автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Приближенная модель исследования динамических систем с полилинейной правой частью

На правах рукописи

005011166

КИРИЧЕНКО Михаил Александрович

ПРИБЛИЖЕННАЯ МОДЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОЛИЛИНЕЙНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж 2011

005011166

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и информатика» федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» (ФГБОУ ВПО «ТГТУ»).

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита диссертации состоится 27 декабря 2011 г. в 13 ч 30 мин на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 в ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет инженерных технологий» (ВГУИТ) по адресу: 394036, г. Воронеж, проспект Революции, 19, конференц-зал.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью учреждения, просим направлять в адрес ФГБОУ ВПО «ВГУИТ».

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «ВГУИТ».

Автореферат размещен на официальном сайте Министерства образования и науки http://mon.gov.ru и официальном сайте ФГБОУ ВПО «ВГУИТ» http://www.vgta.vrn.ru.

Автореферат разослан 25 ноября 2011 г.

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Дзюба Сергей Михайлович (ФГБОУ ВПО «ТГТУ»)

доцент

Провоторов Вячеслав Васильевич (ФГБОУ ВПО «ВГУ»)

доктор физико-математических наук, профессор

Жуковский Евгений Семёнович (ФГБОУ ВПО «ТГУ им. Г.Р. Державина»)

Ведущая организация

Учреждение Российской академии наук Институт системного анализа

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Системы с полилинейной правой частью представляют большой интерес, так как многие модели процессов физической, технической, экономической природы описываются именно такими моделями. Более того, все странные аттракторы, найденные на данный момент, являются именно такими системами.

В настоящее время для построения решений подобных систем используются стандартные методы численного анализа, не учитывающие конкретный вид правой части системы. Более того, стандартные методы численного анализа не могут быть применимы для построения решения на большом промежутке времени вследствие накопления систематической ошибки. Таким образом, использовать это решение для точного исследования невозможно. Поэтому выводы, построенные на основе численных экспериментов для систем с полилинейной правой частью, зачастую содержат неточности.

Возникает проблема построения приближенной модели исследования динамических систем с полилинейной правой частью. Под моделью исследования будем понимать дискретную динамическую систему вдоль решений динамических систем с полилинейной правой частью. Конкретный вид правых частей подобных систем позволяет применять к ним процедуру символьного интегрирования, избегая при этом численных методов интегрирования и округления вещественных чисел, а следовательно, и ошибки вычислений. Более того, алгоритм построения приближенной модели исследования позволит производить вычисления в распределенной компьютерной среде, что повышает эффективность алгоритма.

В качестве примеров систем с полилинейной правой частью рассматриваются две системы: система Лоренца и модель экономики H.A. Магницкого.

Система Лоренца описывает модель конвекции в плоском слое жидкости. Лоренц считал, что в этой системе имеется счетное всюду плотное множество седловых предельных циклов. Однако, насколько нам известно, строго существование циклов в системе Лоренца не доказано. При этом традиционные численные методы, используемые для интегрирования системы Лоренца, дают значительные систематические ошибки вследствие неустойчивости решений.

Экономическая модель H.A. Магницкого описывает движение капитала и спроса под воздействием норм прибыли в условиях саморазви-вающейся рыночной среды. Существует гипотеза о наличии в данной системе сложных аттракторов.

В настоящее время отсутствуют примеры диссипативных систем, в которых строго доказывается существование странных (хаотических, ги-

перболических и т.д.) аттракторов. Сказанное в полной мере относится и к системе Лоренца и к системе экономики H.A. Магницкого. Поэтому проблема разработки приближенной модели исследования динамических систем с полилинейной правой частью в символьном виде с заданной точностью в распределенной компьютерной среде является актуальной. Более того, существующие стандартные методы численного анализа дают большие систематические ошибки при построении решений подобных систем.

Целью работы является построение приближенной модели исследования динамических систем с полилинейной правой частью в символьном виде с заданной точностью в распределенной компьютерной среде; разработка численного метода, алгоритма и комплекса программ для построения приближенной модели и решений; исследование системы Лоренца и модели экономики H.A. Магницкого. Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи:

1. Разработать модель исследования динамических систем с полилинейной правой частью в символьном виде.

2. Разработать численный метод и алгоритм символьного построения приближенной модели исследования динамических систем с полилинейной правой частью с заданной точностью.

3. Разработать комплекс программ, реализующий предложенный алгоритм построения приближенной модели исследования в распределенной компьютерной среде.

4. Исследовать структуру аттрактора в системе Лоренца.

5. Исследовать структуру системы экономики H.A. Магницкого.

Методы исследования. В работе использованы методы качественной теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики и моделирования, теории алгоритмов, а также методы символьных вычислений и вычислений в распределенной компьютерной среде.

Научная новизна:

1. Разработана модель исследования динамических систем с полилинейной правой частью, отличающаяся возможностью построения точного решения в символьном виде.

2. Разработан численный метод и алгоритм символьного построения приближенной модели исследования, отличающийся возможностью с любой заданной точностью получать решения динамических систем с полилинейной правой частью.

3. Разработан комплекс программ, реализующий предложенный алгоритм построения приближенной модели исследования, отличающийся возможностью проводить вычисления в распределенной компьютерной среде.

4. Показано, что в аттракторе системы Лоренца не содержится счетного всюду плотного множества седловых предельных циклов.

5. Показано, что в системе экономики Н.А. Магницкого отсутствуют сложные аттракторы.

Практическая значимость. Предложенные алгоритмы и комплекс программ позволяют символьно строить приближенные модели исследования динамических систем с полилинейной правой частью с заданной точностью в распределенной компьютерной среде. Также предложенные алгоритмы могут быть использованы для построения приближенной модели исследования систем с правой частью в виде многомерного многочлена.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на международных конференциях «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления» (г. Тамбов, 2011 г.) и «Современные методы прикладной математики, теории управления и математического моделирования» (г. Воронеж, 2011 г.), а также на XV научной конференции ТГТУ «Фундаментальные и прикладные исследования, инновационные технологии, профессиональное образование» (г. Тамбов, 2010 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ, из которых 2 в изданиях, рекомендуемых ВАК, и 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Материал диссертации изложен на 92 страницах машинописного текста. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения, содержит 19 рисунков и 2 таблицы . Список литературы состоит из 81 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, определены научная новизна и практическая значимость.

В первой главе рассматриваются динамические модели с полилинейной правой частью. Модель системы с полилинейной правой частью имеет вид

*1 = «(),! + al,lxl + «1,2 Х2 + • • • + а[пХп + а2,\х\х2 +■■■ +

+ °2,С„2 Хп-1Хп + • '• '• '+ ап. 1*1*2 •••*„;

.... (1)

хп = <1 + <1*1 + ai*2X2 Н-!" а1,пхп + а2,1х\х2 4-^

^ а2,С%Хп~1Хп ^ ^ап,\х\х2 хп>

где a‘Jtk - некоторые коэффициенты; С” - nl/(ml (n ~ т)1).

В качестве примеров таких систем в первой главе рассматриваются система Лоренца и система экономики H.A. Магницкого, которые используются для иллюстрации численных методов, описанных во второй и третьей главах.

В начале первой главы рассматривается задача о конвекции в слое жидкости, приводящая к системе Лоренца. Дается постановка задачи о свободной конвекции в плоском слое жидкости. Впервые такая задача была опубликована в работе Э. Лоренца при описании атмосферных процессов. Данная задача может быть приведена к системе трех обыкновенных дифференциальных уравнений:

*1 =<*(*2 -;ci);

• х2 =гх1 -х2 -хxjc3; х3 - х{х2 -Ъхз,

где (Т,, г и Ъ — положительные числа, параметры системы. При этом x{(t) - функция безразмерного времени t, характеризующая скорости vx и vy; функции х2(/) и х3(/) отвечают за распределение температуры.

В системе Лоренца при классических значениях параметров существует притягивающее множество Al (аттрактор Лоренца), к которому стремятся все траектории системы при t —> о«. Считается, что в Al имеется счетное всюду плотное множество седловых предельных циклов и устойчивое экспоненциальное разбегание траекторий, но насколько нам известно, это утверждение строго не доказано и основано на численных экспериментах.

Далее рассматривается модель процессов изменения движения капитала и спроса под воздействием норм прибыли в условиях самораз-вивающейся рыночной экономики, введенная H.A. Магницким. Существует гипотеза о наличии в данной системе сложных аттракторов.

х = bx(( 1 — g)z 8у);

• _y = x(l-(l-8).y + oz); z = a(y-dx).

Рассматриваются теоремы существования периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений и приводится классификация периодических и близких к ним решений. Поскольку пост-

роить в явном виде периодическое или близкое к нему решение в общем случае невозможно, рассматриваются численные методы построения решений. Выявлены недостатки традиционных численных методов, применяемых для исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Оказалось, что традиционные методы не пригодны из-за накопления значительной систематической ошибки, так как траектории многих систем дифференциальных уравнений разбегаются. Например, траектории системы Лоренца при классических значениях ее параметров а = 10, г = 28 и ¿ = 8/3, соответствующих турбулентному режиму течения жидкости.

Во второй главе вводится понятие дискретных динамических систем вдоль решений динамических систем вида (1). Пусть U - непрерывное отображение пространства R" в себя. Семейство отображений UN называется дискретной динамической системой. При этом, если х — некоторая точка множества Rn, то под траекторией у(х), исходящей из х, понимается множество точек

х, Ux, ..., UNx, ...

Пусть теперь g‘р - движение в динамической системе (1). Тогда дискретной динамической системой вдоль движения g‘p системы (1) будем называть семейство отображений gNr, определяющее положения системы (1) в дискретные моменты времени NT:

gNTp, N— 0, ±1, ±2, ...

Под моделью исследования будем понимать аналитическую форму дискретной динамической системы вдоль решений системы (1). Строить модель исследования будем в виде оператора

8Тх0 = Hm gTNx0

N—><*>

eN

£лг+1*0 = x0 +^i^N,k(xo)Tk ’

о)?* ~ { f(§Nxо)^Т > i=l 0

где x0 = *(0).

Данная модель позволяет получить точное решение системы (1) в зависимости от начальных параметров, но использовать ее на практике не предоставляется возможным, так как в реальных расчетах необходимо взять конечное число итераций N. Поэтому мы будем строить приближенную модель исследования и, управляя параметром /V, будем задавать точность приближения к точной модели исследования.

Решается задача построения приближенной модели исследования динамических систем с полилинейной правой частью в символьном виде с заданной точностью в распределенной компьютерной среде. Для простоты представим систему (1) в виде

Рассматриваются локальные решения системы. Решение строится в некотором множестве

Поскольку множество £ компактно, найдется такое положительное число М, что для всех хе £ выполнено неравенство

Тогда может быть подобрано такое положительное число г, что будет выполняться неравенство

Приводятся итерационная формула алгоритма построения приближенной модели исследования систем (2)

при начальном условии х,(/) = х0 и доказательство сходимости данного алгоритма к решению системы (2) на некотором отрезке [—г, г].

(2)

(3)

о

при начальном условии

(4)

(5)

(6)

г <—. М

(7)

о

Приводится решение для N + 1 приближения:

0ДГ

*ЛЧ1 (*) = *о +Е^,Ид:о)(‘ ’

к=1

0лг I

-1 /(Хлг(т))^х’

к=1 О

где 0дг — некоторое натуральное число, зависящее лишь от вида формы Дхо)> а iv.it — соответствующие действительные векторные функции, определенные и непрерывные в точке я:0.

Можно сделать следующее замечание.

Замечание 1. Если форма / нелинейна, то, как легко видеть,

N

1ип — = 0

ЛГ->оо 0^

и, более того,

ит(0дг+1-еЛГ) = оо.

Лг—

Переходя к пределу при N —> получается представление

х(1) = х0+^(х0,1). (8)

Формулируется теорема о сходимости алгоритма.

Теорема 1. Предположим, что число а > 0, задано и для соответствующего ему числа М > 0 на множестве 2 выполнено неравенство

(б). Тогда для каждой точки х0 е Е существует такое положительное

число

т а

Т = м' <9)

что на каждом из отрезков [гх, г2] с [-Т, Т] решение х(1) системы (2) с начальным условием (4) может быть получено равномерно сходящимся алгоритмом (7). При этом на отрезке [-Г, Г] решение х(/) удовлетворяет равенству (8).

Далее приводится построение нелокального ограниченного решения. Пусть х(7) - некоторое решение системы (2) с начальным условием (4), определенное для всех значений (>0 и содержащееся при этих значениях I в множестве X, задаваемом равенством вида (5), в котором а - некоторое надлежащим образом подобранное положительное число. Тогда

найдется такое достаточно большое положительное число М, что при хе Е выполняется неравенство (6).

Зададим число Т по формуле (9). Тогда согласно теореме 1 решение х(0 удовлетворяет на отрезке [О, Г] равенству (8). При всех значениях

* >0 положим

хк(0=х(1 + (К-1)Т), К = 1,2,.... (10)

Каждая функция семейства (10) является решением системы (2), определенным для всех значений / > 0 и содержащимся при этих значениях I в множестве Е. В силу ограниченности решения х(1) число М может быть подобрано так, чтобы при выполнении условий

|х-^(0|<а, 1<Т, К = 1,2,...

было также выполнено неравенство (6). Если принять х0(Т) = х0, то в силу теоремы 1 при ? € [0, Г] имеем

хк(0 = хк-1 (Т) + £,(хк_1 (Т), /), К = 1,2,...

Тогда в качестве тривиального следствия теоремы 1 справедлива весьма важная для построения решений системы (2) следующая теорема.

Теорема 2. Для всех значений / е [0, Г] определенное выше решение

х(1) удовлетворяет условию

х{1 + (К- 1)Г) = х((К - 1)Г) + $(х((К - ш 0,

в котором К-1, 2,....

Замечание 2. Если х(г) - решение системы (2) при начальном условии (4), определенное для всех значений (<0 и содержащееся при этих значениях г в множестве Е, то при определенном выше числе Т на отрезке [-Т, 0] справедливо равенство

х{1 + (1 - К)Т) = х((1 - К)Т) + £,(х((1 - К)Т), 0,

в котором К = \,2,...

Мы можем построить дискретную динамическую систему вдоль решения системы (2), используя теорему 2:

х(КТ) = ^_^х0, К = 0,1,...

к

Для произвольного натурального числа N положим

0ДГ

8nxо -*o + У'Ак.к(хо)Тк,

k=1

определяя тем самым приближенную модель исследования. Критерием оценки приближения служит неравенство

\gTNx{KT)-gTN+lx{KT)\<z,

где е - необходимая точность приближения.

В конце второй главы приведена разработка комплекса программ, реализующих предложенный алгоритм построения приближенной модели исследования в символьном виде с заданной точностью в распределенной компьютерной среде. Применение символьных вычислений в данном случае предполагает последовательное применение итерационной формулы к символьному представлению системы дифференциальных уравнений. Для решения этой задачи предложено хранить символьные выражения правой части системы и ее приближения к решению в сетевой базе данных MySQL. Отметим, что вычисления очередного шага приближения к решению системы зависит только от значений на предыдущих шагах. Таким образом, вычисления могут быть распараллелены по уравнениям системы. Для распараллеливания вычисления используется свободный пакет МР1СН. Каждый компьютер распределенной среды рассчитывает очередной шаг приближения к решению своего уравнения с помощью пакета символьных вычислений Maxima, записывает результаты в сетевую базу данных, после чего все процессы синхронизируются между собой. Так же при расчетах Maxima не производит преобразования чисел в вещественный тип, а следовательно, не производит усечение чисел. Схема работы комплекса программ представлена на рис. 1. Для представления символьного выражения вводятся обозначения: s{i}_{y} -приближение к решению, где г - номер неизвестной функции, i = 0,..., и -1, п - порядок системы, j - шаг приближения поиска решения; ^{г'}_0 -начальное приближение к решению; f{i} - символьная запись уравнения исходной системы. Для вычисления следующего шага построения приближенной модели исследования используется символьное выражение

■s{г} _{7 +1} = схрand(s{/}___{7}(0,хО,..., х{п}) + integmte(f{i}(g,sO_{j}(g,xO,..., х{п}),...,

•5{и>_{У}(^,л;0,..., х{и})),§,0,/));

Предложенный комплекс программ разработан для кластера Тамбовского государственного технического университета, получены соответствующие свидетельства о регистрации программ для ЭВМ.

Рис. 1. Схема работы программного комплекса

В третьей главе приводятся результаты исследования системы Лоренца и системы экономики H.A. Магницкого. Решения строились с помощью разработанного комплекса программ построения обобщеннопериодических решений нормальных систем дифференциальных уравнений с полилинейной правой частью в распределенной компьютерной среде. Данный комплекс реализует предложенную в работе модель исследования.

В начале третье главы исследуется система Лоренца при различных значениях ее параметров. Приводится доказательство ограниченности решений системы Лоренца.

XI

Рис. 2. Проекция на плоскость х1Ох1 дуги траектории, построенной на отрезке времени [0,5] для х01 =8,04578835, л:и = 12,10507112,

х03 =19,78118295 и Л* = 0,01

Вычисления показали, что гипотеза существования всюду плотного множества циклов в этой системе вызывает сомнения. Например, в некоторых случаях получалось, что для близких значений координат их производные значительно отличались. По результатам вычисления решений типа циклов в системе Лоренца обнаружено не было. Было обнаружено лишь возвращение траектории в окрестность начальной точки. Как показали вычисления, все типические траектории на аттракторе Лоренца представляют рекуррентные траектории. На рисунке 2 приведена типическая траектория системы Лоренца для некоторой начальной точки. Координаты возвращения траектории в окрестность начальной точки приведены в табл. 1.

1. Сведения о точках, лежащих в е-окрестности начальной точки для рис. 2

№ точки Время *1 х2 *3

1 0 8,045788 12,105071 19,781182

2 4,53 7,941682 11,987597 19,615421

3 14,46 7,867440 11,690085 20,019830

4 18,18 7,848753 11,737285 19,824758

№ точки Время *1 х2 ¿3

1 0 40,592827 54,021791 44,645018

2 4,53 40,459152 54,600057 42,893898

3 14,46 38,226446 51,093422 38,584833

4 18,18 38,885323 52,428169 39,257043

Проведено исследование, как изменяется со временем расстояние между двумя близкими начальными точками, выбранными вблизи аттрактора Лоренца. Вычисления показали, что траектории то сближаются, то расходятся, ставя под сомнение гипотезу об экспонен-

циальном разбегании траекторий (рис. 3). Этот факт подтверждает то, что система Лоренца навсегда погружается в компактное множество и никогда не покидает его.

і

Рис. 3. Эволюция расстояния между двумя траекториями на отрезке времени [0,14]

Проведенные нами вычисления позволили выявить ряд важных особенностей, не совпадающих с известной гипотезой о структуре аттрактора Лоренца при классических значениях параметров, в частности оказалась верна следующая теорема.

Теорема 3. На аттракторе в системе Лоренца отсутствует счетное всюду плотное множество седловых предельных циклов.

Далее в третьей главы рассмотрена модель экономики Н.А. Магницкого. Исследуются поведения системы при разных значения параметров. Вычисления показали, что гипотеза о наличии сложных аттракторов в данной системе не подтверждается. Все построенные решения либо имели цикл, либо были не ограниченными (рис. 4).

X

Рис. 4. Траектории системы экономики H.A. Магницкого при 5 = 0,05 и а = 0,05

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Построена модель исследования динамических систем с полилинейной правой частью, позволяющая получать точные решения подобных систем в символьном виде.

2. Разработан численный метод и алгоритм построения приближенной модели исследования, позволяющие с любой заданной точностью получать решения динамических систем с полилинейной правой частью.

3. Разработан комплекс программ, реализующий предложенный алгоритм построения приближенной модели исследования, позволяющий проводить вычисления в распределенной компьютерной среде.

4. Показано, что в аттракторе системы Лоренца не содержится счетного всюду плотного множества седловых предельных циклов.

5. Показано, что в системе экономики Н.А Магницкого отсутствуют сложные аттракторы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Кириченко, М.А. Построение оператора сдвига вдоль решений дифференциальных уравнений с использованием символьных вычислений [Текст] / М.А. Кириченко // Системы управления и информационные технологии. - 2010. - № 4(42). - С. 23 - 26.

2. Кириченко, М.А. О применении символьных вычислений для построения обобщенно периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с полилинейной правой частью [Текст] / М.А. Кириченко, H.A. Рубанов, Э.П. Агабекян // Вестник Тамбовского Университета. Сер. Естественные и технические науки. - Тамбов, 2011. -Т. 16,вып. 4.-С. 1095- 1099.

Статьи и материалы конференций

3. Кириченко, М.А. О построении оператора сдвига вдоль решений дифференциальных уравнений [Текст] / М.А. Кириченко // Проблемы ноо-сферной безопасности и устойчивого развития : сборник научных статей молодых ученых и студентов. - Тамбов : Изд-во ГОУ ВПО ТГТУ, 2010. -Вып. I.-C. 10-12.

4. Кириченко, М.А. О построении решений автономных систем с полилинейной правой частью [Текст] / М.А. Кириченко, H.A. Рубанов // Проблемы техногенной безопасности и устойчивого развития : сборник научных статей молодых ученых, аспирантов и студентов. - Тамбов : Изд-во ГОУ ВПО ТГТУ, 2011. - Вып. II. - С. 9 - 13.

5. Кириченко, М.А, Построение обобщенно периодических решений систем дифференциальных уравнений с использованием символьных вычислений в распределенной компьютерной среде [Электронный ресурс] // Труды XIII Российской конференции с участием иностранных ученых «Распределенные информационные и вычислительные ресурсы», 30 ноября-4 декабря 2010 г. - Новосибирск, 2010. - 1 CD-ROM. - № гос. регистрации 0321100051. - http://conf.nsc.ru/dicr2010/ru/participationview/ 31025.

6. Кириченко, М.А. Построение обобщенно-периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с полилинейной

правой частью [Текст] / М. А. Кириченко // Современные методы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2011): материалы IV Международной научной конференции. -Воронеж : Изд.-полиграф, центр Воронежского гос. ун-та, 2011. -С. 138-142.

7. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010612981. Символьное построение оператора сдвига по траекториям дифференциальных уравнений в распределенной компьютерной среде /М.А. Кириченко, А.Н. Пчелинцев. - 01.05.2010.

8. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011614060. Построение обобщенно-периодических решений дифференциальных уравнений методом последовательных приближений / М.А. Кириченко, А.Н. Пчелинцев, С.М. Дзюба, A.B. Пархоменко. -25.05.2011.

Подписано в печать 24.11.2011 Формат 60x84/16. 0,93 уел. печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № 519

Издательско-полиграфический центр ФГБОУ ВПО «ТГТУ» 392000, г. Тамбов, ул. Советская, д. 106, к. 14

Введение

1 Математические модели динамических систем с полилинейной правой частью и численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

§1 Модель Лоренца и задача о свободной конвекции в плоском слое жидкости

§2 Математическая модель процессов изменения движения капитала и спроса под воздействием норм прибыли.

§3 Обобщенно-периодические решения автономных и неавтономных систем дифференциальных уравнений.

§4 Классификация периодических и близких к ним решений систем дифференциальных уравнений.

§5 Численные методы построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений

2 Построение приближенной модели исследования

§1 Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных периодических системах.

§2 Построение решений систем дифференциальных уравнений с полилинейной правой частью.

§3 Построение приближенной модели исследования.

§4 Разработка программного комплекса.

3 Некоторые приложения

§1 Система Лоренца.

§2 Система экономики H.A. Магницкого.

Актуальность темы. Системы с полилинейной правой частью представляют большой интерес, так как многие модели процессов физической, технической, экономической природы описываются именно такими моделями. Более того, все странные аттракторы, найденные на данный момент, являются именно такими системами.

В настоящее время для построения решений подобных систем используются стандартные методы численного анализа, не учитывающие конкретный вид правой части. Более того, стандартные методы численного анализа не могут быть применимы для построения решения на большом промежутке времени вследствие накопления систематической ошибки. Таким образом, использовать это решение для точного исследования невозможно. Поэтому выводы, построенные на основе численных экспериментов для систем с полилинейной правой частью, зачастую содержат неточности.

Возникает проблема построения приближенной модели исследования динамических систем с полилинейной правой частью. Под моделью исследования будем понимать дискретно динамическую систему вдоль точных решений динамических систем с полилинейной правой частью. Конкретный вид правых частей подобных систем позволяет применять к ним процедуру символьного интегрирования, избегая при этом численных методов интегрирования и округления вещественных чисел, а следовательно, и ошибки вычислений. Более того алгоритм построения приближенной модели исследования позволит производить вычисления в распределенной компьютерной среде, что повышает эффективность алгоритма.

В качестве примеров систем с полилинейной правой частью рассматриваются две системы: система Лоренца [1] и экономическая модель H.A. Магницкого.

Система Лоренца описывает модель конвекции в плоском слое жидкости. Лоренц считал, что в этой системе имеется счетное всюду плотное множество седловых предельных циклов. Однако, насколько нам известно, строго существование циклов в системе Лоренца не доказано. При этом традиционные численные методы, используемые для интегрирования системы Лоренца (см., например, [2]), дают значительные систематические ошибки вследствие неустойчивости решений. В системе Лоренца имеет место ситуация типического поведения решений, задаваемых рекуррентными траекториями. Определение рекуррентной траектории, введенное Биркго-фом [3], не дает возможности численно ее построить. Однако, в последние 20 лет появились работы [4-10], в которых введено понятие обобщенно-периодического решения, описывающего рекуррентную траекторию. Теорема существования обобщенно-периодических решений позволяет получить численный метод их построения.

Экономическая модель H.A. Магницкого описывает движение капитала и спроса под воздействием норм прибыли в условиях саморазвивающейся рыночной среды. Существует гипотеза о наличии в данной системе сложных аттракторов.

В настоящее время отсутствуют примеры диссипативных систем в которых строго доказывается существование странных (хаотических, гиперболических и т.д.) аттракторов. Сказанное в полной мере относится и к системе Лоренца и к системе экономики H.A. Магницкого. Поэтому проблема разработки приближенной модели исследования динамических систем с полилинейной правой частью в символьном виде с заданной точностью в распределенной компьютерной среде является актуальной. Более того, существующие стандартные методы численного анализа дают большие систематические ошибки при построении решений подобных систем.

Целью работы является построение приближенной модели исследования динамических систем с полилинейной правой частью в символьном виде с заданной точностью в распределенной компьютерной среде; разработка численного метода, алгоритма и комплекса программ для построения приближенной модели и решений; исследование системы Лоренца и модели экономики H.A. Магницкого. Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи:

1. Разработать модель исследования динамических систем с полилинейной правой частью в символьном виде.

2. Разработать численный метод и алгоритм символьного построения приближенной модели исследования динамических систем с полилинейной правой частью с заданной точностью.

3. Разработать комплекс программ, реализующий предложенный алгоритм построения приближенной модели исследования в распределенной компьютерной среде.

4. Исследовать структуру аттрактора в системе Лоренца.

5. Исследовать структуру системы экономики H.A. Магницкого.

Методы исследования. В работе использованы методы качественной теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики и моделирования, теории алгоритмов, а также методы символьных вычислений и вычислений в распределенной компьютерной среде. Научная новизна:

1. Разработана модель исследования динамических систем с полилинейной правой частью, отличающаяся возможностью построения точного решения в символьном виде.

2. Разработан численный метод и алгоритм символьного построения приближенной модели исследования, отличающийся возможностью с любой заданной точностью получать решения динамических систем с полилинейной правой частью.

3. Разработан комплекс программ реализующий предложенный алгоритм построения приближенной модели исследования, отличающийся возможностью проводить вычисления в распределенной компьютерной среде.

4. Показано, что в аттракторе системы Лоренца не содержится счетного всюду плотного множества седловых предельных циклов.

5. Показано, что в системе экономики H.A. Магницкого отсутствуют сложные аттракторы.

Практическая значимость. Предложенные алгоритмы и комплекс программ позволяют строить приближенные модели исследования динамических систем с полилинейной правой частью в символьном виде с заданной точностью в распределенной компьютерной среде. Также предложенные алгоритмы могут быть использованы для построения приближенной модели исследования систем с правой частью в виде многомерного многочлена.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на международных конференциях «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления» (Тамбов 2011 г.) и «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования» (Воронеж 2011 г.), а также на XV научной конференции ТГТУ «Фундаментальные и прикладные исследования, инновационные технологии, профессиональное образование» (Тамбов 2010 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ, из которых 2 в изданиях, рекомендуемых ВАК, и 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Материал диссертации изложен на 92 страницах машинописного текста. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения, содержит 19 рисунков и 2 таблицы. Список литературы состоит из 81 наименования.

Заключение

В рамках настоящей диссертации получены следующие основные результаты:

1. Построена модель исследования динамических систем с полилинейной правой частью, позволяющая получать точные решения подобных систем в символьном виде.

2. Разработан численный метод и алгоритм построения приближенной модели исследования, позволяющий с любой заданной точностью получать решения динамических систем с полилинейной правой частью.

3. Разработан комплекс программ реализующий предложенный алгоритм построения приближенной модели исследования, позволяющий проводить вычисления в распределенной компьютерной среде.

4. Показано, что в аттракторе системы Лоренца не содержится счетного всюду плотного множества седловых предельных циклов.

5. Показано, что в системе экономики H.A. Магницкого отсутствуют сложные аттракторы.

1. Детерминированное непериодическое течение / Э. Лоренц // Странные аттракторы. - М.: Мир, 1981. - С. 88-116.

2. Магницкий, H.A. Новые методы хаотической динамики / H.A. Магницкий, С.В. Сидоров. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 320 с.

3. Биркгоф, Дж. Динамические системы / Дж. Биркгоф. М.-Л.: ОГИЗ, 1941. - 320 с.

4. Афанасьев, А.П. Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных периодических системах / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба. М.: Изд-во ЛКИ, 2007. - 240 с.

5. Афанасьев, А.П. Периодические и близкие к ним решения дифференциальных уравнений / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Труды VIII Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'09. М.: ИПУ РАН, 26-30 января 2009 г. - С. 45-56.

6. Афанасьев, А.П. К вопросам управления в периодических процессах / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Известия РАН. Теория и системы управления. 1998. - №4. - С. 15-20.

7. Афанасьев, А.П. Квазипериодические процессы в задачах управления / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. - №2. - С. 22-28.

8. Афанасьев, А.П. Периодический оператор сдвига и квазипериодические кривые / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Дифференциальные уравнения. 2004. - Т. 40, №10. - С. 1367-1372.

9. Афанасьев, А.П. Типическое поведение движений динамических и непрерывных периодических систем: новый взгляд на устойчивость по Пуассону / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба, А.П. Пьянов // Труды ИСА

10. РАН. Проблемы вычислений в распределенной среде: распределенные приложения, коммуникационные системы, математические модели и оптимизация. М.: КомКнига. - 2006. - Т. 25. - С. 147-164.

11. Дзюба, С.М. Об условно-периодических решениях дифференциальных уравнений /С.М. Дзюба // Дифференциальные уравнения. 1999. - Т. 35, №8. - С. 1020-1023.

12. Брукс, Т. Хаос в небе. Прогнозирование погоды / Т. Брукс // National Geographic. 2005. - №6. - С. 126-145.

13. Гилл, А. Динамика атмосферы и океана. Т. 2. / А. Гилл. М.: Мир, 1986. - 415 с.

14. Бакасов, A.A. Динамическая модель одномодового лазера. I. Режим устойчивой стационарной генерации / A.A. Бакасов // Теоретическая и математическая физика. 1991. - Т. 89, №2. - С. 278-292.

15. Безуглый, В.Ю. Численные методы теории конвективного тепломассообмена / В.Ю. Безуглый, Н.М. Беляев. Киев-Донецк: Вища школа, 1984. - 176 с.

16. Берковский, Б.М. Вычислительный эксперимент в конвекции / Б.М. Берковский, В.К. Полевиков. Минск: Университетское, 1988. - 167 с.

17. Джалурия, Й. Естественная конвекция: тепло- и массообмен / Й. Джа-лурия. М.: Мир, 1983. - 400 с.

18. Гершуни, Г.З. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий. М.: Наука, 1972. - 392 с.

19. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1986. - 736 с.

20. Канторович, A.B. Приближенные методы высшего анализа / A.B. Канторович, В.И. Крылов. M.-JL: Физматгиз, 1962. - 708 с.

21. Берже, П. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности / П. Берже, И. Помо, К. Видаль. М.: Мир, 1991. - 368 с.

22. Saltzman, В. Finite amplitude free convection as an initial value problem / B. Saltzman // Journal of the atmospheric science. 1962. - №7. - P. 329-341.

23. Кутателадзе, С.С. Анализ подобия в теплофизике / С.С. Кутателадзе.- Новосибирск: Наука, 1982. 280 с.

24. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч. М.: Мир, 1980. -616 с.

25. Гукенхеймер, Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 560 с.

26. Монин, A.C. Гидродинамическая неустойчивость / A.C. Монин // Успехи физических наук. 1986. - Т. 150, вып. 1. - С. 61-105.

27. Магницкий H.A. Математическая модель саморазвивающейся рыночной экономики / H.A. Магницкий // Труды ВНИИСИ, 1991. с. 16-22.

28. Магницкий H.A. Распределенная модель саморазвивающейся рыночной экономики / H.A. Магницкий, C.B. Сидоров // Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: под ред. C.B. Емельянова, С.К. Коровина.- М.: Физматлит, 2002. с.243-262.

29. Петров, A.A. Опыт математического моделирования экономики / A.A. Петров, И.Г. Поспелов, A.A. Шананин. М.: Энергоатомиздат, 1996. -554 с.

30. Петров, А. А. Об экономике языком математики / A.A. Петров. М.: ФАЗИС, 2003. - 112 с.

31. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Харт-ман. М. Мир, 1970. - 720 с.

32. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. М.: Наука, 1967. - 472 с.

33. Красносельский, М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Наука, 1966. - 332 с.

34. Browder, F.E. On a generalization of the Schauder fixed point theorem / F.E. Browder // Duke Math. 1959. - J. 26. - P. 291-303.

35. Рейсинг, P. Качественнаая теория нелинейных дифференциальных уравнений / Р. Рейсинг, Г. Сансоне, Р. Конти. М.: Наука, 1974. - 320 с.

36. Massera, J.L. The existence of periodic solutions of systems of differential equations / J.L. Massera // Duke Math. 1950. - J. 17. - P. 457-475.

37. Эрроусмит, Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями / Д. Эрроусмит, К. Плейс. М.: Мир, 1986. - 243 с.

38. Колмогоров, А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона /А.Н. Колмогоров // Доклады АН СССР. 1954. - Т. 35, №4. - С. 527-530.

39. Бор, Г. Почти периодические функции / Г. Бор. М.-Л.: Гостехиздат, 1934. - 128 с.

40. Массера, X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / X. Массера, X. Шеффер. М.: Мир, 1970. - 456 с.

41. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. М.: Наука, 1971. - 576 с.

42. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.М. Матвеев. М.: Высшая школа, 1967. - 564 с.

43. Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидо-вич, И.А. Марон. СПб.: Изд-во «Лань», 2006. - 672 с.

44. Калиткин, H.H. Численные методы / H.H. Калиткин. М.: Наука, 1978. - 512 с.

45. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельников. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004. - 636 с.

46. Самарский, A.A. Численные методы / A.A. Самарский, A.B. Гулин. -М.: Наука, 1989. 432 с.

47. Немыцкий, В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 552 с.

48. Шварц, Л. Анализ Т. 2. / Л. Шварц. М. Мир, 1972. - 534 с.

49. Сансоне, Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Том I / Дж. Сансоне. М.: Изд-во ИЛ, 1953. - 346 с.

50. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II / Г.М. Фихтенгольц. М.: Наука, 1966. - 800 с.

51. Курант, Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том I / Р. Курант. М.: Наука, 1967. - 704 с,

52. Кириченко, М.А. О построении решений одного класса автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Кириченко,

53. H.A. Рубанов // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественных и технические науки. Тамбов, 2011. - Т. 16. - Вып. 4. - С. 1095-1099

54. Кириченко, М.А. Построение оператора сдвига вдоль решений дифференциальных уравнений с использованием символьных вычислений /

55. M.А. Кириченко // Системы управленя и информационные технологии. 2010. - №4(42) - С. 23-26

56. Немнюгин, С.А. Параллельное программирование для многопроцессорных вычислительных систем / С.А. Немнюгин, O.JI. Стесик. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 400 с.

57. MPICH2: High-performance and Widely Portable MPI Электронный ресурс. Электрон. дан. - Режим доступа: http://www.mcs.anl.gov/research/projects/mpich2/, свободный. - Загл. с экрана.

58. Васвани, В. Полный справочник по MySQL / В. Васвани. М.: Вильяме, 2006. - 528 с.

59. Русскоязычный сайт поддержки базы данных MySQL Электронный ресурс. Электрон, дан. - Режим доступа: http://www.mysql.ru/, свободный. - Загл. с экрана.

60. Зеленков, Ю.А. Введение в базы данных Электронный реСУРС. / Ю.А. Зеленков. Электрон, дан. - Режим доступа: http : / /www. mstu.edu. ru/education/materials/zelenkov/toe. html, свободный. - Загл. с экрана.

61. Ильина, В.А. Система аналитических вычислений Maxima для физиков-теоретиков / В.А. Ильина, П.К. Силаев. М.: Изд-во РХД, 2009. - 140 с.

62. Maxima, a Computer Algebra System Электронный ресурс. Электрон, дан. - Режим доступа: http://maxima.sourceforge.net/, свободный. - Загл. с экрана.

63. Maxima Manual (chm) Электронный ресурс. Электрон, дан. - Режим доступа: http://cluster.tstu.ru/tiki-downloadfile.php?fileld=20, свободный. - Загл. с экрана.

64. Вычислительный кластер ТамГТУ Электронный ресурс. Электрон, дан. - Режим доступа: http://cluster.tstu.ru/, свободный. - Загл. с экрана.

65. Дзюба, С.М. Формирование высокопроизводительного вычислительного учебно-научно-производственного комплекса в Тамбовском ГТУ / С.М. Дзюба, В.Е. Подольский, А.Ф. Писецкий, В.И. Сергеев // Вестник ТГТУ. 2008. - Т. 14, т. - С. 454-468.

66. Лекция: Типы переменных. Целые и вещественные переменные, представление целых и вещественных чисел в компьютере Электронный ресурс. Электрон, дан. - Режим доступа: http://www.intuit.ru/departmeiit/se/pbmsu/2/2.html, свободный. Загл. с экрана.

67. Косарев, И. Полный справочник по языку Си / И. Косарев Электронный ресурс. Электрон, дан. - Режим доступа: http://subscribe.ru/archive/comp.soft.prog.9899/200404/28151235.html, свободный. - Загл. с экрана.

68. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. -№2010612981 от 01.05.2010. Символьное построение оператора сдвига по траекториям дифференциальных уравнений в распределенной компьютерной среде / М.А. Кириченко, А.Н. Пчелинцев

69. Rubenfeld, L.A. Nonlinear dynamic theory for a double-diffusive convection model / L.A. Rubenfeld, W.L. Siegman // SIAM J. Appl. Math. 1977. -№32. - P. 871.

70. Tucker, W. A rigorous ODE Solver and Smale's 14th problem / W. Tucker // Foundations of Computational Mathematics. 2002. - Vol. 2. - P. 53-117.

71. Баутин, H.H. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н.Н. Баутин, Е.А. Леонтович. М.: Наука, 1990. - 488 с.

72. Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтрягин. М.: Наука, 1974. - 332 с.

73. Барбашин, Е.А. О существовании функции Ляпунова в случае асимптотической устойчивости в целом / Е.А. Барбашин, Н.Н. Красовский // Прикладная математика и механика. 1954. - Т. 18, вып. 3. - С. 345-350.

74. Афраймович B.C. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца / B.C. Афраймович, В.В, Быков, Л.П. Шильников // Доклад АН СССР. 1977. - Т. 234. №-2. - С. 336-339.

75. Уонг, X. Основные формулы и данные по теплообмену для инженеров / X. Уонг. М.: Атомиздат, 1979. - 216 с.

76. Титчмарш, Е. Теория функций / Е. Титчмарш. М.: Наука, 1980. - 464 с.

77. Петров, А. А. Математические модели экономики России / А. А. Петров, И. Г. Поспелов // Вестник Российской академии наук, 2009. Т. 79, № 6.