автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и оптимальное управление процессом фильтрации двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей

Введение

1 Математическое моделирование и оптимальное управление фильтрацией вязких жидкостей (состояние и анализ проблемы)

1.1 Задачи фильтрации вязких жидкостей.

1.2 Проблема оптимального управления системами с распределенными параметрами.

1.3 Краткие выводы и задачи исследования

2 Граничное управление фильтрацией жидкости в случае плоскопараллельного течения

2.1 Математическая модель фильтрации двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей.

2.2 Постановка задачи оптимального управления и теорема существования.

2.3 Сведение задачи к оптимизационной системе.

2.4 Численное решение задачи оптимального управления.

2.5 Краткие выводы.

3 Граничное управление фильтрацией жидкости в случае неодносвязной области

3.1 Исследование математической модели фильтрации жидкости в неодносвязной области.^

3.2 Постановка экстремальной задачи и существование оптимального управления.

3.3 Система оптимальности.

3.4 Численное решение задачи

3.5 Краткие выводы.

4 Оптимальное управление фильтрацией жидкости в случае присутствия в области источников

4.1 Построение и исследование математической модели двухфазной фильтрации.

4.2 Постановка задачи оптимального управления, теорема существования

4.3 Необходимые условия минимума целевого функционала.

4.4 Краткие выводы

Работа посвящена моделированию и исследованию процесса фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости, а также оптимальному управлению рассматриваемым процессом.

Актуальность работы. Теория оптимального управления гидродинамическими системами, в том числе и системами, описывающими процесс фильтрации двухфазной жидкости, представляет научный интерес, связанный со спецификой краевых задач, описывающих гидродинамические явления. Оптимальное управление в задачах фильтрации двухфазной жидкости представляет не только теоретический, но и практический интерес, поскольку преобладающее большинство подобных задач связано с добычей нефти. Рассмотренные задачи позволяют в некотором смысле оптимизировать процесс добычи нефти, что не может не привлекать внимание в настоящее время, хотя нам они более интересны в теоретическом смысле.

Поскольку одно из уравнений системы дифференциальных уравнений, описывающей процесс вытеснения нефти водой в пористых средах, является вырождающимся, процесс фильтрации двухфазной жидкости привлекает многих математиков. Исследования в этой области ведутся в течение многих лет разными авторами, много внимания уделяется вопросам разрешимости задач, описывающих данный процесс, единственности и свойствам их решения. В общем случае задача не решена, поэтому интересен каждый частный случай, тем более в случае неодносвязной области. Еще больший интерес, как теоретический, так и практический, представляет оптимальное управление рассматриваемым процессом. Современная теория оптимального управления получает все большую популярность, исследования в данной области приобретают большую общность, однако, ранее теоретического обоснования возможности оптимального управления процессом фильтрации двухфазной жидкости нам в литературе не встречалось.

Общая постановка задачи, которой посвящена диссертация, следующая. В области находится нефтяной пласт. В некоторых фиксированных местах расположены эксплуатационные и нагнетательные скважины. Через нагнетательные скважины в область под давлением поступает вода, через эксплуатационные - отбирается нефть. При этом в области происходит процесс вытеснения нефти водой. Требуется, управляя расходом жидкости на нагнетательных скважинах, удерживать в течение некоторого времени распределение насыщенности водой и нефтью на эксплуатационных скважинах около заданного состояния при минимальной стоимости управления. Предполагается, что течение жидкостей подчиняется законам Дарси с соответствующими фазовыми проницаемостями, жидкости являются несмешивающимися и несжимаемыми.

В первой главе выполнен анализ моделей фильтрации многофазной несжимаемой жидкости и рассмотрено состояние теории оптимального управления; рассмотрены основные уравнения многофазной фильтрации, которые используются в диссертации, приведены некоторые теоремы общей теории оптимального управления.

Во второй главе работы рассматривается задача оптимального управления фильтрацией двухфазной несжимаемой жидкости в односвязной области с граничным управлением и наблюдением. Постановка задачи предполагает течение между двумя галереями скважин. Требуется, управляя расходом воды на галерее нагнетательных скважин, удерживать в течение некоторого времени распределение насыщенности водой и нефтью на галерее эксплуатационных скважин около заданного состояния при минимальной стоимости управления. Доказано существование оптимального управления в классе неотрицательных функций времени, суммируемых с квадратом, построена оптимизационная система, которая используется для численного решения. Для линеаризованной задачи, описывающей состояние системы, построено аналитическое решение, которое сравнивается с сеточным.

Третья глава посвящена задаче оптимального управления в случае плановой фильтрации. В области расположены нагнетательные и эксплуатационные скважины, что делает область неодносвязной. Подобные задачи фильтрации, как нам известно, не исследовались ранее, поэтому в третьей главе доказана разрешимость краевой задачи, описывающий этот процесс, и получены некоторые оценки, которые используются в дальнейшем для исследования задачи оптимального управления. Доказано существование оптимального управления в классе вектор-функций, суммируемых с квадратом, размерность которых совпадает с количеством нагнетательных скважин, построена оптимизационная система, которая используется для численного решения

Сосредоточенное управление и наблюдение рассматриваются в четвертой главе. Как и в третьей главе рассматривается плановая фильтрация, однако, уже в односвязной области, что является возможным, поскольку в качестве нагнетательных и эксплуатационных скважин выступают точки, таким образом, в области течения находятся сосредоточенные источники. Для исследования задачи оптимального управления была доказана разрешимость задачи фильтрации жидкости, были получены оценки решения в некотором классе функций. Доказано существование оптимального управления в классе вектор-функций, суммируемых с квадратом, размерность которых на единицу меньше количества нагнетательных скважин, построена оптимизационная система.

Цель работы. Построение и исследование математических моделей фильтрации двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей и оптимальное управление рассматриваемыми процессами.

Основные задачи работы определяются целью и формулируются следующим образом:

• теоретическое обоснование возможности оптимального управления в некоторых задачах двухфазной фильтрации, позволяющего удерживать систему около заданного состояния;

• исследование граничного и распределенного управления в задачах двухфазной фильтрации;

• построение системы оптимальности, являющейся необходимым условием минимума целевого функционала;

• разработка численного алгоритма на базе полученной системы оптимальности и численное решение некоторых задач отыскания оптимального управления.

Научная новизна результатов.

Поставлена задача оптимального управления в задаче плоскопараллельного течения двухфазной жидкости в пористой среде через галереи скважин. Доказано существование оптимального управления, получена система оптимальности.

Разработан численный алгоритм нахождения оптимального управления в плоскопараллельном случае, а также его программная реализация;

Получены условия разрешимости задач плановой фильтрации двухфазной жидкости: задачи относительно функции тока и функции водонасыщенности в случае неодносвязной области и задачи относительно функции приведенного давления и функции тока в случае присутствия источниковых членов в правой части уравнения. Получены некоторые свойства и доказана принадлежность определенным классам функций решений рассмотренных задач;

Показана возможность оптимального управления в задачах плановой фильтрации с учетом полученных свойств состояния системы. Доказано существование граничного и распределенного управления;

С помощью введения сопряженного состояния, построены оптимизационные системы, позволяющие получить оптимальные в некотором определенном смысле решения задачи плановой фильтрации двухфазной жидкости. Для определенной целевой функции получено оптимальное управление, то есть оптимальный расход жидкости на нагнетательных скважинах.

Разработан численный алгоритм нахождения оптимального управления в случае неодносвязной области, а также его программная реализация;

Теоретическая и практическая ценность.

В определенных классах функций доказана разрешимость и получены некоторые свойства решений краевой задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных, одно из которых вырождающееся, что делает возможным дальнейшее исследование решений и применение полученных свойств в других моделях, включающих аналогичные задачи.

Теоретически обоснована возможность оптимального управления расходом жидкости в некоторых задачах фильтрации двухфазной жидкости.

Для некоторых задач оптимального управления двухфазной фильтрацией получены системы оптимальности, которые могут быть использованы для дальнейшего исследования и численного решения рассмотренных задач.

Задачи управления фильтрацией жидкости позволяют оптимизировать процессы вытеснения нефти водой, что имеет большое значение в разработке залежей нефти.

Основные результаты и выводы работы можно сформулировать следующим образом:

1. Построена математическая модель задачи оптимального управления процессом фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости в случае плоскопараллельного течения жидкости между галереями скважин. С помощью доказательства компактности минимизирующей последовательности доказано существование оптимального управления.

2. Путем введения сопряженного состояния построена система оптимальности, которая используется для численного решения задачи оптимального управления. В случае отсутствия поля тяжести для линеаризованной задачи, описывающей процесс вытеснения нефти водой, построено аналитическое решение, которое сравнивается с сеточным решением.

3. Доказана разрешимость краевой задачи, описывающей процесс плановой фильтрации двухфазной жидкости в случае неодносвязной области. Получен принцип максимума для функции водонасыщенности. Получены оценки решения в некоторых пространствах функций.

4. Построена математическая модель задачи оптимального управления процессом двухфазной фильтрации в случае неодносвязной области. Теоретически обоснована возможность оптимального управления. С помощью применения принципа Лагранжа выведена система оптимальности, которая используется для численного решения задачи.

5. Получены условия разрешимости в некотором специальном пространстве функций краевой задачи, описывающей процесс плановой фильтрации двухфазной жидкости в случае сосредоточенных в области источников. Доказан принцип максимума для функции водонасыщенности. Получены свойства решения рассматриваемой задачи, необходимые для исследования задачи оптимального управления.

6. Доказано существование оптимального управления в задаче двухфазной фильтрации в случае сосредоточенных источников. Построена система оптимальности.

Заключение

1. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983. - 320 с.

2. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды. -М.: Мир, 1979. 451 с.

3. Развитие исследований по теории фильтрации СССР / Под ред. П. Я. Полубариновой-Кочиной. М.: Наука, 1969. - 545 с.

4. Коллинз Р. Течения жидкостей через пористые материалы. М.: Мир, 1964.-310 с.

5. Шейдеггер А.Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. М.: Гостоптехиздат, 1960. - 249 с.

6. Антонцев С.Н., Монахов В.Н. О некоторых задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды. 1969. -Вып. 2.-С. 156-167.

7. Антонцев С.Н., Монахов В.Н. Об общей квазилинейной модели фильтрации несмешивающихся жидкостей // Динамика сплошной среды. -1969.-Вып. З.-С. 5-17.

8. Антонцев С.Н., Монахов В.Н. Некоторые нестационарные задачи фильтрации неоднородных жидкостей со свободными (неизвестными) границами // Динамика сплошной среды. 1969. - Вып. З.-С. 18-32.

9. Антонцев С.Н., Монахов В.Н. О некоторых нестационарных задачах с неизвестными границами // Некоторые проблемы математики и механики / Л.: Наука, 1970.-С. 75-87.

10. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. -Новосибирск: Наука, 1988. 153 с.

11. Антонцев С.Н. Стационарные задачи двухфазной фильтрации с неизвестными границами // Динамика жидкости со свободными границами / Новосибирск: Изд. Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1979. С. 3-10. (Динамика сплошной среды, вып. 36).

12. Алексеев Г.В., Хуснутдинова Н.В. О разрешимости первой краевой задачи для уравнения одномерной фильтрации двухфазной жидкости // Докл. АН СССР. 1972. - Т.202. N 2. - С. 310-312.

13. Антонцев С.Н. О разрешимости краевых задач для вырождающихся уравнений двухфазной фильтрации // Динамика сплошной среды. 1972. -Вып. 10.-С. 28-53.

14. Антонцев С.Н., Кажихов А.В. Математические вопросы динамики неоднородных жидкостей: Курс лекций. Новосибирск: Изд. Новосиб. ун-та, 1973.- 121 с.

15. Олейник А.А. Разрешимость задач фильтрации многофазных несмешивающихся жидкостей // Динамика сплошной среды. 1971. - вып. 7. С. 15-21.

16. Олейник А.А. Об одномерных моделях вытеснения по схеме двухфазного поршня // Динамика сплошной среды. 1966. - вып. 3. С. 33-38.

17. Антонцев С.Н., Монахов В.Н. Краевые задачи для некоторых вырождающихся уравнений механики сплошной среды: Курс лекций. Ч. II. -Новосибирск: Изд. Новосиб. ун-та, 1977. 48 с.

18. Антонцев С.Н., Монахов В.Н. Краевые задачи для некоторых вырождающихся уравнений механики сплошной среды: Курс лекций. Ч. III. -Новосибирск: Изд. Новосиб. ун-та, 1978. 76 с.

19. Антонцев С.Н., Монахов В.Н. Пространственные задачи нестационарной фильтрации в анизотропных пористых средах // Докл. АН СССР. 1978. -Т. 243, N З.-С. 553-556.

20. Chavent G. A new formulation of diphasic incompressible flows in porous media // Lecture Notes in Math. 1976. - V 503. - P. 228-270.

21. Антонцев C.H., Папин А.А. О глобальной гладкости решений уравнений двухфазной фильтрации // Динамические задачи механики сплошных сред. Новосибирск: Изд. Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1978. С. 3-28. (Динамика сплошной среды, вып. 35).

22. Антонцев С.Н., Папин А.А. Приближенные методы решения задач двухфазной фильтрации // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 247, N 3. - С. 521-525.

23. On a system of nonlinear elliptic and degenerate parabolic equations describing compositional water-oil flows in porous media // Nonlinear analysis. 1997 - V.28, N9.-P. 1565-1600.

24. Антонцев С.Н. Кашеваров A.A. Локализация решений нелинейных параболических уравнений, вырождающихся на поверхности //Динамика сплошной среды. 1996. Вып. 111. - С. 7-14.

25. Badii М. Periodic solutions for a class of degenerate evolution problems // Nonlinear analysis. 2001. - V. 44, N 4. - P. 499-508.

26. Губкина E. В., Монахов В. H. Фильтрация жидкости в неограниченном пласте с наклонным водоупором // Прикладная механика и техническая физика. -2003.-N 1. С.88-95.

27. Губкина Е. В., Монахов В. Н. Прикладные контактные задачи фильтрации жидкости в пористых средах // Динамика сплошной среды. 2001г. Вып 118.- С.21-35.

28. Joseph D.D., Kamp A.M., Bai R. Modeling foamy oil flow in porous media // International Journal of Multiphase Flow. 2002. - V28, N 10. - P. 1659-1686.

29. Odenwald В., Stamm J., Herrling B. Continuous transmissivity transitions for horizontal groundwater flow models // Transport in Porous Media. 1996. - V.18, N5.-P. 257-265.

30. Bratvedt F., Gimse Т., Tegnander C. Streamline computations for porous media flow including gravity // Advances in Water Resources. 1995. - V.25, N 1. - P. 6378.

31. Сандраков Г.В. Осреднение процесса фильтрации двухфазного потока несмешивающихся жидкостей. //Докл. РАН. 2000 - Т.374, N 2. - С. 164-167.

32. Chahib A, Ghemires Т., Nachaoui A. A numerical study of filtration problem in inhomogeneous dam with discontinuous permeability // Appl. Num. Math. 2003. -V. 45, N2-3.-P. 123-138.

33. Бочаров О.Б., Телегин И.Г. Численное исследование процесса вытеснения при сопряжении различных моделей фильтрации двухфазной жидкости // Наука, культура, образование. 2002. -N10.

34. Бочаров О. Б., Осокин А. Е. Численное исследование автомодельных задач неизотермической двухфазной фильтрации // Сибирский журнал индустриальной математики. -2002. -Т.5, N 1(9). С. 8-19.

35. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961. -329 с.

36. Варга Д. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. - 623 с.

37. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. - 414 с.

38. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979.-400 с.

39. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. -М.: Наука, 1987.-368 с.

40. Bewley Т., Temam R., Zianne М. Existence and uniqueness of optimal control to the Navier-Stokes equations // C. r. Acad. Sci. Ser.l 2000. - V. 330, N 11. -P. 1007-1011.

41. Koug De-Xing Global exact boundary controllability of a class of quasilinear hyperbolic systems of conservation laws // Syst. and Contr. Lett. 2002. V. 47, N 4. -P. 287-298.

42. Lenhart S., Liang M., Protopopescu V. Optimal control of boundary habitat hostility for interacting species // Math. Meth. Appl. Sci. 1999. - V. 22, N 13. -P. 1061-1077.

43. Agoshkov V., Bardos C., Buleev S. Solution of the Stokes problem as on inverse problem // Comput. Meth. in Appl. Math. 2002. - V. 2, N 3. -P.213-232.

44. Ильин B.A. О граничном управлении процессом, описываемымуправлением к{х)к(х)их (x,f).'x = и„ {x,t) // Докл. РАН. 2002. Т.386, N 5. - С. 156-159.

45. Ильин В.А., Моисеев Е.И. О граничном управлении на одном конце процессом, описываемым телеграфным уравнением // Докл. РАН. 2002. Т.387, N5.-С. 600-603.

46. Tadumadze Т., Gelashvili К. The existence theorem for one class of optimal problems in Banach spase // Met. Differ. Equat. and Math. Phys. 2000. - V. 21. -P. 151-156.

47. Алексеев Г. В., Терешко Д. А. Стационарные задачи оптимального управления для уравнений гидродинамики вязкой теплопроводной жидкости // Сибирский журнал индустриальной математики. 1998. - Т. 1, N 2. - С. 24-44.

48. Свиридюк Г.А., Плеханова М.В. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова // Дифф. ур. 2002. - Т.38, N 7. - С. 997-998.

49. Haslinger J. A note on contact shape optimization semicoercive state problem // Appl. Math. 2002. - V.47, N 5. - P. 395-410.

50. Debinska-Nagorska A., Just A., Stempien Z. Analysis and semidiscrete Galerkin approximation of a class of nonlinear parabolic optimal control problems // Comput. and Math. Appl. 1998 - V.35, N 6. - P. 95-103.

51. Ампини Д. О существовании оптимального управления для одной нелинейной гиперболической задачи // Вестн. рос. ун-та др. нар. Серия Математика. 2002. - N 9. - С. 56-63.

52. Олейник А.А., Первадчук В.П., Самыгина Т.А. Оптимальное управление процессом переработки полимеров // Вестн. ПГТУ. Математика и прикладная математика. 1996. N 1. С. 67-75.

53. Олейник А.А., Самыгина Т.А. Оптимальное управление течением вязкой жидкости между пластинами // Вестн. ПГТУ. Математика и прикладная математика. 1996. N 1. С. 86-93.

54. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999. - 350 с.

55. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. -М.: Наука, 1965. -474 с.

56. Фурсиков А.В. Об одной задаче управления и о результате, касающемся однозначной разрешимости трехмерной системы Навье-Стокса // Успехи мат. наук. 1980. - Т. 35, Вып. 4. - С. 148.

57. Фурсиков А.В. О некоторых задачах управления и о результатах, касающихся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных систем Навье-Стокса // Докл. АН СССР. 1980. - Т. 252, N 5. -С. 1066-1070.

58. Фурсиков А.В. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных систем Навье-Стокса и Эйлера. // Мат. сб. 1981. - Т, 115. N 2. - С. 281-307.

59. Lahrech S., Addou A. Sufficient conditions for elliptic problem of optimal control in Rn in Orlicz-Sobolev spases // Мат. весн. 2001. - Т. 53, N 1-2. - С. 3742.

60. Ампини Д. Необходимые условия оптимальности для одной нелинейной гиперболической задачи // Вестн. рос. ун-та др. нар. Серия Математика. 2002. -N 9. - С. 22-55.

61. Лагранж Ж. Аналитическая механика. M.-JL: Гос. изд. тех.-теор. лит., 1950.-440 с.

62. Люстерник Л.А. Об условных экстремумах функционалов // Мат. сб. — 1934.-Т 41, Вып. З.-С. 390-401.

63. Иоффе А.Д.,. Тихомиров В.М Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.-479 с.

64. Дубовицкий А .Я., Милютин А.А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // ЖВМ и МФ. 1965. - Т 5, N 3. - С. 395-453.

65. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. -М.: Наука, 1979.-429 с.

66. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964. - 538 с.

67. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. - 736 с.

68. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. - 616 с.

69. Генри Б. Кричлоу Современная разработка нефтяных месторождений — проблема моделирования. М.: Недра, 1979.-303 с.