автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели релятивистской магнитоактивной плазмы в плоскосимметрических гравитационных полях

На правах рукописи

ЧЕПКУНОВА Елена Георгиевна

МОДЕЛИ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЫ В ПЛОСКОСИММЕТРИЧЕСКИХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических

Ульяновск - 2006

Работа выполнена на кафедре геометрии математического факультета ГОУ ВПО "Татарский государственный гуманитарно - педагогический университет"

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Игнатьев Юрий Геннадиевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Балакин Александр Борисович

доктор физико-математических наук, профессор Червон Сергей Викторович

Ведущая организация:

Российский университет дружбы народов

Защита состоится "Ц" октября 2006 г. в " 14 " часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу: Университетская Набережная, 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Ульяновского государственного университета. Отзывы на работу просим направлять по адресу: 432970, г.Ульяновск, ул. Л.Толстого, д. 42, УлГУ, Управление научных исследований.

Автореферат разослан " /' " сентября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Веревкин А.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Гравитационные волны являются принципиально важным явлением, присущим всем релятивистским теориям гравитации, к классу которых относится и стандартная теория гравитации Эйнштейна. С другой стороны, современная теория гравитации и ее принципы являются фундаментом современной теоретической физики, на котором строятся все полевые модели взаимодействия. Поэтому принципиально важным для миропонимания является тест этих теорий на существование гравитационных волн, на детектирование которых направлены усилия многих ведущих физических лабораторий всего мира. Перспективным направлением детектирования гравитационных волн является направление пассивного эксперимента, когда и источник гравитационных волн и детектор имеют астрофизическое происхождение, например, нейтронные звезды и их магнитосферы. При этом задача о детектировании гравитационных волн переводится в плоскость наблюдения специфического электромагнитного отклика на гравитационную волну детектирующей среды. В связи с чрезвычайной слабостью гравитационных волн и их взаимодействия с материальными средами, проблема их детектирования находится на грани возможностей экспериментальной физики. Поэтому становится чрезвычайно важным построение строгих математических моделей взаимодействия гравитационных волн с материальными средами и исследования их на предмет поиска наиболее эффективных сред детектирования. Исследования многих авторов1 '2 ' 3 в этом направлении показали, что для наиболее эффективного детектирования гравитационных волн необходимо, чтобы среда детектирования обладала высокой степенью анизотропии в плоскости фронта гравитационной волны и содержала релятивистскую компоненту. С этой точки зрения наиболее подходящей средой

Mgnat'ev Yu.G., Markov V.A. Local GMSW - response of a rnag'netoactive plasma to the gravitational wave // Gravitation & Cosmology,- 1998.- Vol.4.- No. l.-P. 40-48.

2Balakin A.B., Zimdalil W. Self-interacting gas in a gravitational wave field // General Relativity and Gravitation,- 2003,- Vol.35.- No.4.- P.667-683.

3Ba]akin A.B., Kurbanova V.R., Zimdahl W. Parametric phenomena of the particle dynamics in a periodic gravitational wave field // Journal of Mathematical Physics,-2003.- Vol.44.- No. 11,- P.5120-5140.

' детектирования является релятивистская плазма с сильным магнитным полем. Однако, как показали предыдущие исследования4 ' 5 ' 6, как раз в этом случае движение магнитоактивной плазмы является существенно нелинейным и трудно поддающимся стандартным методам исследования. В связи с этим тема диссертации является актуальной и лежит в русле современных фундаментальных исследований теории гравитации, релятивистской астрофизики, гравитационного эксперимента и математического моделирования.

Цель работы состоит в формулировке основных принципов построения математических моделей движения релятивистской магнитоактивной плазмы в поле гравитационной волны; построении полностью самосогласованной модели описания релятивистской магнитоактивной плазмы в плоскосимметрическом гравитационном поле; построении самосогласованной по электромагнитному полю модели движения релятивистской неоднородной магнитоактивной плазмы в плоскосимметрических гравитационно-волновых полях; комплексном исследовании построенных моделей аналитическими методами и методами компьютерного моделирования, в частности, инструментами пакета символьной математики.

Методы исследования В диссертационной работе использованы методы вычислительной математики и математического анализа. Для программной реализации алгоритмов использован аппарат численного математического моделирования и пакет прикладных программ Maple.

Научная новизна. Построена полиостью самосогласованная модель релятивистской самогравитирующей магнитоактивной плазмы в плоскосимметрическом гравитационном поле, которая сведена к замкнутой системе пяти нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных относительно функций двух переменных. На основе точ-

4Балакин A.B., Игнатьев Ю.Г. Действие гравитационных волн на бесстолкнови-тельные плазмоподобные среды // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц,- М.: Энергоатомиздат, 1984.-вып.14.- С.103-124.

5Ignat'ev Yu.G. Kinetic model of GMSW in an anisotropic plasma // Gravitation

& Cosmology,- 1997.- Vol.3.- No.4.- P.254-256.

6Balakin A.B., Popov V.A. Exact solutions of the equations of covariant hydrodynamics of superfiuid in the field of gravitational radiation // Reports on Mathematical Physics,- 1997.- Vol.39.- No.3.- P.375-386.

ного решения данной системы получен новый класс двухиараметричсского семейства точных решений уравнений Эйнштейна, соответствующих статическим гравитационным полям нулевого типа Петрова. Построена самосогласованная по электромагнитному полю модель движения релятивистской магнитоактивной плазмы в поле нелинейной плоской гравитационной волны, описываемой метрикой плоской гравитационной волны - вакуумным решением уравнений Эйнштейна Бонди-Пирани-Роббинсона. Построена математическая модель полуограниченной магнитоактивной плазмы в поле плоской гравитационной волны, которая сведена к одному существенно нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных гиперболического типа. Проведено комплексное исследование с помощью аналитических и компьютерных методов созданной математической модели движения магнитоактивной плазмы в поле плоской гравитационной волны и установлены основные особенности этого движения.

Научные положения, выносимые на защиту:

• Полностью самосогласованная модель релятивистской самогравити-рующей магнитоактивной плазмы в плоскосимметрическом гравитационном поле, представляющая собой замкнутую систему пяти нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных относительно функций двух переменных.

• Новый класс двухпараметрического семейства точных решений уравнений Эйнштейна, соответствующих статическим гравитационным нолям нулевого типа Петрова, полученный на основе точного решения указанной системы.

• Самосогласованная по электромагнитному полю модель движения релятивистской магнитоактивной плазмы в поле нелинейной плоской гравитационной волны, описываемой метрикой плоской гравитационной волны - вакуумным решением уравнений Эйнштейна Вонди-Пир ани- Роббинсона.

• Математическая модель полуограниченной магнитоактивной плазмы в поле плоской гравитационной волны.

• Комплексное исследование с помощью аналитических и компьютерных методов созданной математической модели движения магнитоак-тишюй плазмы и ноле плоской гравитационной волны.

Научно-практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут найти применение в исследованиях по теории гравитации, релятивистской космологии и астрофизике, а также в теории гравитационного эксперимента.

Достоверность полученных результатов обусловлена корректностью построения математических моделей физических систем; корректностью проведенных математических преобразований и расчетов; корректным воспроизведением некоторых известных ранее частных результатов из более общих результатов, полученных в диссертационной работе.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на 5-й Международной конференции "Геометризация физики "(Казань, 2001 г.), на 12-й Российской гравитационной конференции (Казань, 2005 г.), а также на научных семинарах кафедры геометрии и кафедры информатики, вычислительной математики и методики ее преподавания Казанского государственного педагогического университета.

Личный вклад автора. Все основные результаты работы получены лично автором. Использованные материалы других авторов помечены ссылками.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 8 основных работ в отечественных и международных изданиях, их список помещен в конце автореферата.

Структура и объем. Диссертация изложена на 104 страницах и состоит из Введения, трех глав, Заключения, списка цитированной литературы из 116 наименований и четырех приложений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

1. Модели движения релятивистской магнитоактивной плазмы в поле гравитационной волны

Глава 1 посвящена обзору существующих моделей движения плазмы в гравитационном поле и основным методам их исследования и результатам,

полученным при исследовании этих моделей.

В пункте 1.1 описана математическая модель релятивистской плазмы в поле гравитационного излучения, развитая в работах Игнатьева Ю.Г., Бала-кина А.Б. с соавторами7'8 на основе уравнений релятивистской магнитной гидродинамики плазмы. Уравнения релятивистской магнитной гидродинамики плазмы с бесконечной проводимостью в гравитационном поле получены в работах Игнатьева Ю.Г. из требования равенства нулю дивергенции суммарного тензора энергии-импульса магнитоактивной плазмы:

р / 2yik —Т Т ik •

т ik = (е + p)v'vk - pgik;

i ik = ±-(FiFlk + igikFlmFlm)) 47Г 4

при алгебраическом условии совпадения собственных времеииподобных векторов vx тензора энергии-импульса электромагнитного поля и плазмы:

Т Т kvh — £nvi (1)

и добавлением к полученным уравнениям первой группы уравнений Максвелла:

F \t = 0, (2)

где s, ен - плотность энергии плазмы и электромагнитного поля, р-

i '<к

давление плазмы, и' - вектор динамической скорости, F и F - тензор Максвелла и дуальный к нему, д'к - метрический тензор; символом Ф j - обозначено ковариантное дифференцирование поля Ф относительно метрического тензора д'к.

В результате в цитированной работе была получена система уравнений релятивистской магнитной гидродинамики плазмы в гравитационных полях:

= -4тт4г, (з)

гсм., например, Балакин А.В., Игнатьев Ю.Г. Действие гравитационных волн на бесстолкновительные плазмоподобные среды // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц,- М.: Энергоатомиздат, 1984.-вып.14.- CJ 03-124.

8Ignat'ev Yu.G. // Gravitation & Cosmology,- 1995.- Vol.1.- No.-1.-P.287-.400.

где J%dT =

2Fik[vk,lvl{e + p)~p,k} FjmFim

— дрейфовый ток, удовлетворяющий

соотношению:

h J)ir =

(4)

(5)

(6)

причем

(7)

Щ = vk F ki.

(8)

Система уравнений (3) - (8) с учетом уравнения состояния р = р(е) полностью описывает самосогласованное движение магнитоактивной плазмы и вмороженного в нее магнитного поля в заданном гравитационном поле, определяемым метрическим тензором дш. В дальнейшем эту систему уравнений мы и будем называть системой уравнений релятивистской магнитной гидродинамики плазмы в гравитационном поле.

В пункте 1.2 описывается нахождение решения уравнений релятивистской магнитной гидродинамики на фоне метрики плоской гравитационной волны. Указанная система уравнений релятивистской магнитной гидродинамики на фоне метрики плоской гравитационной волны9:

(/3(w) - произвольная функция запаздывающего времени, амплитуда гравитационной волны, L(u) - фоновый фактор гравитационной волны) была точно проинтегрирована в квадратурах в работе Игнатьева Ю.Г.10 при начальных условиях, при которых в отсутствие гравитационной волны плазма однородна и покоится, а однородное магнитное поле направлено в плоскости

®Метрики Бонди - Пирани - Робинсона.

10Jgnal'cv Yu.G. И Gravitation & Cosmology,- 1995.- Vol.1.- No.4.-P.287-300.

da2 = 2dudv - L\u)[e20<-*\dx2)2 + е-адСи)(^3)2]

(9)

= \/2(A_1 - 1) cotfí,

^/2Li\vv\

■■ exp

£

-I

ds

e+p(e)

где

Д(и) °J 1 - а V'

1), и а - безразмерный параметр: 2 Н% sin2 П

(11) (12)

(13)

4л-(ео + Ро)

Таким образом, если задано уравнение состояния р = р(е), то с помощью (10), (11), (12) определяются функции vv(u),v2(u),e(u),p(u). Для определения vu (и) необходимо найти функцию tp(u), для чего необходим еще один интеграл, который получается из соотношения нормировки:

т 2 / „ , 1 . £о + Ра г,

L VviVv cosii -f- —= i>2Sinii) = —--cosS2.

V2 2 (e+p)

Таким образом, окончательно найдено:

г2

2 iîo /cPS2ñ Í + P..2Í •

« = 1 тлл—--;-е sin Sí ,

Д V L*Д е0 + ро у

«и

¿2(е + р) Д(ео + ро) L2(e+P)

GM (¿-'У

_2Я cot2 П

(14)

(15)

(16)

Д(ео+Ро) ' V Д V " Ь2 Указанное решение уравнений релятивистской магнитной гидродинамики на фоне плоской гравитационной волны содержит физическую сингулярность на гиперповерхностях и — ит :

Л(«„) = 0, где Л £2(и)А(и). Таких гиперповерхностей может быть два типа:

A) £2М=0,

B) 1 -а2(е2№) - 1) =0.

Первый тип сингулярности связан с координатной сингулярностью метрики с1з2 = '¿ЛиЛи — //г[е2г3(Лх2)2 + е~2/3(с1х3)г] и всегда возникает в плазме11, Условиями же возникновения сингулярности второго типа являются:

^Игнатьев Ю.Г. Бесстолкновительный газ в поле плоской гравитационной волны.// Журнал экспериментальной и теоретической физики,- 1981.-T.8l.-C.3-10.

0{и) > 0, or2 > 1. Важным является тот факт, что сингулярное состояние типа В возможно даже в слабой плоской гравитационной волне (|/3| 1) при условии сильной замагничеапости плазмы (а2 1).

При исследовании общего поведения решения вблизи сингулярности типа В был открыт новый класс эффектов, который может быть интерпретирован как нелинейная пороговая генерация гравитационной волной ударной магпитогидродинамической волны, распространяющейся с околосветовой скоростью вдоль направления распространения плоской гравитационной волны. Этот новый класс эффектов был назван гравимагнитными ударными волнами.

В пункте 1.3 представлены результаты исследования обратного влияния гравимагнитных ударных волн на метрику плоской гравитационной волны, проведенного в работе Игнатьева Ю.Г. и Маркова В.А.12. Необходимость такого исследования обусловлено наличием сингулярности в решении уравнений магнитной гидродинамики на фоне плоской гравитационной волны.

В более ранней работе Игнатьева Ю.Г.13 в предположении неизменности скорости распространения плоской гравитационной волны в плазме и малости в смысле метрики амплитуды плоской гравитационной волны,¡3(и):

/3{и) < 1; L и 1

на основе закона сохранения полного импульса системы "гравитационная волна + магнитоактивная плазма" было сформулировано уравнение энергобаланса, описывающее изменение вакуумной амплитуды плоской гравитационной волны в гравимагнитной ударной волне:

/2 + i2T2%) = rVW, (17)

где так называемая управляющая функция GMSW у(х) — 1 — Т^^ - удовлетворяет начальному условию:

У(0) = 1

12Ignat'ev Yu.G.,Markov V.A. Local GMSW - response of a magnetoactive plasma to the gravitational wave. // Gravitation & Cosmology,- 1998.- Vol.4.- No. l.-P. 40-48.

13Ignat'ev Yu.G. // Gravitation & Cosmology.- 1996.- Vol.2.- No 4.- P.213.

(д{х) = /'(«}, f(x) = ft. (x)/flu - безразмерная амплитуда вакуумной плоской гравитационной волны; производные берутся по переменной а- = */2ии/; о; - частота вакуумной плоской гравитационной полны).

При исследовании полученного периодического решения уравнения (17) на устойчивость в указанной работе Игнатьева Ю.Г. и Маркова В.А. были получены следующие результаты: если' уо(х) - периодическое решение, соответствующее периодической плоской гравитационной волне, а х\ ^ точка минимума, лежащая правее точек' х и Хо, то на отрезке [0, xi] решение устойчиво, при переходе же через точку минимума гладкое периодическое решение уо(х) становится сильно неустойчивым. Данная экспоненциальная неустойчивость может быть вызвана как отклонениями функции у(х) от значения уо(х), та:к и нарушениями свойств симметрии вакуумной амплитуды плоской гравитационной волны. Если точка минимума лежит левее точек х и хо, то ситуация обратна: правее минимума решение устойчиво, левее - неустойчиво.

В пункте 1.4 описаны математические модели движения анизотропной однородной магнитоактивной плазмы в поле заданного гравитационного излучения, как кинетической, построенной в работе Игнатьева Ю.Г.14, так и магнитогидродинамической, построенной и исследованной в работе Игнатьева Ю.Г. и Горохова Д.Н.15.

Цитированные работы, выявив ряд интересных, физически значимых эффектов, обнаружили и ряд серьезных проблем, возникающих при описании движения релятивистской магнитоактивной плазмы в поле гравитационного излучения. Эти работы показали недостаточность математической описания магнитоактивной плазмы в поле гравитационной волны на основе предположений об однородности первоначального состояния плазмы и отсутствия ее гравитационного самодействия. На преодоление этих трудностей и построение более полной математической модели релятивистской магнитоактивной плазмы в гравитационно-волновом поле и направлено данное

14Ignat'ev Yu.G. Kinetic model of GMSW in an anisotropic plasma // Gravitation & Cosmology,- 1997,- Vol.3.- No.4.- P.254-256.

lsYu.G.Ignat'ev D.N.Gorokhov. Gravimagnetic shock waves in an anisotropic plasma // Gravitation Cosmology,- 1997.- Vol.3.- No.4.- P.343-351.

исследование.

2. Полностью самосогласованная модель магнитоактивной плазмы в плоскосимметричном гравитационном поле

В Главе 2 исследуется полностью самосогласованная модель магнитоактивной плазмы в плоскосимметричном гравитационном поле, при этом учитывается, что сильные магнитные поля и высокие плотности и скорости плазмы оказывают обратное действие на гравитационное поле. Таким образом, изучается полностью самосогласованная система, обладающая собственными гравитационными и электромагнитными полями. Примеры систем с такими экстремально большими гравитационными и электромагнитными полями хорошо известны в релятивистской астрофизике - это быстро вращающиеся нейтронные звезды с аномально большими магнитными полями и релятивистской магнитосферой. Такие объекты наблюдаются уже в течение 40 лет в виде пульсаров, гравитационные поля которых существенно релятивистские, а напряженности магнитного поля могут достигать значений 1015 эрстед и выше. Изменение уравнения состояния при фазовых переходах в таких объектах приводит к звездотрясению и излучению мощных гравитационных волн, исследование распространения которых в собственных магнитосферах представляет большой интерес для экспериментальной гравитации.

В пункте 2.1 рассчитываются компоненты тензора Риччи относительно метрики, совместимой с симметрией плоскосимметричного анизотропного распределения материи -

записанной в координатах запаздывающего, и, и опережающего, V, времени:

(18)

В этих переменных:

Лии = -j(Luv + Lpup* + LX„),

R\~ fí3 = —4e_2X

(a. + ,

где /'и, Fu - частные производные функции F по соответствующим переменным.

В пункте 2.2 конструируется тензор энергии-импульса магнитоактив-ной плазмы в метрике и ее макроскопические моменты с учетом симметрии метрики (18) и алгебраического условия вмороженности магнитного поля (1), которое можно записать в более компактном виде:

F,kvk = 0.

При этом первый инвариант электромагнитного поля равен нулю, а второй инвариант положителен. Полный тензор энергии - импульса локально изотропной, в отсутствие магнитного поля, магнитоактивной плазмы имеет вид:

Tik =(£ + Р)Vivk - Pgík - 2Рищпк,

где:

Н2

Рн = —\ £ = е + ен-, Р=р + Р„,'

о тс

a п' - единичный прос гранственноподобный вектор направления магнитного поля п' = Н'/ Н.

В условиях плоской симметрии плазма движется в направлении г1 а магнитное поле направлено вдоль х2. Такому полю соответствует векторный потенциал:

Ak = Av = A2 = О, Лз = ф(п, v), (19)

где ф ~ произвольная функция своих аргументов. Вычисляя тензор Максвелла относительно потенциала (19), находим его ненулевые компоненты:

Pv.3 = Фи , Fv3 — фи .

Вычисляя второй ипво-риапт тензора Максвелла, найдем:

Таким образом, ль шишом нетривиальные уравнения Эйнштейна:

■ Luu + Lßl - 2ЛuLu = (г + я + —) , (21)

+ ¿/g - 2А„£„ = xLe^V (е+Р+ ■ (22)

+ Lß*ßv + LXUV = -^Le2Xp, (23)

№*■)., = f ¿V* (s-р), (24)

+ = (25)

.Ь 107Г

Уравнения (21) - (25) совместно с определением инварианта if2 (20) и локальным уравнением состояния плазмы р = р(е) представляют полную систему уравнений относительно пяти неизвестных скалярных функций: Л, ß, L, ф, е.

Если в (21) - (25) положить все функции зависящими лишь от одной переменной t, мы получим однородную анизотропную модель Вселенной с магнитным полем, исследованную ранее рядом авторов. Если положить все функции зависящими лишь от переменной х, получим статическую модель плоского анизотропного слоя. В вакууме (е = 0, /7 = 0) система (21) - (25) допускает также запаздывающее решение (все функции зависят лишь от переменной «) либо опережающее решение (все функции зависят лишь от переменной v), называемых плоскими гравитационными волнами и изученных ранее рядом авторов.

В пункте 2.3 рассматривается статическое решение полученной системы уравнений. Для статической метрики независимые уравнения Эйнштейна принимают вид:

L" + Lßn - 2А'L' = -f ¿е2Л (е + р + , (26)

L" + Lfi2 + A"L = кЬе2Хр, (27)

(L3)" = -xLVV-p), (28)

ß" + 20 — -^~-е2ХН2 . (29)

L 16тг 14

Из этих четырех уравнений (26) - (29) два уравнения, (28) и (29) являются определениями е и Н1. Таким образом, на три метрические функции X, ¡в и Ь имеется всего два уравнения, что дает возможность наложить на эти функции одно дополнительное условие, определяющее класс решений16:

(¿2г/')'^0; 0 (30)

В качестве локального уравнения состояния плазмы выбирается баро-тропное уравнение:

р = ке\ (0<Л<1).

В случае баротропного уравнения состояния система уравнений Эйнштейна сводится к двум независимым нелинейным дифференциальным уравнениям на три метрические функции, одно из которых первого порядка, а второе второго. На эти три функции можно наложить одно дополнительное условие, не противоречащее (30). Сделав ряд допущений и проведя тождественные преобразования, получаем замкнутое уравнение относительно функции Ь:

Ь"Ь = дз Ь'2, (31)

1 - 351 + 2- 2д$

где д3 = дз(к,ао) =

1 + 2(72 - qí

1 + ЗА: п \ 2 1

= дЦЛ) = у——, Я2 - 42{к,а0) -

Решая его, получим:

ь = 0л + аз) + м*>))1 + 93 (32)

где /¿[(и), /42(г>) - произвольные функции, вид которых определим из условия статичности решения: ■ф = тр(х) = — -и). Получим:

^ ("> = ~ ./2(1Л+,,) = СОП?4' >11 («> = ^ » + При переходе к переменной х (32) примет вид:

Ь = (Ах + В)ЧЛ , (33)

где <?4 = q4(k,a0) = 1

l+qs

Положив 5 = 1, получим следующее условие на функцию L: £(0) = 1. А решение (33) примет вид:

L = (Ах + I)94 .

Подставляя полученное решение в соответствующие выражения для физических величин, получаем для них точное решение (двух параметрическое семейство решений):

А = q.i (q¡ - gi) ln (Ах + 1) , (34)

£ — £q(AX -+- l)'5, (35)

2Á2qiqi(l - 2дч) . где eo — -^(i + 3fcj-' qs =gs(k,Qo) =-2qt(qi-qi)-2,

H2 = Hl(Ax + l)95, (36)

„2 16x-A2g294(l - 2qi) fío — -,

где

x

V = 9194 1п (Ах -+- 1) , (37)

/3 = <7294 Ь (Аг + 1) . (38)

При этом метрика примет вид

¿»2 = (Ах1 + - 9») [(сгг4)* _ (Л;у] _

+ (Л*1 + 1)294(1-®,)(АВ3)2]. (39)

Константу А легко получить из (36):

Л» =

1671-17254(1 — 254)

Для метрики (ЗЭ)получим следующие ненулевые компоненты тензора Римана

Я2323 = -942 - 1) л2 (Ах1 + I)95 + 494 ,

Лз434 = 94 2 (52 - <21) (да - 1) А2 (Ах1 + 1)

-2 - 2f/4(<ij - 1)

Д1313 =0-4 (да — 1) A2 (g4(2g2-gi - 1) + 1) (Ах1 + 1) 1212 = 94 (1 + да) А2 (д4 + д4 gi - 1) (Ат1 + Д2424 = -542 (дг — gi) А2 (1 + дг) (Ах1 + l)2<l4°

-2qi(qi - 1) - 2

2?4(да + 1) -2

2<74(92 + X) - 2

Яны = 94 («2 - qi)A2 (Ах1 + 1)

2 / iW5

Полученная метрика соответствует гравитационным полям нулевого типа Петрова.

В пункте 2.4 описана программа получения линеаризированных относительно точного решения уравнений Эйнштейна с помощью пакета символьной математики Maple. Система таких уравнений может являться самосогласованной математической моделью излучения гравитационных волн первоначально статической самогравитирующей плазменной системой.

3. Самосогласованная по электромагнитному полю модель неоднородной магнитоактивной плазмы в плоскосимметричных гравитационно - волновых полях

В Главе 3 исследуется задача движения изотропной неоднородной магнитоактивной плазмы в поле плоской гравитационной волны.

В пункте 3.1 задаются граничные условия. Полагаем, что изотропная гиперповерхность So : "" = 0 есть поверхность фронта гравитационной волны, т.е., гравитационная волна отсутствует при « ij 0. В отсутствии гравитационной волны плазма покоится. Получаем первое граничное условие:

В отсутствие гравитационной волны плотность энергии, давление и напряженность магнитного поля всюду одинаковы. При этом макроскопические параметры плазмы равны:

{диф)= (¿W-OluiO ■

(40)

Я2 = -L~ie20duZdl,Z,

где 2 = ' безразмерная функция.

Но

Функция Z(u,v) должна удовлетворять граничному условию на про-странственноподобной гиперповерхности Ег : и = V (х — 0):

- (дига„г)ы=9 = 1. (41)

В пункте 3.2 строится самосогласованная по электромагнитному полю математическая модель неоднородной магнитоактивной плазмы в поле плоской гравитационной волны. Показано, что с учетом вышеуказанных алгебраических и начальных условий система уравнений релятивистской магнитной гидродинамики сводится к одному дифференциальному уравнению, которое, например, в случае плазмы с нерелятивистским уравнением состояния принимает вид:

dVvZ ди-uZ duvZ

"г /а ry\o

(duZ)2 (duZ)* duZdvZ.

- 1 4«2

(42)

В пункте 3.3 на основе построенной математической модели проводится исследование движения магнитоактивной плазмы в слабой гравитационной волне. Поскольку гравимагнитные ударные волны образуются в сильно замагниченной плазме, то в дальнейшем полагаем безразмерный параметр

a2 = Hl sin2 fi/47!-(e0 + ро) (43)

большим. Раскладываем уравнение (42) по малому безразмерному параметру задачи а-1 и, решая полученное уравнение, находим первое приближение, удовлетворяющее указанным условиям:

Z0 = (и - и) -2 Г sinh(/3(u)) du. (44)

Jo

Поведение магнитного поля соответствующее решению (44) представлено на рис.1. Для проверки применимости линейного приближения, подставляя найденное решение в правую часть уравнения (42), получим:

dauZ + ¡3'dvZ = Ф(и,г>), (45)

Рис. 1: Зависимость напряженности магнитного поля от запаздывающего времени, рассчитанная относительно решения (44).

где Ф(и, ь) представляет собой очень громоздкое выражение. Нетрудно, однако, видеть, что подкоренное выражение —Э,_¡ZoдvZ^| может становится отрицательным на некоторой поверхности £(и,г>). Это означает, что вблизи данной поверхности линейное решение уравнения (44) становится непригодным. Полагая, что амплитуда гравитационной волны р всюду мала, и разлагая подкоренное выражение в правой части уравнения (45) в ряд по малости р, получим уравнение этой поверхности:

£(и,г>): (V - и)0' -I- р + 1 = 0.

Отсюда видно, что эта поверхность находится при достаточно больших значениях переменной (г1 — и) = \/2х, т. е. далеко от границы:

где Ро - амплитуда гравитационной волны, а а> - ее частота. Вблизи же поверхности £(и, и) :

1 + р'(ь - и) = а 1,

откуда, положив Р(и) = /Зо(1 — (хиши), получим уравнение поверхности Е(и,г;)> разрешенное в явном виде относи тельно запаздывающею времени:

-1 + <т

Раи ъ'ч1(ит) + и

(Щ

Области, в которых выполняется соотношение (46), представляют собой узкие параболы, вершины которых имеют плоские плато и лежат вблизи прямой и = v + а (а — const). Вдали же от этой поверхности уравнение (45) интегрируется, и мы получаем поправку первого порядка:

Z\ = (и - и) е~0С, + 2 Г С cosh(0(u)) du, (47)

J о

где С= Г Ф(и)еЖи) du.

Jo

Рис. 2: Сравнение полученного в пакете Maple численного решения (точки) с аналитическим решением (прямая) вблизи одной из особых точек. На трехмерном графике вдоль осей координат отложены: в горизонтальной плоскости - delta_u=u-lQ.60003205, delta_v=v-10.6100320505329; вдоль вертикальной оси -Z(u,v)

Поскольку най ги аналитическое решение уравнения (42) не удается, а прямое применение чпглсппых методов сталкивается со значительными трудностями, связанными с большими значениями производных вблизи особых точек, то для численного решения уравнения (42) применяем метод симметричного отражения, аппроксимируя поведение решения вблизи особой точки

Рис. 3: Сравнение в логарифмическом масштабе полученного в пакете Maple численного решения (точки) с аналитическим решением (плоскость) вблизи одной из особых точек.

симметричной параболой. Практически этот метод реализован 1» представленной в работе программе, написанной в среде Maple.

Сравнивая полученное численное решение уравнения (42) вблизи особых точек с аналитическим решением (44), приходим к выводу о том, что, численные решения практически совпадают с аналитическими всюду кроме областей вблизи указанных плато (см. рис. 2, 3). Учет нелинейности при численном моделировании фактически сводится к обрезанию парабол вблизи критических точек.

ВЫВОДЫ

1. На основе уравнений Эйнштейна и Максвелла в предположении бесконечной проводимости плазмы построена полностью самосогласованная математическая модель движения релятивистской самограиитм-рующей магннсоактивной плазмы при наличии плоской симметрии с.н-

стемы. Показано, что при заданном уравнении состояния эта модель полностью описывается системой пяти нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно пяти функций двух переменных.

2. Найдено двухпараметрическое семейство точных решений этих уравнений, представляющее новый класс статических плоскосимметрических гравитационных полей нулевого типа по Петрову. Эти решения могут быть использованы в качестве математической модели основного состояния самогравитирующей магнитоактивной плазмы. С помощью пакета символьной математики получены разложения уравнений Эйнштейна-Максвелла относительно этого фонового решения.

3. На основе уравнений релятивистской магнитной гидродинамики магнитоактивной плазмы в гравитационном поле построена точная плоскосимметрическая математическая модель движения магнитоактивной плазмы на фоне заданной плоской гравитационной волны.

4. На основе данной модели построена точная математическая модель движения полуограниченной магнитоактивной плазмы на фоне заданной плоской гравитационной волны. Показано, что эта модель сводится к одному существенно нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных некоторой функции двух переменных, через которую выражаются все макроскопические параметры модели.

5. Проведено комплексное исследование этой модели комбинированием аналитических методов и численных методов пакета символьной математики и выявлены основные особенности движения магнитоактивной плазмы в поле заданной плоской гравитационной волны.

Публикации в журналах, входящих в список ВАК

1. Cliepkunova E. G-, Ignatyev Yu. G. Exact plane-symmetric non-stationary solution to the Einstein-Maxwell equations for a magnetoactive plasma // Gravitation & Cosmology -.2004. - V. 10. - N 3 (39). - P.219-223.

2. Chepkunova E. G., Ignatyev Yu. G. Motion of semibounded magneto-active plazma in the field of a plane gravitational wave // Gravitation fc Cosmology - 2004. - V. 10. - N 4 (40). - P.319-322.

Публикации в прочих журналах

1. Игнатьев Ю.Г., Чепкунова Е.Г. Гравимагнитные ударные волны в неоднородной плазме // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского, Т.Н. Проблемы современной математики: Материалы научной конференции, посвященной 125-летию Казанского государственного педагогического университета // Казанское математическое общество.- Казань.'.Унипресс, 2001. - С.120-133.

2. Игнатьев Ю.Г., Чепкунова Е.Г. Гравимагнитные ударные волны в неоднородной магнитоактивной плазме // Тез. докл. Международной конференции "Геометризация физики Казань, - 2001, С.20.

3. Игнатьев Ю.Г., Чепкунова Е.Г. Точное плоскосимметричное нестационарное решение самосогласованных уравнений Эйнштейна - Максвелла для магнитоактивной плазмы // Вестник КГПУ, - 2004. - С.40-50.

4. Чепкунова Е.Г. Движение полуограниченной магнитоактивной плазмы в поле плоской гравитационной волны // Вопросы современной математики и информационных технологий в математическом образовании: Сборник научных трудов молодых математиков КГПУ, - 2004. - С.150-158.

5. Игнатьев Ю.Г., Чепкунова Е.Г. Движение полуограниченной магнитоактивной плазмы в поле плоской гравитационной волны // Тез. докл. Международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике (XII-й Российской гравитационной конференции),- 2005.- С.45-47.

6. Игнатьев Ю.Г., Чепкунова Е.Г. Точные плоскосимметричные решения самосогласованных уравнений Эйнштейна для магнитоактивной плазмы // Тез. докл. Международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике (XII-й Российской гравитационной конференции), - 2005. - С.47-48.

Лицензия на полиграфическую деятельность №0128 от 08.06.98r. выдана Министерством информации и печати Республики Татарстан Подписано в печать 27.01.2006 г. Форм. бум. 60x84 1/16. Печ. л.1,25. Тираж 100. Заказ 221.

Минитипография института проблем информатики АН РТ 420012, Казань, ул.Чехова, 36.

Введение

1. Модели движения релятивистской магнитоактивной плазмы в поле гравитационной волны

1.1 Уравнения релятивистской магнитной гидродинамики магнитоактивной плазмы в гравитационном поле

1.2 Движение релятивистской магнитоактивной плазмы в поле плоской гравитационной волны.

1.3 Исследование локального отклика магнитоактивной плазмы на сильную гравитационную волну.

1.4 Анизотропные модели взаимодействия гравитационной волны с магнитоактивной плазмой.

1.4.1 Кинетическая модель взаимодействия гравитационной волны с анизотропной магнитоактивной плазмой

1.4.2 Гидродинамическая модель взаимодействия гравитационной волны с анизотропной магнитоактивной плазмой.

2 . Полностью самосогласованная модель магнитоактивной плазмы в плоскосимметричном гравитационном поле

2.1 Метрика плоско-симметрического гравитационного поля и геометрические объекты, связанные с ней.

2.2 Алгебраические условия вмороженности магнитного поля в плазму и полностью самосогласованная модель магнитоактивной плазмы.

2.3 Точные стационарные решения для модели магнитоак-тивной плазмы.

2.4 Получение линеаризованных уравнений Эйнштейна относительно точного стационарного решения с помощью пакета Maple.

3. Самосогласованная по электромагнитному полю модель неоднородной магнитоактивной плазмы в плоскосимметричных гравитационно-волновых полях

3.1 Граничные условия.

3.2 Исследование решения в слабой гравитационной волне

Математические модели описания движения плазмы и плазмоподоб-ных сред в поле гравитационного излучения имеют важное значение как для самой теории гравитации, так и для экспериментальной гравитации. Дело в том, что практически любая материальная среда, представляющая рабочее тело гравитационного детектора, является плазмоподобной средой с высокой проводимостью и связанной с ней подвижностью электронов. Как известно (см., например, [27],[61]), для достаточно высокой эффективности детектирования гравитационных волн (ГВ), плазмоподобная среда должна содержать релятивистскую или близкую к релятивистской компоненту. Таким образом, с точки зрения гравитационного эксперимента, наибольший интерес представляют релятивистские плазмоподобные среды. С другой стороны, как показано в ряде работ (см., например, [И]), для достижения максимальной эффективности детектирования релятивистская плазмоподобная среда должна обладать высокой степенью анизотропии в плоскости фронта регистрируемой гравитационной волны. Сильные магнитные поля являются практически единственным инструментом создания сильной анизотропии в релятивистской плазме. Но в этом случае магнитное поле начинает "вмораживаться"в плазму вследствие ее высокой проводимости, т.е., при воздействии на плазму оно движется с плазмой как единое целое, которое и называется магнитоактивной плазмой. Таким образом, очевидна необходимость построения математической модели движения релятивистской магнитоактивной плазмы в поле ГВ. Существенными особенностями такой модели являются ее самосогласованность и нелинейность. Первая особенность является органической чертой самой плазмы, а вторая особенностью гравитационного взаимодействия. Задачей данной работы является построение самосогласованной математической модели движения релятивистской магнитоактивной плазмы в поле плоской гравитационной волны (ПГВ). Таким образом, тема диссертационной работы является актуальной.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и четырех приложений.

Заключение

1. На основе уравнений Эйнштейна и Максвелла в предположении бесконечной проводимости плазмы построена полностью самосогласованная математическая модель движения релятивистской самогравитирующей магнитоактивной плазмы при наличии плоской симметрии системы. Показано, что при заданном уравнении состояния эта модель полностью описывается системой пяти нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно пяти функций двух переменных.

2. Найдено двухпараметрическое семейство точных решений этих уравнений, представляющее новый класс статических плоскосимметрических гравитационных полей нулевого типа по Петрову. Эти решения могут быть использованы в качестве математической модели основного состояния самогравитирующей магнитоактивной плазмы. С помощью пакета символьной математики получены разложения уравнений Эйнштейна-Максвелла относительно этого фонового решения.

3. На основе уравнений релятивистской магнитной гидродинамики магнитоактивной плазмы в гравитационном поле построена точная плоскосимметрическая математическая модель движения магнитоактивной плазмы на фоне заданной плоской гравитационной волны.

4. На основе данной модели построена точная математическая модель движения полуограниченной магнитоактивной плазмы на фоне заданной плоской гравитационной волны. Показано, что эта модель сводится к одному существенно нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных некоторой функции двух переменных, через которую выражаются все макроскопические параметры модели.

5. Проведено комплексное исследование этой модели комбинированием аналитических методов и численных методов пакета символьной математики и выявлены основные особенности движения магнитоактивной плазмы в поле заданной плоской гравитационной волны.

1. Balakin А.В. The effect of a gravitational wave at the contact of conductors /А.В.Balakin, Yu.G.1.nat'ev// Phys. Lett.,- 1983-V.96a - P.10-11.

2. Balakin A.B. Exact solutions of the equations of covariant hydrodynamics of superfluid in the field of gravitational radiation /А.В.Balakin, V.A.Popov// Reports on Mathematical Physics,-1997.- V.39 No.3 - P.375-386.

3. Balakin A.B. Self-interacting gas in a gravitational wave field /А.В.Balakin, W.Zimdahl// General Relativity and Gravitation,2003,- Vol.35.- No.4 P.667-683.

4. Balakin A.B. Parametric phenomena of the particle dynamics in a periodic gravitational wave field /А.В.Balakin, V.R.Kurbanova, W.Zimdahl// Journal of Mathematical Physics,- 2003 Vol.44.-No.ll- P.5120-5140.

5. Bondi H. Gravitational waves in general relativity. III. Extract plane waves/H.Bondi, F.Pirani, I.Robinson// Proc. Roy. Soc. A.,- 1959-V.251- P.519-533.

6. Chepkunova E.G. Exact plane-symmetric non-stationary solution to the Einstein-Maxwell equations for a magnetoactive plasma /E.G.Chepkunova, Yu.G.Ignatyev// Gravitation & Cosmology,2004. V. 10. - N 3 (39). - P.219-223.

7. Chepkunova E.G. Motion of semibounded magnetoactive plazma in the field of a plane gravitational wave /E.G.Chepkunova, Yu.G.Ignatyev// Gravitation & Cosmology, 2004. - V. 10. - N 4 (40). - P.319-322.

8. Chesters D. Dispersion of gravitational waves by a collisionless gas /D.Chesters// Phys.Rev.D, 1973. - V.7. - N 8.- P.2863-2872.

9. Gorokhov D.N. Gravimagnetic shock waves in an anisotropic plasma /D.N.Gorokhov, Yu.G.Ignat'ev// Gravitation к Cosmology,-1997-Vol.3 No.4- P.261-265.

10. Ignat'ev Yu.G. // Phys. Lett.,- 1977.1.l Ignat'ev Yu.G. // Gravitation к Cosmology,- 1995 Vol.1.- No.4-P.287-300.

11. Ignat'ev Yu.G. // Gravitation к Cosmology,-1995.- Vol.1.- No.4-P.300.

12. Ignat'ev Yu.G. // Gravitation к Cosmology,- 1996 Vol.2.- No 4.-P.174.

13. Ignat'ev Yu.G. // Gravitation к Cosmology- 1996.- Vol.2.- No 4-P.213.

14. Ignat'ev Yu.G. // Phys. Lett.,- 1997.- A.230 P.171-172.

15. Ignat'ev Yu.G. GMSW as a detector of a gravitational waves /Yu.G.Ignat'ev// Phys. Lett.,- 1997.- Vol.230.- P.172-178.

16. Ignat'ev Yu.G. Kinetic model of GMSW in an anisotropic plasma /Yu.G.Ignat'ev// Gravitation к Cosmology,- 1997 Vol.3.- No.4-P.254-256.

17. Ignat'ev Yu.G. Local GMSW response of a magnetoactive plasma to the gravitational wave /Yu.G.Ignat'ev, V.A.Markov// Gravitation к Cosmology,- 1998 - Vol.4.- No. l.-P. 40-48.

18. Ignat'ev Yu.G. The reflection of gravitational waves in a massive particle medium /Yu.G.Ignat'ev, A.V.Zakharov// Phys. Lett.,-1978.- A.66 P.3-4.

19. Pacini F. 11 Nature,- 1968.- V.219 N5150.- P.145.

20. Smith F.G. Pulsars /F.G.Smith.- Cambridge:Cambridge University Press, 1977.

21. Synge J.L. Relativity: The General Theory /J.L.Synge-Amsterdam:Nort-Holland Publishing Company, 1963.

22. Александров А.Ф. Основы электродинамики плазмы / А.Ф.Александров, Л.С.Богданкевич, А.А.Рухадзе. М.: Высшая школа, 1978. - 407 с.

23. Балакин А.Б. О воздействии сильной гравитационной волны на анизотропную плазму /А.Б.Балакин// Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1982.- т.25- N9.- С.48-52.

24. Балакин А.Б. Точное решение граничной задачи для бесстолк-новительного газа в поле нелинейной плоской гравитационной волны /А.Б.Балакин// Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1985-N12.- С.41-45.

25. Балакин А.Б. Нелинейные гравитационные волны в плазме /А.Б.Балакин, Ю.Г.Игнатьев// Известия ВУЗов. Сер.физика,-1981.-t.24.-N7- С.20-24.

26. Балакин А.Б. Действие плоских гравитационных волн на бесетолкновительные плазмоподобные среды /А.Б.Балакин, Ю.Г.Игнатьев// Проблемы теории гравитации и элементарных частиц,- М.: Энергоатомиздат, 1984.-вып.14 С.43-62.

27. Балакин А.Б. Действие гравитационных волн на бесстолкнови-тельные плазмоподобные среды /А.Б.Балакин, Ю.Г.Игнатьев// Проблемы теории гравитации и элементарных частиц,- М.: Энергоатомиздат, 1984.-вып.14.- С.103-124.

28. Барабаненков Ю.Н. О волновом выводе релятивистского кинетического уравнения для скалярных частиц в заданной метрике /Ю.Н.Барабаненков, В.Д.Озрин, О.А.Петрова// Проблемы теории гравитации и элементарных частиц,- М.:Атомиздат, 1977.-вын.7.- С.119-124.

29. Баранов В.Б. Гидродинамическая теория космической плазмы / В.Б.Баранов, К.В.Краснобаев М.:Наука, 1977. - 336 с.

30. Вебер Дж. Общая теория относительности и гравитационные волны. /Дж.Вебер. М.:Изд-во иностр.лит., 1962.- 271 с.

31. Власов А.А. Статистические функции распределения / А.А.Власов.- М.: Наука, 1966.

32. Гальцов Д.В. Гравитационное излучение при кулоновских столкновениях / Д.В.Гальцов, Ю.В.Грац // Известия ВУЗов, Сер. физика,- 1974 т.12.- С.94-99.

33. Гальцов Д.В. Гравитационное излучение электрона в поле электромагнитной волны, поляризованной поляризованной по кругу / Д.В.Гальцов, Ю.В.Грац // Журнал экспериментальной и теоретической физики,- 1975 т.68 - С.777-785.

34. Гальцов Д.В. Излучение гравитационных волн электродинамическими системами / Д.В.Гальцов, Ю.В.Грац, В.И.Петухов.-М.:МГУ, 1984,- 128 с.

35. Гальцов Д.В., Мелкумова Е.Ю. Кинетическая теория взаимодействия гравитационных волн с плазмой / Д.В.Гальцов,

36. Е.Ю.Мелкумова// Гравитация и теория относительности ,-1982.—N19.— C.G4-72.

37. Гинзбург B.J1. Распространение электромагнитных волн в плазме / В.Л.Гинзбург.- М.:Наука, 1965 476 с.

38. Де Грот С. Релятивистская кинетическая теория / С.Де Грот, В.Ван Леувен, Х.Ван Верт.-М.: Мир, 1983.-424 с.

39. Зельдович Я.Б. Электромагнитные и гравитационные волны в постоянном магнитном поле / Я.Б.Зельдович // Журнал экспериментальной и теоретической физики,- 1973.-t.65 С.1311-1315.

40. Захаров А.В. Ковариантная теория коротких волн в газе, находящемся в гравитационном поле / А.В.Захаров // Укр.физ.журн.,-1977.- т.22 N5.- С.812-821.

41. Захаров А.В.Гравитационные волны в релятивистском газе / А.В.Захаров // Гравитация и теория относительности/ Под ред. Кайгородова В.Р.- Казань:изд-во КГУ,-1979.- вып. 16- С.37-53.

42. Захаров А.В. К методу кинетического уравнения в общей теории относительности / А.В.Захаров, Ю.Г.Игнатьев // Гравитация и теория относительности/ Под ред. Кайгородова В.Р.-Казань:изд-во КГУ,- 1976 вып. 19 - С.49-56.

43. Захаров А.В. О распространении излучения в плазме, находящейся в гравитационном поле. I / А.В.Захаров, Ю.Г.Игнатьев // Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1976.-t.19.-N9 С.57-62.

44. Захаров А.В. О распространении излучения в плазме, находящейся в гравитационном поле. II. Электромагнитные волны в приближении геометрической оптики / А.В.Захаров, Ю.Г.Игнатьев // Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1976.-t.19-N9.- С.62-69.

45. Иванов Г.Г. Уравнение Улинга-Уленбека и квантовая статистика идеальных газов в ОТО / Г.Г.Иванов // Гравитация и теория относительности/ Под ред. Кайгородова В.Р.- Казань:изд-во КГУ,- 1978.- вып. 14.- С.80-89.

46. Иванов Г.Г. Бесстолкновительная анизотропия космологической модели с осевой симметрией / Г.Г.Иванов // Гравитация и теория относительности/ Под ред. Кайгородова В.Р.- Казань:изд-во КГУ,- 1980.- вып.16.— С.59-64.

47. Иванов Г.Г. Стационарные макроскопические движения релятивистского газа и их связь с симметриями гравитационных полей / Г.Г.Иванов // Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1979.-t.22.-N6-С.15-20.

48. Иванов Г.Г. О самогравитирующем скалярном поле с кубической нелинейностью / Г.Г.Иванов // Известия ВУЗов. Сер. физика,-1980.-т.23.-N12 С.18-22.

49. Иванов Г.Г. Макроскопические движения идеального газа и симметрия пространства-времени / Г.Г.Иванов, Р.А.Даишев // Гравитация и теория относительности/ Под ред. Кайгородова В.Р.-Казань:изд-во КГУ,- 1978.- вып.14 С.74-79.

50. Игнатьев Ю.Г. Генерация гравитационных волн в релятивистском газе / Ю.Г.Игнатьев // Известия ВУЗов. Сер. физика,-1974. т. 17 - N12.- С.136-142.

51. Игнатьев Ю.Г. Равновесные состояния релятивистского заряженного газа в рамках общей теории относительности / Ю.Г.Игнатьев // Укр. физ.журн.,- 1976.-t.21.- С. 1970-1977.

52. Игнатьев Ю.Г. Дисперсия гравитационных волн в релятивистском газе / Ю.Г.Игнатьев // Гравитация и теория относительности/Под ред. Кайгородова В.Р.- Казань:изд-во КГУ,- 1976-вып.12 С.73-94.

53. Игнатьев Ю.Г. О статистической динамике ансамбля частиц в ОТО / Ю.Г.Игнатьев // Гравитация и теория относительности/ Под ред. Кайгородова В.Р.- Казань:изд-во КГУ,- 1978-вып.14 С.90-107.

54. Игнатьев Ю.Г. Равновесные макроскопические движения релятивистского гравитирующего газа заряженных частиц / Ю.Г.Игнатьев // Гравитация и теория относительности/ Под ред. Кайгородова В.Р.- Казань:изд-во КГУ,- 1980.- вып. 17-С.56-70.

55. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика и космология. I / Ю.Г.Игнатьев // Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1980.-t.23-N8.- С.42-47.

56. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика и космология. II / Ю.Г.Игнатьев // Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1980.-t.23-N9.- С.27-32.

57. Игнатьев Ю.Г. Релятивистские кинетические уравнения и космология / Ю.Г.Игнатьев // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц, М.:Атомиздат, 1980 - вып.П.- С.113-125.

58. Игнатьев Ю.Г. Бесстолкновительный газ в поле плоской гравитационной волны / Ю.Г.Игнатьев // Журнал экспериментальной и теоретической физики,- 1981.-t.81.- С.3-12.

59. Игнатьев Ю.Г. Космология, кинетика и масса покоя нейтрино / Ю.Г.Игнатьев // Гравитация и теория относительности/ Под ред. Кайгородова В.Р.- Казань:изд-во КГУ,- 1981- вып.18-С.73-75.

60. Игнатьев Ю.Г. Уравнения магнитной гидродинамики в гравитационном поле и возбуждение магнитогидродинамических ударных волн гравитационной волной / Ю.Г.Игнатьев // Журнал экспериментальной и теоретической физики,- 1981.-t.81- С.12-20.

61. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетическая теория и конформные преобразования / Ю.Г.Игнатьев // Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1982. т.25 - N4 - С.92-96.

62. Игнатьев Ю.Г. Движение идеальной жидкости в поле плоской гравитационной волны / Ю.Г.Игнатьев // Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1982.-t.25.-N11- С.96-99.

63. Игнатьев Ю.Г. Идеальная жидкость с предельно жестким уравнением состояния в поле плоской гравитационной волны / Ю.Г.Игнатьев // Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1982.-t.25-N11.- С.99-102.

64. Игнатьев Ю.Г. Релятивистский канонический формализм и инвариантная одночастичная функция распределения в ОТО / Ю.Г.Игнатьев // Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1983 т.26-N8.- С.15-19.

65. Игнатьев Ю.Г. Релятивистские кинетические уравнения для неупруго взаимодействующих частиц в гравитационном поле / Ю.Г.Игнатьев // Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1983. т.26-N8.- С.19-23.

66. Игнатьев Ю.Г. Идеальная жидкость с коротким скалярным взаимодействием в поле плоской гравитационной волны / Ю.Г.Игнатьев // Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1983.-t.26-N12.- С.7-9.

67. Игнатьев Ю.Г. Законы сохранения и термодинамическое равновесие в общерелятивистской кинетической теории неупруго взаимодействующих частиц / Ю.Г.Игнатьев // Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1983.-t.26.-N12.- С.9-14.

68. Игнатьев Ю.Г. Действие плоских гравитационных волн на плаз-моподобные среды и жидкости / Ю.Г.Игнатьев // Космические исследования на Украине. Тез.докл.Всесоюзн.совещ., Киев, 1983. С.65-66.

69. Игнатьев Ю.Г. Кинетическое уравнение и массовая поверхность / Ю.Г.Игнатьев // Гравитация и теория относительности/ Под ред. Кайгородова В.Р.- Казань:изд-во КГУ,- 1983.- вып. 19-С.79-88.

70. Игнатьев Ю.Г. Статистическая динамика ансамбля классических частиц в гравитационном поле / Ю.Г.Игнатьев // Гравитация и теория относительности/ Под ред. Кайгородова В.Р.-Казань:изд-во КГУ,- 1983 вып.20 - С.50-109.

71. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика анизотропной плазмо-подобной среды с затуханием в поле гравитационного излучения / Ю.Г.Игнатьев // Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1984.-t.27-N12.- С.70-74.

72. Игнатьев Ю.Г. Магнитоактивная бесстолкновительная плазма в поле длинноволнового гравитационного излучения / Ю.Г.Игнатьев // Укр.физ.журн.,- 1984.-t.29.-N6.- С.1025-1029.

73. Игнатьев Ю.Г. Резонансная генерация плазменных колебаний плоской гравитационной волной / Ю.Г.Игнатьев // Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1985.-t.28.-N1- С.74-77.

74. Игнатьев Ю.Г. Кинетические процессы в релятивистских полях тяготения: автореф. дис. докт. ф.-мат. наук:01.01.03 / Ю.Г.Игнатьев. Минск, 1988.

75. Игнатьев Ю.Г. Теоретические и экспериментальные проблемы гравитации / Ю.Г.Игнатьев: тез. докл. Восьмая российская гравитационная конференция М., 1993.- С.47.

76. Игнатьев Ю.Г. Термодинамическое равновесие самогравитиру-ющей плазмы со скалярным взаимодействием / Ю.Г.Игнатьев, Р.Р.Кузеев // Укр.физ.журн.,- 1984.-t.29.-N7 С.1021-1025.

77. Игнатьев Ю.Г. Колебания анизотропной ограниченной плазмы в поле слабой гравитационной волны / Ю.Г.Игнатьев, А.В.Смирнов // Укр. физ. журн.,- 1987 т.32 - N6.- С.855-861.

78. Игнатьев Ю.Г. Столкновительное затухание гравитационных волн в ультрарелятивистской плазме / Ю.Г.Игнатьев, А.З.Фазлеева // Укр.физ.журн.,- 1981.-t.26.-N1.- С.28-38.

79. Игнатьев Ю.Г. Действие плоских гравитационных волн на однородную магнитоактивную плазму / Ю.Г.Игнатьев, Н.Р.Хуснутдинов // Укр.физ.журн.,- 1986.-t.31.-N5- С.707-715.

80. Игнатьев Ю.Г. Гравимагнитные ударные волны в неоднородной магнитоактивной плазме / Ю.Г.Игнатьев, Е.Г.Чепкунова //

81. Тез. докл. Международной конференции "Геометризация физики Казань,- 2001, С.20.

82. Игнатьев Ю.Г. Точное плоскосимметричное нестационарное решение самосогласованных уравнений Эйнштейна Максвелла для магнитоактивной плазмы / Ю.Г.Игнатьев, Е.Г.Чепкунова // Вестник КГПУ, - 2004.- С.40-50.

83. Игнатьев Ю.Г. Столкновительная релаксация плазмы в поле плоской гравитационной волны / Ю.Г.Игнатьев, В.Ю.Шуликовский // Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1982-t.25.-N10 С.85-89.

84. Игнатьев Ю.Г. Затухание гравитационных волн в ранней Вселенной / Ю.Г.Игнатьев, В.Ю.Шуликовский.-Казань, 1984.-11 с.

85. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика / Ю.Л.Климонтович. М.:Наука, 1982.

86. Климонтович Ю.Л. Релятивистское кинетическое уравнение для плазмы.1 / Ю.Л.Климонтович // Журнал экспериментальной и теоретической физики,- 1959 т.37 - С.735-746.

87. Климонтович Ю.Л. Релятивистское кинетическое уравнение для плазмы.II / Ю.Л.Климонтович // Журнал экспериментальной и теоретической физики,- I960 т.38 - С.1212-1221.

88. Кога Т. Введение в кинетическую теорию стохастических процессов в газах / Т.Кога.- М.: Наука, 1983.

89. Ландау Л.Д. Теория поля / Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц.- М.: Наука, 1975 504 с.

90. Ландау Л.Д. Статистическая физика / Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц М.: Наука, 1964 - 583 с.

91. Мизнер Ч. Гравитация.т.Н:Пер.с англ. / Ч.Мизнер, К.Торн, Дж.Уилер.-М.: Мир, 1977 526 с.

92. Мухамедов A.M. О свойствах симметрии заряженной жидкости в ОТО / A.M.Мухамедов // Известия ВУЗов. Сер. физика,-1978.-t.21 .-N11.- С.113-117.

93. Норден А.П. Дифференциальная геометрия / А.П.Норден.-М.: Просвещение, 1948.

94. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности / А.З.Петров.- М.:Наука, 1996.

95. Полнарев А.Г. Взаимодействие слабых гравитационных волн с газом / А.Г.Полнарев // Журн. экспер. и теор. физики,- 1972-т.62 N6.- С.1598-1606.

96. Полнарев А.Г. О возможности бесстолкновителыюго затухания гравитационных волн / А.Г.Полнарев // Релятивистская астрофизика, космология, гравитационный эксперимент:Тез.докл. IV Сов. конф. по гравитации, Минск, 1-3 июля 1976 г.- 1976 С.74-76.

97. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П.К.Рашевский М.:Наука,-1964.

98. Сибгатуллин Н.Р. Колебания и волны в сильных гравитационных и электромагнитных полях / Н.Р.Сибгатуллин М.:Наука, 1984.- 352 с.

99. Силин В.П. Введение в классическую теорию газов / В.П.Силин.- М.:Наука, 1971.- 331 с.

100. Силин В.П. Параметрическое воздействие излучения большой мощности на плазму / В.П.Силин.- М.:Наука, 1973.- 288 с.

101. Точные решения уравнений Эйнштейна / Под. ред. Шмутнера Э.,- М.:Энергоиздат, 1982 416 с.

102. Хуснутдинов Н.Р. Интеграл столкновений в поле сильной гравитационной волны / Н.Р.Хуснутдинов // Проблемы теории гравитации, релятивистской кинетики и эволюции Вселенной: Межвузовский сборник научных трудов,- Казань-1988 С. 199-203.

103. Черников Н.А. Релятивистское кинетическое уравнение и равновесное состояние газа в статическом сферически-симметричном гравитационном поле / Н.А.Черников // Докл. Акад.Наук СССР,- I960.- вып.133.- С.333-336.

104. Черников Н.А. Кинетическое уравнение для релятивистского газа в произвольном гравитационном поле / Н.А.Черников // Докл. Акад.Наук СССР,- 1962.- вып. 144.- С.89-92.

105. Черников Н.А. Вектор потока и тензор массы релятивистского идеального газа / Н.А.Черников // Докл. Акад.Наук СССР,-1962,- вып. 144.- С.314-317.

106. Черников Н.А. Релятивистское распределение Максвелла-Больцмана и интегральная форма законов сохранения / Н.А.Черников // Докл. Акад.Наук СССР,- 1962 вып.144-С.544-547.

107. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э.Эльсгольц М.:Наука, 1965.