автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Конечно-элементный анализ и моделирование упруговязкопластических объемно-стержневых систем

На правах рукописи

Гайджуров Петр Павлович

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ОБЪЕМНО-СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва 2004

Работа выполнена в Южно-Российском государственном техническом университете (Новочеркасский политехнический институт)

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Белостоцкий Александр Михайлович

доктор технических наук, профессор Кривошапко Сергей Николаевич

доктор технических наук, профессор Смирнов Владимир Анатольевич

Ведущая организация: Ростовский государственный университет

НИИ механики и прикладной математики им. И.И. Воровича

Защита состоится " 2004 г. в ^ часов на засе-

дании диссертационного Совета Д 212.138.12 в Московском государственном строительном университете (МГСУ) по адресу: 113114, г. Москва, Шлюзовая наб. 8, ауд. 409.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного строительного университета.

Автореферат разослан Л 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, профессор

Анохин Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. На современном этапе развития науки и техники трудно представить процесс проектирования новых машин, зданий и сооружений без широкого использования программ конечно-элементного анализа. Общеизвестно, что для создания многофункционального расчетно - вычислительного комплекса на базе метода конечных элементов (МКЭ) требуются усилия многих специалистов в области строительной механики, прикладной математики и системотехники.

В последнее время повышенный интерес исследователей проявляется к трехмерным механико-математическим моделям, учитывающим вязкоупругое и упругопластическое поведение материала. Однако, вычислительные возможности МКЭ при решении пространственных задач механики деформируемого твердого тела ограничены степенью дискретизации исследуемого объекта на конечные элементы (КЭ). В существующих программных комплексах, как правило, рекомендуется трехмерную нелинейную модель упрощать, сводя ее к плоской или осесимметричной. Вместе с тем мало исследованными остаются подходы к построению новых объемных конечных элементов повышенной точности, позволяющих моделировать деформации и большие перемещения тонкостенных и толстостенных конструкций на грубых сетках.

Проблема усложняется при создании конечно-элементного приложения в рамках наследственной теории упругости. В этом случае встает вопрос о выборе схемы численного интегрирования и величины шага по временной оси для различных типов ядер релаксации.

Значительно расширить круг инженерных приложений МКЭ позволяет процедура формализации связанной краевой задачи упругопластичности и вяз-коупругости при квазистатическом процессе нагружения. Численная реализация данной процедуры открывает возможность исследования напряженно деформированного состояния объекта в процессе возведения (монтажа) и последующей эксплуатации. К сожалению, сейчас эта проблема практически не изучена.

Еще одной мало исследованной областью конечно-элементного анализа является направление, связанное с решением "слоевых" задач в физически и геометрически нелинейной постановке. Для расчета сэндвичевых структур требуется вводить различные параметры идентификации нелинейных моделей, характеризующих деформационные свойства отдельных фрагментов ("слоев"). В публикациях, посвященных численным расчетам с учетом пластичности, решений поставленной задачи не приводится.

Востребованной также является разработка МКЭ-программ для решения задач прочности упругопластических

процессе "нагружение - разгрузка". | гос. НАЦИОНАЛЬИАя |

Существенно увеличить эффективность МКЭ позволяет процедура ан-самблирования объемных и стержневых (балочных) конечных элементов. Последние позволяют моделировать ребра жесткости пластин и оболочек, рассчитывать на прочность массивные предварительно напряженные железобетонные конструкции, а также разрабатывать рекомендации по увеличению жесткости аварийных сооружений с помощью тяжей. Вместе с тем в литературе по МКЭ отсутствуют сведения об использовании объемно-стержневых моделей.

Необходимо указать на малое число работ, посвященных конечно-элементному анализу линейно упругих колебаний трехмерных механических систем при силовом и кинематическом воздействиях. В частности нет сведений о МКЭ-программах, предназначенных для модального анализа объемно-стержневых моделей.

Важнейшей частью конечно-элементного комплекса является банк тестовых и учебных примеров, включая нелинейные задачи. Данная информационная составляющая определяет качество и достоверность используемых механико-математических моделей материала, показывает вычислительную эффективность алгоритмов и создает благоприятные предпосылки для промышленного внедрения пакета прикладных программ.

Рассмотренные в настоящей работе вопросы развития теории МКЭ и его приложений к задачам строительной механики связаны со следующими проблемами:

- существующие объемные конечные элементы требуют значительных вычислительных затрат при решении трехмерных задач теории упругости и не позволяют моделировать больших перемещений;

- для расчета на прочность упругопластических пространственных систем требуется разработать итерационный алгоритм МКЭ в форме метода перемещений, позволяющий использовать для идентификации физически нелинейных свойств материалов отдельных фрагментов конечно-элементной модели различные диаграммы деформирования;

- трехмерные реологические модели сплошной среды, основанные на интегральной связи между компонентами тензоров деформаций и напряжений, требуют разработки конечно-элементной процедуры, численного интегрирования по временной оси;

- отсутствует алгоритм построения конечно-элементного ансамбля из объемных и стержневых (балочных) конечных элементов;

- требуется разработать концепцию МКЭ для решения связанной краевой задачи упругопластичности и вязкоупругости;

- отсутствуют МКЭ-программы для решения прикладных задач динамики объемно-стержневых механических систем;

- необходим банк тестовых примеров, обеспечивающих фундаментальность и гарантию качества конечно-элементного программного комплекса.

Эффективное решение этих проблем возможно на основе развития известных и создания новых методов, алгоритмов и МКЭ-программ, что определяет актуальность рассматриваемой темы.

Резюмируя можно сформулировать следующую цель научных исследований.

Целью работы является совершенствование существующих и разработка новых методов, алгоритмов и прикладных программ конечно-элементного моделирования упруговязкопластических объемно-стержневых систем, обеспечивающих повышение качества проектирования в области машиностроения и строительства без привлечения дорогостоящих мультифизических программных комплексов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Анализ современных методов построения матриц жесткости объемных конечных элементов, способов формирования и хранения коэффициентов глобальной матрицы жесткости и алгоритмов решения результирующей системы уравнений с целью оценки их эффективности и разработки соответствующего математического и программного обеспечения.

2. Обзор механико-математических моделей упругопластических, вязко-упругих и упруговязкопластических сплошных сред для построения физических соотношений конечно-элементного алгоритма в форме метода перемещений.

3. Построение матриц жесткости универсальных объемных КЭ, позволяющих моделировать изгибные деформации тонкостенных и толстостенных пространственных конструкций сложной формы.

4. Разработка алгоритма и программы ансамблирования объемных и пространственных стержневых КЭ.

5. Разработка программы генерации трехмерной сетки элементов и формирования соответствующих массивов топологической информации с учетом фрагментарного представления конечно-элементной модели.

6. Создание программы решающего устройства, включающего формирование и хранение глобальных матиц жесткости и масс ансамбля КЭ в виде одномерных динамических массивов, решение результирующей системы алгебраических уравнений высокого порядка, вычисление внутренних усилий в стержневых и напряжений в объемных элементах.

7. Построение программного модуля пре- и постпроцессорной обработки информации.

8. Разработка и исследование сходимости нового метода и алгоритма конечно-элементного анализа напряженного состояния массивных тел, выполненных из вязкоупругого материала при квазистатическом нагружении.

9. Разработка и исследование сходимости нового итерационного алгоритма и МКЭ-программы решения пространственных задач теории пластичности при циклическом процессе нагружения.

10. Разработка нового метода и алгоритма решения связанной задачи уп-ругопластичности и вязкоупругости.

11. Разработка пакета прикладных программ МКЭ для моделирования динамического поведения объемно--стержневых систем.

Диссертационная работа выполнена в рамках научных направлений Южно-Российского государственного технического университета (НПИ) по темам: "Компьютерная оптимизация, ресурсосберегающие расчеты и управление состоянием строительных конструкций и оснований зданий и сооружений", "Совершенствование, разработка узлов, агрегатов, систем и программ расчета деталей, улучшающих эффективность и экономичность поршневых и комбинированных двигателей внутреннего сгорания".

Методы исследований

В работе использовались:

- элементы тензорного анализа и вариационного исчисления (принцип Лагранжа), матричная алгебра, интерполяционные полиномы и сплайны;

- методы и алгоритмы решения больших систем линейных алгебраических уравнений с симметричными редкозаполненными матрицами коэффициентов;

- алгоритмы экономичного хранения разреженных матриц высокого порядка в терминах теории графов;

- теория малых упругопластических деформаций;

- наследственная теория упругости;

- численные методы решения нестационарных задач теории упругости, включая модальный анализ;

- элементы дискретной и компьютерной (символьной) математики.

Основные научные результаты и положения, выносимые на защиту

1. Новые тензорно - матричные алгоритмы построения матриц жесткости "моментных" полилинейных КЭ.

2. Пространственные механико-математические модели упругопластиче-ских и вязкоупругих материалов.

3. Новые методы, алгоритмы и программы конечно-элементного анализа напряженно—деформированного состояния трехмерных тел, выполненных из упругопластических и вязкоупругих материалов.

4. Оригинальная методика расчета объемно-стержневых механических систем при статическом и динамическом нагружении.

5. Программный комплекс POLYGON V и модули пре- и постпроцессор-нон обработки данных конечно-элементного расчета.

6. Числовые результаты исследований сходимости и точности разработанных алгоритмов и программ.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

1. Получены оригинальные соотношения для матриц жесткости "мо-ментных" трехмерных (в общем случае криволинейных) элементов, инвариантные по отношению к глобальному базису и учитывающие в процессе сложного деформирования смещения элементарных объемов "как жесткое целое". Отличительной особенностью предлагаемых элементов является вычисление физических компонент тензоров деформаций и напряжений относительно местных "сопутствующих" в общем случае неортогональных осей. Для случая, когда изменением метрики в объеме элемента можно пренебречь, представленные матричные выражения преобразованы к замкнутому виду.

2. Создана процедура ансамблирования объемных и стержневых (балочных) конечных элементов, позволяющая решать задачи пространственного армирования и усиления конструкций и сооружений.

3. Выявлены новые важные особенности, возникающие при моделировании пластинчатых и оболочечных конструкций по толщине одно- и двухслойными схемами изопараметрических полилинейных КЭ, построенных на основе "моментного" и стандартного алгоритмов МКЭ.

4. Исследованы вычислительные особенности алгоритма "глобального" сглаживания поля напряжений для трехмерного конечно-элементного ансамбля. На базе теории сопряженных аппроксимаций получены новые выражения для фундаментальных матриц объемных элементов с различным числом узлов. Разработан универсальный алгоритм вычисления физических компонент тензора напряжений "моментных" КЭ.

5. Разработан и апробирован на модельных задачах новый конечно-элементный алгоритм решения задач линейной вязкоупругости с учетом переменного квазистатического нагружения и зависимости реологических характеристик материала от времени и температуры.

6. Формализована оригинальная механико-математическая модель сдвиговой ползучести стареющего материала, применительно к шаговой процедуре МКЭ в форме метода перемещений.

7. Исследована сходимость численного решения задачи наследственной теории упругости в зависимости от типа ядра релаксации, способа численного интегрирования и схемы дискретизации по временной оси.

8. Разработан и реализован эффективный алгоритм метода переменных параметров упругости в сочетании с процедурой предикции для решения задач теории пластичности. Предлагаемый алгоритм позволяет исследовать пластический отклик конечно-элементной модели при циклическом нагружении.

9. Впервые разработано программное обеспечение, позволяющее в рамках единого вычислительного процесса использовать для отдельных фрагментов (конгломератов КЭ) ансамбля различные нелинейные модели материала.

10. Разработан конечно-элементный алгоритм прочностного расчета уп-руговязкопластических тел, основанный на шаговой схеме процесса нагруже-ния (разгрузки), инкрементальной физически нелинейной модели материала и

интегральной зависимости между результирующими компонентами тензоров напряжений и деформаций.

11. Создан метод динамического анализа объемно-стержневых механических систем. Сформулированы практические рекомендации по выбору шага по времени для различных способов возбуждения колебаний, обеспечивающие устойчивую сходимость процесса прямого интегрирования уравнения движения.

12. На базе нового стандарта Фортрана 90 разработано вычислительное ядро конечно-элементного комплекса POLYGON V, предназначенного для решения научно-исследовательских и промышленных задач в области машиностроения и строительства.

13. На основе графических функций системы компьютерной математики Maple V R5 созданы пре- и постпроцессорные программные модули визуализации исходных данных (геометрия, топология) и результатов конечно-элементного анализа.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждена результатами численного исследования сходимости на тестовых примерах, имеющих заранее известное решение, а также данными комплексного контроля, включающего:

- проверку выполнения условий равновесия внутренних усилий в поперечных сечениях отдельных конгломератов конечных элементов;

- проверку на отсутствие напряжений обжатия на лицевых ненагружен-ных поверхностях конструкции;

- проверку на выполнение условия равновесия конечно-элементной модели в интегральном смысле;

- проверку на отсутствие напряжений при смещении тела вдоль глобальных осей "как жесткого целого".

Для вывода основных выражений в тензорно-матричной форме использовался символьный процессор системы компьютерной математики Maple V R5.

Практическая ценность работы состоит в разработке математического и программного обеспечения, представленного в виде расчетно-вычисли-тельного комплекса POLYGON V, включающего разделы: статики и динамики объемно-стержневых систем; решения пространственных задач в рамках деформационной теории пластичности; расчета на прочность с учетом реологического поведения материала. Разработанные алгоритмы, методики и программы расчетов успешно используются в учебном процессе (при дипломном проектировании), а также аспирантами соответствующих специальностей Ростовского государственного строительного университета и Южно-Российского государственного технического университета. Промышленное внедрение результатов работы осуществлено путем передачи и апробации пакета прикладных программ POLYGON V в проектно-конструкторскую компанию "ФлотТехМенед-жмент" при АО "Волго-Донское пароходство" г. Ростов-н/Д.

Апробация работы. Результаты работы докладывались: на Международных научно-практических конференциях "Строительство-1999, 2000, 2002, 2003" (г. Ростов-н/Д); "Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах - 2000" (г.Новочеркасск); на ежегодных научно-технических конференциях преподавателей кафедры строительной механики Ростовского государственного строительного университета под руководством профессора Г.В. Василькова; на заседании научно-технического семинара Донского государственного технического университета (г Ростов-н/Д); на семинаре кафедры "Математическое моделирование" Ростовского государственного университета под руководством профессоров А.В. Белоконя и А.В. Наседкина; на тематическом семинаре "Краевые задачи расчета сооружений" кафедры "Информатики и прикладной математики" МГСУ под руководством профессоров В.Н. Сидорова и А.Б. Золотова; на объединенном научном семинаре кафедр "Сопротивление материалов" и "Строительная механика" МГСУ под руководством профессоров Г.С. Варданяна и Н.Н. Леонтьева.

Публикации. Основные научные и практические результаты опубликованы в 33 печатных работах.

Структура и объем диссертации. Работа состоит: из общей характеристики; восьми разделов; заключения; списка литературы из 153 наименований (в том числе 34 зарубежных источников); приложений I, П, Ш, в которые выне-. сены выражения для матриц жесткости и данные тестирования (в виде таблиц) разработанного программного комплекса. Объем диссертации - 439 стр., включая 268 рисунка, 36 таблиц.

Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность за творческое участие в обсуждении основных положений и результатов работы заведующему кафедрой строительной механики РГСУ профессору, д-ру техн. наук. Г.В. Василькову.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, дана ее общая характеристика, сформулированы цели и задачи.

В первом разделе рассмотрены основные этапы развития МКЭ. Отмечается, что в начале 60-х годов МКЭ развивался исключительно как инженерная методика прочностного расчета конструкций сложной формы. В дальнейшем было дано матемагическое обоснование существования и сходимости конечно-элементного решения в линейной постановке, сформулированы принципы, которым должны удовлетворять аппроксимирующие функции, разработаны специальные численные процедуры для работы с разреженными матрицами. Подчеркивается, что данный процесс сопровождался непрерывным совершенствованием вычислительных возможностей ЭВМ. Значительный вклад в развитие теории МКЭ и создание важных технических приложений внесли советские и российские ученые: А.В. Александров, И. Альтенбах, В.А Баженов, A.M. Белостоцкий, З.И. Бурман, Д.В. Вайнберг, А. С. Городецкий, А.И. Гуляр, А.Б. Золотов, В.Н. Кислоокий, В.В. Киричевский, И.Н. Молчанов, В.И. Мяченков, И.Ф. Образцов, А.Н. Подгорный, В.А Постнов, Р.Б. Рикардс, Л.А. Розин, А.С. Сахаров, В.Н. Сидоров, И.Я. Хархурим, Р.А Хечумов, Н.Н. Шапошников. Благодаря работам западных ученых: Дж. Аргириса, К. Бате, Е. Вилсона, О. Зенкевича, Дж. Одена, Л. Сегерлинда, Г. Стренга, Дж. Фикса, И. Ченга появились первые коммерческие конечно-элементные комплексы. Существенный вклад в развитие вычислительной механики тонкостенных пространственных конструкций сложной формы внесли работы Н. А. Алфутова, В. В. Болотина, Я.М. Григоренко, С. Н. Кривошапко, В. А. Смирнова и других авторов.

Важнейшим направлением развития МКЭ остается разработка новых объемных конечных элементов, позволяющих с высокой точностью моделировать изгибные деформации как толстостенных, так и тонкостенных пластин и оболочек. Актуальной является задача ансамблирования объемных и стержневых (балочных) конечных элементов при моделировании пространственно-армированных конструкций и сооружений, имеющих различного рода подкрепления типа ребер жесткости.

В особую группу выделены проблемы, связанные с численным решением физически нелинейных задач строительной механики. Отмечается, что важную роль в создании математической теории пластичности сыграли труды: Генки, Дракера, А.А. Ильюшина, A.M. Качанова, Койтера, Мизеса, С. Г. Михлина, Надаи, Прагера, Прандтля, Хилла и других авторов. Существенный вклад в развитие современной нелинейной теории упругости и прикладной теории пластичности внесли работы: И.А Биргера, К. Васидзу, И.И. Воровича, Г.А Гениева, И.И. Гольденблата, А. А. Ильюшина, П. А. Лукаша, Н.Н. Малинина, Н.С. Можаровского, В.В. Москвитина, Х.М. Муштари, П. Пэжины, Г.С. Писаренко и многих других ученых.

Приведен обзор механико-математических моделей, описывающих упру-гопластическое, вязкоупругое и упруговязкопластическое поведение сплошной среды. Указано на определенные трудности, связанные с программной реализацией физических соотношений для пластически деформируемого материала. В частности отмечается, что главной проблемой при разработке алгоритма МКЭ является разделение компонент тензора результирующих деформаций на упругие и пластические составляющие.

Несмотря на значительное число публикаций, посвященных численному решению физически нелинейных задач, вопросы сходимость МКЭ при анализе напряженного состояния пространственных конструкций изучены еще недостаточно.

Большое значение при анализе реального поведения конструкции в случае длительного воздействия нагрузки, а также в процессе ее возведения играет учет вязкоупругого поведения материала. В литературе по МКЭ данная проблема отражена в работах О.Зенкевича, Дж.Бойла и Дж.Спенса, Ю.К.Зарецкого, А.Н. Подгорного и его школы, Г.В. Василькова и других авторов. Системный подход к построению конечно-элементных алгоритмов, учитывающих предысторию нагружения, применительно к грунтам представлен в трудах Ю.К. Зарецкого. Грунт представляется в виде многокоэффициентной модели упругопластической среды с комбинированным упрочнением. В работах Г.В. Василькова приведен универсальный метод, позволяющий в рамках МКЭ использовать любой известный тип ядра релаксации. Численное интегрирование по временной координате основано на шаговой процедуре, и позволяет исследовать процесс квазистатического нагружения (разгрузки) с учетом девиаторных и (или) объемных деформаций ползучести, включая пластические эффекты. Следует отметить, что все конечно-элементные алгоритмы, учитывающие комбинацию ползучести, пластичности и циклического нагружения, построены по принципу вложенных итерационных циклов, что значительно усложняет логическую составляющую программы. В связи с этим востребованной является разработка алгоритмов и программ МКЭ с автоматическим изменением шагов по времени и нагрузке.

Последнее десятилетие связано с широким внедрением в научно-исследовательские и проектные работы в области машиностроения и строительства персональных компьютеров и бурным развитием программного обеспечения. Появились мультифизические пакеты прикладных программ, реализующие основные принципы МКЭ при решении смешанных краевых задач. Сейчас на российском рынке преобладают западные коммерческие конечно-элементные программы с прекрасно оформленными пользовательскими интерфейсами, позволяющими импортировать геометрию из CAD-модулей. Прорыва со стороны отечественных разработок в этом направлении, по-видимому, придется ждать еще долго. Поэтому в настоящее время приоритетным направлением является разработка новых российских научно-исследовательских и про-

мышленных МКЭ-программ, ориентированных на решение узко специальных проблем прочности, включая задачи пластичности и вязкоупругости.

Во втором разделе приводятся основные линейные соотношения МКЭ в форме метода перемещений. В качестве базовых элементов используются объемный восьмиузловой (рис. 1,а), учитывающий ортотропию материала и стержневой (балочный) конечные элементы (рис. 1,6). На основании принципа возможных перемещений для полилинейного элемента, запишем результирующие выражения для матрицы жесткости и вектора узловых сил в виде

[и] -/МЗДЭДММ'»'.

О)

и - (2)

(24x1) V, I,

(Т - символ операции транспонирования).

Здесь обозначь [О] — матрица, осуществляющая связь между векторами (6x24)

деформаций {в} и узловых перемещений {и>} ; [ЛГ] - матрица преобразования (6x1) (24x1) (бхб)

компонент тензора деформаций при переходе от осей

т = 1, 2, 3 к главным направлениям ортотропии материала КЭ [Е] — матрица модулей упругости матер КЭ; \Р] - матрица "функций формы" КЭ

(3x24)

- число узлов элемента), представляющих собой произведение одномерных полиномов Лагранжа; {/?} и {/>} - векторы

(3x1) (3x1)

объемных и поверхностных с {е0} и {о"0 }' векторы начальных деформз-

(6x1) (6x1)

ций и напряжений; - объем, занимаемый - площадь поверхности

элемента, к которой приложена распределенная нагрузка (нормальное давление). При вычислении интегралов (1) и (2) используем квадратурные формулы Гаусса.

Рис.1

С помощью принципа "вырождения" получены "функции формы" фА(х1,х2>Хз) для шестиузлового элемента, см. рис. 1,в. Соответствующие

выражения для [А] и {/} имеют вид аналогичный формулам (1) и (2).

(18x18) (18x1)

Выражение для матрицы жесткости стержневого КЭ в осях Zм хрестоматийно. Отметим только, что для ориентации стержня в пространстве вводим дополнительную третью точку, см. рис. 1,б.

Проведена апробация сплайновых объемных КЭ, построенных на базе кубических интерполяционных полиномов Эрмита. Указано на определенные трудности, связанные с назначением граничных условий для производных от перемещений на лицевых поверхностях конечно-элементной сетки.

Рис.2

Особое внимание в рассматриваемом разделе уделено проблеме ансамб-лирования объемных и стержневых элементов, имеющих разное число степеней свободы в узлах. Так, для объемных КЭ имеем три линейных составляющих перемещения в узле, а для стержневого КЭ - три линейных и три угловых составляющих. Для решения данной проблемы использован программный способ, сводящийся к разделению номеров глобальных узловых перемещений на два непересекающихся списка, соответствующих линейным и угловым перемещениям. Объемно-стержневые модели могут использоваться при расчете железобетонных конструкций. На рис. 2 представлена конечно-элементная модель 1/4 части подкрановой балки, загруженной собственным весом и сосредоточенной силой 73,55 кН в центре пролета. Здесь объемные элементы образуют бетонный массив (рис. 2, а), а стержневые - продольную и поперечную арматуру (рис. 2, б). Значения интегральной жесткости балки для различных вариантов расчетной схемы составили: а) - предварительное натяжение арматуры 5,09'Ю'3 Дж'1; б) - без предварительного натяжения арматуры ^П-Ю^Дж"1; в) - только продольное армирование

В третьем разделе разработан и реализован оригинальный алгоритм построения матриц жесткости изопараметрических КЭ, позволяющий с высокой точностью моделировать изгибные деформации тонкостенных, толстостенных и комбинированных пространственных конструкций и сооружений. В качестве основной идеи использован принцип "моментной" схемы МКЭ, сводящийся к представлению деформаций в виде отрезков рядов Тейлора в окрестности местной системы координат элемента.

Впервые основные принципы "моментной" схемы МКЭ были предложены в трудах А.С. Сахарова. В частности было получено универсальное выражение для матрицы жесткости объемного шестигранного КЭ, позволяющее использовать полилинейные, поликвадратичные и поликубические интерполяционные полиномы. Широкого распространения в практике инженерных расчетов эта методика не получила, т. к. результирующие соотношения были представлены в тензорно индексной форме неудобной для непосредственного программирования.

Рассмотрим реализованный в настоящей работе алгоритм "моментной" схемы МКЭ на примере объемного восьмиузлового КЭ (рис. 1,а).

¡.Задается исходный (полилинейный) закон перемещений в глобальных осях Z т (8 членов ряда)

2. По формуле

«/у =1/2(гт<уит1| +1т<1 "л,,у) (3)

вычисляются ковариантные компоненты Б[ J тензора деформаций в местных осях - компоненты тензора преобразования коор-

динат.

3. Деформации разлагаются в ряд Маклорена -г

еи ~61]

два д&а

здесь "моменты" деформаций в точке

ряда)

4. Задается пробный (поликвадратичный) закон перемещений (20 членов

где где

5. По формуле (3) вычисляются пробные деформации Ь^, которые также представляются в виде отрезков ряда Макларена.

6. Сравниваются выражения в/у и Ъц. В формулах для вц сохраняются только совпадающие члены. В итоге для рассматриваемого КЭ получим:

"«¡I +^1,2*2+^1^*3+«11.23* 2*3 ?

«22 = «22 + «22,1* 1+ «22,3* 3+ «22,!3* 1* 3 «33 =«33 + «33,1* 1+«ЭЗ,2* 2 + «33,!2* 1* 2 » «12 =«12+«12,3*3 ? «13 =«13+«13,2* 2 5 «23 =«23 +«23,1* 1 »

где еiJa=deuldxa

Аналогично для"

тиуМ'ойого КЭ (¿ис. fji) и^еем:' ' ^ '

«II =«11 +«11,3 *3 >' «22 =«22 +«22,3 *3 »* «33 =«33 +«33,1 *1 +«33,2 *2 »

«12 = «12 +«12,3 *3 ; «13 = «13 ; «23 = «23 » (5)

Связь между векторами {е} и {w} записываем в виде

где блочная матрица [/)] =[[/)] j [/)] 2 •••{&] п, 1 >

субматрица [ö]t =[{О<0} к {ß(2)}* {0(3,Hi» 2, ...пг. Вектор-столбец

[D<м)} ^, сформированный на основе выражений (4) и (5) соответственно принимает форму

Здесь введены обозначения: _3z

z т,а'

д.х.

d2z,

т, ар

дхадхр

у г т,пз=

а2*,

дх Хдх 2дх}

■ компоненты

В случае когда оси х„ ортогональны: ?т,в=0(т*а); 2„щ{ф=0; гт)[2з=0.

Полученные матричные соотношения прозрачны в плане вывода, легко программируются и отличаются по структуре от зависимостей, приведенных в работах А.С. Сахарова. Таким образом, речь идет о независимой алгоритмизации уравнений, связывающих узловые перемещения и деформации "момент -ных" КЭ.

Для вывода матрицы жесткости связь между векторами напряжений {<г} и деформаций {в} представим в виде

{о-} = [£]({*}-{*„ })+{о\,Ь где компоненты о^ вектора {а} определяются в осях хт. Элементы матрицы [ Е ] являются компонентами контравариантного тензора упругих постоянных материала: Еирг ^¡¡^УГ^ТГ,; 8и> метрического тензора;

физические компоненты тензора упругих по-

-(Ups)

стоянных.

Результирующие выражения для матрицы жесткости и вектора узловых сил "моментных" КЭ имеют вид аналогичный формулам (1) и (2).

В ряде случаев метрические характеристики в пределах элемента изменяются незначительно. Для таких регулярных структур получены выражения матриц жесткости восьмиузлового и шестиузлового КЭ в замкнутой форме.

На основе минимизации энергии деформации объемных КЭ с помощью символьного процессора математической системы Maple V R5 получены несовместные функции перемещений различного порядка. Наличие в этих альтернативных выражениях дополнительных членов позволяет, как и зависимости (4) и (5), формировать матрицы жесткости, моделирующие при сложной деформации смещения элементарных объемов элемента "как жесткое целое". Это свойство "мо-ментных" элементов делает их незаменимыми при расчете тонкостенных пространственных конструкций сложной формы в случае больших перемещений.

В четвертом разделе на различных тестовых примерах выполнено численное исследование сходимости разработанного конечно-элементного алгоритма и соответствующей МКЭ - программы POLYGON V. Результаты, полученные с помощью разработанного "моментного" алгоритма МКЭ, сравнивались с известными аналитическими решениями и данными численных расчетов, выполненных с помощью многофункциональной программы COSMOS/Design STAR 2.0 (версия trialware), в которой используются только объемные КЭ в виде тетраэдров. Анализ результатов тестирования показал, что разработанные "моментные" элементы обеспечивают высокую точность и монотонную сходи-

мость при расчете тонкостенных и толстостенных пластин и оболочек на относительно разреженных (в сравнении с пакетом COSMOS) сетках.

В пятом разделе в операторно-матричной форме получены конечно-элементные соотношения в рамках линейной теории наследственности, приводятся данные о вычислительных особенностях и программной реализации разработанной шаговой процедуры.

Представлен алгоритм МКЭ в форме метода перемещений, позволяющий в рамках единого вычислительного процесса одновременно использовать различные физически нелинейные модели материала для отдельных фрагментов (конгломератов КЭ) ансамбля.

Принятые в работе реологические и физически нелинейные модели сплошных сред позволяют моделировать работу конструкций и сооружений, выполненных из металла, бетона, железобетона, полимерных материалов, а также описывать поведение естественных и искусственных оснований.

Рассмотрим основные положения разработанного конечно-элементного метода расчета вязкоупругих тел, основанного на интегральной форме связи компонент тензоров напряжений и деформаций. Уравнение состояния для однородного изотропного вязкоупругого материала записываем в операторно-матричной форме

{ст} = [Я0](1-Л0){г} + {£,1|(1-*с){е} = [£01{ё0}+[£'1Н£с}-

Здесь векторы напряжений {<г} и наследственных деформаций {ё} имеют структуру

{а} = {сти а22 а33 <тп а13 <т23}г, {ё} = {ё„ ё22 ё33 2ёп 2ё13 2ё23}т;

матрицы объемной [£*0J и сдвиговой упругости

(6)

К и О - мгновенные модули объемной деформации и сдвига; , Яе - операторы объемной и сдвиговой релаксации; {£<)} и {^Л - векторы наследственных

деформаций, обусловленные соответственно объемной и сдвиговой ползучестью. Отметим, что в общем случае параметры Л0 и могут не совпадать.

В качестве базовых используем объемные изопараметрические конечные элементы с полилинейной аппроксимацией перемещений (рис. 1,а и рис. 1,в). Введем вектор-столбец модифицированных узловых перемещений КЭ

{ЛНО-Яо-ЛсНи-}. (7)

Уравнение состояния с учетом выражения (7) записываем в форме

На основании принципа возможных перемещений получим результирующее матричное уравнение МКЭ

([Ао]+1''1 ]){*}=№{*} = {/}, (8)

где 1й0] и [/»1! матрицы жесткости КЭ, учитывающие соответственно объемную и сдвиговую деформации. Вычислительный процесс организуем в виде шаговой процедуры по временной координате.

Для вычисления интеграла

ДвМ= }лв(г-г){н>(т)}</г, а = 0,с

воспользуемся численным методом, например, формулой трапеций. После соответствующих преобразований результирующее уравнение (8) получает вид

1й0Н»ЛМЯ+[АмНиЛ+,Ё1[ЛуН»'/}. (9)

здесь введены обозначения:

1А",]-1Ао1Ло(«ДОу + 1А11Лс(шЛ/)у ;

[Л/] = [А0]Л0((1я-у)ЛОАГ + [А,1/гс((/й-у)ЛОДг

- шаг интегрирования по временной оси). Соотношение (9) является основой конечно-элементной программы.

Рассмотрим разработанный метод конечно-элементного решения физически нелинейных задач в рамках деформационной теории пластичности. Процесс нагружения считаем простым. Материал элемента полагаем изотропным упруго пластическим при нагружении и линейно упругим при разгрузке. Диаграмму деформирования аппроксимируем кусочно-линейным (двух - или многозвенным) законом, см. рис.3. Здесь еи и ег„ - интенсивности деформаций и напряжений; еи г и о^ - пределы текучести материала, назначаемые на основании опытов на одноосное растяжение (сжатие); сг„ и £и опытные константы, характеризующие уплотнение или отвердевание материала. Введем параметр упрочнения г] = Ек / £о, где Е0 - начальный модуль упругости: Ек - модуль упругости на участках Принятая физическая модель учи-

тывает изотропное упрочнение материала.

{<г} = [£с1{*},

(6x6)

а " б

Рис. 3. Диаграммы деформирования:

а- 7<1;б- 7> 1

Решение физически нелинейной задачи выполняем методом переменных параметров упругости (МППУ) с предикцией. Вычислительный процесс МППУ строим по следующей итерационной схеме. По известному вектору ухковых перемещений {*?}(/) на 1-ОМ шаге итерационного процесса вычисляем вектор

деформаций {£*} у и величину 7 = 1,2,...,«^ в центре каждого элемента (я, - число КЭ в ансамбле). После этого методом "прямого включения" формируем секущую матрицу жесткости ансамбля элементов \Не\щ и решаем соответствующую систему уравнений

"^еЫИи+П-еЪ. (10)

где {/''};[ - вектор узловых сил на А-ОМ шаге нагружения (разгрузки). На первом шаге Л=1 можно принять {и>}(|)=0. Новый в е к т ори^п о л ь з у е м для следующей итерации и т. д. Критерием сходимости служит норма невязки узловых перемещений.

Процедура предикции представляет собой способ линейной экстраполяции для неизвестных узловых перемещений на каждом итерационном шаге (начиная со второго). Рассмотрим суть данного алгоритма, который по желанию пользователя может быть включен в общую схему нелинейно расчета.

Сначала к начальному приближению узловых перемещений {н>}(0) однократно применяем обычную итерацию. После первого шага, вслед за использованием выражения

активизируем процедуру

для нахождения "наилучшего" следующего приближения. В выражении (11) заданное максимальное число итераций.

Формула (11) впервые была предложена Дж. Вегстейном для численного решения вещественных алгебраических или трансцендентных уравнений. В настоящей работе данная методика распространена на решение нелинейной системы (10).

Отметим, что разработанный шаговый алгоритм МППУ в сочетании с процедурой предикции позволяет получить численное решение для модели, учитывающей уплотнение (отвердение) материала по закону, представленному на рис. 3,б.

Связанную задачу упругопластичности и вязкоупругости решаем путем ввода зависимостей модулей упругости К и О (см. выражения (6)) соответственно от объемной деформации 0 = е1+е2+гз и интенсивности деформации сдвига Причем полагаем, что в общем случае параметры уп-рочнениядпя ЛГ(в) и С(у„) качественно различны, например: с ростом гидростатического давления значение К увеличивается (т;>1), модуль О при У и >У„Т уменьшается (^<1). Вычислительный процесс организуем по принципу "цикл в цикле", т. е. на каждом временном шаге (внешний цикл) осуществляем поэлементную проверку на возникновение пластических деформаций. В случае пластического отклика системы сначала уточняем зоны всестороннего сжатия, растяжения и разгрузки, а затем, осуществив редукцию матрицы упругости материала в "растянутых" и "разгруженных" элементах, производим итерационное уточнение упругопластического решения (внутренний цикл). Процесс нагружения (разгрузки) совмещаем с временной координатой.

Учет геометрической нелинейности в разработанной программе осуществляем путем корректировки координат узлов ансамбля конечных элементов с учетом полученных конечных перемещений. При этом вектор внешней нагрузки на каждом шаге нагружения (разгрузки) полагаем "замороженным".

В шестом разделе выполнено численное исследование точности и сходимости созданных методов и алгоритмов конечно-элементного решения задач вязкоупругости и пластичности. Решен ряд модельных задач, демонстрирующих вычислительные возможности разработанного программного комплекса.

Задача 1,а. Определение прогиба железобетонной балки длиной 8 м прямоугольного сечения 0,2x0,6 м, выполненной из тяжелого бетона В 20. Арматура - 4028 АШ; а = 0,08 м. Интенсивность поверхностной нагрузки Я =-115 кИ'М1 (учет собственного веса). Ядро сдвиговой релаксации для "старого" бетона принимаем в виде

где константы С<>=0,994; у=0,03. Материал арматуры линейно упругий. Шаг интегрирования Д/ = 1 сут.

Максимальный прогиб по данным МКЭ через 120 суток составил

0,033 м. Согласно методике НИИЖБ для t = °° имеем /„,„,, -0,036 м.

Задача 2,а. Взаимодействие твердеющего вязкоупругого бетонного блока, подверженного неоднородному нестационарному температурному воздействию, с линейно упругим скальным основанием (плоская деформация, полное сцепление), см. рис.4. Модуль упругости материала скалы Еск

Коэффициент температурного расширения бетона АТ^ = 1,10"5 ^'.Коэффици-

енты Пуассона для бетона f и основания

принимались равными 0,16. На

рис. 5,а и рис. 5,6 показаны графики модуля упругой деформации бетона Е¿(f) и температуры T(t) блока. На рис. 5,б кривые 1,2,3 описывают температурное состояние соответственно фрагментов блока Ф[, Фн II Фш, см. рис. 4. Толщины фрагментов имеют следующие значения: Ф1 — 0,3 м; Фн — 0,4 м; Фш — 0,3 М, Ядро сдвиговой релаксации бетона представим в виде

Rc{t,г )=-

( л Л

С0+—We

I г)

-Т('-г)

(12)

где С„=0,994, А ¡=4,71, у=0,026 - опытные константы. Считаем, что нагруже-ние блока происходит в "возрасте" бетона г=3сут. Величина Д* =0,5 сут.

Рис.4

Картины распределения результирующих напряжений сГц, О22, 0)2 в основании и блоке представлены на рис. 6 (перемещения увеличены в 1000 раз). Здесь: рис. 6, а - линейно упругое решение; рис. 6, б, в, г - вязкоупругое решение (/=90сут). Сопоставляя картины СГц на рис. 6, а и 6, б, видно насколько существенно результаты расчетов зависят от принятой модели материала. Установлено, что учет реологического поведения бетона приводит к перераспределению внутренних усилий в блоке на протяжении всего периода наблюдения.

Задача 3,а. Расчет линейно деформируемого стержня (сваи) квадратного поперечного сечения, защемленного в вязкоупругом массиве (основании), см. рис. 7. Сваю моделируем восемью пространственными стержневыми КЭ. Исходные данные: свая - сечение 0,25x0,25 м, изгибная жесткость 12,8*10 4 Н'М *; основание - линейно вязкоупругое с ядром сдвиговой релаксации в виде

Здесь постоянные ^=1,26 И /?=2,3 заданы в преобразованном масштабе времени (единица времени 10 сут).

С целью придания большей физичности рассматриваемой задаче заштрихованные элементы (рис. 7), контактирующие со сваей, "отключаем" (т. к. в них возникают растягивающие напряжения).

Расчет с учетом веса контактирующих тел выполняем по шаговой схеме. Число шагов т принимаем равным 60. Положения оси сваи в деформированном состоянии при í =0 и 1—60 сут показаны на рис. 8,а (перемещения увеличены в 25 раз). Данные о характере формоизменения оси сваи качественно соответствуют результатам распределения усилий, полученным Н.Х. Арутюняном с помощью операторного метода сил для стержневой модели.

Векторная картина напряженного состояния основания при t =60 сут представлена на рис. 8,б.

Задача 4,а. Взаимодействие ленточного фундамента с основанием (плоская деформация, полное сцепление). Упругие характеристики: фундамента основания Величины и

- начальные модули упругости. Параметры упрочнения материалов фундамента и основания

м м

Рис.6

Рис.9

Учитывая симметрию геометрии, механических свойств и условий закрепления задачи, конечно-элементную модель построим для 1/2 части расчетной схемы, показанной на рис. 9,а. На рис. 9,б приведена соответствующая схема разбивки на изопараметрические конечные элементы. Сеть элементов сгущена в местах предполагаемой концентрации напряжений у края фундамента. Величина интенсивности распределенной нагрузки q изменялась от 0 до 10 МПа с шагом 1 МПа. Для лучшего понимания эффекта перераспределения контактных напряжений под подошвой фундамента на рис. 10 приведены картины £Т,К# в основании и фундаменте (масштаб перемещений 1:1) для различных уровней на-

грузки. На модели фундамента видны места концентрации а зкв, смыкающиеся при д=ЮМПа в центре штампа. На практике в этой зоне образуется пластический шарнир, и фундаментный блок теряет несущую способность.

В седьмом разделе приведены основные соотношения МКЭ для решения прикладных задач динамической теории упругости в трехмерной постановке. Разработано математическое и программное обеспечение для оценки динамической жесткости пространственных объемно-стержневых систем. Для определения нескольких первых собственных значений и соответствующих форм использован стандартный алгоритм метода итераций в подпространстве. Следует отметить, что в отличие от статического расчета при модальном анализе из глобальных матриц жесткости и масс удаляются все "лишние" (соответствующие нулевым перемещениям) строки и столбцы. Пластинчатые и оболочечные конструкции моделируются "моментными" КЭ.

На тестовых примерах выполнен сравнительный анализ устойчивости и точности схем прямого интегрирования уравнения движения (без учета демпфирования) Ньюмарка и Г.В. Василькова, разработанных применительно к МКЭ. Установлено, что наибольшей вычислительной эффективностью обладает решение ГБ. Василькова в скоростях. На основании полученных данных сформулированы рекомендации по назначению величины шага интегрирования для различных способов возбуждения колебаний в объемно-стержневых конструкциях.

С помощью разработанной конечно-элементной программы решены следующие задачи промышленного характера.

Задача 1,6 Модальный анализ шестиэтажного здания (объемно-стержневая модель). Исходные данные: перекрытия — Е= 3,4 •104МПа, V 0,17, р=2,5,103К1УМ3; стойки - осевые моменты инерции 1,2,3 этажи соответственно 0,5208- 106см4, 0Д133-106см\ 0,6750 105см4; 4, 5, 6 этажи - 0,1333-105см\ В основании полагаем жесткую заделку.

Результаты анализа первых десяти форм свободных колебаний представлены на рис. 11. Соответствующие собственные значения приведены под рисунками. Как видно конечно-элементная модель рассматриваемого сооружения имеет кратные частоты свободных колебаний, что объясняется симметрией геометрии и граничных условий. Установлено, что пренебрежение угловыми динамическими перемещениями приводит к неверным результатам.

Задача 2,б. Анализ частот и форм свободных колебаний коленчатого вала рядного дизельного двигателя внутреннего сгорания. Конечно-элементная модель коленчатого вала дизеля типа 6ЧН12/13, предназначенного для установки на маломерные суда и маневровые тепловозы, приведена на рис. 12. Параметры конечно-элементной модели: число элементов ансамбля - 10646; число узлов сетки КЭ - 11833; число степеней свободы системы - 35499.

V, = 0,9730 Гц У5 б = 1,001 Гц = 1,285 Гц

У, = 1,400 Гц \>10= 1,484 Гц

Рис.11

Вертикальные и горизонтальные связи расположены на осях коренных шеек вала. Результаты численного анализа представлены на рис. 13. Под рисунком первой формы колебаний приведено соответствующее значение круговой частоты (оа 1). Полученные данные показали, что наиболее опасными для данной конструкции вала являются продольные (осевые) колебания, соответствующие основному тону.

В восьмом разделе дано описание разработанного конечно-элементного комплекса POLYGON V. Все модули программ реализованы на Фортране 90 (Fortran PowerStation 4.0). Вычисления производятся с удвоенной точностью. Хранение коэффициентов глобальных матриц жесткости и масс организовано в виде динамических одномерных массивов в разреженном строчном формате RR(U)U, т. е. в форме неупорядоченных связных списков, включающих только ненулевые элементы. Ввод исходной информации о геометрии и топологии расчетной модели осуществляется в документированном виде с использованием процедуры кодирования информации в приращениях. Данные о сложных конструкциях представляются фрагментарно (по конгломератам КЭ) с использованием процедуры сшивки. Граничные условия вводятся по геометрическому принципу путем параметризации поверхностей, на которые наложены связи. Конечно-элементную сетку, номера узлов и элементов для любого участка модели можно проконтролировать с помощью специальной препроцессорной программы. Для решения результирующей системы уравнений предусмотрено использование метода LDL - факторизации с упорядочиванием портрета матрицы жесткости и предобусловленно-го метода сопряженных градиентов с предварительным нормированием матрицы жесткости ансамбля. Последний метод эффективен для задач большой размерности (более 100 000 неизвестных), т. к. не требует упорядочивания портрета глобальной матрицы жесткости. Контроль исходной геометрии конечно-элементной модели и визуализация результатов расчетов выполняются с помощью графических функций системы Maple V R5 в интерактивном режиме.

,•^-0 05

со i=0,724788,10Vl Рис. 13

Рис. 15

С целью демонстрации возможностей комплекса POLYGON V выполнен линейный анализ взаимодействия свайных кустов 1x1, 1x2 и 2x2 "висячего" типа с основанием (полное сцепление) при одновременном горизонтальном и вертикальном приложении нагрузки к ростверку, см. рис. 14. Система основание - свайный куст моделировалась "моментными" объемными КЭ. Галерея соответствующих иллюстраций показана на рис. 15. Полученные численные результаты совпадают с экспериментальными данными о том, что с ростом вертикальной нагрузки происходит более равномерное распределение напряжений в группе свай, расположенных по схеме 2x2.

В приложениях приведены данные исследований сходимости "момент-ной" схемы МКЭ и выражения для матриц жесткости полилинейных КЭ в замкнутой форме.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие научные и практические результаты:

1. Разработан оригинальный метод построения матриц жесткости объемных изопараметрических полилинейных конечных элементов с использованием идеи "моментной" схемы А.С. Сахарова, суть которой состоит в представлении ковариантных компонент тензора деформации в виде отрезков ряда Тейлора в окрестности местной сопутствующей в общем случае неортогональной системы координат. Полученные тензорно - матричные выражения, связывающие узловые перемещения и деформации, в отличие от соотношений А. С. Сахарова, представленных в тензорно - индексной форме, имеют прозрачную структуру вывода, легко программируются и удовлетворяют современным требованиям твердотельного моделирования пространственных тонкостенных, толстостенных и комбинированных конструкций сложной формы. По сравнению с элементами такого же порядка, но построенными по стандаргной схеме МКЭ (деформации определяются в глобальных осях), предлагаемый элемент обеспечивает устойчивую и монотонную сходимость при меньших вычислительных затратах, а также незаменим при прочностном анализе трехмерных тонкостенных конструкций в случае больших перемещений.

2. Программными средствами реализована процедура ансамблирования объемных (3 степени свободы в узле) и пространственных стержневых (6 степеней свободы в узле) конечных элементов. Разработанный программный модуль ориентирован на уточненный расчет напряженно-деформированного состояния массивных пространственно-армированных тел и на осуществление эффективного усиления пластинчатых и оболочечных конструкций ребрами жесткости, моделируемыми стержневыми (балочными) элементами. Данная методика позволяет существенно расширить круг инженерных задач, что обуславливает конкурентоспособность разработанного математического и программного обеспечения.

3. На многочисленных тестовых примерах, имеющих аналитическое решение или решение, полученное с помощью других численных методов, исследована сходимость и установлены вычислительные (по точности) границы для разработанных "моментных" конечных элементов. Показано, что регулярная двухслойная конечно-элементная схема, с размером шага сетки в плане на порядок большем, чем толщина слоя элементов, позволяет достаточно точно моделировать изгибные деформаций тонкостенных пластин и оболочек при значении коэффициента Пуассона не равном нулю.

4. Выполнен сравнительный анализ по точности и вычислительным затратам разработанного программного обеспечения и многофункционального комплекса для инженерных расчетов COSMOS/DesignSTAR, в котором используются только объемные элементы в виде тетраэдров. Показано, что для достижения приемлемой по перемещениям точности созданный пакет прикладных программ требует значительно меньшего числа конечных элементов в форме

призм и параллелепипедов. Уменьшение размерности дает выигрыш в затратах времени на формирование топологической информации и решение результирующей системы уравнений.

5. Разработана процедура предикции для метода переменных параметров упругости, обеспечивающая устойчивую сходимость для наиболее распространенных физически нелинейных моделей материала, позволяющих описывать деформационные свойства металла, бетона, железобетона, полимеров, а также оснований естественного и искусственного происхождения. Данная особенность повышает качество разработанного программного обеспечения, т. к. делает итерационный процесс уточнения упругопластического решения управляемым.

6. Получено численное решение трехмерной задачи нелинейного взаимодействия фундамента с основанием в новой постановке, суть которой состоит в том, что конгломераты конечных элементов, принадлежащие основанию и фундаменту, описываются разными физически нелинейными моделями материала. Результаты упругопластического решения "слоевой" задачи доведены до практического применения в виде данных о трансформации эпюры компонент тензора напряжений под подошвой образного фундамента и его осадке в процессе поэтапного нагружения. В программу добавлен модуль, позволяющий пересчитывать координаты узлов конечно-элементного ансамбля в случае, если полученные перемещения существенного искажают расчетную схему.

7. Формализован оригинальный конечно--элементный алгоритм решения связанной задачи вязкоупругости и упругопластичности, основанный на пространственно-временной зависимости модулей объемной и сдвиговой деформации соответственно от гидростатического давления и деформации сдвига. Данный подход отличается от алгоритмов других авторов тем, что в нем используются более простые механико-математические модели материала, лежащие в основе деформационной теории пластичности и наследственной теории упругости. Это позволяет получить численное решение смешанной краевой задачи программным способом, не прибегая к сложным физическим соотношениям.

8. На модельных задачах апробирован новый метод и МКЭ-программа прочностного анализа массивных тел из "стареющих" вязкоупругих материалов при квазистатическом силовом нагружении и нестационарном температурном воздействии. По сравнению с техническими теориями ползучести (старения, течения и упрочнения) предлагаемый подход основан на интегральной форме связи компонент тензоров напряжений и деформаций, что позволяет использовать известные ядра релаксации, полностью хранить информацию об "истории" квазистатического нагружения и варьировать величиной шага интегрирования по временной оси в процессе вычислений.

9. Разработан метод расчета на малые упругие колебания объемно-стержневых систем, включающий модальный анализ и определение переменного напряженно-деформированного состояния при различных видах внешнего воздействия. Частичная обобщенная собственная проблема решена с помощью стандартного алгоритма метода итераций в подпространстве. В конечно-

элементном алгоритме прямого интегрирования уравнения движения реализованы безусловно устойчивые неявные схемы Ньюмарка и Г.В. Василькова. Метод реализован в виде программного модуля, с помощью которого выполнен спектральный анализ для несущего каркаса шестиэтажного здания и шестицилиндрового рядного дизеля средней мощности, а также исследовано динамическое поведение системы основание -дорожное покрытие при набегающем характере нагружения, имитирующем движение большегрузного автомобиля весом 34 т со скоростью 90 км/ч.

10. Предложен новый инженерный, метод расчета валопровода силовой энергетической установки с приводом от поршневого двигателя внутреннего сгорания на крутильные колебания с учетом чередования вспышек, демпфирования и случая нештатной ситуации, связанной с отключением одного из рабочих цилиндров. Разработанное математическое обеспечение и МКЭ-программа позволяют заменить дорогостоящие ходовые испытания (торсиографирование) главных судовых двигателей, которые проводятся согласно требованиям "Морского регистра" при поочередно отключаемых рабочих цилиндрах. На основании модального анализа, оценена динамическая жесткость коленчатого вала шестицилиндрового рядного судового дизеля средней мощности и выработаны практические рекомендации по усилению элементов несущего остова. С помощью разработанного программного обеспечения установлено, что детали ци-линдропоршневой группы главного двигателя теплохода "Аксай" на номинальном режиме существенно перегружены в тепловом и механическом отношении. На основании сделанного технического заключения, судовладельцем было принято решение о корректировке винтовой характеристики судна путем уменьшения диаметра винта.

11. На базе нового стандарта Фортрана 90 разработано вычислительное ядро комплекса прикладных программ POLYGON V, предназначенного для статического, квазистатического и динамического конечно-элементного анализа объемно-стержневых систем при различных видах силового и температурного воздействия с учетом упругопластичности и вязкоупругости материала. Вычислительное ядро комплекса основано на символьном представлении портретов матрицы жесткости и согласованной матрицы масс, что позволяет оценить ресурсы и выбрать тип решателя до процедуры численного ансамблирования. Комплекс построен по модульному принципу, документирован и имеет открытую структуру, что позволяет дополнять его новыми численными схемами, моделями материалов и совершенствовать на решении широкого круга задач учебного, промышленного и исследовательского характера.

Список основных работ, опубликованных по теме диссертации:

1. Воронцов Г.В., Гайджуров П.П. Управление силовой намоткой цилиндрических изделий при неполном знании упругих характеристик полуфабрикатов /Изв. Сев.-Кавк. науч. центра высш. школы. Техн. науки. - 1984.-№4.-С.29 -32.

2. Гайджуров П.П. Конечно-элементный анализ напряженного состояния намоточных оболочек, выполненных из неоднородных и нелинейно упругих материалов /Актуальные проблемы механики оболочек. Тез докл. II Всесо-юзн. совещания-семинара молодых ученых.- Казань, 1985.-С.45.

3. Воронцов Г.В., Гайджуров П.П. Алгоритмы расчета конструкций с изменяемой, наращиваемой или разрушаемой структурой /Изв. вузов. Строительство и архитектура.- 1987.-№8.-С.23-27.

4. Воронцов Г.В., Гайджуров П.П. Конечно-элементный анализ напряженного состояния нелинейно деформируемых композитных тел вращения с учетом технологической предыстории/Тез. докл. III Всесоюзн. конф. по нелинейной теории упругости.-Сыктывкар, 1989.-С. 136-137.

5. Гайджуров П.П. Построение матрицы жесткости криволинейного конечного элемента с использованием вспомогательных аппроксимирующих полино-мов/Новочерк. гос. техн. ун-т.- Новочеркасск, 1996.-15с.-Деп. в ВИНИТИ 17.04.96, №6-б/о 54.

6. Гайджуров П.П. Конечно-элементный анализ напряженно - деформированного состояния тел вращения в трехмерной постановке/Новочерк. гос. техн. ун-т.- Новочеркасск, 1997.-9с.-Деп. в ВИНИТИ 01.04.97, №6-бЪ 149.

7. Гайджуров П. П. Объемные конечные элементы повышенной точности для прочностных расчетов деталей поршневых двигателей внутреннего сгорания /Новочерк. гос. техн. ун-т,- Новочеркасск, 1998.-22с.-Деп. в ВИНИТИ 04.08.98, №2515-В98.

8. Гайджуров П.П. Методика вычисления механических напряжений в машиностроительных конструкциях сложной формы /Новочерк. гос. техн. ун-т.-Новочеркасск, 1998 -13с.-Деп. в ВИНИТИ 04.12.98, №3541-В98.

9. Гайджуров П.П., Белаш В.В. Численные методы решения прикладных задач динамической теории упругости /Рост. гос. строит, ун-т.- Ростов н/Д, 1998.-21 с -Деп. в ВИНИТИ 23.12.98, №3919-В98.

Ю.Гайджуров П.П., Белаш В.В. Исследование свойств матриц жесткости объемных конечных элементов /Рост. гос. строит, ун-т.— Ростов н/Д, 1998.-16с.-Деп. в ВИНИТИ 14.01.99, №59-В99.

11.Гайджуров П.П., Белаш В.В. Несовместные объемные конечные элементы /Строительство-99: Тез. докл. Междунар. науч.-практ. конф. - Ростов н/Д: Рост, ин-т промышл. и граждан, строит-ва, 1999.-С.63.

12.Васильков. Г.В., Гайджуров П.П., Орта-Ранхель А. Шаговый метод решения пространственных задач линейной теории наследственности/Рост. гос. строит, ун-т.- Ростов к н/Д, 2000 -20с.-Деп. в ВИНИТИ 28.06.00, №1799-В00.

13.Васильков. Г.В., Гаиджуров П.П. Расширенный вариационный принцип Гамильтона, экстремальная теорема динамики сооружений/Известия Рост. гос. строит. ун-та.-2000.-№5.-С.47-55.

14.ГайджуровП.П., Орта-Ранхель А. Расчетно-вычислительный комплекс POLYGON V для конечно-элементного моделирования пространственных конструкций и сооружений /Строительство-2000: Тез. докл. Междунар. на-уч.-практ. конф. - Ростов н/Д: Рост. гос. строит, ун-т, 2000.-С. 16.

15.Гаиджуров П.П., Федоренко С.Н. Инженерный анализ частот и мод свободных колебаний коленчатого вала шестицилиндрового рядного дизельного двигателя средней мощности /Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах. Ч. I: Материалы междунар. науч.-практ. конф. - Новочеркасск: Новочерк. гос. техн. ун-т.-2000.-С.4-6.

16.Гайджуров П.П., Хосе Луис Пулидо Дельгадо. Конечно-элементный анализ вынужденных колебаний/Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах. Ч. I: Материалы междунар. науч.-практ. конф. - Новочеркасск: Новочерк. гос. техн. ун-т.-2000.-С.26-31.

17.Гайджуров П.П., Хосе Луис Пулидо Дельгадо. Расчет напряженно-деформированного состояния дорожного покрытия в статической и динамической постановках /Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах. Ч. I: Материалы междунар. науч.-практ. конф. - Новочеркасск: Новочерк. гос. техн. ун-т.-2000.-С.32-37.

18.Гайджуроо П.П. Инженерный анализ жесткостных свойств повторяющихся фрагментов коленчатых валов /Вестник машиностроения. - 2000. - №7. -С.22-25.

19.Мыльнев В.Ф., Гаиджуров П.П., Гасанов А.Б. Динамика и колебания поршневых ДВС: Учеб. пособие /Юж.-Рос. гос. техн. ун-т.-Новочеркасск: ЮРГТУ,2001.-160с.

20.Гаиджуров П.П. Анализ частот и форм свободных колебаний коленчатого вала рядного дизеля в трехмерной постановке /Вестник машиностроения. -

2002.-№3.-С.20-22.

21.Васильков Г.В., Гайджуров П.П. Анализ напряженно-деформированного состояния групп свай/Строительство-2002: Тез. докл. Междунар. науч.-практ. конф. - Ростов н/Д: Рост. гос. строит, ун-т, 2002.-С.75-76.

22.Гайджуров П.П. Конечные элементы повышенной точности для решения трехмерных задач теории упругости /Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Технические науки. - 2003. - №1. - С.54-58.

23.Гаиджуров П.П. Конечно-элементное моделирование нелинейного контактного взаимодействия штампа и основания /Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. - 2003. - Приложение №1. - С. 1-9.

24.Гайджуров П.П. Конечно-элементное решение пространственной задачи теории вязкоупругости /Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Технические науки. -

2003. - Приложение №1. - С.38-46. _

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

< 09 ПО «гг

25.Гайджуров П.П. Конечно-элементное решение упругопластической задачи при циклическом нагружении /Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Технические науки. - 2003. - Приложение №3. - С.83-87.

26.Гайджуров П.П. Конечно-элементный анализ собственных частот и форм объемно-стержневых систем /Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Технические науки. - 2003. - Приложение №3. - С.80-83.

27.ГаИджуров П.П. Инженерный анализ крутильных колебаний валопроводов энергетических установок/Вестник машиностроения. - 2003. - № 7. - С.29-32.

28.Гайджуров П.П. Конечно-элементное решение вязкоупругой задачи /Вестник Нижегородского университета. Серия Механика. — 2003. — Вып. 1 (5).-С.70-77.

29.Гайджуров ПЛ. Конечно-элементное решение упругопластических задач при циклическом нагружении /Изв. вузов. Машиностроение. - 2003. - №10. -С.11-16.

30.Гайджуров ПЛ. Модальный анализ объемно-стержневых механических систем (МОДА) / Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2003611347.-М.: Р0СПАТЕНТ.-2003.

31.Гайджуров П.П. Визуализация результатов конечно-элементного анализа форм свободных колебаний пространственных конструкций (ФОРМА) / Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2003611346.-М.: РОСПАТЕНТ.-2003.

32.Гайджуров П.П., Енацкий М.А. Тепловой и динамический расчеты поршневых двигателей внутреннего сгорания (Мотор) / Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2003611332.-М.: РОСПА-ТЕНТ.-2003.

33.Гайджуров ПЛ., Енацкий МЛ. Расчет валопроводов силовых энергетических установок с приводом от поршневых двигателей внутреннего сгорания на крутильные колебания (Динамика)/Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2003611556.-М.: РОСПАТЕНТ.-2003.

Гайджуров Петр Павлович

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ОБЪЕМНО-СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Автореферат

Подписано в печать 09.04.2004. Формат 60x84 '/)«. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 2. Уч.-изд. л. 2,31. Тираж 100 экз. Заказ 532.

Типография ЮРГТУ (НПИ) 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132 Тел., факс (863-52) 5-53-03 E-mail: !уГР2ГфЬуno\осh■ №

Общая характеристика работы.

1. Роль конечно-элементного моделирования на современном этапе науки и техники.

1.1. Развитие метода конечных элементов.

1.2. Развитие нелинейной вычислительной механики.

1.3. Краткий обзор программного обеспечения для конечно-элементного анализа.

2. Матричные алгоритмы метода конечных элементов для решения пространственных задач теории упругости.

2.1. Прямолинейный стержневой конечный элемент.

2.2. Полилинейные изопараметрические конечные элементы в декартовых координатах.

2.3. Поликубический элемент Эрмита.

2.4. Ансамблирование объемных и стержневых конечных элементов.

2.5. Выводы ко второму разделу.

3. „Моментная" схема метода конечных элементов.

3.1. Построение несовместных функций перемещений с помощью вспомогательных аппроксимирующих полиномов.

3.1.1. Полилинейный конечный элемент.

3.1.2. Поликвадратичный конечный элемент.

3.2. Аппроксимация компонент тензора деформаций.

3.3. „Функции формы" объемных изопараметрических конечных элементов.

3.4. Алгоритм формирования матрицы жесткости объемных конечных элементов по „моментной" схеме.

3.5. Алгоритм „моментной" схемы в цилиндрических координатах.

3.6. Алгоритм формирования матрицы жесткости по моментной" схеме для осесимметричной задачи.

3.7. Алгоритмы вычисления напряжений.

3.7.1. Метод сопряженных аппроксимаций.

3.7.2. Вычисление напряжений в пластинах и оболочках'.

3.8. Выводы к третьему разделу.

4. Численное исследование сходимости.

4.1. Балки и кольца.

4.2. Тонкостенные пластины.

4.3. Толстостенные пластины.

4.4. Оболочки.

4.5. Выводы к четвертому разделу.

5. Реологические модели упруговязкопластических сред.

5.1. Основные соотношения линейной наследственной теории упругости в трехмерной постановке.

5.1.1. Физические соотношения.

5.1.2. Способы моделирования линейной ползучести с учетом изменения деформационных свойств материала.

5.2. Вариационное уравнение равновесия для задач наследственного типа.

5.3. Шаговый алгоритм метода конечных элементов в перемещениях для решения задач линейной теории наследственности.

5.4. Выбор расчетного значения шага по временной координате.

5.5. Вычислительные особенности шагового алгоритма.

5.6. Матричное представление физических соотношений в рамках деформационной теории пластичности.

5.7. Вычислительные особенности конечно-элементного решения упругопластических задач.

5.8. Конечно-элементный алгоритм решения упруговязкопластических задач.

5.9. Выводы к пятому разделу.

6. Численное исследование точности и сходимости шаговых процедур МКЭ, предназначенных для решений задач вязкоупругости и пластичности.

6.1. Численное исследование точности и сходимости шаговой конечно-элементной процедуры решения задач вязкоупругости.

6.2. Тестирование шаговых конечно-элементных алгоритмов решения нелинейных задач.

6.3. Тестирование шаговой процедуры при переменном нагружении.

6.4. Компьютерное моделирование контактного взаимодействия системы „штамп-основание" в условиях полного сцепления.

6.5. Выводы к шестому разделу.;.

7. Численные методы решения прикладных задач динамической теории упругости.

7.1. Матричное уравнение движения механической системы в формулировке метода конечных элементов.

7.2. Матрица масс объемного изопараметрического конечного элемента.

7.3. Матрица масс пространственного прямолинейного бруса.^.

7.4. Анализ частот и мод свободных колебаний пространственных конструкций.

7.5. Примеры расчета частот и форм свободных колебаний.

7.6. Конечно-элементный анализ вынужденных колебаний.

7.7. Примеры конечно-элементных расчетов при динамическом нагружении.

7.8. Модальный анализ шестиэтажного здания.

7.9. Анализ частот и форм свободных колебаний коленчатого вала рядного дизеля в трехмерной постановке.

7.10. Инженерный анализ крутильных колебаний валопроводов энергетических установок с приводом от поршневых двигателей внутреннего сгорания.

7.11. Расчет напряженно-деформированного состояния дорожного покрытия в динамической постановке.

7.12. Выводы к седьмому разделу.

8. Расчетно-вычислительный комплекс POLYGON V для конечно-элементного моделирования пространственных конструкций и сооружений.

8.1. Организация вычислительного процесса.

8.2. Выбор расчетной схемы и ансамблирование.

8.3. Описание основных параметров конечно-элементной модели.

8.4. Структура исходных данных.

8.5. Фрагментарный способ дискретизации массивных тел сложной формы.

8.6. Визуализация результатов конечно-элеметного моделирования.

8.7. Примеры конечно-элементного моделирования промышленных объектов с использованием комплекса POLYGON V.

8.8. Выводы к восьмому разделу.

Актуальность темы. На современном этапе развития науки и техники трудно представить процесс проектирования новых машин, зданий и сооружений без широкого использования программ конечно-элементного анализа. Общеизвестно, что для создания многофункционального расчетно - вычислительного комплекса на базе метода конечных элементов (МКЭ) требуются усилия многих специалистов в области строительной механики, прикладной математики и системотехники.

В последнее время повышенный интерес исследователей проявляется к трехмерным механико-математическим моделям, учитывающим вязкоупругое и упругопластическое поведение материала. Однако, вычислительные возможности МКЭ при решении пространственных задач механики деформируемого твердого тела ограничены степенью дискретизации исследуемого объекта на конечные элементы (КЭ). В существующих программных комплексах, как правило, рекомендуется трехмерную нелинейную модель упрощать, сводя ее к плоской или осесимметричной. Вместе с тем мало исследованными остаются подходы к построению новых объемных конечных элементов повышенной точности, позволяющих моделировать деформации и большие перемещения тонкостенных и толстостенных конструкций на грубых сетках.

Проблема усложняется при создании конечно-элементного приложения в рамках наследственной теории упругости. В этом случае встает вопрос о выборе схемы численного интегрирования и величины шага по временной оси для различных типов ядер релаксации.

Значительно расширить круг инженерных приложений МКЭ позволяет процедура формализации связанной краевой задачи упруго-пластичности и вязкоупругости при квазистатическом процессе нагружения. Численная реализация данной процедуры открывает возможность исследования напряженно деформированного состояния объекта в процессе возведения (монтажа) и последующей эксплуатации. К сожалению, сейчас эта проблема практически не изучена.

Еще одной мало исследованной областью конечно-элементного анализа является направление, связанное с решением "слоевых" задач в физически и геометрически нелинейной постановке. Для расчета сэндвичевых структур требуется вводить различные параметры идентификации нелинейных моделей, характеризующих деформационные свойства отдельных фрагментов ("слоев"). В публикациях, посвященных численным расчетам с учетом пластичности, решений поставленной задачи не приводится.

Востребованной также является разработка МКЭ-программ для решения задач прочности упругопластических трехмерных систем при циклическом процессе "нагружение - разгрузка".

Существенно увеличить эффективность МКЭ позволяет процедура ансамблирования объемных и стержневых (балочных) конечных элементов. Последние позволяют моделировать ребра жесткости пластин и оболочек, рассчитывать на прочность массивные предварительно напряженные железобетонные конструкции, а также разрабатывать рекомендации по увеличению жесткости аварийных сооружений с помощью тяжей. Вместе с тем в литературе по МКЭ отсутствуют сведения об использовании объемно-стержневых моделей.

Необходимо указать на малое число работ, посвященных конечно-элементному анализу линейно упругих колебаний трехмерных механических систем при силовом и кинематическом воздействиях. В частности нет сведений о МКЭ-программах, предназначенных для модального анализа объемно-стержневых моделей.

Важнейшей частью конечно-элементного комплекса является банк тестовых и учебных примеров, включая нелинейные задачи.

Данная информационная составляющая определяет качество и достоверность используемых механико-математических моделей материала, показывает вычислительную эффективность алгоритмов и создает благоприятные предпосылки для промышленного внедрения пакета прикладных программ.

Рассмотренные в настоящей работе вопросы развития теории МКЭ и его приложений к задачам механики деформируемого твердого тела и динамики и прочности машин связаны со следующими проблемами:

- существующие объемные конечные элементы требуют значительных вычислительных затрат при решении трехмерных задач теории упругости и не позволяют моделировать больших перемещений;

- для расчета на прочность упругопластических неконсервативных пространственных систем требуется разработать универсальный итерационный алгоритм МКЭ, индифферентный к величине параметра пластичности;

- трехмерные реологические модели сплошной среды, основанных на интегральной связи между компонентами тензоров деформаций и напряжений, требуют разработки шаговой процедуры МКЭ, основанной на пространственно-временной дискретизации краевой задачи;

- отсутствует алгоритм построения конечно-элементной модели, образованной из конечных элементов с различным числом неизвестных в узлах;

- требуется разработать концепцию МКЭ для решения связанной краевой задачи упругопластичности и вязкоупругости;

- отсутствуют МКЭ-программы для решения прикладных задач динамики объемно-стержневых механических систем;

- необходим банк тестовых примеров, обеспечивающих фундаментальность и гарантию качества конечно-элементного программного комплекса.

Эффективное решение этих проблем возможно на основе совершенствования существующих и разработки новых методов и алгоритмов конечно-элементного моделирования, что определяет актуальность рассматриваемой темы.

Резюмируя можно сформулировать следующую цель научных исследований.

Целью работы является решение важной научной проблемы, связанной с разработкой методов, алгоритмов и МКЭ-программ для расчета упруговязкопластических объемно-стержневых систем и направленной на повышение качества проектирования в области машиностроения и строительства без привлечения дорогостоящих мульти-физических программных комплексов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Анализ современных методов построения матриц жесткости объемных конечных элементов, способов формирования и хранения коэффициентов глобальной матрицы жесткости и алгоритмов решения результирующей системы уравнений с целью оценки их эффективности и разработки соответствующего математического и программного обеспечения.

2. Обзор механико-математических моделей упругопластиче-ских, вязкоупругих и упруговязкопластических сплошных сред для построения физических соотношений конечно-элементного алгоритма в форме метода перемещений.

3. Построение матриц жесткости и тестирование новых универсальных объемных КЭ, позволяющих моделировать изгибные деформации тонкостенных и толстостенных пластин и тел вращения.

4. Разработка алгоритма и программы ансамблирования объемных и пространственных стержневых (балочных) КЭ.

5. Разработка программы генерации трехмерной сетки элементов и формирования соответствующих массивов топологической информации.

6. Создание программы решающего устройства, включающего формирование глобальной матицы жесткости ансамбля КЭ, решение результирующей системы алгебраических уравнений, вычисление внутренних усилий в стержневых и напряжений в объемных элементах.

7. Построение программного модуля пре- и постпроцессорной обработки информации.

8. Разработка и исследование сходимости нового метода конечно-элементного анализа напряженного состояния массивных тел, выполненных из линейно вязкоупругого материала при квазистатическом процессе нагружения.

9. Разработка и исследование сходимости нового эффективного метода и МКЭ-программы решения пространственных задач теории пластичности при циклическом процессе нагружения.

10. Разработка нового метода решения связанной задачи упруго-пластичности и вязкоупругости.

11. Разработка пакета прикладных программ МКЭ для динамического расчета механических объемно-стержневых систем.

Диссертационная работа выполнена в рамках научных направлений Южно-Российского государственного технического университета (НПИ) по темам: "Компьютерная оптимизация, ресурсосберегающие расчеты и управление состоянием строительных конструкций и оснований зданий и сооружений", "Совершенствование, разработка узлов, агрегатов, систем и программ расчета деталей, улучшающих эффективность и экономичность поршневых и комбинированных двигателей внутреннего сгорания".

Методы исследований

В работе использовались:

- элементы тензорного анализа и вариационного исчисления (принцип Лагранжа), матричная алгебра, интерполяционные полиномы и сплайны;

- методы и алгоритмы решения больших систем линейных алгебраических уравнений с симметричными редкозаполненными матрицами коэффициентов;

- алгоритмы экономичного хранения разреженных матриц высокого порядка в терминах теории графов;

- теория малых упругопластических деформаций;

- наследственная теория упругости;

- численные методы решения нестационарных задач теории упругости, включая модальный анализ;

- элементы дискретной и компьютерной (символьной) математики.

Основные научные результаты и положения, выносимые на защиту

1. Новые тензорно - матричные алгоритмы построения матриц жесткости "моментных" полилинейных КЭ.

2. Пространственные механико-математические модели упругопластических и вязкоупругих материалов.

3. Новые методы, алгоритмы и программы конечно-элементного анализа напряженно деформированного состояния трехмерных тел, выполненных из упругопластических и вязкоупругих материалов.

4. Оригинальная методика расчета объемно-стержневых механических систем при динамическом нагружении.

5. Программный комплекс POLYGON V и модули пре- и постпроцессорной обработки данных конечно-элементного расчета.

6. Числовые результаты исследований сходимости и точности разработанных алгоритмов и программ.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

1. Получены оригинальные соотношения для матриц жесткости "мо-ментных" трехмерных (в общем случае криволинейных) элементов, инвариантные по отношению к глобальному базису и учитывающие в процессе сложного деформирования смещения элементарных объемов "как жесткое целое". Отличительной особенностью предлагаемых элементов является вычисление физических компонент тензоров деформаций и напряжений относительно местных "сопутствующих" в общем случае неортогональных осей. Для случая, когда изменением метрики в объеме элемента можно пренебречь, представленные матричные выражения преобразованы к замкнутому виду.

2. Впервые создана процедура ансамблирования объемных и стержневых (балочных) конечных элементов, позволяющая решать задачи пространственного армирования и усиления конструкций и сооружений.

3. Выявлены новые важные особенности, возникающие при моделировании пластинчатых и оболочечных конструкций по толщине одно- и двухслойными схемами изопараметрических полилинейных КЭ, построенных на основе "моментного" и стандартного алгоритмов МКЭ.

4. Впервые исследованы вычислительные особенности алгоритма "глобального" сглаживания поля напряжений для трехмерного конечно-элементного ансамбля. На базе теории сопряженных аппроксимаций получены новые выражения для фундаментальных матриц объемных элементов с различным числом узлов. Разработан универсальный алгоритм вычисления физических компонент тензора напряжений "моментных" КЭ.

5. Разработан и апробирован на модельных задачах новый конечноэлементный алгоритм решения задач линейной вязкоупругости с учетом переменного квазистатического нагружения и зависимости реологических характеристик материала от времени и температуры.

6. Формализована оригинальная механико-математическая модель сдвиговой ползучести стареющего материала, применительно к шаговой процедуре МКЭ в форме метода перемещений.

7. Исследована сходимость численного решения задачи наследственной теории упругости в зависимости от типа ядра релаксации, способа численного интегрирования и схемы дискретизации по временной оси.

8. Разработан и реализован эффективный алгоритм метода переменных параметров упругости в сочетании с процедурой предикции для решения задач теории пластичности. Предлагаемый новый алгоритм позволяет исследовать пластический отклик конечно-элементной модели при циклическом нагружении.

9. Впервые разработано программное обеспечение, позволяющее в рамках единого вычислительного процесса использовать для отдельных фрагментов (конгломератов КЭ) ансамбля различные нелинейные модели материала.

10. Разработан конечно-элементный алгоритм прочностного расчета упруговязкопластических тел, основанный на шаговой схеме процесса нагружения (разгрузки), инкрементальной нелинейно деформируемой модели материала и интегральной зависимости между результирующими тензорами напряжений и деформаций.

11.Создан метод динамического анализа объемно-стержневых механических систем. Сформулированы практические рекомендации по выбору шага по времени для различных способов возбуждения колебаний, обеспечивающие устойчивую сходимость процесса прямого интегрирования уравнения движения.

12. На базе нового стандарта Фортрана 90 разработано вычислительное ядро конечно-элементного комплекса POLYGON V, предназначенного для решения научно-исследовательских и промышленных задач в области машиностроения и строительства.

13. На основе графических функций системы компьютерной математики Maple V R5 созданы пре- и постпроцессорные программные модули визуализации исходных данных (геометрия, топология) и результатов конечно-элементного анализа.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждена результатами численного исследования сходимости на тестовых примерах, имеющих заранее известное решение, а также данными комплексного контроля, включающего:

- проверку выполнения условий равновесия внутренних усилий в поперечных сечениях отдельных конгломератов конечных элементов;

- проверку на отсутствие напряжений обжатия на лицевых ненагру-женных поверхностях конструкции;

- проверку на выполнение условия равновесия конечно-элементной модели в интегральном смысле;

- проверку на отсутствие напряжений при смещении тела вдоль глобальных осей "как жесткого целого".

Для вывода основных выражений в тензорно матричной форме использовался символьный процессор системы компьютерной математики Maple V R5.

Практическая значимость и внедрение работы заключается в следующем:

1. Разработаны и апробированы на разнообразных тестовых примерах новые универсальные объемные полилинейные КЭ изопараметри-ческого типа, удовлетворяющие современным требованиям твердотельного моделирования.

2. Создан метод конечно-элементного анализа упругопластических континуумов, отдельные фрагменты которых могут описываться индивидуальными нелинейными диаграммами деформирования материала. Получено численное решение новой "слоевой" задачи о нелинейном взаимодействии ленточного фундамента и основания. Результаты упругопластического решения доведены до практического применения в виде данных о трансформации эпюры компонент тензора напряжений под подошвой фундамента и его осадке в процессе нагружения.

3. Разработаны новый метод и МКЭ-программа расчета вязкоупругих механических систем при переменном квазистатическом нагруже-нии с учетом зависимости реологических параметров материала от времени и температуры. Впервые получено конечно-элементное решение задачи о взаимодействии твердеющего бетонного блока с линейно упругим скальным основанием в условиях неоднородного и нестационарного температурного поля.

4. Реализована оригинальная процедура ансамблирования объемных и стержневых КЭ, позволяющая формировать глобальную матрицу жесткости из элементов, имеющих различное число степеней свободы в узлах. Данная методика позволяет существенно расширить круг инженерных задач, что обуславливает конкурентоспособность разработанного математического и программного обеспечения.

5. Создан новый инженерный метод анализа крутильных колебаний возбуждаемых в валопроводе энергетической силовой установки с приводом от поршневого двигателя внутреннего сгорания с учетом порядка чередования вспышек, внутреннего демпфирования и нештатной ситуации, связанной с отключением одного рабочего цилиндра. Разработанный метод и МКЭ-программа позволяют заменить дорогостоящие натурные испытания (торсиографирование) главных судовых двигателей, которые проводятся согласно требованиям "Морского регистра" при поочередно отключаемых рабочих цилиндрах.

6. Разработан и апробирован на модельных задачах метод модального анализа, позволяющий оценить динамическую жесткость пространственных конструкций и сооружений, моделируемых "моментны-ми" и стержневыми КЭ. Выполнены исследования частот и форм свободных колебаний шестиэтажного здания, шестицилиндрового рядного двигателя средней мощности, ротора агрегата газотурбинного наддува главного судового дизеля.

7. Впервые выполнены исследования малых линейных упругих колебаний "слоевой" системы основание - дорожное покрытие (ширина проезжей части 7,5 м) при набегающем характере нагружения, имитирующем движение большегрузного автомобиля грузоподъемностью 34 т со скоростью 90 км/ ч.

8. Разработан расчетно-вычислительный комплекс POLYGON V, включающий разделы: статический анализ напряженно деформированного состояния линейно упругих массивных, стержневых и комбинированных конструкций; модальный анализ объемно-стержневых механических систем; расчет на устойчивость пространственных стержневых конструкций; динамический анализ при силовом или кинематическом возбуждении колебаний; решение трехмерных задач в рамках деформационной теории пластичности при переменном нагружении; расчет массивных тел, выполненных их вязкоупругого материала. Характерной особенностью МКЭ-программы POLYGON V является модульный принцип, эволюционная структура и ориентация на современное математическое и программное обеспечение. Программы защищены свидетельством об официальной регистрации РОСПАТЕНТом.

9. Возможности разработанного комплекса МКЭ продемонстрированы на модельных примерах промышленного характера: изгиб квадратной плиты, усиленной ребрами жесткости, которые моделировались объемными и стержневыми КЭ; анализ напряженного состояния групп свай (1x1, 1x2, 2x2) висячего типа при действии вертикальной нагрузки и закручивании моментом в плоскости ростверка.

10. На основе разработанного математического обеспечения и соответствующей МКЭ-программы установлено, что главный судовой двигатель теплохода "Аксай" на номинальном режиме перегружен в тепловом и механическом отношении. На основании сделанного технического заключения руководство компании АО "ВолгоДонское пароходство" приняло решение об изменении геометрических параметров винта (путем укорочения лопастей) с целью снижения общей напряженности двигателя.

Разработанные алгоритмы, методики и программы расчетов успешно используются в учебном процессе (при дипломном проектировании), а также аспирантами соответствующих специальностей Ростовского государственного строительного университета и Южно-Российского государственного технического университета. Промышленное внедрение результатов работы осуществлено путем передачи и апробации пакета прикладных программ POLYGON V в проектно-конструкторскую компанию "ФлотТехМенеджмент" при АО "ВолгоДонское пароходство" г. Ростов-ц/ Д.

Апробация работы. Результаты работы докладывались: на Международных научно-практических конференциях "Строительство-1999, 2000, 2002, 2003" (г. Ростов-н/ Д); "Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах - 2000" (г.Новочеркасск); на ежегодных научно-технических конференциях преподавателей кафедры строительной механики Ростовского государственного строительного института, на заседании научно-технического семинара Донского государственного технического университета (г Ростов-н/ Д), на семинаре кафедры "Математическое моделирование" Ростовского государственного университета.

Публикации. Основные научные и практические результаты опубликованы в 33 печатных работах.

Структура и объем диссертации. Работа состоит: из общей характеристики; восьми разделов; заключения; списка литературы из 153 наименований (в том числе 34 зарубежных источников); приложений I, II, III, в которые вынесены выражения для матриц жесткости и данные тестирования (в виде таблиц) разработанного программного комплекса. Объем диссертации - 439 стр., включая 268 рисунка, 36 таблиц.

Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность за творческое участие в обсуждении основных положений и результатов работы заведующему кафедрой строительной механики РГСУ профессору, д.т.н. Г.В. Василькову.

8.8. Выводы к восьмому разделу

1. На базе нового стандарта Фортрана 90 разработан многомодульный программный комплекс POLYGON V для конечно-элементного моделирования деформируемых объемно стержневых систем при квазистатическом нагружении. В качестве физической модели материала объемных конечных элементов может использоваться линейно упругая изотропная или конструктивно анизотропная среда, нелинейно деформируемое тело с линейным или степенным упрочнением, линейно ползучий стареющий континуум.

2. Свойства материала задаются путем идентификации фрагментов (конгломератов конечных элементов). При этом сначала формируются массивы механических констант для внутренних (замкнутых) фрагментов, а затем для наружных фрагментов.

3. В комплексе реализуются следующие типы нагрузки: сосредоточенные в узлах ансамбля элементов силы; поверхностное нагружение (включая нормальное давление); температурное воздействие; кинематическое нагружение в виде заданных линейных смещений узловых точек; массовые силы (включая силу инерции). В динамических расчетах линейно упругих малых колебаний задаются номера узлов конечно-элементной модели, на которые действуют переменные силы. Может использоваться внезапно приложенная (неисчезающая) нагрузка, переменное нагружение по линейному или периодическому гармоническому (негармоническому) законам, исчезающее (импульсное) воздействие, кинематическое возмущение. В случае табличного представления информации о процессе нагружения в программе предусмотрена линейная, квадратичная или кубическая сплайновая интерполяция данных.

4. Граничные условия конструируются по геометрическому принципу путем параметризации поверхностей, на которые наложены линейные и угловые связи.

5. На основе графических функций пакета компьютерной математики Maple V R5 созданы программы пре- и постпроцессорной обработки информации о состоянии каркаса конечно-элементной модели на стадиях подготовки исходных данных и после приложения нагрузки. Все соответствующие расчеты выполняются в MS DOS, в среде Maple V осуществляется только построение каркаса модели.

6. Разработаны вспомогательные программы визуализации результатов расчетов в виде 1D и 2D графиков; Пользователь в исходных данных задает номера контрольных узловых точек, ансамбля, для которых строятся графики. Этот модуль обслуживает как статические, так и динамические расчеты.

7. С помощью RGB алгоритма создана процедура контрастного окрашивания конечно-элементной модели по функциональным признакам (напряжения, интенсивность деформации). По желанию пользователя контрастные картины строятся в цвете или черно-серые. Данный вид визуализации снабжен соответствующей шкалой для количественного анализа результатов моделирования. Для графического представления поля главных напряжений служит процедура визуализации в виде цветных векторных графиков с копированием геометрии расчетной модели.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие научные и практические результаты:

1. Разработан оригинальный метод построения матриц жесткости объемных изопараметрических полилинейных конечных элементов с использованием идеи "моментной" схемы А.С. Сахарова, суть которой состоит в представлении ковариантных компонент тензора деформации в виде отрезков ряда Тейлора в окрестности местной сопутствующей в общем случае неортогональной системы координат. Полученные тензорно - матричные выражения, связывающие узловые перемещения и деформации, в отличие от соотношений А. С. Сахарова, представленных в тензорно - индексной форме, имеют прозрачную структуру вывода, легко программируются и удовлетворяют современным требованиям твердотельного моделирования пространственных тонкостенных, толстостенных и комбинированных конструкций сложной формы. По сравнению с элементами такого же порядка, но построенными по стандартной схеме МКЭ (деформации определяются в глобальных осях), предлагаемый элемент обеспечивает устойчивую и монотонную сходимость при меньших вычислительных затратах, а также незаменим при прочностном анализе трехмерных тонкостенных конструкций в случае больших перемещений.

2. Программными средствами реализована процедура ансамблирования объемных (3 степени свободы в узле) и пространственных стержневых (6 степеней свободы в узле) конечных элементов. Разработанный программный модуль ориентирован на уточненный расчет напряженно деформированного состояния массивных пространственно армированных тел и на осуществление эффективного усиления пластинчатых и оболочечных конструкций ребрами жесткости, моделируемыми стержневыми (балочными) элементами. Данная методика позволяет существенно расширить круг инженерных задач, что обуславливает конкурентоспособность разработанного математического и программного обеспечения.

3. На многочисленных тестовых примерах, имеющих аналитическое решение или решение, полученное с помощью других численных методов, исследована сходимость и установлены вычислительные (по точности) границы для разработанных "моментных" конечных элементов. Показано, что регулярная двухслойная конечно-элементная схема, с размером шага сетки в плане на порядок большем, чем толщина слоя элементов, позволяет достаточно точно моделировать изгибные деформации тонкостенных пластин и оболочек при значении коэффициента Пуассона не равном нулю.

4. Выполнен сравнительный анализ по точности и вычислительным затратам разработанного программного обеспечения и многофункционального комплекса для инженерных расчетов COSMOS/ DesignSTAR, в котором используются только объемные элементы в виде тетраэдров. Показано, что для достижения приемлемой по перемещениям точности созданный пакет прикладных программ требует значительно меньшего числа конечных элементов в форме призм и параллелепипедов. Уменьшение размерности дает выигрыш в затратах времени на формирование топологической информации и решение результирующей системы уравнений. *

5. Разработана процедура предикции для метода переменных параметров упругости, обеспечивающая устойчивую сходимость для наиболее распространенных физически нелинейных моделей материала, позволяющих описывать деформационные свойства металла, бетона, железобетона, полимеров, а также оснований естественного и искусственного происхождения. Данная особенность повышает качество разработанного программного обеспечения, т. к. делает итерационный процесс уточнения упругопластического решения управляемым.

6. Получено численное решение трехмерной задачи нелинейного взаимодействия фундамента с основанием в новой постановке, суть которой состоит в том, что конгломераты конечных элементов, принадлежащие основанию и фундаменту, описываются разными физически нелинейными моделями материала. Результаты упругопластического решения "слоевой" задачи доведены до практического применения в виде данных о трансформации эпюры компонент тензора напряжений под подошвой JL- образного фундамента и его осадке в процессе поэтапного нагружения. В программу добавлен модуль, позволяющий пересчитывать координаты узлов конечно-элементного ансамбля в случае, если полученные перемещения существенного искажают расчетную схему.

7. Формализован оригинальный конечно-элементный алгоритм решения связанной задачи вязкоупругости и упругопластичности, основанный на пространственно временной зависимости модулей объемной и сдвиговой деформации соответственно от гидростатического давления и деформации сдвига. Данный подход отличается от алгоритмов других авторов тем, что в нем используются более простые механико-математические модели материала, лежащие в основе деформационной теории пластичности и наследственной теории упругости. Это позволяет получить численное решение смешанной краевой задачи программным способом, не прибегая к сложным физическим соотношениям.

8. На модельных задачах апробирован новый метод и МКЭ-программа прочностного анализа массивных тел из "стареющих" вязкоупругих материалов при квазистатическом силовом нагружении и нестационарном температурном воздействии. По сравнению с техническими теориями ползучести (старения, течения и упрочнения) предлагаемый подход основан на интегральной форме связи компонент тензоров напряжений и деформаций, что позволяет использовать известные ядра релаксации, полностью хранить информацию об "истории" квазистатического нагружения и варьировать величиной шага интегрирования по временной оси в процессе вычислений.

9. Разработан метод расчета на малые упругие колебания объемно-стержневых систем, включающий модальный анализ и определение переменного напряженно деформированного состояния при различных видах внешнего воздействия. Частичная обобщенная собственная проблема решена с помощью стандартного алгоритма метода итераций в подпространстве. В конечноэлементном алгоритме прямого интегрирования уравнения движения реализованы безусловно устойчивые неявные схемы Ньюмарка и Г. В. Василькова. Метод реализован в виде программного модуля, с помощью которого выполнен спектральный анализ для несущего каркаса шестиэтажного здания и шестицилиндрового рядного дизеля средней мощности, а также исследовано динамическое поведение системы основание — дорожное покрытие при набегающем характере нагружения, имитирующем движение большегрузного автомобиля весом 34 т со скоростью 90 км/ч.

10.Предложен новый инженерный метод расчета валопровода силовой энергетической установки с приводом от поршневого двигателя внутреннего сгорания на крутильные колебания с учетом чередования вспышек, демпфирования и случая нештатной ситуации, связанной с отключением одного из рабочих цилиндров. Разработанное математическое обеспечение и МКЭ-программа позволяют заменить дорогостоящие ходовые испытания (торсио-графирование) главных судовых двигателей, которые проводятся согласно требованиям "Морского регистра" при поочередно отключаемых рабочих цилиндрах. На основании модального анализа, оценена динамическая жесткость коленчатого вала шестицилиндрового рядного судового дизеля средней мощности и выработаны практические рекомендации по усилению элементов несущего остова. С помощью разработанного программного обеспечения установлено, что детали цилиндропоршневой группы главного двигателя теплохода "Аксай" на номинальном режиме существенно перегружены в тепловом и механическом отношении. На основании сделанного технического заключения судовладельцем было принято решение о корректировке винтовой характеристики судна путем уменьшения диаметра винта.

11.На базе нового стандарта Фортрана 90 разработано вычислительное ядро комплекса прикладных программ POLYGON V, предназначенного для статического, квазистатического и динамического конечно-элементного анализа объемно-стержневых систем при различных видах силового и температурного воздействия с учетом упругопластичности и вязкоупругости материала. Вычислительное ядро комплекса основано на символьном представлении портретов матрицы жесткости и согласованной матрицы масс, что позволяет оценить ресурсы и выбрать тип решателя до процедуры численного ансамблирования. Комплекс построен по модульному принципу, документирован и имеет открытую структуру, что позволяет дополнять его новыми численными схемами, моделями материалов и совершенствовать на решении широкого круга задач учебного, промышленного и исследовательского характера.

1. Автоматизация расчетов транспортных сооружений/ А.С. Городецкий, В.И. Заворитский, А.И. Лантух-Лященко, А.О. Рассказов.-М.: Транспорт, 1989.-232с.

2. Алейников С.М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственно неоднородных оснований.-М.: Изд-во „АСВ", 2000.-754с.

3. Александров А.П., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. для строит, спец. вузов. М.: Высш. шк., 1990. - 400 с.

4. Ал футов Н.А., Зиновьев П. А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов.-М.: Машиностроение, 1984.-264с.

5. Амусин Б.З., Фадеев А.Б. Метод конечных элементов при решении задач горной геомеханики.-М.: Наука, 1975.-143с.

6. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц.-М.: Стройиздат, 1968.-241с.

7. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вязкоупруго-пластических сред.-М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1987.-472с.

8. Арутюнян Н.Х., Зевин А.А. Расчет строительных конструкций с учетом ползу-чести.-М.: Стройиздат, 1988.-256с.

9. Бакулин В.Н., Рассоха А.А. Метод конечных элементов и голографическая интерферометрия в механике композитов.-М.: Машиностроение, 1987.-312с.

10. Ю.Бартеньев О.В. Современный Фортан.-М.: Диалог-МИФИ, 1998.-397с.

11. П.Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL: Ч.1.-М.: Диалог-МИФИ, 2000.-448с.

12. Бате К., Вилсон Р. Численные методы анализа и метод конечных элемен-тов.-М.: Стройиздат, 1982.-448с.

13. Бидерман В. Л. Теория механических колебаний.-М.: Высш. школа, 1980.-408с.

14. Биргер И. А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности // Прикладная математика и механика.-1951.-№15, вып.6.-С.765-770.

15. Биргер И. А. Некоторые математические методы решения инженерных задач. -М.: Оборонгиз, 1956.-151 с.

16. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций .-М.: Машиностроение, 1980.-376с.

17. Брамеллер А., Аллан Р., Хэмэм Я. Слабозаполненные матрицы.-М.: Энергия, 1079.—191с.

18. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности.-М.: Мир, 1987.-542с.

19. Васильков Г.В. Вычислительная механика. Ч. II. Некоторые модели и методы теории упругости и пластичности: Учеб. пособие / РГСУ.-Ростов \V Д,1993.—124с.

20. Васильков Г.В. Вычислительная механика. Ч. III. Прямые методы' решения нестационарных задач строительной механики: Учеб. пособие7 РГСУ.-Ростов\V Д,1994.-156с.

21. Васильков Г.В., Имедиашвили Н.Г. Метод точечного сохранения инвариантов в решениях нестационарных задач механики / / Изв. вузов. Строительство.-1997.-№4.-С.60-68.

22. Васильков Г.В., Дежина И.Н., Орта-Ранхель А. О реологических моделях упруговязкопластических сред / / Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки.-1998-№3.-С.21-36.

23. Васильков. Г.В., Гайджуров П.П., Орта-Ранхель А. Шаговый метод решения пространственных задач линейной теории наследственности.-Ростов в/ Д: Ростовский ГСУ.-2000.-20с.-Деп. в ВИНИТИ 28.06.00., №1799-В00.

24. Васильков. Г.В., Гайджуров П.П. Расширенный вариационный принцип Гамильтона, экстремальная теорема динамики сооружений/ / Известия Ростовского гос. строит. ун-та.-2000.-№5.-С.47-55.

25. Васильков Г.В. Теорема об изменении потенциальной энергии механическойсистемы при добавлении новых связей/ / Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки.-2000.-№4.-С.26-28

26. Васильков Г.В. Об одном варианте виброреологической модели грунтовых сред/ / Изв. вузов. Строительство.-2000.-№9.-С.13-15.

27. Васильков Г.В., Гайджуров П.П. Анализ напряженно-деформированного состояния групп свай // Строительство-2002: Материалы Межд. науч. практ. конф. Ростов-н/Д. Рост. гос. строит, ун-т, 2002.-С.75-76.

28. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. 2-е изд.-М.: Физматгиз, 1959.-508с.

29. Ворович И.И., Копасенко В.В. Некоторые задачи теории упругости для полуполосы/ / Прикл. математика и механика.-1966.-30,вып. 1.-С. 109-115.

30. Ворович И.И. Неклассические смешанные задачи теории упругости.-М.: Наука, 1974 .-456с.

31. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболо-чек.-М.: Наука, 1989.-373с.

32. Гайджуров П.П. Построение матрицы жесткости криволинейного конечного элемента с использованием вспомогательных аппроксимирующих полиномов.- Новочеркасск: Новочеркасский ГТУ.-1996.-15с.-Деп. в ВИНИТИ 17.04.96., №6-6/ о 54.

33. Гайджуров П.П. Конечно-элементный анализ напряженно деформированного состояния тел вращения в трехмерной постановке.-Новочеркасск: Новочеркасский ГТУ.-1997.-9с.-Деп. в ВИНИТИ 01.04.97., №6-6/ о 149.

34. Гайджуров П. П. Конечные элементы повышенной точности для прочностных расчетов деталей поршневых двигателей внутреннего сгорания.-Новочеркасск: Новочеркасский ГТУ.-1998.-22с.-Деп. в ВИНИТИ 04.08.98., №2515-В98.

35. Гайджуров П.П. Методика вычисления механических напряжений в машиностроительных конструкциях сложной формы.-Новочеркасск: Новочеркасский ГТУ.-1998.-13с.-Деп. в ВИНИТИ 04.12.98., №3541-В98.

36. Гайджуров П.П., Белаш В.В. Численные методы решения прикладных задачдинамической теории упругости.-Ростов г/ Д: Ростовский ГСУ.-1998.-21с.-Деп. в ВИНИТИ 23.12.98., №3919-В98.

37. Гайджуров П.П., Белаш В.В. Исследование свойств матриц жесткости объемных конечных элементов.-Ростов W Д: Ростовский ГСУ.—1998.-1 бс.-Деп. в ВИНИТИ 14.01.99., №59-В99.

38. Гайджуров П.П., Белаш В.В. Несовместные объемные конечные элементы // Строительство-99: Тез. докл. Межд. науч. практ. конф. Ростов-н/Д: Рост, инст-т промышл. и граждан. строит-ва.-1999.-С.63.

39. Гайджуров П.П. Инженерный анализ жесткостных свойств повторяющихся фрагментов коленчатых валов Вестник машиностроения. 2000. - №7. -С.22-25.

40. Гайджуров П.П. Конечно-элементное моделирование нелинейного контактного взаимодействия штампа и основания // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. 2003. - Приложение №1. - С. 1-9.

41. Гайджуров П.П. Конечно-элементное решение пространственной задачи теории вязкоупругости // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Технические науки. -2003. Приложение №1. - С.38-46.

42. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости.-М.: Наука, 1986.-304с.

43. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы.-М.: Мир, 1984.-428с.

44. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона. М.: Стройиздат, 1974.-316с.

45. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости.-М.: Наука, 1969.-336С.

46. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуб Г.П. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью.-Киев: Наук, думка, 1987.-216с.

47. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений-М.: Мир, 1984.-334с.

48. Дьяконов В. П. Математическая система Maple V R3/R4/R5.-M.: „СОЛОН", 1998.-399с.

49. Зенкевич О., Ченг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред.—М.: Недра, 1974.-238с.бО.Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.-М.: Мир, 1975.-541с. .

50. Ивлев Д. Д., Быковцев Г. И. Теория упрочняющегося пластического тела. М.: Наука, 1971.-232с.

51. Ильюшин А. А. Пластичность. М.: Изд-во АН СССР, 1963 -272с.

52. Инженерный метод расчета горизонтально нагруженных групп свай: Учебн. пособие для вузов7 В.В. Знаменский.-М.: изд-во АСВ, 2000.-128с.

53. Кантор Б. Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. -Киев.: Наукова думка, 1971.-136 с.

54. Качанов Л.М. Теория ползучести.-М.: Физматгиз, 1960.-455с.

55. Квитка А.Л., Ворошко П.П., Бобрицкая С.Д. Напряженно деформированное состояние тел вращения.- Киев: Наук, думка, 1977.-208с.

56. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред.-М.: Мир, 1979.-3 02с.

57. Композиционные материалы: Справочник/ Под общ. ред. В. В. Васильева, Ю. М. Тарнопольского.-Машиностроение, 1990.-512с.

58. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности.-Л.: Изд-во ЛГУ, 1977.-208.

59. Лисицин Б. М. Расчет защемленных плит в постановке пространственной теории упругости // Прикладная механика.-1970.-т.6.-вып.5.-С.18 23.

60. Лукаш П. А. Основы нелинейной строительной механики. М.: Стройиздат, 1978.-204 с.

61. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975 .-400с.

62. Метод конечных элементов в механике твердых тел / Под ред. А.С. Сахарова и И. Альтенбаха.-К.: Вшцашк., Лейпциг: ФЕБ Фахбухферфлаг, 1982.-480с.

63. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел / С.Ю. Еремен-ко.-Х.: Изд-во „Основа" при Харьк. ун-те, 1991.-272с.

64. Механика больших космических конструкций / Н.В. Баничук, И.И. Карпов, Д.М. Климов и др.-М.: Изд-во „Факториал", 1997.-302с.

65. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными.-М.: Мир, 1981.-216с.

66. Москвитин В.В. Сопротивление вязко-упругих метериалов (применительно к зарядам ракетных двигателей на твердом топливе).-М.: Наука, 1972.-328с.

67. Москвитин В.В. Циклические нагружения элементов конструкций.-М.: Наука, 1981.-344с.

68. Морозов Е.М., Зернин М.В. Контактные задачи механики разруше-ния.-М.: Машиностроение, 1999.-544с.

69. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболо-чек.-Казань: Таткнигоиздат, 1957.-432с.

70. Мыльнев В.Ф., Гайджуров П.П., Гасанов А.Б. Динамика и колебания поршневых ДВС: Учеб. пособие/ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т.-Новочеркасск: ЮРГТУ, 2001.-160с.

71. Мяченков В.И., Мальцев В.П. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС.-М.: Машиностроение, 1984.-280с.

72. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы.-М.: Мир, 1983.-384.

73. Пилягин А.В., Казанцев С.В. Проектирование оснований и фундаментов с учетом упругопластических свойств грунтов.-Изд-во Краснояр. ун-та, 1990.-168с.

74. Писаренко Г. С., Можаровский Н. С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести. Справочное пособие. Киев: Наук, думка, 1981.-496с.

75. Писсанецки С. Технология разреженных матриц.-М.: Мир, 1988.-410с.

76. Подгорный А.Н., Бортовой В.В., Гонтаровский П.П. и др. Ползучесть элементов машиностроительных конструкций.-Киев: Наукова думка, 1984.-264с.

77. Подгорный А.Н., Гонтаровский П.П., Киркач Б.Н. и др. Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций.-Киев: Наукова думка, 1989.-232с.

78. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций.-JI.: Судостроение, 1974.-344с.

79. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций.-Л.: Судостроение, 1978.-279с.

80. Программное обеспечение исследований по механике грунтов и фундаменто-строению/ Под ред. В.М. Лиховцева -М.: Стройиздат., 1991.-528с.

81. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах / З.И. Бурман, Г. А. Артюхин, Б .Я. Зархин. М.: Машиностроение, 1988.-256 с.

82. Прокопович И.Е., Зедгенидзе В.А. Прикладная теория ползучести.-М.: Стройиздат, 1980.-240с.

83. Пэжина П. Основные вопросы вязкопластичности.-М.: Мир,1968.~176с.

84. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел.-М.: Наука, 1977.-384с.

85. Расчет крановых конструкций методом конечных элементов / В.Г. Пискунов, И.М. Бузун, А.С. Городецкий и др.-М.: Машиностроение, 1991.-240с.

86. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник / В.И. Мяченков, В.П. Мальцев, В.П. Майборода и др.: Под общ.ред. В.И. Мяченкова.-М.: Машиностроение, 1989.-520с.

87. Ржаницын А.Р. Теория ползучести.-М.: Стройиздат, 1968.-416с.

88. Рикардс Р. Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. -Рига: Зинатне, 1988.-284 с.

89. Розин JI.A. Метод конечных элементов в применении к упругим систе-мам.-М.: Стройиздат, 1977.-128с.

90. Сегерлинд JL Применение метода конечных элементов.-М.: Мир,1979.-392.

91. Седов JI. И. Механика сплошной среды Т.2.- М.: Наука, 1994.-560с.

92. Секулович М. Метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1993.-664 с.

93. Сиратори М., Миеси Т., Мацусима X. Вычислительная механика разруше-ния.-М.: Мир, 1986.-334с.

94. Сорочан Е.А. Фундаменты промышленных зданий .-М.: Стройиздат, 1986-ЗОЗс.

95. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы: Учебник для вузов/ А.В. Александров, Б .Я. Лащеников, Н.Н. Шапошников; Под ред. А.Ф. Смирнова.-М.: Стройиздат, 1983 -488с.

96. Стрэнг Г., Фикс Дж., Теория метода конечных элементов.-М.: Мир, 1977.-350с.

97. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.-М.: Мир,1980.-512с.

98. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966.-636с.

99. Трапезников Л.П. Температурная трещиностойкость массивных бетонных сооружений.-М.: Энергоатомиздат, 1986.-272с.

100. Усюкин В. И. Строительная механика конструкций космической техники. -М.: Машиностроение, 1988.-392 с.

101. Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике.-М.: Недра, 1987.-221с.

102. Чистяков В.К. Динамика поршневых и комбинированных двигателей внутреннего сгорания.-М.: Машиностроение, 1989 -255с.

103. Шабров Н.Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых дви-гателей.-Jl.: Машиностроение, 1983.-212с.

104. Шульман С.Г. Расчеты гидротехнических сооружений с учетом последовательности возведения.-М.: „Энергия", 1975.-167с.

105. Akin, J. E.Application and Implementation of Finite Element Methods. Academic Press, London, 1982.-33 lp.

106. Bathe K.J., Cimiento A.P., Some practical procedures for the solution of nonlinear finite element equation Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng., 1980.-22.-P.59-85.

107. Brebbia C. A. Finite Element Systems A Handbook.-Springer Verlag, New York, 1985.-767p.

108. Britto A. M., Gunn, M. J. Critical State Soil Mechanics via Finite Elements.-Ellis Horwood, Chichester, 1987.-488p.

109. Burnett D. S. Finite Element Analysis- From Concepts to Applications-Addison Wesley, Reading, 1987.-844p.

110. Cheung Y. K., Leung A. Y. T. Finite Element Methods in Dynamics.-Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1991.-296p.

111. Cheung Y. K., Lo, S. H., Leung Y. T. Finite Element Implementation Black-well Science, Oxford, 1995.-384p.

112. Cook, R. D. Concepts and Applications of Finite Element Analysis.-J. Wiley & Sons,New York, 1989.-537p.

113. Cook, R. D. Finite Element Modeling for Stress Analysis.-J. Wiley & Sons, New York, 1995.-336p.

114. Fenner D. N. Engineering Stress Analysis- A Finite Element Approach With FORTRAN 77 Software.-J. Wiley & Sons,.Chichester, 1987.-250p.

115. Hill R. The Mathematical Theory of Plasticity.-Clarendon Press, Oxford, 1980.-336p.

116. Hinton E., Owen, D. R. J. An Introduction to Finite Element Computa-tions.-Pineridge Press, Swansea, 1979.-385p.

117. Hinton E., Owen, D. R. J. Finite Element Software for Plates and Shells.-Pineridge Press, Swansea, 1984.-403p.

118. Hughes T. J. R. Finite Element Method Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis.-Prentice-Hall, EnglewoodCliffs, 1987.-803p.

119. Kazda I. Finite Element Techniques in Groundwater Flow Studies With Applications in Hydraulic and Geotechnical Engineering.- Elsevier, Amsterdam, 1990.-330p.

120. Kikuchi N. Finite Element Methods in Mechanics-Cambridge University Press, New York, 1986.-418p.

121. Livesley R. K. Finite Elements An Introduction for Engineers.-Cambridge University Press, 1983 -199p.

122. Logan D. L. A First Course in the Finite Element Method.-PWS Publishing,.Boston, 1992.-617p.

123. Mackie R. I. Object Oriented Methods and Finite Element Analysis Saxe-Coburg Publ.,.Edinburgh, 2000.-25Op.

124. Oden J. T. Finite Elements of Nonlinear Continua.-McGraw-Hill Publ., New York, 1972.-409.

125. Ross С. T. F. Finite Element Programs for Axisymmetric Problems in Engineer-ing.-Ellis Horwood, Chichester, 1984.-297p.

126. Ross С. T. F. Finite Element Methods in Engineering Science.-HorwoodPub-lishing Ltd, Chichester, UK, 1990.-519p.

127. Ross С. T. F. Finite Element Programs in Structural Engineering and Continuum Mechanics.-Albion Publishing, Chichester, 1996.

128. Segerlind L. J. Applied Finite Element Analysis.-J. Wiley & Sons, New York, 1987.-427p.

129. Smith, I. M., Griffith, D. V. Programming the Finite Element Method.-J. Wiley & Sons,.Chichester, 1998.-534p.

130. Solid Works, Solid Edge, CADKEY, Неофициальный справочник САТУ CAW CAEoBserver, 2000.-№l.-115c.

131. Stasa F. L. Applied Finite Element Analysis for Engineers.-CBS Publ. Japan, Ltd., New York, 1985.-658p.

132. Pro/MECHANICA. Desingn Study Reference.-Waltham: Parametric Technology Corporation, 1997.-394p.

133. Topping, В. H. V., Khan A. I. Parallel Finite Element Computations Saxe-Coburg Publ., Edinburgh, 1995.-380p.

134. Villa A., Rodriguez-Ferran A., Huerta A. Nonlinear Finite Element Techniques Using an Object-Oriented Code.-CIMNE^Barcelona, 1995.-181p.

135. Weaver W., Johnston P. R. Finite Elements for Structural Analysis.-Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1984.-403p.

136. White, R. E. An Introduction to the Finite Element Method With Applications to Nonlinear Problems.-J. Wiley & Sons,.New York, 1985.-354p.

137. Yang T. Y. Finite Element Structural Analysis.-Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1986.-543p.

138. Zienkiewicz, О. C., Taylor, R. L. Finite Element Method- Basic Formulation and Linear Problems, Vol. 1-McGraw-Hill Publ.,New York, 1989.-648p.

139. Zienkiewicz, О. C. and Taylor, R. L.Finite Element Method- Solid and Fluid Mechanics: Dynamics and Nonlinearity, Vol. 2.-McGraw-Hill Publ.,New York, 1991.-790p.