автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка и исследование многомерно-матричных алгоритмов линейного оценивания характеристик многоагрегатных ТП и массивов экспериментальных данных

ВВЕДЕНИЕ.

1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ.&

1.1. Предмет исследования и область применения

1.2. Анализ задач оценивания характеристик многоагрегатных ТП и массивов экспериментальных данных.

1.3. Обзор и анализ реализационной сложности алгоритмов оценивания многоиндексных массивов данных.

1.4. Постановка зад&чй исследования

2. Ш0Г0МЕРН0-МАТРИВДАЯ ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРИ ПОСТАНОВКЕ И

РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ОЦЕНИВАНИЯ МНОГОИНДЕКСНЫХ МАССИВОВ ДАННЫХ.

2.1. Агрегирование и декомпозиция многомерно-матричных выражений.

2.2. Структурные преобразования многомерно-матричных выражений.^

2.3. Многомерно-матричные модели прикладных многоиндекс- ^ ных задач оценивания.

2.4. Многомерно-матричная формулировка обратной задачи линейного оценивания.

2.5. Выводы.

3. РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ

ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА СЛОЖНОСТИ И МЕТОДА 8?

РЕГУЛЯРИЗАЦИИ.

3.1. Многомерно-матричные устойчивые алгоритмы решения обратных задач.^

3.2. Замкнутая (рекуррентная) форма алгоритмов устойчивого решения многомерных обратных задач . ^

3.3. Анализ погрешностей при решении многомерных обратных задач.

3.4. Выводы.

4. РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МНОГОМЕРНО-МАТРИЧНЫХ АЛГОРИТМОВ

ОЦЕНИВАНИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЛОЖНОСТИ.J

4.1. Спектральные алгоритмы решения многомерных обратных задач на основе аппроксимации собственных базисов линейных операторов наблюдений .ИЗ

4.2. Алгоритмы двумерной скользящей рекурсии ограниченной сложности.

4.3. Алгоритмы, четырехмерной скользящей рекурсии ограниченной сложности .-*

4.4. Выводы.

5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРАБОТАННЫХ АЛГОРИТМОВ

И РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ МНОГОИНДЕКСНЫХ ЗАДАЧ.

5.1. Экспериментальное исследование разработанных алгоритмов ограниченной сложности

5.2. Решение задачи идентификации спектральных характеристик многоагрегатного ТП мерсеризации целлюлозы.

5.3. Решение задач компенсации аппаратных функций спектрометров

5.4. Решение задачи выделения хребтовых линий на цифровой интерферограмме

5.5. Выводы.

B.Ф.Бирюкова, А.Н.Дмитриева, В.В.Семенова, А.Г.Александрова,

C.А.Блюмина, В.В.Кафарова, Т.К.Круга, Л.Т.Милова, Г.А.Медведева, Н.С.Райбмана, О.С.Соболева, М.Месаровича, Р.Роезера. Большая часть из них посвящена построению и анализу линейных моделей АСУ ТП,ввиду высокой размерности и порядка объектов исследования и достаточной во многих случаях точности линейного приближения

89]. Сложность линейных многообъектных систем определяется коли» чеством агрегатов, объединенных общими энергомагистралями, источниками сырья и реагентов, нагрузкой по выходу; числом входов, выходов и состояний каждого технологического агрегата; динамикой и нестационарностыо отдельных агрегатов и их взаимосвязанных совокупностей. С математической точки зрения сложность моделей может быть охарактеризована числом и порядком индексов во временных и спектральных характеристиках, таких как матричная импульсная переходная функция, спектры состояний, матрично-индексные коэффициенты дифференциальных уравнений в пространстве состояний и т.п. [71,89,127] . Увеличение числа индексов в этих характеристиках из-за усложнения объектов управления и дискретизации сигналов при использовании ЭВМ в контурах управления делает актуальными задачи построения линейных многоиндексных моделей АСУ ТП, разработки соответствующих алгоритмов их анализа и синтеза.

Не менее актуальными являются задачи повышения разрешающей способности измерительных и контролирующих устройств, включенных в контуры автоматизированного управления ТП. При этом необходимо учитывать, что за счет широкого внедрения многоканальных, многокоординатных (растровых) приборов, информационные потоки в АСУ ТП приобретают характер многомерных дискретных сигналов, требующих разработки специальных алгоритмов восстановления и фильтрации.

Высокая степень формализации при решении этих задач может быть достигнута в результате применения и развития аппарата многомерных матриц, наделенных структурой [67,71] как нового алгебраического средства укрупненного представления многоиндексных массивов и алгоритмов их обработки, ориентированного на использование ЭВМ. В многомерно-матричной постановке упомянутые актуальные задачи с учетом погрешностей измерения и дискретизации приводятся к задаче устойчивого оценивания многомерных характеристик, сигналов и массивов экспериментальных данных. Для решения подобных задач по отношению к матрично-индексным линейным моделям разработаны технически корректные и устойчивые методы анализа и синтеза систем управления с учетом сложности реализации устройств и алгоритмов

23,24,87,88,89,90,92,93] . Оцениванию массивов из одномерной или двумерной модели свертки с целью восстановления измерительной информации посвящен ряд работ по методам регуляризации [27,29,34, 40,49,61,77,82,84,95,106,IIlJ. Однако вопросы, связанные с использованием структурных особенностей и априорной избыточности многомерно-матричных моделей; определением функционалов сложности и стабилизаторов решения; разработкой устойчивых алгоритмов оценивания в разомкнутой и замкнутой формах по отношению к многомерно-матричным массивам или их сечениям по различным индексам исследованы недостаточны. Открытыми также остаются вопросы цифровой компенсации аппаратных функций растровых измерительных и контролирующих устройств с пространственно-неинвариантными (нестационарными) и неразделимыми по индексам характеристиками,идентификации и синтеза характеристик многоагрегатных ТП в условиях высокой размерности и порядка оцениваемых массивов, с одной стороны, и ограниченного времени обработки и ограниченных ресурсов управляющих ЭВМ с другой.

Цель работы.Основной целью диссертационой работы является разработка и исследование алгоритмов оценивания характеристик многообъектных систем управления, многомерных сигналов и массивов экспериментальных данных из линейных многомерно-матричных моделей с учетом больших размеров и структурных особенностей наблюдений и оценок, а также ограничений на время обработки и на вычислительные ресурсы ЭВМ средней и малой мощности.

Эта цель достигается путем решения следующих основных задач.

1. Анализа существующих алгоритмов оценивания характеристик и сигналов в задачах с многоиндексными моделями наблюдения.

2. Разработки методов агрегирования, декомпозиции, структурных преобразований многомерно-матричных выражений со сложным взаимодействием индексов и построения на их основе линейных моделей практических задач оценивания многоиндексных характеристик и маесивов эксприментальных данных. 3. Постановки задачи оценивания из многоиндексной линейной модели наблюдения как многомерной обратной задачи, характеризующейся плохой обусловленностью многомерной матрицы наблюдения.

4. Разработки и исследования технически корректных и устойчивых алгоритмов решения многомерной обратной задачи в разомкнутой и замкнутой форме.

5. Синтеза класса устойчивых алгоритмов ограниченной сложности, позволяющих решать задачи оценивания многомерных массивов высокого порядка в режиме реального времени средствами малых управляющих ЭВМ.

6. Реализации разработанных алгоритмов в виде программного обеспечения решения следующих практических задач: идентификации спектров состояний многоагрегатных ТП; цифровой компенсации аппаратных функций аналитических приборов контроля ТП растрового типа; обработки цифровых интерферограмм с целью измерения рельефа поверхностей.

Методы исследования. Решение поставленных задач получено на основе принципа сложности в теории управления, методов регуляризации, многомерно-матричных методов в теории управления и контроля, теории оптимальной фильтрации и оценивания, теории линейных дифференциальных и разностных уравнений, методов цифровой обработки многомерных сигналов. Для подтверждения работоспособности и эффективности разработанных алгоритмов проводились модельные эксперименты на ЭВМ.

Научная новизна.

I. Разработаны методы и правила агрегирования, декомпозиции и структурных преобразований многомерно-матричных выражений, позволяющие проводить на высоком уровне формализации аналитическое проектирование алгоритмов оценивания путем приведения к стандартной форме многомерно-матричных уравнений наблюдения произвольных многоиндексных линейных моделей.

2. На основе разработанных правил построены: спектральная модель многоагрегатного ТП в пространстве состояний; многомерно-матричные модели многоиндексных дискретных операторов суперпозиции и свертки; кронекеровские модели аппроксимации наблюдений; модели линейных ограничений на оцениваемую матрицу.

3. Определены операции псевдообращения и сингулярного разложения многомерных матриц, сформулированы понятия многомерных ленточной и теплицевой матриц, вводится понятие обусловленности многомерной матрицы. Задача оценивания из многомерно-матричной модели наблюдения ставится как многомерная обратная задача.

4. Разработаны и исследованы технически корректные и устойчивые алгоритмы решения многомерных обратных задач на основе принципа сложности или методов регуляризации. Замыкание алгоритмов по индексам наблюдений и оценок позволяет уменьшить сложность их реализации, обеспечить режим вычислений в реальном времени, снизить чувствительность оценок к погрешности в задании оператора.

5. На основе аппроксимации элементов собственного базиса многомерной теплицевой матрицы разработаны и исследованы спектральные алгоритмы устойчивого оценивания многоиндексных массивов из уравнения дискретной свертки. Показана эффективность применения предложенных алгоритмов по сравнению с алгоритмами на основе цирку-лянтных моделей.

6. Предложены устойчивые замкнутые субоптимальные алгоритмы двумерной и четырехмерной скользящей рекурсии ограниченной сложности, позволяющие решать пространственно-неинвариантные, несепара-бельные многомерные обратные задачи в темпе с поступлением данных, либо в режиме последовательного обмена с внешней памятью мини-ЭВМ.

Практическая ценность. Разработанные правила преобразования многомерно-матричных выражений, а также операции псевдообращения и сингулярного разложения многомерных матриц применяются в практике проектирования алгоритмов оценивания на аналитическом уровне с высокой степенью формализации. Эти правила и операции могут трактоваться как алгоритмы преобразования многомерных массивов экспериментальных данных, ориентированные на машинную реализацию. С их помощью изменяется структура массивов, хранящихся на внешних запоминающих устройствах ЭВМ, производится формирование многомерных матриц наблюдений из исходных и априорных данных их преобразование к преимущественно диагональной форме, удобной для проектирования алгоритмов оценивания ограниченной сложности.

Построенные для практических задач многомерно-матричные модели наблюдения количественно отражают сложность моделируемой системы через размерность и порядок оцениваемой матрицы. Они позволяют более полно учитывать априорные данные о модели и оценке, дают возможность оценивать многомерную матрицу целиком, либо в сечениях по индексам.

Применение разработанных алгоритмов на основе аппроксимации собственных базисов многомерных теплицевых матриц позволяет в 2-3 раза повысить точность оценивания с одновременным уменьшением в 3 раза объема вычислений по сравнению с алгоритмами, использующими быстрое преобразование. Фурье.

Субоптимальные алгоритмы двумерной и четырехмерной скользящей рекурсии ограниченной сложности позволяют решать многомерные обратные задачи с линейным оператором в виде многомерных ленточной и теплицевой матриц в реальном масштабе времени. Они позволяют учесть нелинейное ограничение на диапазон изменения оценок в виде двухстороннего матричного неравенства. Даются практические рекомендации по выбору параметра сложности алгоритмов в зависимости от требований к точности оценивания.

Для преложенных многомерно-матричных преобразований и алгоритмов оценивания разработано программное обеспечение на алгоритмическом языке "Ф0РТРАН-1У" и проведена его экспериментальная проверка при решении модельных и практических задач.

Реализация результатов работы. Работа по теме диссертации проводилась на кафедре П-I МВТУ им.Н.Э.Баумана и на кафедре АСУ Рязанского радиотехнического института в соответствии с разделом 03 целевой комплексной программы 0Ц.026. "Автоматизация управления ТП; производствами, машинами, станками и оборудованием с применением мини- и микро-ЭВМ".

Научные результаты и практические рекомендации диссертации используются в следующих работах.

Хоздоговорная НИР "Разработка многомерно-матричных алгоритмов построения моделей ТП производства вискозы" (г.р.№ 79010242).Идентификация спектральной модели многоагрегатного ТП мерсеризации в пространстве состояний позволила увеличить степень стабилизации параметров качества щелочной целлюлозы на 18$.

Хоздоговорная НИР "Разработка алгоритмов и программ цифровой фильтрации изображений" (г.р.№ 77008383). Использование многомерно-матричных моделей кронекеровской аппроксимации наблюдений, а также разработанных алгоритмов и программ оценивания интерферо-грамм позволило сократить время машинной обработки в 6,7 раза по сравнению с аппертурными способами.

НИР по научно-техническому сотрудничеству "Разработка и исследование алгоритмов и программ восстановления спектрограмм". Применение алгоритмов и программ спектрального оценивания, а также двумерной и четырехмерной скользящей рекурсии ограниченной сложности дало возможность средствами мини- и микро-ЭВМ проводить восстановление спектров с темпе с поступлением экспериментальных данных. В результате выделены составляющие химических соединений и сплавов, повышена в 1,5 раза разрешающая способность спектрометров.

Суммарный годовой экономический эффект от проведенных НИР, подтвержденный актами внедрения, составляет 100 тыс.рублей.

Результаты, полученные автором, включены в отчеты по НИР № 59-79 (г.р.№ 80016660), № 64-81 (г.р.№ 0I82.20II74), № 60-82 (г.р.№ 0183.00 18865) и использованы на предприятии заказчика.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции "Методы и средства преобразования сигналов" (Рига,1978), на Ш Всесоюзной школе-семинаре "Современные проблемы автоматического управления" (Нарва,1979), на П Всесоюзной межвузовской НТК "Математическое, алгоритмическое и техническое обеспечение АСУТП" (Ташкент,1980), на IX Всесоюзном научно-техническом совещании "Создание и внедрение автоматизированных и автоматических систем управления непрерывными и дискретно-непрерывными ТП" (Иваново-Франковск,1980), на Ш Всесоюзном совещании по автоматизации проектирования САУ и АСУТП" (Иваново,1981), на Ш Всесоюзном'симпозиуме "Методы теории идентификации в задачах измерительной техники и метрологии" (Новосибирск,1982).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и шести приложений. Работа изложена на 244 страницах, включая 61 рисунок, 2 таблицы, список литературы из 130 наименований, приложения на 30 страницах. Основное содержание имеет объем 150 машинописных страниц.

5.5.Выводы

I.Проведено экспериментальное исследование разработанных алгоритмов на модельных задачах оценивания спектральных характеристик многоагрегатных TI1 и восстановления входов измерительных систем.

2.Экспериментально подтверждено,что спектральные регуляри-зирующие алгоритмы на основе аппроксимации элементов собственного базиса теплицевой матрицы вещественным модифицированным синусным преобразованием повышают точность оценивания в 2-3 раза по сравнению с алгоритмами,использующими БПФ.

3.Приведено построение дискретных шкал сложности для субоптимальных алгоритмов двумерной и четырехмерной скользящей рекурсии. Даны рекомендации по экспериментальному определению параметров сложности алгоритмов и параметров регуляризации.

4.По результатам моделирования показана меньшая чувствительность замкнутых алгоритмов к погрешностям в задании оператора свертки по сравнению с эквивалентными разомкнутыми алгоритмами. Исследованы устойчивость и сходимость разработанных рекуррентных алгоритмов.

5.Практическое применение разработанных многомерно-матричных правил и алгоритмов оценивания позволило:

-построить спектральную модель многоагрегатного ТП мерсеризации целлюлозы в пространстве состояний;решить задачу идентификации спектральных характеристик модели при условии однотипности агрегатов;

-решить задачу компенсации аппаратных функций растровых спектрометров;

-решить задачу повышения оперативности и точности определения глубин по цифровой интерферограмме морского дна.

- 200 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена исследованию вопросов идентификации характеристик многоагрегатных ТП,а также компенсации аппаратурных искажений при измерении и контроле многоиндексных сигналов в АСУ ТП.Она является частью комплексной программы исследований по САПР АСУ ТП,проводимых на кафедре П-I МВТУ им. Н.Э.Баумана и кафедре АСУ РРТИ.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1.Проведен сравнительный анализ линейных задач с многоиндексными характеристиками и сигналами.Показана необходимость использования при проектировании алгоритмов оценивания многомерных матриц,обладающих структурными свойствами.

2.Разработаны правила агрегирования,декомпозиции,структурных преобразований многомерно-матричных выражений,на основе которых спектральная модель многоагрегатного ТП в пространстве состояний и модели многоиндексных операторов суперпозиции и свертки приведены к стандартной форме многомерно-матричного уравнения наблюдения относительно оцениваемых характеристик.

3.Задача линейного оценивания многоиндексных характеристик и массивов экспериментальных данных сформулирована как многомерная обратная задача.

4.На основе принципа сложности разработан устойчивый многомерно-матричный алгоритм нахождения технически корректного решения задач анализа и синтеза многообъектных систем управления.

5.Разработаны многомерно-матричные регуляризирующие алгоритмы решения многомерной обратной задачи.

6.Разработаны и исследованы оптимальные устойчивые алгоритмы одномерной и двумерной рекурсий,позволяющие замыкать решение многомерной обратной задачи по любому из индексов наблюдаемого и оцениваемого массивов.

7.Разработаны и исследованы спектральные алгоритмы решения многомерной обратной задачи,обеспечивающие пропорциональную сложность вычислений за счет аппроксимации собственных элементов многомерной теплицевой матрицы.

8.Предложены субоптимальные алгоритмы двумерной и четырехмерной скользящей рекурсии ограниченной сложности,позволяющие решать пространственно-неинвариантные,несепарабельные многомерные обратные задачи на ЭВМ малой и средней мощности.

9.Экспериментально подтверждена эффективность разработанных алгоритмов на модельных задачах,а также при решении практических задач оценивания многоиндексных характеристик и массивов данных.

Разработанные алгоритмы используются в виде алгоритмического и программного обеспечения:

-в автоматизированной системе управления многоагрегатным технологическим процессом мерсеризации целлюлозы на Рязанском заводе химического волокна с экономическим эффектом в 35 тыс.руб./год; -в автоматизированной системе управления и контроля процессами напыления при цифровой обработке растровых спектрограмм с экономическим эффектом 35 тыс.руб./год;

-в автоматизированной системе картографирования морского дна при обработке цифровых интерферограмм с экономическим эффектом 30 тыс.руб./год;

-в учебном процессе на кафедре АСУ РРТИ по курсу п Основы построения АСУидля специальности 0646.

1. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. - М.: Наука, 1977. - 233 с.

2. Ахмед Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М,: Связь, 1980. - 448 с.

3. Аведян Э.Д. Рекуррентный метод наименьших квадратов при коррелированных помехах. Автоматика и телемеханика, 1975, № 5, с.67-75.

4. Аведян Э.Д., Цыпкин Я,3. Обобщенный алгоритм Качмажа. -Автоматика и телемеханика, 1979, № I, с.72-78.

5. Ануркин А.А., Денисов А.Г., Кессельман JI.A. Проблемы автоматизации в аналитическом приборостроении. Электронная промышленность, 1983, № I0-II, с.114-116.

6. Аристархова А.А., Волков С.С., Толстогузов А.Б. Исследование поверхности твердых тел методом спектрометрии обратнорас-сеянных ионов низких энергий. Электронная промышленность, 1979, № I, с.41-44.

7. Баландин Ю.П. Псевдообращение многомерных матриц. -Алгоритмические методы и программирование в радиоэлектронике: Межвуз.сб. Рязань:РРТИ, 1979, с.128-132.

8. Баландин Ю.П. Оценивание симметрических матриц по многомерному методу наименьших квадратов. Обработка информации в автоматических системах: Межвуз.сб. - Рязань: РРТИ, 1980,с .146-149.

9. Баландин Ю.П., Бирюков В.Ф. Рекуррентные алгоритмы ограниченной сложности для устойчивого решения дискретного уравнения свертки. Математические методы оптимального управления и обработки данных: Межвуз.сб. - Рязань: РРТИ, 1983, с.3-9.

10. Баландин Ю.П., Бирюков В.Ф., Лабутин Г.И. Аппроксимация собственных базисов линейных операторов искажений при решении многомерных обратных задач измерительной техники. Автометрия, 1984, № 2, с.23-28.

11. Баландин Ю.П., Лабутин Г.И., Милов Л.Т. Декомпозицияи агрегирование алгоритмов линейной обработки многомерных массивов данных. Системы управления, передачи, преобразования и отображения информации: Межвуз.сб. .- Рязань:РРТИ, 1980, с.21-26.

12. Баландин Ю.П., Милов Л.Т. Многомерные линейные алгоритмы фильтрации при наличии ограничений на матрицу оптимально оценивавмых параметров. Управление. Передача, преобразование и отображение информации: Межвуэ.сб. - Рязань:РРТИ, 1976,вып.3,с.42-47.

13. Баландин Ю.П., Милов J1.T. Метод наименьших квадратов для многомерных массивов данных. Управление. Передача, преобразование и отображение информации: Межвуз.сб. - Рязань: РРТИ, 1977, вып.4, с.П-16.

14. Баландин Ю.П., Милов Л.Т. Многомерно-матричный подход . к задаче кусочно-постоянной аппроксимации многомерных дискретных функций. Системы управления, передачи, преобразования и отображения информации: Межвуэ.сб. - Рязань: РРТИ, 1978, вып.5,с.52-56.

15. Баландин Ю.П., Тетеркин В.Ф. Структурные преобразования многомерных массивов данных. Системы управления, передачи, преобразования и отображения информации: Межвуз.сб. - Рязань: РРТИ, 1981» с.83-87.

16. Баландин Ю.П., Туркин В.Е. Алгоритмы двумерной рекурсии при решении обратной задачи оценивания дискретных сигналов.

17. Системы управления, передачи, преобразования и отображения инфорi tмации: Межвуз.сб. Рязань: РРТИ, 1983, с.ИЗ-118.

18. Бакушинский А.Б. К проблеме построения линейных регуля-ризующих алгоритмов в Банаховых пространствах. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1973, т.13, № I,с.204-210.

19. Белман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976,352 с.

20. Бирюков В.Ф., Пилишкин В.Н. Повышение эффективности алгоритмических модулей при автоматизации проектирования управляющих устройств. Труды /МВТУ, 1984, № 407. - Автоматизированное проектирование систем управления. - с.59-66.

21. Бирюков В.Ф. О рациональном построении регуляризирующих алгоритмов при идентификации импульсных переходных функций. -Автоматика и телемеханика, 1972, № 8, с.171-173.

22. Бирюков В.Ф. К оптимизации систем при случайных воздействиях. Системы управления, передачи, преобразования и отображения информации: Межвуз.сб. - Рязань: РРТИ, 1981, с.8-12.

23. Блгомин С.А. К оценке состояний систем с многомерным параметром. Автоматика и телемеханика, 1978, № 10, с.44-47.

24. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов. М.: Сов.радио, 1979. - 270 с.

25. Велев К.Д. Сравнительный анализ адаптивных алгоритмов оценки параметров нестационарных объектов. Автоматика и телемеханика, 1975, № 8, с.40-48.

26. Виттих В.А., Сергеев В.В., Сойфер В.А, Обработка изображений в автоматизированных системах научных исследований. М.: Наука, 1982. - 215 с.

27. Воеводин В.В., Тыртышников Е.Е. Численные методы решения задач с матрицами типа теплицевых. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1981, т.21, № 3, с.531-543.

28. Воеводина С.Н. Решение систем уравнений с клеточно-теп-лицевыми матрицами. Сб.: Вычислительные методы и программирование. - М.: МГУ, 1975, вып.24, с.94-100.

29. Волков Е.Ф., Ершов Н.Н. Синтез асимптотически устойчивых многосвязных систем с заданной статистической точностью. -Автоматика и телемеханика, 1981, № 7, с.19-27.

30. Ворчик Б.Г. Идентификация объекта в стохастической замкнутой систем. Автоматика и телемеханика, 1975, № 4, с.32-48.

31. Воскобойников Ю.Е., Томпсонс fl.fi.Выбор параметра регул-ризации и ошибки восстановления входного сигнала в методе статистической регуляризации. Автометрия, 1975, № 4, с.10-19.

32. Гарбарчук В.И. Метод ослабления связности для моделирования сложных многосвязных систем. Тезисы доклада 1У Всесоюзного совещания по управлению многосвязными системами. - М., 1978, с.72-73.

33. Гинзбург С.А., Любарский Ю.Я. Функциональные преобразователи с аналогово-цифровым представлением информации. М.: Энергия, 1973. - 105 с.

34. Гласко В.Б., Кондорская Е.Е. 0 некоторых стабилизирующих по А.Н.Тихонову функционалах для многомерных некорректных задач.-Журнал Вычислительная математика и математическая физика, 1983, т.23, № 2, с.301-306.

35. Голд Б., Рейдер К. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов.радио, 1973. - 368 с.

36. Гольдин М.Л., Дорохов А.П., Дынькин Е.М. Дискретные решения уравнений типа свертки и математическая обработка резонансных, спектров. Журнал Вычислительная математика и математическая физика, 1978, т.21, № 3, с.685-695.

37. Гончарский А.В., Леонов А.С., Ягола А.Г. Конечноразност-ная аппроксимация линейных некорректных задач. Журнал Вычислительная математика и математическая физика, 1979, т.14, № I,с.15-24.

38. Гришин М.П., Курбанов П.М., Маркелов В.П. Автоматический ввод и обработка изображений на ЭВМ. М.: Энергия, 1976. - 258 с.

39. Грйщенко А.З. Автоматическое управление в производстве химических волокон. М.: Химия, 1975. - 381 с.

40. Грехем С. Радиоинтерферометр с синтезированной апертурой- 207 для картографирования. ТИИЭР, 1974, т.62, № 6, с.133-141.

41. Тулинский О.В. О численном решении некоторых некорректных задач теории управления. Автоматика и телемеханика, 1976, № 8, с. 60-79.

42. Д'Анжело Г. Линейные системы с переменными параметрами.-М.: Машиностроение, 1974. 287 с.

43. О погрешности определения рельефа поверхности методом двухдлинноволновой интерферометрии/ С.Т.Де., А.Г.Козачок., А.В. Логинов., М.П.Цапенко. Сб.: Голографические измерительные системы / Под редакцией А.Г. Козачка. - Новосибирск, 1976, с.31-40.

44. Дейч A.M. Методы идентификации динамических объектов. -М.: Энергия, 1979. 372 с.

45. Дмитриев А.Н., Егупов Н.Д. Спектрально-временной метод идентификации нестационарных линейных систем. В кн.: Методы идентификации в задачах измерительной техники и метрологии. Тезисы доклада на III Всесоюзном симпозиуме. - Новосибирск, 1982,с.157-159.

46. Джейн А.К. Успехи в области математических моделей для обработки изображений. ТИИЭР, 1981, т.69, № 5, с. 9-39.

47. Денисов А.Г., Машинский Ю.П. Энергетические анализаторы для электронной оже-спектроскопии. Электронная промышленность 1978, № II-12; с.69-73.

48. Дубенко Т.И, Фильтр Каймана для случайных полей. -Автоматика и телемеханика, 1972, № 12, с.37-40.

49. Жуковский Е.А. Статистическая регуляризация систем алгебраических уравнений. Журнал Вычислительная математика и математическая физика. - 1972, т.12, № I, с.185-191.

50. Жуковский Е.А., Липцер Р.Ш. 0 рекуррентном способе вычисления нормальных решений линейных алгебраических уравнений.-Журнал Вычислительная математика и математическая физика, 1972, т.12, № I, с.489-492.

51. Икрамов Х.Д. 0 некоторых приемах использования симметрии для понижения порядка линейных алгебраических задач. Журнал Вычислительная математика и математическая физика, 1981, т.21,3, с.769-772.

52. Кафаров В.В., Мешалкин В.П., Нгуен Саун Нгуен Алгоритмы компактного преобразования информационной структуры матриц математических моделей сложных технических систем. Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1980, № 3, с.32-41.

53. Каминскас. В., Нямура А. Статистические методы идентификации динамических систем. Вильнюс: МИНТИС, 1975 - 196 с.

54. Круг Т.К., Сосулин Ю.А., Фатуев В.А. Планирование экспериментов в задачах идентификации и экстраполяции. М.: Наука, 1977. - 208 с. .

55. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.

56. Лебедев Д.С., Трушкин А.В. Решение системы линейных уравнений с неполной циклической матрицей с помощью ДПФ. Журнал Вычислительная математика и математическая физика, 1979, т.19,5, с.1333-1336.

57. Лисковец О.А. Теория и методы решения некорректных задач. В кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ,-М., т.20,1982 , с.116-118,

58. Маркл Я. Ускорение сходимости алгоритмов Качмажа в случае временных корреляций процесса. Автоматика и телемеханика,1980, № 8, с.70-73.

59. Медведев Г.А., Хацкевич Г.А. 0 рекуррентных оценках по коррелированным наблюдениям. Автоматика и телемеханика, 1979, № 8, с.69-75.

60. Медведев Г.А.Адаптивное оценивание по реализации случайных процессов и полей. Автоматика и телемеханика, 1978, № 10, с.87-99.

61. Медич Дж. Статистические оптимальные линейные оценки управления. М.: Энергия, 1973. - 440 с.

62. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. М.: Мир, 1973. - 344 с.

63. Милов Л.Т. Многомерно-матричные производные при анализе чувствительности систем автоматического управления. Автоматика и телемеханика, 1979, № 9, с.15-25.

64. Милов JI.T., Александров В.В. Матричные методы при разработке алгоритмов многомерной параметрической идентификации.

65. Методы теории идентификации в задачах измерительной техники и метрологии: Тезисы доклада на Ш Всесоюзном симпозиуме. Новосибирск, 1982, с.11-12.

66. Милов JI.T., Баландин Ю.П., Кабанов А.Н. Синтез замкнутых оптимальных фильтров для определения параметров разложения сигналов при помехе типа белый шум. Известия вузов. Приборостроение, 1974, № 9, с.46-50.

67. Милов JI.T., Баландин Ю.П., Лабутин Г.И. Элементы линейной многомерно-матричной теории дискретных сигналов. Методыи средства преобразования сигналов: Тезисы докла I Всесоюзной конференции. Рига: Зинатне, 1978, с.134-137.

68. Милов Л.Т., Солодовников В.В. Спектральное представление линейных нестационарных систем в пространстве состояний. Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1979, № 5, с.182-188.- 210

69. Нахи Н.Е, Применение метода рекурсивной оценки в стохастической задаче улучшения качества изображений. ТИИЭР, 1972,т.60, № 7, с.145-153.

70. Обработка.изображений и цифровая фильтрация /Под редакцией Т.Хуанга. М.: Мир, 1979. - 318 с.

71. Округ А.И. Динамический алгоритм Качмажа. Автоматика и телемеханика, 1981, № I, с.41-53.

72. Пащенко К.К., Становова В.А. 0 тензорной стохастической аппроксимации и ее применении к задачам фильтрации, идентификации и распознания образов. Автометрия, 1974, № 5, с.19-27.

73. Перельман М.И. Оперативная идентификация объектов управления. М.: Энергоиздат, 1982. - 272 с.

74. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. М.: Мир, 1974. - 318 с.

75. Петров Б.Н., Теряев Е.Д., Шмариков Б.М. Условия параметрической идентификации управляемых объектов в разомкнутых и замкнутых системах. Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1977, № 2, с.169-175.

76. Поляк Б.Т. Сходимость и скорость сходимости итеративных стохастических алгоритмов. Автоматика и телемеханика, 1977,4, с.101-108.

77. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Адаптивные алгоритмы оценивания (Сходимость, оптимальность, стабильность). Автоматика и телемеханика, 1979, № 3, с.71-83.

78. Райбман Н.С. Ццентификация объектов управления (обзор).-Автоматика и телемеханика, 1979, № 6, с.80-93.

79. Савелова Т.И. О решении уравнений типа свертки с неточно заданным ядром методом регуляризации. Журнал Вычислительная математика и математическая физика, 1972, т.12, № I, с.212-217.

80. Савелова Т.Н., Тихомиров В.В. О решении интегральных уравнений 1-го рода типа свертки в многомерном случае. Журнал Вычислительная математика и математическая физика, 1973, т.13, № 3, с.555-563.

81. Серегина Н.И., Солопченко Г.Н. Простой регуляризирующий метод компенсации влияния аппаратной функции на результат измерений. Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1984, № 2, с.166-178.

82. Сейдж Э., Мелса Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. М.: Связь, 1976. - 496 с.

83. Соболев О.С. Однотипные связные системы регулирования.-М.: Энергия, 1973. 135 с.

84. Солодовников В.В. Об автоматизации проектирования систем АУТП. Известия вузов. Приборостроение, 1977, № 10, с.24-34.

85. Солодовников В.В. Автоматизированный синтез систем управления. Труды /МВТУ, 1984, № 407. - Автоматизированное проектирование систем управления. - с.2-27.

86. Солодовников В.В., Бирюков В.Ф., Тумаркин В.И. Принцип сложности в теории управления. М.: Наука, 1977. - 344 с.

87. Солодовников В.В., Бирюков В.Ф. О проблеме некорректности в теории управления и методах ее решения. В кн.: Опыт создания и внедрения автоматизированных и автоматических систем управления технологическими процессами. - Фрунзе, 1979, с.3-10.

88. Солодовников В.В., Зверев В.Ю. Принятие решения на расширенных множествах и принцип сложности. Труды /МВТУ, 1981,360, Системы автоматического управления. - с.5-14.

89. Солодовников В.В., Семенов В.В. Спектральная теория нестационарных систем управления. М.; Наука, 1974. - 336 с.

90. Тарасов К.И. Спектральные приборы. Л.: Машиностроение, 1977. - 367 с.

91. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. - 223 с.

92. Трауб Дж., Вожняковский X. Общая теория оптимальных алгоритмов: пер. с англ. М.: Мир, 1983. - 382 с.

93. Тыртышников Е.Е. О некоторых задачах, связанных с теплице выми матрицами. В кн.: Численный анализ на Фортране. Методы и алгоритмы. - М.: Изд-во МГУ, 1979, с. I05-II3.

94. Тгоарсон Р. Разряженные матрицы. М.: Мир, 1977. - 231 с.

95. Ушаков A.M. Автоматическая обработка интерферограмм. -В кн.: Цифровая обработка сигналов и ее применение. М.: Наука, 1981, с.99-125.

96. Форсайт Ж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 279 с.

97. Хант Б.Р. Цифровая обработка изображений. ТИИЭР, 1975, т.63, № 4, с.177-195.

98. Худсон Д. Статистика для физиков. М.: Мир, 1970. -296 с.

99. Хабиби А. Двумерная байесовская оценка изображений. -В кн.: Обработка изображений при помощи цифровых вычислительных машин. М.: Мир, 1973, с.182-189.

100. Цыпкин Я.З. Адаптация и обучение в автоматических системах. М.: Наука, 1968, - 400 с.

101. Шаффер Р.У., Мерсеро P.M., Ричарде М.А. Итерационные алгоритмы восстановления сигналов при наличии ограничений.- 213

102. ТИИЭР, 1981, т.69, № 4, с.34-55.

103. Эндрюс Г. Применение вычислительных машин при обработке изображений. М.: Энергия, 1977. - 161 с.

104. Ю7.Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. -М.: Мир, 1975. 684 с.

105. Юсупов P.M. Элементы теории идентификации технических объектов. М.: Министерство обороны СССР, 1974. - 202 с.

106. Янушевский Р.Т. Теория линейных многосвязных систем управления. М.: Наука, 1973. - 464 с.

107. ПО. Ярославский Л.П., Фаянс A.M. Исследование возможностей обработки и анализа интерферограмм на ЦВМ. Иконика. Цифровая голография. Обработка изображений :Сб.статей/Под редакцией Д.С.Лебедева. М.: Мысль, 1975, с.21-32.

108. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. М.: Сов.радио, 1979. - 312 с.

109. П4. EkCundh J.O. A fast computer method for matrix transposing.-IEEE Trans, onComput ,19?2, V. 21, 146, p. 801-803.

110. Exstrom M.P. An Iterative implement approach the numerical! soCatlon of vector Toepfttz Systems.- IEEE Trans, on Comput, 19?$, v.23, rt3,p.320-325.

111. Hant B.R. Minimizing the computation time for using the techniyie of sectioning far digitoC Jittering of picture. IEEE Trans, on Comput. f ig?2, v.21, hH1,p.

112. Hant B.R. Atheorem on the difficulty of numerical deconvoCution. IEEE Trans. on Automat. Control, 19?2, v. 20, |y|3, p. 94-95.

113. On comput., 19??, v. 26, ri 11, p. 1061- 1071.

114. Katayma T., Kosaka M. Recursive filteringaCcjoritftm for a twO'diminCsionaC sy stem.-IEEE Ъчшъ. on Automat. Control 19?9,v.24, aI1 , p. «0-132.

115. MendeCS. M. Multistage feast-squares parameter estimators. -IEEE trans, on Automat. Coutr., 19?5,v.23, N12, p.??5-?82.

116. Nlafil N.E., franco?.A. Recursive enhancement vector processing.-IEEETrans.on Communs, 1973, v.21, rJ 2, p. 305-311.

117. Pratt W.K. Vector space formulation of Two-BlmenslonaP slgnaP processing operations.- Computer Srapblcs and image processing, 19?5, d4, p. 1-24.

118. Qulncj,ueton 1, BertfiodM. кЬсиЩ adaptive Peano scanning afyoritfim.-IEEE Trans. PAMI,1981, . v.3, rt'4, p. 441- 445.

119. RoeSuck R.A., Bornet S. A survey of Toep'fcts and related rnatrtses.- Inf. 3. Sterns ScL, 1978, v.9, rsl 8, p. 921- 934.

120. RoesserR.P. A discrete state-space modeC for Cm ear Image Processing . trans. Automat. Controe, 1975, v. 20, кМ, p.i -10.

121. Shien L.S., Yennij C.K., Meinnis B.S. Solution o$ state-space -equations via №ek LmpuCce junctions.-Int. 3. Control 1978, v. 28, i\l3, p. 383-392.

122. Wong E. Recursive filtering and detection £or two-dlmenslonaC random fie EdsLecture Notes In Econom. and Syst., 1975, v. 10?, K6, p. 20?-2\?.

123. VlpP. , RqoK.R. On the computation and effectiveness of discrete sine transj-orm.-Comput. and Eeec. Eng., 1980, v.7, isM, p.45-55.

124. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРВДЕНИЙ

125. П1.I. Доказательство утверждения 2.1Л. Агрегирование исходного выражения

126. Y^(p?q,) = Aj>Cp,e)B<r(€,(),) Ш1.1)проведем согласно 16 1так, чтобы в результате мультииндексы расположились следующим образом1} ECp,p)0f.[AfCp,OB(r(e,t),)] (П1.2)

127. Агрегирование выполняется последовательно сначала для мультииндекса , а затем для мультииндекса р

128. YrCp+nf9).rECp,p)ef.Aj>(p,C).Be.C^). « А(р+>*,О ВсгСе,^).

129. Y(s+p+r,cj,)= Z ^Аср+г,е) ВсгСе,^) СП1"3)

130. Для этого вьфажения запишем эквивалентное преобразование с тем, чтобы мультистолбец сг непосредственно взаимодействовал с агрегируемым блоком В<гС£,

131. Пользуясь правилами переноса мультииндекса с через А(р+г?В) 67 Зс заменой свернутого умножения на кронекеровское, получим:

132. Y ( S+р+г, tp= Г г ® г <g> А (р♦ Г, Е). [ Ц: * Все, (р = [ ® A(p+r,E)] BU+e,tp1. П1.4)

133. Декомпозиция выражения П1.4 к П1Л проводится применением операции П1.2 в обратном порядке.

134. Результат агрегирования в виде Y(2+pt$,q,)может быть получен аналогично предьщущему последовательным агрегированием сначала по мультииндексу (Г , а затем по мультииндексу f .

135. П1.2. Доказательство отвержения 2.1.2.

136. Для доказательства матрицы сомножители с индексами в выражении

137. Подставляя полученные выражения в (П1.5) и группируя сомножители по правилу изменения порядка сомножителей в произведении

138. Y(r+p,ip = AO,s + m) Z5L<S>oL®I>Cm+p7e).B(s+e,q,)

139. Откуда окончательно получим (2.4).

140. Декомпозиция (2.4 ) представляет собой последовательность преобразований с обратным порядком действий. Утверждение доказано.

141. П1.3. Доказательство утверждения 2.1.3.

142. Преобразование над (2.9 ) с использованием правил агрегирования многомерных матриц по нестаршим индексам 14. приводят к выражению

143. Y(r+p,cv) = I А«.(г-,т)В(т+р-е) B^q,)1. П1.5)распишем отдельно как результат декомпозиции

144. А (гО, = А (г,S + т) г ; B<r(f, Ц) = <ГB(s+ е, ср70 .запишем1. ЛС^+р, ® В(т +е,п+£>)

145. Результат агрегирования (2.12) получается из предыдущего структурным преобразованием:

146. YCr+m+p+e?$th+q,t6)eE(K',h)<g)C(m+p,ptfr7). •

147. W+p+m+t, b+t^+n+6) Etb,S) ® Cty+n,n+<p.

148. Обратная операция над Y(r+ptmt£?S+^n+6) производится по формуле декомпозиции многомерной матрицы по нестаршим индексам l4.путем умножения на мультиорты:

149. Арг(Р><0®Вя(е,6) = Е(рf [A(r+p,s+(p <g) B(m + £,n+ 6).• (гСЕСф,^)®^.1. Утверждение доказано.

150. П1.4.Доказательство утверждения 2.1.4.

151. Пользуясь формулой преобразования смешанного произведения 170.перейдем от (2.16) к выражению

152. Сагрегируем теперь свернутые сомножители по нестаршим индексам

153. Y(P+1, ^ ь) = руСр, 9) feo^f .Е(^)® f ] [E(^)®B^(es)].

154. После преобразования окончательно придем к (2.16).

155. Второй вариант агрегирования (2.17) осуществляется проведением над матрицей А(р,^)структурного преобразования 19.:

156. A(p?<v+r)=E(p,r+p+r) А(г+р,ф)и применим правила преобразования смешанного произведения.

157. Декомпозиция (2.16) ( 2.17)( 2.14) предполагает выполнение предыдущих действий в обратном порядке. Утверждение доказано.

158. П1.5. Доказательство утверждений 2.2.3, 2.2.4.

159. Выполним над обеими частями ( 2.34 ) структурное преобразование, состоящее в умножении левой и правой части на структурный преобразователь Е Cm -t-r m + r ,0) 19! .

160. В результате ( 2.34) преобразуется к (2.35). Утверждение 2.2.3 доказано.

161. Для преобразования ( 2.36 ) к ( 2.37 ) необходимо умножить ( 2.36 ) слева на структурный преобразователь С+г+г) а справа на структурный преобразователь ECm-t-r +■ т+г ,0) Утверждение доказано.

162. П1.6. Доказательство утверждения 2.2.5.

163. Для доказательства выполним декомпозицию (2.38 ) по мультииндексу зи . Выделенный блок будет иметь вид

164. Выделим в полученном соотношении два сомножителяи применим затем структурное преобразование, изменяющее порядок следования мультииндексов строчной группы у первого сомножителя и столбцовой группы у второго сомножителя

165. Используя правило перестановки сомножителей в смешанном произведении (2.30) t приведем последнее выражение к виду1. B(q,+ (),,m)=ZCe,m)

166. Далее проводится декомпозиция по мультииндексу jx-Hj.Ce.o)

167. К полученному выражению применим операцию девекторизации t ^7 J

168. АлСе?и) XR0),, 0) = 2^(6,(0

169. После агрегирования матриц В^ц (И, (р и по мультииндексу ju в младшие столбцовые получим

170. АлСе,Ю B(r+m,q,) ХлС%0)=£(е + т,0)

171. Последним шагом доказательства будет агрегирование по мультииндексу £ . Блоки Ал(8,г) агрегируются в строку А р^ блоки Хл Сф? 0) агрегируются в столбец

172. АС е,р+гЛ LE(p,p)<S) В(г+гг7,ф).Х(р+ф,о)=£С^^,0)1. Утверждение доказано.

173. П1.7. Доказательство утверждений 2.2.6, 2.2.7

174. Для доказательства утверждения 2.2.6 запишем для ( 2.40) эквивалентное преобразование

175. А (р, Е ) ® Е (Г, г). X Ср+г, <* + s) В О*, m) <g) E(s, s) ] = 2 О г, т+s) Над полученным выражением проведем векторизацию по правилу ( 2.39) с учетом полного сворачивания сомножителей, что приводит к (2.41).

176. Доказательство утверждения 2.2.7 полностью аналогично предыдущему, но с другим порядком сомножителей в квадратных скобках ( 2.42). Утверждения доказаны.