автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование характеристик снежного покрова на основе метода грануляции

На правах рукописи

Жуков Анзор Людинович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СНЕЖНОГО ПОКРОВА НА ОСНОВЕ МЕТОДА ГРАНУЛЯЦИИ

Специальность: 05.13.18-Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ,

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 /> 2012

Таганрог-2012

005045775

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южный федеральный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор,

Сухинов Александр Иванович

Официальные оппоненты: Куповых Геннадий Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор, Технологический институт ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет» в г. Таганроге, зав. кафедрой физики

Чикин Алексей Львович, доктор физико-математических наук, с.н.с, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт аридных зон» Южного научного центра Российской академии наук, главный научный сотрудник

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учрежде-

ние «Высокогорный геофизический институт» Федеральной службы России по гидрометеорологии и мониторингу окружающей среды (ФГБУ «ВГИ»)

Защита состоится «3» июля 2012 г. в Ю20 на заседании диссертационного совета Д.212.208.22 при Южном федеральном университете по адресу:

347928, Ростовская обл., г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д-406

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344000, Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «22» мая 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

А.Н. Целых

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Снег - это природное минеральное образование, отличающееся от других минералов тем, что его существование протекает вблизи тройной точки воды, поэтому процессы его образования содержат неопределенность, а метаморфизм происходит значительно быстрее, чем у других минералов. Снег играет исключительно важную роль в жизни дефляционных регионов земного шара, составляющих значительную часть поверхности суши, особенно в нашей стране. В связи с этим изучение и предсказание свойств естественного состояния снега в природе - снежного покрова (СП) -имеет исключительно важное народнохозяйственное значение.

Основы снеговедения (хионологии) заложены в России А. И. Воейковым. Уже в XIX в. в России исследуется проблема снежных заносов, разрабатывается теория метелей (Н. Е. Жуковский). В 30-х-40-х годах XX в. основная задача при изучении СП была связана с обеспечением гидрологических прогнозов, исследованием процессов таяния и водоотдачи (П. П. Кузьмин и др.). В 50-х и 60-х годах большой вклад в изучение СП внесли Г.К. Тушинский, Г.К. Сулаквелидзе, В.М. Котляков, К.Ф. Войтковский, А.К. Дюнин и ряд других исследователей. В Японии основополагающий вклад в изучение снега внес U. Nakaya, в США - М. Atwater, в Швейцарии — М. De Quervain, а также значительное количество исследователей из других стран. Теоретическое изучение физических свойств СП было проведено в работах М.А. Долова, В.А. Халкечева и ряда других исследователей. В последние годы развивается теория процессов в средах фрактальной структуры, физика которых рассматривается в работах Б.М. Смирнова, Р.И. Нигматулина и др., а математические модели рассматриваются в работах A.M. Нахушева, В.Д. Бейбалаева и др.

Важнейшей задачей хионологии является создание математических моделей и численных методов, позволяющих корректно отображать процессы: возникновения и роста элементов СП (снежинок); формирования СП и его первичного уплотнения; метаморфизма и уплотнения снежного покрова под действием различных факторов; таяния (абляции) снежного покрова, что определяет цель диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является разработка математических моделей этапов полного процесса существования снежного покрова — от формирования его элементов до завершения их метаморфизма в составе снежного покрова. Эти модели должны строиться на основе современных теорий описания сред сложной структуры (фрактальных сред) и должны обеспечивать разработку математически корректных численных методов и эффективных программных средств моделирования процессов формирования и метаморфизма снежного покрова, а также моделирование процессов переноса внутри снежного покрова, определяющих его свойства.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- Разработка общей математической модели формирования фрактальных кластеров, учитывающей совместное действие процессов агрегации и диссипа-

ции элементов кластера и численного метода имитационного моделирования процесса образования кластера;

- Разработка новой математической модели регулярного фрактального объекта (снежинки) как элемента фрактальной среды (снежного покрова) формируемой из отдельных кластеров и численного метода определения параметров такого объекта;

- Разработка общей структурной модели представления фрактальной среды в гранулированной форме (в виде укладки гранул), корректно описывающей структуру такой среды (снежного покрова) и оценивать ее параметры;

- Разработка численного метода расчета аномальных процессов переноса для фрактальных сред, учитывающего качественно новые черты процессов переноса во фрактальных средах в сравнении с процессами в сплошных средах;

- Создание программного комплекса на базе разработанных численных методов, обеспечивающего моделирование всех этапов существования снежного покрова как фрактальной среды.

Объектом исследования в диссертационной работе являются общие математические модели физических процессов, сопровождающих формирование, перенос, уплотнение, метаморфизм, а также физических свойств снежного покрова, разработанные на основе теории грануляции (позволяющей учитывать неопределенность в данных), а также численные методы решения задач на указанных моделях.

Методологическую основу работы составляют теория процессов во фрактальных средах, термодинамика, теория теплопереноса, а также теория грануляции, позволяющая корректно решать ряд задач, ранее изучаемых экспериментальным путем и не лежавших в сфере математического моделирования. Использование теории грануляции позволяет создать математические модели физических процессов в СП на единой основе.

Новыми научными результатами диссертационной работы, выносимыми на защиту, являются:

- Обобщенная математическая модель формирования фрактальных кластеров, которая учитывает совместное влияние процессов агрегации и диссипации на формирование кластера и разработанный на ее основе численный метод имитационного моделирования процесса образования кластера, позволяющий моделировать процессы формирования снежинок (с. 38-44);

- Новая математическая модель регулярного фрактального объекта (снежинки) как элемента фрактальной среды (снежного покрова) формируемой из отдельных кластеров, связывающая геометрические характеристики объекта с его физическими свойствами, а также численный метод определения параметров модели фрактального объекта, построенный на основе разработанной модели (с. 56-66);

- Общая структурная модель представления составной фрактальной среды в гранулированной форме (в виде укладки гранул, содержащих отдельные фрактальные кластеры), корректно описывающая структуру такой среды (снежного

покрова как укладки снежинок) и позволяющая находить ее параметры (с. 95104);

— Численный метод расчета аномальных процессов переноса для фрактальных сред, обладающий абсолютной устойчивостью и эффективно моделирующий качественно новый характер процессов переноса во фрактальных средах в сравнении с процессами в сплошных средах (с. 111-119);

— Программный комплекс на базе разработанных численных методов, обеспечивающий моделирование этапов существования снежного покрова как фрактальной среды и изучать процессы переноса в снежном покрове (с. 129-132).

Теоретическая значимость результатов исследований заключаются во введении нового типа математических моделей элементов снежного покрова на основе синтеза теории фракталов и теории грануляции; разработке математической модели структуры снежного покрова и применении их в задачах изучения аномальных процессов переноса внутри снежного покрова.

Практическая ценность работы определена разработкой эффективных алгоритмов и программ, позволяющих оперативно моделировать на различных вычислительных платформах характеристики жизненного цикла снежного покрова (в условиях неопределенности параметров), а также рассчитывать физические характеристики снежного покрова и процессы в нем. Эти резуль+аты приводят к значительному повышению качества и оперативности анализа данных по состоянию снежного покрова в процессе их оперативной обработки и анализа.

Апробация работы. Научные и практические результаты, полученные в диссертации, изложены в 24 статьях и 5 тезисах, апробированных на всесоюзных и международных конференциях, из них б - в изданиях Перечня ВАК.

Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих всероссийских и международных научных конференциях:

— Международной научно-практической конференции «Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте», Коломна 2009, 2011 гг.;

— V Международной научной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения», Дагестан, Махачкала, 2011 г.;

— Международном конгрессе «Интеллектуальные системы и информационные технологии» (AIS-IT'10), Геленджик-Дивноморское 2009-2011 гг.;

— Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики», Нальчик, 2008-2011 гг.;

— Всероссийской научно-технической конференции «Измерения, автоматизация и моделирование в промышленности и научных исследованиях» (ИАМП-2011), Бийск, 20 И г.;

— Международном симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», Нальчик, 2008-1 1 гг.;

— Всероссийской научной конференции «Интерактивные системы: Пробле-

мы человеко-компьютерного взаимодействия» (ИС-2011) Ульяновск 2011 г.;

- VIII Школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики», Нальчик-Хабез 2010 г.;

- Международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии» ИСТ-2010, Нижний Новгород 2010 г.;

- Научной сессии МИФИ-2010, Москва 2010 г.;

- Международной алгебраической конференции, посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Кострикина, Нальчик 2009 г.;

Тема диссертационной работы поддержана грантом РФФИ № 11-01-90700-моб_ст.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех тематических глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа содержит 153 стр., а также 48 рисунков, 7 таблиц, список литературы из 154 наименований, 72 стр. приложений.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, ее новизна, практическая значимость. Дается обзор основных направлений исследования по изучаемой тематике. Сформулированы цель и задачи исследования, представлены основные положения, выносимые на защиту, охарактеризована структура диссертации.

В первой главе рассматривается агрегационный подход в моделировании различных природных сред, подчиняющихся степенным зависимостям от параметров. Фрактальные свойства этих объектов с математической точки зрения выражаются в том, что если выбрать одну из связанных частиц в качестве центра сферы, радиус которой R существенно превышает размер отдельной частицы среды, то масса вещества т, сосредоточенная внутри сферы, зависит от радиуса по степенному закону

m(R)~R°, (1)

где параметр D является фрактальной размерностью (ФР) объекта, т.е. имеет дробное значение (в отличие от твердых тел, для которых размерность имеет целое значение). Для реальных снежинок, представляющих собой фрактальные кластеры (ФК) этот параметр находится в пределах 1,7<D<2,5 . Из (1) ясно, что размеры ФК ограничены, однако объект может состоять из отдельных ФК (снежный покров). Вводя корреляционную функцию ФК в виде

,ч I А , ч , „ (p(/-')p(r'+r)) fl, if x¡ е Q;

». А-Ц^а. '-W.....«.(2)

где N - число элементов ФК П, i - номер элемента, р - дискретная плотность в точке, мы можем представить ее в степенном виде

Сп (г) = const¡ra , Da =d -а, г » г0. (3)

В области радиусов Л»г»г0, где R - размер ФК, (2) удовлетворяет (3), (2) есть средняя плотность ФК на расстоянии г от произвольной точки, принадлежащей ФК. Средняя плотность внутри произвольной сферы также определяется степенным законом p(r) = const] г1 . Запишем зависимости между размером

кластера R и числом входящих в него частиц N (массой кластера) в виде:

R~ JVP, N ~ R°\ p = \fDt . (4)

Поскольку средняя плотность вещества ФК в сфере радиуса г оценивается с учетом (4) как p{r) = p0(r0/rf~"" , то физически это значит, что с ростом г в объеме ФК будут возникать пустоты. В этом случае граничный размер ФК оценивается также степенным законом R ос г0(р0/pf~"', как оценка максимального размера ФК в пористой среде. На основании степенных законов могут моделироваться характеристики пористых сред (таких, как снежный покров) в области R » г » г0 для ФК, состоящих из частиц с характерным размером г0 и с максимальным радиусом пор R . Максимальный размер пор R может быть оценен как

R~r0(pjpf^. (5)

Фрактальная размерность кластера Dp характеризует также функцию распределения по размерам пор. Пусть пористая среда занимает объем V0 и, соответственно, имеет массу pVQ. Выделим элемент объема, находящийся на расстоянии г«й от ФК:

V{r)~~pVolp{r)-V0(rlRf"\ (6)

На основании законов (1)-(6) возможна оценка важнейших для практики свойств фрактальных сред (снежного покрова). Для использования этих оценок достаточно знать ФР среды. Для СП такие оценки даются на основе алгоритмов оценки ФР снежинок, разработанного в работе.

Численные модели процессов роста концентрации частиц N{t) непрерывной среды за счет диффузии вводятся на основании первого закона Фика и уравнения неразрывности в виде:

8N

——- + divF = 0 , (7)

Gt

где плотность потока частиц F определяется уравнением F = -KVN, где К — коэффициент диффузии. Уравнение (7) решается в ограниченной прямоугольной области Q: {0 <*</,, 0 < < /2} страницей Г на прямоугольной сетке х,. = i\, i = 0,1,...,/г, у, = jh2, j = 0,1,...,т , /г, = Ijn , h2=ljm. Граничные условия задают в виде Дирихле: N{0,y) = ц,(>>), N(l2,y) = ц2(у), уе[0,/2], N{x,0)=ix}{x),N(x,ll) = ii4(x),xe[0Jl] где /, ц,, ц2, ц3, ц4 - заданные функ-

ции. Из (7) получаем уравнение диффузии вещества в пространстве:

8N

dt

■ = KV N .

Для случая моделирования роста в неравновесных условиях (8) следует дополнить граничным условием, описывающим скорость роста на границе объекта

в виде:

о = X nVN, (9)

где X - числовой коэффициент, an- нормальный вектор границы ФК. Как развитие (9) в работах R. Kobayashi предложен подход к моделированию только на границе области роста (potential field method) в виде

r)N

= a2V2CN + R ,

dt

(10)

с анизотропным коэффициентом диффузии К = а2С , и дополнительной функцией Я , определенной на границе области роста (потенциальная функция).

Модель агрегации на основе уравнения диффузии не описывает все возможные механизмы формирования ФК. Поэтому широкое распространение получили методы имитационного моделирования процесса агрегации. В работе предложена новая вероятностная модель конструирования ФК на плоскости в полярной системе координат, что соответствует симметрии снежинок. Следующий рисунок демонстрирует движение частицы диаметра d на полярной плоскости, разбитой по радиусам на пт колец гп = nd, п = 1,2, ...,пт.

г = nd

Рис. 1. Дискретные направления движения частицы в полярной модели.

При очередном переходе частица может присоединиться к кластеру (агрегация с вероятностью р1) или выбить из кластера частицу (диссипация с вероятностью р2=(1-р,)). На полярной плоскости, разбитой кольцами на М„ = |_2тг гп/с1\ ячеек, оценим вероятность агрегации-диссипации в грануле как:

м„ w.

1 +

kd

Рп =

¡Sjl

м.

(11)

л V я /у

Построенный таким образом кластер представляет собой набор слоев, каждый из которых характеризуется тройкой параметров Ип, Мп и и>я е {0,1, ...,8} (в отличие от известной модели, которой учитываются только и Мп ). Тогда масса модели кластера М связана с массой частицы ц размера Л как

М = Ып и фрактальную размерность модели ФК можно определить в виде:

¿г{пт^) = <1\0&М(пт.а)1с1\0£п{п^), . (12)

В зависимости от выбранного параметра диссипации значение с1): модели кластера будет меняться (моделирование степени рыхлости кластера). '

Основные идеи принципа гранулирования были заложены в ряде работ Ь. Zadeh. В них определена роль покрытий подмножеств пространства гранулами, представляющими собой декартовы произведения разбиений координатных осей (декартовы гранулы (рис. 2а)). Задав на плоскости проекции произвольной гранулы (7 как ргхй и ргуС, инкапсулирующую декартову гранулу (7+ будем

считать точной верхней гранью: С = ргхС х ргу(] для С (рис. 2Ь).

ргув

ргО

рг,а х ~ рГ„о и

а) Ь)

Рис. 2. Декартова гранула (а) и инкапсулирующая декартова гранула С для произвольного множества точек плоскости (Ь). В ряде наших работ было введено алгебраическое определение декартовых гранул в пространстве размерности п, заданным с помощью п +1 упорядоченной точки в виде:

; ; 1 ••■ К 1 •■■ -С1 1

(13)

Модель двумерной гранулы С[ы"г типа (13) в полярной (п = 2) и цилиндрической (п = 3) системах координат может быть определена заданием предельных значений полярных радиусов р1 и р2 и полярных углов ф1 и ф2 в виде:

<р'р2 <Р2Р2

<рхр< р2р'

<у/ .

ч>2р'

еУ

2 2 <Р Р

(14)

Три базовые меры на двумерной грануле С2 (14), имеющие очевидный геометрический смысл, задаются в виде:

В частности, используется в анализе размерности фрактальных структур. Введенные модели позволяют строить параметризованные модели фрактальных структур для моделирования снежного покрова. Рис. 3 показывает структуру сегмента предложенного в работе нового типа фрактала - кругового.

1/9 2/9 ач 4/3 5/9 6/9 7/9 8/9 9*9 1/3 2/3

Рис. 3. Базовый элемент параметризованной модели фрактала в полярной системе координат (затравка модели регулярного фрактала) Используя (14) и (15), мы можем получить уравнения численного метода для вычисления площадей параметризованных моделей предфракталов, зависящих от номера поколения Т, от Т = 0 (затравка фрактала по рис. 3) в виде:

I (ЛГ -1)? X

К1 К'

(у + 2)Ф (к-\)ть (У + 2)ф

К1'

ч/.„/,„■ ~

о

(У + 0Ф _ь_ к' ' кг Ц+ 2) Ф Ь

К'

°

О 1

кт

\Г

О 1

к' -1

+ 1

у=0

К' К' К' кт

(у + 1)ф (к-1)гь (у + 1)Ф (к-\)7 ь к" кг

л"

кт

(К-

кт ,/Ф К'1 К' ' К'

КЧ кт

уф (к-\)гь к'' к1

о

(у + 1)ф К'1 (,/ + 1)Ф (к-\)г1

к' ' кт кг к:'

> У = 0,3,7,....

к'

(16)

Значение индекса у значащего отрезка одномерного фрактального объекта в зависимости от поколения / определяется параметром Р< (/С-1). На рис.3 Ф=я/2 соответственно. Численный метод (16) используется для вычисления размерности подобия:

^=-Нт(1п^/1пСяг). • (17)

Если параметры Ь,К,Р выбраны таким образом, что моделируемый фрактал является самоподобным, то для него размерность Хаусдорфа-Безиковича

Во второй главе на основании основных задач, сформулированных во введении и основных положений моделей фрактальных структур, на основе грануляции разработана модель морфологии снежинок, формирующих СП.

Такие физические свойства снега, как плотность, теплопроводность, теплоемкость, пористость, влажность, диэлектрическая постоянная, скорость распространения звука и т. д., для снега принципиально не могут длительно сохраняться, так как меняются формы и размеры снежинок, их связность. Такие особенности снега объясняются тем, что вода на Земле существует в условиях, близких к тройной точке фазовых переходов. Ее состояние определяется метеорологическими параметрами. Относительная влажность воздуха определяется как:

где ЯН — относительная влажность смеси воздуха и водяного пара; р1п 0) — парциальное давление паров воды в смеси, р',;2,<) - равновесное давление насыщенного пара. Если известны температура Т и температура точки росы Тг1

(в градусах Цельсия), то можно записать

ЛЯ =(е„/е,) X 100% , (19)

(«»г,) (Ы)

(273.3 + ) (273.3+7")

где ер= ех ', е1 = ек ' — парциальное давление водяного пара и давление пара при температуре Т, и Т соответственно, а коэффициенты а и Ь выбираются из справочной литературы. Используя (19), мы можем формализовать модель эмпирической диаграммы, разработанной и. Какауа. Лингвистические значения относительной влажности и температуры есть пятерки (¿, Т(Ь),0.,М}, где Ь — имя ЛП; Т(Ц)— множество названий (термов), - базовое множество, М — семантическое правило, отображающее каждый терм (название) в нечеткое подмножество £2 . Переменная 1 - температура воздуха (в градусах по Цельсию):

{Температура, {А1гА2,А},АА,А5,А6,А7,А3,Ач},[0,30],Мг), (20) где семантическая функция МТ задается с помощью набора ФП термов Л, - Л9. Переменная 2 - относительная влажность воздуха (19):

{Влажность,{В,, Я2, Я3, Я4, Я5, в'6}, [0,1.5], Мт), (21)

где Мкн задается с помощью набора ФП термов 5, - В6 (см. рис. 4).

Рис. 4. Диаграмма Иакауа и терм-множества температуры и влажности для нее В результате задача классификации снежных осадков по метеорологическим данным сводится к задаче представления нечеткого графика, моделирующего рис. 4, с помощью нечеткой нейронной сети. Для оценки качества гранулированного представления данных использован информационный подход.

В третьей главе рассматривается существование снежинок после завершения фазы транзита из высоких слоев атмосферы и попадания в снежный покров, который имеет тепловой контакт с почвой снизу и с приземными слоями атмосферы сверху. В работах по физике СП, были предложены модели снежного покрова в виде регулярных геометрических структур (рис. 5а и 5Ь). Модель рис. 5а представляет собой систему регулярно расположенных цилиндров постоянного диаметра, соединяющих верхнюю и нижнюю поверхности СП. Температура и пар распределяются вдоль цилиндров. В модели рис. 5Ь объем снега представляется пакетом пластинок, расположенных перпендикулярно к направлению температурного градиента. Очевидно, что они не отражают фрактальные свойст-

ва СП. Нами предложена новая структурная модель снежного покрова в виде упаковки сфер, содержащих в себе отдельные фрактальные образования (снежинки) (рис. 5с). _

а) Ь) (с

Рис. 5. Регулярные геометрические модели снежного покрова

Изучение табл. 1 показывает, что процесс округления приводит к уменьшению проницаемости гранул, что соответствует экспериментально выявленным свойствам СП.

В рамках используемой структурной модели СП по рис. 5с мы можем, ре-

а) Ь) с)

Рис. 6. Гранулированные модели состояний снежного кристалла Результаты вычислений для моделей рис. 6 приведены в таблице.

Таблица

Вид модели кристалла Проницаемость гранулы

Модель 1 (рис. 6а) 0,893

Модель 2 0,785

Модель 3 (рис. 6Ь) 0,774

Модель 4 (рис. 6с) 0,719

Полная гранула 0,173

Характеристики содержимого сфер (гранул) рис. 6 могут оцениваться по (1)-(6) на основе значения ФР снежинок, получаемой из диаграммы №кауа (рис. 4). Для оценки проницаемости снежинок используем геометрические модели элементов содержимого сфер (рис. 6), которые отображают этапы метаморфизма снежинки в составе снежного покрова - округление - от рис. 6а до рис. 6с в результате диффузии водяного пара и т.д.

шать исследовать возможные механизмы уплотнения СП за счет изменения типа упаковки сфер, что отображено в следующей таблице.

Таблица 2

Вид упаковки Плотность упаковки Ц Кол-во соприкасающихся шаров

Наиболее плотная 0,740 12

Кубическая 0,513 6

Тетраэдральная 0,340 4

Наименее плотная 0,123 4

Передача тепла в среде любой структуры выполняется тремя основными способами: теплопроводностью, конвекцией, излучением. Именно наличие всех трех механизмов переноса тепла требует использования модели аномального теплопереноса. В диссертационной работе рассматривается модель переноса тепла во фрактальной среде, подробно исследованная в работах A.M. Нахушева, В.Д. Бейбалаева и др. Эта модель является общей, поскольку путем выбора граничных условий можно учесть физические условия, связанные с различными направлениями распространения тепла внутри снежного покрова, а путем выбора параметров можно учесть свойства составляющих снежного покрова. В работе рассматривается в области D = {(*,/} :L<x<R, 0<t<T} краевая задача вида:

ct

(22)

где и(х,0) = <р(*), = и м(Л,г) = ц2(/), />0, параметр 1<(3<2,а

коэффициент С(х,1) > 0 . В области £> введем сетку с параметрами:

ш,п = [(х„1п): х,=П1, ,1„=т, г =0,1 ,...,К , п = 0,1,2,..., N , А = 1 т=А,с

К. N

шагом /; по хит по I. Представляя

ди(х,1) и(х,1п+1)-и(х,(П) Ы т

и используя (22), получим

-Т-= ( '0 дхр ++°(т)-

В данном уравнении используется производная Римана порядка р :

_ 1 ¿Уг /(<?)

у" ^ /

(23)

(24)

dx"

—d!;,

(25)

где n - целое число n-1 <е < n . Для аппроксимации (25) используется формула Grunwald, дискретизирующая (25):

■d'"u(x,t) 1

(26)

dx" Г(-/?) —

где Nх - число узлов решетки по .к, h = {x-xL)/Nx , Г(-) - гамма-функция. В

14

(26) используются нормализованные коэффициенты Огип\уа1с1:

_( ,ч*(/>)и-0•••(/?-* + !) к = 1,2,...

Яр.)

На основании (24) и (27) получим неявную схему с опережением на шВститочеч-ном шаблоне вида:

"Г1 = ЬшС?8а -им +(1+б-с;Яр>; + '/," ^,(28)

к = 2

где I = 1,2,...,АГ-1, и = 0,1,2,.1, 6 = г/Ар. В матричной форме (28) можно записать в виде системы линейных уравнений:

т/\ (29)

где ^^[«г^г'.-^г'Т. </" = [«о". и,\-х]г, г=[о,/",/;,...,/;_„о]г.

Теорема 3.1 Неявная разностная схема (28) с матрицей (29) безусловно устойчива.

Доказательство. Собственные значения матрицы (29) находятся в соединении К кругов с центрами в точках ап и с радиусами г , определяемыми нормализованными коэффициентами (27):

П= I I (30)

к=0,к*1 к=0,к

+ (31)

В силу (30), (31) все собственные значения матрицы (29) будут больше единицы, а собственные значения обратной матрицы положительны и меньше единицы. Следовательно, разностная схема (28) безусловно устойчива.

Для проверки разностной схемы в работе использован тестовый пример задачи аномального теплопереноса, имеющей аналитическое решение. Погрешность решения не превосходит е = 0.01.

В четвертой главе рассматриваются вопросы реализации полученных численных методов.

Алгоритм оценки фрактальной размерности элементов СП использует метод оценки размерности Хаусдорфа для фрактальных структур, дополненный схемой покрытий фракталов типовыми гранулами (13) в виде

1

1?, =

М(*?№),)) (тах((х'№);)) Ним,)) НпИ-(*а))

, / = 1,...,// , } = . (32)

С помощью этого алгоритма были исследованы изображения снежинок из базы данных, что позволило оценить параметры размерности реальных снежинок, соответствующих различным зонам диаграммы №кауа.

Разработан также численный метод имитации роста кластера с помощью модели агрегации-диссипации (11), (12).

Разработан метод численной оценки проницаемости фрактальных структур.

Разработан численный метод оценки размерности регулярного фрактала базирующийся на соотношениях (16). Он позволяет исследовать модели фрактальных структур, отличающихся различными параметрами (и, соответственно, геометрией).

Для разностной схемы аномального теплопереноса разработан алгоритм численного расчета процессов аномального теплопереноса для фрактальных структур на основе соотношений (22)-(29). Исследованы различные виды процессов переноса по вертикальному разрезу снежного покрова.

На базе разработанных алгоритмов создан комплекс программ для исследования аномальных процессов во фрактальных структурах на языке высокого уровня Java, позволяющий получить универсальные программные модули, реализуемые на различных платформах. С его помощью был проведен ряд численных экспериментов. Установлено, что в процессе метаморфизма СП изменяется его плотность (табл. 2), и, соответственно температуропроводность С, а также геометрия снежинок, что приводит к изменению параметра ФР для снежной среды р в (22). Следующие рисунки изображают временные слои решения задачи аномальной теплопроводности для СП.

h(M.)

h - 0Л15 т - 0.0005

h (м.)

Финальное распрёделение температуры

V : ре \ч' т Начальное спределение емпературы 045

Финальное распределение

температуры

а) Ь)

Рис. 7. Численное моделирование распределения температуры по вертикальному разрезу снежного покрова при р =1.1, С = 1 (а) и С = 0.1 (Ь) Сравнение рис. 7а и 7Ь показывает, что при достаточно малой величине р образуется зона высокой температуры у основания, что приводит к ускоренному метаморфизму нижних слоев {глубинный иней). В плотном снегу аномальность теплопереноса выражается более явно, что хорошо согласуется с эмпирическим описанием процессов метаморфизма СП. Результаты исследования численной модели СП на основе уравнений аномального теплопереноса хорошо согласуются с опытными данными по свойствам СП и позволяют количественно моделировать крайне важные для практических применений вопросы метаморфизма СП.

Заключение содержит выводы по работе.

Приложения содержат результаты исследования модели агрегации-диссипации, результаты экспериментального исследования фрактальной раз-

мерности снежинок, результаты моделирования проницаемости снежинок, тексты программного комплекса исследования процессов во фрактальных средах.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

- Разработана обобщенная математическая модель формирования фрактальных кластеров, которая учитывает совместное влияние процессов агрегации и диссипации на формирование кластера. Применение этой модели позволяет учитывать тот факт, что, в отличие от известных искусственных фрактальных сред (аэрогели и т.д.) в процессе формирования снежинок молекулы воды могут как агрегировать к кластеру, так и диссипировать от него, что и приводит к разнообразию форм снежинок (с. 38-44);

- Разработана математическая модель регулярного фрактального объекта как элемента снежного покрова формируемого из отдельных кластерных образований (снежинок), которая связывает геометрические характеристики снежинки с ее физическими свойствами и дает возможность с помощью разработанного численного метода определять физические параметры моделируемого фрактального объекта, в то время как известные модели снежинок являются не физическими, а визуальными (с. 56-66);

- Предложена структурная модель представления составной фрактальной среды (снежного покрова) в виде укладки гранул, содержащих отдельные фрактальные кластеры (снежинки), которая физически более корректно описывает структуру снежного покрова и ее параметры, чем это допускают известные модели, представляющие собой системы трубок, плоскостей и т.п. (95-104);

- Разработан численный метод расчета аномальных процессов переноса для фрактальных сред, который обладает абсолютной устойчивостью и высокой точностью и дает возможность численно изучать качественно новый характер процессов переноса во фрактальных средах в сравнении с процессами переноса в сплошных средах. Этот метод носит универсальный характер, поскольку путем выбора параметров он может использоваться и для решения классической задачи теплопереноса (111-119);

- Создан программный комплекс, выполняющий моделирование этапов существования снежного покрова как фрактальной среды и позволяющий изучать процессы переноса в снежном покрове для значительно более широкого класса моделей, чем известные ранее. Он отличается модульностью и расширяемостью за счет использования возможностей современных программных средств (129-132).

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Публикации в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Бутенков С.А., Жуков А.Л., Кривша Н.С., Джинави Я.А. Математические модели сред с фрактальной структурой на основе методов пространственной грануляции // Журнал «Известия ЮФУ. Технические науки», №9, 2011, с. 209218.

2. Бутенков С.А., Жуков А.Л. Численный метод моделирования процессов

агрегации для не декартовых координат // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. - Нальчик:2011, т.13, №2, с. 77-81.

3. Жуков A.J1. Метод построения теоретических фракталов и численного оценивания их свойств // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. - Нальчик:2011, т.13, №2, с. 86-89.

4. Жуков A.JI. Интеллектуальный прогноз и классификация состава свеже-выпавшего снега // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. - Нальчик:2010, т.12, №2, с. 99-103.

5. Сухинов А.И., Бутенков С.А., Жуков A.JI. Моделирование снежного покрова на кластерных вычислительных системах с использованием методов гранулирования многомерных данных // Журнал «Известия ЮФУ. Технические науки», №8, 2009, с. 213-223.

6. Бутенков С.А., Жуков A.JI. Гранулирование геометрических данных в задачах автоматизированного проектирования // Журнал «Известия ЮФУ. Технические науки», №9, 2008, с. 87-92.

Основные публикации в других изданиях:

7. Жуков A.JI. Математическая модель переноса тепла в снежном покрове на основе фрактальных моделей // В сб. трудов V международной научной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения", Республика Дагестан, Махачкала, 26-29 сентября 2011 г., с. 113-122.

8. Жуков A.J1., Бутенков С.А. Геометрический метод моделирования снежных кристаллов в составе снежного покрова // Материалы Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики", Нальчик, 06-09 декабря 2011 г., с. 89-93.

9. S. Butenkov, A, Zhukov, Y. Ginawi, N. Krivsha Fuzzy model using geometrical optics for purpose of observation océan surface under conditions of vvind generated waves // "Interactive systems and Technologies: the problems of HumanComputer Interaction", Collection of scientific papers, Ulianovsk: U1STU, 2011 p 153-156.

10. Бутенков С.A., Жуков A.JI., Кривша H.C. Алгебраический подход в теории информационной и пространственной грануляции на базе элементов Грасс-манна // Сб. трудов Международного конгресса "Интеллектуальные системы и информационные технологии IS&IT-2011", Геленджик-Дивноморское, 02-09 сентября 2011., с. 396-403.

11. Жуков A.JI. Численный метод оценки размерностей для фрактальных моделей с заданными геометрическими свойствами // Материалы IX Международной школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы анализа и информатики", Нальчик, 25-27 мая 2011, с. 45-49.

12. Жуков A.JI., Бутенков С.А. Общая модель фрактального объекта для различной размерности вмещающего пространства // В сб. тр. Второго международного Российско-Казахского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики", Нальчик, 23-27 мая 2011, с. 48-51.

13.Жуков A.JI., Бутенков С.А. О модели формирования фрактальных кластеров с помощью процессов диффузии-диссипации // Материалы Всероссийской

18

конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики", Кабардино-Балкарская республика, Приэльбрусье, 06-09 декабря 2011 г., с. 59-62.

14. Жуков А.Л. Моделирование составляющих снежного покрова с учетом неопределенности // Материалы VIII Международной школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы анализа и информатики", Нальчик, 25-30 июня 2010, с. 42-43.

15.Бутенков С.А., Жуков А.Л., Джинави Я.А. Искусственные нейронные сети на базе нейронов Грассманна // Сб. трудов Международного конгресса "Интеллектуальные системы и информационные технологии AIS-IT'09", Геленд-жик-Дивноморское, 03-10 сентября 2009., с. 82-89.

16. Бутенков С.А., )Куков А.Л. Информационная грануляция на основе изоморфизма алгебраических систем // Сб. трудов Международной алгебраической конференции, посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Кострикина, Нальчик 12-18 июля 2008, с. 106-113.

17. Бутенков С.А., Жуков А.Л., Джинави Я.А. Топологические модели в задачах информационной грануляции // Сб. трудов V Международной научно-практической конференции "Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте", Коломна, 28-30 мая 2009., с. 312-324.

18. Жуков А.Л. Свидетельство об официальной регистрации в Роспатенте программы для ЭВМ «Программный комплекс для расчета процессов теплопе-реноса во фрактальных средах» № 2012614335, 16 мая 2012 г.

В работах, опубликованных в соавторстве, А.Л. Жукову принадлежат следующие результаты: в [1] разработан численный метод оценивания ФР модели; в [2] разработан алгоритм агрегации-диссипации; в [5] разработан метод разбиения диаграммы Nakaya; в [6] предложена модель полярных гранул; в [8] разработан численный метод оценивания проницаемости; в [9] разработан алгоритм оценивания качества модели; в [10] исследованы свойства гранулированной модели; в [12] предложена обобщенная модель снежинки; в [13] предложен метод параметризации модели; в [15] предложено использование модели перцептрона с гранулированием; в [16] введены теоретические основы грануляции в алгебраических системах; в [17] разработана модель минимизации неопределенности на гранулированных моделях.

Соискатель ф------А.Л.Жуков

Подписано в печать «_»_2012г. Формат 60x84/16

Бумага офсетная. Усл. п.л. 1,1. Тираж 100 экз. Заказ № Отпечатано в типографии Технологического института Южного федерального университета в г. Таганроге. Адрес типографии: 347928, Ростовская обл., г.Таганрог, ул. Энгельса, 1.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

ФОРМИРОВАНИЯ ФРАКТАЛЬНЫХ СТРУКТУР.

Введение.

1.1. Агрегационный подход к моделированию физических процессов.

1.2. Степенные законы в моделях агрегации.

1.3. Модели агрегации частиц в неравновесных условиях.

1.3.1. Численные модели агрегации путем диффузии.

1.3.2. Имитационные модели агрегации путем ограниченной диффузии.

1.3.3. Модель ограниченной агрегации-диссипации.

1.4. Модели регулярных фракталов на основе грануляции.

1.4.1. Основы теории пространственной грануляции.

1.4.2. Гранулирование пространства фрактального роста.

1.4.3. Математические модели фракталов с заданными свойствами.

Выводы по главе.

ГЛАВА II. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА

ФОРМИРОВАНИЯ АТМОСФЕРНЫХ СНЕЖИНОК.

Введение.

2.1. Численный метод моделирования роста снежных кристаллов.

2.2. Классификация типов снежинок.

2.3. Эмпирическая модель морфологии снежинок по Nakaya.

2.4. Формализация неопределенности в данных диаграммы Nakaya.

2.5. Модель прогноза морфологии снежинок по метеоданным.

Выводы по главе.

ГЛАВА III. МАТЕМАТИЧЕСКОЕМОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В

СНЕЖНОМ ПОКРОВЕ КАК ВО ФРАКТАЛЬНОЙ СРЕДЕ.

Введение.

3.1. Модель снежного покрова как укладки пространственных гранул.

3.2. Модели аномальных процессов переноса во фрактальных средах.

3.3. Модели аномальных процессов теплообмена.

3.4. Разностная схема модели переноса тепла в снежном покрове.

Выводы по главе.

ГЛАВА IV. РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК СНЕЖНОГО ПОКРОВА И ЕГО

ЭЛЕМЕНТОВ.

Введение.

4.1. Разработка алгоритма экспериментального анализа размерности снежинок.

4.2. Разработка алгоритма генерации стохастических фрактальных структур.

4.3. Разработка алгоритма численного расчета проницаемости моделей фрактальных структур.

4.4. Разработка алгоритма численного анализа размерности моделей фрактальных структур.

4.5. Разработка алгоритма численного анализа аномального переноса для фрактальных структур.

4.6. Проектирование комплекса программ для исследования свойств фрактальных структур.

4.7. Численное исследование свойств фрактальных структур (снежного покрова).

Выводы по главе.

Среди природных явлений, связанных с повседневной и хозяйственной деятельностью человека очень важную роль играют процессы формирования, метаморфизма, использования и таяния снежного покрова (СП) [49,57]. Снежный покров образуется на всех континентах Земли [96]. Ежегодно снегом покрывается до 130 миллионов квадратных километров, образуя дефляционные территории [99,144]. Восьмая часть дефляционной территории приходится на ледники. Снег, отлагающийся там, проходит стадии метаморфизма в составе СП и расходуется на питание ледников [125], порождая элементы глобального метеорологического состояния атмосферы [84,130]. Свободную от ледникового щита сушу покрывает половина глобального СП Земли [126]. При его таянии увлажняется почва, возникают речные половодья и т.д. [61,95,152], а в горной местности возникают такие опасные явления как селевые потоки [55,60].

В круговороте влаги на Земле, от которого, зависит существование всего живого, глобальный СП планеты играет решающую роль. Без него безвозвратно нарушилось бы существующее устойчивое состояние ледников, и большая часть суши превратилась бы в безводную пустыню [47,145,151]. В этой связи изучение СП и его модификаций в рамках ряда самостоятельных дисциплин (хионология [50,93,109,111,152], гляциология [84,86,126,144], изучение лавин [104,113,132,145] и другие смежные области [102,103,105,143.149]) является практически важным и давно ведется в странах, территория которых является дефляционной [57,60,144]. СП обладает индикационными свойствами - структура СП, его текстура (характер слоистости) и даже форма метаморфизованных снежинок в составе СП [21,50,51,61] дают важную информацию о каждом из прошедших событий аналогично структуре и текстуре геологических образований [84]. Полная характеристика структуры и текстуры СП называется его стратиграфией [93]. Индикационные свойства СП можно использовать для оценки элементов местного микроклимата и общей физико-географической ландшафтной обстановки района [86,98]. Исследования прогностических свойств снежного покрова открывают путь к созданию новых, значительно более надежных методик прогноза условий снегозаносимости и лавинной опасности и т. д. [46,113,151]

В свете этих практических задач основная теоретическая задача в области изучения и предсказания состояния СП состоит в разработке новых общих моделей и алгоритмов, позволяющих на основе исходных метеорологических данных рассчитывать процессы, происходящие во время возникновения, метаморфизма и таяния СП [145,152] со следующими практическими целями:

• Получение оценок плотности и объема СП для количественной характеристики накопления в нем влаги и управления снегозадержанием [102,105,130,151];

• Получение оценок механических свойств СП для решения задач защиты инженерных сооружений и транспортных коммуникаций от деструктивных факторов снегонакопления [46,50.56,] и проектирования и эксплуатации сооружений из снега и льда [51,86,94,110];

• Оценка и прогнозирование состояния и поведения ледников, с целью предсказания метеорологических факторов, оказывающих существенное воздействие на климат [125,126,130];

• Оценка свойств СП с точки зрения прогнозов лавинной опасности [21,58,63,70,104,113] и проектирования лавинных защитных сооружений [92,121,132];

• Оценка запасов влаги в СП в горных районах для прогноза селевой опасности [108] и проектированию соответствующих защитных сооружений [143].

Решение этих прикладных задач требует развития аппарата математического моделирования процессов порождения, метаморфизма и таяния снежного покрова, основанного на особенностях физики этих процессов.

С физической точки зрения СП представляет собой совокупность множества частиц (снежинок), взаимодействующих друг с другом. В отличие от сыпучих сред, таких как песок и т.д. [90], снег подвержен метаморфизму -его свойства изменяются со временем. Мелкие частицы снега испаряются быстрее крупных, но в снежном покрове воздушные поры невелики, так что при испарении мелких снежинок поры настолько быстро насыщаются влагой, что начинается обратная кристаллизация из пара [145]. Процесс протекает односторонне - растут только крупные частицы, то есть вещество как бы перегоняется с мелких снежинок на крупные [58,61]. Таким образом, СП является сложной неоднородной физической системой [27,62,100]. Рассматривать модель СП в приближении твердого тела можно только для достаточно больших объемов [58]. Снежинки в составе СП имеют геометрически сложную форму и значительный разброс по размерам. По этой причине многие методы теории жидкости и газа, применимые к физическим системам [55,100,133], являются некорректными при применении к моделированию процессов в СП. Необходимо применение специального инструментария, позволяющего объединять частные результаты, получаемые при изучении различных состояний СП [50,58,61,102,111,113] в единую интегрированную модель [139,140], допускающую эффективную программную реализацию [134,139].

Чаще всего основной элемент СП (снег) рассматривают как один из видов природных льдов Земли [49,84]. В настоящее время гляциология активно превращается из описательно-географической [12,49] в количественную, физическую науку [98,145]. Такой же представляется и ее ветвь - снеговедение, или хионология, определяемая как часть гляциологии, посвященная всестороннему изучению снега и снежного покрова [50,58,86,103].

Основы снеговедения заложены А. И. Воейковым - с 1891 г. в России проводятся снегомерные съемки. В других странах они начаты позже: в США с 1910 г., в Японии с 1948 г. Уже в XIX в. в России исследуется проблема снежных заносов, разрабатывается теория метелей (Н. Е. Жуковский). В 30-х-40-х годах XX в. основная задача при изучении СП была связана с обеспечением гидрологических прогнозов, исследовалось территориальное размещение снегозапасов, процессы таяния и водоотдачи из снега (П. П. Кузьмин и др.). Для создания научных основ снежной мелиорации Г. Д. Рихтер предложил районирование по режиму СП. В 50-х и 60-х годах большой вклад в изучение механизма метелей внес А. К. Дюнин [59-63].

Особое место в хионологии занимает изучение лавин. Многочисленные описательные модели, появившиеся в альпийских странах в конце XIX и начале XX вв., в 30-х годах сменились физическим подходом к моделированию морфологии и активности лавин - изучением условий формирования лавин и особенностей их схода. Этому способствовало создание первой лавинной станции в Давосе (Швейцария) и начало интенсивного освоения горных территорий в СССР, в первую очередь Кавказа и Хибин [57,84,94,96,104]. В 30-х и 40-х годах предлагается ряд классификаций лавин. В Японии основополагающий вклад в изучение снега и лавин внес U. Nakaya, в США - М. Atwater, в Швейцарии - М. De Quervain. В работах Г.К. Тушинского изучается их движение и ударная сила [92,132, 108,113]. Разработаны основные принципы прогнозирования лавин из свежевыпавшего снега и сделаны первые шаги в прогнозе лавин из метаморфизированного снега [92,126,145].

Важнейшей задачей математического аппарата хионологии является создание математических моделей, позволяющих корректно описывать физические процессы:

• возникновения и роста элементов СП (снежинок) [12,98];

• формирования СП и его первичного уплотнения [59,63,111,];

• метаморфизма и уплотнения снежного покрова под действием различных факторов [58,61,103];

• таяния (абляции) снежного покрова [21,61,102].

Одна из сложностей изучения СП как неоднородной среды заключается в том, что существует огромное количество различных форм снежинок. В 1954 году по результатам исследований U. Nakaya [12] Комиссией снега и льда Международной ассоциации научной гидрологии была разработана

Международная классификация снега [109]. Атмосферные снежинки в ней разделены на 10 больших классов, каждый класс делится на разновидности. Однако со временем любой СП полностью меняет свою структуру - становится более крупнозернистым, радикально меняется форма зерен [49,58,60]. В частности, появление глубинного инея в снежном покрове горных склонов - грозный предвестник лавинной опасности [21,46,113].

Кристаллизация водяного пара в углублениях и на пересечениях снежинок, на более крупных снежинках за счет испарения мелких, а также дальнейшие стадии метаморфизма снега внутри СП - сложнейший и до сих пор еще в деталях не изученный процесс. Форма объемных приращений кристалла должна соответствовать, по принципу Кюри, минимуму свободной поверхностной энергии при данном объеме. Для капли воды это шар, для кристалла льда - шестигранник, шестигранный цилиндр и их сочетания [145]. Основным результатом метаморфизма СП является его фирнизация - превращение СП в фирн, то есть плотную среду, состоящую из ледяных комочков и зерен, ничего общего не имеющих с первоначальными кристаллами снега [58,152]. Плотность фирна варьирует от 0,35 до 0,8 г/см . Фирн образуется на ледниках, так как именно на них направления силы тяжести и внут-риснежной миграции пара, как правило, совпадают [96,98]. Фирн - закономерная переходная стадия между снегом и ледником. Фирн, постепенно уплотняясь, переходит в лед [93].

Имеющиеся математические модели процесса метаморфизма СП основаны на моделировании теплопереноса и диффузии водяного пара в средах с регулярной структурой [48,58]. В процессах перекристаллизации снежного покрова и при лавинообразовании важное значение имеет миграция водяного пара в толще снежного покрова [61,102]. Эти модели получены для приближения структуры СП в виде некоторых типов регулярных структур [58].

Однако использованные в указанных работах геометрические модели структуры СП и полученные на их основе математические модели далеко не точно описывают процессы метаморфизма СП [69,71]. Слабо исследованы в настоящее время процессы структурного уплотнения СП (например, за счет ветрового воздействия [50,59,63]). В настоящее время большинство исследователей считает, что перенос вещества в толще снега зависит главным образом от градиента температуры. Строгая зависимость величины коэффициента диффузии водяного пара от температуры, плотности и структуры снега может быть установлена только на основе большого числа экспериментов при проведении специальных исследований [61,103,125,152].

Подводя итоги, можно отметить, что попытки теоретического изучения свойств снега с помощью упрощенных моделей однородной однофазной среды и регулярных структур были, как правило, неудачными [61,62].

В связи с необходимостью развития теоретических основ и численных методов моделирования сложных гляциологических структур и в связи с ограниченностью классических методов моделирования физических процессов в средах простой структуры, необходима разработка новых обобщающих моделей, позволяющих интегрировать в своей структуре отдельные существующие разнородные модели на новой математической основе, и позволяющие строить для своего исследования эффективные численные методы и алгоритмы анализа и прогноза состояния снежного покрова [118-123,137,139]. Необходимо также учитывать возможность эффективного использования новых математических моделей в геоинформационных системах сбора, анализа и обобщения многомерных данных наземных исследований [72] и дистанционного зондирования поверхности Земли [140,141] с учетом возможных погрешностей и неопределенностей в получаемых данных [30,36,41]. В результате следует создать математические модели, позволяющие корректно описать весь жизненный цикл элемента СП (снежинки) от момента образования и транзита в атмосфере, до процессов ее метаморфизации в составе СП.

В течение ряда последних лет в научной литературе наблюдается процесс, оценка роста скорости которого близка к экспоненциальному росту. Толчок ему был дан выходом книги В. Mandelbrot [11]. В дальнейшем подход, основанный на поиске фрактальных закономерностей [15], был развит во все возрастающем множестве исследований, обзор которых можно найти в новом издании книги [107]. Некоторые общие закономерности новых моделей разнородных процессов могут быть обобщены на основе современной теории хаоса [15,101].

Многие особенности моделей, приводящих к фрактальным законам, связаны с броуновским характером различных физических процессов. Это приводит к появлению сходных моделей для информационных потоков, береговых линий и стока рек, явлений турбулентности, границ облаков, форм рельефа поверхности Земли и т.д. [5,8,17,64,101,127,128,146-148] В настоящей работе мы не будем рассматривать этот класс моделей фрактальных структур, поскольку они являются дескриптивными.

Значительно больший интерес представляют конструктивные модели фрактальных объектов. Они основываются в основном на идее агрегации сложных объектов из простых элементов [112]. Модели процесса агрегации используются на макроуровне [5] (образование галактик), мезоуровне [146,147] (формирование планет и процессы на их поверхности), и микроуровне [138,148] (получение новых типов материалов). Агрегация (сбор, слипание, аккреция и т.п.) играет ведущую роль во многих естественных и искусственных процессах [15,17].Типичнейшей особенностью фрактальных объектов является их самоподобие [11]. С точки зрения моделей агрегации самоподобие можно объяснить наличием иерархии кластеров, объединяющихся в процессе агрегации [107]. Кластером принято называть самопроизвольно возникающую совокупность связанных между собой частиц, когда силы взаимодействия между частицами являются преобладающими [137]. Внутри кластера сохраняется индивидуальность отдельных частиц, однако со стороны кластер представляется как образование с качественно новыми свойствами, которые отсутствуют у отдельных частиц. Фрактальный кластер представляет собой ассоциацию связанных между собой частиц, имеющих фрактальное строение [137]. Свойства фрактальных кластеров, образованных из дисперсных частиц, существенно зависят от условий сборки. Определяющими агрегацию факторами являются: характер процесса (кластер-частица или кластер-кластер); характер движения частиц или кластеров (детерминированное или стохастическое); характер объединения частиц или кластеров (описание сил, способствующих объединению). Учет этих факторов позволяет описать практически все указанные выше модели процессов агрегации [911,148]. В частности, разнообразие форм снежинок (как в атмосфере, так и в составе СП) объясняется именно их кластерным характером [36,66].

Для решения подобного класса задач, связанных с неточностью, нечеткостью в классе искусственных (технических) систем (аналог рыхлости самоподобной структуры физической среды) L. Zadeh был предложен в 1994 г. интегрирующий (зонтичный) термин мягкие вычисления {soft computing) [1820]. В [20] дана современная классификация видов неопределенности в задачах моделирования. Математическую основу, объединяющую описанные выше эмпирические подходы к анализу многомерных данных физических измерений параметров сложных, многокомпонентных сред, составляет теория информационной грануляции (ТИГ) в формулировке JT. Задэ [18]. В ряде работ последнего времени была показана высокая общность методов ТИГ [3,30-45,78,79,82,83], применяемых в различных прикладных областях, а также их применимость в моделировании пространственной грануляции сложных геометрических объектов [39,42,45,78,139] (на примере моделирования процесса формирования снежинок по модели Nakaya [12]) и проведена теоретическая разработка основ применения подобных моделей [79,81,82].

Целью диссертационной работы является разработка математических моделей этапов полного процесса существования снежного покрова - от формирования его элементов до завершения их метаморфизма в составе снежного покрова. Эти модели должны строиться на основе современных теорий описания сред сложной структуры (фрактальных сред) и должны обеспечивать разработку математически корректных численных методов и эффективных программных средств моделирования процессов формирования и метаморфизма снежного покрова, а также моделирование процессов переноса внутри снежного покрова, определяющих его свойства.

Задачи диссертационной работы, которые необходимо решить для достижения поставленной цели, включают в себя:

• Разработку общей математической модели формирования фрактальных кластеров, позволяющей учитывать совместное действие процессов агрегации и диссипации элементов кластера и численного метода имитационного моделирования процесса образования кластера;

• Разработку новой математической модели регулярного фрактального объекта (снежинки) как элемента фрактальной среды (снежного покрова) формируемой из отдельных кластеров и численного метода определения параметров такого объекта; I

• Разработку общей структурной модели представления фрактальной среды в гранулированной форме (в виде укладки гранул), позволяющей более корректно описывать структуру такой среды (снежного покрова) и оценивать ее параметры;

• Разработку численного метода расчета аномальных процессов переноса для фрактальных сред, позволяющего учитывать качественно новые черты процессов переноса во фрактальных средах в сравнении с процессами в сплошных средах; Создание программного комплекса на базе разработанных численных методов, позволяющего моделировать все этапы существования снежного покрова как фрактальной среды.

Практическая ценность результатов исследований определена их применением для решения задач исследования и предсказания поведения сложных природных сред (таких как снежный покров) нового типа моделей, основанных на использовании дробных операторов для моделирования аномальных процессов во фрактальных средах.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка источников и приложений.

Выводы по главе

В главе IV на основании результатов, полученных в предыдущих главах, разработан ряд алгоритмов, положенных в основу комплекса программ, позволяющих реализовать полный цикл изучения снежного покрова, а также предсказания его свойств и прогноза их изменения. Это дало возможность, отталкиваясь от опытных данных по свойствам снежинок и снежного покрова, рассматриваемого как укладка гранул, содержащих отдельные снежинки, количественно моделировать ряд широко известных из опыта свойств СП.

Разработанные алгоритмы являются оригинальными решениями ранее известных задач, построенными на качественно новой основе - грануляции пространственных данных, что определяет их высокую эффективность в сравнении с уже известными численными методами.

В отличие от ранее известных алгоритмов, разработанные в главе алгоритмы базируются на единой концептуальной и математической основе, что позволяет широко использовать в них типовые блоки расчета на гранулированных данных для решения широкого круга практически полезных задач. В результате удалось разработать эффективную программную реализацию данного комплекса алгоритмов с использованием сравнительно небольшого объема программного кода.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В связи с необходимостью получения качественно новых математических моделей и численных методов моделирования сложных гляциологических структур и в связи с ограниченностью классических методов моделирования физических процессов в средах простой структуры, в диссертационной работе уделено внимание разработке новых обобщающих математических моделей, позволяющих интегрировать в своей структуре отдельные существующие разнородные модели на единой математической основе (пространственной грануляции). Для этих математических моделей в диссертационной работе разработаны новые численные методы, позволяющие эффективно оценивать параметры снежного покрова и моделировать процессы переноса в нем.

В соответствии с поставленной целью работы - разработкой математических моделей этапов полного процесса существования снежного покрова -от формирования его элементов до завершения их метаморфизма в составе снежного покрова, в диссертационной работе решен ряд задач, приводящих к практической реализации данной цели.

• Разработана обобщенная математическая модель формирования фрактальных кластеров, которая позволяет учитывать совместное влияние процессов агрегации и диссипации на формирование кластера, что позволяет с помощью разработанного на ее основе численного метода проводить численные эксперименты для изучения условий формирования снежинок. Применение этой модели позволяет учитывать тот факт, что, в отличие от известных искусственных фрактальных сред (аэрогели и т.д.) в процессе формирования снежинок молекулы воды могут как агрегировать к кластеру, так и диссипировать от него, что и приводит к разнообразию форм снежинок (с. 38-44);

• Разработана математическая модель регулярного фрактального объекта как элемента снежного покрова формируемого из отдельных кластерных образований (снежинок) позволяет связать геометрические характеристики снежинки с ее физическими свойствами и с помощью разработанного численного метода определять физические параметры моделируемого фрактального объекта, в то время как известные модели снежинок являются не физическими, а визуальными (с. 56-66);

• Предложена структурная модель представления составной фрактальной среды (снежного покрова) в виде укладки гранул, содержащих отдельные фрактальные кластеры (снежинки), позволяет физически более корректно описывать структуру снежного покрова и находить ее параметры, чем это позволяют сделать известные модели, представляющие собой системы трубок, плоскостей и т.п. (95-104);

• Разработанный численный метод расчета аномальных процессов переноса для фрактальных сред, обладает абсолютной устойчивостью и высокой точностью и позволяет численно изучать качественно новый характер процессов переноса во фрактальных средах в сравнении с процессами переноса в сплошных средах (111-119). Этот метод носит универсальный характер, поскольку путем выбора параметров он может использоваться и для решения классической задачи теплопереноса;

• Созданный программный комплекс позволяет моделировать этапы существования снежного покрова как фрактальной среды и изучать процессы переноса в снежном покрове для значительно более широкого класса моделей, чем известные. Он отличается модульностью и расширяемостью за счет использования возможностей современных программных средств (129-132).

Научные и практические результаты, полученные в диссертации, были апробированы на ряде всероссийских и международных научных конференций. Тема работы поддержана грантом РФФИ № 11-01-90700-мобст. Практическая ценность результатов исследований определена созданием программного комплекса для решения задач математического моделирования процессов формирования и метаморфизма снежного покрова, который может применяться для широкого круга практических применений.

1. Babuska R. Construction of Fuzzy Systems Interplay between Precision and Transparency. // Proc. of ESIT-2000, September 2000, Aachen, Germany.

2. Baldwin, J.F., T.P. Martin, and J.G. Shanahan. Modelling with words using Cartesian granule features, in FUZZ-IEEE. 1997. Barcelona, Spain: pp 1295-1300.

3. Butenkov S. Granular Computing in Image Processing and Understanding. // In Proc. of IASTED International Conf. on AI and Applications "AIA-2004", Innsbruk, Austria, February 10-14, 2004.

4. Camara G. et al., SPRING: Integrating Remote Sensing and GIS with Object-Oriented Data Modelling. // Computers and Graphics, 1996. 15(6): p. 13-22.

5. Elmgreen B.G., Elmgreen D.M. Fractal structure in Galactic Star Fields // Astronomical Journal, v. 121, №3, 2001.

6. Erwig M., Schneider M. Vague Regions// 5th Int. Symp. on Advances in Spatial Databases (SSD) 1997 - LNCS 1262 - P.298-320.

7. F. Klein. Elementarmathematik vom Hoheren Standpunkte Aus Erster Band. Verlag von Julius Springer, Berlin, 1924.

8. Lauwerier H.A. Fractals Images of chaos - Princeton Univ. Press, 1991.

9. Loskutov A, Andrievsky D., Ivanov V. and Ryabov A. Growth dynamics of rotating DLA-clusters // In: "Emergent Nature". Proc. of the Int. Conf. "Frac-tal'2002", Granada, Spain, March 2002. Ed. M.M.Novak.- World Scientific, 2002, p.263-272.

10. Loskutov A., Andrievsky D., Ivanov V., Vasiliev K. and Ryabov A. Fractal growth of rotating DLA-clusters // in Proc. of Macromol. Symp., 2000, v. 160, p.239-248.

11. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman and Company, NY, 1982.

12. Nakaya U. Snow Crystals: Natural and Artificial Harvard University Press, 1954. 510 p.

13. Oldham K., Spanier J. Fractional Calculus London, New York: Academic Press, 1973.

14. Schroeder M. Fractals, Chaos, Power laws: Minutes from Infinite Paradise. W.H. Freeman and Company, NY, 1991.

15. Gorial I.I. Numerical Methods for Fractal Reaction-Dispersion Equation with Riesz Spsce Fractional Derivative // Engineering and Technology Journal, vol. 29, №4, 2011, pp. 709-715.

16. Zadeh L.A. Fuzzy sets and information granularity // in Advances in Fuzzy Set Theory and Applications, Gupta, N., Ragade, R. and Yager, R. (Eds.), North-Holland, Amsterdam, 1979, pp. 3-18.

17. Zadeh L.A. Is there a need for Fuzzy logic? // Information Sciences, 178 (2008) 2751-2799.

18. Zadeh L.A. Toward a Generalized Theory of Uncertainty. Information Sciences Informatics and Computer Science, vol. 172, pp. 1^40, 2005.

19. Анисимов М.И. Снег и снежные обвалы М.: Изд-во АН СССР, 1958. 100 с.

20. Барановский Е. П. Упаковки, покрытия, разбиения и некоторые другие расположения в пространствах постоянной кривизны // Итоги науки. «Алгебра. Топология. Геометрия». 1967 г. -М.: ВИНИТИ, 1969, с. 189-225.

21. Бейбалаев В.Д. Задача теплопереноса в средах с фрактальной структурой // Материалы второй Международной научной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения».- Махачкала, 2007. -с. 56-60.

22. Бейбалаев В.Д. Математические модели неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Таганрог:2009.

23. Бейбалаев В.Д. Численный метод решения задачи переноса с двусторонней производной дробного порядка // Вестник Самарского гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки.- Т. 1(118).- 2009.

24. Бейбалаев В.Д. Численный метод решения математической модели теплопереноса в средах с фрактальной структурой // Фундаментальные исследования.- 2007.- №12.- с. 249-251.

25. Беляев В.И. Теория сложных геосистем. Киев: Наук, думка, 1978. -155 с.

26. Божокин C.B. Свойства космической пыли // СОЖ, т.6, №6, 2000.

27. Браже P.A. Концепции современного естествознания. Материалы к семинарским занятиям. Учебное пособие / Р. А. Браже, Р. М. Мефтахутдинов-Ульяновск: УлГТУ, 2003. 126 с.

28. Бутенков С.А. "Формализация неопределенности в многомерных данных". // В сб. трудов международной научно-технической конференции „Интеллектуальные системы" (IEEE AIS'03), Москва, Физматлит, 2003, с. 104113.

29. Бутенков С.А. Грануляция и инкапсуляция в системах эффективной обработки многомерной информации. Искусственный интеллект", научно-теоретический журнал Национальной академии наук Украины, №4, 2005, с. 106-115.

30. Бутенков С.А. Развитие парадигмы интеллектуального анализа многомерной информации применительно к теории информационной грануляции// Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте.

31. Сборник научных трудов IV Международного научно-практического семинара.-М.: Физматлит т. 1 - 2007. - С. 188-194.

32. Бутенков С.А., Джинави Я.А., Жуков А.Л., Кривша Н.С. Математические модели сред с фрактальной структурой на основе методов пространственной грануляции // Журнал "Известия ЮФУ. Технические науки", №8, 2011, с. 209-218.

33. Бутенков С.А. Математические модели процессов на фрактальныхструктурах с заданными свойствами на основе методов пространственной грануляции // Журнал "Известия ЮФУ. Технические науки", №8, 2011, с. 199-208.

34. Бутенков С.А., Жуков A.JL, Кривша Н.С., Джинави Я.А. Нечеткие подходы в моделях геометрической оптики для космического мониторинга водной поверхности // Сб. трудов Пятого Белорусского космического конгресса, Минск, 25-27 октября 2011 г. с. 113-118.

35. Бутенков С.А., Кривша В.В., Бутенков Д.С. Гранулированные вычисления в системах интеллектуального анализа пространственных данных. // В сб. трудов Международной конференции "ИАИ-2005", Киев, 17-20 мая 2005, с. 79-85.

36. Бутенков С.А. Алгебраические модели в задачах интеллектуального анализа многомерных данных// Математическая теория систем 2009 (МТС-2009). Сборник научных трудов международной научно-технической конференции, Москва, 26-30 января 2009, С. 93-101.

37. Бутенков С.А., Жуков A.J1. Гранулирование геометрических данных в задачах автоматизированного проектирования// Известия вузов: ТТИ ЮФУ. Технические науки. 2008. - № 12. - С.138-146.

38. Бялобжеский Г.В. Дорога и грозные явления природы.- М.: Транспорт, 1991. 144 с.

39. Бялобжеский Г.В., Амброс P.A. Повышение эффективности и экономичности снегозадерживающих устройств-М.: Автотрансиздат, 1956. 104 с.

40. Вабенко Ю. Тепломассообмен. Метод расчета тепловых и диффузионных потоков-Л.: Химия, 1986.

41. Вейнберг П. Снег, иней, град, лед и ледники,- Одесса: Mathesis, 1909127 с.

42. Войтковский К.Ф. Механические свойства снега М.: Наука, 1977. 128 с.

43. Войтковский К.Ф. Расчет сооружений изо льда и снега М.: Изд-во АН СССР, 1954. 136 с.

44. Гачаев А. М. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробными производными и им сопутствующие интегральные операторы // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Нальчик, 2006.

45. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия.- М.: Наука, 1981.

46. Голованов H.H. Геометрическое моделирование.- М.:Физматлит, 2002, 472 с.

47. Гончаров B.II. Основы динамики русловых потоков- Л.: Гидрометео-издат, 1954. 452 с.

48. Гуленко H.H. Снегоуборочные машины и механизмы М.: Транспорт, 1966. 132 с.

49. Дайсон Дж. Л. В мире льда / пер. с англ. Л.: Гидрометеоиздат, 1966. 232 с.

50. Долов М.А., Халкечев В.А. Физика снега и динамика снежных лавин. -Л.: Гидрометеоиздат, 1972.

51. Дюнин А. К. Механика метелей. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1963.380 с.

52. Дюнин А.К. В царстве снега-Новосибирск:Наука, 1983, 127 с.

53. Дюнин А.К. Испарение снега. Новосибирск; РИО СО АН СССР, 1961, 120 с.

54. Дюнин А.К., Борщевский Ю.Т., Яковлев H.A. Основы механики многокомпонентных потоков-Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1965. 76 с.

55. Дюнин А.К., Матвиенко B.C. Механика горных метелей / В кн.: Материалы гляциологических исследований, хроника, обсуждения. Вып. 23. М.: Институт географии АН СССР, 1975, с. 136-141.

56. Жиков В.В. Фракталы // Соросовский Образовательный Журнал. 1996. № 12. С. 109-117.

57. Жуков A.JI. Метод построения теоретических фракталов и численного оценивания их свойств // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии Наук. Нальчик 2011 г. т. 13., №2, с. 86-89.

58. Жуков A.J1. Интеллектуальный прогноз и классификация состава све-жевыпавшего снега // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии Наук. Нальчик 2010 г. т. 2., с. 99-103.

59. Жуков A.J1. Моделирование экстремальных природных процессов с использованием ГИС-технологий // Сборник научных трудов СЕВКАВГИПРОВОДХОЗ выпуск 18 Пятигорск 2009 г. с. 83-84.

60. Жуков А.Л., Бутенков С.А. Интеллектуальные модели физическихпроцессов на основе теории информационной грануляции //В сб. трудов Научной сессии МИФИ-2010, Москва, 25-31 января 2010,т.З, с. 76.

61. Жуков А.Л., Бутенков С.А. Информационная грануляция на основе изоморфизма алгебраических систем //В сб. трудов международной алгебраической конференции, посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Ко-стрикина, Нальчик, 12-18 июля 2009г., 206-213.

62. Заморский А.Д. Атмосферный лед. Иней, гололед, снег и град. М-Л.: Изд-во АН СССР, 1955. 380 с.

63. Злобин В. С. Первичная продукция и культивирование морского фитопланктона. М., 1976. 247 с.

64. Инженерная гляциология / Под ред. проф. Г.К. Тушинского М.: Изд-во МГУ, 1971.208 с.

65. Карпенко СВ., Коровяков Д.А. О характеристиках фрактальных кластеров // В сб. трудов международного Российско-Абхазского симпозиума „Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики", Нальчик-Эльбрус, 17-22 мая 2009, с. 122-123.

66. Килбас A.A. Асимптотические представления дробных интегралов // Изв. вузов. Математика, 1990, № 1, 30-40.

67. Киселев В.В. Планктон морей и континентальных водоемов Л.: Наука, 1980.

68. Клейн Г.К. Строительная механика сыпучих тел М. Стройиздат, 1977, 256 с.

69. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии Москва, Ленинград: Научное издательство НКТИ СССР, 1937, 440 с.

70. Козик С.М. Расчет движения снежных лавин- Л.: Гидрометеоиздат, 1962. 76 с.

71. Коломыц Э.Г. Структура снега и ландшафтная индикация М.: Наука, 1976.208 с.

72. Комаров A.A. Предупреждение снежных заносов на дорогах Заполярья.- Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1965. 160 с.

73. Кондратьев К.Я., Мелентьев В.В. Космическая дистанционная индикация облаков и влагосодержания атмосферы. Л.:Гидрометеоиздат, 1987, 263 с.

74. Котляков В.М. Снежный покров Земли и ледники-. Л.: Гидрометеоиздат, 1968. 480 с.

75. Котляков В.М. Тайны ледников М.: Знание, 1965. 64 с.

76. Кочанов И.Д. Методы изучения снежного покрова Л.; Гидрометеоиздат, 1971. 228 с.

77. Кочанов И.Д. Снежный покров на территории СССР.- Л.: Гидрометеоиздат, 1978. 184 с.

78. Крайко А.П., Нигматулин Р.И., Старков В.К., Стернин Л.И. Механикамногофазных сред В кн.: Итоги науки и техники. Сер. Гидромеханика. Т. 6. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1972, с. 93-174.

79. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. М., 2000.

80. Кузьмин П. П. Процесс таяния снежного покрова. Л.: Гидрометеоиздат, 1961.348 с.

81. Кузьмин П. П. Физические свойства снежного покрова. Л.: Гидрометеоиздат, 1957. 180 с.

82. Лавинная и селевая опасность на трассе БАМ- М.: Изд-во МГУ, 1980. 190 с.

83. Макарычев Н.Т. Некоторые вопросы лесомелиорации в дефляционных районах Северного Казахстана // Вестник с.-х. науки, Алма-Ата, 1958, № 3, с. 84-86.

84. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.:Наука, 1970, 392 с.

85. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

86. Матвиенко B.C. Теоретическая модель снежных отложений на горном подветренном склоне. / В кн.: Материалы гляциологических исследований, хроника, обсуждения. Вып. 26 М.: Институт географии АН СССР, 1975, с. 179-183.

87. Международная классификация снега. // В кн.: Материалы гляциологических исследований, хроника, обсуждения, вып. 10 М.: Институт географии АН СССР, 1964, с. 254-265.

88. Мельник Д.М. Предупреждение снежных заносов на железных доро-гах.-М.: Транспорт, 1966. 244 с.

89. Мигель В.М., Руднева A.B., Липовская В.И. Переносы снега при метелях и снегопады на территории СССР Л.: Гидрометеоиздат, 1969. 204 с.

90. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов- Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 160 стр.

91. Москалев Ю.Д. Возникновение и движение лавин.- Л.: Гидрометеоиздат, 1966. 152 с.

92. Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д. Численные методы решения краевой задачи для уравнения теплопереноса с производной дробного порядка // Вестник ДГУ,- 2008.- Вып.6.- С. 46-54.

93. Нахушев А. М. Задачи со смешением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с.

94. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применениеМ.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2003.-272 с.

95. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. — М: Высш. шк. 1995.-301 с.

96. Нахушева В. А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006 173 с.

97. Нахушева В.А. Некоторые классы дифференциальных уравнений математических моделей нелокальных физических процессов. Нальчик: КБНЦ РАН. 2002. 100 с.

98. Нахушева В.А. Об одной модели процессов переноса // Материалы Международного Российско-Узбекского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики».- Нальчик-Эльбрус, 2003,- С. 142-144.

99. Нахушева В.А. Об одной математической модели переноса тепла в почве // Материалы международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», Нальчик, 2006.- с. 208-209.

100. Нахушева В.А. Фрактальные модели адиабатических процессов // Сб. трудов международного Российско-Азербайджанского симпозиума „Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики", Нальчик-Эльбрус, 2008, с. 125-129.

101. Нигматуллин Р. Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // Теоретическая и математическая физика, Т. 90, № 3, март, 1992.

102. Петров В.Н. Атмосферное питание ледникового покрова Антарктиды.-JL: Гпдрометеоиздат, 1975. 152 с.

103. Попов А.П., Тушинский Г.К. Мерзлотоведение и гляциология. Краткий курс М.: Высшая школа, 1973. 272 с.

104. Потапов А. А. Фракталы в радиофизике и радиолокации.— М: Логос, 2002.

105. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение.-М.:Мир, 1989, 478 с.

106. Рихтер Г.Д. Снег и его использование М.: Знание, 1960. 82 с.

107. Роджерс К. Укладки и покрытия М.: Мир, 1968.

108. Саатчян Г.Г. Снег и снежные обвалы Труды Тбилисского НИИ сооружений, 1936, вып. 27.

109. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с.

110. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы: Учебное пособие для вузов.- М.: Наука. Гл. ред. Физико-математической литературы, 1989, 432 стр.

111. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения Минск: Наука и техника, 1987, 688 с.

112. Светлаков А.Н. Особенности вычисления характеристик фрактальной пыли // В сб. трудов международной научно-технической конференции „Искусственные интеллектуальные системы" (IEEE AIS'06), Москва, Физматлит, 2006, т.2, с. 110-115.

113. Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров. М.: Наука, 1991. .- 136 с.

114. Смирнов Б.М. Фрактальный клубок новое состояние вещества // Успехи физических наук, Август 1991, Т. 161. № 8.

115. Сухинов А.И., Бутенков С.А., Жуков A.J1. Моделирование снежного покрова на кластерных вычислительных системах с использованием методов гранулирования многомерных данных // Журнал "Известия ЮФУ. Технические науки", №8, 2009, с. 213-223.

116. Тарасевич Ю. Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы: Учебное пособие. М.: Едиториал УРСС, 2002. 112 с.

117. Тушинский Г.К. Защита автомобильных дорог от лавин М.: Авто-трансиздат, I960. 152 с.

118. Тушинский Г.К. Ледники, снежники, лавины Советского Союза М.: Изд-во геогр. литературы, 1963. 312 с.

119. Тушинский Г.К., Гуськова Е.Ф., Губарева В.Д. Перекристаллизация снега и возникновение лавин,- М.: Изд-во МГУ, 1953. 116 с.

120. Ульмшнайдер П. Разумная жизнь во Вселенной.- Долгопрудный: Издательский дом «Интеллект», 2009, 344 с.

121. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.

122. Фракталы в физике // Труды VI Межд. симпозиума по фракталам в физике. М.: Мир, 1988.

123. Чернявский А.С. Снежные заносы и борьба с ними Железнодорожное дело, 1994, №25-27.

124. Шаскольская М.П. Кристаллы-М.: Наука, 1978, 143 с.

125. Шульгин A.M. Снежный покров и его использование в сельском хозяйстве-Л.: Гидрометеоиздат, 1962. 84 с.

126. Шумский П.А. Основы структурного ледоведения М.: Изд-во АН СССР, 1955. 492 с.

127. Шурганова Г.В., Иудин Д.И., Гелашвили Д.Б., Якимов В.Н. Мультиф-рактальный анализ видового разнообразия зоопланктоценозов Чебоксарского водохранилища //В сб. докладов Всероссийской конференции «Актуальные проблемы водохранилищ», 2002, Борок, ИЭВВ РАН.