автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.12, диссертация на тему:Автоматизация моделирования процесса теплопроводности на многопроцессорны выичслительных системах с использованием символьно-численных методов

На правах рукописи

§

05 КАДАМЦЕВА Галина Геннадьевна

t

УДК 681.3.06.001.12

АВТОМАТИЗАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА МНОГОПРОЦЕССОРНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИМВОЛЬНО-ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

Специальность 05.13.12 -системы автоматизации проектирования (электротехника и энергетика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических паук

Иваново 1997

Работа выполнена на кафедре вычислительной техники и систем автоматизированного проектирования Ивановского государственного энергетического университета. Научный руководитель -

доктор технических наук, профессор Нуждин В.Н. Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Федосов С.В.; доктор технических наук, профессор Попов Г. В.

Ведущая организация-

Институт математического моделирования Российской Академии наук, г. Москва.

Защита состоится "20"июня 1997 года в часов на заседании

диссертационного совета Д 063 10.01 при Ивановском государственном энергетическом университете.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке энергетического университета.

Отзывы в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу: 153003, Иваново. Рабфаковская. 34. совет ИГЭУ.

Автореферат разослан " 16 " мая 1997 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор технических наук, профессор

С.В.ТАРАРЫКИН

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Математическое моделирование является основой большинства технологий автоматизированного проектирования. В первую очередь это относится к процессам проектирования, использующим модели сплошных сред. Практическая ценность этих моделей значительно повысилась в связи с резко возросшими возможностями современных многопроцессорных вычислительных систем. Но одновременно с ростом вычислительных мощностей росли размерности моделей и сложность задач проектирования. В результате проектировщики' вновь столкнулись с проблемами точности и скорости вычислений. Многие годы ученые пытаются повысить эффективность процессов моделирования путем поэтапной замены численных процедур эквивалентными символьными операциями. Однако практическая ценность этого научного направления стала проявляться только в последние годы при использовании мощных вычислительных, систем.

Целый ряд технологических процессов, имеющих фундаментальное значение в производстве, описывается системами, содержащими уравнения тепло- и массопереноса. Таковы процессы теплопередачи в теплоэнергетических установках (котельные установки, теплообменники, конденсаторы), процессы горения, разогрев и охлаждение металлов, процессы диффузии и многое другое. В этих условиях тема данной работы, связанная с разработкой символьно-численных методов моделирования процессов динамики сплошных сред и исследованием эффективности их применения в многопроцессорных вычислительных системах, является актуальной.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью диссертационной работы является разработка символьно-численных методов и алгоритмов автоматизации процессов решения задачи теплопроводности в качестве модельной, позволяющих повысить скорость вычислений и эффективнее использовать особенности параллельности многопроцессорных вычислительных систем для класса задач механики сплошных сред.

ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертационной работе решаются следующие задачи:

- доказательство возможности применения символьно-численного метода моделирования процессов теплопроводности, использующего неявную трехточечную схему аппроксимации;

- разработка средств автоматизированного преобразования моделей при использовании неявной трехточечной схемы аппроксимации на основе символьно-численных методов решения задач теплопроводности:

- исследование вариантов повышения точности символьно-численного метода на основе сочетания различных схем аппроксимации уравнений теплопроводности;

- разработка средств автоматизированного преобразования моделей при использовании неявной пятиточечной схемы аппроксимации на основе символьно-численных методов решения задач теплопроводности;

- разработка и экспериментальное исследование эффективности алгоритмов и программных средств для многопроцессорных вычислительных систем, использующих символьно-численные методы.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Кроме традиционных методов численного интегрирования, метода прогонки и метода Фурье для решения систем алгебраических уравнений, использовалась теория символьных преобразований графов. В разработке программного обеспечения использовались методы организации вычислений в многопроцессорных вычислительных системах.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ. На защиту выносятся следующие научные положения, сформулированные диссертантом:

- скорость моделирования процессов в задачах механики сплошных сред может существенно повышаться без понижения точности вычисления при замене традиционных вычислительных методов методами. основанными на автоматизированных преобразованиях моделей в символьном виде;

- разработанные символьно-численные методы решения задач динамики сплошных сред наиболее эффективны в многопроцессорных системам, так как обеспечивают однократный вывод формул для параллельных вычислений и исключают из вычислительного цикла повторные операции;

- эффективность символьно-численных методов решения задач динамики сплошных сред увеличивается при повышении порядка схемы аппроксимации и структурной сложности исходной модели.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Разработан новый метод решения задач механики сплошных сред, занимающий промежуточное положение между традиционными численными и традиционными аналитическими методами. Предложенный метод, использует символьные преобразования формул для пространственной модели и позволяет:

- находить формулы для прямого вычисления сигнала в любой точке исследуемого пространства на очередном шаге по времени;

- автоматизировать процесс вывода формул для передач вешен дерева вычислительного процесса;

- декомпозировать сложную модель на подсистемы для параллельных процессоров с использованием символьных операции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ. Теоретические исследования завершены созданием программных средств для автоматизированного построения и преобразования моделей в виде графов в задачах теплопроводности для трех типов вычислителей:

- однопроцессорной системы;

- имитатора многопроцессорных машин;

- транспьютерной системы PARSYTEC.

Разработанные символьно-численные методы позволяют развить новое направление в автоматизации моделирования процессов динамики сплошных сред.

Диссертационная работа выполнялась по планам государственных межвузовских программ "Информатизация проектирования" н "Перспективные информационные технологии".

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международной конференции-выставке "Информационные технологии в непрерывном образовании"1 (г. Петрозаводск, 5-9 июня 1995 г.J и Всероссийском ссминарс-совещашш руководителей региональных центров информатизации и центров НИТ высшей школы "Информатизация общего и профессионального образования России: основные проблемы и задачи развития системы РЦИ и ЦНИТ" (г. Пермь, 2 - б декабря 1996 г.).

СТРУКТУРА и ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (35 наименований) и приложения. Общий объем работы - 180 страниц, включая 10 страниц с рисунками и таблицами, приложение на 20 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, определены цель и задачи диссертационной работы, отражена ее научная новизна и практическая значимость.

В главе 1 обоснован выбор задачи теплопроводности в качестве модельной для оценки новых подходов к модслированшо процессов механики сплошных срсд. Рассмотрены традиционные методы решения уравнения теплопроводности - метод прогонки и метод Фурье.

На примере модели четырехсложной плоской пластины продемонстрирована возможность прямого решения алгебраизнрованного с помощью трехточечной схемы аппроксимации уравнения теплопроводности

+ \ ггпг л ' гш + 1 п , гр/71 +1 ту /1 \

I =Т{ -А + | + 1 В, (1)

*

где д --, В=к -А, д - а ^г ( из основного уравнения

1 + 2 к »

теплопроводности), а- коэффициент теплопроводности, Ат- шаг по времени, Ах- шаг по координате, Г - абсолютная температура, т -момент времени, «номер слоя (¿= 1,2,..., N), А'- число слоев.

Выявлен главный недостаток такого способа решения алгебраизиро-ванной системы уравнений - необходимость формирования дерева вычислений для каждой новой модели. Поставлена задача автоматизации процесса формирования дерева вычислений для произвольного числа слоев пластины.

В результате анализа изменений структуры графа в зависимости от числа слоев исследуемой пластины составлена таблица, отражающая зависимость численности контуров высокого порядка от количества слоев пластины (в работе принято представление системы алгебраических уравнений в виде ориентированного графа и поиск формул передач ветвей дерева вычислений с использованием алгоритма Мейсона).

На основе этой таблицы сформирован алгоритм определения количества контуров К^^ , где / - порядок контура, (IV) - верхний индекс, соответствующий числу внутренних узлов исходного графа. Так как все контуры первого порядка в исходном графе имеют одинаковую передачу 0=В? , то знание закона роста числа кошуров соответствующего порядка позволило вывести следующую формул)' общего вида для определителя графа с произвольным числом узлов /V:

1><") = 1 - 0(К<Х") - й(К<2"> - - ()(к{М) - ас..))))). (2)

Аналогично были выведены алгоритмы генерирования формул передач прямых путей Ра и дополненийДц для А=0,1,2,...,№

Ра\~В, Рц=А, Рц-А-В, Рц=А-В2 Рм=А Вт (Р<п=В");

пм=п^>.....

Это позволило записать в общем виде формулу передачи от А -го внешнего узла к узлу 1 в виде

. рк\ -1>к\ (3)

н формулы передач от сигналов граничных условий к узлу 1 в ввде

= Л)1 • ^>11 .у(1Ч) = Л)2 • 7Л»1 п(Ю ' " ¡/ГО

Так как при вычислении сигнала в узле /=1 исходный граф может быть редуцирован (укорочен) и получен граф с (N-1) узлами, то рассмотренный алгоритм генерирования формул может быть повторен для /с=/У-1. При этом узел /=2 исходного графа будет считаться узлом ¡-1 в редуцированном графе.

В результате разработан алгоритм автоматического перехода от графа с контурами, имеющего произвольное число узлов N (рис.1), к дереву вычислений неизвестного сигнала (рис.2). С использованием полученных формул реализована программа, автоматизирующая процедуры перехода от физической модели к математической дискретной модели в символьном виде и последующего численного решения алгебраизированной системы уравнений заданной структуры и произвольной размерности.

о *

тГП 2

о

ж,

О

I

ю

г.

г«+1

12

'з

О-

1С;

О-

ПО

О

О

П

IV,

'лг

Рис. 1. Модель пластины с N слоями при трехточечнои схеме аппроксимации

т™ О"

ггн

т»

о ^

Рис. 2. Дерево вычислений температуры в первом узле графа

т

Экспериментальными исследованиями доказана эффективность нового символьно-численного метода. Сделаны следующие выводы:

- символьно-численный метод позволяет находить прямое решение для любого узла графа (для любого слоя пластины) без предварительного прямого хода, характерного для традиционного метода прогонки;

- символьно-численный метод требует меньшего количества вычислительных операций для числа узлов в графе, меньшего 30, чем метод прогонки;

- результаты вычислений с помощью метода прогонки и разработанного символьно-численного метода практически полностью совпадают, что и следовало ожидать, так как в основе исходной модели в обоих вариантах применена трехточечная схема аппроксимации исходного уравнения;

- практическая ценность символьно-численного метода достигается только при автоматизации процессов символьного преобразования исходной модели в виде ориентированного графа с контурами в дерево вычислений.

В главе 2 решается задача повышения точности символьно-численного метода.

Первый вариант повышена точности разработан на основе использования шаблона Кранка-Николсона (рис. 3). С помощью процедуры нормирования исходного графа удалось разделить задачу на две части:

- разработка алгоритма построения деревьев вычислений неизвестных сигналов;

- нахождение алгоритмов вычисления сигналов предыстории.

Первая часть задачи совпадает с задачей, решенной в первой главе

работы, так гак структуры исходных графов одинаковы. Вторую часть удалось свести к простым операциям суммирования сигналов предыстории, как это показано в формуле

Г/" т.™ К2 + ТЦХК\. (5)

Второй вариант разработан на основе неявной пятиточечной схемы аппроксимации по пространству и первого порядка аппроксимации по времени. Для этого исходное уравнение представлено в алгебраизированном виде:

гш+1 _ п грт , л грт+1 . п тт+1 . „ грт+1 , .гт+1

где А =

■а2 Ах

12&х2 +30я2Дт

П =

16а2Ах

12Ах2 + 30я2Лт

С' =

12Дл*2 + 30я2Лт

ъ О——О

'Г

О-1

о-мз

^ о-*

К; СУ

Рис. 3. Модель пластины с N слоями при аппроксимации по шаблону Кранка-Николсона

На рнс.З /¡^ =

0,5К_ 1+ К1

К-у =

1 -К 1 +К'

К =

1

а" Ах

Ах

2 '

А =

1

1 + 2К

11 = К А.

На основе уравнения (6) составлена типовая структура графа при пя-гиточечной схеме аппроксимации (рис. 4). На последующих этапах автоматизации решения этой модели предложено использовать нормированную структуру графа (рис. 5), в которой каждому внутреннему узлу соответствует один внешний узел. Для вычисления сигналов во внешних узлах выведены следующие формулы:

тх^ту.с+т^.в+т^.л,

т гт

(7)

31 =/3

т тш

г,и — Тт Г1

где ТГ = Т[п, 7уг1,7^2,7^3,7^4 - граничные условия.

Для перехода от нормированного графа (рис. 5) к дереву вычислений (рис. 6) получены формулы передач ветвей дерева:

^31 =

в<*>'

В2Л(2) +АВ<2) + А(1-А2)+АВ2 + А2В2

(В)

V

(5)

В3 + АВ + АВ(1-А2) + 2А2В + АВ3

-Ы»-'

В4 + ЗАВ2 + А2(\-А2)+2А2В2 "51=--■

где 1)(Ь/)- определитель графа с числом внутренних узлов N. Для N-2,3, 4, 5 имеем: =1 -4В2+ЗВ4 -6АВ2-6А2В2-2А3В2 +4АП4-ЗА2 + 2А4,

1)<4> =1-ЗВ2+В4-4АВ2-2А2В2-2А2+А4, <9)

В(3) = \-2В2-2АВ2-А2, Б<2>=\-В2.

Г;.,

О

Рис. 4. Модель пластины для пяти слоев Рис. 5. Нормированный граф

при пятиточечной схеме аппроксимации

После определения формул для вычисления сигнала 7(т+' исходный граф можно преобразовать к графу с числом узлов Л-4. Для такого редуцированного графа дерево вычислений следующего сигнала показано на рнс.7, где

\угг =

р(3>

щ2 =

1Г42 =

В2 + А(\-А2) + АВ' п(4)

»52 =

ВР(2) +АВ + А2В

о( 4) '(10) В3+А2В+2АВ

Аналопгчно для Л^З, 2, 1 получим:

0(4) ,2

IV °(2) IV В + АВ IV А + в'

Щъ = -747> 43 = —7—> 53 - —7Ч\--передачи де-

п(3)

П(Ъ)

рева с7У=3,

1 В

^44 = —ртт, =—— - передачи дерева с N=2,

(^55 = 1 - передача дерева с №1.

^О—1-—О'

* о

V»

5 о■

V,,

-о-

V,,

- 0й—о

5 О^-

г Ой-5 О^

Рис. 6. Дерево вычислений сигнала Рис. 7. Дерево вычислений сигнала

г.т+1

гт+1

С использованием этих формул реализована программа автоматизированного решения задачи теплопроводности при пятиточечной схеме аппроксимации уравнения для частного случая N=5.

В результате экспериментальных исследовании сделаны следующие

выводы:

- пятиточечная схема аппроксимации приводит к значительному повышеншо точности вычислений (в десятки раз) по сравнению с методом прогонки или символьно-численным методом;

- пятиточечная схема аппроксимации при использовании символьно-численных методов не приводит к заметному росту вычислительных затрат, что связано с разделением процедур на символьные и численные;

- в связи с отсутствием условий старта при пятиточечной схеме аппроксимации на каждом шаге по времени требуется проведение дополнительных процедур, усложняющих реализацию алгоритма автоматизированного формирования дерева вычислений;

- при пятиточечной схеме аппроксимации структура графа приобретает более сложный вид. что затрудняет поиск формул для передач ветвей дерева вычислений в общем виде.

В главе 3 разработан базовый алгоритм решения уравнения теплопроводности символьно-численным методом с использованием пятиточечной схемы аппроксимации. Поиск прямого решения в символьном виде системы алгебраических уравнений при пятиточечной схеме аппроксимации возможен по двум направлениям. Во-первых, можно искать алгоритм генерирования формул определителей графа для произвольного числа слоев пластины. Этот путь связан с необходимостью использования громоздких формул и чрезвычайной сложностью алгоритма поиска прямого решения в общем виде. Во-вторых, можно ограничиться формулами прямого решения для N=10 с последующим применением итерационных алгоритмов. В данной работе для исследования выбран второй вариант,

На первом этапе выявлены типовые структуры контуров первого порядка (базовых подграфов в виде замкнутых контуров с ветвями А и Я). Для графа с N= 10 выявлено 20 базовых подграфов. В связи с симметрией исходного графа часть подграфов имеет одинаковые передачи (одинаковые произведения передач ветвей подграфа). Подобные структуры предложено объединить и рассматривать как единый типовой подграф. Пример подобных зеркальных подграфов показан на рис. 8.

В итоге в исходном графе выделено 10 базовых подграфов КТ1, КТ2, ...,КТ10. Их анализ позволил вывести для любого числа N формулу суммы передач контуров первого порядка:

(N-l)lÍ2 + (N-2)A2 + 2AB¡(N-2) + (N-3)A + + (N-\)Al +(N-5)Л3 +(N-6)A4 +...+AN~3 /.

(ID

А

<А

Рис. 8. Контуры типа КТ4

Был проведен анализ всех контуров второго порядка с базовым подграфом типа КТ1 (табл. 1). Эта таблица отражает все возможные сочетания некасающихся пар контуров вида КТ1-КТ1, КТ1-КТ2, КТ1-КТЗ, КТ1-КТ4, КТ1-КТ5, КТ1-КТ6, КТ1-КТ7, КТ1-КТ8, КТ1-КГГ9, КТ1-КТ10.

Затем были выявлены все возможные сочетания некасающихся пар кошуров типа КТ2-КТ2, КТ2-КТЗ, ...,КТ2-КТ10. Аналогичные процедуры проведены с контурами типа КТЗ, КТ4, ..., КТ10.

Далее был проведек анализ всех возможных вариантов некасания контуров первого порядка типа КТ1, КТ2, .... КТ10 в сочетании по три, по четыре и по пять (для N=10 предельными являются контуры пятого порядка). В итоге получено 15 таблиц, подобных табл. 1.

На основе структурного анализа выражений в этих таблицах получен свод формул сумм передач контуров /-го порядка (табл. 2), где я - число внутренних узлов исходного или редуцированного графа. Интегрированная таблица содержит информацию, достаточную для вывода закона генерирования слагаемых формул передач кошуров /-го порядка для любого числа N. Это позволяет утверждать, что формула определителя нормированного графа с произвольным числом N может быть записана в виде

Очевидно, что /1=2, 3, ..., N. Из табл.2 следует, что для четного N предельное значение /=N/2, а для нечетного N 1=(№\)/1.

(12)

Таблица 1. Суммы передач контуров второго порядка с базовым подграфом КТ1

Количество Передачи контуров второго порядка, включающих в себя подграф

узлов КТ1 и подграфы

КТ1 КТ2 КТЗ КТ4 КТ5 КТб КТ7 КТ8

4 В4

5 ЗВ4 В2Л2 21?Л

6 6 в4 31}2А2 гв*А2

7 юл4 6В2Л2 12 В*А 6 В4Л2 21?Л1

8 15 Л4 10 В2А2 207^/1 \21?Л2 6/?Л3 2 В*А4

9 21Д4 \5В2А2 30/Л1 2(Ш*/12 12 В4А3 6В4А4 гя4^5

10 28В4 21 «VI2 42В4/* ЗОВ'А7 20¡?ЛЪ МВ4А4 6 В4А5 2 В1 А6

На втором этапе разработки символьно-численного метода была решена задача поиска алгоритмов генерирования формул передач прямых путей от внешних узлов к конкретному внутреннему узлу исходного графа. Был проведен анализ структуры подграфов всех прямых путей в исходном нормированном графе с ЛГ=Ю и выделено восемь блоков формул - /<", //, С, Е, Л. М, N.

Структурный анализ формул этих блоков было предложено проводить в функции разности индексов (&-Л, где к - номер внешнего узла исходного или редуцированного нормированного графа. Выделено 43 подблока с одинаковыми алгоритмами генерирования формул. В этих подблоках элементами формул являются передачи ветвей исходного графа А и В, определители вида /Ул), а также вспомогательные определители:

(13)

о/1 Д3<'Чо2(,>-Л2

п212Ч) П^П^-А2

/V3 =[)0)-А20(2\ (3)^2^(3).

=П{4)-А71Р\ 1>214>=п (4,-Л2/)(4);

о? =П(5)-А2П(4>\ л/Чо (5,^(5).

о?

/V7 =О(1)-А2О'6\

1)/° = 1.

of

II С

II

ta и

э

Си

о

а &

р

о «

H.

и с

гч сэ

H

"'l Т 3 N «j

■ - +- +

+ +

vd +

аз

«■ч

03 03 -т

т

+ О ft

t "Г.,

Г-1 -Т 40

«

Ъ) "«3 аз g

<N Т О V

+ + + т -г -т| -г '

'¿3 К) 'éq '¿з о

гч т \о оо —•

_+

vu "¿з '¿а '¿з '¿з 'аз

N <П "Т 'П О

II II

со аз

3 2

'О -о' ®

са е- аз

ÍN -У V

+ + ^

»V -Г" TT-'-

* S

т ю +

,+ 7

t аз

аз 2

S « +

i -г

¡33 О 2

оо — —

г+ с+ г+ ^

"¿3 "¿5 5

О M 2

II II <N m

Il II VO Г-

ûq 03

с-» -r

T +" аз аз

r- 00 Il II 00 o\

H U, 14 UU U X4 14 14 ¡4

-n -r -T<

H T t<

+ + +

••o H T ^

аз «5

-r

y^T; -r "¿3 03 "¿3

-r <~l T

, —' <4

_+■ + +

H -r

r-t ' i-J '

aq aq

-r o) ^ «

ssí

+ T

+

S3 03

t o <^1 -r

J- +

fio «3

o o

-r 'O

+ +

СЧ S3

O

m -r

+ +

^ 03

M o

o ¥

+ + -r

T "Л ад

Ъз ïq ю

41 со "

+ + -i "t '-> -n «"Г"

ч; -i; -т; -г '

"5а «i §

(S Ю rl гч

—< r*^ —

+

+ + +

"í- ~ ~ • -г '

03 -г со о S

00 п т « 2

4- + + + X

± -г -Г -v^

<N

^ rr\ 'J-I ^

О О -г 'О •f- -I-

гл ^ — —

и il и и и V ¿

-г ЧО Г- 0О CS ~

Ti r ! H r i

1-м уЛ нА нй HQ (jí ÍA

^ о 'О

TI -r> -r 3

H vd H д

+ + + C-+

03

-r

+

"T _•

+ +

%

CJ ®

+. + +

®3

-r

■S

+ 'O +

« 4

О

+ +

sa аз

3 ,9

+ +

ea 3

-t ai 1' + t, -r

03 5

fi 5 о

- » n

+ + +

m Tí

S « ?9

<4 0 о

' + -T+-

<N

VO +

m

m '

+ +

tl T -o ' §

« ri M — r- —

+ + T?

-n T T '03 §

«'Sil ^

- -r 2 Я m

il H H и о ю мя о. ™ ri ^ ^ ri fi

>4

fo СТЧ + + +

T -T»

03 ^ ю I?

03 -г

«5 Ъз

со

-Ù

+ 7 n

<N

«

T 0 + ¥

T ~

00 2

T

■O 1—.

il A

í^í

т +

N

т*

^

m

+

■s

03

II

О

+

+

+

Структуры формул в выделенных подблоках сформированы таким образом, чтобы создать возможность генерировать блоки формул для произвольного числа N. Для подтверждения этого вывода ниже приведены формулы блока J и блока Е для исходного графа с А-10:

./п=/Л

Л9=1У]\ •Ло ю=и

(/><5:>-Ы (2><2)-Ь4 (2>(1 ,

132=Вфт+А (1)<6>+Л (1)(>)+А ф(А)Ы ф0)Ыф(2)Ы ф(] 4-4))))))),

=Вф^+А Ф0}+А ф^+А Ф0)+ЛФ(2)+ЛФ° ]+Л)))))), 1ы=Вф0)+А ф^+Аф0)+А ф(2)+А <й(0-М))))), ^=Вф(4)+Аф0)+Аф(2)+Аф0)+АШ

.Г1е=Вф0]+А (Ва]+А (П( 1 ]+А))), ^=Вф(2)+Аф^+А)\ •Л*=Вф0)+АХ

J1 09=В\

731 =«2(2>0)+Л(7)(б:1+Л(У)С5)Ы(/)(',)+-Л(/)(3)+-Л(/)(2)+Л(/)(|)+/<))))))), (14)

(/Я+Л Ф'а)+А фтЫ фтЫ фа )))))), А)=В2Ф(5)+А Ш(4)+А Ф0)+А Фа)+А (/)(0+Л))))), Л4=В2ф(А)+А Ф0)+А ф(2>+А Фт+А)))), /,5 Ч12Ф0)+А фа)+А ф'л ]+А))), /№=В2Ф(2]+АФ(>)+А)1 191=В2Ф0)+А\ ■7\т=В ;

1^Въфп+Аф{5)+Аф{А)+Аф{3)+Афа)+Афт+Ат)\

/ъ^ф^+Аф^+Аф^+Аф^+Аф^+АШ),

^ъ=Въф{л)+Аф0)+Афт+Аф{1ЧА))%

Ьа=ВъФ0)+АФ{2)+АФ{Х)+А))),

и=В\Оа]+Аф,г>Ы)\

/9ь=в3ф0)+А),

•/ю?=й3;

^=В4ф{ЧАфт+Аф0)+АфтЫф0)+А))))), ^2=П\1)'а]+АФП)+Л ф(2)+А ф(Х Ча )))),

У7з=Н\1Р)±А(1)т+Аф{Х)+А))), АВ{2)+А№(1)+А)),

Л, =1?(О'а>+А{П">+А(О'-+А0Л)+А)))), /12=1^(1)!У>+А(0!2>+А(Пл}+А))), Л,=вЧпа)+Аф{1)+А)),

Л^/гцЯ+Л),

/|05=й5.

■=1Гф(3)+Л (П(2)+Л (П(1>+А))), /82=Я^2)+Л<£>(,)+Л)),

У1 ги=л

Л,=П\1)С2)+Лф°>+Л)),

Лп=1}7фа)+л\

•Л 01=0":

Е,2=Я А £ЧМ Л,'51 £•,-,,=Л Еп,=А П^ Е,,~А Д,,2)

-,(2),

1(1).

(5)

(3) (2)'

£7э=/Г Д2

е84=Л2 Я2

(0)

Е^А31Ь(2\ Ещ-А3 />з(",

= лЗ п.(0)

(15)

(0)

Наконец, в работе доказано, что использование идеи выделения восьми блоков формул позволяет формировать алгоритм генерирования символьных выражении передач ветвей деревьев вычислений для исходного графа с любым числом N. Этот вывод подтверждается структурой нижеприведенных формул (16) передач ветвей деревьев вычислений для графа с N=10.

+/Ч,+6\, +#51 +£М УД" 0),

=( Д, +Гя,+<7«, +яй1 +/,«)///'0),

ИЛ, ^71+£,7.)//)(,н)(

îï

00 Ch

KJ sj

+ +

Sift tt5 ££ +

+ + fes +

«

+ + с

^ -f 5

if if 'L af if sf

0\ Q

S к 1N

S S [Ц tí' iSít t,

(N • Il Il II II

¿T ^ bsT

cT

Cv fN c\ CM ""S». . 00 5 bq !

ьч ' 00 4 СЛ

. + 4- + +

. + + + +

r о

+ + + +

r r OG fe ft, ÍC

+ + + +

M Il II и

¿ГьГ

Ь5

+

tN

О §

+

+ s

г-

SO * "m

S 5 ^

.2 X +

+ 92- S- fei fe

gq q 7 + X.I?

ç ^

00 <X> «<ч

£ J

"r 4-f""> c\ 'I.

_ r- 00 C^ ^ ^ <

+ + + i

г. tn m j 00 . о •+-

Í35 ÖS Й; g

+ + + ci"

П Л W NJ

S Ci tf t,

+ + + ,2 fi № w N . .

к fe, к + о D

+ + + с Q Q

. Г- 00 . C\ ^ ~

4 ^ s;

Il II

__________4

il" и и и и и 'U h" ii' T

О fi f*> fl П О T T

+ \T

tC

+

Ь4

. +

£

. "t

00 +

£ +

^ - +

S S

~ -t ^ J

+ X

5 iO

4- S. £ Ш

+ SC) C) +

- S" - ^ J5

л ^ of s

ru + ^ ЙЗ s

U-l lr,

„ oc _ cri

ü (i

+ +

un 1Л «

+ +

и ii

S 4 3

Il II II

"t. a

+ a

2 9

Il II

+ о

a +

S i

S"« ?

^ T. r — , « Л N ,

û la I£ + s i

Cî + + S О CJ

^ ^t ^ f ^

IL iL iL 'Sc II "

'U ii и и и !i

4ой

Г97=(/91+£-97)А0,4), сг+Ет)/Я0Х.

Таким образом, в главе 3 разработан новый символьный метод построения формул прямого вычисления сигналов в узлах нормированного графа при шггиточечной схеме аппроксимации исходной модели теплопроводности.

Был проведен численный эксперимент с использованием приведенного алгоритма нахождения значений температур бесконечной пластины при ее нагреве. Расхождения в полученных результатах расчета при использовании метода Фурье (аналитический метод) и численно-символьных методов с разными порядками аппроксимации уравнения теплопроводности приведены на диаграммах (рис. 9).

Исходные данные эксперимента:

п = 10 - число внутренних слоев пластины;

7о=20 °С - начальная температура пластины;

Tgr\ =20 °С - температура одной из границ:

7Х'Г;= 1000 °с - температура второй границы;

а= 58.7 Вт/(м-К) - коэффициент теплопроводности.

В результате исследований сделаны следующие выводы:

- для исходной модели с N=10 доказано, что пятигочечная схема аппроксимации приводит к значительному повышению точности вычислений (в десятки раз) по сравнению с методом прогонки или символьно-численным методом, предложенным в гл.1 работы;

- наименьшая погрешность вычислений достигается при использовании схемы аппроксимации во временной области на основе шаблона Кранка-Николсона (схемы аппроксимации более высокого порядка в данной работе не рассматривались);

- разработанные символьно-численные методы позволяют легко переходить во _ временной области к схемам аппроксимации третьего и четвертого порядков путем простой замены форму л

Точка 2

I 1

Т' I Г1 1г(И|| Н| Н 1 г» I I

а)

Точка 4

— - ■ дельта т 4 кран* (5т )

• - - -де/ьта т 4 3-х тем — - -де/ыа т 4 кранк (Зт )

г N N

б)

Рис.9. Расхождения в результатах расчета значения температуры второго (а) и четвертого (б) слоев пластины при использовании метода Фурье и численно-символьных методов различной степени аппроксимации уравнения теплопроводности по пространству и времени

2 5

0 5

О

вычисления предыстории сигналов, но при этом усложняется процедура старта метода (требуется поэтапный переход от модели первого порядка к моделям более высокого порядка);

- полученное дерево вычислении для исходной модели с N=10 может служить базовым модулем для организации итерационных вычислений в многопроцессорных системах.

В главе 4 разработаны комбинированные алгоритмы решения уравнения теплопроводности с использованием трех- и пятиточечной схем аппроксимации и итерационных процедур. Алгоритмы ориентированы на транспьютерные вычислительные системы.

В алгоритме 1 исходная пластина разбивается на К областей, по числу процессоров. Каждая из них, в свою очередь, имеет N слоев, что соответствует количеству внутренних узлов графа (всего получается К графов). Процессоры соединяют по схеме "труба". Каждый процессор, за исключением первого и последнего, может контактировать(получать и передавать данные) только с двумя своими соседями. Процессор 1 имеет связь только с процессором 2, а К-й процессор - с (К-1)-м.

На первом этапе генерируются формулы для прямого вычисления сигналов во внутренних узлах каждого из графов в соответствии с трехточечной схемой аппроксимации уравнения теплопроводности, а также вычисляются значения передач контуров и передач ветвей "деревьев". Непосредственное вычисление температур начинается с последнего процессора (условия для старта счета есть только в этом процессоре). При этом необходимо отметить, что соседние области, обслуживающиеся различными процессорами, делаются частично перекрывающимися. Берется перекрытие в два узла, т.е. имеют место равенства

^ дг-1 'Р ~ ' 1 'Р+1>

) р - ('2 Ур+1.

где N -номер последнего узла из зоны действия процессора с номером р.

Таким образом на границе между двумя процессорами с номерами р и р+-1 выполняется неразрывность производной дГ / Эл: и сохраняется тепловой поток

Алгоритмически выполнение этого условия достигается тем, что из процессора с номером р значение температуры (ЛЧ)-го узла пересылается в первый узел процессора с номером р+1, а значение температуры, найденное во вто-

ром узле (/)+1)-го процессора, получает последи»!! узел процессора с номером р, т.е.

>Р^(1\ 'р+1 > /7./и+1 I , /тт+1 1

' N р 2 Р+Х'

В алгоритме 2 вьщелены три блока: символьный блок для трехточечной схемы аппроксимации, символьный блок для пятиточечной схемы аппроксимации и численный блок.

Исходная пластина разбивается на М слоев, что соответствует М внутренним узлам основного графа.

В первом символьном блоке генерируются формулы в соответствии с трехточечной схемой аппроксимации для прямого вычисления сигналов в узлах со следующими номерами: 1, 12,13, 24,25, 36,37, ..., М. Номера этой последовательности определены двумя факторами. Во-первых, подграф для пятиточечной схемы аппроксимации содержит 10 узлов (в предыдущем алго-ргггме это Ы). Во-вторых, для пятиточечной схемы требуется знание сигналов в двух крайних узлах с каждой стороны анализируемого графа.

Во втором символьном блоке генерируются формулы в соответствии с пятиточечной схемой аппроксимации для прямого вычисления сигналов в узлах подграфа с десятью внутренними узлами.

В численном блоке:

1) Вычисляются сигналы в узлах 1, 12,13, 24,25, 36,37,..., М при трехточечной схеме аппроксимации. Эти сигналы эквивалентны спаренным граничным условиям для подграфов с числом узлов 10 при пятиточечной схеме аппроксимации.

2) На параллсльпьгх процессорах вычисляются сигналы в узлах 2-11; 14-23; 26-27;... ; Л/-1 при пятиточечной схеме аппроксимации, то есть в узлах подграфов первой группы.

3) На параллельных процессорах вычисляются сигналы в узлах подграфов второй группы при шггиточечной схеме аппроксимации, то есть в узлах 8-17; 20-29; 32-41; (М-1)-(М-\6). На этом этапе в качестве граничных условий используются сигналы подграфов первой группы, то есть сигналы в узлах 6,7; 18,19; 30,31; ... ...; (Л/-6), (М-7).

4) На параллельных процессорах вычисляются сигналы в узлах подграфов первой группы при пятиточечной схеме аппроксимации, то есть в узлах 2-11; 14-23; 26-27; ... ; М-1. На этом этапе в качестве граничных условий используются сигналы подграфов второй группы, то есть сигналы в узлах 6,7; 18,19; 30,31; ... ; (М-6), (М-7), полученные в пункте 3. Вычисляется разность значений

сигналов в одноименных узлах подграфов первой группы двух последних вычислительных циклов. Если эта разность не превышает заданного значения точности, то перемещаемся на один шаг по времени и начинаем с пункта 1. В противном случае переходим к пункту 3. Количество итераций ограничивается традиционными способами.

Алгоритм 3 реализован по принципу "одна точка одномерного пространства - один процессор'. Процессоры в этом случае соединялись каждый с каждьш.

Разработанные алгоритмы реализованы в трех вариантах:

- на однопроцессорном компьютере;

- на имитаторе многопроцессорных вычислительных систем;

- на вычислительном комплексе, в состав которого входят два ускорителя Power Xplorer, содержащие 8 параллельно работающих процессоров Power РС-601.

Результаты исследований этой главы позволяют сделать следующие

выводы:

- новые вычислительные алгоритмы для многопроцессорных вычислительных систем с применением символьных преобразований обладают значительно большей эффективностью по сравнению с традиционными методами прогонки (повышение скорости вычислений в 10М раз, где М - количество процессоров) при практически одинаковой точности вычислений;

- дальнейшее повышение эффективности и практической ценности символьно-численных алгоритмов потребует разработки новых символьно-численных шаблонов для двумерного и трехмерного пространств.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие основные результа-

ты:

1) Разработаны символьно-численные методы, позволяющие с меньшими вычислительными затратами решать комплекс задач механики сплошных сред, процессы в которых описываются с помощью ряда уравнений:

- уравнения Пуассона.

- уравнения Лапласа,

- уравнения теплопереноса при наличии внутреннего источника и движении среды.

- уравнения массопереноса при наличии внутреннего источника н движении срсды.

Эффективность методов связана с автоматизированным символьным преобразованием исходной модели в дерево вычислений, позволяющим находить прямое решение для любой точки исследуемого объекта. Новые методы не требуют характерных для известного метода прогонки прямого ч обратного ходов.

2) Разработан алгоритм автоматизированного преобразования графа с контурами, эквивалентного алгебраизированнон на основе трехточечной схемы аппроксимации модели задачи теплопроводности в виде системы из N уравнений, в дерево вычислений для любого числа слоев исследуемой пластины.

3) Разработан алгоритм автоматизированного преобразования графа с контурами, эквивалентного алгебраизированнои на основе пятн-точечной схемы аппроксимации модели задачи теплопроводности в виде системы из десяти уравнении, в дерево вычислений. Практическая ценность этого алгоритма достигается только в итерационных алгоритмах или в сочетании с символьно-численным методом для трехточечнон схемы аппроксимации.

4) Разработаны и программно реализованы алгоритмы автоматизированного решения задачи теплопроводности в качестве модельной задачи механики сплошных сред для восьмипроцессорной вычислительной системы. Подтверждена эффективность применения символьных преобразований моделей при параллельных вычислениях.

5) Дальнейшее развитие работы представляется перспективным в следующих направлениях:

- расширение сферы применения символьно-численных алгоритмов для новых моделей сплошных сред;

- оптимизация базового варианта символьно-численного метода путем сокращения вычислительных операций на символьных этапах алгоритмов автоматизированного моделирования (изменение очередности вычисления сигналов, хранение символьных выражений во внешней памяти и др. );

- развитие символьно-численных методов решения задач механики сплошных сред на многопроцессорных вычислительных системах путем создания новых двумерных и трехмерных шаблонов формул для прямого вычисления сигналов.

Содержание диссертации отражено в следующих основных публикациях:

1. Кадамцева Г.Г. К построению обучающих программ для параллельных компьютеров// Тезисы докладов Международной конференции-выставки "Информационные технологии в непрерывном образовании"/ Петрозав. гос. ун-т. - Петрозаводск, 1995,- С. 107.

2. Кадамцева Г.Г.. Нуждин В. Н., Ясинский Ф.Н. Численное моделирование процессов при сжигании топлива // Изв. вузов. Технология текстильной промышленности.- 1996.- № 5. - С. 97. (Тез. докл. на Международном симпозиуме "Математическое моделирование экологических процессов"),

3. Автоматизация моделирования процесса теплопроводности на основе символьно-численного метода: Метод, указания / Иван. гос. энерг. ун-т; Сост. Г.Г. Кадамцева,-Иваново, 1997.-24 с.

Подписано в печать 15.05.97. Формат 60x84 1/16. Печать плоская. Усл. печ. л. 1, 39. Тираж 100 экз. Заказ 101 ИГЭУ. 153003 Иваново, ул. Рабфаковская, 34.