автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Автоматизация математического моделирования динамических систем на основе символьно-численных методов и графических преобразований моделей

; а

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ИНФОРМАТИКИ И АВТОМАТИЗАЦИИ

Па правах рукописи ПУЖДИН Андрей Владимирович

УДК 519.711:Г>81.3

АВТОМАТИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ СИМВОЛЬНО-ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ И ГРАФИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ МОДЕЛЕЙ

05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов п научных исследоланиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических иаук

Санкт-Петербург 1095

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте моделирования и вычислительного эксперимента при Ивановском государственном энергетическом университете.

Н а у ч ны й руководитель—

доктор технических наук, профессор Щелыкалов Ю. Я.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Дмитревич Г. Д., доктор технических наук, профессор Смирнов А. В.

В е д у щ а я организация —

Российский НИИ информационных систем г. Москва.

Защита состоится » . . . 1995 года

в ... часов на заседании специализированного совета Д. 003.62.01 прц Санкт-Петербургском институте информатики и автоматизации РАН по адресу: 199178, С.-Петербург, ул. 14-я линия, д. 39.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке специ-алпзированого совета Д. 003.62.01.

Автореферат разослан « УтК *» . . . 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат технических наук

КОПЫЛЬЦОВ А. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

. АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Математическое моделирование составляет основу многих технологий применения вычислительной техники (автоматизация проектирования, автоматизация научных исследований, имитационные эксперименты, оптимизация решений и др.). В последние годы произошли качественные изменения в этой сфере научной деятельности:

- к традиционным объектам вычислительного эксперимента (технические системы, физические явления и процессы) добавились природные явления, процессы воздействия на окружающую среду, экономические процессы в больших системах, общественные процессы;

- в моделировании технических систем не только возросли размерность й структурная сложность' моделей, но и.появились новые постановки задач моделирования" (эксперименты с обратными моделями и моделями чувствительности, оптимизационные эксперименты с имитационными моделями, управление вычислительным экспериментом в реальном времени, эксперименты с математическими моделями и реальными объектами);

- постановщиками 'вычислительного эксперимента все чаще становятся неспециалисты в области математики и вычислительной техники.

В этих условиях актуальны работы, повышающие производительность процесса моделирования и делающие его более комфортным для-"неподготовленных" пользователей.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью диссертационной работы является разработка комплекса методов и .программных средств, повышающего уровень автоматизации вычислительных экспериментов с математическими .моделями и сокращающего затраты времени на этапах построения и преобразования моделей..

ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертационной работе решаются следующие задачи:

- анализ ограничений существующих символьно-численных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений; •

- разработка символьно-численных методов, позволяющих повышать эффективность применения неявных методов числен-

ного интегрирования за счет использования аналитических преобразований на стадии формирования дерева вычислений;

- разработка редактора структурных схем,. редактора макроблоков и системы проведения эксперимелтов в целях повышения быстродействия программно-методического комплекса математического моделирования (комплекс МИК-НН) и создания "дружелюбного" интерфейса при моделировании динамических процессов в сложных системах;

- экспериментальные исследования символьно-численных методов и программно-методического комплекса МИК-НН при моделировании сложных динамических систем;

- разработка алгоритмического обеспечения системы математического моделирования, использующей символьные преобразования математических моделей.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ, Кроме традиционных методов численного интегрирования, использовалась теория .символьных преобразований графов и структурных схем.. Процесс моделирования рассматривался с системных позиций как комплекс взаимосвязанных операций. В разработке программного обеспече-' ния использовалась технология объектно-ориентированного' программирования.

ПОЛОЖЕНИЯ,. ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ. На защиту выносятся следующие научные-положения, сформулированные диссертантом:'

.- сфера применения символьно-численных методов решения систем дифференциальных уравнений существенно расширяется при использований разработанного рекуррентного метода символьных преобразований математических моделей в сочетании с итерационными уточнениями и численными процедурами;

-.эффективность аналитических преобразований моделей на стадиях формирования дерева вычислений повышается при использовании концепции макромоделирования для трех типов систем: систем со сложной структурой и большой размерностью; подсистем, допускающих аналитическое выполнение операций дифференцирования; непрерывно-дискретных систем, допускающих распараллеливание вычислительных процессов;

-.концептуальное единстйо 'методов, технологий и алгоритмов, использующих 'символьно-численные преобразования

достигается в среде графических схем разработанного комплекса МИК-НН. "

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Предложен новый подход к организации ' взаимосвязанного комплекса процедур построения и преобразования математических моделей динамических систем с преимущественным, использованием символьных процедур:

- при выполнении операций алгебраизации, дискретизации •и линеаризации моделей, описываемых системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, а также при последующем преобразовании системы алгебраических уравнений в дерево вычислений;

г при построений многоуровневых математических моделей в графической форме;

- при макромоделировании и декомпозиции моделей.

• ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ,-Теоретические исследования завершены созданием на их основе алгоритмического, программного 'и методического обеспечения задач автоматизации моделирования динамических систем. Модифицирован программно-методический комплекс математического моделирования МИК-НН на основе применения высокоэффективных процедур:

- графического взаимодействия на этапах построения и преобразования моделей (повышена производительность и комфортность процедур моделирования, расширен круг пользователей системы моделирования);

- построения прямых моделей вычисления сигналов динамических систем. '

Диссертационная работа выполнялась по- планам государственных- межвузовских программ "САПР" и "Информатизация проектирования".

• АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международной конференции-выставке (г. Петрозаводск, 5-9 июня 1995 г.), на заседаниях головного совета межвузовской программы САПР. Комплекс МЙК-НН используется в трех организациях. Основное содержание работы отражено з четырех публикациях.

СТРУКТУРА И ОБЪЁМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введе-1ИЯ, четырех глав, заключения, списка литературы (23 названия)

и приложения. Общий объем работы - 145 страниц, включая 40 страниц с рисунками и таблицами, приложение на 7 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введений обоснована актуальность темы, определены задачи и цели диссертационной работы, ее научная новизна и практическая значимость. .

В главе 1 рассмотрен известный вариант символьно-численного моделирования динамических систем с использованием прямого алгоритма построения Дерева вычислений на основе правила Мейсона. Сделаны следующие выводы:

- прямое применение алгоритмов построения деревьев вычислений сигналов для больших систем уравнений не имеет практической ценности в связи с резким возрастанием объема переборных операций;

- применение символьных методов не учитывает в-явном виде проблему обусловленности матриц коэффициентов. Необходим поиск улучшенных алгоритмов для контроля проблем точности.

В главе 2 решены основные теоретические проблемы развития символьно-численных методов, а также найдены сферы' эффективного применения этих методов в задачах автоматизации' вычислительных экспериментов.

Показано следующее:

- символьные методы перспективны и.необходимо искать пути их развития; .

*- символьные методы открывают новые эффекты в сочетании с численными процедурами;

' - большие объемы памяти и наличие' параллельных процеа-соров в современных компьютерах позволяют открывать принципиально новые направления автоматизации моделирования.

В работе доказано, что повышение размерности моделей, обрабатываемых с помощью символьных процедур, возможно с помощью по крайней мере двух разработанных алгоритмов.

Первый алгоритм основан - на рекуррентных символьных преобразованиях исходной математической модели, точнее её линейной алгебраизированной части, представленной в графи-

ческом виде. По сравнению с прямым методом преобразования графа с контурами в дерево вычислений этот алгоритм в результате поэтапных прогонок конструирует поддеревья вычислений. Первая прогонка дает рекуррентные формулы вычисления сигнала .XI' графа с п внутренними узлами (зависимыми переменными) в

виде поддерева ', ' *> -

и ■

где - внешние сигналы, - некоторая совокупность алгебраических формул, конструируемая из коэффициентов исходной системы уравнений (коэффициентов передач ветвей графа). Вторая прогонка дает формулы вычисления сигнала хг редуцированного графа с (и-1) внутренними узлами в виде поддерева

/=4

где Hi - некоторая совокупность алгебраических формул, конструируемая из коэффициентов передач редуцированного графа.

Основу каждого этапа прогонки составляют процедуры последовательного "исключения" внутренних узлов графа. Процесс символьного преобразования повторяется п раз. На заключительном этапе дерево вычислений принимает следующий вид:

Например,' для графа (рис. 1), эквивалентного стандартной системе 4 линейных алгебраических уравнений, в результате поэтапного редуцирования получим дерево вычислений сигналов .VI, хг, хг, .Г4 (рис. 2),' где коэффициенты прямого решения определяются набором формул (1) - (16).

Нетрудно заметить, что' в терминах численных методов этот алгоритм эквивалентен процедуре преобразования прямоугольной матрицы коэффициентов системы алгебраических уравнений в треугольную .матрицу.. Отличие состоит в том, что в разработанном варианте все операции производятся в символьном виде.

Рис 1. Граф для системы 4 линейных уравнений

В„

¿4.

в24

В44

043

ф"

0«

02!

9г)-»-

IV,2

Л'«

Рис. 2. Дерево вычислений сигналов в системе 4 линейных алгебраических уравнений, полученное в результате применения рекурентного символьно-численного метода

Коэффициенты ветвей дерева на рис. 2, например, вычисляются по следующим автоматически конструируемым формулам;

с„ = Щг^23> С31 = ^32^21» ^14 =

с„ — ^2^21» С31 = \Угг\У14, С43 =

С„ - С* = 1^32^23' . ^44 = ^42^24»

= И'« + . = ^34+ф43 = ^43'+с43;

I

Ж,

33

-;—тг> НЦ =

_ ' 23

1-е,,

Н -

• 1 *-зз ■ ф

и — 31

1 ,,

Н - 1

"""1-е; ж

Я — 24

1,1 - ■-

нл

ф

— 41

1-е,;'

1-е,

Н - Ф34

34 "1-е,.'

я,

1-е

ф.

1-е,

(1)

(2)

(3)

»3

Е*

1 п

_ А, р _ А, р _ Л., Р ... Аг

1-4' "31 41

_ 44 р _ Ад р Р _ я,„

24 , 34 1-Л4

м -Сч = Е24Е41, ^3.= : ^34^41» II ЕМЕМ\

Я, "ЯА- ^2 = ^41^14' ^21 = ^4 = ^25^54> ^

^4 = Аз#з4> Л4| = ■ /?з, = ВД,, = Н})Нн;

о21 = н21 + к21> 014 = Н24 + Кг4, /)М = Я14+ 041 = Я4|+Л41;

. г- _

I ю ' -, „.

(е)

(7)

^21 = + ^2Г> = + ^ЗР ' ^41 = А) + ®

Л Л - л - Л - А| . Грх

Аз = ВДз> = ^24, ' ^3 = ВДз> ' '

¿144 = ^4:^24» ^4.= ^32^24' Аз ~ ^42^23'

Л/' /V 1 /V

■ Ь,з 1 — ¿'ф, 1 — ¿-33 1 — Х-ь

'44

(10) (11)

(12)

Ж' Л''

Л/ = ' » ДУ _ , 'Г 24, >/ _ „534,, д/ _5_.

13 1-4,' 34 1-К' 1 1-Ам' 44

Т,4 = М13М}4, Т24 = МаМ34, Ти = МггМг4, Г44 = М43М34; (13)

д _М4±54 „ _ми + ти. _ тЪ4 _

- ВДз, ^33 = ^3. ^43 = ВД3; (15)

Второй алгоритм использует функциональный принцип редуцирования исходной модели, в которой выделяются функционально завершенные подсистемы (макромодели) и для них кон-

струируются поддеревья вычислений. Этот подход ориентирован на использование базы макромоделей.

При конструировании исследуемой модели из макромоделей экономия времени на символьные преобразования достигается за счет исключения замкнутых контуров из моделей функциональных подсистем. Собственно процесс построения дерева вычислений на заключительном этапе может осуществляться либо по известному прямому методу преобразования графа с контурами, либо по предложенному рекуррентному алгоритму.

В какой-то мере процедура макромоделирования эквивалентна процедурам рекуррентного символьно-численного метода. Принципиальное различие лишь в том, что в рекуррентном методе процедура декомпс>зиции графа повторяется каждый раз при .моделировании системы, а метод макромоделирования оптимален по количеству символьных преобразований и не повторяет ранее выполненные символьные процедуры.

Платой за полученную экономию затрат на вычисления является наличие базы макромоделей, требующей затрат другого рода - на подготовку, хранение и поиск информации о макромоделях.

В целом такой подход отвечает современным тенденциям развития сложных систем моделирования. Можно сделать вывод о перспективности применения технологии макромоделйрова-ния.

Общий вывод для рассмотренных алгоритмов - они переводят символьно-численные методы решения систем уравнений в сферу практического применения.

' Для расчета процессов в динамических системах предложено использовать обобщенную структуру дискретного'интегратора (рис. 3). .

о—

У(П*1) 4 Тх(п*1)

-О-

*У(П)

Рис. 3. Структура обобщенного дискретного, интегратора

Здесь ,Х(я+1), ДЧп+о - сигналы на выходе и входе дискретного интегратора в (п+ 1)-й момент времени; к/, - некоторый коэффици-

ент, формула вычисления которого изменяется при смене метода численного интегрирования (рассматриваются только неявные методы численного интегрирования, применение которых в сочетании с символьными преобразованиями дает наибольший эффект

по .скорости ■ и точности вычислений); ду(„, - обобщенная

предыстория входных и выходных сигналов дискретного интегратора, формула вычисления которой определяется выбранным методом численного интегрирования. Например, для неявного метода Эйлера -

кь = Л, ХУ(„) — х{„) >

где -/(„, - шаг интегрирования, :х{/1) - сигнал на выходе

интегратора".в я-и момент времени; для неявного метода Гира 3-го порядка -

. _6 — _ 18 ' _9 2_

11' Х^(п) ~ Х{п) 11 Х<"'1) 11+ Х("'2) 11' для метода Адамса-Маултона 2-го порядка -

. И — /г

Применение обобщенной модели дискретного интегратора позволяет однократно проводить символьные процедуры построения дерева вычислений, что особенно важно для практического применения этих методов. Для демонстрации преимуществ применения макромодели обобщенного интегратора в работе решена частная задача моделирования динамической системы (рис.1 4 и 5) тремя методами: явным методом Рунге-Кутта 4-го порядка; неявными символьно-численными методами с интеграторами Эйлера' 1-го порядка и Адамса-Маултона 2-го порядка. Формулы передач ветвей дерева вычислений на рис. 5 определялись на основе разработанного алгоритма и имеют следующий вид:

л л М• , ._ кгкМА

~ гр ' Л5 ~ грТ > ~ гр '

'3 3 4

-IU-

' 7¡r3 ' ^ 7;r37¡ ' ^ . Т{ГгТъТ4 ' •

^ =--íiA_Í3-

' А, ' 2 А,

-AÄO-4-4) ---------4-----------

А, А,

-:-;

А,

1 -A -A-

Ф' =AT*' = -Ï- '

Ф =_--h- ф -_Ыл--

4 А ' А >

д2 • л, .

-k-kk!Ê=l к^-к 4 к5к6 к6

i L т* к, „ 1.

4

А3 А, . А3 А3

Здесь

А, = 1 -At-A^-As-A9 + Al(Az+As + A9) + +А2(А4 + А5) + А} (А4 + А5)-А1 (А1А4 + АгА5 + А3А4 + 44), А2 = 1-А2 -А3 - А4-А5-А6-А7+А2А4 +А2А5 + А3А4+А3А5, А3 = 1-А4-А3, Az = А2+А} +А4 + А} + 4 +

Рис. 4. Пример линейной системы автоматического регулирования

Рис. 5. Дерево вычислений для модели на рис. 4

Тк>Г

к5

Уцп+1) ^4(л+1)

Г3(п)

f (п+1) . л/4(п)

Начальные значения на входах интеграторов определялись по формулам, полученным из схемы на рис. 5 для частного случая И=0:

Уцп) ~ 1Г(л+1) Х\(п)К ~

1 ¡Су

=л'1(") ттЬ;+Iтщкъ+>(~*4~ +

Умп) - + /•

Проведенные исследования показали, что наибольший эффект при минимуме затрат на организацию вычислений достигается при сочетании символьных методов с дискретным интегратором Адамса-Маултона 2-го порядка:-

г не требуется "разгон" неявной схемы численного интегрирования (начальные значения на выходах интеграторов задаются исследователем, а начальные значения на входах интеграторов вычисляются с помощью дерева вычислений для частного случая при И=0);

- формулы передач дерева вычислений на рис. 5 не изменяются после старта; .

■ - коэффициенты передач дерева вычислений остаются постоянными при постоянном шаге А. При смене шага старые значения можно хранить в памяти компьютера или заранее вычислить эти коэффициенты для достаточно широкого диапазона значений Л (для ускорения этой процедуры можно использовать параллельные процессоры). В итоге можно получить блок таблиц к ¡{И 1, /г 2,... ,/!,„), позволяющий переходить от одного шага к другому практически без потерь времени; .

- этот метод интегрирования относится к группе методов второго порядка, но требует значений сигналов ' предыстории только на предыдущем шаге (это известное свойство интеграторов Адамса-Маултона). Новым здесь является символьная процедура вычисления' сигналов предыстории. В классическом варианте требуется дополнительное применение операций прогноза, что признается главным недостатком метода Адамса-Маултона.

В главе 3 решены основные задачи описания и преобразования моделей в графической форме. Разработана и программно реализована технология манипулирования моделями-в виде рисунков структурных схем.

Основу алгоритмического базиса графического интерфейса составляет объект структурной схемы, рассматриваемый с трех позиций: как графический элемент, как функциональный элемент и как элемент интерфейса. Абстрактный объект структурной схемы характеризуется в разработанной системе моделирования следующими полями: координатами положения объекта на схеме, координатами ограничивающей прямоугольной области, классом объекта, идентификатором темы в контекстно-чувствительной системе справки, списком входов, списком выходов, списком па:. раметров, выполняемой функцией.

Примененная технология объектно-ориентированного про-' граммирования позволила в общем виде сформулировать требования к объектам. Как графический элемент, объект схемы должен иметь методы, позволяющие отрисовывать его на схеме, перемещать в пределах рабочей области схемы и определять его положение по отношению к другим объектам. При рассмотрении объекта с функциональной точки зрения, он должен иметь методы определения связей с другими объектами структурной схемы и методы представления этих связей в определенном формате. Наконец, для программиста необходимы методы инициализации и удаления объекта из оперативной памяти компьютера, методы доступа к полям объекта и методы сохранения и чтения полей объекта из файла. ■

Предложенный способ ' иерархии объектов структурной схемы позволяет легко модифицировать набор функциональных элементов без введения новых типов объектов.'

Разработанный графический редактор структурных схем концептуально объединяет предложенные. символьно-численные алгоритмы, позволяя: вводить и редактировать модели в виде рисунков.структурных схем, генерировать алгоритм'(дерево) вычислений для исходной модели, компилировать полученный алгоритм, применять- макроблоки,' работать с несколькими перекрывающимися окнами с различными структурными схемами моделей.

В главе 4 приведены результаты экспериментальных исследований, подтверждающих достижение поставленных целей. В частности, показаны варианты описания моделей в комплексе МИК-НН с использованием макроблоков на языке структурных схем. Точность численных результатов экспериментов подтверждается ранее выполненными натурными экспериментами.

Приведены результаты численного эксперимента с моделью, подтверждающие эффективность символьно-численных алгоритмов (сравнительные результаты приведены для трех групп мето-■ дов интегрирования).

В приложении даны исходные тексты основных программ графического интерфейса на языке Pascal и акты внедрения результатов работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

'1. Разработан программно-методический комплекс МИК-НН для проведения вычислительных экспериментов с математическими моделями систем автоматического управления, электромеханических и других сложных систем, описываемых совокупностью дифференциальных (линейных и нелинейных), алгебраических- и логических уравнений, при сравнительно малых затратах машинного времени. Программный комплекс МИК-НН позволяет существенно упростить процедуру описания модели за счет использования языка структурных схем и макроблоков.

2. Разработан рекуррентный символьно-численный метод решения систем алгебро-дйфференциальных уравнений, отличающийся расширенной сферой применения символьных преобразований графов на этапах алгебраизации и дискретизации уравнений, наличием процедур решения систем алгебраических уравнений в явном формульном виде, возможностью контроля точности вычислений.

' 3. Разработан алгоритм сокращения затрат времени на символьных и численных этапах моделирования, отличающийся использованием обобщенной модели дискретного интегратора, применением макромоделей в- виде поддеревьев вычислений.

4. Разработан символьно-численный-метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием дискретного интегратора Ад&мса-Маултона 2-го порядка, отли-

чающийся наличием условий для автоматического старта вычислений и отсутствием необходимости применения методоз прогноза.

5. Экспериментально подтверждены возможности совместно^ го применения описания модели в системе МИК-НН в виде блок-схе.м, структурных схем, графов, деревьев вычислений, формул, систем .уравнений. Показано, что, графический интерфейс системы МИК-НН обеспечивает возможность конструирования сложных схем моделей и манипулирования графическими объектами.

Содержание диссертации отражено в следующих основных публикациях.

1. Нуждин А. В. Графический интерфейс в системе математического моделирования МИК-НН/Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново,-1995. - 88 с.

2. Нуждин А. В. Система математического моделирования для решения задач обучения в режиме тренажа // Тезисы докладов международной конференции-выставки "Информационные технологии в непрерывном образовании" / ПГУ. - Пе1розаводск, 1995. - С. 134-135.

3. Методы и инструментальные средства многоуровнего моделирования динамических систем для решения задач компьютерной экспертизы: Отчет о НИР/Иван. гос. энерг. ун-т; Рук.

B.Н. Нуждин; Исп. М.Ю.. Дурдин, Н.В. ' Никоноров,. A.B. Нуждин, Е.Р. Пантелеев. - N ГР 01950002285; Инв. Н 0295001984. - Иваново, 1994. - 43 с.

4.Колганов А. Р., Нуждин А. В. Специализированная рабочая станция инженерного моделирования, электропривода // Тезисы докладов I Международной (XII Всероссийской) .конференции по автоматизированному электроприводу ./ С.-Петербург, ■ 1995. -

C. 113-114. '

Подписано и печати 16.II.95г.Формат издания 60x84 I/I6. Заказ 3039/р. Тираж ЮОэкэ.Печ. 1,0.Усл.п.л.0,93.

Типография ГУ КПК,г.Ипаново,ул.Ермака,41.