автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование переноса и агрегации тромбоцитов

На правах рукописи

Аунг Лин

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕНОСА И АГРЕГАЦИИ ТРОМБОЦИТОВ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 НОЯ 2014

Москва-2014

005554182

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель: Лобанов Алексей Иванович, доктор физико-

математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Пантелеев Михаил Александрович, доктор

физико-математических наук, Центр теоретических проблем физико-химической фармакологии РАН, лаборатория молекулярных механизмов гемостаза, заведующий лабораторией

Трифонов Андрей Юрьевич, доктор физико-математических наук, профессор, Томский политехнический университет, кафедра высшей математики и математической физики, заведующий кафедрой

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. М.В. Ломоносова, биологический факультет, кафедра биофизики

<— АО

Защита состоится « Tf »OjPJ<Q.Г)Г)Я 2014 года в *f2 часов на заседании диссертационного совета Д 212.156.05 на базе Московского физико-технического института (государственного университета) по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер. 9, МФТИ, аудитория 903 КПМ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института (государственного университета) и на сайте МФТИ http ://www. mipt.ru.

Автореферат разослан « »( Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.156.05, кандидат физико-математических наук

2014 г.

Федько Ольга Сергеевна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы

Система гемостаза является важной системой организма, благодаря которой обеспечивается, с одной стороны, сохранение жидкого состояния крови, а с другой — предупреждение и остановка кровотечений путем поддержания структурной целостности стенок сосудов и достаточно быстрого тромбирования последних при повреждениях. Её главные компоненты — тромбоциты (самые маленькие клетки крови) постоянно содержатся в крови.

В последнее время активно развиваются математические модели процессов свертывания. Свертывание может осуществляться с помощью двух механизмов, тесно связанных между собой, — так называемых внешнего и внутреннего путей свертывания. В природе никогда не реализуется только один путь свертывания. По внешнему пути осуществляется инициация формирования фибринового сгустка в ответ на повреждение ткани. После этого начинается адгезия тромбоцитов (процесс их «склеивания» между собой) по внутреннему пути. В случае начала адгезии в кровотоке вырабатывается тромбин, приводящий к наработке фибрина и началу его полимеризации. Тромбоциты являются основными компонентами гемостатической пробки, которая образуется после повреждения стенки сосуда для остановки кровотечения. Тромбоциты — форменные элементы крови размером около 1 мкм, они занимают менее 1% общего объема. Тромбоциты выделяют фактор II, необходимый для формирования фибриновой сети.

Тромбоциты должны попасть в окрестность повреждения стенки сосуда или активированных тромбоцитов, прилипших к стенке. В потоке крови происходит смещение тромбоцитов из ядра потока в пристеночный слой. Около стенки сосуда формируется слой пристеночной плазмы с отсутствием эритроцитов. Для описания обогащения такого пристеночного слоя тромбоцитами необходимы математические модели перемещения частиц перпендикулярно току крови.

В силу малой концентрации тромбоцитов (2-4Т011 л-1.) их движение нельзя описывать с помощью уравнений сплошной среды — не выполняется гипотеза сплошности. Если сопоставить концентрации тромбоцитов плотность вероятности нахождения тромбоцита в точке, то их распределение описывается уравнениями Больцмана или Фоккера-Планка''2. Для использования аппарата уравнений Фоккера-Планка необходимо ввести аналог матрицы диффузии с учетом частоты столкновений частиц в потоке. Тем не менее, формирование тромбоцитарного тромба описано с помощью уравнений диффузии3. Также существуют подходы к моделированию эритроцитов как суспензии большого числа индивидуально рассматриваемых частиц. Для этого используются методы граничных интегральных уравнений и диссипативной динамики частиц.

Исследования тромбоза (роста тромбов, прикрепленных к стенкам сосуда) и тромбоэмболии (отрыва тромба от стенки с закупоркой участка сосуда вдали от места повреждения) важны с прикладной точки зрения, так как они являются частой причиной смерности пациентов с сердечно-сосудистыми имплантантами (например, стентами, сердечными клапанами, сосудистыми трансплантантами, искусственным сердцем). Возможность тромбоза является основным риском при использовании искусственных сосудистых трансплантатов малого диаметра (< 6 мм) из-за их низкой проницаемости. Важная задача в проектировании следующего поколения этих устройств заключается в минимизации тромботических осложнений.

Таким образом, изучение системы свертывания крови и механизма тромбообразования имеет огромное значение для медицины. Математическое моделирование процесса свертывания помогает осмыслить накопленный

1 Jguinaga S., Simonin О., BoreeJ. A simple model for particle turbulence interaction effect in the PDF. // 7th International conference on multiphase flow. — 2010.

Стойl L., Fogelson A. L. Analysis of mechanisms for platelet near-wall excess under arterial blood. // Journal of fluid mechanics. — 2011. — Vol. 676. — P. 348-375.

3 Breedveld V., Van Den Ende D., Bosscher M. Measurement of the foil shear-induced self-diffusion tensor of noncolloidal suspensions // The journal of chemical physics. — 2002. — Vol. 116, 23. — P. 10529-10535.

экспериментальный материал и выбрать правдоподобные гипотезы устройства этой сложной системы.

Цель работы

Целью настоящей работы является исследование применимости математической модели распределения плотности вероятности тромбоцитов на основе уравнения Фоккера-Планка к решению задачи о формировании тромбов в кровеносных сосудах, численное исследование формирования тромбоцитарного тромба с помощью программной реализации математической модели, модификация оценки частоты столкновений частиц конечного размера в сдвиговом потоке для использования данных в модели типа Фоккера-Планка.

Задачи исследования

1. Модификация выражения для частоты столкновений частиц конечного размера в сдвиговом потоке, основанная на рассмотрении законов сохранения массы и импульса.

2. Исследование применимости математических моделей, основанных на уравнении Фоккера-Планка, описывающего временную эволюцию функции распределения частиц, к задаче сформировании тромба в кровеносном сосуде.

3. Построение бикомпактной разностной схемы для численного решения уравнения Фоккера-Планка.

4. Численное исследование распределения плотности вероятности тромбоцитов вблизи поврежденного участка стенки сосуда с помощью построенной математической модели.

Научная новизна

Новизна диссертационной работы заключается в следующем.

В работе построена математическая модель движения частиц в сдвиговом потоке в осесимметричном сосуде с недеформируемыми стенками при малой объёмной доле частиц. Проведена модификация оценки частоты столкновений частиц в зависимости от отношения размера частицы к радиусу сосуда.

В работе предложена новая бикомпактная разностная схема для численного решения уравнения Фоккера-Планка. Преимущество построенной схемы в том, что она позволяет избежать трудностей, связанных с аппроксимацией смешанной производной второго порядка по пространственным переменным. На основе уравнения Фоккера-Планка построена и программно реализована математическая модель распределения плотности вероятности тромбоцитов.

Научно-практическое значенне работы

Оценка скорости частицы и частоты столкновения частиц может быть использована для исследования формирования тромбоцитарного тромба.

Построенная математическая модель на основе уравнения Фоккера-Планка позволяет получить стационарное распределение плотности вероятности, на основе этого стационарного распределения можно исследовать некоторые закономерности роста тромба. В силу относительной простоты реализации этот подход имеет определенные преимущества по сравнению с использованием уравнений диффузионного типа.

Положения, выносимые на защиту

1. На основе геометрического рассмотрения, основанного на рассмотрении законов сохранения массы и импульса, вычислены поправки к распределению скоростей частиц конечного размера в сдвиговом потоке.

2. Построена бикомпактная разностная схема для решения уравнения Фоккера-Планка. Схема позволяет вести расчеты на нерасширенном шаблоне. При этом в разностные уравнения в явном виде не входят разности, приближающие смешанные производные. Использование схем такого типа позволяет избежать трудностей, связанных с аккуратной аппроксимацией смешанной производной.

3. Программно реализован метод решения уравнения Фоккера-Планка в осесимметричном сосуде и проведенное исследование влияния параметров задачи на поток тромбоцитов на поврежденный участок стенки сосуда.

Апробация работы

Результаты работы были доложены и получили одобрение специалистов на следующих конференциях и научных семинарах:

1. Научный семинар лаборатории физической биохимии системы крови Гематологического Научного Центра Министерства Здравоохранения РФ (Москва, 2010);

2. 56-я научная конференция Московского физико-технического института. Секция вычислительной математики. (Долгопрудный, 2013);

3. Двадцать первая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2014).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 5 работ, в том числе две статьи в журналах из списка изданий, рекомендованных ВАК РФ [4, 5].

Структура и объём диссертации

Диссертация изложена на 87 страницах, состоит из введения, четырёх глав основного текста, заключения и списка использованных источников, включающего 117 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели, задачи работы и выносимые на защиту положения, показаны научная новизна и научно-практическое значение работы.

В главе 1 представлен краткий обзор публикаций по теме диссертации. Он состоит из пяти частей. В первой части дан обзор публикаций по проблеме гемостаза, подробно рассмотрены оба этапа — сосудисто-тромбоцитарный и плазменный. Во второй части рассмотрены математические модели формирования тромбоцитарных тромбов. В третьей части главы приведен обзор публикаций по математическим моделям движения суспензий. В четвертой части рассмотрены математические модели сдвиг-вызванной

диффузии форменных элементов крови. В пятой части дан обзор работ по компактным и бикомпактным разностным схемам для численного решения уравнений в частных производных параболического типа.

В главе 2 рассмотрена модель распределения скоростей частиц конечного размера в сдвиговом потоке при малой объёмной доле частиц.

При рассмотрении переноса частиц в жидкости часто полагают, что скорость каждой частицы совпадает со скоростью потока, за координаты частицы берутся координаты её центра масс. Такое приближение справедливо, если рассматриваются частицы бесконечно малого размера а«Я, а — характерный размер частицы, К— радиус сосуда. Покажем, что для частиц конечного размера (процессов в мелких кровеносных сосудах) это не так. В диссертации рассмотрен двумерный случай. Пусть между двумя пластинами сформирован пуазейлевский профиль скорости жидкости. Рассмотрим систему частиц конечного размера. В нашем приближении модели кровь или плазма крови рассматривается как ньютоновская вязкая несжимаемая жидкость.

При движении частиц в потоке жидкости должны выполняться законы сохранения массы и импульса. Для построения модели процесса переноса форменных элементов крови в простейшем случае считаем клетки крови недеформируемыми сферическими частицами. Хотя тромбоциты имеют форму эллипсоидов, отношение полуосей тромбоцитов обычно лежит в пределах 1:2-КЗ:4 4, поэтому замена тромбоцитов сферическими частицами оправдана для упрощения математической модели на начальном этапе анализа ее свойств. Тогда скорость движения недеформируемой частицы должна быть равной средней скорости жидкой частицы, занимающей тот же объём. Таким образом, скорость частицы можно представить как интегральное среднее по объёму соответствующей жидкой частицы.

ч» Р;(Ф)

4 Шиффман Ф. Дж. Патофизиология крови // М.-СПб.: "Издательство БИНОМ".

8

где ух(/■) —^ —— пУазейлевский профиль.

После проведения необходимых вычислений получены следующие результаты. Для сферической частицы скорость недеформируемой частицы оказывается несколько меньшей локальной скорости потока при большом (более 0,1) отношении размера частицы к радиусу сосуда

(рис. 1).

-Пуазейлсвский профиль • радиус частицы = 0.2

0.2 0.4 0.6 0.8

средняя скорость по сечению частицы

0.2 0.4 0.6 0.8 1

средняя скорость по сечению часпщы

а)

б)

Рис. 1. Сравнение скоростей частиц разного относительного размера (точки) со скоростью потока вязкой жидкости (сплошная линия) а) а = 0,2 б) а = 0,3.

В следующем параграфе на основе вычисленных распределений оценивается поправка в частоту столкновений частиц. В работе5 принималось, что частота столкновений зависит от производной скорости частиц по радиусу. Для оценки эта величина полагалась равной скорости сдвига течения.

Рассмотрим, какой вклад в изменение частоты столкновений внесет учет модификации профиля скорости частиц и где этот вклад будет максимальным.

Для этого вычислим величину 1 ■

ди / дг

частица

dV0(l-г1)! дг

. Видно, что в ядре потока (на

расстояниях, равных радиусу частицы) изменения частот столкновений не

5 Буравцев В.Н., Лобанов А.И., Украинец A.B. Математическая модель роста тромбоцитарного тромба. // Математическое моделирование. — 2009. — Т. 21, 3. — С. 109-119.

происходит. Максимальное изменение частоты происходит вблизи границ ядра течения. Результаты для сферической частицы приведены на рис. 2.

Приведенное выше рассмотрение показывает, что для мелких кровеносных сосудов скорость частицы становится несколько меньше локальной скорости течения. Тем не менее, эритроциты оказываются

в) г)

Рис. 2. Относительная разность производных скорости частицы и скорости пуазейлевского потока (см. в тексте) а) = 0,016) а = 0,1 в) а = 0,2 г) а = 0,3.

сосредоточенными вблизи оси течения, из-за этого средняя скорость транспорта эритроцитов оказывается больше, чем средняя скорость течения крови в сосуде вцелом. В гемодинамике это явление называется эффектом Фареуса. С физиологической точки зрения оно означает уменьшение

внутрисосудистого гематокрита в мелких сосудах вследствие того, что средняя скорость эритроцитов больше средней скорости течения крови.

Эффект Фареуса может быть математически описан следующим образом. Разгруженный гематокрит - это отношение объёмного расхода эритроцитов к

общему объёмному расходу крови

н

° а '

где А - площадь поперечного сечения сосуда. Получим

Нт V,

HD VRBC

(1)

Здесь Нт — внутрисосудистый гематокрит, Но — разгруженный гематокрит, vb— средняя скорость крови и vRBC— средняя скорость эритроцита. Проведены модельные расчеты распределения скоростей частиц при малой объёмной доле частиц в течении Пуазейля. Сравнение расчетных и экспериментальных данных приведенных на рис. 3. Результаты расчетов приведены для диаметров сосудов от 2,5 до 400 микрон.

Экспериментальные данные взяты из6. Соотношение между внутрисосудистым {Нт) и разгруженным гематокритом (HD) как функция диаметра сосуда на основе экспериментальных данных in vitro имеет вид:

^ = HD + (\-HD){\ + \.le*M5d' -О.бе-001"»), (2)

Н D

где диаметр сосуда измеряется в микронах. График зависимости (2) и экспериментальные точки приведены на рис. 3. На том же графике отложены расчетные данные в рамках принятой математической модели (черный цвет с квадратиками).

6 Pries A. R., Secomb Т. W. Handbook of Physiology: Microcirculation. // Academ Press. — 2008. — P. 3-36.

Рис. 3. Зависимость отношения показателей гематокрита от диаметра сосуда ¿о для фиксированных значений показателя гематокрита Н0. Значки -экспериментальные данные из6 для стеклянных трубок. Линии -аппроксимация экспериментальных точек.

По данным, представленным на рис. 3 видно, что при диаметре кровеносного сосуда более 10 мкм наблюдается качественное соответствие с экспериментальными данными. Более быстрое уменьшение гематокрита в эксперименте связано с деформацией эритроцитов. При диаметре сосуда меньше 10 микрон необходимо учитывать деформацию эритроцита, простое геомерическое рассмотрение уже не может адекватно описывать экспериментальную зависимость.

В главе 3 описано использование бикомпактной разностной схемы для решения уравнения Фоккера-Планка.

Движение частиц (форменных элементов) имеет две составляющих — перенос частицы потоком крови и случайные перемещения за счет столкновений частиц. Детальное рассмотрение такой задачи на основе теории марковских процессов с учетом гидродинамических взаимодействий затруднительно. Применим подход, аналогичный7. Для функции плотности

7 Кляцкин В. И. Очерки по динамике стохастических систем. — Изд-во URSS, 2012. — 448 р.

12

вероятности запишем уравнение Фоккера—Планка с феноменологической матрицей столкновений

f(х'0+Ак =(*>*;0р(х> 0]. (3)

где Ak(x,t) = —Fkl(x,x',t)\^

Уравнение (3) следует решать с условием P(x,to) = ö{x~xq), или же с начальным условием более общего вида P(x,t0) = lV0(x), если начальные условия так же случайные, но статистически независимы от noimfix,t).

Члены этого уравнения с Ak(x,t) и Fkl(x,x\t) обусловлены флуктуациями гауссового случайного поля fix,t), вызывающего хаотическое перемещение частиц. Если это поле стационарно, то величины Лк(х) и Fki(x,x') не зависят от времени. Если поле ßx,t) однородно и изотропно по пространственным координатам, то величина Fkt(x,x',f)= const, что соответствует постоянному тензору коэффициентов диффузии, а величина Лк(х,1) = 0. Предположим, что случайное поле стационарно.

В рамках сделанного предположения уравнение Фоккера—Планка в цилиндрической системе координат, описывающее эволюцию распределения частиц, имеет вид

8p+7ljp)+±(x (4)

dt дх г дг \ " дг " дх J йД " дг дх)

где p=p(x,r,t) — плотность вероятности частиц; х—компоненты эффективного тензора, описывающего случайный перенос частицы за счет столкновений; v = v(r, t) — скорость направленного переноса частиц вдоль координатной оси х.

Рассматривается перенос тромбоцитов в сдвиговом потоке в осесимметричном сосуде. Жидкость считается несжимаемой. Считаем тромбоциты недеформируемыми частицами. При расчете частоты столкновений использовались поправки, как описано в предыдущей главе.

Агрегация тромбоцитов не учитывается. Плотность вероятности тромбоцитов описывается уравнениям Фоккера-Планка (4).

В начальный момент времени плотность вероятности частиц р — 0 во всей расчетной области, кроме входного сечения. Во входном сечении задается плотность вероятности р(г,1)=р(г)8(х)8(/). На оси течения (г = 0) ставится

условие симметрии — = 0. Поток частиц на оси симметрии течения равен дг

нулю, что соответствует случаю, когда число частиц, проходящих через ось в любом направлении равно часлу частиц, проходящем через ось в обратном направлении. На стенке сосуда (г = Я) задается два вида граничных условий для описания распределения тромбоцитов. На неповрежденной стенке нормальная производная плотности вероятности равна нулю — частица отражается от стенки и возвращается в область течения жидкости. На поврежденном участке сосуда плотность вероятности обращается в ноль — в силу адгезии тромбоцитов покидает расчетную область. На выходной границе ставится условие равенства нулю плотности вероятности частиц. Это условие соответствует тому, что все частицы, достигшие выходного сечения, покидают расчетную область, каждая частица уносится потоком за пределы расчетной области.

Уравнение (4) решается конечно-разностным методом. Основная трудность при построении разностной схемы заключается в аппроксимации смешанной производной по пространственным переменным с достаточно высоким порядком аппроксимации [2].

Для построения разностной аппроксимации применим подход, аналогичный описанному в8. Проведем пространственную дискретизацию уравнения (4) на двухточечном шаблоне (х,_],*,). Введем вспомогательную функцию IVинтегрального среднего плотности вероятности

Щ=у]рс1х. (5)

8 Рогов Б. В., Михайловская М. Н. Бикомпактные схемы четвертого порядка аппроксимации для гиперболических уравнений. // ДАН. — 2010. — Т. 430. — С. 470-474.

14

Проинтегрируем (4) на отрезке дсм <х<х, и разделим на кх. Получаем систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

ОТ Я, Г С'Г б'г Я г ог И сг

С1„.др + —7 —

И, дх

Преобразуем систему уравнений так, чтобы в разностных выражениях остались разности только вдоль координатных линий сетки. Плотность вероятности в правой части предыдущего выражения будем брать на верхнем слое по времени, построенная схема будет неявной разностной схемой. Так как нас интересуют в конечном итоге стационарные распределнения плотности вероятности в задаче, то порядок аппроксимации по времени не является существенным.

Т п, Г. И,

w:\-wr1

1**1 И+1 , И+1 П+1 П+1 /7+1 , _П + 1 И+1 Л+1

+ <-11 г V А' г V Р'->

•

А >

Ри*I -Р/./-1 - Д-1.,Ч1 +Р|-и-:

2 К

(6)

где г — шаг по времени; /гг — шаги дискретизации по пространству; г, у — номер узлов пространственной сетки в направлениях х и г соответственно; п — номер временного слоя. После преобразований получим окончательный вид системы разностных уравнений

XV т<1п

(г^-г^у^)-

(V)

Аппроксимируем интеграл в (5) формулой трапеций, тогда

2Г"+| - = о":1.

'■У Г',] -г'-1,7

Предложена бикомпактная разностная схема для решения уравнения Фоккера-Планка. Схема позволяет ввести расчеты на нерасширенном шаблоне. При этом в разностные уравнения в явном виде не входят разности, приближающие смешанные производные. Использование схем такого типа позволяет избежать трудностей, связанных с аккуратной смешанной производной.

Для решения системы сеточных уравнений используем метод шахматного (красно-черного) упорядочения 9.

В главе 4 приведены результаты расчётов финального стационарного распределения плотности вероятности тромбоцитов при решении уравнения Фоккера-Планка.

Длина рассматриваемого участка прямого осесимметричного сосуда в 8 раз больше его диаметра. Расчеты проводились на сетке 100x50 ячеек. В начальный момент времени плотность вероятности частиц равна нулю во всей

а) б)

Рис. 4. Изолинии плотности вероятности тромбоцитов с шагом 0.006 при размере активного участка стенки сосуда: (а) 2, (б) 4. Активный участок стенки сосуда выделен жирной линией. Стрелкой показано направление движения жидкости.

расчетной области, кроме входного сечения.

9 Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. — М/ Мир — 2001,—430 с.

На рис. 4 а, б приведено распределение плотности вероятности тромбоцитов для различных размеров поврежденного участка стенки сосуда. Вблизи оси течения изолинии отличаются мало, а вблизи области повреждения градиент плотности вероятности качественно зависит от длины поврежденного

Ось течения

а)

Ось течения

б)

Рис. 5. Изолинии плотности вероятности тромбоцитов с шагом 0.006 при размере частицы: (а) д = 0,01, в) а = 0,1. Активный участок стенки сосуда выделен жирной линией.

участка. Градиент плотности вероятности определяет поток частиц на

поврежденный участок поверхности сосудистой стенки. При сравнительно

небольшом размере поврежденного участка есть области большого градиента

плотности вероятности с обеих сторон (подветренной и наветренной).

Физическое истолкование этого — тромб формируется с обеих сторон

поврежденного участка с примерно одинаковой скоростью. При большом

размере области повреждения градиент плотности вероятности в наветренной

части повреждения примерно такой же, как и в случае повреждения меньшего

размера, но в подветренной части формирование тромба происходит

медленнее.

На Рис. 5 показано финальное стационарное распределение плотности вероятности тромбоцитов в зависимости от относительного размера частицы. Параметры модели, такие как, размер сосуда, размер повреждения участка и размер частицы задаются одинаковыми для всех расчетов. Максимальное значение скорости на оси у = 1. В математической модели относительный

размер частицы играет важную роль при оценке частоты столкновений и влияет на распределение плотности вероятности частиц в потоке. Плотность вероятности тромбоцитов медленно уменьшается и на выходной границе достигается минимального значения. Видно, что градиент плотности вероятности зависит от отношения размера частицы и радиуса сосуда. Хотя градиент плотности вероятности не так отличается в наветренной части повреждения, но в подветренной части он становится больше при увеличении размера частицы. Чем больше размер частицы, тем больше частота столкновений, входящая в компоненты тензора диффузии.

На Рис. 6 приведено финальное стационарное распределение плотности вероятности тромбоцитов для размера частиц а = 0,2 для различных

Рис. 6. Изолинии плотности вероятности тромбоцитов с шагом 0.006 при разной скорости частицы: (a) v = 0,3, (б) v = 0,5.

максимальных скоростей потока. Видно, что тромб формируется на обоих сторонах повреждения стенки сосуда. В наветренной части повреждения есть область большого градиента плотности вероятности. Поток частиц в подветренной части мал. Чем больше скорости потока, тем меньше градиент плотности вероятности частицы в наветренной части повреждения. Это означает, что при большой скорости потока многие частицы достигают выходной границы. Из-за этого поток частиц на стенку уменьшается.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации

1. На основе геометрического рассмотрения, основанного на использовании законов сохранения массы и импульса, вычислены поправки к распределению скоростей частиц конечного размера в сдвиговом потоке.

2. Построена бикомпактная разностная схема для решения уравнения Фоккера-Планка. Схема позволяет вести расчеты на нерасширенном шаблоне, при этом в разностные уравнения в явном виде не входят разности, приближающие смешанные производные. Использование схем такого типа позволяет избежать трудностей, связанных с аккуратной аппроксимацией смешанной производной.

3. Программно реализован метод решения уравнения Фоккера-Планка в осесимметричном сосуде. Проведено исследование влияния параметров задачи на поток тромбоцитов на поврежденный участок стенки сосуда.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Лобанов А. И., Аунг Лин. Бикомпактная разностная схема решения уравнения Фоккера - Планка для описания распределения форменных элементов в кровотоке. // Математические и информационные модели управления. Сборник научных трудов. — Москва, — 2013. — С. 17—23.

2. Аунг Лин. Лобанов А.И. Бикомпактная разностная схема решения уравнения Фоккера — Планка // Труды 56-й научной конференции МФТИ. Вычислительной математики, 2013. — Т. 2. — С. 95-96.

3. Аунг Лин. Лобанов А.И. Математическая модель движения тромбоцитов в потоке крови по прямолинейному участку недеформируемого сосуда // Сборник докладов 21-й международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». 2014. — Дубна. — С. 143.

4. Аунг Лин. Лобанов А.И., Погорелова Е.А. Математические модели роста тромба на основе уравнений типа «адвекция-диффузия» и Фоккера - Планка

// Компьютерные исследования и моделирование, 2014. — Т. 6, № 2. — С.

271-283.

5. Ауиг Лин, Лобанов А.И. К вопросу о распределении скоростей частиц в

сдвиговом потоке при малой объёмной доле частиц// Труды МФТИ, 2014. —

Т. 6, № 2. — С. 70-77.

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД СОИСКАТЕЛЯ В РАБОТАХ С СОАВТОРАМИ

заключается в следующем:

1. Проведена оценка частоты столкновений частиц конечного размера в сдвиговом потке на основе рассмотрения законов сохранения. Модифицировано выражение для частоты столкновений частиц в мелких кровеносных сосудах.

2. Построена бикомпактная разностная схема для решения уравнений Фоккера-Планка.

3. Программно реализована построенная разностная схема. На основе написанного автором программного комплекса проведены расчеты плотности распределения тромбоцитов в окрестности повреждения сосудистой стенки.

Аунг Лин

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕНОСА И АГРЕГАЦИИ ТРОМБОЦИТОВ

Автореферат

Подписано в печать 15.10.2014. Формат 60 х 84 7,6. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ №. 370 Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф» 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9