автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численно-аналитические методы математического моделирования нелинейных обобщенно-механических систем в среде компьютерной математики MAPLE

4845442

Халед Хоссиен Мохамед Абдулла

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБОБЩЕННО-МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ В СРЕДЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ МАРЬЕ

Специальность: 05.13.18- «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 2 МАЙ 2011

Казань 2011

4845442

Работа выполнена на кафедре геометрии и математического моделирования Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор . Игнатьев Юрий Геннадьевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Дьяконов Владимир Павлович доктор физико-математических наук, профессор Кирпичников Александр Петрович

Ведущая организация:

Московский энергетический институт (технический университет)

Защита состоится «27» мая 2011 г. в 16 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 2l2.080.13 при Казанском государственном технологическом университете по адресу: 420015, г. Казань, ул. К. Маркса, д. 68, зал заседаний Ученого совета (аудитория А-330).

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный гербовой печатью, просим направлять по адресу: 420015, г. Казань, ул. К. Маркса, д. 68, Казанский государственный технологический университет, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.080.13.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Казанского государственного технологического университета.

Автореферат разослан « » апреля 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор / ^ А .В. Клинов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современные технологии все чаще сталкиваются с нелинейными процессами, описываемых системами нелинейных дифференциальных уравнений высоких порядков. Создание численно-аналитических компьютерных методов исследования и математического моделирования этих процессов с учетом возможного изменения их параметров является актуальной задачей.

Уникальные графические возможности системы компьютерной математики (СКМ) Maple, в частности, возможности создания трехмерных анимационных моделей, хорошо проработанные программные процедуры численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), сплайновой и В - сплайновой интерполяции функций позволяют рассматривать СКМ Maple в качестве мощного современного инструмента математического моделирования объектов механики и родственных им. В настоящее время методы математического моделирования в СКМ начали эффективно применяться в исследованиях математических моделей как фундаментальных физических явлений, так и прикладных задач. Важным преимуществом СКМ Maple является и возможность интеграции этой системы с СКМ MatLab, которая хорошо приспособлена к моделированию электронных систем и технологических процессов.

Объектом диссертационного исследования является математическое моделирование нелинейных обобщенно - механических систем, (НОМС), в среде компьютерной математики Maple. Характерными особенностями таких систем являются их нелинейность или высокий порядок описывающих их дифференциальных уравнений или возможная их неавтономность, т.е., зависимость от внешних нестационарных условий, или - и то, и другое, и третье вместе. В большинстве случаев порядок уравнений, п=2, однако, например, при рассмотрении движения релятивистской заряженной частицы в магнитном поле с учетом магнито-тормозного излучения п=3; а в ряде случаев п может достигать и значения 4. Следует подчеркнуть общую тенденцию развития математических моделей реальных физических процессов, наметившуюся в последние годы, - их существенно нелинейный характер и повышение порядка соответствующих дифференциальных уравнений. Одним из механизмов повышения порядка дифференциальных уравнений, описывающих динамические системы, является учет обратного полевого воздействия среды на движение динамической системы. Таков, например, механизм появления производных третьего порядка в уравнениях электродинамики.

Как известно, достаточно эффективных и общих методов аналитического исследования поведения НОМС, описываемых задачей Коши, не существует. Применение же методов качественной теории дифференциальных уравнений требует, во-первых, автономности системы(1), а, во-вторых, с увеличением

числа степеней свободы, S>2', системы сложность исследования с помощью качественной теории дифференциальных уравнений, а тем более, их визуализации, резко возрастает при. Фактически, единственным надежным методом исследования нелинейных механических систем является численное решение задачи Коши, которое сводится обычно к численному интегрированию нормальной системы ОДУ с соответствующими начальными условиями. Необходимость применения достаточно сложных численных методов, связанная с этим обстоятельством необходимость профессионального программирования, сложность манипуляций с численными решениями, в частности, сложности визуализации динамики нелинейных механических систем являются совокупным фактором, резко ограничивающим область исследуемых нелинейных механических систем, как математикам, так и специалистам в приложениях математики, не являющихся профессиональными программистами. Системы компьютерной математики, в принципе, заметно приближают таких специалистов к применению методов компьютерного моделирования, но все же и здесь применительно к исследованию систем нелинейных ОДУ для таких специалистов сохраняется заметная диспропорция между затраченными усилиями и получением результата. Кроме того, при прямом применении программных процедур СКМ, по-прежнему, остаются слабыми возможности проведения компьютерного моделирования систем с большим числом степеней свободы и параметров.

Целью работы является разработка методов численно-аналитического исследования и математического моделирования в среде компьютерной математики Maple нелинейных обобщенно-механических систем, создание программного комплекса для компьютерного моделирования этих систем, а также исследование некоторых конкретных обобщенно-механических систем с помощью развитых методов.

Для достижения этой цели поставлены следующие задачи:

1. разработать алгоритмы и комплекс программ автоматизированного ввода нелинейной системы ОДУ произвольного порядка, разрешенной относительно старших производных, преобразования задачи Коши к задаче Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений и ее численного решения;

2. разработать численно-аналитические методы математического моделирования нелинейных обобщенно-механических систем на основе сплайно-вой экстраполяции функций и комплекс программ автоматизированной сплайновой и В-сплайновой экстраполяции численных решений системы, описывающих нелинейную обобщенно-механическую систему;

3. разработать алгоритмы и комплекс программ конвертирования сплайнов и В-сплайнов в кусочно-заданные непрерывно-дифференцируемые функ-

1 см., например, Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. I. Итоги науки и техники. - М.: Изд-во ВИНИТИ. -1960.-244 с.

ции и вычисления на основе последних производных, сложных функций и определенных интегралов;

4. разработать на основе интегрирования полученных программных средств комплекс программ, позволяющих осуществлять управляемый вывод численных решений систем нелинейных дифференциальных уравнений в аналитической форме;

5. провести тестирование разработанного программного комплекса на точность и скорость вычислений на основе сравнения полученных решений с точными для точно интегрируемых систем ОДУ;

6. разработать на основе полученных программных средств алгоритмы и управляемые программные процедуры динамической визуализации математических моделей обобщенно-механических систем;

7. построить с помощью разработанных алгоритмов и программных средств компьютерные динамические модели ряда конкретных обобщенно-динамических систем: электродинамических, оптических, геометрических.

Объектами исследования являются нелинейные обобщенно-механические системы в релятивистской электродинамике, геометрической оптике, дифференциальной геометрии и т.п..

Предмет исследования составляют численно-аналитические компьютерные модели в системе компьютерной математики, позволяющие проводить исследование сложных нелинейных обобщенно-механических систем. Методы исследования. Методологической основой исследования являются теоретические основы механики, электродинамики и геометрической оптики, математический анализ, теория дифференциальных уравнений, теория сплайнов, тензорный анализ, численные методы и язык программирования Maple. Достоверность полученных результатов подтверждается:

• строгим использованием математического аппарата теории сплайнов и В-сплайнов, теории дифференциальных уравнений, применением апробированных численных методов решения нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений;

• совпадением решений полученных численно-аналитическими методами в системе Maple с точными решениями нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений;

• совпадением поведения компьютерных моделей, полученных с помощью созданного комплекса программ, с изученным ранее другими методами поведением таких систем.

Научная новизна состоит:

1. в разработке комплекса программ в системе компьютерной математики Maple, позволяющих автоматически получать решение нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в форме сплайнов и В-сплайнов;

2. в разработке численно-аналитических методов исследования, математического и компьютерного моделирования нелинейных обобщенно-

механических систем в среде компьютерной математики Maple, разработке программных средств математического анализа полученных решений и тем самым - компьютерных- аналитических методов исследования нелинейных обобщенно-механических систем и методов динамической визуализации их математических моделей.

Практическая значимость. Предложенные методы, алгоритмы и комплекс программ позволяют проводить численно-аналитическое компьютерное моделирование в среде компьютерной математики Maple обобщенно-механических систем, обладающих высокой степенью нелинейности и характеризующимися высокими порядками соответствующих систем дифференциальных уравнений. На основе предложенных методов разработан и протестирован программный комплекс в среде Maple для исследования и компьютерного моделирования нелинейных обобщенно-механических систем. Разработанный комплекс апробирован для получения численно-аналитических решений точной модели движения релятивистских заряженных частиц в электромагнитных полях с учетом магнитотормозного излучения, модели распространения света в оптически неоднородных средах с дисперсией, задачи дифференциальной о восстановлении кривых по их натуральным уравнениям, имеющей важное практическое применение в ориентации на местности. Эти решения доведены до реализации в системе Maple в виде динамических, графических компьютерных моделей с управляемыми параметрами, позволяющих проводить компьютерные эксперименты с нелинейными обобщенно-механическими системами. Разработаны системы динамического моделирования нелинейных обобщенно-механических систем, которые имеют большое практическое значение для создания лабораторных тренажеров для исследования и изучения различных нелинейных механических, геометро-оптических и электродинамических систем.

Внедрение результатов. Результаты, полученные в диссертационной работе, используются в учебном процессе в Татарском государственном гуманитарно-педагогическом университете

• в курсе по выбору «Задачи динамики в символьной математике» и при выполнении курсовых и дипломных работ - по специальности «Математика и информатика»;

• курсах «Дифференциальные уравнения в системах компьютерной математики», «Математическое моделирование в системах компьютерной математики», курсе по выбору «Технологии создания пользовательских библиотек и лекционных демонстраций в системах компьютерной математики» и при выполнении магистерских диссертаций - по специальности «Информационные технологии в физико-математическом образовании» для магистрантов.

Апробация работы. Основные положения и результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на:

• XXIII-ой Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании», Пенза, 2009 г.;

• Международной научно-технической конференции «Научно-методические проблемы геометрического моделирования, компьютерной и инженерной графики в высшем профессиональном образовании», Пенза, 2009 г.;

• 5-й Международной научно-технической конференции «Информатизация процессов формирования открытых систем». Вологда, 2009 г.

• 8-й молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения». Казань, 2009 г.;

• 10-й Международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения», Смоленск, 2010 г.;

• 11-й Международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения», Смоленск, 2010 г.;

• Российской летней школе «Математическое моделирование фундаментальных объектов и явлений в системах компьютерной математики». Казань, 2010 г.

На защиту выносятся:

1. Методы численно-аналитического моделирования нелинейных обобщенно-механических систем в среде компьютерной математики Maple, основанные на сплайновой интерполяции результатов численного интегрирования;

2. Комплекс программ в системе компьютерной математики Maple автоматического распознавания, численного решения нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и автоматического решения нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в формате сплайнов, В-сплайнов и кусочно-заданных функций;

3. Комплекс программ в системе компьютерной математики Maple математического анализа полученных в форме сплайнов и В-сплайнов решений;

4. Компьютерное моделирование в системе компьютерной математики Maple конкретных нелинейных обобщенно-механических систем и построение их визуальных динамических моделей.

Публикации. Основное содержание работы опубликовано в 9 печатных работах, три из которых в журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы, включающего 118 наименований.

Полный объем работы составляет 160 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности работы, сформулированы ее

цели и научная новизна.

Первая глава посвящена разработке алгоритмов и комплекса программ автоматизированного численного интегрирования нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка в системе компьютерной математики Maple. В этой главе содержится краткий обзор литературы по компьютерному моделированию в системах компьютерной математики, описаны возможности основных систем компьютерной математики, основные особенности системы компьютерной математики Maple, позволяющие проводить численно-аналитическое исследование нелинейных обобщенно-механических систем. Аналитические методы исследования нелинейных, автономных динамических систем разработаны в трудах В.И. Арнольда, Д.В. Аносова, В.И. Ильюшенко, В.В. Козлова, и др. Основы компьютерного моделирования в системе компьютерной математики Maple описаны в трудах В.П. Дьяконова, A.B. Матросова, Д.П. Голоскокова, М.Н. Кирсанова и др. В разделе 1.1 рассмотрены принципы программирования в системе компьютерной математики Maple и создания собственных пользовательских библиотек программных процедур. Эти вопросы описаны в трудах В.П. Дьяконова, М.Н. Кирсанова и A.B. Матросова.

Рассматриваемые в диссертации нелинейные обобщенно-механические системы описываются системой N нелинейных ОДУ, разрешенных относительно старших производных функций y^f), вида:

yf'=Fi(yl,...,y„,y\,...,y\,y\,...,y\,...,y^\ty, (i = ÜN), (1)

где У"' =d"y/dt" - обозначение n-той производной функций у, по независимой переменной /, - времени, F, - дифференцируемые функции своих аргументов; «, eZ, с начальными условиями:

Л)=с,'; (A=vvIi;i=nN), (2)

соответствующих стандартной задаче Коши, где Сf - начальные значения производных к-го порядка функций у if). Число степеней свободы НОМС, S, определяется выражением:

S = f>, • (3)

f=i

В разделе 1.3 описана блок-схема разработанного комплекса программ. При разработке алгоритмов и комплекса программ ставились задачи:

1. достижения максимальной внешней простоты программных процедур для непрофессиональных в программировании пользователей;

2. предоставления пользователю возможности управления процессом численного интегрирования;

3. возможности вывода численных решений и манипуляции ими в формах, наиболее близких к функциональным;

4. достижения максимальной скорости вычислений при сохранении их точности.

Важной идеей построения пакета программ явилась идея использования сплайновой и В-сплайновой интерполяции функций, позволившей создать ав-

томатизированный вывод численных решений ОДУ в форме кусочно-заданных функций. Важным достоинством разработанного комплекса программ является его независимость от версии Maple, начиная с версии 1997 года Мар1е5.5 и кончая версией 2009 года Мар1е14. Представленный комплекс программ состоит из двух независимых пакетов программ (Рис. 1).

Рис. 1. Блок-схема комплекса программ исследования нелинейных обобщенно механических систем.

Пакет программ DifEq содержит программы распознавания введенных системы дифференциальных уравнений и начальных условий (а), программы автоматического преобразования введенных данных в задачу Коши для нормальной системы относительно унифицированных переменных, (Ь), программы численного решения задачи Коши на заданном интервале с возможностью контроля и переключения метода численного интегрирования при заданном значении независимой переменной, (с). Пакет программ Splines содержит программы генерации равномерных кубических сплайнов и В-сплайнов по заданной функции на заданном интервале, (d,f), программы конвертирования сплайнов и В-сплайнов в кусочно-непрерывные функции и обратные операции, (e,g), программы операций над сплайнами (h). Операции указанных пакетов интегрируются в программе конвертирования численных решений в кусочно-заданные функции, (i). Указанные пакеты программ оформлены в виде библиотек пользовательских программ, что позволяет загружать их с помощью стандартной процедуры.

В первой главе диссертации описан пакет DifEq, основные его алгоритмы и программные процедуры, также в этой главе приведены результаты тестирования созданного пакета программ на точность и скорость вычислений путем сравнения получаемых численных решений с точными решениями нелинейных

систем ОДУ. В результате тестирования сделан вывод наилучшей точности встроенных в Maple численных методов интегрирования нелинейных систем ОДУ Розенберга и Тейлора и наихудшей точности классического метода, являющегося комбинацией методов Эйлера, Рунге-Кутга 2-го порядка и других методов (Рис. 2).

о -2 -4 -6

-8 -10

Рис. 2. Зависимость среднего логарифма абсолютной погрешности, lg|y(x)-yo(x)|, методов численного решения задачи Коши: гк45 - метод Рунге-Кутта-Фехлберга 4-5 порядков, rk78 -метод Рунге-Кутта 7-8 порядков, Rosn- метод Розенброка, Stif- метод stiff, Tayl - метод разложений Тейлора, Cías - классический метод.

На Рис. 3 показаны результаты вычисления скорости численного интегрирования эталонной существенно нелинейной системы ОДУ на компьютере среднего класса (AMD Ath!on™64x2 DualCore Processor 4200+2.2 ГГц 2,00 ГБ ОЗУ).

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 о

rk45 rk78 Stif Rosn

III

... ¡1

" f=9 ¡ í rñi • i

Рис. 3. Зависимость среднего времени, Т (в секундах), расчета и построения конфигурационной диаграммы для системы (11)-(12) от методов численного решения задачи Коши: rk45 -метод Рунге-Кутта 4-5 порядков, rk78 - метод Рунге-Кутга 7-8 порядков, Rosn- метод Розенброка, Stif- метод stiff. Cías - классический метод.

Данные о скорости вычислений методом разложения в ряды Тейлора, taylor, не приведены на гистограмме Рис. 9, поскольку это время несопоставимо велико по сравнению с другими методами. Так, например, время, затрачиваемое на вычисления с помощью метода Рунге-Кутта составляет для рассмотренного примера порядка 0.062 сек, в то время, как эта же операция, выполненная с по-

мощью метода Тейлора занимает 66,2 сек, т.е., в 1000 раз больше. Классический метод дает слишком плохие результаты для нелинейных систем ОДУ. Таким образом, оптимальными методами вычислений (достаточно хорошая точность при высокой скорости вычислений) можно признать методы Розенброка и stiff-метод, а методом, дающим наибольшую точность при средней скорости вычислений можно признать метод Рунге-Кутта- 7-8 порядков. Программный пакет DifEq содержит также программную процедуру автоматизированного численного решения задачи Коши с перезагрузкой начальных условий в заданной точке. Как показывают вычисления, такой метод позволяет получить лучшие результаты для ряда систем ОДУ.

Во второй главе диссертации посвящена разработке центральной идеи работы - созданию методов и программных средств исследования, математического и компьютерного моделирования нелинейных обобщенно-механических систем на основе сплайновой и В-сплайновой интерполяции численных решений. В этой главе описаны алгоритмы и программные процедуры пакета Splines комплекса программ. Дана краткая справка о сплайновой и В-сплайновой интерполяции функций и соответствующих встроенных процедурах СКМ Maple. Встроенные процедуры позволяют лишь получать сплайно-вую и В-сплайновую интерполяцию по заданному упорядоченному списку числовых значений независимых переменных и функций, причем сплайны и В-сплайны выводятся в форматах, не приспособленных для математического моделирования. Для автоматизированного вывода численных решений в аналитическом виде и возможности их свободного конвертирования в различные форматы понадобилась разработка алгоритмов и программных процедур операций математического анализа выводимых численных решений. В этой главе представлены:

1. алгоритмы и программные процедуры конвертирования равномерных кубических сплайнов и В-сплайнов в кусочно-заданные непрерывно-дифференцируемые функции на отрезке вида:

соответственно;

2. алгоритмы и программные процедуры генерации равномерных кубических сплайнов и В-сплайнов из непрерывных на отрезке функций;

3. алгоритмы и программные процедуры вычисления функций от сплайнов вида Р(5(х),х) и функций от двух сплайнов вида 0г),£2 (*),*);

4. алгоритмы и программные процедуры вычисления значений производных произвольного порядка от сплайнов в заданной точке;

5. алгоритмы и программные процедуры вычисления неопределенных интегралов вида:

при этом результат интефирования сам является сплайном; 6. алгоритмы и программные процедуры вычисления определенных интегралов

вида:

где [с, <1] - произвольный отрезок.

Созданные программные процедуры содержат управляющие параметры, позволяющие функционально управлять процессами конвертирования сплайнов и вычисления операций от сплайнов. Эта процедуры протестированы на ряде примеров. Заметим, что, конечно, указанные операции можно было бы произвести и в численном виде на основе численных решений, не конвертируя их в сплайны и В-сплайны. Но при этом было бы необходимо либо каждый раз при вычислениях, например, при построении графиков, проводить заново численное интегрирование дифференциальных уравнений, либо хранить эти решения в памяти компьютера в виде таблиц с весьма мелким шагом, что резко (по крайней мере, на порядок) увеличивает время построения компьютерной модели и кроме того ограничивает возможности управления ее параметрами. Таким образом, в третьей главе создан алгоритмический и программный аппарат математического анализа исследования в системе компьютерной математики нелинейных систем дифференциальных уравнений. В программном модуле (¡) комплекса программ происходит конвертирование получаемых численных решений в кусочно-заданные аналитические функции. Созданный программный аппарат математического анализа этих функций позволяет проводить аналитические исследования математических моделей нелинейных обобщенно-механических систем. Приведен пример исследования нелинейной точно интегрируемой системы ОДУ с помощью разработанного комплекса программ.

Третья глава посвящена разработке методов визуализации, в том числе и динамической, а также построению компьютерных моделей ряда конкретных нелинейных обобщенно-механических систем на основе разработанного комплекса программ. Систематизированы и развиты методы построения динамических компьютерных моделей, их динамического графического и цифрового оснащения, позволяющего создавать качественные и наглядные анимационные модели механических систем. Приведены примеры построения динамических графических моделей механических систем. Построены компьютерные модели ряда конкретных нелинейных обобщенно-механических систем. В Частности, рассмотрен пример исследования релятивистской электродинамической системы на основе точных уравнений электродинамики, являющейся предметом исследования в связи с приложениями в физике ускорителей заряженных частиц и физике космических лучей. Обычно исследование движения релятивистских заряженных частиц в электромагнитных полях с учетом торможения излучением проводят на основе приближенных уравнений второго порядка. В диссертации рассматривается точная модель движения релятивистских заряженных частиц, описываемая системой четырех нелинейных дифференциальных уравне-

ний третьего порядка, которые после масштабирования приводятся к виду тензорных уравнений:

<?!;' а1? 3 с?? (¡^ ... —.

—- = ~1и —1--—-+---■,---ф. (<Д = 1,4),

с!а' ¿сг' с!а йи 2 ¿а" 2 ¿а

где:

%'=х'1г„ (*4=с<); а = сг!г0\ е =

(4)

е' „ еЕ „ е> „ еН -ттЕ = г0 —; Р = Н = г0—г т с тс т с тс

г0=—- = 2.8ЬНГ|3ал - классический радиус электрона, ?/' = Шг£(-1,-1,-1,+1)-тс

тензор Минковского. Система уравнений (4) должна решаться с одним уравнением связи на первые производные координат:

чЛ^-1. (5)

аа аа

Обсуждена постановка задачи Коши для системы (4)-(5):

К.

с1о

<ЛГ

йог

(6)

Предложены две практически значимые постановки задачи Коши, первая из которых соответствует равному нулю ускорению в момент собственного времени о0, вторая - отсутствию магнитотормозного излучения в этот момент.

¡жназ он ш ешэ ш ее а ежн ш е ш

_:_

<Х7. ■ ! > I—300 Ч .' Ы -ч к. ^ - -.-ц: .

. Тпе 01". Э/дШМ .

Рис. 4. Рабочий лист программы Мар1е8 с выведенным трехмерным графиком конфигурационной траектории релятивистского электрона в скрещенных электромагнитных полях с учетом торможения излучением в точной математической модели.

Рис. 5. Результаты компьютерного моделирования точной математической модели движения релятивистской заряженной частицы с учетом магнитотормозного торможения: а, в - конфигурационные траектории, б,г - фазовые.

Также в этой главе приведены результаты исследования задач геометрической оптики и геодезии. На Рис. 6 показаны результаты компьютерного моделирования распространения лучей света в неоднородной оптически прозрачной среде в модели геометрический оптики. В этом случае математическая модель сводится к исследованию геодезических линий в трехмерном римановом пространстве, метрика которого определяется тензором диэлектрической проницаемости2.

2 См., например, Л.Д Ландау, Е.М. Лифшиц., Теоретическая физика в 10 томах . Том 2 Теория поля М.: Наука. - 198S. 508 е.; Дубровин Б.А., Новиков СЛ., Фоменко А.Т., Современная геометрия. Методы и приложения. -М.: Наука, 1986. - 761 с.

Рис. 6. Результаты компьютерного моделирования движения лучей света в оптически прозрачной неоднородной среде: а - случай фокусировки, б - случай расхождения лучей, в,г -расщепление белого луча на три цветных в диспергирующей неоднородной среде.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы. В приложении содержатся фрагменты комплекса программ, реализованного в системе компьютерной математики Maple.

Основные результаты диссертационной работы:

1.

в системе компьютерной математики Maple создан комплекс программ автоматического распознавания и управляемого численного интегрирования задачи Коши для нелинейной системы произвольного числа обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка, в системе компьютерной математики Maple разработаны численно-аналитические методы и программные средства исследования, математического и компьютерного моделирования нелинейных обобщенно-механических систем, основанные на сплайновой и В-сплайновой интерполяции результатов численного интегрирования.

3. в системе компьютерной математики Maple создан комплекс программ, позволяющий автоматически конвертировать получаемые численные решения нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений в сплайны и В-сплайны с возможностью управления процедурой; разработаны программные средства математического анализа получаемых в форме сплайнов и В-сплайнов решений.

4. проведено тестирование комплекса программ на точность и скорость вычислений на основе сравнения получаемых численных решений с результатами для точно решаемых систем нелинейных дифференциальных уравнений.

5. на основе разработанных программных средств разработаны методы динамической визуализации в пакете компьютерной математики Maple нелинейных обобщенно-механических систем; с помощью разработанного программного комплекса и методов динамической визуализации проведено компьютерное моделирование ряда конкретных обобщенно-механических систем.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В изданиях, предусмотренных «Перечнем изданий ВАК»:

1. Игнатьев Ю.Г. и Абдулла Х.Х. Математическое моделирование нелинейных обобщенно - механических систем в системе компьютерной математики Maple. - Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки.-2010,2 (14), с. 67-77.

2. Игнатьев Ю.Г. и Абдулла Х.Х. Комплекс программ для математического моделирования нелинейных электродинамических систем в системе компьютерной математики Maple. - Вестник РУДН, серия «Математика. Информатика. Физика». - 2010, № 4, с. 65-76.

3. Игнатьев Ю.Г., Абдулла Х.Х. Математическое моделирование нелинейных обобщенно - механических систем в системе компьютерной математики Maple. - Вестник ТГГПУ. - 2010, № 2, с. 22-27.

В других изданиях:

4. Игнатьев Ю.Г., Абдулла Х.Х. Анимационные математические модели механических систем в системах компьютерной математики. // Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании. XXIII международная научно-техническая конференция. Сборник статей. Пенза: Изд-во Пензенской государственной технологической академии, 2009, С. 96-98.

5. Игнатьев Ю.Г., Абдулла Х.Х. Графическое моделирование механических систем в системах компьютерной математики. // Научно-методические проблемы геометрического моделирования, компьютерной и инженерной графики в высшем профессиональном образовании. Международная научно-техническая конференция. Сборник статей. Пенза: Изд-во Приволжского дома знаний, 2009, С. 68-69.

6. Игнатьев Ю.Г., Абдулла Х.Х. Создание анимационных математических моделей нелинейных механических систем в системах компьютерной математики. // Информатизация процессов формирования открытых систем. Материалы 5-й Международной научно-технической конференции. . Вологда: Изд-во Вологодского государственного научно-технического университета,

2009, С. 110-114.

7. Абдулла Х.Х. Программные процедуры численного решения задачи Коши для нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в пакете компьютерной математики Maple. // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Казанское математическое общество, 2009, С.388-390.

8. Игнатьев Ю.Г., Абдулла Х.Х. Программные процедуры численного решения задачи Коши для системы нелинейных дифференциальных уравнений в форме сплайнов. // Системы компьютерной математики и их приложения. Материалы 11-й Международной конференции, Смоленск: изд-во СмолГу,

2010.-С. 23-24.

9. Игнатьев Ю.Г., Абдулла Х.Х. Комплекс программ для математического моделирования нелинейных обобщенно-механических систем в системе компьютерной математики Maple. // Труды Российской летней школы «Математическое моделирование фундаментальных объектов и явлений в системах компьютерной математики». Казань: изд-во «Фолиант», 2010 , С. 32-45.

Отпечатано в типографии «Деловая полиграфия» 420111, г. Казань, ул.М. Межлаука, 6 т/ф (843) 292-08-43 e-mail: iwnitipografia@list.ra

Подписано в печать 18.04.2011 г. Бумага офсетная Тираж 100 экз.

Введение

Глава I. Алгоритмы и комплекс программ численного интегрирования системы ОДУ

1.1 Системы компьютерной математики и математическое моделирование.

1.2 Блок-схема комплекса программ.

1.3 Пакет программ преобразования системы уравнений и решения задачи Коши DifEq.

1.4 Пример решения с помощью пакета DifEq нелинейной системы ОДУ 3-го порядка.

1.5 Тестирование точности и скорости вычислений.

Глава II. Численно-аналитические методы математического моделирования НОМС

II. 1 Элементы теории сплайновой интерполяции.

11.2 Причины необходимости конвертировании численных решений в сплайны.

11.3 Сплайны в системе Maple.

11.4 Процедуры конвертирования сплайнов.

11.5 Программные процедуры операций над сплайнами.

11.6 Программные процедуры операций над В - сплайнами

11.7 Онлайновое представление численного решения системы ОДУ.

11.8 Пример компьютерного исследования системы нелинейной системы ОДУ.

Глава III. Динамическая визуализация и компьютерное моделирование НОМС

III. 1 Пользовательские процедуры анимации.

111.2 Движение релятивистского заряда в электромагнитных полях.

111.3 Восстановление кривой по ее натуральным уравнениям

111.4 Световые лучи в оптически неоднородной среде.

Согласно одному из основоположников математического моделирования, академику A.A. Самарскому, (см., например, [1]) математическая модель - это эквивалент объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т. д.» [1], причем «. сама постановка задачи о математическом моделировании какого - либо объекта порождает четкий план действий. Его можно условно разбить на три этапа: модель -алгоритм-программа (см. Рис. 1).

Рис. 1. Триада математического моделирования A.A. Самарского (из книги [1]). На первом этапе выбирается (или строится) "эквивалент" объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи присущие составляющим его частям и т.д. Математическая модель (или ее фрагменты) исследуется теоретическими методами, что позволяет получить важные предварительные знания об объекте.

Второй этап - выбор (или разработка) алгоритма для реализации модели на компьютере. Модель представляется в форме, удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно.произвести, чтобы найти искомые величины с заданной точностью. Вычислительные алгоритмы должны не искажать основные свойства модели и, следовательно, исходного объекта, быть экономичными и адаптирующимися к особенностям решаемых задач и используемых компьютеров.

На третьем этапе создаются программы, "переводящие" модель и алгоритм на доступный компьютеру язык. К ним также предъявляются требования экономичности и адаптивности. Их можно назвать "электронным" эквивалентом изучаемого объекта, уже пригодным для непосредственного испытания на "экспериментальной установке" - компьютере. Создав триаду "модель - алгоритм - программа", исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в "пробных" вычислительных экспериментах. После того как адекватность (достаточное соответствие) триады исходному объекту удостоверена, с моделью проводятся разнообразные и подробные "опыты", дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта. Процесс моделирования сопровождается улучшением и уточнением, по мере необходимости, всех звеньев триады.».

Таким образом, академик A.A. Самарский дал четкое, ставшее классическим, определение объекта математического моделирования и основных задач математического моделирования.

Уникальные графические возможности системы компьютерной математики (СКМ) Maple, в частности, возможности создания трехмерных анимационных моделей, хорошо проработанные программные процедуры численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), сплайновой и В - сплайновой интерполяции функций позволяют рассматривать СКМ Maple в качестве мощного современного инструмента математического моделирования объектов механики и родственных им [3] [7]. В настоящее время методы математического моделирования в СКМ начали эффективно применяться в исследованиях математических моделей как фундаментальных физических явлений, так и прикладных задач. В частности, монографии Д.П. Голоскокова [4, 5] целиком посвящены проблемам математического моделирования в СКМ Maple объектов математической физики - физических полей, гидродинамических процессов, процессов теплопереноса и диффузии; в фундаментальной монографии В.П. Дьяконова [6] обширная глава посвящена применению СКМ Maple в математическом моделировании, в частности, моделировании электронных схем и измерительных систем на основе эффекта Допплера; монографии М.Н. Кирсанова [7] содержит материалы по применению графов в математическом моделировании и математическому моделированию сложных механических систем со связями и визуализации математических моделей этих систем [8]. В работах Ю.Г. Игнатьева с соавторами [9] - [17] методы математического моделирования с помощью СКМ Maple успешно применяются для решения весьма сложных задач релятивистской кинетики, теории гравитации и космологии ранней Вселенной. В последнее время СКМ Maple, особенно ее приложение Maplet, стала применяться для компьютерного моделирования процесса обучения, в частности, для создания системы аналитического тестирования знаний [18, 19, 20]. Важным преимуществом СКМ Maple является и возможность интеграции этой системы с СКМ MatLab, которая приспособлена к моделированию электронных систем и технологических процессов.

Объектом диссертационного исследования является математическое моделирование нелинейных обобщенно - механических систем, (НОМС), в среде компьютерной математики Maple. Такие системы в наиболее общем случае описываются системой нелинейных ОДУ, разрешенных относительно старших производных функций yj(t), вида: y[ni) = Fi{yu .,yN,y[,j/i^i/i', .^¡"'"V); (г = МО, (1) где y(n) =dnf/dtn - обозначение n-той производной функции f по независимой переменной t, - времени, a F; - непрерывно-дифференцируемые функции своих переменных. В большинстве случаев п=2, однако, например, при рассмотрении движения релятивистской заряженной частицы в магнитном поле с учетом магнито-тормозного излучения п=3 (см., например, [21]); а в ряде случаев п может достигать и значения 4. К случаю п=3 сводится, например, и важная задача геодезии ориентирования на местности - задача о восстановлении кривой по ее натуральным уравнениям, т.е., по заданным функциям кривизны и кручения (см., например, [22]). К обобщенно-механическим системам могут относиться, в частности, и геометро-оптические системы, в которых фотон может рассматриваться как материальная точка, движущаяся по траектории, сложные электронные схемы и электрические сети, нейронные сети, гомогенные химические системы в гидродинамической среде, в которой протекают химические реакции, длинноволновые цунами на мелкой воде и т.п. Следует подчеркнуть общую тенденцию развития математических моделей реальных физических процессов, наметившуюся в последние годы, - их существенно нелинейный характер и повышение порядка соответствующих дифференциальных уравнений. Одним из механизмов повышения порядка дифференциальных уравнений, описывающих динамические системы, является учет обратного полевого воздействия среды на движение динамической системы. Таков, например, механизм появления производных третьего порядка в уравнениях электродинамики. В дальнейшем к обобщенно-механическим системам мы будем относить в дальнейшем любые системы, которые полностью описываются уравнениями вида (I)1. К таким системам могут относиться, в частности, и геометро-оптические системы, в которых фотон может рассматриваться как материальная точка, движущаяся по траектории, сложные электронные схемы и электрические сети, нейронные сети, гомогенные химические системы, в которых протекают химические реакции и т.п. Будем в дальнейшем полагать выполненными начальные условия для системы (1):

2/^(0 = С? ; = 1,7* - 1; * = (2) 0 соответствующие стандартной задаче Коши, где С^- начальные значения производных к-го порядка функций уъ{1).

Как известно, достаточно эффективных и общих методов аналитического исследования поведения НОМС, описываемых задачей Коши (1)-(2), не существует. Применение методов качественной теории дифференциальных уравнений требует, во-первых, автономность системы(1), а, во-вторых, с увеличением числа степеней свободы, Б, системы (1): N

5 = (3) г=1 сложность исследования с помощью качественной теории дифференциальных уравнений, а тем более, их визуализации, резко возрастает при Б>2 2. Фактически, единственным надежным методом исследования нелинейных механических систем является численное решение задачи Коши, которое сводится обычно к численному интегрированию нормальной системы ОДУ, соответствующей системе (1) с соответствующими начальными условиями, полученными из (2). Необходимость предварительного преобразования системы (1) к нормальному виду вызвано высокой степенью разработанности

1 В дальнейшем такие системы для простоты будем также называть механическими.

2 см., например, [23, 24]. теории и численных методов именно для нормальных систем ОДУ. Необходимость применения достаточно сложных численных методов, связанная с этим обстоятельством необходимость профессионального программирования, сложность манипуляций с численными решениями, в частности, сложности визуализации динамики нелинейных механических систем являются совокупным фактором, резко ограничивающим область исследуемых нелинейных механических систем, как математикам, так и специалистам в приложениях математики, не являющихся профессиональными программистами. Системы компьютерной математики, в принципе, заметно приближают таких специалистов к применению методов компьютерного моделирования, но все же и здесь применительно к исследованию систем нелинейных ОДУ для таких специалистов сохраняется заметная диспропорция между затраченными усилиями и получением результата. Кроме того, при прямом применении программных процедур СКМ, по-прежнему, остаются слабыми возможности проведения компьютерного моделирования систем с большим числом степеней свободы и параметров.

Целью работы является разработка методов численно-аналитического исследования и математического моделирования в среде компьютерной математики Maple нелинейных обобщенно-механических систем, создание программного комплекса для компьютерного моделирования этих систем, а так-же исследование некоторых конкретных обобщенно-механических систем с помощью развитых методов.

Для достижения этой цели поставлены следующие задачи:

1. разработать алгоритмы и комплекс программ автоматизированного ввода нелинейной системы ОДУ произвольного порядка, разрешенной относительно старших производных, преобразования задачи Коши к задаче Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений и ее численного решения;

2. 2 разработать численно-аналитические методы математического моделирования нелинейных обобщенно-механических систем на основе сплайновой экстраполяции функций и комплекс программ автоматизированной сплайновой и В-сплайновой экстраполяции численных решений системы, описывающих нелинейную обобщенно-механическую систему;

3. разработать на основе интегрирования полученных программных средств комплекс программ, позволяющих осуществлять управляемый вывод численных решений систем нелинейных дифференциальных уравнений в аналитической форме;

4. разработать на основе интегрирования полученных программных средств комплекс программ, позволяющих осуществлять управляемый вывод численных решений систем нелинейных дифференциальных уравнений в аналитической форме;

5. провести тестирование разработанного программного комплекса.на точность и скорость вычислений на основе сравнения полученных решений с точными для точно интегрируемых систем ОДУ;

6. разработать на основе полученных программных средств алгоритмы и управляемые программные процедуры динамической визуализации математических моделей обобщенно-механических систем;

7. 7. построить с помощью разработанных алгоритмов и программных средств компьютерные динамические модели ряда конкретных обобщенно-динамических систем: электродинамических, оптических, геометрических.

Отметим, что центральной идеей построения пакета программ явилась идея использования сплайновой и В-сплайновой интерполяции функций, позволившей создать автоматизированный вывод численных решений ОДУ в форме кусочно-заданных функций.

Объектами диссертационного исследования являются нелинейные динамические системы в релятивистской электродинамике, геометрической оптике, дифференциальной геометрии и т.п.

Предмет исследования составляют численно-аналитические компьютерные модели в системе компьютерной математики, позволяющие проводить исследование сложных нелинейных обобщенно-механических систем.

Методы исследования. Методологической основой исследования являются теоретические основы механики, электродинамики и геометрической оптики, математический анализ, теория дифференциальных уравнений, теория сплайнов, тензорный анализ, численные методы и язык программирования Maple.

Научная новизна исследования состоит:

1. в разработке комплекса программ в системе компьютерной математики Maple, позволяющих автоматически получать решение нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в форме сплайнов и В-сплайнов;

2. разработке численно-аналитических методов исследования, математического и компьютерного моделирования нелинейных обобщенно-механических систем в среде компьютерной математики Maple, разработке программных средств математического анализа полученных решений и тем самым - компьютерных аналитических методов исследования нелинейных обобщенно-механических систем и методов динамической визуализации их математических моделей.

Практическая значимость. Предложенные методы, алгоритмы и комплекс программ позволяют проводить численно-аналитическое компьютерное моделирование в среде компьютерной математики Maple обобщенно-механических систем, обладающих высокой степенью нелинейности и характеризующимися высокими порядками соответствующих систем дифференциальных уравнений. На основе предложенных методов разработан и протестирован программный комплекс в среде Maple для исследования и компьютерного моделирования нелинейных обобщенно-механических систем. Разработанный комплекс апробирован для получения численно-аналитических решений точной модели движения релятивистских заряженных частиц в электромагнитных полях с учетом магнитотормозного излучения, модели распространения света в оптически неоднородных средах с дисперсией, задачи дифференциальной о восстановлении кривых по их натуральным уравнениям, имеющей важное практическое применение в ориентации на местности. Эти решения доведены до реализации в системе Maple в виде динамических, графических компьютерных моделей с управляемыми параметрами, позволяющих проводить компьютерные эксперименты с нелинейными обобщенно-механическими системами. Разработаны системы динамического моделирования нелинейных обобщенно-механических систем, которые имеют большое практическое значение для создания лабораторных тренажеров для исследования и изучения различных нелинейных механических, геометрооптических и электродинамических систем.

Первая глава посвящена разработке алгоритмов и комплекса программ автоматизированного численного интегрирования нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка в системе компьютерной математики Maple. В этой главе содержится краткий обзор существующих методов компьютерного моделирования в системах компьютерной математики динамических систем, описаны возможности основных систем компьютерной математики применительно к проблемам моделирования нелинейных динамических систем, основные программные процедуры, позволяющие проводить численно - аналитическое исследование нелинейных обобщенно - механических систем, принципы трехмерной графической реализации математических моделей в системах компьютерной математики, в частности, принципы создания динамических трехмерных компьютерных моделей математических моделей.

Во второй главе диссертации описаны алгоритмы и программные процедуры пакета Splines комплекса программ. Дано краткая справка о сплай-новой и В-плайновой интерполяции функций и соответствующих встроенных процедурах СКМ Maple. Встроенные процедуры позволяют лишь получать сплайновую и В-сплайновую интерполяцию по заданному упорядоченному списку числовых значений независимых переменных и функций, причем сплайны и В-сплайны выводятся в форматах, не приспособленных для математического моделирования. Для автоматизированного вывода численных решений в аналитическом виде и возможности их свободного конвертирования в различные форматы понадобилась разработка алгоритмов и программных процедур операций математического анализа выводимых численных решений.

Третья глава посвящена разработке методов визуализации, в том числе и динамической, компьютерных моделей нелинейных обобщенно - механических систем на основе разработанного комплекса программ. Систематизированы и развиты методы построения динамических компьютерных моделей, их динамического графического и цифрового оснащения, позволяющего создавать качественные и наглядные анимационные модели механических систем. Приведены примеры построения динамических графических моделей механических систем. Построены компьютерные модели ряда конкретных нелинейных обобщенно-механических систем.

Кроме того, в диссертации имеется Заключение, в котором описаны некоторые авторские алгоритмы и программные процедуры.

Основные результаты диссертационной работы:

• В системе компьютерной математики Maple создан комплекс программ автоматического распознавания и управляемого численного интегрирования задачи Коши для нелинейной системы произвольного числа обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка.

• В системе компьютерной математики Maple разработаны численно-аналитические методы и программные средства исследования, математического и компьютерного моделирования нелинейных обобщенно-механических систем, основанные на сплайновой и В-сплайновой интерполяции результатов численного интегрирования.

• В системе компьютерной математики Maple создан комплекс программ, позволяющий автоматически конвертировать получаемые численные решения нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений в сплайны и В-сплайны с возможностью управления процедурой; разработаны программные средства математического анализа получаемых в форме сплайнов и В сплайнов решений.

• Проведено тестирование комплекса программ на точность и скорость вычислений на основе сравнения получаемых численных решений с точными для точно решаемых систем нелинейных дифференциальных уравнений.

• На основе разработанных программных средств разработаны методы оснащенной динамической визуализации в пакете компьютерной математики Maple нелинейных обобщенно-механических систем; с помощью разработанного программного комплекса и методов динамической визуализации проведено компьютерное моделирование ряда конкретных обобщенно-механических систем.

Таким образом, создана система динамического компьютерного моделирования нелинейных обобщенно-механических систем.

Заключение

Результаты диссертации дают возможность создавать численно - аналитические компьютерные модели нелинейных обобщенно - механических систем и проводить их глубокое исследование системе компьютерной математики Maple (версии 8 - 14). При этом исследователи получают развитый инструментарий создания оснащенных графических динамических компьютерных моделей, позволяющий управлять их параметрами. Применение методов сплайновой интерполяции функций позволяет значительно сократить время промежуточных численных вычислений на компьютере при сохранении точности передаваемых свойств математической модели. Развитые методы компьютерного моделирования позволит применять разработанный программный комплекс, в частности, для разработки учебных тренажеров для изучения конкретных разделов физики и технической физики.

1. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. — 2-е изд., испр. — М.: Физматлит, 2005. 320 с.

2. Введение в математическое моделирование: Учеб. пособие / Под ред. П. В. Тру-сова. М.: Логос, 2005. - 440 с.

3. Матросов А.В. Maple б. Решение задач высшей математики и механики. СПб.: БХВ-Петербург, 2001, 528 с.

4. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. СПб.: Питер, 2004, - 539 с.

5. Голоскоков Д.П. Практический курс математической физики в системе Maple. -СПБ.: ООО «ПаркКом». 2010. - 643 с.

6. Дьяконов В.П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. М.: Солон-Пресс, 2006, 720 с.

7. Кирсанов М.Н. Графы в Maple. М.: Физматлит. - 2007. - 292с.

8. Кирсанов М.Н. Maple 13 и Maplet. Решение задач механики. М.: Физматлит, 2010, 349 с.

9. Ignat'ev Yu.G., Chepkunova E.G. The moving semibounded magnetoactive plasma in field of a plane gravitational wave. // Gravitation & Cosmology, Vol.10, 2004r.,No 4, p. 123-127.

10. Ignatyev Yu.G., Alsmadi K. A complect relativistic kinetic model of symmetry violation in an anisotropic expanding plasma. II. X-boson distribution function. // Gravitation and Cosmology, 2005, vol. 11, No 4, p. 363.

11. Ignatyev Yu.G. and Miftakhov R.F. Statistical systems of particles with scalar interaction in cosmology. // Gravitation and Cosmology, Vol. 12 (2006), No 2-3, 179.

12. Ignatyev Yu.G., Alsmadi K. A complect relativistic kinetic model of symmetry violation in an anisotropic expanding plasma. III. Specific entropy calculation. // Gravitation and Cosmology, 2007, vol. 13, No 2, p. 114.

13. Игнатьев Ю.Г., Зиатдинов P.А. Асимптотическое приближение модели Фоккера-Планка космологической эволюции сверхтепловых ультрарелятивистских частиц при наличии скейлинга взаимодействий. // Известия Вузов, сер. Физика, 2009, т. 42, No 2, с. 87.

14. Игнатьев Ю.Г., Эльмахи Н. Динамическая модель сферических возмущений во вселенной Фридмана. III. Автомодельные решения. // Известия Вузов, сер.Физика, 2008, т. 42, №1, с. 69.

15. Ignatyev Yu.G., Ignatyev D.Yu. Kinetics of the nonequilibrium Universe. III. Stability of Nonequilibrium Scenario. // Gravitation and Cosmology, 2008, vol. 14, No 4, p.286-292.

16. Ignatyev Yu.G., Agafonov A.A. Bremsstrahlung Response of a Homogeneous Magnetoactive Plasma to a Gravitational Wave. // Gravitation and Cosmology, Gravitation and Cosmology, 2010, Vol. 16, No. 1. p.16-24.

17. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика неравновесных процессов в гравитационных полях. Казань: Фолиант. - 2010. - 505 с.

18. Адиятуллина Г.Р. Система аналитического тестирования в форме маплетов. //Системы компьютерной математики и их приложения. Смоленск: Изд-во СмолГУ. - 2010. Вып. 11. - с. 5-8.

19. Адиятуллина Г.Р., Игнатьев Ю.Г. Принципы моделирования системы аналитического тестирования знаний на основе системы компьютерной математики Maple. // Вестник ТГГПУ, 2010, вып. 2(20). - с. 6-12.

20. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1973. - 504 с.

21. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т.Фоменко. Современная геометрия. М.: Наука, 1979, 769 с.

22. Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 1. М.: Итоги науки и техники, 1985, 244 с.

23. Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука, 1980, 320 с.

24. Глушков В.М., Бондарчук В.Г., Гривченко Т.А. Аналик алгоритмический язык для описания процессов с использованием аналитических преобразований. // Кибернетика. - 1971. - № 3, с. 127 - 152.

25. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Туриье Э. Компьютерная алгебра. М.: Мир. - 1991. -352 с.

26. Акритас А. Основы компьютерной алгебры. М.: Мир. - 1994. - 262 с.

27. Грэхэм Р., Кнут Д., Поташник О. Конкретная математика. Основание информатики. М.: Мир. - 1998. - 324 с.

28. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. М.: Нолидж. -2001. - 396 с.

29. Дьяконов В.П. Система MathCAD. Справочник. М.: Радио и связь. 1993. 128 с.

30. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. //Соросовский образовательный журнал. 7, No 1. - 2001. - с. 116-121.

31. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. М.: СК-ПРЕСС. - 1997. - 336 с.

32. Дьяконов В.П. Справочник по MatliCAD PLUS 7.0 PRO. М.: СК-ПРЕСС. - 1998.- 352 с.

33. Дьяконов В.П. Энциклопедия Mathcad 20011 и Mathcad 11. М.: COJIOH-Пресс.- 2004.-646 с.

34. Дьяконов В.П. MathCAD 11/12/13 в математике. Справочник. М.: Горячая линия. - Телеком. - 2007. - 584с.

35. Ефремов Л.В. Практика вероятностного анализа надежности техники с применением компьютерных технологий. СПб.: Наука. - 2008. - 216 с.

36. Ефремов Л.В. Теория и практика исследований крутильных колебаний силовых установок с применением компьютерных технологий. СПб.: Наука. - 2008. - 276 с.

37. Охорзин В.А. Прикладная математика в системе MATHCAD. Учебное пособие. 3-е изд. СПб.: Лань. - 2009. - 352 с.

38. Охорзин В.А., Компьютерное моделирование в системе Mathcad. М.: Финансы и статистика. - 2006. - 144с.

39. Охорзин В.А. Оптимизация экономических систем. Примеры и алгоритмы в среде Mathcad. М.: Финансы и статистика. - 2005. - 144с.

40. Ивановский Р. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad. М.: БХВ-Петербург/- 2008/ 528с.

41. Фриск В.В. Mathcad. Расчеты и моделирование цепей на ПК. М.: Солон-Пресс.- 2006. 242 с.

42. Гурский Д. Вычисления в MATHCAD 12. С-Пб: Питер. - 2006. - 544с.

43. Кирьянов Д.В. Mathcad 13. С-Пб: БХВ-Петербург. - 2006. 598 с.

44. Кирьянов Д.В. Самоучитель Mathcad 13. С-Пб: БХВ-Петербург. - 2006. - 528 с.

45. Поршнев Д.С., Беленкова И.С. Численные методы на базе Mathcad. С-Пб: БХВ-Петербург. - 2005. - 456 с.

46. Дьяконов В.П. Mathematica 2.0 под MS-DOS и под Windows. // Монитор-Аспект.-1993.- № 2.- с.52-74.

47. Дьяконов В.П. Системы символьной математики Mathematica 2 и Mathematica 3.- М.: СК ПРЕСС/РС Week. 1998. - 484с.

48. Капустина Т.В. Компьютерная система «Mathematica 3.0 для пользователей». М.:- Солон-Р. 1999. - 302 с.

49. Дьяконов В.П. Mathematica 4 с пакетами расширений. М.: Нолидж. - 2000. -608 с.

50. Дьяконов В.П. Mathematica 3/4 с пакетами расширений. М.: Нолидж. - 2004. -612с.

51. Дьяконов В.П. Mathematica 4: Учебный курс. СПб.: Питер. - 2001. - 624 с.

52. Дьяконов В.П. Mathematica 5/6/7. Полное руководство. М.: ДМК Пресс. - 2009.- 624 с.

53. Половко A.M. Mathematica для студентов. СПб.: БХВ Санкт-Петербург. - 2007.- 524 с.

54. Шмидский Я.К. Mathematica 5%. Самоучитель. М. Издательский дом «Вильяме». - 2004. - 402 с.

55. Дьяконов В.П. Справочник по применению PC MatLAB. М.: Наука, Физматлит.- 1993. 488 с.

56. Дьяконов В.П. MATLAB 6.5 SPl/7.0+Simulink5/6. Основы применения. М.: СОЛОН Пресс. - 2005. - 602 с.

57. Дьяконов В.П. MATLAB 6.5 SPl/7.0+Simulink5/6. Работа с изображениями. М.: СОЛОН Пресс. - 2005. - 588 с.

58. Дьяконов В.П., Круглов В.В. MATLAB 6.5 SP1/7/7 SP1/7 SP2+Simulink5/6. Инструменты искусственного интеллекта и биоинформатики. М.: СОЛОН Пресс. -2006. - 512 с.

59. Дьяконов В.П. Derive жемчужина символьной математики. // Монитор-Аспект.-1993. № 2,-с.Зб -51.

60. Дьяконов В.П. Справочник по применению системы Derive. М.: Наука. Физмат-лит. 1996. - 258 с.

61. Дьяконов В.II. Справочник по системе символьной математики Derive. М.: СК- ПРЕСС, 1998. - 256с.

62. Дьяконов В.П. Системы компьютерной алгебры Derive. Самоучитель. М.: Солон-Р. 2002. - 442с.

63. Говорухин В.Н. , Цибулин В. Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. М.: Мир, - 1997. 287 с.

64. Дьяконов В.П. Математическая система Maple V R3/R4/R5. М.: Солон. - 1998.- 400 с.

65. Дьяконов В.П. Maple 6. Учебный курс. СПб.: ПИТЕР. - 2001. - 586 с.

66. Дьяконов В.П. Maple 7. Учебный курс. СПб.: ПИТЕР. - 2001. - 588 с.

67. Дьяконов В.П. Maple 8 в математике, физике и образовании. М.: СОЛОН-Пресс.- 2003. 612 с.

68. Дьяконов В.П. Maple 9 в математике, физике и образовании. М.: СОЛОН-Пресс.- 2004. 624 с.

69. Gray A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Second Edition. New-York:CRC Press. - 1997. - 432 p.

70. Gray A., Mezzino M., Pinsky M. Introdution to Ordinary Differential Equations with Mathematica. John Wiley & Sons. - 1998. - 544 p.

71. Дьяконов В.П. Mathematica 4.1/4.2/5.0 в математических и научно технических расчетах. - М.: СОЛОН-Пресс. - 2004. Аннотация. 628с.

72. Эдварде Чарльз Генри, Пенни Дэвид Э. Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB. 3-е издание. Киев.: Диалектика-Вильяме. - 2007. - 584с.

73. Тан К. Символьный С ++: Введение в компьютерную алгебру с использованием объектно ориентированного программирования. - М.: Мир. - 2001. - 432 с.

74. Семененко М. Математическое моделирование в MathCad. М.: Альтекс-А. - 2003.- 264 с.

75. Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Практикум. С-Пб: БХВ-Петербург. - 2005. - 752с.

76. Поршнев Д.С. Компьютерное моделирование физических процессов с использованием пакета Mathcad. Учебное пособие. М.: Горячая линия - Телеком. - 2002. 334 с.

77. Глушаков С., Жакин И., Хачиров Т. Математическое моделирование. Mathcad 2000. Matlab 5.3. М.: ACT. - 2001. - 432 с.

78. Каганов В. Радиотехника + компьютер + Mathcad. М.:Горячая линия - Телеком.- 2001. 346 с.

79. Шестаков Н., Власов А. Расчеты процессов обработки металлов давлением в среде Mathcad. Учебное пособие. М.:МГИУ. - 2000. -182с.

80. Панько М. Расчет и моделирование автоматических систем регулирования в среде Mathcad. М.: Изд-ство МЭИ. - 2001. 156 с.

81. Очков В. Физические и экономические величины в Mathcad и Maple. М.: Финансы и статистика. - 2002. - 372 с.

82. Тарасевич Ю. Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс. -М.: Едиториал-УРСС. 2001. - 342с.

83. Дьяконов В.П. VisSim+Mathcad+MATLAB. Визуальное математическое моделирование. М.: COJIOH-Пресс. - 2004. - 482 с.

84. Дьяконов В.П. Mathematica 4.1/4.2/5.0 в математических и научно-технических расчетах. М.: СОЛОН ПРЕС. - 2004. - 608 с.

85. Дьяконов В.П. MATLAB 6.5 SPl/7.0-|-Simulink5/6 в математике и моделировании. М.: СОЛОН Пресс. - 2005. - 598 с.

86. Дьяконов В.П. MATLAB 6.5 SPl/7.0+Simulink5/6. Обработка сигналов и проектирование фильтров. М.: СОЛОН Пресс. - 2005. - 534 с.

87. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, Физматлит. - 1965. -332 с.

88. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, Физматлит. - 1965. - 424 с.

89. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Санкт-Петербург-Москва-Краснодар: Лань. 2003. - 448 с.

90. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином, 2001,525 с.92. http://vuz.exponenta.ru/

91. Норден А.П. Дифференциальная геометрия. М.: Учпедгиз. - 1948. - 216 с.

92. Игнатьев Ю.Г. Дифференциальная геометрия. Курс лекций, IV семестр. Казань: Изд-во НИЛИТМО. - 2006. - 156 с.

93. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука. - 1976. - 248 с.

94. Fox L. and Mayers D.F. Numerical Solution of Ordinary Differential Equations for Scientists and Engineers. New-York: Springer, 1987, 624 p.

95. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000, 176 с.

96. Роджерс Д., Адаме Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001, 452 с.

97. Brinks R. On the convergence of derivatives of B-splines to derivatives of the Gaussian function, Сотр. Appl. Math., 27, p. 1-17, 2008.

98. Корнейчук Н.П., Бабенко В.Ф., Лигун A.A. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. — К.: Наукова думка, 1992. — 304 с.

99. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I.- М.: Наука, Физматлит. 1966. - 608 с.

100. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том II.- М.: Наука, Физматлит. 1966. - 800 с.

101. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука. Физматлит. - 1965. - 204 с.

102. J.L. Synge. Classical dynamics. Springer-Verlag/Berlin • Gottingen • Heidelberg. 1960- 356 p. Русский перевод: Синг Дж.Л. Классическая динамика. М.: ГИФМЛ. — 1963. 448 с.

103. Lee E.T.Y. A Simplified B-Spline Computation Routine. Computing (Springer-Verlag) 29 (4): 365-371. doi:10.1007/BF02246763.

104. Lee E.T.Y. (1986). Comments on some B-spline algorithms. Computing (SpringerVerlag) 36 (3): 229-238. doi:10.1007/BF02240069.

105. Yamaguchi F. Curves and Surfaces in Computer Aided Geometric Design. New-Yuork:-Springer, 1988, 476 p.

106. Лоу A.M. , Кельтон Д.В. Имитационное моделирование. СПБ.: - Питер-BHV. 2004 - 848 с.

107. Хемди А. Т. Имитационное моделирование. // Введение в исследование операций. — 7-е изд. — М.: «Вильяме»/ 2007. — с. 697-737.

108. Строгалев В.П., Толкачева И.О. Имитационное моделирование. — М.: Изд-во МГТУ им. Баумана. 2008. - с. 697-737.

109. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука. - 1964. -664 с.

110. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. М.: ГИИЛ. - 1948. - 316 с.

111. Схоутен Я.А. Тензорный анализ для физиков. М.: Наука. - 1965. - 456 с.

112. Игнатьев Ю.Г.// Вопросы современной математики и информационных технологий в математическом образовании. Сб. трудов под ред. Ю.Г. Игнатьева. Казань: Изд-во КГПУ. - 2004. - 164 с.

113. Игнатьев Ю.Г. Пользовательские графические процедуры для создания анимационных моделей нелинейных физических процессов. // Системы компьютерной математики и их приложения. Смоленск: Изд-во СмолГу, 2009, Выпуск 10, с. 43.

114. Абдулла Х.Х. Визуализация математических моделей нелинейных механических систем в системах компьютерной математики. // Системы компьютерной математики и их приложения. Смоленск: Изд-во СмолГу, 2009, Выпуск 10, с. 108.

115. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1969, 624 с.