автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование релаксационных явлений при течении неоднородной жидкости в пористых средах

На правах рукописи

ФАЙЗУЛИН Тимур Айратович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ЯВЛЕНИЙ ПРИ ТЕЧЕНИИ НЕОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа 2007

003056671

Работа выполнена на кафедре математики государственного авиационного технического университета.

Уфимского

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Г. Т. Булгакова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В. И. Астафьев

доктор физико-математических наук, профессор В. П. Радченко

Ведущее предприятие:

ГОУ ВПО «Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова» (факультет ВМиК).

Защита состоится 27.04.2007 г. в 1500 час в ауд. 209 на заседании диссертационного совета ДМ 212.215.05 при Самарском государственном аэрокосмическом университете по адресу: г. Самара, Московское шоссе, 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного аэрокосмического университета.

Автореферат разослан 26 марта 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д-р техн. наук, профессор

А. А. Калентьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Релаксационные процессы необычайно широко распространены в окружающем нас мире. Практическая необходимость их изучения требуется как для более углубленного проникновения в фундаментальные законы природы, так и для использования в важных технических приложениях. Изучаемые процессы описываются, как правило, сложными нелинейными уравнениями в частных производных. Поэтому помимо традиционных аналитических методов теоретического исследования универсальным и мощным инструментом для решения таких задач являются численные методы, позволяющие проводить численные эксперименты для выявления закономерностей изучаемых процессов. Одной из сфер широкого применения математического моделирования релаксационных процессов является подземная гидромеханика.

В последние годы в области нестационарной многофазной фильтрации накоплен весьма богатый экспериментальный и теоретический опыт. Однако, в силу значительной сложности изучаемых объектов, имеющиеся результаты являются далеко не полными. Они не снимают как проблемы адекватности рассматриваемым процессам математических моделей многофазных фильтрационных потоков в пористых средах, так и необходимости создания новых и развития старых методов их исследования.

Вопросам описания неравновесной фильтрации в различной постановке посвящен ряд работ И. М. Аметова, Г. И. Баренблатта, О. Б. Бочарова, В. И. Ентова, Ю. П. Желтова, А. В. Костерина, В. В. Кузнецова, А. К. Курбанова. В. И. Медведкова, А. X. Мирзаджанзаде, Р. И. Нигматуллина, В. Н. Николаевского, Б. М. Панфилов, Г. Г1. Цыбульского и др.

Уравнения, описывающие фильтрационные течения с учетом нелинейных и релаксационных свойств, представляют собой сложные системы дифференциальных уравнений в частных производных. В общем случае это нелинейная система смешанного типа. Граничные условия, дополняющие уравнения, задаются на характеристиках из физических соображений. При этом возникает проблема корректности постановки этих задач (существование, единственность и устойчивость) и построение решения аналитическими и численными методами. Точное решение, хотя предпочтительнее численного, однако, в силу значительной сложности изучаемых объектов, не всегда реализуемо. Использование численных алгоритмов приводит к необходимости дополнительных исследований: проверки сходимости, исследования устойчивости и погрешности. В этом случае особый интерес представляют численные методики, позволяющие количественно исследовать явления и процессы, которые ранее имели лишь качественное описание.

Всё вышеизложенное определяет актуальность диссертационной работы, посвященной вопросам моделирования нестационарных многофазных течений в пористых средах.

Целью работы является построение и анализ математических моделей, описывающих движение многофазных фильтрационных потоков с использованием нелинейных и неравновесных физико-химических свойств в пористых средах.

Задачи диссертационной работы.

1. Обоснование корректности постановки краевой задачи неравновесной фильтрации двухфазной жидкости с нестационарными граничными условиями и построение приближенно-аналитических решений; разработка алгоритма численного расчета задачи и проверка его адекватности на полученных точных решениях в частных случаях.

2. Исследование математической модели движения газожидкостной смеси со сложными нелинейными и неравновесными свойствами, вызванными переходными условиями в пористых средах.

3. Исследование математической модели фильтрации трехфазной жидкости в пористых средах в переходных условиях: исследование влияния водонасыщенности на структуру фильтрационного потока газожидкостной системы.

4. Реализация численных алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

Научная новизна положений, выносимых на защиту:

- предлагается нестационарное граничное условие для краевой задачи неравновесной фильтрации двухфазной жидкости, которое учитывает особенности переходных процессов, доказывается существование и единственность решения поставленной задачи;

- построены точные и приближенно-аналитические решения, а также предложен численный алгоритм расчета для задачи неравновесной двухфазной фильтрации;

- разработана и исследована в рамках вычислительного эксперимента модифицированная модель фильтрации газожидкостной смеси в переходных условиях.

Практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы в исследовании конкретных моделей физики, химии, техники и других отраслей научных знаний. Предложенные математические модели расширяют теоретические представления о неравновесных и нелинейных эффектах в процессах фильтрации газожидкостной системы. Численный алгоритм решения задачи неравновесной двухфазной фильтрации может быть использован для решения конкретной прикладной задачи: определения относительных фазовых проницаемостей по данным нестационарных исследований образцов пористой среды.

Методы исследования. Аналитические исследования проводились с использованием методов математической физики. Широко использовался метод вычислительного эксперимента на ПЭВМ.

Достоверность предложенных математических моделей обусловлена корректным применением методов математической физики, законами сохранения механики многофазных систем и их физической и математической непротиворечивостью, сравнением результатов численных расчетов с аналитическими решениями для тестовых задач и экспериментальными данными в частных случаях.

Личный вклад автора.

Все результаты, выносимые на защиту, получены лично автором.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, представлялись и обсуждались на научных семинарах: кафедры прикладной математики и информатики Бирской государственной педагогической академии (Бирск, 2006); кафедры математического моделирования Стерлитамакской государственной педагогической академии (Стерлитамак, 2006); Института механики УНЦ РАН (Уфа, 2006); отдела вычислительной математики Института математики УНЦ РАН (Уфа, 2006); лаборатории «Математического моделирования в физике» факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ (Москва, 2007), а также на следующих конференциях:

-Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2004);

-Всероссийская научная конференция молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации" (Новосибирск, 2004);

-Международная конференция «Фундаментальные проблемы разработки нефтегазовых месторождений, добычи и транспортировки углеводородного сырья» (Москва, 2004);

-Зимняя школа по механике сплошных сред (Пермь, 2005);

-Шестой Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи-Дагомыс, 2005);

-IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006).

Связь диссертационной работы с планами научных исследований.

Диссертационная работа выполнялась в рамках тематического плана НИР Минобразования и науки РФ 2003-2005 гг. (№ госрегистрации НИР 01200310563) и при финансовой поддержке РФФИ (проект 05-01-97-909).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, 3-х глав, заключения и списка литературы из 79 наименований. Общий объем работы составляет 115 страниц, в том числе 26 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор литературы по теме диссертации, кратко изложено содержание работы и сформулированы результаты, выносимые на защиту.

В первой главе рассматривается краевая задача с нестационарным граничным условием, моделирующая неравновесное вытеснение двухфазной жидкости в образце пористой среды.

В пункте 1.1 первой главы обсуждается математическая постановка задачи.

Математическая модель неравновесной двухфазной фильтрации описывается в рамках модели Г. И. Баренблатта уравнениями вида:

т— + сИ\г), - 0; - от— + с1тк = 0; дг 1 дх 2

_ Ш1)

Ц =----(1)

А Мг

д$

5-5 = Г-.

дt

Здесь индекс "1" относится к смачивающей фазе, индекс "2" - к несмачивающей; к - абсолютная проницаемость пористой среды; т -пористость; —относительные фазовые проницаемости (ОФП); o¡ -

фазовые скорости; р,- —фазовые давления; —вязкости фаз.

Капиллярным скачком давления в фазах пренебрегаем, считая, что влияние неравновесности превосходит влияние капиллярного давления.

Используя безразмерные переменные: д - и°/ , - безразмерное время,

т1

РСт о»,,, „„„ К — х.

I

равное отношению объема закачанной жидкости к объему пор, £ =

безразмерная пространственная координата, Г = - безразмерный

параметр неравновесности (в дальнейшем черточки опускаются), уравнения (1) для нахождения насыщенности смачивающей фазы б(с„0) приводятся к виду:

дз дР[$) . дь ...

— +-— = 0, 5 =5 +г—, (2)

дв 39

где -функция, определяющая долю смачивающей фазы в общем

фильтрационном потоке.

В данной работе предлагается дополнить начальное условие нестационарным граничным условием следующего вида:

= 5(0,0) = ^, (3)

где 5() и ^ - начальная и конечная (предельная) насыщенности пористой среды смачивающей фазой > ).

Система (2), (3) моделирует, например, процесс вытеснения нефти из образца пористой среды при постоянном расходе закачиваемой воды на входном сечении £-0. В рамках подходов, предложенных Г. И. Баренблаттом, предполагается, что эффекты релаксации вызваны наличием областей резкого изменения функции насыщенности смачивающей фазы ¡(4,0). Система «Пористая среда - одна из компонент жидкости» рассматривается как некоторая единая пористая среда, в которой происходит фильтрация другой компоненты. Как следствие этой гипотезы можно записать выражения основного закона фильтрации - закона Дарси - для каждой из компонент. Функции ОФП в неравновесном потоке несмешивающихся жидкостей в пористой среде считаются теми же, что и в равновесном, то есть являются функциями только насыщенности, но зависят не от истинной насыщенности 5, а от некоторой эффективной насыщенности У. Разность функций .?(£,#)и ¿(£,0) в данной точке зависит только от локальной скорости изменения насыщенности и характерного

времени замещения г.

Задача (2), (3) для определения неизвестной функции 5=5(6,6) преобразована к виду:

Полученные неравенства позволяют установить корректность постановки краевой задачи (4). Кроме этого, эти оценки могут быть применены, например, при исследовании поведения решения для больших значений времени релаксации т.

В пункте 1.3 получены условия, при которых задача (4) имеет гладкое решение.

Краевая задача (4) эквивалентна системе интегральных уравнений

вида:

(4)

■ е М

с помощью которой построены последовательные приближения:

7

1 "(f У

5 (f,0) = io+-f s{Ç,r,)-s{Ç,ri)

T »

oL

di7,

, 1 V 1

i = 4--J—¡rr-

t J I W,

îM)

s (7,0)-s (17,0)

с/??.

Справедливо следующее утверждение:

Лемма 1. Пусть производная функции F(s) не обращается в нуль на любом интервале (-а; а) :

|F'(s)|>A>0,

и постоянная А не зависит от а. Тогда в прямоугольнике 0 < ç < £,0 , т т А

О<0<0о, где 00< —, Для последовательных приближений (5')

справедливы оценки: (»)

fee)

<м.

M

<М, п = 0,1,2,...

Здесь постоянная M определяется так:

г-20о rA-2&

гА

С использованием леммы доказывается теорема существования и единственности решения задачи (4).

Теорема. Пусть выполнены условия:

¡^'(^>^>0, <В, [~м,м\

Тогда в прямоугольнике 0 < Е, < Е,0, 0 < 0 < 00 существует единственное решение системы интегральных уравнений (5).

Теорема доказывалась методом последовательных приближений. Следует отметить, что теорема справедлива в случае, когда граничные условия являются гладкими функциями.

В пункте 1.4 построены приближенно-аналитические, а также численные решения для краевой задачи (4).

Если функция Р(.5) имеет линейный вид:

Аз + В, А> 0, приходим к следующей краевой задаче:

дз I . дЗ 1 ,

s(£,0) = sl), = + = (7)

39

Систему уравнений (6) с граничными условиями (7) можно свести к задачам типа Гурса для уравнения второго порядка гиперболического типа, линейного по старшим производным, для функций у и решение которых найдено классическим методом Римана:

Л.

s(í,0) = so+(st-so)J■eX )e',JJQ(2^)dт1, (8)

Ж.

Щ,в) = зк+ ^0 - ) ехр^--^ 1 . (9)

Для решения (8), (9) построены асимптотические представления в области £ > 0, в > 0 для различных значений времени релаксации г .Полученные асимптотические представления позволяют оценить область значения решения задачи (6), (7). Так как £е[0;1], параметр А и время релаксации х ограничены, тогда асимптотическое разложение решения при в -> да в области Е, < Ав имеет вид:

м

2

ъ[к

' АЛ"4 т2-

Ч

Ав)

1/2

Г,,

- +0 \в) ^ у

А

-«г:

В случае & —>0 асимптотическое представление решения имеет вид

4 ( в

1-е гА + е

(1 -о{в))

Таким образом, исходя из полученных представлений видно, что

Нш 5(^,0) = Нт = 5,, ТО есть искомая функция ограничена в

О-л О 0 к

области что согласуется с физической моделью.

тА

( в

I

1*4

Полученные решения позволяют сделать вывод об устойчивости краевой задачи. При малых возмущениях граничных условий изменение решения также мало.

В общем случае решение ищется в виде ряда:

= |у 1Н4,в,г), щ,е,т) = ¿г" Ц4,в,т).

п=О л=0

Предполагается, что время релаксации т мало. Подстановкой в исходные уравнения (4), для каждого члена ряда строится своя краевая задача. В результате определена цепочка краевых задач, решение каждой из которых зависит от предыдущей. Показано, что задача в общем случае, решение которой определяется первыми двумя членами ряда, совпадает с задачей в линейном случае. Таким образом, решение задачи (4) в первом приближении найдено. Для нахождения третьего члена ряда краевая задача сводится к задаче типа Гурса. Решение построено в явном виде методом Римана. Показана его ограниченность по параметру т.

В пункте 1.5 предложен численный алгоритм расчета задачи неравновесной двухфазной фильтрации в общем случае, апробированный на точном решении для линейной задачи (6),(7). Соответствующие результаты приведены на рис. 1.

Рис. 1. Численное и аналитическое решения задачи при #=0,5, Т = 0,01: --аналитическое решение; о - численное решение

Пусть известно распределение насыщенности 5 в момент времени Л Переход на момент времени будем осуществлять в два этапа. На первом

этапе, используя я" в качестве начальных данных, определяем 5 2 как решение уравнения

1

и+-

" Е-" Г"

—^ = о

М Ах

На втором этапе полученное ^ 2 используется в качестве начальных данных при определении из уравнения

«+1

п+1/2

Д/

Ах

„п+1

- я

п¥ 1/2

„П + 1

А/

_ /г'"

Л-1

п + 1/2

Д?

т-, „ Д/тах^Хг)!

Предложенная схема устойчива при условии-1-5 < 1.

Дх

В рамках численного эксперимента рассчитаны распределения водонасыщенности в образце пористой среды при различных значениях параметра релаксации т. Расчетные зависимости качественно сравнивались с данными натурных экспериментов. Качественный анализ расчетных и экспериментальных функций водонасыщенности доказывает адекватность исследуемой модели.

Вторая глава посвящена разработке и исследованию математической модели фильтрации газожидкостпой смеси в переходных условиях (фильтрация при давлении ниже давления насыщения) и вызванные этим релаксационные эффекты. Рассматривается образец пористой среды, насыщенный однородной жидкостью. Первоначально в каждой точке поддерживается постоянное давление выше давления насыщения. Затем на выходе образца давление понижают до значения ниже давления насыщения, а на входе - за счет постоянного притока жидкости - давление поддерживается постоянным.

В пункте 2.1 представлена постановка задачи. Предлагается релаксационная математическая модель изотермической нестационарной фильтрации газированной жидкости в рамках теории многофазной многокомпонентной фильтрации:

д! дх

(1-Е )/,(*>£

дх

д/ дх

/лй)дх

Приведенные уравнения выписаны для двух фаз (1 - жидкая, 2 -газовая) и двух компонент (1 - жидкость, 2 - газ). Здесь в(х,1) -газонасыщенность, g(x,t) - массовая концентрация растворенного газа в жидкой фазе,р(х,1) - давление, функция/^ - относительная проницаемость для 1-й фазы, и0 - отношение вязкости газа к вязкости жидкости. Газ считается идеальным, поэтому его плотность определяется по линейному закону: р2'=ро Р-

Для определения функции %(х,0 предлагается релаксационное уравнение. Предполагается, что фазовые переходы имеют неравновесный характер. Обоснованием такого предположения являются, в частности,

исследования Д. А. Эфроса, в которых отмечалось заметное запаздывание в выделении газа. Зависимость массовой концентрации растворенного газа от давления описывается релаксационной моделью вида:

dg

g+T-£- = ge(p), dt

где субстанциональная производная, = , . U\ - скорость

dt dt dt Эх

фильтрации нефти, г - время релаксации, ge = ар ,а = const, ge(p)~

равновесная фазовая концентрация.

Начальные и граничные условия заданы в виде:

t = 0, х> О, р = р0, g = g° = const, t>0,x = 0,p = p0>p1, 5 = 0, t>0,x = L, p- pk < p,.

Экспериментальные исследования поставленной задачи указывают на аномальное увеличеиие расхода газированной жидкости в области давления насыщения, и уменьшение его при дальнейшем снижении уровня давления (А. X. Мирзаджанзаде). Анализ диаграмм изменения газонасыщенности s во времени указывает на частые колебания ее в отдельных сечениях образца пористой среды (В. Н. Мартос).

Для объяснения указанных эффектов в представленной работе развивается подход, основанный на эффекте "проскальзывания" жидкости за счет адсорбции микрозародышей газа на стенках пор (А. X. Мирзаджанзаде, В. Ш. Шагапов). Предполагается, что функция fi(s) -относительная фазовая проницаемость (ОФП) жидкой фазы - имеет немонотонный вид и может принимать значения больше 1 (рис. 2).

1 — расчетная; 2 — по Викову-Ботсету

В пункте 2.2 проведен линейный анализ устойчивости стационарных режимов фильтрации газированной жидкости с учётом немонотонности функции фазовой проницаемости жидкой фазы.

Уравнения нестационарной фильтрации линеаризуются на стационарном решении. Коэффициенты линеаризованных уравнений для

возмущений вычисляются при стационарных решениях. Далее исследуются длинноволновые решения полученной системы с использованием идей метода Бубнова-Галеркина. Решения и коэффициенты уравнений разлагаются в ряд Фурье. Подставляя указанные разложения в систему линеаризованных уравнений, получаем бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов ряда Фурье. Из соображений сходимости ряда Фурье можно рассмотреть ограниченную систему ОДУ. Крайнее упрощение этой системы состоит в отбрасывании всех гармоник, кроме нулевых. Такой подход соответствует решениям, медленно меняющимся по пространственной координате х, т.е. длинноволновым возмущениям. В результате получается упрощенная система обыкновенных дифференциальных уравнений:

(я IV

4 Ро = А Ра

\8о у и.,

где элементы матрицы А, зависящие от стационарных решений, вычисляются как средние от стационарного состояния •УоМ.Ро^О.ЯоМ" нулевая гармоника.

Решение ищется в виде

/ \ (а)

Ро - р ехр(Аг)

)

Исследование характеристического уравнения показало, что алгебраическое уравнение всегда имеет три действительных корня. Число нулей в правой полуплоскости определяется значениями параметров: АР — Рц~Р\, Мо> г- В рассматриваемом нами диапазоне изменения параметра Лр линейная задача оказывается всегда неустойчивой. Дело в том, что при этих условиях уравнение на Я имеет хотя бы один положительный корень. Более того, при увеличении значений параметров Ар и г наблюдается рост всех корней с переходом их через нуль, т.е. рост инкремента неустойчивости.

Такой вывод справедлив и для полной линеаризованной системы, по крайней мере, для решений с достаточно малыми Фурье-амплитудами ¿к'Рк'ёк^^О). Неустойчивость линейного приближения свидетельствует

о неустойчивости рассматриваемого положения равновесия >" • рП ■ К° (-т). Таким образом, при фильтрации газожидкостной смеси возможно возникновение автоколебаний и их усложнение при изменении указанных выше значений параметров.

В пункте 2.3 представлено описание количественных характеристик апериодических колебательных процессов: корреляционный интеграл, корреляционная размерность, а также процедура их вычисления (процедура

Паккарда-Такенса). Данные величины являются критерием хаоса и позволяют определить возможность воссоздания сигнала с помощью динамической системы.

В пункте 2.4 представлен алгоритм расчета, разностные схемы, проводится численный анализ полученного решения рассматриваемой задачи.

Алгоритм численного расчета аналогичен 1МРЕ8 методу - методу разделения по физическим процессам. Расчет давления проводился по неявной четырехточечной схеме. Для аппроксимации массовой концентрации применялась специальная разностная схема, учитывающая наличие малого параметра. На основе консервативной конечно-разностной схемы сквозного счета рассчитана газонасыщенность. Исследование устойчивости и сходимости численных схем проводилось на сгущающихся сетках.

Вычислительный эксперимент показал, что при определённых значениях параметров (отношения вязкостен жидкой и газовой фаз, перепада давления, времени релаксации) в области фильтрации газированной жидкости возникают периодические во времени изменения давления и насыщенности. Соответствующие результаты приведены на рис. 3.

.0.3

**

и

а

а

з

30.2

и

а

а

о

8

0.1

1 2 3 4 4

а

б

Рис. 3. Зависимость газонасыщенности от времени на выходе модели: а - Др = ЗМ77<т,т = 0,01;ц0 =0,01; б-Ар = 5МПа\т = = 0,001

\ЛЛ/ \лл/ АЛЛ АЛ/

Изменение этих параметров приводит к потере устойчивости предельного цикла и возникновению квазипериодического движения, переходящего затем в хаотическое (рис. 4). Применение процедуры Паккарда-Такенса показывает, что наблюдаемый хаос является детерминированным, и минимальное число динамических переменных, необходимых для описания колебаний в фильтрационном потоке, равно трём.

Газонасыщ енность

Газонасыщенность б

Рис.4. Усложнение фазовой траектории в плоскости (р .?): а -Др = ЗМПа,х = 0,01;ц0 =0,01; б -Ар = 5МПа\т = = 0,001

В третьей главе обобщаются полученные теоретические разработки в более общем случае. На практике структура фильтрационного потока усложняется наличием в системе третьей фазы - воды. Задача третьей главы исследовать влияние водонасыщенности на структуру фильтрационного потока газожидкостной системы в переходных условиях. Первоначально рассматривается фильтрация двухфазной жидкости в образце пористой среды. В каждой точке поддерживается давление выше давления насыщения. Затем на выходе из образца давление понижают до значения ниже давления насыщения, а на входе, за счет постоянного притока двухфазной жидкости, давление поддерживается постоянным, В результате происходит переход растворенного газа в свободное состояние и возникает область трехфазного течения. Считается, что газ растворен только в одной из фаз, растворимость в другой фазе пренебрегается.

В пункте 3.1 описывается постановка задачи. Математическая модель трехфазной фильтрации представляется в рамках теории многофазной многокомпонентной фильтрации:

др_ _ дх '

Начальные и граничные условия заданы следующим образом:

/ = 0, * > 0; Р Р„; £ = £е° = согс>Г, г > 0, л = 0; Р~Р0>Р!', = 0; = р = р,<р,.

Обозначения в представленной модели аналогичны второй главе. При моделировании исследуемого процесса в качестве третьей фазы, в которой не учитывается растворимость газа, рассматривалась вода.

В пункте 3.2 обсуждается вид и зависимость функций /¡(¡2,$з), /2(^2), //¿V - функций относительной проницаемости каждой из фаз. По методике Стоуна построена функция проницаемости //($2,55) немонотонного вида для газированной жидкости. Немонотонность учитывает эффект "проскальзывания" газожидкостной смеси за счет адсорбции микрозародышей газа на стенках пор в случае трехфазной фильтрации.

В пункте 3.3 представлены разностные схемы расчета, проведен численный анализ решения задачи, исследование устойчивости и сходимости численных схем проводилось на сгущающихся сетках. Расчеты показали, что в области разгазирования возникают периодические во времени изменения давления и газонасыщенности. Область устойчивости определяется несколькими параметрами: относительной вязкостью ц0, перепадом

давления др = р5 ~ рк, времени релаксации г и водонасыщенностью ^. С ростом водонасыщенности наблюдается переход от сложных колебаний газонасыщенности до периодических движений (предельный цикл). Водная фаза оказывает влияние на амплитуду колебания. Сравнивая два временных ряда газонасыщенности, полученных при одних и тех же значениях параметров г, ц0,р, обнаруживается уменьшение амплитуды колебания при

увеличении водонасыщенности 5Э.

1. Обоснована корректность постановки задачи неравновесной двухфазной фильтрации с краевым нестационарным условием. Для линейной задачи получено точное решение и его асимптотические представления. В общем

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

случае решение найдено в виде асимптотического функционального ряда. Предложен и протестирован на точном решении численный алгоритм расчета искомых функций, реализованный в виде программы в математическом пакете MAPLE. Вычислительным экспериментом установлено условие устойчивости предложенной разностной схемы.

2. Разработана и исследована математическая модель фильтрации газожидкостной смеси со сложными нелинейными и неравновесными свойствами, вызванными переходными условиями, в пористых средах. На основе разработанной модели реализована программа расчета гидродинамических функций в системе интегрированной разработки Delphi. Вычислительный эксперимент показал возникновение автоколебаний газонасыщенности и давления во времени в зависимости от перепада давления, вязкости жидкости, времени релаксации. Исследование на сгущающихся сетках показало устойчивость и сходимость используемых численных схем.

3. Вычислительный эксперимент, проведенный для краевой задачи, моделирующей процесс фильтрации трехфазной жидкости в переходных условиях, установил, что увеличение начальной водонасыщенности приводит к упрощению структуры колебаний функций газонасыщенности и давления от времени.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

публикация в издании, рекомендованном ВАК

1. Булгакова Г. Т., Жибер А. В., Файзулин Т. А. Математическое моделирование неравновесной двухфазной фильтрации II Математическое моделирование, 2006. Т. 18, № 10. С. 19 - 38.

2. Булгакова Г. Т., Жибер А. В., Файзулин Т. А. К теории неравновесных эффектов при фильтрации неоднородных жидкостей // Вестник УГАТУ. - Уфа: УГАТУ, 2004. Т. 5, № 2(10). С. 52 - 57.

3. Булгакова Г.Т., Файзулин Т.А. Неравновесная фильтрация газированной жидкости // Вестник УГАТУ. - Уфа: УГАТУ, 2005. Т. 6, №2(13). С. 52-58.

4. Файзулин Т. А. Приближенно-аналитическое решение нелинейной задачи неравновесной двухфазной фильтрации Н Вестник УГАТУ. -Уфа: УГАТУ, 2005. Т. 6, № 2(13). С. 209-213.

публикация в научном сборнике

5. Файзулин Т. А. Точное решение краевой задачи для нелинейных уравнений двухфазной фильтрации // В кн. Актуальные проблемы математики. Математические методы современного естествознания. Уфа: УГАТУ, 2004. С. 234 - 241.

публикации в трудах международных конференций

6. Булгакова Г. Т., Файзулин Т. А. Численно-аналитические методы исследования двухфазной неравновесной фильтрации // Материалы международной конференции «Фундаментальные проблемы разработки нефтегазовых месторождений, добычи и транспортировки углеводородного сырья». М.: Изд-во Геос, 2004. С. 47.

публикации в трудах всероссийских конференций

7. Булгакова Г. Т., Файзулин Т. А. Моделирование неравновесной фильтрации трехфазной жидкости. // Материалы IX Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород: НГУ им. Лобачевского, 2006. Т. 2. С. 40.

8. Файзулин Т. А. Об одной модели неравновесной двухфазной фильтрации // Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации». Новосибирск: НГТУ, 2004. Ч. 1. С. 136 - 138.

9. Файзулин Т. А. Метод Римана решения задачи Гурса для линейных уравнений неравновесной двухфазной фильтрации // Материалы Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара, 2004. Ч. 3. С. 221 - 223.

публикация в тезисах всероссийской конференции

Ю.Булгакова Г. Т. Жибер А. В Файзулин Т. А. Нелинейная задача неравновесной двухфазной фильтрации // Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая). Тезисы докладов. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2005. С. 46.

Файзулин Тимур Айратович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ЯВЛЕНИЙ ПРИ ТЕЧЕНИИ НЕОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 20.03.2007. Формат 60x84 1/16. Бумага офисная. Печать плоская. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,0. Усл. кр-отт. 1,0. Уч. - изд. л. 0,9. Тираж 100 экз. Заказ № 113.

ГОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический университет Центр оперативной полиграфии УГАТУ 450000, Уфа, ул. К. Маркса, 12

Введение.

Глава 1. Математическая модель неравновесной фильтрации' двухфазной жидкости

1.1. Постановка краевой задачи неравновесной двухфазной фильтрации.

1.2. Оценка сверху для истинной и эффективной насыщенности.

1.3. Теорема существования и единственности задачи фильтрации двухфазной жидкости.

1.4. Построение решения краевой задачи неравновесной двухфазной фильтрации.

1.4.1. Метод Римана решения задачи Гурса для линейных уравнений неравновесной двухфазной фильтрации.

1.4.2. Асимптотическое разложение решения линейной задачи неравновесной двухфазной фильтрации.

1.4.3. Построение решения обощенной краевой задачи неравновесной двухфазной фильтрации при малых временах релаксации.

1.4.4. Численный алгоритмрасчета задачи неравновесной двухфазной фильтрации.

Глава 2. Численное моделирование неравновесной фильтрации газированной жидкости

2.1. Математическая модель неравновесной, нестационарной фильтрации газированной жидкости.

2.2. Линейный анализ устойчивости стационарных решений.

2.3. Количественные характеристики колебательных процессов.

2.4. Численный анализ решения задачи неравновесной фильтрации газированной жидкости.

Глава 3. Математическое моделирование неравновесной фильтрации многофазной жидкости

3.1. Уравнения неравновесной нестационарной фильтрации трехфазной жидкости.

3.2. Оценка ОФП для трехфазной системы по данным двухфазной фильтрации (методика Стоуна).

3.3. Численный анализ решения задачи многофазной неравновесной фильтрации.

Современная теория фильтрации многофазных жидкостей предлагает различные модели, описывающие течение и взаимодействие фаз в порах, большинство из которых основываются на уравнениях сохранения масс фаз, обобщенном законе Дарси. Обобщенный закон Дарси впервые введен в работах Маскета [35] и Леверетта [75], применен Баклеем и Левереттом [77] и Раппортом-Лисом [78] для решения задачи вытеснения несмешивающихся жидкостей. В основе классических моделей [7] лежит представление об однозначной зависимости функций фазовых проницаемостей и капиллярного давления от насыщенности, что физически означает однозначную связь распределения фаз в порах с насыщенностью. Для справедливости такого допущения необходимо, чтобы пористая среда была макрооднородна на расстояниях, достаточно больших по сравнению с размером некоторого микроэлемента, в свою очередь, включающего широкий диапазон размеров пор. Однако реальные коллекторы обладают неоднородностью по пористости и проницаемости самого различного масштаба. Поэтому классические модели двухфазной фильтрации могут рассматриваться как равновесное приближение к описанию процесса. Это подтверждают результаты лабораторных исследований вытеснения нефти водой [34] и численного моделирования процесса двухфазной фильтрации на капиллярных моделях [24], которые показывают, что кривые фазовых проницаемостей двухфазной системы непостоянны во времени, что свидетельствует о неравновесном характере несмешивающегося вытеснения.

Эффекты неравновесности приводят к тому, что зависимости перепада давления от времени, полученные при проведении нестационарных лабораторных исследований образцов пористой среды с целью определения функций ОФП, значительно отличаются от теоретических кривых, рассчитанных в рамках классической теории фильтрации [7, 8]. Как показано в работах [4, 37], влияние неравновесности может быть значительным. Время установления в условиях нефтяных месторождений составляет величину порядка года и более [4]. Поэтому учет неравновесности представляется необходимым на всех этапах разработки нефтяных месторождений, и существующие методики расчета разработки и нефтеотдачи нуждаются в уточнении.

Одним из наиболее перспективных методов при изучении неравновесных эффектов является моделирование течения в макрообъеме на основе сеточных моделей пористой среды, которое реализуется численно на ЭВМ. Например, в работе Э. О. Манучарянца и др. [32] рассматривается неравновесная двухфазная фильтрация в сетке капилляров при условиях, когда неравновесность возникает из-за нестационарности внешнего перепада давления, обусловленной быстрой сменой режима вытеснения. В работе установлено, что фазовые проницаемости существенно изменяются при неравновесном вытеснении. При быстрой смене режима вытеснения, когда характерное время смены режима меньше характерного времени вытеснения из капилляров или капиллярного перераспределения, фазовые проницаемости как вытесняемой, так и вытесняющей фаз меньше, чем в равновесном случае. Показано также, что при неравновесном вытеснении остаточная насыщенность зависит от вязкости вытесняющей и вытесняемой фаз и растет с увеличением степени неравновесности. Результаты работы [32] показали справедливость модели неравновесной фильтрации [3, 4] в тех случаях, когда характерное время изменения насыщенности и время релаксации к капиллярному равновесию сравнимы по величине (слабонеравновесная фильтрация). При сильнонеравновесном вытеснении и, по-видимому, в сильно неоднородных пространственных системах модель [3,4] не применима.

Предложения по совершенствованию моделей фильтрации с учетом неравновесных эффектов представлены в работах [3, 4, 9, 23, 28, 37, 38, 67, 68].

В большинстве из них использовались общепринятые в теории фильтрации феноменологические уравнения баланса массы, импульса и энергии для элементарного объёма, характерный размер которого предполагается достаточно большим по сравнению с размером поровых каналов, но существенно меньшим характерного размера пласта. Неравновесность учитывалась либо введением в уравнения дополнительных членов, либо корректировкой равновесных соотношений, учитывающей взаимодействие фаз при тех или иных предположениях о его механизме.

Развитая Г. И. Баренблаттом и В. М. Битовым в [6] система представлений позволяет в явной форме учесть явления неравновесности и, в принципе, доступна экспериментальной проверке. Подход, сформулированный в [6], содержит два аспекта: 1) разделение насыщенности каждой фазы на два компонента: активную, участвующую в фильтрационном потоке, и пассивную, не вносящую в него вклад; '2) фундаментальное предположение об универсальности фазовых проницаемостей и капиллярного давления. Определяемые как функции насыщенностей только активных компонентов, они, согласно [6], не должны зависеть от скорости фильтрации, равновесности вытеснения, направления процесса. Пределы применимости обобщения теории фазовых проницаемостей, предложенной в [6], описаны в работе [32].

Неравновесная модель первого порядка была предложена Г. И. Баренблаттом [3] и далее развита в работах [4, 21]. Рассматривается процесс вытеснения несмачивающей жидкости смачивающей жидкостью в гидрофильной пористой среде (например, вытеснение нефти водой). В стационарном потоке двухфазной жидкости в пористой среде "каналы", по которым перемещается каждая из фаз, различны: по более узким порам движется смачивающая фаза, а по более широким - несмачивающая. В процессе установления потока смачивающая фаза вытесняет несмачивающую из части занятых ею (наиболее узких) каналов. Это происходит не мгновенно, и на промежуточном этапе часть вытесняемой фазы запирается в узких каналах, а часть вытесняющей фазы временно идет по более широким, чем в стационарном потоке, каналам. Поэтому фазовая проницаемость вытесняющей фазы временно выше, а вытесняемой -временно ниже, чем в стационарном потоке при той же насыщенности. Из-за того, что часть вытесняющей жидкости движется по более широким каналам, уменьшается и капиллярное давление, обратно пропорциональное среднему радиусу канала.

В связи с этим, в простейшей схеме учета неравновесных эффектов предполагается, что при нестационарном движении несмешивающихся жидкостей в пористой среде неравновесные фазовые проницаемости и капиллярное давление при мгновенной насыщенности s равны соответствующим равновесным фазовым проницаемостям и капиллярному давлению при некоторой эффективной насыщенности 7 > s.

Предложено кинетическое уравнение, связывающее эффективную насыщенность 7 с истинной насыщенностью s:

В. Н. Николаевский [43] из общего термодинамического анализа процессов, протекающих в насыщенных пористых средах, получил простую кинетическую модель для фазовых проницаемостей:

Легко видеть, что последнее соотношение вытекает из измененной ОФП разложением по х и сохранением первой степени. Им было предложено кинетическое уравнение второго порядка для зависимости капиллярного давления от насыщенности. Эта гипотеза приводит к модели, допускающей пульсации фазовых давлений при перераспределении фаз.

Для ОФП принимается: f{s) = f s + т —

В рамках рассмотренных моделей можно объяснить немонотонный характер зависимости длины стабилизированной зоны от величины, обратной темпу вытеснения [7].

В работе В. М. Ентова [21] оценивается влияние неравновесности на устойчивость вытеснения нефти водой. Для описания неравновесных процессов вводится некоторая функция состояния макроэлемента пористой среды, определяемая распределением фаз макроэлемента.

Интересный подход к неравновесной фильтрации представлен в работе Р. И. Нигматулина и др. [48], где рассмотрены процессы мицелярно-полимерного заводнения. Каждой из двух многокомпонентных подвижных фаз (водной и углеводородной) сопоставляется одноименная неподвижная. Неравновесный массообмен между подобными по составу частями жидкой системы определяется отклонением объёмной насыщенности подвижной фазы sno$e от её некоторого равновесного значения s* поде'

1№()в ПООв W-.

Чподв=-Чнеподв=-> гДе т ~ вРемя релаксации. В т специфических условиях, когда мицеллярный раствор пропускает через себя воду, приведенное линейное уравнение кинетики мож;ет достаточно полно отражать перетоки жидкостей в пласте.

Предложения по учету неравновесности с помощью расщепления потока по микроструктуре пористой среды представлены в работе В. И. Медведкова [37].

В работах Г. П. Цыбульского [67, 68] в рамках феноменологической теории механики сплошных сред выводятся уравнения двухфазной фильтрации, которые содержат силы, обусловленные неравновесным характером несмешивающегося вытеснения в пористой среде. В основу подхода положено использование метода локального осреденения уравнений баланса по пространству.

Влияние неравновесных эффектов на фильтрацию газожидкостных систем изучается в работах Б. М. Панфилова [52, 53].

Следует отметить и более раннюю работу А. К. Курбанова [28], в которой введены понятия перекрёстных фазовых проницаемостей, отражающие тот факт, что часть активной фазы находится в дисперсном состоянии и переносится потоком второй фазы. Модель характеризуется матрицей четырех функций ОФП.

Исследования корректности краевых задач двухфазной релаксационной фильтрации (согласованность начальных и граничных условий) и поведения скачка насыщенности для произвольного ядра релаксации проведены в [27, 50].

В работе [30] предлагается би-параболическая математическая модель фильтрации в пористых средах в условиях существенной неравновесности (релаксационная фильтрация). Вводятся специальные граничные режимы для би-параболических полей давления. Рассматриваются задачи би-параболической фильтрации в пластах конечной протяженности.

Движение газированной жидкости в пористых средах в переходных условиях (фильтрация при давлениях ниже давления насыщения) является классической проблемой, продолжающей оставаться в центре вопросов подземной гидродинамики, решению которой посвящены работы многих ученых. Изотермическая фильтрация газожидкостной смеси при давлении ниже давления насыщения рассматривается в рамках классической модели Маскета-Мереса [35], причем согласно экспериментам Викова-Ботсета [79], относительные фазовые проницаемости для жидкости и газа считаются монотонными функциями насыщенности.

Однако относительно недавно получены экспериментальные данные, находящиеся в противоречии со сложившимися представлениями о физике процесса [9, 33].

В работе [9] обнаружено аномальное увеличение расхода газированной жидкости в области давления насыщения и уменьшение его при дальнейшем снижении уровня давления, что необъяснимо в рамках классического подхода. Авторы работы объясняют этот эффект докритическим зародышеобразованием (накоплением в пористой среде и последующим выносом мельчайших газовых пузырьков), приводящим к уменьшению объемной вязкости газожидкостной смеси. Но это уменьшение составляет всего 10 - 15%, тогда как расход возрастает в 2,5 - 3 раза [9]. Анализ диаграмм изменения газонасыщенности во времени, проведенный в [33], приводит к заключению о неоднородности потока. На общем фоне роста газонасыщенности по мере увеличения объёма прокачки наблюдаются частые колебания её в отдельных сечениях пласта.

Попытка объяснить аномальное увеличение расхода газированной жидкости в области давления насыщения в рамках схемы «газового подшипника» предпринята в [71]. Однако не рассмотрены условия устойчивости стационарных режимов и не учитывается тот факт, что механизм проскальзывания жидкости проявляется только в области давления насыщения [70], когда пористая среда занята в основном жидкостью с изолированными газовыми пузырьками (зародышами).

Исследование устойчивости движения газожидкостных систем в предпереходных условиях дано в работе [66]. Показано, что при определенных режимах движения возможно возникновение периодических и стохастических автоколебаний.

В [60] рассмотрено изотермическое течение газированной неньютоновской жидкости в капилляре однородных и неоднородных простых средах в докритической области. Найдено стационарное решение для течения степенной (Оствальда-Вейля) жидкости при наличии проскальзывания в капилляре и пористой среде. Показано, что при фильтрации газированной неньютоновской жидкости в докритической области возможна существенная модификация реологических характеристик.

В [43] на примере задачи о вытеснении воды газом исследовано \ влияние на динамику потока неравновесных эффектов, возникающих из-за образования эмульсий каждой из фаз (газовых пузырьков в воде и водяной пыли в газе). Неравновесные эффекты проявляются в изменении формы кривых фазовых проницаемостей (они становятся выпуклыми) и пороговых насыщенностей фаз в ходе фильтрации. Для описания такого рода эффектов используется кинетическое уравнение, время релаксации в котором обратно пропорционально скорости фильтрации. Рассмотрен случай, когда вытесняемая газом жидкость сама газирована, а объемная концентрация газовых пузырьков постоянна. i

Авторами работы [44] в задачах неравновесной фильтрации предлагается методика разделения времени по процентам, когда неравновесный процесс, связанный с релаксацией в законе фильтрации, в поведении количества жидкости в элементарном объеме или с фильтрацией жидкости в трещиновато-пористых пластах протекает значительно быстрее, чем весь нестационарный процесс в целом. Тогда, согласно этому методу, можно ввести короткое время, отвечающее за релаксационный процесс, и длинное время, соответствующее нестационарному процессу в целом.

В [29] изложены экспериментальные данные о течениях i газосодержащих жидкостей в пористых средах. Отмечена адсорбция газа в пористом слое до предельного (начального) градиента фильтрации с последующим лавинообразным «срывом» газа. Цикличность «срыва» газа не изменяется при постоянной скорости потока газожидкостной смеси. Турбулизация потока ведет к стабилизации расхода газосодержащих жидкостей через пористый слой.

Влияние адсорбции - десорбции микрозародышей газа на характер фильтрации газированной жидкости исследовалось в работе [42]. Наблюдаемые в экспериментах периодические колебания расхода жидкости i и газа объясняются процессами сорбции десорбции микрозародышей газа на стенках порового пространства и их диффузией. При этом используется кинетическое уравнение, в котором скорость десорбции прямо пропорциональна концентрации адсорбированных микрозародышей и величине скорости фильтрации, а скорость • адсорбции прямо пропорциональна произведению концентрации подвижных зародышей на «концентрацию свободных мест» на поверхности пор. Исследованы стационарные решения данного уравнения. Показано, что периодические колебания расхода могут проявляться только при преобладании процессов адсорбции микрозародышей над их десорбцией.

В работе [76] отмечено, что относительная проницаемость газа зависит от насыщенности жидкой фазы, но не от свойств последней. Экспериментально показано [70], что в микрокапиллярах, ввиду адсорбции газа, происходит ослабление сцепления жидкости с поверхностью капилляра и уже при толщине 0,15нм адсорбционного слоя имеет место значительное проскальзывание жидкости, в результате чего относительная проницаемость для жидкой фазы ведет себя немонотонно.

В работе [60] рассмотрено изотермическое течение газированной жидкости в капилляре и однородных и неоднородных простых средах в докритической области. Найдено стационарное решение для течения жидкости при наличии проскальзывания в капилляре и пористой среде. Показано, что при фильтрации газированной жидкости в докритической области возможна существенная модификация реологических характеристик. В связи с этим, представляется существенный интерес дать качественную и количественную оценку влияния немонотонного изменения относительной фазовой проницаемости жидкой фазы на фильтрационные характеристики газированной жидкости.

В первой главе рассматривается неравновесный процесс вытеснения несмачивающей жидкости смачивающей в пористой гидрофильной среде (например, вытеснение нефти водой). Схема неравновесности, предложенная Г. И. Баренблаттом и А. П. Винниченко, основывается на следующих предположениях. Система «Пористая среда - одна из компонент жидкости», может рассматриваться как некоторая единая пористая среда, в которой происходит фильтрация другой компоненты. Как следствие этой гипотезы, можно записать выражения основного закона фильтрации - закона Дарси -для каждой из компонент. Функции относительных фазовых проницаемостей (ОФП) в неравновесном потоке считаются теми же, что и в равновесном, то есть являются функциями насыщенности, но зависят не от истинной водонасыщенности s, а от некоторой фиктивной водонасыщенности 7, для которой в [4] предложено кинетическое уравнение, связывающее эффективную водонасыщенность с истинной. На границе вводится нестационарное граничное условие для краевой задачи, которое учитывает особенности переходных процессов неравновесной двухфазной фильтрации.

Таким образом, краевая задача, моделирующая процесс неравновесного вытеснения двухфазной жидкости, представена следующим образом: ds SF(s) ds +-— = 0, S-s = T—, двд!; dt j(£0) = 50, s(0,e) = sk.

Здесь F {s) = f\{s)j{f2 (s) + Мо/г (Ю) ~ ФУНКЧИЯ Баклея-Леверетта; параметр fi0 = Ц\ / /j.2 - относительная вязкость; ft(s) - ОФП; ^и^ - начальная и конечная (предельная) насыщенности пористой среды вытесняющим агентом

Для поставленной задачи доказывается согласованность начальных и граничных условий в смысле существования непрерывного решения методом последовательных приближений. В случая линейного вида функции F(s) задача сводится к задаче Гурса для уравнения гиперболического типа, явное решение которого построено классическим методом Римана. Для линейной задачи приводятся асимптотические исследования некоторых аспектов неравновесности, связанные с длительностью процессов установления капиллярного равновесия.

Предложена схема для нахождения водонасыщенности в общем случае. ! Искомая водонасыщенность есть сумма функционального ряда, коэффициенты которого суть решения краевой задачи для линейного гиперболического уравнения. Построены явные формулы для членов этого функционального ряда и получено асимптотическое представление решения нелинейной задачи при малых временах релаксации.

Во второй главе рассматривается движение газированной жидкости в однородным образце пористой среды при давлениях ниже давления. Физические свойства флюида и коллектора считаются известными. Процесс предполагается изотермическим. 1

Экспериментальные исследования подобных задач [9, 32] указывают на аномальное увеличение расхода газированной жидкости в области, где давление ниже давления насыщения, которое может быть объяснено эффектом «газового подшипника» [41, 71] ведущего за счет "проскальзывания" жидкости к немонотонности зависимости относительной фазовой проницаемости жидкой фазы от газонасыщенности. Этот эффект проявляется вблизи давления насыщения и подтверждается экспериментальными исследованиями Н. В.Чураева [70].

Фильтрация газированной жидкости рассматривается в рамках теории ! многофазной многокомпонентной фильтрации [55]. Считается, что фазовые переходы имеют неравновесный характер. Обоснованием такого предположения являются, в частности, исследования Д. А. Эфроса [73], в которых отмечалось заметное запаздывание в выделении газа. Зависимость массовой концентрации растворенного газа от давления описывается классической неравновесной моделью. Релаксационные явления связаны с запаздывающим характером растворимости газа в жидкости по отношению к скорости изменения давления во времени.

Начальные и граничные условия соответствуют условиям фильтрации 1 газожидкостной смеси в модели пористой среды, на входе которой поддерживается давление выше давления насыщения, а на выходе - ниже давления насыщения.

Таким образом, краевая задача, моделирующая процесс неравновесной фильтрации газированной жидкости в переходных условиях, представляется следующей системой дифференциальных уравнений:

Здесь s - насыщенность газовой фазы; g - массовая концентрация растворенного газа в жидкой фазе; р - давление в каждой из фаз; fi -относительная фазовая проницаемость i-Pi фазы; щ - вязкость /-й фазы. Считая выделившийся газ идеальным, полагаем: где P2S - плотность газа в сечении начала газовыделения, ps - давление насыщения.

Для поставленной задачи проведён анализ устойчивости стационарных режимов фильтрации газированной жидкости с учётом немонотонности функции фазовой проницаемости жидкой фазы.

Исследования линеаризованной системы уравнений для малых возмущений с использованием подходов Бубнова-Галеркина [54] показали неустойчивость стационарных режимов течения. dg № dp dg g~gsp dt 1 - s дх дх т Начальные и граничные условия заданы следующим образом: t = 0, х>0; р = р0; g = g°e= const; t> 0, х = 0; р = р0>р/, s = 0; t> 0, x = L; p = pk <ps. p, Ps

Краевая задача решалась численно на основе консервативной конечно-разностной схемы сквозного счета, алгоритм которой аналогичен IMPES методу [1]. Данный алгоритм считается наиболее оптимальным с точки зрения точности и устойчивости.

Учет нелинейных эффектов приводит к возникновению автоколебаний давления и газонасыщенности. Характер колебаний меняется в зависимости от перепада давления, вязкости нефти, времени релаксации. Изменение этих параметров приводит к потере устойчивости предельного цикла и возникновению квазипериодического движения, переходящего затем в хаотическое. Применение процедуры Паккарда-Такенса показывает, что наблюдаемый хаос является детерминированным, и минимальное число динамических переменных, необходимых для описания колебаний в фильтрационном потоке, равно трём, что соответствует предложенной модели фильтрации.

В третьей главе исследуется влияние воды на фильтрацию газированной жидкости при давлении ниже давления насыщения в рамках модели «газового подшипника». Здесь также учитывается неравновесность, связанная с межфазными переходами в системе.

Для замыкания системы уравнений, описывающей многофазную многокомпонентную фильтрацию, необходимо задать относительные фазовые проницаемости ft. Известен ряд эмпирических зависимостей, позволяющих оценивать относительные фазовые проницаемости для нефти, газа и воды при различном их соотношении. Как показал анализ, наилучшее согласие с известными экспериментальными данными дают расчеты, выполненные по модели, предложенной X. JI. Стоуном (Stone H.L. 1973). Таким образом, предложенная здесь модель позволяет учесть эффект «газового подшипника» при фильтрации трехфазной жидкости.

Для анализа влияния водной фазы на процесс неравновесной фильтрации трехфазной жидкости в нелинейной области построено численное решение задачи. Расчёты также показали, что при определённых значениях параметров (отношения вязкостей жидкой и газовой фаз, перепада давления и времени релаксации) в области фильтрации газированной нефти возникают периодические во времени изменения давления и насыщенности. Их изменение приводит к потере устойчивости предельного цикла и возникновению сложного периодического движения. С ростом водонасыщенности упрощается структура колебаний временной зависимости давления и газонасыщенности.

Основные результаты работы формулируются следующим образом:

1. Обоснована корректность постановки задачи неравновесной двухфазной фильтрации с краевым нестационарным условием. Для линейной задачи получено точное решение и его асимптотические представления. В общем случае решение найдено в виде асимптотического функционального ряда. Предложен и апробирован на точном решении численный алгоритм расчета исходных функций, реализованный в виде программы в математическом пакете MAPLE.

2. Разработана и исследована математическая модель фильтрации газожидкостной смеси со сложными нелинейными и неравновесными свойствами, вызванными переходными условиями, в пористых средах. На основе разработанной модели реализована программа расчета гидродинамических функций в системе интегрированной разработки Delphi6. Вычислительный эксперимент показал возникновение автоколебаний газонасыщенности и давления во времени в зависимости от перепада давления, вязкости жидкости, времени релаксации.

3. Вычислительный эксперимент, проведенный для краевой задачи, моделирующей процесс фильтрации трехфазной жидкости в переходных условиях установил, что увеличение начальной водонасыщенности приводит к упрощению структуры колебаний функций газонасыщенности и давления от времени.

Полученные результаты могут быть использованы в исследовании конкретных моделей физики, химии, техники и других отраслей научных знаний. Предложенные математические модели расширяют теоретические представления о неравновесных и нелинейных эффектах в процессах фильтрации газожидкостной системы. Численный алгоритм решения задачи неравновесной двухфазной фильтрации может быть использован для решения конкретной прикладной задачи: определения относительных фазовых проницаемостей по данным нестационарных исследований образцов пористой среды.

Основные положения диссертации опубликованы в [12-17,62-65].

Автор выражает глубокую благодарность д-ру физ.-мат. наук, профессору Булгаковой Гузель Талгатовне за научное руководство работой, а также д-ру физ.-мат. наук, профессору Жиберу Анатолию Васильевичу за помощь в исследовании задачи первой главы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты диссертационной работы сводятся к следующему.

1. Обоснована корректность постановки задачи неравновесной двухфазной i фильтрации с краевыми нестационарными условиями. В случае линейного вида функции Баклея-Леверетта задача сведена к задаче типа Гурса для линейного гиперболического уравнения. Методом Римана получено точное аналитическое решение. Построены асимптотические представления решения при больших и малых значениях параметра релаксации. Для произвольного вида функции Баклея-Леверетта решение найдено в виде функционального ряда, коэффициенты которого являются решением краевой задачи для соответствующего линейного гиперболического уравнения. Построены явные формулы для членов функционального ряда и получено i асимптотическое представление решения нелинейной задачи при малых временах релаксации. Предложенный численный алгоритм расчета задачи неравновесной двухфазной фильтрации хорошо согласуется с точным решением для линейной задачи.

2. Численно решена задача неравновесной фильтрации газированной жидкости в предположении немонотонной зависимости ОФП жидкой фазы от газонасыщенности. Проведен линейный анализ устойчивости стационарных режимов фильтрации, который выявил возможность i возникновения автоколебательных режимов фильтрации. Численный анализ показал возникновение периодических во времени колебаний газонасыщенности и давления в зависимости от перепада давления, относительной вязкости и времени релаксации.

3. Для задачи неравновесной трехфазной фильтрации методом вычислительного эксперимента исследовано влияние водонасыщенности на фильтрационные характеристики фильтрационного , потока в случае

106 1 немонотонной зависимости ОФП нефтяной фазы от газонасыщенности. Установлено, что увеличение начальной водонасыщенности приводит к упрощению структуры колебаний функций газонасыщенности и давления от времени. Доказано, что размерность фазового пространства равна 3.

1. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем.-М.: Недра, 1982.-407с.

2. Ахмедов К. А. О применении идентификационных моделей при расчетефазовых превращений // Изв.вузов. Нефть и газ, 1978. №6. - С.26 - 30.

3. Баренблатт Г. И. Фильтрация двух несмешивающихся жидкостей воднородной пористой среде // Изв. АН СССР. МЖГ, 1971. №5. - С. 144 -151.

4. Баренблатт Г. И., Винниченко А. П. Неравновесная фильтрациянесмешивающихся жидкостей // Успехи механики. 1980. - №3. - С.52 -58.

5. Баренблатт Г. И., Гильман А. А. Математическая модель неравновеснойпротовоточной капиллярной пропитки // ИФЖ. 1987. - Т.52. №3. -С.456-461.

6. Баренблатт Г. И., Ентов В. И. Неравновесные эффекты при фильтрациинесмешивающихся жидкостей // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: ИТПМ, 1972. -С.ЗЗ -43.

7. Баренблатт Г. И., Ентов В. И., Рыжик В. М. Движение жидкости и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. - 211с.

8. Баренблатт Г. И., Мамедов Ю. Г., Мирзаджанзаде А. X. Неравновесные эффекты при фильтрации вязкоупругих жидкостей // Изв. АН СССР. МЖГ. 1973. - №5. - С.76 - 83.

9. Болотов А. А., Мирзаджанадзе А. X., Нестеров А. А. Реологическиесвойства растворов газов в жидкости в области давления насыщения // Изв. АН СССР. МЖГ. 1988. - №1. - С. 172 - 175.

10. Бочаров О. Б., Витовский О. В., Кузнецов В. В. Структура скачка насыщенности при неравновеном вытеснении в пористых средах // МЖГ.- 1990.-№5. -С. 97-104.

11. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: Мир, 1965. - 76с.

12. Булгакова Г. Т., Жибер А. В., Файзулин Т. А. Нелинейная задача неравновесной двухфазной фильтрации // Тезисы докладов зимней школы по механике сплошных сред. Пермь: УрО РАН, 2005. - С.46.

13. Булгакова Г. Т., Жибер А. В., Файзулин Т. А. К теории неравновесных эффектов при фильтрации неоднородных жидкостей. // Вестник УГАТУ.- Уфа: УГАТУ, 2004. Т.5. №2(10). - С.52-57.

14. Булгакова Г. Т., Файзулин Т. А. Неравновесная фильтрация газированной жидкости // Вестник УГАТУ. Уфа: УГАТУ, 2005. - Т.6. №2(13). -С.52-58.

15. Булгакова Г. Т., Файзулин Т. А. Моделирование неравновесной фильтрации трехфазной жидкости. // Материалы IX Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород: изд-во НГУ им. Лобачевского, 2006. - Т.2. - С.40.

16. Булгакова Г. Т., Жибер А. В., Файзулин Т. А. Математическое моделирвание задачи неравновесной двухфазной фильтрации // Математическое моделирование. 2006. - Т. 18. № 10. - С. 19 - 38.

17. Винниченко А. П. К теории нестационарной фильтрации несмешивающихся жидкостей в пористой среде // Изв. АН СССР. МЖГ.- 1978.-№3.-С.57-59.

18. Гулин А. В., Самарский А. А. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.-415с.

19. Дулан Э., Миддер Дж., Шиндерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 19§3. - 200с.

20. Ентов В. М. К теории неравновесных эффектов при фильтрации t неоднородных жидкостей // Изв. АН СССР. МЖГ. 1980. - №3. - С.52 -58.

21. Ентов В. М. Физико-химическая гидродинамика процессов в пористых средах. Математические модели методов повышения нефтеотдачи пластов // Успехи механики. 1981. -Т.4. №3. - С.41 - 79.

22. Ефремова Н. А. Анализ некоторых конечно-разностных схем для решения радиальной задачи о притоке газированной жидкости к скважине в пористой среде // Сб. научных трудов ВНИИ. 1976. -Вып.57. -С.68 -79. !

23. Зиновьева JI. А. Анализ влияния некоторых реальных свойств и пластовой нефти на процесс ее фильтрации в условиях режима растворенного газа // Тр. ВНИИ. 1954. - №6. - С.240 - 269.

24. Зиновьева JI. А. Приближенный метод расчета притока газированной нефти к скважинам с учетом реальных свойств пластовых нефтей // Тр. ВНИИ. 1954. - №6. - С.254 - 269.

25. Карачурин Н. Т., Кондаратцев С. А., Хасанов М. М. К обратной задаче теории двухфазной фильтрации // ПММ. 1996. - Т.60, №3. - С.489 -493.

26. Костерин А. В. Об уравнениях неравновесной фильтрации // ИФЖ. -1980. Т.39, №1. - С.77 - 80.

27. Курбанов А. К. Об уравнениях движения двухфазных жидкостей в пористой среде // Теория и практика добычи нефти. М.: Недра, 1968. -С.281 -286.

28. Кутовой А. С. К вопросу о течении газонасыщенностей жидкостей в пористых средах. Северо-Кавказский государственный технический университет. Ставрополь, 2004. - 7с.

29. Лаврин В. И., Булавацкий В. М. Математическое моделирование некоторых неравновесных фильтрационных процессов. // Доклад Национальной АН Украины. 2003. - №1. - С.37 - 43.

30. Леви Б. И., Зайдель Я. М., Шахмаева А. Г. О некоторых разностных схемах для решения задач двухфазной фильтрации несмешивающихся жидкостей // Численные методы решения задач фильтрации несжимаемой жидкости. Новосибирск: ИТПМ, 1975. - С.170 - 183.

31. Манучарянц Э. О., Юдин В. А., Мишина А. Ю. Численное моделирование неравновесного вытеснения несмешивающихся жидкостей в пористой среде // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: ИТПМ, 1987.-С.190- 195.

32. Мартос В. Н. Некоторые физические закономерности фильтрации газированной жидкости // Фильтрация, теплоперенос и нефтегазоотдача в сложных пластовых системах. М.: Недра, 1978. - Вып.9. - С.36 - 45.

33. Мартос В. Н., Рыжик В. М. Определение динамических кривых капиллярного давления методом стабилизированной зоны // Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. - №2. - С.57 - 60.

34. Маскет М. Течение однородной жидкости в пористой среде. М.;Л.: Гостоптехиздат, 1949.-628с.

35. Маскет М. Физические основы технологии добычи нефти. М.: Гостоптехиздат, 1953.-607с.

36. Медведков В. И. Расщепление потока по микроструктуре пористой среды в задачах вытеснения нефти водой // Численные методы решения задач фильтрации несжимаемой жидкости. Новосибирск: ИТПМ, 1975. -С.214- 223.

37. Медведков В. И. Условия устойчивого термодинамического равновесия ирелаксации системы пористый скелет-вода-нефть // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. -Новосибирск: ИТПМ, 1980. С. 156 - 164.

38. Меликов Г. X., Азизов М. Г. Экспериментальное исследование влияния релаксационных свойств газожидкостных систем на фильтрацию в неоднородных пористых средах // Изв. вузов. Нефть и газ. 1988. -№10. -С.35 -38.

39. Мирзаджанзаде А. X., Хасанов М. М., Бахтизин Р. Н. Этюды о моделировании сложных систем нефтедобычи. Уфа: Гилем, 1999. - , 464с.

40. Мирзаджанзаде А. X., Шахвердиев А. X. Динамические процессы в нефтегазодобыче: Системный анализ, диагноз, прогноз. М.: Наука, 1997. - 254с.

41. Михайлов Д. Н., Степанов Г. С. О влиянии адсорбции десорбции микрозародышей газа на характер фильтрации газированной жидкости // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2003. - №5. - С.106 - 114.

42. Михайлов Д. Н., Николаевский В. Н. Динамика потока в пористых средах при нестационарных фазовых проницаемостях // Изв. РАН. Мех. i жидкости и газа. 2000. - №5. - С. 103 - 113.

43. Молокович Ю. М., Шкуро А. С. Разделение времени в задачах неравновесной фильтрации // Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. 1999. -№3. - С.339 - 342.

44. Монин А. С. Гидродинамическая неустойчивость // Успехи физических наук. 1986. - Т. 150, №1. - С. 61 - 65.

45. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990. - 312с.

46. Неймарк Ю. И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978.-336с. 1

47. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред, 4.2. М.: Наука, 1987. -359с.

48. Николаевский В. Н. Математическое моделирование физико-химического воздействия на нефтеводонасыщенные пласты //

49. Фундаментальные проблемы нефти и газа. М.: ГАНГ, 1996. - Т.4. -С.265 -280.

50. Осипов П. П., Балаян Н. М. Классификация линейных релаксационных моделей двухфазной фильтрации // ИФЖ. 1987. - Т.53, №2. - С.253-258.

51. ОСП 39-235-89. Нефть. Метод определения относительных фазовых проницаемостей в лабораторных условиях при совместной стационарной фильтрации. М.: Миннефтепром, 1989, - 23с.

52. Панфилов М. Б., Панфилова И. В. Осредненные модели фильтрационных ( процессов с неоднородной внутренней структурой. М.: Наука, 1996. -383с.

53. Панфилов М. Б. Панфилова И. В. Осредненная модель с капиллярной неравновесностью для двухфазного течения в сильнонеоднородной среде // Изв. РАН. МЖГ. 1998. -№3. - С.93 - 103.

54. Петров Г. И. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости // ПММ. 1940. - Т.8, №3. - С.З - 12.

55. Розенберг М.Д., Кундин С.А., Курбанов А.К., и др. Фильтрация газированной жидкости и других многокомпонентных смесей в • нефтяных пластах. М.: Недра, 1969. - 456 с.

56. Сабитов К. Б. Уравнения математической физики. М.: Высшая школа, 2003.-263с.

57. Самарский А. А. Теория разностных систем. М.: Наука, 1983. - 611с.

58. Соболев С. JI. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. -443с.

59. Соловьёва Е. Н., Успенский А. Б. Схемы сквозного счета численного решения краевых задач с неизвестными границами для одномерных уравнений параболического типа // Численные методы в газовой динамике. М.:МГУ, 1975. - Вып.4. - С.З - 23.

60. Сулейманов Б. А., Азизов X. В. Об особенностях течения газированной жидкости в пористом теле // Коллоидный журнал. ,1995. - №6. - С.862 -867.

61. Сулейманов Б. А. Об эффекте проскальзывания при фильтрации газированной неньютоновской жидкости // Коллоидный журнал. 1999. -61, №6.-С.847 -851.

62. Файзулин Т. А. Метод Римана решения задачи Гурса для линейных уравнений неравновесной двухфазной фильтрации // Математическое моделирование и краевые задачи. Самара, 2004. -Ч.З. -С.221- 223.

63. Файзулин Т. А. Точное решение краевой задачи для нелинейных уравнений двухфазной фильтрации // «Актуальные проблемы математики. Математические методы современного естествознания». -Уфа: УГАТУ, 2004. С.234 - 241.

64. Файзулин Т. А. Об одной модели неравновесной двухфазной фильтрации // Наука. Технологии. Инновации. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. -Ч.1.-С.136- 138.

65. Файзулин Т. А. Приближенно-аналитическое решение нелинейной задачи неравновесной двухфазной фильтрации // Вестник УГАТУ. Уфа: УГАТУ, 2005. - Т.6, №2(13). - С.209 - 213.

66. Хасанов М. М. Исследование устойчивости фильтрации жидкостей с зародышами газа // Изв. АН СССР. МЖГ. 1994. - №2. - С.66 - 72.

67. Цыбульский Г. П. Уравнения макронеравновесной фильтрации // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1985. -Т.16. №5. - С.133 - 140.

68. Цыбульский Г. П. Уравнения неравновесной двухфазной фильтрации // i Численные методы решения задач фильтрации несжимаемой жидкости. -Новосибирск: ИТПМ, 1977. С.203 - 213.

69. Чарный И. А. Подземная гидромеханика. М.: Гостоптехиздат, 1963. -396с.

70. Чураев Н.В. Физикохимия процессов массопереноса в пористых телах. -М.: Химия, 1990.-.271с.

71. Шагапов В. Ш. О фильтрации газированной жидкости // ПМТФ. 1993. -№5.-С.97- 105.

72. Шалимов Б. В. Численное моделирование одномерной трехфазной ' фильтрации // Изв. АН СССР. МЖГ. 1975. - №6. - С.59 - 66.

73. Эфрос Д. А. Исследования фильтрации неоднородных систем. JL: Гостоптехиздат, 1963.-351с.

74. Юхно А. В. Нестационарная фильтрация 3-фазной смеси с учетом гравитации // ИФЖ. 1976. - Т.31. №2. - С.355 - 362.

75. Buckley S., Leverett М. С. Mechanism of fluid in sands // Trans. AIME. 1942. V.146. P.107-116.

76. Dana E. Skoczylas Р.Относительная проницаемость газа и пористаяструктура песчаников. // Int.J. Rock Mech and Mining Sci. 1999. 36 №5, C. 613-625. Англ.

77. Leverett M. C. Flow of oil water mixtures through unconsolidated sands. Trans AIME. - 1939. - V.132. - P. 152- 159.

78. Rappoport L. A., Leas W. I. Properties of linear water floods // Trans. AIME. - 1953.-V.198.-P.139- 148.

79. Wycoff R. D., Botset H. F. Flow of Gas-Liquid Mixtures through Unconsolidated Sands // Physics. 1936. - V.7, №9. - P.325.