В.Ф., Кривенко С.В., Пустовалов В В. Групповой анализ кинетического уравнения Власова. II. // Дифференциальные уравнения, 1993, N 11, С.1971-1983.

[11] K'ovahv V.P., Krivenko S.V., Pustovalov V.V. Symmetry of the self-consistent field equation in plasma kinetic theory. // in International workshop (Proceedings Symmetry Methods in Physics in Memory of Professor Ya.A.Smorodinsky, Dubna, 6-10 July, 1993), Edited by A.N.Sissakian, G.S.Pogosyan, S.I.Vinitsky. Vol.1, Dubna, 1994, P.253-257.

[12] Kovalev V.F., Krivenko S. V., Pustovalov V. V. Symmetry groups of Vlasov-Maxwell equations in plasma theory. // Nonlinear Mathematical Physics, 1996, V.3, N 1-2, P.175-180.

Подписано в печать 23 апреля IS96 года Заказ № 131.Типаж 100 экз.П.д. 1,0. Отпечатано в ШИС QiíáH Москва,В-333,Ленинский проспект,53.