автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Компьютерная математическая модель кинетики спонтанного нарушения симметрии в релятивистской однородной изотропной расширяющейся плазме

На правах рукописи

АЛЬ-СМАДИ ХАЛИД АДНАН

КОМПЬЮТЕРНАЯ МОДЕЛЬ КИНЕТИКИ СПОНТАННОГО НАРУШЕНИЯ СИММЕТРИИ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЕ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 2007

003175174

Работа выполнена на кафедре геометрии математического факультета ГОУ ВПО "Татарский государственный гуманитарно - педагогический университет"

Научный руководитель-

доктор физико-математических наук, профессор Игнатьев Юрий Геннадиевич Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Мельников Виталий Николаевич доктор физико-математических наук, профессор Червон Сергей Викторович Ведущая организация

Российский университет дружбы народов

Защита состоится ^''ноября 2007г в "15" часов на заседании диссертационного совета Д212 278 02 при Ульяновском государственном университете по адресу. Университетская набережная, 1, ауд 703

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Ульяновского государственного университета Отзывы на работу просим направлять по адресу 432970, г Ульяновск, ул Л Толстого, д 42, УлГУ, Управление научных исследований

Автореферат разослан "_" октября 2007г

Ученый секретарь диссертационного совета

Веревкин А Б

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современной теории гравитации и космологии все большее значение приобретают проблемы математического моделирования фундаментальных физических процессов, протекавших на самых ранних этапах эволюции Вселенной Одним из таких фундаментальных космологических процессов, изучение которого особенно актуально в связи с необходимостью корректировки констант и параметров современных полевых теорий частиц в области сверхвысоких энергий, недоступных в условиях земных лабораторий, является процесс бариогенезиса (производства барионов) в первоначально барионно-симметричной космологической плазмы в результате спонтанного нарушения Т-симметрии в распадах сверхмассивных X - бозонов на пару фермионов

х/+г- дг+7', а)

где надчеркнутые индексы означают античастицы, а /,_/"' обозначение фермионов Рождающиеся в результате распада X -бозонов фермионы могут быть любыми частицами с тем лишь условием, чтобы во всех каналах реакций (1) сохранялись фундаментальные заряды Фактически алгебра взаимодействия той или иной полевой теории определяется набором типов частиц и набором фундаментальных зарядов Таковыми последними во всех стандартных полевых теориях являются электрический и цветовой заряды Поэтому в правых частях каналов реакций (1) могут присутствовать кварки, а также заряженные и нейтральные лептоны Нарушение Т - симметрии

взаимодействий выражается в различии вероятностей распада X и X - бозонов

Существенным обстоятельством является то, что при наличии локального термодинамического равновесия в плазме даже нарушение Т- инвариантности взаимодействий (1) не приводит к нарушению барионной симметрии в изначально барионно - симметричной плазме -для нарушения барионной симметрии плазмы одновременно с нарушением Т - инвариантности необходимо и нарушение локального термодинамического равновесия (ЛТР) плазмы1 Естественным фактором, выводящим космологическую плазму из состояния

1 L В Okun, Ja B.Zeldovich, Comments on Nucl and Part. Physics -1976. -Vol 6 - P 69-73

термодинамического равновесия являются масса частиц2 Процесс нарушения ЛТР в ходе космологического расширения плазмы является следствием фундаментального факта асимптотической конформной инвариантности релятивистской кинетической теории в ультрарелятивистском пределе''. Таким образом, корректная математическая модель бариогенезиса, как и любая математического модель спонтанного нарушения симметрии в космологической плазме, принципиально должна основываться на релятивистской кинетической теории

Этот факт был осознан в 80-е годы, но чрезвычайная сложность построения кинетической модели описания релятивистской плазмы по сравнению с гидродинамической моделью затормозили построение полной релятивистской кинетической модели спонтанного нарушения симметрии в космологической плазме Вместо этого рядом исследователей был изучен процесс бариогенезиса в космологической плазме на основе ее квазигидродинамического описания, при котором каждый компонент плазмы описывается распределением, близким к локально-равновесному, а его макроскопические характеристики определяются из интегральных законов4,5'6

В середине 80-х-начале 90-х годов Ю Г Игнатьевым были сформулированы основы релятивистской кинетической модели бариогенезиса в космологической плазме, в частности, была установлена возможность нахождения точного решения для функции распределения Х-бозонов7,8 На основании развитой теории в этих работах были сделаны асимптотические оценки для удельной энтропии в двух крайних пределах - больших и малых масс сверхмассивных X-бозонов Как оказалось в дальнейшем, эти работы, несмотря на

A Yu Ignat'ev, N V Krasmkov, V A Kuzmin, А N Tavhelidze Phys Letters. -1978 - V 76B - P 436-439

3 Ю Г Игнатьев. Известия Вузов, Физика -1979 - Т 22 - No 2 - С 7276

4 J М Fry, К A Olive, М S Turner. Phys Rev.D -1980. - V 22 - Р 29532976

5 J М Fry, К A Olive, М S Turner Phys Rev.D -1980 - V 22 - P 29772988

6 J M Fry, К A Olive, M S Turner Phys Rev Lett -1980 - V 45 - P 20742077

7 Ю Г Игнатьев. Астрономический журнал - 62, No 4, 1985, С 633-638

8 Ю Г Игнатьев, Классические и квантовостатистические проблемы релятивистской теории гравитации - Издательство КГПИ, Казань -1991. - С 6-21

правильные идеи, содержали ряд неточностей, а полученные асимптотические оценки не вполне корректны Дальнейшее развитие идей этих работ затормозило отсутствие в те годы, как достаточно свободного доступа к ЭВМ, так и возможности проведения достаточно полного численного моделирования процессов на доступных ЭВМ Действительно, как показали оценки, для построения численной кинетической модели бариогенезиса в космологической плазме

прямыми методами необходимо выполнить порядка 1015 операций. Выполнение такого количества операций и в настоящее время представляет весьма серьезную задачу

Однако, изучение процессов спонтанного нарушения симметрии в космологической плазме, построение адекватной математической модели явлений этого класса является чрезвычайно актуальной задачей, как для самой космологии, так и для физики элементарных частиц и квантовой теории поля, для которых космологические процессы спонтанного нарушения симметрии составляют экспериментальную базу в области энергий, вряд ли когда-нибудь доступных в лабораторных условиях Развитие средств математического моделирования и программирования, а также существенный прогресс в развитии вычислительной техники позволяет в настоящее время по-новому взглянуть на задачи подобного рода, которые раньше относились к разряду не решаемых, и приступить к построению математических моделей широкого класса кинетических процессов в космологической плазме

В связи с вышесказанным тема диссертации является актуальной и лежит в русле современных фундаментальных исследований теории гравитации, космологии, физики элементарных частиц и математического моделирования

Цели и задачи исследования Цель диссертации состоит в построении математической модели процесса спонтанного нарушения симметрии в релятивистской однородной и изотропной расширяющейся плазме на основе общерелятивистской кинетической теории, построения компьютерной модели процессов нарушения термодинамического равновесия и спонтанного нарушения симметрии в космологической плазме, комплексное исследование этой модели аналитическими методами и средствами компьютерного моделирования и построение на основе исследований численной модели бариогенезиса в горячей вселенной

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы вычислительной математики и математического анализа. Для программной реализации алгоритмов использован аппарат численного математического моделирования и пакеты прикладных программ компьютерной математики

Научная новизна Построена полностью самосогласованная кинетическая модель процесса спонтанного нарушения барионной симметрии в релятивистской однородной и изотропной расширяющейся плазме, в которой протекают Т - неинвариантные процессы распада сверхмассивных векторных и скалярных Х-бозонов на пары фермионов При произвольных величинах относительной разности Дг = г — Т вероятностей распада X - бозонов и анти - X -

бозонов, X, точно проинтегрированы кинетические уравнения для X-бозонов и модель спонтанного нарушения барионной симметрии сведена к замкнутой системе обыкновенных нелинейных интегро-дифференциальных уравнений относительно химических потенциалов фермионов Произведена проверка модели на выполнение интегральных законов сохранения фундаментальных зарядов Для слабого нарушения Т- инвариантности нелинейные интегро-дифференциальные уравнения модели сведены к линейным дифференциальным, на основе которых получено в виде квадратур выражение для конечной удельной энтропии барионов На основе полученного решения построена и исследована компьютерная модель процесса бариогенезиса в горячей вселенной и влияние на этот процесс параметров полевой модели фундаментальных взаимодействий частиц Выявлено различие результатов кинетической модели бариогенезиса от квазигидродинамической, рассматриваемой ранее другими авторами

Научная и практическая значимость Работа носит теоретический характер Полученные в диссертации результаты могут найти применение в исследованиях по теории гравитации, релятивистской космологии и астрофизике, а также в теории фундаментальных взаимодействий элементарных частиц

Основные положения, выносимые на защиту: Кинетическая модель спонтанного нарушения симметрии в релятивистской однородной и изотропной расширяющейся плазме в результате распада сверхмассивных векторных и скалярных Х-бозонов на кварки и другие фермионы, представляющая собой замкнутую систему нелинейных интегро - дифференциальных уравнений относительно функций распределения фермионов, зависящих от двух переменных При этом функции распределения Х-бозонов найдены в квадратурах Доказательство того, что следствиями полученных уравнений являются стандартные интегральные законы сохранения энергии и зарядов, соответствующих алгебре взаимодействий Построение модели неравновесных распределений X - бозонов и установление методами математического моделирования и компьютерной математики закономерностей эволюции неравновесных распределений Х-бозонов в зависимости от параметров модели взаимодействий

Нахождение в квадратурах выражения конечной удельной энтропии барионов в кинетической модели при условии слабости спонтанного нарушения симметрии Созданные программными средствами вычислительные процедуры исследования модели спонтанного нарушения симметрии Комплексное исследование с помощью аналитических и компьютерных методов созданной математической модели процесса бариогенезиса в космологической плазме

Степень обоснования результатов диссертации обусловлена корректностью построения математических моделей физических систем, корректностью проведенных математических преобразований и расчетов, корректным воспроизведением некоторых известных ранее частных результатов из более общих результатов, полученных в диссертационной работе

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Международной конференции по гравитации, космологии и релятивистской астрофизике (Казань, 2005 г), на Международной конференции по гравитации, космологии, астрофизике и нестационарной газодинамике (Москва, 2006 г.), на Ш-й Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2006 г), на Российском научном семинаре "Методы информационных технологий, математического моделирования и компьютерной математики в фундаментальных и прикладных научных исследованиях" (Казань, 2007 г), на Российской школе-семинаре по гравитации и космологии "Сгасоз-2007" (Казань 2007 г), а также на научных семинарах кафедры геометрии Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета

Личный вклад автора Все основные результаты работы получены лично автором В работах, выполненных совместно с научным руководителем, Ю Г Игнатьеву принадлежат постановка задачи и обсуждение результатов Использованные материалы других авторов помечены ссылками

Публикации. По теме диссертации опубликованы 7 работ в отечественных и международных изданиях, их список помещен в конце автореферата

Структура и объем диссертации Диссертация изложена на 113 страницах и состоит из Введения, трех глав, Приложения, Заключения и списка цитированной литературы из 116 наименований

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении дается общая характеристика современного состояния проблемы построения модели спонтанного нарушения симметрии в релятивистской космологической плазме и определены цели диссертации

Первая глава носит вводный характер и посвящена обзору общерелятивистской кинетической теории плазмы, на основе которой в диссертации строится математическая модель спонтанного нарушения симметрии Особое внимание при этом уделяется кинетической теории расширяющейся космологической плазмы Основой рассматриваемой здесь модели являются общерелятивистские кинетические уравнения Игнатьев9- £^ у ^ — / (х Р) (2)

где - ковариантные скобки Пуассона, IIа - функция

Гамильтона частиц сорта "а" плазмы, /а(.х',Рк) ' функция распределения частиц сорта "а" плазмы по координатам х' и обобщенным импульсам Рк,

(3)

- интеграл столкновении частиц сорта ъ

" а " с частицами всех сортов

I

1„{х,ра) = -2>в ['^(Рг-р^г^-г^) Ц!Р

где введены статистические факторы Z/F и .

^ _т УА_ _т'_ у'в_

А=1 а= 1 5=1 Р=\ I

с!е/ т у 4 т' у'в _ _

А=1 а-1 В=1 /3=1 ]

Знаки " + " соответствуют бозонам, а " — " - фермионам, УА,у' в " числа частиц сортов ал, а'в > участвующих в реакциях

9ЮГ Известия ВУЗов, Физика -1983 -Т26 -№8 - С 19-23 8

т т'

ЪулаАЪ ЕУ'ва'в, (5)

А= 1 В-1

11' (1л означает произведение импульсных объемов всех сортов частиц кроме " а "-го, | ' - соответствующее интегрирование, / -

а

символ начального состояния, Р - конечного, IV 1Р и 1¥и - фазовые плотности вероятностей перехода из начального состояния в конечное и наоборот Фазовые плотности вероятности перехода Ж1Р связаны со стандартными инвариантными нормированными амплитудами рассеяния квантовой теории поля, М№ , соотношением

Интегральными следствиями кинетических уравнений (2) являются макроскопические законы сохранения некоторых обобщенных зарядов ga, которым соответствуют обобщенные токи

А*) = ЕШа 1рг/Лх,Р)4ха, V,У = 0, (6)

а ра

и закон сохранения суммарной энергии - импульса плазмы10

Гк{х) = Е \р'рк/а{х,Р)с1ла, VкТ'к = 0 (7)

а Ра

При локальном термодинамическом равновесии (ЛТР) плазмы ее энтропия сохраняется, вследствие чего выполняются функциональные уравнения Больцмана, решением которых с учетом квантовой статистики являются локально - равновесные функции распределения11

пй| , (9)

где у'(х) - времениподобный единичный вектор макроскопической

10 Ю Г Игнатьев Известия ВУЗов, Физика -1983 -Т26 -№12 - С 9-14

11 см сноску 9 на сгр 8

/а°(х,Ра)= ехр

в

скорости среды, скаляр 0(х) - локальная температура среды, знак "—" соответствует бозонам, " + " - фермионам, скалярные функции /70(х), химические потенциалы а-го сорта частиц плазмы, удовлетворяют системе =1 уравнений химического равновесия

улИа ~ у' вМв в каждом канале реакций (5)

г Р

В условиях ЛТР интегралы столкновений частиц обращаются в нуль относительно локально - равновесных распределений (8) даже в случае Т - неинвариантных взаимодействий Глобальным термодинамическим равновесием, (ГТР), называется такое состояние системы, при котором распределения всех компонент системы имеют локально -равновесный вид (8) и при этом строго удовлетворяют кинетическим уравнениям (2)

Подстановка распределений (8) в кинетические уравнения (2) приводит к следующему строгому результату, имеющему силу теоремы12 Для системы массивных частиц глобальное термодинамическое равновесие возможно лишь в стационарных гравитационных полях Ь - производная Ли в направлении V113 у

(10)

v

причем вдоль направления V1 должны сохраняться все физические поля, а также скаляры Ца{х) и 0{х)

ЬМа=0, 19 = 0. (И)

V V

В случае системы безмассовых частиц глобальное термодинамическое равновесие возможно для более общего класса полей - конформно стационарных гравитационных полей

(12>

V

12 см сноску 9 на стр 6

13 См А 3 Петров Новые методы в общей теории относительности, М , Наука, 1966

Ю Г Игнатьевым было показано14, что этот вывод является следствием фундаментального факта - конформной инвариантности релятивистской кинетической теории в ультрарелятивистском пределе Поскольку метрика Фридмана15

=а\г})[с1т}2 ~(1%2-Ь2(х)(М2 +Э1П26<1<рг)], (13)

на которой основываются все космологические модели, является конформно-плоской метрикой, то согласно вышеприведенной теореме, получается вывод о том, что глобальное термодинамическое равновесие космологической плазмы было возможным лишь на самых ранних стадиях космологического расширения, когда все частицы были ультрарелятивистскими Далее в начале 80-х годов Ю Г Игнатьевым и его учениками было проведено детальное исследование кинетики космологического расширения плазмы, при этом в качестве фактора, выводящего систему из состояния термодинамического равновесия рассматривалась масса частиц16,17,18,19 В частности, была рассмотрена космологическая эволюция бесстолкновительной плазмы, кинетика космологического расширения радиационно доминированной плазмы, проблема реликтовых нейтрино и т п20'21'22

14 Ю Г Игнатьев Известия ВУЗов, Физика -1982 - Т 25 -№ 4 - С 9296

15 b = % - для открытой, Ь = sin X - Для закрытой и Ь = % для пространственно-плоской космологической модели

1бЮ Г. Игнатьев Известия ВУЗов, Физика -1979 - 22 - № 2, с 72-76

17 Ю Г Игнатьев Проблемы теории гравитации и элементарных частиц -ML Атомиздат -1980. - Выпуск 11 - С 113-124

18 Ю Г Игнатьев Известия ВУЗов, Физика -1980 - 23. - № 8, 1980, с 42-47

19 Ю Г Игнатьев Известия ВУЗов, Физика -1980 - 23. - № 9 - С 2732

20 Ю Г Игнатьев В сб "Гравитация и теория относительности" под редакцией В Р Кайгородова - Казань изд-во КГУ -1981 - Выпуск 18 -С 73-75

21 А Б Балакин, Ю Г Игнатьев, В Ю Шуликовский Известия ВУЗов,

Физика -1982 -т 25 - № 9 - С 53-57

22

А Б Балакин, Ю Г Игнатьев, В Ю Шуликовский Известия ВУЗов, Физика -1982 -т 25 -№ 10, - С 82-85

Глава 2 посвящена построению математической модели процесса нарушения барионной симметрии в изначально барионно симметричной космологической плазме на основе общерелятивистской кинетической теории Процесс производства барионов (бариогенезиса) в первоначально барионно-симметричной Вселенной является важным примером нарушения локального термодинамического равновесия массивными частицами в ходе космологического расширения Как уже отмечалось выше, в 60-70-е годы в ряде работ А Д Сахарова23, Я Б Зельдовича, Л С Окуня и других была высказана гипотеза о том, что наблюдаемая барионная асимметрия Вселенной

дь= — ~ 1(Г9 (14)

вызвана СР - неинвариантными процессами, нарушающими сохранение барионного заряда Примером такого процесса является уже упоминавшийся распад сверхмассивных Х- бозонов (1), к которым приводят модели Великого объединения 24

Хд+д,Хд + 1, (15)

где (/ - символ кварка, / - лептона Л Б Окунем и Я Б Зельдовичем,

однако, показано, что если данные процессы протекают в условиях ЛТР, то даже наличие СР - неинвариантности и нарушение сохранения барионного заряда недостаточно для возникновения избытка барионов над антибарионами Для производства барионного заряда в первоначально барионно - симметричной Вселенной кроме указанных факторов требуется нарушение ЛТР в реакциях типа (15) и вывод барионов из состояния статистического равновесия Такая возможность

тх>1 (16)

(Хх - время полураспада X - бозона, t - космологическое время) реализуется при условии2,5

тх > ахтр14~Ы, (17)

23 А Д Сахаров Письма в ЖЭТФ -1967 -Т 5 - С 32-35

24 Здесь и далее а означает античастицу а

25 A.Yu Ignat'ev, N V Krasmkov, V A Kuzmin, А N Tavhelidze - Phys Letters. -1978 - Vol 76B - P. 436 - 439

(тх - масса X -бозона, тр1 = л/с/С - планковская масса, /V -число степеней свободы) Условие (17) жестко ограничивает снизу допустимые значения масс X - бозонов

25 27 2Я

В упомянутой работе , а также в работах и других были

сделаны оценки барионной асимметрии вселенной в предположении нарушения ЛТР Для отношения плотности числа барионов к плотности полной энтропии, 5, было получено.

5 8 4л* N '

где С(х) - £ - функция Римана, Ых - число типов сверхмассивных

X - бозонов, Дг - разность относительных вероятностей распадов в каналах

возникающая вследствие нарушения СР - инвариантности Далее в работах29'30' 31 на основе релятивистской кинетической теории были проведены численные расчеты отношения пв/Б, в основном, подтвердившие вышеуказанные оценки В цитированных выше работах на основании проведенных расчетов был установлен нижний предел массы X - бозона

тх > И)16 Гэв, (19)

который создал значительные трудности для стандартной (5) теории

Указанные работы, однако, имеют существенный недостаток - вместо прямого решения кинетических уравнений для X - бозонов в условиях существенного нарушения ЛТР бозонные функции распределения моделируются квазиравновесными распределениями,

26 S Weinberg Phys. Rev. Lett. -1979 - V.42 - P. 850-853

27 S Weinberg Physics Scnpta -1981 - V 21 - P 773-791

28 А Д Долгов, Я Б Зельдович Успехи физ наук - 1980. - Т 130 -С 559-614

29 J М Fry, К A Olive, М S Turner. Phys. Rev.D -1980 - V 22 - Р.2953-2976

30 J M Fry, К A Olive, M S Turner. Phys Rev D - 1980 - V.22 - P. 29772988

31 M Fry, К A Olive, M S Turner Phys Rev Lett -1980 - V 45 - P 20742077

параметры которых определяются из гидродинамических уравнений для моментов функции распределения, т е , в этих работах фактически используется гидродинамический метод Энскога-Чемпена-Града Как следует из результатов релятивистской кинетической теории, глобальное термодинамическое равновесие в однородной изотроппо расширяющейся плазме достигается лишь в крайнем нерелятивистском пределе, либо в крайнем ультрарелятивистском В области промежуточных энергий частиц и при условии нарушения ЛТР распределение частиц не аппроксимируется равновесным распределением В работах Ю Г Игнатьева32'33 в рамках кинетической модели была найдена неравновесная функция распределения X -бозонов и показано, что эта функция может существенно отличаться от равновесной Поэтому результаты полученные в указанных работах, правильные при выполнении сильного неравенства (17), нуждаются в уточнении в других областях Оценка (18) хотя и является, по-видимому, достаточно надежной, ничего не говорит о тех ситуациях, когда условие (17) не выполняется, тогда как ширина перекрытия

экспериментальных и теоретических значений ё8 допускает возможность, когда барионный заряд производится в условиях менее выгодных, чем (17) Ответить на вопрос, какова будет величина д5

при тх < осхтр1 , может лишь детальный кинетический анализ

В разделе II 1 рассматривается алгебра взаимодействий элементарных частиц в кварково-глюонной плазме, а в разделе II 2 производится максимальное упрощение релятивистских кинетических уравнений для космологической кварково-глюонной плазмы с учетом ее однородности и изотропии При этом оказывается удобным перейти к так называемым конформным импульсным переменным, являющихся интегралами уравнений движения в метрике Фридмана (13)

Р = а(*)р(~ л/(а)2 +(/7г)2 +(Рз)2)' Е = 4а\^тг + Р\ (20)

(20)

где Е = а(^)Е - конформная кинетическая энергия частиц В разделе II 3 производится дальнейшее упрощение кинетических уравнений для фермионной подсистемы плазмы с учетом того, что для фермионов (кварков, электронов, нейтрино) на стадии распада Х-бозонов условия

32 ЮГ Игнатьев Астрономический журнал -62, № 4, 1985, с 633-638

33 Ю Г Игнатьев В сб "Классические и квантовостатистические проблемы релятивистской теории гравитации", под редакцией Игнатьева ЮГ- Издательство КГПИ, Казань -1991. - С 6-21 14

ЛТР не нарушаются за счет сильных межфермионных взаимодействий Поэтому функции распределения фермионов на исследуемой стадии космологического расширения с большой степенью точности являются локально - равновесными (8) с произвольными пока химическими потенциалами Кроме того на исследуемой стадии космологического расширения все компоненты фермионной подсистемы плазмы являются ультрарелятивистскими. Интегрирование фермионных кинетических уравнений по пространству импульсов с учетом этих обстоятельств, а также Н-теоремы Больцмана и так называемой =1 оптической теоремы34, являющейся следствием унитарности 8-матрицы взаимодействий, позволяет получить нелинейную систему интегро-дифференциальных уравнений относительно химических потенциалов фермионов

Л гг(2/г) ' 1

где NF, равновесная конформная макроскопическая плотность числа фермионов

дг = -1Л_¿±_ (22)

п о ехр ^ г +1

И + Р') , /*"') являются функциями химических

потенциалов фермионов [ЛР

Ц р + п = [ехр (-ЛР - Лг + ЕХ/Т) -I]"1; РФ, п = Р(Г, л = РЮ + р(Г); (23) Р(Р) = - 1п- 1 + ехр(-^ + р/0___

р ехр(р/2Г)[1 + ехр (-ЛР + р_/Т)] Р±=\(Ех±р)-, Ех = + р1 • (24)

Система уравнений (21), однако, не является замкнутой, так как подынтегральные выражения в правых частях этих уравнений

34 См , например, Н М Pilkuhn Relativistic Particle Physics, New York-Heidelberg-Berlin - Springer-Verlag -1982

содержат неизвестные бозонные функции распределения, /х В разделе II4 с учетом оптической теоремы и явного вида равновесных плотностей фермионов (22) упрощаются кинетические уравнения для Х-бозонов

= I2 + (25)

4п РГ

которые становятся линейными относительно бозонных функций распределения В этом же разделе сформулированы начальные условия задачи для изначально барионно-симметричной плазмы и приведено ее формальное решение Подстановка этого решения в систему фермионных кинетических уравнений (21) замыкает эту систему, в результате чего получается замкнутая нелинейная система интегро-дифференциальных уравнений относительно химических потенциалов фермионов Эта система уравнений совместно с найденными в квадратурах бозонными функциями распределения и заданными начальными условиями и представляют точную модель спонтанного нарушения барионной симметрии в расширяющейся космологической плазме В разделе II 5 построенная точная модель исследуется на ее соответствие законам сохранения фундаментальных зарядов а также ранее установленным другими авторами общим закономерностям бариогенезиса в космологической плазме

В результате строго показано, что- если функции распределения X-бозонов являются локально - равновесными, то избыток барионов не изменяется в процессе космологического расширения, если взаимодействия (1) являются СР - инвариантными, то бариогенезис не происходит; в процессе космологического расширения плазмы сохраняется электрический заряд, в процессе космологического расширения плазмы сохраняется разность барионного и лептонного зарядов, конечный барионный заряд вселенной равен ее конечному лептонному заряду, в минимальной 8Щ5) модели взаимодействий барионный заряд плазмы совпадает с лептонным зарядом в каждый момент времени В разделе II6 на основе полученной модели строится математическая модель слабого нарушения симметрии, когда мала относительная разность вероятностей распада X - бозонов и анти - X -

бозонов, Аг Согласно экспериментальным оценкам

ДгЮ-6 В этом

случае полученную систему интегро-дифференциальных уравнений удается свести к системе обыкновенных линейных дифференциальных

уравнений и найти ее решение в квадратурах В результате в разделе II6 найдено в квадратурах значение конечной удельной энтропии плазмы, приходящейся на барион Найденное значение для удельной энтропии, однако, представляется в виде пятикратного интеграла от трансцендентных функций и не поддается аналитическому исследованию

Глава 3 посвящена комплексному исследованию построенной математической модели спонтанного нарушения барионной симметрии комбинированием аналитических и численных методов средствами систем компьютерной математики В разделе III 1 обосновывается необходимость такой формы исследования В разделе III2 проводится преобразование временной и импульсной переменных модели к удобной для численного исследования системе безразмерных переменных

t = T0rj, Р = (2б)

(3)

где Г0 - собственное время распада свободного Х-бозона, так что значению безразмерного времени Г] — 1 соответствует время t = г0.

При этом показано, что процесс спонтанного нарушения симметрии определяется двумя безразмерными параметрами полевой теории взаимодействия частиц,- числом типов независимых Х-бозонов, Nх, и константой

V = (27)

где Т(Т0) - температура плазмы на момент полураспада Х-бозона

В разделе III 3 обосновывается и находится болъцмановская аппроксимация решения В разделе III 4 на основе найденного в квадратурах решения проводится численное моделирование эволюции отклонения от равновесия функции распределения сверхмассивных бозонов в зависимости от параметра с (пример на Рис 1)

Рисунок I. Плотность числа неравновесных Х-созонов = £$,сг) при о- - 0,3.

При этом использована вышеупомянутая бол ьцм а поиск а л аппроксимация функции Ф(//, ¿Г):

ё/Ш) - Д- . (28)

а Щ ¿ЩчЧ? -I

В разделе Ш.5 при переходе к переменным (26) получено выражение для конечной удельной энтропии:

^ - ДД ^У*™ть£), (29) 1п л О (>Ф?-с

V?

4

(30)

где введены функции:

0(77)= (31)

к* т. , р.2 ■

^ Г_ 1

2ГП ;? „»Л-к1

щ о е

еде

и доказано, что 0(77) - неотрицательная монотонно убывающая функция В разделе III 6 проводится вычисление и упрощение интегралов (31) и (32) При этом получено более компактное выражение для функции vV(rj)

(зз)

0«

а выражение для функции ©(7) путем интегрирования по частям и последующего преобразования представлена в виде, более удобном для численного моделирования

= (34)

где введена функция Н(х)

80

7t

80

ЭД = 1-^гх3 [\h2xD{xz)dz, (35)

7г

изменяющаяся на интервале 0 ^ Н(х) < 1, и функция D(x)

3х- -3

D(x) = ^\~dt. (36)

Далее в разделе III 6 проводится численное исследование и табуляция функции 0(х) с помощью программной процедуры специально созданной библиотеки процедур "KmeticFunctions" в системе компьютерной математики

В разделе III 7 находится окончательное выражение для удельной энтропии

Ss^-^f-ajdrje-^^jDma). (37)

о

где введена функция-

Df(/7,<r) = a2 f-f о V7

Далее в разделе III.7 проводится аналитическое и численное

исследование, а также табуляция функции Df(у/, (Т) с иомощыо

программной процедуры уже упомянутой специально созданной библиотеки процедур "KmeticFunctions''.

В разделе III.8 на основе созданных программных процедур проводится численное моделирование процесса бариогенезиса в космологической плазме. При этом результаты удобно представить в приведенном виде, соотнеся выражение для конечной удельной энтропии к приближенному выражению (18), полученного в качестве оценки рядом авторов:

^ (39)

где - правая часть выражения (18). На Рис. 2 представлены

некоторые результаты численного моделирования процесса бариогенезиса: Далее в разделе Ш.8 проводится анализ результатов численного моделирования и сравнение результатов с результатами других авторов. Отмечено, что хотя результаты кинетической модели в области средних значений параметра (7 совпадают с известными результатами, по расчеты, проведенные на основе полной кинетической теории, пака?, ал. и существенную зависимость произведенного барионного заряда от количества типов X - бозонов: при <х0,4 ~ 0,8 с увеличением числа типов X - бозонов приведенная удельная энтропия увеличивается, а при сгО, 4 4-0,8, наоборот, уменьшается, причем в области малых значений параметра с зависимость приведенной энтропии от Nx особенно ощутимо.

/ ;

/ / -' i

Рис.2. Логарифм конечной приведенной удельной энтропии на один б ар ион, 1« ¿¿.(сг.Л^), (ось ординат) в

зависимости % (У (ось абсцисс) и числа X -бозонов, Л', , В правой части рисунка I снизу вверх: Лч -1; Л\, ^ 3; ] А'л. —10; N =53-

Далее, значение (18), полученное рядом авторов, в кинетической теории достигается при значениях параметра (7 = 0,4-0,6 Кроме того кинетическая модель космологического бариогенезиса обнаружила более тонкую структуру этого процесса, чем ту, которую дала гидродинамическая теория этого процесса,развитого ранее в

29—31

цитированных работах Отличие полученных в диссертации

результатов от результатов цитированных работ, особенно, в области малых значений параметра сг, вызвано существенным влиянием неравновесных процессов на окончательный результат в этой области Это вызвано тем обстоятельством, что функция распределения X -бозонов наиболее сильно отличается от равновесной именно в области малых значений параметра <т, в которое термодинамическое равновесие существешю нарушается Этот факт, конечно, нельзя эффективно учесть в гидродинамической модели бариогенезиса

В Приложении А описаны программные процедуры для построения численной кинетической модели спонтанного нарушения симметрии в космологической плазме, созданные средствами компьютерной математики и собранные в специальной библиотеке процедур "KmeticFunctions"

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. На основе общерелятивистской кинетической теории и минимальной SU(5) модели взаимодействия частиц построена математическая модель спонтанного нарушения симметрии в релятивистской однородной и изотропной расширяющейся плазме Полученная модель сведена к замкнутой системе нелинейных интегро - дифференциальных уравнений относительно функций распределения частиц двух переменных

2 Доказано, что следствиями полученной системы уравнений являются интегральные законы сохранения электрических и цветовых зарядов Доказано, что в рамках минимальной модели взаимодействий SU(5) функции распределения сверхмассивных X -бозонов описываются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями и найдено формальное решение этих уравнений в квадратурах

3 Построена математическая модель слабого нарушения Т -симметрии, когда относительная разность вероятностей

распада X - бозонов и их античастиц мала Показано, что в этом случае система интегро-дифференциальных уравнений, описывающих спонтанное нарушение симметрии, становится существенно линейной Данная система уравнений формально проинтегрирована и найдено выражение конечной удельной энтропии барионов, сохранившихся в ходе космологической эволюции плазмы Полученное выражение представлено в виде пятикратного интеграла от известных функций и определяется двумя безразмерными параметрами, зависящих от констант конкретной полевой модели взаимодействия элементарных частиц 4 Проведено комплексное аналитическое и численное исследование модели спонтанного нарушения симметрии При этом созданы специальные процедуры в системе компьютерной математики аппроксимации подынтегральных выражений, позволивших на несколько порядков сократить времена вычислений 5. На основе проведенного комплексного исследования построена численная модель бариогенезиса в расширяющейся однородной и изотропной плазме и выявлены основные закономерности этой модели Проверено качественное совпадение результатов с результатами других авторов Выявлена существенная зависимость конечной удельной энтропии от числа типов Х-бозонов в модели взаимодействия Выявлено существенное отличие результатов кинетической модели от результатов квазигидродинамической теории в области малых значений масс Х-бозонов

Основные результаты результаты диссертации опубликованы в следующих работах

В научных журналах, рекомендованных ВАК

1. Alsmadi К.А complete relativistic kinetic model of symmetry violation in isotropic expanding plasma I. Exact model [Yu G Ignatyev, К Alsmadi// Gravitation & Cosmology -2005 - Vol. 11, No 3 - P.252-258

2 Alsmadi К A complete relativistic kinetic model of symmetry violation in isotropic expanding plasma II. Numerical model /Yu G Ignatyev, К Alsmadi// Gravitation & Cosmology - 2005 - V 11 -No 4 -P363-3368

3 Alsmadi K.A complete relativistic kinetic model of symmetry

violation in isotropic expanding plasma III Cpecific Entropy Calculation /Yu G Ignatyev, К Alsmadi// Gravitation & Cosmology - 2007 - Vol 13, No 2 -P 114-118

В других научных журналах и материалах научных конференций

1 Аль-Смади К Полная релятивистская кинетическая модель нарушения симметрии в изотропной расширяющейся плазме и производство барионов в горячей Вселенной/Ю Г Игнатьев, К X Аль-Смади // Тезисы докладов Международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике (XII-й Российской гравитационной конференции), - 2005. - С 88-90

2 Аль-Смади X Численная модель процессов спонтанного нарушения симметрии в горячей Вселенной /ЮГ Игнатьев, X Аль-Смади //Международная конференция по гравитации, космологии, астрофизике и нестационарной газодинамике Тезисы докладов - 2006 -М - Изд-во РУДН - С 37

3 Аль-Смади X Моделирование процессов спонтанного нарушения симметрии в горячей Вселенной /X Аль-Смади // Математическое моделирование и краевые задачи Труды 111-й Всероссийской научной конференции Часть 4 Математические модели в информационных технологиях -2006.-Самара Изд-воСамГТУ - С 18-20

4 Аль-Смади X Исследование модели спонтанного нарушения симметрии в космологической плазме средствами пакета Maple / X Аль-Смади // Международная научно -практическая конференция "ИТО-Поволжье-2007 Российский научный семинар "Методы информационных технологий, математического моделирования и компьютерной математики в фундаментальных и прикладных научных исследованиях" Материалы конференции и труды семинара - 2007. - Казань. Изд-во "Фолиант" - С 337-344

5 Аль-Смади X Релятивистская кинетическая модель спонтанного нарушения симметрии в изотропной расширяющейся плазме / X Аль-Смади // Российская летняя школа-семинар "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии" Труды семинара - 2007 - Казань Изд-во "Фолиант" - С 73-90.

Введение

Глава I. Релятивистская кинетическая модель однородной изотропной Вселенной

1.1 Канонический формализм.

1.2 Релятивистское фазовое пространство.

1.3 Общерелятивистские кинетические уравнения 1.4 Симметрии б'-матрицы и кинетическая теория.

1.5 Н-теорема Больцмана.

1.6 Уравнения переноса.

1.7 Законы сохранения.

1.8 JITP плазмы в гравитационном поле.

1.9 Глобальное термодинамическое равновесие.

1.10 Асимптотическая конформная инвариантность кинетической теории.

1.11 Космологическая эволюция бесстолкновительных частиц

1.12 4 Кинетика космологического расширения плазмы в условиях ЛТР.

Глава II. Кинетическая модель спонтанного нарушения барионной симметрии

II. 1 Алгебра взаимодействий.

II.2 Кинетические уравнения для кварково-глюонной плазмы

11.3 Кинетические уравнения для фермионов

11.4 Кинетические уравнения для Х-бозонов.

11.5 Законы сохранения.

И.6 Слабое нарушение зарядовой симметрии в стандартной SU(5) модели.

Глава III. Комплексное исследование кинетической мо

III. 1 Необходимость комплексного применения аналитических и численных методов исследования.

111.2 Исследование решения.

111.3 Функция Ф в больцмановском приближении.

111.4 Отклонение Х-бозонов от равновесия.

II 1.5 Преобразование к безразмерным переменным

111.6 Вычисление функций Ф(£) и Q(t).

111.7 Вычисление функции отклонения от равновесия, Sf(y, £)

111.8 Вычисление конечной удельной энтропии.

Процесс космологического расширения плазмы является фундаментальным для всей теоретической и наблюдательной космологии, определяющим как пространственную структуру современного мира, так и современный состав материи. На стадиях космологического расширения, когда реакции элементарных частиц протекают в состоянии локального термодинамического равновесия (J1TP), описание процесса расширения плазмы становится достаточно простым и сводится к термодинамической модели. Однако, если некоторая группа реакций нарушает J1TP, то для описания процесса космологического расширения плазмы необходимо привлекать гораздо более сложную кинетическую модель плазмы. С другой стороны, именно кинетические, неравновесные процессы важны для наблюдательной космологии, так как они сохраняют информацию о весьма ранних процессах, происходивших во Вселенной.

Фактором, выводящим систему из термодинамического равновесия в космологии, являются массы частиц. Важным примером нарушения локального термодинамического равновесия массивными частицами в ходе космологического расширения является процесс производства барионов (ба-риогенеза) в первоначально барионно-симметричной Вселенной. В [1], [2] была высказана гипотеза о том, что наблюдаемая барионная асимметрия Вселенной = ~ ю-9 (1) п7 вызвана CP- неинвариантными процессами, нарушающими сохранение барионного заряда. Примером такого процесса является распад сверхмассивных Х- бозонов, к которым приводят модели Великого объединения:1

2) где q - символ кварка, I - лептона. В [3], однако, показано, что если данные процессы протекают в условиях JITP, то даже наличие CP - неинвариантности и нарушение сохранения барионного заряда недостаточно для возникновения избытка барионов над антибарионами. Для производства барионного заряда в первоначально барионно - симметричной Вселенной кроме указанных факторов требуется нарушение J1TP в реакциях типа (2) и вывод барионов из состояния статистического равновесия. Такая возможность: > t (3) тх - время полураспада X - бозона, t - космологическое время) реализуется при условии [4]: тпх > axmplVN, (4) mx - масса Х-бозона, mpi — - планковская масса, N - число степеней свободы). Условие (4) жестко ограничивает снизу допустимые значения масс Х- бозонов.

В работах [4], [6] (см. также [7], [8] и др.) были сделаны оценки барионной асимметрии вселенной в предположении нарушения JITP. Для отношения плотности числа барионов к плотности полной энтропии, S, было получено:

4503№ s S 4тг4 N '

5) где - С - функция Римана, Nx - число типов сверхмассивных Х- бозонов, А г - разность относительных вероятностей распадов в каналах

X q + lnX g + Г,

1 Здесь и далее а означает античастицу а.

Введение возникающая вследствие нарушения CP - инвариантности. Далее в работах [9]-[11] на основе релятивистской кинетической теории были проведены численные расчеты отношения пв/S, в основном, подтвердившие вышеуказанные оценки. В цитированных выше работах на основании проведенных расчетов был установлен нижний предел массы X - бозона: тх > 1016Гэв, (6) который создал значительные трудности для стандартной SU(5) теории.

Указанные работы, однако, имеют существенный недостаток - вместо прямого решения кинетических уравнений для X - бозонов в условиях существенного нарушения JITP бозонные функции распределения моделируются квазиравновесными распределениями, параметры которых определяются из гидродинамических уравнений для моментов функции распределения, т.е., в этих работах фактически используется гидродинамический метод Энскога-Чемпена-Града. Как следует из результатов релятивистской кинетической теории [12], [13], [14], [15], глобальное термодинамическое равновесие в однородной изотропно расширяющейся плазме достигается лишь в крайнем нерелятивистском пределе - либо в крайнем ультрарелятивистском. В области промежуточных энергий частиц и при условии нарушения JITP распределение частиц не аппроксимируется равновесным распределением. В работах [16]-[17] Ю.Г.Игнатьева в рамках кинетической модели была найдена неравновесная функция распределения X - бозонов и показано, что эта функция может существенно отличаться от равновесной. Поэтому результаты полученные в [9]-[11], правильные при выполнении сильного неравенства (4), нуждаются в уточнении в других областях. Оценка (5) хотя и является, по-видимому, достаточно надежной, ничего не говорит о тех ситуациях, когда условие (4) не выполняется, тогда как ширина перекрытия экспериментальных и теоретических значений 6s допускает возможность, когда барионный заряд производится в условиях менее выгодных, чем (4).

Ответить на вопрос, какова будет величина 5s при тх < axmPiVN, может лишь детальный кинетический анализ. При условии доверия к гипотезе изначально барионно- и зарядово-симметричной Вселенной такой анализ с другой стороны позволил бы более определенно очертить область возможных значений фундаментальных констант Великого объединения. В середине 80-х - начале 90-х годов Ю.Г.Игнатьевым была сформулирована кинетическая модель описания процессов нарушения симметрии и были получены некоторые оценки, вытекающие из предложенной модели [16]-[18]. В частности, на основе сделанных оценок было высказано предположение, что учет кинетики процесса бариогенезиса позволит снизить нижнюю оценку массы сверхмассивных бозонов до величины порядка 5 • 1014Гэв. Однако детальный анализ этой модели в этих работах произведен не был и исследования в этом направлении не были завершены. Не были также построены на основе кинетической теории и численные модели процесса бариогенезиса.

Таким образом возникает задача построения на основе релятивистского кинетического подхода Ю.Г.Игнатьева математической модели спонтанного нарушения симметрии в кварково - глюонной плазме и построения на основе ее численной компьютерной модели процесса спонтанного нарушения симметрии в космологической плазме. Целью настоящей работы как раз и является проведение более детального анализа кинетической модели бариогенезиса и построение его математической и численной компьютерной модели рассматриваемых явлений.

Следует заметить, что несмотря на то, что в данной работе приведены результаты для конкретной модели взаимодействий, основанной на минимальной SU(5) симметрии, обобщение результатов на другие аналогичные полевые модели или аналогичные модели спонтанного нарушения симметрии в результате Т-несимметричного распада любых типов распадающихся частиц не представляет труда - оно сводится к построению соответствую

Введение щей алгебры взаимодействий и простому арифметическому пересчету соответствующих кинетических коэффициентов.

Диссертация состоит из Введения, трех глав, Приложения, Заключения и Списка Литературы. Первая глава диссертации носит подготовительный, обзорный характер. В этой главе, с одной стороны, кратко изложены основные понятия, положения и уравнения общерелятивистской кинетической теории плазмы, необходимые как для построения математического аппарата модели спонтанного нарушения барионной симметрии, так и для понимания материала диссертации. Особое внимание в этой главе уделено дифференциальным законам сохранения общерелятивистской кинетической теории, теории локального и глобального термодинамического равновесия а также трансформационным свойствам общерелятивистских кинетических уравнений по отношению к конформным преобразованиям.

1. На основе общерелятивистской кинетической теории и минимальной

8и(5) модели взаимодействия частиц построена математическая мо дель спонтанного нарушения симметрии в релятивистской однородной и изотропной расширяющейся плазме. Полученная модель сведена к замкнутой системе нелинейных интегро - дифференциальных уравне ний относительно функций распределения частиц двух переменных.Доказано, что следствиями полученной системы уравнений являются интегральные законы сохранения электрических и цветовых зарядов.2. Доказано, что функции распределения свермассивных X -бозонов опи сываются обыкновенными линейными дифференциальными уравне ниями и найдено формальное решение этих уравнений в квадратурах.3. Построена математическая модель слабого нарушения Т - симмет рии, когда относительная разность вероятностей распада X - бозонов и их античастиц мала. Показано, что в этом случае система интегро -

дифференциальных уравнений, описывающих спонтанное нарушение симметрии, становится существенно линейной. Данная система урав нений формально проинтегрирована и найдено выражение конечной удельной энтропии барионов, сохранившихся в ходе космологической эволюции плазмы. Полученное выражение представлено в виде пя тикратного интеграла от известных функций и определяется двумя безразмерными параметрами, зависящих от констант конкретной по левой модели взаимодействия элементарных частиц.А.5. Создание процедуры вычисления удельной энтропии

4. Поскольку полное аналитическое исследование полученного выраже ния для удельной энтропии провести не представляется возможным, а прямое численное интегрирование приводит к формальным расхо димостям и неприемлемо большим временам вычислений, проведено комплексное аналитическое и численное исследование модели спон танного нарушения симметрии. При этом созданы специальные про цедуры в системе компьютерной математики аппроксимации подынте гральных выражений, позволивших на несколько порядков сократить времена вычислений.5. На основе проведенного комплексного исследования построена числен ная модель бариогенезиса в расширяюш,ейся однородной и изотропной плазме и выявлены основные закономерности этой модели. Провере но качественное совпадение результатов с результатами других авто ров. Выявлено супдественная зависимость конечной удельной энтро пии от числа типов Х-бозонов в модели взаимодействия. Выявлено суш;ественное отличие результатов кинетической модели от результа тов квазигидродинамической теории в области малых значений масс Х-бозонов.

1. Сахаров А.Д. Нарушение CP-инвариантности, С-асимметрия и ба-рионная асимметрия Вселенной/А.Д.Сахаров// Письма в ЖЭТФ, -1967. -т. 5 - С. 32-35.

2. Кузьмин В.А. СР-неинвариантность и барионная асимметрия Вселенной/В.А.Кузьмин// Письма в ЖЭТФ, 1970. - т. 12. - С. 335-337.

3. Okun L.B., Zeldovich Ja.B. /L.B.Okun, Ja.B.Zeldovich// Comments on Nucl. and Part. Physics, 1976. - Vol. 6. - P. 69-73.

4. Ignat'ev A.Yu., Krasnikov N.V., Kuzmin V.A., Tavhelidze A.N. /A.Yu.Ignat'ev, N.V.Krasnikov, V.A.Kuzmin, A.N.Tavhelidze// Phys. Letters, 1978. - V. 76B. - P. 436 - 439.

5. Yoshimura H. Unified Gauge Theories and Baryon Number of the Universe/H.Yoshimura// Phys. Rev. Lett., 1978. - V.41. - P.281-284.

6. Weinberg S. Cosmological Production of Baryons/S.Weinberg// Phys. Rev. Lett., 1979. - V.42. - P. 850-853.

7. Weinberg S. Beyond the first Three Minutes/S.Weinberg// Physics Scripta, 1981. - V.21. - P.773-791.

8. Долгов А.Д., Зельдович Я.Б Космология и элементарные частицы/А.Д.Долгов, Я.Б.Зельдович// Успехи физ. наук, 1980. - Т. 130. - С.559-614.Литература

9. Fry J.M., Olive К.A., Turner M.S. Evolution of cosmological Baryon asymmetric. I. The role of gauge bosons/J.M.Fry, K.A.Olive, M.S.Turner// Phys. Rev.D, 1980. - V. 22. - P.2953-2976.

10. Fry J.M., Olive K.A., Turner M.S Evolution of cosmological Baryon asymmetric. II. The role of Higgs bosons/J.M.Fry, K.A.Olive, M.S.Turner// Phys. Rev.D, 1980. - V.22. - P. 2977-2988.

11. Fry J.M., Olive K.A., Turner M.S. Hierarchy of cosmological Baryons Generation/J.M.Fry, K.A.Olive, M.S.Turner// Phys. Rev. Lett, 1980. -V.45. - P.2074-2077.

12. Игнатьев Ю.Г. О кинетическом уравнении в общей теории относительности/Ю.Г.Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1979. - т.22. -Ж2. - С.72-76.

13. Игнатьев Ю.Г. Релятивистские кинетические уравнения и космология/Ю.Г.Игнатьев// Проблемы теории гравитации и элементарных частиц / Под редакцией К.П.Станюковича - М.: - Атомиздат.- 1980. - Выпуск 11 - С. 113-124.

14. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика и космология. I /Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1980. - 23. - №.8, 1980, с. 42-47.

15. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика и космология. II /Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1980. - 23. - №.9. - С. 27-32.

16. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика бариогенезиса в горячей Вселенной/Ю.Г. Игнатьев// Астрономический журнал, 62, Ж 4, 1985, с. 633-638.

17. Lichnerovich A., Marrot R. Proprietes statistiques des ensembles de particulesen relativite restreinte/A.Lichnerovich,R.Marrot// C.R., 1940.- V.210. P. 759-761.

18. Климонтович Ю.Л. Релятивистское уравнение для квантовой функции распределения/Ю.Л.Климонтович// Доклады Акад. Наук СССР,- 1952. т. 87. - Вып. 6. - С.927-930.

19. Климонтович Ю.Л. Релятивистские уравнения для плазмы.1./Ю.Л.Климонтович// Журн. эксперим. и теорет. физ., 1959. - т.37. С.735-746.

20. Климонтович Ю.Л. Релятивистские уравнения для плазмы.1../Ю.Л.Климонтович// Журн. эксперим. и теорет. физ., 1960. - т.38. С.1212-1224.

21. Черников Н.А. Релятивистское кинетическое уравнение и равновесное состояние газа в статическом сферически-симмметричном гравитационном поле/А.Н.Черников// Доклады Акад. Наук СССР, 1960.- т. 133. С.333-336.

22. Tauber G.E., Weinberg J.W. Internal state of a gravitating gas/G.E.Tauber, J.W.Weinberg// Phys. Rev., 1961. - V. 122. -P. 1342-1365.Литература

23. Черников Н.А. Кинетическое уравнение для релятивистского газа в произвольном гравитационном поле/А.Н.Черников// Доклады Акад. Наук СССР, 1962. - т. 144. - С.89-92.

24. Черников Н.А. Вектор потока и тензор массы релятивистского идеального газа/А.Н.Черников// Доклады Акад. Наук СССР, 1962. - т. 144. - С.314-317.

25. Черников Н.А. Релятивистское распределение Максвелла-Больцмана и интегральная форма законов сохранения/А.Н.Черников// Доклады Акад. Наук СССР, 1962. - т. 144. - С.544-547.

26. Chernikov N.A. The macroscopic foudation of the relativistic hydrodynamics/A.N.Chernikov// Acta Phys. Polon., 1965. - V. 27. - P.723-739.

27. Власов А.А. Статистические функции распределения /А.А.Власов -М.: Наука,1966. 356 е.

28. Игнатьев Ю.Г. Дисперсия гравитационных волн в релятивистском газе/Ю.Г.Игнатьев// Известия Вузов, Физика, 1974. - т. 17. - № 12. -С. 136-142.

29. Ignatyev Yu.G. The propagation of Electromagnetic plasma Oscillations in the Gravitational field/Yu.G.Ignatyev// Acta Physica Polonica , 1975. - Vol. B6. - № 2. -P.203-221.

30. Игнатьев Ю.Г. Взаимодействие высокотемпературной плазмы, находящейся в гравитационном поле, с электромагнитным излучением I. Общая теория/Ю.Г.Игнатьев// Известия Вузов, Физика, 1975. -т. 18, №. 6, - С.7-15.Литература

31. Игнатьев Ю.Г. Взаимодействие высокотемпературной плазмы, находящейся в гравитационном поле, с электромагнитным излучением II. Нерелятивистские температуры/Ю.Г.Игнатьев// Известия Вузов, Физика, 1975. - т. 18. - № 6. -С.109-119.

32. Игнатьев Ю.Г. Волны в релятивистском газе, находящемся в гравитационном поле/Ю.Г.Игнатьев// Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, 1986. - Казань, Казанский государственный университет. - 127с.

33. Захаров А.В., Игнатьев Ю.Г. О распространении излучения в плазме, находящейся в гравитационном поле. II. Электромагнитные волны в приближении геометрической оптики/А.А.Захаров, Ю.Г.Игнатьев// Известия Вузов, Физика, 1976. - т. 19. - № 9. -С.62-69.

34. Игнатьев Ю.Г. Равновесные состояния релятивистского заряженного газа в рамках общей теории относительности/Ю.Г.Игнатьев// Украинский физ. журнал, 1976. - т.18. - № 12. -С. 1971-1977.

35. Захаров А.В., Игнатьев Ю.Г. К методу кинетического уравнения в общей теории относительности/А.В. Захаров, Ю.Г.Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В.Р.Кайгородова - Казань: изд-во КГУ. - 1976. - Выпуск 13. - С. 49-56.

36. Ignat'ev Yu.G., Zakharov A.V. The reflection of gravitational waves from compact stars/Yu.G. Ignat'ev, A.V. Zakharov// Phys. Letters, -1978. V0I.66A. - Ж 1. - с. 3-7.Литература

37. Игнатьев Ю.Г. О статистической динамике ансамбля частиц в ОТО/Ю.Г.Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В.Р.Кайгородова - Казань: изд-во КГУ. - 1978. - Выпуск 14. - С. 90-107.

38. Игнатьев Ю.Г. Локальные свойства релятивистского максвеллов-ского распределения частиц в гравитационном поле /Ю.Г.Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакциейB.Р.Кайгородова Казань: изд-во КГУ. - 1980. - Выпуск 16. C. 65-72.

39. Игнатьев Ю.Г. Локальная температура статистической системы в общей теории относительности /Ю.Г.Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В.Р.Кайгородова - Казань: изд-во КГУ - 1980. - Выпуск 16. - С. 73-75.

40. Игнатьев Ю.Г. Равновесные макроскопические движения релятивистского гравитирующего газа заряженных частиц /Ю.Г.Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакциейB.Р.Кайгородова Казань: изд-во КГУ. - 1980. - Выпуск 17. C. 56-70.

41. Игнатьев Ю.Г., Балакин А.Б. Нелинейные гравитационные волны в плазме/Ю. Г. Игнатьев, А. Б. Балакин// Известия ВУЗов, Физика, -1981. т.24. - Ж7. -С. 20-24.

42. Игнатьев Ю. Г., Фазлеева А. 3. Столкновительное затухание гравитационных волн в ультрарелятивистской плазме/Ю. Г. Игнатьев, А. 3. Фазлеева// Украинский физический журнал, 1981. - т.26. - Ж 1. С. 28-38.

43. Игнатьев Ю. Г. Бесстолкновительный газ в поле плоской гравитационной волны/Ю. Г. Игнатьев// Журнал эксперим. и теоре-тич.физики, 1981. - т.81- № 1. - С. 3-12.

44. Игнатьев Ю. Г. Космология, кинетика и масса покоя нейтрино/Ю. Г. Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В.Р.Кайгородова - Казань: изд-во КГУ. - 1981. - Выпуск 18. - С. 73-75.

45. Игнатьев Ю. Г. Релятивистская кинетическая теория и конформные преобразования/Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1982. -т. 25. -№.4.- С. 92-96.

46. Балакин А. Б., Игнатьев Ю. Г., Шуликовский В.Ю. Кинетика изотропного расширения однородной электронно-фотонной плазмы/А. Б. Балакин, Ю. Г. Игнатьев, В.Ю. Шуликовский// Известия ВУЗов, Физика, 1982. -т. 25. - №.9. - С. 53-57.

47. Балакин А. Б., Игнатьев Ю. Г., Шуликовский В.Ю. Кинетика изотропного расширения оптически прозрачной плазмы на комптонов-ской стадии/А. Б. Балакин, Ю. Г. Игнатьев, В.Ю. Шуликовский// Известия ВУЗов, Физика, 1982. - т. 25. - №.10, - С. 82-85.

48. Игнатьев Ю. Г., Шуликовский В.Ю. Столкновительная релаксация плазмы в поле плоской гравитационной волны/Ю. Г. Игнатьев, В.Ю. Шуликовский// Известия ВУЗов, Физика, 1982. - т. 25. -№.10. -С. 85-92.

49. Игнатьев Ю.Г. Движение идеальной жидкости в поле плоской гравитационной волны/Ю.Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, -1982. -т. 25. №.11. - С. 96-99.104Литература

50. Игнатьев Ю. Г. Идеальная жидкость с предельно жестким уравнением состояния в поле плоской гравитационной волны/Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1982. - 25. - Ж11. - С.99-102.

51. Игнатьев Ю. Г. Кинетическое уравнение и массовая поверхность/Ю. Г. Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В.Р.Кайгородова - Казань: изд-во КГУ. - 1983. - Выпуск 19. - С. 79-88.

52. Игнатьев Ю. Г. Статистическая динамика ансамбля классических частиц в гравитационном поле/Ю. Г. Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В.Р.Кайгородова - Казань: изд-во КГУ. - 1983. - Выпуск 20. - С. 50-109.

53. Игнатьев Ю. Г. Действие плоских гравитационных волн на плазмо-подобные среды и жидкости/Ю.Г.Игнатьев// Космические исследования на Украине / Под редакцией Писаренко Г.С. - Киев: Наукова Думка. - 1983. - Выпуск 17,С. 65-66.

54. Balakin А.В., Ignat'ev Yu.G. The effect of a gravitational wave at the contact of conductors/A.B.Balakin, Yu.G.Ignat'ev// Physics Letters., -1983. Vol. 96A. -P. 10-11.

55. Игнатьев Ю.Г. Релятивистский канонический формализм и инвариантная одночастичная функция/Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1983. -т.26. - Ж8. - С. 15-19.

56. Игнатьев Ю.Г. Релятивистские кинетические уравнения для неупруго взаимодействующих частиц в гравитационном поле/Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1983. -т.26. - №.8. - С. 19-23.

57. Игнатьев Ю.Г. Законы сохранения и термодинамическое равновесие в общерелятивистской кинетической теории неупруго взаимодействуЛитературающих частиц/Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1983. -т.26. - №.12. - С. 9-14.

58. Игнатьев Ю.Г. Идеальная жидкость с коротким скалярным взаимодействием в поле плоской гравитационной волны/ Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1983. - т.26. - №.12. - С. 7-9.

59. Игнатьев Ю.Г., Шуликовский В.Ю. Действие гравитационных волн на радиационно-доминированную плазму/Ю. Г. Игнатьев,B.Ю.Шуликовский// ВИНИТИ, 1984. - №.1532-84. - Деп., - 34с.

60. Игнатьев Ю.Г., Шуликовский В.Ю. Затухание гравитационных волн в ранней Вселенной/Ю. Г. Игнатьев, В.Ю.Шуликовский// ВИНИТИ, 1984. - № 1531-84. - Деп., - Юс.

61. Игнатьев Ю.Г., Кузеев P.P. Термодинамическое равновесие самогра-витирующей плазмы со скалярным взаимодействием/Ю.Г. Игнатьев, P.P. Кузеев// Украинский физический журнал, 1984. - т.29. - №.7.C. 1021-1025.

62. Игнатьев Ю.Г. Магнитоактивная бесстолкновительная плазма в поле длинноволнового гравитационного излучения/Ю.Г.Игнатьев// Украинский физический журнал, 1984. - т.29. - №.7. - С. 1025-1029.

63. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика анизотропной плазмо-подобной среды с затуханием в поле гравитационного излучения/Ю.Г.Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1984. - т.27. 12. -С. 70-74.Литература

64. Игнатьев Ю.Г. Резонансная генерация плазменных колебаний плоской гравитационной волной/Ю.Г.Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1985. - т.28. - № 1. -С.74-77.

65. Ю.Г. Игнатьев, Н.Р. Хуснутдинов Действие плоских гравитационных волн на однородную магнитоактивную плазму/Ю.Г. Игнатьев, Н.Р. Хуснутдинов// Украинский физический журнал, 1986. - т.31. -№.5. -С.707-715.

66. Игнатьев Ю.Г. Возможность нарушения термодинамического равновесия в ранней Вселенной/Ю.Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1986. - т.29. - №.2. - С. 27-32.

67. Игнатьев Ю.Г. Кинетические процессы в релятивистских полях тя-готения/Ю.Г. Игнатьев// Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, Казань, Казанский государственный педагогический институт. - 1986. - 359 С.

68. Игнатьев Ю.Г., Смирнов А.В. Колебания анизотропной ограниченной плазмы в поле слабой гравитационной волны/Ю.Г. Игнатьев, А.B.Смирнов// Украинский физический журнал, 1987. - т.32. - №. 6. C.1917-1925.

69. Игнатьев Ю.Г. Космологические последствия скейлинга/Ю. Г. Игнатьев, А. А. Попов// Проблемы теории гравитации, релятивистской кинетики и эволюции Вселенной / Под редакцией Игнатьева Ю.Г. -Издательство КГПИ. - Казань. - 1988.- С. 62-84.

70. Игнатьев Ю.Г., Попов А.А. О статистическом описании ансамбля ультрарелятивистских частиц в пространственно плоской Вселен-ной/Ю. Г. Игнатьев, А. А. Попов// Известия ВУЗов, Физика, - 1989.- т.31. №.5. - С. 82-87.

71. Ignat'ev Yu.G. Excitation of Magnetohydrodynamic Shock Waves by a Gravitational Wave/Yu. G. Ignat'ev// Gravitation & Cosmology, 1995.- Vol.1. №.4. -P. 287-300.

72. Ignat'ev Yu.G., PopovA.A. Spherically symmetric perturbation of a ultrarelativistic fluid in a homogeneous and isotropic universe/Yu.G.Ignat'ev, A.A.Popov// Physics Letters, 1996. - Vol.A.220.- P. 22-29.Литература

73. Ignat'ev Yu.G. About on the magnetohydrodynamic shock waves/Yu.G.Ignat'ev// Gravitation & Cosmology, 1996. - Vol.2, №.2. - P. 174.

74. Ignat'ev Yu.G. Gravimagnetic shock waves and gravitational -waves experimenttes/Yu.G.Ignat'ev// Gravitation & Cosmology, 1996. Vol.2.- №.4. -P. 167-174.

75. Ignat'ev Yu.G. Gravitational magnetic shocks as a detector of a gravitational waves/Yu.G.Ignat'ev// Physics Letters A, 1997. - Vol.230.- P.171-176.

76. Ignat'ev Yu.G. Kinetic model of GMSW in an anisotropic plasma/Yu.G.Ignat'ev// Gravitation & Cosmology, 1997. - T.3. -№.4. - P. 254-260.

77. Ignat'ev Yu.G., Gorokhov D.N. Gravimagnetic shock waves in an anisotropic plasma/Yu.G.Ignat'ev, D.N.Gorokhov// Gravitation Sz Cosmology, 1997. - Vol.3. - Ж 4, - P.261-265.

78. Ignat'ev Yu.G., Markov V.A. Local GMSW -response of a magnetoactive plasma to the gravitational wave/Yu.G.Ignat'ev, V.A. Markov// Gravitation & Cosmology, 1998. - Vol.4. - Ж1. -P. 40-48.

79. Игнатьев Ю.Г., Чепкунова Е.Г. Точное плоско-симметричное нестационарное решение самосогласованных уравнений Эйнштейна Максвелла для плазмы/Ю.Г.Игнатьев , Е.Г. Чепкунова// Вестник. КГПУ,- Казань. Изд-во КГПУ. вып.2. - 2004. - С. 40-49.

80. Yu. G. Ignat'ev, E.G.Chepkunova Exact plane symmetric non-stationary solution to the Einstein Maxwell equations for a magneto active plasma/Yu. G. Ignat'ev, E.G.Chepkunova// Gravitation & Cosmology,- 2004. Vol.10. - № 3. - P. 1-6.Литература

81. Ignat'ev Yu.G., Chepkunova E.G. The moving semibounded magnetoactive plasma in field of a plane gravitational wave/Yu. G. Ignat'ev, E.G.Chepkunova// Gravitation & Cosmology, 2004. - Vol.10.- №4. P. 123-127.

82. Ландау Л.Д. и Лифшиц E.M. Статистическая физика/Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц 1964. - М.: Наука. 568 е.

83. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика/А. И. Ахиезер, В.Б.Берестецкий 1969. - М.: Наука. 624 е.

84. Alvares E.J. On the transport equations for a one component relativistic gas/E.J.Alvares// J. Phys. and Math. Gen., 1976. - Vol.9. - P.1861-1875.

85. Иванов Г. Г. Уравнение Улинга Уленбека и квантовая статистика идеальных газов в ОТО/Г.Г.Иванов // Гравитация и теория относительности / Под редакцией - В.Р.Кайгородова - Казань: изд-во КГУ.- 1978. Выпуск 14. - С. 80-89.

86. Syng J.L. Relativity: The General Theory/J.L.Syng North-Holland Publishing Company: Amsterdam. - 1960. - 432 p.

87. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности/А.З.Петров 1966. - М.: Наука. - 496с.

88. Cartan Е. Les espaces de Finsler/E. Cartan 1934.- Paris. - 234 p.Литература

89. Черников Н.А., Шавохина Н.С. Принцип конформной инвариантности. /Н.А.Черников, Н.С.Шавохина// Новейшие проблемы гравитации, Тезисы докладов Всесоюзного симпозиума, 1973. - М: Изд-во ВНИИФТРИ. - С.40-42.

90. Ehlers I., Geren P., Sachs R. К. Isotropic solutions of the Einstein -Liouville equstions /I.Ehlers, P.Geren, R.K.Sachs// J. Math.Phys., 1968. - Vol.9. - P. 1344-1361.

91. Орлов С.В. Релятивистское расширение бозе- конденсата/Орлов С.В.// Проблемы теории гравитации и элементарных частиц / Под редакцией Станюковича К.П. -М.: Энергоатомиздат. -1985. - Выпуск 16. - С.119-122.

92. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной /Я.Б.Зельдович Я.Б., И.Д.Новиков М.: Наука. -1975. -736с.

93. Козик B.C., Любимов В.А., Новиков Е.Г., Нозик В.З., Третьяков Е.Ф. Об оценке массы ve по спектру (3 распада трития в валине/В.С.Козик, В.А.Любимов, Е.Г.Новиков, В.3.Нозик, Е.Ф.Третьяков// Ядерная физика, - 1980. -Т.32. - С. 301-303.

94. Магалинский В.Б. Кинетика малых возмущений пространственно-однородной гравитирующей среды/В.Б.Магалинский// Астрономический журнал, 1972. - Т.49. - вып. 5. - С. 1017-1025.

95. Pilkuhn Н.М. Relativistic Particle Physics/H.M.Pilkuhn New York-Heidelberg-Berlin. - Springer-Verlag. - 1982. - 544p.

96. Ignatyev Yu.G., Alsmadi К. A complete relativistic kinetic model of symmetry violation in isotropic expanding plasma. I. Exact model/Yu.G.Ignatyev, K.Alsmadi// Gravitation & Cosmology, 2005. -Vol. 11. - No 3. - P. 252-258.

97. Ignatyev Yu.G., Alsmadi K. A complete relativistic kinetic model of symmetry violation in isotropic expanding plasma. II. Numerical model/Yu.G. Ignatyev, K.Alsmadi// Gravitation & Cosmology, 2005. - Vol. 11. - No 4. - P.363-368.

98. Ignatyev Yu.G., Alsmadi К. A complete relativistic kinetic model of symmetry violation in isotropic expanding plasma. III. Cpecific Entropy Calculation/Yu.G. Ignatyev, K. Alsmadi// Gravitation & Cosmology, -2007. Vol. 13. - No 2. - P.114-118.

99. Аль-Смади X. Кинетическая модель производства барионов в горячей Вселенной/Х. Аль-Смади// Материалы Российской школы семинара по гравитации и космологии "Gracos-2007" / Под редакцией -Игнатьева Ю.Г. - 2007. - Казань: Изд-во "Фолиант". - С. 137-142.

100. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения/Н.Н.Лебедев- 1963. Москва-Ленинград. - ГИФМЛ. - 360 с.

101. Janke Е., Emde F., Losch F. Tafeln Hoherrer Funktionen/E. Janke, F. Emde, F.Losch 1960. - Stuttgart. - B.G.Teubner Verlagsgesellschaft.

102. А.Д.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев Интегралы и ряды. Дополнительные главы/А. Д.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев 1986. - М.: Наука. - 800 с.