автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Комплексы проблемно-ориентированных программ в системах символьной математики

На правах рукописи

ии

ТИХОНЕНКО АЛЕКСЕИ ВИТАЛЬЕВИЧ

КОМПЛЕКСЫ ПРОБЛЕМНО-ОРИЕНТИРОВАННЫХ ПРОГРАММ В СИСТЕМАХ СИМВОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

12 ноп тгл

Обнинск - 2009

003482913

Работа выполнена в Обнинском государственном техническом университете атомной энергетики (г. Обнинск).

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор

Зингерман Константин Моисеевич

доктор физико-математических наук, профессор Кудряшов Николай Алексеевич

доктор физико-математических наук Якобовский Михаил Владимирович

Ведущая организация Объединенный институт ядерных исследований,

Лаборатория информационных технологий, г. Дубна, Московская обл.

Защита состоится 27 ноября 2009 г. в 14С0 час. на заседании диссертационного совета Д212.263.04 в Тверском государственном университете по адресу: 170000, г. Тверь, ул. Желябова, 33, ауд. 52.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ТвГУ по адресу: 170000, г. Тверь, ул. Володарского, 44а.

Автореферат разослан « /3 » ¿ЧА-Л 2009 г.

Ученый секретарь ¿2 * *

диссертационного, совета Д212.263.04 4

доктор технических наук, профессор "" В.Н. Михно

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

Современную фундаментальную и прикладную науку уже невозможно представить без математического моделирования, а само математическое моделирование

- без повсеместного использования вычислительной техники, компьютеров и математического обеспечения разного типа. Являясь научным методом познания и проектирования, в основе которого лежит работа не с самим объектом или процессом, а с его моделью, математическое моделирование сочетает в себе многие достоинства теории и эксперимента: вычислительные эксперименты с моделями дают возможность достаточно полного изучения объектов, что недоступно при чисто теоретических подходах. При этом возможности моделирования и сложность решаемых задач зависят как от применяемых вычислительных методов и мощности вычислительной техники, так и уровня математического обеспечения.

Основу математического моделирования составляет триада модель - алгоритм

- программа, что предполагает разработку: математической модели исследуемого процессов или объектов (отражающей в математической форме важнейшие их свойства); вычислительных алгоритмов для реализации модели на компьютере; программного обеспечения, необходимого для реализации модели и алгоритма на компьютере. Для известных и апробированных моделей возможно использование современной технологии научных исследований, сочетающей математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Это предполагает, с одной стороны, возможность исследования модели традиционными аналитическими средствами, а с другой - разработку программных средств, обеспечивающих многовариантность расчетов и многомодельность как важнейших этапов исследований.

Далеко не всегда возможно обойтись одной программой или программной средой: компьютерные средства должны быть приспособлены для внесения изменений с целью решения близких задач для набора моделей и учета различных дополнительных факторов, контроля, анализа и визуализации промежуточных и конечных результатов. Все это подразумевает необходимость разработки и использования комплексов проблемно-ориентированных программ. Такие комплексы предназначены для решения близких по своей математической природе задач из одной предметной области и включают в себя библиотеку программных блоков, из которых составляются рабочие программы. Сборка комплексов программ из программных блоков может осуществляться вручную или автоматически с использованием средств компьютера. Такой подход позволяет наиболее эффективно использовать разработанные программные продукты для решения научных задач в рамках математического моделирования и вычислительного эксперимента, причем в наибольшей степени основные особенности вычислительного эксперимента учитываются при использовании объектно-ориентированного программирования и современных языков программирования.

Среди огромного числа компьютерных ресурсов и математического обеспечения (адекватного задачам современного математического моделирования и вычислительного эксперимента), обладающего высокой универсальностью и мощными математическими средствами выделяются системы символьной математики (ССМ). ССМ - интерактивные многофункциональные компьютерные системы высокого ин-

теллектуального уровня, сочетающие достаточную простоту использования с мощью самых современных математических инструментов: они построены на технологиях символьных и численных вычислений с произвольной точностью и продвинутых математических алгоритмах. К наиболее мощным ССМ на сегодняшний день относятся МАРЬЕ, МАТНЕМАТ1СА, МАТЬАВ и МАТНСАБ. Интерактивный тип диалога пользователя с ССМ на функциональном языке позволяет программировать ход решения задач аналогично аналитическому, когда каждый этап исследований можно верифицировать и, постепенно выполняя ряд операций, получить решение задачи. Такое программирование, осуществляемое на входном языке ССМ, требует не только задание операторов и функций, но и программное описание параметров, процедур, правил преобразования и т.п. в другом - функциональном - виде и соответствует основным принципам традиционных форм программирования.

До сих пор во многих в областях теоретической и математической физики и прикладных наук исследования проводятся на основе аналитических вычислений, а результатами таких исследований являются различного типа функциональные соотношения. При этом уровень проблем постоянно повышается, требует использования математического аппарата со сложными аналитическими выкладками и приводит к таким громоздким вычислениям, что не представляется возможным проведения исследования обычными средствами. В результате все труднее приходится обходиться без компьютерных технологий и методов. С другой стороны, современные научные задачи, связанные с проектированием дорогостоящих физико-энергетических объектов, изучением объектов микромира и Вселенной и т.п., для которых невозможно проведение реальных экспериментов, требуют применения современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента, что означает, в свою очередь, актуальность развития компьютерных технологий, сочетающих аналитические и численные методы исследования. Действительно, с одной стороны, аналитические методы (они, в частности, ограничены сложностью реалистичных моделей) позволяют более качественно интерпретировать результаты вычислительного эксперимента (в том числе и с точки зрения проблемы проверки истинности полученного с помощью него результата); а с другой - вычислительные методы (они обычно ограничены рамками конкретного набора модельных численных данных) могут служить основой для нахождения новых аналитических решений и т.д.

Подходы, сочетающие аналитические вычисления и вычислительный эксперимент, естественным образом могут быть реализованы в виде аналитико-численных алгоритмов в ССМ и лежать в основе создания комплексов проблемно-ориентированных программ для решения современных научных проблем (уже в математическом плане представляющих собой целый комплекс различных задач, связанных с их постановкой, корректным учетом различных дополнительных условий, исследованием промежуточных и конечных результатов и т.д.), требующих специальных навыков проведения математических и физических расчетов.

Таким образом, для научных и прикладных задач, требующих многочисленных символьных вычислений и преобразований, задач, в которых существенно использование как численных, так и символьных вычислений, а также аналитически и численно решаемые задачи, требующие подробного верифицирования и интерактивного управления ходом решения, ССМ могут являться адекватным компьютерным ресурсом. Кроме того, ССМ эффективны как инструменты для выполнения

предварительных вычислений (прежде всего в символьном виде) до уровня постановки задачи о численном решении задач; причем дальнейшее решение задачи возможно как в ССМ, так и в более эффективных прикладных пакетах. Использование символьных процессоров ССМ для выполнения аналитических преобразований и расчетов не является противопоставлением традиционным численным методам (как основы многих современных научных исследований). Напротив, именно мощь современных численных методов (в основе работы ССМ лежат, в конечном итоге, различные численные методы) и бурное развитие компьютерной техники привело к созданию систем, которые способны к символьному интерпретирующему подходу к вычислениям на компьютере.

Интерактивные многофункциональные компьютерные ССМ стали универсальными математико-информационными средами; причем ССМ возможно использовать на основе как встроенных инструментов и функций, так и операторов и расширений, задаваемых самим пользователем, наращивая, тем самым мощь математических операций. Поэтому разработка теоретических основ создания комплексов программ на основе аналитико-численных алгоритмов в ССМ (MAPLE, МАТНЕ-MATICA, MATHCAD) и их практическое воплощение для решения научных и прикладных задач ядерной энергетики и физики частиц представляет собой актуальную комплексную задачу.

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ

Одним из важных направлений использования ядерной энергии является использование реакторов малой и сверхмалой мощности (до 100 МВт и 300 кВт соответственно). Такие реакторы могут найти широкий спектр применения для автономного теплоснабжения и электроснабжения, в удаленных и труднодоступных районах и т.п. Создание комплекса программ в среде ССМ и проведение вычислительного эксперимента с целью обоснования возможности разработки таких реакторов с саморегулированием является актуальной научной проблемой.

Актуальной комплексной проблемой является также создание библиотек нейтронных активационных ядерных данных по сечениям нейтронных реакций с ядрами мишеней от Z = 1+84 в энергетическом диапазоне от 150 МэВ до 1 ГэВ, поскольку такие данные необходимы для изучения свойств конструкционных материалов ядерной техники. Среди большого числа задач, решаемых при создании библиотек, важным этапом является сравнительный анализ моделей ядерных данных по их соответствию с экспериментом. Поскольку исходные экспериментальные данные сильно различаются как по количеству для разных реакций, так и по степени их однородности внутри каждого диапазона (причем не все исходные расчетные данные покрывают соответствующие области экспериментальных данных), появляется необходимость в создании комплексов программ в ССМ для комплексного анализа данных и ранжирования моделей на основе как численных расчетов с применением внутренних ресурсов ССМ, так и дополнительных процедур по определению и визуализации разных типов промежуточных и конечных результатов.

Еще одной актуальной проблемой, связанной с развитием ядерных технологий, является проблема нераспространения делящихся материалов, содержащихся в тепловыделяющих элементах различных устройств. Одним из высокотехнологичных способы защиты таких материалов является изменение изотопного состава тепловыделяющих элементов, которое, в свою очередь приводит к изменению некото-

рых физических и тепловых свойств таких объектов. Разработка математических моделей теплопроводности в многослойном устройстве с тепловыделяющим элементом, которые учитывают различные физические и технологические факторы их безопасного хранения является актуальной прикладной проблемой, которая может быть решена для различных состояний с помощью комплексов программ в ССМ.

Многочисленные данные о сечениях деления свидетельствуют о наличии двух и более локальных максимумах потенциального барьера деления для ядер элементов с массовым числом А = 229^247. Решение задачи о вычислении коэффициента прохождения для таких потенциалов представляет важную научную и прикладную проблему в области ядерной энергетики и физики частиц. Такая задача является сложной в математическом плане и для решения требует разработки соответствующих алгоритмов и программ. Кроме того, необходимы значительные вычислительные ресурсы для визуализации и получения численных значений характерных физических параметров ядер, что естественным образом, возможно реализовать с помощью комплексов программ в ССМ.

Задачи теории поля в пространстве де Ситгера длительное время привлекают внимание исследователей, а в последние годы интерес к таким задачам был актуализирован появлением теории инфляционной Вселенной. Оказывается, что задача исследования полей в пространстве де Ситтера является более ясной при использовании статической системы координат и позволяет рассчитывать квантовые процессы аналитически. Поэтому создание комплекса программ в ССМ для использования формализма Ньюмена-Пенроуза как инструмента вычислений в искривленном пространстве-времени и его применение для решения уравнений безмассовых полей со спином в пространстве де Ситгера является актуальной задачей физики частиц.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Разработка комплексов проблемно-ориентированных программ на основе аналитико-численных алгоритмов в системах символьной математики и их практическое применение для решения прикладных задач ядерной энергетики и физики частиц.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ создания комплексов проблемно-ориентированных программ - многопрофильная программная задача, заключающаяся в:

- алгоритмизации математически поставленных задач средствами встроенных математических ресурсов ССМ в сочетании со специфическим для них программным заданием физических и математических данных и дополнительных условий;

- обращении к данным других программ и разделении ресурсов для выполнения частей задач с последующей их интеграцией для получения конечного результата;

- сочетании аналитических вычислений и технологии вычислительного эксперимента;

- разработке на основе методов функционального программирования и аналитико-численных алгоритмов на входном языке ССМ программ и программных блоков (реализующих отдельные операции или этапы вычислений - аналитических и/или численных) и создании из них комплексов для решения прикладных научных задач.

ПРИКЛАДНЫЕ НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ - использование комплексов программ для решения прикладных задач ядерной энергетики и физики частиц, связанных с:

- разработкой и реализацией моделей физических и энергетических объектов на основе аналитико-численных алгоритмов в ССМ;

- вычислительным экспериментом и аналитическими методами исследования математических моделей физико-энергетических объектов,

- обработкой, визуализацией и анализом различных типов физических данных и результатов исследования.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ

1. Разработаны комплексы программ для практического применения компьютерных технологий при решении прикладных задач ядерной энергетики и физики частиц:

- показана принципиальная возможность разработки реактора малой мощности с саморегулированием;

- обосновано использование моделей CASCADE, ISABEL, СЕМ2К, INCL4, Dresner, Bertini для расчета акгивационных нейтронных данных для нуклидов с Z = 6-^84 в области энергий 150-4000 МэВ;

- обоснованы рекомендации по изотопному составу тепловыделяющего элемента и условиям хранения многослойных устройств с ТВЭЛ;

- определены энергии подпороговых резонансов и квазистационарных уровней для разных моделей потенциалов деления тяжелых ядер.

2. Обосновано использование ССМ для обеспечения учебного процесса информационно-инновационного типа и внедрены в ИАТЭ учебно-исследовательские методики учебного процесса информационного типа, основанного на использовании современного программного обеспечения и обеспечивающего преемственность и фундаментальность образования. Разработанные программные комплексы используются на лекциях, практических и лабораторных занятиях (в виде компьютерного практикума моделирующего типа с использование ССМ) по курсам элементарной, общей, теоретической и математической физики; они являются универсальными учебно-исследовательскими ресурсами, применяемыми студентами и аспирантами при выполнении учебно-исследовательских курсовых и дипломных работ и диссертаций.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ

1. Показана возможность использования ССМ для решения теоретических и прикладных задач различного математического уровня и создания на их основе комплексов программ научного и учебно-исследовательского типов.

2. Разработаны методы создания комплексов прикладных программ, основанные на применении методов функционального программирования в ССМ и сочетающие использование встроенных математических средств с программными алгоритмами пользователя и реализующая базовые методы математического моделирования. С использованием символьных процессоров ССМ программно реализован ряд алгоритмов, сочетающих аналитические вычисления и технологии вычислительного эксперимента, для решения прикладных научных проблем, требующих больших предварительных аналитических вычислений и использования сложного математического аппарата.

3. На основе символьных и аналитико-численных алгоритмов разработаны комплексы прикладных программ для:

- реализации, вычислительного эксперимента и проверки адекватности математической модели реактора теплоснабжения малой мощности с саморегулированием;

- обработки и статистического анализа данных для нейтронной библиотеки активационных файлов «1ЕАР-2005» с целью выбора наилучшей модели взаимодействия протонов с ядрами мишеней;

- реализации и расчета серии моделей, учитывающих различные физико-технические характеристики, многослойного устройства с ТВЭЛ: линейная и нелинейная модели теплопроводности; учет контактного термического сопротивления, излучения и различных граничных условий;

- реализации моделей многогорбых потенциалов деления ядер тяжелых элементов на основе многопрофильных прямоугольных барьеров и квадратичных функций и вычисления их физических параметров;

- использования формализма Ньюмена-Пенроуза в искривленном пространстве-времени с целью исследование безмассовых полей.

4. Получен ряд новых аналитических и численных результатов при решении прикладных задач ядерной энергетики и физики частиц:

- выявлены оптимальные режимы работы реактора теплоснабжения малой мощности для нормального и «тлеющего» режимов;

- выполнено ранжирование моделей взаимодействия протонов с ядрами мишеней для нейтронной библиотеки активационных файлов «1ЕАР-2005»;

- определены физически приемлемым условиям хранения устройств с ТВЭЛ и рекомендации по изотопному содержанию ТВЭЛ, удовлетворяющие требованиям нераспространения делящихся материалов.

- получены энергии резонансных уровней и квазистационарных состояний для различных реализаций потенциалов деления ядер тяжелых элементов.

ДОСТОВЕРНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ

Достоверность результатов работы обеспечивается:

- использованием строгих математических выкладок и. фундаментальных физических законов при решении прикладных задач;

- многократным тестированием разработанных алгоритмов и элементов программных комплексов на известных классических задачах теоретической и математической физики;

- сопоставлением с известными промежуточными результатами и соответствием частным результатам, полученным в работах других авторов;

- применением встроенных в ССМ средств проверки промежуточных и конечных результатов;

- полным соответствием результатов решения ряда задач, полученных использованием разных ССМ;

- возможностью проверки ряда аналитических результатов, допускающих ясную физическую и математическую интерпретацию;

- хорошим совпадением некоторых численных результатов, полученных с помощью программ, написанных соавторами в других программных средах.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Основные результаты диссертации докладывались на 14 российских и между-

народных научных конференций:

- 6-ой Всесоюзной конференции «Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации». МГПИ, Москва, 1985;

- сессии Ядерного отделения АН СССР, ФИАН, Москва, 1985;

- Всесоюзном симпозиуме «Гравитация и объединение фундаментальных полей», Киев, 1985;

- межреспубликанской школе «Квантовые эффекты в сильных полях», Кишинев, 1985;

- 7-ой Всесоюзной конференции «Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации». ЕГУ, Ереван, 1988;

- международной школе «Manufacturing Opportunities through Science and Technology», USA, ORNL, Oak Ridge, Tennessee, 1994;

- международной конференции «International Science Partners Program», USA LLNL, Livermore, California, 1994;

- международной конференции «International Science Partners Program», Los Alamos, New Mexico, 1995;

- 3-ей международной конференции «Математические идеи П.Л. Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания». Обнинск, 2006 г.;

- международной конференции «Физика в системе инженерного образования стран ЕврАзЭС». Москва, 2006.

- X международной конференции «Безопасность АЭС и подготовка кадров». Обнинск, 2007 г.;

- 4-ой международной конференции «Математические идеи П.Л. Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания». Обнинск, 2008 г.;

- международной конференции «On Nuclear Data for Science and Technology ND 2007», Nice, France, 2007 г.;

- международном семинаре « First Workshop on Accelerator Radiation Induced Activation », Paul Scherrer Institut, Switzerland, 2008.

В 2002 и 2004 г.г. работы автора по использованию прикладных математических пакетов были признаны лучшими, а автор признан победителем конкурса, проводимого Компанией SoñLine. Шесть учебных пособий автора, разработанных по материалам диссертации, прошли экспертизу учебно-методического управления по физике и им присвоен гриф УМО.

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД СОИСКАТЕЛЯ

Результаты работы, выносимые на защиту, получены лично соискателем. Из работ, выполненных в соавторстве, в диссертацию включены результаты, которые получены лично соискателем или при его непосредственном участии.

СПИСОК НАУЧНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ

Основные результаты диссертации опубликованы в 28 статьях (включая 9 работ в журналах из списка ВАК) и докладах и представлены в 2 научных монографиях, 14 учебных пособиях, а также в 13 электронных работах, опубликованных на официальных сайтах производителей систем символьной математики.

Автором опубликовано также 56 работ в электронном виде в ИНТЕРНЕТ (в форме рабочих листов прикладных пакетов и электронных книг).

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертационная работа изложена на 286 страницах машинописного текста и

состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 218 наименований работ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ВВЕДЕНИИ обосновывается актуальность темы диссертации, и формулируются задачи исследования, связанные с разработкой комплексов проблемно-ориентированных программ в ССМ и решением прикладных задач ядерной энергетики и физики частиц.

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ разрабатываются теоретические основы создания комплексов проблемно-ориентированных программ на основе аналитико-численных алгоритмов в ССМ и на основе методов функционального программирования разрабатывается набор комплексов программ для решения прикладных задач теоретической и математической физики, требующие больших аналитических вычислений и использования сложного математического аппарата.

В разделе 1.1 описываются свойства входного языка ССМ, который обладает интерактивными свойствами и позволяет реализовать интуитивный принцип решения задач, а также пошаговую верификацию хода решения. Описываются особенности программ на входном языке ССМ по сравнению с языками компилирующего типа и его ресурсы для обеспечения символьных и численных расчетов. Показывается, что реализация аналитических и аналитико-численных алгоритмов естественным образом отражает возможности ССМ на основе метода функционального программирования на входном языке и открывает возможности для разработки аналитических методов исследования математических моделей.

Проводится сравнение реализаций программных решений задач в стандартных подходах и подходах, основанных на использовании ССМ (рис. 1.1).

.....................................СТАНААЭТНЫЁ ПОДХОДЫ......................................

потичккш исслшшиш исгю^овлн»« ими/, нтолшмв

1№п(рорпмн> рпулымпв

Срмпм

др. прО|р»ИМ

Срмстн 11П№1ЬММЙМ Прегр*шц к* п.

лдореграмм ЯШ КМ 1ф«гр-я ймшияя типа

Срипикяшнй

1! ¡*Ч р»\»'ЧМ1ЛЙ срои

I Символьно

Численно

Численно

} Преобразоа-я [^Программ-е Программа Результаты Визуализация |

Силшшьмо еле'лмол* языке ССМ

Численно] \ Численно ] I Численно [

1 Прс»6р«»мяи«, прторачмардянк*. ■

и у юцмнмя на юцмч «лая ССМ

I СИСТЕМЫСИМВОЛЖ

Рис. 1.1. Сравнение реализаций программных решений задач в стандартных подходах и подходах, основанных на использовании ССМ

В разделе 1.2 излагается концепция (рис. 1.2), и формулируются программно-информационные условия использования ССМ для создания программ и комплексов для решения прикладных научных проблем на основе использовании встроенных функциональных операторов и пакетов расширений, а также программируемых операций и процедур с использованием входного языка пакетов и метода функционального программирования. Обосновывается, что для программного построения решения задач на входном языке необходим ввод различных типов информации с последующим выполнением определенных алгоритмических операций (табл. 1.1).

АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ЗАДАЧ СРЕДСТВАМИ ВСТРОЕННЫХ ресурсов С ПРОГРАММНЫМ ЗАДАНИЕМ УСЛОВИЙ И ДАННЫХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ НА ВХОДНОМ ЯЗЫКЕ ССМ

КОНЦЕПЦИЯ СОЗДАНИЯ КОМПЛЕКСОВ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ «ССМ

СОЧЕТАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ И ТЕХНОЛОГИИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА \ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ И АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕЮЛОВ ИССЛЕДОВАНИЯ МОДЕЛЕЙ У

СВЯЗЬ С ДР. ПРОГРАММАМИ, РАЗДЕЛЕНИЕ РЕСУРСОВ И ИХ ИНТЕГРАПИЯ V РЕАЛИЗАЦИЯ КОМПЛЕКСОВ РАЗРАБОТКА ПРОГРАММ, РЕАЛИЗУЮЩИХ ОПЕРЛинИ И ЭТАПЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ, И ИХ ИНТЕГРАЦИЯ В КОМПЛЕКСЫ У

Рис. 1.2. Концепция создания комплексов в ССМ

Таблица 1.1

Основные типы операций при реализации функциональных алгоритмов в ССМ

Тип операции Содержание Выход

1. Ввод уравнений Программная запись уравнений Уравнение в формате ССМ.

2. Ввод данных Программный ввод параметров и данных. Параметры и уравнения в формате ССМ.

Программная запись начальных условий.

Программная запись дополнительных условий.

3. Использование инструментов преобразования Преобразования переменных. Вывод преобразованных уравнений и выражений.

Преобразования координат.

Преобразования систем уравнений.

4. Использование инструментов решения уравнений Аналитическое решение алгебраических или дифференциальных уравнений или систем Вывод решений уравнений.

Численное решение алгебраических или дифференциальных уравнений или систем уравнений

5. Использование инструментов вычисления Использование инструментов вычисления стандартных математических величин. Вывод аналит. или числ. данных в виде таблиц, тензоров и т.п.

Программирование выражений и функций.

6. Использование инструментов визуализации Ввод визуализируемых функций. Вывод графиков

Вывод результатов в виде графиков.

Математическая Mfvie.il объекта ii.hi процесса

Модель

УЧИ, ЛД-системы, фупкц. соотношения.

Программное обеспечение Рабочие программы / Я£ Я, 31 \ Объектно-орнснтироваиное, функц. программирование

| Программа Алгоритм 1

Комплексы, пакеты прикладных программ

I численные методы

СРЕДСТВА ММС

| Символьные вычисления Численные расчеты Визуализации

*

РЕЗУЛЬТАТЫ

Библиотека программных блоков Сборка программ из модулей программных блоков Комплексы проблемно-ориентированных программ

........... ....

Рис. 1.3. Классическая триада математического моделирования и ее реализация средствами ССМ

К типам информации относятся: основная (информация для инициализации ресурсов пакетов и о решаемой задаче); дополнительная (информация для управления процессом вычислений и вспомогательная информация о системе); рабочая (информация об использовании конкретной ССМ и данные о выводе результатов).

Показывается адекватность использования ССМ классической триаде математического моделирования (рис. 1.3). Обосновывается возможность использования ССМ для обеспечения учебного процесса информационно-инновационного типа.

В разделе 1.3 формулируются программно-информационные основы создания комплекса программ для решения уравнений в частных производных и разработаны два программных комплекса, которые состоят из трех программ (рис. 1.4).

1. Программный комплекс «Уравнения параболического и гиперболического типов»;

2. Программный комплекс «Уравнения эллиптического типа»,

ПРОГРАММА 1 Построение формальных решений

Программное разделение переменных, решение разделенных уравнении и построение общего решения Дифференциальные УЧП, обыкновенные ДУ Рабтий та млри

Общее решение я внле формального ряла или интеграла ф

ПРОГРАММА 2 Решение краевых задач

Учет НУ и ГУ, определение коэффициентов разложения. Подстановки, функциональные соотношения, преобразования, ряды и интегралы Рабочий *ист МАР1Е

Решение в внле ряла или интеграла с учетом НУ и ГУ +

ПРОГРАММА 3 Исследование и визуализация результатов

Численные вычисления, система визуализируемых функции,операторы построения трафиков Рабочий лист МЛР11

Численные значения, графики различных типов ^

Рис. 1.4. Структура программных комплексов

Программа 1 предназначена для построения формальных решений уравнений в частных производных различными методами. Выходные данные этой программы представляются в виде формальных рядов или интегралов, представляющих формальное решение, и используются затем в программе 2. Программа 2 предназначена для решения краевых задач с использованием полученных формальных решений. Программа представляет собой рабочий лист пакета МАРЬЕ. Выходные данные этой программы представляются в виде функциональных соотношений и формул и используются затем в программе 3. Программа 3 предназначена для исследования решений краевых задач, получения численных результатов и визуализации решений.

В частности с помощью программного блока «Уравнения эллиптического типа» решается следующие краевые задачи:_

Краевая задача Краевые условия

Первое граничное условие Второе граничное условие

I. Первая краевая задача для круга (А) В задаче внутри круга: ограниченность в начале координат: »М)и„<~ (Б) В задаче вне круга: ограниченность на бесконечности: и(г>0) <со На границе (радиуса круга: «М Ц =/М

II. Вторая краевая задача для круга На границе круга:

III. Третья краевая задача для круга На границе круга:

IV. Первая краевая задача для кольца На границе (радиуса кольца: На границе (радиуса /?2) кольца:

В разделе 1.4 формулируются программно-информационные основы создания комплекса программ для использования векторного анализа, тензорной алгебры и тензорного анализа и разработаны три программных комплекса. 1. Программный комплекс «Векторный анализ», который состоит из двух программ (рис. 1.5).

Программа 1 предназначена для введения необходимых координатных систем, задания скалярных и векторных операторов, а также программного вычисления градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа для этих полей с использованием ресурсов пакетов MAPLE или MATHEMATICA. Программа 2 предназначена для задания пользователем необходимых координатных систем (например, невстроен-ных в системы) и вычисления градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа для этих полей. Программа представляет собой рабочие листы пакетов MAPLE, MATHEMATICA или MATHCAD.

ПРОГРАММА 1 Программное использование ресурсов векторного анализа

Пакеты расширении векторного анализа, системы координат. Скалярные и векторные поля, Градиент, дивергенция, ротор. Лапласиан Рлбочне лжгы млр1£ и матшшт/са

Формулы вычисления гралиента, дивергенции, ротора и Лапласиана скалярных и векторных полей ^

ПРОГРАММА 2 Программирования векторных операторов

Системы координат, коэффициенты Ламе. Скалярные и векторные поля, Градиент, дивергенция, ротор, Лапласиан Рлбочн« /жты * млтислр, МЛР1Е н матнсмлпсл

Формулы вычислении градиента, дивергенции, ротора и Лапласиана скалярных и векторных полей

Рис. 1.5. Структура программного комплекса «Векторный анализ» 2. Программный комплекс «Тензорная алгебра», который состоит из двух программ (рис. 1.6).

ПРОГРАММА 1 Программное задание векторов и тензоров

Вызов инструментов пакета и программный ввод тензоров Координатные системы, метрический тензор, 4-векторы, 4-тензоры Рабочий лист млр1е

Общие программные соотношения для векторов и тензоров +

ПРОГРАММА 2 Программирование операций с векторами и тензорами

Операции и преобразования алгебраических типов Изменение типа объекта, произведения, квадрат 4-вектора, свертка тензора, симметризация тензоров, дуальные векторы и тензоры Рабочий лист МАР1Е

Программные блоки и алгоритмические и выкладки ^

Рис. 1.6. Структура программного комплекса «Тензорная алгебра»

Программа 1 предназначена для программного задания векторов и тензоров в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве-времени. Выходные данные этой программы представляются в виде векторных и тензорных объектов пакета и могут использоваться в программе 2. Программа 2 предназначена для выполнения операций с векторами и тензорами в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве-времени. Выходные данные этой программы представляются в виде преобразованных векторных и тензорных объектов и их функций.

3. Программный комплекс «Тензорный анализ», который состоит из двух программ (рис. 1.7).

Программа 1 предназначена для задания тензорных объектов в 4-мерном искривленном пространстве-времени. Выходные данные этой программы представляются в виде тензорных объектов пакета и могут использоваться в программе 2. Программа 2 предназначена для вычисления тензорных объектов в конкретных физически важных пространствах и выполнения над ними операций. Выходные данные программы представляются в виде тензорных объектов и их функций.

ПРОГРАММА 1 Программное задание основных тензоров

Вызов инструментов пакета и программный ввод тензорных объектов. Метрический тензор, символы Кристоффеля, тензоры Римана,Риччи, Эйнштейна, Вейля, скаляр Риччи Рабо-ч* лжг \iAPLE

Обшие программные соотношения лля векторов м тензоров ^

ПРОГРАММА 2 Программное вычисление сложных объектов

Задание характеристик пространства. Вычисления сложных тензорных объектов для конкретных пространств г»бачпя лист марм

Программные блоки н алгоритмические и тыклллки ^

Рис. 1.7. Структура программного комплекса «Тензорный анализ»

В разделе 1.5 формулируются программно-информационные основы создания комплексов для решения задач электродинамики и разработаны четыре программных комплекса.

1. Программный комплекс «Общие компьютерные методы в электродинамике», который состоит из двух программ (рис. 1.8).

ПРОГРАММА 1 Поля движущегося электрического заряда

4-потенциал движущегося заряда, преобразование 4-потенциала и напряженности полей. Векторные операторы: градиент и ротор рабочие лист а матнсао, мапс н матнематка

Формулы лля компонент 4-потенциала и напряженностей полей ^

ПРОГРАММА 2 Визуализация электрического и магнитного полей

Система визуализируемых функций и операторов построения графиков. Формулы для компонент 4-потенциала И напряженностей полей Рабочие лмсти а МАТНСАО, МАРИ и МАТНЕМАТ1СА

Графики разных типов лля потенциалов н напряженностей полей ^

Рис. 1.8. Структура программного комплекса «Общие компьютерные методы в электродинамике» Программа 1 «Поля движущегося электрического заряда» предназначена для вычисления 4-потенциала и поля движущегося электрического заряда. Выходные данные этой программы представляются в виде формул и компонент векторов и могут использоваться в программе 2. Программа 2 «Визуализация электрического и магнитного полей» предназначена для визуализации электрического и магнитного полей с помощью различных типов графиков. Выходные данные этой программы представляются в виде двумерных и трехмерных графиков (в том числе, поверхностных и векторных). Заметим, что выходные данные программы 2 имеют универсальный характер и могут быть использованы во всех случаях, где необходимо выполнить визуализацию данных в виде различных графиков.

2. Программный комплекс «Тензоры в релятивистской электродинамике», который состоит из двух программ (рис. 1.9)._

ПРОГРАММА 1 Программное задание векторов и тензоров электродинамики

4чкорость,4-ускоренне; 4»вектор энергии-импульса; тензор электромагнитного поля; тензор э не ргни-им пульса; тензор момента импульса Рабочинлмсг МАР1Е

Обише программные соотношения лля векторов н тензоров электродинамики

ПРОГРАММА 2 Преобразования векторов и тензоров электродинамики

Специальные н общие преобразования Лоренца, формулы преобразования векторов и тензоров электродинамики Рзбо-т* лист мари

Программные блоки н алгоритмические и выклалкн ^

Рис. 1.9. Структура программного блока «Тензоры в релятивистской электродинамике» Программа 1 «Программное задание векторов и тензоров электродинамики» предназначена для задания векторов и тензоров релятивистской электродинамики в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве-времени. Выходные данные этой программы представляются в виде векторных и тензорных объектов пакета и могут использоваться в программе 2. Программа 2 «Преобразования векторов и тензоров электродинамики» предназначена для выполнения преобразований векторов и тен-

зоров релятивистской электродинамики в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве-времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Выходные данные этой программы представляются в виде преобразованных векторных и тензорных объектов и их функций.

3. Программный комплекс «Уравнения в частных производных в электродинамике», который состоит из четырех программ (рис. 1.10).

Программа 1 «Стационарные поля: двумерные эллиптические уравнения в электродинамике» предназначена для решения двумерных (или с цилиндрической симметрией) стационарных краевых задач электродинамики на основе построенных формальных решений эллиптических уравнений. Выходные данные этой программы представляются в виде формул и функциональных соотношений, представляющих физические величины, описывающие поля и заряды. Программа 2 «Стационарные поля: трехмерные эллиптические уравнения в электродинамике» предназначена для решения трехмерных краевых стационарных задач электродинамики на основе программно построенных формальных решений эллиптических уравнений. Выходные данные этой программы представляются в виде формул и функциональных соотношений, представляющих физические величины, описывающие поля и заряды.

Программа 3 «Квазистационарные поля: параболические уравнения в электродинамике» предназначена для решения краевых квазистационарных задач электродинамики на основе программно построенных формальных решений параболических уравнений. Выходные данные этой программы представляются в виде формул и функциональных соотношений, представляющих физические величины, описывающие поля и токи. Программа 4 «Численное интегрирование уравнений движения заряженных частиц» предназначена для решения численного решения уравнений движения заряженных частиц в электромагнитных полях. Выходные данные этой программы представляют собой наборы численных данных и/или графики, представляющие зависимости координат и скоростей от времени, а также траекторию движения.

ПРОГРАММА 1 Двумерные эллиптические уравнения в электродинамике

Краевая задача для круга. Векторный анализ. Потенциал и напряженность поля, плотность зарядов РлбочнЛ лист МЛР11

Функциональные соотношения и формулы +

ПРОГРАММА 2 Трехмерные эллиптические уравнения в электродинамике

Векторный анализ, ур-я Лапласа и Пуассона. Потенциал и напряженность поля, плотность зарядов Рабочий лмсг МАР11

Функциональные соотношения и формулы

ПРОГРАММА 3 Параболические уравнения в электродинамике

Векторный анализ, парабол, ур-я. Потенциал н напряженность поля, квазистационарные токи и поля Рлбочие листы МАРИ и МАТНЕМАЖА

Функциональные соотношения и формулы ^

ПРОГРАММА 4 Численное интегрирование уравнений движения частиц

Уравнения в частных производных, сила Лоренца Блоки численного решения уравнений Рабочие листы в МЛПКАО, МАР1Е н МАТНЕМАТКА

Численные значения параметров движения, графики законов движения и траектории ^

Рис. 1.10. Структура программного комплекса «Уравнения в частных производных в электродинамике»

4. Программный комплекс «Интегрирование уравнений движения заряженных частиц», который состоит из двух программ (рис. 1.11).

Программы 1 и 2 («Интегрирование уравнения Гамильтона-Якоби») предназначены для интегрирования уравнений Гамильтона-Якоби, описывающих движения

классических и релятивистских заряженных частиц соответственно (5 - действие):

'му (эзЛ2 гэ^у

>1+и1+ Ы,и{г,в,<р)=4*>

2-т 2-т-г 2■ т■ гг ■ эш2(в) х Т> Эг

''¿»У 1 +-

дг

г2 ' г2-8т2(0)

Л

+ и{г,в,<р) = ~ 5\ о<

Выходные данные этой программы представляются в виде формул и функциональных соотношений, представляющих законы движения и траектории частиц.

Программы 3 и 4 («Интегрирование уравнений Лагранжа») предназначены для интегрирования уравнений Лагранжа, описывающих движения классических и релятивистских заряженных частиц в постоянных однородных электромагнитных полях соответственно:

<Л с Ж ~

ПРОГРАММА 1 Интегрирование нерелятивистского уравнения Гамильтона-Якоби

Нерелятнв. ур-е Гамнльтона-Яхобн. Разделение переменных, интегрирование разделенных уравнений Рабочая лист АЛА Р1 £

Функциональные соотношения, законы лвюкення, траектории

ПРОГРАММА 2 Интегрирование релятивистского уравнения Гамильтона-Якоби

Релятив. ур-е Гамильтон а-Якобы. Разделение переменных, интегрирование разделенных уравнений Рабочий анст МАПЕ

Функциональные соотношения, законы лвнження, траектории +

ПРОГРАММА 3 Интегрирование нерелятивистского уравнения Лагранжа

Нерелятивистское уравнение Лагранжа Программное интегрирование уравнений рабочий лист млпе

Функциональные соотношения, законы лвнження, траектории +

ПРОГРАММА 4 Интегрирование релятивистского уравнения Лагранжа

Релятивистское уравнение Лагранжа Программное интегрирование уравнений рабочий лмстМАПЕ

Функциональные соотношения, законы движения, траектории

Рис. 1.11. Структура программного комплекса «Интегрирование уравнений движения заряженных частиц» Выходные данные этой программы представляются в виде формул и функциональных соотношений, описывающих законы движения и траектории частиц.

ПРОГРАММА 1 Программное вычисление инвариантов тензора кривизны

Задание характеристик пространства и вычисления Метрический тензор,тензор Римана и его инварианты Рабочий лист МАНЕ

Программный блок н функциональные соотношения для инвариантов

ПРОГРАММА 2 Программное решение уравнений гравитационного поля

Задание характеристик пространств» и решеяне Метрический тензор,тензор Эйнштейна, полевые уравнения Рабочий лист МАПЕ

Программный блок и функциональные соотношения для компонент метрическою тензора

ПРОГРАММА 3 Гравитационное поле и визуализация пространства

Задание пространства, вычисление к визуализация Вектор поля гравитационно-инерциальных сил, эргосфера Рабочие лис ш МАР1Е и МЛТНСЛО

Функциональные соотношения, численные значения, трафики различных типов

Рис. 1.12. Структура программного комплекса «Теория поля в искривленном пространстве-времени» В разделе 1.6 формулируются программно-информационные основы создания комплексов для решения прикладных задач теории поля в искривленном простран-

стве-времени и разработан:

Программный комплекс «Теория поля в искривленном пространстве-времени» (рис. 1.12).

Программа 1 «Инварианты тензора кривизны» предназначена для вывода инвариантов тензора Римана

h = -R^-i-R^-R^), I2=~{RM„-R'm"r-Rp;k +i-RMm-^mpr-R;k)

и их вычисления для конкретных пространств. Выходные данные этой программы представляются в виде функциональных соотношений для инвариантов.

Программа 2 «Решение уравнений гравитационного поля» предназначена для решения уравнений гравитационного поля для некоторых физически важных пространств. Выходные данные этой программы представляются в виде функциональных соотношений для компонентов метрического тензора:

ds2 = ■ с2 • dt2 - еЧи) ■ dr2 - г2 ■ dd2 - г2 • sin(0)2 • d<¡>2

или

ds2 = с2 - dt1 ~a(t)- \dx2 ~ sin (j)2 • (г2 • de2 - г2 • sin(0)2 • dip2)].

Программа 3 «Вектор ноля гравитационно-инерциальных сил и визуализация искривленного пространства» предназначена для визуализации физически важных искривленных пространств на основе вычисления вектора гравитационно-инерциальных сил (G - ненулевые символы Кристоффеля)

Su

и параметров эргосферы черной дыры. Программа представляет собой рабочие листы пакетов MAPLE и MATHCAD. Выходные данные этой программы представляются в виде разных типов графиков.

В разделе 1.7 формулируются программно-информационные основы создания комплексов для решения прикладных задач квантовой механики и разработаны три программных комплекса.

1. Программный комплекс «Одномерное квантовое рассеяние в MAPLE и МА-THEMATICA» (рис. 1.13).

Программа 1 «Решение уравнения Шредингера» предназначена для решения уравнения Шредингера с заданными потенциальными функциями, его анализа и выделения асимптотик волновых функций. Выходные данные этой программы представляются в виде функциональных соотношений для волновых функций и используются в программе 2. Программа 2 «Потоки вероятности, коэффициента прохождения и отражения» предназначена для вычисления физических параметров рассеяния. Выходные данные программы представляются в виде формул и функциональных соотношений, представляющих потоки вероятности, коэффициенты отражения и прохождения и используются в программе 3. Программа 3 «Численные расчеты и визуализация полученных результатов» предназначена для получения численных значений физических параметров рассеяния и их визуализации. Выходные данные этой программы представляются в виде наборов численных данных и графиков различных типов.

ПРОГРАММА 1 Решение уравнения Шредингера

Дифференциальное уравнение Шредингера, потенциальная функция. Анализ решения и его асимптотики Соотношение Гаусса Работы листы мари « штшматка

Решение уравнения Шредингера, полные м асимптотические формулы

ПРОГРАММА 2 Потоки вероятности, коэффициенты прохождения и отражения

Дифференциальные и алгебраические для потоков вероятности, коэффициентов прохождения я отражения работ* лисп* maple ммапямагка

Значения потоков вероятности, коэффициентов прохождения и отражения ^

ПРОГРАММА 3 Численные расчеты и визуализация полученных результатов

Численные расчеты физических параметров. Система визуализируемых функций и операторов построения Графиков Работе лист MAPLE и MATHIMATICA

Численные данные, графики функций и зависимостей коэф.в прохожд-я и отр-я от энергии ^

Рис. 1.13. Структура программного блока «Одномерное квантовое рассеяние в МАРЬЕ и МАТНЕМАТ1СА»

2. Программный комплекс «Одномерное квантовое рассеяние на прямоугольных барьерах в МАТНСАЭ», который состоят из трех программ (рис. 1.14).

ПРОГРАММА 1 «Сшивание» волновых функций

Совокупность волновых функций для нескольких областей я система алгебраических соотношений, описывающих условия гладкого сшивания волновых функций рабочий л*я матнсао

Значения коэффициенте сшивки волновых функций ^

ПРОГРАММА 2 Потоки вероятности, коэффициенты прохождения и отражения

Дифференциальные и алгебраические соотношения, определющи* потоки вероятности н коэффициент прохождение Рлбоыл л*стmathcad

| Значения потоков вероятности и коэффициента прохождения я^

ПРОГРАММА 3 Численные расчеты и визуализация полученных результатов

Система визуализируемых функций и операторов построения графиков Рабочий лист матнсао

Графики волновых функций и зависимости коэффициента прохождения от энергии частиц ^

Рис. 1.14. Структура программного блока «Одномерное квантовое рассеяние на прямоугольных барьерах в МАТНСАГЗ»

Программа 1 «Сшивание волновых функций» предназначена для «сшивания» волновых функций, являющихся решением уравнения Шредингера с постоянным значением потенциальной функции. Выходные данные этой программы представляются в виде функциональных соотношений для коэффициентов сшивки и используются в программе 2. Программа 2 «Потоки вероятности, коэффициента прохождения и отражения» предназначена для вычисления физических параметров рассеяния. Программа представляет собой рабочий лист в пакете MATHCAD. Выходные данные этой программы представляются в виде формул и функциональных соотношений, представляющих потоки вероятности, коэффициенты отражения и прохождения и используются в программе 3. Программа 3 «Численные расчеты и визуализация полученных результатов» предназначена для получения численных значений физических параметров рассеяния и их визуализации. Программа представляет собой рабочий лист в пакете MATHCAD. Выходные данные этой программы представляются в виде наборов численных данных и графиков различных типов. 3. Программный комплекс «Квантовые связанные системы» (рис. 1.15);

Программа 1 «Решение уравнения Шредингера и анализ квантовых состояний» предназначена для решения уравнения Шредингера с заданной потенциальной функцией. Программа представляет собой рабочие листы в пакетах MAPLE и МА-THEMATICA. Выходные данные программы представляются в виде функциональных соотношений для волновых функций и используются в программе 2. Программа 2 «Анализ волновых функций, квантовые состояния» предназначена для анализа

волновых функций и определения квантовых состояний. Выходные данные этой программы представляются в виде формул и функциональных соотношений, представляющих нормированные волновые функции и энергетические уровни и используются в программе 3.

ПРОГРАММА 1 Решение уравнения Шредингера

Потенциалы, дифференциальное уравнение Шредингера Разделение переменных и решение разделенных уравнений Рабочие листы МАПТ и матнемлт/са

Решение уравнения Шрелиыгера, радиальные и угловые функини ^

ПРОГРАММА 2 Анализ волновых функций, квантовые состояния

Интегральные соотношения для нормировки, формулы квантования 1 * * * 1 ? Рабочие листы » МАГНСАО, МАР1Е к МАТН1МА71СА

Нормированные волновые функции, энергетических уровни ♦

ПРОГРАММА 3 Численные расчеты и визуализация полученных результатов

Численные расчеты параметров. Система волновых функций н операторов иосгроения графиков Радиальные И угловые функцкни ПЛОТНОСТИ вероятности Рабочие листы в МАТНСАО, МАР1Сн МАТН1МАПСА

Численные ланные, графики волновых функций, плотностей вероятности ^

Рис. 1.15. Структура программного комплекса «Квантовые связанные системы» Программа 3 «Численные расчеты и визуализация полученных результатов» предназначена для получения численных значений физических квантовых состояний и их визуализации. Выходные данные этой программы представляются в виде наборов численных данных и графиков различных типов.

ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ разрабатывается комплекс программ для расчета и выполнения на его основе вычислительного эксперимента в модели реактора теплоснабжения малой мощности.

В разделе 2.1 формулируется модель реактора теплоснабжения малой мощности с саморегулированием, основанная на системах уравнений стационарной и нестационарной теплогидравлики реактора; совокупности функциональных соотношений, представляющих уравнения нестационарной кинетики установки; формулах зависимостей параметров установки от температуры и давления, других теплофизи-ческих соотношениях.

В разделе 2.2 приводится программная реализация комплекса программ в системе МАТНСАБ (рис. 2.1); описываются стационарные состояния работы реактора; моделируются переходные процессы, воздействующие на систему, и режимы работы реактора в состоянии саморегулирования; численно решаются системы уравнений нестационарной теплогидравлики, описывающие работу реактора при переходных процессах в разных режимах.

1еусаЬ««д-Нагф(агА

* Са£ т Р*ке

ОегКэО/е еЯпнЬоп: О&скхй

У»гйЫв еяпосюп: ©1л1деги О^айгаОс

1лцг«пзЬ)в с11ес)с ОХе$ ®Цо

МиЬЯэгЬ у« = м.;

ЕуокгОопггу: у45 ♦

1- , -О*......1 I - сми!......I I..—Пек». —I

Рис. 2.1. Диалоговые окна решения систем нелинейных уравнений Для решения систем нелинейных уравнений использовались встроенные алгоритмы: сопряженных градиентов, Левенберга и квазиньютоновский, включая разные методы решений систем и типов аппроксимаций производных и функций (рис. 2.1).

Точность вычисления переменных: TOL=0.001 (Convergence Tolerance). Численное решение систем: (блок «Given-Find», критерий точности для дополнительных условий (Constraint Tolerance) CTOL=0.001.

Система уравнения нестационарной теплогидравлики - жесткая система дифференциальных уравнений; ее решение осуществляется в MATHCAD с помощью встроенных функций (блок «Given-Find») по алгоритму RADAUS с аналогичными параметрами точности. Точность вычисления производных (метод Риддера) TOL=0.001; точность решения до 10"6.

Комплекс программ для расчета модели реактора состоит из трех программ и двух программных блоков (рис. 2.2).

Программа 1 предназначена для представления экспериментальных данных о тепловых свойствах воды в аналитической форме в виде полиномов, получаемых методом полиномиальной регрессии. Выходные данные этой программы в виде функциональных зависимостей параметров воды от температуры и давления используются затем в программах 2 и 3. Программа 2 предназначена для численного решения системы уравнений стационарной теплогидравлики реактора. Математически эта система представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений. Выходные данные этой программы, полученные при заданных начальных температуре воды на входе во второй контур и нейтронной мощности, представляют собой набор чисел и описывают стационарный режим работы реактора; они также используются в программе 3 как начальные данные при исследовании переходных процессов.

Рис. 2.2. Структура комплекса программ для расчета модели реактора

Программа 3 предназначена для численного решения системы уравнений нестационарной теплогидравлики реактора. Математически эта система представляет собой систему нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений. Выходные данные этой программы, полученные при заданных начальных условиях работы реактора (характеризующих некоторое стационарное состояние), представляются операторами МАТНСАБ, возвращающими решения системы уравнений; они могут быть представлены в виде наборов численных данных для параметров реактора (для определенных моментов времени) и в виде графиков зависимостей параметров от времени. Программный блок 1 предназначен для моделирования переходных процессов, возникающих в системе в результате воздействия внешних факторов: изменения со временем температуры воды на входе во втором контуре, реактивности реактора и массового расхода воды во втором контуре. Данные этого блока

представляют собой функциональные зависимости рассматриваемых параметров от времени, которые могут быть также представлены в виде графиков.

Математическая модель

Системы уравнений и функциональные соотношения

Исследование модели

- Изменение начальной реактивности реактора

- Изменение температуры воды на входе во П контур

- Изменение расхода воды по контуру потребителя

Вычислительный алгоритм

Метод функционального программирования

Компьютерная программа

Программа на входном языке

Компьютер

Персональный компьютер

Рис. 2.3. Схема вычислительного эксперимента

Таблица 2.1

Составляющие Содержание

Объект Реактор теплоснабжения малой мощности с саморегулированием.

Математическая модель 1. Система уравнений стационарной теплогидравлики реактора. 2. Система уравнений нестационарной теплогидравлики реактора. 3. Функциональные соотношения, которые моделируют переходные процессы, воздействующие на систему. 4. Функциональные связи, реализующие переходные режимы при наличии обратных связей.

Исследование модели 1. Изменение начальной реактивности реактора до значений, обеспечивающих вывод его в стационарные состояния с заданными параметрами (моделирование вывода реактора из некоторого начального состояния в заданный стационарный режим). 2. Изменение температуры воды на входе во второй контур (моделирование сезонного изменения температуры) и возвращение в исходное состояние. 3. Изменение расхода воды по контуру потребителя (моделирование уменьшения расхода воды, в том числе моделирование критической ситуации -«тлеющего» режима работы реактора) и возвращение в исходное состояние. 4. Изменение начальной реактивности реактора (моделирование факторов, меняющих начальную реактивность) и возвращение в исходное состояние.

Вычислительный алгоритм Метод функционального программирования в среде прикладного пакета МАТНСАО с использованием численно-аналитических алгоритмов решения системы нелинейных алгебраических уравнений и системы нелинейных дифференциально-алгебраических уравнений.

Компьютерная программа Комплекс программ (рабочие листы) в среде МАТНСАО на входном языке.

Компьютер Персональный компьютер.

Программный блок 2 предназначен для моделирования действий регулировок реактора, реализующих обратные связи по среднему значению температуры воды первого контура перед реактором, по массовому расходу воды во втором контуре и по температуре воды на входе второго контура. Программный блок представляет собой дополнительные соотношения, включаемые в уравнения нестационарной теп-логидравлики реактора. Наличие этих обратных связей и их влияние на «отработку»

реактором возможных критических воздействий, позволит сделать вывод о возможности работы реактора в режиме саморегулирования, что и является предметом общей задачи этой главы.

В разделе 2.3 реализуется вычислительный эксперимент (рис. 2.3, табл. 2.1) и проверяется адекватность математической модели реактора теплоснабжения.

Проведенный вычислительный эксперимент (по изучению саморегулируемых режимов работы реактора и переходных процессов, возникающих в системе в результате воздействия внешних факторов), интерактивный анализ режимов работы и визуализация базовых параметров реактора позволяют выявить оптимальные режимы работы реактора (в том числе и для некоторых критических ситуаций). Тем самым обосновывается принципиальная возможность разработки реактора малой мощности с саморегулированием

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ разрабатывается комплекс программ для сравнительного анализа моделей ядерных данных (Bertini/ABLA; Bertini/Dresner; СЕМ2К; NCL4/ABLA; INCL4/Dresner; ISABEL/АВLA; ISABEL/Dresner; CASCADE), представленных в нейтронной библиотеке активационных файлов «IEAF-2005» (Intermediate Energy Activation File) для 682 нуклидов с данными по сечениям нейтронных реакций с ядрами мишеней с Z = 1-^84 в энергетическом диапазоне от 150 МэВ И ГэВ.

В разделе 3.1 разрабатываются программные процедуры подготовки данных для сравнительного анализа, основанные на экспертных оценках, количественно характеризуемых факторами согласия D\ < 0.4, D2 < 0.8, где

техр

А,

о"'к — О"'

о"",, и ос"'си - экспериментальные и расчетные сечения для i-oro экспериментального значения и реакции /; и с помощью полиномиальной регрессии. В результате экспериментальные (примерно для тысячи реакций) и теоретические данные представлялись в виде:

ЕХР,=

ОТ,

<Г

Е„

Lo?

Ао?

Дет,7

х„

Y7

AYf

х„ 17 Д>Г

х„ у;т ay;?

где 1=1, ..., Ь - номер реакции, 1=1, ...,/- количество экспериментальных точек соответствующих ей, Ец - энергия (в МэВ) налетающего протона, оехрц и Лоехрц - сечение (в мб) и погрешность сечения выхода остаточного ядра;

'w/

х = su», .ДУ0 = № )„, 'YJ=

где Х- вектор энергий, У0 и ДУ0 - векторы экспериментальных данных с сечениями протонных реакций и их погрешностей соответственно, }} (/ нумерует анализируе-

мые модели: Bertini/ABLA (j = 1); Bertini/Dresner (J = 2); CEM2K (j = 3); INCL4/ABLA (/ = 4); INCL4/Dresner (j = 5); ISABEL/ABLA (/ = 6); ISABEL/Dresner (/' = 7), CASCADE (j = 8)).

Всего было выбрано 3999 экспериментальных значений сечений реакций (р, xnypza) с ядрами Z=6^84 для более 1000 реакций в энергетическом диапазоне £=150-4000 МэВ. Наряду с независимыми выходами ядер в рассмотрение были включены некоторые реакции типа (р, xnypzà). Данные ранжировались в порядке возрастания массового числа ядра-мишени с Л=6-К210 и разбиты на 9 поддиапазонов. В каждом поддиапазоне экспериментальные данным были сопоставлены данные, полученные с использованием программы CASCADE/INPE и многоцелевой программы MCNPX.

В разделе 3.2 разрабатываются методы статистического анализа данных, основанные на использовании метода наименьших квадратов и корреляционного анализа.

Анализ основывается на использовании векторов

MMQ COR1/1 = MMQ/' COR1/1,

где MMQ(' y - вектор обратных значений сумм квадратов разностей экспериментальных и теоретических данных для каждой реакции; imox - число значений энергий для реакции L,j - номер модели (J = 1, 2,. ..8); COR- вектор корреляций экспериментальных и теоретических данных для каждой реакции; cvar(Yo,YJ) и stdev(Yj) -операторы для вычисления ковариации и стандартного отклонения соответственно. Эти векторы вычислялись и нормировались как для всего диапазона реакций, так и для характерных поддиапазонов. Полученные данные затем использовались для ранжирования моделей по лучшему соответствию экспериментальным данным.

Комплекс программ для анализа моделей ядерных данных состоит из пяти программ (рис. 3.1).

Программы 1 и 2 предназначены предварительной обработки экспериментальных и соответствующих им расчетных данных на основе факторов согласия D\ = 0.4 и £)2 = 0.8. Программы написаны на языке Fortran; они представляют данные в виде единого EXCEL-файла как для всей реакций, так и в виде наборов файлов для всех реакций. Выходные данные этих программ используются в программе 4 для проведения сравнительного анализа данных для каждой реакции. Программа 3 (набор однотипных программ для каждой реакции) предназначена для предварительной обработки экспериментальных и соответствующих им расчетных данных на основе метода полиномиальной регрессии в прикладном математическом пакете MATHCAD. Выходные данные этой программы используются в программе 4 для проведения сравнительного анализа данных для каждой реакции.

Программа 4 (набор однотипных программ для каждой реакции) предназначена для проведения сравнительного анализа данных для каждой реакции на основе метода наименьших квадратов и корреляционного анализа. Выходные данные этой программы используются в программе 5. Программа 5 предназначена для сведения данных отдельных реакций и проведение сравнительного анализа для поддиапазонов и

всего диапазона массового числа ядер-мишеней. Выходные данные этой программы представляют собой наборы чисел (которые визуализируются с помощью двумерных и трехмерных гистограмм), ранжирующих модели.

БЛОК ПРОГРАММ ПРЕЛ ВАРИ ТЕЛ ЬНОЙ ОБРАБОТКИ ААННЫХ ПРОГРАММА 1 Полютовка ланных на основе факторов согласия 1 БЛОК ПРОГРАММ СРАВНИТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА ПРОГРАММА 4 Сравнительный анализ данных (для каждой реакции)

Обработка исходных данных в соответствии с фактором согласия D - 0.4 npoqtaMMa иа языке Fortran Сравнительный анализ данных на 1 основе метода наименьших квадратов | и корреляционного анализа 7 (для каждой реакции) 1 Рабочий лист МАТНСАО

Файлы ланных в формате ЕХСЕЦотл. реакции) '

ПРОГРАММА 2 Подготовка ланных на основе факторов согласия 2

' Файлы ланных в формате МАТНСАО (для каждой реакции) ^

Обработка исходных данных в соответствии с фактором согласия D — 0.8 Программа на языке Fortran 1 ПРОГРАММА 5 Обший сравнительный анализ данных <'

Файлы ланных в формате EXCEL (отд. реакции) ^

Сведение данных отдельных реакций и сравнительный анализ для поддиапазонов и всего диапазона массового числа ядер-мишеней Рабочий лист МАТНСАО

ПРОГРАММА 3 Подготовка ланных а основе полиномиальной регрессии

Обработка исходных данных методом полином. 1 регрессии в MATHCAD Рабочий лист млтнсло 1

Набор численных ланных +

Файлы ланных в формате MATHCAD (ом. реакции) Графическая визуализация ланных ^

Рис.3.1. Структура комплекса программ для анализа моделей ядерных данных

Программы 3-5 представляют собой рабочие листы (и наборы однотипных рабочих листов для каждой реакции) пакета МАТНСАО.

Рис.3.2. Визуализация ранжирования моделей с помощью трехмерных гистограмм для всего диапазона (а) и для поддиапазонов (б) массового числа ядер-мишеней

В результате проведено ранжирование (для всего диапазона (рис. 3.2а) и для поддиапазонов (рис. 3.26) массового числа ядер-мишеней) моделей взаимодействия протонов с ядрами мишеней для нейтронной библиотеки активационных файлов «IEAF-2005» для данных 2006 и 2007 г.г. и обосновано использование моделей CASCADE, ISABEL, СЕМ2К, INCL4, Dresner, Bcrtini для расчета активационных нейтронных данных для нуклидов с Z = 6^84 в области энергий 150-1000 МэВ.

В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ разрабатывается комплекс программ для реализации моделей теплопроводности и анализа температурных полей в многослойном устройстве со сферическим тепловыделяющим элементом.

В разделе 4.1 описываются устройство, его технологические реализации (отличающиеся по геометрии и мощности ТВЭЛ) и решаемые краевые задачи (табл. 4.1

и рис. 4.1 и 4.2); приводится структура комплекса программ в системах МАРЬЕ и МАТНЕМАТ1СА для расчета температурных полей.

Таблица 4.1

Модели теплопроводности в многослойном устройстве со сферическим ТВЭЛ

Модель Учитываемые факторы

I, Базовая модель (БМ) Стандартная модель стационарной теплопроводности.

II, Модель с учетом контактного термического сопротивления (МКС) Учет контактного термического сопротивления между оболочками.

III, Ограниченная нелинейная модель (OHM) Учет зависимости коэффициента теплопроводности от температуры в IV оболочке.

IV, Полная нелинейная модель (ПНМ) Учет зависимости коэффициентов теплопроводности от температуры во всех оболочках.

V, Полная нелинейная модель с учетом контактного термического сопротивления (ПНК) Учет зависимости коэффициентов теплопроводности от температуры во всех оболочках и контактного термического сопротивления.

VI, Модель, с учетом излучения на внешней границе (МИГ) Учет условия излучения на внешней границе устройства.

VII, Модель с учетом излучения на ТВЭЛ (МИТ) Учет условия излучения в прослойке между сферическим ТВЭЛ и отражателем.

VIII, Модель с учетом внешнего воздействия (МВВ) Учет внешнего воздействия (алюминиевые стержни для усиления отвода тепла).

1, БМ Базовая II, МКС Модель с учетом контакт, терм. III, OHM Ограниченная нелинейная IV, ПНМ Полная

МОДЕЛИ И ЗАДАЧИ

V, ПНК Полная нслин. терм, сопр-я VI, миг Модель с учетом излучения на внешней границе VII, МИТ Модель с учетом излучения на ТВЭЛ VIII, МВВ Модель с учетом воздействия

1 краевая задача III краевая задача

Аналитич. расчегы Числен, расчеты Вюуализаиии

MATHEMATICA

Аналитич. расчеты Числен, расчеты Визуализации

Числс-и расчеты Визуализации

Рис. 4.2. Геометрические характеристики устройства для

трех классов технологий (радиусы оболочек указаны в см)

Рис. 4.1. Объект исследования и модели Расчет температурных полей - важная задача для определения условий хранения ядерных устройств., которые должны удовлетворять требованиям «нераспространения» и технической реализуемости (не слишком высокая температура). Подход к решению - денатурирование ТВЭЛа: изменение его изотопного состава (в т.ч. как фактор защиты от несанкционированного распространения ядерных материалов).

Комплекс состоит из совокупности программ, схематически представленных

ОБОЛОЧКА IV

ОБОЛОЧКАМ

на рис. 4.3. Более подробно на рис. 4.4. приведена часть комплекса для расчета базовой (БМ) и ограниченной нелинейной (OHM) моделей.

Аналитические расчеты

Решение линейных и нелинейных, однородных и неоднородных уравнений стационарной теплопроводности Учет граничных условий, I и 111 краевые задачи, учет.

контакт, терм. . ^^^^^^^^^

сопротивления, Ь учет условий

[J^ »^Численные расчеты|i i Визуализации Визуализация

излучения

II, МКС I

III, OHM I

IV, ПНМ I

V, ПНК I

VI, МИГ I

VII, МИТ I

VIII, МВВI Аналитические решения Г (функциональные _ зависимости) I

MATHEMATICA

Молельные ланные

I Справочные ланные ]-

Значения

Численные значения температурного поля Рекомендации

Изотопный состав ТВЭЛ

MATHEMATICA

^Лин. регрессия данных;

теплового поля {двух- и трехмерные графики)

MATHEMATICA

Рис. 4.3. Структура комплекса программ ПРОГРАММА 1 / краевая залача (базовая модель)_

Область I. Линейное неоднородное уравнение стационарной теплопроводности Области И-У Линейные однородные уравнения стационарной теплопроводности

Аналитическое решение (функциональные зависимости) Графическая визуализация результатов

Рабочий лист MAPLE ^

ПРОГРАММА 2 /// краевая залача (базовая модель)

Область I. Линейное неоднородное уравнение стационарной теплопроводности Области II-V. Линейные однородные уравнения стационарной теплопроводности

ПРОГРАММА 5 Сравнение результатов и рекоменлаиии

Аналитическое решение (функциональные зависимости) Графическая визуализация результатов

Рабочий лист MAPLE ^

ПРОГРАММА 3 I краевая залача (ограниченная нелинейная модель)

Область 1. Линейное неоднородное уравнение стационарной теплопроводности Области II, III, V. Линейные однородные уравнения стационарной теплопроводности Область IV. Нелинейное однородное уравнение стационарной теплопроводности

Функциональные зависимости температуры от радиальной координаты (I и III краевые задачи) для базовой и ограниченной нелинейной моделей

Рабочий ЛИС1 MAPLE

Визуализация решений

Аналитическое решение (функциональные зависимости) Графическая визуализация результатов Рабочий л

т MAPLE ^

Численные значения температур

ПРОГРАММА 4 III краевая залача (ограниченная нелинейная модель)

Область I. Линейное неоднородное уравнение стационарной теплопроводности Области II, III, V. Линейные однородные уравнения стационарной теплопроводности Область IV. Нелинейное однородное уравнение стационарной теплопроводности

Рекоменлаиии по изотопному солержанию ТВЭА

Аналитическое решение (функциональные зависимости) Графическая визуализация результатов

Рабочий лист MAPLE

Рис. 4.4. Часть структуры комплекса для расчета базовой и ограниченной нелинейной моделей Программы 1 и 2 предназначены для решения первой и третьей краевых задач для температурного поля в рамках линейной модели. Выходные данные этих программ представляются в виде функциональных зависимостей температуры от радиальной координаты и соответствующих двумерных и трехмерных графиков и используются затем в программе 5.

Программы 3 и 4 предназначены для получения решений первой и третьей краевых задач для температурного поля в рамках нелинейной модели. Выходные данные этих программ представляются в виде функциональных зависимостей температуры от радиальной координаты и соответствующих двумерных и трехмерных графиков и используются затем в программе 5.

Программа 5 предназначена для сравнения результатов, полученных в рамках линейной и нелинейной моделей: результаты представляются в виде графиков и численных значений температур (в том числе и для характерных точек). В работе рассматриваются два типа краевых условий:

1) на границе устройства поддерживается постоянная температура Тех, (первая краевая задача):

где ТехI - постоянная температура, поддерживаемая на границе устройства.

2) на границе устройства происходит теплообмен (с постоянным тепловым потоком) с внешней средой, температура которой равна Тех, (третья краевая задача):

где /? - коэффициент теплообмена.

В разделе 4.2 рассчитываются тепловые поля в рамках линейных моделей. 1) Реализуется базовая линейная (с постоянными коэффициентами теплопроводности) модель стационарной теплопроводности. Уравнения теплопроводности для сферически-симметричных I (р -объемная тепловая плотностью ТВЭЛа) и II—V областей записываются (/ = 2, 3,4,5) соответственно:

д2и,(г) 2 ди, (г)

+ /7 = 0,—4-^ + -—^-2 = 0.

дг г дг

д2щ{г) + 2дщ{г)

дг г дг

Данные, получаемые в рамках этой модели, свидетельствуют о необходимости использования для IV слоя устройства (где температурный перепад может составлять сотни градусов), более сложной модели теплопроводности с коэффициентом теплопроводности, зависящим от температуры.

2) Реализуется модель стационарной теплопроводности, учитывающая наличие контактного термического сопротивления между оболочками. Математически такая задача аналогична базовой модели, но вместо пяти оболочек предусматривает наличие еще четырех тонких оболочек-прослоек, заполненных газом.

В разделе 4.3 рассчитываются тепловые поля в рамках нелинейных моделей.

1) Реализуется ограниченная нелинейная (предполагающая зависимость коэффициента теплопроводности от температуры в IV слое) модель стационарной теплопроводности. При этом предполагается линейная зависимость коэффициента теплопроводности кц материала в IV слое от температуры щ:

К4 = /с4-и4(г) + к4,

где /с4 и ¿4 - постоянные параметры. При этом температурное поле щ будет удовлетворять нелинейному уравнению второго порядка:

{к4-и4(г) + к4)

Гд\{г)2 Э«4(гП (ди4(г)^

дг2 г дг

дг

■ 0.

Полученные аналитические решения представляют собой кусочно-гладкие функции, описывающие зависимость температуры от радиальной координаты г (в рамках обеих моделей) для первой и третьей краевых задач соответственно. Решения визуализируется с помощью двумерных и трехмерных графиков (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Двух- и трехмерная визуализации температурных полей в ограниченной нелинейной модели 2) Реализуется полная нелинейная модель (предполагающая зависимость коэффициента теплопроводности от температуры во всех слоях) модель стационарной теплопроводности. При этом предполагается линейная зависимость коэффициентов теплопроводности к( материалов от температуры и,-:

К, =К,-щ(г) + к^

где и к, - постоянные параметры. При этом температурное поле и\ будет удовлетворять нелинейному уравнению второго порядка:

Гд\(г) 2 Эа!(г)>1 442

v Э г1 г дг j

К

Э г

+ р = О,

а остальные температурные поля будут удовлетворять нелинейному уравнению, приведенному для ограниченной нелинейной модели (как в IV слое). Для определения коэффициентов линейной зависимости от температуры были использованы экспериментальные справочные данные и программа в системе МАТНСАБ, реализующая метод линейной регрессии.

3) Реализуется полная нелинейная модель с учетом контактного термического сопротивления. Эта модель предполагает наличие зависимости коэффициентов теплопроводности от температуры во всех оболочках и контактного термического сопротивления между всеми оболочками.

В разделе 4.4 рассчитываются тепловые поля в рамках моделей, учитывающих тепловое излучение и внешнее воздействие

1) Реализуется полная нелинейная модель с учетом теплового условия излучения на внешней границе устройства:

д»5(0

- -"•(-'-.»I' III =г

дг

= b<Tea-u5(r))lr+H{£,-uUr))lr

где tex, -температура окружающего помещения, где Н - коэффициент, характеризующий излучательные свойства поверхности устройства.

2) Реализуется модель, построенная на основе базовой и учитывающая условие теплового излучения в прослойке между сферическим ТВЭЛ и отражателем.

3) Реализуется модель, которая учитывает внешнее воздействие на устройство при введении в него алюминиевых стержней с целью увеличения отвода тепла из тепловыделяющей зоны.

В случае, когда таких стержней достаточно много и они симметрично расположены, их наличие можно эффективно смоделировать увеличением значения коэффициента теплопроводности четвертой оболочки. Эта оболочка разбивается на

несколько подоболочек, в которых выражение для коэффициента теплопроводности имеет структуру:

к4, = к4+егкг,

/' - номер подоболочки, е, - коэффициент, зависящий от соотношения объема стержней и подоболочки:

п-У,

е, =-!—

Г*;-«'К

где У^ - объем подоболочки; У,- - объем стержня, проходящего через эту подобо-лочку, п - число стержней.

В разделе 4.5 приводится программный алгоритм решения задач в МАРЬЕ и обсуждаются результаты анализа температурных полей в рамках моделей.

Полученные результаты в виде аналитических зависимостей температурных полей визуализируются, численно анализируются; и на основании полученных данных делаются выводы по изотопному составу ТВЭЛ и физически приемлемым условиям хранения устройств для трех классов технологий и удовлетворяющих требованиям нераспространения делящихся материалов.

В ПЯТОЙ ГЛАВЕ разрабатывается комплекс программ для реализации моделей потенциальных барьеров деления тяжелых ядер; аналитического решения уравнения Шредингера; вычисления коэффициентов прохождения (з-со стояния), энергии резонансных уровней и квазистационарных состояний для различных реализаций потенциалов.

ПРОГРАММА 1 «Сшивание» волновых функций

Совокупность волновых функций для нескольких областей и система алгебраических соотношений, описывающих условна гладкого сшивания волновых функций Рабочий лжт млпе

Значения коэффициентов сшивки волновых функций ^

ПРОГРАММА 2 Вычисление потоков вероятности и коэффициента прохождения

Дифференциальные и алгебраические соотношения, определюшне потоки вероятности и коэффициент Прохождения Рабочий лист МАРК

Значения потоков вероятности и коэффициента прохожлення

ПРОГРАММА 3 Численные расчеты и визуализация полученных результатов

Система визуализируемых функций и операторов построения графиков рабочий лист млпе

Графики волновых функций и зависимости коэффициента прохожлення от энергии частиц

Рис. 5.1. Структура комплекса программ в рамках модели I В разделе 5.1 разрабатывается модель I барьера многопрофильными прямоугольными потенциалами:

\ [° (*<°,*>а3),Г01 (0<х<щ)

[К02(а,<х<а2), Ут (а2 <х<аъ)

где К0, - постоянные, определяющие «высоты» прямоугольных барьеров, а, - размерные параметры, определяющие их границы.

Для построения моделей потенциальных барьеров и решения задачи рассеяния в рамках модели I используется комплекс программ в среде прикладного математического пакета МАРЬЕ. Комплекс программ состоит из трех программ (рис. 5.1).

Программа 1 предназначена для «сшивания» волновых функций, которые являются решением уравнения Шредингера с постоянной или равной нулю потенци-

альной энергией. Выходные данные этой программы представляют собой набор постоянных коэффициентов, получаемых при решении системы уравнений и используются затем в программе 2.

Программа 2 предназначена для вычисления потоков вероятности /Й

Л*) = JT. • И*) ' - И*) '

2-//

для падающей и прошедшей волн и определения коэффициента прохождения

т=УЛ*)Ш*)

с использованием алгебраических и дифференциальных соотношений. Выходные данные этой программы представляют собой функциональные зависимости и используются затем в программе 3. Программа 3 предназначена для визуализации и получения численных значений физических параметров.

Рис. 5.2. Двугорбый потенциальный барьер, Рис. 5.3. Двугорбый потенциальный барьер, построенный с помощью трех парабол построенный с помощью пяти парабол

В разделе 5.2 разрабатывается модель II барьера тремя квадратичными функциями (рис. 5.2):

Î0 ,(*<(),х>а3)

г

К -fH У -M-af ■{*-*,) , (ч-i <х<а,и = 1,2,3; а0 = 0) где Foi и Vfa - локальные максимумы (в точках Х\ и х2 соответственно), а К02 - локальный минимум (в точке хг) потенциальной энергии; величины ц ■ öjj2, Ц-о}г и ß ■ - описывают кривизны парабол; fi - эффективная масса частиц, которая определяется массовым числом А : ¡и = 0.0540 • Аъп ■ h2 / Мэв.

Для построения моделей потенциальных барьеров и решения задачи рассеяния в рамках модели II используется комплекс программ в среде прикладного математического пакета MAPLE. Комплекс программ состоит из пяти программ (рис. 5.4).

В разделе 5.3 разрабатывается модель III барьера пятью квадратичными функциями (рис. 5.3):

(О ,(х<0,х>а,)

+ Н-1)' ■ А • • (* - Ь («м < * < ' = 1,2,3,4,5; а0 = 0; Vn = К05 = 0) где Ко2 и Fo4 - локальные максимумы (в точках х-2 и х4 соответственно), а Коз - локальный минимум (в точке х3) потенциальной энергии.

Для построения моделей потенциальных барьеров и вычисления коэффициента прохождения в рамках моделей II и III используется комплекс, состоящий из пяти программ (рис. 5.4) для каждой модели (модели II и III отличаются сложностью построения потенциала распада, а основные этапы алгоритмического решения задачи рассеяния в них совпадают).

ПРОГРАММА 1 Моделирование потенциального барьера

Снгюм алгсбрянчссккх и дифференциальных соотношений, описывающих условна гладкого сопряжения парабол млп 1

Значения параметров парабол и точек их гладкого сопряжения Ф

ПРОГРАММА 2 Решение уравнения Шредингера i

Дифференциально« уравнение Шредиигера для двух типов областей лжтмлш

Решение уравнения Шрелннгера лля двух типов областей Ф

ПРОГРАММА 3 «Сшивание» волновых функций '

Совокупность волновых фун юшй для нескольких областей я система алгебраических

Значения коэффициентов сшивки волновых функций

ПРОГРАММА 4 Вычисление потоков вероятности и коэффициента прохождения 1

Днффсрстшальные н алгебраические соотношения, определю«*« потоки вероятности н коэффициент прохождения листшш

Значения потоков вероятности и коэффициент прохождения Ф

ПРОГРАММА 5 Численные расчеты и визуализация полученных результатов

Система вюуалтнруемых функций н операторов построения графиков до**« м*сг млпе

Графики волновых функций и зависимости коэффициента прохождения от энергии частиц

Рис. 5.4. Структура комплекса программ в рамках моделей II и III

Рис. 5.5. Визуализации семейства барьеров и коэффициента прохождения в модели III Программа 1 предназначена для моделирования потенциала распада с помощью трех (для модели II) или пяти (для модели III) квадратичных функций. Выходные данные этой программы представляют собой набор параметров парабол и координат точек их гладкого сшивания и используются затем в программах 2 и 5. Программа 2 предназначена для программного решения уравнения Шредингера для двух типов областей (с нулем и квадратичным потенциалами). Выходные данные этой программы представляют собой функциональные выражения для волновых

(подпороговые резонансы) (квазисгационарные уровни)

Программа 3 предназначена для вычисления потоков вероятности и определения коэффициента прохождения с использованием алгебраических и дифференциальных соотношений. Выходные данные этой программы представляют функциональные зависимости и используются затем в программе 4. Программа 4 предназначена для вычисления потоков вероятности и определения коэффициента прохожде-

ния с использованием алгебраических и дифференциальных соотношений. Выходные данные этой программы представляют функциональные зависимости и используются затем в программе 5. Программа 5 предназначена для визуализации и получения численных значений физических параметров (рис. 5.5).

В разделе 5.4 проводится исследование результатов, полученных в рамках трех моделей, получены численные значения физических параметров на примере ядра с массовым числом А = 240: определяются уровни резонансов и соответствующие значения коэффициента прохождения для несимметричных барьеров; определяются уровни квазистационарных состояний для симметричных барьеров; исследуется влияние изменения параметров потенциала на результат (рис. 5.6 и 5.7).

В ШЕСТОЙ ГЛАВЕ разрабатывается комплекс программ (рис. 6.1) по программной реализации формализма Ньюмена-Пенроуза и применению его для исследования безмассовых полей со спином (у = 0, 1/2, 1, 3/2, 2), распространяющихся в искривленном пространстве-времени.

Комплекс состоит из двух программ (рис. 2.1).

ПРОГРАММА 1 Формализм Ньюмена-Пенроуза

Виэов инструментов шкета я программный ввод товарных объектов Метрический теюор. символы Кристоффелл, построение тетрады, вычисление спиновых ютэфтшентов Гябвтлтггшм

Обшме соотношюмя лля тензоров и стппюшь *е коэффициенты ^

ПРОГРАММА 2 Исследование безмассовых колей

Уравнения бет массовых полей Программный ввод уравнений, разделение переменых, аналитические решения Ма*л та шт

Проп>аммнъ*б блокм и алгоритмические м «мкшш ♦

Рис. 6.1. Структура комплекса программ

Программа 1 предназначена для использования формализма Ньюмена-Пенроуза и его приложений в искривленном пространстве-времени: построения изотропной тетрады, вычисления спиновых коэффициентов. Программа 2 предназначена для решения уравнений безмассовых полей со спином в статическом пространстве де Ситтера.

В разделе 6.1 программно реализуется формализм Ньюмена-Пенроуза в искривленном пространстве-времени; строятся комплексные световые тетрады и вычисляются спиновые коэффициенты для ряда аксиально-симметричных 4-мерных искривленных пространств.

В разделе 6.2 производится разделение переменных и программными методами получены аналитические решения уравнений безмассовых полей со спином в статическом пространстве де Ситгера:

1) скалярное поле (.5 = 0):

[(£>,+£ + е -р-р)£>„ + (Д, +Е'+ё'~р')£>; -

-(£>„ + р + р - г - г )£>й + (£>й + р'+ рг'- Г')£>„ -1 • Д]Ф = 0, где Ф — волновая функция скалярного поля, Я - скалярная кривизна;

2) электромагнитное поле (г = 1):

(Ц -2■ р)Ф, -(Д, + 2• р'-т')Ф2 + к■ Ф'„ = 0,

(/)„ - 2 • т)Ф,-(Ц, + 2 • Е'-р')Ф0 + а ■ Ф'0 = 0, где Фо, Фь Ф'о - тетрадные проекции тензора электромагнитного поля;

3) гравитационные возмущения метрики (5 = 2):

(Dl-2-i-4-p)4'1-(Da+4./?'-r,)4'o= О,

(Dm - 2• p -4 ■ -{D„ + 4 • />•)¥„ = 0, где Ч'о, - возмущения вейлевских скаляров;

4) безмассовое спинорное поле (s = 1/2):

{pl + £-p)El+(Da +fi,-r')Ei = 0,(Dm +Р-т)Ег-(Dn+£'-p% = 0,

где Ei, Ег - компоненты 4-спиноров поля;

5) поле гравитино (s = 3/2):

(D„-2.£'+r+p%D,+3-e + 2-p)-(Dm-2-p'+j3+2-T)(Dm-3-p-2rj]at=0, где Я], «2 - компоненты гравитино.

Программа представляет собой рабочий лист MAPLE. Выходными данные этой программы являются функциональные соотношения, представляющие точные решений полевых уравнений, выраженных в терминах гипергеометрических функций.

Таблица 6.1

Элемент программного кода в MAPLE решения уравнений

3.6. Решение радиальных уравнения с помощью оператора «dsolve»

Ввод >betal=l/2*I*omega*rO; beta2=-l/2*I*omega*rO+s; deltal=l/2*s-l/2*(s+I*amega*rO); delta2=l/2*s+l/2*(s+I*omega*rO); EQN: = (xA2-l)*diff (f (x), (x,2)) +(-2*x*s+2*delta*x+2*x+2*beta*x+2 *delta-2*beta)* diff(f(x),x)+(-l-2*s*beta-s-lA2+ 2*beta*delta+sA2+ delta+betaA2-2*s*delta+beta+deltaA2)*f(x); dsolve (EQN);

Ввод f(x) = _C/hypergeon|[-j + p-/+5,-i +1+ P+ / + 5],[-s+1+2 + + ~C2 U + f ] hypergeomi [-P - /+6,1 -J3 + / + 6], [ 1 + 5 - 2 p], ±+| J

3.7. Вывод набора решений Цх)

3.8. Вывод набора решений Я(х)

Ввод >Rl(x) :=subs ([beta=l/2*I*omega*rO,delta=-l/2*I*omega*rO] , xAalpha*(1+x)Abeta*(1-х)A delta*fl(x)); R2(x):=subs([beta=-l/2*I*omega*rO+s,delta=s+l/2*I*omega*rO], xAalpha*(1+x)"beta*(1-х)Adelta*f1(x));

Ввод Rlix) -.*1' J''(l »jf)1"*"**11 (1 „дУ"1-'"™' _C1 hypcrgeom 1 [-1 - /, 1 -s + 1), [ 1 + и rOI - s)., + ^ ) + _CJI ¿4- ^ J hypergeom | [ -/ - о» rO /, 1 + /-or0/],[l - о rOI + .s], j + ^ jj 1 ( 1 > /1 1 CI hypergeom j[ 5 /.l-i . 1].[1 ibi« s|., i ■ J t ("J1 ^ ^ ~J hypet^eom^[-7 - arOl, 1 + /-<вл0/].(1 to rO 11 s], ^ + ^ j j j

В табл. 6.1 представлен элемент программного кода в MAPLE решения радиальных уравнений безмассовых полей со спином в статическом пространстве де Ситтера и представления решений в терминах гипергеометрических функций.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ формулируются основные результаты работы, выносимые на защиту.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Теоретические основы создания комплексов проблемно-ориентированных программ на основе аналитико-численных алгоритмов в ССМ для решения прикладных научных задач.

Обоснована концепция создания комплексов прикладных программ в ССМ, заключающаяся в алгоритмизации задач средствами встроенных ресурсов и программным заданием данных и условий; использовании метода функционального программирования на входном языке ССМ; в сочетании аналитических вычислений и технологии вычислительного эксперимента; в использовании как численных, так и аналитических методов исследования математических моделей.

Разработаны программы (как самостоятельные, так и ресурсные элементы для создания комплексов проблемно-ориентированных программ), реализующие на основе аналитических и аналитико-численных алгоритмов для решения широкого круга задач теоретической и математической физики, требующие больших аналитических вычислений и использования сложного математического аппарата.

2. Комплекс программ для реализации, вычислительного эксперимента и проверки адекватности математической модели реактора теплоснабжения малой мощности с саморегулированием.

КП предназначен для реализации модели реактора на основе системы нелинейных дифференциально-алгебраических уравнений; исследования стационарных состояний работы; моделирования переходных теплогидравлических процессов и различных режимов работы (обусловленных наличием обратных связей).

Выполнены вычислительный эксперимент (по изучению саморегулируемых режимов работы реактора и переходных процессов, возникающих в системе в результате воздействия внешних факторов), интерактивный анализ режимов работы и визуализация параметров; выявлены оптимальные режимы работы реактора (в том числе и для некоторых критических ситуаций).

3. Комплекс программ для обработки и статистического анализа данных нейтронной библиотеки активационных файлов «1ЕАР-2005».

КП разработан с целью выбора наилучшей модели взаимодействия протонов с ядрами мишеней и предназначен для обработки и статистического анализа активационных нейтронных данных для нуклидов с 2= 6-^84 в области энергий 150+1000 МэВ.

Проведено ранжирование моделей (для всего диапазона и для поддиапазонов массового числа ядер-мишеней) для данных 2006 и 2007 г.г.

4. Комплекс программ для реализации и расчета серии моделей, учитывающих различные физико-технические характеристики, многослойного устройства с ТВЭЯ.

В КП реализованы линейная и нелинейная модели теплопроводности (включая обоснование необходимости использования нелинейной модели); модели с учетом контактного термического сопротивления, теплового излучения на внешней границе; различные граничные условия и специальные внешние воздействия.

Полученные результаты включают: нахождение аналитических решений и их визуализацию, численный анализ полученных данных и выводы по изотопному составу ТВЭЛ и физически приемлемым условиям хранения устройств для технологически важных состояний, удовлетворяющих требованиям нераспространения делящихся материалов.

5. Комплекс программ для реализации моделей многогорбых потенциалов деления ядер тяжелых элементов.

КП предназначен для реализации моделей потенциальных барьеров деления тяжелых ядер (А = 229 + 247); аналитического решения уравнения Шредингера и вычисления коэффициентов прохождения.

Получены энергии резонансных уровней и квазистационарных состояний для различных реализаций потенциалов; проведения исследование моделей, включающее компьютерную визуализацию волновых функций и зависимостей коэффициентов прохождения.

6. Комплекс программ по применению формализма Ньюмена-Пенроуза для исследования безмассовых полей в искривленном пространстве-времени.

В рамках комплекса построены комплексные световые тетрады и вычислены спиновые коэффициенты для некоторых аксиально-симметричных 4-мерных искривленных пространств; произведено разделение переменных и получены аналитические решения уравнений для безмассовых полей со спином в статическом пространстве де Ситтера.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ: в периодических научных изданиях, выпускаемых в Российской Федерации:

1. Гальцов Д.В. Морозов М.Ю., Тихоненко A.B. Безмассовые поля в статическом пространстве де Ситтера: точные решения и выбор вакуумных состояний // Теор. и мат. физика. 1988, т. 77, № 3, с. 190-203.

2. Казанский Ю.А., Левченко В.А., Матусевич Е.С., Юрьев Ю.С., Балакин И.П., Белугин В.А., Дорохович СЛ., Казанцев A.A., Тихоненко A.B., Травлеев A.A., Уваров A.A. Саморегулируемый реактор сверхмалой мощности для теплоснабжения «МАСТЕР-ИАТЭ // Известия Вузов. Ядерная энергетика, № 3,2003. - С. 63-71.

3. Тихоненко A.B. Комплекс программ для расчета модели реактора теплоснабжения малой мощности в прикладном математическом пакете MATHCAD Н Известия Вузов. Ядерная энергетика, № 2,2007. - С. 44-52.

4. Тихоненко A.B. Модельный анализ температурных полей в многослойном сферически-симметричном устройстве. Известия Вузов. Ядерная энергетика, № 2,2007. - С. 110-118.

5. Конобеев А.Ю., Коровин Ю.А., Наталенко A.A., Осыкин С.А., Пильнов Г.Б., Станковский А.Ю., Тихоненко A.B. Нейтронная библиотека актива-ционных файлов «IEAF-2005» в энергетическом диапазоне от 150 МэВ до 1 ГэВ // Известия Вузов. Ядерная энергетика, № 2, 2007. - С. 8-15.

6. Пильнов Г.Б., Тихоненко A.B. Статистический анализ данных для нейтронной библиотеки активационных файлов «IEAF-2005» // Известия Вузов. Ядерная энергетика, № 3, в.1,2007. - С. 109-119.

7. Тихоненко A.B. Задача рассеяния для модельных потенциалов деления тяжелых ядер и комплексы программ в прикладных математических пакетах // Известия Вузов. Ядерная энергетика, № 3, в.2,2007. - С. 110-119.

8. Коровин Ю.А., Наталенко A.A., Пильнов Г.Б., Конобеев А.Ю., Станковский А.Ю., Тихоненко A.B. Библиотека протонных активационных ядерных данных HEPAD-2008 // Известия Вузов. Ядерная энергетика, № 3, 2009. - С. 97-105.

9. Саенко A.B., Тихоненко A.B. Реализация многофакторных моделей теплопроводности в многослойном устройстве со сферическими твэламн II Известия Вузов. Ядерная энергетика, № 3, в.1,2007. - С. 185-193.

10. Морозов М.Ю., Тихоненко A.B. Квантование свободных полей в пространстве де Ситтера // Изв. АН ТССР. Сер.физ.-тех,хим., и геол.наук.1987, № 6, с.11-17.

11. Гальцов Д.В., Нуньес С.Д., Морозов М.Ю., Тихоненко A.B. Безмассовые поля в статическом пространстве де Ситтера и проблема динамического нарушения симметрии. Препринт физ. ф-та МГУ, 1986, № 4,1987,4 с.

12. Гальцов Д.В. Морозов М.Ю. Нуньес С.Д., Тихоненко A.B. Квантовые поля в инфляционной Вселенной // Гравитация и фунд. взаим. М. 1988. С. 68-49.

в периодическом научном электронном журнале, выпускаемом в РФ:

13. Тихоненко A.B. Решение дифференциальных уравнений в частных производных методом функционального программирования в MAPLE. 1. Уравнения параболического и гиперболического типов // Эл. журнал «Исследовано в России», 046, с. 502-511,2007. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2007/046.pdf.

14. Тихоненко A.B. Решение дифференциальных уравнений в частных производных методом функционального программирования в MAPLE. 2. Двумерные уравнения эллиптического типа // Эл. журнал «Исследовано в России», 061, с. 652-661,2007. http://zhumal.ape.relam.ru/articles/2007/061.pdf.

15. Тихоненко A.B. Тензорное исчисление и его приложения в MAPLE и MATHCAD И Электронный журнал «Исследовано в России», 069, с. 720-729,2007. http://zhumal.ape.relam.ru/articles/2007/069.pdf.

16. Тихоненко A.B. Интегрирование уравнений движения заряженных частиц методом функционального программирования в MAPLE // Эл. журнал «Исследовано в России», 089, с. 923-933,2007. http://zhumal.ape.relam.ru/articles/2007/089.pdf.

17. Тихоненко A.B. Реализация математических моделей теплопроводности и комплекс программ в Maple для расчета тепловых полей в многослойном устройстве с тепловыделяющим элементом // Эл. журнал «Исследовано в России», 25, стр. 290-300, 2008 г. http://zhumal.ape.relam.ru/articles/2008/024.pdf

в трудах Всероссийских и международных научных конференций:

18. Морозов М.Ю. Тихоненко A.B. Безмассовые поля в конформно-конических пространствах. Материалы 7-ой Всес. конф. «Совр. теор. и эксп. проблемы теории относительности и грав.». ЕГУ. Ереван. 1988, - С. 310-311.

19. Тихоненко A.B. Информационные технологии в физическом образовании. «Физика в системе инженерного образования стран ЕврАзЭС». Тезисы докладов. Москва: Авиаиздат, 2006. с. 272-274.

20. Тихоненко A.B. Модульная система обучения в курсе общей физики. «Физика в системе инженерного образования стран ЕврАзЭС». Тезисы докладов. Москва: Авиаиздат, 2006. с. 272-276.

21. Тихоненко A.B. Компьютерный практикум по общей физике. «Физика в системе инженерного образования стран ЕврАзЭС». Тезисы докладов. Москва: Авиаиздат, 2006. с. 276-278.

22. Тихоненко A.B. Прикладные математические пакеты в курсах общей и теоретической физики. «Физика в системе инженерного образования стран ЕврАзЭС». Тезисы докладов. Москва: Авиаиздат, 2006. с. 278-280.

23. Конобеев А.Ю., Коровин Ю.А., Наталенко A.A., Осыкин С.А., Пильнов Г.Б., Станковский А.Ю., Тихоненко A.B. О возможности использования каскадно-экситонных моделей СЕМ2К, СЕМ03.01, СЕМ03.02 и CASCAD/INPE для расчета протонных активационных данных в энергетическом диапазоне от 150 МэВ до 1 ГэВ. Безопасность АЭС и подготовка кадров. X Межд. конф. Тезисы докладов. Часть 1. - Обнинск: ИАТЭ, 2007. С. 48-49.

24. Pilnov G. В., Tikhonenko A.V. Statistical analysis data for neutron library of activation files «IEAF-2005». NPP and Safety and personal training. X Int. Conf. Ab-

streets. Part 2. - Obninsk: INPE, 2007. P. 32.

25. Saenko A.V., Tikhonenko A.V., Artisyuk V.V. The quantitive approach to the problem of the denaturating plutonium: temperature profile in implosion device. NPP and Safety and personal training. X Int. Conf. Abs.. P. 1. - Obninsk: INPE, 2007. P. 107-108.

26. Тихоненко A.B. Реализация математических моделей теплопроводности и анализ тепловых полей в многослойном устройстве. Тр. III межд. конф. «Математические идеи П.Л. Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания». Обнинск, 14-18 мая 2006 г. - Обнинск: ИАТЭ, 2008. с. 151-160.

27. Korovin Yu., Fischer U., Konobeyev A., Natalenko A., Pilnov G., Stankovskiy A., Tikhonenko A., Evaluation of activation nuclear data in the energy region 150 MeV to 1 GeV, Proc. Int. Conf. On Nuclear Data for Science and Technology ND2007 (2007), April 23 - 27, Nice, France, p.l 175-1178.

28. Yu. Korovin, I. Kuptsov, A.Natalenko, A.Stankovskiy, A.Tikhonenko, A. Konobeyev. Development of a New Code to Simulate Radiation Damage and Gas Accumulation in the Structural Materials of ADS. Proc. First Workshop on Accelerator Radiation Induced Activation, October 13-17,2008. Paul Scherrer Institut, Switzerland. P. 48-54.

в научных монографиях:

29. Тихоненко A.B. Интегрирование уравнений движения заряженных частиц в MAPLE. - Обнинск: ИАТЭ, 2007. - 204 с.

30. Тихоненко А.В. Тензорное исчисление и его приложения в прикладных математических пакетах. - Обнинск: ИАТЭ, 2007. - 204 с.

в учебных пособиях:

31. Тихоненко А.В. Компьютерные математические пакеты в курсе общей физики. Обнинск: ИАТЭ, 2003. - 84 с.

32. Тихоненко А.В. Компьютерный практикум по общей физике. Часть 1. Классическая Механика. Обнинск: ИАТЭ, 2003. - 84 с.

33. Тихоненко А.В. Компьютерный практикум по общей физике. Часть 2. Механические колебания и волны. Термодинамика и молекулярная физика. Обнинск: ИАТЭ, 2004. - 84 с.

34. Тихоненко А.В. Компьютерный практикум по общей физике. Часть 3. Электричество и магнетизм. Обнинск: ИАТЭ, 2004. - 84 с.

35. Тихоненко А.В. Компьютерный практикум по общей физике. Часть 4. Оптика. Обнинск: ИАТЭ, 2004. - 80 с.

36. Тихоненко А.В. Компьютерный практикум по общей физике. Часть 5. Квантовая физика. Обнинск: ИАТЭ, 2004. - 80 с.

37. Тихоненко А.В. Компьютерные математические пакеты в курсе «Линейные и нелинейные уравнения физики». Часть 1. Гиперболические уравнения в MAPLE. Обнинск: ИАТЭ, 2005. - 80 с.

38. Тихоненко А.В. Компьютерные математические пакеты в курсе «Линейные и нелинейные уравнения физики». Часть 2. Параболические уравнения в MAPLE. Обнинск: ИАТЭ, 2005. - 80 с.

39. Тихоненко А.В. Решение краевых задач для двумерного уравнения Лапласа методом разделения переменных в MAPLE. Обнинск: ИАТЭ, 2005. - 80 с.

40. Тихоненко А.В. Компьютерные математические пакеты в курсе «Электродинамика». Часть 1. Электромагнитные поля в проводящих средах и поля движущегося заряда. Обнинск: ИАТЭ, 2005. - 80 с.

41. Тихоненко А.В. Решение уравнения Шредингера для одномерного рассеяния в MAPLE и MATHEMATICA. Обнинск: ИАТЭ, 2005. - 80 с.

42. Тихоненко А.В. Векторный анализ в прикладных математических пакетах. Обнинск: ИАТЭ, 2006. - 80 с.

43. Тихоненко А.В. Решение уравнений колебаний в прикладных математических пакетах. Обнинск: ИАТЭ, 2008. - 64 с.

44. Тихоненко А.В. Компьютерные аналитические методы решения задач электростатики и магнитостатики. - Обнинск: ИАТЭ, 2008. - 48 с.

на официальных сайтах производителей математических пакетов: MATHSOFT ENGINEERING & EDUCATION INC

45. Tikhonenko A.V. Visual Quantum Mechanics of the Isotropic Oscillator and Hydrogen-Like Atoms with MATHCAD. Electronic Book in MATHCAD. Mathsoft Engineering & Education Inc. 2002.

http://www.ptc.com/appserver/wcms/standards/fileothumbredirect.jsp?&im_dbkey= 62175&icg_dbkcy=888.

46. Tikhonenko A.V. Solar System Mechanics. Mathsoft Engineering & Education Inc. 2003. http://www.MATHCAD.com/resources/MATIICAD_filcs/DisplayCategory.asp?c=48.

47. Tikhonenko A.V. Interference Effects of Monochromatic and Non-monochromatic light. Mathsoft Engineering & Education Inc. 2003.

http://www.MATHCAD.com/resources/MATHCAD_files/DisplayCategory.asp?c==48.

48. Tikhonenko A.V. One-Dimensional Motion of Quantum Particles: Tunneling Through a Square Well. Mathsoft Engineering & Education Inc. 2004. http://www.MATHCAD.eom/rcsources/MATHCAD_fiIes/D isplayCategory.asp?c==48.

49. Tikhonenko A.V. Wave Functions of the Hydrogen-like Atoms. Mathsoft Engineering & Education Inc. 2004.

http://www.MATOCAD.corn/resources/MATHCAD_files/DisplayCategory.asp?c=48. WOLFRAM RESEARCH INC

50. Tikhonenko A.V. Quantum Mechanics of the Bound Isotropic Systems with MA-THEMATICA: Analysis and Visualization of Quantum States. Electronic Book. Wolfram Research Inc. 2003.

http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/4285/ WATERLOO MAPLE INC

51. Tikhonenko A.V. Vibrations: Complete Set of Lessons. Electronic Book in MAPLE. Waterloo MAPLE Inc. 2003. http://www.maplesoft.com/applications/view.aspx?SID=4742

52. Tikhonenko A.V. Equations of mathematical Physics in MAPLE. Waterloo MAPLE Inc. 2005.

http://www.MAPLEsoft.com/applications/app_center_view.aspx?AID=1867.

53. Tikhonenko A.V. Two-dimensional partial elliptic differential equations in MAPLE. Waterloo MAPLE Inc. 2007.

http://www.maplesoft.com/applications/app_center_view.aspx?AID=2089

54. Tikhonenko A.V. Tensor algebra in the four-dimensional pseudo-euclidean spacetime. Waterloo MAPLE Inc. 2007.

http://www.maplesoft.com/applications/app_center_view.aspx? AID=2090

55. Tikhonenko A.V. Tensors of relativistic electrodynamics with MAPLE. Waterloo MAPLE Inc. 2007.

http://www.maplesoft.com/applications/app_center_view.aspx?AID=2091

56. Tikhonenko A.V. Quantum scattering by the one-dimensional potential barrier in MAPLE. Waterloo MAPLE Inc. 2007

http://www.maplesoft.com/applications/app_center_view.aspx?AID=2092

57. Tikhonenko A.V. Quantum scattering by the one-dimensional potential step in MAPLE. Waterloo MAPLE Inc. 2007.

http://www.maplesoft.com/applications/app_center_view.aspx?AID=2093

Тихоненко Алексей Витальевич

АВТОРЕФЕРАТ

Компьютерная верстка и выпуск оригинал-макета-A.B. Тихоненко Бумага офисная 80 г/см2, формат 21х29,7'А Усл. печ. л. 2.25. Тираж 100 экз.

Подписано в печать с оригинал-макета 30.08.2009 г. Автореферат отпечатан в НП «Обнинский полис» Калужская обл., г. Обнинск, ул. Калужская, д. 4.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СОЗДАНИЯ КОМПЛЕКСОВ ПРОБЛЕМНО-ОРИЕНТИРОВАННЫХ ПРОГРАММ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В СИСТЕМАХ СИМВОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

1.1. РЕСУРСЫ СИСТЕМ СИМВОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИХ АДЕКВАТНОСТЬ АКТУАЛЬНЫМ ПРОГРАММНЫМ ЗАДАЧАМ

1.1.1. Математические инструменты и уровни применения ССМ

1.1.2. Системы символьной математики и языки программирования

1.1.3. Аналитические и аналитико-чпсленные алгоритмы

1.2. КОНЦЕПЦИЯ И ПРОГРАММНО-ИНФОРМАЦИОННЫЕ УСЛОВИЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ССМ ДЛЯ СОЗДАНИЯ ПРОГРАММНЫХ КОМПЛЕКСОВ

1.2.1. Концепция создания комплексов прикладных программ в ССМ

1.2.2. Программно-информационные условия использования ССМ для создания программ и комплексов

1.2.3. Обзор реализованных аналитических и аналитико-численных алгоритмов

1.2.4. Системы символьной математики и обеспечение учебного процесса

1.3. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОГРАММНЫХ КОМПЛЕКСОВ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ, ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

1.3.1. Основы создания комплексов для решения УЧП

1.3.2. Основы создания комплексов для использования векторного и тензорного анализа

1.4. ОСНОВЫ СОЗДАНИЯ ПРОГРАММНЫХ КОМПЛЕКСОВ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ В ТЕОРИИЯ ПОЛЯ

1.4.1. Основы создания комплекса «Общие компьютерные методы в электродинамике»

1.4.2. Основы создания комплекса «Уравнения в частных производных в электродинамике»

1.4.3. Основы создания программного комплекса «Интегрирование уравнений движения заряженных частиц»

1.4.4. Основы создания программного комплекса «Теория поля в искривленном пространстве-времени»

1.5. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОГРАММНЫХ КОМПЛЕКСОВ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

1.5.1. Основы создания комплекса «Одномерное квантовое рассеяние»

1.5.2. Основы создания комплекса «Квантовые связанные изотропные системы»

ГЛАВА 2. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА И ПРОВЕРКИ АДЕКВАТНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

МОДЕЛИ РЕАКТОРА ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ

2.1. МОДЕЛЬ РЕАКТОРА ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ МАЛОЙ МОЩНОСТИ

2.1.1. Основы создания комплекса для реализации математической модели реактора теплоснабжения;':

2.1.2. Система уравнений стационарной теплогидравлики реактора

2.1.3. Система уравнений нестационарной теплогидравлики реактора

-2.2. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ

2.2.1. Использование системы МАТНСАБ

2.2.2. Стационарные состояния работы реактора

2.2.3. Процессы, воздействующие на систему

2.2.4. Режимы работы реактора и его саморегулирование

2.2.5. Численное решение системы уравнений нестационарной теплогидравлики

2.3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ И ЕГО РЕЗУЛЬТАТЫ

2.3.1. Переходные процессы работы реактора в разных режимах

2.3.2. Результаты вычислительного эксперимента

ГЛАВА 3. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ АНАЛИЗА ДАННЫХ НЕЙТРОННОЙ БИБЛИОТЕКИ АКТИВАЦИОННЫХ ФАЙЛОВ

3.1. НЕЙТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА АКТИВАЦИОННЫХ ФАЙЛОВ И ПОДГОТОВКА ДАННЫХ ДЛЯ АНАЛИЗА

3.1.1. Программно-информационные основы создания комплекс для анализа данных

3.1.2. Подготовка данных для сравнительного анализа

3.2. АНАЛИЗ ДАННЫХ И ЕГО РЕЗУЛЬТАТЫ

3.2.1. Программная реализация методов анализа данных

3.2.2. Результаты сравнительного анализа

ГЛАВА 4. РЕАЛИЗАЦИЯ МНОГОФАКТОРНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ

4.1. ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ И ОСНОВЫ СОЗДАНИЯ КОМПЛЕКСА

4.2.1. Многослойное устройство со сферическими ТВЭЛом

4.2.1. Структура комплекса программ для расчета тепловых полей

4.2. РАСЧЕТ ТЕПЛОВОГО ПОЛЯ В РАМКАХ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ

4.2.1. Базовая модель. Общая постановка задачи

4.2.2. Решения краевых задач для базовой модели

4.2.3. Графики и анализ решений в базовой модели

4.2.4. Учет контактного сопротивления (модель МКС)

4.3. РАСЧЕТ ТЕПЛОВОГО ПОЛЯ В РАМКАХ НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ

4.3.1. Общая постановка задачи в ограниченной нелинейной модели

4.3.2. Решение первой краевой задачи

4.3.3. Решение третьей краевой задачи

4.3.4. Графики и анализ решений в нелинейной модели

4.2.5. Полная нелинейная модель

4.2.6. Аналитические решения первой и третьей краевых задач

4.2.7. Визуализация решений в полной нелинейной модели

4.2.8. Полная нелинейная модель с учетом контактного термического сопротивления

4.4. РАСЧЕТ ТЕПЛОВОГО ПОЛЯ В МОДЕЛЯХ, УЧИТЫВАЮЩИХ ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ

4.4.1. Учет теплового излучения на внешней границе устройства

4.4.2. Учет теплового излучения на поверхности ТВЭЛ

4.4.3. Результаты расчетов в моделях МИГ и МИТ их визуализациями

4.4.4. Учет внешнего воздействия на устройство

4.5. ПРОГРАММНЫЙ АЛГОРИТМ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ МОДЕЛЕЙ

4.5.1. Построение алгоритма решения краевых задач в МАРЬЕ и МАТНЕМАТ1СА

4.5.2. Результаты исследования моделей температурных полей

ГЛАВА 5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ БАРЬЕРОВ ТЯЖЕЛЫХ ЯДЕР И КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОХОЖДЕНИЯ

5.1. МОДЕЛЬ ДВУГОРБОГО ПОТЕНЦИАЛА С ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ

ПРОФИЛЯМИ И ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОХОЖДЕНИЯ

5.1.1. Структура комплекса программ в рамках модели потенциала с прямоугольными профилями

5.1.2. Модель потенциала с прямоугольными профилями

5.1.3. Программное решение задачи

5.2. МОДЕЛЬ ДВУГОРБОГО ПОТЕНЦИАЛА С ТРЕМЯ КВАДРАТИЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ И ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОХОЖДЕНИЯ

5.2.1. Структура комплекса программ в рамках модели потенциала с квадратичными функциями

5.2.2. Модель потенциала с тремя квадратичными функциями

5.2.3. Программное решение задачи

5.3. МОДЕЛЬ ДВУГОРБОГО ПОТЕНЦИАЛА С ПЯТЬЮ КВАДРАТИЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ И ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОХОЖДЕНИЯ

5.3.1. Модель потенциала с пятью квадратичными функциями

5.3.2. Программное решение задачи

5.4. МОДЕЛИ ТРЕХГОРБОГО ПОТЕНЦИАЛА С ПЯТЬЮ И СЕМЬЮ КВАДРАТИЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ И ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОХОЖДЕНИЯ

5.4.1. Модели трехгорбого потенциала

5.4.2. Программное решение задачи

5.5. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

5.5.1. Сравнение волновых функций

5.5.2. Исследование результатов в рамках модели потенциала с прямоугольными профилями

5.5.3. Исследование результатов в рамках модели потенциала с тремя квадратичными функциями

5.5.4. Исследование результатов в рамках модели потенциала с пятью квадратичными функциями

ГЛАВА 6. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ ФОРМАЛИЗМ НЫОМЕНА-ПЕНРОУЗА И КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ БЕЗМАССОВЫХ ПОЛЕЙ СО СПИНОМ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ ДЕ СИТТЕРА

6.1. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ФОРМАЛИЗМ НЬЮМЕНА-ПЕНРОУЗА В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ:

6.1.1. Программно-информационные основы создания комплекса

6.1.2. Комплексная изотропная тетрада и алгоритм вычисления спиновых коэффициентов

6.2. ПРОГРАММНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ БЕЗМАССОВЫХ ПОЛЕЙ СО СПИНОМ В СТАТИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ ДЕ СИТТЕРА

6.2.1. Волновые уравнения полей со спином в модифицированном формализме Ньюмена-Пенроуза

6.2.2. Программный алгоритм решение полевых уравнений

Актуальность темы

Современную фундаментальную и прикладную науку уже невозможно представить без математического моделирования, а само математическое моделирование — без повсеместного использования вычислительной техники, компьютеров и математического обеспечения разного типа. Являясь научным методом познания и проектирования, в основе которого лежит работа не с самим объектом или процессом, а с его моделью, математическое моделирование сочетает в себе многие достоинства теории и эксперимента: вычислительные эксперименты с моделями дают возможность достаточно полного изучения объектов, что недоступно при чисто теоретических подходах. При этом возможности моделирования и сложность решаемых задач зависят как от применяемых вычислительных методов и мощности вычислительной техники, так и уровня математического обеспечения.

Щей такого подхода были заложены в работах российских исследователей (см., в частности, работы [1 - 5] по численным методам и математической физике), что, в конечном итоге, позволило рассматривать математическое моделирование как самостоятельную научную дисциплину [6 - 8]. Отметим здесь фундаментальный характер российской школы математического моделирования и его глубокую связь с решением прикладных научных, физико-технических, космических, ядерно-энергетических и других проблем (см., в частности, работы Самарского, Четверушкина и др. [9 — 18]). При этом современная компьютерная техника позволяет, с одной стороны, создавать мощные распределенные и многопроцессорные вычислительные системы (см., например, работы [19 — 20]), а с другой - использовать символьные процессоры для выполнения, на компьютерах сложных аналитических расчетов (в этой связи можно-сослаться на материалы и представительный состав участников секции «Computer-algebra software, symbolic-numeric methods and algorithms» международной конференции «Mathematical Modeling and Computational Physics», проводимой в Дубне).

Как известно [6 — 8], основу математического моделирования составляет триада модель - алгоритм — программа. Это предполагает, во-первых, разработку математической модели исследуемого объекта или процесса, отражающей в математической форме важнейшие его свойства (модели реальных исследуемых объектов включают системы нелинейных функционально-дифференциальных соотношения; ядром математической модели являются уравнения с частными производными). При этом предполагается исследование модели традиционными аналитическими средствами прикладной математики для получения предварительных знаний об объекте. Во-вторых, разрабатываются вычислительные алгоритмы для реализации модели на компьютере (исследование математических моделей проводится методами вычислительной математики, основу которых составляют численные методы решения задач математической физики — краевых задач для уравнений с частными производными). В-третьих, разрабатывается программное обеспечение, которое необходимо для реализации модели и алгоритма на компьютере.

Если фундаментальные модели известны и апробированы, возможно использование новой технологии научных исследований, сутью которой является математическое моделирование и вычислительный эксперимент [7]. Это предполагает, с одной стороны, возможность исследования модели традиционными аналитическими средствами, а с другой — разработку программных средств, обеспечивающих как многовариантность расчетов, так и мно-гомодельность как важнейших этапов исследований.

Далеко не всегда возможно обойтись одной программой или программной средой: компьютерные средства должны быть приспособлены для внесения изменений с целью решения- близких задач для набора моделей и учета различных дополнительных факторов, контроля, анализа и визуализации промежуточных и конечных результатов. Все это подразумевает широкое использование комплексовш пакетов прикладных,программ, разрабатываемых, на основе объектно-ориентированного программирования.

Такие комплексы предназначены для решения' близких по своей математической природе задач из одной предметной области и включают в себя библиотеку программных блоков, из которых составляются рабочие программы. Сборка комплексов программ из программных блоков может осуществляться вручную или автоматически с использованием средств компьютера. Такой подход позволяет наиболее эффективно использовать разработанные программные продукты для решения научных задач в рамках математического моделирования и вычислительного эксперимента, причем в наибольшей степени основные особенности вычислительного эксперимента учитываются при использовании объектно-ориентированного программирования и современных языков программирования.

Среди огромного числа компьютерных ресурсов и математического обеспечения (адекватного задачам современного математического моделирования и вычислительного эксперимента), обладающего высокой универсальностью и мощными математическими средствами выделяются системы символьной математики (ССМ). ССМ - интерактивные многофункциональные компьютерные системы высокого интеллектуального уровня, сочетающие достаточную простоту использования с мощью самых современных математических инструментов: они построены на технологиях символьных и численных вычислений с произвольной точностью и продвинутых математических алгоритмах.

К наиболее мощным ССМ (называемых также системами компьютерной алгебры, прикладными математическими пакетами) на сегодняшний день относятся MAPLE, MATHEMATICA, MATLAB и MATHCAD [21, 22]. Обладая математическими инструментами, примерно одинакового уровня, MAPLE и MATHEMATICA [21] являются бесспорными-лидерами (на основе специального обобщенного индекса) среди современных систем компьютерной алгебры [23]. Однако-MAPLE обладает новейшими технологиями символьных (особенно для- решения» дифференциальных уравнений в; частных производных, тензорного'анализа и т.п.) и численных вычислений с произвольной точностью, наиболее развитыми математическими алгоритмами ре- шения сложных математических задач и др. Система MATLAB обладает огромными ресурсами и предназначена, прежде всего, для проведения численных расчетов, создания собственных численных алгоритмов пользователем. Аналитические же расчеты в MATLAB реализуются символьным MAPLE-процессором. Система MATHCAD имеет самый дружественный интерфейс и наиболее прост в использовании. Однако его математические инструменты не столь мощны как в MAPLE и MATHEMATICA. Аналитические расчеты в MATHCAD реализуются ограниченным символьным MAPLE-процессором и многие сложные символьные операции в нем недоступны. Тем не менее, это самый распространенный в мире пакет.

Интерактивный тип диалога пользователя с ССМ на функциональном языке позволяет программировать ход решения задач аналогично аналитическому, когда каждый этап исследований можно верифицировать и, постепенно выполняя ряд операций, получить решение задачи. Такое программирование, осуществляемое на входном языке ССМ, требует не только задание операторов и функций, но и программное описание параметров, процедур, правил преобразования и т.п. в другом - функциональном - виде и соответствует основным принципам традиционных форм программирования.

Поскольку данная работа посвящена, прежде всего, разработке аналитических (и аналитико-численных) алгоритмов решения задач и расчетов математических моделей, основное внимание уделяется работе в MAPLE и работе с символьным MAPLE-процессором. Аналитические расчеты проводятся также с применением пакетов MATHEMATICA и MATHCAD, причем последний используется также для численных расчетов сложных систем. Выбор пакетов MAPLE [23-44], MATHEMATICA [46-60] и MATHCAD [60-78] (см. также [79, 80]) в качестве программных сред в настоящей работе обусловлен также методическими соображениями: по мнению автора, простота их использования и нацеленность не только на научные исследования, но и в учебном процессе (см. цитированные1 работы, а также работы автора [81— 135], изданные в обычном и электронном видах.

До сих пор во многих в областях теоретической и математической физики и прикладных наук исследования проводятся на основе аналитических вычислений, а результатами таких исследований являются различного типа функциональные соотношения. При этом уровень проблем постоянно повышается, требует использования математического аппарата со сложными аналитическими выкладками и приводит к таким громоздким вычислениям, что не представляется возможным проведения исследования обычными средствами. В результате все труднее приходится обходиться без компьютерных технологий и методов. С другой стороны, современные научные задачи, связанные с проектированием дорогостоящих физико-энергетических объектов, изучением объектов микромира и Вселенной и т.п., для которых невозможно проведение реальных экспериментов, требуют применения современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента, что означает, в свою очередь, актуальность развития компьютерных технологий, сочетающих аналитические и численные методы исследования. Действительно, с одной стороны, аналитические методы (они, в частности, ограничены сложностью реалистичных моделей) позволяют более качественно интерпретировать результаты вычислительного эксперимента (в том числе и с точки зрения проблемы проверки истинности полученного с помощью него результата); а с другой — вычислительные методы (они обычно ограничены рамками конкретного набора модельных численных данных) могут служить основой для нахождения новых аналитических решений и т.д.

Подходы, сочетающие аналитические вычисления и вычислительный эксперимент, естественным образом могут быть реализованы в виде анали-тико-численных алгоритмов, в ССМ и лежать в основе создания комплексов проблемно-ориентированных программ для решения современных научных проблем (уже в математическом плане представляющих собой целый комплекс различных задач, связанных с их постановкой, корректным учетом различных дополнительных условий, исследованием промежуточных и конечных результатов и т.д.), требующих специальных навыков проведения математических и физических расчетов.

Таким образом, для научных и прикладных задач, требующих многочисленных символьных вычислений и преобразований, задач, в которых существенно использование как численных, так и символьных вычислений, а также аналитически и численно решаемые задачи, требующие подробного верифицирования и интерактивного управления ходом решения, ССМ могут являться адекватным компьютерным ресурсом. Кроме того, ССМ эффективны как инструменты для выполнения предварительных вычислений (прежде всего в символьном виде) до уровня постановки задачи о численном решении задач; причем дальнейшее решение задачи возможно как в ССМ, так и в более эффективных прикладных пакетах. Использование символьных процессоров ССМ для выполнения аналитических преобразований и расчетов не является противопоставлением традиционным численным методам (как основы многих современных научных исследований). Напротив, именно мощь современных численных методов (в основе работы ССМ лежат, в конечном итоге, различные численные методы) и бурное развитие компьютерной техники привело к созданию систем, которые способны к символьному интерпретирующему подходу к вычислениям на-компьютере.

Интерактивные многофункциональные компьютерные ССМ стали универсальными математико-информационными средами; причем ССМ возможно использовать на основе как встроенных инструментов и функций, так и операторов и расширений, задаваемых самим пользователем, наращивая, тем самым мощь математических операций. Поэтому разработка теоретических основ создания комплексов программ на основе аналитико-численных алгоритмов в ССМ (МАРЬЕ, МАТНЕМАТ1СА, МАТНСАБ) и.их практическое воплощение для решения научных и прикладных задач ядерной энергетики и физики частиц представляет собой актуальную комплексную задачу.

Актуальность прикладных задач

Одним из, важных направлений использования-ядерной энергии является использование реакторов малой и сверхмалой мощности (до 100 МВт и 300 кВт соответственно). Такие реакторы могут найти широкий спектр применения для автономного теплоснабжения и электроснабжения, в удаленных и труднодоступных районах и т.п. Создание комплекса программ в среде ССМ и проведение вычислительного эксперимента с целью обоснования возможности разработки таких реакторов с саморегулированием является актуальной научной проблемой.

Актуальной комплексной проблемой является также создание библиотек нейтронных активационных ядерных данных по сечениям нейтронных реакций с ядрами мишеней от Z = 1—84 в энергетическом диапазоне от 150 МэВ до 1 ГэВ, поскольку такие данные необходимы для изучения свойств конструкционных материалов ядерной техники. Среди большого числа задач, решаемых при создании библиотек, важным этапом является сравнительный анализ моделей ядерных данных по их соответствию с экспериментом. Поскольку исходные экспериментальные данные сильно различаются как по количеству для разных реакций, так и по степени их однородности внутри каждого диапазона (причем не все исходные расчетные данные покрывают соответствующие области экспериментальных данных), появляется необходимость в создании комплексов программ в ССМ для комплексного анализа данных и ранжирования моделей на основе как численных расчетов с применением внутренних ресурсов ССМ, так и дополнительных процедур по определению и визуализации разных типов промежуточных и конечных результатов.

Еще одной актуальной проблемой, связанной с развитием ядерных технологий, является проблема нераспространения делящихся материалов, содержащихся в тепловыделяющих элементах различных устройств. Одним из высокотехнологичных способы защиты таких материалов является изменение изотопного состава тепловыделяющих элементов, которое, в свою очередь приводит к изменению некоторых физических и тепловых свойств таких объектов. Разработка математических моделей теплопроводности" в многослойном устройстве с тепловыделяющим элементом, которые учитывают различные физические и технологические факторы их безопасного хранения является актуальной прикладной проблемой, которая может быть решена для различных состояний с помощью комплексов программ в ССМ.

Многочисленные данные о сечениях деления свидетельствуют о наличии двух и более локальных максимумах потенциального барьера деления для ядер элементов с массовым числом А = 229-К247. Решение задачи о вычислении коэффициента прохождения для таких потенциалов представляет важную научную и прикладную проблему в области ядерной энергетики и физики частиц. Такая задача является сложной в математическом плане и для решения требует разработки соответствующих алгоритмов и программ. Кроме того, необходимы значительные вычислительные ресурсы для визуализации и получения численных значений характерных физических параметров ядер, что естественным образом, возможно реализовать с помощью комплексов программ в ССМ.

Задачи теории поля в пространстве де Ситтера длительное время привлекают внимание исследователей, а в последние годы интерес к таким задачам был актуализирован появлением теории инфляционной Вселенной. Оказывается, что задача исследования полей в пространстве де Ситтера является более ясной при использовании статической системы координат и позволяет рассчитывать квантовые процессы аналитически. Поэтому создание комплекса программ в ССМ для использования формализма Ньюмена-Пенроуза как инструмента вычислений в искривленном пространстве-времени и его применение для решения уравнений безмассовых полей со спином в пространстве де Ситтера является актуальной задачей физики частиц.

Замечание. В работе приводятся функциональные программные1 алгоритмы (ячейки ввода и вывода), отражающие содержание фактического материала; для представления алгоритмов автором выбран формат таблиц, представляющих существенные части программ (или их фрагменты).

Вывод ои ^ . (1-25) (1/2/ЙГ0) 1-1/27ОГ01

Ю(х) :=л- (1 + х) (1-х)

С1 Ьурег£еот^[—5 - /, / - 5 + 1 ], [ 1 + со гО I - 5 ], ~ + + С2 +

2 2

-{О гО /-<- з)

1 лЛ

11урег§еот1 [-/- я> гО 1,1 + /- со гО /], [1 - со гО I +5], ^ +

1-2^) (-1/2/о/0+^) (л-1/2/югО)

112(х):=х (1+х) С1 -V)

Г С1 Ьурег«еот| [-5 - /, 1 - я + 1], [ 1 + со гО I - л1], ^ + у) + С2 [ ^ + ^ V

-СО/-0/ + 1)

Ьуре^еотМ-/ -со гО I, 1 + /- со гО /], [ 1 - со гО I + 5 ], ~ + ~

Таким образом, реализуется схема разделения переменных в уравнениях полей:

М 6 №2 {г)-и2Г1т(0,ф) 'яг{г)-2¥1т(е,ф) \г-2-Яг{г)-2¥1т(в,ф)1г\ где 3У1т — спиновые сферические гармоники, а универсальные радиальные уравнения

А. е

-¡■со i О

-1-0)1

2 Л

1-2с1 со2 • г4 - 2 • 51 ■ / ■ СО • г5

V ГС У 2 г

-2-(2-+ , )•(/-, + !) а А

1-2.1,

2 ^ а со1 • г4 + 2 • -У • / • со ■ г3 V с ^ с1г

-2-(2 •£-!)• (!-.?)■%-(/ + .?)-(/-¿ + 1)

Д'.Д,(г)) = 0 имеют решения (второе решение преобразовано): г 1 дМ (г) - л-1"2" • (х2 -1)' • е~Шг' ■ * - + / +1,5 +1 - / ■ й> ■гс,-(х +1)

I - б, ! +1 — г • со • гс, 2 • I + 2С,

2 ^^ х + \ где х = —, п = — Тп г 2 х + 1Л для А*(г) решения получаются из приведенных применением функциональных тождеств для гипергеометрических функций.

Построенные программным способом решения повторяют результаты работ [211-212], полученные ранее автором обычными методами. Таким образом, программным алгоритмом воспроизведены трудоемкие и обширные расчеты, связанные с решением уравнений безмассовых полей со спином в пространстве де Ситтера.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Теоретические основы создания комплексов проблемно-ориентированных программ на основе аналитико-численных алгоритмов в ССМ для решения прикладных научных задач.

Обоснована концепция создания комплексов прикладных программ в ССМ, заключающаяся в алгоритмизации задач средствами встроенных ресурсов и программным заданием данных и условий; использовании метода функционального программирования на входном языке ССМ; в сочетании аналитических вычислений и технологии вычислительного эксперимента; в использовании как численных, так и аналитических методов исследования математических моделей.

Разработаны программы (как самостоятельные, так и ресурсные элементы для создания комплексов проблемно-ориентированных программ), реализующие на основе аналитических и аналитико-численных алгоритмов для решения широкого круга задач теоретической и математической физики, требующие больших аналитических вычислений и использования сложного математического аппарата.

2. Комплекс программ для реализации, вычислительного эксперимента и проверки адекватности математической модели реактора теплоснабжения малой мощности с саморегулированием.

КП предназначен для реализации модели реактора на основе системы нелинейных дифференциально-алгебраических уравнений; исследования стационарных состояний работы; моделирования переходных тепло-гидравлических процессов и различных режимов работы (обусловленных наличием обратных связей).

Выполнены вычислительный эксперимент (по изучению саморегулируемых режимов работы реактора и переходных процессов, возникающих в системе в результате воздействия внешних факторов), интерактивный анализ режимов работы и визуализация параметров; выявлены оптимальные режимы работы реактора (в том числе и для некоторых критических ситуаций).

3. Комплекс программ для обработки и статистического анализа данных нейтронной библиотеки активационных файлов «1ЕАГ-2005».

КП разработан с целью выбора наилучшей модели взаимодействия протонов с ядрами мишеней и предназначен для обработки и статистического анализа активационных нейтронных данных для нуклидов с Z = 6^84 в области энергий 15(Н1000 МэВ.

Проведено ранжирование моделей (для всего диапазона и для поддиапазонов массового числа ядер-мишеней) для данных 2006 и 2007 г.г.

4. Комплекс программ для реализации и расчета серии моделей, учитывающих различные физико-технические характеристики, многослойного устройства с ТВЭЛ.

В КП реализованы линейная и нелинейная модели теплопроводности (включая обоснование необходимости использования нелинейной- модели); модели с учетом контактного термического сопротивления, теплового излучения на внешней границе; различные граничные условия и специальные внешние воздействия.

Полученные результаты включают: нахождение аналитических решений и их визуализацию, численный анализ полученных данных и выводы по изотопному составу ТВЭЛ и физически приемлемым условиям хранения устройств для технологически важных состояний, удовлетворяющих требованиям нераспространения-делящихся материалов.

5. Комплекс программ для реализации моделей многогорбых потенциалов деления ядер тяжелых элементов.

КП предназначен для-реализации моделей потенциальных барьеров деления тяжелых ядер (А = 229'247); аналитического решения уравнения Шредингера и вычисления коэффициентов прохождения. Получены энергии резонансных уровней и квазистационарных состояний для различных реализаций потенциалов; проведения исследование моделей, включающее компьютерную визуализацию волновых функций и зависимостей коэффициентов прохождения. 6. Комплекс программ по применению формализма Ньюмена-Пенроуза для исследования безмассовых полей в искривленном пространстве-времени.

В рамках комплекса построены комплексные световые тетрады и вычислены спиновые коэффициенты для некоторых аксиально-симметричных 4-мерных искривленных пространств; произведено разделение переменных и получены аналитические решения уравнений для безмассовых полей со спином в статическом пространстве де Ситтера.

В заключении автор выражает глубокую благодарность Ю.А. Коровину за неоценимую помощь и всестороннюю поддержку в выполнении работы, ценные замечания и полезные обсуждения. Автор выражает признательность Д.В.Гальцову, Ю.А. Казанскому, Ю.С. Юрьеву, В.В. Артисюку, Ф.И. Карма-нову, В.А. Галкину, C.JI. Дороховичу, A.A. Казанцеву, Г.Б. Пильнову, М.Ю. Морозову, В.В. Бурмистрову за внимание к работе, обсуждения результатов и полезные замечания.

1. Самарский A.A. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1971, - 552 с.

2. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982. — 273 с.

3. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978.-512с.

4. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. -288 с.

5. Самарский A.A., Тихонов А.Н. Уравнения математической физики. — М.: МГУ, 1999.-798 с.

6. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Наука. Физматлит, 1997. - 320 с.

7. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Математическое моделирование, 2000 г. http://www.imamod.ru/publications/?id=l

8. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. -М.: Физматлит, 2001. 320 с.

9. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. -М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с.

10. Четверушкин Б.Н. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа. М.: Наука, 1985 г. - 304 с.

11. Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные разностные схемы в газовой динамике. М., Изд. МГУ, 2000 г. 232 с.

12. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука. 1980. -536 с.

13. М. В. Келдыш. Избранные труды. Ракетная техника и космонавтика. — М., Наука, 1988.

14. Гулевич A.B., Дьяченко П.П., Зродников A.B., Кухарчук О.Ф. Связанные реакторные системы импульсного действия. М.: Энергоатомиз-дат. 2003.-360 с.

15. Кудряшов Н. А., Тетерев Н. А. Численное моделирование распространения уединенной волны давления в жидкости, содержащей пузырьковую область // Математическое моделирование, 2009, 21(3) С. 3-17.

16. Kudryashov N. A., Chernyavsky I. L. Numerical simulation of the process of autoregulation of the arterial blood flow // Fluid Dynamics, 2008. 1, P." 32-48.

17. Левин B.A., Калинин B.B., Зингерман K.Mi Развитие дефектов при конечных деформациях. Компьютерное и физическое моделирование. — М.: Физматлит, 2007. 392 с.

18. Якобовский М.В. Распределенные системы и сети. — М.: Станкин, 2000: -118 с.

19. Четверушкин» Б.Н., Гасилов В.А., Поляков C.B., Карташева Е.Л., Якобовский М.В. и др. Пакет прикладных программ GIMM для решения задач гидродинамики на многопроцессорных вычислительных системах // Математическое моделирование, 2005, 17:6, с. 58-74.20