автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Анализ и синтез робастных динамических систем со структурными линейными и нелинейными неопределенностями

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ '5- ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

ТАГАНРОГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ТЯНЬ Юйпин

УДК 681.51:681.327

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ РОБАСТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ СО СТРУКТУРНЫМИ ЛИНЕЙНЫМИ И НЕЛИНЕЙНЫМИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ

Специальность: 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях; 05.13.pl - управление В технических системах

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Таганрог 1996

Рабате выполнена на кафедре теории автоматического управления и ее применения Юго-восточного Университета Китая и на кафедре математического обеспечения и применении ЭВМ Таганрогского Государственного Радиотехнического Университета Российской Федераций

I

Научный консультант:

действительный член АЕН РФ и МАИ,

доктор технических наук, профессор Мелихов А.Н.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Колесников A.A. доктор технических наук,- профессор Нейдорф P.A. доктор технических наук, профессор Подчукаев В.М.

Ведущее предприятие: Институт проблем управления РАН, г.Москва

а-6

Защита состоится '^О' С/1996 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 063.13.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора технических наук при Таганрогском государственном радиотехническом университете по адресу: 347928, Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д - 406

(' диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета

Автореферат разослан 1996 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета , ' ,

к.т.н., доцент ' А.Н.Целых

0Б1ЦЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическая модель никогда не является точным ооясаяи-ем реального объекта или процесса управления из-за ограниченности энавнЭ человека о природе. Как известно, на практике модель часто строится с некоторыми упрощениями (линеаризация нелинейных процессов, снижение порядка объекта, замена распределенных параметров па сосредоточенные и т.п.). Более того, некоторые системы имеют разные значения параметров при разных окружающих средах, например, параметры самолета сильно меняются от высоты и скорости ветра. В результате идентификации обычно используется модель объекта, которая имеет линейный, стационарный и сосредоточенный характер. На базе этой модели для синтеза контроллера применяются известные теории управления: классические методы ь частотной области и современные методы в пространстве состояний. Однако, игнорирование неточностью описания динамики и параметров объектов не всегда позволяет удачпо применить эти методы управления. Это особенно характерно для современной теории управления в пространстве состояний, в которой в основном рассматриваются многомерные системы. Осознание этого факта привело к возникновению направления, связанного с решением задач управления в условиях неопределенности и к использованию в теории управления методов стохастического программирования, нечеткой логики, анализа чувствительности, теории игр и др. Однако, на практике не всегда возможно вероятное или нечеткое описание параметров и динамик. Если соответствующая информация ограничивается заданием лишь интервалов нахождения неизвестных параметров и определенных норм (Нх, или Li норм) безмодельных динамик, то рассматриваются задачи управления в условиях "неизвестной, но ограниченной", (unknown but bounded) неопределенности, или так называемые задачи робастного управления.

За последние 15 лет теория робастного управления получила бурное развитие по некоторым направлениям. Одним из этих направлений является исследование робаст-ной устойчивости и других динамических характеристик неопределенных систем в пространстве параметров (коэффициентов) объектов. Это прежде всего связано с применением в теории управления теоремы Харитонова, которая показывает, что робастная устойчивость интервального семейства полиномов зависит только от 4-х фиксированных полиномов. Второй вехой по этому направлению научного исследования является рёберная теорема, предложенная А.Ц.Бартлетт, Ц.В.Холлот и Л.Хуан, которая отмечает, что робастная устойчивость многогранника полиномов гарантируется устойчивостью всех полиномов, лежащих нз ребрах многогранника. Значительный вклад в развитие данного направления внесли так же Б.Р.Бармиш, Я.З.Цыпкин, А.Рантзер, Б.Д.О.Андерсон и многие другие ученые. Однако, как отмечено многими учеными, большинство результатов по этому направлению неприменимо-для системы с полилинейно взаимозависимыми

»«•определенными параметрами. Кроме того, на основании этих результаты) трудно синтезировать контроллер, робастно стабилизирующий неопределенную систему. Другим направлением в области теории робастного управления является анализ и синтез неопределенных систем с использованием максимальной сингулярной величины матрицы передаточной функции в качестве меры робастности системы. Большие успехи в этом направлении достигнуты в исследованиях метода 'Н00-оптимизацт1 и метода структурной сингулярной величины ((1). К сожалению, применение этих методов для системы -с реальными неопределенными параметрами дает очень консервативный результат по робастности. В связи с изложенным выше актуальной проблемой является развитие теории и исследование методов определения робастной устойчивости и других динами- ■ чегких характеристик системы с более сложными (полилинейными) представлениями взаимозависимых неопределенных параметров, а так же разработка единого подхода для анализа и синтеза робастных динамических систем с параметрическими и динамическими неопределенностями.

Исследования, проводимые по теме диссертации, выполнялись при финансовой помощи от Фонда Естесвенных Наук Китая под грантами N0.69404006 и N0.69334010, а так же от Фонда Государственной Комиссий Образования Китая и Фонда Юго-восточного Университета для молодых ученых. \

Целью диссертационной работы является развитие теории и разработка алгоритмов определения робастной устойчивости и других динамических характеристик систем управления при взаимозависимых неопределенных параметрах моделей, исследование единого подхода для анализа и синтеза робастности многомерных систем управления с некоторыми нелинейностями и линейньши параметрическими и динамическими неопределенностями.

Поставленная цель достигается путем решения следующих основных задач:

- исследование способов и разработка эффективных алгоритмов определения робастной устойчивости системы управления с взаимосвязанными неопределенными параметрами; _

- исследование способов и разработка алгоритмов определения робастных динамических характеристик (Иоо-характеристика, строгая положительность вещественной части передаточной функции) систем с взаимосвязанными неопределенными параметрами; I ' . '-

- постановка и решение задачи определения робастно-абсолютной устойчивости многомерных систем с некоторыми нелинейностями и структурными динамическими неопределенностями; ' ■ , .

- разработка единого подхода анализа робастной устойчивости и Коо-характеристики систем с параметрическими и динамическими неопределенностями;

- исследование способов и разработка алгоритмов синтеза контроллера, который

робастно стабилизирует объект с параметрическими и динамическими неопределенностями.

Объектом исследования диссертации являются линейные многомерные системы управления с параметрическими и динамическими неопреэелсипостями, а так же системы с некоторыми нелинейностями и структурными линеЯвыми неопределенностями.

Методы исследования базируются на теории автоматического управления, теории устойчивости динамических систем, теории матриц, теории функционального анализа, теории комплексного анализа, теории множеств и выпуклого анализа в конечномерных пространствах, методах оптимизации.

Научная новизна работы заключается в получении необходимых и достаточных условий определения робастной устойчивости, робастной характеристики и инвариантности строгой положительности вещественной части передаточной функции неопределенной динамической системы по некоторым. фиксированным моделям, разработке единого подхода для анализа и синтеза робастности многомерных систем управления как с нелинейностью, так и с линейными динамическими и параметрическими неопределенностями. В частности

- разработан необходимый и достаточный алгебраический критерий выпуклого направления в пространстве полиномов для определения робастной устойчивости систем с линейно взаимозависимыми неопределенными параметрами по некоторым фиксированным моделям;

- разработаны принцип древовидного разложения полиномов и алгоритм исключения нуля для определения робастной устойчивости систем с полилинейно взаимозависимыми неопределенными параметрами;

- разработаны вершинно-реберный критерий и алгоритм максимальной фазовой разницы для определения робастной Т^о-характеристики систем с взаимозависимыми неопределенными параметрами;

- доказано необходимое и достаточное условие инвариантности строгой положительности вещественной части передаточных функций с полилинейно взаимозависимыми неопределенными коэффициентами;

- поставлена задача робастно-абсолютной устойчивости системы с нелинейностями и линейными параметрическими и динамическими неопределенностями; для решения поставленной задачи обобщены круговой Критерий и критерий В.М.Попова;

- проведены исследования по разработке общего подхода вычисления верхней грани смешанной структурной сингулярной величины (/i) в качестве меры робастности системы с параметрическими и динамическими неопределенностями; устанавлена математическая взаимосвязь между критерием В:М.Попова и методом /¡-анализа;

- переформулирована задача робастной стабилизации системы с параметрическими и динамическими неопределенностями в задачу синтеза передаточной функции со

гтронщоложитольной вещественной частью; для решения переформулированной задачи разработан алгоритм на основе оптимизации в пространстве состояний системы;

- разработан принцип разложения процесса вычисления смешанной структурной сингулярной величины на отдельные процессы вычисления структурной сингулярной величины при вещественных и комплексных Неопределенностях; на основании доказанного принципа разработан алгоритм синтеза робастного контроллера для неопределенного объекта. ^

Практическая ценность работы состоит в том, что предложенные методы и ал-1оритмы используют современный математический аппарат, позволяющий эффективно анализировать робастную устойчивость и другие динамические характеристики систем при смешении разных неопределенностей. Разработанный оптимизационный подход анализа и синтеза робастного контроллера на основе обобщенного критерия В.М.Попова позволяет снизить сложность и трудоемкость процедуры вычисления смешанной структурной сингулярной величины (р) и синтеза контроллера, робастно стабилизирующего неопределенный объект, в пространстве состояний системы без выравнивания рациональной функции в частотной области.

Достоверность и обоснованность научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, подтверждается строгими математическими доказательствами, численными примерами, вычислительными результатами, полученными . с помощью стандартного программного комплекса .MATLAB, положительными оценками рецензентов рядг. научных журналов, имеющих мировой. авторитет, в том числе IEEE Trans, on Automatic Control (США), Заводская Лаборатория (Россия), Автоматика (Китай) и других, а так же апробацией работы на ряде всемирных, международных, всесоюзных и всекитайских конференций.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы обсуждались и докладывались на всемирном конгрессе "IFAC '96 World Congress" (Сан Франциско, США, 1996), на международной конференции "American Control Conference" (Балтимор, США, 1994), Международной Конференции по Инте'рвальным и Стохастическим Методам в Науке и Технике (Москва, 1992), на IX Всесоюзной конференции "Планирование и Автоматизация Эксперимента в Научных Исследованиях" (Москва, 19S9), на IV Всесоюзной конференции "Перспективы и Опыт Внедрения Статистических Методов в АСУ ТП" (Тула, 1990), на VIII, IX, X Всекитайских конференциях "Control Theory and its Application" (Нанькин, 1992, Ухань, 1993, Тайюйань, 1994), на Всекитайской конференции "Chinese Conference on Decision and. Control" (Шенян, 1993), на Всекитайский конференции "Postdoctoral Conference" (Пекин, Китай, 1993), Всекитайской конференции с международным участием "Chinese Control Conference" (Хуаншань,,Китай, 1995).' на научно-технической конференции Юго-восточного Университета Китая, ежегодно с 1992 по 1995г. в г. Нанькине.

В 1995г. за отличную публикацию автор диссертации получил самую высокую, награду для китайских молодых ученых в области теории управления - Награду им. академика Гуань Чжаочжи.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 32 печатных работы. В том числе 1 монография (Издательство Юго-восточного Университета, 300с.), 13 статей в центральных научных журналах (в том числе IEEE Trans, on Automatic Control, Заводская Лаборатория, Автоматика Китая, и др.), 14 статей в сборниках трудов международных, Всесоюзных и Всекитайских конференций, 4 статьи деп. в ВИНИТИ.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 145 наименований, и приложения. Работа изложена на 137 страницах основного текста, содержит 26 рисунков.

■ Основные научные положения, выносимые на защиту:

- алгебраический необходимый и достаточный критерий определения выпуклого направления в пространстве полиномов;

- принцип древовидного разложения полиномов для определения множества значений полиномов с полилинейно зависимыми неопределенными коэффициентами;

- вершинно-реберный критерий определения 'Ноо-характеристики многомерных систем с взаимозависимыми неопределенными коэффициентами;

- необходимое и достаточное условие инвариантности строгой положительности вещественной части передаточной функции с полилинейно взаимозависимыми неопределенными коэффициентами; ^

- обобщение хругового критерия для систем с нелинейностью и параметрическими неопределенностями;

- обобщение критерия В.М.Попова для многомерных систем с некоторыми нели-нейностями и структурными динамическими неопределенностями;

- новый способ получения верхней грапи структурной сингулярной величины при параметрических и динамических возмущениях;

- принцип разложения процесса вычисления смешанной" структурной сингулярной величины на отдельные процессы вычисления структурной сингулярной величины при вещественных и комплексных неопределенностях;

- алгоритм исключения нуля для определения робастной устойчивости системы с взаимозависимыми неопределенными параметрами;

- алгоритм максимальной фазовой разницы для определения робастной характеристики системы с неопределенными параметрами;

- оптимизационный метод робастной стабилизации неопределенных систем в пространстве состояний на основе обобщенного критерия В.М.Попова.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность исследуемой в диссертации проблемы, формулируется цель и основные задачи исследований, отмечены полученные в работе новые научные результаты, их практическая значимость, апробация и структура диссертации, приведены основные положения, выносимые на защиту.

Раздел 1. Основные направления и проблемы теории робастного управления.

В данном разделе рассмотрены основные постановки задач робастного управления и приведена классификации моделей неопределенностей в системах управления в контексте робастного управления. Рассматриваются исторические источники и главные направления исследований в развитии теории робастного управления, включающие метод анализа робастносги систем в пространстве параметров, метод структурной сингулярной величины (/i), метод Попова. Обоснованы направления диссертационной работы.

Раздел 2. Робастная устойчивость систем управления при параметрических неопределенностях.

Устойчивость является одним из самых важнейщ <х требований для систем управления. В классической теории управления устойчивость линейной стационарной системы можно определить по расположению корней характеристического полинома системы. Однако, при наличии неопределенности на параметры системы, характеристический полином данной системы неизвестен, и принадлежит определенному семейству полиномов, которое записывается следующим образом:

' П = {P(s, q) : P(s, q) = ¿о,-(,)в\ q 6 Q}, (1)

t=o

где Q - ограниченное и закрытое подмножество в 7£m, a,(q) : и-» И - непрерывная функция, г = 1, • • •, п. Система с неопределенным зектором параметров q робастно устойчива, если любой полином P(s,q), пренадлежащий семейству П, имеет корни только в левой открытой половине комплексной плоскости.

В случае независимых возмущений коэффициентов полинома, П назывг.ется интервальным семейством полиномов и обозначается Iii,

n1 = {P(s,q):P(s.q) = '£qis\qieiq;,qf}}. (2)

По теореме Харитонова для того, чтобы Iii было робастно устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы были устойчивы 4 вершинных полинома, которые в литературе называются полиномами Харитонова. , ^

В случае линейно взаимозависимых неопределенных коэффициентов полинома, т.е., ai(q) : Ит "Я, i = 1,- • • , п, являются линейными функциями неопределенных параметров q, П формирует многогранник' в пространстве полиномов и обозначается Пр.

По реберной теореме Пк робастно устойчиво, если любой погшноы. лежшшиЯ нь («Оран многогранника Пр, устойчив. Естественно, что любое ребро миошгрииник* »n;nu«u/*i в себя бесконечно много полиномов, а число ребер многограикмкд кпрш¡ari я tKi vn ненциальной зависимости с увеличением числа неопределенных параметров. Поэтому возникает вопрос: возможно ли обеспечение робастной устойчивости множества всех полиномов, принадлежащих одном ребру, только на основе двух верщиных полиномоз? Положительный ответ на данный вопрос позволяет определить робастную устойчивость неопределенной системы по некоторым фиксированным моделям объекта, и имеет общее значение для ряда других проблем робастного управления. К сожалению, ряд примеров показывает, что область устойчивости в пространстве коэффициентов полинома является невыпуклой. Но с другой стороны, теорема Харитонова и ряд других вершинных результатов по анализу робастной устойчивости подсказывают, что существуют такие многогранники полиномов, робастную устойчивость которых можно определить по вершинам многогранника. В диссертации рассматривается общий метод для определения таких многогранников полиномов с помощью понятия выпуклого направления в пространстве полиномов.

Определение 2.1. Полином д(з) называется выпуклым направлением в пространстве полиномов п-ой степени, если выполняется следующее условие: если для любого устойчивого полинома n-ой степени /(з), полином /(s)-i-g(s) устойчив, и f(s)+Xg(s) имеет инвариантную степень для всех Л 6 [0,1J, то f(s) Xg(s) устойчив для всех А € [0,1].

Очевидно, что любое ребро многогранника полиномов можно записать в виде

/

P{s,X)=í(s) + Xg(s), Л 6 [0,1]. (3)

По определению 2.1 если g(s) является выпуклым направлением, то робастная устойчивость P(s, Л) гарантируется устойчивостью двух вершинных полиномов f(s) и f(s)+g(s). Запишем д(ь) в виде

9(а) = до + gis + S2s2 + • ■ • + ¡?m-1sm-1 + sm = e(s2) + s h(s2).

Пусть

gi(s) = e(jf)+jh(js), g2(s) = e(-js) + 3 h(-js),

dw )3 ío(w))1'

d(t«n»rgg;(j")) gogi +m)73M+(3?o»v+mM-gi»iWa+- é BM du (<m+¡nu+s4u!+se"3+-)S (0ПУ

(4)

(5)

(6) (7)

Дли лиЛио »таи им-шмш числа ( > 9 строим следующую серию:

Л,(ш,£)

=

где Ксз[ ] означает остаток деления. Анапоглчно можно построить другую серию

е), Е 1(ш,е), В2(ш,е), ■ -,- В,(е). При этом в диссертации доказан следующий необходимый и достаточный алгебраический критерий для определения выпуклого направления в пространстве полиномов:

Теорема 2.1. Из а(л] = ¿д,«' строятся следующие серии по фоомуле (8): " " 1=0

5, = {Ло(0, с), Л,(0, е), • - ■, Лг(е)},

52 = {Л0(оо,е), ЛДоо, с), ■■■,Ат(с)у,

& = {Во(0,£),В,(0,е),---,В,(е)},

Я, = {В0(ос, е), В^оо, е), • • •. В,(б)}.

Ксли для любого достаточно малого числа е > О значение Ао(оо, е) > 0 и равны числа изменения знака элементов в серии 5] и в серии или Вс(оо,с) > 0 и равны числа изменения знаков элементов в серии 5з и в серии 54, то <7(5) является выгуклым направлением.

В теореме 2.1 вместо Д<(оо,с) и оо, е) в 62 и 6\ можно поставить старшие коэффициенты многочленов А,(оо, с) и Б,(оо, с) соответственно.

Приведенные в .теореме 2.1 заключения отличаются от известных результатов тем, что отсутствует зависимость от комплексной частоты и благодаря этому данная теорема содержит алгебраический критерий.

Из теоремы 2.1 следуют некоторые достаточные условия для определения выпуклою направления:

т

Следствие 2.1. Полином д(з) = является выпуклым .направлением, если

выполняется любое из следующих условий: ,

(1) £ (¿-./Ь^Л-1(-1)а >0,А =С,1,----,"г- 1;

(2) £ («' -3- > О, Л = П, 1, • • ■ ,т - 1.

На основании полученных результатов по определению выпуклого направления в пространстве полиномов в диссертации приведен анализ робастной устойчивость замкнутой системы управления с интервальными коэффициентами. Доказано, что если

= А( ш) + с,

Ни >

полином числителя и полином знаменателя динамического вомшмсаэтвр* ■ шит- к.ч-вляются выпуклыми направлениями, то робастная устойчпоггь ввтерчпьиц* с ш кчы определяется 16 фиксированными моделями, которые состоит ц оо.шяомсн1 Хг^ктонова.

Несомненно, что реберная теорема и результаты по выпуклому направлению являются очень важными и мощными средствами для робастного анализа. Однако, нужно отметить, что линейная зависимость коэффициентов характеристического полинома от неопределеннь1Х параметров редко возникает в технических процессах. Для многих систем управления неопределенные параметры входят в характеристический полином в полилинейном виде. Ряд примеров в литературе показывает, что реберная теорема в об щем случае несправедлива для множества полиномов с полилинейно взаимозависимыми неопределенными коэффициентами. Поэтому актуальной проблемой явлется разработка меГода и алгоритма определения робастной устойчивости системы с полилинейно взаимозависимыми неопределенными параметрами.

Семейство характеристических полиномов системы с полилинейно взаимозависимыми возмущениями коэффициентов-можно записать 1> Биде:

Пм = {Р(5,?):Р(5,?) = Еа,(9К,дедс7гга}, (9)

1=0

где а,(д) : Кт И, (г = 1,п) - полилинейные функции, С} - некоторый прямоугольник в Важным понятием для дальнейшего анализа является множество значений семейства полиномов, которое определяется следущим образом:

УмЫ = {Р(5о,9):^,?)бПм}, (10)

где 50 - любая точка на границе 32? открытой области 2? в комплексной плоскости.

По широко известному- принципу исключения нуля, предложенному Фразером в 1929, для того, чтобы Пм было робастно устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

О0УмЫ, Vso€дV. (11)

В общем случае Ум(«о) является невыпуклой областью в комплексной плоскости, и не существует эффективный алгоритм для определения условия (11). В диссертации определен один класс полиномов с полилинейно взаимозависимыми неопределенными коэффициентами, множество значений которых определяет выпуклый многоугольник в комплексной плоскости. Разработан алгоритм определения условия (11) для данного класса полиномов, главна.я идея которого состоит в следующем.

Используя обозначение = д,- — , можно представить семейство полиномов Пм в виде:

Пм = {Р(з,9') : Р(з,д') = Р0(з) + Р,(а,<?'),?' еЯ'С Я"}, (12)

<з' = {?' = • • • ■ : о < <=- чп, оз)

Р0(з) - определенный полином п-ой степени, ?') - полином с неопределенными коэффициентами, имеющий вид: '

я.(м')=/.(!%и+-+/ш»); (и)

где = 1,... /) - также определенные полиномы, степень которых не выше п, /.(?')"

произведение некоторых неопределенны!: параметоров:

/.(•?') Ь<п- (15)'

Пусть У^^о) обозначает множество значений Р!(5,5), т.е.

= (16)

Очевидно, Ум(«о) = Ум(5о) + Ро(^о). Поэтому для опредёления Ум(г0) необходимо и достаточно получить У^(до). В диссертации предложен графический подход определения ■множества значений одного класса полиномов с полилинейно взаимозависимыми

неопределенными коэффициентами, которые определяются по следующей теореме:

Теорема 2.2. Пусть записан в виде (14). Если ^1(^0), «^(зо), • ■ ■, <М5°)

являются неколлинеарными векторами в комплексной плоскости, и (г = 1,2.---",т) не появляется одновременно в /*(<?') и /*(?'), к, к — 1,2, •■■,'> ^ Ф Л, то множество значений = {Л(5о,9') : ?' £ С}'} является выпуклым многоугольником в комплексной плоскости.

Однако, в диссертации приведен пример, который показывает, что теорема 2.2 дает лишь достаточное условие выпуклости множества значений полиномов. Менее жесткое условие получается с помощью следующей процедуры разложения полинома А (л,ч')~

Этап 1. Объединить все коллинеарные векторы из ^1($о),<Ы5о),/"| ^|(«о) в виде одного члена. ' '

Этап 2. Обозначать знаком неопределенный параметр, который появляется

наиболее часто в членах Р1(з,д') в качестве общего множителя. Объединить все члены, содержащие /}(д') в виде одной группы. Обозначить Д(ч') неопределенный параметр, который появляется наиболее часто в остальных членах в качестве, общего множителя. Объединить все члены, содержащие /2(9'),' в виде второй группы, ••• Продолжать эту процедуру до конца. ...

Этап 3. Повторять этап 2 в каждой группе. Этап 3 завершается разложением второго уровня. ' . -

Этап 4. Повторять этап 3 для каждых групп на 3-ем, 4-ом,- • • уровнях до тех пор, пока в какой-либо группе существует общий множитель.

После процесса разложения Р1 (з, д') в общем случае имеет вид:

л=1 »=1, ¿» = 1

На основе предложенной процедуры разложения в диссертации доказана следую-щяя теорема:

Теорема 2.3. (Условия древовидного разложения) Если все возмущения Л =

в (17) взаимно независимы, то множество значений Ут(з0) = {-Р^о>?') : ч' С С}'} является выпуклым многоугольником в комплексной плоскости.

В диссертации показано, что любой полином, удовлетворяющий условию теоремы 2.3, имеет древовидное разложение.

Для определения робастной устойчивости семейства полиномов, определяемого теоремой 2.3, в диссертации разработан следующий алгоритм. Алгоритм Исключения Нуля:

Пусть 1)1(30), "2(^0), • • ! о) - вершины многоугольника У(«о). Не теряя общности предполагаем, чтя и,(«о) 0,г* = 1,2, ■ ■ - ,г. Условие (11) определяется по следующим этапам:

Этап 1. Для начальной точки во 6 дТ> вычислять и,(зо) и их аргументы а<,0 < аг<2х,г = 1,2 ,'■■■, г.

Этап 2. По а,- определить, в каком квадранте находится и,(з0). Если ^.(зо) находится на оси, то считаем, что и,(з0) принадлежит обоим соседним квадрг.нтам.

Этап 3. Пусть и - максимум и минимум среди аргументов в _/'-ом квадранте соответственно. У(йо) не включает в себя нуль, если и только если выполняется одно из следующих условий:

условие А: все и,(бо) помещаются в одном квадранте; условие Б: все г),(50) помещаются в двух соседних квадрантах; условие В: г>,(зо) помещаются в двух противоположных квадрантах, и удовлетворяют условию

^Ч 2< т.,; = 1,2, - (1&;

или

>*■,; = 1,2, (19)

где } = 1 для случая, когда ц(б0) помещаются в 1-ом и 3-ем квадрантах; 7 = 2 для случая, когда ¡л(зб) помещяются во 2-ом и 4-ом квадрантах.

Этап 4. Изменив повторять указанные выше этапы до тех пор, пока зо не покроет целую кривую дТ> с заданным шагом е..

Предложенный алгоритм применим так же для случая линейно взаимозависимых неопределенных коэффициентов, поскольку множество значений (16) многогранника полиномов всегда является выпуклым многоугольником в комплексной плоскости.

Раздел 3. Рсбастная Woo-характеристика систем управления при параметрических ||еои|и-дг.1гпностях.

Важным требованием для систем управления является не только устойчивость, но и другие динамические свойства (способности отслеживания задающих сигналов, уменьшения влияния внешних возмущений, и др.). В диссертации показано, что ряд проблем управления, связанных с обеспечением требований на динамические характеристики, может быть сведен к решению задачи минимизации:

||G(4)|U — min, (20)

где G(s) - некоторая передаточная функция. На практике задача (20) может быть решена по критерию субоптимизации:

№)IL<7, (21)

где 7 - некоторая константа.

В случае существования неопределенности на параметры, G(s) неизвестна и принадлежит к некоторому семейству Г рациональных функций, а критерий (21) принимает вид ...

maxUGWIU < 7, ' ' (22)

который гарантирует Т^-характеристику системы ври "наихудших" отклонениях параметров. С помощью понятия выпуклого направления в пространстве полиномов в диссертации показано, что в случае независимых неопределенных параметров Нехарактеристику системы при "наихудших" отклонениях параметров можно определить по некоторым ¡вершинным моделям, состоящим из полиномов Харитонова.

В случае взаимозависимых неопределенных параметров задача оказалась гораздо, сложнее. В диссертации приведено исследование задачи определения робастной Нехарактеристики для многомерной системы с линейно взаимозависимыми неопределенными параметрами, которая описывается матрицей передаточных функций:

gute1 ... gutel ß(») V(.)

Ут1(.) ... Ng^l

'¡ЯТ

где Л'.Дз) - полиномы числителя, П(э) - Полипом знаменателя.

Как известно, при линейной зависимости от неопределенных параметров, все возмущенны^ полиномы определяют многогранник в пространстве полиномов. Пусть По - многогранник всех полиномов знаменателя при отклонениях коэффицинтов, который можно записать в виде выпуклой комбинации некоторых определенных полиномов, т.е.

Цв := сопу(ПЬ), . (23)

где

ПЬ = {А(*):« = 1,(24)

означав! множество вершинных полиномов Di(s)'f(i = 1,---,г). Обозначим множество ребер многогранника По в виде Пд. Аналогично опишем многогранник всех m х I матриц, состоящих из полиномов числителя при отклонениях коэффициентов, в виде

nN.

П,.. = co,iv(n^) (25)

где

Щ, = : i = 1,•••,?} (26)

обозначает множество вершинных матриц N (s)'s (t = 1, • ■ •, q)• Для любого вещественного числа ui е 1Z в диссертации доказано, что

min I D(juj) 1= min I D(ju>) |, (27)

d(»)enc 1 sJ ' ' внеng ' u v

max ff(JV(j'«)) - . ЦЩМ), (28)

"(■)£Пя N(s)e n^

где cf(-) - максимальная сингулярная величина матрицы (•)

На основе этих фактов получено следующее утверждение для определения Woo-характористики неопределенных систем:

Теорема 3.1 (Вершинно-реберный критерий) Пусть G (s) — - m х I матрица рациональных функций, где N(s) - m х / матрица полиномов в 6 Пдр, D(s) - полином в По Тогда справедливо

II WWII |W(s)|

max „. ч = max „, , .

АГМ'ЕПк.омеИо II D(s) ||м || Dis) fl^

Теорема 3.1 говорит о том, что при линейно взаимозависимых неопределенных ко-эффициегтах робастная Woe-характеристика системы определяется теми моделями, которые состоят из вершинных полиномов числителя и реберных полиномов знаменателя.

Теорема 3.1 так же определяет робастную устойчивость замкнутой ситемы с неопределенными параметрами и частичной безмодельной динамикой, которая описывается системой уравнений:

I е = и — A(s)y ' ^ ^

где G(s) — - передаточная функция с неопределенными параметрами, N(s,p) £

Пдг, D(s,q) 6 По, Л(з) - безмодельная динамика. Известно лишь Л(з) g ~ЯИоа, ^(sJlloo < 1. На основе теоремы 3.1 и теоремы малого усиления можно утверждать, что для того, чтобы система (29) была робастно устойчива, необходимо и достаточно,

чтобы при iicex ш > 0 выполнилось неравенство

max <f(N(jui))

<1. . (30)

min I d(ju) DiOeng1 w '

Однако, следует отметить, что теорема 3.1 имеет в большей мере теоретическое, чем практическое значение, т.к. при использовании данной теоремы необходимо*

а) проверять асимптотическую устойчивость всех полиномов в многограннике По;

б) решать задачу оптимизации: min I D(jui) ! в каждой частотной точке: ' o(«)eng

в) вычислять max â(N(jio)) в каждой частотней точке.

/v(»)e nj,

Как уже отмечено, число ребер многогранника Пу возрастает в экспоненциальной зависимости с увеличением числа неопределенных параметров. При этом задачи а) и б) часто приводят к так называемому "проклятию размерности" в трудоемкости вычислительного процесса.

Для того, чтобы снизить трудоемкость вычислений в диссертации вводится понятие максимальной фазовой разницы вершинных моделей. Пусть sect(fl) - некоторый сектор в комплексной плоскости с углом Ô, вершина которого совпадает с началом координат. Введем обозначение

5m := max. <f(N(ju>)). (31)

Максимальная фазовая разница между вершинными моделями определяется по формуле: 1 .

вт := та х0(ш)

и>0

= та* min^{fl : D(ju) 6 sect(0), V£)(s) € П^У^ € [0,2л-]}. (32)

На основе введенного понятия справедливо утверждение:

Теорема 3.2. Для того, чтобы была гарантирована робастная характеристика

max Ш < 1, ' (33)

лгМбПя^МеПоЦРМЦ^ '

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

вт < ж. / " (34)

В диссертации приведена графическая иллюстрация теоремы 3.2, идея которой заключается а том, что если выполняется условие (34), то множество значений семейства полиномов

Пс := {P{s) : P(s) = D{s) + ^*N(a),D(a) <Е Пд,ЛГ(а)'€ П„,ф 6 [0Г2т]}

с комплексными коэффициентами не включает ь себя начало координат. При этом разработан следующий алгоритм для определения Тйо-харгктеристпки системы. Алгоритм максимально-фазовой разницы.

Этап 1. Для начальной точки и0 вычислять Д(_?ш0), ат = тах а(Ык(]~оа))-Затем вычлслять и~{и0) и 0*(ио), « = !,.■••,г, по формулам:

0,~(ш) = а^(Д(.7и>)) — агсзш

1

•^»ЧщЙ!. 1

(35)

вЦи) = а^ДО'ш)) + агсип , "" 1

где 0 < а^(-) < 2ж - фазовый угол.

Этап 2. Определить, к каким квадрантам принадлежат 6>~(с>о) и о). Если 0~(шо) или О*(и>0) находится на оси, то считаем, что 0,г(и),)) или в?(ш0) принадлежит обоим соседним квадрантам.

Этап 3. Пусть ф'Ц{ио) и >0) обозначают максимум и минимум среди аргументов 0;-(и>о) и 81 (ш0), (г — 1, •'• \,г), в Ь-ом квадранте соответственно. б(ш0) можно определить по следующим условиям:

случай 1 < ж, если все в^(ио) и 0^(ыо)(' = 1. • • • ,г) находятся в одном или в

двух соседних квадрантах;

• случай в(и0) > т, если в~{ш0) и В+(шо)(* = 1, • ■ •, г) помещаются в четырех квадрантах;

случай 3: в(ш0) = тт(й+2 - Ф1,2тг - + если (/¡(шц) и в^(ыо){г = 1, ■ •• ,г) помещаются в трех или в двух противоположных квадрантах, где Н = 1 еелл в~(шо) или (г — 1, • •• ,г) в 1-ом и 3-ем квадрантах, И — 2 если 0,7(ыо) или в*{ша), (« = 1 • • ■, г) во 2-ом и 4-ом квадрантах.

Этап 4.' Если в(ч>0) < т, то, изменив ша, повторять выше указанные этапы до тех пор, пока ]шо не покроет всю комплексную ось с заданным шагом е.\ Если в(ш0) ~> тг, робастная Н^о-характеристика системы (33) не гарантирована, и алгоритм подошел к концу.

Преимущество предложенного алгоритма перед теоремой 3.1 заключается в том, что вместо решения задачи оптимизации необходимо лишь сравнить фазовые углы некоторых вершинных моделей. Кроме того, по принципу исключения нуля, робастная устойчивость многогранника полиномов IIр автоматически гарантируется условием вт < тт.

В диссертации приведен численный пример, который иллюстрирует применение разработанных метода и алгоритма для определения множества допустимых значений параметров, гарантирующих робастную устойчивссть замкнутой системы с частично безмодельной динамикой.

Разработанный алгоритм так же применим для систем с полилинейно взаимозависимыми неопределённостями на коэффициенты полинома знаменателя, которые удо-

п. ктиоряют условию теоремы 2.3.

Раздел j. Робастно абсолютная устойчивость систем со структурными линейными и нелинейными неопределенностями.

.Проблема робастной устойчивости системы Лурье с нелинейностью, удовлетворяющей некотором» секторному условию, рассматривалась в СССР к за рубежом еще в ">0-ых и 60-ых годах. На основании функции Ляпунова и функционалпного анализа были получены многие важные результаты, в том числе, круговой критерий, критерий В.М.Попова, теорема малого усиления, и др. В настоящее время, в связи с успехами в области анализа робастной устойчивости большое внимание вновь обращено на проблему абсолютной устойчивости системы с неопределенностью в линейной части системы. В литературе получены некоторые результаты для случая независимых неопределенных коэффициентов. В отличии от известных результатов данная проблема рассматривается в диссертации как для SISO-cncieMbi с нелинейностью и полилинейно взаимозависимыми неопределенными параметрами, так я для MIMO-системы с некоторыми пелинейностями и структурными динамическими .неопределенностями. Особое значениь полученных результатов заключается в том, что на основании обобщенною критерия В.М.Попова, доказанного в данном разделе, разработан в разделах 5 и 6 единый подход анализа и синтеза робастности системы с параметрическими и динамическими неопределенностями. Р

Проблема абсолютной устойчивости тесно связана с понятием передаточной функции со строго-положительной вещественной честью, которое возникло в пассивном ана-1и и сети, и в настоящее время широко используется в друшх областях (теории адаптивного управления, теории гиперустойчивости).

Определение 4.1 Правильная рациональная функция G(s) — состоящяя из взаимно-простых полиномов N(s) и D(s), называется функцией со строго-положительной вещественной частью, если

а) P(s) является полиномом Гуррица;

б) Re[G(jw)] > 0,Vw € П. ■

Мы пишем G(s) g SVTt, ее л;; <7(s) является функцией со строго-положительной

вещественной частью.

В диссертации рассматривается задача определении Инвариантности SPR-свойства передаточных функций с полилинейно взаимозависимыми неопределенными коэффициентами, которые принадлежит множеству:' ' - л

Гм=={С(0 = 5^":^('.9)бПЙ1ВМ€ПЙ}1 ' (36)

где njj и n£¡ - множества полиномов, описываемые в виде:

Пм = {N(s,q) = f^ai(4)si -.q^qcTÚ}, (37)

о

■ ng = {Д(А)р)=5>(рК:реР^К'Ь (34)

1=0

где a,(q) : Ик >-» 7? и 6,(р) : TV t-» 1Z - полилинейные функции неопределенных параметров qv¡ р соответственно, Q и Р - некоторые прямоугольники в V} и Ит соответственно:

Q = {q^Tlh ■.q-<qi<qt,i = \,2,---Л), (39)

Р = {р &ИГ : pi~ < Pi < pf, i 1,2, ■ ■ ■, г}. (40)

- Множество вершинных моделей в Гм обозначено знаком Гу:

Г^-{С(5,?,р)бГм:?ед',Р^Р*}. (41)

где Q" и Р* - множеств! вершин Q и Р соответственно. Доказывается следующее утверждение:

Теорема 4.1. G(s) € SVTiyG(s) бГм<=> G(s) е 5PK,VG(s) 6 Г^. Очевидно, теорема 4.1 имеет место в случае линейных взаимозависимых неопределенных коэффициентов.

На основании теоремы 4.1 в диссертации приведен так же анализ инвариантности SPR свойства полилинейных интервальных объектов, принадлежащих множеству:

ГМ; = {<?(,) : G(s) = ■ ■ NÁs) £ ПГ", DM € П?■}, (42)

D,(s) Di (s) DT(s)

где IlJ1,', Ilf', i = 1,2, • ■ -, г - интервальные семейства полиномов. Модели, состоящие из полиномов Харитонова, называются моделями Харитонова и обозначаются знаком Гмк:

Г„к = {G(s) .<,(,) = = ,,2,3,4:, = 1,2,...,г), (43)

где N¡l'(s),D'¿(s) - поликомы Харитонова в Ilf и ПР соответственно. Доказывается следующее утверждение:

Теорема 4.2. G(s) € SVTi,VG(s) € ГМ1 G(s) a SV7Z,VG(s) е ГМк-Из теоремы 4.2 можно сформулировать следующее следствие для интервального объекта:

Следствие 4.1. Для интервального семейства объектов Ti справедливо

G(s) € SVIiyG(s) 6 I'i G(s) G SVK,4G(s) e Гк,

где Гк - множество 16-ти моделей Харитонова.

Теорема 4.? и следствие 4.1 показывают, что строгая положительность естественной части чередаточной функции полилинейного интервального объекта гарантируется, независимо от степени объекта, 24г вершинными моделями, и следовательно, для интервального объекта только 16 моделями Харитонова.

С(з) -

/6Ф

На основании анализа инвариантности БРИ.

г

свойства неопределенных передаточных функ- — ций, в диссертации рассматривается задача робастно-абсолютной устойчивости системы с нелинейностью и неопределенными параметрами в линейной части, которая показана на рис.1. рисЛ система Лурье

В этой системе ¡(1,у) являете я любой непрерывной нелинейной функцией, которая принадлежит множеству:

Ф :={/:/(«,0) = 0,0<у/(1,у)<ку\0<к<ыУ1еК}. (44)

Линейная часть С(о) = 6 КИ» представляет собой правильную устойчивую ра-

циоьальную функцию, которая принадлежит Гм, определяемому формулой (36).

Система робастно-абсолютно устойчива, если она асимптотически устойчива при всех /(¿,5/) € Ф и всех О(в) € Г,и. Но известному круговому критерию система, показанная 1а рис.1, робастно-абсолютно устойчива, если для всех б(з) € Гм выполняется условие

Г1 + Кевиш) >0,Уш в П. , (45)

Поскольку Гм содержит бесконечно много функций, условие (45) практически невозможно проверить. Однако, в диссертации доказано, что при некоторых условилх его проверку можно провести лишь по некоторым фиксированным моделям.

Для полинома Знаменателя введем следующие обозначения: , "

пм* = {Щз,р) € П^ : р е Р*}.

сопупм* - выпуклая оболочка множества п^'.

- г-ое ребро многогранника сопуП^" с двумя вершинами и

.&,(*) = 3?(«)- Л? (в).

Доказывается следующее утверждение для определения робастно-абсолютной устой чивости неопределенной нелинейной системы:

Теорема 4.3. Если все = 1,2, ■ •) являются выпуклыми направлениями в

пространстве полиномов с комплексными коэффициентами, и выполняется условие

к-1 + Кевиы) > 0,Уи> € Пуа(з) 6 Г^,,

то при всех С?(з) € Гм нелинейная система, показанная на рис 1, робастно-абсолютно устойчива.

Из теоремы 4.3 следует следующий важный результат для интервальных объектов: Следствие 4.2. Пусть С(з) принадлежит интервальному множеству .объектов Г]. Система, показанная на рис.1, робастно-абсолютно устойчива, если

к'1 + йеСО'ш) > 0,Уо € К, Vв(з) € Гк,

где Гк - множество 16 вершинных объектов Харитонова в Г|.

В этом же разделе рассмотрена задача робастио-абсолютной устойчивости М1М0-системы с некоторыми нелинейностями и структурными ди • мичестсими неопределенностями, кс ^ую всегда можьо предста-вито в эквивалентном диагональном виде (рис.2). Методика преобразования приведена в приложении к диссертации. Для удобства предполагаем, чю непрерывные нелинейные функции /,(<т,) (г = 1, • • •, пг) в системе удовлетворяют секторным условиям:

Рис.2. Система с некоторыми нелинейностями и структурными динамическими неопределенностями

О < сг;/;(ег,-) < 2ст,2, /,(0) = 0. (46)

Л(й) = diag[zlm+l(s), • • •, 4га+,'(д)] - диагональная матрица неопределенных динамических моделей, которая принадлежит множеству:

ВЛ(а) = {Л(з) = &ай[Лт+1(з),---,лт.иМ] : Лт+,(з) 6 7,с(Лиш)) < 1,Уи 6 К}.

(47)

М(э) - номинальная модель, матрица устойчивых передаточных функций, т.е., М{в) 6 И**"1. Пусть N := гг, + Л/(«) можно записать в виде блочной матрицы:

M(s) =

M,i(s) M¡i(s) МгiW M22{s)

где Mn(s) e KHZ*™, Ml2(s) £ KHZ*{N-m), M2l(s) 6 and Mn{s) e

Вводим обозначение:

Mu - М,2(/ + ЛÍ22)'lM2l Mu - MVÍ(I + M22)~lM22 (I + Mn)~4ín (1+ M22)~lM22

и определяем следующие множества матриц:

М =

(48)

Qí := {díag[<?i, • ■ -, : q¡ g It, q¡ > 0,¡ = l,2,--,m}, (49)

Di := {diagtcÍ!,• • •, dm\ : <¿, e П, d¡ > 0, i = 1,2, • ■ •,m}, (50) D2 := {diag[(/m+i/im+1, • • •, dm+„/tm+J : dm+, e TI, dm+q > 0, q = 1,2, • • •, n}, (51)

D-tdiaglA.^AeDi.AeDs}, (52)

Q:={diag[<?i,0(JV-„,)x(Jv-m)]:<3ieQi}. ' (53)

И диссертации доказано следующая теорема, которая является обобщением классического многомерного критерия В.М.Попова для системы с несколькими нелчаейно-стями и структурными динамическими неопределенностями.

Теорема 4.4. (Робастный многомерный критерий В.М.Попова) Если существуют Я\ 6 41, е Их, которые при весх ш 6 % и некоторой £>2 6 Иг, зависимой от ш, удовлетворяют условию:

/-{/ + >и)д)£)лгО"и)/?-1 - о~1 м-(}Ш)й{1 -]иС})> о, (54)

где В = ¿гар(£)1, 02) и ? - 0(М-т)х(М-т))> то система с некоторыми нели-

нейностями и структурными динамическими неопределенностями, показанная на рис.2, робастно- абсол ютно устой ч я ва.

В диссертации приведены некоторые замечания по теореме 4.4.

1) Если Л(з) = 0, т.е. рассматривается система без динамической неопределенности, то теорема 4.4 вырождается в следующее следствие.

Следствие 4.3. Система без динамической неопределенности абсолютно устойчива, если существуют (¿1 € С такие, что

/ - (I + - - > о,Уи е п. (зз;

Очевидно, при £>1 = / следствие 4.1 вырождается в классический многомерный критерий В.М.Попова. Отметим, что для многомерных систем матрица В учитывает структурную информацию и играет о^ень важную роль в определении устойчивости си-С1ем. Поэтому, классический многомерный критерий является очень жестким частным случаем следствия 4.3.

2) Предположение с нелинейности (46) не уменьшает общности теоремы 4.4. Если нелинейные функции /¡(с,) в системе ограничиваются общим секторным условием

< £.Р2,<7?, (56)

где Рц < Г< 00у Р\г, Рц 6 71, то теорема 4.4 так же справедлива при замене

М(з) = ^(Р2-Р1)(1-М(з)Р,)-1М(з)Р1, (57)

где ■

Р, = Лаг(Р1Ь •••,Р1т), (58)

Р2 = Ла3(Г2х,--.,Р2т). . (59)

3) В условиях теоремы 4.4 и ()\ представляют собой матрицы, независимые от

частоты ш, а матрица 02 может изменяться от частоты и. *

В литературе- критерий В.М.Попова обычно проверяют графически. Но этот подход трудно применить к многомерным системам, особенно с учетом роли матрицы D В диссертации показано, что теорему 4.4 можно проверить на основе решения задачи выпуклой оптимизации:

min T(D,Q), DeD.cjeQ v '

где

T(D, Q) = suPAm„[(ö + jwQ)M(jw) + M*(ju)(D - juQ) - D], (60)

w£R

Раздел .5. Робастность систем управления с неопределенными параметрами и динамиками. ' ■

В разделал 2 и 3 исследованы проблемы робастной устойчивости и робастных характеристик систем с параметрическими неопределенностями. Основная идея метода исследования заключена в определении некоторых вершинных моделей, которые гарантируют робастную устойчивость и другие характеристики всего множества систем при неопределенных параметрах. Однако, такой подход в общем применим только к SISO-системам, и в общем случае не может стать основой для синтеза робастного контроллера. Кроме того, во многих практических задачах управляемая система содержит как параметрические, так и динамические неопределенности. Поэтому актуальной проблемой является разработка единого подхода анализа и синтеза робастности системы с параметрическими и динамическими неопределенностями, которая применительно к рассматриваемому вопросу может быть представлена, как показано на рис.3.

В постановке данной задачи M(s) - определенная -»] А [модель, Л(з) - диагональная матрица неопределенности, которая при любой частоте ы 6 % принадлежит множе-

М

ству: Рис.3. Структура системы к

проблеме о смешанном ц

X = {А = <Ма6[«1, • • • ,г;, лт+1, • • •, лга+„]: гг е е (61)

где £■ означает вещественную параметрическую неопределенность, Лт+, соответствует комплексной динамической неопределенности. !

Определение 5.1. Структурная сингулярная величина рд(М) комплексной матрицы М, соответствующая заданной структуре х> определяется по формуле:

^(М) :=^™п{ст(а):Л((/-ЯЛ)- 0}) \ (62)

Если не существует А га х так, что <1е1(1 — МЛ) = 0, то ца{М) '•= 0.

Рассматриваемый случай учета параметрических и динамических неопределенностей называется смешанной ц проблемой

Предполагаем, что

' М(а) € ПК

- ' 1 оо < 1. }

А(») € КП«,, |И|„ ' Необходимое и достаточное условие робастной устойчивости системы,' показанной на рис.3, дает следующее утверждение, предложенное впервые Ж.Ц.Доилом.

Лемма 5.1. (Теорема малою ц) Для того, чтобы неопределенная система, удовлетворяющий условию (63), была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение

зир 11Л(М(]ш)) < 1.

и>0

В работе Доила показанр, что с помощью введения некоторого искусственного комплексного возмущения, структурная сингулярная величина /1 так же определяет 'Нехарактеристику системы. Однако, как отмечено многими учеными, точное вычисление II а присутствии вещественных параметрических неопределенностей ¿¡, г = является задачей N1'-полной, решение которой в контексте управления являлось бы нецелесообразным в связи с большими вычислительными затратами. В 1991 г Фань предложил подход вычисления верхней грани смешанной у. для определения робастно-сти системы. Но применение этого подхода к синтезу робастного контроллера требует очень сложного итерирования и рационального выравнивания в частотной области.

На основе обобщенного критерия В.М.Попова, полученного в разделе 4, в данном разделе разработан общий подход определения верхней 1рани смешанной ц. Главная идея разработанного подхода заключается в том, что система эквивалентно преобразуется к виду, содержащему множитель Попова. При этом исходная проблема смешанного /1 переходит в обычную задачу определения значения ¡1 при комплексных неопределенностях. Последняя позволяет определить верхнюю гран!, смешанного^.

Разработанная методика устанавлевает математическую взаимосвязь между классическим критерием абсолютной устойчивости и современным методом робастного управления и определяет переход к исследованию смешанной /¿-проблемы в пространстве состояний, чтЪ позволило упростить процедуры вычисления смешанной структурной, сингулярной величины и синтеза: робастного контроллера.

Варианты преобразования для смешанной ц проблемы показаны на рис.4 и рис.5.

Вводим обозначения: ;,,

Ма = (/- (/ + ;С)(/ +ДМД-')-1.£)МХ)-1Г1(/-1-УСг)(/-Ь£)Л/£>-1)-1ШД-1(64)

Мь = (I — + }Е, - - (65)

и определяем следующие множества матриц; 4 ~

X, = {Лаесл;, — ,лсп, Дп+1,• • •, лт+„: Л16 с;лт+, е (66)

В4е={4г6Хс:г(4с)<1}, (67)

I + jQ

(/ - £2)i —j D М D"1

Д'

Mb

Pjic.4. Преобразование (I;

Рис.5. Преобразование (II)

'Bzi = {.4ex:cf(¿l)<l}, - (68)

Bá° = {Л'с = (DAD-1 + I)(I + jQ)-l-I:AeBA,DeD,QeQ}, (69) ВAbc = {¿J = (/ + DAD-l(I - E2)'^]E)'lDAD'l(I — E2)~* :

A eBA,D€D,E €E}, (70)

где D,Q определяются в разделе 4 по формулам (52) и (53) соответственно, Е С TZ^ определяется по следующей формуле:

Е —• {diag(ei, • • •,em,0, ■ • • ,0) : е,- € [—1,1]}. 171)

— В диссертации доказаны следующие результаты' Лемма 5.2. = = B¿c.

Лемма 5.3. Если / — jQM - обратимая матрица, то следующие соотношения эквивалентны между собой:

а) det(/ — МА) ф 0,V4 € B¿,

б) det(/ - МаА°) ф 0,УЛ° е в^е,

в) det(/ - МЬАЬС) ф 0, V4J € ВьЛс.

Лемма 5.2 говорит о íom, что показанные на рис.4 и рис.5 цреобразоьания переводят вещественную неопределенность в исходной системе (рис.З) в комплексное представление. Лемма 5.3 показывает эквивалентность этих преобразований. На основе полученных результатов в диссертации доказана следующяя теорема:

Теорема 5.1. уд(М) < 1, если выполняется одно из следующих условий:

С учетом факта /¿¿С(М) < <т(М) из теоремы 5.1 следует: Следствие 5.1. Если mfaf(Ma) < 1, или т£о(Мь) < 1, то 1'л(М) < 1. Теорема 5.1 фактически дает общий подход определения верхней грани смешанной /i, потому что ее можно получить на основе любого преобразования, удовлетворяющего условиям лемм 5.2 и 5.3. В диссертации показано, что результаты Фаня и других по смешанной /I являются частными случаями теоремы 5.1.

Соотношение между смешанным ц и обобщенным критерием В.М.Попова дает следующее утверждение:

Теорема 5.2. Следующие соотношения эквивалентны Мижду собой:

а) miäUI-il + jQYJ + DMD-^-'DMD-^r^I + jQ^I + DMD-^r'DMD-1) < 1,

б) 1- (1 + jQ)DMD-1 (1 + DMD-- (/ + D^M'Dy'D-'M'DiJ - jQ) > О,

3QeQ,3üeD,

в) mi\{DM D~l D'^ M'D + j{GDMD~l - D~lM'DG)) < i.

Заметим, что соотношение б) в теореме 5.2 имеет такую же форму, как и условие робастного многомерного критерия В.М.Попова (теорема 4.4). Отличие между ними заключается в том, что матрицы D и Q в теореме 5.2 зависят от частоты ш, ав теореме 4.4 они являются константами, т.е. условие теоремы 4.4 сильнее, чем условие б) в теореме 5.2. Это объясняемся тем, что нелинейная неопределенность, ограниченная в некотором секторе, включает в себя более общие функции, чем линейная неопределенность.

Эквивалентность между соотношениями а) и в) доказывает, что верхнюю грань смешанного /I, предложенную Фанем, можно получить и < помощью обобщенного критерия В.М.Попсва.

На основании изложенных выше результатов в диссертации далее показано, что верхнюю грань смешанного ¡х можно вычислять с помощью решения задачи выпуклой от имизации.

Теорема 5.3 рд(М) < рд(М) - min {а : ¡(а) = 0}, где

------0<aETZ

Да) = inf \((D + jQ)M(I + М)'\ + (I + ЛГ)-'ЛГ (£> - jQ) - a2D). (72)

По теореме 5.3 верхняя грань ft^[M) вычисляется следующим образом:

Этап 0: Выбрать а; и аг так, что oi < ¡¿¿(М) < аг.

Этап 1: Пусть <* = (aj + а,)/2. Если /(о) > 0, то а/ = а; иначе, а, - о:

Этап 2: При некоторой заданной погрешности с, если сг — oj > е, то перейти к этапу 1; иначе, закончить алгоритм. В результате получим, чтр ат — t < рд(М) < ar. '

Отметим, что на этапе 1 необходимо вычислять значение /(а), которое но определению (72) представляет собой минимум при всех Q и D максимального собственного числа матрицы Эрми.а. В последние годы для решения этой задачи разработан русскими учеными И.Нестеровым и А.Немировским очень эффективный алгоритм, который называют "метод внутренней точки". - N ■ Л

Раздел 6. Робастная стабилизация неопределенных систем.

Проблеме синтеза робастного контроллера при параметрических и динамических неопределенностях в настоящее время уделяется большое внимание.4 Значительные успехи достигнуты в исследовании метода ^^-оптимизации и метода структурной сингулярной величины (fi). К сожалению, применение метода Hoo-оптимизации к системе со структурными динамическими и параметрическими неопределенностями дает очень

' А В '

С D

жесткий результат по робастности системы, а метод, базирующийся на анализе смешанного ц, требует сложной процедуры итерирования и рационального выравнивания в частотной области.

В данном разделе задача синтеза робастного контроллера решается с помощью примет^ния полученных результатов по верхней грани смешанной /1. Показано, что проблему синтеза смешанного ц можно переформулировать в виде задачи синтеза передаточной функции со строго-положительной вещественной частью. Для решения этой задачи разработан оптимизационный подход в пространстве состояний.

Для удобства введем обозначение

см'

которое означает, что система с передаточной функцией G(s) имеет минимальную реализацию в пространстве состояний:

( х(<) - Ах f Bu, \ у = Сх+ Du.

_ Решение задачи робастной стабилизации в общем виде можно рассматривать с помощью рис.6, где P(s) - известная модель, A(s) -— diig[4r, 4c(s)] - диагональная матрица, содержащая неопределенные параметры и динамики; при любом w 6 Ti имеет место Л(]ш) € ВЛ, т.е. а(А(]ш)) < 1. Рис.6. Структура системы к за-

даче о робастной стабилизации

По теореме малого /х проблема синтеза может быть сформулирована следующим образом:

Синтез на основе смешанного ц: Найти передаточную функцию К (s) контроллера, стабилизирующую P(s) к удовлетворяющую

5иР;м(Я(Я,/0) <4.

иек

На основании теоремы 5.1 и теоремы 5.2 в диссертации показано, что эта задача будет решена, если решена

- задача синтеза передаточной фуькции со строго-положительной вещественной часть» найти K(s) и матрицы рациональных функций F(s) и С(j) такие, чтобы

ЛИ h—

и

w z

К1я)

AWM = -(F(s)+F~(3))-(F^)+F~(s)+s(G{s)+G~(s)))Tl(P,[<)(I+rl(P, А'))"1 (73)

являлась <57>7£-функцией, где

F(3) = d\&g[FlU),---,Fm+n(s)],

G{s) = diag[Gi(s), ■ • ■, Gm{s), 0, ■ • •, О], НР-. К) = in + РпК{1 - PnKY'Pn-

(74)

(75)

(76)

Запишем F(s)'

I! диссертации показано, что на основе последовательной процедуры матричных операций можно получить минимальную реализацию определяемую в (73):

' Af Bf ' ' Aa Ba ' ' AK Вк

CF Df Ca Da С к DK

Mp,g,k{s) '

Äp,g,;< В p.g.k

Сpc,к Dr.а. к

(77)

где Лрс д-, Ср.с.к и Орг^к - некоторые матричные функции (Лр, Вг, Ср,

(Ас, Во, Сс, Ра), (ЛА-,ВЛ ,С\-,ВА ).

Как известно, условия строгой положительности вещественной части матричной передаточной функции в пространстве состояний можно получить с помощью известной леммы Калмана-Якубовича. Но они содержат проверку наблюдаемости и ранга матриц, и трудно реализуются в вычислительной схеме. Поэтому в диссертации используется условие сильной положительности вещественной части передаточной функции, которая определяется следующим образом:

Определение 6.1. Квадратная матричная передаточная функция 6(5) называется фуицйей со сильно-положительной вещественной частью если она является вТИ-функцией и V + От > 0, где й = <3( оо).

Лемма 6.1. Предполагаем, что G(s)

min ' Л В

С D

. То следующие соотношения

эквивалентны между собой:

а) С(б) является функцией со сильно-положительной вещественной частью; , б) О + От > 0 и существуют Р > 0 и е > 0. такие, что

АТР + РА + (ЬТР - С)т( О + От)-1(ВтР - С) + а = 0.

(78)

Справедливо следующее утверждение на основании теоремы 5.3 и леммы 6.1. Теорема 6.1. Пусть Л(») 6 ВА. Если существуют {AF, BF, Cf, Df), (Aa, Bg,Cg, Da), (AK, BK, CK,DK\, P > 0, и e > 0 такие, что Df,o,k + ¡я.о.к > С, и

Atf,g,kp + pat,g.k + (BI,g,kP ~ Cf,g,k)T(Df.g,^ + Df.g.k)'1 f.g.kP ~ CFJB,K) + d = 0, то замкнутая система, показанная на рис.6, робастно устойчива.

Итак, проблема синтеза функции со строго-положительной вещественной частью переводится в

- проблему допустимости уравнения Р- '.кяти (ПДУР): найти в 6 TV и б > 0 такие, что Df,g,k + Щ,а,к > 0 и

PAF,a,K(6) + (BlGiK{e)P - CF,a,KmT(DF,a,K(e) + DTy. , (в))-\В1сх(в)Р - Сг.а.кШ + = ° (79)

име^т решение Р > 0, где в вектор, состоящий из элементов матриц (AF, BF,CF, Dp), (Ас, Вв, Со, Da), (Ак,Вк, CK,DK).

Для решения поставленной проблемы в диссертации приведена функция барьера

J(e,t, Р(0,б)) = автв + ае2 + гДг[0Р,о,к(в) + ^.«(й)]"' + rptrР"1 + гД (80)

где а, г^ гр, и г< - положительные скаляры. Приведенная функция имеет свойство, заключающееся в том, что J(0, б, р(8, б)) приближается к бесконечности, когда любое собственное значение Р или Df,g,k(S) -rDpa к(8), или б приближается к нулю. Это свойство гарантирует Р > 0, DF¡a:K(9) + Dj-OK(0) > 0, и с > 0.

Наконец, решение проблемы ПДУР ищется с помощью решения следующей задачи оптимизации:

min J(8,t,P(9,t)) s. t. (79). (81)

В данном разделе так же разработан принцип разложения вычисления смешанного ц на отдельные вычисления /i при вещественных и комплексных неопределенностях. Теорема 6.2. (Принцип разложения вычисления смешанной ¡i) Пусть

А = diagft, ■■■,Srmi Am+U ■■•, An+n],

где S¡ € 'R, i = 1 A,.í+j € Cktm+'>*'m+'>, j = 1 Для того чтобы fi¿(M) < 1,

необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

а) Р&Лмгг) < 1,

б) max fi4r(J¡(Aí,4c)) < 1, ¿c£B4c

где.

Ас — diag[4m+i, ■ • •, Am+n],

Отметим, что значение n¿r(Ti(M, Ас)) в условии б) фактически невозможно определить из-за неопределенности Ас. Тем не менее, следующее утверждение показывает, что максим—< этого значения при всех Ас 6 ВАс достигается в тех элементах в ВАс, которые имеют максимальнь ¡I модуль.

Теорема 6.3. Предполагаем, что рд,(Мц) < 1. Для того, чтобы тах (^¡{М, Лс)) < 1. необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

а) /Мг(Ми) < 1,

б) ^г(Я(Л/,ГЛ)) < 1,чЯс е <34с,

где

С^ «= {Л, 6 ВЛС ■ ЛСЛС' = /}. (82)

Очевидно, для Лт+,-, ] = 1, • • •, п с размером 1x1, имеется

С}Лс = , ■ ■ • ,еЛ"+'Ч : 0, € [0,2тг],г = 1,• ■ ■,п}. ""(83)

На основе теоремы 6.2 и теоремы 6.3 в диссертации разработан альтернативный подход к робастной стабилизации. Идея данного подхода заключается в том, что для стабилизации системы с параметрическими и динамическими неопределенностями можно сначала определить с помощью метода -оптимизации некоторое множество контроллеров, которые робастно стибилизир) ют подсистему с динамическими неопределенностями. Затем из этого множества выбрать контроллер, который робастно стабилизирует исходную неопределенную систему.

С целью апробации полученных результатов в диссертации выполнены вычислительные эксперименты, связанные со следующими вопросами:

- Определение робастной устойчивости системы с линейно и полилинейно взаимозависимыми неопределенными параметрами;

- Стабилизация интервального объекта;

- Определение множества допустимых значений параметров модели с целью гарантии робастной устойчивости замкнутой системы с динамической неопределенностью;

- Стабилизация системы с параметрическими и динамическими неопределенностями.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

- Приведена классификация моделей описания неопределенных параметров и динамик систем управления. Рассмотрены исторические источники и главные современные направления в исследовании теорир робастного управления. Показана актуальность постановки и решения задачи анализа и синтеза робастных динамических систем с. линейными и нелинейными неопределенностями.

- Доказан необходимый .и достаточный алгебраический критерий определения выпуклого направления ь пространств полиномов. Разработан общий подход определения " робастной устойчивости системы усиления понекоторым фиксированным моделям.

- Разработан принцип Древовидного разложения полиномов для определения выпуклости множества значений полиномов и алгоритм исключения нуля, который позволяет определить робастную устойчивость системы управления с полилинейно зависимыми неопределенными параметрами по некоторым фиксированным моделям.

- Разработан вершинно-реберный критерий и алгоритм максимальной фазовой разницы вершинных моделей, которые позволяют эффективно определить робастную Woo-характеристику системы с взаимозависимыми неопределенными параметрами.

- Доказано необходимое и достаточное условие инвариантности строгой положительности вешественной части передаточной функции с полилинейно взаимозависимыми неопределенными параметрами.

- Поставлена задача определения робастно-абсолютной устойчивости систем с не-линейностями и линейными параметрическими и динамическими неопределенностями. Обобщены круговой критерий и многомерный критерий В.М.Попова для решения поставленной задачи.

- Разработай новый способ, базирующийся на обобщенном критерии В.М.Попова, для получения верхней грани структурной сингулярной величины (fi) при параметрических и динамических возмущениях. Установлена математическая взаимосвязь между классическим критерием абсолютной устойчивости и современным методом робастного управления.

- Разработан единый подход для анализа и синтеза робастных систем с параметрическими и динамическими неопределенностями на основе множителя Попова и эквивалентных преобразований. Приведена задача синтеза робатного регулятора к задаче синтеза передаточной функции со строго-положительной вещественной частью, и разработан оптимизационный подход к решению задачи робастной стабилизации неопределенных систем в пространстве состояний.

- Разработан принцип разложения процесса вычисления смешанной структурной сингулярной величины на отдельные процессы вычисления структурной сингулярной величины при вещественных и комплексных неопределенностях. На основе данного приципа разработан альтернативный подход к решению задачи робастной стабилизации неопределенных систем.

• Результаты диссертации опубликоны в следующих работах:

1. Feng Chun-Bo, Tian Yuping, Xin Xin. Robust Control System Design. Monograph. Southeast University, 1995, 300p. (in Chinese)

2. Tian Yuping, Feng Chun-Bo, Xin Xin. Robust stability of polynomials with multilinearly dependent coefficient perturbations. // IEEE Trans, on Automat. Control, Vol.39, No.3, 1994, pp.554-558.

3. Скибидкий Н,В., Тянь Юйпин. Управление линейным динамическим объектом в условиях интервальной неопределенности на параметры задачи. // Заводская Лаборатория, Том.59, No.3, 1993, с.71-74.

4. Tian Yuping. ' Robust stability of feedback control systems with" structured and unstructured perturbations. // Control Theory and its Application, Vol.11, No,2, 1994, pp.228-232. (in Chinese)

5. Tian Yuping, Feng Chun-Bo. Invariance of strictly positive realness of rational fuctions with multilinearly dependent coefficient perturbations and its applications. // Chinese Automation, Vol.20, No.4, 1994, pp.420-426. (in Chinese)

6. Tian Yuping, Feng Chun-Bo. Robust performance of interval systems under feedback control. // Control and Decision, Vol.9, N0.4, 1994, pp.296-300. (in Chinese)

7. Tian Yuping, Feng Chun-Bo. Robust stability of feedback control systems with both structured and unstructured uncertainties. // Control Theory and its Application, Vol.)2, No.2, 1995, pp.170-176. (in Chinese)

8. Tian Yuping, Feng Chun-Bo. A method for dertermination of robust stability of interval matrices. // Journal ot Jiangxi Polytechnical Univercity, Vol.14, No.3, 1992, pp.212-216. (in Chinese)

9. Tian Yuping, Feng Chun-Bo. Frequency domain analysis of D-stability of a family of polynomials. // Journal of Fuzhou University, Vol.21, No.5, 19УЗ, pp.323-327. (in Chinese) .

10. Tian Yuping, Feng Chun-Bo. Comments on strictly, positive realness of rational fuctions with coefficient perturbations. // Chinese Automation, Vol.21, No.l, ¡995, pp.126-128. (in Chinese)

11. Huang Yi, Tian Yuping, Feng Chun-Bo. Robust performence design for systems with parametric uncertainty. // Control and Decision, Vol.10, No.5, 1995, pp.385-389. (in Chinese)

12. Tian Yuping. A remark on structured singular value. // Chinese Automation, Vol.22, No.l, 1996, pp 119-122. (in Chinese) ■ .

13. Tian Yuping, Feng Chun-Bo. Finite checking of robust stabilyty of interval systems. Chinese Automation, Vol.22,No.2, 1996, pp.231-236. (in Chinese).

14. Huang Yi, Tian Yuping, Feng Chun-Bo. Robust stabilization of systems with structured uncertainty of mixed type. Control and Decision, Vol.11, No.l, 1996, pp.88-92. (in Chinese)

15. Tian Yuping. A simiple algorithm for robust stability test under structured and unstructured uncertainty, /7 Proc. Amer. Cont. Conf., 1994, Baltimore, U.S.A., pp.644648. ~ ' • '

16. Tian Yuping and Feng Chun-Bo. Robust stability of MIMO systems with linear and nonlinear structured uncertainties. // Prod, of IFAC World Congress, San FrancisCo, 1996.

17. Скибицкий, Н.В., Тянь Юйпин. Определение множества управляющих воздействий, гарантирующих заданную точность решения задачи управления линейным динамическим объектом в условиях интервальной неопределенности. // Сборник трудов межд>ч л родной конференции по интервальным и стохастическим методам в науке и технике, 1992, Москва, с.153-156.

18. Скибицкий, Н.В., Тянь Юйпин. Стабилизация линейной стационарной системы в условиях интервальной неопределенности. // Сборник трудов международной конференции по интервальным и стохастическим методам в науке и технике, 1992, Москва, с.156-168.

19. Тянь Юйпин. О робастной устойчивости интервальных матриц. // Сборник трудов международной конференции по интервальным и стохастическим методам в науке и технике, 1992, Москва, с.209-210.

20. Скибицкий Н.В., Тянь Юйпин. Определение допустимых значений оценки параметра, гарантирующих заданную точность решения одной задачи терминального управления. // Тезисы докладов IX Всесоюзной конференции "Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях", г.Мосйва, 1989, ч.1, с.71-72.

21. Скибицкий П.В., Тянь Юйпин. Управление одним классом объектов в условиях интервальной неопределенности. // Тезисы докладов IV Всесоюзной конференции

~"Перспективы и опыт внедрения статистических методов в АСУ ТП", г.Тула, 1990, ч.2, с.120-121.

22. Tian Yuping, Feng Cnun-Bo. Robust stability of control systems with multilinearly dependent coefficient perturbations. // Chinese Conference on Control Theory and its Application, Nanjing, 1992, pp.254-259. (in Chinese)

23. Tian Yuping, Feng Chun-Bo. Extreme point conditions for determination of D-stability of a family of polynomias, // Chinese Conf. on Control and Decision; Shengyang, 1993, pp.5-9. (in Chinese) 3

24. Tian Yuping, Feng Chun-Bo. Robust stabilization of interval plants // Chinese Conference of Postdocters, Beijing, 1993, pp.1210-1213. (in Chinese)

25. Huang Yi, Tian Yuping, Feng Chun-Bo. Eigenstucture placement under dynamic output feedback, // Chinese Conference on Control Theory and its Application, Wuhan, 1993. ■pp.245-248.(in Chinese)

26. Tian Yuping. A new method for computing the structured singular value under perturbations of mixed type, // Chinese Control Conference, Taiyuan, 1994, pp.9-13. (in Chinese)

27. Huang Yi, Tian Yuping, Feng Chun-Bo. Robust stabilization and performance design for systems with parametric uncertainties. // Chinese Control Conference, Taiyuan, 1994, pp.212-215. (in Chinese) -

28. Tian Yuping, Huang Yi. Robust stability of multivariable systems with linear and nonlinew uncertainties. // Chinese Control Conference, Huangshan, 1995, pp.143-154. (in Chinese)

29. Скибицкий H.B., Тянь Юйпин. Анализ задачи управления одним классом линейных объектов по интервальной модели. // М.: 1989, Деп. в ВИНИТИ, No.3563-B89, 23с.

30. Скибицкий Н.В.; Тянь Юйпин. Управление линейным стационарным объектом в условиях интервальной неопределенности. // М.: 1991, Деп. в ВИНИТИ No.1752-В91, 7с.

31. Скибицкий Н.В., Тянь Юйпин. Устойчивость и управляемость одного класса линейных динамических объектов с интервольно заданными параметрами. // М.: Деп. в ВИНИТИ NO.J754-B91, 5с.

32.Скибицкий Н.В., Тянь Юйпин. К решению системы линейных интервальных управлений при "жесткой" связи между коэффициентами. // М.: 1991, Деп. в ВИНИТИ No.l754-B91, 25с,

Среди работ, опубликованных в соавторстве, личный вклад автора диссертации состоит в следующем: [1] - написал главу 1:"Предварительные знания", главу 2:"Анали.> и синтез робастности систем управления с параметрическими неопределенностями", ллаву 3:"Метод структурной сингулярной величинц", главу 4:"Анализ и синтез робастности систем управления с параметрическими и динамическими неопределенностями"; [2,22] - разработал принцип древовидного разложения полиномов для определения ьыпукло-сти множества значений полиномов с полилинейно взаимозависимыми неопределенными коэффициентами, и показал, что задачи рассмотренные теоремой Харитонова и реберной теоремой можно решить разработанным в этих работах методом; [5,10] - выполнена постановка задачи, доказал необходимое и достаточное условие инвариантности SVR-спойстза передаточной функции с полилинейно зависимыми неопределенными коэффициентами, и обобщил круговой критерий для определения робастно-абсолюшой устойчивости нелинейной системы; [G,9,13,23,24] - разработал и доказал необходимый и достаточный алгебраический критерий определения выпуклого направления в пространстве полиномов, применил разработанный критерий к определению робастной устойчивости и робастной Ноо-характеристики системы с независимыми неопределенными параметрами, пррвел анализ робастной усточивости системы с параметрическими и динамическими неопределенностями; [7] - выполнена постановка задачи, предложил и доказал реберно-вершинный критерий и разработал алгоритм максимальной фазовой разницы для определения робастной Н^-хара^теристики системы с зависимыми отклонениями коэффициентов; [16,28] - обобщил критерий В.М.Попова для определения робаство-абсолютной устойчивости многомерных нелинейных систем, предложил подход преобразования задачи смешанного ц в задачу комплексной р; получил верхнюю грань смешанной ц на основе обобщенного критерия В.М.Попова; [3,21,29] - разработал алгоритм терминального управления в условиях интервальной неопределенности на параметры задачи: [17,20]

- разработал алгоритм определения множества допусимых значений параметров системы. гаращируюших заданную гочность управления. [18,30,31] - разработал алгоритм стабилизации одного класса объектов с ингервально заданными параметрами.