автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическая модель космологической эволюции сверхтепловых ультрарелятивистских частиц при наличии скейлинга в приближении фоккера-планка

< ■> 3

На правах рукописи

Зиатдинов Рушан Анурович

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ ЭВОЛЮЦИИ СВЕРХТЕПЛОВЫХ УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ ПРИ НАЛИЧИИ СКЕЙЛИНГА В ПРИБЛИЖЕНИИ ФОККЕРА-ПЛАНКА

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 2008

003169908

Работа выполнена на кафедре геометрии математического факультета в ГОУ ВПО "Татарский государственный гуманитарно - педагогический университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Игнатьев Юрий Геннадиевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Гальцов Дмитрий Владимирович

Ведущая организация: ГОУ ВПО Казанский государственный

университет

Защита состоится "18" июня 2008 г в "10" часов на заседании диссертационного совета Д 212 278 02 при Ульяновском государственном университете по адресу Набережная реки Свияга, 106, кор 1,ауд 703.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета, с авторефератом - на сайте http //www um ulsu ru

Просьба прислать отзыв на автореферат в одном экземпляре, заверенном печатью организации по адресу 432000, г Ульяновск, ул Л Толстого, д 42, УлГУ, Управление научных исследований

Автореферат разослан " $" 2008 г

доктор физико-математических наук, профессор

Журавлев Виктор Михайлович

Ученый секретарь диссертационного совета

Волков М А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В 80-е годы в связи с развитием релятивистской кинетической модели вселенной Ю Г Игнатьевым на основе принципа конформной инвариантности теории поля была доказана асимптотическая конформная инвариантность кинетической теории в ультрарелятивистском пределе1 и выполнен ряд работ по исследованию кинетики процесса установления термодинамического равновесия в космологической плазме На основе этих исследований, в частности, в дальнейшем была развита кинетическая теория бариогенезиса в космологической плазме2 В работе3 на основе результатов аксиоматической теории 5 - матрицы относительно поведения сечений взаимодействий частиц при сверхвысоких энергиях был проведен детальный анализ процесса установления ЛТР в космологической плазме Было показано, что при восстановлении конформной инвариантности взаимодействий элементарных частиц в области сверхвысоких энергий, т е , при восстановлении скейлинга взаимодействий, ЛТР должно нарушаться на ранних стадиях космологического расширения и, наоборот, восстанавливаться на поздних В предположении изначального нарушения ЛТР на основе релятивистской кинетической теории были предложены модели космологической эволюции сверхтепловых частиц и высказана гипотеза о возможной связи сверхтепловой компоненты плазмы с космическими лучами4 Однако, в 80-е годы идея неравновесного космологического сценария оказалась невостребованной С одной стороны, это было вызвано триумфальным, как тогда казалось, шествием теорий так называемого великого объединения фундаментальных взаимодействий и появлением множества сопутствующим им космологических сценариев. С другой стороны, сама неравновесная модель вселенной не была достаточно разработана, как ее математические аспекты (в частности, не были четко сформулированы начальные и граничные условия), так и методы ее исследования, что было связано, в первую очередь, с отсутствием в те годы соответствующей и доступной вычислительной техники и программного обеспечения, которые были необходимы для проведения численного моделирования В настоящее время в связи с рядом проблем стандартных космологических сценариев, возникших вследствие новых

1IO Г Игнатьев Известия ВУЗов, Физика, № 4, 1982, с 92-96 2

Ю Г Игнатьев Астрономический журнал, 62, № 4, 1985, с 633-638, Yu G Ignatyev, К Alsmadi. Gravitation & Cosmology, 11 (2005), No 3, pp 252-258,11 (2005), No 4, pp 363-368,, 13 (2007), No 2, pp 114-118

3 Ю Г Игнатьев Известия ВУЗов, Физика, 29, 1986, № 2,- с 27-32

4 Ю Г Игнатьев "Проблемы теории гравитации, релятивистской кинетики и эволюции Вселенной", Издательство КГПИ, Казань, 1988, с 62-84

3

\ »

экспериментальных и наблюдательных данных, и ревизией космологических моделей исследование неравновесных моделей вселенной представляет значительный интерес для космологии С другой стороны в настоящее время имеются все возможности построения численных компьютерных моделей в широком диапазоне значений их параметров

Объектом исследования в работе является космологическая плазма с изначально нарушенным термодинамическим равновесием

Математическое моделирование процесса космологической эволюции сверхтепловых высокоэнергетических частиц при наличии скейлинга в ранней вселенной является предметом исследования.

Цели и задачи исследования. Цель диссертационной работы состоит в построении математической модели процесса эволюции сверхтепловых высокоэнергетических частиц при наличии скейлинга в ранней вселенной на основе приближения типа Фоккера-Планка общерелятивистских кинетических уравнений, построении компьютерной модели процесса эволюции сверхтепловых высокоэнергетических частиц при наличии скейлинга в ранней вселенной и комплексном исследовании построенной математической модели аналитическими, численными, асимптотическими методами а также средствами компьютерного моделирования

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы вычислительной математики, математической физики, теории специальных функций, тензорного анализа, математического анализа, а также асимптотические методы Для программной реализации алгоритмов использован аппарат численного математического моделирования и пакеты прикладных программ компьютерной математики

Научная новизна.

На основе релятивистских интегро - дифференциальных кинетических уравнений типа Фоккера-Планка сформулирована математическая модель космологической эволюции сверхтепловых частиц в ранней вселенной, сформулированы основные уравнения, начальные и граничные условия и другие соотношения математической модели Исследовано диффузионное приближение модели, в котором интегро - дифференциальное уравнение типа Фоккера-Планка заменено дифференциальным уравнением типа трехмерного уравнения теплопроводности для изотропного распределения Найдено в квадратурах и численно исследовано решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным и краевым условиям модели

Построено формальное решение полученного интегро дифференциального уравнения типа Фоккера-Планка в виде реккурентных соотношений на коэффициенты разложения функции распределения сверхтепловых частиц в ряд Тейлора по временной координате Доказано,

что все члены разложения независимо от порядка разложения удовлетворяют интегральным законам сохранения числа частиц и энергии Полученное решение, описывающее эволюцию сверхтепловых частиц на ранних стадиях космологического расширения, исследовано комплексным применением численных методов и систем компьютерной математики С помощью метода Лапласа получено асимптотическое решение в квадратурах интегро -дифференциального кинетического уравнения типа Фоккера-Планка Полученное решение, описывающее эволюцию сверхтепловых частиц при больших временах космологического расширения, исследовано комплексным применением численных методов и систем компьютерной математики.

Исследованы основные закономерности эволюции распределения сверхтепловых частиц в построенной модели В частности, доказано появление двух максимумов в распределении сверхтепловых частиц, один из которых трансформируется в равновесную компоненту плазмы, а второй - в спектр реликтовых частиц сверхвысоких энергий

Научная и практическая значимость. Работа носит теоретический характер Полученные в диссертации результаты могут найти применение в исследованиях по теории гравитации, релятивистской космологии и астрофизике, физике высоких энергий, а также в теории фундаментальных взаимодействий элементарных частиц Разработанные программные процедуры численного моделирования могут быть использованы для исследования различных математических моделей физических процессов в ранней Вселенной

Основные положения, выносимые на защиту:

• Математическая модель эволюции сверхтепловых высокоэнергетических частиц при наличии скейлинга в ранней вселенной на основе общерелятивистской кинетической теории

• Доказательство интегральных законов сохранения числа частиц и их энергии в сформулированной математической модели

• Алгоритмы вычисления функции распределения на ранних стадиях расширения вселенной, как в приближении малых времен эволюции, так и в асимптотическом приближении рассматриваемой модели.

• Созданные программными средствами вычислительные процедуры численного исследования сформулированной модели

• Основные закономерности эволюции сверхтепловой ультрарелятивистской компоненты космологической плазмы, в частности, формирование двух максимумов в спектре энергии

Степень обоснования результатов диссертации обусловлена корректностью построения математических моделей физических систем,

корректностью проведенных математических преобразований и расчетов, корректным воспроизведением некоторых известных ранее частных результатов из более общих результатов, полученных в диссертационной работе

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Международной конференции по гравитации, космологии, астрофизике и нестационарной газодинамике, (РУДН-МГТУ, Москва, 2006 г), Третьей всероссийской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", (СамГТУ, Самара, 2006 г), Молодежных школах-конференциях "Лобачевские чтения" (Казань, 2006, 2007 гг ), Международной конференции "Системы компьютерной математики и их приложения", СКМП-2007, (СмолГУ, Смоленск, 2007 г), Российском семинаре "Методы информационных технологий, математического моделирования и компьютерной математики в фундаментальных и прикладных научных исследованиях" (ТГШУ, Казань, 2007 г), Российской школе-семинаре "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии" (ТГГПУ, Казань, 2007 г), на научных семинарах лаборатории математического моделирования и систем компьютерной математики ТГГПУ, на научных семинарах кафедры геометрии Татарского государственного гуманитарно -педагогического университета

Личный вклад автора. Все основные результаты диссертации получены лично автором В работах, выполненных совместно с научным руководителем, профессору Ю Г Игнатьеву принадлежат постановка задачи и обсуждение результатов Использованные материалы других авторов помечены ссылками

Публикации. По теме диссертации опубликованы 8 работ в отечественных и международных изданиях, в том числе 1 в рецензируемых научных журналах рекомендованных ВАК

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из Введения, четырех Глав, Приложения, Заключения, Списка литературы, содержащего 111 наименований Объем диссертации составляет 105 страниц В диссертации содержатся 33 рисунка

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении дается общая характеристика современного состояния проблемы построения модели космологической эволюции сверхтепловых частиц при наличии скейлинга в ранней вселенной и определены цели диссертации

Первая глава носит обзорный характер, - в ней кратко описаны формализм и основные результаты общерелятивистской кинетической теории космологического расширения плазмы, на основе которой в диссертации строится математическая модель космологической эволюции сверхтепловых частиц при наличии скейлинга в ранней вселенной Для установления локального термодинамического равновесия в космологической плазме необходимо, чтобы эффективное время взаимодействий было гораздо меньше временного масштаба эволюции

статистической системы, каковым в расширяющейся вселенной является ее возраст t

V = ' <!>

При релятивистских скоростях взаимодействующих частиц

reff = {n(t)aeJfy\ (2)

где <Jejf - эффективное сечение взаимодействия, n(t) - плотность

рассеивающих частиц, a{t) - масштабный фактор В предположении объединения всех взаимодействий на планковских масштабах5, т е при S : 1, все взаимодействия должны описываться единым сечением рассеяния, образованным из трех фундаментальных констант G, h и с6, - так называемым универсальным асимптотическим сечением рассеяния

2тг

(3)

Глава 2 посвящена построению модели космологической эволюции сверхтепловых частиц при наличии скейлинга в ранней вселенной в приближении Фоккера-Планка

В разделе 2.1 в качестве примера получения уравнения типа Фоккера-Планка рассмотрен вывод уравнения Ландау в случае кулоновского взаимодействия В разделе 2.2 релятивистские кинетические уравнения относительно

макроскопической функции распределения fa(x',pk) частиц сорта а 1

P'Wa(x>P)=YtJM„,(x>P) <4>

b,c,d

в случае однородного изотропного распределения /(?], р) в метрике Фридмана

- энергия сталкивающихся частиц в системе центра масс

6 Здесь и далее, если не оговорено особо, принята универсальная система единиц С=11=с=к=1 (к — постоянная Больцмана)

7 Игнатьев Ю Г Известия ВУЗов, Физика, 26, № 8, 1983, с 19-23

ds2 = а2(т])(с1т}г - dl1) = dt1 - e2(f)d/' записываются в виде

^ _ 1 dt

YlJabBcd(t>P)

(6)

Я Ф -^пг] + р1 ъ7,<1

В разделе 2.3 интеграл упругих парных столкновений для четырехчастичных

реакций для изотропных распределений /а(Р>х) ПРИ условии

восстановления скейлинга и малости передаваемого при взаимодействиях импульса приводится к виду Фоккера-Планка8

. \

2S + 1 8

4(2 тсурдр

о V Ф дс1

dq

(7)

В разделе 2.4 при подстановке полученного интеграла столкновений в форме Фоккера-Планка (7) в уравнение (6) получено интегро-дифференциальное уравнения Фоккера-Планка относительно функции f(j}, Р) 9

8/ An, 8 Jdf

дт] Р2 дР

где учтены соотношения

4я(25 + 1)

и(0 = -

(2яг)3

8Р

со

¡q2f(q)dg,

■ плотность числа частиц,

4я-(2^ + 1)

(2*)3 о

- след тензора энергии-импульса частиц,

4^(25 + 1)"

J'qf(q)dq,

(2я)3

£.(л) =

¡f(rj,P)P2dP (= Const = п0),

ATI(2S + \)

¡f(j],P)P3dP,

(^У о

- конформные плотности числа частиц и плотность энергии,

<Р>=

п,(лУ

(8) (9) (10)

(П) (12)

(13)

8 см сноску 4 на стр 3

9 см сноску 4 на стр 3

- средний конформный импульс (конформная энергия) и

ьПРЛР, (14)

(2л-) £

- безразмерная функция, пропорциональная следу тензора энергии-импульса частиц

Поскольку функция Р(т]) выражается в свою очередь через интеграл от функции распределения, уравнение (8) является интегро-дифференциальным, точное равновесное решение которого, как и любого кинетического уравнения, имеет вид

_ъ§м

/0=С(фе Р , (15)

где С(т]) - произвольная функция Это означает, что с течение времени Т] —> оо решение уравнения (8) стремится к равновесному распределению (15) с температурой

7?), (16)

а{7])

где Т, - конформная температура

В разделе 2.5 осуществлен переход к безразмерным импульсной и временной переменным х, т

Р ЪАп

х = —, т =-т. (17)

р0 8л-Р03'

где Р0- среднее значение энергии сверхтепловых частиц на планковский момент времени в планковских единицах, а также к нормированной функции распределения 0(Г],х)

НпхЛ- ЪП С{Л'Х) ГШ

удовлетворяющей единичным интегральным условиям нормировки

со со

$с(71,х)х2с1х = \-, |С(1],х)хъс1х = 1. (19)

о о

Вследствие (17), (18) уравнение Фоккера-Планка (8) сведено к более компактному виду относительно функции 0(т,х)

80 _ I д 2Гдв л

дт х2 дх I дх

хг\ — + 2Ь(т)в

(20)

Начальные и граничными условия для уравнения (20) имеют вид G( 0, х) = G(x); lim G(t, х)х3 = О,

где О(х) -произвольное начальное распределение, удовлетворяющее условиям (19) При отбрасывании второго члена в правой части уравнения (20), последнее сводится к уравнению теплопроводности в сферической системе координат, стандартное решение которого, удовлетворяющее начальным и граничным условиям, имеет вид

G(T,X) =

1

2хл/ят о

\G{y)

(х-У)2 4г

-е

(Х + У)2 4 т

ydy (22)

Далее в качестве модельного используется квазиступенчатое первоначальное распределение частиц по импульсам, моделирующее так называемый "белый шум"

G(0,X):

G0k3

-%(х0-х),

(23)

(к2+х2)3'2

где %(х) - функция Хевисайда, а постоянные к и О0 определяются из соотношений нормировки (19)

В разделе 2.6 получено решение уравнения (20) в квадратурах относительно первоначального распределения (23)

0(„,г,0 ' ¿Щ^-ъЩ*?

2Мл/ЯТ [VI + С2 НС + л/1 + С ) - С]

к2 (г-и)2 _к2(г + и)2 ][е 4г -е 47

с

о

zdz,

'(1 + z2)3/2'

(24)

на основе которого проведены численное моделирование эволюции распределения частиц и найдены асимптотические оценки поведения функции распределения частиц при малых и больших значениях передаваемого импульса

Исследования показали, что полученное решение (24) кинетического уравнения (20) становится справедливым лишь на больших временах эволюции, что не позволяет связать параметры этого решения с параметрами начального распределения

Глава 3 посвящена построению и исследованию математической модели космологической эволюции сверхтепловых частиц на ранних стадиях

расширения вселенной Как известно, точным решением кинетического уравнения в диффузионном приближении (20), удовлетворяющим соотношениям нормировки (19), является равновесное ультрарелятивистское больцмановское распределение (15) с конформной температурой Г = 1/3 и

С(л) = 27/2

В разделе 3.1 рассмотрено начальное неравновесное распределение, аналогичное распределению Ферми-Дирака, заданное в виде аналитической функции

А_

е(х~у +1

Три параметра А,%,у распределения (25) связаны двумя интегральными уравнениями (19), поэтому один из параметров, например у, остается свободным, что позволяет управлять степенью неравновесности распределения (25) Для нахождения зависимостей Л(у) ,£(у) созданы программные процедуры в системе компьютерной математики В разделе 3.2 осуществлена проверка сформулированной модели на выполнение интегральных законов сохранения плотности числа частиц и энергии Доказана следующая теорема

Теорема. Следствием интегро-дифференциалъного уравнения типа Фоккера-Планка (20) являются законы сохранения плотности числа частиц и энергии

При этом показано, что выполнение закона сохранения энергии обеспечивается именно наличием члена с функцией Ь(т) в правой части уравнения (20), ответственного за учет процессов перекачки энергии при малых временах эволюции

В разделе 3.3 правая часть уравнения (20) разложена в ряд по малости безразмерной переменной X, - при таком подходе нулевому приближению соответствует распределение (25), и выполнено элементарное интегрирование по времени, в результате чего получена первая поправка Затем эта процедура была последовательно повторена, в результате чего получена рекуррентная формула для нахождения коэффициента любого члена разложения-

(26)

где Ок — -предыдущее приближение функции распределения

Показано, что приближение малого времени Т полностью эквивалентно разложению точной функции С(т, х) в ряд Тейлора по степеням Т Далее доказана теорема

Теорема. На каждом шаге итераций поправки к начальному нормированному распределению (25) не изменяют плотности числа частиц и энергии

Из рекуррентной формулы (26) получены в явном виде выражения для первого и второго приближений В полученных решениях с течением времени появляются области, в которых функция распределения становится отрицательной Поскольку функция распределения частиц по определению неотрицательна, появление областей с отрицательными значениями является лишь следствием нарушения условий малости поправок в области определенных значений энергии Тем не менее, рассмотренные приближения достаточно полно описывают глобальные свойства распределения сверхтепловых частиц Путем численных экспериментов во всех случаях установлен факт появления двух максимумов в распределении энергии сверхтепловых частиц С точки зрения предложенной ранее модели происхождения частиц сверхвысоких энергий10 первый из этих максимумов в дальнейшем эволюционирует в равновесное распределение, что подтверждают наши расчеты, а второй дает высокоэнергетический хвост сверхтепловых реликтовых частиц

Рис.1. Эволюция распределения Рис.2. Эволюция распределения

плотности энергии частиц, плотности энергии частиц,

с1е{т, х, у) = х3С(т, х, у), во втором йе{х, х, у) = х*С(т, х, у), во втором

приближении при у=1 Сплошные приближении при у=3 Сплошные

линии справа налево т=0, 0 01, 0 05, линии справа налево т=0, 0 01,

0 1, 0,2, точечная линия х =0,25 0 05, 0 1, точечная линия т =0,15

10 см сноску 4 на стр 3

Глава 4 посвящена построению асимптотического приближения математической модели космологической эволюции сверхтепловых частиц в ранней вселенной

В разделе 4.1 в качестве начального распределения рассматривается ступенчатое распределение, удовлетворяющее соотношениям нормировки (19), которое расширяет поле аналитического исследования и позволяет отодвинуть численный анализ на более поздние этапы вычислений

&о(х) = ах(х0-х), (27)

где

3' ° 64

- параметры начального распределения (27)

В разделе 4.2 в предположении малости Ь(т), решение уравнения (20)

разложено в ряд й = й0 + б, + , в нулевом приближении которого получено

решение уравнения теплопроводности в сферической системе координат в случае сферической симметрии (Ф(г) - интеграл вероятности)

а

Са(г,х)=:

ф

-ф

24т ) V

аУг 4ях

4г

4 т

(29)

х

Рис.3. Трехмерный график функции (29)

Для линейной по 6(г) поправки получено неоднородное уравнение теплопроводности

8в1 дт

1 д

х дх \ дх

дв1

где

Яг,х) = -

2 Ш д

Ь0(т) = а

Ф

-Гт

дх

( 2 л *0 ^

х2С0(т,х), + ехр

( „2 л

ч 4гу

(31)

(32)

Использовано стандартное решение задачи для неоднородного уравнения теплопроводности, а также применены асимптотические оценки для внутренних интегралов, в результате чего получена асимптотическая оценка для линейной поправки

| т

С,(г,х)«- Г— с0(*,х)йь(0 (33)

хо 1

На Рис 4, 5 показаны распределения плотности числа частиц и плотности их энергии в первом асимптотическом приближении

Рис.4. Временная эволюция Рис.5. Временная эволюция

плотности числа частиц х20(т,х) в плотности энергии частиц х3С(т, х)

первом приближении, сверху вниз в первом приближении, сверху вниз

г = 0,1, = т-3, г = 10 г = 0,1; г = 1, г = 3, г = 10

В распределении энергии сверхтепловых частиц, так же как и в Главе 3, показан факт появлении двух максимумов Таким образом, справедливо следующее утверждение

Утверждение В процессе эволюции сверхтеплового компонента ультрарелятивистской плазмы в ее функции распределения по энергиям частиц формируются два максимума, один из которых с течением эволюции трансформируется в равновесную компоненту, а второй смещается в область более высоких конформных энергий Этот процесс мало чувствителен к деталям начального неравновесного распределения, а определяется лишь степенью его неравновесности

В Приложении описаны программные процедуры для построения и исследования математической модели космологической эволюции сверхтепловых частиц в ранней вселенной, созданные средствами компьютерной математики

В Заключении кратко перечислены основные новые результаты диссертационной работы

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1 На основе интегро-дифференциального релятивистского уравнения типа Фоккера-Планка и в предположении восстановления скейлинга в области сверхвысоких энергий частиц сформулирована математическая модель эволюции сверхтепловой ультрарелятивистской компоненты космологической плазмы Сформулированы начальные и граничные условия модели, соответствующие космологической постановке задачи Осуществлена проверка сформулированной модели на выполнение интегральных законов сохранения плотности числа частиц и энергии

2. Исследован упрощенный вариант модели, сводящийся к трехмерному уравнению теплопроводности для сферически-симметричного распределения по импульсам Найдено и исследовано решение упрощенной задачи в квадратурах

3 Найдено в квадратурах формальное решение полного интегро-дифференциального уравнения модели в виде разложения функции распределения в ряд Тейлора по малому времени космологической эволюции При этом получены рекуррентные соотношения между коэффициентами разложения и доказано выполнение интегральных законов сохранения для каждого члена ряда. В явном виде найдено решение уравнения модели во втором по космологическому времени приближении

4 Найдено в квадратурах асимптотическое решение полного интегро-дифференциапьного уравнения модели для больших времен космологической эволюции

5 На основе полученных решений разработаны программные процедуры численного моделирования космологической эволюции сверхтепловой компоненты плазмы С помощью созданных программных средств проведено численное моделирование космологической эволюции сверхтепловой ультрарелятивистской компоненты плазмы и выявлены основные закономерности этого процесса Доказан факт формирования двух максимумов в распределениях энергии сверхтепловых частиц

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

Публикации в журналах, входящих в список ВАК

1 Yu G Ignatyev, R A Ziatdinov, Diffusion model of évolution of superthermal high-energy particles under scaling m the early Universe // Gravitation & Cosmology, 2006. - Vol 12 - No 4 - P 289-298

Публикации в прочих журналах

2 ЮГ Игнатьев, Р А Зиатдинов Диффузионная модель эволюции сверхтепловых высокоэнергетических частиц при наличии скейлинга в расширяющейся Вселенной // Материалы докладов международной конференции по гравитации, космологии, астрофизике и нестационарной газодинамике, посвященной 90-летию со дня рождения профессора КП Станюковича, РУДН-МГТУ, Москва, 2006 -М -Издательство РУДН - с 36

3 Ю.Г Игнатьев, Р А Зиатдинов Математическая модель эволюции спектра реликтовых частиц в области сверхвысоких энергий и исследование ее средствами пакета МАРЬЕ // Труды третьей Всероссийской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" - 2006-Самара, СамГТУ, Самара-Издательство СамГТУ, 2006, - с 45-47

4. Ю.Г. Игнатьев, РА Зиатдинов Математическая модель космологической эволюции космических лучей // Труды математического центра имени НИ Лобачевского, Том 34, 2006, Казань Изд-во Казанского математического общества, - с 109-110

5 РА Зиатдинов Исследование кинетики восстановления равновесия в ранней вселенной в пакете МАРЬЕ // Материалы VHI Международной конференции "Системы компьютерной математики

и их приложения" (СКМП-2007), Смоленск -Издательство СмолГУ, 2007,-с 31-33

6 РА Зиатдинов Исследование кинетики процессов с элементарными частицами в ранней вселенной в пакете МАРЬЕ // Материалы международной научно-практической конференции "Информационные технологии в образовании и фундаментальных науках (ИТО-Поволжье-2007)", Казань Издательство "Фолиантъ", 2007,-с 421-425

7 ЮГ Игнатьев, Р А Зиатдинов Космологическая эволюция спектра сверхтепловых частиц в условиях скейлинга// Труды Российской школы-семинара по гравитации и космологии, вЯАС05-2007, Казань Издательство "Фолиантъ", 2007, - с 63-68

8 РА Зиатдинов Математическая модель космологической эволюции космических лучей приближение малых времен эволюции // Труды математического центра имени НИ Лобачевского. Том 36, 2007, Казань - Изд-во Казанского математического общества, - с 84-85

Отпечатано в ООО «Печатный двор» г Казань, ул. Журналистов, 1/16, оф 207

Тел 272-74-59, 541-76-41, 541-76-51 Лицензия ПД №7-0215 от 0111 2001 г. Выдана Поволжским межрегиональным территориальным управлением МПТР РФ Подписано в печать 07 05 2008г Уел пл1,0 Заказ МК-6535 Тираж 130 экз Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Печать - ризография

Введение

Глава I. Релятивистские кинетические модели космологического расширения плазмы

1.1 Общерелятивистские кинетические уравнения

1.2 Релятивистские уравнения переноса динамических величин и законы сохранения.

1.3 Кинематика столкновений для четырехчастичных реакций

1.4 Условия локального и глобального термодинамического равновесия.

1.5 Асимптотическая конформная инвариантность кинетической теории.

1.6 Асимптотические ограничения на б'-матрицу и скейлинг взаимодействий.

1.7 Космологическая эволюция бесстолкновительных частиц

1.8 Кинетика космологического расширения плазмы в условиях JITP.

Глава II. Дифференциальное уравнения типа Фоккера

Планка для сверхтепловых частиц

II. 1 Уравнение Фоккера-Планка для классической плазмы . 27 II.2 Кинетические уравнения для сверхтепловых частиц.

II.3 Вывод интеграла столкновений в форме Фоккера-Планка . 31 И.4 Релятивистское кинетическое уравнение типа Фоккера

Планка

11.5 Модель на основе интегрального уравнения Фоккера-Планка

11.6 Модель на основе дифференциального уравнения типа Фоккера-Планка.

11.7 Численная модель высокоэнергетического хвоста распределения

Глава III. Интегральное уравнение типа Фоккера-Планка для малых времен эволюции

III. 1 Численная модель начального распределения.

111.2 Законы сохранения для релятивистского уравнения типа Фоккера-Планка.

111.3 Разложение уравнения Фоккера-Планка по малости т . .■.

111.3.1 Общее решение в виде ряда.

111.3.2 Первое приближение функции распределения.

111.3.3 Второе приближение функции распределения.

Глава IV. Асимптотическое приближение интегрального уравнения типа Фоккера-Планка

IV. 1 Функция распределения нулевого приближения.

IV.2 Функция распределения первого приближения.

В последние годы в связи с существенным качественным прорывом в области внегалактической астрономии, расширением и уточнением наблюдательных данных в области космологии и обнаружением целого ряда противоречий предсказаний теоретических моделей эволюции вселенной с данными наблюдений происходит ревизия основных положений стандартных космологических моделей. Этот процесс затрагивает также и существующие теоретические модели фундаментальных полей, элементарных частиц и их взаимодействий при сверхвысоких энергиях и теоретические модели ряда фундаментальных процессов, протекавших на самых ранних стадиях эволюции вселенной. Одним из таких фундаментальных космологических процессов, оказывающим принципиально важное влияние на всю физику космологического расширения плазмы, образование реликтовых частиц и современную пространственную структуру вселенной, является процесс установления локального термодинамического равновесия в расширяющейся космологической плазме. Существующие стандартные космологические сценарии построены на основе горячей модели вселенной, предложенной Георгием Гамовым в 40-х годах ХХ-го столетия. Основным положением горячей модели вселенной, равно как и основанных на ней стандартных космологических сценариев, является предположение о существовании локального термодинамического равновесия (JITP) в космологической плазме на ранних этапах расширения и нарушении JITP на поздних стадиях. Указанное предположение обосновывалось Г. Гамовым и другими исследователями на основе существующих в те годы экспериментальных данных о сечениях взаимодействий известных на тот период элементарных частиц в области низких энергий.

В 80-е годы в связи с развитием релятивистской кинетической модели вселенной Ю.Г. Игнатьевым на основе принципа конформной инвариантности теории поля была доказана асимптотическая конформная инвариантность кинетической теории в ультрарелятивистском пределе и выполнен ряд работ по исследованию кинетики процесса космологического расширения плазмы с учетом кулоновских столкновений заряженных частиц и комптоновского рассеяния фотонов на электронах [1], [2], [3], [4], [8]. На основе этих исследований в дальнейшем была развита кинетическая теория бариогенезиса в космологической плазме [5], [6], [7], [12].

В дальнейшем на основе результатов аксиоматической теории S - матрицы относительно поведения сечений взаимодействий частиц при сверхвысоких энергиях был проведен детальный анализ процесса установления ЛТР в космологической плазме. Было показано, что при восстановлении конформной инвариантности взаимодействий элементарных частиц в области сверхвысоких энергий, т.е., при восстановлении скейлинга взаимодействий, когда инвариантное сечение взаимодействия элементарных частиц становится обратно пропорциональным первому кинематическому инварианту s = (рьрз)2 ~ Е2 (pi - импульсы сталкивающихся частиц, Е - их кинетическая энергия в системе центра масс):

Const Const , л

Vtot------—, (1)

ЛТР должно нарушаться на ранних стадиях космологического расширения и, наоборот, восстанавливаться на поздних [10].1 В предположении изначального нарушения ЛТР на основе релятивистской кинетической теории были предложены модели космологической эволюции сверхтепловых частиц и высказана гипотеза о возможной связи сверхтепловой компоненты плазмы с космическими лучами. В частности, в предположении мало

1При этом на очень поздних стадиях эволюции вселенной ЛТР снова может быть нарушено. сти передаваемого при столкновениях частиц импульса и асимптотического скейлингова поведения полного сечения взаимодействия: ~~j~~2 7Т (2)

5 In sf 4 релятивистское кинетическое уравнение для бинарных столкновений было сведено к интегро-дифференциальному кинетическому уравнению типа Ландау-Фоккера-Планка [13], [14], на основе которого были сделаны некоторые оценки поведения спектра сверхтепловых частиц. Была также рассмотрена упрощенная модель, основанная на замене полученного интегро-дифференциального уравнения уравнением теплопроводности. Однако, в 80-е годы идея неравновесного космологического сценария оказалась невостребованной. С одной стороны, это было вызвано триумфальным, как тогда казалось, шествием теорий так называемого великого объединения фундаментальных взаимодействий и появлением множества сопутствующим им космологических сценариев. С другой стороны, сама неравновесная модель вселенной не была достаточно разработана, как с математической стороны, в частности, не были четко сформулированы начальные и граничные условия, а также не были развиты методы ее исследования, что было связано, в первую очередь, с отсутствием в те годы соответствующей и доступной вычислительной техники и программного обеспечения, которые были необходимы для проведения численного моделирования. В настоящее время в связи с указанными трудностями стандартных космологических сценариев и ревизией космологических моделей исследование неравновесных моделей вселенной представляет значительный интерес для космологии. С другой стороны в настоящее время имеются все возможности построения численных компьютерных моделей в широком диапазоне значений их параметров.

Таким образом, построение математической модели космологической эволюции сверхтепловых ультрарелятивистских частиц и численное моделирование этого процесса является актуальной проблемой, как для релятивистской космологии, так и математического моделирования.

Заключение

1. На основе интегро-дифференциального релятивистского уравнения типа Фоккера-Планка и в предположении восстановления скейлинга в области сверхвысоких энергий частиц сформулирована математическая модель эволюции сверхтепловой ультрарелятивистской компоненты космологической плазмы при наличии скейлинга. Сформулированы начальные и граничные условия модели, соответствующие космологической постановке задачи.

2. Осуществлена проверка сформулированной модели на выполнение интегральных законов сохранения плотности числа частиц и энергии.

3. Исследован упрощенный вариант модели, сводящийся к трехмерному уравнению теплопроводности для сферически-симметричного распределения по импульсам. Найдено и исследовано решение упрощенной задачи в квадратурах.

4. Найдено в квадратурах формальное решение полного интегро-дифференциального уравнения модели в виде разложения функции распределения в ряд Тейлора по малому времени космологической эволюции. При этом получены реккурентные соотношения между коэффициентами разложения и доказано выполнение интегральных законов сохранения для каждого члена ряда. В явном виде найдено решение уравнения модели во втором по космологическому времени приближении.

5. Найдено в квадратурах асимптотическое решение полного интегро-дифференциального уравнения модели для больших времен космологической эволюции.

6. На основе полученных решений разработаны программные процедуры численного моделирования космологической эволюции сверхтепловой компоненты плазмы.

7. С помощью созданных программных средств проведено численное моделирование космологической эволюции сверхтепловой ультрарелятивистской компоненты плазмы и выявлены основные закономерности этого процесса. Доказан факт формирования двух максимумов в распределениях энергии сверхтепловых частиц.

В заключение автор считает своим приятным долгом выразить благодарность научному руководителю, профессору Ю.Г. Игнатьеву, за постановку всех задач, постоянную моральную и научную поддержку на протяжении всей работы.

1. Игнатьев Ю.Г. Релятивистские кинетические уравнения и космология/Ю.Г.Игнатьев// Проблемы теории гравитации и элементарных частиц / Под редакцией К.П.Станюковича - М.: - Атомиздат.- 1980. - Выпуск И - С. 113-124.

2. Игнатьев Ю. Г. Релятивистская кинетическая теория и конформные преобразования/Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1982. -т. 25. -№.4.- С. 92-96.

3. Балакин А. В., Игнатьев Ю. Г., Шуликовский В.Ю. Кинетика изотропного расширения однородной электронно-фотонной плазмы/А. Б. Балакин, Ю. Г. Игнатьев, В.Ю. Шуликовский// Известия ВУЗов, Физика, 1982. -т. 25. - №.9. - С. 53-57.

4. Балакин А. Б., Игнатьев Ю. Г., Шуликовский В.Ю. Кинетика изотропного расширения оптически прозрачной плазмы на комптонов-ской стадии/А. Б. Балакин, Ю. Г. Игнатьев, В.Ю. Шуликовский// Известия ВУЗов, Физика, 1982. - т. 25. - №.10, - С. 82-85.

5. Ignatyev Yu.G., Alsmadi К. A complete relativistic kinetic model of symmetry violation in isotropic expanding plasma. I. Exact model/Yu.G.Ignatyev, K.AIsmadi// Gravitation & Cosmology, 2005. -Vol. 11. - No 3. - P. 252-258.

6. Ignatyev Yu.G., Alsmadi K. A complete relativistic kinetic model of symmetry violation in isotropic expanding plasma. II. Numericalmodel/Yu.G. Ignatyev, K.Alsmadi// Gravitation & Cosmology, 2005.- Vol. 11. No 4. - P.363-368.

7. Ignatyev Yu.G., Alsmadi K. A complete relativistic kinetic model of symmetry violation in isotropic expanding plasma. III. Cpecific Entropy Calculation/Yu.G. Ignatyev, K. Alsmadi// Gravitation & Cosmology, -2007. Vol. 13. - No 2. - P.114-118.

8. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика и космология. I /Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1980. - 23. - №.8, 1980, с. 42-47.

9. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика и космология. II /Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1980. - 23. - №.9. - С. 27-32.

10. Игнатьев Ю.Г. Возможность нарушения термодинамического равновесия в ранней Вселенной/Ю.Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика,- 1986. т.29. - №.2. - С. 27-32.

11. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика бариогенезиса в горячей Вселенной/Игнатьев Ю.Г. Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации.- Тезисы докл. Всесоюзной конференции. -, Москва. 1984. - с. 19-21.

12. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика бариогенезиса в горячей Вселенной/Ю.Г. Игнатьев// Астрономический журнал, 62, №. 4, 1985, с. 633-638.

13. Игнатьев Ю.Г. Космологические последствия скейлинга/Ю. Г. Игнатьев// Проблемы теории гравитации, релятивистской кинетики и эволюции Вселенной / Под редакцией Игнатьева Ю.Г. - Издательство КГПИ. - Казань. - 1988.- С. 62-84.

14. Л.Д.Ландау /Л.Д.Ландау// ЖЭТФ, 1937, - с. 203-210.

15. Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. Статистическая физика/Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц 1964. - М.: Наука. 568 е.

16. Игнатьев Ю.Г. О кинетическом уравнении в общей теории относительности/Ю.Г.Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1979. - т.22. -№.2. - С.72-76.

17. Lichnerovich A., Marrot R. Proprietes statistiques des ensembles de particules en relativite restreinte/A.Lichnerovich,R.Marrot// C.R., 1940.- V.210. P. 759-761.

18. Климонтович Ю.Л. Релятивистское уравнение для квантовой функции распределения/Ю.Л.Климонтович// Доклады Акад. Наук СССР,- 1952. т. 87. - Вып. 6. - С.927-930.

19. Климонтович Ю.Л. Релятивистские уравнения для плазмы. I./Ю.Л.Климонтович// Журн. эксперим. и теорет. физ., 1959. - т.37. С.735-746.

20. Климонтович Ю.Л. Релятивистские уравнения для плазмы. П./Ю.Л.Климонтович// Журн. эксперим. и теорет. физ., 1960. - т.38. С.1212-1224.

21. Черников Н.А. Релятивистское кинетическое уравнение и равновесное состояние газа в статическом сферически-симмметричном гравитационном поле/А.Н.Черников// Доклады Акад. Наук СССР, 1960.- т. 133. С.333-336.

22. Черников Н.А. Кинетическое уравнение для релятивистского газа в произвольном гравитационном поле/А.Н.Черников// Доклады Акад. Наук СССР, 1962. - т. 144. - С.89-92.

23. Tauber G.E., Weinberg J.W. Internal state of a gravitating gas/G.E.Tauber, J.W.Weinberg// Phys. Rev., 1961. - V. 122. -P.1342-1365.

24. Черников Н.А. Релятивистское распределение Максвелла-Больцмана и интегральная форма законов сохранения/А.Н.Черников// Доклады Акад. Наук СССР, 1962. - т. 144. - С.544-547.

25. Chernikov N.A. The macroscopic foudation of the relativistic hydrodynamics/A.N.Chernikov// Acta Phys. Polon., 1965. - V. 27. - P.723-739.

26. Власов А.А. Статистические функции распределения /А.А.Власов -М.: Наука, 1966. 356 е.

27. Игнатьев Ю.Г. Взаимодействие высокотемпературной плазмы, находящейся в гравитационном поле, с электромагнитным излучением I. Общая теория/Ю.Г.Игнатьев// Известия Вузов, Физика, 1975. -т. 18, Ж 6, - С.7-15.

28. Игнатьев Ю.Г. Равновесные состояния релятивистского заряженного газа в рамках общей теории относительности/Ю.Г.Игнатьев// Украинский физ. журнал, 1976. - т.18. - № 12. -С.1971-1977.

29. Игнатьев Ю.Г. О статистической динамике ансамбля частиц в ОТО/Ю.Г.Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В.Р.Кайгородова - Казань: изд-во КГУ. - 1978. - Выпуск 14. - С. 90-107.

30. Игнатьев Ю.Г. Локальные свойства релятивистского максвеллов-ского распределения частиц в гравитационном поле /Ю.Г.Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией

31. B.Р.Кайгородова Казань: изд-во КГУ. - 1980. - Выпуск 16.1. C. 65-72.

32. Игнатьев Ю.Г. Локальная температура статистической системы в общей теории относительности /Ю.Г.Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В.Р.Кайгородова - Казань: изд-во КГУ. - 1980. - Выпуск 16. - С. 73-75.

33. Игнатьев Ю.Г. Равновесные макроскопические движения релятивистского гравитирующего газа заряженных частиц /Ю.Г.Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией

34. B.Р.Кайгородова Казань: изд-во КГУ. - 1980. - Выпуск 17.1. C. 56-70.

35. Игнатьев Ю. Г. Бесстолкновительный газ в поле плоской гравитационной волны/Ю. Г. Игнатьев// Журнал эксперим. и теоре-тич.физики, 1981. - т.81.- № 1. - С. 3-12.

36. Игнатьев Ю. Г. Космология, кинетика и масса покоя нейтрино/Ю. Г. Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В.Р.Кайгородова - Казань: изд-во КГУ. - 1981. - Выпуск 18. - С. 73-75.

37. Игнатьев Ю. Г., Шуликовский В.Ю. Столкновительная релаксация плазмы в поле плоской гравитационной волны/Ю. Г. Игнатьев, В.Ю. Шуликовский// Известия ВУЗов, Физика, 1982. - т. 25. -№.10. -С. 85-92.

38. Игнатьев Ю.Г. Движение идеальной жидкости в поле плоской гравитационной волны/Ю.Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика,1982. -т. 25. Ж11. - С. 96-99.

39. Игнатьев Ю. Г. Идеальная жидкость с предельно жестким уравнением состояния в поле плоской гравитационной волны/Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1982. - 25. - Ж11. - С.99-102.

40. Игнатьев Ю. Г. Кинетическое уравнение и массовая поверхность/Ю. Г. Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В.Р.Кайгородова - Казань: изд-во КГУ. - 1983. - Выпуск 19. - С. 79-88.

41. Игнатьев Ю. Г. Статистическая динамика ансамбля классических частиц в гравитационном поле/Ю. Г. Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В.Р.Кайгородова - Казань: изд-во КГУ. - 1983. - Выпуск 20. - С. 50-109.

42. Игнатьев Ю. Г. Действие плоских гравитационных волн на плазмо-подобные среды и жидкости/Ю.Г.Игнатьев// Космические исследования на Украине / Под редакцией Писаренко Г.С. - Киев: Наукова Думка. - 1983. - Выпуск 17,С. 65-66.

43. Balakin А.В., Ignat'ev Yu.G. The effect of a gravitational wave at the contact of conductors/A.B.Balakin, Yu.G.Ignat'ev// Physics Letters.,1983. Vol. 96A. -P. 10-11.

44. Игнатьев Ю.Г. Релятивистский канонический формализм и инвариантная одночастичная функция/Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1983. -т.26. - Ж.8. - С. 15-19.

45. Игнатьев Ю.Г. Релятивистские кинетические уравнения для неупруго взаимодействующих частиц в гравитационном поле/Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1983. -т.26. - №.8. - С. 19-23.

46. Игнатьев Ю.Г. Законы сохранения и термодинамическое равновесие в общерелятивистской кинетической теории неупруго взаимодействующих частиц/Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1983. -т.26. - №.12. - С. 9-14.

47. Игнатьев Ю.Г. Идеальная жидкость с коротким скалярным взаимодействием в поле плоской гравитационной волны/ Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1983. - т.26. - №.12. - С. 7-9.

48. Игнатьев Ю.Г., Шуликовский В.Ю. Действие гравитационных волн на радиационно-доминированную плазму/Ю.Г.Игнатьев,

49. B.Ю.Шуликовский// ВИНИТИ, 1984. - №.1532-84. - Деп., - 34с.

50. Игнатьев Ю.Г., Шуликовский В.Ю. Затухание гравитационных волн в ранней Вселенной/Ю. Г. Игнатьев, В.Ю.Шуликовский// ВИНИТИ, 1984. - № 1531-84. - Деп., - Юс.

51. Игнатьев Ю.Г., Кузеев P.P. Термодинамическое равновесие самогра-витирующей плазмы со скалярным взаимодействием/Ю.Г. Игнатьев, P.P. Кузеев// Украинский физический журнал, 1984. - т.29. - №.7.1. C. 1021-1025.

52. Игнатьев Ю.Г. Магнитоактивная бесстолкновительная плазма в поле длинноволнового гравитационного излучения/Ю.Г.Игнатьев// Украинский физический журнал, 1984. - т.29. - №.7. - С. 1025-1029.

53. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика анизотропной плазмо-подобной среды с затуханием в поле гравитационного излучения/Ю.Г.Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1984. - т.27. 12. -С. 70-74.

54. Игнатьев Ю.Г. Резонансная генерация плазменных колебаний плоской гравитационной волной/Ю.Г.Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1985. - т.28. - № 1. -С.74-77.

55. Ю.Г. Игнатьев, Н.Р. Хуснутдинов Действие плоских гравитационных волн на однородную магнитоактивную плазму/Ю.Г. Игнатьев, Н.Р. Хуснутдинов// Украинский физический журнал, 1986. - т.31. -№.5. -С.707-715.

56. Игнатьев Ю.Г. Кинетические процессы в релятивистских полях тя-готения/Ю.Г. Игнатьев// Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, Казань, Казанский государственный педагогический институт. - 1986. - 359 С.

57. Игнатьев Ю.Г., Смирнов А.В. Колебания анизотропной ограниченной плазмы в поле слабой гравитационной волны/Ю.Г. Игнатьев, А.

58. B.Смирнов// Украинский физический журнал, 1987. - т.32. - №. 6.1. C.1917-1925.

59. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинами-ка/А.И.Ахиезер, В.Б.Берестецкий 1969. - М.: Наука. 624 е.

60. Ахиезер А.И., Пелетминский С.В. Методы статистической физи-ки/Ахиезер А.И., Пелетминский С.В. 1977. - М.: Наука. 367 е.

61. Alvares E.J. On the transport equations for a one component relativistic gas/E.J.Alvares// J. Phys. and Math. Gen., 1976. - Vol.9. - P.1861-1875.

62. Иванов Г.Г. Уравнение Улинга Уленбека и квантовая статистика идеальных газов в ОТО/Г.Г.Иванов // Гравитация и теория относительности / Под редакцией В.Р.Кайгородова - Казань: изд-во КГУ.- 1978. Выпуск 14. - С. 80-89.

63. Syng J.L. Relativity: The General Theory/J.L.Syng North-Holland Publishing Company: Amsterdam. - 1960. - 432 p.

64. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности/А.З.Петров 1966. - М.: Наука. - 496с.

65. Cartan Е. Les espaces de Finsler/E. Cartan 1934.- Paris. - 234 p.

66. Черников H.A., Шавохина H.C. Принцип конформной инвариантности. /Н.А.Черников, Н.С.Шавохина// Новейшие проблемы гравитации, Тезисы докладов Всесоюзного симпозиума, 1973. - М: Изд-во ВНИИФТРИ. - С.40-42.

67. Ehlers I., Geren P., Sachs R. К. Isotropic solutions of the Einstein -Liouville equstions /I.Ehlers, P.Geren, R.K.Sachs// J. Math.Phys., 1968.- Vol.9. P.1344-1361.

68. Орлов С.В. Релятивистское расширение бозе- конденсата/Орлов С.В.// Проблемы теории гравитации и элементарных частиц / Под редакцией Станюковича К.П. -М.: Энергоатомиздат. -1985. - Выпуск 16.- С.119-122.

69. Зельдович Я.В., Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной /Я.Б.Зельдович Я.Б., И.Д.Новиков М.: Наука. -1975. -736с.

70. Козик B.C., Любимов В.А., Новиков Е.Г., Нозик В.З., Третьяков Е.Ф. Об оценке массы ve по спектру (3 распада трития в валине/В.С.Козик, В.А.Любимов, Е.Г.Новиков, В.3.Нозик, Е.Ф.Третьяков// Ядерная физика, - 1980. -Т.32. - С. 301-303.

71. Pilkuhn Н.М. Relativistic Particle Physics/H.M.Pilkuhn New York-Heidelberg-Berlin. - Springer-Verlag. - 1982. - 544p.

72. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения/Н.Н.Лебедев 1963. - Москва-Ленинград. - ГИФМЛ. - 360 с.

73. Janke Е., Emde F., Losch F. Tafeln Hoherrer Funktionen/E. Janke, F. Emde, F.Losch 1960. - Stuttgart. - B.G.Teubner Verlagsgesellschaft.

74. А.Д.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев Интегралы и ряды. Дополнительные главы/А. Д.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев 1986. - М.: Наука. - 800 с.

75. X. Пилькун Физика релятивистских частиц/Х. Пилькун 1983. -М.: Мир. - 542 с.

76. Л.Б. Окунь Лептоны и кварки/Л.Б. Окунь 1981. - М.: Наука. - 304 с.

77. С. Де Гроот, В. Ван Леувен, X. Ван Верт Релятивистская кинетическая теория. Принципы и применения/С. Де Гроот, В. Ван Леувен, X. Ван Верт 1983. - М.: Мир. - 422 с.

78. Я.Б. Зельдович, М.Ю. Хлопов Масса нейтрино в физике элементарных частиц и космологии ранней Вселенной/Я.Б. Зельдович, М.Ю. Хлопов Успехи физ. наук.1981. - Т.135. - С.45-77

79. Л.Д. Ландау Л.Д. Ландау. Собрание трудов, том 1/Л.Д. Ландау -1969. М.: Наука. - 512 с.

80. Игнатьев Ю.Г., Кузеев P.P. Кинетическая теория равновесной само-гравитирующей плазмы /Ю.Г. Игнатьев, P.P. Кузеев// II Всесоюзное совещание по избранным вопросам статистической физики / Под редакцией Москва:- 1982. - С. 54-55.

81. Игнатьев Ю.Г. Локальная температура неравновесного релятивистского газа в стационарных полях тяготения/Ю.Г.Игнатьев// Всесоюзная научная конференция по неевклидовой геометрии. / Под редакцией Кайгородова В.Р. - Казань: изд-во КГУ. - 1976. - С. 85.

82. Брагинский С.Н. Явление переноса в плазме. /Брагинский С.Н.// Вопросы теории плазмы., 1963. - М: Госатомиздат,- Вып.1 - С. 183272.

83. Иден Р. Соударения элементарных частиц при высоких энерги-ях./Иден Р. М.: Наука. -1970. -392с.

84. Игнатьев Ю.Г. Нарушения термодинамического равновесия в ранней вселенной/Игнатьев Ю.Г. Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации.- Тезисы докл. Всесоюзной конференции. Москва. 1984. - с. 18-19.

85. Okun L.B., Zeldovich Ja.B. /L.B.Okun, Ja.B.Zeldovich// Comments on Nucl. and Part. Physics, 1976. - Vol. 6. - P. 69-73.

86. Ignat'ev A.Yu., Krasnikov N.V., Kuzmin V.A., Tavhelidze A.N. /A.Yu.Ignat'ev, N.V.Krasnikov, V.A.Kuzmin, A.N.Tavhelidze// Phys. Letters, 1978. - V. 76B. - P. 436 - 439.

87. Weinberg S. Cosmological Production of Baryons/S.Weinberg// Phys. Rev. Lett., 1979. - V.42. - P. 850-853.

88. Weinberg S. Beyond the first Three Minutes/S.Weinberg// Physics Scripta, 1981. - V.21. - P.773-791.

89. Долгов А.Д., Зельдович Я.Б Космология и элементарные частицы/А.Д.Долгов, Я.Б.Зельдович// Успехи физ. наук, 1980. - Т.130.- С.559-614.

90. Froissart М. /Froissart М.// Phys. Rev., 1961. - V.123. - p. 1053.

91. Martin A. /Martin A.// Phys. Rev., 1963. - V.129. - p. 1432.

92. Martin A. /Martin A.// Nouvo. Cim., 1966. - V.142. - p. 930.

93. Jin Y.S., Martin A. /Jin Y.S., Martin A.// Phys. Rev., 1964. - V.135B.- p. 1369.

94. Sugawara M. /Sugawara M.// Phys. Rev. Lett., 1965. - V.14. - p. 336.

95. Вj or ken J.D., Paschos E.A. /Bjorken J.D., Paschos E.A.// Phys. Rev., -1969. V.185. - p. 1975.

96. Feyman R.P. /Feyman R.P.// Phys. Rev. Lett., 1969. - V.23. - p. 1415.

97. Л.П.Грищук /Л.П.Грищук// ЖЭТФ, 1974. - т.67. - С. 825.

98. И.С.Градштейн, И.М.Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений/И.С.Градштейн, И.М.Рыжик. М.: Физматгиз. -1963.

99. С.Л.Соболев Уравнения математической физики/С.Л.Соболев М.: Наука. -1966.

100. М.А.Евграфов Аналитические функции/М.А.Евграфов М.: Наука. -1991.

101. Ф.Клоуз Кварки и партоны. Введение в теорию/Ф.Клоуз Москва: Мир. - 1982. - 438 с.

102. Ландау Л.Д. Кинетическое уравнение в случае кулоновского взаимодействия. /Ландау Л.Д.// Журн. эксперим. и теорет. физ., 1937. -№ 4. - С.203-210.

103. Ignatyev Yu.G., Ziatdinov R.A. Diffusion model of evolution of superthermal high-energy particles under scaling in the early Universe./Yu.G. Ignatyev, R.A. Ziatdinov// Gravitation & Cosmology, -2006. Vol. 12. - No 4. - P.289-298.

104. Зиатдинов Р.А., Игнатьев Ю.Г. Математическая модель космологической эволюции космических лучей./Зиатдинов Р.А., Игнатьев Ю.Г.- Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского, Казань. 2006. Т.34 - с. 109-110.

105. Зиатдинов Р.А. Исследование кинетики восстановления равновесия в ранней вселенной в пакете MAPLE./Зиатдинов Р.А. Тезисы VIII Международной конференции "Системы компьютерной математики и их приложения" (СКМП-2007), Смоленск. 2007. - с. 41-43.

106. Зиатдинов Р.А. Математическая модель космологической эволюции космических лучей: приближение малых времен эволюции./Зиатдинов Р.А. Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского, Казань. 2007. - Т.Зб - с. 84-85.