автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование эволюции двумерной границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях грунта

ВОЕННО-ВОЗДУШНАЯ ИНЖЕНЕРНАЯ АКАДЕМИЯ имени профессора Н.Е. ЖУКОВСКОГО

На правах рукописи ФЕДЯЕВ ЮРИЙ СЕРГЕЕВИЧ

УДК532.546

Математическое моделирование эволюции двумерной границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях грунта

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре теоретической физики ГОУ ВПО «Орловский государственный университет»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук,

профессор

В.Ф. Пивень

доктор физико-математических наук,

профессор

Е.В. Захаров

доктор физико-математических наук, доцент

А.В. Сетуха

Институт вычислительной математики РАН

Защита состоится « »

2005 года в

¡S-

оо

часов

на заседании диссертационного совета Д 215.001.01 Военно-воздушной инженерной академии имени профессора Н.Е. Жуковского по адресу: 125190, г. Москва, ул. Планетная, д. 3.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Военно-воздушной инженерной академии имени профессора Н.Е. Жуковского.

Автореферат разослан «

-2S

2005

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физико-математннекнжназнаук

•С. ^Ненашев

В автореферате пронумеровано 21 стр.

Общая характеристика работы

Актуальность исследования. Задачи совместной фильтрации двух и более жидкостей в пористых средах привлекают внимание многих исследователей. Объясняется это тем, что к таким задачам приводит эксплуатация нефтяных и газовых месторождений, работа водозаборов, подземное захоронение жидких промышленных отходов.

Как правило, грунт в котором происходит фильтрация неоднороден. В естественных условиях встречаются различные типы неоднородности пористых сред. Это протяжённые непроницаемые участки (сбросы), полости со свободной жидкостью (каверны), плохо проницаемые глинистые породы, трещиновидность среды, изменчивость свойств среды по площади и толщине. Неоднородности природных пластов оказывают сильное влияние на движение границы раздела жидкостей. Одной из актуальных проблем практики является изучение степени влияния неоднородности пласта на процесс фильтрационного течения.

Практически значимы задачи, связанные с совместной фильтрацией двух и более жидкостей в однородных и неоднородных средах. В математическом отношении эти задачи являются одними из наиболее сложных. Поэтому был построен ряд математических моделей, позволяющий исследовать этот процесс.

Наиболее простой является модель «разноцветных» жидкостей. В этой модели полагают, что физические характеристики жидкостей (вязкости и плотности) одинаковы. Граница раздела жидкостей представляет собой линию отмеченных частиц. Эта модель получила широкое применение, так как она позволяет получить решения ряда задач в конечном виде. В общем случае параметрические уравнения движения границы раздела «разноцветных» жидкостей в неоднородных и анизотропных слоях получены О.В. Голубевой.

Следующей по сложности является модель «поршневого» вытеснения (модель Лейбензона-Маскета). В этой модели одна жидкость вытесняет другую полностью, в результате чего граница раздела жидкостей является резкой. Вытесняющая и вытесняемая жидкости имеют различные физические свойства.

Для решения двумерных задач «поршневого» вытеснения используется ряд методов. Так И.А. Чарным был разработан приближённый метод жестких трубок тока. В «поршневой» модели, впервые предложенной Л.С. Лейбензоном, вязкость вытесняющей жидкости полагалась равной нулю. В этом случае граница раздела всё время остаётся контуром постоянного давления и задача допускает аналитическое решение. Первые решения в такой постановке были получены работах

П.Я. Полубариновой—Кочиной и Л.А. Галина. Эта модель широко применяется при исследовании устойчивости движения границы раздела жидкостей. Наиболее известными являются исследования течений в щелевом лотке, проведённые Сафменом и Тейлором.

Для решения задач «поршневого» вытеснения широко используются методы теории потенциала. Впервые потенциал простого слоя для решения обратных задач с подвижной границей применил Г.Г. Тума-шев. Этот подход был развит В.Л. Даниловым, который предложил способ сведения задач взаимного вытеснения несжимаемых жидкостей к одному или системе интегро-дифференциальных уравнений. Для решения интегро-дифференциальных уравнений движения границы раздела жидкостей были разработаны различные методы, которые широко использовались многими исследователями.

Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что часть вытесняемой жидкости остаётся за фронтом вытеснения и извлекается вместе с вытесняющей жидкостью. При вторичной разработке месторождения необходим учет неполноты вытеснения. В этом случае используются модели двухфазной (многофазной) фильтрации.

Модель фильтрации двух несмешивающихся жидкостей с использованием фазовых проницаемостей и в предположении несжимаемости жидкости была предложена Бакли и Левереттом (модель Бакли—Леве-ретта). Но эта модель не учитывает влияния капиллярных сил. Совершенствуя её Рапопорт и Лис предложили метод их учёта (модель Рапопорта—Лиса, которую также называют моделью Маскета—Леверетта). Уравнения течения неоднородных жидкостей в общих предположениях были даны М. Маскетом и М. Мересом, рассмотревших изотермические процессы при наличии трёх фаз (вода, жидкость, газ). Модели основанные на уравнениях Маскета—Мереса называют моделями черной нефти. Для расчёта многофазных фильтрационных течений получили распространение численные методы, основанные на различных способах конечно-разностной аппроксимации исходной системы нелинейных уравнений в частных производных.

В данной работе для решения задач о эволюции границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-неоднородных слоях применяется метод интегральных уравнений. Использование теории потенциала для линейных задач фильтрации позволяет перейти от двумерных (трёхмерных) дифференциальных уравнений к сингулярным и гиперсингулярным интегральным уравнениям, записанным на кривых (поверхностях). Это понижает размерность уравнений задачи и сокращает объём вычислений.

Метод интегральных уравнений широко применяется при решении граничных задач теории фильтрации. Так в работах В.Ф. Пив-ня, И.К. Лифанова, А.А. Аксюхина, М.А. Фролова, С.Л. Ставцева, А.А. Квасова с его помощью исследованы двумерные и трёхмерные задачи сопряжения в неоднородных слоях грунта. Изучена работа системы скважин в кусочно-неоднородных пластах с проводимостью, моделируемой степенной, гармонической и метагармонической функциями координат. В ряде работ Д.Н. Никольского изучено продвижение границы раздела жидкостей различной вязкости в однородных и неоднородных (степенных) слоях грунта.

Из приведенного обзора следует, что в известных трудах не исследованы задачи о движении границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях с произвольными границами сопряжения этих слоев и области фильтрации в случае первоначально произвольной подвижной границы.

Целью работы является построение и исследование новых математических моделей эволюции двумерной границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях грунта. На основе этих моделей изучить влияние неоднородности слоев, различия вязкостей и границы области фильтрации на движение границы раздела жидкостей.

Научная новизна и теоретическое значение работы состоят в следующем:

1. Построены и исследованы новые двумерные математические модели эволюции границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных степенных слоях. Область фильтрации может быть ограничена непроницаемыми и эквипотенциальными линиями. Граница раздела жидкостей различной вязкости, границы сопряжения слоев и области фильтрации моделируются кривыми класса Ляпунова.

2. Поставлена двумерная задача о нахождении поля скоростей и движения границы раздела жидкостей. Впервые эта задача формулируется для поля скоростей, что позволяет её свести к эволюционной задаче для системы интегральных и интегро-дифферен-циальных уравнений. При решении используется вихревой слой. Это понижает сингулярность полученных интегральных уравнений и учитывает условие на бесконечности. Если необходимо найти только положение подвижной границы, то можно опустить этап определения поля скоростей в пласте.

3. Получены в конечном виде решения новых задач о движении границы раздела «разноцветных» жидкостей в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях грунта. Эти решения использованы как тестовые.

4. Исследовано влияние различия вязкостей, неоднородности грунта, границ сопряжения слоев и границ области фильтрации, а также положения скважин на эволюцию границы раздела жидкостей.

Отметим, что предложенные модели могут быть применены для исследования явлений и процессов различной физической природы, которые описываются уравнениями такого же математического вида, как и используемые в работе.

Практическая значимость. Построенные модели применены к актуальным задачам практики в случае кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоев. Решены конкретные задачи, возникающие при разработке нефтеносных (водоносных) слоев грунта сложной геологической структуры, захоронении жидких промышленных отходов. Результаты исследований могут быть использованы в природоохранных мероприятиях для нахождения условий работы водозаборов без загрязнения.

Для модели «разноцветных» жидкостей и канонических границ сопряжения слоев и области фильтрации найдены формулы для определения времени достижения границ области фильтрации и времени заводнения (загрязнения) эксплуатационных скважин. В случае двумерного движения жидкостей различных вязкостей эти величины найдены численно.

Исследовано влияние на эволюцию границы раздела жидкостей различия вязкостей, границы сопряжения слоев, степени неоднородности слоя и границ области фильтрации. Это позволило указать критерии использования более простых моделей движения жидкостей вместо сложных численных расчетов.

Достоверность результатов работы обеспечивается применением строгого математического аппарата и подтверждена сопоставлением полученных в ней результатов с известными результатами, найденными на основе более простых моделей.

Апробация работы. Работа в целом докладывалась на заседаниях научного семинара «Проблемы гидродинамики» кафедры теоретической физики Орловского госуниверситета (рук. профессор В.Ф. Пи-вень), «Интегральные уравнения» факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова (рук. профессор Е.В. Захаров и профессор И.К. Лифанов), на

заседании кафедры теоретической физики Орловского госуниверситета (зав. кафедрой профессор В.Ф. Пивень).

По мере получения основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на заседаниях научного семинара «Проблемы гидродинамики», ежегодных научных конференциях Орловского госуниверситета (1999 — 2004 г.г.), XI Международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (МДОЗМФ - 2003) (Харьков-Херсон, 2003 г.). Также результаты работы были представлены в виде докладов на конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели» (Челябинск, 2002 г.), Восьмой и Девятой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых учёных (Екатеринбург, 2002 г.; Екатеринбург-Красноярск, 2003 г.), VIII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 2002 г.), Международной конференции молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2002 г.), IV Всероссийской конференции молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003 г.), Международной конференции по вычислительной математике (Новосибирск, 2004 г.), Международной научной конференции «Интегральные уравнения и приложения в физике, механике и медицине» (Кишинёв, 2004 г.). Часть результатов докладывалась и опубликована в Трудах IX, X, XI Международных симпозиумов и Трудах Международных школ-семинаров МДОЗМФ.

На защиту выносятся: построенные и исследованные новые математические модели двумерного движения границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях грунта.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка использованной литературы, пяти приложений и 137 иллюстраций. Общий объём работы составляет 191 страницу. Библиография содержит 185 наименования.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведён обзор литературы по теме исследования, указана цель работы и её новизна, показана теоретическая и практическая значимость результатов исследований и их достоверность. Введение заканчивается кратким изложением основного содержания диссертационной работы.

В первой главе, следуя работам В.Ф. Пивня, ставится задача об эволюции границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-неоднородном слое грунта. Рассматривается двумерная линейная фильтрация несжимаемой жидкости в тонком неоднородном и недефор-мируемом слое проводимости Р(М) — К(М)Н(М), где М — точка в плоскости основания слоя, К(М) — коэффициент проницаемости слоя, Н(М) —его толщина. Проводимость Р(М) > 0 является непрерывной с первыми частными производными функцией координат. В работе проводимость моделируется постоянной функцией (однородный слой) либо степенной функцией (неоднородный слой). Движение жидкости вызвано источниками и стоками течения, которые являются особыми точками поля скоростей. Они моделируют работу совершенных нагнетательных и эксплуатационных скважин. Поле скоростей жидкости в области течения В, за исключением особых точек, удовлетворяет известной системе уравнений, которая в безразмерных величинах имеет вид:

Здесь « = «(Л*М), К = К(М), Нг=Н{М), МеД время.

Неподвижная граница Г делит область фильтрации В на области в которых слой характеризуются проводимостями (см. рис. 1). Полагаем, что Р„ = к„Р (А:„—постоянные), и = 1,2. Скачок проводимости на границе Г обусловлен изменением коэффициента проницаемости слоя (толщина слоя Н непрерывна).

(1)

У Л

О

х

Рис. 1. Область фильтрации

В области фильтрации D также присутствует изменяющаяся область Dt: ограниченная кривой Г[. В области Dt движется жидкость постоянной вязкости /¿2, а вне этой области находится жидкость постоянной вязкости

Область фильтрации может быть ограничена непроницаемой границей ¿1 и эквипотенциальной границей В области течения D также может присутствовать сингулярная линия Lq. Если проводимость слоя на ней обращается в ноль, обозначим её Loi- Когда же проводимость слоя на сингулярной линии обращается в бесконечность, обозначим её Ьог- Сингулярная линия Lo = L01UL02 служит границей области фильтрации D. Таким образом, под областью течения D понимается D = D\ U Di. Обозначим С = Г U Tt U Li U L2 — контур, который обходится по часовой стрелке.

При отсутствии границ Г = = 1), Г( = /.¿2 — 1), и ¿2 известно невозмущённое поле скоростей Vo(M,t). Это поле скоростей учитывает наличие особых точек течения в области фильтрации D. Положение особых точек поля скоростей произвольно, а их мощности могут меняться со временем. Тогда невозмущённое поле скоростей имеет вид:

v0{M,t) = f^qi{t)Fi{M,M0l) (2)

где m—число источников (стоков), q,(t) — их мощности. Вид функций Д(М, Mo,) зависит от закона изменения проводимости слоя. Они имеют

сингулярность т Hjz-z-г точках нахождения особенностей Мщ-

\гм ~

Скорость V(j(M,t) удовлетворяет уравнениям (1) и граничному условию на сингулярной линии Представим искомое поле скоростей следующим образом

v{M,t)=vo(M,t) + V(M,t), (3)

где V(M, t) — скорость возмущения, вызванного наличием границ Г, Г(, Ь\ И ¿2-

Так как vo{M,t) непрерывна на границах Г, Г^, L\ и L2, то скорость возмущения также должна удовлетворять уравнениям (1) и со-

ответствующим условиям на этих границах. На границе Г выполняются условия сопряжения для нормальной и касательной составляющей скорости возмущения, которые имеют вид:

(1 - Ak)V+(M,t) - (1 + Xk)VT~(M,t) = 2Аkvor(M,t), v+(M,t) = v-(M,t), xk = (h - fc2)/(fc! + h), Me т. w

Здесь и далее «+» («-») обозначены предельные значения соответствующих величин при подходе к границе со стороны нормали п (или противоположной стороны).

Полагаем, что при движении одна жидкость полностью замещает другую («поршневое» вытеснение) и капиллярные силы пренебрежимо малы. Тогда на подвижной границе Г( выполняются условия непрерывности давления и расхода жидкости:

(1 - A„)V;+(M,i) - (1 + AJV-{M,t) = 2А^0т{ЛМ), V+(M,t) = V~(M,t), Ам = ((¿2 - M 6 Tt. (5)

Когда область фильтрации D ограничивает кривая L\, то на ней выполняется условие непроницаемости:

На границе Li выполняется условие постоянства давления:

На сингулярной линии выполняется условие отсутствия расхода жидкости или постоянства давления:

H(M)Vn{M,t) = 0, M 6 loi, (8)

Если область D содержит бесконечно удалённую точку, то потребуем затухания скорости возмущения на бесконечности

(10)

где р(М, С) — расстояние между точкой М и контуром С.

Границу описываем параметрическим уравнением гм — (¿iа) (а — параметр). В начальный момент времени её положение известно:

(11)

Уравнение движения границы запишем в виде:

Таким образом, нахождение поля скоростей v(M, t) и положения границы сводится к отысканию скорости возмущения удовлетворяющей уравнениям (1), условиям (4) — (10) и интегрировании дифференциального уравнения (12) при начальном условии (11).

Полагаем, что кривые в любой момент времени можно

моделировать кривыми класса Ляпунова. Следуя В.Ф. Пивню будем искать скорость возмущения У(М,Ь) в виде потенциала вихревого слоя, непрерывно распределённого с плотностями §(N,1), f(N,t), {^У, £) и 0 на границах Г, Г*, Ь\ и Ьг соответственно:

Здесь У^(М,ЛГ) = УЬ{М,И)/К{Щ, Ув{М, Ы) —скорость в точке М от нормированного вихря, соответствующего уравнениям (1), который расположен в точке N. Если область Б ограничивает линия £о, то УВ (М, Ы) удовлетворяет условиям (8) и (9).

Скорость возмущения (13) удовлетворяет условию (10). Непрерывно продолжая У(М,Ь) на контур С, получаем её предельные значения:

=?(М,4) ± Щ^гм, МеС.

(14)

Здесь под понимается прямое значение скорости возмущения

(13) на контуре —плотность распределения вихрей на соот-

ветствующей части этого контура.

Подставляя (14) в граничные условия (4)-(7), получаем систему неоднородных интегральных уравнений первого и второго рода:

д{М,1) - 2\кУг{Мл1) = 2ХкЩг{М,£), М € Г;

- 2\„УТ(М,1) = 2А„«от(ад, М 6 Г4;

Уп(М,г) = -ио„(ВД, Мб!,;

^^ + УТ(М,I) = -вог(М,«), М е Ь2,

(15)

(16)

(17)

(18)

где обозначено УТ(М^) = У{М,Ь) ■ тм, У„(М,1) — У(М,£) ■ пм, а ско рость щ{М,¿) имеет вид (2).

Уравнение движения границы (12) примет вид:

бхм

<И

= {г0(м,ь) + У(м,1), ме г»,

где У(М, £) — прямое значение скорости (13) на границе Г г

Следовательно, нахождение скорости и положения границы

в любой момент времени сводится к решению эволюционной задачи для системы уравнений (13), (15) — (19) при начальном условии (11).

Если необходимо найти только положение грапицы Г(, то можно уменьшить число уравнений в полученной системе. Для этого исключим /(М, £) из уравнения (19). Умножив (19) скалярно на единичный вектор касательной тм в точке М границы Г( и используя уравнение (16), имеем ^

Подставляя (20) в (19) получаем векторное интегро-дифференциальное уравнение движения границы

Используя равенство (20) из (15), (17) и (18) имеем интегральные уравнения для определения плотностей Следовательно, изучение движения границы сводится к эволюционной задаче для системы интегро-дифференциального (21) и интегральных уравнений (15), (17) и (18) при начальном условии (11).

Решение поставленной задачи значительно упрощается, когда границы Г, Ь\ и ¿2 имеют канонический вид (прямая, окружность). В этом случае иногда удаётся выбрать невозмущённое поле скоростей щ{М,Ь) и скорость вихря Ув (М,/V) таким образом, что граничные условия на границах Г, Ь\ и Ь^ выполняются. Тогда исследование задачи сводится к решению интегро-дифференциального уравнения

Заметим, что в случае отсутствия границ Г, Ь\ и ¿2 интегро-диффе-ренциальное уравнение движения границы имеет тот же вид (22). В указанных случаях нахождение положения границы в любой момент времени сводится к эволюционной задаче для интегро-дифференциаль-ного уравнения (22) при начальном условии (И).

Полученная система уравнений решается численно на основе методов дискретных особенностей развитых в трудах С.М. Белоцерковского, И.К. Лифанова и других исследователей. Используя этот подход записывается дискретный аналог основной системы уравнений и решение эволюционной задачи сводится к последовательному решению системы линейных алгебраических уравнений.

Метод дискретизации позволяет решать полученную систему уравнений для границ, моделируемых кусочно-гладкими кривыми класса Ляпунова, что расширяет класс задач доступных для исследования.

Вторая глава посвящена построению и исследованию новых математических моделей плоскопараллельного движения границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-однородных слоях грунта. Изучено радиальное движение границы раздела жидкостей. Это точное аналитическое решение используется для оценки сходимости численных методов решения исследуемой задачи. Также полученные решения сопоставлены с известными результатами В. Л. Данилова и Д.Н. Никольского. При вытеснении вязкой жидкости жидкостью с малой вязкостью движение границы неустойчиво. Для расчёта в этом случае используется метод регуляризации, предложенный А.В. Сетухой.

В работе исследована эволюция границы раздела жидкостей от нагнетательной скважины при наличии границы сопряжения слоев грунта. Скважина работает с постоянным дебитом и находится на характерном расстоянии й от границы сопряжения слоев. Граница Г моделируется прямой линией, окружностью, и эллипсами. В случае модели «разноцветных» жидкостей для границы сопряжения слоев в виде прямой линии и окружности аналитически найдено поле скоростей и время достижения границы Г. Исследовано влияние различия вязкостей (параметра и различия проницаемостей (параметра на движение границы и время

Во всех рассмотренных случаях установлено, что при (об-

ласть более проницаема) с увеличением вязкости нагнетаемой жидкости (параметра время увеличивается, а при время уменьшается. При движение жидкости является практически радиальным.

Исследована эволюция границы от нагнетательной скважины в кусочно-однородном слое, ограниченном прямолинейной непроницаемой границей Ь\ или эквипотенциальной границей ¿2- Граница сопряжения слоев Г моделируется прямой линией, ортогональной границе области фильтрации, и окружностью. Для прямолинейной границы Г в случае одножидкостной модели аналитически найдено поле скоростей.

Было установлено, что наибольшее влияние на движение жидкости оказывает прямая граница сопряжения слоев Г. При достижении границей линии сброса Ь\ жидкость начинает растекаться вдоль неё. В качестве примера на рис. 2 показана эволюция границы в этом случае при = 0,5. За характерный размер выбиралось расстояние

от скважины до границы Г. Характерное время равно времени Тг при и отсутствии линии сброса.

Вблизи границы сопряжения слоев и линии сброса разбиение подвижной границы становится сильно неравномерным. Поэтому при расчётах граница на каждом шаге по времени интерполировалась сплайнами и разбивалась заново. Так на рис. 2 тонкой линией показаны положения границы полученные без её интерполяции, а толстой — полученные при интерполяции границы линейными сплайнами.

Наличие линии сброса вызывает уменьшение времени Тг, то есть жидкость быстрее достигает границы сопряжения слоев. При А* = 1 область моделирует непроницаемое включение. В этом случае граничные условия на границе Г и границе совпадают. На непроницаемой границе имеет место сингулярное интегральное уравнение первого рода для численного решения которого используется предложенный И.К. Лифановым метод регуляризации. Были рассмотрены непроницаемые границы Г в виде прямой и окружности. При сопоставлении полученных численных решений со случаем аналитического учёта непроницаемых границ установлено хорошее соответствие.

На рис. 3 показана эволюция границы Г в кусочно-однородном слое, ограниченном эквипотенциальной границей Линия моделирует границу области фильтрации со свободной жидкостью. При достиже-

нии границей Ге эквипотенциальной границы £2 нагнетаемая жидкость начинает попадать в бассейн со свободной жидкостью и загрязнять его. Поэтому важное значение имеет время Ть достижения границей линии ¿2- В качестве характерного времени в этом случае выбирается время Ть при А]ъ = 0 и Ам = 0, которое находится аналитически.

Установлено, что с увеличением вязкости нагнетаемой жидкости (параметра время увеличивается для всех значений параметра Ад.. При увеличении параметра А& (уменьшении проницаемости области Б?) время Ть уменьшается. При Ам —> 1 имеет место практически радиальное движение границы и время практически постоянно для всех значений параметра

В работе исследована эволюция границы раздела жидкостей от нагнетательной к эксплуатационной скважине в кусочно-однородном слое. Скважины работают с одинаковыми по модулю дебитами. Область представляет собой включение, находящееся между скважинами. Граница сопряжения слоев Г моделируется окружностью, эллипсами и прямоугольником. В случае модели «разноцветных» жидкостей для границы Г в виде окружности аналитически найдено время по истечении которого нагнетаемая жидкость попадёт в эксплуатационную скважину и будет загрязнять откачиваемую жидкость.

Изучено влияние на время Т2 параметра А к, положения и формы границы сопряжения слоев. Было установлено, что для каждой границы Г начиная с некоторого значения параметра меняется направ-

ление прорыва нагнетаемой жидкости к эксплуатационной скважине. При увеличении вязкости нагнетаемой жидкости (параметра увеличивается и время

Также рассмотрена эволюция границы Гг от нагнетательной к эксплуатационной скважине в кусочно-однородном слое, ограниченном непроницаемой или эквипотенциальной границей. Область представляет собой включение в виде круга, находящееся между скважинами. Изучено влияние границы области фильтрации на время Установлено, что когда скважины приближаются к непроницаемой границе Ь\, то время Тг уменьшается. Если же скважины приближаются к эквипотенциальной границе ¿2» то время Тг увеличивается. Найдены условия, при которых наличием границ области фильтрации можно пренебречь.

В третьей главе построены и исследованы новые математические модели двумерной эволюции границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-неоднородных слоях, проводимость которых характеризуется степенной функцией вида

Граница сопряжения слоев моделировалась прямой линией, ортого-

нальной сингулярной линии Ьо : у = 0, и окружностью. В случае модели «разноцветных» жидкостей для границы Г в виде прямой линии аналитически найдено поле скоростей.

Изучено движение границы раздела жидкостей от нагнетательной скважине в кусочно-неоднородном слое, проводимость которого Исследовано два случая изменения проводимости слоя. В первом случае по степенному закону изменяется толщина слоя: Во

втором случае по степенному закону изменяется проницаемость слоя:

В качестве примера на рис. 4 показана эволюция границы Г( от на-

гнетательной скважины в слое Н = у , а на рис. 5 в слое Я = у . Граница Г представляет собой прямую линию, А^ = 0,5, Ац = 0,5. Видим, что при достижении границей сингулярной линии Loi нагнетаемая жидкость начинает растекаться вдоль неё. С увеличением степени неоднородности слоя движение границы замедляется.

Нарис. б показана эволюция границы Г( от нагнетательной скважины в слое К = у2, а на рис. 7 в слое К = у4. Видим, что нагнетаемая жидкость преимущественно движется в направлении увеличения проницаемости слоя (вдоль оси Оу). С увеличением неоднородности слоя это движение усиливается. Для всех рассмотренных случаев получены зависимости времени Тг от параметра для различных значений параметра А*.. Установлено, что с увеличением параметра А* время Тт возрастает. Рост времени Тг наблюдается и при увеличении неоднородности слоя (параметра 5).

Также исследована эволюция границы раздела жидкостей при работе скважины в кусочно-неоднородном слое проницаемость которого К = у~", а толщина Н = 1. Полученные решения сопоставлены с уже известными для неоднородного слоя результатами Д.Н. Никольского.

Сингулярная линия ¿02 является границей области фильтрации со свободной жидкостью. При численных расчётах исследовано влияние параметров а также степени неоднородности слоя, на время

достижения границей сингулярной линии При отсутствии границы сопряжения слоев получено выражение для времени

На рис. 8 показана эволюция границы Г( от нагнетательной скважины в слое К = у~2, а на рис. 9 в с л о^В^-д и м , что нагнетаемая жидкость преимущественно движется в направлении увеличения проницаемости слоя к сингулярной линии С увеличением неоднородности слоя это движение усиливается. После достижения границей сингулярной линии нагнетаемая жидкость попадает в бассей со свободной жидкостью и мало распространяется в области фильтрации.

В работе исследована эволюция границы раздела жидкостей от нагнетательной к эксплуатационной скважине в кусочно-неоднородном слое проводимость которого Р = у". Область D2 представляет собой

включение, находящееся между скважинами. Граница сопряжения слоев моделируется окружностью. Также исследовано два случая изменения проводимости слоя. Изучено влияние параметра Л^ на движение границы Исследовано влияние различия вязкостен жидкостей (параметра Лм) и расстояния до сингулярной линии на время Т2. Установлено, что с увеличением вязкости нагнетаемой жидкости (параметра А^) время Тг увеличивается, если расстояние до границы ¿01 больше расстояния между скважинами. При удалении от сингулярной линии зависимость стремится к зависимости, полученной для

однородного грунта. Установлено, что изменении толщины слоя оказывает более сильное влияние на время чем изменение проницаемости слоя. Найдены условия, при которых наличием сингулярной линии Ьщ можно пренебречь.

Практическая сходимость при численном нахождении времени Тг в слое К = у2 при А*; = 0,5 и А^ = 0,5 представлена в следующей таблице.

Здесь п — число точек разбиения подвижной границы; Т™2 — время Тг, вычисленное для данного числа точек разбиения; Т"1 — время Тг, вычисленное для предыдущего числа точек разбиения. Видим, что с увеличением числа точек разбиения параметр уменьшается, то есть наблюдается практическая сходимость численного счёта.

В работе также исследована эволюция границы раздела жидкостей от нагнетательной к эксплуатационной скважине в кусочно-неоднородном слое проницаемости К = у~'. Область Оа представляет собой включение в виде круга, находящееся между скважинами. Исследовано влияние параметров а также расстояния до сингулярной линии, на движение границы и время Найдены условия, при которых наличием сингулярной линии можно пренебречь.

В заключении излагаются основные результаты работы, которые состоят в следующем:

1. Построены и исследованы новые двумерные математические мо-

дели эволюции границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях грунта. Проводимость неоднородных слоев моделируются степенной функцией координат. Область фильтрации могут ограничивать непроницаемые и эквипотенциальные границы.

2. Для модели «разноцветных» жидкостей в случае канонических границ сопряжения слоев и области фильтрации найдено в конечном виде поле скоростей жидкости. Нахождение положения подвижной границы сведено к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений. При работе скважины в кусочно-однородном грунте получено решение для радиального движения границы раздела жидкостей различной вязкости. Найденные решения в конечном виде используются как тестовые.

3. Когда граница сопряжения слоев и границы области фильтрации моделируются кривыми класса Ляпунова и жидкости имеют различную вязкость, то исследование этих задач сведено к решению эволюционной задачи для системы интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Эта система решена численно с помощью метода дискретных особенностей.

4. Построенные математические модели применены к конкретным задачам практики, связанными с продвижением границы раздела жидкостей от нагнетательной скважины в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях грунта. Изучено влияние неоднородности слоев, различия вязкостей и границ области фильтрации на движение границы раздела жидкостей.

5. Исследована работа системы нагнетательной и эксплуатационной скважин в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях грунта. Указаны условия, при которых вместо сложных численных расчетов можно использовать более простые модели и аналитические формулы для расчёта поля скоростей и продвижения границы раздела жидкостей.

Проведённые исследования расширяют круг решённых эволюционных задач на случай движения границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях грунта. Предложенные в работе методы решения граничных задач могут быть использованы для исследования других физических процессов, описываемых аналогичными уравнениями и граничными условиями.

Автор выражает благодарность профессорам В.Ф. Пивню, И.К. Ли-фанову и Ю.В. Ганделю за оказанное внимание и поддержку при подготовке диссертационной работы.

Основные результаты диссертационной работы отражены в следующих публикациях:

1. Пивень В.Ф., Никольский Д.Н., Федяев Ю.С. Комплекс программ, предназначенный для расчёта нефтяных месторождений и решения задач мониторинга окружающей среды // Тр. XI Междунар. симп. «МДОЗМФ - 2003». Харьков-Херсон, 2003. С. 209-210.

2. Пивень В.Ф., Никольский Д.Н., Федяев Ю.С, Буравлёв И.В. Исследование работы системы скважин с подвижной границей раздела жидкостей//УШ Четаевская междунар. конф. : Тез. докл. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2002. С. 278.

3. Пивень В.Ф., Федяев Ю.С. Исследование плоскопараллелыюго продвижения границы раздела жидкостей различной вязкости методом интегро-дифференциального уравнения // Тр. X Междунар. симп. «МДОЗМФ - 2001». Херсон, 2001. С. 275-279.

4. Пивень В.Ф., Федяев Ю.С. Математическое моделирование движения границы раздела жидкостей различной вязкости в неоднородных слоях // Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели: Тез. докл. Челябинск, 2002. С. 81.

5. Пивень В.Ф., Федяев Ю.С. Математическое моделирование двумерного продвижения границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-неоднородном грунте // Вестник науки. Сб. научных работ преподавателей и аспирантов физико-математического факультета ОГУ. Вып. 2. Орёл, 2002. С. 35-39.

6. Пивень В.Ф., Федяев Ю.С. Двумерное продвижение границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-неоднородном слое // Тр. Междунар. школ-семинаров «МДОЗМФ». Орёл. ОГУ, 2002. С. 80-87.

7. Пивень В.Ф., Федяев Ю.С. Эволюция двумерной границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-неоднородном слое грунта // Тр. XI Междунар. симп. «МДОЗМФ - 2003». Харьков-Херсон, 2003. С. 211-216.

8. Пивень В.Ф., Федяев Ю.С. Исследование двумерного продвижения границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-неоднородном слое со степенным законом изменения его проводимости //Тр. Междунар. школ-семинаров «МДОЗМФ». Вып. 2. Орёл. ОГУ, 2003. С. 53-63.

9. Пивень В.Ф., Федяев Ю.С. Математическое моделирование двумерной эволюции границы раздела жидкостей в кусочно-неоднородных слоях грунта // Тр. Междунар. школ-семинаров «МДОЗМФ». Вып. 3. Орёл. ОГУ, 2004. С. 54-63.

10. Пивень В.Ф., Федяев Ю.С. Исследование влияния непроницаемой границы области фильтрации на движение границы раздела жидкостей различной вязкости // Вестник науки. Сб. научных работ преподавателей, аспирантов и студентов физико-математического факультета ГОУ ВПО «ОГУ». Вып. 3. Орёл, 2004. С. 135-140.

11. Пивень В.Ф., Федяев Ю.С. Двумерная задача сопряжения поля скоростей в кусочно-неоднородном слое грунта // Тр. Междунар. конф. по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч. II. — Новосибирск, изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2004. С. 596-601.

12. Федяев Ю.С. Продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей к скважине в степенном слое // Тр. X Междунар. симп. «МДОЗМФ - 2000». Орёл, 2000. С. 445-448.

13. Федяев Ю.С. Исследование плоскопараллельного продвижения границы раздела жидкостей различной вязкости в однородной среде // Восьмая Всерос. научная конференция студентов-физиков и молодых учёных: Тез. докл. Екатеринбург, 2002. С. 90-92.

14. Федяев Ю.С. Математическое моделирование движения границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-неоднородных слоях // Междунар. конф. молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям: Тез. докл. Новосибирск, 2002. С. 40.

15. Федяев Ю.С. Математическое моделирование эволюции двумерной границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-неоднородном слое грунта // IV Всерос. конф. молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям: Тез. докл. Красноярск, 2003. С. 48.

16. Федяев Ю.С. Эволюция границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-неоднородном степенном слое // Тр. всерос. научно-практической конф. «Вклад земляков-орловцев в развитие и становление российской науки, культуры и образования». Орёл. ОГУ, 2003. С. 123-126.

17. Федяев Ю.С. Двумерное движение границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-неоднородных слоях грунта // Сб. тез. Девятой Всерос. научной конф. студентов-физиков и молодых учёных: В 2 т. Т. 1. Екатеринбург-Красноярск: Изд-во АСФ России, 2003. С. 411-413.

ФЕДЯЕВ ЮРИЙ СЕРГЕЕВИЧ

Математическое моделирование эволюции двумерной границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях грунта

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 11.04.2005 Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1.0 Печать офсетная. Тираж 100 экз. Заказ № 9

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии Территориального органа Федеральной службы государственной статистики по Орловской области

302001, г. Орёл, пер. Воскресенский, 24

OÔ7/^-^/3

914

i 'i

Введение

Глава 1. Постановка двумерной задачи об эволюции границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-неоднородных слоях грунта

§ 1.1. Постановка задачи

§ 1.2. Сведение задачи к системе интегральных 4 и интегро-дифференциальных уравнений

§ 1.3. Представление основной системы уравнений алгебраическими уравнениями

§ 1.4. Основная система уравнений для частных случаев.

Глава 2. Математическое моделирование плоскопараллельного движения границы

раздела жидкостей в кусочно-однородных слоях грунта

§ 2.1. Движение границы при работе скважины в однородном слое грунта.

§ 2.2. Эволюция границы при работе скважины в кусочно-однородном слое грунта.

§ 2.3. Эволюция границы при работе скважины в ограниченной области фильтрации кусочно-однородного слоя грунта.

§ 2.4. Эволюция границы от нагнетательной к эксплуатационной скважине в кусочно-однородном слое грунта

§ 2.5. Эволюция границы от нагнетательной к эксплуатационной скважине в ограниченной области фильтрации кусочно-однородного слоя грунта.

Глава 3. Математическое моделирование двумерного движения границы раздела жидкостей в кусочно-неоднородных слоях.

§ 3.1. Эволюция границы при работе скважины в кусочно-неоднородном слое проводимости Р = ys(s > 0)

§3.2. Эволюция границы при работе скважины в кусочно-неоднородном слое проводимости Р = y~s{s >0)

§ 3.3. Эволюция границы от нагнетательной к эксплуатационной скважине в кусочнонеоднородном слое проводимости Р = ys{s > 0)

§ 3.4. Эволюция границы от нагнетательной к эксплуатационной скважине в кусочнонеоднородном слое проводимости Р = y~s(s >0)

Актуальность темы и обзор литературы. Задачи совместной фильтрации двух и более жидкостей в пористых средах привлекают внимание многих исследователей: нефтяников-промысловиков, гидромехаников и математиков. Объясняется это тем, что к таким задачам приводит эксплуатация нефтяных и газовых месторождений, водозаборов, подземное захоронение жидких промышленных отходов, а также исследование других процессов, в которых одна жидкость вытесняет другую.

Как правило, грунт в котором происходит фильтрация неоднороден. В естественных условиях встречаются различные типы неоднородности пористых сред. Это протяжённые непроницаемые участки (сбросы), полости со свободной жидкостью (каверны), плохо проницаемые глинистые породы, трещиновидность среды, изменчивость свойств среды по площади и мощности (толщине) и т. д. Одними из наиболее распространённых являются неоднородности типа сброса, выклинивания, резкого перехода к пласту с другой проницаемостью [27, 33, 47, 128], а также неоднородности, связанные с изменением толщины пласта.

Неоднородности природных пластов оказывают сильное влияние на движение границы раздела жидкостей. Так на перемещение контуров нефтеносности заметно сказываются прослои с плохой проницаемостью и экраны [27, 143]. В сильно неоднородных прерывистых пластах добыча нефти может значительно снизиться вследствие неполного охвата пласта процессом вытеснения. Одной из актуальных проблем практики является изучение степени влияния неоднородности пласта на процесс фильтрационного течения. Учёт неоднородности грунтов важен также при строительстве различных гидротехнических сооружений [128], полигонов захоронения жидких промышленных отходов [38].

Изучению статических задач определения поля давления и скоростей однородной жидкости, а также дебитов скважин в неоднородных и кусочно-неоднородных средах посвящены работы многих исследователей [40, 81, 89, 130, 139]. Так в работе А.А. Аксюхина [7] приведён обзор стационарных задач фильтрации в неоднородных и кусочно-неоднородных средах. В работе М.А. Фролова [152] имеется обзор методов решения таких задач.

С точки зрения практических приложений интересны задачи, связанные с совместной фильтрацией двух и более жидкостей в однородных и неоднородных средах. Эти задачи являются одними из наиболее сложных в математическом отношении. Поэтому был построен ряд моделей, позволяющий исследовать этот процесс. Рассмотрим эти модели в порядке возрастания их сложности.

Наиболее простой является модель «разноцветных» жидкостей [43, 58], в которой полагают, что физические характеристики жидкостей (вязкости и плотности) одинаковы. Граница раздела жидкостей представляет собой линию «отмеченных частиц» [11, 155]. Эта модель широко используется, так как позволяет получить в конечном виде решения ряда задач о движении границы раздела жидкостей в канонических областях фильтрации.

В общем случае параметрические уравнения движения границы раздела «разноцветных» жидкостей в неоднородных и анизотропных слоях получены О.В. Голубевой [43, 129]. Полученные уравнения применены к решению ряда двумерных задач [41, 42, 44, 45].

В однородном грунте движение границы «разноцветных» жидкостей изучали М. Маскет (М. Muskat) [175], М.Д. Миллионщиков [88], В.Н. Щелкачев [157], Б.Э. Казарновская [67], П.Я. Полубаринова— Кочина [68], Я.М. Сулейманов [137] и многие другие исследователи. Модель одножидкостной системы для оценки влияния непроницаемой границы использовали В.Н. Щелкачев [158], Ф.Г. Гасанов, Р.А. Гусейнова, P.M. Кязимова [37].

В кусочно-однородном грунте, состоящем из двух зон различной проницаемости, движение границы «разноцветных» жидкостей рассматривали Г.И. Джалалов [59], К.Н. Джалилов, С.С. Морозова [60], Р. Коллинз (R. Collins) [73]. В работе И.В. Буравлева [20] рассмотрено движение границы в кусочно-неоднородном степенном слое при наличии поступательного потока. В этих работах границей раздела однородности слоя являлась прямая линия.

Исследованию продвижения границы раздела «разноцветных» жидкостей в неоднородных слоях посвящены работы Н.П. Петрова [96], В.Ф. Пивня [98], Д.Н. Никольского [91], И.В. Буравлева [23], а также других исследователей. Используя одножидкостную модель В.Ф. Пивень [98] рассмотрел вымывание загрязнения из хранилища в неоднородном по толщине (клиновидном) слое. Для первоначальных границ хранилища в форме полуэллипса и параболы оценён очаг загрязнения. В работе А.А. Квасова [71] модель «разноцветных» жидкостей применена для определения шлейфа вымываемого загрязнения в кусочно-неоднородных степенных слоях.

В случае, когда течение подчиняется нелинейному закону фильтрации, продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей в однородных и неоднородных средах исследовалось в трудах О.В. Го-лубевой и В.Ф. Пивня [46, 97].

В данной работе модель «разноцветных» жидкостей применена к решению новых задач и использована, как тестовая, при численном решении задач о движении жидкостей различной вязкости в кусочно-неоднородных слоях.

Следующей по сложности является модель «поршневого» вытеснения (модель Лейбензона-Маскета). В этой модели жидкости считаются несмешивающимися, взаимно нерастворимыми и химически не реагирующими одна с другой и с пористой средой. При этом они имеют различные физические свойства и одна жидкость полностью вытесняет другую, в результате чего граница раздела жидкостей является резкой.

Для решения задач «поршневого» вытеснения используется ряд методов. Так И.А. Чарным [155] предложен приближённый метод жестких трубок тока. Суть этого подхода состоит в том, что в процессе вытеснения полагается неизменной картина линий тока, существовавшая в начальный момент времени. В каждой трубке тока течение жидкости является одномерным.

Одномерные задачи вытеснения изучены весьма полно [130]. В случае линейного и радиального течения в однородных пластах получены точные решения [155, 159]. С помощью метода жёстких трубок тока в работе [156] изучены задачи о выгоднейшей расстановке батареи скважин. Использованные в этом методе допущения проверены в работе [78] на электрогенераторе. Для оценки пределов, между которыми заключено истинное движения водо-нефтяно-го контакта И.А. Чарный использовал предельные схемы однородно-анизотропных грунтов Г.К. Михайлова [155].

В «поршневой» модели, впервые предложенной JI.C. Лейбензо-ном [83], вязкость вытесняющей жидкости считается равной нулю. При таком предположении граница раздела всё время остаётся контуром постоянного давления. В этом случае двумерная задача допускает аналитическое решение. Первые решения в такой постановке были получены в работах П.Я. Полубариновой—Кочиной [127] и Л.А. Галина [35]. Было установлено, что при стягивании контура к скважине в случае начальных границ определённого вида решение теряет однолистность и на контуре возникает точка заострения.

Аналитически исследовали задачи в постановке Лейбензона также <% Н.Н. Кочина и П.Я. Кочина [75-77], П.П. Куфарев и Ю.П. Виноградов [79, 80], М.Н. Тихов [140], С.Д. Ховисон (S.D. Howison) и Ю.Е. Хохлов [154, 167, 170,171], А.Н. Варченко и П.И. Этингоф [26], а также многие другие исследователи. Для этого случая С. Ричардсон (S. Richardson) получил бесконечную серию первых интегралов движения границы раздела [179].

Теоретический результат об образовании точек заострения до того, как вытесняющая жидкость попадёт в скважину, не подтвердился в экспериментах, проведённых на горизонтальном щелевом лотке П.Я. Полубариновой-^Кочиной и А.Р. Шкирич [75], B.JI. Даниловым и Ю.А. Тепловым [57]. Объясняется это явление неучётом влияния капиллярных сил и сил инерции. Устранение точки возврата при учете межфазного натяжения в модели движения вязкой жидкости в узкой щели показано B.JI. Даниловым и Э.В. Скворцовым [56]. Отметим, что в этих опытах имеет место неустойчивость движения.

В постановке Лейбензона В.А. Карпычев [70] решал задачу о продвижении границы раздела между нефтью и водой в двухслойном пласте. В кусочно-однородном пласте, состоящем из пяти зон, вытеснение нефти газом исследовано Ф.Г. Огуджалиевым и Н.М. Га-шиевым [95]. т Наибольший успех в решении задач «поршневого» вытеснения одной жидкости другой был достигнут методами теории потенциала. В теории фильтрации эти методы первоначально использовали в статических задачах определения поля давления в кусочно-однородных пластах [28, 29, 34, 40, 48, 49]. Впервые потенциал простого слоя для решения обратной задачи с подвижной границей (задачи определения давления при заданном законе движения границы) применил Г.Г. Тумашев [144], получивший важное соотношение между плотностью простого слоя и нормальной скоростью движения границы.

Подход Г.Г. Тумашева был развит В.Л. Даниловым, который предложил способ сведения задач взаимного вытеснения несжимаемых жидкостей к одному или системе интегро-дифференциальных уравнений [50, 52, 165]. Подвижную границу он моделировал потенциалом простого слоя. Интегро-дифференциальное уравнение в ,0 этих работах записано относительно искомой функции, описывающей границу раздела жидкостей в каждый момент времени. Сведение задач вытеснения к интегро-дифференциальному уравнению требует некоторой предварительной работы, но даёт ряд преимуществ [58]. А именно, размерность уравнений этих задач снижается на единицу и становится возможным рассмотрение бесконечных областей фильтрации, что крайне затруднительно при обычном методе сеток. Этот метод хорошо приспособлен для расчёта течений с подвижными скачками либо областями больших градиентов у искомых функций.

Однако, применение этого метода накладывает ограничения на область, ограниченную контуром питания: она должна быть звездной. В общем случае граница раздела жидкостей не является звёздной и тогда решение задачи сводится B.JI. Даниловым [55] к системе двух псевдодифференциальных уравнений первого порядка и одного квазилинейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Отметим работу Ф.К. Пирмамедова [125], в которой рассмотрено движение нескольких границ раздела фаз. Исследование задачи сводится к решению интегральных (для скорости) и дифференциальных (для координат границы) уравнений.

Для решения интегро-дифференциального уравнения движения границы раздела жидкостей предложены различные методы [58]: линеаризации, степенных рядов по времени, возмущений, графо-аналитический, конечно-разностные. Развитый B.JI. Даниловым подход позволил решить большой круг задач вытеснения.

Так плоские задачи «поршневого» вытеснения нефти водой из однородного недеформируемого пласта постоянной мощности исследованы в работах B.JI. Данилова, В.В. Скворцова и A.M. Власова [58]. В случае, когда месторождение ограничено контуром питания, B.JI. Данилов предлагает использовать функцию Грина [52]. Это позволяет моделировать контур питания только каноническими кривыми, для которых функции Грина известны. Для учёта неоднородности пласта B.JI. Данилов предлагает использовать фундаментальное решение уравнения эллиптического типа, описывающего фильтрацию в рассматриваемом грунте [58].

Вертикальное перемещение поверхности раздела двух жидкостей, имеющих различные вязкости и удельные веса, к дрене в однородном пласте изучено Э.В. Скворцовым [134]. Пространственные (осесимметричные) задачи о продвижении границы раздела воды и нефти к скважине решены Ю.С. Абрамовым и P.M. Кацем [1—3]. Вытеснение нефти водой в площадных системах расстановки скважин исследуется в работах Н.К. Паведникова, P.M. Каца, Р.Т. Фазлы-ева [58] и многих других исследователей.

Задача движения границы раздела упругих жидкостей в упругих пластах с использованием тепловых потенциалов B.JL Даниловым [52] была сведена к задаче Коши для интегро-дифференциального уравнения. В работе [54] B.JI. Данилов предлагает использовать потенциал простого и двойного слоя для решения задачи о движении границы раздела двух несмешивающихся равновязких неньютоновских жидкостей под действием массовых и поверхностных сил.

В работе А. Бегматова [13] краевые задачи нестационарной фильтрации для областей с неизвестной подвижной границей сводятся к задачам для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. Приводятся результаты численного решения ряда плоских задач гидродинамической теории безнапорной фильтрации жидкости с постоянной и кусочно-постоянной плотностью на основе предлагаемого подхода. Даются точные решения соответствующих задач в линеаризованной гидродинамической постановке. Также рассмотрен ряд пространственных задач.

Моделирование процесса взаимного вытеснения вязких жидкостей в узкой щели постоянной толщины, с учетом капиллярных сил, выполнено в работах B.J1. Данилова и Э.В. Скворцова [52, 56]. Задача решалась методом нанесения на подвижную границу потенциалов простого и двойного слоя. B.J1. Даниловым и Ю.А. Тепловым [57] в ходе экспериментальных исследований найдены условия, при которых учет межфазного натяжения необходим.

Рассмотренные задачи являются прямыми задачами, в которых по заданным гидродинамическим условиям находится закон перемещения границы раздела жидкостей. Обратным задачам посвящены работы Б.А. Азимова, В.Я. Булыгина, B.JI. Данилова, В.Ю. Кима, Ю.М. Молоковича, P.M. Насырова, Ш.М. Рагимова, А.В. Рослякова, Г.С. Салехова, Г.П. Цыбульского, В.Д. Чугунова [19, 40, 52, 130]. В этих работах исследования проведены на основе моделей «разноцветных» жидкостей и «поршневого» вытеснения.

При изучении вытеснения одной жидкости другой большое значение имеет проблема устойчивости движения. Исследованием неустойчивости границы раздела двух жидкостей занимались многие исследователи. Особое место здесь занимают исследования течений в щелевом лотке Хеле—Шоу, который используется для изучения закономерностей перемещения границы раздела жидкостей в тонких пластах. Применение лотка основано на известной аналогии между уравнениями, описывающими течение в пористой среде и в узкой щели [128]. Наиболее известны работы Сафмена (Saffman) и Тейлора (Taylor) [180-182, 184] по экспериментальному и теоретическому изучению явления образования языков (fingering) в лотке Хеле—Шоу. Так при вытеснении менее вязкой жидкостью более вязкой был установлен факт неустойчивости линии раздела двух жидкостей. При этом появляются «пальцы» или «языки» менее вязкой жидкости. Течения Хеле—Шоу также рассматривались в работах С.Д. Ховисона, С. Ричардсона [168, 169, 171] и многих других исследователей [162,172, 185]. В.Я. Булыгин и Б.И. Плещинский [19] провели более сложные опыты в лотке, заполненном стеклянной крошкой. Установлено, что при вытеснении менее вязкой жидкостью более вязкой первоначальная граница раздела жидкостей, имеющая форму окружности, в последующие моменты времени принимает неправильную извилистую форму. То есть при вторжении менее вязкой жидкости в более вязкую имеет место образование языков вытесняющей жидкости.

Теоретически задача об устойчивости границы раздела нефти и воды изучена в трудах [9, 19, 58]. В большинстве работ для исследования устойчивости использована теория малых возмущений, широко применяемая в общей теории гидродинамической устойчивости. Так в работе [155] изучена проблема устойчивости перемещения кон-щ тура нефтеносности относительно бесконечно малых возмущений, а в [164] рассмотрено влияния капиллярных сил на устойчивость границы раздела. Численному исследованию устойчивости вытеснения одной жидкости другой посвящены работы [65, 66, 94].

Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что часть вытесняемой жидкости остаётся за фронтом вытеснения и извлекается вместе с вытесняющей жидкостью, хотя и не полностью. При вторичной разработки месторождения необходим учет неполноты вытеснения. В этом случае используются модели двухфазной (многофазной) фильтрации.

Одномерная модель фильтрации несмешивающихся жидкостей с использованием фазовых проницаемостей и в предположении несжимаемости жидкости была предложена Бакли (Buskley) и Левереттом (Leverett) [163] (модель Бакли—Леверетта). Среда считалась одно-ф родной, влиянием силы тяжести и поверхностного натяжения пренебрегалось. Было обнаружено, что даже при непрерывных начальных условиях образуется скачок насыщенности на фронте вытеснения.

Модель Бакли—Леверетта не учитывает влияния капиллярных сил. Совершенствуя её Рапопорт (Rapoport) и Лис (Leas) предложили метод их учёта [178]. Полученную модель фильтрационного течения называют моделью Рапопорта—Лиса (иногда её также называют моделью Маскета—Леверетта). Модели двухфазной фильтрации с учетом и без учета капиллярных и гравитационных сил рассмотрены в работах [9, 64, 124].

При неодномерном течении система уравнений двухфазной фильтрации настолько сложна, что получено очень мало точных решений [58]. Для приближённого расчёта двумерных и пространственных течений предложен метод неизменных трубок тока [130]. Первые численные расчёты неодномерных задач были выполнены Дугласом (Douglas), Писмэном (Peaceman) и Рэчфордом (Rachford) [166]. Для расчёта многомерных фильтрационных течений по моделям Бакли— Леверетта и Рапопорта—Лиса получили распространение методы, основанные на различных способах конечно-разностной аппроксимации исходной системы нелинейных уравнений в частных производных. В последнее время численному решению задач двухфазной фильтрации посвящены работы [39, 72, 74, 138]. Проблема сопряжения моделей Бакли—Леверетта и Маскета—Леверетта исследована в [17, 90, 138]. Корректность математических моделей двухфазной фильтрации для задач в точной нелинейной постановке изучена в [4].

Уравнения течения неоднородных жидкостей в общих предположениях были даны М. Маскетом и М. Мересом (М. Meres) [176], рассмотревших изотермические процессы при наличии трёх фаз (вода, жидкость, газ), находящихся в фазовом равновесии. Система настолько сложна, что решения могут быть получены, как правило, только численными методами. Модели, основанные на уравнениях Маскета—Мереса, принято называть моделями черной нефти (black oil model). Классические модели многофазной фильтрации рассмотрены в работах [5, 12, 16, 86, 126].

Исследованию нелинейных и неравновесных эффектов в процессе фильтрации в реологически сложных средах посвящена монография [153]. В работе рассматривается широкий класс феноменологических моделей применительно к системам нефтедобычи, включая моделирование течений неньютоновских жидкостей, неравновесную двухфазную фильтрацию в неоднородных средах, течения газированной жидкости в условиях неравновестности, проявления релаксационных свойств флюидов. Изучена математическая модель двухфазной фильтрации в средах с «двойной пористостью» (тре

Щ щиновато-пористых средах), которая впервые предложена в работах Г.И. Баренблатта, Ю.П. Желтова и И.Н. Кочиной [9]. В работе Э.В. Скворцова [135] рассмотрено взаимное вытеснение аномальных жидкостей.

В вопросах подземной гидромеханики существенными являются упругие свойства жидкостей и породы [61]. Для учёта этих свойств были созданы модели упругого и упруго-водонапорного режимов пластов [155, 159, 175]. В трудах Г.И. Баренблатта и А.П. Крылова [9] была предложена модель упруго-пластичного режима пласта.

В последнее время в [6] разработана и исследована математическая модель, описывающая фильтрацию многофазной жидкости в деформируемом карбонатном коллекторе. В работе [160] изучена двумерная двухфазная фильтрация в деформируемой трещиновато-пористой среде.

В работе B.JL Данилова и P.M. Каца [58] для расчёта двухфазных течений применён метод интегральных уравнений. Для приближённого решения многомерных задач разработан метод зональной линеаризации. В этом методе область переходной зоны, в которой происходит совместная фильтрация вытесняющей и вытесняемой жидкостей, разбивается на подобласти с потенциальным течением. Вследствие чего в каждой из этих подобластей можно использовать рассуждения, применимые в случае «поршневой» модели. Установлена связь между решением задачи взаимного вытеснения по схеме Лей-бензона—Маскета и решением задачи двухфазной фильтрации по схеме Бакли—Леверетта. Это позволяет рассматривать решения задач при поршневой схеме вытеснения как решения соответствующих задач двухфазной фильтрации при однозонной аппроксимации [53].

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Построены и исследованы новые двумерные математические модели эволюции границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях грунта. Проводимость неоднородных слоев моделируются степенной функцией координат. Область фильтрации могут ограничивать непроницаемые и эквипотенциальные границы.

2. Для модели «разноцветных» жидкостей в случае канонических границ сопряжения слоёв и области фильтрации найдено в конечном виде поле скоростей жидкости. Нахождение положения подвижной границы сведено к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений. При работе скважины в кусочно-однородном грунте получено решение для радиального движения границы раздела жидкостей различной вязкости. Найденные решения в конечном виде используются как тестовые.

3. Когда граница сопряжения слоёв и границы области фильтрации моделируются кривыми класса Ляпунова и жидкости имеют различную вязкость, то исследование этих задач сведено к решению эволюционной задачи для системы интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Эта система решена численно с помощью метода дискретных особенностей.

4. Построенные математические модели применены к конкретным задачам практики, связанными с продвижением границы раздела жидкостей от нагнетательной скважины в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях грунта. Изучено влияние неоднородности слоёв, различия вязкостей и границ области фильтрации на движение границы раздела жидкостей.

5. Исследована работа системы нагнетательной и эксплуатационной скважин в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях грунта. Указаны условия, при которых вместо сложных численных расчетов можно использовать более простые модели и аналитические формулы для расчёта поля скоростей и продвижения границы раздела жидкостей.

Проведённые исследования расширяют круг решённых эволюционных задач на случай движения границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях грунта. Предложенные в работе методы решения граничных задач могут быть использованы для исследования других физических процессов, описываемых аналогичными уравнениями и граничными условиями.

Автор выражает благодарность профессорам В.Ф. Пивню, И.К. Лифанову и Ю.В. Ганделю за оказанное внимание и поддержку при подготовке диссертационной работы.

Заключение

1. Абрамов Ю.С., Кац P.M. Уравнения движения границы раздела двух несжимаемых жидкостей в пористой среде в условиях пространственной фильтрации // Научно-техн. сб. по добыче нефти. ВНИИ. 1967. № 30. С. 21-28.

2. Абрамов Ю.С., Кац P.M. О пространственном движении границы раздела двух несжимаемых жидкостей в пористой среде // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. № 6. С. 176-180.

3. Абрамов Ю.С. О пространственном движении границы раздела двух весомых жидкостей в пористой среде // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. № 1. С. 166-169.

4. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983. 319 с.

5. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. М.: Недра, 1982. 407 с.

6. Айдашов Н.Ф. Математическое моделирование гидродинамики нефтяного месторождения в процессе продуктивной эксплуатации. Дис. . канд. техн. наук: 05.13.16, 01.02.05. Ижевск, 2000. 150 с.

7. Аксюхин А.А. Математическое моделирование граничных задач фильтрации к скважине в неоднородных слоях грунта. Дис. . канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. Орёл, 2000. 153 с.

8. Аксюхин А.А. Определение дебита наклонных скважин методом дискретных особенностей // Тр. X Междунар. симп. «МДОЗМФ 2001». Херсон, 2001. С. 11-17.

9. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкости и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. 211 с.

10. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. специальностей вузов М.: ФИЗМАТЛИТ: Лаб. базовых знаний, СПб.: Нев. диалект, 2001. 630 с.

11. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Розенберг Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика: Учебник для вузов. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 480 с.

12. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика. М.: Недра, 1993. 416 с.

13. Бегматов А. Задачи нестационарной фильтрации в областях с подвижной границей. Ташкент: Фан, 1991. 136 с.

14. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985. 256 с.

15. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978. 352 с.

16. Бойко B.C. Разработка и эксплуатация нефтяных месторождений. М.: Недра, 1990. 427 с.

17. Бочаров О.Б., Телегин И.Г. Численный анализ некоторых методов сопряжения двух моделей фильтрации несмешивающих-ся жидкостей // Вычислительные технологии. 2002. Т. 8. № 5. С. 11-20.

18. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. 544 с.

19. Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта. М.: Недра, 1974. 232 с.

20. Буравлёв И.В. Продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей в кусочно-неоднородном слое // Тр. Междунар. школ-семинаров «МДОЗМФ». Орёл. Орловский госуниверситет, 2002. С. 13-16.

21. Буравлёв И.В. Продвижение границы раздела жидкостей различной вязкости и плотности в кусочно-однородных слоях // Тр. XI Междунар. симп. «МДОЗМФ 2003». Харьков—Херсон, 2003. С. 35-38.

22. Буравлёв И.В. Исследование продвижения двух жидкостей различной плотности и вязкости в кусочно-однородном слое //

23. Тр. Междунар. школ-семинаров «МДОЗМФ». Вып. 2. Орёл. Орловский госуниверситет, 2003. С. 16-20.

24. Буравлёв И.В., Ларин А.И. Исследование продвижения границы раздела «разноцветных» жидкостей в экспонециальном слое // Тр. IX Междунар. симп. «МДОЗМФ 2001». Херсон, 2001. С.79-83.

25. Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения. М.: «Янус-К», 2001. 508 с.

26. Васильев В.В. Математическое моделирование водонефтяно-го контакта в карбонатном коллекторе нефтяного месторождения. Дис. . канд. техн. наук: 05.13.16, 01.02.05. Ижевск, 2000. 125 с

27. Варченко А.Н., Этингоф П. И. Почему граница круглой капли превращается в инверсный образ эллипса М.: Наука: Изд. фирма «Физ.-мат. лит.», 1995. 76 с.

28. Вахитов Г.Г. Эффективные способы решения задач разработки неоднородных нефтеносных пластов. Гостоптехиздат, 1963.

29. Векилов Ш.И. Решение общей задачи фильтрации в среде с кусочно-постоянным коэффициентом проницаемости // ДАН Аз С СР. 1952. Т. 8. № 7. С. 339-344.

30. Векилов Ш.И. О единственности решения общей задачи фильтрации в среде с кусочно-постоянным коэффициентом проницаемости // ДАН АзССР. 1952. Т. 8. № 10. С. 441-444.

31. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. М.: Наука, 1988. 512 с.

32. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2001. 382 с.

33. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 512 с.

34. Влияние свойств горных пород на движение в них жидкости / А. Бан, А.Ф. Богомолов, В.А. Максимов и др. М.: Гостоптех-издат, 1962. 275 с.

35. Гагаев Б.М. Единственность одной задачи сопряжения функций, удовлетворяющих эллиптическому уравнению // Уч. зап. Казан, ун-та. Т. 116. Кн. 1. 1956.

36. Галин JI.A. Неустановившаяся фильтрация со свободной поверхностью // Докл. АН СССР. 1945. Т. 47. № 4. С. 250-253.

37. Гандель Ю.В. Лекции о численных методах для сингулярных интегральных уравнений. Учеб.пособие. Ч. 1. Введение в методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Харьков—Херсон, 2000. 89 с.

38. Гасанов Ф.Г., Гусейнова Р.А., Кязимова P.M. Исследование на модели ЭМ-8 влияния отдельных факторов на перемещение водо-нефтяного контакта и обводнение нефтяных пластов / / Изв. АН АзССР. Сер. физ.-техн. и мат. наук. 1965. № 1. С. 8995.

39. Гидрогеологические исследования для обоснования подземного захоронения промышленных стоков. М.: Недра, 1993. 335 с.

40. Головизин В.М., Карабасов С.А. Некоторые примеры численного моделирования двумерной фильтрации. М.: ИБРАЭ РАН, 1998. 17 с.

41. Голубев Г.В., Тумашев Г.Г. Фильтрация несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде. Казань: Изд-во КГУ, 1972. 196 с.

42. Голубева О.В. К вопросу определения границы раздела «разноцветных» жидкостей // Гидродинамика (материалы совещания секции физики 14-15 апреля 1970 года). М. 1970. С. 105-107.

43. Голубева О.В. Продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей при осесимметричном фильтрационном течении // Гидродинамика (материалы совещания секции физики 14-15 апреля 1970 года). М. 1970. С 108-110.

44. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа, 1972. 368 с.

45. Голубева О.В., Мамбетов A.M. Расчёт движения границы раздела двух сред // Задачи гидродинамики при усложнённых моделях среды. МОИП. М.: Наука, 1985. С. 3-7.

46. Голубева О.В., Петров Н.П. О продвижении границы раздела жидкостей в анизотропных средах // Проблемы теоретической гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1978. С. 32-35.

47. Голубева О.В., Пивень В.Ф. О продвижении границы раздела жидкостей при нелинейной фильтрации // ПММ. 1977. Вып. 4. С. 754-758.

48. Гусейн—Заде М.А. Особенности движения жидкости в неоднородном пласте. М.: Недра, 1965.

49. Гусейнов А.И. Об одной задаче теории потенциала // Тр. Азерб. ун-та. Сер. Матем. Т. 1. Вып. 1. Баку. 1942. С. 31-42.

50. Гусейнов А.И. Об одной задаче теории потенциала // ПММ. Т. 12. Вып. 1. 1948. С. 3-18.

51. Данилов B.JI. Интегро-дифференциальные уравнения движения границы раздела жидкостей в пористой среде // Изв. Казанского филиала АН СССР. Сер. физ.-мат. и тех. наук. 1957. Вып. 11. С. 99-133.

52. Данилов B.JI. Условия геометрической инвариантности контуров нефтеносности // Изв. Казанского филиала АН СССР. 1959. Вып.13. С. 49-53.

53. Данилов B.JI. Краевые задачи гидродинамической теории фильтрации и гидромеханики с подвижной границей. Дис. . докт. физ.-мат. наук. М., 1961. 239 с.

54. Данилов B.JI. Упрощённая схема метода зональной линеаризации (M3JI) // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Тр.IV всесоюз.семинара. Новосибирск: Ин-т теорет. и прикл. механики. 1980. С. 82-91.

55. Данилов В.JI. Методы установления в прикладных обратных задачах потенциала гравитационной разведки и теории фигур Земли. М.: Наука, 1996. 248 с.

56. Данилов В.Л. Вариационный принцип наименьшей скорости рассеяния энергии при фильтрации жидкостей в пористой среде и его приложения. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 108 с.

57. Данилов В.Л., Скворцов Э.В. Решение задачи о стягивании ^ близкого к круговому пятна жидкости под действием межфазного натяжения // Изв. АН СССР. Сер. Мех. жидкости и газа. 1966. С. 137-139.

58. Данилов В.Л., Теплов Ю.А. О моделировании стягивания контура нефтеносности на щелевом лотке // Изв. Казан, филиала АН СССР. Сер. физ.-матем. и техн. наук. 1962. № 15. С. 33-44.

59. Данилов В.Л., Кац В.М. Гидродинамические расчеты взаимного вытеснения жидкостей в пористой среде. М.: Недра, 1980. 264 с.

60. Джалалов Г.И. О перемещениии контура нефтеносности к прямолинейной батарее неравнодебитных скважин в неоднородном пласте // Изв. АН АзССР. Сер. геолого-географ, наук. 1965. № 5. С. 97-104.

61. Джалилов К.Н., Морозова С.С. Гидродинамическое исследование процесса обводнения скважин в неоднородной фазе // Изв. АН АзССР. Сер. геолого-географ, наук. 1965. № 2. С. 82-88.

62. Дияшев P.M. Фильтрация жидкости в деформируемых нефтяных пластах / Р.Н. Дияшев, А.В. Костерин, Э.В. Скворцов. Казань: Казан, мат. об-во, 1999. 237 с.

63. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики: Учеб. пособие. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1987. 167 с.

64. Довгий С.А., Лифанов И.К. Методы решения интегральных уравнений. Теория и приложения. Киев: Наукова Думка, 2002. 343 с.

65. Желтов Ю.П. Разработка нефтяных месторождений: Учеб. для вузов. М.: «Недра», 1998. 365 с.

66. Заславский М.Ю., Пергамент А.Х. Исследование неустойчивости типа «fingers» в фильтрационных течениях. М.: ИПМ РАН. 2002. 22 с.

67. Казарновская Б.Э. Перемещение водо-нефтяного контакта и обводнение скважин при водонапорном режиме месторождения // Докл. АН СССР. 1947. Т. 55. № 8. С. 639-696.

68. Казарновская Б.Э., Полубаринова—Кочина П.Я. О движении подошвенных вод в нефтяных пластах // ПММ. 1943. Т. 7. Вып. 6. С. 439-454.

69. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1985. 512 с.

70. Карпычев В.А. О движении границы раздела между водой и нефтью в неоднородных пластах // Изв. АН СССР. ОТН. Мех. и машиностр. 1962. № 1. С. 189-191.

71. Квасов А.А. Математическое моделирование двумерных фильтрационных течений к водозабору в кусочно-неоднородных слоях, содержащих очаги загрязнения. Дис. . канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. Орёл, 2003. 200 с.

72. Колдоба А.В., Колдоба Е.В. Численное моделирование двух-компонентной фильтрации. М.: ИПМ РАН, 1999. 22 с.

73. Коллинз Р. Течения жидкостей через пористые материалы. М.: «Мир», 1964. 351 с.

74. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1988. 166 с.

75. Кочина П.Я. Гидродинамика и теория фильтрации. Избранные труды. М.: Наука, 1991. 351 с.

76. Кочина П.Я., Кочина Н.Н. О контуре нефтеносности // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 6. С. 972-977.

77. Кочина П.Я., Кочина Н.Н. К вопросу о контуре нефтеносности // Мат. модели фильтрации и их приложения. Сб. науч. тр. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. С. 12-20.

78. Куранов И.Ф., Коган Л.Г. Расчет вытеснения нефти водой в системе скважин // Тр. ВНИИ. 1959. Вып. 21. С. 25-51.

79. Куфарев П.П. Решение задачи стягивания контура нефтеносности для круга // Докл. АН СССР. 1948. Т. 60. № 8. С. 13331334

80. Куфарев П.П., Виноградов Ю.П. О некоторых частных решениях задачи фильтрации // Докл. АН СССР. 1947. Т. 57. № 4. С. 335-338.

81. Лайпанов Х.С. Фильтрационные процессы в кусочно-однородных изотропных и кусочно-однородных анизотропных массивах с трещиной (слабопроницаемой завесой). Карачевск: КЧГПУ, 1999. 301 с.

82. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физматгиз, 1963. 360 с.

83. Лейбензон Л.С. Нефтепромысловая механика. М.: Госгоргеол-нефтеиздат, 1934. Ч. 2. 352 с.

84. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО «Янус», 1995. 520 с.

85. Лифанов И.К., Гутников В.А., Скотченко А.С. Моделирование аэрации в городе. М.: Диалог—МГУ, 1998. 134 с.

86. Максимов М.М., Рыбицкая Л.П. Математическое моделирование процессов разработки нефтяных месторождений. М.: Недра, 1976. 264 с.

87. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. 608 с.

88. Миллионщиков М.Д. Гидромеханический анализ некоторыхспособов эксплуатации нефтяных скважин. Дис. . докт. техн. наук. М., 1944. 129 с.

89. Михайлов Г.К., Николаевский В.Н. Движение жидкостей и газов в пористых средах / Механика в СССР за 50 лет. Т. 2. М.: Наука, 1970. С. 585-648.

90. Монахов В.Н. Сопряжение основных математических моделей , фильтрации двухфазной жидкости // Математическое моделирование. 2002. Т. 14. № 10. С. 109-115.

91. Никольский Д.Н. Продвижение границы раздела разноцветных жидкостей к скважине в неоднородном слое, проводимость которого характеризуется степенным законом // Сб. ОрёлГТУ. «Вестник науки». 1999. Т. 1. Вып. 5. С. 276-279.

92. Никольский Д.Н. Математическое моделирование работы системы скважин в однородных и неоднородных слоях с подвижной границей раздела жидкостей различной вязкости. Дис. . канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. Орёл, 2001. 191 с.

93. Hi 93. Никольский Д.Н. Вычисление скорости перемещения поверхности раздела жидкостей различной вязкости методом дискретных особенностей / / Тр. Между нар. школ-семинаров «МДОЗМФ». Вып. 2. Орёл. Орловский госуниверситет, 2003. С. 42-47.

94. Носков М.Д., Истомин АД. Стохастически-детерминистическое моделирование развития гидродинамической неустойчивости при неизотермической двухфазной фильтрации // Математическое моделирование. 2000. Т. 12. № 10. С. 19-30.

95. Огуджалиев Ф.Г., Гашиев Н.М. Влияние расположения скважин на вытеснение нефти газом // Изв. АН АзССР. Сер. наук о Земле. 1989. № 2. С. 46-52.

96. Петров Н.П. К вопросу о продвижении границы раздела несмешивающихся жидкостей. Дис. . канд. физ.-мат. наук. М., 1970. 165 с.

97. Ливень В.Ф. Вопросы теории вытеснения жидкостей при нели-* нейной фильтрации. Дис. . канд. физ.-мат. наук. М., 1974.119 с.

98. Ливень В.Ф. О двумерной фильтрации в слоях с прерывно изменяющейся проводимостью вдоль кривых второго порядка // МЖГ. 1993. № 1. С. 120-128.

99. Пивень В.Ф. Математическое моделирование граничных задач гидродинамики в неоднородных слоях // Дис. . докт. физ.-мат. наук: 05.13.18. Орёл, 1998. 266 с.

100. Пивень В.Ф. Сведение граничной задачи сопряжения обобщенных аналитических функций к интегральному уравнению // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 9. С. 1194-1198.

101. Пивень В.Ф. Интегральное уравнение граничной задачи сопряжения фильтрационных течений в неоднородной среде // Тр. IX Международного симп. «МДОЗМФ 2000». Орёл, 2000. С. 343-348.

102. Пивень В.Ф. Интегральное уравнение задачи сопряжения обобщенных аналитических функций на нестационарной границе // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 10. С. 1405-1409.

103. Пивень В.Ф. Единственность решения граничных задач сопряжения физических процессов в неоднородной среде // Тр. X Междунар. симп. «МДОЗМФ-2001». Херсон, 2001. С. 265-269.

104. Пивень В.Ф. Интегральные и дифференциальные уравнения двумерной задачи о работе системы скважин в неоднородном слое с нестационарной границей раздела жидкостей // Тр. X Междунар. симп. «МДОЗМФ 2001». Херсон, 2001. С. 270-275.

105. Пивень В.Ф. Математическое моделирование течений жидкости в неоднородных слоях // Юбилейный научный сб. в честь 70-летия Орловского госуниверситета. Орёл, 2001. С. 89-98.

106. Пивень В.Ф. Интегральное и интегро-дифференциальные уравнения двумерной задачи сопряжения поля скоростей на нестационарной границе // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 12. С. 1705-1710.

107. Пивень В.Ф. Задача об эволюции границы раздела жидкостей различной плотности и вязкости в неоднородной среде // Тр. Междунар. школ-семинаров «МДОЗМФ». Орёл. Орловский госуниверситет, 2002. С. 69-74.

108. Пивень В.Ф. Двумерная задача эволюции границы раздела жидкостей в кусочно-неоднородном слое при наличии массовой силы // Тр. XI Междунар. симп. «МДОЗМФ 2003». Харьков-Херсон, 2003. С. 203-208.

109. Пивень В.Ф. Интегральные уравнения задачи сопряжения фильтрационных течений в неоднородном слое // Тр. Междунар. школ-семинаров «МДОЗМФ». Вып. 2. Орёл. Орловский госуниверситет, 2003. С. 47-52.

110. Пивень В.Ф. Фундаментальные решения уравнений физических процессов, протекающих в неоднородных средах // Тр. Междунар. школ-семинаров «МДОЗМФ». Вып. 3. Орёл. Орловский госуниверситет, 2004. С. 43-53.

111. Пивень В.Ф., Никольский Д.Н., Федяев Ю.С. Комплекс программ, предназначенный для расчёта нефтяных месторождений и решения задач мониторинга окружающей среды // Тр. XI Междунар. симп. «МДОЗМФ 2003». Харьков—Херсон, 2003. С. 209-210.

112. Пивень В.Ф., Федяев Ю.С. Исследование плоскопараллельного продвижения границы раздела жидкостей различной вязкости методом интегро-дифференциального уравнения // Тр. X Междунар. симп. «МДОЗМФ 2001». Херсон, 2001. С. 275-279.

113. Пивень В.Ф., Федяев Ю.С. Двумерное продвижение границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-неоднородном слое // Тр. Междунар. школ-семинаров «МДОЗМФ». Орёл. ОГУ, 2002. С. 80-87.

114. Пивень В.Ф., Федяев Ю.С. Эволюция двумерной границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-неоднородном слое грунта // Тр. XI Междунар. симп. «МДОЗМФ 2003». Харьков-Херсон, 2003. С. 211-216.

115. Пивень В.Ф., Федяев Ю.С. Математическое моделирование двумерной эволюции границы раздела жидкостей в кусочно-неоднородных слоях грунта // Тр. Междунар. школ-семинаров «МДОЗМФ». Вып. 3. Орёл. ОГУ, 2004. С. 54-63.

116. Пивень В.Ф., Федяев Ю.С. Двумерная задача сопряжения поля скоростей в кусочно-неоднородном слое грунта // Тр. Междунар. конф. по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч. II. -Новосибирск, изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2004. С. 596-601.

117. Пирвердян A.M. Физика и гидравлика нефтяного пласта. М.: Недра, 1982. 192 с.

118. Подземная гидравлика / К.С. Басниев, A.M. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов. М.: Недра, 1986. 303 с.

119. Полубаринова—Кочина П.Я. О неустановившихся движениях в теории фильтрации. I. К вопросу о перемещении контура нефтеносности // ПММ. 1945. Т. 9. Вып. 1. С. 79-90.

120. Полубаринова—Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977. 664 с.

121. Радыгин В.М. Голубева О.В. Применение функций комплексного переменного в задачах физики и техники. М.: Высш. шк, 1983. 160 с.

122. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917 -1967 гг.). М.: Наука, 1969. 456 с.

123. Ракитин В.П., Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьтеров. М.: Высш. шк., 1998. 383 с.

124. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. М.: Науч. мир, 2000. 315 с.

125. Сетуха А.В. Обоснование метода дискретных вихрей в задаче о движении конечной вихревой пелены при аналитических начальных условиях // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. № 9. С. 1272-1279.

126. Скворцов Э.В. О поднятии водо-нефтяного контакта к дрене в полубесконечном пласте // Уч. зап. Казан, ун-та. Т. 124. Кн. 9: Вопросы подземной гидромеханики. 1965. С. 26-32.

127. Скворцов Э.В. Подземная гидромеханика аномальных жидкоk стей. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1985. 76 с.

128. Ставцев C.JI. Исследование трёхмерных граничных задач о дебите системы несовершенных скважин в кусочно-неоднородных слоях. Дис. . канд. физ.-мат. наук: 05.13.01. М., 2003. 173 с.

129. Сулейманов Я.М. О плоской задаче стягивания контура нефтеносности // Изв. АН АзССР. Сер физ.-техн. и мат. наук. 1965.1. С. 96-101.

130. Телегин И.Г., Бочаров О.Б. Многопараметрические тесты для моделей фильтрации двухфазной жидкости // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8. № 2. С. 96-101.

131. Толпаев В.А. Фильтрация жидкости в анизотропных и неоднородных грунтах. Ставрополь: Сев.-Кавказ. гос. техн. ун-т, 2000. 196 с.

132. Тихов М.Н. Несколько замечаний о перемещении контура нефтеносности // Тр. Грозн. нефт. науч.-исслед. ин-та. Сб. работ.1. Вып. 2. 1947. С. 83-89.

133. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 286 с.

134. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учеб. пособие. М.: Изд-во МГУ, 1999. 798 с.

135. Требин Ф. А., Щербаков Г. В., Яковлев В. П. Гидромеханические методы исследования скважин и пластов. М.: Недра, 1965.

136. Тумашев Г.Г. К задаче о стягивании контура нефтеносности // Уч. зап. Казан, ун-та. 1953. Т. 113. № 10. С. 133-137.

137. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учеб. пособие. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 304 с.

138. Федяев Ю.С. Продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей к скважине в степенном слое // Тр. X Междунар. симп. «МДОЗМФ 2000». Орёл, 2000. С. 445-448.

139. Федяев Ю.С. Эволюция границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-неоднородном степенном слое // Тр.

140. Всерос. научно-практической конф. «Вклад земляков-орловцевв развитие и становление российской науки, культуры и образования». Орёл. ОГУ, 2003. С. 123-126.

141. Фролов М.А. Исследование двумерных граничных задач о де-битах системы скважин в неоднородных слоях, проводимости которых моделируются гармоническими и метагармони-ческими функциями координат. Дис. . канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. Орёл, 2001. 148 с.

142. Хасанов М.М., Булгакова Г.Т. Нелинейные и неравновесные эффекты в реологически сложных средах. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 288 с.

143. Ховисон С.Д., Хохлов Ю.Е. О классификации решений в задаче о течениях Хеле Шоу с неизвестной границей // Докл. РАН. 1992. Т. 325. № 6. С. 1161-1166.

144. Чарный И. А. Подземная гидрогазодинамика. М.: Гостоптехиз-дат, 1963. 396 с.

145. Щелкачев В.Н. Расстановка скважин в пластах с водонапорным режимом. В сб. науч. иссл. работы нефтяников. Вып. III. Добыча нефти. Гостоптехиздат, 1944.

146. Щелкачев В.Н. Основы подземной нефтяной гидравлики. М.-JL, Гостоптехиздат, 1945. 159 с.

147. Щелкачев В.Н. Избранные труды. М.: Недра, 1990. Т. 1. Ч. 2. 232 с.

148. Щелкачев В.Н., Лапук Б.Б. Подземная гидравлика. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2001. 736 с.

149. Щипанов А.А. Математическое моделирование двухфазной фильтрации в деформируемой трещиновато-пористой среде: Автореф. . канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. Пермь, 2002. 24 с.

150. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977. 344 с.

151. Analytical and numerical treatment of a complex model for Hele— Shaw moving boundary value problems with kinetic undercooling regularization / Ressing M., Rogosin S.V., Hubner F. // Europ. J. Appl. Math. 1999. Vol. 10. No 6. P. 561-579.

152. Buskley S.E., Leverett M.C. Mechanism of fluid displacement in sands // Trans. AIME. 1942. Vol. 146. P. 107-116.

153. Chuoke R.L., van Meurs P., van der Poel C. The instability of slow immiscible viscous, liquid displacement in permeable media // Trans. AIME. 1959. Vol. 216. P. 188-194.

154. Danilov V.L. Method of integro-differential equation (IDE) in hydrodynamic theory of filtration // Modern approaches to flow in porous media. Intern, conference dedicated to P.Ya. Polubarinova— Kochina. Moscow. Sept. 1999. P. 9-10.

155. Douglas J. Jr., Peaceman D.W., Rachford H.H. A method forcalculating multidimensional immiscible displacement // Trans. AIME. 1959. Vol. 216. P. 297-308.

156. Hohlov Y.E., Howison S.D., Huntengford C., Ockendon J.R., Lacey A.A. A model for non-smooth free boundaries in Hele—Shaw flow // Quart. J.Mech. Appl. Math. 1994. Vol. 47. N. 1. P. 107-128.

157. Howison S.D. Fingering in Hele—Shaw cells //J. Fluid Mech. 1986. Vol. 167. P. 439-453.

158. Howison S.D. Complex variable methods in Hele—Shaw moving boundary problems // Europ. J. Appl. Math. 1992. Vol. 3. P. 209224.

159. Howison S.D., King J.R. Explicit solutions to six free-boundary problems in fluid flow and diffusion // IMA J. Appl. Math. 1989. Vol. 42. No. 2. P. 155-175.

160. Howison S.D., Richardson S. Cups development in free boundaries, and two-dimensional slow viscous flows // Europ. J. Appl. Math. 1995. Vol. 6. No. 5. P. 441-454.

161. Lajeunesse E., Martin J., Rakotomalala N., Salin D., Yortsos Y.C. Miscible displacement in a Hele—Shaw cell at high rates //J. Fluid Mech. 1999. Vol. 398. P. 299-319.

162. Muskat M. The Flow of homogemeous fluids throus media. N.Y.; London; McGraw Hill. 1937. 763 p.; Рус. перев.: Маскет M. Течение однородных жидкостей в пористой среде. М. - JL: Го-стоптехиздат, 1949. 628 с.

163. Muskat M., Meres M. The flow of heterogeneous fluids // Physics.1. Г 1937. Vol. 9.

164. Rapoport L.A., Leas W.J. Properties of linear water-floods // , Trans. AIME. 1953. Vol. 198. P. 139-148.

165. Richardson S. Some Hele—Shaw flows with time-dependent free boundaries // J. Fluid Mech. 1981. Vol. 102. P. 263-278.

166. Saffman P.G. Exact solutions for the growth of fingers from a flat interface between two fluids in a porous medium or Hele—Shaw cell // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1959. Vol. 12. No. 2. P. 146-150.

167. Saffman P.G. Selection mechanisms and stability of fingers and bubbles in Hele—Shaw cells // IMA J. Appl. Math. 1991. No. 46.0 P. 137-145.

168. Saffman P.G., Taylor G. The penetration of a fluid into a porous medium or Hele—Shaw cell containing a more viscous fluid // Proc. of the Roy. Soc., A., 1958. Vol. 245. P. 312-329.

169. Setukha A.V. Numerical solution of the problem on the motion of a vortical shroud with an analytic initial condition // Differential Equations. 1995. Vol. 31. No. 9. P. 1529-1537.

170. Taylor G., Saffman P.G. A note on the motion of bubbles in a Hele—Shaw cell and porous medium // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1959. Vol. 12. No. 3. P. 265-279.

171. Wang Zhi, Feyen Jan, Elrick David E. Prediction of fingering in ~ porous media // Water Resour. 1998. Res. 34. No. 9. P. 2183-2190.