автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Автоматизация решения на ЭВМ уравнений математической физики с применением полиномиальных методов

РГ6 ОЛ

1 1\ 111011 №93

КАЗАХСКИЙ ГОСЗДОРСТВЕПИЕИ ЙЙЦИОНЯЛЬНКИ . УНИВЕРСИТЕТ км. ЙЛЬ-ФАРЙЗИ

На правах рукописи

кзчкаров нимаппи япп:пг;:вкч

АВТОМТИЗЙЦИЯ РЕШЕНИЯ ПЛ ЗЗЙ УРАВНЕНИИ ШШШЕСКОЕ ФИЗИКИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПОШШШЬШ МЕТОДОВ

05.13.16-Прикенение вычислительно,! техншш, математического моделирования я математических кечодоз в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алматы - 1993

Диссертация выполнена в Узбекском научно-производственном

объединении "Кибернетика" АН Республики Узбекистан V •

' ' Научный руководитель-: заслуаенкнй деятель науки Республики Узбекистан, член-корреспондент АН-Республики Узбекистан, доктор физико-математических наук, профессор Ф.Б.Йбуталиев.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессо В.В.ВеселоБ.

кандидат физико-математических наук, ст.н.сотр. И.И.Изиайлоз.

Ведущая организация - Институт автоматики АН

Республики Кыргызстан

Защита-диссертации состоится_______19ЭЗ г.

в_"£Р__час на заседании специализированного совета К.058.01.16

при Казахской Государственном Национальном университете им. Аль-Фараби по адресу: 480012, г.Алматы .ул.Масанчи 39,47 ау

С диссертацией ыояно ознакомиться в библиотеке КазГНУ

Отзыва автореферат высылать по адресу: г. Алматы, ул. Тими рязева 46, Казахский Государственный Национальная университет им Аль-Фараби. Ученому- секретарю. ■ '

Автореферат разослан"МЛрААЯ- 1993 г.

Учений секретарь

специализированного совета кандидат ц физико-математических наук, доцент гЬ(гС6<1<С\ СД-Нысанбаева

- 3 -

(ЩйЯ ХЯРРКТЕРКСТККй РР.БОТН

•П

• йктуальность теки. Изучение интегральных дразнений качалось узе в первой полозине XIX в. Примерами могу: слунить формулы обращения Оцрье и уравнение Абеля.Однако, общая теооия линейных интегральных дразнений была построена лияь ка рубезе Х1Х-ХХ зз. з основном з работах Зито Вольтерра, 1!вара Оредголька и Дазида Гильберта.

Существует достаточное количество процессов различной ■природы, для математического моделирования которых эффективно испсльзуптся интегральные уразнекия. Это обусловлено такими факторами, как кевозконность описания этих процессоз другими уравнениями, необходимость снивения размерности при реиении некоторых зздзч и возможность компактной формулировки граничных задач математической физики. ' ..

Существует мнозестзо методоз решения интегральных уравнений Оредгольиа. К ним относятся методы последовательных приближений (последовательные приближения выраяавтся через итерированные ядра), кзадратуркнх формул (задача сводится к ревенив систем линейных алгебраических уравнений), преобразование Оурье, осреднения функциональных поправок ( обобщенный алгоритм простой итерации для 'линейных и нелинейных интегральных уравнений), йъвтона,- Зйткена-Стеффенсена" I для ускорения сходимости итерационных процессоз), наименьших кзадратоз, - конентоз, кол-локации (задача сводится к релению систем линейных алгебраических уравнений), Рит-ца, Коллега . С сзодится к отыскании характеристических чисел) и др.. .,

Ра^зитие численных методоз • пркзело к -создания нового мощного средства научного исследования. Во многих случаях-численные решения ■ становятся^ не только способом получения ' количественных характеристик, но • и методом установления закономерностей изучаемого процесса. Например, ?На базе той или иной физической модели, охватывающей оснозные стороны процессу, можно получить соответствующие математические. мгдели/В виде некоторой системы уравнений, которая решается численными методами, с применением ЭВМ.

••'Таким образом, результативными методами научного исследования' являются математическое моделирование и вычислительный

- 4 -

■ • с-

эксперимент. По сравнении "с натурным, численный эксперимент, проводимый на вычислительных мавинах, экономически существенно девевле. а в некоторых случаях является единственным инструментом исследования.

Использование вачислительного эксперимента целесообразно при численном ревении многомерных интегральных уравнений, в которых использование функции Грина (функции влияния) позволяет переходить от однородных краевых задач к эквивалентным уравнениям. Использование интегральных уравнений Фредгольма при ревении краевых задач имеет естественное обоснование, так как они связывают мевду собой заданные и искомые функции на конечном интервале, а с другой стороны, известно, что дифференциальные уравнения определяют связь в бесконечно малом интервале и требуют подчинения краевым условиям.

Этого достаточно, чтобы сделать оправданным применение интегральных уравнений для описания и анализа исследуемых процессов. При этом очевидна актуальность разработки методов автоматизации моделирования этих процессов с помокьв интегральных уравнений, л такве методов численной реализации математических моделей на ЗВМ.

Настоящая работа посвяцена теоретическому и численному исследовании методов приблияения функций мнэгих переменных и автоматизации ревения на ЭВМ многомерных интегральных уравнений Фредгольма с применением полиномиальных методов, а такве методам ревения больвих систем линейных алгебраических уравнений.

Цель работы. Исследования и анализ методов приближения функций -многих переменных с учетом особенностей реализации алгоритмов на ЭВМ с .ограниченной разрядность*). памятью и быстродействием, разработка эффективных методов, алгоритмов и создание пакета прикладных программ, с помощью которого возмовно решение многомерных интегральных уравнений Фредгольма различных родов.

Приступить к ревению этих проблем стало возможным благодаря появлению современных ЭВМ, обладавших значительной оперативной * вневней памятью.

Ваучная новизна.

- Предлоаен новый подход к решении многокерных интегральных уравнений Фредгольма с помощьв полиномов Бернштейна на основе »8года наименьших квадратов.

- Разработан и реализован на ЗВЙ алгоритм приблиаения яногоиерной функции, удовлетворяющей иктегральному уравнению Фредгольма.

- Построены и исследованы координатные систены функций-с заданными свойствами в многомерной области.

- Разработан и реализован на ЭВМ алгоритм приблиаения многомерной функции с заданной точностью кногоиерными полинока-ми Бернштейна.

- Разработан и реализован на ЭВМ алгоритм решения больпих систем линейных алгебраических уравнений с использованием внешней памяти ЭВМ.

- Исследованы и доказана некоторые свойства многомерных ядер полиномов Бернштейна.

- Доказано, что коэффициента системы линейных алгебраических уравнений, порождаемой применение» данного метода, вычисляются в квадратурах и созданы эффективные вычислительные схемы для их фодмирования.

- Разработан эвристический подход к определению параметра релаксации J при решении больших систем линейных алгебраических уравнений с симметричной матрицей групповым методом Гаусса - Зейделя с последующей релаксацией, который позволяет ускорить сходимость итерационного.процесса.

- Доказана вычислительная устойчивость предлояенногс) метода • эеиения больвих систем*линейных алгебраических уравнений.

- Проведены исследования сходимости и устойчивости реиений.

- Создан"- программный комплекс FRED для автоматизации »евения на. ЭВМ многомерных интегральных уравнемй Фредгольма

помощью многомерных полиномов Бернвтейна" и проведена шсленные эксперименты. -

- Программный комплекс FRED апробирован и сдан в'фокд [лгоритмов и программ ИК с ВЦ НПО - КИБЕРНЕТИКА " АН РЭз.

'рантическая значимость полдчениих результатов.

Разработанные численные метода, а такае алгоритмические и

программные средства вегдаауэд ja совреке.чккх ЭВМ ксгут быть использованы при математической коделирозании и прозедении вычислительных экспериментов длд ¡¡¡^следования физических-процессов различной природу,. ощ:сузаекдас многомерными интегральными уравнениями, и редещде щтцогр круга конкретных задач, связанных с этики■пдоцессаии. Ответим линь некоторые кз них: задачи о собственнщ колебаниях крыла самолета, об определении кр!15"рчес^ скорости вра«аюцегося вала, о винукденних колебаниях ца^тнука, задача спектроскопии, обратная задача гравинетриу, сштез антенны, и ps-д других.

{¡лробация работу. Представленные в диссертации результата докладывались на I республиканской конференции "Методологические и прикладные аспект« автоматизированного проектирования" (г. Таикент, 1981. f. >л н.а научных семинарах "К с ВЦ НПО " КИБЕРНЕТИКА " Ш Р9з Ст. Тедкднт,. 1982, 1986, 1992 г.г.). на Ulli всесоюзном семинаре во., ^ощлексам программ математической Физики Сг. Таикект, 1984 г^,. на республиканской конференции "Методологические' и г,рикладЩ№ аедекты систек автоматизированного проектирования и управление в отраслях народного хозяйства" С г. Тавкент, 1985 г.), на научном семинаре "Кетодд Монте-Карло" ВЦ СО АН СССР С г. Новосибирск, 138.7 г.), на об^г^мн-ком семинаре НГЗ и БЦ СО АН СССР ( г. Новосибирск» на объединенной семинаре кафедр зисией и вычислительной математики ТЗИС ( г. Ташкент, 1986. 1992 г.г.),

•Публикации. Основные результаты исследований по теме диссертаций изловены в вести научных статьях, опубликованных в открытой печати.

Структцра и объем«работы. Диссертация состоит из введения трех глав, заключения и прилокения. Б конце работы приводится список цитируемой литературы из 56 наименований. Общий объем работы составляет 83 страниц машинописного текста, вклвчая 4 рисунков и 4 таблицы.

- 7 -

-'СНСППОЕ СОДЕРЖАНИЕ РЯБОТа

Зо введении обосковызается актуальность выбранного направления исследований, предстазлен краткий обзор существующих аналитических и численных иетода&^оваениа интегральных уравн'енйа; Дан'о краткое содераание¿р^Щ^ьтато в диссертации. ' '

. Б глазе I приводится постановка задачи ревекия нногояерннх интегральных уравнений Фредгольма и условия существования й единственности решения. ИссйеДуится нетоды приближения функций аксгих переменных. Доказаны некотора» свойства сйстеаы ядер многомерного полинойЗ!Бернйтейна.

Для ревенйя сйстея линейных алгебраических уравнений предлагается нёт'од групповой' релаксации. Параметр релаксации зачисляется с пойочьа предложенной наай эвристической процедуры.

Следует отйзт'йть, что область принеазнйя предлозекного ¡етода ранения систем линейных алгебраических уравнений больших шмерностей выходит далёко за рааки исследований по теме дис-:ертации. Ибо проблема решёнйя больших линейных систем-далеко ¡е тривиальна и возникает во йногйх ¿¿следованиях, где [рименяется численное моделирование.

- В последнее время интенсивно раззйзйштся оды прйблийекия дикций йногйх переменных и азтока'йзацйй рейёнйя на ЗЗН равненйй ШШ!йЧеской фйзййй. Зф'фёйтйзность йэтоййз репёнйя тих эайаЧ ойрёДеляё*ся налйЧйбя сШёететвуЩйх алгбрйтйоз и ро"грайй> создание которых прейстааййет тфудоёйкйй процесс, собеннне трудности возникай* прй &'е®зййй йногЬйёрйых задач. То связано с ограничением на ресурсы ЭВМ.

Б работе предлагается а?.Гб§й*а пйстроекйя йяогййёрного пйроксйнационного полинома Бе^Ий^ейна дла задаййой' йнЬГойерноЙ дикции. ' Разработан алго&кта ^ёйёнйя ййогоне&н'ах ШёРральнкх разйений Фредгольйй с йЬяойЬй нногойё&ни* ШЙнойо'з Бёршзтейна; пЬёдены форйуЛн'йЛя В&Чйсления-кбэффйцйентЭв сйстёйы лйнейных игёбрйическйх у&аГнеййй> подучавйсЙ прй аппроксимаций ' йбнентов йй'*ёграЛЬяого уравкёййя с поаощью йногойерннх злиномов БёрййтейнА, Дойаэанд» что онй вйчйсляйтся в квад-йурах й ссщайы эффзйШйыз внчислйтёльныё - схеан дЛя их ' >рнирования.

• - - . - 8 -8 основе теории приблинения функций действительного пере-•'мeннoгю, леяит теорема К.Вейеритрасса, которая утверждает, что для любой непрерывной на [а.Ь] функции Г(х) существует последовательность обыкновенных многочленов. равномерно' сходящаяся на [а,Ы к Г(х).

-•■•■.■■ Рассмотрим многомерный аппроксимационный полином Бернитейна для функции многих переменных. Пусть Г(х)=Г(х1,ха,...,хп) -

заданная в области _

6" = еа{х: ае< Ь^.Ы.п ) непрерывная функция от п переменных. Определение. Многочлен вида

м

ЪМ'Х.) - 5" ( г" П (Г01 + Х: УЧ - *

называвТ£Я аппроксимационныы п-мерным полиномом Бернштейна порядка И для заданной функции Кх), где Н = (М^М^,..,Ма)-вектор индекс, компоненты которого состоят из степеней аппроксикационного. полинома Бернитейна по . координатам, £ ^ С..,кп) - вектор индекс, ^Д- . , "а. ги

к=о ц.о ■

% 51 "м» ' у " ) - значение функции

1(х) в узлах равномерной сетки, Сй- многомерные сочетания, вычисляемые' как произведения ."соответствующих одномерных

сочетаний из И .^лемёнтов по' К по формуле

_ » •

• Л е-

С- - П с

- ОпределениеВыражение

- многомерная сумка.

называется п-мерным ядром полинома Бернвтейна порядка й.

п-нерное ядро полинома Бернатейна представляется б видз произведения соответствующих одномерных ядер

Применение многомерных интегральных уравнений для моделирования многих процессов зачастую является одним из наиболее эффективных методов исследования. Однако зозмояности аппарата интегральных уравнений используются далеко не полностью. Одной из причин этого является, на нав взгляд, несколько более позднее развитие методов их ренения по сравнении с другими разделами математики.

Появление новых численных методов и развитие средств вычислительной техники все бользе расаирявт бистро развивающуюся область применения интегральных уравнений.. Подтверндением этого факта являются результата моделирования слоанах процессов с помощью интегральных уравнений первого рода, относящихся к классу некорректных задач.

Рассмотрим п-нерное интегральное уравнение Фредгольма первого и второго родов

где Пх) - заданная в области _

Бл = &а(х: а^< хс< ^,1 = 1,11 } непрерывная функция от п независимых переменных. В отличие от этого ядро К(х,Т ) - заданная в области.

а1" = САП{Х,Т :. а.< Х.К,Т1< ьг.1=1.п } функция от 2п' независимых переменных.

Пусть требуется решить уравнение (1). где

Г(х> е 1^(6"). и К(х,т ) е Ь^се4") или имеет разрывы при условии .

п

(1)

X

С < о« •

Решение интегрального уравнения (1) будем искать в пространстве функций интегрируемых с квадратом."

Тогда решение уравнения "(I) определяется в результате решения задачи

|

б"

и

После этого можно предположить, что на некотором иЛС Сп У = У.

В теории численных методов полезна разработка общих построений. Однако недостаточно доказать существование решения и предлоаить численнув схему его получения. Необходимо чтобы процесс получения приближенного решения не требовал болыаих затрат времени и памяти ЗВМ. Успешное преодоление этих проблем в значительной степени зависит от выбора координатных систем

■Рассмотрим п-мерное линейное интегральное уравнение (1). Через обозначим пространство непрерывных "функций,

интегрируемых с квадратом и допускающих полиномиальное разлояе-ние по Бернштейну.

Пусть ГСх)б1.®(&")' и КСх,?.)£ Кроме того предполоЕим, что решение, интегрального уравнения Ш существует и У(х)£ Ь^се").

Ядро^СхД) и правую часть 1(х) уравнения (1) аппроксимируем многомерными полиномами Бернштейна В^;х;у ) и В^ауХУ соответственно. При этом решение уравнения (1) ищется в _виде п-мерного полинома Бернштейна порядка

НУ «а\,тл.....тп) . . ,

УШ = 8,-(*-,*) .

_ _Реюекие поставленной задачи состоит в вычислении Уг , к= 0.....МУ значений функции Ус 1с) в узлах равноме"рн*ой сетки.

Искомые значения У определяются в метрике пространства L-C6, методом наименьших квадратоз /'

Используя свойства кратных сумм, многократных интегралов, многомерных сочетаний и многомерных ядер, нами выведены формулы вычисления коэффициентов системы уравнений, порождаемой применением метода наименьших квадратоз.

В главе 2 приводится алгоритм решения многомерных интегральных уравнений ©редгольма на основе многомерных полиномов Бернштейна. Рассматривается.организационные вопросы программной реализации предлоаенного алгоритма при заданных ограничениях на ресурсы и быстродействие ЗВМ.

Исследуется устойчивость вычислительного процесса. Разработан алгоритм для вычисления интегралов всевозмояных произведений ядер полиномов Бернштейна по многомерной области Gn. Согласно разработанному алгоритму такие интегралы вычисляются ■ за п ( размерность решаемой задачи) операций умноаения. В результате зтого существенно сокращается число арифметических операции и решение поставленной задачи становится достиаимым в смысле времени счета. Рассматривания вопросы организации вычислений, эффективного использования -оперативной и внешней 'памяти ЗВМ и обмена информации меаду ними. Излагается алгоритм функционирования программного комплекса FRED решения многомерных интегральных уравнений Фредгольма с применением полиномиальных методов.

; Алгоритмы приблиаения функции многих переменных является одними из наиболее слояных задач вычислительной математики. Причиной этому являются сложности с выбором базиса, большое количество неизвестных параметров и, как следствие, неустойчивость вычислительного процесса из-за ограниченной разрядности вычислительных средств. Кроме того, возникают трудности размещения информации в памяти,ЭВМ а такке достижение приемлемого Времени счета.- Поэтому решение этих вопросов следует рассматривать с позиции создания реализуемых на ЗВМ методов. Одной из возникающих при этом проблем является правильное размещение информации в оперативной' и вневней памяти ЭВМ. Поэтому при оценке времени счета'эти факторы часто становятся преобладающими и следовательно влияют на выбор алгоритма.

Решение задачи (1) состоит из двух этапов-. • На перво производится аппроксикация ядра К(хЛ) и правой части f(x уравнения'(i) полиномами Бернштейна с заданной точностьв. Пр этой формула вычисления значения аппроксимируемой функци оформляется в виде подпрограммы-Функции. Далее вычисляете относительная погрешность аппроксимации.Если она меньше напере заданного числа 6 , то точность аппроксимации соответствующе Функции с помощью n-мерного полинома Бернштейна порядка считается достигнутой. В противном случае степень полином Бернштейна увеличивается на единицу по той координате, п которой имеет место максимальная относительная погрешность Выиеизлоненная процедура.повторяется до тех пор, пока не буде достигнута заданная точность.

После аппроксимации ядра КСхл) и правой части fix интегрального уравнения СП полиномами Бернштейна производите; запуск программного комплекса FRED - решения многомерны; интегральных уравнений Фредголъма. Программный комплекс производит аппроксимацию решения У(х) многомерным полиномо! Бернштейна с заданной-точностью £ ".

Нспешная реализация алгоритма решения задачи (i) такж зависит от способе вычисления коэффициентов системы линейны) алгебраических уравнений. Их непосредственное вычисление не реально в смысле времени счета. Эта трудность монет бып преодолена, если многократные интегралы от всевозможны? произведений ядер полиномов Бернштейна при аппроксимации К(хЛ) , f(x) , УШ, вычислить однократно и хранить в оперативной памяти ЭВМ. Но в > этом случае реализация алгоритма услояняется и?-зз ограниченности оперативной памяти ЗВй. Поэтому необходимо разработать алгоритм перераспределения информации между оперативной и внешней памятью ЭВМ, реализация которого даст речение поставленной задачи в приемлемое время при заданной оперативной памяти ЭВМ.

В главе 3 приведена инструкция к программному комплексу FRED и даются краткие характеристики отдельных функциональных модулей. Рассматриваются численные решения интегральных уравнений Фредгольма.различных ро»ов и размерностей с. помощью созданного программного комплекса FRED, а такае иллюстрируются на многочисленных примерах преимущества предлоиенного метода

биения систем линейных алгебраических уравнений больших 13ме[)ностей по сравнению с известными.

Известно, что численному эксперименту предшествует дли-льный путь - от общей идеи до реализации на ЭВН;-лрограммы.

и этом даяе оптимальная реализация кзкдого зтзпз?!'й£ всегда

> / t.,

тимизирует процесс проведения вычислительного эксперимента целом. Например, удачный выбор координатной системы, мояет труднить сходимость итерационной схемы, уменьшение слоаности ограммы обычно приводит к увеличению необходимой оперативной мяти, услоанение алгоритма увеличивает время его реализации ЗБМ и т.д. В связи с этим в данной главе рассмотрен не пько целиком программный комплекс FRED . но и возможности ильных его функциональных модулей, апробированных при числен-< решении интегральных уравнений Фредгольма различных родов и »мерностей. Все эксперименты проводились на реальных данных, полученные на ЭВМ численные результаты там, где это было ¡можно оценены путем сравнения с известным точным решениям. В качестве иллюстрации приведем несколько примеров.

1.Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма

о о

ение этого уравнения будем искать в виде двумерного полинома нштейна со степенями аппроксимации по координатам = 5, = 5 соответственно. Решение этого уравнения сводится R енив системы линейных алгебраических уравнений 36 порядка.

- *.

2. Рассмотрим трехмерное интегральное уравнение Фредгольма

+ i is (3xi-yi +2s)l(tyat тЫ*<Ы7*=

9 t> О • . ' * ' ?

* . -+U Ч

жие будем искать в виде трехмерного шунпгона Бернтатейна со 1енями аппроксимации по координатам = .3, пл = 3; п3 = 3 ■ветственно. Решение этого уравнения сводится .к решений емы линейных алгебраических уравнений 64 порядка;

- 14 •3. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгояьне

о 4 ...

Его решение будем искать в виде двукзрного полинома БернитеЯка со степенями аппроксимации по координатам п^. =8, =8 соотзет-• ственно. Решение этого уравнения сводится к решении система линейных алгебраических уравнений 31 порядка.

о

4. Рассмотрим задачу 2 прй п» =8, =8, пд =5 Е" результате задача сзедется к реиенив системы линейках алгебраических уравнений 729 пс^дка.

Результаты сравнения скорости сходимости, в итерациях предлагаемого в реферируемой работе метода по сравнении с известными сведены в следукздв таблицу.

1 1 I Номер | ! задачи 1 ■ I 1 | Порядок. | системы 1 1 > 1 | Относительная 1 1 погреаность 11 1 1 1 МНС ■ ------- ■ . 1 Число итераций | 1 ! .........: ...... " 1 I ник. 1 мгр ! I 1 1

1 36 0.01 426 22 6

2 64 0.008 122 22 18

3 81 0.01 75 28 21

4 729 0.01 — 124 82

С- приведенной таблице применяемые методы решения обозначены, следувщкм образом: МНС - метод наискорейшего спуска; МНН - метод минимальных невязок; ■ .

ИГР - предлонекный нами метая групповой релаксации.

Из приведенной таблицы с очевидностью' следуют преимущества » метода групповой релаксации в смысле скорости сходимости в итерациях.

- ib -

ВСНСБНЕЕ РЕЗУЛЬТАТА: ИСКЕдаЗХЯ Данная работа посзяцека теоретическому и численному исследованию методоз приближения функций многих переменных и автоматизации реаения на ЗВН многомерных ^:-п?граль>:кх уравнений Оредгольма с применением полиномиальных методов, а такze методоз решения больвих систем линейннх алгебраических уравнений с симметричной матрицей. ■ '

В диссертационной работе получена следующие результаты: Исследована теория приблизения функции многих переменных и разработаны алгоритмы прибливения функции многих переменных, с помощью многомерных полиномов Бернптейна.с заданной точкостьз.

Проанализированы известные метода резения" многомерных интегральных уразнений Оредгольма к показаны преимущества и недостатки сдаествувщих алгоритмов их реализация. ' .

Предложен, метод решения многомерных интегральных уразнений Фредголь.ма с помощью многомерных полиномов Бернитейиа и разра-ботад« алгоритмические и программные средства его реализации прй рецедин конкретных задач.

Доказано, что коэффициенты система линейных'алгебраических уравнений, соответствующих интегральных уравнений, вычисляются в квадратурах*и созданы эффективные вычислительные схемы для их формирования. • •

Проанализированы методы решения системы линейных алгебраических уравнений и разработан эвристический подход к определении параметра релаксации при решении больших систем линейных алгебраических уравнений с симметричной матрицей .групповым методом Таусса-Зейдел? с ,последувчей релаксацией, который :ущестёенно ускоряет сходимость итерационного процесса.

Доказана вычислительная устойчивость предлозенного метода ■р'уппозой релаксации для решений систем линейных; алгебраических [равнений*. . .

На основе разработанных алгоритмов создан четнрехфазный [рограммный комплекс FRED -автоматизации решения на ЭВМ мно-омерных интегральных уравнений Оредгольма различных родов с омощыо многомерных полиномов Бернштейна. Дана методика экс-, луатации программного комплекса FREU и компактные формы под-отовки исходных данных.

, Программный комплекс FRED - апробирован при численном ре-

шении интегральных уравнений 'фредгольма различных родов и pas мерностей и сдан в фонд алгоритмов" и программ ИИ с ВЦ НИ "Кибернетика " АН РЗз.

Проведены эксперименты на реальных данных, а полученные н ЭВМ результаты оценены по известным методикам и даны их срав некия с точными решениями.

Показана эффективность разработанного, метода группово релаксации, по сравнению с другими методами решения болыаи систем линейных алгебраических уравнений.

Основные пологения и результаты диссертации опубликован в следующих работах: »

. 1.Абуталиев Ф.Б., Аникин B.C.. Кучкаров В.9. Решение инте тральных уравнений типа Фредгольма с применением полиноыи альных методов. Тезисы докладов Республиканской конференци; "Методологические и прикладные аспекты системы автоматизированного проектирования".Ташкент.8-9 сентября,1981,с. 132

2.Абуталиев Ф.Б., Аникин B.C., Кучкаров 18.5!. Решение интегральных уравнений типа Фредгольма с применением полиномиальных методов. - В сб: Вопросы вычислительной и прикладной математики, вып. 67. Ташкент. РИСО ЙН УзССР, 1982, с. 27 - 36.

3.Кучкаров S.9. Автоматизация решения на ЗВК интегральны* уравнений типа Фредгольма. - В сб: Алгоритмы, вып. 4?, Ташкент. РИСО АН НзССР. 1982. с. 77 - 85.

4.Кучкаров Б.Я.Решения обратной задачи гравиметрии с применением полиноминальных методов.Тезисы докладов 11-Респуб-ликанской конференции "Методологические и прикладные аспекты систем автоматизированного проектирования и управления отраслях народного хозяйства".Ташкент.1985. с. 56-59.

5.Кучкаров 8.Я. Об одном методе решения больших систем линейных алгебраических уравнений. В сб: Вычислительная и прикладная . математика, Деп. ЗзНИИНТИ, N S55. от 5.05.1999. Тавкент. 1989. с. 59-65.

6.Кучкаров В.Я. Решение дифференциальных уравнений в частных производных с помощью полиномов Бернштейна. Раздел 7. Заключительный отчет "Приближенно-аналитические и численные методы решения задач математической физики и разработка пакета прикладных программ" С; !ИС. Ташкент,1992,