автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.11, диссертация на тему:Приближения многомерных функций в задачах автоматизации проектирования, управления и математической физики

На правах рукописи

АНИКИН ВЛАДИМИР СЕМЕНОВИЧ

ПРИБЛИЖЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧАХ АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ, УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Специальность 05.13.11 -Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов, систем н сетей

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Рязань 1998

Работа выполнена в Рязанской государственной радиотехнической академии

Научный консультант: заслуженный деятель науки

и техники России, доктор технических наук, профессор Корячко В.П.

Официальные оппоненты: заслуженный деятель науки

и техники России, доктор технических наук, профессор Коршунов Ю.М.

лауреат Ленинской премии, доктор технических наук, профессор Петров Д.М.

доктор физико-математических, наук, профессор Терехин М.Т.

Ведущая организация: Московский государственный

технический университет им. Н.Э. Баумана, кафедра САПР

Защита состоится -ЯМ» ¿11?И-Л_1998 г. в часов на

заседании диссертационного совета Д 063.92.03 в Рязанской государственной радиотехнической академии по адресу: 391000, г. Рязань, ГСП, ул. Гагарина, 59/1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Рязанской государственной радиотехнической академии.

9 / " / ^

Автореферат разослан " - /" ¿'I'-» д , ( 1998 г.

/

Ученый секретарь

диссертационного совета, . •—-

кандидат технических наук Телков И. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Важность изучения и создания систем, связанных с проблемой приближения «-мерных функций, следует из необходимости исследования многих естественных явлений. Решение задач технического прогресса способствовало развитию теории приближения функций, берущей начало в работах П.Л. Чебышева. С появлением ЭВМ проблема исследования эффективных методов приближения функций стала одной из наиболее интенсивно разрабатываемых, поскольку ЭВМ и специфика исследуемых явлений предъявляют определенные требования к методам. Тесно взаимосвязаны приближения «-мерных функций с задачами математической физики, проектирования поверхностей с заданными геометрическими свойствами и некоторыми алгоритмами систем обработки информации в реальном времени. Поэтому помимо теоретического интереса исследование проблемы приближения функций актуально для решения практических задач.

Круг вопросов приближения и-мерных функций и автоматизации решения задач математической физики относится к одному из наименее изученных в алгоритмизации. Объективная причина - сложность самой проблемы. Большинство имеющихся программ решения задач математической физики, как правило, освещают достаточно узкую проблему, поэтому создание программных средств, настраивающихся на структуру оператора, например дифференциального, вполне закономерно.

В алгоритмах построения «-мерных приближений п является степенью числа операций, поэтому алгоритмические вопросы являются главными вместе с использованием все более мощных компьютеров для решения таких задач. Эффективные методы аппроксимаций многомерных функций можно построить с помощью кусочных приближений. Однако формальные результаты построения моделей многомерных приближений не отвечают на многие прикладные вопросы. Фактор размерности задачи является наиболее сложным препятствием решения многомерных задач, и становятся наиболее важными алгоритмические решения всех этапов численного моделирования. Разработка методов приближения функций в данной работе направлена на построение эффективных алгоритмов и программ решения многомерных задач.

Целью диссертационной работы является построение методов, алгоритмов и программ кусочных приближений многомерных функций с заданными свойствами, необходимыми для решения задач построения п-мерных поверхностей и создания систем математического моделирования (СММ).

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

-4- разработкой теории построения многомерных кусочных С-гладких приближений;

- разработкой теории метода подвижного элемента - разновидностью метода конечного элемента;

- разработкой алгоритмов и программ на основе разработанных методов приближения функций.

Методы исследования. Исследования выполнены на основе координатной системы Бернштейна, выделенной в результате длительных численных экспериментов и альтернативных сравнений, решения вариационных задач методом наименьших квадратов, алгоритмизации и программирования поставленных задач, проведения и анализа большого количества вычислительных проектов.

Задачами исследования являются:

- исследование и создание методов С-гладких многомерных приближений на основе полиномов Бернштейна и связанных с этим алгоритмических процессов при решении задач на реальных вычислительных средствах;

- разработка математических моделей, алгоритмов и программ автоматизации решения л-мерных задач математической физики как основы создания систем математического моделирования;

- исследование и создание итерационных алгоритмов для решения задач построения многомерных функций на основе полиномов Бернштейна;

- разработка математических моделей, алгоритмов и программ проектирования поверхностей с заданными свойствами;

- разработка математических моделей, алгоритмов и программ для систем реального времени.

Научная новизна диссертации заключается в решении проблемы С-гладкого кусочного приближения многомерной функции на основе координатных функций Бернштейна, метода понижения размерности решаемых вариационных задач, разработке метода регуляризации и аппроксимации конечных элементов, алгоритмах многомерных приближений, в результате чего возможно решение ряда актуальных теоретических и практических задач в различных областях науки и техники. Принципиальный вклад в развитие теории состоит в следующем:

1. В результате исследования базисных функций с необходимыми свойствами для алгоритмов многомерных аппроксимаций получены удобные в алгоритмизации и-мерные построения на основе полиномов Бернштейна и разрабатываются процедуры СММ.

2. Построен алгоритм вычисления уравнений, обеспечивающий для кусочных приближений С-гладкие условия в многомерном пространстве. Дока-

заны теоремы о Сг-гладкости полученных кусочных многомерных приближений.

3. Разработан метод аппроксимации конечного элемента с регуляризацией, приводящей к устойчивым итерационным схемам решения задач на основе вариационных методов.

4. Для произвольного п-мерного линейного дифференциального оператора найдены в квадратурах формулы коэффициентов матрицы, получаемой в

результате решения вариационной задачи математической физики на основе координатной системы Бернштейна, - один из основных алгоритмов

смм.

5. Исследованы алгоритмические процессы в вариационных задачах построения /7-мерных приближений и найдены эффективные алгоритмы их решения.

6. Для решения вариационной задачи проектирования поверхности земли построены алгоритмы на основе полученных кусочных аппроксимаций и эвристик, приводящих к вычислению наилучшего плана целевой функции.

7. На основе исследуемых многомерных аппроксимаций построены алгоритмы решения задач математической физики для произвольного линейного дифференциального оператора, что формулируется как направление автоматизации решения таких задач и создания систем математического моделирования.

Получены также решения следующих задач:

1. Построен алгоритм решения обратной задачи - вычисление коэффициентов линейного оператора на основе кусочных многомерных аппроксимаций.

2. Построен алгоритм вычисления в квадратурах многомерных интегралов кусочных аппроксимаций решения вариационной задачи.

3. Разработана методика решения системы линейных уравнений, получаемой при решении вариационной задачи.

4. Предложена методика распознавания (классификации) образов на основе разработанных методов построения многомерных функций.

5. Для решения вариационных задач предложена методика "развития" целевой функции - многоэтапная оптимизация, приводящая к вычислению глобального экстремума.

6. Построен алгоритм решения обратной задачи - вычисление поверхности концентратора лучистой энергии на основе полученных кусочных аппроксимаций.

7. Разработаны алгоритмы преобразования и хранения информации для систем реального времени - контроля производственных процессов.

8. Разработан способ организации программного обеспечения системы реального времени, позволяющий использовать немультипрограммную си-

стему с непрерывным обслуживанием каналов обмена информации и связанных с ними технологических задач.

9. Построены алгоритмы аппроксимаций для систем реального времени.

Практическая ценность работы следует из решения теоретических и прикладных задач на основе разработанных методов аппроксимации функций. Построенные в работе технологии решения многомерных задач разрабатывались прежде всего как элементы решения практических задач. Разработанные математические модели и алгоритмы построения С-гладких приближений многомерных функций позволили решать многие прикладные задачи.

Наибольшее распространение получила разработанная автором система проектирования поверхности земли (вертикальная планировка), начало развития которой положено в 1975 году в проектном и научно-исследовательском институте Узгипроводхоз г. Ташкент. В последующие годы эта задача развивалась на многих вычислительных системах и получила распрастронение во многих республиках. Последние версии этой системы были разработаны и внедрены в начале 90-х годов в системе проектных институтов "Гипроводхоз" в городах Владивосток, Улан-Удэ, Йошкар-Ола, Воронеж, Махачкала, Кишинев, Ташкент, Чимкент, Фергана, Ашхабад и других.

Разработанные алгоритмы построения гладких приближений на основе координатной системы Бернштейна были использованы при проектировании концентраторов лучистой энергии в ЦПКТБ научного приборостроения АН Узбекистана.

Система сбора и обработки информации технологических процессов разрабатывалась автором в рамках хозяйственного договора с горнометаллургическим комбинатом г. Балхаш (Казахстан). Начало развития этой системы было положено хозяйственным договором с ТашГРЭС г. Ташкент. В этой системе реального времени используются эффективные алгоритмы аппроксимаций в задачах масштабирования параметров и распознавания образов.

Разрабатываемая в [2],[4] система автоматизации решения многомерных задач математической физики "Кварк-3" рассматривается автором как пробная версия системы математического моделирования. Система находит применение во многих прикладных задачах. Автором на кафедре ЭП РГРТА с помощью системы решались задачи электростатики и электродинамики. Эта система находит развитие в разработке метода "сшивания" «-мерных конечных элементов, который назван методом подвижного элемента, и позволяет решать задачи методом наименьших квадратов на основе схем с регуляризацией.

В приложении к работе помещены три программных комплекса:

-7- система автоматизации решения задач математической физики "Кварк-3" - пробная версия СММ;

- система проектирования поверхности земли "Шостье 2.90-диалог";

- система сбора и обработки информации для промышленных предприятий.

Достоверность полученных в диссертации теоретических выводов подтверждена:

- корректным использованием математического аппарата;

- апробацией разработанных методик в алгоритмах и программах;

- сравнением с альтернативными методиками;

- результатами эксплуатации внедренных в промышленность разработок.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Координатные функции Бернштейна дают возможность построения метода кусочного С-гладкого приближения многомерных функций. В отличие от существующих подходов построения кусочных приближений, кроме общих алгоритмов достижения Сг-гладкости и-мерной функции, разработан метод понижения размерности вариационной задачи на число линейно независимых уравнетгй, обеспечивающих "сшивание" кусочной функции.

2. На основе разработанного метода подвижного элемента аппроксимируются «-мерные конечные элементы, получаются простые условия регуляризации решения и строится итерационный алгоритм решения задач математической физики. В отличие от традиционного метода согласования-"сшивания" конечных элементов, когда систему уравнений, получаемую при решении вариационной задачи, дополняют уравнения "сшивания", в методе подвижного элемента на основе системы Бернштейна используется замечательное свойство Еершины /¡-мерного параллелепипеда для достижения гладкого решения.

3. На основе координатных функций Бернштейна возможно построение алгоритмов С'-гладких кусочных многомерных приближений. Таким образом, находит решение алгоритмическая проблема построения и-мерных гладких приближений (например, л-мерных сплайнов).

4. Полученные кусочные функции позволяют построить методику автоматизации решения задач математической физики с линейным оператором.

5. Решение вариационных задач значительно упрощается, если построенные многомерные функции интегрируются в квадратурах. Вычисление коэффициентов системы линейных уравнений, получаемой при решении вариационной задачи, приближенными методами существенно затрудняет решение задачи.

6. С помощью метода подвижного элемента получается решение отимиза-ционной задачи проектирования поверхности земли. В отличие от других существующих методов решения применение метода подвижного элемен-

та приводит к проектированию поверхности, построение которой обходится дешевле.

7. Методика решения обратной задачи для концентратора лучистой энергии - вычисление поверхности концентратора - получается на основе построенной кусочной аппроксимации, решения вариационной задачи на уменьшенном множестве варьируемых параметров.

8. Разработанная методика организации программного обеспечения в системах реального времени позволяет строить экономичные системы обработки информации для "медленных" технологических процессов.

Реализация и внедрение результатов.

Предложенные в диссертационной работе методы, методики, алгоритмы и программы разрабатывались в течение 20 лет в ряде научно-исследовательских и проектных организаций в Ташкенте, а также на кафедре электронных приборов РГРТА.

Результаты, полученные в диссертационной работе, внедрены на следующих предприятиях:

- в горно-металлургическом комбинате "Балхашмедь", г. Балхаш;

- в проектном и научно-исследовательском институте "Узгипроводхоз";

- в Центральном проекгао-конструкторском и технологическом бюро научного приборостроения АН Узбекистана, г. Ташкент.

Использование результатов диссертации по названным выше организациям подтверждено соответствующими актами внедрения. Личный вклад автора в диссертацию.

Все теоретические результаты получены лично автором. Все программные разработки проделаны также лично автором, за исключением переложения разработанной автором ПЗУ-программы на однокристальную микроЭВМ, что отражено в опубликованной монографии.

Апробация работы. Результаты исследований, составляющие основное содержание работы, докладывались:

- на республиканской научно-практической конференции. ТашИНХ. Ташкент. 1980;

-1-й Всесоюзной школе-семинаре по вычислительной томографии. КАИ. Куйбышев. 1987;

- всероссийской научно-технической конференции "Электроника и ин-форматика-95". Москва. 1995;

- всероссийской научно-технической конференции "Компьютерные технологии и связь в современном обществе. Таганрог. 1995;

- всесоюзном симпозиуме по эмиссионной электронике. Рязань. 1996;

- научной сессии, посвященной Дню радио. Москва. 1996;

- международной конференции "Информационные технологии в науке, образовании и бизнесе" IT+SE"96. КрымДлта-Гурзуф. 1996;

-9- международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения "АПЭП-96". Саратов. 1996;

- международной конференции "Проблемы и прикладные вопросы физики". Саранск. 1997;

- IX научно-технической конференции "Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления". Гурзуф. 1997;

- второй международной конференции "Автоматизация проектирования дискретных систем" CAD DD'97. Минск. 12-14 ноября 1997.

По теме диссертации опубликовано 4 монографии, 12 статей, II тезисов докладов на международных и республиканских конференциях, семинарах и симпозиумах.

Объем и структура диссертации: введение, 6 глав, заключение и приложение. Общий объем работы составляет 199 страниц основного текста, 5 страниц списка литературы и 326 страниц приложения.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введения обосновывается актуальность исследований диссертации, формулируются цели и задачи, характеризуются научная новизна и практическая ценность работы.

В первой главе рассматриваются вопросы построения п-мерного кусочного С-гладкого приближения с позиции создания систем автоматизации решения задач математической физики и создания алгоритмов для построения систем математического моделирования. Одной из главных проблем решения поставленных задач является построение уравнений С-гладкости - уравнений непрерывности или согласования кусочных областей в «-мерном пространстве. Важно, чтобы уравнения непрерывности допускали алгоритмические построения в многомерном пространстве так же эффективно, как и в одномерном. Кроме этого, важна проблема вычисления в квадратурах коэффициентов матрицы системы линейных уравнений, получаемой из вариационной задачи. В главе строятся алгоритмы приближения Ds = De[f, С, //*) функции / при условии

выполнения уравнения с параметрическим оператором = О,

осуществляющим необходимые свойства приближения. Такие аппроксимации называются ^-приближениями. Главные особенности разработанного в главе D-приближения функций следующие:

- алгоритмы общие относительно числа координат, и , таким образом, преодолеваются алгоритмические сложности при увеличении числа координат аппроксимируемой функции, что дает возможность построения

ниже основных элементов систем математического моделирования многомерных задач;

- векторная функция может удовлетворять заданному линейному дифференциальному уравнению, оператор которого представляется в виде условных параметров;

- если задать оператор кривизны, то построенное приближение является сплайном и, таким образом, решается проблема построения п-мерного сплайна на основе координатной системы Бернштейна

(СУ(1-0"-А};=0, ^ 6(0,1);

- степени аппроксимирующего полинома, а также порядок непрерывных производных по координатам задаются в виде исходных параметров;

- допускается введение любых особенностей функции на границах разбиений области определения функции;

- разработаны общие алгоритмы вычисления уравнений согласования для каждых двух граничащих кусков-блоков «-мерной области (например, уравнения непрерывности для базиса Бернштейна);

- рассматриваются линейно независимые уравнения согласования, в результате чего вычисляется матрица Аа+р, связывающая составляющие

У а &Уа,Ур е Ур искомого вектора У так, что

У1 = Аа+рУр ; _ (1)

- множество варьируемых коэффициентов У еУа+р = Уа^)Ур

уменьшается до У р за счет уравнений согласования;

- рассчитываются матрицы для локальных вариационных задач по каждому блоку;

- на основе информации от предыдущих шагов строится вариационная задача, реализующая метод наименьших квадратов, для У р еУр, в

результате получается система линейных уравнений с симметричной, положительно определенной матрицей;

- вычисляется Ур в результате применения разработанной итерационной процедуры на множестве Ур,

- вычисляются Уа из уравнений (1), откуда решение составится как У = (Уа,Ур).

1. Математическая постановка вариационной задачи Рассматривается квадратичный функционал

х е Я", У е Уа+р с: , ¿=(¿¡¿2.....1^) — дифференциальный оператор,

составляющие которого /./, действуют соответственно на множествах Ок области О е Я" . Составляющие линейного дифференциального оператора для каждого 1к,

¿ = 1 т = 1 охт

задаются множеством чисел {«, },{} "(=1 ^, [р1т1} "т=1 . Индекс к в

последнем соотношении опущен. Кусочная векторная функция

/р) = Гр), 2, ... ,М8

является вычисляемым приближением, если из соотношения (1) следует

/"(.*) е С" и существует такое значение 7=7, что

¿(Г )<£„,

где 50 —значение точности приближения.

Традиционная задача на вариационное неравенство может быть записана в виде

$(у)+Л

УТа - Ла+вУр

!2 *

где X — весовой коэффициент. Однако для этой задачи характерны медленная сходимость к решению и неустойчивость вычислительного процесса для задач большой размерности. Более предпочтительным представляется другой метод, излагаемый ниже. Основная идея метода заключается в уменьшении размерности общей (глобальной) вариационной задачи за счет предварительного учета уравнений согласования. Для этого, прежде всего, необходимо решить задачу (1), после чего задача представится в виде

размерность которой существенно ниже. Кроме этого, для решения последней задачи возможно построение эффективной итерационной процедуры, излагаемой в третьей главе.

-122. Кусочная аппроксимация многомерной функции

Кусочная область, в которой определен элемент /*(*), может быть

выбрана различного вида. В зависимости от вида области строятся условия согласования блоков и рассчитываются матрицы локальных вариационных задач. Так, в созданной системе "Кварк-3" используется область , которая может быть составлена из неравновеликих «-мерных параллелепипедов, что является неизменяемым условием ее применения. Допускаются прямоугольные разрывы области и задание граничных условий на произвольном множестве точек, что частично снимает жесткость этого условия в случае корректного "погружения" области С„ в _3 (например, для задач электростатики). В этом случае образуется "фиктивная" область, влияние которой в случае необходимости может быть исключено дополнительными условиями. В решение задачи построения кусочной Сг -

гладкой функции (г = (г1г г2, ... , г„), - степень непрерывной производной по 1-й координате) реализуется следующим методом. Для координат вектора х = {х1г х2, ... ,хп),х1 е [а/; Ь;], / = 1, п, задана степень полинома . В параллелепипеде П3, л = 1, , со сторонами На строится п-мерный полином

' *,°=о *;= о <=1 где У^ - искомые параметры, к = , к2, ... , &„) - мультииндекс узлов

сетки, к1 =</,£/ +по 1-й координате, к* = {к,1, ... , к^ - базисный

мультииндекс параллелепипеда разбиения, /еП8, к° = (к®, к2.....

мультииндекс параллелепипеда П5, к° = 0, , =

{ к0 I , , \Ч, 1

3 I ч' Р-Тт) | " система координатных функций полинома

Бернштейна, дополненная условиями ВЦ' (0) = 1, (Яя) = 1. Заметим, что

последние соотношения асимптотически имеют место для координатных функций Бернштейна. Вариационная задача успешно решается, если удается вычислять в квадратурах коэффициенты матрицы системы линейных уравнений. В случае функций Бернштейна расчет коэффициентов матрицы сводится к очевидным соотношениям

к=О

что является одним из ее алгоритмичных свойств. 3. Вариационная задача в кусочной области

Пусть У еУа+р - множество из 7?^, Уа, Ур- подмножества из Дл<ги

Пусть задан линейный оператор Аар, отображающий Уа на Ур так, что из уравнения (1) следует непрерывность /" в <7.

Если построить матрицу Аар , то вариационная задача примет вид

ы>

= тт^(Гд) = . (4)

Решение задачи (4) распадается на построение следующей последовательности алгоритмов:

1. Строится матрица Ар ранга Nр из системы уравнений согласования.

2. С помощью матрицы Ар строится матрица Аар методом последовательного исключения из каждой строки Ар элементов вектора Уа.

3. Для каждого номера к - последовательным перебором элементов матрицы Лар строится последовательность строк Аар , в которых

содержатся У/ Ф 0, Ур = {у\р, у/,...,

Пусть такая последовательность отражена в элементах 1к>, 3 - 1,1к, 1 < /,_, < А'а, так что а Ф§,т3 е , Nр |, где а у - элементы матрицы Аар. В этом случае система уравнений, получаемая из вариационной задачи (4), примет вид

'к

+ 2 Г = (5)

к .7 = 1 'и

Из соотношения (5) следует, что алгоритм вычисления матрицы общей (глобальной) вариационной задачи

<Г = тт£^ (6)

У к=\

может быть построен на основе матриц локальных вариационных задач

д* = гшп 8\, поскольку выражение (6) с учетом (1) равнозначно (4) и

У к

частные производные в уравнении (5) аналогичны для обеих задач. Конечно, для построения глобальной вариационной задачи необходим алгоритм рассмотрения связей узлов в уравнении (1) и их учета в уравнении (5). Эти алгоритмы разработаны в третьей главе.

Если условие достижения гладких решений р*^ = 0 точное,

то построенное кусочное приближение / = Д., Ле е Сг. Однако чаще встречаются задачи, в которых важнее достижение точности решения и приближенное условие "сшивания" кусочной функции. В главе рассмотрены условия сшивания конечных элементов 1]\,1]\, представленных полиномами второй степени, таких что е~и\(0.5 + £) — (¿г), 0 < ^ < 0.5, и для значения точности сшивания получено £ — 4е1 (0.5 - + 4е2£2, где £!, е2 - параметры конечных элементов. Для ошибки сшивания производной аналогично получается е1 = (8£ - + . Рассмотренные свойства конечных элементов на основе аппроксимаций полиномами Бернштейна позволяют строить эффективные численные схемы проекционных методов для сеточных функций.

Во второй главе исследуются ¿(-приближения одномерных и многомерных функций. Исследуются способы построения базисных функций и строятся алгоритмы приближения (р, ^-функций Бондаренко Б.А. для полилинейного дифференциального уравнения (й + Ь)"и(х,у) = 0, где ДЬ -дифференциальные операторы. Рассматриваются также алгоритмические вопросы аппроксимаций на основе систем Чебышева и Бернштейна. Глава отражает часть поисковых исследований автора, касающихся базисных функций.

В третьей главе исследуются алгоритмические процессы построения и-мерных приближений и разрабатываются эффективные схемы их реализации. Если рассматривать алгоритмический процесс построения многомерного приближения начиная от математической постановки задачи, то вначале необходимо разработать способ численного представления начальной (входной) информации, очевидным образом следующей из формальной модели. Оператор (3) кодируется множеством параметров {<*/} >КЛ ¡Ц {<"т,} Щ м таким образом, можно ввести различные виды дифференциальных уравнений. Аналогично кодируются операторы

граничных условий. Последовательная реализация построения приближения задачи отражена в нижеследующих шагах.

1. Вычисление уравнений непрерывности и алгоритм выделения множества Ур.

Уравнения непрерывности легко вычисляются для /¡-мерного кусочного приближения на основе полиномов Бернштейна. Однако важна процедура выделения линейно независимых уравнений. Уравнения непрерывности представляются в виде

= (7)

1=1

где у/ е уа . ук € ур , и¡, в- коэффициенты. Первый шаг алгоритма преобразования уравнений непрерывности заключается в исключении из номеров тех, которые уже ранее были отнесены к Уа . Вторым шагом алгоритма является исключение всех номеров , для которых Лг, = / , где I -номер последнего выбранного узла, отнесенного к множеству Уа.

2. Вычисление в квадратурах коэффициентов матрицы системы линейных уравнений локальных вариационных задач.

Коэффициенты симметричных, положительно определенных матриц

где - номер параллелепипеда разбиений, вычисляются по выведенным в первой главе точным формулам. Поскольку коэффициенты могут быть вычислены для любого оператора I, возможна технология численного эксперимента без программирования каждой задачи. Корректность постановки каждой задачи может быть исследована, как и обычно, в рамках применяемого метода наименьших квадратов. Поскольку предельно просто задание любого оператора Ь, упрощается численное исследование различных подходов к решению задач.

3. Глобальная вариационная задача и ачгоритм построения матрицы системы линейных уравнений с помощью локачъных матриц.

Сходимость решения задачи является наиболее сложным вопросом любого численного эксперимента. Если рассматривать параллелепипед разбиения с номером э как обычный конечный элемент, то сходимость решения зависит прежде всего от вида оператора Ь. Для достижения сходимости как можно более широкого круга задач необходимо построение алгоритмов точного решения задачи минимизации суммарной среднеквадратичной ошибки (6) во всей области определения искомого решения. Формально решение этой задачи приводит к системе линейных уравнений

(5) с неопределенными множествами номеров ■ После решения

задачи построения линейно независимых уравнений (7) возможно построение алгоритмов вычисления этих номеров. Последним важным алгоритмом вычисления матрицы системы линейных уравнений (5) является минимизация обращений к магнитной памяти при ограниченной оперативной памяти компьютера. В главе рассматривается алгоритм наилучшего размещения рабочих массивов, позволяющий применить стратегию последовательного вычисления группы строк матрицы, помещающихся в заданный объем оперативной памяти.

4. Итерационная процедура решения системы линейных уравнений.

Решение многомерных задач сводится к линейным системам большой размерности, поэтому их обращение представляет большую сложность. Так, при использовании метода сопряженных градиентов время вычисления коэффициентов системы линейных уравнений и ее решение относятся как 1:20 на примерах трехмерных задач. Применение схемы Хо-лецкого приводит к еще большим затратам машинного времени даже при использовании алгоритмов, учитывающих разреженность матрицы. Решение вариационной задачи (5) на множестве Yp с помощью алгоритма (6)

ведет к большему заполнению матрицы. Однако разреженность матрицы остается значительной и растет с увеличением размерности задачи. Поэтому алгоритмы строятся на основе одномерного массива А, в котором записываются отличные от нуля коэффициенты нижней треугольной матрицы.

5. Графическое представление результатов решения задачи.

Результаты построения многомерных поверхностей эффективно могут анализироваться только в графическом представлении. Для этого построен многооконный графический интерфейс, позволяющий наблюдать поверхность заданной группы функций для любых линейных операторов. Группа операторов для графического задания вводится аналогично решению задачи с помощью коэффициентов {а,.} , {ут,} Щ £, {//„,} Щ £. Дополнительно вводятся параметры равномерной сетки выбранной, пары координат. Одновременно в графических алгоритмах могут быть вычислены интегральные значения функций суммированием вычисляемых значений по заданной сетке. Результаты графики могут быть оформлены в стандарте шп(1о\У8-интерфейса (выбор шрифтов, цветов, толщин и типов линий). Вывод результатов может быть осуществлен на принтер или в графический файл для последующей обработки в редакторах.

- 17В главе построен метод аппроксимации подвижного конечного элемента <50 многомерного приближения и разработана итерационная схема

вычисления вида

{ (?+1>" _ ]

= е чг»[а!1 -л2в]щ/[а5 -2л2впх,) + л2]>

где узловые значения элемента <50, а^, р1 - коэффициенты,

получаемые го вариационной задачи, Я](х1) - значения базисной функции, Х2- множитель Лагранжа, д - степень полинома. В основу алгоритма положена невязка исходного уравнения на подвижном элементе ЮеО+сЮ с регуляризирующей добавкой, призванной обеспечить сходимость итерационного процесса в виде

НИ +4М1>

где X - множитель Лагранжа, У - вычисляемые узловые значения, С/ - приближение решения задачи. В последнем соотношении используется свойство вершин многомерного параллелепипеда, в котором применяются полиномы Бернштейна. Важно, что алгоритм регуляризации неизменен для любого п и позволяет получать устойчивые численные схемы решения многомерных задач. В частном случае для уравнения Лапласа при <7=2, п=2 (двухмерная задача) получается

41 -<Ло + '02 + У20 +/22 )^1+(У01 +Г10 + '12 +'21 )К2>

19 X X 8

где Я, =(— + —)/ (1 + ЗЛ),Л2 = (---) / (1 + ЗЛ), А>0 - множитель Ла-

1 44 4 2 2 44

транжа. В частности, для одного из значений X получается 1/8, что

близко к наилучшему решению. Схема качала сходимости

у(к+1) 1 гуЮ , V® .

41 _ 4(-/00 02 +/20 + '22 )•

В то же время приведенные соотношения реализуют метод конечных элементов со среднеквадратичным осреднением оператора Лапласа и регуляризацией центрального узла. При выводе последних численных схем решается вариационная задача относительно квадратичной невязки

8г = |Ш|2 + - ¿72(0.5Д5)]\

где Ь - оператор Лапласа, II2- двухмерный полином второй степени.

В главе рассматривается применение методов приближения многомерных функций для задач распознавания образов и проектирования концентраторов лучистой энергии.

-18В четвертой главе описываются интерфейс системы "Кварк-3" и методика решения задач математической физики. Решаются двухмерные и трехмерные задачи электростатики и электродинамики. В главе продемонстрирована возможность системы настраиваться на различные математические модели. В разделе 4.3 решается задача расчета электростатического

1 ди Л

поля, представленного уравнением + +и граничными

условиями первого и второго родов для радиально симметричной фокусирующей системы. Далее, в разделе 4.4 описана настройка системы на ма-

с?Нг д1Нг , 2 _ „ Жг . _

тематическую модель-+-г=- + к Н2 = и в и , —- = 0 на си для

Зх ду дп

волн Я-типа в бесконечном волноводе с однородным заполнением, где Н2 -составляющая поля, п - направление нормали к границе, ограничивающей область Д. Система "Кварк-3" имеет возможность графического оформления результатов расчета. В главе показано решение трехмерной задачи

_ ____яи _

Ч2Н + к2Н = О, <йу(й) = 0,вД —- = 0 наЮ, Н = (НХ,НУ,Н.).

дг

Таким образом, система "Кварк-3" имеет возможность настраиваться на различные математические модели, связанные с построением решения в виде многомерных векторных функций.

Текст программ системы помещен в приложении 2 диссертации. В главе решаются задачи математической физики с помощью системы "Кварк-3" для различных операторов. Разработанные алгоритмы и программы позволяют настраивать систему на различные задачи вычислительной математики, связанные с построением многомерных функций.

Разработанный способ кодирования исходной информации, максимально приближен к математической постановке и позволяет учитывать следующие условия в решаемых задачах:

- задание параметра п - числа независимых переменных;

- задание параметра А^ - числа составляющих вектор-функции;

- задание различных линейных дифференциальных операторов;

- задание особенностей функций на границах кусочной области;

- задание различных граничных условий;

- получение численных и графических результатов решения.

Построенные алгоритмы позволяют рассчитывать коэффициенты операторов для проекционно-сеточных схем, а также учитывать граничные условия на точечном множестве. Для этого задается вид оператора задачи и производится обращение к файлам хранения коэффициентов рассчитанных матриц.

Решение многомерных задач требует значительных объемов памяти и быстродействия вычислительных машин. Система использует виртуальные массивы, поэтому объем памяти ограничен внешним запоминающим устройством. Эффективное использование виртуальных массивов достигается в последовательных алгоритмах обращения к элементам массива, описанных выше. Последняя версия системы "Кварк-3" на основе D-приближений написана в Delplii-2, в среде Windows-95, и включает многооконный графический вывод результатов решения. Основные рабочие массивы динамически распределяются в памяти.

Для системы координатных функций Бернштейна исходная система уравнений С/ -гладкости может легко построена как результат доказанной теоремы 1.2. Однако сложность представляет задача разделения Ya+p на

Ya и Yp. Вместе с построением уравнений Сг -гладкости эта задача решается в процедуре FERT (приложение 2). Решение задачи разделения Ya+p позволяет в дальнейшем построить матрицу глобальной вариационной задачи размером Np х Np. Усредненная оценка величины Np = Ns,

где е < 1 величина, близкая к коэффициенту заполпешм разреженной матрицы размером N х N . Следовательно, применение процедуры разделения Уа-р позволяет резко снизить размер системы линейных уравнений, получаемой при решении вариационной задачи. Вместе с этим в случае применения метода наименьших квадратов сжатая в результате разделения Уа+р матрица получается положительно определенной. Решение

системы линейных уравнений возможно с помощью процедуры Холецкого, методом релаксаций и других.

Полное множество уравнений С-гладкости содержит линейно зависимые уравнения, поэтому необходима процедура их исключения. В процедуре FERT реализован алгоритм последовательного исключения Ya из

рассматриваемого уравнения Сг -гладкости. Если уравнение линейно зависимое, то получается тривиальное решение и уравнение исключается из рассмотрения.

Общая стратегия использования ОЗУ такая, что решение каждого из четырех этапов - ввод и формирование рабочих массивов исходной информации, построение уравнений С.г-гладкости и разделение Ya+p, вычисление матриц локальных вариационных задач, построение и решение системы линейных алгебраических уравнений глобальной вариационной задачи - осуществляется в результате последовательного использования ОЗУ. Такое использования памяти получено в результате разработки нескольких версий программного комплекса.

Третья задача построения кусочного Сг-гладкого ^-приближения -вычисление матриц локальных вариационных задач. В силу симметрии матрицы относительно главной диагонали вычисляется верхняя треугольная матрица. В комплексе "Кварк-3" используется система координатных функций Бернштейна, позволяющая получать значение интегралов при

и

вычислении коэффициентов матрицы а^; / = 1, 2, ... , +1);

¡=1

5 = 1, 2, ... ,М в квадратурах, где гц- степень полинома по /-ой координате. Вместе с тем количество арифметических операций при вычислении коэффициентов матрицы остается большим. В процедуре УРАВН применены специальные алгоритмы, не допускающие повторения общих вычислений при переходе от одного коэффициента к другому. Существенные сокращения вычислений можно получить для операторов с постоянными коэффициентами при производных. В этом случае полный расчет проводится только для одного П^, остальные являются линейно зависимыми от него. Хотя существенных проблем при вычислении коэффициентов локальных матриц нет, время вычисления является главным критерием эффективности алгоритмов. Для линейных дифференциальных операторов программа УРАВН достаточно эффективна. Основной процесс вычислений ведется по группам строк, вмещающихся в ОЗУ. Результат записывается на внешний носитель. Матрица глобальной вариационной задачи строится в процедуре ЗВОЯ.

Система "Кварк-3" позволяет получить результаты решения как в виде текстовых файлов, так и в виде графических файлов в формате *.ВМР. Многооконный графический интерфейс позволяет получить афинное преобразование поверхности решения или линейного оператора от него.

В пятой главе разрабатываются алгоритмы системы автоматизации проектирования (САПР) поверхности земли, представленной равномерной сеткой уровней рельефа. Такие задачи решаются в строительстве, связанном с изменением исходного рельефа {Щ}, / = 1 ,п, j = \,т, проектным

{Щ }, так что

^п <Щ- <^шах, < б^, (8)

где £>^шахштатах" заданные параметры сглаживания рельефа. Дополнительным является условие

п т п тп

/=1 /=1 /=1 ¡=\

где Щ =ЩР, если Щ < к?, и И? - Щр, если Щ > Щ. Решение этой

задачи в рамках линейного программирования возможно, однако свойства получаемой поверхности не отвечают требованиям окончательной задачи наилучшего перемещения объемов. Объединить обе задачи в единую оптимизационную не удается, поэтому необходимо приблизить решение первой задачи к определенным свойствам второй задачи. Применение разработанных алгоритмов в первых двух главах дает возможность построения эффективной аппроксимации элемента поверхности, на основе которого строится итерационный процесс вычисления проектируемой поверхности.

Применение итерационного ©-алгоритма для задачи проектирования рельефа земли позволяет получить устойчивые численные схемы. Одновременно решение получается таким, что транспортная задача дает лучшие результаты по сравнению с вычислением поверхности методами линейного программирования. Это было подтверждено многолетней эксплуатацией программных комплексов и проведением сравнительных расчетов в ряде организаций. Результаты главы апробированы на протяжении многолетней эксплуатации системы в проектных организациях многих республик. Последняя версия системы написана на языке Фортран и помещена в приложении 4.

Кроме формальных оптимизационных алгоритмов при проектировании важна организация программного комплекса. В системе "Шостье V 2.89-диалог" реализованы диалоговые алгоритмы всех этапов проектирования. Приведенный в приложении 4 программный комплекс позволяет получить законченную проектную документацию цифрового рельефа, транспортные схемы перемещения грунта и таблицы экономических характеристик проекта.

Таким образом, помещенная в приложении 4 система представляет САПР проектирования рельефа земли на основе оптимизационного В-алгоритма. С помощью параметрического оператора А(/, //) проверяется баланс перемещаемых объемов и достигается устойчивый итерационный процесс вычисления рельефа.

Разработанная САПР поверхности земли имеет возможность:

- диалогового управления процессом проектирования;

- ввода и контроля исходной поверхности земли;

- задания конфигурации проектируемых поверхностей в плане;

- решения первой оптимизационной задачи вычисления поверхности {Щ };

- решения второй оптимизационной задачи перемещения грунта;

-22- выдачи проектной документации, включая цифровую модель спроектированной поверхности.

В шестой главе разрабатываются принципы построения экономичных систем технологического контроля и управления объектами (АСУ 111), для которых приемлем обмен информации на скорости канала 1200-19200 бод. Такие технологии условно классифицируются как "медленные". Часто встречающееся решение построения системы АСУТП на основе "закрытого" в абсолютных модулях "фирменного" программного обеспе чения ведет к большим трудностям при развитии системы. Новые технические средства систем автоматизации удается быстрее применить при наличии программного обеспечения в исходных модулях. Поэтому представляется актуальным начальное развитие таких систем с программ, написанных на языках высокого уровня. Программная реализация подсистем требует создания эффективных алгоритмов аппроксимации и организации программ, работающих в реальном времени. В главе рассматриваются эффективные алгоритмы аппроксимации измеряемых величин. В одномерном случае используются соотношения

У = Гм( 1 - tf +2^/(1 -/) + У/, J = lj,

где { У, , Xi }"=q- множество значений масштабирования измеряемого параметра каналом датчика, t е[0,1] - вспомогательная переменная интервала [х,,х,+1]. В многомерных аппроксимациях используются результаты решения системы "Кварк-3", в результате чего возможно построение приближения Dn(x), где х = (*,,.х2,...,л:п) - группа параметров многомерного измерения. Для алгоритмов принятия решений кроме математического моделирования физических законов объекта управления возможно применение алгоритмов распознавания образов и автоматически обучающихся систем. Одним из подходов к таким задачам является построение разделяющих функций суj = по обучающей последовательности j©,,*, j с по-

мощью разработанных методов приближения многомерных функций.

Рассматривается разработка систем управления технологическими процессами для различных производств. Объектом контроля и управления могут быть нефтезаводы, ГРЭС, АЭС, ГЭС, котельные, нефтехранилища, склады, научно-технические объекты, заводы и т.д. Благодаря проделанным разработкам система отличается низкой стоимостью, высокой надежностью.

Полученные результаты обеспечивают следующее: -быстрое настраивание разработанной программной системы АСУТП на различные технологии;

-контролирование любого технологического процесса с любого компьютера (даже не работающего с конкретными технологиями); -рассматриваемые контроллеры позволяют удалить компьютер на большое расстояние от активной зоны технологического процесса по телефонному кабелю;

-достигнута низкая стоимость технических средств при максимуме использования их функциональных возможностей;

-достигнут запуск системы по "холодному старту" без каких-либо действий оператора;

-программное обеспечение нижнего уровня допускает подсоединение любых технических средств (АЦПДДАП,...) путем его модификации с верхнего уровня.

Рассмотрение технических средств нижнего уровня дает возможность создавать компактные устройства согласования с объектом и получать менее дорогую систему. Существенны при этом эксплуатационные преимущества технического обеспечения.

Помещенное в приложении программное обеспечение верхнего уровня может быть использовано как основа при создании систем АСУТП.

Без изменения программного обеспечения решаются следующие задачи :

-параллельный контроль за несколькими технологическими процессами одним ПК при использовании системы MS DOS;

-возможность слежения за произвольным количеством технологических объектов, объединенных сетью;

-возможность хранить и контролировать историю технологического процесса по заданным временным интервалам (обычно 1-15 минут на период в несколько месяцев), а также историю в темпе измерений (0.1-10 секунд на период несколько часов). Система позволяет с любого объединенного сетью ПК наблюдать всю информацию (мнемосхемы, значения параметров, графическое представление, речевые сообщения), аналогичную в реальном времени;

-работу любой мнемосхемы технологического процесса;

-быструю настройку мнемосхемы на любую технологию произвольным графическим редактором;

-циклическое считывание и масштабирование параметров;

-слежение за "уставками" технологического процесса;

-речевое сообщение о событиях в технологическом процессе;

-расчет технико-экономических показателей в темпе измерений и их

отображение на экране;

-возможность подключения алгоритмов управляющих воздействий и выдачи сигналов управления через контроллеры;

-24-

-режимы контроля и настройки оборудования;

-режимы разработки программ контроллера непосредственно из ПК.

Таким образом, полученные результаты можно использовать на предприятиях и в организациях, занимающихся разработкой исследованием и эксплуатацией систем управления технологическим процессом, а также в различных прикладных исследованиях.

В заключении отражены основные результаты работы.

1. Построены алгоритмы С-гладких кусочных приближений. Достигается понижение размерности вариационной задачи за счет предварителъ ного учета уравнений, обеспечивающих непрерывность функции и ее производных.

2. Разработаны алгоритмы и программы вычисления линейно независимых уравнений непрерывности-"сшивания" кусочной л-мерной функции с заданными степенями полинома и непрерывной производной по координатам.

3. Построены алгоритмы и программы решения общей (глобальной) вариационной задачи на основе информации решения локальных вариационных задач (в отдельных кусочных областях) и уравнений непрерывности.

4. Построен алгоритм проекционно-сеточной схемы на основе метода наименьших квадратов и полиномов Бернштейна. Важно достижение сходимости численной схемы с помощью функционала Лагранжа.

5. В работе построены алгоритмы решения задач для достаточно широкого класса л-мерных дифференциальных операторов. Возможность настраивать систему на различные дифференциальные операторы позволяет автоматизировать вычислительный эксперимент. Это особенно важно при решении задач необходимого оперативного численного эксперимента.

6. Полученная схема, названная методом подвижного элемента или итерационным О-алгоритмом для класса л-мерных дифференциальных операторов, может быть реализована в отдельном программном комплексе. При этом без изменения могут быть использованы разработанные алгоритмы решения локальных вариационных задач.

7. Реализованный подход к решению задач математической физики, когда оператор задачи непосредственно является исходной информацией, формулируется как направление автоматизации решения таких задач.

8. Решены важные народнохозяйственные задачи. Разработанные О-алгоритмы используются в помещенных в приложении трех программных комплексах: САПР проектирования рельефа земли, системы обработки информации АСУТП и системы автоматизации решения задач математической физики. Система САПР рельефа земли используется во многих проектных организациях более 20 лет и периодически совершенствуется. Информационная система АСУТП внедрена в горно-металлургическом ком

бинате. Система "Кварк-3" находит применение в решении многих актуальных задач науки и техники.

9. Перспективы развития математических моделей на основе разработанных методов четко просматриваются в следующих направлениях:

- развитие метода подвижного элемента;

- развитие МПЭ для решения нелинейных задач математической физики и создания систем математического моделирования;

- развитие итерационных методов решения вариационных задач на основе МПЭ.

Представленные результаты исследований и сформулированные выводы позволяют утверждать, что задачи диссертации решены в полном объеме.

Основные результаты диссертации опубликованы в четырех монографиях и статьях:

1. Аникин B.C. Приближение функций многих переменных и решение задач математической физики// Деп. ВИНИТИ, № 2817-79. 189 с.

2. Аникин B.C. Дифферальные приближения функций. - Ташкент: Фан (Наука), 1988. 256 с.

3. Аникин B.C. Программно-технические средства систем управления технологическими процессами. М.: Высш. шк., 1998. 160 с.

4. Аникин B.C. Система автоматизации научных исследований "Кварк-3". - Рязань: РГРТА, 1997. 187 с.

5. Аникин B.C. Неортогональная система с аналитически выраженными коэффициентами разложения//Труды Рязанского радиотехнического института. Вып. 28. Рязань, 1971. С. 223-228.

6. Аникин B.C. К методам решения некорректно поставленных задач// Труды Рязанского радиотехнического института. Вып. 28. Рязань, 1971. С. 229-241.

7. Аникин B.C. К методам интерполирования n-мерных функций и распознавания образов//Вопросы вычислительной и прикладной математики. Вып. 23. Ташкент, 1974. С. 90-97.

8. Аникин B.C. К методам приближения функций с помощью интеграла Дирихле/ЛЗодросы вычислительной и прикладной математики. Вып. 24. Ташкент, 1974. С. 85-90.

9. Аникин B.C. Приближение функций многих переменных и решение задач математической физики. Докл. 1-й Всесоюзной школы-семинара по вычислительной томографии. КАИ. Куйбышев. 1987.

10. Аникин B.C. Системы сбора и обработки информации для АСУТП объектов, распределенных по площади, для "медленных" процес-сов//Электросвязь. 1996. № 4. С. 22-24.

-2611. Аникин B.C. Системы сбора и обработки информации для АСУТП объектов, распределенных по площади, для "медленных" технологических процессов//Тез. докл. всероссийской научно-технической конференции "Электроника и информатика-95". М., 1995. С. 223-224.

12. Аникин B.C. Компактная многоканальная информационная система на основе персональных компьютеров//Тез. докл. всероссийской научно-технической конференции "Компьютерные технологии и связь в современном обществе. Таганрог. 1995.

13. Аникин B.C. Система "РГРТА-ЭП 1.02" для контроля электронных приборов и систем на их основе//Тез. Всесоюзного симпозиума по эмиссионной электронике. Рязань 1996.

14. Аникин B.C. Система приближения многомерных функций и решения задач математической физики//Тез. докл. научной сессии, посвященной Дню радио. М., 1996. Часть 2. С. 103-104.

15. Аникин B.C. и др. Оптимальное проектирование оросительных систем с горизонтальными поливными участками//Труды ТашПИ. Вып. 153. Ташкент 1975. С. 69-74.

16. Аникин B.C. Дифферальные приближения функций//Труды САРНИГМИ. Вып. 41 (122). Ташкент, 1977. С. 74-82.

17. Аникин B.C. и др. Экономико-математическое моделирование оптимального размещения самолето-моторного парка сельскохозяйственной авиации при возделывании хлопчатника в Узбекистане//Вопросы РАСУ. Вып. 18. Ташкент, 1979. С. 86-91.

18. Аникин B.C. и др. Вопросы повышения эффективности эксплуатации оросительных систем при внедрении АСУТП-водораспределения// Тез. Республиканской научно-практической конференции. ТашИНХ. Ташкент, 1980. С. 203-204.

19. Аникин B.C. и др. Решение интегральных уравнений типа Фред-гольма с применением полиномов// Вопросы вычислительной и прикладной математики. Вып. 67. Ташкент, 1982.

20. Аникин B.C. Разработка и внедрение автоматических систем управления технологическими процессами//Тез. ХХШ Международной конференции "Информационные технологии в науке, образовании и бизнесе" IT+SE"96. КрымДпта-Гурзуф. 1996.

21. Аникин B.C. Система "РГРТА-ЭП 1.02" для контроля электронных приборов и систем на их основе//Тез. международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения "АПЭП-96". Саратов, 1996.

22. Аникин B.C. Построение и-мерных С-гладких кусочных приближений и их приложение / Вакуумная и плазменная электроника. Межвуз. сб. научных трудов. Рязань: РГРТА, 1996. С. 57-59.

-2723. Аникин B.C. Система решения многомерных задач математической физики "Кварк-З'У/ Тез. международной конференции "Проблемы и прикладные вопросы физики". Саранск, 1997.

24. Аникин B.C. Система сбора и обработки информации "РГРТА-ЭП"//Тез. IX научно-технической конференции "Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления". Гурзуф, 1997,

25. Аникин B.C. Построение систем приближения функций многих переменных и решения задач математической физики// Докл. второй меж дународной конференции "Автоматизация проектирования дискретных систем" CAD DD'97. Минск. 12-14 ноября 1997.

26. Аникин B.C. Построение систем приближения функций многих переменных и решения задач математической физики / Новые информационные технологии: Межвуз. сб. Рязань: РГРТА, 1997. С. 37-44.

27. Аникин B.C. Построение системы сбора и обработки информации для распределенных объектов АСУТП / Новые информационные технологии: Межвуз. сб. Рязань: РГРТА, 1997. С. 44-47.

В приложении содержатся документы, подтверждающие внедрение и использование результатов диссертации, а также тексты трех программных комплексов.

А и и к и н Владимир Семенович

Приближения многомерных функций в задачах автоматизации проектирования, управления и математической физики

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Подписано в печать Формат бумаги 60x84 1/16.

Бумага газетная. Печать ротапринтная. Усл. печ. л. 1.5. Уч. изд. л. 1.5. Тираж 100 экз. Заказ Рязанская государственная радиотехническая академия.

391000, Рязань, ул. Гагарина, 59/1. Участок оперативной полиграфии Облстатуправления. 390013, Рязань, ул. Типанова, 4.