автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Построение граничных аналогов метода наименьших квадратов для аппроксимации решения эллиптических дифференциальных уравнений

0 # У / ¿2 У" ?

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

АНУФРИЕВ Игорь Евгеньевич

ПОСТРОЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ АНАЛОГОВ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность: 05.13.16—Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

д. ф.-м. н. Л.В. Петухов

Санкт-Петербург 1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................6

ГЛАВА 1. ПОСТРОЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ АНАЛОГОВ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧИ

ДИРИХЛЕ.........................................................................................22

§1. Построение граничного аналога метода наименьших квадратов для аппроксимации слабого решения обобщенной задачи

Дирихле.....................................................................................22

п.1. Определение слабого решения обобщенной задачи Дирихле..22

п.2. Представление приближенного решения.............................24

п.З. Сходимость приближенного по Г АМН К решения к точному.. 25 п. 4. Разрешимость системы линейных алгебраических уравнений ГАМНК.. 34 §2. Построение граничного аналога метода наименьших квадратов для

аппроксимации регулярного решения обобщенной задачи Дирихле......36

п.1. Определение регулярного решения обобщенной задачи

Дирихле.....................................................................................36

п.2. Представление приближенного решения...................................37

п.З. Сходимость приближенного по ГАМНК решения к точному. . 38 п. 4. Разрешимость системы линейных алгебраических уравнений ГАМНК., 44 §3. Построение граничного аналога метода наименьших квадратов для аппроксимации очень слабых решений

граничных задач........................................................................45

п.1. Построение ГАМНК для аппроксимации очень слабого

решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения......... 46

п.2. Построение ГАМНК для аппроксимации очень слабого решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.......................49

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ ГРАНИЧНОГО АНАЛОГА МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ, СОДЕРЖАЩИХ НЕУСТОЙЧИВЫЕ ГРАНИЧНЫЕ

УСЛОВИЯ...................................................................................... 52

§1. Постановка задачи...............................................................52

§2. Построение граничного аналога метода наименьших квадратов для аппроксимации только слабого решения............53

п.1. Слабая постановка граничных задач, содержащих

неустойчивые граничные условия.............................................53

п.2. Формальное построение ГАМНК.........................................55

§3. Построение граничного аналога метода наименьших

квадратов для аппроксимации сильного решения.....................57

п.1. Сильное решение граничной задачи....................................57

п.2. Построение ГАМНК для аппроксимации сильного решения. . 57 §4. Построение граничного аналога метода наименьших квадратов для аппроксимации решения, определенного в фактор-

пространстве................................................................................61

п.1. Определение решения граничных задач в

фактор-пространстве............................................................. 61

п.2. Построение ГАМНК для аппроксимации сильного решения. . 62 §5. Разрешимость системы линейных алгебраических уравнений ГАМНК.. 63

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ГРАНИЧНОГО АНАЛОГА

МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ............................................. 65

§1. Понятие вычислительной устойчивости...............................65

§2. Достаточные условия вычислительной устойчивости

граничных аналогов метода наименьших квадратов..................69

п. 1. Устойчивость ГА МНК для аппроксимации слабого решения обобщенной

задачи Дирихле............................................................................ 69

п. 2. Устойчивость ГА МНК для аппроксимации сильного решения граничных задач, содержащих неустойчивые граничные условия, и к+1-регулярного

решения обобщенной задачи Дирихле................................................ 71

п.З. Устойчивость ГАМНК для аппроксимации очень слабого

решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения........ 72

п.4. Устойчивость ГАМНК для аппроксимации решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа (случай области с гладкой

границей)................................................................................. 72

п. 5. Устойчивость ГАМНК для аппроксимации решения задачи Дирихле для

уравнения Лапласа (случай области с кусочно-линейной границей)......... 74

3

§3. Численная реализация граничного аналога метода наименьших квадратов для задачи Дирихле для уравнения Лапласа.....................................................................................77

п.1. Случай области с гладкой границей.......................................... 77

п.2. Случай области с кусочно-линейной границей.................... 79

§4. Численная реализация граничного аналога метода наименьших квадратов для аппроксимации слабого решения

обобщенной задачи Дирихле......................................................85

§5. Численная реализация граничного аналога метода наименьших квадратов для аппроксимации регулярного решения обобщенной задачи Дирихле и сильного решения граничных

задач, содержащих неустойчивые граничные условия. .............87

п.1. Аппроксимация регулярного решения обобщенной задачи Дирихле. . 87 п.2. Аппроксимация решения граничной задачи, содержащей

неустойчивые граничные условия............................................. 88

ГЛАВА 4. ПОСТРОЕНИЕ ГРАНИЧНОГО АНАЛОГА МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ.. 90

§1. Определение граничного аналога метода коллокации..........90

§2. Граничный аналог метода коллокации для аппроксимации очень слабого решения задачи Дирихле для бигармонического

уравнения........................................................................................ 91

п.1. Построение ГАМК.............................................................. 91

п.2. Сходимость ГАМК..............................................................................95

п.З. Обусловленность матрицы системы линейных

алгебраических уравнений ГАМК.................................................97

§3. Граничный аналог метода коллокации для аппроксимации

слабого решения обобщенной задачи Дирихле..........................99

п.1. Построение ГАМК для преобразований Фурье..................... 99

п.2. Построение ГАМК для глобальных базисных функций.........102

§4. Построение граничного аналога метода коллокации для аппроксимации решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в многоугольных областях........................................................105

ГЛАВА 5. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ АНАЛОГОВ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ И ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ...............103

§1. Аппроксимация решения различных задач о прогибе пластины.............109

§2. Аппроксимация решения трехмерных задач теории упругости.................116

§3. Аппроксимация решения задачи Неймана для уравнения Лапласа. .118 §4. Аппроксимация решения задачи Сен-Венана о кручении упругих призм. 120

п.1. Постановка задачи. .............................................................120

п.2. Аппроксимация решения при помощи ГАМНК.........................120

п.З. Аппроксимация решения при помощи ГАМК........................126

§5. Аппроксимация решения задачи о прогибе пластины..........128

§6. Аппроксимация решения задачи о плоском напряженном состоянии.123

п.1. Постановка задачи............................................................129

п.2. Круг под воздействием двух сосредоточенных сил.............130

п.З. Квадрат под воздействием двух сосредоточенных сил.......131

п. 4. Квадрат под воздействием двух сосредоточенных сил и нагрузки. . 132 §7. Максимизация жесткости упругих призм при заданной площади сечения.....................................................................................133

ГЛАВА 6. ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ..............................................143

§1. Аппроксимация решения задач в кусочно-однородных областях......143

§2. Аппроксимация решения граничных задач с нелинейными

граничными условиями.............................................................145

§3. Аппроксимация решения граничных задач в областях с кусочно-гладкой границей........................................................145

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...............................................................................147

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..................................................................149

Введение.

Для решения задач с переменными границами, задач оптимального проектирования приходится применять приближенные методы. Переменная граница приводит к значительным трудностям. При использовании методов, связанных с дискретизацией области, например метода конечных элементов, возникает необходимость перестраивать разбиэние области, что, во - первых, приводит к увеличению времени вычислений и, во - вторых, может нарушить регулярность триангуляции. Аппроксимация решения при помощи.методов, связанных с переходом к граничным интегральным уравнениям (методы граничных элементов), оказывается так же недостаточно эффективной в связи с тем, что для нахождения значения приближенного решения в каждой точке области необходимо вычислять интегралы типа потенциала. Это обстоятельство существенно и при вычислении интегральных характеристик приближенного решения, например потенциальной энергии, когда значение подынтегральной функции и ее производных выражается через интегралы по границе области. Кроме того, в оптимальном проектировании возникают задачи, гладкость данных которых не допускает слабой (обобщенной) постановки задачи и, следовательно, не позволяет применять вариационные и вариационно-разностные методы, основанные на этих постановках.

Л.В. Петухов предложил разработать метод (в применении к задачам оптимального проектирования) аппроксимации решения граничных задач для эллиптических дифференциальных уравнений и систем, основанный на разложении приближенного решения в конечный ряд по функциям, тождественно удовлетворяющим однородному дифференциальному уравнению. При таком подходе приближенное решение удовлетворяет уравнению в области, а коэффициенты разложения

находятся из аппроксимации граничных условий. Редукция на границу области существенно облегчает решение задач с изменяющейся границе^ В качестве базисных функций могут быть выбраны полиномы, тождественно удовлетворяющие однородному дифференциальному уравнению, что так же упрощает численную реализацию метода и, позволяет просто вычислить приближенное решение и значения функционалов на нем сразу для всей области. Центральным вопросом та/

кого метода, как и любого приближенного метода, является построение базисных функций и способа аппроксимации (в данном случае граничных условий), обеспечивающих сходимость и вычислительную устойчивость метода.

Вопрос построения полиномиальных решений эллиптических дифференциальных уравнений на примере уравнения Лапласа изучался математиками еще в прошлом веке. Альманси Е. в 1899г. доказал возможность однозначного представления решения многомерного /

полигармонического уравнения через гармонические функции. Первоначально построение полигармонических полиномов осуществлялось при помощи формулы Альманси, где в качестве гармонических полиномов трех переменных выбирались хорошо известные шаровые функции. Свойства шаровых функций подробно исследованы в работах Виленкина Н.Я. [27] и Гобсона Е. [28]. Затем осуществлялось преобразование шаровых функций к декартовым координатам (см. работу Барнеп-та М.П. и Отиса А.Б. [49]). Однако, оказалось, что при переходе к декартовым координатам получающиеся полиномы не обладают достаточно простыми свойствами, в частности имеют большой разброс значений коэффициентов. Обобщение шаровых функций на случай многих переменных приведено в книге [19]. Теодореску П.П. предложил [64] алгоритм непосредственного построения системы линейно независимых гармонических полиномов от трех переменных, который

I

оказался эффективнее преобразования шаровых функций к декартовым координатам. Построение бигармонических полиномов от двух переменных и их изучение проведено в книге Цвайлинга К. [67].

Большое развитие вопрос о построении полиномиальных решений дифференциальных уравнений получил в работах Бондарен-ко Б.А. [23-25]. Бондаренко Б.А. предложил операторный алгоритм постррения полиномиальных решений и нашел полиномиальные ба-

I

зисные системы многих практически важных дифференциальных уравнений. Доказано, что построенные системы являются линейно независимыми и базисными в классе всех полиномиальных решений однородных дифференциальных уравнений, т.е. любое полином, тождественно удовлетворяющий дифференциальному уравнению, является линейной комбинацией построенных полиномов. Кроме того, установлено, что для большинства из рассмотренных дифференциальных уравнений построенные системы полны в классе аналитических решений уравнения в смысле равномерного приближения по области. Вид получающихся полиномов допускает их простую алгоритмизацию. В работах Бондаренко Б.А. получены формулы дифференцирования и неопределенного интегрирования полиномиальных решений.

Вопрос о приближении решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами полиномиальными решениями этого же уравнения подробно исследован Мальгранжем Б. [38], Хёрмандером Л. [65].

Отметим, что приближенное решение граничных задач можно разыскивать в виде конечного ряда по неполиномиальным решениям однородного дифференциального уравнения. Например, в работах Купра^дзе В.Д. и Алексидзе М.А. [32], [33] на основе фундаментальных решений построены системы базисных функций для аппроксимации граничных задач для уравнения Лапласа и теории упругости. Выбира-

ется некоторая кривая, охватывающая границу области и отстоящая от нее на конечное расстояние (для многосвязных областей— соответствующее число вспомогательных кривых). На этих кривых берется всюду плотное множество точек, т.е. такое множество, чтобы сколь угодно малый участок кривой содержал по крайней мере одну точку. В качестве фундаментальных решений выбирается ядро интегрального представления решения граничной задачи, вычисленное в этих точках. Доказано, что при определенных условиях система фундаментальных решений будет линейно независимой и полной. Для большого числа уравнений фундаментальные решения приведены в книге Алексидзе М.А. [1].

Таким образом, построение решений однородных дифференциальных уравнений хорошо изучено. Вопрос о способе аппроксимации граничных условий при разложении решения граничной задачи по функциям, тождественно удовлетворяющим однородному дифференциальному уравнению, для различных частных случаев решался многими авторами. В работах Михлина С.Г. [40], [41], [45] разработан метод наименьших квадратов для аппроксимации плоских задач Дирихле, Неймана и смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа, задач плоской теории упругости. Суть предлагаемого подхода состоит в представлении приближенного решения в виде конечного ряда по полиномам от двух переменных, построенных при помощи комплексного представления решения, и приближении граничных условий в среднеквадратичном по границе области. При доказательстве сходимости приближенного решения к точному существенно используется введение функции комплексного переменного и теорема Уолша о возможности приближения комплексной аналитической функции полиномом комплексного переменного. Доказывается равномерная сходимость приближенного решения к точному внутри области. В [40] для случая

уравнения Лапласа отмечено, что повышение порядка аппроксимации на границе (аппроксимация в среднеквадратичном вместе с некоторым числом производных) влечет равномерную вместе с производными сходимость по замкнутой области. Метод обобщается на вышеперечисленные задачи в двухмерных многосвязных областях. В [41] доказано, что в случае задачи Дирихле для уравнения Лапласа в одно-связных и многосвязных областях с достаточно гладкой границей метод наименьших квадратов будет вычислительно устойчивым.

В работе Алексидзе М.А. [2] приближенное решение граничных задач представляется в виде конечного ряда по фундаментальным решениям, коэффициенты которого так же находятся из удовлетворения граничным условиям в среднеквадратичном. Равномерная сходимость внутри области устанавливается в предположении, что для решения задачи существует интегральное представление с ограниченными в среднеквадратичном по границе ядрами (ядрами интегрального представления являются, для соответствующих задач, функция Грина, матрица Сомилиана и т. п.). Разность приближенного и точного решений оценивается при помощи неравенства Коши-Буняковского.

Метод наименьших квадратов на границе для аппроксимации так называемого очень слабого решения двухмерной первой граничной задачи для бигармонического уравнения в односвязной области разработан в статье Ректориса К. и Заградника В. [55] и обобщен на случай многосвязных областей в работе Ректориса К. с соавторами [54]. Метод основан на определении очень слабого решения задачи, приведенном в книге Нечаса И. [47], (т.е. решения граничной задачи, данные которой не удовлетворяют условиям существования слабого решения) при помощи построения последовательности слабых решений граничных задач, следы которы