автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Некоторые качественные методы математического моделирования в теории вырождающихся краевых задач

На правах рукописи^.

БАЕВ АЛЕКСАНДР ДМИТРИЕВИЧ

19

НЕКОТОРЫЕ КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ КРАЕВЫХ

ЗАДАЧ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

0 5 ДЕК 2008

Воронеж - 2008

003456419

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный консультант: заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико - математических наук,

профессор Покорный Юлий Витальевич.

Официальные оппоненты: доктор физико — математических наук,

профессор

Кондратьев Владимир Александрович,

доктор физико — математических наук,

профессор

Покровский Андрей Николаевич,

доктор физико - математических наук,

профессор Сапронов Юрий Иванович.

Ведущая организация: Южный Федеральный Университет.

Защита состоится 17 декабря 2008 г. в 15 час. 10 мин. на заседании совета Д 212.038.20 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл. 1, ауд. 227.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан 11 ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ. - мат. наук, доцент

H/U

В. В. Провоторов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Вырождающиеся эллиптические уравнения описывают модели, в которых граница области оказывает существенное влияние на процессы, происходящие внутри области. В этом случае на границе области может меняться как тип уравнения, так и его порядок. Такие уравнения возникают при математическом моделировании различных физических процессов. Например, подобные уравнения используются при описании стационарных процессов конвекции - диффузии в неоднородных анизотропных средах, характерных тем, что при приближении к границе коэффициент диффузии стремится к нулю. В частности, к таким уравнениям приводит математическое моделирование процессов фильтрации идеального баротропного газа в неоднородной анизотропной пористой среде, процессов фильтрации двухфазных жидкостей, в том числе, процессов вытеснения нефти водой из пористой среды. Подобные уравнения возникают при построении моделей процесса распространения примеси в жидкокристаллическом растворе, находящемся во внешнем электрическом поле, при исследовании стационарной задачи о контакте мягкой оболочки с препятствием, при расчете линейных стационарных магнитных осесимметричных полей в неоднородных анизотропных средах. Такие уравнения являются обобщением сингулярно возмущенных уравнений конвекции - диффузии. Кроме того, известно, что нахождение решения краевой задачи для эллиптического уравнения эквивалентно минимизации некоторого функционала. В теории управления задача о минимуме некоторого функционала соответствует задаче об оптимальном управлении. Вырождающимся эллиптическим уравнениям соответствуют вырожденные или особые оптимальные управления.

Исследование математических моделей стационарных процессов в анизотропных средах в случае существенного влияния границы на процессы, происходящие внутри области, потребовало разработки новых методов решения краевых задач для эллиптических уравнений с вырождением.

Краевые задачи для таких уравнений относятся к «неклассическим» задачам математической физики. Одна из главных трудностей, возникающих в теории вырождающихся эллиптических уравнений, связана с влиянием младших (в смысле теории регулярных эллиптических операторов) членов уравнения на постановку граничных задач и их коэрцитивную разрешимость. Основы этой теории были заложены в фундаментальных работах М. В. Келдыша. Полученные им результаты развивались и обобщались О. А. Олейник. Обобщенные решения вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка впервые были рассмотрены в работах С. Г. Михлина и М. И. Вишика. Вслед за этим появился ряд работ, в которых методами, близкими к методу М. И. Вишика, изучались вырождающиеся уравнения второго порядка. Достаточно полную библиографию этих работ можно найти в книгах М. М. Смирнова, О. А. Олейник и Е. В. Радкевича. Фундаментальные результаты по изучению асимптотических свойств решений линейных и нелинейных эллиптических и параболических уравнений и систем были получены В. А.

Кондратьевым, Ю. В. Егоровым, О. А. Олейник. Метод "эллиптической регуляризации" был применен О. А. Олейник, а затем Дж. Коном и Л. Ниренбергом для изучения эллиптико - параболических уравнений второго порядка. В работах В. П. Глушко была установлена коэрцитивная разрешимость общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка в специальных весовых пространствах типа пространств С. Л. Соболева с весом. Задача Дирихле для линейного эллиптического уравнения второго порядка с вырождением исходных данных в произвольной выпуклой области была исследована в работах В. А. Рукавишникова и А. Г. Ереклинцева. Задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с неоднородным анизотропным вырождением в области была исследована в работах С. Н. Антонцева, С. И. Шмарева.

Исследование вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка (при "степенном" характере вырождения) было начато в работах М. И. Вишика и В. В. Грушина. Затем ряд результатов для некоторых классов вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка был получен В. П. Глушко, X. Г. Леопольдом, С. 3. Левендорским, С. А. Исхоковым.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию математических моделей, содержащих краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений. В диссертации разработаны новые методы решения таких задач. Это позволяет исследовать широкие классы математических моделей с вырождением, что и определяет актуальность данного направления исследования.

Цель работы. Разработка новых методов исследования математических моделей с вырождением. Разработка методов исследования новых классов псевдодифференциальных операторов (весовых псевдодифференциальных операторов), определяемых по специальному интегральному преобразованию .Ра. Получение коэрцитивных априорных оценок решений задач Дирихле в полупространстве для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений,

содержащих весовой псевдодифференциальный оператор и оператор —.

Э/

Исследование корректности математических моделей, определяемых такими краевыми задачами. Разработка нового метода получения коэрцитивных априорных оценок решений общих краевых задач в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, основанного на построении разделяющего оператора. Построение регуляризаторов общих краевых задач в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка. Разработка методов решения проблемы корректности математических моделей, содержащих задачи Дирихле и общие краевые задачи в полосе для некоторых классов вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка. Получение коэрцитивных априорных оценок решений этих краевых задач в полосе.

Исследование возможности применения полученных результатов к анализу математических моделей процессов в неоднородных анизотропных

средах. Проведение численного эксперимента некоторых модельных примеров рассмотренных задач.

Методы исследования. Разработанные в диссертационной работе методы математического моделирования основаны на фундаментальных методах современного анализа и математической физики, теории псевдодифференциальных операторов и методов вычислений.

Научная иовизна. Результаты диссертационной работы являются новыми. В работе введены и изучены новые классы псевдодифференциальных операторов: весовые псевдодифференциальные операторы. Получены коэрцитивные априорные оценки и установлена корректность задач Дирихле в

полупространстве для псевдодифференциальных уравнений, содержащих

^

весовой псевдодифференциальный оператор и оператор —. Получены

коэрцитивные априорные оценки решений общих краевых задач в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка. Построены регуляризаторы таких задач. Получены коэрцитивные априорные оценки и установлена корректность задач Дирихле и общих краевых задач в полосе для некоторых классов вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка. Вопрос об эффективности некоторых полученных результатов проверен в форме численного эксперимента на тестовых задачах.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и разработанные методы могут быть в дальнейшем использованы для построения и анализа широких классов математических моделей, описывающих процессы с вырождением. Результаты диссертации могут быть использованы при решении некоторых задач оптимального управления и исследовании математических моделей, содержащих вырождающиеся уравнения, например, процессов конвекции - диффузии и математических моделей стационарных магнитных и электрических полей в неоднородных анизотропных средах.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на научных конференциях и семинарах. Среди них всесоюзная конференция по дифференциальным уравнениям и математической физике (г. Новосибирск), всесоюзная конференция по асимптотическим методам в теории сингулярно возмущенных уравнений (г. Алма-Ата), школы - семинары по уравнениям неклассического типа (г. Новосибирск), школы по теории операторов в функциональных пространствах (г. Минск, г. Самара, г. Новгород, г. Тамбов), всесоюзная конференция по теории и численным методам решения краевых задач для дифференциальных уравнений (г. Юрмала), сибирская конференция по неклассическим уравнениям (г. Новосибирск), международные конференции «Современные проблемы теории функций и смежные вопросы» (г. Воронеж), международные конференции «Понтрягинские чтения» (г. Воронеж), третья международная конференция, посвященная 85 - летию члена - корреспондента РАН Л. Д. Кудрявцева (г. Москва), семинары академика РАН С. Л. Соболева (г. Новосибирск), семинар академика РАН С. М. Никольского (г. Москва), семинары под руководством профессора С. Г. Крейна (г. Воронеж),

семинары под руководством профессора В. П. Глушко (г. Воронеж), семинары под руководством профессора Ю. В. Покорного (г. Воронеж).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 60 основных научных работах, в том числе одной монографии. Список этих работ приведен в автореферате. Из совместных работ [15] - [18], [27], [28], [30], [31], [33], [39], [40], [43], [44], [53], [59] в диссертацию включены только результаты автора. Официальному списку ВАК соответствуют работы [2] - [14].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, приложения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 252 страницы. Библиография содержит 107 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность работы, ее соответствие паспорту специальности 05.13.18, дается описание современного состояния проблематики, в том числе, обзор литературы по теме диссертации, формулируются основные результаты диссертационной работы.

В первой главе определяются весовые псевдодифференциальные операторы и изучаются их свойства, необходимые для исследования математических моделей, содержащих краевые задачи с вырождением. Вначале изучаются свойства весовых псевдодифференциальных операторов с постоянным по t символом. Устанавливаются важные для дальнейшего утверждения: формула и оценка коммутатора весового

gi

псевдодифференциального оператора с производной (/ = 1,2,...) и теоремы

о предельных при t +0 и t —> +а> значениях весового псевдодифференциального оператора. Первое из этих утверждений позволяет представить (с точностью до "подчинённого" оператора) исходный вырождающийся эллиптический оператор в виде суперпозиции псевдодифференциальных операторов, каждый из которых содержит весовой

псевдодифференциальный оператор и только одну производную —. Второе

dt

утверждение обосновывает тот факт, что на постановку граничных условий не влияют те слагаемые в исходном дифференциальном операторе, которые содержат хотя бы одну весовую производную DaJ (при условии достаточно "сильного" вырождения), а также позволяет сформулировать условие дополнительности в алгебраической форме.

Затем в первой главе изучаются весовые псевдодифференциальные операторы с переменным по t символом. Доказываются теоремы о композиции и ограниченности таких операторов в специальных весовых пространствах типа пространств С. JI. Соболева. Устанавливаются формулы и оценки коммутатора весового псевдодифференциального оператора с д'

производными (/ = 1,2,...) и теоремы о предельных при / —>+0 и t->+ <» значениях весового псевдодифференциального оператора с переменным по t

символом. В этой главе устанавливается связь весового псевдодифференциального оператора с некоторым интегральным оператором, строится сопряженный оператор к весовому псевдодифференциальному оператору и доказывается аналог неравенства Гординга для весовых псевдодифференциальных операторов.

Эти свойства весовых псевдодифференциальных операторов позволяют в дальнейшем изучить широкие классы математических моделей с вырождением.

Во второй главе диссертационной работы получены коэрцитивные априорные оценки решений общих краевых задач в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, моделирующих различные стационарные процессы в анизотропных средах. Разработан новый метод получения априорных оценок решений, основанный на построении разделяющего оператора. Этот метод основан на свойствах весовых псевдодифференциальных операторов, установленных в главе 1. Кроме того, в этой главе предложен и применен прием, позволяющий свести при получении априорных оценок случай общих граничных условий к случаю однородных граничных условий Дирихле.

Предложен новый метод построения регуляризатора общей краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка в Я". Этот метод требует предварительного исследования коэрцитивной разрешимости (или построения регуляризатора) задачи Дирихле для псевдодифференциальных уравнений, содержащих весовой

псевдодифференциальный оператор и только одну производную —. Такое

<Э/

исследование проведено в третьей главе диссертации как в случае постоянного по г символа, так и в случае переменного по г символа. После этого в главе 4 строятся регуляризаторы общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, существенно проясняющие качественную природу математических моделей вырождающихся физических процессов.

В главе 5 исследуется вопрос о корректности математических моделей, описываемых общими краевыми задачами в полосе для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, содержащих невырожденную

д2

производную -^-у. Здесь разработаны существенно отличающиеся от методов

глав 1 - 4 методы, основанные на сведении краевых задач к системам интегральных уравнений. Несмотря на ограниченные возможности этих методов, они позволяют (при определённых условиях) устанавливать не только существование, но и единственность решения рассматриваемых краевых задач. В этой главе получены также коэрцитивные априорные оценки решений рассмотренных краевых задач.

В главе 6 установлена корректность математических моделей, определяемых краевыми задачами типа задач Дирихле в полосе для вырождающихся уравнений высокого порядка, содержащих невырожденную

производную порядка 21, / = 1,2,... по переменной t. Установлены также коэрцитивные априорные оценки решений рассмотренных краевых задач.

В приложении приведены некоторые примеры математических моделей реальных физических задач, в которых используются краевые задачи, исследованные в предыдущих главах. С помощью пакета программ Maple 10 проведены численные эксперименты некоторых модельных задач.

Перейдем к более детальному описанию результатов диссертационной работы.

В первой главе диссертационной работы изучаются свойства весовых псевдодифференциальных операторов. Рассмотрим функцию a(t), t е R[, для которой а(+0) = а'(+0) = 0, a(t)>0 при I >0, a(t)=const для t > d при некотором d >0.

Введём интегральное преобразование

d

рашт= и оехр^И^-Д-, (1)

о , «(Р) >/«(О

определенное первоначально, например, на функциях Преобразование (1) связано с преобразованием Фурье

-н»

{г'(г)ехр(///г)^г, 77 е Л1

-00

следующим равенством

Ра[итп) = Р„п[иа(т)1 (2)

где иа(т) = ^а(1)и(1)\ , ¡ = <р'\т) - функция, обратная к функции

Мр)

Для преобразования Га справедлив аналог равенства Парсеваля

(3)

что даёт возможность расширить преобразование (1) до непрерывного преобразования, осуществляющего гомеоморфизм пространств £2(/?') и Ь2 (Я]). Для расширенного таким образом преобразования Га сохраним старое обозначение. Обозначим через обратное к Га преобразование,

отображающее ¿,(7?') на Ь2 (/?'). Это преобразование можно записать в виде

МО

Легко показать, что на функциях и(()еС0"(/?)) выполняются соотношения

I от

Определим пространства Н 1|Я(Л"); следующим образом.

Определение 1. Пространство (5-действительноечисло)

состоит из всех функций у(*,г) е12(Я"), для которых конечна норма

1С = № + Н2 + ^ . (4)

Л"

Определение 2. Пространство (я > 0, д > 1) состоит из всех

функций у(х,/) е Н!а(Щ), для которых конечна норма

ii ii2 '

¡^а^Йк^'Ю+кГ+^^^^Д^]] у. (5)

'="11 кж)

Здесь [—] - целая часть числа —.

Ч Я

Пусть выполнено следующее условие.

Условие 1. Существует число уе(0,1] такое, что \а'(!)а Ус<сю при всех /е[0,+оо). Кроме того, а(/) е С'[0,+со) для некоторого >2Ы-\а\, где

И>т&х{2р.+-—Р< + + а + 1,а + —},/ = 1,2,..., а - некоторое о V 2

действительное число.

Заметим, что указанное выше число V существует, если

а(+0) = а'(Щ = 0.

С помощью преобразования (1) и преобразования Фурье ^ ^ определим весовой псевдодифференциальный

оператор по формуле

Км(Ох,Па,)х{х,1) = ^ДЛЧ^^^М*,?)]] ■ (6)

Предполагается, что символ весового псевдодифференциального

оператора при всех £ е /Г-1 принадлежит по переменной 77 пространству С" (Л1) и удовлетворяет при всех с 6 Л"-', 77 е Л1 условиям

\д;А(£,фс;(1 + №2 7 = 0,1,..., (7)

где постоянные с. > 0 не зависят от (д,г]) е Л". Здесь а еЯ'. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть а, з - действительные числа, v(x,t)e.Hs_taa(R"), / = 1,2,.... Тогда при выполнении условия 1 (с заменой а на 5 + <х) и оценок (7) для оператора

М^КЫф^-КМф^Х (8)

справедлива оценка

j=0

Константа с > 0 не зависит от у.

Теорема 2. Пусть ^ > 1, ^ > 0 - действительные числа; / = 1,2,...;

Тогда при выполнении условия 1 (при <т =+ <7) и

оценок (7) (при ст = д) для оператора М, , определенного в (8) при ст = д,

справедлива оценка

с постоянной с > 0, не зависящей от V.

Теорема 3. Пусть д>1, а - действительные числа, у(х,Г)е# в1Д/?"). Тогда при выполнении условия 1 и оценок (7) справедливо равенство

liш^ЧЯ.Я,Jv-lim^:(стЧA,0)v(x,/) = liшFДi.[A(^0)Fмí[v(x,0]]. (11)

/->+0 /-»+0 [-*+о ^ *

Теорема 4. Пусть выполнено условие 1 и символ удовлетворяет

оценкам (7). Пусть функция v{x,t) такова, что функция при всех

хеЯ"'] принадлежит как функция переменной I пространству Ь2(К\) при некотором Лг£[тах{оч-1,1};^,], где 5, определено в условии 1. Пусть \\vaD' у(х,г) = 0 при всех хе / = 0,1, 2,...,/У-1. Тогда при всех хеЯ"4

г->+оо

справедливо равенство Иш К{<7)(Ох,Оа1)\>{х,1) = 0.

{—>+оо '

Рассмотрим теперь весовой псевдодифференциальный оператор с переменным символом

К^О, А,Я,,)у(х,0 = ^^.ДО^^Ж^Мх,/)]] ■ (12)

Определение 3. Будем говорить, что символ весового

псевдодифференциального оператора К{а)(1,Ох,Оа1) принадлежит классу символов ^(Г}), где (открытое множество), если функция /1(7, £,7/)

является бесконечно дифференцируемой функцией по переменной (еГ2 и по переменной уеЯ' . Причем, при всех у' = 0, 1,2,..., / = 0,1,2,... справедливы оценки

|(а(05,)/а^(?^,/7)|<су7(1 + ^| +171)"-' (13)

с константами см> 0, не зависящими от с е Л"-1, // е /?', I еК, где К с О. -

произвольный отрезок. Здесь <т - действительное число. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 5. Пусть Р(?,£>л,£>а() и ^Д,^,) - весовые псевдодифференциальные операторы с символами рО,^,?]) и <£,??), принадлежащими соответственно классам и Б"2 (О) (т, и т2 -

действительные числа). Тогда для любого N > 0 существует такое А', > 0 и такой символ Ты((,<!;,т])<=3~"(П), что справедливо равенство

P(t, Dx,DaJ)Q{t,Dx, DaJ)-f^ Rj^D^T^t.DM, (14)

n

где TN(t,Dx,Da:) - весовой псевдодифференциальный оператор с символом TN(t,^,rj)-, Rj(t,Dx,Dal) - весовой псевдодифференциальный оператор с символом

r^t^^-Mt^-ia^d.yqit,^). (15)

7!

Теорема 6. Пусть p(t,^,rj)sS"Cn.), in - действительное число. Тогда весовой псевдодифференциальный оператор P(t,Dx,Dai) для любого действительного s есть ограниченный оператор из //Л+„, ,,(R") в Hsa(K)-

Утверждения, аналогичные теоремам 1-4, справедливы и для весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом из класса

Теорема 7. Пусть символ Ä(t,^,rj) весового псевдодифференциального оператора К{a\t,Dx,DCIJ) принадлежит классу SJ(fi), Qcz R[, creR'. Пусть v(x,t)eH^aa(R'l), d[v(x,t)eHstaa(Rl), 1 = 1,2,.... Пусть выполнено условие 1 (с заменой а на s + a). Тогда для оператора

М,а = d'.K^DM-K^it^D^d1, (16)

справедлива оценка

K'l.^tHHL^IH'L-) (17)

h О

с константой с > 0 , не зависящей от v.

Теорема 8. Пусть q > 1, s > 0 - действительные числа, v(x,t)GHsHM)4a<l(R"). Пусть символ Mt,g,rj) весового псевдодифференциального оператора K(a\t,Dx,DaJ) принадлежит классу 5^(fi), Qc/?'. Пусть выполнено условие 1 при a = s + q . Тогда для оператора М, , определенного в (16) при a-q , справедлива оценка

IIM^HMU,,-,.,, ' (18)

с постоянной с > О, не зависящей от v.

Теорема 9. Пусть q> а - действительные числа, v{x,t) е Н {R"). Тогда при выполнении условия 1 справедливо равенство

limK{a)(t,D ,D ,)v(jc,t) = limKia)(0,D ,0)v(jc,i) = l->+0 (19)

= lim f;\z [Д(0, с, /)]]■

Теорема 10. Пусть выполнено условие 1 и символ весового

псевдодифференциального оператора K(c,)(t,Dx,DttJ) принадлежит классу

SZ(i2), creR', ficä'. Пусть при всех 7/еЛ' функция Mt,g,tj)

является ограниченной функцией по переменной t на множестве R\. Пусть функция v(x,t) такова, что функция D*tv(x,t) при всех х е Я"А принадлежит, как функция переменной t, пространству L2 {R\) при некотором

JVe[max{cr + l, l};s,], где s, определено в условии 1. Пусть lim D' ,v(x,i) = О

i—>+■'"- *

при всех xeR"~\ j = 0, 1,2,..., iV-1. Тогда при всех xeR"'] справедливо равенство limKia){t,Dx,Da,)v(x,t) = 0.

/->+ со '

Определение 4. Пусть QcRj - открытое множество. Будем говорить, что функция a(t,y,%,rf) принадлежит классу S"'"(D.), meR\ если функция a(t,y,^,ij) является бесконечно дифференцируемой по переменным t е Q, у е Q, rj е R] и на компактных подмножествах множества Q х Q имеет место при всех j, к, 1 = 0,1, 2,... оценка

|(«(/)Sf)'(aW &чаЦ>У&пА * <>0 + Щ + МГ'

с константами cJU > 0, не зависящими от у, ц и е R"']. Рассмотрим оператор вида

A(u(x,i)) = F'l F;\x [a(t, у, ^ tj) Fx^f [u(x, y)]], (20)

где Fa ^ (F« '^) - прямое (обратное) весовое преобразование, переводящее у в П (V в t).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 11. Пусть А - оператор вида (20), причём, а(1,у,^,т/)<Е5"""(П), QczRl, msR'. Тогда найдётся такой символ что А = P(t,Dx,Da,), где P(t,Dx,Dal) - весовой псевдодифференциальный оператор с символом p{t,^,rj). Причём,

При этом справедливо соотношение

- Y~^(a(y)dyyd'n a(t,y,^Tj) е S^(Q) м J-

при любых 7/ = 1,2,____

Утверждение теоремы 11 даёт возможность построить сопряженный оператор к весовому псевдодифференциальному оператору.

Определение 5. Сопряженным оператором к весовому псевдодифференциальному оператору Р(1,Ох,йа1) назовем оператор

Р'(1,Вх,Оа1), удовлетворяющий равенству

для всех у(х,0вЬ2(Я"), и(х,0 е ¿2(Д") таких, что Р(1,Ох,Оа1)и(х,1) е 12(К1). Здесь (■,•) - скалярное произведение в Ь2(К") . Справедлива следующая теорема.

Теорема 12. Пусть Пей', т е К1. Тогда оператор

Р'(1,Ох,Оа1), сопряженный к весовому псевдодифференциальному оператору Р^,Ох,Ва1) с символом /?(/,£,77), является весовым псевдодифференциальным оператором с символом р'(1,£,г]) е Б" (О.). Причём, справедливо соотношение

р\1,£,т1)-^Щ-(а(1)д1Уд>р(Ц,?1) 6 ¿Г" (Я)

7=0 ]■

для любых N = 1,2,....

С использованием теорем 11 и 12 доказывается неравенство, являющееся аналогом неравенства Гординга для весовых псевдодифференциальных операторов.

Теорема 13. Пусть Р(Г,^,£)01) - весовой псевдодифференциальный оператор с символом р(1,д,1]) е ¿'"Ш), ПсЛ', теК\ Пусть Кер{1,%,Т1)>с{\ + \%\ + \п\)т для всех т]еЛ\ (еКсП, где К -

произвольное компактное множество. Тогда для любых еЛ1 и м(/) е С* (К) справедливо неравенство

Ке(Р((,Ох,Оа1)и(хЛФ№с0\\и^а -с,И' а

2' "

с некоторыми константами с0 > 0 и с, > 0.

Во второй главе диссертации с помощью разделяющего оператора устанавливаются коэрцитивные априорные оценки решений общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, моделирующих физические процессы с вырождением. При этом, вначале рассматриваются операторы с постоянными по / коэффициентами, а затем и с переменными коэффициентами.

Рассмотрим в Я" линейное дифференциальное уравнение вида

А(Ох,Оа1,дМ^) = Пх,1), (21)

где

функции а(1) и операции д,, ; определены в главе 1.

Ох =1>т^дгхд'1...д'х ', сггу, - комплексные числа, *0, д => 1 (т,к -

1с

натуральные числа). Без ограничения общности можно считать, что аш = 1.

На границе 1 = 0 полупространства Л" задаются граничные условия вида

адДН,-о = I Ч=о = «> } = (22)

УрчНт,

где число ц определяется (см. ниже) коэффициентами уравнения (21), />т1) -комплексные числа.

Кроме того, при / -» +оо задается условие

1йпу(х,0 = 0. (23)

/-►+00

Условие 1'. Выполнено условие 1 при а = 5 + д, I = 1,2,...,[5/9], где д > 1, > 0 - действительные числа. Условие 2. Уравнение

X яг„№'=0 (24)

не имеет г - корней, лежащих на мнимой оси при всех (£,?/) е Л", ]//] + |^|>0, причем кратность этих корней равна единице.

Пусть г,(£,77),...,2,(^,7) (1 <г<к) - корни уравнения (24), лежащие в левой полуплоскости, остальные {к-г)- корней 2г+К(Ц,ц),...,гк(/;,г]) лежат в правой полуплоскости. Функции 77) являются однородными функциями от г] степени д и, следовательно, удовлетворяют неравенствам

|З^,(^/7)|<С](|у7|2+|^|2)^), (25)

Л =1,2.....к, ] = 0,1,2,..., при \г]\ +> 0.

Кроме того, из условия 2 вытекает, что

1^7. (<?,/;)>с2(|£|2 у, =г + 1,...,к, (26)

-ЯегЛ {Ш г с3(|^|2 +|7|2)^, у, = (27)

Постоянные с, > 0 (/ = 1, 2, 3) не зависят от (£,77) е Я", \£,\ +1/;|>0.

Условие 3. Число /л граничных условий (22) равно числу г - корней уравнения (24) , лежащих в левой полуплоскости, и при всех Щ > О

многочлены В* (£, г) = К^*2' линейно независимы по модулю

г

многочлена г) = (2 - (£,0)).

Теорема 14. Пусть 5 > шах{2/и, шахот - действительное число и

]<¡йг 1

выполнены условия Г, 2, 3. Тогда для любого решения у(х,0 задачи (21) -(23), принадлежащего пространству Я (Л"), справедлива априорная оценка

,) (28)

/=1 •

1 5-т.—а

} 2

с константой с>0, не зависящей от V, Т7, <? = (С7),(72)...,С?Г).

Здесь и в дальнейшем мы обозначаем через || || норму в пространстве Соболева - Слободецкого , которая определяется равенством

Определение 6. Обозначим через П( множество функций \\{х,1) е С0"(Л"), удовлетворяющих условиям

уу(х,+0) = 3,и(х,+0) =... = ор\г(.х,+0) = 0. (29)

Результаты главы 1 позволяют установить следующую теорему.

Теорема 15. Пусть выполнено условие Г при > 2т и условие 2. Тогда для оператора А(Рх,Оа1,д1) справедливо следующее равенство

А(Ох,Ои„д,) = [1(д,-К1(0,Ва1)) + Т(0х,0а1,д1), (30)

где весовые псевдодифференциальные операторы К/(Ох,Оа1) построены по

корням 2^,11) уравнения (24) при помощи формулы (6), а порядок оператора

Т в шкале пространств Нх а ц (Л") не превосходит 2т -1.

Теорема 15 позволяет свести доказательство априорных оценок решений задачи (21) - (23) при условиях общего вида (22) к коэрцитивной оценке снизу формы Яе(Ли',£>и') на функциях ((•,•) - скалярное произведение в

и.КУУ

Таким образом, теорема 14 при выполнении условия 3 оказывается следствием из теоремы 15 и из следующего утверждения.

Теорема 16. Пусть выполнено условие Г при з>2т и условие 2. Тогда существует оператор (порядок которого в шкале пространств

// не превосходит 2от~д) такой, что для любых 50 > 0, £ > 0 и любых

функций Цх,?)еП,. справедливо неравенство

к к~1 к-1*Ь/, , к к-/ к-1-ц

2 /=| /1=0 /2=0 " 1 2 ¿1=0 /2=0 0 ' 2

где постоянная с, > 0 не зависит от е и функции н'(х,/), число с(с) > 0 не зависит от и(х,/).

Здесь (-,-),о " скалярное произведение в Нха(Я"), определенное равенством

где (•,•) - скалярное произведение в

£2(Л"), а А'(£>Л,£>а,) - весовой псевдодифференциальный оператор с

1

символом Л{^,Т]) = ((1 + |^| У -17])'.

В качестве оператора (), фигурирующего в теореме 16, можно взять оператор вида

Здесь q =—р- > 1, aTj!(!) - некоторые ограниченные на Я[ функции, аш(0 Ф О

ß(A. А.,.3.) = ДО- - Kj{Dx,DaJ)).

Оператор Q естественно назвать разделяющим оператором по отношению к оператору А.

Заметим, что утверждения теорем 14 - 16 справедливы для псевдодифференциального оператора А вида

A)v = ri(ö, ,

м

где Kj{Dx,Dai) - весовые псевдодифференциальные операторы с символами Zj{g,ti), 7=1,2,...,*.

Во второй главе диссертации рассматривается также уравнение с переменными по ! е /?{ коэффициентами. А именно, в R" рассматривается линейное дифференциальное уравнение вида

A{t,Dx,DaJ,d,)v{x,t) = F(x,t), (31)

где

A{f,D„Dat,dt)v= X ar,mDiß'v- С32)

2т

т_

при всех / ei?'. Без ограничения общности будем считать, что аш(?) = 1 при всех t&R\.

На границе t = 0 полупространства R" задаются граничные условия общего вида

W АН,=о = I w.vLo = (*)> у=1,2,...,//. (33)

|r|+g/ämy

Кроме того, при t —> +°о задается условие (23). Пусть выполнены следующие условия. Условие 4. Уравнение

X агу|(0£У*'=0 (34)

|г|+<//+ /=2 m

не имеет z - корней, лежащих на мнимой оси при всех (i,/;) е Л" , +> О и при всех />0. Пусть z,(1 <r<k) - корни, лежащие в левой полуплоскости, а лежат в правой полуплоскости.

Условие 5. Функции Zj(t,g,tj), j = 1,2,...,*, при всех являются

бесконечно дифференцируемыми функциями по переменным t е Г2 с и ц е R]. Причем, при всех ¿=0,1,2,..., / = 0,1,2,..., £ eR"~l, t eilci), Т] eRs справедливы оценки

|(а(00,)Л й с,.,(|£| +\ц\Г\ |i| + М > 0,

с константами с, , > 0, не зависящими от >].

Из условия 4 следует, что при всех (ёПсЛ', //ей'

справедливы оценки

Кег/(/,#^)<-с,(|#|+|7|Г, У = 1„.„г; (35)

у = г + 1,...Д, (36)

с некоторыми константами с, >0, с2 > 0, не зависящими от I, .

Условие 6. Число /л граничных условий (33) равно числу г - корней уравнения (34), лежащих в левой полуплоскости и при всех > 0

многочлены ^ К^2' линейно независимы по модулю

г

многочлена г) = (г - гу. (0, £,0)).

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 17. Пусть £>тах{2т, тахт, + д} - действительное число и

выполнены условия Г, 4, 5, 6. Тогда для любого решения у(х,0 задачи (31), (33), (23), принадлежащего пространству Н (/?"), справедлива априорная оценка

Н^МП-^+Ии^+Й^! ,) (37)

с постоянной о 0, не зависящей от V, И, ] = 1, 2,..., г.

Теорема 18. Пусть выполнено условие Г при я > 2т и условия 4, 5. Тогда для оператора А((,Ох,Оа1,8,) справедлива формула представления

Д<,Д,£>а1,,6,) = П(3, + (38)

где К]((,Ох,Оа1) - весовые псевдодифференциальные операторы с символами ^(/,£,77), а порядок оператора Т(1,Вх,Ва1,о1) в шкале пространств

не превосходит 2т -1.

Так же как в случае операторов с постоянными коэффициентами теорема 18 позволяет свести доказательство априорной оценки решения задачи (31), (33), (23) к коэрцитивной оценке снизу формы 11е(Ли',<2и>) на функциях и'(л:,/)еПг. При этом теорема 17 при выполнении условия 6 вытекает из следующей теоремы.

Теорема 19. Пусть выполнено условие Г при 5 > 2т и условия 4, 5. Тогда существует такой оператор порядок которого в шкале

пространств Я5СГ?(Л") не превосходит 2т-д, что для любых 5„>0, £>0 и любых функций Мх,{) е Пг справедливо неравенство

2 к *-/*-/+!-/,

2 1И;2+ ^ ), (39)

где константа с, > 0 не зависит от е и и*, а константа с(е) > 0 не зависит от уу . При этом в качестве оператора £) можно взять оператор вида

е(/,я„ц,, д)=П<5- - к^'А'Я,)).

м

Заметим, что утверждения теорем 17 - 19 справедливы для псевдодифференциального оператора А(1,Ох,Оа1,81) вида

АН, А=П(д, - к^,ох,оа1))у,

№

где К] (/, Д ,Оа1) - весовые псевдодифференциальные операторы с символами (?,£,//), у=1,2,...,к.

В третьей главе работы исследуются качественные свойства математических моделей, определяемых краевыми задачами в Л" для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений, содержащих весовой псевдодифференциальный оператор и невырожденную производную 8,. Установлена корректность таких моделей и получены коэрцитивные априорные оценки решений рассмотренных краевых задач. Рассмотрим вначале следующие задачи

Км{йх,ОаМх, 0 - = (40)

у(х,0|,=0 = С(х), 1ту(.т,0 = 0, (41)

= Пх,!) (42)

Ит у(х,/) = 0, (43)

где КУ(Ох,Оа1) - весовые псевдодифференциальные операторы с символами Л±(£,7]), которые удовлетворяют оценкам (7) при а = ц>\, а также неравенствам

±КеЛ±(£,7)>с(1 + |£|2+М2)2 (44>

для всех (£,т7) ей" с константой с > 0, не зависящей от (£,>]).

Теорема 20. Пусть 5 > 0, д > 1 - действительные числа, выполнено условие Г, неравенство (7) при а = д и неравенство (44). Тогда для любого решения у(х,?) задачи (40) - (41), принадлежащего пространству (Л"),

справедлива априорная оценка

где постоянная О 0 не зависит от v,F,G.

Теорема 21. Пусть выполнены условия теоремы 20. Тогда для любого решения v{x,t) задачи (42) - (43), принадлежащего пространству //Л^а(/(Л"), справедлива априорная оценка

IML.«,, (4б)

где постоянная с > 0 не зависит от v, F.

Теорема 22. Пусть выполнены условия теоремы 20. F(x,t) е HSM (R"), G(x) е /7 ц (/?""'). Тогда существует единственное решение v(x,t) задачи (40) -

V — 2

(41), принадлежащее пространству Hstq a q(R").

Теорема 23. Пусть выполнены условия теоремы 20. F(x,t) е IIsaq{R"). Тогда существует единственное решение v{x,t) задачи (42) - (43), принадлежащее пространству Н (R").

При доказательстве теорем 20 - 23 существенно используются свойства весовых псевдодифференциальных операторов, установленные в главе 1.

Рассмотрим теперь псевдодифференциальные уравнения, содержащие весовые псевдодифференциальные операторы с переменным символом. А именно, в Л" рассмотрим следующие задачи

\Kw{t,Dx,Dal)vWd,v{x,t) = F{x,t)

1 , ' (47) \v(x,t)\ = G(x), lim v(xj) = 0,

L /—»too

¡Kf\t, Dx,DaJ)v(x,t)-8,v(x,t) = F(x,t) ] lim v(x,t) = 0.

Наряду с задачами (47), (48) рассмотрим задачи, зависящие от параметра г > 0. \Kb\t,D„Da,)v(x,t) - d,v(x,t) - rv(x,i) = F(x,t)

1 , (49)

v(x,/) =G(x), lim v(x,i) = 0,

\K^\t,Dx,DaJ)v{x,t) - d,v(x,t) + rv(x,t) = F(x,t) 1 lim v(x,/) = 0.

I. /-»+GO

Предположим, что символы /^{t,q,r]) весовых псевдодифференциальных операторов K±\t,Dx,DaJ) удовлетворяют следующему условию.

Условие 7. Функции A±(t,g,T]) принадлежат классу 5('(Г2), где q > 1 -действительное число, Qей'. Причём, с некоторой константой с>0, не зависящей от t е Q, g е R"~', r/eR1, справедливы оценки ±ReЯ±(/,7) > с(1 ++ l^l)' при всех ?ei2, ^ sR"'\t] eR]. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 24. Пусть з > 0, д > 1 - действительные числа, выполнено условие Г. Пусть функция удовлетворяет условию 7. Тогда для

любого решения у(х,() задачи (47), принадлежащего пространству Я<)? а1/(К"), справедлива априорная оценка

с постоянной с > 0, не зависящей от v, г, с.

Теорема 25. Пусть 5>0, </>1 - действительные числа, выполнено условие Г. Пусть функция А+(/,£,?7) удовлетворяет условию 7. Тогда для любого решения у(х,г') задачи (48), принадлежащего пространству Н1г1/а1/(К"), справедлива априорная оценка

с постоянной с > 0, не зависящей от V, Р.

Теорема 26. При выполнении условий теоремы 24 существует правый регуляргоатор задачи (47), то есть такой оператор

Л,://!Д,№;>// , что АА(Г,0) = (Р,С) + Т1(Р,С), где

А{ - оператор, порождённый задачей (47) (то есть = а -

ограниченный оператор из Н1аЖ)х Я , (Л""1) в Н3+1аЖ)хН , (Л""').

Как известно, при выполнении априорной оценки (51) правый регуляризатор является одновременно и левым регуляризатором.

Теорема 27. При выполнении условий теоремы 25 существует правый регуляризатор задачи (48), то есть такой оператор

что АгКР^Р + Т^ , где А2 - оператор, порожденный задачей (48), а Т2 - ограниченный оператор из Я1аДЛ") в

Так же как и выше замечаем, что правый регуляризатор является одновременно и левым регуляризатором.

Теорема 28. Пусть выполнены условия теоремы 24, г>г{. Тогда при достаточно большом ^ > 0 для любого решения у(х,/) задачи (49), принадлежащего пространству Н!Па1/(Я"), справедлива априорная оценка

с постоянной с > 0, не зависящей от у, Р, <7.

Теорема 29. Пусть выполнены условия теоремы 24. Пусть Р{х,1)еН!:а (/?"), С(х)еЯ , (Я"-1). Тогда при г>гг где г, >0 - достаточно

большое число, существует единственное решение задачи (49), принадлежащее пространству Я(+? £( ДД+").

Теорема 30. Пусть выполнены условия теоремы 25. Тогда при г>1\, где > 0 - достаточно большое число, для любого решения г(.г,/) задачи (50), принадлежащего пространству Н„+<,ач(К"), справедлива априорная оценка

с постоянной с > 0, не зависящей от v, F.

Теорема 31. Пусть выполнены условия теоремы 25. Пусть Тогда при г>, где >0 - достаточно большое число, существует единственное решение задачи (50), принадлежащее пространству

В четвертой главе диссертации исследуется корректность математических моделей процессов с вырождением в анизотропных средах, определяемых общими краевыми задачами в Я" для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка. Построены регуляризаторы рассмотренных краевых задач.

Теорема 32. Пусть 5 >тах{2т, шах/и, + <?} - действительное число и

]</<г 1

выполнены условия ]', 2, 3. Тогда существует правый регуляризатор задачи (21) - (23), то есть такой оператор

Я:, что

* 2®

= + (52)

где А - оператор, порожденный задачей (21) - (23),

а оператор Г является ограниченным оператором из Н.-^Юх^Н , (Л""1) в //„.(|,,„(Л;)хП// , , (Л-1),

' . , 5—ц-т. 4 а , 1'—<1+1 -т,

1' 1 2 ' •/=' 2 '

При выполнении априорной оценки (28) правый регуляризатор задачи является одновременно и левым регуляризатором.

Результат, аналогичный теореме 32, справедлив и для задачи (31), (33),

(23).

Теорема 33. Пусть л- > шах{2пг, шах т + д} - действительное число и

1<

выполнены условия Г, 4, 5, 6. Тогда существует правый регуляризатор задачи (31), (33), (23).

Так как для решения задачи (31), (33), (23) справедлива априорная оценка (37), то правый регуляризатор является и левым регуляризатором.

В главе 5 устанавливается корректность математических моделей вырождающихся процессов, определяемых общими краевыми задачами в полосе конечной ширины = {0 < / < с/, хейи) для вырождающихся

эллиптических уравнений высокого порядка, содержащих невырожденную производную второго порядка по переменной /. Установлены коэрцитивные априорные оценки и теорема о существовании и единственности решений рассмотренных краевых задач. Здесь предлагается другой метод (отличный от примененного в главах 1 - 4) доказательства теоремы существования, позволяющий одновременно устанавливать и единственность построенного решения.

В полосе Я'^ = {0 < X < г/, х е К"'1} рассматривается задача

= = (53)

где

I "гАК. >

\r\^■j<2m

аТ] - комплексные числа,1та02т = 0.

На границе г = 0 полосы Я] задается условие Вфх,д,)4.0= I = (54)

|г|+т!<т'

с комплексными коэффициентами Ьг1.

На границе ? = полосы Л," заданы условия вида

= (55)

Условие 8. При всех е Я" справедливо неравенство

11еЬ2т(^,т]) -с(1 +1<£|2 + \г]\2)т, где постоянная с > 0 не зависит от (£,?;).

Условие 9. Для некоторого я >2т + т функция а(г) принадлежит С,ч[0,(/],причем а(0)=а'(0) = 0, а(/)>0 при />0.

Условие 10. При всех ¿геЛ"1 выполнено одно из трех условий: либо Яе&0(£Щ&<0 ,либо .90(£)*0, 5,(^) = 0,либо 0, ¿>0(^) = 0. Здесь - многочлен, степень которого не выше т (т -т),

который строится с помощью рекуррентных формул по коэффициентам операторов А к В.

Введем по аналогии с пространством Н (Я°) пространство Н!а т(Я^).

Определение 7. Пространство Н1ат(Я"1,) (л- >0 - действительное число) состоит из тех функций у(х,/) £ 12(Л"), для которых конечна норма

'(.-/) |2 -

'=0 II НмяЗ)

где [лтн-1 ] - целая часть числа хяГ1. Если х - целое неотрицательное число, то эта норма эквивалентна следующей норме

|г|+./+т/<., ^^

Теорема 34. Пусть ,?>тах{2т, т +т) - целое число и выполнены условия 8 - 10. Тогда для любого решения v(;c,r) задачи (53) - (55), принадлежащего пространству Н< а т(Я",), справедлива априорная оценка

2

где постоянная с > 0 не зависит от V.

Здесь И, - норма в пространстве Соболева - Слободецкого //ДЛ"1).

Теорема 35. При выполнении условий теоремы 34 для любых С(х) е II _ „,(Л" ') существует единственное решение

' я—т —

2

задачи (53) - (55), принадлежащее пространству II х ат(К",).

В главе 6 исследуется вопрос о корректности математических моделей, определяемых краевыми задачами типа задач Дирихле в полосе для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, содержащих невырожденную производную порядка 21, I > 1 по переменной I. При этом для доказательства основных теорем используются методы, аналогичные методам главы 5.

В полосе Я"/ ={хеЛ"~', 0 < / < с/}, где с1> 0 - некоторое число, рассматривается уравнение

А(Ох,Оа„д,Н^) = Нх,1), (57)

где

ЖА.А^^ЛА.ДЛ+НУа,2'. />1, (58)

Здесь аг. - комплексные коэффициенты, причем, 1т ай1т = 0. На границе / = 0 полосы задаются условия вида.

X Ъгр[с<;> у(х,0|,_0 = СДх), } = 1, 2,...,/, (59)

где 6 . - комплексные коэффициенты. На границе I = с! задаются условия вида

=д, ^.оЬ=-==0 •

Пусть выполнены следующие условия.

Условие 11. При всех ^еЛ"1, ?/ е К' справедлива оценка

КеЬ2т(%,1]) > с(1 +1£|2 + |?;|2)т, где постоянная с > 0 не зависит от г\.

т т

Условие 12. Для некоторого 5>шах{2пг, тз.х(к] + {1-])— + —)}

функция а(/) принадлежит пространству С1_1[0,^], причем, а(0)=а'(0) = 0, а(!)> 0 при 1> 0.

Условие 13. При всех £ е справедливы оценки

r\<tj

>0, _/ = 1,2,...,/.

Аналогично пространству Hsajn(R"d) введем пространство Я m(Rj).

Определеннее. Пространство Я m(/?J) (s>0 - действительное число,

т V (У /

4,я'7

т, / - натуральные числа, тя>/) состоит их тех функций v(x,t) еL2(R"d) , для которых конечна норма

1"'И , If 1

'' HI Им«>

где [—] - целая часть числа —. Если s - целое неотрицательное число, то эта т т

норма эквивалентна норме

1МЦ=( I

I . , . т , ^ "

M+J+ypS«

Основными результатами главы 6 являются следующие теоремы.

ffl /77

Теорема 36. Пусть s > шах{2m, шах(/су + (/ - /)—+ —)} - действительное

число, иг > 2/ - четное число. Пусть выполнены условия 11 - 13. Пусть F(x,t)sH ,„(/?;), С,«еЯ mm (/?-'), 7 = 1,2,...,/. Тогда для

любого решения v(.r,/) задачи (57), (59), (60), принадлежащего пространству Я т (Rj), справедлива априорная оценка

' I j=1 J I 21 1

)

с константой с > 0, не зависящей от V, .Р, Ср у = 1, 2, ..., /.

Теорема 37. Пусть выполнены условия теоремы 36. Пусть Р(х,0 е Я т(Л;), Оу(*)еЯ тт (Г4), 7 = 1,2,...,/. Тогда

существует единственное решение у(х,/) задачи (57), (59), (60), принадлежащее пространствуя „№)■

5,а,— /

В приложении рассмотрены примеры математических моделей, построенных с помощью краевых задач, содержащих уравнения, изученные в предыдущих главах. Проведены численные эксперименты некоторых модельных задач.

В частности, изучен вопрос о применении полученных выше результатов

к исследованию стационарных процессов конвекции - диффузии в неоднородных анизотропных средах.

Уравнение конвекции - диффузии в неоднородных анизотропных средах имеет вид

£ + + Ф)«(х) = /«• (61)

М п дxJ

Здесь и = и(х1,х2,х3) - концентрация газа (жидкости) в точке х = (х,,х2,.г,). Рассмотрим уравнение (61) в полупространстве Я1 = {(х,,х2) е Л2, х3 >0}. Предполагается, что функции с(х), яДх), 6Дх), _/ = 1,2,3 - достаточно гладкие на Я]. Физический смысл функций ¿¡Д.г) состоит в том, что эти функции определяют коэффициенты диффузии в точке х е . Предположим, что среда анизотропная, то есть физические свойства различны по разным направлениям. Предположим, что при приближении к гиперплоскости х3 = 0 коэффициент диффузии а3(х), соответствующий диффузионному потоку в направлении, параллельном оси Ох3, стремится к нулю. То есть, а3 (х) > 0 при всех х3>0, (х,,х2)е/?3, и а3(х)[г0=0. Физически это означает, что диффузионный поток встречается с препятствием (х, = 0), на котором диффузия отсутствует. Предполагается, что в направлениях, параллельных осям Ох, и Ох2, такие препятствия отсутствуют, то есть а} (х) > 0, / = 1,2 при

всех (х,, х2 )еЯ2, х3 > 0.

Пусть а3(х) = а2(х3)а31(х,,х2), где а(х3) > 0 при всех х3 > 0, а(х3) = сот! при х3> с/ >0 для некоторого с!> 0; а(0) = а'(0) = 0, а31(хгх2)# 0 при всех (х,,х2) е Я2. Тогда уравнение (61) можно записать в виде

- ¿«„I -(*)«+Е^.. +ь» =№)> (62)

7=1 /=1 ОДГу ох3

где операторы Ви ,, £>л - определены выше, коэффициенты ау | (х), 7 = 1, 2; />у, (х), у = 1, 2, 3; с, (х) - определяются по коэффициентам уравнения (61). Уравнение (62) при определенных условиях является частным случаем уравнений, фигурирующих в задачах (40) - (42), (47) - (50) в случае, когда символы весовых псевдодифференциальных операторов являются многочленами второй степени.

Таким образом, задачи (40) - (42), (47) — (50) в частных случаях описывают процессы конвекции - диффузии в случае, когда граница ¡ = 0 оказывает существенное влияние на диффузионный процесс в том смысле, что при приближении к границе г = 0 коэффициент диффузии стремится к нулю.

Уравнения вида (61) и (62) возникают при математическом описании различных физических процессов. К таким уравнениям приводит математическое моделирование процессов фильтрации идеального баротропного газа в пористой среде, процессов фильтрации двухфазных

жидкостей, процесса вытеснения нефти водой из пористой среды. Подобные уравнения возникают при моделировании процесса распространения примеси в жидкокристаллическом растворе, находящемся во внешнем электрическом поле, при исследовании стационарной задачи о контакте мягкой оболочки с препятствием, при расчете линейных стационарных магнитных осесимметричных полей в неоднородных средах.

Так как уравнения вида (61), (62) описывают не только стационарные процессы диффузии и теплопроводности, но и процессы, происходящие в стационарных магнитных и электрических полях, то результаты, полученные в диссертации, применимы для исследования математических моделей стационарных диффузионных, магнитных и электрических процессов в анизотропных средах в случае существенного влияния границы области на процессы, происходящие вблизи границы.

Заметим, что в силу теорем 15 и 18 левые части уравнений (21) и (31) могут быть представлены в виде суперпозиции конечного числа операторов, частными случаями которых являются операторы, стоящие в левой части уравнений (62). Таким образом, уравнения (21) и (31) описывают процессы конвекции - диффузии в многокомпонентных неоднородных анизотропных средах, то есть средах, состоящих из конечного числа различных, влияющих друг на друга неоднородных анизотропных сред. При этом предполагается, что границы сред оказывают существенное влияние на процессы, происходящие внутри сред.

В приложении установлена также возможность применения полученных результатов к исследованию математических моделей, содержащих краевые задачи для сингулярно возмущенных уравнений конвекции - диффузии, если возмущение при одной из производных является переменной величиной.

В пакете Maple 10 проведен численный эксперимент некоторых модельных задач.

Автор выражает глубокую благодарность научному консультанту, профессору Ю. В. Покорному, а также профессору В. П. Глушко за внимание к работе и полезные консультации.

Список основных публикаций по теме диссертации Монографии

1. Баев А. Д. Качественные методы теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений / А. Д. Баев. - Воронеж: Воронеж, гос. ун-т, 2008. -240 с.

Статьи в рецензируемых научных журналах, включенных в реестр ВАК

МОиН РФ

2. Баев А. Д. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка и связанные с ними псевдодифференциальные операторы / А. Д. Баев // Докл. Академии наук. - 1982. - Т. 265, № 5. - С. 1044-1046.

3. Баев А. Д. Некоторые свойства псевдодифференциальных операторов / А. Д. Баев // Вестн. Воронежского гос. ун- та. Сер. Физика. Математика. - 2006. - № 2.-С. 147-152.

4. Баев А. Д. Об априорной оценке решений задачи Дирихле для одного эллиптического уравнения высокого порядка, моделирующего процессы с вырождением / А. Д. Баев // Системы управления и информационные технологии. - 2008-№ 1.1 (31).-С. 115-120.

5. Баев А. Д. Теорема о разрешимости одной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка, содержащего невырожденную производную четвертого порядка по переменной t / А. Д. Баев // Системы управления и информационные технологии. - 2008. - № 1.1 (31). -С. 120-124.

6. Баев А. Д. О разрешимости краевых задач для одного класса вырождающихся псевдодифференциальных уравнений / А. Д. Баев // Системы управления и информационные технологии. - 2008. - № 1.2 (31). - С. 277-280.

7. Баев А. Д. Об априорной оценке решений задачи Дирихле для одного вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка / А. Д. Баев // Системы управления и информационные технологии. - 2008. - № 1.2 (31). - С. 212-217.

8. Баев А. Д. Теорема о разрешимости одной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка, содержащего невырожденную производную порядка 21 по переменной / / А. Д. Баев // Системы управления и информационные технологии - 2008. - № 1.3 (31). - С. 323-327.

9. Баев А. Д. Об одном методе доказательства априорных оценок решений краевых задач, моделирующих процессы с вырождением / А. Д. Баев // Системы управления и информационные технологии. - 2008. - № 1.3 (31). - С. 327-332.

10. Баев А. Д. О существовании решения общей краевой задачи в полосе для одного вырождающегося уравнения / А. Д. Баев // Научно - технические ведомости Санкт-Петербургского гос. техн. ун-та. Сер. Информатика. Телекоммуникация. Управление. - 2008. - № 3 (60). - С. 173-180.

11. Баев А. Д. Об одной краевой задаче в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка / А. Д. Баев // Вестн. Самарского гос. ун-та. Сер. Естеств. науки. - 2008. - № 3 (62). - С. 27-39.

12. Баев А. Д. О разрешимости общих краевых задач в полупространстве для для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / А. Д. Баев // Вестн. Самарского гос. ун-та. Сер. Естеств. науки. - 2008. - № 3 (62). - С. 4050.

13. Баев А. Д. О краевых задачах в полупространстве для сингулярно возмущенных уравнений конвекции - диффузии с вырождением / А. Д. Баев // Системы управления и информационные технологии. - 2008. - № 2.2 (32). - С. 212-216.

14. Баев А. Д. Построение регуляризатора общей краевой задачи для эллиптических уравнений высокого порядка, моделирующих процессы с вырождением / А. Д. Баев // Системы управления и информационные технологии. - 2008. - № 2.3 (32). - С. 322-326.

Публикации в других изданиях

15. Баев А. Д. Общие граничные задачи для уравнений с обращающимися в нуль коэффициентами при старшей производной / А. Д. Баев, В. П. Глушко // Всесоюзная конференция по асимптотическим методам в теории сингулярно возмущенных уравнений: тез. докл., Алма- Ата, 5-8 июля 1979 г. - Алма-Ата: Наука, 1979.-С. 160-162.

16. Баев А. Д. Корректная разрешимость общих краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений /А. Д. Баев, В. П. Глушко; Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 1979. - 60 с. - Деп. в ВИНИТИ 9.02.79, № 53679.

17. Баев А. Д. О корректности краевых задач для некоторых классов вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / А. Д. Баев, В. П. Глушко // Дифференциальные уравнения в частных производных : сб. науч. тр. -Новосибирск: Наука, 1980-С. 17-21.

18. Глушко В. П. Об однозначной разрешимости краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / В. П. Глушко, А. Д. Баев // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики: сб. науч. тр. / Ин-т математики СО АН СССР. - Новосибирск, 1980. - С. 61-63.

19. Баев А. Д. О разрешимости общей краевой задачи для одного вырождающегося уравнения четвертого порядка / А. Д. Баев // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики : сб. науч. тр. / Ин-т математики СО АН СССР. - Новосибирск, 1981. - С. 18-20.

20. Баев А. Д. Об одном методе доказательства априорных оценок решений общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка /А. Д. Баев; Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 1981. - 26 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.09.81, №4428-81.

21. Баев А. Д. Об одном классе вырождающихся эллиптических уравнений / А. Д. Баев // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. тр. / Инт математики СО АН СССР. - Новосибирск, 1982. - С. 24-26.

22. Баев А. Д. О применении метода разделяющегося оператора для доказательства априорных оценок решений краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений /А. Д. Баев; Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 1982. - 44 с. - Деп. в ВИНИТИ 3.08.82, № 4208-82.

23. Баев А. Д. Пространства типа Соболева-Слободецкого с весом и весовые псевдодифференциальные операторы /А. Д. Баев; Воронеж, гос. ун-т. -Воронеж, 1982. - 39 с. - Деп. в ВИНИТИ 3.08.82, № 4209-82.

24. Баев А. Д. О разрешимости краевых задач для некоторых классов вырождающихся эллиптических уравнений /А. Д. Баев; Воронеж, гос. ун-т. -Воронеж, 1982. - 54 с. - Деп. в ВИНИТИ 6.09.82, № 4736-82 .

25. Баев А. Д. Об одном классе уравнений переменного типа / А. Д. Баев // Школа по теории операторов в функциональных пространствах: тез. докл., Минск, 11-14 июля 1982 г.-Минск, 1982.-С. 18-19.

26. Баев А. Д. О вырождающихся уравнениях переменного порядка / А. Д. Баев // Нелокальные задачи для нагруженных уравнений смешанного типа и родственные проблемы непрерывного анализа: сб. науч. тр. - Нальчик, 1982. -С. 29-41.

27. Баев А. Д. Весовые псевдодифференциальные операторы в теории эллиптических краевых задач с вырождением / А. Д. Баев, В. П. Глушко // Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики: тр. семинара акад. С. Л. Соболева / Ин-т математики СО АН СССР. - Новосибирск, 1983.-№ 1.-С. 3-31.

28. Баев А. Д. Весовые псевдодифференциальные операторы с переменным символом / А. Д. Баев, В. П. Глушко // Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики: тр. семинара акад. С. Л. Соболева / Ин-т математики СО АН СССР. - Новосибирск, 1983. - № 2. - С. 5-26.

29. Баев А. Д. Об одном классе краевых задач для эллиптических псевдодифференциальных уравнений /А. Д. Баев; Воронеж, гос. ун-т. -Воронеж, 1983. - 35 с. - Деп. в ВИНИТИ 5.07.83, № 3670-83.

30. Баев А. Д. Разрешимость общих краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений /А. Д. Баев, Л. В. Желдакова; Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 1985. - 28 с. - Деп. в ВИНИТИ 8.02.85, № 106485.

31. Баев А. Д. О свойствах коммутации весовых псевдодифференциальных операторов с операторами дифференцирования /А. Д. Баев, А. Т. Дощарова; Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 1986. - 35 с. - Деп. в ВИНИТИ 18.04.86, № 2844-В86.

32. Баев А. Д. Об энергетических оценках в смешанной задаче для вырождающихся # - гиперболических уравнений / А. Д. Баев // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. тр. / Ин-т математики СО АН СССР. - Новосибирск, 1986. - С. 34-38.

33. Баев А. Д. Теорема о предельных значениях весовых псевдодифференциальных операторов /А. Д. Баев, Е. А. Краморова; Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 1986.-32 с.-Деп. в ВИНИТИ 18.04.86, № 2845-В86.

34. Баев А. Д. Теорема об ограниченности для одного класса весовых псевдодифференциальных операторов / А. Д. Баев // Наука и ее роль в ускорении научно-технического прогресса : тез. докл. межвуз. конф., Воронеж, 27-31 янв. 1987 г.-Воронеж, 1987.-С. 36.

35. Баев А. Д. Теорема о композиции для одного класса весовых псевдодифференциальных операторов /А. Д. Баев; Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 1987. - 23 с. - Деп. в ВИНИТИ 9.06.87, № 4166-В87.

36. Баев А. Д. Об одном классе весовых псевдодифференциальных операторов / А. Д. Баев // XII Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных

пространствах: тез. докл., Тамбов, 12-15 дек. 1987. - Тамбов, 1987. - Ч. 1. - С. 23.

37. Баев А. Д. Разрешимость одного класса вырождающихся псевдодифференциальных уравнений / А. Д. Баев // XIII Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах: тез. докл., Куйбышев, 2025 мая 1998.-Куйбышев, 1988. - С. 31-32.

38. Баев А. Д. Априорные оценки решений некоторых вырождающихся эллиптических псевдодифференциальных уравнений /А. Д. Баев; Воронеж, гос. ун-т.-Воронеж, 1988.-31 с.-Деп. в ВИНИТИ 28.11.88, № 8356-В88.

39. Баев А. Д. Некоторые свойства "следов" весовых псевдодифференциальных операторов /А. Д. Баев, С. П. Мазалова; Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 1988. - 28 с. - Деп. в ВИНИТИ 28.11.88, № 8357-В88.

40. Баев А. Д. Теорема о коммутации весового псевдодифференциального оператора с переменным символом и оператором дифференцирования /А. Д. Баев, Е. Г. Палажченко; Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 1988,- 20 с.-Деп. в ВИНИТИ 28.11.88, № 8358-В88.

41. Баев А. Д. Задача Дирихле для одного класса вырождающихся уравнений / А. Д. Баев // XV школа по теории операторов в функциональных пространствах: тез. докл., Новгород, 17-21 мая 1990 г. - Новгород, 1990. - С. 47.

42. Баев А. Д. Некоторые свойства весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом / А. Д. Баев // Сибирская конференция по неклассическим уравнениям математической физики: тез. докл. - Новосибирск, 1995.-С. 13.

43. Баев А. Д. Теорема о коммутации псевдодифференциальных операторов с переменным символом и оператора дифференцирования /А. Д. Баев, Н. И. Никифорова; Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 1996. - 27 с. - Деп. в ВИНИТИ 26.06.96, № 2144-В96.

44. Баев А. Д. Теорема о "следах" для весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом /А. Д. Баев, О. А. Ушпик; Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 1996. - 27 с. - Деп. в ВИНИТИ 26.06.96, № 2143-В96.

45. Баев А. Д. Некоторые свойства весовых псевдодифференциальных операторов с вырождающимися символами / А. Д. Баев // Конференция по функциональному анализу и уравнениям математической физики: тез. докл., Воронеж, 25-30 янв. 1997 г. - Воронеж, 1997. - С. 38.

46. Баев А. Д. Априорные оценки решений краевых задач для одного класса вырождающихся уравнений / А. Д. Баев // Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции: тез. докл. междунар. науч. конф., Самара, 23-27 июня 1997 г. - Самара, 1997. - С. 48-49.

47. Баев А. Д. Разрешимость одного класса краевых задач для уравнений переменного типа / А. Д. Баев // Теория и численные методы решения краевых задач: тез. докл. респ. конф., Юрмала, 22 - 27 июня 1998 г. - Юрмала, 1998. - С. 64.

48. Баев А. Д. Теорема о композиции для одного класса весовых псевдодифференциальных операторов / А. Д. Баев // Современные методы

теории функций и смежные вопросы: тез. докл. междунар. науч. конф., Воронеж, 26-31 янв. 2003 г. - Воронеж, 2003. - С. 26-27.

49. Баев А. Д. Теорема об ограниченности для одного класса весовых псевдодифференциальных операторов / А. Д. Баев // Воронежская зимняя математическая школа: тез. докл., Воронеж, 24-30 янв. 2004 г. - Воронеж, 2004. -С. 15-16.

50. Баев А. Д. Теорема о коммутации для весового псевдодифференциального оператора / А. Д. Баев // Воронежская зимняя математическая школа: тез. докл., Воронеж, 23-29 янв. 2005 г. - Воронеж, 2005. - С. 21.

51. Баев А. Д. Теорема «о следах» для одного класса весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом / А. Д. Баев // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: тез. докл., Воронеж, 19 - 23 дек. 2005 г. - Воронеж, 2005. - С. 14.

52. Баев А. Д. Теоремы об ограниченности и композиции для одного класса весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом / А. Д. Баев // Современные методы теории краевых задач: тез. докл., Воронеж, 3-10 мая 2006 г. - Воронеж, 2006. - С. 13-15.

53. Баев А. Д. Теорема об ограниченности и композиции для одного класса весовых псевдодифференциальных операторов / А. Д. Баев, Е. М. Мерзликина // Труды математического факультета ВГУ. - Воронеж, 2007. - № 11. - С. 150154.

54. Баев А. Д. О разрешимости краевых задач для одного класса вырождающихся псевдодифференциальных уравнений / А. Д. Баев // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: тез. докл., Воронеж, 19-24 нояб. 2007 г. - Воронеж, 2007. - С. 22-23.

55. Баев А. Д. Теорема о коммутации весового псевдодифференциального оператора с переменным символом и оператора коммутации / А. Д. Баев // Современные методы теории краевых задач: тез. докл., Воронеж, 4-11 мая, 2007 г. - Воронеж, 2007. - С. 30-31.

56. Баев А. Д. Теорема о коммутации одного класса весовых псевдодифференциальных операторов с оператором дифференцирования / А. Д. Баев // Современные проблемы теории функций и смежные проблемы: тез. докл., Воронеж, 24-31 янв. 2007 г. - Воронеж, 2007. - С. 18-19.

57. Баев А. Д. Априорные оценки решений одного вырождающегося уравнения / А. Д. Баев // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна-2008 : тез. докл., Воронеж, 24-31 янв. 2007 г. - Воронеж, 2007. - С. 11-12.

58. Баев А. Д. Оценка решений задачи Дирихле для одного эллиптического уравнения высокого порядка, моделирующего процессы с вырождением / А. Д. Баев // Современные методы теории краевых задач: тез. докл., Воронеж, 4-11 мая 2008 г. - Воронеж, 2008. - С. 29-30.

59. Баев А. Д. О псевдодифференциальных операторах, построенных на основе преобразования Ганкеля и весового преобразования Фурье / А. Д. Баев, Е. М.

Мерзликина, Л. Н. Ляхов // Третья международная конференция, посвященная 85 - летию члена-корреспондента РАН Л. Д. Кудрявцева: тез. докл., Москва, 12 - 14 марта 2008 г. -М., 2008. - С. 157-159.

60. Баев А. Д. Априорная оценка решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения высокого порядка /А. Д. Баев // Актуальные проблемы математики и информатики (Труды математического факультета ВГУ). - Воронеж, 2008. - № 3.-С. 3-13.

Подписано в печать 12.09.08. Формат 60*84 Усл. печ. л. 1,86. Тираж 100 экз. Заказ 1696

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-пол»графического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

Введение.

Глава 1. Весовые псевдодифференциальные операторы и их свойства.

1.1. Формулы коммутации и вспомогательные оценки.

1.2. Оценки коммутатора весового псевдодифференциального оператора с постоянным символом и операторов дифференцирования —у.

1.3. Граничные значения весового псевдо дифференциального оператора с постоянным символом.

1.4. Композиция весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом из класса Б™.

1.5. Теорема об ограниченности весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом из класса Б™.

1.6. Оценки коммутатора весового псевдодифференциального оператора с переменным символом из класса и операторов дифференцирования

1.7. Граничные значения весового псевдо дифференциального оператора с переменным символом из класса 8™.

1.8. Сопряженный оператор и неравенство Гординга для весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом из класса

Глава 2. Метод разделяющего оператора в доказательстве априорных оценок решений общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка.

2.1. Вспомогательные оценки.

2.2. Факторизация оператора А в случае постоянных коэффициентов. Построение разделяющего оператора.

2.3. Доказательство априорной оценки решений общей краевой задачи в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка с постоянными коэффициентами.

2.4. Факторизация оператора А и построение разделяющего оператора в случае переменных по t коэффициентов.

2.5. Доказательство априорной оценки решений общей краевой задачи в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка с переменными коэффициентами.

Глава 3. Априорная оценка и существование решения задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических псевдодифференциальных уравнений, содержащих производную первого порядка по переменной t.

3.1. Вспомогательные утверждения.

3.2. Доказательство априорных оценок решений задачи Дирихле для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений с постоянным по t символом.

3.3. Существование решения задачи Дирихле для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений с постоянным по t символом.

3.4. Доказательство априорных оценок решений задачи Дирихле для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений с переменным по t символом.

3.5. Существование решения задачи Дирихле для вырождающихся псевдо дифференциальных уравнений с переменным по t символом.

Глава 4. Построение регуляризатора в общей краевой задаче для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка.

4.1. Вспомогательные утверждения.

4.2 Построение регуляризатора в общей краевой задаче для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка с постоянными по ^ коэффициентами.

4.3. Построение регуляризатора в общей краевой задаче для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка с переменными по ? коэффициентами.

Глава 5. Априорные оценки, существование и единственность решения общих краевых задач в полосе для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, содержащих невырожденную производную второго порядка по переменной г.

Глава 6. Априорные оценки, существование и единственность решения задачи Дирихле в полосе для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, содержащих невырожденную производную порядка 2/по переменной t

Процессы с вырождением - это модели, в которых граница области оказывает существенное влияние на процессы, происходящие вблизи границы. В этом случае на границе области может меняться как тип уравнения, так и его порядок. В данной работе рассматриваются краевые задачи для уравнений, являющихся эллиптическими внутри области, которые на границе области меняют порядок по одной из переменных. При этом на границе области уравнение вырождается либо в эллиптическое уравнение, либо в параболическое уравнение. Такие уравнения возникают при математическом моделировании различных физических процессов. Например, подобные уравнения используются при исследовании стационарных процессов конвекции - диффузии в неоднородных анизотропных средах, характерных тем, что при приближении к границе коэффициент диффузии стремится к нулю. В частности, к таким уравнениям приводит математическое моделирование процессов фильтрации идеального баротропного газа в неоднородной анизотропной пористой среде (см. [1]), процессов фильтрации двухфазных жидкостей (см. [2], [3]), в том числе, процессов вытеснения нефти водой из пористой среды [4]. Подобные уравнения возникают при моделировании процесса распространения примеси в жидкокристаллическом растворе, находящемся во внешнем электрическом поле (см. [5]), при исследовании стационарной задачи о контакте мягкой оболочки с препятствием (см. [6]), при расчете линейных стационарных магнитных осесимметричных полей в неоднородных анизотропных средах (см. [7]). Такие уравнения являются, например, обобщением сингулярно возмущенных уравнений конвекции -диффузии (см. [8]). Кроме того, известно, что нахождение решения краевой задачи для эллиптического уравнения эквивалентно минимизации некоторого функционала. В теории управления задача о минимуме некоторого функционала соответствует задаче об оптимальном управлении.

Вырождающимся эллиптическим уравнениям соответствуют вырожденные или особые оптимальные управления (см. [9] - [10]).

Краевые задачи для уравнений с вырождением относятся к «неклассическим» задачам математической физики. Одна из главных трудностей, возникающих в теории вырождающихся эллиптических уравнений, связана с влиянием младших (в смысле теории регулярных эллиптических операторов) членов уравнения на постановку граничных задач и их коэрцитивную разрешимость.

Вырождающиеся эллиптические уравнения второго порядка и граничные задачи для них достаточно хорошо изучены. Фундаментальные результаты в этом направлении принадлежат М. В. Келдышу [11]. Полученные им результаты затем развивались и обобщались О. А. Олейник [12] и др. Обобщенные решения вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка впервые были рассмотрены в работах С. Г. Михлина [13] и М. И. Вишика [14]. Вслед за этим появился ряд работ, в которых методами, близкими к методу М. И. Вишика, изучались вырождающиеся уравнения второго порядка. Достаточно полную библиографию этих можно найти в книгах М. М. Смирнова [15], О. А. Олейник, Е. В. Радкевича [16]. Фундаментальные результаты по изучению асимптотических свойств решений линейных и нелинейных эллиптических и параболических уравнений и систем были получены В. А. Кондратьевым [17], [19], В. А. Кондратьевым, Е. М. Ландисом [18], Ю. В. Егоровым, В. А. Кондратьевым, О. А. Олейник [20]. Метод "эллиптической регуляризации" был применен О. А. Олейник [21], а затем Дж. Коном и Л. Ниренбергом [22] для изучения эллиптико - параболических уравнений второго порядка. В работах В. П. Глушко [23], [24] была установлена коэрцитивная разрешимость общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка в специальных весовых пространствах типа пространств С. Л. Соболева с весом. Задача Дирихле для линейного эллиптического уравнения второго порядка с согласованным вырождением исходных данных в произвольной выпуклой области была исследована в работе В. А. Рукавишникова, А. Г. Ереклинцева [25], а с несогласованным вырождением - в работе В. А. Рукавишникова [26]. Задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с неоднородным анизотропным вырождением в области была рассмотрена в работе С. Н. Антонцева, С. И. Шмарева [1].

Исследование вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка (при "степенном" характере вырождения) было начато в работах М. И. Вишика и В. В. Грушина [27], [28]. Затем ряд результатов для некоторых классов вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка был получен В. П. Глушко [29], [30], X. Леопольдом [31], С. 3. Левендорским [32], С. А. Исхоковым [33]. Отметим, что существенным условием работы [32] является условие принадлежности основной весовой функции a(t) пространству C^i?1).

Настоящая диссертационная работа посвящена доказательству коэрцитивных априорных оценок и теорем разрешимости общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка.

В работе систематически используется специальное интегральное преобразование Fa, введенное в [30]. Преобразование Fa позволяет ввести в рассмотрение специальный класс весовых псевдодифференциальных операторов (п. д. о.).

В первой главе изучаются свойства весовых п. д. о. Вначале изучаются свойства весовых п. д. о. с постоянным по t символом. Устанавливаются важные для дальнейшего утверждения: формула и оценка коммутатора д! весового п. д. о. с производной —г (/ = 1,2,.) и теоремы о предельных при dt f—»+0 и i—»+ оо значениях весового п. д. о. Первое из этих утверждений позволяет представить (с точностью до "подчинённого" оператора) исходный вырождающийся эллиптический оператор в виде суперпозиции псевдодифференцильных операторов, каждый из которых содержит весовой п. д. о. и только одну производную —. Второе утверждение обосновывает тот дг факт, что на постановку граничных условий не влияют те слагаемые в исходном дифференциальном операторе, которые содержат хотя бы одну весовую производную Оа ( (при условии достаточно "сильного" вырождения), а также позволяет сформулировать условие дополнительности в алгебраической форме.

Затем в первой главе изучаются весовые п. д. о. с переменным по ? символом. Доказываются теоремы о композиции и ограниченности таких операторов в специальных весовых пространствах типа пространств С. Л. Соболева. Устанавливаются формулы и оценки коммутатора весового п. д. о. с д' производными — (/ = 1,2,.) и теоремы о предельных при ¿-»+0 и ¿-»+00 значениях весового п. д. о. с переменным по I символом. В этой главе устанавливается связь весового п. д. о. с некоторым интегральным оператором, строится сопряженный оператор к весовому п. д. о. и доказывается аналог неравенства Гординга для весовых п. д. о.

Эти свойства весовых п. д. о. позволяют в дальнейшем изучить более широкий класс вырождающихся уравнений высокого порядка.

Во второй главе диссертационной работы доказываются коэрцитивные априорные оценки решений общих краевых задач в полупространстве Я" для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, моделирующих процессы с вырождением. Здесь удалось применить впервые для вырождающихся эллиптических уравнений метод "разделяющего" оператора, существенно используя при этом понятие и свойства весовых п. д. о., доказанных в главе 1. Кроме того, в этой главе предложен и применен прием, позволяющий свести (при доказательстве априорных оценок) случай общих граничных условий к случаю однородных граничных условий Дирихле.

Предложен новый метод построения регуляризатора общей краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка в 7?". Этот метод требует предварительного исследования коэрцитивной разрешимости (или построения регулятора) задачи Дирихле для псевдодифференциальных уравнений, содержащих весовой п. д. о. и только одну производную —. Такое исследование проведено в третьей главе дг диссертации как в случае постоянного по / символа, так и в случае переменного по t символа. После этого в главе 4 строятся регуляризаторы общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, моделирующих процессы с вырождением, как с постоянными коэффициентами, так и с переменными коэффициентами.

В главе 5 устанавливаются коэрцитивные априорные оценки решений общих краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, содержащих невырожденную вторую производную . Исследуется корректность математических моделей, определяемых такими краевыми задачами, в частности, устанавливается существование и единственность решений этих краевых задач. Здесь применён другой метод (отличный от метода глав 1 - 4) доказательства существования решения, основанный на сведении данной задачи к системе интегральных уравнений. Несмотря на ограниченные возможности этого метода, он позволяет (при определённых условиях) устанавливать не только существование, но и единственность решения.

В главе 6 устанавливаются коэрцитивные априорные оценки решений, а также корректность математических моделей, определяемых краевыми задачами типа задач Дирихле в полосе для вырождающихся уравнений высокого порядка, содержащих невырожденную производную порядка 2/, / = 1, 2, 3,. по переменной г.

В приложении рассмотрены примеры математических моделей, в которых используются уравнения, изученные в предыдущих главах, и проведены расчеты некоторых модельных задач.

Перейдем к более детальному описанию результатов диссертационной работы.

В первой главе диссертационной работы изучаются свойства весовых псевдодифференциальных операторов. Рассмотрим функцию а(г\ для которой а(+0) = а'(+°) =0> а{()>§ при />0, а(/)=сопБ1 для 1>с1 при некотором й >0.

Введём интегральное преобразование d адо]Ю7)= [u(t)exp(irj (i)

1 ,Мр) л/«(0 определенное первоначально, например, на функциях u(t) е C0°°(i?|). Преобразование (1) связано с преобразованием Фурье

TW u(r)Qxp(iTjT)dT, rjeR1

-00 следующим равенством

РаШШ = Р„ч[иа{т)1 (2) где иа (т) = yja(t)u(t) , t - срл (г) - функция, обратная к функции

1=<р"(т) dp и т = Г , Л а{р)

Для преобразования справедлив аналог равенства Парсеваля о) что даёт возможность расширить преобразование (1) до непрерывного преобразования, осуществляющего гомеоморфизм пространств Ь2{В}) и

Ь2(Я1). Для расширенного таким образом преобразования Га сохраним старое обозначение. Обозначим через ! обратное к ^ преобразование, отображающее Ь2(ЯХ) на Ь2(Я\). Это преобразование можно записать в виде

РЛМп )](0

1 СДЧ/7)] лМО т=<р(1)

Легко показать, что на функциях и(/)еС0и(^) выполняются соотношения

КМ^Ш^РаШГ!), У =12,., ГДе Оа, д, =|-. дг

Определим пространства Нза(Яп+)\ следующим образом.

Определение 1. Пространство Н5а(Я") О - действительное число) состоит из всех функций у(х^) е Ь2(Щ), для которых конечна норма

1С = 1(1 +№ + Ч2У • (4) я"

Определение 2. Пространство (£>0, д>1) состоит из всех функций у(а%/) е , для которых конечна норма

1=0 У

5)

МО

5 51

Здесь [—] - целая часть числа —. Я Я

Пусть выполнено следующее условие.

Условие 1. Существует число ке(0,1] такое, что - с<00 ПРИ всех г е [0,+оо). Кроме того, е Сх'[0,+со) для некоторого ^ > 2М - |сг|, где 3

Л , , л

7 - Некоторое

N > шах{2р, +

0<р\<1

1~Р\+ 1

-+1, от +1, ст + -},/ = 1, 2.,

V 2 действительное число.

Заметим, что указанное выше число V существует, если а{+0) = а '(+0) = 0.

С помощью преобразования (1) и преобразования Фурье ~ , определим весовой п. д. о. по формуле

О^Х^О = Р^Лщ^Е^хт. (6)

Предполагается, что символ Щ,г]) весового п. д. о. при всех принадлежит по переменной г) пространству Ст(Я]) и удовлетворяет при всех е условиям д^^фс^Щ2 + г12)^\ 7 = 0,1,., (7) где постоянные с] > 0 не зависят от (£,77) е Л"; а е

Основные результаты первой главы для весовых п. д. о. с постоянным по ? символом содержатся в следующих теоремах.

Теорема 1. Пусть сг, 5 - действительные числа, = 1,2,. Тогда при выполнении условия 1 (с заменой сг на 5 + сг) и оценок (7) для оператора

М^К^ф^-К^ф^Х (8) справедлива оценка

С-ІЛ сТ\\д^ . (9)

Л ' Г+ГГ-) г, 4 '

5,« у=0

Константа с > 0 не зависит от V.

Теорема 2. Пусть д>1,5>0 - действительные числа; / = 1,2,.; у(х,/)єЯ!ф1)?л?(і?"). Тогда при выполнении условия 1 (при <т = £ + д) и оценок (7) (при ст = ц) для оператора М1с), определенного в (8) при сг = д, справедлива оценка кні^ни,,,-,,«, <10> с постоянной с > 0, не зависящей от V.

Теорема 3. Пусть q> l, er - действительные числа, v(x,t) е Hq+a а q(R"). Тогда при выполнении условия 1 и оценок (7) справедливо равенство lim К{а) (Dx, D )v = lim К(а) (Dx, 0)v(x, t) =

->+0 ' /—>+0 /1 1\

->+о - ъ

Теорема 4. Пусть выполнено условие I и символ Л(£,г]) удовлетворяет оценкам (7). Пусть функция v(x,t) такова, что функция D"tv(x,t) при всех xgRпА принадлежит как функция переменной t пространству L2(R\) при некотором 7Ve[max{cr +1, l}; s,] , где s] определено в условии I. Пусть lim DJa tv(x,t) - 0 при всех х е RnA, j = 0, l, 2,., N-1. Тогда при всех х е R"~]

->+со справедливо равенство lim K{a)(Dx,Da t)v(x,t) = 0.

Рассмотрим теперь весовой псевдодифференциальный оператор с переменным символом (12) Определение 3. Будем говорить, что символ Ä(t^,r/) весового п. д. о. K(a)(t,Dx,Dat) принадлежит классу символов S°(Q), где Q (открытое множество), если функция является бесконечно дифференцируемой функцией по переменной t G Q и по переменной Г] ei?1. Причем, при всех j = 0,1, 2,., / = 0,1, 2,. справедливы оценки a(t)d, у д!1?Л(1, £ п) | < cß (1 +|<? | + \п\Г1 (13) с константами cß> 0, не зависящими от ¿;eR"~\ г/ <=R\ tGK, где K^Q. произвольный отрезок. Здесь о - действительное число. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 5. Пусть P(t,Dx,Dat) и Q(t,Dx,Dat) - весовые п. д. о. с символами p(t,^r]) и q(t,<^,Tj) , принадлежащими соответственно классам и S'"2 (Q) (w, и т2 - действительные числа). Тогда для любого N >0

N , существует такое > 0 и такой символ (О.) , что справедливо равенство

М-1 пи ох, иа1 ш А. Я,) - 2 Щ «,£>„£>*;) = тЫх С, А > я«,). (14) у=1 где - весовой п. д. о. с символом весовой п. д. о. с символом

Г, (*,£?)= 4: ЦрЦ, £ »7) ■ (а(0а, У , (15) у!

Теорема 6. Пусть ш - действительное число. Тогда весовой п. д. о. Дс,£)а>() для любого действительного ^ есть ограниченный оператор из Н5+та(Я") в Нза(Я").

Утверждения, аналогичные теоремам 1 - 4 справедливы и для весовых п. д. о. с переменным по ? символом из класса

Теорема 7. Пусть символ ¿(¿,£,77) весового п. д. о. г) принадлежит классу ^(£2), £2 с: сг е Я'. Пусть у(х,0 е а(Я"), д!(у(х^)еН3+(Та(11"), 1 = 1,2. Пусть выполнено условие 1 (с заменой сг на ^ + а). Тогда для оператора

МКа = д\К{а) ^,Ох,Па1)-К{а)^,Вх,Оа1) д\ (16) справедлива оценка /-1 м. V <с(У а/у +У а/у ) (17) о- ^а 4 ¿-<11 ' л-<7-1,а ¿-ч! ' ¡+<т,а' К '

7=0 у=0 с константой с > 0 , не зависящей от у.

Теорема 8. Пусть д>1, 5>0 - действительные числа у(Я"). Пусть символ Л(/,<^,//) весового п. д. о. К(а)^,Ох,Ва1) принадлежит классу О с . Пусть выполнено условие 1 при и = 5 + д . Тогда для оператора

М1д, определенного в (16) при cr = q , справедлива оценка

KHL^^IHUi,^ (18) с постоянной с > 0, не зависящей от v.

Теорема 9. Пусть q>\, а - действительные числа v(x,t) е Н а (R"). Тогда при выполнении условия 1 справедливо равенство lim К{<7) (/, Dx,Dat) v(jc, t) = lim K(ar) (0, Dx, 0) v(jc, t) =

Теорема 10. Пусть выполнено условие 1 и символ Ä(t,<^,rj) весового п. д. о. K(ff)(t,Dx,Da l) принадлежит классу S°(Q), <j е R\ Q с Щ. Пусть при всех ge R"~\ 77 ei?1 функция Ä(t,4,r]) является ограниченной функцией по переменной t на множестве Rl+. Пусть функция v(x,i) такова, что функция D^tv{xJ) при всех x&Rn'x принадлежит, как функция переменной t, пространству L2{R\) при некотором tV е [max {сг +1,1}; s{] , где s, определено в условии 1. Пусть lim DJa ¡v(x,t) = 0 при всех х е RnA, 7=0,1, 2,., N -1. Тогда

00 при всех xeRn'] справедливо равенство lim K(a)(t,Dr ,D„ f)v(x,t) -0.

Определение 4. Пусть lQaRl - открытое множество. Будем говорить, что функция a(t,y,^,r/) принадлежит классу Sm'a(Q), m<=R], если функция является бесконечно дифференцируемой по переменным t е Q, у е Q, г] е R1 и на компактных подмножествах множества Q х П имеет место при всех у, к, 1 = 0,1, 2,. оценка a(t)dty{a(y)dy)kdlria(t,y,^V)\ < cjkl( 1 + |<f| + ЦТ'1 с константами cjkl > 0, не зависящими от t, у, rj и £ е Rn~{. Рассмотрим оператор вида

А(и(х, 0) = (20) где (^а^,) " прямое (обратное) весовое преобразование, переводящее у в Т] (Г] в t).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 11. Пусть А - оператор вида (20), причём (О.), 0.аЯ1, т<аК\ Тогда найдётся такой символ 77)е£;(£2), что А = Р(^Ох,Оа1), где Р{1,йх,Оа() - весовой п. д. о. с символом Причём, справедливо равенство

РЦ&'П) = 4<хй) ехР(/77 [~тт)"А( Д— ехР(~»7 [-—-:))•

Мр) Vа{у) }а(р)

При этом справедливо соотношение

У Ц а{и У, & Л) I, е 5Г" (") о при любых N = 1,2,.

Утверждение теоремы 11 даёт возможность построить сопряженный оператор к весовому п. д. о.

Определение 5. Сопряженным оператором к весовому п. д. о. Р^,Ох,Оа1) назовем оператор Р*^,Ох,Ва1), удовлетворяющий равенству для всех v{xit) Е 12(Я"), и(х^) е Ь2{Я'1) таких, что Р^,Ох,Оа1)и{х,() е Ь2(Я"). Здесь (•,•) - скалярное произведение в Ь^Щ) . Справедлива следующая теорема.

Теорема 12. Пусть /ией', Тогда оператор

Р*^,Вх,Оа1), сопряженный к весовому п. д. о. Ру,Вх,Оа() с символом является весовым псевдодифференциальным оператором с символом р* ((,%,?]) е (£2). Причём справедливо соотношение р\и- XЩлатУ "(П) у=о У' для любых N = 1,2,.

С использованием теорем 11 и 12 доказывается неравенство, являющееся аналогом неравенства Гординга для весовых п. д. о.

Теорема 13. Пусть Р(^,Ох,Эа1) - весовой п. д. о. с символом р^,£,?])е8'"(П), ОсД;, те Я'. Пусть > с(1 + + для всех

7]еЯ\ / е I с О, где К - произвольное компактное множество.

Тогда для любых е Я1 и е х К) справедливо неравенство

Ке(Р(Г,Д,/\>(х,/),и(х,О)>с01Н&« НЕ а

2' '' с некоторыми константами с0 > 0 и с, > 0.

Во второй главе диссертации с помощью разделяющего оператора устанавливаются коэрцитивные априорные оценки решений общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка. При этом вначале рассматриваются вырождающиеся операторы с постоянными коэффициентами, а затем и с переменными коэффициентами.

Рассмотрим в Я" линейное дифференциальное уравнение вида (21) где функции а{{) и операции дп Оа1 определены в главе 1. = > ахц

- комплексные числа, аш Ф 0, ц = > 1 (т, к - натуральные числа). Без к ограничения общности будем считать, что а00к = 1.

На границе / = 0 полупространства Я" задаются граничные условия вида

ВЛ°хА>1о = I ЬпРТЛ Ч.о = 3 =.,//, (22) г|+<} !<т} где число ¡л определяется (см. ниже) коэффициентами уравнения (21), Ьг1] -комплексные числа.

Кроме того, при ? —> +оо ставится условие

Птг(х^) = 0. (23)

->+ СО '

Условие Г. Выполнено условие 1 при ег = 5 + д, / = 1,2,.,[5/д] , где <7 > 1, я > О - действительные числа. Условие 2. Уравнение

X (24) г|+д/+У=2 т не имеет 2- - корней, лежащих на мнимой оси при всех (¿;,т])еЯ", + причем кратность этих корней равна единице.

Пусть г,(£,77),.,г(1 <г<к) - корни уравнения (24), лежащие в левой полуплоскости, остальные (к-г)- корней: лежат в правой полуплоскости. Функции ^. (£,/7) являются однородными функциями от г] степени с[ и, следовательно, удовлетворяют неравенствам

25) у, =1, 2,., к, у = 0,1, 2,., при +>0. Кроме того, из условия 2 вытекает, что

П\2У\ у, =г + 1,(26)

-Ке2у1(£,^)>Сз(|£|2+|;7|2)^, у, = 1,.,г. (27)

Постоянные С/ > О (/ = 1, 2, 3) не зависят от (£,/7) е Я", Щ + \г]\ > 0.

Условие 3. Число ¡и граничных условий (22) равно числу г - корней уравнения (24) , лежащих в левой полуплоскости, и при всех многочлены Ьт!]^тг1 линейно независимы по модулю т\+дЫт1 г многочлена = - (#,0)).

Л=1

Теорема 14. Пусть я> тах{2т, тахт. + - действительное число и

1< )<Г 1 выполнены условия 1', 2, 3. Тогда для любого решения (Л") задачи (21) - (23) справедлива априорная оценка

1 1 1 ' в—т, —а 2 с константой с > 0, не зависящей от V, О = (С,, С2).

Здесь и в дальнейшем мы обозначим через ||-|| норму в пространстве Соболева

Слободецкого ЯД7Г4), которая определяется равенством

Ш1=+

Определение 6. Обозначим через множество функций е (Я"), удовлетворяющих условиям м?(х,+0) = д,ю(х,+0) = . = а;чм<х,+0) = 0. (29)

Результаты главы 1 позволяют установить следующую теорему.

Теорема 15. Пусть выполнено условие Г при $>2т и условие 2. Тогда для оператора А{Вх,Оа^,д() справедливо следующее представление зо) где весовые п. д. о. К^Ох,Оа1) построены по корням уравнения (24) при помощи формулы (6), а порядок оператора Т в шкале пространств Н5 а (Я") не превосходит 2т -1.

Теорема 15 позволяет свести доказательство априорных оценок решений задачи (21) - (23) при условиях общего вида (22) к коэрцитивной оценке снизу формы Яе(Ам>,Оц>) на функциях уф^єО,. ((•,•) - скалярное произведение ш:)).

Таким образом, теорема 14 при выполнении условия 3 оказывается следствием из теоремы 15 и из следующего утверждения.

Теорема 16. Пусть выполнено условие 1' при 5 > 2т и условие 2. Тогда существует оператор Q(Dx,Dat,дt) (порядок которого в шкале пространств Нзач{Яп+) не превосходит 2т-ц) такой, что для любых 50 > 0, є > 0 и любых функций м?(х^)<=0.г справедливо неравенство к к-1 Л-/+1-/, „ , к к-1 к-1-ц сі\ПІ ' , У \\д> з + с(е)УУУ ||а> , + где постоянная с,>0 не зависит от є и функции \\>{х,{), число с(^)>0 не зависит от и^х,/).

Здесь " скалярное произведение в Нха(Я"), определенное равенством

Х.а где (•,•) - скалярное произведение в

Ь2(Я"), а А.3{Ох,Оа1) - весовой псевдодифференциальный оператор с

СИМВОЛОМ Щ,Г}) = ((1 + Щ )2 - ІГІУ .

В качестве оператора (), фигурирующего в теореме 16, можно взять оператор вида

Q{Dx,Dat,дt)^Y[{дt-KJ{D^Dat)). 1

Следуя работе [36], оператор естественно назвать разделяющим оператором по отношению к оператору А.

Заметим, что утверждения теорем 14 - 16 справедливы для оператора А следующего вида

ADx,Da t,dt)v = f[(S, - Кj(Dx,DaJ))v , i где Kj(Dx,Dat) - весовые псевдодифференциальные операторы с символами Zji^il), у = 1,2,.Д.

Во второй главе диссертации рассматривается также уравнение с переменными по t е i?] коэффициентами. А именно, в i?" рассматривается линейное дифференциальное уравнение вида A(t, Dx ,DaJ, dt )v(x, t) = F (x,t), (31) где

A(t9Dx9DaJ,d,»= Z ciTjl{t)DlD^d\v. (32) r|+j+ql<2m

2 m

Здесь д= — >\,ат],^) - некоторые ограниченные на II функции, ашк {() ф О К при всех t Без ограничения общности будем считать, что ат (/) = 1 при всех £ е .

На границе / - 0 полупространства Я" задаются граничные условия вида в№>дМ*0= Е Ът1р1д\у10=О+х), 7=1,2,.,//. (33)

Кроме того, при t -» +оо ставится условие (23). Пусть выполнены следующие условия. Условие 4. Уравнение

0. (34) г|+д/+У=2/и при всех / > 0 не имеет 2 - корней, лежащих на мнимой оси при всех

Пусть (1 <г<к) - корни, лежащие в левой полуплоскости, а лежат в правой полуплоскости.

Условие 5. Функции у = 1,2при всех являются бесконечно дифференцируемыми функциями по переменным íeQ,czR]+ и Т]ея1. Причем, при всех у, = 0,1, 2,., / = 0,1, 2,., £ е Rn'x, г е О с Я', г/ е Я1 справедливы оценки а{ЩУ д'^^ш] * + \п\Т>, |<?| + Н > О, с константами с^, > 0, не зависящими от 77.

Из условия 4 следует, что при всех ^Г1, /7е справедливы оценки

7=1,.„г; (35) = г + \,.,к, (36) с некоторыми константами с^>0 и с2 > 0, не зависящими от 1,^,7].

Условие 6. Число // граничных условий (33) равно числу г - корней уравнения (34), лежащих в левой полуплоскости, и при всех £ е /Г"1, Щ > О многочлены Ь^г1 линейно независимы по модулю г многочлена г) = (г - гк (0, 0)).

Л=1

Доказаны следующие утверждения.

Теорема 17. Пусть я>шах{2ш, тахт. +а) - действительное число и

1< ]<Г 1 выполнены условия 1', 4, 5, 6. Тогда для любого решения у(х,/)єЯїЯ9(і?") задачи (31), (33), (23) справедлива априорная оценка

II" --V»- И , ,, „ ,

П^а,д и Пі—2т,а,д II 11.5-1 ,а,д 1 с постоянной с > 0, не зависящей от V, Т7, , у = 1,2,., г.

Теорема 18. Пусть выполнено условие Г при Б>2т ж условия 4, 5. Тогда для оператора Д?,Д.,£)а/Д) справедлива формула представления

Д) = П(0( - + Пиэх9эа49дХ (38)

У=1 где К]{1,Ох,Ои1) - весовые псевдодифференциальные операторы с символами а порядок оператора ПЛД,^, Д) в шкале пространств Н5ая(Яп+) не превосходит 2т -1.

Так же как в случае операторов с постоянными коэффициентами теорема 18 позволяет свести доказательство априорной оценки решения задачи (31), (33), (23) К коэрцитивной оценке снизу формы Ке(/Ьу,0и;) на функциях . При этом теорема 17 при выполнении условия 6 вытекает из следующей теоремы.

Теорема 19. Пусть выполнено условие Г при и условия4, 5. Тогда существует такой оператор ¿(^Д^Ц^Д), порядок которого в шкале пространств Н8ач{Я'1) не превосходит 2т-что для любых > 0, £• > 0 и любых функций м>{х^)е£1г справедливо неравенство к к-1 /с-/+М,

X и и ■ \ + llMÎL

M /,= 0 i2=0 01 2 где константа с, > 0 не зависит от£ии',а константа с(є) > 0 не зависит от w. А

При этом в качестве оператора Q так же, как и в случае операторов с постоянными коэффициентами, можно взять оператор вида Dx > Д ) = П (d, - КJ (t, Dx,Dal)). м

Заметим, что так же, как и в случае операторов с постоянными коэффициентами, утверждения теорем 17 - 19 справедливы для оператора A(t, Dx, Da l, dt )v следующего вида

A(t,Dx,Dat,Ôt)v = fl(Ôt -KJ(t,Dx,Dat))v,

7=1 где Kj(i,Dx,Dat) - весовые псевдодифференциальные операторы с символами

Zj(t,^,T]), j = 1,2,.,к.

В третьей главе работы исследуется корректность математических моделей, определяемых задачами Дирихле в R" для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений специального вида, содержащих весовой п. д. о. и первую производную 8t. Устанавливаются коэрцитивные априорные оценки решений этих краевых задач. Вначале рассматриваются следующие задачи

Dx,Da t)v{x,t) - dtv(x,t) = F(x,t) (40) v(*,0L = G(x), lim v(x,t) = 0, (41)

->+00

Kf(Dx,Da t)v(x,t) - d,v(x,t) = F(x,t) (42) lim v(x,t) = 0, (43) /->+CO где K(±g\Dx,Dat) - весовые п. д. о. с символами А±(£,7/), которые удовлетворяют оценкам (7) при <у = q > 1, а также неравенствам:

Re4(^,7)>c(l + ^|2+|77|2)2 (44) для всех (£,77) g R" с константой с > 0, не зависящей от (<^,77).

Теорема 20. Пусть s > 0, q > 1 - действительные числа, выполнено условие Г, неравенства (7) при a = q и (44). Тогда для любого решения v(x,t) g Hs+q a q (R") задачи (40) - (41) справедлива априорная оценка

45) где постоянная с > 0 не зависит от v, F,G.

Теорема 21. Пусть выполнены условия теоремы 20. Тогда для любого решения v(x,t) е Hs+qa q{R"+) задачи (42) - (43) справедлива априорная оценка где постоянная с > 0 не зависит от v, F.

Теорема 22. Пусть выполнены условия теоремы 20. F(x,t)eHsa AR") s,a,q \ + /' n-1 2

G(x)gH (Rn ). Тогда существует единственное решение v(x,t) задачи (40)

41), принадлежащее пространству Я а ц{R").

Теорема 23. Пусть выполнены условия теоремы 20. F{x,t) е Hsaq(Rn+). Тогда существует единственное решение v(;t,/) задачи (42) - (43), принадлежащее пространству Hs+q а q (R").

При доказательстве теорем 20 - 23 существенно используются свойства весовых п. д. о., установленные в главе 1.

Рассмотрим теперь псевдодифференциальные уравнения, содержащие весовые псевдодифференциальные операторы с переменным символом. А именно, в R" рассмотрим следующие задачи. rK[q\t,Dx,Dal)v(x,t) - dtv{x,t) = F(x,t)

47) v(x,t)\ = G(x), lim v(x,t) = 0,

->+ CO lim v(x,t) = Q. ^

Наряду с задачами (47), (48) рассмотрим задачи, зависящие от параметра г > 0. ' K[q\t,Dx,Dat)v{x,t) - dtv{x,t) - rv(x,t) = F(x,t)

49) v{x,t)\ = G(x), lim v(x,0 = 0, , ) v(x, t) - dtv(x, t) + rv(x, t) = t) lim v(jc,i) = 0. ^

Предположим, что символы ı(t,<^,7]) весовых п. д. о. K^)(t,Dx,Dat) удовлетворяют следующему условию.

Условие 7. Функции X±{t,^,rj) принадлежат классу S*(Q), q> 1 -действительное число, Q с Rl. Причём с некоторой константой с > 0, не зависящей от t е Q, £ е 77 е i?1 справедливы оценки при всех * ей, 7 е Я1.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 24. Пусть 5 > 0, ц > 1 - действительные числа, выполнено условие Г. Пусть функция удовлетворяет условию 7. Тогда для любого решения v(x,t) е задачи (47) справедлива априорная оценка

Н^ФЪм+^+Н.,*)) (51) с постоянной с > 0, не зависящей от V, О.

Теорема 25. Пусть 5>0, - действительные числа, выполнено условие Г. Пусть функция ЛД/,^,77) удовлетворяет условию 7. Тогда для любого решения задачи (48) справедлива априорная оценка с постоянной с > 0, не зависящей от V, Р.

Теорема 26. При выполнении условий теоремы 24 существует правый регуляризатор задачи (47), то есть такой оператор 2

Л /V л что А1Я1(Г,0) = (Р,С) + Т{(Е,С), где ^ - оператор, порождённый задачей (47) то есть а Тх - ограниченный оператор из (Я")хН , (Яп~х) 2 в^иД")хЯ , (/Г1).

-<7+1

Как известно (см.[24]) при выполнении априорной оценки (51) правый регуляризатор является одновременно и левым регуляризатором.

Теорема 27. При выполнении условий теоремы 25 существует правый регуляризатор задачи (48), то есть такой оператор что аХг^Р + Т^ , где А2 - оператор, порожденный задачей (48), а Т2 - ограниченный оператор из Ня и (!(Я") в

Так же как и выше замечаем, что правый регуляризатор является одновременно и левым регуляризатором.

Теорема 28. Пусть выполнены условия теоремы 24, г>гг Тогда при достаточно большом г, >0 для любого решения у(х,?)еЯ5+9а()(/?") задачи (49) справедлива априорная оценка с постоянной с > 0, не зависящей от V, F, G.

Теорема 29. Пусть выполнены условия теоремы 24. Пусть

F(x,0eЯsa (Я"), (?(х)еЯ ! (/?""'). Тогда при г>гх, где г,>0 - достаточно

2Ч большое число существует единственное решение задачи (49), принадлежащее пространству .

Теорема 30. Пусть выполнены условия теоремы 25. Тогда при г > г,, где

0 - достаточно большое число, для любого решения v(x,t)^Hs+qaq{Rl) задачи (50) справедлива априорная оценка с постоянной с > 0, не зависящей от V, і7.

Теорема 31. Пусть выполнены условия теоремы 25. Пусть Г(х,і)єН5аі](К"). Тогда при г>гр где г,>0 - достаточно большое число существует единственное решение задачи (50), принадлежащее пространству

В четвертой главе диссертации строятся регуляризаторы общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка. ми+ии)

2Ч

Теорема 32. Пусть з>тах{2т, шахт . +<?} - действительное число и

1<7<г 1 выполнены условия 1', 2, 3. Тогда существует правый регуляризатор задачи (21) - (23), то есть такой оператор

П# , что

7=1 ^^ + (52) где А - оператор, порожденный задачей (21) - (23),

А •• Пя , (/Г1), $—і ]=\ 2 > а оператор Т является ограниченным оператором из (іги)вя^(і?;)хПя , (я-1)

С = .С?,.).

При выполнении априорной оценки (28) правый регуляризатор задачи является одновременно и левым регуляризатором (см. [24]). Результат, аналогичный теореме 32, справедлив и для задачи (31), (33), (23).

Теорема 33. Пусть 5 > шах{2ш,шахт - действительное число и

1 <)<Г 1 выполнены условия 1', 4, 5, 6. Тогда существует правый регуляризатор задачи (31), (33), (23).

Так как для решения задачи (31), (33), (23) справедлива априорная оценка (37), то правый регуляризатор является и левым регуляризатором.

В главе 5 устанавливаются априорные оценки решений общих краевых задач в полосе конечной ширины Кпй ={0<г <сІ, хєі?"-1} для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, содержащих невырожденную производную второго порядка по переменной Ґ. Устанавливается корректность математических моделей, определяемых такими краевыми задачами. Здесь предлагается другой метод (отличный от примененного в главах 1-4) доказательства теоремы существования решений, позволяющий одновременно устанавливать и единственность построенного решения.

В полосе Rnd ={0<t <d, х g R"~'} рассматривается задача A(Dx,DaJ,Ôt)v = L2m (Dx ,Da t)v-d;v = F (x,t), (53) где

L, (D ,D ,)= У a DTDJ,,

2m\x'a,t s / j tj x a,t ' |r|+y<2m aTj - комплексные числа. Im a02m = 0.

На границе t = 0 полосы i?" задается условие

54) г|+ml<m с комплексными коэффициентами Ьг1.

На границе t = d полосы заданы условия вида v| =dtv\ =. = d?-lv\ = 0. (55) l/=d ' l/=d t \t=d v '

Условие 8. При всех справедливо неравенство

ReL2m(^,77)>c(l + |^|2 +|т7|2)т, где постоянная с>0 не зависит от

Условие 9. Для некоторого s>2m + m* функция a(t) принадлежит Cs'1 [0,d], причем a(0)=ar'(0) = 0, a(t)> 0 при ¿>0.

Условие 10. При всех ¿¡eR"~] выполнено одно из трех условий: либо

Яе^ОЭДО^О ,либо >90(£) Ф 0, = 0, либо

Здесь (#,(£)) - многочлен, степень которого не выше т (т* -т) и который строится с помощью рекуррентных формул по коэффициентам операторов А и В.

Введем по аналогии с пространством (Я") пространство Н8ат^па).

Определение 7. Пространство Н8ат(^>0 - действительное число) состоит из тех функций е , для которых конечна норма

5ПГ1] 1=0 кі2 + р^д'^хт

Р, где [ят '] - целая часть числа ят 1.

Если 5 - целое неотрицательное число, то эта норма эквивалентна следующей норме V І ]рТЛАі У

Теорема 34. Пусть 5>тах{2т,т*+т] - целое число и выполнены условия 8 - 10. Тогда для любого решения v{x,t) задачи (53) - (55), принадлежащего пространству Нзат) справедлива априорная оценка V

И 5,0-,»! с(\А

V» +

5-2т,а,т

Ву 0

• т ) :

56) где постоянная с > 0 не зависит от V.

Здесь ЦІ ^ - норма в пространстве Соболева - Слободецкого ЯДіГ~').

Теорема 35. При выполнении условий теоремы 34 для любых Р(х,і)еН52тат(Я^), Є(х)єН ( тСК'м) существует единственное решение задачи (53) - (55) принадлежащее пространству Н!ат{Я"а).

В главе 6 исследуется корректность математических моделей, определяемых задачами Дирихле в полосе п - мерного пространства для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, содержащих невырожденную производную порядка 2/, / > 1 по переменной I. В этой главе установлены также коэрцитивные априорные оценки решений рассматриваемых краевых задач. При доказательстве основных теорем используются методы, аналогичные методам главы 5.

В полосе = {х е Я"~], 0 < г < с1}, где с1 > 0 - некоторое число, рассматривается уравнение А{йх,Ва1,д1 = (57) где

A(Dx,Dat,dt) = L2m(Dx,Dal) + (-D'à,2', /> 1, (58)

L2m{Dx,Dat)= £ azjDlDit. r\+j<2m

Здесь ary - комплексные коэффициенты, причем Im aQ2m = 0. На границе t = О полосы задаются условия вида. brJDrXJ v(*,/)U = Gj (.x), j = 1, 2,.,/, (59) где ¿> . - комплексные коэффициенты. На границе t-d задаются условия вида v(*,oL=^ v(*,oU=»•=^г1 v(*,oL=0 • (6°)

Пусть выполнены следующие условия.

Условие 11. При всех ¿; <е R"~\ ?] g R1 справедлива оценка

ReL2m(Ç,rj) > с( 1 ++ |т7|2)'", где постоянная с > 0 не зависит от г]. m m

Условие 12. Для некоторого s > max{2m,max(^. + (/- + ФУНКДИЯ принадлежит пространству СЛ"'[0,с/] , причем, а(0)=а'(0) = 0, a{t)> О при ¿>0.

Условие 13. При всех £ g R"a справедливы оценки t\<kj

0, у = 1, 2,.,/.

Аналогично пространству Ял а введем пространство Я ш .

Определение 8. Пространство Я ,„(^) (я>0 - действительное число, s,а -I т,1 - натуральные числа, т>1) состоит их тех функций у{х,г) е Для которых конечна норма А т m

N Iis,«,— j=0

-< i + rf У S~'" VÄ

2 I

V, г 5/ где [—] - целая часть числа —. т т

Если 5 - целое неотрицательное число, то эта норма эквивалентна норме

2 ^

О . / V II ГУ ЯРл,(л \2 , , т 2( J> t\+j+jP<s

Основными результатами главы 6 являются следующие теоремы.

УН ш

Теорема 36. Пусть s>max{2m, тах(&. + (/- + ~ действительное число, т>21 - четное число. Пусть выполнены условия 11 - 13. Пусть

F(x,t)eH Шея им (/Г1), 7 = 1,2,.,/. Тогда для

2 iii - И ' j ,, iii iii т,а.— s-(l-i)-----к,

I 1 21 1 любого решения v(x,t)<EH m{R"d) задачи (57), (59), (60) справедлива априорная оценка s,a,I £ с(И,-2„Л- +1NL ) (61) , - -„ - I s-(l-j)----к

1 I )=1 1 21 с константой с > 0, не зависящей от V, F, у = 1, 2,.,/.

Теорема 37. Пусть выполнены условия теоремы 36. Пусть

F(x,t)eH m(R"d), Gj (х) g Н тт (R"~]), 7 = 1,2,.,/. Тогда существует единственное решение задачи (57), (59), (60) принадлежащее пространству v(х, t) g Н т (Rnd). s.a.— I

В приложении рассмотрены примеры математических моделей, в которых используются уравнения, изученные в предыдущих главах, и проведены расчеты некоторых модельных задач. В частности показано что частным случаем уравнений, рассмотренных в диссертации являются стационарные уравнения конвекции - диффузии в неоднородных анизотропных средах, в которых коэффициент диффузии при приближении к границе среды стремится к нулю. Так как аналогичные уравнения описывают не только стационарные процессы диффузии и теплопроводности, но и процессы, происходящие в стационарных магнитных и электрических полях, то результаты, полученные в диссертации, применимы для математического моделирования стационарных диффузионных, магнитных и электрических процессов в анизотропных средах в случае существенного влияния границы области на процессы, происходящие вблизи границы.

Заметим, что в силу теорем 15 и 18 левые части уравнений (21) и (31) могут быть представлены в виде суперпозиции конечного числа операторов, частными случаями которых являются операторы конвекции - диффузии. Таким образом, уравнения (21) и (31) описывают процессы конвекции -диффузии в многокомпонентных неоднородных анизотропных средах, то есть средах, состоящих из конечного числа различных, влияющих друг на друга неоднородных анизотропных сред. При этом предполагается, что границы сред оказывают существенное влияние на процессы, происходящие внутри сред. Разностными методами проведены расчеты некоторых модельных примеров.

Полученные в диссертации результаты докладывались на семинарах академика С. Л. Соболева (1981 г., 1982 г., 1983 г.) в институте математики СО АН СССР, на семинаре академика С. М. Никольского в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР (1982 г.), на всесоюзной конференции по дифференциальным уравнениям и вычислительной математике (г. Новосибирск, 1978 г.), на всесоюзной конференции по асимптотическим методам в теории сингулярно возмущенных уравнений (г. Алма-Ата, 1979 г.), на школах - семинарах по уравнениям неклассического типа (г. Новосибирск, 1980, 1981, 1982, 1984, 1986 г.), на всесоюзной школе-симпозиуме по теории операторов в функциональных пространствах (г. Минск, 1982 г.), на конференции молодых ученых и специалистов Университета дружбы народов им. П. Лумумбы (г. Москва, 1982 г.), на 12-й всесоюзной школе по теории

34 операторов в функциональных пространствах (г. Тамбов, 1987 г. ), на 13 - й всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (г. Куйбышев, 1988 г. ), на всесоюзной конференции по теории и численным методам решения краевых задач (г. Юрмала, 1998 г.), на 15 - й всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (г. Новгород, 1990 г.), на сибирской конференции по неклассическим уравнениям (г. Новосибирск, 1995 г.), на международной конференции «Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции» (г. Самара, 1997 г.), на международных конференциях «Современные методы теории функций и смежные вопросы» (Воронежская зимняя математическая школа) (г. Воронеж, 1979-2008 гг.), на международных конференциях «Понтрягинские чтения» (г. Воронеж, 1979 - 2008 гг.), на третьей международной конференции, посвященной 85 - летию члена - корреспондента РАН Л. Д. Кудрявцева (г. Москва, 2008 г.). Полученные в диссертации результаты неоднократно докладывались на семинарах профессора С. Г. Крейна, семинарах профессора В. П. Глушко, семинарах профессора Ю. В. Покорного.

1. Антонцев С. Н. О локализации решений эллиптических уравнений с неоднородным анизотропным вырождением / С. Н. Антонцев, С. И. Шмарев // Сибирский математический журн. - 2005. - Т. 46, № 5. - С. 963-984.

2. Бочаров О. Б. Численное исследование гидрофизических процессов при сохранении различных неизотермических моделей фильтрации двухфазной жидкости / О. Б. Бочаров, И. Г. Телегин // Теплофизика и аэромеханика. 2005. -Т. 12, №4.-С. 457-467.

3. Монахов В. Н. Сопряжение основных математических моделей фильтрации двухфазных жидкостей / В. Н. Монахов // Математическое моделирование.2002. Т. 14, № 10. - С. 109-115.

4. Крукиер Л. А. Распространение примеси в жидкокристаллическом растворе, находящемся во внешнем электрическом поле / Л. А. Крукиер, Т. С. Мартынова // Математическое моделирование. 2004. - Т. 16, № 1. - С. 3-11.

5. Задворнов О. А. Постановка и исследование стационарной задачи о контакте мягкой оболочки с препятствием / О. А. Задворнов // Изв. вузов. Математика.2003.-№ 1 (488).-С. 45-52.

6. Урев М. В. Сходимость метода конечных элементов для осесимметричной задачи магнитостатики / М. В. Урев // Сибирский журн. вычислительной математики. 2006. - Т. 9, № 1. - С. 81 -108.

7. Шишкин Г. И. Метод повышения точности для квазилинейного сингулярно возмущенного эллиптического уравнения конвекции диффузии / Г. И.Шишкин // Сибирский журн. вычислительной математики. 2006. - Т. 9, № 1. -С. 81-108.

8. Габасов Р. Ф. Особые оптимальные управления / Р. Ф. Габасов, Ф. М. Кирилова. М. : Наука, 1973. - 256 с.

9. Олейник О. А. Об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся на границе области / О. А. Олейник // Докл. Академии наук. 1952. -Т. 87, № 6. -С.885-887.

10. Михлин С. Г. Вырождающиеся эллиптические уравнения / С. Г. Михлин // Вести. Ленинградского гос. ун-та. 1954. - № 8. - С. 19-48.

11. Вишик М. И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области / М. И. Вишик // Математический сб. -1954. Т. 35 (77), вып. 33. - С. 513-568.

12. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М. М. Смирнов. М. : Наука, 1966. - 292 с.

13. Олейник О. А. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой / О. А.Олейник, Е. В. Радкевич // Итоги науки и техники / ВИНИТИ. М., 1971. - Вып. Математический анализ. - С. 5-93.

14. Кондратьев В. А. Об асимптотических свойствах решений нелинейного уравнения теплопроводности / В. А. Кондратьев // Дифференциальные уравнения. 1998. - Т. 34, № 2. - С. 246-255.

15. Кондратьев В. А. О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка / В. А. Кондратьев, Е. М. Ландис // Математический сб. 1988. - Т. 135 (177), № 3. - С. 346-360.

16. Кондратьев В. А. Об асимптотических свойствах решений полулинейных эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях / В. А. Кондратьев // Труды конференции им. И. Г. Петровского. М., 2006. - Вып. 25. -С. 98-111.

17. Егоров Ю. В. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях / Ю. В. Егоров, В. А. Кондратьев, О. А. Олейник // Математический сб. 1998. - Т. 189, № 3. - С. 45-68.

18. Олейник О. А. О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характеристической формой / О. А. Олейник // Математический сб. 1966. - Т. 69(111), вып. 1.-С. 111-140.

19. Кон Д. Некоэрцитивные краевые задачи / Д. Кон, JI. Ниренберг // Пседодифференциальные операторы : сб. науч. тр. -М., 1967. С. 88-165.

20. Глушко В. П. Коэрцитивность в L2 общих граничных задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка / В. П. Глушко // Функциональный анализ и его приложения. 1968. - Т. 2, вып. 3. - С. 87-88.

21. Глушко В. П. Оценки в Ь2 и разрешимость общих граничных задач для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка / В. П. Глушко // Труды Московского математического общества. 1970. - Т. 23. - С. 113-178.

22. Рукавишников В. А. О коэрцитивности Rv обобщенного решения первойкраевой задачи с согласованным вырождением исходных данных / В. А. Рукавишников, А. Г. Ереклинцев // Дифференциальные уравнения. 2005. - Т. 41, № 12.-С. 1680-1689.

23. Рукавишников В. А. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с несогласованным вырождением исходных данных / В. А. Рукавишников // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32, № 3. - С. 402408.

24. Вишик М. И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области / М. И. Вишик, В. В. Грушин // Математический сб. 1969. - Т. 80 (112), вып. 4. - С. 455-491.

25. Вишик М. И. Вырождающиеся эллиптические дифференциальные и псевдодифференциальные операторы / М. И. Вишик, В. В. Грушин // Успехи математических наук. 1970. - Т. 25, вып. 4. - С. 29-56.

26. Глушко В. П. Априорные оценки решений краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / В. П. Глушко; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1979. - 47 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.03.79, № 1048 -79.

27. Леопольд X. Г. Априорные оценки для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка с невырождающейся второй производной / X. Г. Леопольд. Новосибирск, 1981. - 33 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.08.81, № 4269 -81.

28. Левендорский С. 3. Краевые задачи в полупространстве для квазиэллиптических псевдодифференциальных операторов, вырождающихся на границе / С. 3. Левендорский // Математический сб. 1980. - Т. 111 (153), вып. 4.-С. 483-501.

29. Исхоков С. А. О Гладкости решения эллиптического уравнения с нестепенным вырождением / С. А. Исхоков // Докл. Академии наук. 2001. - Т. 378, №3.-С. 306-309.

30. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. -4 е изд. М. : Наука, 1981.-512 с.

31. Волевич Л. Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем / Л. Р. Волевич // Математический сб. 1965. - Т. 68, вып. 3. - С. 373416.

32. Волевич Л. Р. Энергетические оценки в смешанной задаче для (2Ь+1) -гиперболических уравнений / Л. Р. Волевич, С. Г. Гиндикин; ин-т прикл. математики АН СССР. Препринт № 137. - М., 1978. - 63 с.

33. Глушко В. П. Линейные вырождающиеся дифференциальные уравнения / В. П. Глушко. Воронеж : Воронеж, гос. ун-т, 1972. - 193 с.

34. Глушко В. П. Пространства типа С. Л. Соболева дробного порядка с весом и их свойства / В. П. Глушко, М. И. Богатов; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1979. -38 с.- Деп. в ВИНИТИ 10.09.79, № 3239-79.

35. Глушко В. П. Об одном критерии существования свертки обобщенных функций / В. П. Глушко; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1982. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.11.82, № 5721-82.

36. Глушко В. П. Об одном неравенстве между нормами производных функций с весом / В. П. Глушко, Л. Я. Глушанкова; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1981. - 27 с. - Деп. в ВИНИТИ 28.10.81, № 4983-81.

37. Глушанкова Л. Я. Об одном псевдодифференциальном уравнении, порожденном граничной задачей переменного порядка / Л. Я. Глушанкова, В. П. Глушко; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1980. - 67 с. - Деп. в ВИНИТИ 4.11.80, №4684-80.

38. Грушин В. В. Псев до дифференциальные операторы / В. В. Грушин. М. : Моск. ин-т электронного машиностроения, 1975. - 107 с.

39. Кон Д. Алгебра псевдодифференциальных операторов / Д. Кон, Л. Ниренберг // Пседодифференциальные операторы : сб. науч. тр. М., 1967. - С. 88-165.

40. Лионе Ж. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж. Лионе, Э. Мадженес. -М. : Мир, 1971.-371с.

41. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. М. : Наука, 1977. - 736 с.

42. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы / М. Тейлор. М. : Мир, 1985.-469 с.Работы автора Статьи в изданиях, входящих в перечень ВАК

43. Баев А. Д. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка и связанные с ними псевдодифференциальные операторы / А. Д. Баев // Докл. Академии наук. 1982. - Т. 265, № 5. - С. 1044-1046.

44. Баев А. Д. Некоторые свойства псевдодифференциальных операторов / А. Д. Баев // Вестн. Воронежского гос. ун- та. Сер. Физика. Математика. 2006. - № 2.-С. 147-152.

45. Баев А. Д. Об априорной оценке решений задачи Дирихле для одного эллиптического уравнения высокого порядка, моделирующего процессы с вырождением / А. Д. Баев // Системы управления и информационные технологии.-2008-№ 1.1 (31).-С. 115-120.

46. Баев А. Д. О разрешимости краевых задач для одного класса вырождающихся псевдодифференциальных уравнений / А. Д. Баев // Системы управления и информационные технологии. 2008. - № 1.2 (31). - С. 277-280.

47. Баев А. Д. Об априорной оценке решений задачи Дирихле для одного вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка / А. Д. Баев // Системы управления и информационные технологии. 2008. - № 1.2 (31). - С. 212-217.

48. Баев А. Д. Об одном методе доказательства априорных оценок решений краевых задач, моделирующих процессы с вырождением / А. Д. Баев // Системы управления и информационные технологии. 2008. - № 1.3 (31). - С. 327-332.

49. Баев А. Д. Об одной краевой задаче в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка / А. Д. Баев // Вестн. Самарского гос. ун-та. Сер. Естеств. науки. 2008. - № 3 (62). - С. 27-39.

50. Баев А. Д. О разрешимости общих краевых задач в полупространстве для для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / А. Д. Баев // Вестн. Самарского гос. ун-та. Сер. Естеств. науки. 2008. - № 3 (62). - С. 4050.

51. Баев А. Д. О краевых задачах в полупространстве для сингулярно возмущенных уравнений конвекции диффузии с вырождением / А. Д. Баев // Системы управления и информационные технологии. - 2008. - № 2.2 (32). - С. 212-216.

52. Баев А. Д. Построение регуляризатора общей краевой задачи для эллиптических уравнений высокого порядка, моделирующих процессы с вырождением / А. Д. Баев // Системы управления и информационные технологии. 2008. - № 2.3 (32). - С. 322-326.Монографии

53. Баев А. Д. Качественные методы теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений / А. Д. Баев. Воронеж : Воронеж, гос. ун-т, 2008. -240 с.Статьи в изданиях, не входящих в перечень ВАК

54. Баев А. Д. О корректности краевых задач для некоторых классов вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / А. Д. Баев, В. П. Глушко // Дифференциальные уравнения в частных производных : сб. науч. тр. Новосибирск: Наука, 1980 - С. 17-21.

55. Баев А. Д. Об одном классе вырождающихся эллиптических уравнений / А. Д. Баев // Неклассические уравнения математической физики : сб. науч. тр. / Ин-т математики СО АН СССР. Новосибирск, 1982. - С. 24-26.

56. Баев А. Д. Об энергетических оценках в смешанной задаче для вырождающихся д гиперболических уравнений / А. Д. Баев // Неклассическиеуравнения математической физики : сб. науч. тр. / Ин-т математики СО АН СССР. Новосибирск, 1986. - С. 34-38.

57. Баев А. Д. Об одном классе уравнений переменного типа / А. Д. Баев // Школа по теории операторов в функциональных пространствах : тез. докл., Минск, 11-14 июля 1982 г.-Минск, 1982.-С. 18-19.

58. Баев А. Д. О вырождающихся уравнениях переменного порядка / А. Д. Баев // Нелокальные задачи для нагруженных уравнений смешанного типа и родственные проблемы непрерывного анализа : сб. науч. тр. Нальчик, 1982. -С. 29-41.

59. Баев А. Д. Теорема об ограниченности для одного класса весовых псевдодифференциальных операторов / А. Д. Баев // Наука и ее роль в ускорении научно-технического прогресса : тез. докл. межвуз. конф., Воронеж, 27-31 янв. 1987 г. Воронеж, 1987. - С. 36.

60. Баев А. Д. Об одном классе весовых псевдодифференциальных операторов / А. Д. Баев // XII Всесоюзная школа по теории операторов в функциональныхпространствах : тез. докл., Тамбов, 12-15 дек. 1987. Тамбов, 1987. - Ч. 1. - С. 23.

61. Баев А. Д. Разрешимость одного класса вырождающихся псевдодифференциальных уравнений / А. Д. Баев // XIII Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах : тез. докл., Куйбышев, 20-25 мая 1998. Куйбышев, 1988. - С. 31-32.

62. Баев А. Д. Разрешимость одного класса краевых задач для уравнений переменного типа / А. Д. Баев // Теория и численные методы решения краевых задач : тез. докл. респ. конф., Юрмала, 22 27 июня 1998 г. - Юрмала, 1998. -С. 64.

63. Баев А. Д. Задача Дирихле для одного класса вырождающихся уравнений / А. Д. Баев // XV школа по теории операторов в функциональных пространствах : тез. докл., Новгород, 17-21 мая 1990 г. Новгород, 1990. - С. 47.

64. Баев А. Д. Некоторые свойства весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом / А. Д. Баев // Сибирская конференция по неклассическим уравнениям математической физики : тез. докл. -Новосибирск, 1995.-С. 13.

65. Баев А. Д. Теорема о композиции для одного класса весовых псевдодифференциальных операторов / А. Д. Баев // Современные методы теории функций и смежные вопросы : тез. докл. междунар. науч. конф., Воронеж, 26-31 янв. 2003 г. Воронеж, 2003. - С. 26-27.

66. Баев А. Д. Теорема об ограниченности для одного класса весовых псевдодифференциальных операторов / А. Д. Баев // Воронежская зимняя математическая школа : тез. докл., Воронеж, 24-30 янв. 2004 г. Воронеж, 2004. -С. 15-16.

67. Баев А. Д. Теорема о коммутации для весового псевдодифференциального оператора / А. Д. Баев // Воронежская зимняя математическая школа : тез. докл., Воронеж, 23-29 янв. 2005 г. Воронеж, 2005. - С. 21.

68. Баев А. Д. Теорема об ограниченности и композиции для одного класса весовых псев до дифференциальных операторов / А. Д. Баев, Е. М. Мерзликина // Труды математического факультета ВГУ. Воронеж, 2007. - № 11. - С. 150154.

69. Баев А. Д. Теорема о коммутации весового псевдодифференциального оператора с переменным символом и оператора коммутации / А. Д. Баев // Современные методы теории краевых задач : тез. докл., Воронеж, 4-11 мая, 2007 г. Воронеж, 2007. - С. 30-31.

70. Баев А. Д. Априорные оценки решений одного вырождающегося уравнения / А. Д. Баев // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна-2008 : тез. докл., Воронеж, 24 31 янв. 2007 г. - Воронеж, 2007. - С. 11 -12.

71. Баев А. Д. Корректная разрешимость общих краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений /А. Д. Баев, В. П. Глушко; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1979. - 60 с. - Деп. в ВИНИТИ 9.02.79, № 53679.

72. Баев А. Д. Об одном методе доказательства априорных оценок решений общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка /А. Д. Баев; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1981. - 26 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.09.81, №4428-81.

73. Баев А. Д. О применении метода разделяющегося оператора для доказательства априорных оценок решений краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений /А. Д. Баев; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1982. - 44 с. - Деп. в ВИНИТИ 3.08.82, № 4208-82.

74. Баев А. Д. Пространства типа Соболева-Слободецкого с весом и весовые псевдодифференциальные операторы /А. Д. Баев; Воронеж, гос. ун-т. -Воронеж, 1982. 39 с. - Деп. в ВИНИТИ 3.08.82, № 4209-82.

75. Баев А. Д. О разрешимости краевых задач для некоторых классов вырождающихся эллиптических уравнений /А. Д. Баев; Воронеж, гос. ун-т. -Воронеж, 1982. 54 с. - Деп. в ВИНИТИ 6.09.82, № 4736-82 .

76. Баев А. Д. Об одном классе краевых задач для эллиптических псевдодифференциальных уравнений /А. Д. Баев; Воронеж, гос. ун-т. -Воронеж, 1983. 35 с. - Деп. в ВИНИТИ 5.07.83, № 3670-83.

77. Баев А. Д. Разрешимость общих краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений /А. Д. Баев, Л. В. Желдакова; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1985. - 28 с. - Деп. в ВИНИТИ 8.02.85, № 106485.

78. Баев А. Д. О свойствах коммутации весовых псевдодифференциальных операторов с операторами дифференцирования /А. Д. Баев, А. Т. Дощарова; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1986. - 35 с. - Деп. в ВИНИТИ 18.04.86, № 2844-В86.

79. Баев А. Д. Теорема о предельных значениях весовых псевдодифференциальных операторов /А. Д. Баев, Е. А. Краморова; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1986. - 32 с. - Деп. в ВИНИТИ 18.04.86, № 2845-В86.

80. Баев А. Д. Теорема о композиции для одного класса весовых псевдодифференциальных операторов /А. Д. Баев; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж,1987. 23 с. - Деп. в ВИНИТИ 9.06.87, № 4166-В87.

81. Баев А. Д. Априорные оценки решений некоторых вырождающихся эллиптических псевдодифференциальных уравнений /А. Д. Баев; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1988. - 31 с. - Деп. в ВИНИТИ 28.11.88, № 8356-В88.

82. Баев А. Д. Некоторые свойства "следов" весовых псевдодифференциальных операторов /А. Д. Баев, С. П. Мазалова; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж,1988. 28 с. - Деп. в ВИНИТИ 28.11.88, № 8357-В88.