автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод конечных элементов для задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных

0031ВЭ157

На правах рукописи

Кузнецова Елена Владимировна

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ С НЕСОГЛАСОВАННЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико -математических наук

1 5 МАЙ 2008

Комсомольск-на-Амуре - 2008

003169157

Работа выполнена в Дальневосточном государственном университете путей сообщения на кафедре «Системы автоматизированного проектирования»

Научный руководитель. доктор физико-математических наук, профессор

Рукавишников Виктор Анатольевич

Официальные оппоненты- доктор физико-математических наук,

профессор Владимир Дмитриевич Писейкин доктор физико -математических наук, профессор Чехонин Константин Александрович

Ведущая организация Южный федеральный университет

Защита состоится «6» июня 2008 г в 12 00 часов па заседании диссертационного совета Д 212 092 03 при Комсомольском-на-Амуре государственном техническом университете (ГОУВПО «КнАГТУ») по адресу 681013, г Комсомольск-на-Амуре, пр Ленина, 27, ГОУВПО «КнАГТУ»

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУВПО «КнАГТУ»

Автореферат разослан «30» апреля 2008 г

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

Зарубин М М

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы Исследование краевых задач для дифференциальных уравнений с особенностью (вырождением, сингулярностью) решения, а также построение и исследование методов численного анализа таких задач являются интенсивно развивающимися направлениями ь современной математике

Краевые задачи с сингулярностью решения, вызванной вырождением исходных данных, возникают в теории малых изгибов поверхностей вращения, в теории оболочек, в газовой динамике, в нелинейной оптике, в физике плазмы, в ядерной физике и т д

Отличительной особенностью задач такого типа является то, что в большинстве случаев для них нельзя определить обобщенное (слабое) решение или оно не обладает достаточной регулярностью В связи с этим решение таких краевых задач определяется как /¡^-обобщенное, удовлетворяющее специальному весовому интегральному тождеству Такое определение позволяет изучать существование и единственность, коэрцитивность и дифференциальные свойства решений краевых задач с сингулярностью, вызванной как наличием угловых точек на границе и сменой типа граничных условий, так и вырождением (согласованным и несогласованным) исходных данных

Заметим, что в большинстве практических приложений точное решение рассматриваемых краевых задач найти не удается Более того, в ряде случаев неизвестна даже асимптотика поведения точного решения в окрестностях нерегулярных точек По этим причинам актуальной является проблема построения эффективных численных методов, учитывающих специфику задач с сингулярностью, а также теоретическое исследование этих методов

Одним из наиболее эффективных и распространенных в современной вычислительной математике численных методов является метод конечных элементов (МКЭ) Имеется огромное количество модификаций МКЭ по различным аспектам В работах Г И Марчука и В И Агошкова, В Я Ривкинда и Л А Руховца, В Г Корнеева, Ю М Лаевского, И Бабушки и Э Азиза, Ж Деклу, Ж -П Обэна, Г Стренга и Дж Фикса, Ф Сьярле, Э Митчела и Р Уэйта получены основные теоретические результаты, связанные с оценками погрешности аппроксимации, сходимости и обусловленности схем МКЭ

Следует заметить также, что построение и исследование схем МКЭ опирается па знание коэрцитивных и дифференциальных свойств обобщенных решений соответствующих краевых задач

Разработка и анализ конечноэлементных аппроксимаций при наличии сингулярности в решении задачи характеризуется следующими особенностями

/ схема МКЭ строится на основе определения /^-обобщенного решения соответствующей краевой задачи,

/ базисные функции конечноэлемецтного пространства содержат сингулярную составляющую,

/ порядок сингулярности аппроксимациоцных функций зависит от того, какому весовому пространству принадлежит Ду-обобщенное решение краевой задачи,

■/ анализ погрешности аппроксимации проводится в нормах весовых пространств

Для приближенного решения краевых задач с несогласованным вырождением исходных данных до настоящего времени использовался разностный метод В связи с этим разработка и обоснование МКЭ для краевых задач указанного типа является актуальной задачей вычислительной математики

Цель исследования. Целью данной работы является построение и теоретическое обоснование схемы метода конечных элементов для численного решения краевой задачи с сингулярностью и несогласованным вырождением исходных данных

В ходе достижения цели решались следующие задачи

1 Исследование коэрцитивных и дифференциальных свойств Л„-обобщешюго решения задачи Дирихле для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка с сингулярностью и несогласованным вырождением исходных данных в точках границы произвольной выпуклой двумерной области,

2 Построение и теоретическое обоснование схемы метода конечных элементов для краевой задачи с сингулярностью и несогласованным вырождением исходных данных,

3 Создание программы на ЭВМ «Проба-П» и проведение сравнительного численного анализа нахождения приближенного обобщенного и /¡¡„-обобщенного решений задач с сингулярностью и несогласованным вырождением исходных данных

Методы исследования. В работе применяются методы и результаты вычислительной математики, теории дифференциальных уравнений в частных производных и численного анализа модельных задач

Достоверность полученных в диссертации результатов подтверждается

- Строгим теоретическим доказательством и математическим обоснованием всех предложений (теорем, свойств и схем), представленных в работе,

- Сравнением найденного с помощью разработанной программы «Проба-II» приближенного /¿„-обобщенного решения с известным точным решением мо-

дельных задач, рассматриваемых в работе,

- Сопоставлением точности нахождения Я„-обобщенного решения с помощью предложенного МКЭ и точности нахождения обобщенного решения с помощью стандартного МКЭ

Предмет исследования схема метода конечных элементов для численного решения краевой задачи с сингулярностью и несогласованным вырождением исходных данных

Научная новизна работы. Новыми в работе являются следующие основные результаты

1 Изучены вопросы существования и единственности, коэрцитивные и дифференциальные свойства Ду-обобщеиного решения для задачи Дирихле с сингулярностью и несогласованным вырождением исходных данных в весовых пространствах С Л Соболева для произвольного, но фиксированного к > — 1 доказана принадлежность функции и^(х) весовому множеству Wj **+/?/2+*+1 (fi, S) при определенных условиях на параметр и*, коэффициенты и правую часть дифференциального уравнения, получена оценка сверху для функции ии-(х) в норме множества W^t'+tifè+k+ifà' à) ^P®3 норму правой части дифференциального уравнения в соответствующем множестве

2 Для задачи Дирихле с сингулярностью и несогласованным вырождением исходных данных в точках границы произвольной выпуклой двумерной области fi построена схема метода конечных элементов, причем конечноэлементное пространство в качестве базиса имеет функции, содержащие сингулярную составляющую, исследована погрешность аппроксимации и установлено, что скорость сходимости приближенного Д„-обобщенного решения к точному в норме весового множества имеет первый порядок

3 В ходе численного эксперимента создана программа «Проба II» в среде программирования Turbo Delphi, реализующая предложенный алгоритм нахождения приближенного Д^-обобщецного решения Проведен численный анализ схемы метода конечных элементов для задач рассматриваемого типа на серии двумерных модельных задач с сингулярностью

Научная и практическая значимость работы Представленные в диссертации методы и результаты исследования могут быть использованы при построении и анализе схем МКЭ для других краевых задач с сингулярностью, а также для численного решения конкретных прикладных задач

Положения, выносимые на защиту:

1 Теорема существования и единственности, коэрцитивные и дифференциальные свойства ^-обобщенного решения для задачи Дирихле с сингулярностью и несогласованным вырождением исходных данных в весовых пространствах С Л Соболева

2 Теорема об оценки погрешности аппроксимации схемы метода конечных элементов для задачи Дирихле с сингулярностью и несогласованным вырождением исходных данных

3 Численный анализ схемы метода конечных элементов для двул1ерных модельных задач с сингулярностью и несогласованным вырождением исходных данных, проведенный на основе созданной программы «Проба-П»

Апробация работы Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции но вычислительной математике МКВМ-2007 (г Новосибирск, 2007 г), па IX Краевой конференции молодых ученых Хабаровского края (г Хабаровск, 2007 г), на XXXI и XXXII Дальневосточной математической школе-семинаре им академика Е В Золотова (г Находка, 2006 и 2007 гг), на учебно-научном семинаре «Математическое моделирование и численный анализ» Дальневосточного государственного университета путей сообщения

Личный вклад автора.

- Исследованы вопросы существования и единственности, коэрцитивные и дифференциальные свойства Ду-обобщенного решения задачи Дирихле с сингулярностью и несогласованным вырождением исходных данных

- Построена схема метода конечных элементов для задачи Дирихле с сингулярностью и несогласованным вырождением исходных данных

- Исследована погрешность аппроксимации и установлено, что скорость сходимости приближенного /^-обобщенного решения к точному в норме весового пространства ^^+0/2+1^'^) имеет первый порядок

- Создана программа «Проба И», реализующая предложенный алгоритм нахождения приближенного Я„-обобщенного решения

- Проведен численный анализ схемы метода конечных элементов для задач рассматриваемого типа на серии двумерных модельных задач с сингулярностью

Публикации Содержание диссертации отражено в 10 публикациях, указанных в конце автореферата В числе основных — 4 статьи, из них 1 опубликована в ведущем рецензируемом журнале и 2 препринта

В работах, опубликованных в соавторстве, автору принадлежат следующие

научные и практические результаты в [1, 2, 7, 8] — исследование вопросов существования и единственности /¿„-обобщенного решения задачи Дирихле с несогла-сованньш вырождением исходных данных, в [4, 5] — исследование коэрцитивных и дифференциальных свойств /¿„-обобщенного решения задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных, в [3, 6, 9] — построение и исследование скорости сходимости схемы МКЭ для задачи с сингулярностью и несогласованным вырождением исходных данных, в [10] — разработка и создание программы «Проба-Н»

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трех глав (с делением на пункты) и списка использованной литературы Объем работы — 127 страниц машинописного текста, в том числе 4 рисунка, 12 таблиц и списка литературы из 289 наименований

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических паук, профессору Виктору Анатольевичу Рукавишникову за постоянное внимание и неоценимую помощь в работе

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Нумерация приводимых ниже математических предложений совпадает с нумерацией, принятой в диссертационной работе

Во введении дается краткий обзор работ, посвященных исследованию краевых задач с сингулярностью и построению для них численных методов, сжато излагаются основные результаты, полученные в диссертации

Первая глава посвящена исследованию вопросов существования и единственности задачи Дирихле с сильной сингулярностью и несогласованным вырождением исходных данных в точках границы произвольной выпуклой двумерной области, а также изучены коэрцитивные и дифференциальные свойства /¿„-обобщенного решения указанной краевой задачи

В пункте 1.1 вводятся основные обозначения, определяется весовая функция, описываются все функциональные пространства и множества, используемые в работе, приводятся выражения для норм и полунорм в этих пространствах и мно-

п

жествах Пусть П — выпуклая ограниченная область пространства /?2 Через У г,

_ »=1

обозначено множество точек г,, г = 1 ,п границы ЗП, включающее точки пересечения ее гладких кусков Через О* обозначен круг радиуса <5 с центром в точке т,,

__п _

г = 1, п, причем, 06г П О] = 0, г ф ] Далее, ГУ = и П„ где П, = П Г) 0\, г = 1, тг

1—1 _

Весовая функция р(х), совпадает в окрестности каждой точки т,, г = 1 с расстоянием до нее, т е

р(хих2) = [(х1-х^)2 + (х2~х^)2)^2,

(х^'.х^) ~ г" 11 Равна ^ Для х £ Кроме того, производные функции р(х)

удовлетворяют неравенству

дМргп(х)

дх\'дх\г

<а рт~1{х)

Введем основные множества, используемые в диссертации Через а+г-1 для I > 1 обозначим множество функций, удовлетворяющих условиям

a) jDlu(a;)| < Cj fc' • (р^Ч®))-1 для x e ГУ, где к = 0,i, постоянные сг,7 > 1 не зависят от к,

b) Ци(х)||£,Ла(п\п') > с2, сг = const, с квадратом нормы

W<i

где символ £>ли(х) — д^и/дх^дх?2, |А| = Хх + Аг, А, > 0, г = 1,2, а — некоторое вещественное неотрицательное число

Через ¿^-„(fi, Cj), Н^ a{£l,ci) обозначим множества функций с нормами

IMaOIUoo,-„($),с) = vraimax|p~a(x) и{х)\ < с5,

Э1хЦх)

< С4

З^'Эхз2

В пункте 1.2 приводится постановка задачи Пусть в области Г2 задано дифференциальное уравнение

2

1 дхг

i=i

с граничным условием

dxi

и(х) = <р(х), х € 80, Будем предполагать, что выполняются следующие условия

atl(x) е

а{х) 6 Н^_0(П,сь), 2 2

а(х) > е8 п в на П,

х € а, (1) (2)

(3)

(4)

(5)

(6)

/(х) € И^дги), (?)

Ф)еш^20(дп,б), (8)

где с, (г = 5,8) — положительные постоянные, не зависящие от х , ¡3 и ц — вещественные числа, £1, £2 ~ произвольные вещественные числа, одновременно не равные нулю

Краевая задача (1), (2) при выполнении условий (3)-(8) называется задачей Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных С помощью выражений

^ ^

О I—1

, , др2и(х) диЛх) , .

+ £ а(х) р2"(х) и„{%) и(ж) ¿ж, п

Ш = I Р2"{х) ¡(х) у{х) йх

и

соответственно определяются билинейная и линейная формы Определение 1.2.2 Функция и,у{х) из множества ^ называется Я.и-

обобщенным решением задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных (1), (2), если п в на д£1 и„(х) = <р(х) и для всех у(х) из IV,2и+(з/2 справедливо интегральное тождество у) = /Ди) при любом фиксированном

значении у, удовлетворяющем неравенству

+ | (9)

Следующий пункт первой главы посвящен исследованию вопросов существования и единственности /¿„-обобщенного решения рассматриваемой задачи В теореме 1.3.1 устанавливается, что, если выполняются условия (3)-(9) и постоянная достаточно велика, то существует единственное ./¿„-обобщенное решение и„-(х) краевой задачи (1), (2) в множестве д) и имеет место оценка

лад + ^(^'Ц^овд) (10)

с положительной постоянной Сэ, не зависящей от функций /(х) и <р(х) Следуя тексту диссертации, в дальнейшем везде вместо параметра и* будем писать v

В пункте 1.4 исследуется коэрцитивность однородной краевой задачи (1), (2) Доказывается (теорема 1.4.1), что при выполнении условий (3)-(7), (9), а также условия

и + (3/2 >2 (11)

Лу-обобщенное решение и„(х) однородной краевой задачи (1), (2) принадлежит множеству <5) и имеет место неравенство коэрцитивности

< сю И/ОсЖдп), (12)

где постоянная сю положительна и не зависит от функции }{х)

Следующий пункт первой главы посвящен изучению дифференциальных свойств

/^-обобщенного решения однородной краевой задачи (1), (2)

Доказывается (теорема 1 5 1), что при выполнении условий (3)-(7), (9) и условия

ц>к,

Лк-обобщенное решение и„(х) однородной краевой задачи (1), (2) принадлежит множеству и имеет ыест0 оценка

^ сп 11/(^)11^(0,«). (13)

где постоянная сц положительна и не зависит от функции }{х) Во второй главе рассматривается задача Дирихле с сильной сингулярностью и несогласованным вырождением исходных данных Основные результаты главы касаются построения схемы метода конечных элементов для численного решения этой задачи, а также исследования апироксимационных свойств МКЭ в весовом множестве

В пункте 2.1 приведена постановка задачи и дано определение ее Л„-обобщенного решения Рассматривается задача Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных для дифференциального уравнения (1) с однородным граничным условием

ф) = 0, х € дП, (14)

исходные данные которой удовлетворяют условиям (3)-(7) Определение 2.1 1. Функция щ(х) из множества 6) называется Ну

обобщенным решением задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных (1), (14), если п в на ЗП и„(х) = 0 и для всех у(х) из ^^^(О,5) справедливо интегральное тождество а„(и„,у) = /<Ди) при любом фиксированном значении 1/, удовлетворяющем неравенству (9)

В соответствии с материалом первой главы, при выполнении условий (3)-(7), (9) К„-обобщенное решение и„(х) краевой задачи (1), (14) существует и единственно в множестве ^^^(П^) и имеет место оценка

1М®)11^^/3<п,4) ^ с12 И/ООН^сад, (15)

и

где С\2 — положительная постоянная, не зависящая от функции /(х), если же, помимо перечисленных условий, выполняется неравенство (11), то функция и„(х) принадлежит множеству 11 справедливо неравенство коэрцитив-

ности (12)

В пункте 2.2 на основании определения /¿„-обобщенного решения поставленной задачи построена схема МКЭ С этой целью в область П вписывается многоугольная область Проводится триангуляция области Пд так, чтобы выполнялись следующие свойства

n

1 Многоугольная область у К,, где {/<Г}={/^1, К2, , - множество

1=1

замкнутых треугольников, называемых конечными элементами, Н — наибольшая из длин сторон треугольников К„ г = 1, И, сЮ/, — граница области Пд

2 Общими для треугольников А',, г = 1, /V, могут быть только стороны или вершины

3 Все вершины треугольников Ки г = 1, те, расположенные на границе дП, принадлежат также ЭП/, Точки г,, г = 1,п, являются подмножеством множества вершин треугольников, принадлежащих при этом один треугольник г =

__п

1,N, содержит не более одной из точек множества У т, Очевидно, что в этом

г=1

случае /г < 5

4 Минимальный из углов треугольников строго положительный и не зависит от триангуляции

5 Все треугольники Ки г = 1, /V, имеют площадь одного порядка

6 Расстояние от точек дО,и до дП не превосходит величину ту/г2, где 7/ > 0 и не зависит от К

Вершины /*2, , треугольников К„ г = 1, /V, будем называть узлами триангуляции Представим число ЛЛ/, в виде суммы

М, = ЛО, + п + та,

где Иь - число узлов триангуляции, не принадлежащих ломанной дП^ а т - число

г п

узлов, принадлежащих дО.^ \Шт,

1.1=1

Через П" обозначим множество сегментов, образованных кусками границы дП и отрезками ломанной те П" = П \ П/,

Конечномерное множество Vх (ПЛ) представляет собой линейную оболочку, натянутую на систему базисных функций {ф^х)}^, где

а 1р,(х) линейна на каждом треугольнике Кг, г = 1, ТУ, и при г, ^ = 1, ЛГЛ

Функции «''(ж) Е продолжены на тождественным нулем

Определение 2 2.1. Функцию из множества У1'(П) будем, называть при-

ближенным й^-обобщеиньш решением задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных (1), (14) по методу конечных элементов, если она удовлетворяет равенству

= /„(«*)

для любой функции г;Л(х) из множества У''(П)

В этом же пункте устанавливается однозначная разрешимость построенной схемы МКЭ

В пункте 2 3 исследуется скорость сходимости приближенного /¡^-обобщенного решения краевой задачи (1), (14) по МКЭ к точному /^-обобщенному решению и„{х) В качестве вспомогательного приведено утверждение, которое является аналогом леммы Сеа для весовых пространств (лемма 2 3.1) Доказана априорная оценка погрешности аппроксимации /^„-обобщенного решения и^х) е с помощью МКЭ Сначала установлен результат об ап-

проксимации функции ии{х) интерполянтом

= ХУ+'/2+1(Р,) МРг)

г=1

Доказывается (теорема 2.З.1.), что при выполнении условий теоремы 1 4 1 существует такая положительная постоянная Си, не зависящая от Л, что для триангуляции области П справедлива оценка

|К(я) -««аС^Ц^^двд < с13 /г (16)

Затем (па основании леммы 2 3 1, теоремы 2 3 1 и используя коэрцитивные свойства Лу-обобщенного решения) доказано, что, если щ{х) € и+ц ~ ^-обобщенное решение рассматриваемой задачи, а — ее приближенное /^-обобщенное решение по МКЭ, построенное в пункте 2 2, то для произведенной триангуляции области имеет место оценка скорости сходимости

Ь^-иЦх^цг^^^^си И ИЯаОП^ад) (17)

с положительной постоянной сц, не зависящей от /(х) и /г (теорема 2.3 2)

В третьей главе проведен численный анализ МКЭ для двумерной краевой задачи с сингулярностью решения и несогласованным вырождением исходных данных В пункте 3.1 дана постановка дифференциальной задачи В пункте 3.2 дано описание численного эксперимента для двумерной задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных и сингулярностью решения В ходе численного эксперимента создана программа «Проба II» в среде программирования Tuibo Delphi, реализующая описанный в предыдущей главе алгоритм нахождения приближенного /¿„-обобщенного решения

Для нахождения вектора решения системы линейных алгебраических уравнений, возникающих при построении базисных функций конечноэлементного множества Vh(D.) использовалось разложение этого вектора в 15-мерном подпространстве Крылова посредством GMRES-метода

В пункте 3.3 проведены расчеты серии двумерных модельных задач с сингулярностью Расчеты каждой модельной задачи проводились на равномерной сетке с фиксированным числом элементов Для различных значений сеточного параметра h находилось приближенное /¿„-обобщенное решение соответствующей модельной задачи и определялась погрешность аппроксимации lw в сеточном аналоге нормы весового пространства W^i/'+^+i^' 5)

lw2 = £ f | Dx (u„(x) - 4(x))\2 dx

l>l<in

Полученные результаты представлены в виде таблиц На основании данных численного эксперимента сделаны выводы об аппроксимационных свойствах МКЭ для краевых задач с сингулярностью и несогласованным вырождением исходных данных Установлено, что погрешность аппроксимации в сеточном аналоге нормы весового пространства Убывает со скоростью 0(h) Этот вывод полностью согласуется с теоретическим результатом, сформулированным в теореме 2 3 2 Показано, что величина погрешности всегда убывает по мере удаления узла от точки особенности и при выборе параметров v, v* и /3 близким к наилучшим Установлено также, что аппрою имационные свойства метода тем лучше, чем больше число элементов Однако уже при малых значениях числа элементов предлагаемый метод позволяет находить решение с достаточно высокой точностью Кроме того, сделаны выводы о влиянии параметра v на точность нахождения приближенного /¿„-обобщенного решения задачи по МКЭ На основании рисунков ц таблиц, представленных в диссертации, можно сделать вывод, что предложенный МКЭ нахождения приближенного /¿„-обобщенного решения в несколько раз точнее, чем аналогичный метод нахождения приближенного обобщенного решения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами диссертации являются следующие результаты

1 Исследованы вопросы существования н единственности, коэрцитивность и дифференциальные свойства задачи Дирихле с сингулярностью и несогласованным вырождением исходных данных в весовых пространствах С Л Соболева

2 Построена и исследована схема метода конечных элементов для задачи Дирихле с сингулярностью и несогласованным вырождением исходных данных в точках границы произвольной выпуклой двумерной области

3 Разработана программа и проведен численный анализ метода конечных элементов для двумерной краевой задачи с сингулярностью решения и несогласованным вырождением исходных данных

Опубликованные работы по теме диссертации

1 Рукавишников В А , Кузнецова Е В Коэрцитивная оценка для краевой задачи с несогласованным вырождением исходных данных // Дифференциальные уравнения - 2007 - Т 43, № 4 - С 533-543 (1 п л )

2 Рукавишников В А , Кузнецова Е В Коэрцитивная оценка для краевой задачи с несогласованным вырождением исходных данных / / Препринт № 85 / Вычислительный центр ДВО РАН - Хабаровск ВЦ ДВО РАН - 2005 -29 с (1 74 п л )

3 Рукавишников В А , Кузнецова Е В Схема метода конечных элементов для краевой задачи с несогласованным вырождением исходных данных // Препринт № 108 / Вычислительный центр ДВО РАН — Хабаровск ВЦ ДВО РАН - 2007 - 15 с (0 9 п л )

4 Рукавишников В А , Кузнецова Е В Исследование коэрцитивных и дифференциальных свойств краевой задачи с несогласованным вырождением исходных данных и сингулярностью решения // Тезисы докладов — Новосибирск - 2007 С 68-68 (0 06 п л )

5 Рукавишников В А , Кузнецова Е В О дифференциальных свойствах Л„-обобщенного решения задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // XXXI Дальневосточная школа-семинар имени академика Е В Золотова Тезисы докладов — Владивосток Дальнаука — 2006 — С 90 (0 06 п л)

6 Рукавишников В А , Кузнецова Е В Метод конечных элементов для задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // XXXII Дальневосточная школа-семинар имени академика Е В Золотова Тезисы докладов — Владивосток Дальнаука — 2007 — С 94 (0 06 п л )

7 Кузнецова Е В Некоторые свойства /¡¡„-обобщенного решения задачи Дирихле в произвольной выпуклой области // Математическое моделирование и смежные вопросы математики Сборник научных трудов — Хабаровск Изд-во ХГПУ - 2003 - С 20-22 (0 18 п л )

8 Рукавишников В А , Кузнецова Е В О разрешимости задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных в весовых пространствах // Проблемы теоретической и прикладной математики Сборник научных трудов - Хабаровск Изд-во ДВГУПС - 2006 - С 70-75 (0 36 п л )

9 Рукавишников В А , Кузнецова Е В Схема метода конечных элементов для задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // Инновационные технологии - транспорту и промышленности труды 45-й Международной научно-практической конференции ученых транспортных вузов, инженерных работников и представителей академической пауки, 7-9 ноября 2007 г, под ред Ю А Давыдова - Хабаровск Изд-во ДВГУПС - 2007 -С 75-80 (0 36 п л )

10 Программа численного решения краевой задачи с сингулярностью «Проба-II» Св 2008612085 Российская федерация, / Кузнецова Е В , Николаев С Г, Рукавишников В А -№ 2008611687, заявл 28 04 2008

КУЗНЕЦОВА Елена Владимировна

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ С НЕСОГЛАСОВАННЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Сдано в набор 28 04 2008 Подписано в печать 29 04 2008 Формат 60 х 841/i6 Гарнитура Times New Roman Печать RISO Уел печ л 1 Зак 123 Тираж 100 жч

Издательство ДВГУПС 680021, г Хабаровск, ул Серышева, 47

Введение.

Глава 1. Существование и единственность /^-обобщенного решения задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных.

Коэрцитивность и дифференциальные свойства.

1.1. Основные обозначения и вспомогательные утверждения.

1.2. Определение Д„-обобщенного решения . . г — —.т

1.3. Существование и единственность /^-обобщенного решения задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных.

1.4. Коэрцитивность задачи Дирихле с несогласоваршым вырождением исходных данных.

1.5. Дифференциальные свойства /^-обобщенного решения задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных.

Глава 2. Метод конечных элементов для задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Схема метода конечных элементов.

2.3. Оценка погрешности аппроксимации в норме множества

WU+/3/2+iPM).

Глава 3. Численная реализация метода конечных элементов для задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных

3.1. Постановка дифференциальной задачи.

3.2. Численный эксперимент.

3.3. Результаты численного эксперимента и выводы об аппроксимационных свойствах предложенного метода конечных элементов.

Настоящая диссертация посвящена построению и теоретическому обоснованию схемы метода конечных элементов для численного решения задачи с сингулярностью, вызванной вырождением исходных данных задачи на конечном множестве точек границы произвольной выпуклой двумерной области. Для построения и теоретического обоснования схемы метода конечных элементов были исследованы вопросы существования и единственности, коэрцитивность и дифференциальные свойства /^-обобщенного решения задачи Дирихле для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка с несогласованным вырождением исходных данных.

Вырожденные эллиптические уравнения возникают в теории малых изгибов поверхностей вращения, в теории оболочек и т.д. Такие уравнения играют значительную роль в газовой динамике.

Сингулярность решения краевой задачи для эллиптических дифференциальных уравнений может быть вызвана тремя причинами:

• наличием угловых или конических точек на границе области;

• сменой типа граничных условий в точках границы;

• вырождением исходных данных краевой задачи (коэффициентов и правых частей уравнения и граничных условий).

В настоящее время в работах Агмона, Дуглиса, Ниренберга [1], Хермандера [125], Лопатинского [59] построена законченная теория краевых задач для эллиптических уравнений и систем уравнений с гладкой границей. Основным результатом этой теории является то, что, если коэффициенты уравнения и граничных операторов, их правые части, а также граница области являются достаточно гладкими, то решение задачи — соответственно гладкая функция.

В работах Шаудера, Каччиопполи, Jlepe и пр. (см. [6, 27, 54, 56]) был развит метод, позволяющий доказывать теоремы существования решений нелинейных уравнений на основе соответствующих априорных оценок. Этот метод не требует предварительного построения фундаментального решения и позволяет использовать некоторые теоремы из функционального анализа вместо теории интегральных уравнений.

Оказалось, что разрешимость краевых задач для квазилинейных уравнений второго порядка можно вполне легко доказать, используя оценку Гельдера для первых производных решения соответствующей линейной краевой задачи. Следовательно, появилась необходимость более глубокого изучения линейных задач и получения более точных оценок. В работе [89] получена вышеупомянутая оценка для двумерного несамосопряженного уравнения, что позволило доказать теорему существования для задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка при минимальных условиях на-гладкость коэффициентов уравнения. В случае многомерного уравнения такая оценка была получена в работе [46], в предположении, чтогурав-нение удовлетворяет условию, зависящему от евклидовой размерности пространства N > 2. Однако, попытки получить такую же априорную оценку для эллиптических уравнений второго порядка общего вида не увенчались успехом, т.к. оказалось, что такой оценки просто не существует.

Краевые задачи в гладких областях для вырожденных квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка весьма интенсивно развиваются в последнее время (см. [2, 166, 167, 192, 205, 210, 212, 223, 227, 276] и обширную библиографию в этих источниках).

Для доказательства разрешимости краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в работах Берн-штейна и позднее Де Джорджи и Нэша [27, 56] был разработан метод, позволяющий получить необходимые оценки для нелинейных задач. Этот метод был развит Ладыженской и Уральцевой в монографии [56], в которой метод применим к различным краевым задачам. Их результаты послужили толчком для появления целого ряда работ их учеников и других математиков (см., например, [52, 228-239, 283]). Все исследования, упомянутые выше, посвящены краевым задачам в достаточно гладких областях. Следует отметить, что окончательное завершение этих исследований потребовало больших усилий многих математиков и заняло около 30 лет.

Однако многие задачи физики и техники приводят к необходимости изучения краевых задач в областях с негладкой границей. К таким областям относятся области, которые имеют на границе конечное число угловых (N — 2) или конических (N > 2) точек, ребер и т.д. Состояние теории краевых задач в негладких областях двадцатилетней давности подробно изложено в работах [45, 223, 226, 248].

Работами по изучению линейных краевых задач с вырождением, обусловленным наличием угловых или конических точек на границе области, а также сменой граничных условий в точках границы, являются фундаментальные работы Кондратьева [38, 39, 41, 45], а также Бирмана и Скворцова [7], Эскина [126, 199], Лопатинского [60], Ма-зьи [61-64, 75, 77-79, 82], Назарова [85, 87], Фуфаева [124], Гривар-да [207] и Никольского [88]. В этих работах исследуется разрешимость и регулярность линейных эллиптических задач общего вида в весовых пространствах Соболева в негладких областях. Стало ясно, что методы, применяемые для исследования эллиптических краевых задач в гладких областях, не применимы для негладких областей, т.к. в этом случае невозможно распрямить границу с помощью гладкого преобразования.

Эллиптические задачи в негладких областях изучались Кондратьевым [38, 39] в £2-соболевских пространствах; Мазья, Кроль и Пла-меневский [47-50, 66-68, 73-80, 253, 254] (см. также [70, 72, 206, 248, 249, 251, 255]) обобщили результаты Кондратьева на 1Лсоболевские и другие пространства. Существует много других работ, относящихся к эллиптическим краевым задачам в негладких областях (см. список литературы).

Краевые задачи в негладких областях для вырожденных квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка изучены в меньшей степени. Похожаевым [95] получены точные априорные оценки для модельной квазилинейной вырождающейся эллиптической задачи в ограниченной области с RN, N > 3. В работах [131, 225] получены результаты о существовании решений вырожденных квазилинейных эллиптических краевых задач. В работе [241] в липшицевых областях изучена регулярность решений и корректность задач для вырожденных квазилинейных эллиптических уравнений, возникающих в теории упругости при решении задач о биоматериалах. Работы [8, 11, 13, 14, 174, 191, 284] посвящены изучению слабых решений задачи в окрестности конической точки границы в некоторых частных случаях. В работе [176] изучена задача Дирихле для модельного уравнения вблизи ребра. В работе [207] исследованы свойства решений задачи для оператора Лапласа в плоской области, ограниченной многоугольником.

В работах [32, 51, 86, 202, 203] рассматриваются сингулярные краевые задачи для некоторых нелинейных эллиптических уравнений. Исследуются вопросы регулярности решений в негладких областях.

Далее, в работах [97-99] развивается теория краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с сильной сингулярностью решения (и ^ И^1 (£})), вызванной вырождением исходных данных. Отличительной особенностью таких задач является то, что для них не всегда можно определить обобщенное решение или оно не обладает необходимой регулярностью. Поэтому В. А. Рукавишниковым в работах [97, 99] было предложено определять решение таких краевых задач как /^-обобщенное, удовлетворяющее специальному весовому интегральному тождеству и было выделено два класса задач: с согласованным и несогласованным вырождением исходных данных. Такое определение позволило изучить в весовых пространствах С. JI. Соболева существование и единственность решения краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных, ее коэрцитивные и дифференциальные свойства ([104-106, 108]) и построить специальные весовые множества, в которых изучены вопросы существования и единственности решения краевой задачи с несогласованным вырождением исходных данных, ее коэрцитивные и дифференциальные свойства ([97, 98, 100, 109, 110, 112]).

Заметим, что в большинстве практических приложений точное решение рассматриваемых краевых задач найти не удается. Более того, в ряде случаев неизвестна даже асимптотика поведения точного решения в окрестностях нерегулярных точек. По этим причинам актуальной является проблема построения эффективных численных методов, учитывающих специфику задач с сингулярностью, а также теоретическое исследование этих методов.

Существуют три классических семейства численных методов для решения дифференциальных уравнений в частных производных:

• методы конечных разностей (МКР);

• методы конечных объемов (МКО);

• методы конечных элементов (МКЭ).

Эти три семейства имеют две общие черты: они используют сетку и местную аппроксимацию многочленами.

Построение сетки связано со многими трудностями, например, когда область имеет сложную геометрию (форму) или сетка должна изменяться со временем, как в задаче распространения трещины. С другой стороны, для задач, решения которых не обладают гладкостью, применение многочленов в качестве приближающих функций не эффективно. Для таких задач построены другие аппроксимирующие функции, которые назовем специальными. Это создало потребность развить методы, которые устраняют полностью или частично, потребность в сетках и используют специальные аппроксимирующие функции (немногочлены). В работах [143, 144, 151, 163] дается единообразная математическая теория сеточных методов и обобщенного МКЭ для решения линейных эллиптических уравнений.

Построение сетки при решении задач математической физики методами конечных разностей, конечных элементов или конечных объемов во многом определяет эффективность применяемых алгоритмов. Естественно, в настоящее время существует много способов построения сеток, в том числе адаптивных, т.е. использующих априорную и апостериорную информацию о свойствах решения исходной задачи. В работе [35] предложена достаточно универсальная и экономичная сеточная технология, обеспечивающая эффективное решение широкого класса уравнений математической физики с применением различных типов аппроксимации и быстрых решателей, адаптивных МКО и МКЭ, расщепления, декомпозиция областей, многосеточных подходов и т.д. Базовой является «паркетная структура», которая, однако, может состоять не только из прямоугольных подобластей с заданной в них декартовой сеткой. Допускаются подобласти различных конфигураций, в которых строятся сетки и других видов, например, полярные, треугольные или нерегулярные (хаотические). В исходных областях, в свою очередь, могут быть выделены зоны сгущения, т.е. дочерние сеточные подобласти.

В последнее время МКЭ становится распространенным способом решения сложных задач. Возникновение МКЭ связано с решением задач космических исследований (1950 г.). Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже потом был осмыслен математиками, которые часто называют данный метод вариационно-разностным, подчеркивая тем самым его математическую природу.

В развитии МКЭ принимали участие исследователи в области строительной механики и прикладной математики. В период с 1850 по 1860 гг. была разработана теория кручения и изгиба балок и тем самым заложены основы науки по расчету конструкций. В течении последующих 100 лет расчет конструкций основывался на изучении систем, содержащих одномерные элементы. В середине 1950 г. в авиастроении разработан двумерный элемент. Он был создан для того, чтобы улучшить моделирование всей конструкции путем учета работы мембранных элементов.

В 1960 г. Клафф впервые ввел понятие «конечный элемент» в статье «Использование метода конечных элементов для исследования плоского напряженного состояния». Метод был распространен на решение задач механики сплошных сред.

В 1909 г. Ритц разработал эффективный метод приближенного решения задач механики сплошных сред. Он включает в себя аппроксимацию функционала энергии с помощью известных функций с неизвестными коэффициентами. Минимизация функционала в отношении каждого неизвестного приводит к системе уравнений, из которых могут быть определены неизвестные коэффициенты. Одно из основных ограничений метода Ритца состоит в том, что используемые функции должны удовлетворять граничным условиям задачи.

В 1943 г. Курант [187] значительно расширил возможности метода Ритца путем введения специальных линейных функций на треугольных областях и применил метод к решению задач кручения. В качестве неизвестных были выбраны значения функций в узловых точках треугольных областей. Таким образом, основное ограничение, накладываемое на функции Ритца, в отношении удовлетворения граничным условиям, было устранено. Метод Ритца с модификацией Куранта аналогичен МКЭ, который независимо предложил Клафф много лет спустя. Основная причина, по которой МКЭ получил огромное распространение в 1960 гг. заключается в том, что присущий данному методу большой объем вычислительных операций может быть выполнен только с помощью ЭВМ, тогда как в 1943 г. Курант не имел такой возможности.

Область применения МКЭ существенно расширилась, когда в 1968 г. было показано, что уравнения, определяющие элементы в задачах строительной механики, распространения тепла, гидромеханики, могут быть легко получены с помощью таких вариантов метода взвешенных невязок, как метод Галеркина или способ наименьших квадратов. Установление этого факта сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, так как позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, МКЭ из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений.

В конце 60-х — начале 70-х годов прошлого века в работах Ж. Де-клу [29], Ж.-П. Обэна [90], Г. Стренга и Дж. Фикса [121], Ф. Сьярле [122], Э. Митчела и Р. Уэйта [84], Г. И. Марчука и В. И. Агошкова [83], О. Зенкевича и К. Моргана [31], статьях И. Бабушки и Э. Азиза [141], М. Зламала [286, 287], Л. А. Оганесяна, Л. А. Руховца, В. Я. Рив-кинда [91, 92] был развит математический аппарат МКЭ и получены основные теоретические результаты, связанные с оценками погрешности аппроксимации, сходимости и обусловленности схем МКЭ.

Последние три десятилетия интенсивно развиваются различные подходы к решению краевых задач с сингулярностью решения. Во многом структура численного метода и математический аппарат его исследования зависит от характера возникновения и поведения сингулярности. В одномерном случае изучению конечномерных аппроксимаций таких задач были посвящены работы [142, 145, 152, 153, 154, 157, 158, 165, 184, 211, 214, 258].

МКЭ есть процесс построения конечномерных подпространств, называемых конечноэлементными пространствами. При этом базисы построенных конечноэлементных пространств состоят из кусочно-полиномиальных функций, определенных на разбиении исходной области и имеющих локальные носители. Поэтому, в зависимости от способа увеличения размерности конечноэлементного пространства различают три версии метода конечных элементов: h—, р— и h—p версии.

В работах [128-130, 139, 147-149, 156, 159, 162, 184, 186, 267] разработаны h—, р— и h—p версии МКЭ, при этом работа [150] посвящена прямым и обратным теоремам аппроксимации р—версии МКЭ в весовых пространствах для эллиптических задач в многоугольных областях.

В [246, 247] развит МКЭ с локально периодической микроструктурой длины е > 0. Показано, что для кусочно-аналитических начальных данных предложенный метод имеет экспоненциальную сходимость, не зависящую от масштаба длины г и при г —> 0 численное решение сходится к решению гомогенизированной задачи с оптимальным порядком е. При этом численная реализация не зависит от е.

Работы [181, 278-282] описывают новую версию МКЭ, который хорошо подходит для решения задач в областях с большим количеством внутренних особенностей (например, лакуны, вложения, трещины и т.д.). Главная идея состоит в том, чтобы использовать известные функции, строящиеся на подобластях. Эти функции являются решениями местных краевых задач, отражающих геометрию области и граничные условия, т.е. углы, лакуны и т.д. Обобщенный МКЭ является устойчивым относительно размеров элемента и позволяет достигать высокой точности на отверстиях.

В [94] приведено описание программы для демонстрации итерационных методов решения краевых задач для двумерных дифференциальных уравнений эллиптического типа (граничные условия Дирихле и Неймана), разработанной с использованием пакета Mathcad 7.0 Professional.

Также пристальное внимание уделяется обсуждению численных решений эллиптических краевых задач с сингулярностью решения методом конечных элементов в трехмерном случае (см. [140, 182, 193, 220]).

Для краевых задач с сингулярностью решения, вызванной вырождением исходных данных, в работах [37, 114, 116, 168, 216, 268, 271] построены различные схемы МКЭ. При этом в работах [114, 116, 271] для первой и третьей краевых задач с согласованным вырождением исходных данных на конечном множестве точек границы двумерной области строилась h-версия МКЭ и были доказаны сходимости приближенных /^-обобщенных решений к точным в норме весового пространства C.JL Соболева с первым порядком по сеточному параметру h, а в норме весового пространства Лебега — со вторым. В работах [37, 216] для одномерной задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных и сильной сингулярностью решения построена и исследована р-версия МКЭ и в результате доказана степенная скорость сходимости приближенного /^-обобщенного решения к точному в норме весового пространства C.JI. Соболева. В работах [168, 268] для одномерной и двумерной задач Дирихле с сильной сингулярностью решения, вызванной согласованным вырождением исходных данных в граничных точках, разработана и обоснована h—p версия МКЭ. В результате, благодаря использованию сеток со сгущением к точкам особенности и специальному построению степенных векторов аппроксимационных функций для каждой из рассмотренных в этих работах краевых задач установлена экспоненциальная скорость сходимости приближенного /^-обобщенного решения к точному в норме весового пространства С. JI. Соболева.

В настоящей диссертации рассматривается задача Дирихле для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка с несогласованным вырождением исходных данных и сингулярностью решения в точках границы произвольной выпуклой двумерной области. Решение поставленной задачи определяется как /^-обобщенное; доказана теорема существования и единственности /^-обобщенного решения поставленной задачи в весовом множестве +/3/2(^5 доказана его принадлежность весовому множеству H^.+^+i 5); исследованы дифференциальные свойства /^-обобщенного решения: установлена его принадлежность множеству ПРИ определенных условиях на параметр и*, коэффициенты и правые части дифференциального уравнения. Для нахождения /^-обобщенного решения рассматриваемой краевой задачи построена схема МКЭ, причем конечноэлементпое пространство в качестве базиса имеет функции, содержащие сингулярную составляющую; исследована погрешность аппроксимации предложенного метода. В результате применения этого подхода установлено, что скорость сходимости приближенного /^-обобщенного решения к точному имеет первый порядок. Дано описание численного эксперимента и проведены расчеты серии двумерных модельных задач с сингулярностью и несогласованным вырождением исходных данных. В результате расчетов, приведенных на рисунках 3.3.1-3.3.4 и в таблицах 1.1-4.3, сделан вывод, что предложенный МКЭ нахождения приближенного /^-обобщенного решения в несколько раз точнее, чем аналогичный метод нахождения приближенного обобщенного решения.

Перейдем к более подробному описанию полученных результатов. Диссертация состоит из введения и трех глав.

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг JT. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. 1. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962. — 208 с.

2. Алхутов Ю. А., Крашенинникова О. В. Непрерывность в граничных точках решений квазилинейных эллиптических уравнений с нестандартным условием роста // Известия РАН. Серия математическая. 2004. - Т. 68, № 6. - С. 3-60.

3. Апушкинская Д., Назаров А. Задача Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений в областях с гладкими ребрами// Теория функций и приложения. Проблемы математического анализа. 2000. -Т. 21. - С. 3-29.

4. Бабин А. В. О гладкости решений дифференциальных уравнений в особых точках границы области // Известия АН СССР, серия математическая. 1990. - Т. 54, № 6. - С. 1134-1154.

5. Багиров JI. А. О решениях краевых задач для эллиптического уравнения, вырождающегося на части границы // Математические заметки. 1990. - Т. 47, № 1. - С. 29-38.

6. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1966. 351 с.

7. Бирман М. Ш., Скворцов Г. Е. О квадратичной суммируемости старших производных решения задачи Дирихле в области с кусочно-гладкой границей // Известия вузов, серия математическая. 1962. - Т. 5. - С. 12-21.

8. Борсук М. В. Поведение обобщенных решений задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических дивергентных уравнений второго порядка вблизи конической точки // Сибирский математический журнал. —1990. — Т. 31, №6. — С. 25-38.

9. Борсук М. В. Неулучшаемые оценки решений задачи Дирихле для линейных эллиптических недивергентных уравнений второго порядка в окрестности конической точки границы // Математический сборник. 1991. - Т. 182, № 10. — С. 1446-1462.

10. Борсук М. В. Оценки решений задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического недивергентного уравнения второго порядка вблизи угловой граничной точки // Алгебра и анализ. —1991. — Т. 3, № 6. С. 85-107.

11. Борсук М. В. Поведение решений задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка общего вида вблизи угловой точки // Украинский математический журнал. — 1992. Т. 44, № 2. - С. 167-173. •

12. Борсук М. В. О разрешимости задачи Дирихле для линейных эллиптических уравнений второго порядка в областях с коническими точками // Успехи математических наук. — 1993. — Т. 48, № 4.- С. 176-177.

13. Борсук М. В. Оценки решений задачи Дирихле для эллиптических недивергентных уравнений второго порядка в окрестности конической точки границы // Дифференциальные уравнения. — 1994. Т. 30, № 1. - С. 104-108.

14. Борсук М. В. Оценки обобщенных решений задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в области с конической граничной точкой // Дифференциальные уравнения. 1995. - Т. 31, № 6. - С. 1001-1007.

15. Борсук М. В. О разрешимости первой краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка в области с конической точкой на границе // Математическая физика, анализ, геометрия. — 1997. Т. 4, № 4. - С. 428-452.

16. Борсук М. В. Поведение решений задачи Дирихле для слабо нелинейных эллиптических недивергентных уравнений в окрестности конической точки границы // Дифференциальные уравнения. — 1997. Т. 33, № 8. - С. 1085-1094.

17. Борсук М. В. Дини-непрерывность первых производных решений задачи Дирихле для линейных эллиптических уравнений второго порядка в негладкой области // Сибирский математический журнал. 1998. - Т. 39, № 2. - С. 261-280.

18. Борсук М. В. Поведение слабых решений краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений с' тройным вырождением 1 вблизи ребра на границе области // Нелинейные граничные задачи. 2002. - Т. 12. - С. 32-43.

19. Борсук М. В. Вырождающиеся эллиптические краевые задачи второго порядка в негладких областях // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2005. — Т. 13. — С. 3-137.

20. Борсук М. В., Кондратьев В. А. Поведение решения задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка вблизи угловой точки // Дифференциальные уравне-нияю 1988. - Т. 24, № 10. - С. 1778-1784.

21. Вержбинский Г. М., Мазья В. Г. Асимптотическое поведение решений эллиптических уравнений второго порядка вблизи границы. I // Сибирский математический журнал. — 1971. — Т. 12, № 6. С. 1217-1249.

22. Вержбинский Г. М., Мазья В. Г. Асимптотическое поведение решений эллиптических уравнений второго порядка вблизи границы. II // Сибирский математический журнал. — 1972. — Т. 13, № 6. С. 1239-1271.

23. Вержбинский Г. М., Мазья В. Г. О замыкании в Lp оператора задачи Дирихле в области с коническими точками // Известия вузов, серия математическая. — 1974. — Т. 6. — С. 8-19.

24. Вишик М. И., Грушин В. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Математический сборник. 1969. - Т. 80 (122), № 4 (12). - С. 455-491.

25. Волков Е. А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на прямоугольнике // Труды МИАН. 1965. - Т. 77. - С. 89-112.

26. Вулис И. Л., Соломяк М. 3. Спектральная асимптотика вырождающихся эллиптических операторов второго порядка // Известия АН СССР, серия математическая. 1974. - Т. 38, № 6. - С. 13621392.

27. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. — М.: Наука, 1989.

28. Голопуз С. А. Асимптотическое разложение решений эллиптических краевых задач в некоторых критических случаях // Труды МИАН. 2005. - Т. 250. - С. 54-63.

29. Деклу Ж. Метод конечных элементов. — М.: Мир, 1975. — 541 с.

30. Дьяконов Е. Г. Усиленные пространства Соболева для областей с нерегулярной границей // Труды МИАН. — 2003. — Т. 243. — С. 213-229.

31. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. — М.: Мир, 1986. 318 с.

32. Егоров И. Е. Аналитичность решений сингулярных эллиптических уравнений // Математический сборник. — 1987. — Т. 133 (175), №2(6). С. 147-153.

33. Жиков В. В. О весовых соболевских пространствах // Математический сборник. — 1998. — Т. 189, № 8. — С. 27-58.

34. Заянчковский В., Солонников В. А. О задаче Неймана для эллиптических уравнений второго порядка в областях с ребрами на границе // Записки научного семинара ЛОМИ. — 1983. — Т. 127, № 15. С. 7-48.

35. Ильин В. П., Свешников В. М., Сынах В. С. О сеточных технологиях для двумерных краевых задач // Сибирский журналиндустриальной математики. — 2000. — Т.'З, № 1. — С. 124-136.

36. Катрахов В. В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений // Математический сборник. 1980. - Т. 112 (154), № 3 (7). - С. 354-379.

37. Кашуба Е. В. Метод конечных элементов в р-версии для краевой задачи с сингулярностью в решении // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Хабаровск, 2002. — 98 с.

38. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в конических областях // Доклады АН СССР. — 1963. — Т. 153. — С. 27-29.

39. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Труды Московского математического общества. — 1967. — Т. 16. — С. 209-292.

40. Кондратьев В. А. О гладкости решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в кусочно гладкой области // Дифференциальные уравнения. — 1970. — Т. 6, № 10. — С. 1831-1843.

41. Кондратьев В. А. Особенности решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в окрестности ребра // Дифференциальные уравнения. — 1977. — Т. 13, № 11. — С. 20262032.

42. Кондратьев В. А. О некоторых нелинейных краевых задачах в цилиндрических областях // Труды семинара имени И. Г. Петровского. 1996. - Т. 19. - С. 235-261.

43. Кондратьев В. А., Копачек И., Олейник О. А. О поведении обобщенных решений эллиптических уравнений второго порядка и системы теории упругости в окрестности граничной точки // Труды семинара имени И. Г. Петровского. — 1982. — Т. 8. — С. 135-152.

44. Кондратьев В. А., Копачек И., Олейник О. А. О наилучших показателях Гельдера для обобщенных решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // Математический сборник. 1986. - Т. 131, № 1. - С. 113-125.

45. Кондратьев В. А., Олейник О. А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // Успехи математических наук. — 1983. — Т. 38, № 2. — С. 3-76.

46. Кордес X. О. О первой краевой задаче для квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка более чем с двумя переменными // Математика. Сборник переводов. — 1959. — Т. 16, № 2. С. 75-107.

47. Кроль И. Н. О решениях уравнения div{\\7и\р 2-Vu} = 0 с особенностью в граничной точке // Труды МИАН. — 1973. — Т. 125. — С. 127-139.

48. Кроль И. Н. О поведении решений одного квазилинейного уравнения вблизи нулевых заострений границы // Труды МИАН. — 1973. Т. 125. - С. 140-146.

49. Кроль И. Н., Мазья В.Г. Об отсутствии непрерывности и непрерывности по Гельдеру решений одного квазилинейного уравнения // Записки научного семинара ЛОМИ. — 1969. — Т. 14. — С. 89-91.

50. Кроль И. Н., Мазья В.Г. О гельдеровской непрерывности и разрывности решений квазилинейных эллиптических уравнений вблизи нерегулярной границы // Труды Московского математического общества. 1972. - Т. 26. - С. 75-94.

51. Крылов Н. В. О вырождающихся нелинейных эллиптических уравнениях // Математический сборник. — 1983. — Т. 120 (162), № 3. С. 311-330.

52. Крылов Н. В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. — М.: Наука, 1985.

53. Крылов Н. В. О первой краевой задаче для нелинейных вырождающихся эллиптических уравнений // Известия АН СССР, серия математическая. 1987. - Т. 51, № 2. — С. 242-269.

54. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1988.

55. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973.

56. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1973.

57. Левендорский С. 3. О типах вырождающихся эллиптических операторов // Математический сборник. — 1989. — Т. 180, № 4. — С. 513-528.

58. Лопатинский Я. Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям // УМЖ. — 1953. Т. 5, № 2. - С. 123-151.

59. Лопатинский Я. Б. Об одном типе сингулярных интегральных уравнений // Теоретическая и прикладная математика. Львовский государственный университет. — 1963. — Т. 2. — С. 53-57.

60. Мазья В. Г. Разрешимость задачи Дирихле для области с гладкой нерегулярной границей // Вестник Ленинградского университета. 1964. - Т. 19, № 7. - С. 163-165.

61. Мазья В. Г. О модуле непрерывности решения задачи Дирихле вблизи нерегулярной границы // Проблемы математического анализа. 1966. - С. 45-58.

62. Мазья В. Г. Разрешимость в W| задачи Дирихле для области с гладкой нерегулярной границей // Вестник Ленинградского университета. 1967. - Т. 22, № 7. - С. 87-95.

63. Мазья В. Г. О поведении вблизи границы решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме // Математические заметки. — 1967. — Т. 2. — С. 209-220.

64. Мазья В. Г. Примеры нерегулярных решений квазилинейных эллиптических уравнений с аналитическими коэффициентами // Функциональный анализ и приложения. — 1968. — Т. 2, № 3. — С. 53-57.

65. Мазья В. Г. Непрерывность в граничной точке решений квазилинейных эллиптических уравнений // Вестник Ленинградского университета. 1970. - Т. 25, № 13. - С. 42-55.

66. Мазья В. Г. Непрерывность в граничной точке решений квазилинейных эллиптических уравнений. Erratum // Вестник Ленинградского университета. — 1972. — Т. 27, № 1. — С. 160.

67. Мазья В. Г. Об устранимых особенностях ограниченных решений квазилинейных эллиптических уравнений любого порядка // Записки научного семинара ЛОМИ. 1972. - Т. 27. - С. 116-130.

68. Мазья В. Г. Пространства Соболева. — Изд-во Ленинградского университета, 1985.

69. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотическое поведение решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. — Тбилиси: Тбилиский государственный университет, Институт прикладной математики, 1981.

70. Мазья В. Г., Панеях Б. .П. Коэрцитивные оценки и регулярность решений вырождающихся эллиптических псевдодифференциальных уравнений // Функциональный анализ и его приложения. — 1970. Т. 4, № 4. - С. 41-56.

71. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Об эллиптических краевых задачах в области с кусочно гладкой границей // Труды симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. Тбилиси. 1971. - Т. 1. - С. 171-181.

72. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Поведение решений квазилинейных эллиптических краевых задач в окрестности конической точки // Записки научного семинара ЛОМИ. — 1973. — Т. 38. — С. 94-97.

73. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. О фундаментальных решениях эллиптических краевых задач и принцип максимума Миранда-Агмона в областях с коническими точками // Сообщения АН Грузинской ССР. 1974. - Т. 73, № 2. - С. 277-280.

74. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в конусе // Записки научного семинара ЛОМИ. 1975. - Т. 52, № 8. - С. 110-127.

75. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Эллиптические краевые задачи на многообразиях с особенностями // Проблемы математического анализа. 1977. - Т. 6. - С. 85-142.

76. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Оценки функций Грина и ша-удеровские оценки решений эллиптических краевых задач в двугранном угле // Сибирский математический журнал. — 1978. — Т. 19, № 5. С. 1065-1082.

77. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Шаудеровские оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами на границе // Труды семинара им. С. Л. Соболева. 1978. - Т. 2. — С. 69-102.

78. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Lp-оценки решений эллиптических краевых задач в областях, с ребрами // Труды Московскогоматематического общества. — 1978. — Т. 37. — С. 49-93.

79. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Асимптотическое поведение фундаментальных решений эллиптических краевых задач в областях с коническими точками // Проблемы математического анализа. — 1979. Т. 7. - С. 100-145.

80. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. О решениях нелинейной задачи Дирихле с сильными особенностями вблизи конической точки // Успехи математических наук. — 1982. — Т. 37, № 4. — С. 101.

81. Мазья В. Г., Сапожникова В. Д. Решение задачи Дирихле и Неймана в нерегулярных областях методами теории потенциала // Доклады АН СССР. 1964. - Т. 159. - С. 1221-1223.

82. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. — М.: Наука, 1981. — 416 с.

83. Митчел Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. — М.: Мир, 1981. — 216 с.

84. Назаров С. А. Эллиптические краевые задачи, вырождающиеся в конической точке // Вестник ЛГУ. 1980. — № 9. — С. 108-109.

85. Назаров С. А., Пилецкас К. И. Асимптотика решения нелинейной задачи Дирихле, имеющего сильную особенность вблизи угловой точки // Известия АН СССР, серия математическая. — 1984. — Т. 48, № 6. С. 1225-1244.

86. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. — М.: Наука, 1991.

87. Никольский С. М. Задача Дирихле в областях с углами // Доклады АН СССР. 1956. - Т. 109, № 1. - С. 33-35.

88. Ниренберг JI. О. О нелинейных эллиптических дифференциальных уравнениях в частных производных и непрерывности по Гель-ДеРУ // Математика. Сборник переводов. — 1959. — Т. 3, № 3. — С. 9-55.

89. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. — М.: Мир, 1977. 360 с.

90. Оганесян Л. А., Ривкид В. Я., Руховец Л. А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. I // Дифференциальные уравнения и их применения. — 1973. — Вып. 5. — 394 с.

91. Оганесян Л. А., Ривкид В. Я., Руховец Л. А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. II // Дифференциальные уравнения и их применения. — 1974. — Вып. 8.-317 с. .

92. Петрушко И. М. О существовании граничных значений решений вырождающихся эллиптических уравнений // Математический сборник. 1999. - Т. 190, № 7. - С. 41-72.

93. Поршнев С. В. Методика использования пакета MATHCAD для изучения итерационных методов решения краевых задач для двумерных дифференциальных уравнений эллиптического типа // Вычислительные методы и программирование. — 2001. — Т. 2. —-С. 7-14.

94. Похожаев С. И. Точные априорные оценки для одной квазилинейной вырождающейся эллиптической задачи // Математический сборник. 1993. - Т. 184, № 8. - С. 3-16.

95. Рукавишников В. А. Методы численного анализа краевых задач с сингулярностью // Диссертация на соискание ученой степенидоктора физико-математических наук. — Хабаровск. — 1997. — 269 с.

96. Рукавишников В. А. Задача Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // Доклады РАН. — 1994. — Т. 337, № 4. С. 447-449.

97. Рукавишников В. А. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с несогласованным вырождением исходных данных // Дифференциальные уравнения. —■ 1996. — Т. 32, № 3. С. 402-408.

98. Рукавишников В. А. О i^-обобщенном решении задачи Дирихле в прямоугольнике // Препринт / ДВО АН СССР. — Владивосток: Дальнаука. — 1989. — 35 с.

99. Рукавишников В. А. О /^-обобщенном решения задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // Вычислительные технологии. — Новосибирск. — 1993. — Т. 2, № 4. — С. 105-111.

100. Рукавишников В. А. О весовых оценках скорости сходимости разностных схем // Доклады АН СССР. 1986. - Т. 288, № 5. -С. 1058-1062.

101. Рукавишников В. А. О дифференциальных свойствах Ru-обобщенного решения задачи Дирихле // Доклады АН СССР. — 1989. Т. 309, № 6. - С. 1318-1320.

102. Рукавишников В. А. Численные методы решения задач с сильной и двойной сингулярностью // XXX Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова. Тезисы докладов. — Хабаровск: Издательство ДВГУПС. — 2005. — С. 111-112.

103. Рукавишников В. А., Ереклинцев А. Г. О коэрцитивности Rv-обобщенного решения первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных // Дифференциальные уравнения. 2005. - Т. 41, № 12. - С. 1680-1689.

104. Рукавишников В. А., Ереклинцев А. Г. Коэрцитивные оценки Ru-обобщенного решения для первой и третьей краевых задач с сингулярностью решения // Препринт № 70 / Вычислительный центр ДВО РАН. Хабаровск: ВЦ ДВО РАН. - 2003. - 37 с.

105. Рукавишников В. А., Ереклинцев А. Г. Метод конечных элементов высокого порядка точности для задачи Дирихле с сингулярностью // Препринт № 102 / Вычислительный центр ДВО РАН. — Хабаровск: ВЦ ДВО РАН. 2006. - 27 с.

106. Рукавишников В. А., Ереклинцев А. Г. О дифференциальных свойствах /^-обобщенного решения задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных // Препринт № 95 / Вычислительный центр ДВО РАН. — Хабаровск: ВЦ ДВО РАН. — 2006. 31 с.

107. Рукавишников В. А., Кузнецова Е. В. Коэрцитивная оценка для краевой задачи с несогласованным вырождением исходных данных // Дифференциальные уравнения. — 2007. — Т. 43, № 4. — С. 533-543.

108. Рукавишников В. А., Кузнецова Е. В. Коэрцитивная оценка длякраевой задачи с несогласованным вырождением исходных данных // Препринт № 85 / Вычислительный центр ДВО РАН. — Хабаровск: ВЦ ДВО РАН. 2005. — 29 с.

109. Рукавишников В. А., Кузнецова Е. В. Схема метода конечных элементов для краевой задачи с несогласованным вырождением исходных данных // Препринт № 108 / Вычислительный центр ДВО РАН. Хабаровск: ВЦ ДВО РАН. - 2007. - 15 с.

110. Рукавишников В. А., Рукавишникова Е. И. Метод конечных элементов для первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных // Доклады РАН. — 1994. — Т. 338, № 6. — С. 731-733.

111. Рукавишников В. А., Рукавишникова Е. И. Об оценке погрешности метода конечных элементов для третьей краевой задачи с сингулярностью в пространстве // Сибирский журнал вычислительной математики. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 177-185.

112. Рукавишников В. А., Рукавишникова Е. И. Третья краевая задача с сильной сингулярностью // Препринт № 11 / Вычислительныйцентр ДВО РАН. — Владивосток: Дальнаука. — 1997. — 16 с.

113. Рукавишников В. А., Рукавишникова Е. И. О скорости сходимости метода конечных элементов для задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных // Методы численного анализа. — Вып. 1. — Владивосток: Дальнаука. — 1993. — С. 22-48.

114. Рукавишников В. А., Рукавишникова Е. И. Об оценке погрешности метода конечных элементов в пространстве Ь2,и+-у для задачи Дирихле с вырождением // Методы численного анализа. — Вып. 2. — Владивосток: Дальнаука. — 1995. — С. 30-43.

115. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. — М.: Мир. 1979. - 392 с.

116. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. — М.: Наука, 1966. /

117. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. — М.: Мир, 1980. 512 с.

118. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. - 512 с. :

119. Фейгин В. И. О гладкости решений краевых задач для параболических и вырождающихся эллиптических уравнений // Математический сборник. 1970. - Т. 82 (124), № 4 (8). - С. 551-573.

120. Фуфаев В. К задаче Дирихле для областей с углами // Доклады АН СССР. 1960. - Т. 131, № 1. - С. 37-39.

121. Хермандер JT. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. —М.: Мир. — 1965.

122. Эскин Г. И. Общие краевые задачи для уравнений главного типа в плоскости с угловыми точками // Успехи математических наук. — 1963. Т. 18, № 3. - С. 241-242.

123. Adolfsson V. L2-integrability of the second-order derivatives for Poisson's equation in nonsmooth domains // Math. Scand. — 1992. — V. 70. P. 146-160.

124. Ainsworth M. A posteriori estimation in the finite element method // Dissertation Abstracts International. — 1991. — V. 51, № 12. — P. 5901.

125. Ainsworth M., Kay D. Approximation theory for the hp-version finite element method and application to the non-linear Laplacian // Applied Numerical Mathematics. 2000. - V. 34, № 4. - P. 329-344.

126. Ainsworth M., Kay D. The approximation theory for the p-version finite element method and application to the non-linear elliptic PDES // Numerische Mathematik. 1999. - V. 82, № 3. - P. 351388.

127. Akdim Y., Azroul E., Rhoudaf M. On the solvability of degenerated quasilinear elliptic problems // Electron. J. Differential Equations. — 2004.-V. 11.-P. 11-22.

128. Apel Т., Nicaise S. Elliptic problems in domains with edges: anisotropic regularity and anisotropic finite element meshes // Progr. Nonlinear Differential Equations Appl. 1996. - V. 22. - P. 18-34.

129. Azzam A. Behavior of solutions of Dirichlet problem for elliptic equations at a corner // Indian J. Pure Appl. Math. — 1979. — V. 10. P. 1453-1459.

130. Azzam A. On the first boundary problem for elliptic equations in regions wiht corners // Arab. J. Scl. Eng. — 1979. — V. 4. — P. 129135.

131. Azzam A. Smoothness properties of bounded solutions of Dirichlet's problem for elliptic equations in regions wiht corners on the boundary // Can. Math. Bull. 1980. - V. 23. - P. 213-226.

132. Azzam A. On Dirichlet's problem for elliptic equations in sectionally smooth n-dimensional domains // SIAM J. Math. Anal. — 1980. — V. 11. P. 248-253.

133. Azzam A. Smoothness properties of solutions of mixed boundary value problems for elliptic equations in sectionally smooth n-dimensional domains // Ann. Pol. Math. 1981. - V. 40, № 1. - P. 81-93.

134. Babuska I. Finite element method for domains with corners // Computing. 1970. - V. 6. - P. 264-273.

135. Babuska I. The p— and h—p versions of the finite element method. The state of the art // Finite Elements. Theory and applications. — Berlin, New York: Springer-Verlag. 1988. - P. 199-239.

136. Babuska I., Andersson В., Guo В., Melenk J. M., Oh H. S. Finite element method for solving problems with singular solutions // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 1996. — V. 74, № 1-2. P. 51-70.

137. Babuska I., Aziz A.K. Lectures on the mathematical foundations of the finite-element method // Mathematical foundations of the finite-element method with applications to partial differential equations. — 1972. P. 1-345.

138. Babuska I., Banerjee U., Osborn J. E. On principles for the selection of shape functions for the generalized finite element method //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2002. — V. 191, № 49-50. P. 5595-5629.

139. Babuska I., Banerjee U., Osborn J. E. Survey of meshless and generalized finite element methods: A unified approach // Acta Numerica. 2003. - V. 12. - P. 1-125.

140. Babuska I., Banerjee U., Osborn J. E. On the approximability and the selection of particle shape functions // Numerische Mathematik. — 2004. — V. 96, № 4. — P. 601-640.

141. Babuska I., Baumann С. E., Oden J. T. A discontinuous hp finite element method for diffusion problems: 1-D analysis // Computers & Mathematics with Applications. 1999. - V. 37, № 9. — P. 103-122.

142. Babuska I., Datta D. K., Copps K., Gangaraj S. K., Strouboulis T. Practical aspects of a-posteriori estimation for reliable finite element analysis // Computers к Structures. 1998. — V. 66, № 5. - P. 627664.

143. Babuska I., Dorr M. R. Error estimates for the h and p versions of the finite element method // Numer. Math. — 1981. — V. 37. — P. 257277.

144. Babuska I., Guo B. Q. The h—p version of the finite element method for problems with nonhomogeneousessential boundary conditions // Сотр. Meth. Appl. Mech. Engn. 1982. - V. 74. - P. 1-28.

145. Babuska I., Guo B. Q. Approximation properties of the h-p version of the finite element method // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1996. - V. 133, № 3-4. - P. 319-346.

146. Babuska I., Hugger J., Strouboulis Т., Copps K., Gangaraj S. K. The asymptotically optimal meshsize function for bi-p degree interpolation over rectangular elements // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1998. - V. 90, № 2. — P. 185-221.

147. Babuska I., Ihlenburg F., Paik E. Т., Sauter A. S. A generalized finite element method for solving the Helmholtz equation in two dimensions with minimal pollution // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1995. - V. 128. - P. 325-359.

148. Babuska I., Liu K.-M. Solving Stochastic partial differential equations based on the experimental data // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 2003. - V. 13, № 3. - P. 415-444.

149. Babuska I., Oden J. Т., Baumann С. E. A discontinuous hp finite element method for diffusion problems: 1-D analysis // Computers & Mathematics with Applications. 1999. - V. 37, № 9. - P. 103-122.

150. Babuska I., Suri M. Locking effects in the finite element approximation of elasticity problems // Numer. Math. — 1992. — V. 62, № 4. — P. 439-463.

151. Babuska I., Szabo B. A., Klatz I. N. The p version of the finite element method // SIAM J. Numer. Anal. 1981. - V. 18. - P. 515-545.

152. Babuska I., Strouboulis Т., Copps K. hp Optimization on finite element approximations: Analysis of the optimal mesh sequences in one dimension // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1997. - V. 150, № 1-4. - P. 89-108.

153. Babuska I., Strouboulis Т., Gangaraj S. K. A posteriori estimation of the error in the recovered derivatives of the finite element solution // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 1997. — V. 150, № 1-4. P. 369-396.

154. Babuska I., Strouboulis Т., Gangaraj S. K., Copps K., Datta D. K. Practical aspects a-posteriori estimation for reliable finite element analysis // Computers к Structures. — 1998. — V. 66, № 5. P. 627664.

155. Babuska I., Strouboulis Т., Gangaraj S. K., Copps K., Datta D. K. A posteriori estimation of the error estimate // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 1999. — V. 176, № 6. —■ P. 387-418.

156. Babuska I., Rosenzweig M. B. A finite element scheme for domains with corners // Numer. Math. 1973. - V. 20. - P. 1-21.

157. Babuska I., Zhang Z. The partition of unity method for the elastically supported beam // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1998. - V. 152. - P. 1-18.

158. Baldes A. Degenerate elliotic operators, diagonal systems and variational integrals // Manuscr. Math. — 1986. V. 55. — P. 467-486.

159. Below J., Kaul H. Nonlinear degenerate elliptic equations and axially symmetric problems // Calc. Var. Partial Differential Equations. — 1998. V. 7. - P. 41-51.

160. Blum H., Dobrowolski M. On finite element methods for elliptic equations on domains with corners // Computing. — 1982. — V. 28. — P. 53-63.

161. Bramble J. H., Zlamal M. Triangular elements in the finite element method // Math. Comput. 1970. - V. 24. - P. 809-821.

162. Borsuk M. V. Dini-continuity of first derivatives of solutions of the Dirichlet problem for second-order linear elliptic equations in a nonsmooth domain // Ann. Polon. Math. 1998. - V. 69. - P. 129154.

163. Borsuk M. V. On the behavior of solutions of the Dirichlet problem for elliptic nondivergence second-order equations near the conical boundary point // Mat. Stud. 1998. - V. 10, № 2. - P. 163-172.

164. Borsuk M. V. The behavior of weak solutions to the boundary-value problems for elliptic quasilinear equations with triple degeneration ina neighborhood of a boundary edge // Nonlinear Anal. — 2004. — V. 56, № 3. P. 347-384.

165. Borsuk M. V., Dobrovolski M. On the behavior of solutions of the Dirichlet problem for a class of degenerate elliptic equations in the neighborhood of conical boundary points // Нелинейные граничные задачи. 1999. - V. 9. - P. 29-34.

166. Borsuk M. V., Kondrat'ev V. A. On the behavior of solutions of Dirichlet problem for semilinear second-order elliptic equations in a neighborhood of conical boundary point // Нелинейные граничные задачи. 1997. - V. 7. - P. 47-56.

167. Borsuk M. V., Portnyagin D. Barriers on cones for degenerate quasilinear elliptic operators // Electron. J. Differential Equations. — 1998. V. 11. - P. 1-8.я

168. Borsuk M. V. The behavior of weak solution to the boundary value problems for elliptic quasilinear equations with triple degeneration in a neighborhood of a boundary edge // Nonlinear analysis. — 2004. — V. 56, № 3. P. 347-384.

169. Carlos A. Cavalheiro An approximation theorem for solutions of degenerate elliptic equations // Proceedings of the Edinburgh MathematicalSociety. 2002. - V. 45, № 2. - P. 363-389.

170. Carstensen C. A posteriori error analysis for elliptic pdes on domains with complicated structures // Numerische Mathematik. — 2004. — V. 96, № 4. P. 691-721.

171. Carstensen C., Maischak M., Praetorius D., Stephan E. P. Residual-based a posteriori error estimate for hypersingular equation on surfaces // Numerische Mathematik. — 2004. — V. 97, № 3. — P. 397425.

172. Cavalheiro A. C. An approximation theorem for solutions of degenerate elliptic equations // Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. 2002. - V. 45, № 2. - P. 363-389.

173. Chen Q., Babuska I. Approximate optimal points for polynomial interpolation of real functions in an interval and in a triangle // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 1995. — V. 128. P. 405-417.

174. Choe H. Degenerate elliptic and parabolic equations and variational inequalities // Lecture Notes Ser. — 1993. — 16 p.

175. Copps K., Gangaraj S. K., Hugger J., Babuska I., Strouboulis T. The asymptotically optimal meshsize function for bi-p degree interpolation over rectangular elements // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1998. - V. 90, № 2. - P. 185-221.

176. Courant R. Variational methods for the solution of equilibriuman an vibrations // Bull. Amer. Math. Soc. 1943. - V. 49. - P. 1-23.

177. Dauge M. Elliptic boundary value problems on corner domains // Lecture Notes in Math. 1988. - V. 1341 - P. 1-257.

178. Dobrovolski M. Numerical approximation of elliptic interface and corner problems. — Bonn: Habschrift, Universitat Bonn, 1981.

179. Dobrovolski M. Nonlinear corner problems and finite elements method // ZAMM Z. Angew. Math. Mech. 1984. - V. 64 - P. 270-271.

180. Dobrovolski M. On quasilinear elliptic equations in domains with conical boundary points // J. Reine Angew. Math. — 1989. — V. 394 P. 186-195.

181. Draber P., Kufner A., Nicolosi F. Quasilinear elliptic equations with degenerations and singularities. — Berlin: Walter de Gruyter, 1997.

182. Duarte C. A., Babuska I., Oden J. T. Generalized finite element methods for three-dimensional structural mechanics problems // Computers к Structures. 2000. - V. 77, № 2. - P. 215-232.

183. Ebmeyer C., Frehse J. Mixed boundary value problems for nonlinear elliptic equations in multidimensional nonsmooth domains // Math. Nachr. 1999. - V. 203 - P. 47-74.

184. Egorov Yu., Kondratiev V. On the asymptotic behavior of solutions to a nonlinear elliptic boundary problem // Нелинейные граничные задачи. 2000. - V. 10 - P. 61-74.

185. Egorov Yu. V., Kondratiev V. A. On global solutions to a nonlinear elliptic boundary problem in an unbounded domain // Нелинейные граничные задачи. 2000. — V. 10 — P. 99-108.

186. Egorov Yu., Kondratiev V. On the asymptotic behavior of solutions of a semilinear elliptic boundary problem in an unbounded cone // C. R. Acad. Sci., Paris Ser. I Math. 2001. - V. 332 - P. 705-710.

187. Egorov Yu., Schulze B.-W. Pseudo-differential operators, singularities, applications // Oper. Theory Adv. Appl. — 1997. — 93 p.

188. Eskin G. I. Boundary value problems for second-order elliptic equations in domains with corners // Proc. Sympos. Pure Math. — 1985. — V. 43, № 2. P. 105-131.

189. Esteban M. J., Ramaswamy M. Nonexistence result for positive solutions of nonlinear elliptic degenerate problems // Nonlinear Analysis. 1996. - V. 26, № 4. - P.'835-843.

190. Fabes E., Kenig K., Serapioni R. The local regularity of solutions of degenerate elliptic equations // Comm. Partial Differ. Equations. — 1982. V. 7 - P. 77-116.

191. Fabbri J. Singular boundary value problems for some nonlinear elliptic equations (regular and nonsmooth domains) // Nonlinear Analysis. — 1997. V. 30, № 8. - P. 5009-5013.

192. Fabbri J., Veron L. Singular boundary value problems for nonlinear elliptic equations in nonsmooth domains // Adv. Differential Equations. —-1996. V. 1, № 6. - P. 1075-1098.j

193. Faierman M. Regularity of solutions of an elliptic boundary value problem in a rectangle // Comm. Partial Differential Equations. — 1987. V. 12 - P. 285-305.

194. Gianazza U., Marchi S. Interior regularity for solutions to some degenerate quasilinear obstacle problems // Nonlinear analysis. —1999. V. 36, № 7. - P. 923-942.

195. Grenon N. Lk estimates for degenerate elliptic problems // Potential Analysis. 2002. - V. 16, № 4. - P. 387-392.

196. Grisvard P. Elliptic problems in nonsmooth domains. — Pitman Advanced Publishing Program, Boston— London—Melbourne, 1985.

197. Grisvard P. Edge behavior of the solutions of an elliptic problem // Math. Nachr. 1987. - V. 132 - P. 281-299.

198. Grisvard P. Singular behavior of elliptic problems in non hilbertian Sobolev spaces //J. Math. Pures Appl. (9). — 1995. — V. 74, №1.-P. 3-33.

199. Groger K. W1,p-estimate for solutions to mixed boundary value problems for second-order elliptic differential equations // Math. Ann. 1989. - V. 283. - P. 679-687.

200. Hlavacek I., Krizek M. On exact results in the finite element method // Applications of Mathematics. — 2001. — V. 46, № 6. — P. 467-478.

201. Hong Xie L2'M(r2)-estimate to the mixed boundary value problem for second-order elliptic equations and its application in the thermistor problem // Nonlinear Anal. 1995. - V. 24, № 1. - P. 9-27.

202. Huang Y. X. Existence of positive solutions for a class of the p-Laplace equations // J. Aust. Math. Soc. 1994. - V. 36. - P. 249-264.

203. Ihlenburg F., Babuska I. Reliability of finite element methods for the numerical computation of waves // Advances in Engineering Software. 1997. - V. 28. - P. 417-424.

204. Jespersen D. C. A least squares decomposition method for the numerical solution of elliptic partial differential equations // Dissertation Abstracts International. 1977. - V. 37, № 6. - P. 2900.

205. Kashuba E. V., Rukavishnikov V. A. On the p-version of the finite element method for the boundary value problem with singularity // Siberian J. of Numer Mathematiks / Sib. Branch of Russ. Acad. Of Sci. Novosibirsk. - 2005. - V. 8, № 1. - P. 31-42.

206. Kondrat'ev V. A., Oleinik O. A. Boundaru value problems for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains // J. Partial Differential Equations. 1993. - V. 6, № 1. - P. 10-16.

207. Kondrat'ev V. A., Oleinik O. A. On behavior of solutions of a class of nonlinear elliptic second-order equations in a neighborhood of a conic point of the boundary // Lecture Notes in Pure Appl. Math. — 1995. V. 167. - P. 151-159.

208. Kondrat'ev V. A., Oleinik O. A. On asymptotic of solutions of nonlinear second-order elliptic equations in cylindrical domains // Progr. Nonlinear Differential Equations Appl. — 1996. — V. 22. — P. 160-173.

209. Korotov S., Krizek M. Finite element analysis of varitional crimes for a quasilinear elliptic problem in 3D // Numerische Mathematik. — 2000. V. 84, № 4. - P. 549-576.

210. Kovalevsky A., Nicolosi F. On the convergence of solutions of degenerate nonlinear elliptic high order equations // Nonlinear Analysis. 2002. - V. 49, № 3. - P. 335-360.

211. Kozlov V. A., Maz'ya V. G., Rossmann J. Elliptic boundary value problems in domains with point singularities // Math. Surveys Monogr. 1997. — 52 p.

212. Kozlov V. A., Maz'ya V. G., Rossmann J. Spectral problems associated with corner singularities of solutions to elliptic equations // Math. Surveys Monogr. — 2001. — 85 p.

213. Krizek M., Nemec J., Vejchodsky T. A posteriori error estimates for axisymmetric snd nonlinear problems // Advances in Computational Mathematics. 2001. - V. 15. - P. 219-236.

214. Kufner A., Leonardi S. Solvability of degenerate elliptic boundary value problems: another approach // Math. Bohem. — 1994. — V. 119, № 3. P. 255-274.

215. Kufner A., Sandig A.-M. Some applications of weighted Sobolev spaces // Teubner-Texte Math. — 1987. — V. 100. — P. 1-268.

216. Leonardi S. Solvability of degenerate quasilinear elliptic equations // Nonlinear Anal. 1996. - V. 26, № 6. - P. 1053-1060.

217. Lieberman G. M. The nonlinear oblique derivative problem for quasilinear elliptic equations // Nonlinear Anal. — 1984. — V. 8. — P. 49-65.

218. Lieberman G. M. Regularized distance and its applications // Pacific J. Math. 1985. - V. 117, № 2. - P. 329-352.

219. Lieberman G. M. The Perron process applied to oblique derivative problems // Adv. Math. 1985. - V. 55. - P. 161-172.

220. Lieberman G. M. The Dirichlet problem for quasilinear elliptic equations with continuosly differentiable boundary data // Comm. Partial Differential Equations. 1996. - V. 11. - P. 167-229.

221. Lieberman G. M. Local estimates for subsolutions and supersolutions of oblique derivative problems for general second-orderelliptic equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. - V. 304. - P. 343-353.

222. Lieberman G. M. Oblique derivative problems in Lipschitz domains. I. Continuous boundary data // Boll. Unione Mat. Ital. В (7). — 1987. — V. 1. P. 1185-1210.

223. Lieberman G. M. Oblique derivative problems in Lipschitz domains. II. Discontinuous boundary data // J. Reine Angew. Math. — 1988. — V. 389. P. 1-21.

224. Lieberman G. M. Boundary regularity for solutions of degenerate elliptic equations // Nonlinear Anal. — 1988. — V. 12, № 11. — P. 1203-1219.

225. Lieberman G. M. Holder continuity of the gradient at a corner for the capillary problem and related results // Pacific J. Math. — 1988. — V. 133, № 1. P. 115-135.

226. Lieberman G. M. Optimal Holder regularity for mixed boundary value problems // J. Math. Anal. Appl. 1989. - V. 143. - P. 572-586.

227. Lieberman G. M. The conormal derivative problem for equations of variational type in nonsmooth domains // Trans. Amer. Math. Soc. — 1992. V. 330. - P. 41-67.

228. Lieberman G. M. Pointwise estimates for oblique derivative problem in nonsmooth domains //J. Differential Equations. 2001. —V. 173, № 1 — P. 178-211.

229. Lin Q., Yan N., Zhou A. Quasi-norm a priori and a posteriori error estimates for the nonconforming approximation of p-Laplacian // Numerische Mathematik. 2001. - V. 89, № 2. - P. 341-378.

230. Liu W. B. Degenerate quasilinear elliptic equations arising from bimaterial problems in elastic-plastic mechanics // Nonlinear Anal. —■ 1999. V. 35. - P. 517-529.

231. Liu W., Yan N. Some a posteriori error estimators for p-Laplacian based on residual estimation or gradient recovery // Journal of Scientific Computing. 2001. - V. 16, № 4. - P. 435-477.

232. Liu W., Yan N. A posteriori error estimates for control problems governed by nonlinear elliptic equations // Applied Numerical Mathematics. — 2003. V. 47, № 2. - P. 173-187.

233. Liu W., Yan N. Quasi-norm a priori and a posteriori error estimates for the nonconforming approximation of p-Laplacian // Numerische Mathematik. 2001. - V. 89, № 2. - P. 341-378.

234. Marini D., Pietra P. Mixed finite element approximation of a degenerate elliptic problem // Numerische Mathematik. — 1995. — V. 71, № 2. — P. 225-236.

235. Matache A. M., Babuska I., Schwab C. Generalized p-FEM in homogenization // Numer. Math. — 2000. — V. 86, № 2. — P. 319-375.

236. Matache A. M., Melenk J. M. Two-scale regularity for homogenization problems with nonsmooth fine scale geometry // World Scintific. — 2003. V. 13, № 7. - P. 1053-1080.

237. Maz'ya V. G., Morozov N. F., Plamenevskiy B. A., Stupialis L. Elliptic boundary value problems. — Trans. Amer. Math. Soc. — 1984. 123 p.

238. Maz'ya V. G., Nazarov S. A., Plamenevskiy B. A. Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains I // Oper. Theory Adv. Appl. — 2000. — 111 p.

239. Maz'ya V. G., Nazarov S. A., Plamenevskiy B. A.Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains II // Oper. Theory Adv. Appl. 2000. — 112 p.

240. Maz'ya V. G., Plamenevskiy B. A. On the coefficients in the asymptotics of solutions of elliptic boundary value problems in domains with conical points // Math. Nachr. — 1977. — V. 76. — P. 29-60.

241. Maz'ya V. G., Plamenevskiy B. A. Estimate in Lp and in Holder classes and the Miranda-Agmon maximum principle for solution of elliptic boundary value problems in domains with singular points on the boundary // Math. Nachr. 1978. - V. 81. - P. 25-82.

242. Maz'ya V. G., Plamenevskiy B. A. Weghted spaces with nonhomogeneous norms and boundary value problems in domains with conical pointsTrans. Amer. Math. Soc. 1984. - V. 123. - P. 89-107.

243. Maz'ya V. G., Slutskiy A. S. An asymptotic solution of a nonlinear Dirichlet problem with strong singularity at the corner point. — Preprint. LiTH-MAT-R-92-15, Linkoping University, 1992.

244. Melenk J. M., Babuska I. The partition of unity finite element method: Basic theory and applications // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1996. — V. 139, № 1-4. - P. 289-314.

245. Naiman A. E., Babuska I. M., Elman H. C. A note on conjugate gradient convergence // Numerische Mathematik. — 1997. — V. 76, № 2. P. 209-230.

246. Oden J. Т., Yusheng F. Local and pollution error estimation for finite element approximations of elliptic boundary value problems // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 1996. — V. 74, № 1-2. P. 245-293.

247. Pehlivanov A. I., Carey G. F. Least-squares mixed finite element methods for non-selfadjoint elliptic problems: I. Error estimates // Numerische Mathematik. — 1996. V. 72, № 4. — P. 501-522.

248. Petersdorff Т., Stephan E. Decompositions in edge and corner singularities for the solution of the Dirichlet problem of the Laplacian in a polyhedron // Math. Nachr. — 1990. — V. 149. — P. 71-104.

249. Prudhomme S., Oden J. T. On goal-oriented error estimation for elliptic problems: application to the control of pointwiseerrors // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 1999. — V. 176, № 1-4. P. 313-331.

250. Qi C., Babuska I. Approximate optimal points for polynomial interpolation of real functions in an interval and in a triangle // Computer Methodsin Applied Mechanics and Engineering. — 1995. — V. 128, № 3-4. — P. 405-417.

251. Rabinovich V., Schulze B.-W., Tarhanov N. Boundary value problems in domains with corners // Preprint, Univ. Potsdam. — 1999. — 19 p.

252. Reba Y. Solutions of semilinear elliptic equations with many isolated singularities: the unstable case // Nonlinear Analysis. — 1999. — V. 38, №2.-P. 173-191.

253. Reisman H. Second-order elliptic boundary value problem in a domain with edges // Comm. Partial Differential Equations. — 1995. — V. 6. P. 1023-1042.

254. Rivier В., Wheeler Mary F., Girault V. Improved energy estimates for interior penalty, constrained and discontinuous Galerkin methods for elliptie problems. Part I // Computational Geosciences. — 1999. — V. 3. P. 337-360.

255. Rukavishnikov V. A., Kashuba E. V. On the properties of an orthonormalized singular polynomials set // Siberian J. of Numer. Mathematiks / Sib. Branch of Russ. Acad, of Sci. — Novosibirsk. — 1999. V. 2, № 2. - P. 171-183.

256. Rukavishnikov V. A., Rukavishnikova H. I. The Finite Element Method for the Third Boundary Value Problem with Strong Singularity of Solution // ENUMATH 1997. Singapore: World Scientific Publishing Company. - 1998. - P. 540-548.

257. Rukavishnikov V. A., Rukavishnikova H. I. The finite element method for the boundary value problem with strong singularity of solution // Chemnitz FEM-Symposium 2005. — Chemnitz: Technische Universitat. — 2005. P. 30.

258. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems // New Jersey: PWS. 1996.

259. Saraguchi S. Concavity properties of solutions to some degenerate quasilinear elliptic Dirichlet problems // Ann. Scuola. Norm. Pisa CI. Sci. (4). 1987. - V. 14. - P. 403-420.

260. Stredulinsky E. W. Weighted inequalities and degenerate elliptic partial differential equations // Lecture Notes in Math. — 1984. — 1074 p.

261. Strouboulis Т., Babuska I., Copps K. The design and analysis of the generalized finite element method // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2000. - V. 181, № 1-3. - P. 43-69.

262. Strouboulis Т., Babuska I., Gangaraj S. K., Copps K., Datta D. К. A posteriori estimation of the error in the error estimate // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 1999. — V. 176, № 1-4. P. 387-418.

263. Strouboulis Т., Copps K., Babuska I. The generalized finite element method // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2001. V. 190, № 32-33. - P. 4081-4193.

264. Strouboulis Т., Zhang L., Babuska I. Generalized finite element method using mesh-based handbooks: application to problems in domains with many voids // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2003. V. 192, № 28-30. - P. 3109-3161.

265. Struwe M. Variational methods. Applications to nonlinear partial differential equations and hamiltonian systems. — Berlin — Heidelberg — New York: Springer-Verlag, 2000.

266. Tolksdorf P. On the Dirichlet problem for quasilinear equations in domains with conical boundary points // Comm. Partial Differential Equations. 1983. - V. 8. - P. 773-817.

267. Zhang L., Strouboulis Т., Babuska I. A posteriori estimators for the FEM: analysis of the robustness of the estimators for the Poisson equation // Advances in Computational Mathematics. — 2001. — V. 15, № 1-4. P. 375-392. . :

268. Zlamal M. On the finite element method // Numer. Math. 1968. — V. 12, № 5. - P. 394-408.

269. Zlamal M. The finite element methods in domains with curved boundaries // Intern. J. Numer. Math. Engng. —■ 1973. — V. 5. — P. 367-373.

270. Wigley N. Mixed boundary value problem in plane domains with corners // Math. Z. 1970. - V. 115. - P. 67-79.

271. Wigley N. Schauder estimates in domains with corners // Arch. Ration. Mech. Anal. 1988. - V. 104. - P. 271-276.