автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение представлений Альманси в численном исследовании математических моделей, описываемых гармоническим и бигармоническим уравнениями

На правах рукописи

<0

АНТРОПОВА НАТАЛИЯ АЛЕКСАНДРОВНА

ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ АЛЬМАНСИ В ЧИСЛЕННОМ ИССЛЕДОВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ, ОПИСЫВАЕМЫХ ГАРМОНИЧЕСКИМ И ВИГАРМОНИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМИ

05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005531685

25 ИЮЛ 2073

Челябинск - 2013

005531685

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южно-Уральский государственный университет» (национальный исследовательский университет)

Научный руководитель: Карачик Валерий Валентинович,

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

Официальные оппоненты: Логинов Борис Владимирович.

доктор физико-математических наук, профессор. ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный технический университет», профессор

Ушаков Владимир Игнатьевич, кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет», доцент '

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Смоленский государственный университет»

Защита состоится 26 сентября 2013 года в И00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.296.02 по защите докторских и кандидатских диссертаций при ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет» по адресу: 454001, г. Челябинск, ул. Бр. Кашириных, 129, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет».

Автореферат разослан 2013 года.

Ученый секретарь диссертацион ного совета, доктор физ.-мат. паук,

профессор В.Е. Федоров

- -i

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследованя. Различные математические модели физики, механики, техники, физической химии приводят к необходимости исследовать задачу Дирихле дли гармонического и бигармонического уравнений. К уравнению Лапласа приводится, например, задача о распределении температуры в стационарном процессе, задача о электрическом потенциале и т. д. Различные математические модели теории упругости приводят к необходимости изучения бигармонических функций. Одной из важнейших задач для бигармонического и полигармонического уравнений является задача Дирихле. Эту задачу изучали С.Л. Соболев, И.Н. Векуа, М. Николеску и др.

Для исследования математических моделей, соответствующих различным краевым задачам для нолигармонического уравнении, как правило, ищутся приближенные решения этих задач. Для этого целесообразно использовать метода ортогональных проекций, Трефца, наименьших квадратов и др. Обоснование этих вычислительных методов можно найти в монографии С.Г. Михли-на1. В качестве координатных функций в этих методах удобно использовать полигармонические полиномы. Базисные системы полиномиальных решений строились и использовались и для многих других математических моделей, например, в задачах теории упругости2, диффузии3 и задачах вибрации4. Поэтому. построение приближенных полиномиальных решений для различных математических моделей является актуальной темой.

Степень разработанности темы. Для решения задачи Дирихле, а также и других задач, для бигармонического уравнения в единичном шаре необходимо раскладывать граничные функции в ряды по базисным бигармоническим полиномам, записанным в сферической системе координат. Построение полигармонических полиномов в декартовых координатах на базе шаровых функций при помощи формулы Альманси приводит к громоздким вычислениям. В многомерном случае, т.е. при п > 3 ситуация еще более сложная. Систему линейно независимых однородных бигармонических полиномов строили ПЛ. Теодореску, К. Цвайлинг, Г. Герглотц, Б.А. Бондаренко.

В настоящей диссертационной работе исследованы математические модели, соответствующие гармоническому и бигармоническому уравнениям путем нахождения приближенных полиномиальных решений, когда граничные данные и возмущения модели аппроксимированы многочленами. Для любой раз-

'Михлиц С.Г- Вариационные методы и математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.

2 Лурье А.И. Полиномиальное представление, решений уравнений теории упругости // Проблемы механики тиердого деформируемого тела. Л.: Судостроение, 1970. C.251-25G.

3Bondarecko, В. A. Pirniyazova, P.M. Normalized systems of functions and their applications to the solution of problems of diffusion equations. Vopr. Vychisl. Prikl. Mat., 2008. 119. p. 39-49 (Zbl 1211.35065).

'Fernandez, D.L.; Craciuuas, Г.Т.; Bondarciiko, В.Л. Systèmes de base des solutions polynomial concernant une classe d'équations polylmeaires d'ordre supérieur aux operateurs différents, dont certains sont les operateurs polyvibrants. (French) Rev. R. Acad. Cienc. Exactes Fis. Nat. Madr., 1954. 78. 151-155: (Zbl 0642.35010).

мерности п > 2 приведены простые формулы представления полиномиальных решений однородного и неоднородного бигармоничекого уравнения без преобразований из шаровых функций. Полученные формулы требуют лишь вычисления степеней оператора Лапласа от некоторых вспомогательных полиномов, зависящих от граничных данных и возмущений модели. Такого типа результаты не были известны ранее.

Цель и задачи исследования. Целью данной работы является исследование математических моделей, описываемых гармоническим и бигармони-ческим уравнениями с помощью представлений Альманси. В качестве приближенных численно-аналитических решений рассматриваемых задач (задача Дирихле и обобщенная третья краевая задача) берутся точные полиномиальные решении этих же задач, краевые условия и правая часть которых приближены некоторыми полиномами. Для достижения этой цели необходимо решить следующие задали.

1. Построить и исследовать новую неклассическую математическую модель. описываемую обобщенной третьей краевой задачей для уравнения Пуассона и исследовать приближенно (полиномиально) математические модели, описываемые задачей Дирихле для гармонического и бигармонического уравнения в шаре.

2. Разработать эффективный численный мсгол символьного представления решения задачи Дирихле для гармонического и бигармонического уравнений в шаре.

3. Спроектировать и реализовать комплекс проблемно-ориентированных программ, использующий разработанный численный метод. Провести вычислительный эксперимент для проверки эффективности предложенного подхода.

Методы исследования. В работе использованы методы теории краевых задач для гармонического и бигармонического уравнения, методы теории потенциалов, методы теории полигармонических функций, свойства гармонических полиномов и функций, методы символьного дифференцирования и символьного интегрирования.

Научная новизна работы состоит в новом подходе к исследованию математических .моделей, описываемых гармоническим и бигармоническим уравнениями. заключающемся в построении приближенных решений различных краевых задач для этих уравнений. С помощью найденного представления гармонических компонент в формуле Альманси удалось решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона с полиномиальными начальными и граничными данными, найти условия разрешимости и построить полиномиальные решения обобщенной третьей краевой задачи для уравнения Пуассона в шаре, найтн полиномиальное решение задачи Дирихле для неоднородного бигармонического уравнения в шаре, На основании представленного метода разработан комплекс-программ в системе известного пакета "МаШеша^ка" для символьного пред-

- о -

ставления решения задачи Дирихле для гармонического и бигармонического уравнений в единичном шаре размерности п> 2.

Теоретическая значимость работы заключается в приближенно аналитическом решении классических и неклассических краевых задач для гармонического и бигармонического уравнений в шаре, что создает основу для дальнейшего развития моделирования процессов, описываемых указанными задачами. Построена новая модель потенциала заряженной сферы, описываемая обобщенной третьей краевой задачей. Полученные новые результаты развивают теорию построения точных полиномиальных решений различных краевых задач и могут быть использованы для численного исследования таких задач.

Практическая значимость заключается в применении созданного комплекса программ к численному и аналитическому исследованиям математических моделей термодинамики, теории упругости и физической химии.

Работа выполнялась при поддержке гранта в рамках реализации федеральной целевой программы Научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013г. (Соглашение №14.В37.21.0613)

Методы исследования. В работе использованы методы теории краевых задач для гармонического и бигармонического уравнения, методы теории потенциалов, методы теории поли гармонических функций, свойства гармонических полиномов и функций, методы символьного дифференцирования и символьного интегрирования.

Положения, выносимые на защиту:

1. Новая неклассическая математическая модель ориентированных коллоидных мультиполей, описываемая обобщенной третьей краевой задачей для уравнения Пуассона;

2. Численный метод символьного представления решения задачи Дирихле для гармонического и бигармонического уравнений в шаре;

3. Комплекс проблемно-ориентированных программ, использующий разработанный численный метод.

Полученные результаты соответствуют следующим областям исследования специальности:

1) разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений (п.1);

2) развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей (п.2):

3) реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов (п.4).

Степень достоверности и апробация результатов. Все результаты, выносимые на защиту являются новыми и получены автором лично. Обоснованность и достоверность научных положений и выводов, сформулированных

it диссертации, подкрепляется строгим математическим доказательством всех утверждений. Математическая строгость доказательств соответствует современному уровню. Основные положения диссертации докладывались автором на следующих международных и всероссийских конференциях:

на 3-й Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования'', посвященной 85-летию Л.Д. Кудрявцева (3-4 ноября 2008г., г. Москва);

на Международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", посвященной 100-летию со дня рождения В.К. Иванова (1-6 сентября 2008г., г; Екатеринбург);

на Международной конференции "Modern problems of applied mathematics and informational technologies" (18-21 September, 200Qr.. Tashkent.);

на XI международной научной конференции "Системы компьютерной математики и их приложения" (17-19 мая 2010г., г. Смоленск);

на международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы" (2-7 июля 2010г. , г. Суздаль):

на 53-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" ( 2010г., Москва):

на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (26-29 июня 2011г., г. Самара);

на международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" (12-17 сентября 2011г., г. Минск);

на международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (31 октября - 5 ноября 2011г., г. Екатеринбург).

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, ее новизна. Описаны цели и задачи, методы исследования и кратко изложено содержание работы. Сделан обзор математических моделей описываемых задачей Дирихле для гармонического уравнения (установившееся распределение температуры, потенциал электрического поля), для бигармонического уравнения (модель статического прогиба тонкой пластинки, плоская задача теории упругости), для уравнения Гельмгольца (диффузия газа при наличии распада и при цепных реакциях), обобщенная 3-я краевая задача (модель потенциала сферы мульти-полей, например, для оксигидрата циркония).

Первая глава «Представления Альмаиси аналитических функций», состоит из четырех параграфов и носит теоретический характер. Результаты этой главы необходимы для исследования рассматриваемых в диссертации математических моделей. В первом параграфе первой главы, на основе понятия

_ y -

О-нормированных систем функций для оператора Лапласа:5 , приводится орто-нормированная система гармонических полиномов от п переменных {G^(x)}. Во втором параграфе первой главы, основываясь па свойствах системы гармонических полиномов {G(1,)(ï}}. приводится известное представление Альманси и(х) = щ(х) + \x\2ui(x) + ... + в котором гармонические функции

Uk(x) явно выражаются через полигармоническую функцию и(х). В третьем параграфе нерпой главы представление Альманси распространяется на аналитические функции действительных переменных. Ранее6 было доказано, что для любой функции /(х), аналитической в начале координат, существуют гармонические функции ïio(x'),..., ип(х),..., определенные в некоторой окрестности начала координат Т> такие, что

ос

Дх) = 5>| %ь(*), xeV. (1)

к=О

Доказательство этого факта не является конструктивным так же как и формула Альманси. Оно опирается лишь на некоторые оценки и не позволяет строить гармонические функции г) по известной функции 1{х). Формулу для нахождения гармонических функций Uk(x) дает следующая теорема, доказанная в третьем параграфе.

Теорема 1. Для любой функции, f(x) аналитической в начале координат, имеет место равенство

00 1 |_|2fe fi (л _ ^fc-i

/(«) = «о(х) + I (fc-l)! a'l/2~ïv^da- x e (2)

в котором гармонические функции v0(x),..., vn(x),... определены в некоторой .звездной области Т> с центром в начале координат и задаются формулой

Vk(x) = Akf(x) + ± b^Ç jf (1 -^f'^-^fiax) da. (3)

Ряд мл (2) сходится равномерно по х вТ> и допускает почленное дифференцирование под знаком суммы любое число ра.з.

Замечание 1. Формула (3) несколько отличается от аналогичной формулы (2.9), известной ранее?.

5Karachik V. V. Normalized syetem of functions with respect to the Laplace operator and its applications // Journal of Mathematical Analysis anil Applications. 2003. Vol.287, ,V>2. P.577 592.

"Карачик В. В.. Об одном представлении аналитических функций /'/ Вопросы вычислительной и прикладной математики. Таткент- 2003. Вьт.112. С. 139 118.

7Агопамцп N.. Стаже. M. Т., Liplrin L. J. Polyharmonic functions. Oxford t'niv. Press. New York. 1983.

В четвертом параграфе первой главы утверждение Альманси распространяется на функции, удовлетворяющие уравнению Д™« = 0. где оператор Д.\ имеет вид

д2 д2 Ax = Xld^ + "' + Xndxlt' Afc€RVf°}' (4)

в ограниченной области Q С Е". Справедливы формулы (2) и (3) в которых оператор Д заменен на оператор Дд, Нетрудно убедиться, что к виду Дуй = 0 с помощью невырожденной замены переменных приводится любое невырожденное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без младших членов вида i ahiofj)x> ~ Таким образом, представление Альманси распространяется и на дифференциальные операторы второго порядка с постоянными коэффициентами.

Вторая глава «Построение полиномиальных решений полигармонического уравнения и уравнения Гельмгольца» состоит из четырех параграфов. В ней, на основании результатов первой главы, получены формулы представления полиномиальных и аналитических решений полнгармонического уравнения. На основе этих представлений в третьей главе будут исследованы соответствующие математические модели. В первом параграфе второй главы приведены формулы, которые упрощают нахождение решения уравнения Пуассона

Ди = /(ж), х D (5)

с аналитической правой частью f(x) в звездной области D.

Теорема 2. Некоторое решение, уравнения (5) может быть найдено а виде

«*> = 1Г|ШЖЩТГ'' " «^""'(-Aj'/lax, *». <•>

где следует считать, что (—A)kf(ax) = ((—Д)kf)(ax).

В случае, если /(х) = Рт(х), где Рт{х) - однородный полином степени т, справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Решение уравнения Пуассона (-5) вида (6) при f(x) = Р7„(.т) может быть записано в форме

где (a,b)k — а(а + b) ...(a + kb — b) - обобщенный символ Похгаммера, с соглашением (а,,Ь)о = 1, а [я,] - целая часть числа а.

Во втором параграфе второй главы рассматривает! неоднородное нолн-гармоничоское уравнение

Ати = f(x), х € D. (8)

Теорема 4. Решение уравнения (8) может быть записано в форме jxj2'"-

l(x) =

2(2rn - 2)!! (2ifc)!!(2*: + 2т)\\

х / (l -a)fc+rn-1afc+Tl/2-1(-A)fc/(m;)rfa. (9) Jo

В случае, когда /(ж) полином, для более удобного нахождения символьных решений, формула (9) может быть преобразована к следующему виду.

Теорема 5. Решение уравнения Ати{х) — /(ж) в случае полиномиальной /(:г), т.е. яр«, /(.г-) = P¡,(x) может быть записано в форме

и(х) = М*Т(-1)к(к + т " Ч__ (10)

( j 11 ч т-1 /(^Wn + a-ft.W l j

В третьем параграфе второй главы рассматривается неоднородное уравнение Гельмгольца

Д,., + Аг; = /(ж), х £ D, (11)

где правая часть /(ж), как и раньше, является аналитической в D функцией, a D С ¡K" звездная область с центром в начале координат, А € R.

Теорема 6. Частное решение уравнения (11) может быть найдено в виде

t 12 30 I 12к р 1

^-Ч-^wm+mh (12)

где в отличие от формулы (6) следует считать, что оператор (—Д — А)'' применяется к функции f(ax).

В четвертом параграфе второй главы рассматривается три численно-аналитических примера построения решений гармонического и полигармокиче-ского уравнений и уравнения

Гельмгольца для конкретных , „ „ ,

, Рис. 1: Зависимость решения (12) ирн п — 2н / = 10ж

значений функции /(ж) в upa- от А Здесь л = о, А = 20 и А = 70.

вой части.

Третья глава «Полиномиальные решения некоторых модельных задач» состоит из трех параграфов. В начале главы дано описание математических моделей стационарного теплового поля и потенциального течения жидкости, приводящих к задаче Дирихле для уравнения Пуассона,. Затем приведена математическая модель дифффузии газа при наличии распада и при цепных реакциях. Эта модель приводит к задаче Дирихле для уравнения Гельмгольца.

ш -

В первом параграфе исследована модель, приводящая к задаче Дирихле для уравнения Пуассона в шаре. Хорошо известна функция Грина G(x,£) задачи Дирихле в шаре, а поэтому с теоретической точки зрения построение решения такой задачи не представляет интереса. Однако, при полиномиальной правой части Q(x) и полиномиальном граничном значении M|x|=i = Р(х) решение и(х) задачи Дирихле оказывается полиномиальным, для нахождения которого при Р(х) — 0 необходимо вычислять сингулярный интеграл вида

и{х)==„±.[ (13)

где ш„ площадь единичной сферы в R", функция Грина имеет вид G(.t, £) = Е(х,£) - Е{\х\£,х/\х\), а £(ж,£) = (п -- 2)-^ - х\2~п (п > 2) элементарное решение, уравнения Лапласа. В первом пункте первого параграфа доказано несколько вспомогательных утверждений относительно свойств гармонических полиномов, одно из которых следующее:

Лемма 1. Гармонические полиномы R-,n-2k(x) 0 разложении однородного полинома Qm(x) по формуле Альманси

Qm(x) = Rm{x) + I x\2Rm-2(x) + • • ■ + | .'Г |24(-X')

имеют вид

2m-4k + n-2^ (-l)aH2sAs+fcQm(x)

Ä,»-2fc(*> - (2j 2)k (2,2).(2m -4k- 2s + n - 2,2)s+k+1'

На основании установленных свойств гармонических полиномов доказана основная теорема этою пункта.

Теорема 7. Решение задачи Дирихле в шаре ila = {х € R" : |-'с| < а} .

Ди(х) = Q(x), х е йа; (14)

«lan. = 0. (15)

с полиномиальной правой частью Q(x) имеет вид

Ф) = LV- /о 5 (2s + 2)!!(2a)!! & Q(ax)a 'da. (16)

Проиллюстрируем полученный результат на математической модели стационарного распределения температуры в единичном круге, когда тепловые источники распределены но закону Q(x,y) = х3у - 3х2у2 (рис. 2).

Во втором пункте первого параграфа исследована общая задача Дирихле для уравнения Пуассона

Д«(х) = Q(x), х € Ü: «(ж = Р{х)\ж, (17)

с полиномиальным граничным значением Р(х) и с полиномиальной правой частью Q(x).

Теорема 8. Решение задачи (17) можно записать в виде

и{х) = Р(х) +

la; I - 1

.1 ос .4=0

(1 - а|д|2)'(1 - а)" (2s + 2)!!(2s)ü

A°(Q - АР)(ах)а,1/2~Ыа.

(18)

/

В третьем пункте первого параграфа рассматривается математическая модель коллоидных мультнполей, ориентированных вдоль нормали и расположенных на поверхности сферы (электростатическая модель коллоидной химии), которая является упрощенной моделью дебаевско- рис 2: Стационарное распределение температуры ГО слоя. Эта модель описывается (рис. справа) с источником вида 0{х, у) = хг'у -обобщенной третьей краевой зада,- 3х2у2 (рис- слова), чей для уравнения Пуассона

4v

/

Ди = f{x), х е Рт

ди

= <p(s), s € дй,

(19)

в единичном шаре П (например, см. рис, 3). Здесь д/ди - производная по направлению внешней нормали к единичной сфере $2 , Pm(t) многочлен т-й степени с действительными коэффициентами и i 6 ß. Предположим, что <£> € C(dQ), а f(x) - многочлен произвольной степени. С помощью вспомогательных лемм и теоремы о свойствах объемного потенциала У[Р](.т) при полиномиальной Р(х) получены условия существования решения обобщенной третьей краевой задачи для уравнения Пуассона (19).

Определение 1. Пусть Pm(t) = ХХ=о ~ полином из задачи (19). Назовем факториальным полиномом P\m\{t), соответствующим Pm(t) 'полипом, получающийся из полинома Pm(t) заменой одночленов k-й степени tk на фак-ториалъные степени .этил: одночленов t'fc' = t(t — 1) • ■ • (t — k + 1).

Рис. 3: Стабилизация решения мультииольной модели при Рт - Х+с^+ег«2, <Р = а*-2з?уг-3ху\ = 0.1 и е2 оо. Сначала, е-2 = 0, затем ег = 0.1 и наконец £г = 100.

- -

Обозначим также = Р[,„](£)/(£ —А), где Л - некоторый корень поли-

нома Р[т\(Ь). Введем в рассмотрение множество I неотрицательных целых корней факториального полинома Р[т]&), т.е. множество I = {к 6 N0 : Р[т](к) — 0}. На основании результатов8 доказывается утверждение:

Теорема 9. Решение задачи (19) существует тогда и только тогда, когда выполнено условие

А € / => УН\(х), [ Нх(х)ср{х)дх = [ Нх{х)Ры(А + 2)/(х)йх, (20) ./да Jn

где Н\(х) - произвольный однородный гармонический полином степени А.

С помощью разработаного в диссертации комплекса программ в среде пакета символьных вычислений "Ма^етайса" в четвертом параграфе четвертой главы найдено точное решение конкретной задачи

Аи(х) = х\х2х1 + х\х$х% х € П; ищ = 0.

Оно имеет вид и(хъх2,х3,.т4) = (х1х2Х3 + х2х1х1) ( - — + — ) +

+ (12.г1х,х-3 + + 2**$ (-¿-Ь ^ - +

( 1 Ы2 Ы4 Ы6 \ + (24*2,З + 24^) + ^ - + ^] •

Во втором параграфе третьей главы представления Альманси сначала применяются для построения решения однородной задачи Дирихле для неоднородного бигармонического уравнения в единичном шаре П = {х € К" : \х\ < 1}

А2и{х) = д(х), х е Н; «101 = 0, ^ = 0, (21)

о1/1 да

с полиномиальной правой частью С}{х).

Теорема 10. Решение щ(х) задачи (21) при (¿(х) = можно записать

в виде.

«оС«> = < -1) Е 4,+2(а + 2)! В"1* + . (22)

где обозначено А = то 4- п/2.

Решение задачи Дирихле (21) с неоднородным многочленом <3(х) получено в следующей теореме:

"Карачик В. В., Об одной задаче для полигармонического уравнения в шаре // Сибирский математический журнал. 1991. Т.32, Л*о. С.51-58.

Рис. 4: Решение задачи Дирихле (21) цри Q - ху-20хг'у - 20х2у4 и поверхности уровни решения при Q = ху2 - J?Z + yz2.

Теорема 11. Решение, задачи Дирихле (21) можно записать в виде

Общую неоднородную задачу Дирихле для однородного бигармоническо-го уравнения в единичном шаре можно разбить на две задачи, где поочередно Р(х) = 0 и R(x) = 0. Суммируя решения этих двух задач и решение неоднородной задачи (23) получаем решение общей задачи Дирихле для неоднородного бигармоничеекого уравнения в единичном шаре:

Теорема 12. Решение, задачи Дирихле

О

&2и(х) = Q(x), X € Q: ит = Р{х), = R(x) (24)

OV |öSi

в единичном шаре il с полиномиальными данными Q(x), Р(х) и R(x) можно записать в виде

„И . + И^ед _ др(1))+^ Ё ü^x * (йТ5)1! А'(А(АР - R) + ¿ТЗЮ - А'р>) ('">da-

В четвертой главе диссертации создан программный комплекс, предназначенный для исследования математических моделей, приводящихся к задаче Дирихле для гармонического и бигармоничеекого уравнений в шаре.Разработанные и описанные в диссертационной работе модели, методы и алгоритмы были реализованы в виде программного комплекса в пакете "Mathematica". Данный программный комплекс может быть использован на персональных компьютерах для решения задачи Дирихле для гармонического и бигармоничеекого .уравнений с полиномиальными граничными данными. В этой главе описывается структура программного комплекса и результаты вычислительных экспериментов (см. рис. 3) над рассматриваемыми задачами.

В четвертом параграфе четвертой главы рассмотрены многочисленные численно-аналитические примеры решений краевых задач третьей главы (см. рис. -5). Эти решения получены как с иомощыо пакета "Mathematica" так и без него.

Программный комплекс включает в себя следующие программы:

- программа отыскания решения неоднородной Рис. б: Иллюстрация решс- ш д ^ гармонического уравнения в

ПИЯ аадачи (24) ири п = 2 и " ^ Q = х, Р = ¡/2, R = ж2 (при- шаре;

мер 4.4.10). - программа отыскания решения неоднородной

задачи Дирихле для б и гармонического уравнения в

шаре.

Ha, программный комплекс получено свидетельство Роспатента об официальной регистрации программы для ЭВМ: "Символьное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в шаре" (№2012618853 от 28.09.2012г.).

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные б диссертационной работе:

1. Построена и исследована новая неклассическая математическая модель ориентированных коллоидных мультииолей, описываемая обобщенной третьей краевой задачей для уравнения Пуассона;

2. Разработан эффективный численный метод символьного представления решения задачи Дирихле для гармонического и бигармонического уравнений в шаре;

3. Спроектирован и реализован комплекс проблемно-ориентированных программ, использующий разработанный численный метод. Проведены вычислительные эксперименты для проверки эффективности предложенного подхода.

Имея в виду результаты н. 1.4.2, разработанный в 3-й главе численный метод решения задачи Дирихле для гармонического и бигармонического уравнений в шаре может быть распространен па краевые задачи для более общих дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами.

Список работ автора по теме диссертации

Статьи, опубликованные в журнала:}', из списка ВАК

3. Антропова, H.A. Об одном методе решения уравнения Пуассона / Н.А.Антропова,

В.В.Карачик // Всстпик ЮУрГУ. Сер. Математика, физика, химия. - 2007. - Вып.

9, №19(91). С.22-29.

2. Антропова, H.A. О решении неоднородного ноли гармонического уравнения и неоднородного уравнения Гсльмгольца / H.A.Антропова, В.В.Карачик // Дифференциальные

уравнения. - 2010. - Т.46, №3. -С.381 395.

3. Аптропсва, H.A. Построение полиномиальных решений некоторых задач для уравнения Пуассона / Н.А.Антропова, В.В.Карачик // Труды МФТИ. - 2011. - Т. 3, S'3. -С. 60-73.

4. Антропова, H.A. Построение полиномиальных решений задачи Дирихле для бигармо-пического уравпепия в шаре / Н.А.Лнтропова, В.В.Карачик // Всстпик ЮУрГУ. Сер. Математика, механика, физика. - 2011. - Вып.5, Л'®32 (219). - С.39-50.

5. Антропова, H.A. О полиномиальных решениях задачи Дирихле для бигармопичсского уравпепия в шаре / H.A. Антропова, В. В. Карачнк // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2012. - Т. 15, №2 (50). - С.86- 98.

6. Антропова. H.A. О полиномиальных решениях задачи Дирихле для бигармоиического уравнения в шаре / H.A. Антропова, В.В. Карачик // Дифференциальные уравнения. - 2013. - Т.49, .№2. - С.250 254.

7. Antropova, N.A. Construction of Polynomial Solutions to the Diriclilet Problem by Almansi Representation / N.A. Antropova, V.V. Karachik // Journal of Mathematical Sciences. Springer: New York, January 2013. •■■ V. 188 (3). - P. 256 -267.

Свидетельство о регистрации программы

8. Антропова, H.A. Свидетельство Роспатента о государственной регистрации программы для ЭВМ "Символьное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в шаре" №2012618853 от 28.09.2012г.

Другие публикации

9. Антропова, H.A. О разложениях типа Лльмапеи / H.A.Антропова, В.В.Карачик /7 Известия Челябинского научного центра. - 2007. - .№>1 (35). - С. 37- 42.

10. Антроиова, H.A. Об аналитических решениях неоднородных уравнения Гельшчыьца и полпгармопического уравнения / H.A. Антропова, В.В. Карачик // Тезисы докладов 3-й международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования посвящсппой 85-летию Л.Д. Кудрявцева. М.: МФТИ. - 2008. - С. 269-271.

11. Антропова, H.A. О пекоторых разложениях Альмапсн / H.A. Аитропова, В.В. Карачик // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тезисы докладов Международной конференции, посвящсппой 100-летню со для рождения В.К. Ивапова. Екатеринбург. 1-6 сентября 2008 г. - Екатеринбург: Изд-во Уральского университета. - С. 211-212.

12. Антроиова, H.A. Об аналитических решениях неоднородною уравнении Гельмгольца в ограниченных областях / H.A. Аитропова, В.В. Карачик // Наука ЮУрГУ: материалы 60-й юбилейной научной конференции. Секции естественно-научных и гуманитарных наук. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ. - 2008. - Т. 2. - С. 126-130.

13. Антроиова, H.A. Разложения тина Альманси для некоторых операторов второго порядка / H.A. Антропова // Научный поиск: материалы первой научной конференции аспирантов и докторантов. Социально-гуманитарные и естественные науки. - Челябинск: Издательский цептр ЮУрГУ. - 2009. - С.3-7.

14. Антропова, H.A. Построение полиномиального решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона с помощью формулы Альманси / H.A. Антропова, В.В. Карачик // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы XI международной па-учпой конференции, посвящсппой 70-летшо профессора В.П. Дьякопова. - Смоленск: Изд-во СмолГУ. - 2010. - Вып. 11. - С. 224-226.

15. Antropova, N.A. Almaiisi type decompositions for the second order partial differential operators / N.A. Antropova, V.V. Karachik // Modem problems of applied mathematics and informational technologies. Abstracts of the international scientific conference. - Tashkent, 18-21 September. - 2009. - P. 36.

1С. Антропова, ILA. Построение полиномиальных решений задачи Дирихле с иомощью формулы Альманси / H.A. Антропова // Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздаль. М. -2010. С. 32 33.

17. Антропова, H.A. Построение полиномиальных решений некоторых задач дня уравнения Пуассона / H.A. Антропова. В.В. Карачик /7 Труды 53-й научной конференция МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук часть VII Управление и прикладная математика. Т.1 - М.: МФТИ. - 2010. - С. 6-7.

18. Антропова, H.A. Построение решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа с полиномиальными граничными данными и правой частью / H.A. Аптропопа, В.В. Карачик // Наука ЮУрГ'У: материалы 62-й научной конференции. Секции естественных наук.

Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ. - 2010. - С. 35 38.

19. Антропова, H.A. Полиномиальные решения задачи Дирихле дли бигармонического уравнения в шаре / H.A. Антропова, В.В. Карачик ,// Международная конфн1>енция, посвященная памяти И.Г. Петровского. 23-е совместное заседание Московского математического общества и семинара им. И.Г. Петровского. Москва 29 мая-4шоня 2011г. - Тезисы докладов. - С. 204- 205.

20. Антропова, H.A. Построение полиномиальных решений задачи Дирихле для бшармо-нического уравнения в шаре / H.A. Антропова, В.В. Карачик// СамДиф-2011, конференции Дифференциальные уравнения и их приложения, Самара, 26-29 июня 2011. Тезисы докладов. - Самара: Из-во Универс групп. - 2011. - С. 57.

21. Антропова, H.A. Полиномиальные решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре / H.A. Антропова, В.В. Карачик // Аналитические методы апа-лиза и дифференциальных уравнений. Тезисы докладов международной конференции 12-17 сентября 2011 года, Минск, Беларусь. - С. 72-73.

22. Антроиова, H.A. Полиномиальные решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения в таре / H.A. Антропова, В.В. Карачик // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тезисы докладов международной конференции, посвящсипой памяти В.К. Иванова, Екатеринбург, 31 октября - 5 ноября 2011 года. - С. 238 -239.

23. Антроиова, H.A. Построение полиномиальных решений задачи Дирихле с иомощью формулы Альманси / Н.А.Антропова, В.В.Карачик // Проблемы математического анализа, Ноябрь 2012. - Т.67. - С. 75-84.

Подписано к печати 25 нюня 2013 г. Формат 60 х 84 1/10. Объем 0,9 Уч.- изд. л. Заказ Л"5752. Тираж 100 экз. Отпечатано на ризографе в тинофафни ФГВОУ ВПО ЧГПУ

454080, г. Челябинск, up. Ленина, 69

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

04201364222 Антропова Наталия Александровна

ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ АЛЬМАНСИ В ЧИСЛЕННОМ

ИССЛЕДОВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ, ОПИСЫВАЕМЫХ ГАРМОНИЧЕСКИМ И БИГАРМОНИЧЕСКИМ

УРАВНЕНИЯМИ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

В.В. Карачик

Челябинск - 2013

Оглавление

Введение 4

1 Представления Альманси аналитических функций 16

1.1 Ортонормированная система гармонических полиномов ... 17

1.2 Представления полигармонических функций..................22

1.3 Представления аналитических функций........................30

1.4 Представления типа Альманси для некоторых невырожденных операторов второго порядка................................39

1.4.1 Нормированные системы функций для оператора Ад 39

1.4.2 Разложение типа Альманси для оператора Дд .... 41

1.4.3 Пример ....................................................49

2 Построение полиномиальных решений полигармонического уравнения и уравнения Гельмгольца 51

2.1 Полиномиальные решения уравнения Пуассона................52

2.2 Полиномиальные решения полигармонического уравнения . 55

2.3 Построение решений уравнения Гельмгольца..................63

2.4 Численно-аналитические решения полигармонического уравнения ..............................................................65

3 Полиномиальные решения некоторых модельных задач 68

3.1 Исследование моделей, приводящихся к задаче Дирихле для

уравнения Пуассона..............................................73

3.1.1 Построение полиномиальных решений однородных задач Дирихле для уравнения Пуассона..................73

3.1.2 Построение полиномиальных решений неоднородных задач Дирихле для уравнения Лапласа................86

-33.1.3 Новая модель потенциала заряженной сферы, описываемая обобщенной третьей краевой задачей..... 87

3.1.4 Построение полиномиальных решений третьей краевой задачи......................... 98

3.2 Исследование моделей, приводящихся к задаче Дирихле для

бигармонического уравнения..................103

3.2.1 Построение решения однородной задачи Дирихле для неоднородного бигармонического уравнения......103

3.2.2 Построение решения неоднородной задачи Дирихле для однородного бигармонического уравнения.......117

3.2.3 Построение решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения....................120

4 Программный комплекс для решения задачи Дирихле для гармонического и бигармонического уравнений 121

4.1 Структура программного комплекса..............121

4.2 Программа отыскания решения задачи Дирихле для гармонического уравнения в шаре ..................122

4.3 Программа отыскания решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре.................123

4.4 Вычислительный эксперимент: численно-аналитические решения задачи Дирихле для гармонического и бигармонического уравнений .........................124

Заключение 133

Литература

134

Введение

Актуальность темы. Уравнение Лапласа или гармоническое уравнение было рассмотрено П. Лапласом в 1782 году, в связи с его исследованиями по теории тяготения. Уравнение Лапласа возникает во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики. К уравнению Лапласа приводят многие задачи физики и техники; ему удовлетворяют, например распределение температур в стационарном процессе, электрический потенциал и т.д. Различные математические модели теории упругости приводят к необходимости изучения бигармонических функций. Одной из важнейших задач для бигармонического и полигармонического уравнений является задача Дирихле. Эту задачу изучали С.Л. Соболев [35], И.Н. Векуа [10], С.М. Никольский [31], М. Николеску [58, 59] и др. Для приближенного решения различных краевых задач для полигармонического уравнения целесообразно использовать методы ортогональных проекций, Трефца, наименьших квадратов и др. Обоснование этих вычислительных методов можно найти в монографии С.Г. Михлина [29]. Для устойчивости вычислительного процесса в этих методах к координатным функциям предъявляются некоторые дополнительные требования. В качестве координатных функций в этих методах очень удобно использовать полигармонические полиномы. Как известно в случае двух переменных число гармонических полиномов не зависит от их степени и равно двум. Начиная с размерности три число линейно независимых однородных гармонических полиномов растет с их степенью, что затрудняет их построение. В качестве гармонических полиномов от трех переменных используются известные шаровые функции

cos

rnPn( cos (9), rnP™(cos<9) пир,

sin

где P™{t) - присоединенные полиномы Лежандра, которые после преобразования к декартовым координатам образуют 2n +1 линейно независимых однородных гармонических полиномов степени п от х, у, z.

Базисные системы полиномиальных решений строились и использовались и для многих других математических моделей, например, в задачах теории упругости [27], диффузии [45], оптики [71] и задачах вибрации [47]. Поэтому, построение приближенных полиномиальных решений для различных математических моделей является актуальной темой.

Степень разработанности темы. Для исследования математических моделей, описываемых краевыми задачами для бигармонического уравнения в единичном шаре необходимо раскладывать граничные функции в ряды по базисным бигармоническим полиномам, записанным в сферической системе координат. Преобразование шаровых функций к декартовой системе координат весьма трудоемко и получаемые в результате него гармонические полиномы имеют очень большой разброс значений коэффициентов. Поэтому построение полигармонических полиномов в декартовых координатах на базе шаровых функций при помощи формулы Альманси приводит к громоздким вычислениям. Удобный алгоритм разработан М.П. Барнеттом и A.B. Отисом [43, 62, 63]. Систему линейно независимых однородных гармонических полиномов от трех переменных построил П.П. Теодореску [68] и К. Цвайлинг. Систему линейно независимых однородных полигармонических полиномов построили также Б.А. Бондаренко [7] и Г. Герглотц [2]. В многомерном случае, т.е. при п > 3 ситуация еще более сложная. В работе [19] построена базисная система полиномиальных решений системы уравнений Ляме, которую можно использовать для численного решения краевых задач. Задачу Дирихле для полигармонического уравнения в круге изучал также Я. С. Бугров [8, 9].

В настоящей диссертационной работе исследованы математические модели, соответствующие гармоническому и бигармоническому уравнениям путем нахождения приближенных полиномиальных решений, когда граничные данные и возмущения модели аппроксимированы многочленами. Для любой размерности п > 2 приведены простые формулы представления полиномиальных решений однородного и неоднородного бигармоничекого

уравнения без преобразований из шаровых функций. Полученные формулы требуют лишь вычисления степеней оператора Лапласа от некоторых вспомогательных полиномов, зависящих от граничных данных и возмущений модели.

Цель и задачи исследования. Целью данной работы является исследование математических моделей, описываемых гармоническим и бигар-моническим уравнениями с помощью представлений Альманси. В качестве приближенных численно-аналитических решений рассматриваемых задач (задача Дирихле и обобщенная третья краевая задача) берутся точные полиномиальные решения этих же задач, краевые условия и правая часть которых приближены некоторыми полиномами. Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1. Построить и исследовать новую неклассическую математическую модель, описываемую обобщенной третьей краевой задачей для уравнения Пуассона и исследовать приближенно (полиномиально) математические модели, описываемые задачей Дирихле для гармонического и бигармони-ческого уравнения в шаре;

2. Разработать эффективный численный метод символьного представления решения задачи Дирихле для гармонического и бигармонического уравнений в шаре, позволяющий исследовать математические модели потенциала полей, стационарного распределения тепла, прогиба пластинки и т.д.;

3. Спроектировать и реализовать комплекс проблемно-ориентированных программ, использующий разработанный численный метод. Провести вычислительный эксперимент для проверки эффективности предложенного подхода.

Методы исследования. В работе использованы методы теории краевых задач для гармонического и бигармонического уравнения, методы теории потенциалов, методы теории полигармонических функций, свойства гармонических полиномов и функций, методы символьного дифференцирования и символьного интегрирования.

Научная новизна работы состоит в новом подходе к исследованию математических моделей, описываемых гармоническим и бигармоническим

уравнениями, заключающемся в построении приближенных решений различных краевых задач для этих уравнений. С помощью найденного представления гармонических компонент в формуле Альманси удалось решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона с полиномиальными начальными и граничными данными, получить полиномиальные решения обобщенной третьей краевой задачи для уравнения Пуассона в шаре, найти полиномиальное решение задачи Дирихле для неоднородного бигармонического уравнения в шаре. Построена новая модель потенциала заряженной сферы, описываемая обобщенной третьей краевой задачей. На основании представленного метода разработан комплекс программ в системе известного пакета "МаШета^са" для символьного представления решения задачи Дирихле для гармонического и бигармонического уравнений в единичном шаре размерности п > 2.

Теоретическая значимость работы заключается в приближенно аналитическом решении классических и неклассических краевых задач для гармонического и бигармонического уравнений в шаре, что создает основу для дальнейшего развития моделирования процессов, описываемых указанными задачами.

Полученные новые результаты развивают теорию построения точных полиномиальных решений различных краевых задач и могут быть использованы для численного исследования таких задач.

Практическая значимость заключается в применении созданного комплекса программ к численному и аналитическому исследованиям математических моделей термодинамики, теории упругости и физической химии. Работа выполнялась при поддержке гранта в рамках реализации федеральной целевой программы Научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013г. (Соглашение №14.В37.21.0613)

Методы исследования. В работе использованы методы теории краевых задач для гармонического и бигармонического уравнения, методы теории потенциалов, методы теории полигармонических функций, свойства гармонических полиномов и функций, методы символьного дифференцирования и символьного интегрирования.

Положения, выносимые на защиту:

1. Новая неклассическая математическая модель ориентированных коллоидных мультиполей, описываемая обобщенной третьей краевой задачей для уравнения Пуассона;

2. Численный метод символьного представления решения задачи Дирихле для гармонического и бигармонического уравнений в шаре, позволяющий исследовать математические модели потенциала полей, стационарного распределения тепла, прогиба пластинки и т.д.;

3. Комплекс проблемно-ориентированных программ, использующий разработанный численный метод.

Полученные результаты соответствуют следующим областям исследования специальности:

1) разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений (п.1);

2) развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей (п.2);

3) реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов (п.4).

Степень достоверности и апробация результатов. Все результаты, выносимые на защиту являются новыми и получены автором лично. Обоснованность и достоверность научных положений и выводов, сформулированных в диссертации подкрепляется строгим математическим доказательством всех утверждений. Математическая строгость доказательств соответствует современному уровню. Основные положения диссертации докладывались автором на следующих международных и всероссийских конференциях:

на 3-й Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", посвященной 85-летию Л.Д. Кудрявцева (3-4 ноября 2008, Москва);

на Международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", посвященной 100-летию со дня рождения В.К. Иванова (1-6 сентября 2008, Екатеринбург);

на Международной конференции "Modern problems of applied mathematics and informational technologies" (18-21 September, 2009, Tashkent);

на XI международной научной конференции "Системы компьютерной математики и их приложения" (17-19 мая 2010, Смоленск);

на международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы" (2-7 июля 2010, Суздаль);

на 53-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (2010, Москва);

на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (26-29 июня 2011, Самара);

на международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" (12-17 сентября 2011., Минск);

на международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (31 октября - 5 ноября 2011, Екатеринбург).

Краткое содержание работы

Настоящая диссертационная работа посвящена применению представлений Альманси в численном исследовании математических моделей, описываемых гармоническим и бигармоническим уравнениями и соответствующими краевыми условиями. Будут рассмотрены краевая задача типа Дирихле для бигармонического уравнения и обобщенная третья краевая задача для уравнения Пуассона (на границе задается значение полинома от нормальных производных Р(д/ди)). В качестве приближенного численно-аналитического решения рассматриваемых задач, а значит и соответствующей математической модели будем брать точное полиномиальное решение этой же задачи, краевые условия и правая часть которой приближены некоторыми полиномам.

Для построения решения конкретной задачи Дирихле в единичном шаре для бигармонического уравнения традиционным способом (см., например [11, с.200]) при полиномиальных граничных данных (/о и Д - следы полиномов степени к) поступают по следующей схеме. Берут полную систему ортонормальных на единичной сфере дО. С Мп однородных степени i < к гармонических полиномов GUx), j = 1,..., hi, где hi = (14- 2i/(n —

(например, систему из [53]) составляют бигармонические полиномы вида Glj{x) и \x\2Glj(x) и ищут решение задачи Дирихле в форме

¿=0 3=1

Неизвестные коэффициенты легко определяются из уравнений

q + D)= [ G){s)fQ(s)ds, iq + (i + 2)D)= [ Gj-(s)/i(s)ds, JdQ. Jdn

где j — 1,..., h{ и 0 < i < к. Определитель этой системы это определитель Вандермонда W[i, г + 2] с факториальными степенями. При большой размерности пространства п и степени полиномов к такая процедура довольно сложна, даже при простых полиномах /о и /i поскольку нужно вычислять много поверхостных интегралов и hk ~ 2кп~2/(п — 2)!, к —» оо. Например, при п = 3 и к = б (см. пример 4.4.11 на с. 127) нужно вычислять 84 поверхостных интеграла так как число базисных гармонических полиномов степени 6 равно hi = 1 + 3 Н-----h (2 ■ 6 + 1) = 42.

В диссертации предлагается иной способ построения полиномиального решения задачи Дирихле, требующий лишь нахождения степеней оператора Лапласа от некоторых вспомогательных полиномов.

В настоящей диссертационной работе для любой размерности п > 2 приводятся простые формулы представления полиномиальных решений однородного и неоднородного бигармоничекого уравнения без всяких преобразований из шаровых функций. Эти формулы требуют лишь вычисления степеней оператора Лапласа.

В первой главе диссертации исследуются бесконечные представления Альманси и представления Альманси для некоторых невырожденных дифференциальных операторов второго порядка. Прежде чем изложить основные результаты главы, нам необходимы некоторые предварительные сведения. Рассмотрим полиномы следующего вида [52]

[к/2] , k-2i 1 = MeN^NUiO}, (0.1)

%—0

где (a, b)k — а(а + Ь)... (а + kb — b) при к € N обобщенный символ Похгам-мера (Pochammer symbol), причем следует считать, что (а, 6)о = 1, im'! ~

факториальная степень Ьт'] = Ьт/т\ (ш бМ), а [а] обозначает целую часть числа а и х(п) = (жь ..., хп) € Мп.

Полиномы С?|(ж(п)) вида (0.1) называются (З-полиномами степени к, порядка в и рода п. Доказано [53], что произведение однородного гармонического полинома от п — 1 переменных Н8(х(п_х)) на С-полином СгКж^)) дает гармонический полином от п переменных и(х) = (?|.(ж(п))Н3(х(п~1)). Более того, всякий гармонический полином от п переменных может быть представлен в таком виде.

Такой по