автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Определение предельных нагрузок в упруговязкопластических системах при статических воздействиях

?Г6 од

2 7 ДНК

Ростовская-на-Дону государственная акадешя строительства

На правах рукописи

Аль-Тахиш Азаддин Али Ахмед

Определение предельных нагрузок в упруговязкопластических системах при статических воздействиях

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Рсзтов-на-Дону, 1994-

Работа выполнена на кафедре строительной механики и в проблемной научно-исследовательской лаборатории оснований и фундаментов Ростовской-на-Дону государственной академии строительства.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Васильков Генрих Васильевич

Официальнне оппоненты: доктор технических наук, профессор Александр Захарович Зарифьян, кандидат технических наук, доцент, Олег Александрович Кудинов.

Ведущая организация: кафедра математического моделирования Кубанского Государственного университета.

Защита состоится "_" _ 1994 в 10 ч 15 мин на

заседании диссертационного Совета Д.063.64.01. Ростовской-на-Дону государственной академии строительства (344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162) е зале заседаний Совета.

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке академии.

Автореферат разослан "_ "_ 1994 г.

Ученый секретарь диссертационного.

Совета, кандидат технических наук

-о

В.А.Веселег

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Большинству строительных материалов, основаниям сооружений присуще свойство ползучести, которое существенно влияет на напряженно-деформированное состояние (ЦДС) систем во времени.-Расчет строительных конструкций, пластин, оболочек, массивных тел методами теории упругости по известным причинам не может удовлетворить инженеров-проектировщиков. Главным здесь является то, что подобные расчеты не дают ответа на вопрос о несущей способности сооружения. Поэтому все интенсивнее, по мере возможности, применяются методы предельного равновесия.

Многие реальные сооружения изготовлены из материалов с различными реологическими свойствами, то есть обладают конструктивной неоднородностью ползучести. Кроме того, неоднородность может быть обусловлена и разным началом отсчета времени существования элементов конструкции, то есть неодинаковостью изготовления их во времени. Практически все строительные материалы, а следовательно, и строительные конструкции и сооружения испытывают нелинейно-упругие или необратимые деформации даже при незначительных внешних воздействиях. Следовательно, назрела необходимость разработки эффективных общих методов и алгоритмов расчета нелинейно-упругих систем наследственного типа, вплоть до исчерпания несущей способности. Таким образом, з диссертации ставится актуальная задача определения несущей способности строительных конструкций и сооружений, выполненных из упругопластического материала с учетом неоднородной ползучести. Такой синтетический подход к определению ВДС требует тщательного отбора результатов, полученных в теории упругости, пластичности, вязкоупругопластичности, в методах пре-

д ельного сопротивления и последующей разработке принципов, методов и алгоритмов вычисления предельных нагрузок. Цель исследования состоит в разработке методики определения несущей способности упругопластических стержневых и континуальных систем. В частности, в цели работы входили:

- разработка эффективного шагового метода определения несущей способности упруговязкопластических систем;

- разработка алгоритма определения несущей способности рамных конструкций с учетом влияния продольных сил, смещения опор, протяженности зон пластичности;

- разработка алгоритма определения несущей способности континуальных упруговязкопластических систем в осесимметричных задачах;

- разработка алгоритмов и программ для ЭВМ, реализующих предложенную методику.

Научная новизна. Основной научный результат диссертационной работы состоит в том, что разработана методика решения задач строительной механики, позволящая для упруговязкопластических систем определить несущую способность, проследить за развитием зон разрушения во времени, еплоть до предельного состояния.

Практическая ценность заключается в том, что разработанный в диссертации способ, алгоритмы и программы, могут быть использованы при решении широкого круга прикладных задач по расчету строительных сооружений, работающих в упругоЕязкопластической стадии, вплоть до исчерпания несущей способности.

Результаты исследований вполне могут быть использованы в учебном процессе при чтении лекций по строительной механике для подготовки магистров в разделе "Методы предельного сопротивления

строительных конструкций".

На защиту выносятся: метод решения статических упруговязко-пластических задач строительной механики и применение этого метода для определения несущей способности строительных конструкций типа стержневых систем и сооружений в виде осесимметричных оболочек.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 101 наименований. Полный объем диссертации 176 стр., включая 87 рисунков и 9 таблиц. Основной текст (без оглавления, списка литературы, рисунков, и таблиц) излагается на 100 страницах машинописного текста.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на двух научно-технических конференциях преподавателей РостовскоЯ-на-Дону государственной академии строительства (Ростов-на-Дону, 1992, 1993), на объединенном семинаре кафедр прочностного цикла РГАС (1993).

Публикации. Основные научные результаты диссертации опубликованы в работах [1,2,3,4].

Автор выражает благодарность своему научному консультанту кандидату технических наук Л.Н.Панасюку, советы которого использованы в процессе работы и написания диссертации.

Основное содержание работы

Во введении дан краткий исторический очерк по теме диссертации, формулируется постановка задачи, цели работы и методы исследования. В связи со сложностью общей проблемы приводится обзор

работ, посвященных приложению нелинейной теории упругости к решению инженерно-строительных задач, среда которых отмечаются публикации А.В.Александрова, Н.И.Безухова, М.С.Бернштейнз, Г.З.Василъ-кова, А.С.Вольмира, А.А.Гвоздева, Г.А.Гениева, Г.Ю.Джанелидзе, О.В.Лужина, П.М.Огибалова, А.Р.Ржаницына, А.П.Филина, З.И.Фео-досьева, Н.Н.Шапошникова и др.; постановке и решению задач, решению которых посвящены работы Н.Х.Арутюняна, А.А.Ильюшина, С.С.Вя-лова, " Ю.Н.Зарецкого, М.А.Колтунова, Н.Н.Малинина, Б.Е.Победря, М.З.Проксповича, Ю.Н.Работноза, А.Р.Рнаницына и др.; разработке методов предельного равновесия, развитию которого способствовали работы Казиничи, Вольфсбергера, Чередани и Гаварини, Каухмана и .¡Ганса, Янгерслева, К.Иогансена, Е.Мансфилда, М.Калсена, В.Олыпа-ка, А.СаЕчукз, А.А.ГЕоздева, А.Р.Ржашщшэ, А.Чираса и др.

Анализ литературных источников показывает, что такой Еажный вопрос как вычисление предельных нагрузок для упругавязкоплзсти-ческих систем в достаточной мере не узучен. При отборе материала для шотроения методики автор применял следующие принципы и методы для описания упруговязкопластического поведения конструкций и сооружений: использован вариант теории малых упругопластических деформаций наследственного типа, разработанный Г.В.Васильковым. Для численной реализации применялось вариационное уравнение Лаг-ранжа наследственного типа, последовательность линеаризованных задач решалась шэгоеым методом, модифицированным для задач ползучести. Для определения предельной нагрузки в алгоритм шагового метода внесены изменения для учета специфики задачи.

Отмечается, что диссертация состоит из двух частей, логически связанных мезду собой. В первой части (главы 1,2) рассмотрена методика вычисления предельных нагрузок упругопластических рамных

систем и осесимметричной оболочки. Причем расчет различных конструкций осложнен учетом совместного влияния изгибающих моментов и продольных сил, протяженности зон пластичности, учетом влияния смещения опор на предельное состояние. Вторая часть работы (главы 3, 4) посвящена определению предельных нагрузок в упруговязко-пластических системах.

В первой главе для определения предельных нагрузок в рамных системах кроме гипотез, применяемых для расчета линейно упругих рам, дополнительно приняты следующие:

1) материал рамной системы подчиняется диаграмме Прандтля;

2) разгрузка происходит параллельно прямой начального нагру-жения вплоть до достижения предела текучести с противоположным знаком; пределы текучести на растяжение и сжатие могут быть различными;

3) внешние усилия в пределах шага по нагрузке применяются пропорционально одному параметру;

4) предельное состояние рамы наступает при таком внешнем воздействии, которое превращает систему в механизм;

5) до исчерпания несущей способности конструкция не теряет устойчивости.

Последовательно рассмотрены алгоритм определения предельной нагрузки при учете продольных сил, затем учитываются протяженность зон пластичности, влияние смещения опор. Каждый алгоритм иллюстрируется примером расчета. На рис. 1 показана расчетная схема рамы, для которой определялась предельная нагрузка с учетом и без учета смещения' опор. В первом варианте вертикальная жесткость опор принята бесконечной. Во втором - она предварительно определялась расчетом фундамента, находящегося в условиях плоской

деформации (рис. 2).

о.ар-

С.2Р"

10.5Р1

0.2Р О.ЕР—

о,гр-

р

0.6Р

£1Р

абР^г-у

-0Л6Р

ггрцдр,

>12Р|Т.2Р.

0.6Р „„ 0.15 Р

0.6Р

— 0.16Р

авр „„

— 0,15 Р

0.6Р „ —0.16Р

-4-

8

РИС. 1

РИС.2

Еа рис. 3 приведена схема механизма разрушения, отвечающая

предельному состоянию рамы без учета смещения опор, а на рис.4 с

р» 0,111

учетом податливости основания.

Р - 0,166

Рис. 3

тАт

} /

Рис. 4

-Отношение параметров предельных нагрузок первой и второй расчетных схем получалось равным » 1.5, то есть при учете смещения опор изменился механизм разрушения и величина предельной нагрузки. Следует, однако, отметить, что счет по схеме, изображенной на рис.4, остановлен в связи с локальным разрушением конструкции - образовались три пластических шарнира в верхнем ригеле правого пролета.

Решение серии примеров, по разработанной методике, позволило сделать следующие выводы. Учет влияния продольных сил снижает теоретическое значение параметра предельной нагрузки, существуют

схемы нагруяения конструкций, при которых учет продольных сил не оказывает заметного влияния. Учет протяженности зон пластичности может значительно повлиять на численное определение перемещений и в меньшей мере сказывается на величину предельной нагрузки. Влияние преднапряжения от смещения опор состоит в изменении последовательности образования пластических шарниров и в конечном итоге изменении схемы механизма разрушения и величины предельной нагрузки. Следовательно, при вычислении предельных нагрузок в рамных системах необходам учет влияния продольных сил и преднапряжения, обусловленного, например, смещением опор.

Во второй главе рассмотрен шаговый метод определения предельных нагрузок в континуальных системах. Рассмотрены метода решения задач физически нелинейной теории упругости и теории пластичности. При разработке алгоритма определения предельных нагрузок проводится дискретизация по пространственным координатам методом -конечных элементов, решение упругопластической задачи проводится шаговым методом, описываемым матричным уравнением

К™ ' = ДРЯ+', где К? - касательная матрица жесткости системы конечных элементов, Дqя+, - приращение узловых перемещений на (и+1)- м яаге наг ружения приращением узловых усилий д?т+'.

При определении предельных нагрузок принимается следующая совокупность гипотез:

1) материал системы для объемной деформации подчиняется закону Гука, для сдвиговой - диаграммам Прандтля;

2) зоны пластичности при квазистатическом нагружении последовательно возникают з объеме каждого конечного элемента, интенсивность напряжений которого достигла предела текучести о.;

3) внешние силы в пределах шага по нагрузке изменяются пропорционально одному параметру;

4-) предельное состояние системы наступает при таком внешнем воздействии, которое превращает систему конечных элементов в механизм.

Алгоритм прямого метода определения предельной нагрузки состоит из следующих этапов. На первом этапе расчета формируется матрица жесткости для линейно-упругой среда и решается система уравнений МКЭ при единичном Енешнем воздействии Р. * K^J. = F=> = (K^V'.F.

По вектору узловых перемещений qf' , соответствующему единичной нагрузке, определяются в каждом элементе деформации и напряжения £m=<iq('\ ä<1} ш дМф»,

интенсивности деформаций и напряжений s[,J. ä[1}- 3GQs^4 Параметр предельной нагрузки первого этапа вычисляется из условия равенства интенсивности напряжений предельному значению от.

I. г

где е - число конечных элементов системы. Из всей совокупности параметров предельной нагрузки выбирается наименьший min {ßn; }.

~пр гпр , Г

Компоненты НДС системы, соответстсвующие возникновению в ней первой пластической зоны определяются по формуле ап; = Жп), а = q ; £ , о .

яр гпр пр Ч1р яр пр

Отметим, что при использовании простейших треугольных конечных элементов, если пластическая деформация возникает в центре элемента, то можно считать, что пластическая зона охватывает весь его объем. На Етором этапе при формировании касательной матрицы

жесткости учитывается, что в пластической зоне наступило предельное состояние для этих конечных элементов. В физических зависимостях полагается равным нулю касательный модуль сдвига = 0), а секущий определяется как отношение (й„ = ат/3ег). Решается система уравнений ?ЖЭ при нагружении сооружения единичным приращением внешней нагрузки

• Щ<г> - ДР - дср^, Аё(г\ Лс<2\ Дв<2), Да[2}. Суммарные интенсивности напряжений приравниваются от

и определяются

а<г> + $<г> -И{гУ=о =» р ■ ------Г9,

1,пр 'пр.г 1,Г т гпр , г До"

(2> - qi."P

Из всех найденных значений выбирается наименьшее положи-

тельное. Определяются приращения компонент НДС второго этапа №<г,= р<2). ДаГ2), Да = Де , До

пр гпр Пр Лр пр

и вычисляются компоненты НДС второго этапа е<г}» в(13+ Ав(2), а(2} = о<'>+ Аасг>к т.д.

пр пр пр пр пр пр

По индукции на т-м шаге нагружения алгоритм определения предельной нагрузки записывается следующим образом:

ИИ.» ^пр

= АР т =» т. У

Да? = | {. г ' }(т) • До™ пр , г { , г , (Г =1,2

д п+1 _ - °£.Г .

<пр , г До,т+' ' 1. г

Зга+» = ' "р т1п фт+' }; 1 П р ,

С + т+1 # -ям-Г ^ *лр сга+» ат+! ^Р ' пр ' 1 I

Расчет производится до тех пор, пока система на каком-либо этапе не превратится в механизм, то есть в конце каждого шага по нагрузке необходимо проверять выполнение условия положительной опре-

деленности квадратичной формы > 0. Следовательно,

после выполнения п-го шага по нагрузке"необходимо проверять условие (1е1: К™ > 0. В процессе численной реализации при первой смене знака определителя касательной матрицы жесткости происходит превращение системы конечных элементов в механизм.

Рассмотрен пример расчета железобетонной оболочки ядерного реактора, опирающейся на грунтовое основание. Габаритные размеры оболочки показаны- на рис. 5.Расчет проведен в осесимметричной постановке на медленный рост давления внутри реакторного отделения. Дискретизация МКЭ проведена треугольными конечными элементами.На рис. 5 показано предельное состояние зоны разрушения

41.000

1 т 55 81000 ЩМ0 о.ооо

г

1

-г-

¿0 000

. Рис. 5

заштрихованы. Теория прочности по интенсивности напряжений не учитывает разные пределы прочности на растяжение и сжатие, поэтому для сравнения проведены расчеты с использованием различных гипотез прочности - хрупких материалов, Мора-Кулона, Баландина, Пи-саренко-Лебедева. Значение предельного параметра (3 приведено в нижеследующей таблице.

Теория прочности хрупких материалов Мора-Кулона Баландина Иисаренко -Лебедева

р 3.669-102 ' 4.702-, • 102 5.35-102 3.125-102

Как видно из сравнения результатов, значения параметра предельной нагрузки имеют один порядок, как выяснилось, примерно в 50раз меньше значения, вычисленного по теории интенсивности напряжений (Р = 1.37-104). Следовательно, в каздом конкретном случае при определении предельной нагрузки, по разработанной методике необходимо предварительно убедиться в правильности выбранной теории прочности на модельных экспериментах.

В третьей главе первый параграф имеет методический характер, где вводятся обозначения, излагаются известные результаты, приведен расчет по определению предельной нагрузки в однородной раме из упруговязкопластического материала. Последующий материал главы посвящен определению предельных нагрузок в статически неопределимых рамах, выполненных из неоднородного упруговязкопластического материала. При определении предельной нагрузки в рамных системах, кроме известных гипотез, применяемых для расчета рам в линейн-оупругой постановке, дополнительно принимаются следующие:

а) материал рамной системы подчиняется диаграмме Прандтля для истинных напряжений и модифицированных {по терминологии Ю.Н.-Работнова) деформаций (рис. б), изохронные кривые о ~ е являются подобными; текучесть наступает при достижении деформации величины ет (рис. 7).

<5| " б]

ь*и

б

б1

/1

> I с

/ I &

- / ¿Т

/

6,

//

/>--

* " 4- - Г*.

Ст

Рис. б Рис. 7

Физически зависимости одномерной упруговязконластичности принимаются в виде: ' ' _

при 8 ^ £т, о = Е0(£ - X Г(1-9)-е(в)с19) = Е0(1-Гж)е = Е0б,

о

при е > ег, о = о. = Е0ет (1-ГМ) = Е0ет = Е0-ет\

где Е0 = Е0(1-Г*-1), = (1-Г*-1)«ет, таким образом, в принятой

модели предел текучести для истинных деформаций постоянен, а предел текучести для напряжений убывает во времени; Г - ядро релаксации;

б) протяженность зон пластичности мала, и в расчете предполагается, что пластические деформации локализованы в пластических шарнирах;

в) внешние усилия в пределах шага по времени изменяются пропорционально одному параметру;

г) предельный пластический момент в сечении является функцией времени и определяется следующим образом (условие прочности)

И = М1(»т,от,Н,а1), где - пластический момент сопротивления, а{ - характерные размеры сечения, о. - предел текучести, N - продольная сила в рас сматриваемом сечении;

д) предельное состояние рамной конструкции наступает в такой момент времени, при котором система превращается в механизм.

В идеальном пластическом шарнире, в силу полного исчерпания осевой несущей способности, появляется возможность взаимного перемещения вдоль оси стержня. В последующем изложении алгоритма предполагается, что искомая предельная нагрузка прикладывается мгновенно в начальный момент времени. При этом задача определения предельного состояния формулируется так: определить время 1; , при котором система превращается в механизм. Для решения поставленной задачи необходимо внешнюю нагрузку представить в вще суммы приращений (Р =£ДР) и проводить поверочные расчеты для частич-

ных суш. То есть вначале полагается, что Р =ДР и определяются компоненты НДС во времени по шагам. В конце кандого временного шага в расчетных сечениях определяются изгибающие моменты и продольные силы. Проверяется условие прочности, если изгибающий момент в расчетном превышает Мт, то в это сечение врезается пластический шарнир. Счет ведется до времени г = где -время эксплуатации сооружения. Если при нагрузке Р = ДР в конце расчета (1; = ^) система остается геометрически неизменяемой, то расчет повторяется при новом значении мгновенно приложенной внешней нагрузки Р = 2 АР, ЗДР,...тЛР до тех пор, пока система не превратится в механизм. Если на первом шаге по нагрузке предельное состояние наступает при 1; < 1;а, то необходимо уменьшить шаг нагрузки и повторить расчет при новом Р = АР/ш, где т > 1. Для уточнения величины Рпр можно воспользоваться методом бисекции. Для этой цели шаг по нагрузке, принятый первоначально, уменьшается вдвое.

Для произвольного конечного элемента стержневой системы вектор-функция перемещений представляется в традиционной форме

и = ф^, (1)

где <рт - матрица координатных функций, зависящая только от пространственных координат; д = 4(1;) - вектор узловых перемещений, зависящих от времени. Деформация в произвольном элементе

5 = Аи =.Аф^ = Фц. (2)

Модифицированная деформация

е = (1 -Г*)е = = = Фц,. (3)

Физическая зависимость

о = Е0(1-Г*).е = Е05 = (4)

Вариационное уравнение типа Лагранжа

6Я = X 8зтосЗу - £ еитр(1у - бс^О = 0, (5)

< 7> < V»

где р — вектор-функция массовых сил; 0* - вектор узловых внешних сил. После подстановки (1)-(4) в (5) имеем

6Я = бц1 [ [ / ФтЕ0Ф<1у](1 - / фр<17 - 0 ] = 0. (6)

(V) (V)

Введе'м обозначение: к0 = ХФЕлМт - матрица жесткости линейно-

(Ю

упругого конечного элемента стержня; /фрйт = Н - вектор узловых

(V)

сил, горозденных массовыми нагрузками. Из (6) следует

к.а = Н + 0 или . 0 СО

к0(1-Г*^ = Н + а.

Интеграл Г"^ с помощью формулы прямоугольников приближенно представим в виде . .

^ Л11

Г*^ = = Г(тА1;)ц0 — + ][ г[ тЛ1; - пД^"« + ,

о 2 п=1

Аг

+ Г(0)ат — . (8)-;

г

Теперь уравнение равновесия одного КЗ с помощью (8) приближенно;

представляется в виде- ^

ьх

[ 1- — г(0)]^т = в + о + к0[ — г(тАг)д°+ ]> .

■Обозначим п=г

1Л

[1-- Г(0)].к0 =

2 Д1;

—: -гоплт. = кт • 2

■о

.л-п

= к™"

С учетом принятых обозначений уравнения равновесия записываются так:

п-1

к°ят = В + а.+ к£ q0 + 2 к™-Т1.дТ1. (9).

п=1

Для системы канешшх элементов уравнения равновесия сохраняют структуру (9)

тв-7

= Р° + х™ о° +1 к™""- (Ю)

п=Г

где общие матрицы жесткости Х®~пстроятся известными прие-

мами по матрицам жесткости к®, к™"" отдельных конечных элементов. Нагрузочный вектор Р° строится один раз, так как в принятой схеме нагружения системы внешние усилия прикладываются мгновенно -в начальный момент времени л остаются постоянными. После определения вектора перемещений qm вычисляются изгибающие моменты и продольные силы М"\ я™ в каждом расчетном сечении конструкции и проверяется условие исчерпания несущей способности сечений. Зсли з каком-либо сечении I > М„, то в эту точку расчетной схемы врезается пластический шарнир, по обе стороны от которого прикладываются внешние моменты, равные М_, и вдоль осей стержня продольные силы Л. Очевидно, что величины И являются переменными во времени. В связи с тем, что расчетная схема конструкции измени лась в момент времени г™ = ГШ; в последующем расчете для времен Ъ > шДг матрицы жесткости формируются по новой схеме. При этом итерационная формула (10) преобразуется к следующему виду:

Х° С7" = Р° + Р™ + ХГП° +Гу V"1 ап,

п ^ тат- и. т . ^

и—т

здесь матрицы Х^ формируются Для новой расчетной схемы. Вектор узловых сил Р™ формируется по усилиям в пластическом шарнире.

По разработанной методике проведен ряд расчетов рамнкх систем. Для рамы, озобрзженной на рис.8, определялась предельная нагрузка без учета и с учетом ползучести материала. Ядро релаксации принято экспоненциальным, причем параметры ядра для стоек и ригелей разные. Анализ результатов показал следующее. Последовательность образования пластических шарниров учетом и

без учета ползучести одинакова.По результатам расчета при различных параметрах р, построен график зависимости § ~ 1; (рис.9). Безопасный уровень нагружения, при котором для любого г механизмы разрушения образуются, расположен ниже кривой р ~ 1; , другими

1; соответствуют допустимым па-

словами, точки под графиком 3 рам значений: уровень нагрузки - время эксплуатации сооружения.

0.7 Р-0.5 Р-0.5 Р-

р |ОдР10.5Р|д5Р( о.гдр

й5Р|Р

^0.5Р 4 -одр-

I. ¿м ^ ¿м

РИС. 8

Р &

Я*

■Ьпр

г "i

Рис.

Таким образом, судя по графику (рис. 9) при увеличении времени эксплуатации сооружения уровень мгновенного нагружения необходимо уменьшать.

й четвертой заключительной главе разрабатывается алгоритм определения предельных нагрузок в континуальных системах из упру • говязкопластического материала. Уравнения, равновесия, геометрические и физические зависимости, статические и кинематические граничные условия теории малых упругопластических деформаций наследственного типа в формулировке, данной Г.В.Васильковым, имеют следующий вид:

(11)

- Ато + р = О, £ = Аи,

А А -

а = Дсе, Ат„ст - = О, и - и = О,

3

После исключения о, а краевая задача (11) в перемещениях запишет ся следующим образом:

€ V;

€ Э,; €

АтДсАи + р = 0, €

и - и = о, е

3

Система уравнений (12) в превращениях получается в виде АтНпАЛи + р + АтД^Аип = 0, € ЧЛ; АтН^АДи + 8 + АтЛпАип = 0, € Б Д; (13)

3 и3 3 С '

и - и = 0, 6 Б,,-!:.

з 2

Для построения итерационных процессов решения задач упруго-Еязкопластичности используется приближенное вариационное уравнение линеаризованной задачи.

5Я = х 85т (ап + нпАв)й-? - / еитрйт - ; еи^аз = о, (13)

(и) (V) (в,)

где

17 = | [ и"" + и'пА5 + - ДетН"Ав] й7 = / итрй7 - X ит8э1з;

(и) 2 (") Сэг;

, от „ а2о

и - Ы) и =н = аг ■

Уравнениями Эйлера и естественными граничными условиями функционала (14) являются уравнения равновесия и статические граничные условия в приращениях (13). Вектор-функция перемещений в (13) должна удовлетворять кинематическим граничным условиям на Э.,

к +-4 с С О С к - £ 5 ООО х- —П—А V 3

к + 7 6 с о 0 Л п \ К - 4 0 с о с 0

к + 4 й ООО

0 а

й 0

С 0

3 (13). В (12) - (14):

К. =

й =

Зе„

ЗЕ.

л0 + л, + кг

Н - «0 . . „г Д, = ^-Кс)Г.1\

Кь = —^ •

3<3£„

Л, =

3н1

1Т = {1 1 1 ООО);

гт=£ееее е е }.

I } г Ч к у;

Традиционная процедура дискретизации задачи МКЗ при использовании вариационного уравнения (13) приводит к итерационным

уравнениям самокорректирующегося шагового метода ^ д<зп+' = рп+' - кпяп ,

(15)

где - общая наследственная касательная матрица жесткости, которая строится по матрицам = / ФтЕпФд.г отдельных конечных элементов; - общая наследствен^^ секущая матрица жесткости, вычисляется по к^ = <?тд£<Иу.

(V)

При разгрузке предполагается, что зависимость между напряжениями и деформациями является линейной вязкоупругой. Для вязко-упругости уравнение (15) преобразуется к виду

а?*1 = Рп+'. (16)

Алгоритм решения задач упруговязкопластичности состоит из следующих этзпое:

1. Вначале вычисляются условно-мгновенные компоненты НДС, которые развиваются за конечный промежуток времени, но относятся к началу отсчета I = 0. На малом отрезке времени Д1; предполагается, что вязкопластические свойства материала не проявляются, и

поэтому решается линейно-упругая задача = др',

здесь - начальная матрица жесткости, которая формируется по матрицам жесткости отдельных конечных элементов

О (V) и , . ,

Л0 - матрица связи а ~ в линейной теории упругости; ¿4 = д -

О А ' ' ' * П

д , предполагается, что q'J = 0, поэтому Дq = д ; ДР = Р - Р и, если Р° = 0, то др' = р'.

2. На втором шаге определяются компоненты матриц жесткости

Л А

к^, к, всех конечных элементов системы. Для. этой цели вычисляются модифицированные деформации, напряжения, модули для X = дг. Если при интегрировании но пространственным переменным элементов матриц жесткости используются какие-либо квадратурные формулы, то все указанные величины вычисляются в узлах, координаты которых определяются выбором формулы численного интегрирования. При большом числе конечных элементов деформации и наследственные модули можно находить в центре элемента и считать их постоянными на элементе. По матрицам к^, Др формируется общая система уравнений МКЭ

= А?2-

После определения q2 расчет повторяется с пункта 2 до тех пор, пока х ^ п&г, где г - граница отрезка [0,11, на котором исследуется поведение системы; п - число итераций назначаемое произвольно, поэтому расчет необходимо проводить при различных п; < п2 < п3 <... до стабилизации решения.

При деформировании системы в различных областях могут возникать активные и пассивные процессы, которые различаются по следующим признакам:

¿8. > 0 - активный процесс;

б£{ ^ 0 - пассивный. Для тех конечных элементов, в которых обнаружено, что й£{ ^ О, физический закон принимается в виде Лб^.Ае

Обычно в различных частях сооружения применяется материал с одинаковыми физико-механическими характеристиками, но, вследствие того, что эти характеристики изменяются во времени, а возведение сооружения может продолжаться длительное время, поэтому изготовление различных элементов сдвинуто во времени и деформативные свойства материала в различных точках могут существенно отличаться. Кроме того, неодинаковость материалов, применяемых в строительстве, например, железобетон (бетон и арматурная сталь) предопределяет выбор различных ядер в физических зависимостях наследственной теории упругопластичности. Поэтому появляется необходимость разработки таких алгоритмов, в которых бы имелась возможность учета неоднородной ползучести.

Предполагается, что материал одного конечного элемента является однородно ползучим. Представим основное матричное соотношение МКЭ (15) в следующем виде:

= Др™ етг. (17)

Интеграл с помощью формулы прямоугольников приближенно

представи^ в виде (г = тД1;).и_?

г*дч™ = X гга-в)дЧг(в)с1е = г7,(тдг)дяг(8)^ + £ гдпци-пд!;] д<£А1; + о

+ Гг(0)Д(£ Щ . (18)

Теперь, уравнения равновесия (17) г-го конечного элемента с уче-

том (18) приближенно представляются в Еиде

•( (т-а)ДичЗ.

Щ.-1

п=2 г

Введем обозначения:

[1- Г.(0)]. к™"'= к^-''0; Гг(тлю- •

дггг[(т-п)дг].

С учетом принятых обозначений уравнения равновесия для г-го НЭ запишутся так:

а для системы конечных элементов в виде

а «л л. . , та— 7 л

Дqm = ДРт + + 2 к",В1"пДаТ1) (19)

* й п=2 "

где общие матрицы жесткости К^-1,0 К™"'К^"',т~Лстроятся известными приемами по матрицам жесткости отдельных конечных элементов. Общий алгоритм решения совпадает с последовательностью вычислений для однородно ползучего тела, отличие заключается в том, что на каждом шаге используются разрешающие уравнения

При определении предельных нагрузок для континуальных систем принимается следующая совокупность гипотез -

1. Материал сооружения для объемной деформации подчиняется закону Гука, для сдвиговой - диаграмме типа Прандтля; изохронные кривые представляют собой пучок геометрически подобных диаграмм Прандтля (рис.6 );

2. Зоны пластичности при квазистатическом яагружении последовательно возникают в объеме каждого конечного элемента, интенсивность напряжений которого достигла к моменту времени t предела текучести о. = Е0(1-Г*-1 )ет;

3. Внешние силы в пределах временного шага изменяются пропорционально одному параметру;

4. Предельное состояние сооружения наступает в момент времени 1; , когда система конечных элементов превращается в механизм или предельное состояние сооружения наступает при таком внешнем нагружении, которое превращает систему конечных элементов в механизм в пределах срока эксплуатации.

В последующем изложении алгоритма предполагается, что искомая предельная нагрузка прикладывается мгновенно в начальный момент времени. При этом задача определения предельного состояния формулируется так: определить время X < 1;а (га - срок эксплуатации сооружения), при котором система превращается в механизм.

По условиям примера (гл. 2.2) по расчету железобетонной оболочки реактора на грунтовом основании проведен расчет в вязко-пластичной постановке. Ядро ползучести экспоненциальное- Екр = 2-10=кг/смг, =0.7 , Екр = 1.4-105 кг/см2. Время релаксации -п = 100 сут. Расчет проведен на нагрузку р = 0.8, = 0.8-

.(1 .377-Ю4) = 1.1-104.

Анализ результатов показал следующее. Характер образования разрушений соответствует разрушениям в упругопластической стадии (теория интенсивности напряжений)(см. дис., рис.2.б - 2.19). Предельное состояние достигнуто в момент г = 129 суток. Перемещения,по сравнению с упругопластическим расчетом, возросли за это время в (3.4/0.83) = 4.1 раза. На рис.10 показан график зависи-

во юо Рис. 10

мости горизонтального перемещения верхнего узла цилиндра корпуса реактора от времени. Резкие участки роста перемещений соответствуют новым обширным зонам пластики.

Можно сделать основной вывод - вязкие свойства материала п риводят к существенному снижению предельной нагрузки, что необходимо учитывать в расчетах на предельное состояние.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1 .Разработана методика решения задач строительной механики, позволяющая для упруговязкопластических систем определять несущую способность, проследить за развитием зон пластичности (разрушения) во времени, вплоть до предельного состояния.Для формулировки задач упруговязкопластичности приняты физические уравнения теории малых упругопластических деформаций наследственного типа. Для решения краевых задач упруговязкопластичности на основе представления неквадратичных функционалов последовательностью квадратичных, применялся обобщенный метод упругих решений в форме самокорректирующегося шагового метода и метода последовательных нагружений. Шаговый метод определения предельной нагрузки позволяет обнаружить последовательность появления пластических зон для континуальных систем и пластических шарниров для стержневых, определить единственный механизм разрушения, учесть изменение внешнего нагружения во времени.

2. Разработана методика определения предельных нагрузок для рамных систем с учетом протяженности зон пластичности, смещения опор. Обнаружено, что условие расчетной схемы при отказе от гипотезы о локализации пластических деформаций в шарнирах, приводит я

снижению предельной нагрузки и возрастанию перемещений, особенно в предпредельном состоянии. Учет осадки опор может привести к тому, что изменяется механизм разрушения и, естественно, значение предельной нагрузки.

3. Разработана методика определения предельных нагрузок при решении осесимметричных упруговязкопластических задач. Рассмотрены осесимметричные сооружения, подчиняющиеся условию текучести типа Губера-Мизеса. Изохронные кривые представлены пучком геометрически подобных диаграмм Прандтля, у которых предел текучести для напряжения лежит на отрезке между значением условно-мгновенного и длительного. Условием потери несущей способности сооружения является вырожденность касательной матрицы жесткости. Алгоритм разработан для неоднородно ползучих систем.

4. В рамках программного комплекса "ПОЛЮС" разработан сегмент, реализующий методику расчета рамных конструкций и осесимметричных сооружений с учетом упруговязкопластических свойстз материала. Все теоретические положения диссертации проиллюстрированы примерами решения конкретных задач.

5. Основные положения диссертации опубликованы

1. Аль-Тахиш A.A. Определение предельных нагрузок для идеально упруговязкопластических стержневых систем.-в сб.вычислительная механика и моделирование работты канструкции сооружении. Ростов-на-Дону:РГАС,1993,сс.6Т-74.

2. Васильков Г.З., Панасюк Л.Н., Аль-Тахиш A.A. Определение предельных нагрузок для неоднородных зязкоупругопластических рам.- Деп В ВИНИТИ, Я 1169 от 22.11.93..

3. Панасюк Л.Н., Аль-Тахиш A.A. Злияние смешения опор на предельное состояние рам. Деп. в ВИНИТИ, N36Q4-B92.

4. Панасюк Л.Н., Аль-Тахиш A.A. К определению предельной нагрузки