автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах

На правах рукописи

Толпаев Владимир Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВУМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В АНИЗОТРОПНЫХ, НЕОДНОРОДНЫХ И МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕДАХ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Ставрополь, 2004 г.

Работа выполнена на кафедре прикладной математики в Северо-Кавказском государственном техническом университете (г. Ставрополь)

Научный консультант: доктор физико-математических

наук, профессор Семенчин Евгений Андреевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

Ведущая организация: Российский государственный

университет нефти и газа им. И.М .Губкина (г. Москва)

Защита состоится «2 июля 2004 г» в 16 часов на заседании диссертационного совета Д212256.05 Ставропольского государственного университета по адресу:

355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1, ауд. 214. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ставропольского государственного университета.

Автореферат разослан чЯУ » мая 2004 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математн

наук, профессор

Лежнёв Виктор Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор Каплан Лев Григорьевич доктор технических наук, действительный член Академии горных наук РФ Долгов Сергей Викторович

наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Целый ряд актуальных проблем государственного значения связан с движением жидкости и газа в пористых средах. К таким проблемам относятся: водоснабжение; добыча энергетического сырья (нефти и газа); проектирование, строительство и эксплуатация гидротехнических и гидромелиоративных сооружений; борьба с загрязнением и засолением грунтовыми водами сельскохозяйственных площадей и т.д. Решение таких проблем требует разработки теории фильтрационных процессов в моделях пористых сред, наиболее адекватных к естественным условиям.

Пористые среды, в которых происходят фильтрационные течения жидкости, как правило, неоднородны, могут иметь слоистое строение, систему трещин, обладающих упорядоченным расположением в пространстве. Последние факторы (слоистость, наличие пространственно-ориентированных систем трещин) зачастую приводят к появлению анизотропии фильтрационных свойств в пористых средах. Кроме того, продуктивные природные пласты, содержащие нефть и газ, проявляют не только анизотропные и неоднородные фильтрационные свойства, но. они почти всегда искривлены и имеют переменную толщину. Именно поэтому актуальны теоретические исследования математических моделей двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах.

Цель исследования - разработать общие методы решения задач двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах и на их основе предложить математические модели для изучения конкретных инженерно-технических проблем в нефте- и газодобывающей промышленности, в водоснабжении, в проектировании гидротехнических и гидромелиоративных сооружений, а также для изучения других динамических процессов, описываемых двумерными эллиптическими уравнениями.

Научная новизна результатов диссертации заключается в следующем.

Разработаны алгоритмы для расчёта эффективных тензоров проницае-

мостей периодических и слоистых сред при линейном и нелинейном режимах фильтрации.

Проведены исследования точности расчётов фильтрации в периодических средах методом анизотропного эквивалентиро-вания.

Предложена новая математическая модель двумерных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в неоднород-

етшшда

БИБЛИОТЕКА [

СП«*г£рг (/(| о» кх/т'/й!

ных анизотропных искривленных пластах :

3

которая по сравнению с известной в этом направлении моделью О.В. Голубевой гораздо точнее учитывает особенности двумерных течений и поэтому значительно повышает точность расчётов.

Разработаны математические модели, учитывающие индивидуальные фильтрационные свойства призабойных зон скважин (ПЗС) при исследовании течений к одиночным и групповым скважинам.

Развита теория расчётов двумерных фильтрационных течений в многослойных неоднородных анизотропных средах для областей, ограниченных дугами координатных линий изотермических систем координат.

Предложены:

качественная и точная количественная математические модели работы скважины с гравийным фильтром;

качественные математические модели работы основных конструкций промышленных фильтров нефте- и вододобываю-щих скважин;

качественные математические модели работы скважин при вертикальном и горизонтальном гидроразрыве пласта.

Достоверность и обоснованность научных положений и результатов исследований подтверждаются следующим:

1) корректностью применения апробированного математического аппарата (теория аналитических функций комплексного переменного, теория уравнений математической физики, методы дифференциальной геометрии, линейной алгебры, тензорного исчисления);

2) результаты исследований других авторов (теория двумерной фильтрации О.В. Голубевой; теория фильтрации В.П. Пилатовского в тонких круговых конических и параболо-идных пластах; методы «изотропизирующих» преобразований для расчётов плоскопараллельной фильтрации в однородных анизотропных средах В.И. Аравина, Е.С. Ромма, Г.К. Михайлова; теория В.Н. Щелкачёва работы круговой батареи скважин; методика расчётов потенциальных полей в многослойных средах из однородных изотропных слоев В.Н. Острейко) следуют из результатов защищаемой работы как частные случаи;

3) результаты, вытекающие из предложенных математических моделей влияния особенностей ПЗС на дебиты скважин, согласуются с экспериментальными и теоретическими данными других исследователей (с теорией фильтрации В.П. Пилатовского к скважине с системой круговых порогов и с системой лучевых трещин; с данными Г.Б. Пыхачева и Р.Г. Исаева о влиянии призабойной неоднородности пласта на

дебит скважины; с результатами опытно--промышленных испытаний Р.А. Гасумова, В.А. Машкова и др., исследовавших влияние глинисто-песчаных пробок на дебит скважины).

. Результаты диссертации могут иметь практическую ценность:

при исследовании фильтрационных течений в искривлённых слоях с конечной постоянной и переменной толщиной, пористые среды которых могут быть как анизотропными, так и изотропными, однородными и неоднородными;

в точных послойных расчётах фильтрационных течений в многослойных анизотропных и изотропных средах;

в расчётах фильтрационных течении в неоднородных средах методом эквивалентирования последних подходящими многослойными средами;

в расчётах течений к скважинам с вертикальными или с горизонтальными трещинами гидроразрыва, учитывающими конечную проницаемость и размеры трещин;

в разработке спецкурсов для студентов, специализирую -щихся по профилям: теория аналитических и обобщённых аналитических функций комплексного переменного и её приложения, механика, прикладная математика, а также для студентов нефтегазовых специальностей.

Основные положения, выносимые на защиту:

1). Расчётные алгоритмы тензоров проницаемостей анизотропных моделей периодических и слоистых пористых сред для линейных и нелинейных режимов фильтрации жидкости.

2). Математические модели линейной фильтрации в искривлённых анизотропно-неоднородных (в частном случае, в изотропно-неоднородных и изотропно-однородных) пластах постоянной и переменной конечной толщины.

3). Математические модели фильтрации жидкости в ПЗС.

4). Математические модели влияния особых фильтрационных свойств ПЗС на работу групповых скважин в неоднородных средах.

5). Теория расчётов плоскопараллельных фильтрационных течений в многослойных неоднородных анизотропных средах в областях, ограниченных дугами координатных линий.

Апробация работы. Основные результаты работы по мере их получения докладывались:

1) на семинарах по гидродинамике и математической физике под руководством проф. О.В. Голубевой в МОИП при МГУ (1974-1978 гг.); по математической физике и гидродинамике под руководством акад. П.Я. Кочиной и проф. О.В. Голубевой в ИПМ АН СССР (1974-1985 гг.); по прикладной электродинамике под руководством чл.-корр. АН

СССР Н.Н. Тиходеева в НИИПТ АН СССР (Ленинград, 1987, 1989 и 1991 гг.);

2) на Воронежских математических школах «Современные методы в теории краевых задач» (Воронеж, 1996 гЛ и «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 1999 г.);

3) на 3-ем и 4-ом Всероссийских симпозиумах «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 1999 и 2000 г);

4) на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в научных исследованиях» (Ставрополь, СГУ, 2000 г.); на 7-ой и 9-ой Всероссийских научно-технических конференциях «Современные проблемы математики и естествознания» и «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве» (Нижний Новгород, Н1 ГУ, 2003 г.); 4-ой Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, ЮжноРоссийский государственный технический университет, январь 2004 г.); 1-ой и 3-ей региональных научных конференциях «Проблемы компьютерных технологий и математического моделирования в естественных, технических и гуманитарных науках» (Георгиевск, СеКавГТУ, 2001,2003 гг.).

5) Результаты диссертации в целом докладывались на научном семинаре кафедры прикладной математики и компьютерного моделирования в Российском государственном университете нефти и газа им, И.М.Губкина (г. Москва) 18 декабря 2003 г. (Рук. семинара - М.Г. Сухарев, доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки гФ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 82 научных статьях, 25 из которых - в центральной научной печати. Перечень последних приведён в конце автореферата.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, 6 глав, 2-х приложений, заключения и списка литературы из 260 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во Введении приводится краткий обзор литературы, обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, кратко излагается её содержание и перечисляются результаты, которые выносятся на защиту.

В 1-ой главе предлагаются математические модели линейной и нелинейной фильтрации жидкости в пористых средах с периодической структурой, которые получаются в результате трояко-

периодического повторения в пространстве некоторого основного структурного элемента (ячейки) о? этой среды.

Впервые основы линейной теории фильтрации в пористых средах с частными случаями периодических структур были заложены в трудах Б.К. Ризенкампфа, Ж. Феррандона, Ф. Шаффернака, Р. Дахлера, В.И. Аравина и др. Такие структуры они априори рассматривали как анизотропные и для линейной фильтрации в них предложили следующее обобщение закона Дарси:

(1)

В (1) через Уь Уг и Уз обозначены проекции вектора скорости фильтрации V = у^, + У2е2 + У3е3 в точке наблюдения с радиус-

вектором

1 ая . 1 . 1

---, е

Н, а^

Ж

ei =

5R _ =___

дц ' Сз Н3 *

на орты

ортогональной системы

координат 2;, Г|, С,. Через Hj =

(аналогичные формулы для Н2 и

Нз) обозначены параметры Ламе системы гФункция Ф связана с приведённым давлением Р формулой Ф = —— = —•HiEill i в

которой р, р, g, h И ц - гидродинамическое давление, плотность флюида, ускорение свободного падения, нивелировочная высота и динамическая вязкость жидкости соответственно. Совокупность девяти коэффициентов! ку в (1) образует симметричный в ортогональной системе коорди-нат Л> тензор проницаемости второго ранга.

Теория нелинейной фильтрации в анизотропных средах стала развиваться с появлением в 1974 г. публикации С.Н. Нумерова, а затем статей А.В. Костерина, Е.Г. Шешукова,

7

Ю.М. Молоковича. Математические модели нелинейной фильтрации они сводили к обобщению закона (1) и применяли тензора только 2-го ранга. Дальнейшее развитие этой теории сделали К.С. Басниев и Н.М. Дмитриев, основываясь на том, что при фильтрации жидкости между полями V и УР существует связь, которая в наиболее общем виде выражается формулами

УР = (либо у = ?(к,УР,р,ц)). (2)

Применяя теорию (Л.И. Седов, В.В.'Лохин, Ю.И. Сиротин и др.) нелинейных тензорных функций нескольких тензорных аргументов, они предложили общий вид связи (2) аппроксимировать зависимостями следующего вида (которые без принципиальных ограничений представим для ортонормированного базиса)

~^Р = ау.у] + Ь1]к-у,.ук + С^-У^У, + ..., (3)

где а^, Ь0к, суИ - тензоры, задающие нелинейные фильтрационные свойства пористой среды, а проекции вектора на соответствующие оси. Эти тензоры, зависящие в общем случае от координат точки наблюдения, коэффициентов ц и р, инвариантов вектора скорости фильтрации, находятся из условий их инвариантности относительно заданной точечной группы симметрии порового пространства.

Итак, в математическом моделировании нелинейной фильтрации в анизотропных средах существуют два внешне различных подхода: 1) берущий начало от работ С.Н. Нумерова и 2) развиваемый в трудах Н.М. Дмитриева.

В диссертации анизотропные среды рассматриваются как модели таких периодических, структурный элемент <в которых представляет прямоугольный параллелепипед с весьма малыми по сравнению с характерным размером области фильтрации размерами, К этим периодическим структурам относятся распространённые в естественных условиях слоистые среды, трещиноватые коллекторы с одной системой трещин или с двумя и тремя взаимно ортогональными системами трещин, осадочные породы, образованные частицами вытянутой формы с упорядоченной ориентацией их в пространстве и н. др. Метод построения линейной анизотропной модели пористой среды с названными периодическими структурами базируется на первичных понятиях главных направлений анизотропии (ГНА) и главных проницаемостей. Основное определяющее свойство ГНА в том, что в фильтрационных течениях вдоль них вектора V и УР кол-линеарны. Проницаемость пористой среды вдоль ГНА названа главной. Для линейных анизотропных моделей рассматриваемых периодических сред ГНА известны априори - ими служат

перпендикулярные к боковым граням структурных ячеек со оси симметрии Нрйз И Главные проницаемости X] Дг И Хз в анизотропных моделях этих сред находим из решений задач усреднения. В зависимости от постановок задач усреднения они могут вычисляться методами 1) локального или 2) предлагаемого автором интегрального анизотропного эквивалентирований. Выбор метода зависит от вида расчётной области и геометрии конкретной периодической структуры и влияет на точность расчётов фильтрации в периодической среде, моделируемой анизотропной. Исследования точности метода анизотропного эквива-лентирования слоистых сред проводятся в 3-ей и отчасти в 6-ой главах.

В прикладных задачах теории фильтрации поле ГНА и отвечающие ему поля главных проницаемостей часто можно рассматривать как заданные. В диссертации развиты способы задания широкого круга серий триортогональных систем криволинейных поверхностей, вектора нормалей к которым определяют ГНА, и для каждой серии выведены расчётные формулы для тензоров прони-цаемостей. В приложении 2 представлен каталог тензоров прони-цаемостей для различных серий законов распределения ГНА.

При построении нелинейных анизотропных моделей пористых сред с периодическими структурами автор тоже исходит из существования связи между полями V и УР в виде (2). Для аппроксимации этого уравнения связи применено разложение

функции (2) в ряд Тейлора в окрестности точки V = 0. Ограничиваясь в этом разложении слагаемыми до третьих степеней, обобщённый закон Дарси (ОЗД) первоначально тоже получается в виде (3), который, однако, предлагается представить в другой форме

= (4)

с тензором второго ранга завися-

щим от компонент скорости фильтрации V и непосредственно вытекающим из (3). Представление ОЗД для нелинейной фильтрации в анизотропных средах в виде (4) соответствует подходу, впервые намеченному С.Н. Нумеровым. Итак, глубокой принципиальной разницы в двух подходах к описанию нелинейной фильтрации в анизотропных средах нет. Подход С.Н. Нумерова в виде (4) удобно применять для описания нелинейной фильтрации в трансверсально-изотропных и ортотропных средах, для которых априори известны ГНА. Если же уравнения (4) переписать в виде, разрешённом относительно компонент скорости фильтрации, то придём к закону Дарси, по форме, совпадающей с (1). Поэтому (1) можно применять не только для описания ли-

нейной, но и нелинейной фильтрации в названных анизотропных средах. Но главные проницаемости в случае нелинейной фильтрации нужно считать зависящими не только от координат точки наблюдения, но и от инвариантных величин вектора скорости фильтрации, таких, как модуль V = |у|; скалярные произведения (у,йк) вектора V с какими-то заданными векторами пк;

от квадратичных форм зависящих от координат век-

тора скорости фильтрации. Поэтому в математических моделях нелинейной фильтрации в анизотропных средах Х\ в общем случае могут задаваться функциями вида

= ^ (м, V, (у, пк), (ут • Б,- • V))

. ,,, • (5)

[1 = 1,2,3

Обобщенный метод С.Н. Нумерова (5) в диссертации применён к построению математической модели нелинейной фильтрации в среде с прямолинейной анизотропией и с полярным главным направлением.

Основные результаты 1-й главы: 1) развит метод расчёта тензоров проницаемостей анизотропных моделей периодических сред по заданным полям.ГНА и главных проницаемостей как для линейного, так и для нелинейного режимов фильтрации; 2) дано развитие метода С.Н. Нумерова математического моделирования нелинейной фильтрации в трансверсально-изотропных и ортотроп-ных анизотропных средах и указана его преемственная связь с методом К.С. Басниева и Н.М. Дмитриева; 3) создан каталог тензоров проницаемостей анизотропных сред для широких серий законов распределения ГНА. .

Во 2-ой главе выводятся общие уравнения двумерной линейной фильтрации в анизотропных средах, указываются способы приведения их к каноническому виду и общие методы решения.

Двумерную линейную фильтрацию в искривлённых слоях (пластах) изучали П.Я. Кочина, В.П. Пилатовский, О.В. Голубева и её ученики М.И. Хмельник, Ю.А. Гладышев, К.Н. Быстров, В.Ф. Пивенъ, СЕ. Холодовский, а также И.А. Амирасланов и Г.П. Черепанов и др. В их работах изотропные искривлённые слои считались весьма тонкими по сравнению с наименьшим главным радиусом кривизны подошвы слоя, что снижало практический интерес этой теории.

В диссертации предложена теория линейной двумерной фильтрации жидкости в искривлённых однородных и неоднородных анизотропных слоях постоянной и переменной конечной (имеющей в нефтегазовой отрасли промысловое значение) толщины с непроницаемыми подошвой и кровлей. Как частные

случаи двумерной рассмотрены уравнения плоскопараллельнои фильтрации в однородных и неоднородных анизотропных средах.

При выводе уравнений двумерной фильтрации непроницаемые поверхности подошвы и кровли пласта принимались за координатные Q = ¿¡i = const (подошва) и ^ = Qz — const (кровля) некоторой ортогональной криволинейной системы координат rj, Поверхности тока фильтрационных течений рассматривались как стационарные, совпадающие с координатными поверхностями £ = const. Это, конечно, идеализация, но в большинстве случаев реальная схема течения почти во всём пласте близка к ней. Поле скоростей фильтрации в принятой схеме будет таким:

v = \ fe, Ц, t) • е, + V„ (4, Т1, t) • е2, где е,, е2, е3 - орты базиса в

системе Г|, С,.

В §1 главы 2 выводится уравнение неразрывности для двумерных фильтрационных потоков сжимаемой жидкости в искривлённых анизотропных пластах переменной конечной толщины

дц

В §2 выводятся уравнения линейной фильтрации несжимаемой жидкости в искривлённом неоднородном анизотропном слое переменной толщины, одно из ГНА которого всюду направлено по касательным к С, - координатным линиям, а два других ГНА относительно б, - и т| - координатных линий имеют произвольную ориентацию. Тензорный закон Дарси (1) для двумерных течений несжимаемой жидкости в таком слое приводит к следующему распределению проекций скорости фильтрации:

V =ки&тьОэч>, к,г(5,л,даф . v _ М5.л>0 8Ф | кгг(^л,даФ;(7)

1 ВДц,?) ' 1 Sri

где Ф = Ф(4,Т|) . Подставляя (7) в интегральное по толщине криволинейного слоя уравнение неразрывности (6) и выполняя необходимые преобразования, для функции выводим уравнение д

Яф дФ

8% дц

8 + —

дц

Яф Яф

хя|_

= 0> (8)

в котором через Тц(4, Т|), Т12О;, ЛХ ТггС^, Т]) автором обозначены вьтоажения

Tu(5.n) = J = J (н3 -kn)d;= J рЛ kJ2 jd;>(9)

названные коэффициентами проводимости искривлённого пласта. Уравнение (8) целесообразно рассматривать совместно с системой

т„м|+т„Ы£-£ ; ^ft-Of^fcOf-f.™

что позволяет применить методы теории обобщённых аналитических функций (И.Н. Векуа, L. Bers, A. Gelbart и др.) к исследованию течений в искривлённых слоях конечной толщины. Если в (10) перейти к новым переменным И Т)ь связанным с прежними Г| системой уравнений Бельтрами

(где р(^1,Г11)=т/Т11Т22 — Т,2) системы, определяющей р-аналитические (по Г.Н. Положему) функции Ф(4ь Л0 + ^^(^ь тц) = лу^) комплексного переменного = + 1-т]ь

В частном случае, когда пласт настолько тонкий, что можно пренебречь изменениями параметров Ламе по его толщине и принять их равными своим значениям на подошве, то из (8)-(10) получим уравнения О.В. Голубевой для изотропных бесконечно тонких слоев. Из этих же уравнений (8)-(10) как частный случай вытекают уравнения плоскопараллельной фильтрации в однородных и неоднородных анизотропных средах. В диссертации доказано, что плоскопараллельная фильтрация во всех анизо-тропно-одноролных средах с постоянными главными проницае-мостями А.] и У которых одно ГНА перпендикулярно к плоскости течения, а два других в этой плоскости всюду направлены по касательным к линиям уровня функций

(а и р - одновременно не равные нулю постоянные, Н(г|) -произвольная положительная непрерывная фунщия, а £ и г} -изотермические криволинейныекоординаты),

описываетсякомплексными потенциалами

МО= ф(4ь'П1)+1'Ч'(4ь'ПО> представляющими аналитические функции комплексного переменного £ = + Ьг|ь

Формулы (14) исчерпывают весь запас известных случаев (В.И. Аравин, Е.С. Ромм, Г.К. Михайлов и др.), когда плоскопараллельные течения в анизотропно-однородных средах исследуются методами аналитических функций комплексного переменного с помощью «изотропизирующих» подстановок.

В 5-ом параграфе 2-ой главы указывается новый класс плоскопараллельных течений в однородных средах с прямолинейной анизотропией, когда тройка попарно-ортогональных ГНА имеет произвольную ориентацию относительно плоскости течения. Доказано, что плоскопараллельные течения в этих средах описываются комплексными потенциалами ср(Х,У) + №(Х,У) = представляющими собой аналитиче-

ские функции комплексного переменного

Ь л/ас — Ь2

¿¡ = Х— У + 1--У.(Через ф, X, У, а, Ь, с обозначены:

с с

ф ---> 3 - К1( , I ° ~ К12 , >

Ц ^зз кзз

к2 к к с = к22—У = у--~г, где х, у и г - де-

^зз к33 к33

картовые координаты, причём х, у расположены в плоскости течения, а заданные постоянные компоненты тензора проницаемости анизотропной среды).

Основные результаты 2-ой главы: 1) выведено интегральное по толщине искривлённого слоя уравнение неразрывности для двумерных течений; 2) выведены общие уравнения двумерной фильтрации несжимаемой жидкости в искривлённых слоях с конечной толщиной; 3) указана связь общих уравнений двумерной фильтрации в анизотропных (однородных и неоднород-

ных) средах с теорией обобщённых аналитических функций Г.Н. Положего и плоскопараллельной фильтрации в однородных анизотропных средах с теорией аналитических функций комплексного переменного; 4) указан широкий класс законов распределения ГНА в анизотропно-однородных средах, для которого «изотропизирующие» подстановки находятся при помощи квадратур по выведенным формулам; 5) указан новый ранее не исследованный класс точных решений уравнений плоскопараллельной фильтрации в однородных средах с прямолинейной анизотропией.

, В 3-ей главе исследуется точность фильтрационных расчётов в слоистых средах методами однородно-анизотропного эквивалентирования.

Впервые проводить расчёты потенциальных полей в слоистых средах методом однородно-анизотропной аппроксимации предложил » в 1932 г. немецкий физик-электротехник Ф. Оллендорф. Несмотря на широкое применение этого метода в электротехнических (Ф. Оллендорф, И.Е Тамм и В.Л Гинзбург,

A.В. Нетушил, Л.М. Бреховских, В.Ф. Кулько,

B.Н. Михайловский, В.Н. Острейко и др.) и в фильтрационных (В.И.Аравин, Е.С.Ромм, Г.К.Михайлов, СЕ.Холодовский и др.) расчётах, специальных исследований его точности не проводилось. Поэтому ставились задачи: 1) исследовать погрешность фильтрационных расчётов в многослойных средах (МС-средах) методом однородно-анизотропного эквивалентирования и 2) дать рекомендации по его применению. Для этого выполнялись сопоставительные расчёты течений в слоистой среде и её анизотропных моделях, к которым приводят конкретные методы эквивалентирования (локальный, интегральный или какой-то иной).

В методе локального однородно-анизотропного эквивалентирования расчёт главных проницаемостей анизотропной модели осуществляется в местных для ячейки со декартовых координатах. Главные проницаемости находятся из равенства потоков вдоль осей симметрии в ячейке соответствующим потокам (при тех же граничных^условиях4) в объёме со, принятом за анизотропную среду с ГНА

В методе интегрального однородно-анизотропного эквивалентирования расчёт главных проницаемостей выполняется для всей многослойной области £2 в целом в системе координат, координатные линии которой совпадают как с границами раздела чередующихся изотропных слоев многослойной среды, так и с границами дС1 области О. Они находятся из равенства потоков

вдоль слоев Ь, и перпендикулярно к ним Ь2 в многослойной области С2 соответствующим потокам (при одинаковых граничных условиях) в этой же области, принятой за анизотропную среду с ГНА Ь,, Н2. Недостаток метода интегрального однородно-анизотропного эквивалентирования: координатные линии выбираемой системы могут совпадать с границами раздела сло: ёв, но не совпадать с границами сЮ расчётной области. В этом случае расчёт главных проницаемостей анизотропной модели неизбежно приходится выполнять по методу локального однородно-анизотропного эквивалентирования, что и объясняет его широкое применение на практике.

В § I рассматривается иллюстративная задача расчёта дебита скважины в МС-среде (рис. 1 и 2) методами 1) локального и 2) интегрального однородно-анизотропного эквивалентирований.

Расчёты дебита в слоистой среде по методу интегрального однородно-анизотропного эквивалентирования средой с радиальной анизотропией для рис. 1 и 2 приводят к точным результатам при любом числе слоев и любом законе изменения их размеров.

Результаты от-

(в %) расчётов дебитов Qтoчн

методом локального оонорооно-анизотропного эквивалентирования для рис.1 приведены в таблице 1, а для рис.2 - в таблице 2. Представленные результаты показывают медленную сходимость данного метода к точному решению, которое практически достигается лишь тогда, когда в области фильтрации укладывается не менее ~ 5-10 -г 10 слоёв. Число слоеи и реальных многослойных средах изменяется в диапазоне » 50н-5-10 , затрудняющем получение высокой точности расчётов по этому методу. Таким образом, рассмотренный пример показывает, что для повышения точности фильтрационных расчётов в МС-средах по возможности нужно применять метод интегрального однородно-анизотропного эквивалентирования.

В §§ 2 и 3 автор доказал обобщения фильтрационных теорем О.В. Голубевой об окружности и прямой на среды с центральными и конгруэнтными законами распределения ГНА со-

ответственно. Эти теоремы применялись к исследованию точности метода локального однородно-анизотропного эквиваленти-рования слоистых сред в других задачах.

Таблица 1

Число сло£в Отношение Ь/гм |. -+тй случай- 109 Отношение проницаемостей £ ~ ку/к2

2,00 10.00 20,00 100,00

0,50 0.10 " оде------- 0.01

100 0,9900 +ЗД0 ±7,87 ±8,70 ±9,42

500 0,1980 ±0,70 ±1,73 ±1,91 ±2,07

50000 ' ' 0,0020 ' ±0,01 ±0.02 ±0,02 ±0.02

Число сло£в Отношение Ь/Го, 2-ой случай-11/^=1000

1000 0,9990 ±2,17 ±5,34 ±5,90 ±6,40

5000 ' "" О^Й ±0,48 ±1.17 ±130 ±1,41

50000 0,0200 ±0,05 ±0,12 ±0,13 ±0,14

Число сло?в Отношение Ь/Го. • 3-ий случай: Я/г™"* 10000

5000 1,9998 ±2,83 ±6,96 ±7,69 ±8,33

.....10000"...... 6,995)9 ±1,63 ±4,01 ±4,44 ±4.80

100000 6,10000 ±0,18 ±0,44 ±0,49 ±0,53

(Знаки «+» соответствуют значениям 8= 2; 10; 20 и 100, а знаки «-» - для е = 0,50; 0,10; 0,05 и 0,01)

Таблица 2

Число секторов - Отношение проницаемостей Е — к^ /к2

0,01 0,05 «У0, 050 т 10,00 20,00 100,00

7 ' -1628" "Ш4 ■--1124' -100 4,55 1047 1145 12,28

И " -9.78" ■"8,96" "-3113"" "2,94 7,<й

21 -4,90 ' 450"" "Я0Г -1,61 1,56 ' 3,75 4!13 '"4,46 ""

51 -1.Э6' ■ -1,63 " -0,66 ' 0,65 ■"1,58 " 1.74 1189

101 -0,98' -0,82 -0,33 о|зз 0,80 0,89 "0,96"

501 -0.20' -0.18' -0,16 -0,07" "007 ~ 0.16 " 0,18 0.20

1001 " -0,10 -0,09 -0,08 -0,03 о!оз 0,08 0,09 О.Ю

5001 -0,02 1 --0,02"" "-0,02 ' 0',01 " "0!02 " " 0!02" 0,02 '

В §4 исследовались искажения плоскопараллельных фильтрационных потоков в однородной изотропной среде с проницаемостью к круглым слоистым включением радиуса R из п колец с одинаковой толщиной и с вырождающимся в круг центральным кольцом (рис.1). Приведены точные аналитические решения задач об искажении фильтрационных потоков: 1) поступательного, 2) от точечного источника, расположенного на расстоянии Ь > К от центра включения и с обильностью я и 3) от аналогично расположенного диполя с моментом М. С помощью полученных решений вычислены фильтрационные потоки (^мслк через диаметр круглого слоистого включения, перпендикулярный к неискажённому поступательному потоку в 1-м и к отрез-

ку, соединяющему, точечную особенность с центром включения, во 2-м и 3-м случаях. Для этих же задач с помощью обобщённой теоремы об окружности строились точные решения, когда круглое слоистое включение на рис.1 с помощью метода локального однородно-анизотропного эквивалентирования моделировалось как радиально-анизотропное с главными проницаемостями 2к к к + к

вдоль радиусов и перпендику-

к, к-> 2

лярно к ним.

Таблица 3

к2 к А ^2 4 X, I а и = 10 и = 20 п = 30 и = 50 « = 80 и = 10(

3,% а. г.% е. З'А ей 5% Й. 3,% 3,%

« 2,243 0,889 1 2 3 0,972 1,099 1,030 2.88 9.00 2,91 0,986 1,048 1,014 1,42 4,58 и» 0,990 1,032 1,009 1,01 3,10 0,89 0,995 1,019 1,005 0,60 1.86 0,50 0,996 1,011 1.003 0,40 1,09 0,30 0,997 1,009 1,002 0,30 0,89 0,20

40 2,449 0,490 1 2 3 0,929 1,003 0,996 7,64 0^0 0,40 0,964 1,001 0,999 3,73 0,10 0,1 0,976 1,000 1,000 2,46 0 0 0,986 1,000 1,000 1,42 0 0 0,991 1,000 1,000 0,91 0 0 0,992 1.000 1,000 0,81 0 .0

чо 1 0,221 1 2 3 1,093 1,066 1,026 8.51 «.19 2,53 1,047 1.032 1.016 4,49 3,10 1,57 1,031 1,022 1.006 3,01 2,15 0,60 1,019 1,013 1,003 1,86 1.28 (Ц0 1,012 1.008 1,002 1,19 0,79 0,20 1,009 1,007 1,001 0,890,70 0,10

0,516 0,064 1 2 3 0.865 0,887 0,956 15,61 12,74 4,60 0,933 0,945 0,954 7,18 5,82 1,63 0,956 0,964 0,988 4,60 3,73 1,21 0,974 0,978 0,994 2,67 2,25 0,60 0,984 0,986 0.996 1,63 1,42 0.40 0,987 оде 0.997 М2 1,11 0,30

1 0,316 0,004 1 2 3 0.618 0.662 0,758 61,81 51,06 31,93 0,793 0.831 0,928 26,10 20,34 7,>6 0,863 0,893 0,970 15,87 11.98 3,09 0,919 0,939 0,987 8,81 6,50 М2 0,950 0,963 0,992 5,26 3.84 0.81 0.961 0.970 0,993 4.06 3.09 0,70

8' о 0,316 0,004 1 2 3 1.209 1,159 1,163 17,29 13,72 14,02 1,143 1,110 1,087 12.51 9,90 8,00 1,106 1,079 1,051 9,58 7.32 4,85 1,069 1,048 1,022 6.45 4,58 2.15 1.045 1,030 1,011 4,31 2,91 1,09 1,036 1,024 1,008 3,47 2,34 0,79

Сравнение фильтрационных потоков в слоистой среде и её ра-диалъно-анизотропной модели. (В левых столбиках отношения

, в правых -относительная погрешность в расчетах

ш -чйшО

потоков по методу анизотропного эквивалентирования). 1 -поступательный поток; 2 - источник; 3 ~ диполь; (Ь/К=1,2).

С помощью полученных решений вычислены фильтрационные потоки <3Ш! через такой же диаметр круглого радиалыю-

анизотропного включения, аналитические выражения для которых применялись при сравнения величин и и ан в рассматриваемой слоистой среде и в ее анизотропной модели. Вычислены отношения Омелк/Ран и относительные погрешности 5 (в процентах), появ-* ляющиеся при замене слоистой среды её радиально-анизотропной моделью и приведённые в таблице 3. Расчёты в ней показывают, что метод локального однородно-анизотропного эквивалентрирова-ния для оценки фильтрационных потоков имеет ограниченное применение. Его погрешность становится удовлетворительной не более 4...5% при к^/кг не превышающем 10 , когда толщина слоев не превышает 1% от характерного размера области фильтрации (когда п = 100).

В §5 методом конформных отображений рассчитано точное значение полного фильтрационного потока (^аниз от отрезка АВ к отрезку CD на рис.3 в прямоугольной области с прямолинейной анизотропией. С помощью прямолинейной анизотропии здесь моделировались фильтрационные свойства слоистой среды, для главных проницаемостей которой оба метода (интегрального и локального) однородно-анизотропного эквивалентирования приводят к

^ _ к, +к2

2к к

одинаковым формулам X, =-и

к, + к2 ¿.

Величина соответствующего фильтрационного потока в

слоистой среде на рис. 3 вычислялась численными методами. Применялся метод сеток для просчёта потенциала скорости фильтрации в каждом слое, и потом с помощью численного интегрирования находилась величина Рмелк- Результаты расчётов

С>0 Оо

полных фильтрационных потоков

в слоистой среде

и в её

и

^Смелх ^<аниз

относительных

погрешностей

анизотропной модели

^_ 1^мелк Раниз 1

^мелк

валентирования представлены в таблице 4. (В вычислительном

•100%

метода однородно-анизотропного экви-

эксперименте MBED

квадрат; через

18

-1— обозначена базисная величина, соответствующая полному фильтрационному потоку при АВ = МВ и БС = БЕ).

Таблица 4

Общее число слоев | 2 | 4 | 10 | 20 | 30

Для X, / Я.] = 0,1 величина Оо / 0,т, = 1,139

Оо / О,«, 1,428 1,338 1,226 1,188 1,167

Погрешность 4 % 20,2' 17,5 ?,1 4,1 2,4 "

Для Х1 /Яг = 0,5 величина О» / 0»»ш _ 13П

Оо/О^ 1,449 1,397 1,341 1,328 1,321

Погрешность <5 % 5.7 1,8 0,8 0,3

Для Х1 / X» = 0,75 величина Оо / Оюв1 = 1,396

Оо / 1,463 1,433 1,404 1,400 1,396

Погрешность <5 % 4,6 2?6 0,6 0,3 о!о

Удовлетворительная точность расчётов фильтрационного потока, наблюдаемая в таблице 4 при сравнительно малом числе слоев (начиная с 10 и более), объясняется тем, что анизотропная модель для рис.3 совпала с моделью метода интегрального экви-валентирования, точность которого по сравнению с методом локального эквивалентирования выше.

Выводы по 3-ей главе. Рассмотренные примеры подтверждают, что со стремлением к нулю отношения а/Ь (а - толщина отдельного слоя в слоистой среде, Ь - характерный размер многослойной области фильтрации) величины таких интегральных характеристик, как поток, можно вычислять с достаточной для практики точностью, аппроксимируя в расчётах слоистые среды их анизотропными моделями. Такая аппроксимация существенно упрощает расчёты и приводит к удобному для анализа аналитическому решению задачи. При этом точность аппроксимации выше по методу интегрального, чем локального однородно-анизотропного эквивалентирования. Кроме того, точность метода однородно-анизотропного эквивалентирования тем выше, чем большая часть линий тока поля почти ортогональна (или, наоборот, почти параллельна) границам раздела изотропных слоев, составляющих слоистую среду. В проанализированных в 3-ей главе примерах, относящихся к абсолютно различным ситуациям, погрешность при оценке интегральных характеристик поля в слоистой среде, моделируемой анизотропной, не превышала 5% пои широком диапазоне изменения коэффициента анизотропии (ОД < Я.НИЙ /Я,макс < 1), если а/Ь<0,03.

В 4-ой главе исследуются особенности фильтрации в ПЗС - влияние на дебит скважины: скачка проницаемости в ПЗС; конструктивных особенностей скважинных фильтров; наличие трещин гидроразрыва. Для изучения перечисленных проблем

автором предложены удобные для практического применения методы, пополняющие арсенал инженерной математики.

В §1 по литературным данным (монографий Ю.М. Басарыгина, А.И. Булатова, Ю.М. Проселкова и В.М. Гаврилко и B.C. Алексеева) кратко описываются типовые конструкции промышленных фильтров скважин.

В §2 исследуется вопрос о погрешности расчёта дебита одиночной круговой скважины, у которой режим фильтрации в ПЗС может стать нелинейным. Погрешности появляются из-за того, что точных значений критических чисел Рейнольдса, устанавливающих границы для линейного закона Дарси, не существует. Выведены уравнения для расчёта в ПЗС радиуса го перехода от линейного к нелинейному режиму фильтрации и соответствующие формулы для дебита Q. По выведенным формулам проведены вычислительные эксперименты, показавшие, что 1) относительные погрешности в расчётах дебитов газодобывающих скважин не превзойдут 6%, если переход к нелинейному режиму учесть по любому конкретному критерию, 2) неучёт ПЗС с нелинейным режимом фильтрации приводит к заниженному значению дебита газодобывающих скважин со значимыми погрешностями (до 14%), 3) радиусы призабойных зон газодобывающих скважин с нелинейным режимом фильтрации могут достигать 50-60г скв, 4) для нефтедобывающих скважин фильтрация в ПЗС в большинстве случаев подчиняется линейному закону.

Другая причина, заставляющая проводить специальные исследования фильтрации в ПЗС, связана с тем, что в действительности течение в ней всегда является осесимметричным, тогда как в классических постановках задач его считают плоскопараллельным. Вопрос, можно ли пренебрегать осесимметрич-ностью течения, исследуется в §§ 3 и 4 на примере работы скважины с гравийным фильтром. В § 3 дано качественное решение задачи о фильтрации к скважине с гравийным фильтром, а в §4 - её точное решение. Анализ полученного приближенного решения привёл к выводам: 1). Если безразмерный параметр

Рис. 4. Схема каркасно-сгержневого фильтра, используемого в водадобывающнх скважинах г* , радиус скважины, р - половина раствора угла щели, а - половина раствора угла непроницаемой стенки, Я -радиус невозиущ£нной круговой зквипотенциали

соответственно проницаемости пласта и гравийного фильтра, радиус кругового контура питания, радиус 6ШШНЫ, мощно&ь ПЛАЧА)

принимает значение х ^ 0,5, то тогда: приведенное давление вдоль ствола скважины можно считать постоянным, равным Рс; дебит центральной скважины можно вычислять по классической формуле Дю-пюи; скорость

фильтрации имеет равномерное распределение по всей длине ствола скважины. 2). Если х> 0,5, то приток флюида в скважину происходит неравномерно: у подошвы пласта скорости фильтрации ничтожно малы, а при приближении к кровле пласта они резко возрастают и могут приводить к вымыву частиц породы возле кровли в скважину. Приведённое давление вдоль ствола может изменяться в широких пределах, включая крайние от Рп ДО Рс- Расчёт дебита по формуле Дюпюи в этих случаях даёт сильно завышенные значения. Анализ в §4 точного решения этой задачи приводит к таким же выводам, но с непринципиальными количественными уточнениями по всем перечисленным позициям.

Учёт конструктивных особенностей применяемых в промыш-

ГТРН НГ1РТТ/1 Гк'га'|1('ИННк|У 1+1И ГТ кТППЙ ГЯП1<'ЯГНА-ГТРПЧ|'НРРпГП - ПТ/ГГ. 4

о Ё •8

а

X

<5

Оешмстъ

Рис. 7. Сопоставление фильтров различных конструкций. (Оо - дебит совершенной скважины, скважность - отношение суммарной площади щелей (отверстий) к площади ствола скважины)

го исследования пространственной фильтрации в ПЗС. Строгое гидродинамическое исследование пространственных течений к фильтрам скважин очень сложно. Ранее подобные исследования чаще на электролитических моделях проводились М.Н. Тиховым, В.И. Щуровым, Додсоном и Кардуэллом и др. В диссертации для приближённого аналитического исследования пространственных течений в ПЗС, в том числе к скважинным фильтрам, предложен единый подход - метод средневзвешенного потенциала (СВП), часто применяемый в теоретической электротехнике и известный в ней как метод Для скважин с

мулой В.П. Пилатовского расчёты показали удовлетворительную точность метода СВП. Его погрешность не превышает 5-7%, но всегда приводит к заниженному значению дебита. По формулам (15) проведены вычислительные эксперименты для выявления зависимости дебита от типа конструкции скважинного фильтра. Данные вычислительных экспериментов на рис. 7 показывают, что в промышленности целесообразнее использовать перфорационную конструкцию, для которой характерна высокая пропускная способность при малой (20-25%) скважности, что позволяет обеспечить фильтру необходимые прочностные качества.

В §9 исследуется влияние скачка проницаемости приза-бойной зоны на дебит скважины. Решение этих задач автор

строит с помощью доказанной им теоремы о подобии фильтрационных полей в грунтах со специальными законами изменения проницаемости. На рис.8 и 9 приведены области с прямолинейной и круговой границами контура питания, круговая приза-бойная зона скважин в которых имеет проницаемость к|, отличающуюся от проницаемости ко остальной части пласта. С помощью теоремы о подобии найдены верхняя и нижняя оценки СЬ и (¡>2 дебита скважин, позволившие действительное значение определить с высокой точностью. Кроме теоремы о подобии, разработан ещё один приближённый способ учёта скачка проницаемости в ПЗС одиночной скважины, основанный на том, что течение в ПЗС можно принять как плоскорадиальное. Исходя из этого, автор свёл задачу к конформному отображению области фильтрации с выброшенной круговой частью ПЗС с радиусом п на круговое кольцо. Если это конформное отображение I: = найдено, то дебит Q скважины со скачком проницаемости в ПЗС можно вычислить по формуле

Рис. 8

Рис.9

где Zn и Zc - комплексные координаты точек контура питания П

и круговой границы ПЗС, а го-радиус скважины. Задачи, представленные на рис. 8 и 9, решены и вторым способом. Сопоставительные расчёты дали практически совпадающие результаты, показавшие, что, повышая проницаемость ПЗС, можно заметно увеличить дебит. Пониженная по сравнению с пластом проницаемость ПЗС приводит к резкому сокращению дебита скважины.

В §§ 10и 11 исследуется вопрос о дебите скважины, в призабойной зоне которой сделан вертикальный (рис. 10) либо горизонтальный (рис.11) гидроразрыв пласта. Исследование эффективности вертикального гидроразрыва изучалось в работах В.М. Ентова и В.В. Мурзенко, К.М. Донцова с соавторами, В.В. Кадета и В. И. Селякова, Р.Д. Каневской и P.M. Кац, А.Ф. Зазовского и Г.Т. Тодуа, А.В. Доманского и др. Эффективность горизонтально -го гидроразрыва пласта исследовалась методом электролитического моделирования С.А. Христиановичем и Ю.П. Желтовым. Приближённое решение о притоке к скважине с одной серединной горизонтальной трещиной методом ЭГДА получено Ю.Н. Васильевым и А.И. Башкировым.

В диссертации для выявления главных фильтрационных эффектов, вызванных гидроразрывом пласта, применён метод СВП. Для дебита Q скважины с вертикальными щелями на рис. 10 методом СВП получено выражение

Чепез Ол б сЬопмуле (17) обозначена базисная величина

2т1-(фщ-фп)-Ь „

(¿о =-7=——-. Случаи, когда в ПЗС только две верти-

кальные трещины, расположенные на одной прямой, позволяет воспользоваться известным точным решением для электростатического аналога задачи. Это точное решение применялось для

оценки погрешности формулы (17) при Кщ == 2 и г, ^ 300гс и показало, что формула (17) даёт всегда заниженное на 5-7% значение дебита Q. Формула (17) применялась для анализа эффективности вертикального гидроразрыва пласта. По результатам расчётов сделаны выводы: 1). Дебит скважины существенно зависит от радиусов вертикальных трещин. С ростом радиуса трещин дебит возрастает. 2). С ростом числа щелей дебит растёт, но

быстро из-за интерференции щелей достигает асимптотического значения. Оптимальное число вертикальных трещин при гидроразрыве пласта от 2 до 4. 3). Выгод-

Рис. 11. Расчётная схема течения к горизонтальной трещине по комбинированному методу фрагментов и СВП

нее создавать небольшое количество крупных по размерам трещин, чем большое количество мелких.

Для гирлянды из N горизонтальных трещин, равномерно распределённых вдоль непроницаемого вертикального ствола скважины, поверхность каждой из которых моделировалась как эквипотенциальная, по методу СВП получена следующая формула дня дебита С^:

и 11о = Я/гс ; Ъ0 = Ь/гс ; х = 1 + т\/тс ; уг = (Ь - £)/гс ; у2 = £/гс,

бит совершенной скважины с радиусом го и вычисляемый по формуле Дюпюи. Вычислительные эксперименты, выполненные с помощью (18), показали: 1) для повышения производительности скважины выгоднее создавать одну крупную ГТ в середине пласта, чем множество мелких трещин в гирлянде, 2) для одной трещины гидроразрыва максимальный дебит достигается при её расположении в середине пласта и 3) если размер этой единственной трещины больше мощности пласта (п > о), то её расположение вдоль ствола скважины практически не играет роли. К таким же выводам приводят исследования, полученные методом электролитического моделирования (Г.Б. Пыхачев, Р.Г. Исаев).

Основные результаты главы 4: 1) автор доказал, что классическая постановка задачи о течении к скважине, когда поверхность её ствола принимается за эквипотенциальную, может приводить к заметным ошибкам в расчёте дебита, если не учесть по приведённому в диссертации критерию возможность перехода в П13С плоскорадиального течения в осесимметричное; 2) доказана необходимость учёта при расчёте дебитов скважин возможного перехода в ПЗС линейного режима фильтрации к нелинейному; 3) доказано, что расчёт сложных трёхмерных фильтрационных течений в ПЗС с приемлемой точностью можно выполнить методом СВП; 4) проведены расчёты и даны

I

(18)

. В (18) через С?о обозначен де-

практические рекомендации по оптимальному соотношению проницаемостей ПЗС и пласта, по техническим параметрам применяемых фильтров и по количеству и размерам искусственно создаваемых трещин гидроразрыва.

В 5-ой главе исследуются математические модели интерференции нефтедобывающих скважин, уточняющие постановки В.Н. Щелкачёва для таких же задач. В ПЗС учитывается возможность, во-первых, скачков проницаемости и, во-вторых, перехода фильтрации от линейного режима к нелинейному.

§1 носит вспомогательный характер. В нём описывается метод функций Грина для расчёта плоскопараллельной фильтрации к одиночной скважине, эксплуатирующей при линейном напорном режиме неоднородный изотропный пласт с проницаемостью К(х,у) = ко*к(х,у), где ко - размерная константа, а к(х,у) -такая безразмерная функция, что для эллиптического уравнения

дк

д + —

Зу

дУ.

= 0 (19)

с коэффициентом к(х,у) известно фундаментальное решение g(x,y,xo,yo)- Математическая постановка сводится к краевой за-

k -Р

даче для уравнения (19) относительно потенциала <р = —-— с

И

граничными условиями

ф|п - Фп ~ const и ф|с = Фс = const » (20)

где П -контур питания в области фильтрации D, а С -контур скважины. Для расчёта потенциала течения к скважине предварительно строится функция Грина фо(х,у) = g(x,y,Xo,yo) + ЯХ>У)> где f(x,y) — регулярное в области D решение уравнения (19), удовлетворяющая однородным условиям Дирихле Фо(х,у)п = 0 и описывающая точечный сток в точке (хо,уо) с

нормированным удельным дебитом 2л. После этого потенциал течения к скважине с удельным дебитом Q найдём по формуле

ф(х'У)=^Г"-Фо(х'У)+А' (21>

~ . 2 я

постоянные Q и А в которой определяем из граничных условии (20). В результате из (20) и (21) для удельного дебита получаем формулу

д= 2л-(фс-фп) ^ (22)

Фо(хс»Ус) где (хс,ус) - точка контура скважины.

В §§ 2 и 3 рассматриваются задачи расчёта дебита одиночной круговой скважины 1) в неоднородных анизотропных пластах с линейным режимом фильтрации и 2) в изотропных пластах - с нелинейным. Здесь предложены вариационные методы (пробных эквипотенциалей и пробных линий тока) для расчёта в аналитической форме верхних и нижних оценок дебита скважины.

В §4 исследуется интерференция п скважин, эксплуатирующих неоднородный изотропный пласт. Область фильтрации D ограничена контуром питания П и круговыми контурами скважин Ск с радиусами гк (к = 1,2, ... ,п ), на которых заданы

значения ф|с = фк = const. Потенциал ср(х,у) течения от п

скважин ищется в виде суперпозиции функций Грина фк(х,у) = g(x,y,xk,yk) + fk(x,y), описывающих отдельные точечные стоки:

п

(23)

Ы

где — неопределённые множители, связанные с дебитами Qk равенствами Постоянные находим из

граничных условий на контурах питания и скважин, которые приводят к системе линейных алгебраических уравнений (СЛ^У)^

Знак "штрих" у суммы здесь и далее означает, что индекс суммирования i ^ к. Приращения Ахк и Дук определяют точку на контуре Ск.

В §5 предложена математическая модель взаимодействия п скважин, в призабойных зонах которых свои индивидуальные проницаемости, не равные проницаемости пласта. Призабойная зона каждой скважины с центром в точке (xm,ym) и с радиусом Гош принимается за круговую с радиусом rm и с постоянной проницаемостью km. Течение в ПЗС рассматривается как радиальное. Радиусы гт ПЗС считаются достаточно малыми по сравнению с другими расстояниями в области фильтрации. Предполагая перечисленные допущения выполненными, для дебитов скважин

ш приходим к СЛАУ

Количество скважин п

Рис. 12 — Зависимость суммарного дебита центральной круговой батареи от числа скважин пи от отношения проницаемо -стей к]/ко. Радиус контура питания Я- 10 км, радиус ПЗС — 10 м, радиус скважин — 0,1м. (к) - проницаемость ПЗС, ко - проницаемость пласта). Радиус батареи - Г/=1 км. Qo - базисная величина, дебит фиктивной круговой скважины в центре пласта.

В частном случае, когда п скважин расположены равномерно в круговой батарее с радиусом п и с центром, совпадающим с центром однородного изотропного кругового с радиусом К пласта, а радиусы гс всех скважин, их призабойных зон Го и давления Рс на скважинах одинаковы, получено решение:

■тлоА., ух п ГС/

( (г Л

ц. к01п — +к,1п(в)

2ик0к,(Рп-Рс)

\тс) у

Здесь удельный дебит одной скважины в батарее, проницаемость ПЗС

скважин, ко — проницаемость пласта. Суммарный дебит батареи равен (^е = п*0}ормула (26) обобщает формулу В.Н. Щелкачёва и переходит в неё при ко-к} или при Го == Гс. Она применялась в вычислительном эксперименте по исследованию

от отношения проницаемостей —. Результаты

к0

расчётов, представленные на рис. 12, показывают, что повышение проницаемости ПЗС более чем в 20 раз неоправданно, в промысловой практике достаточно увеличивать проницаемость ПЗС в 5 раз. Ухудшение проницаемости ПЗС сильнее сказывается на суммарном дебите батареи, чем её увеличение. Поэтому необходимо предусматривать защитные меры, предотвращающие понижение проницаемости ПЗС.

В §6 предложена математическая модель интерференции

у

скважин с нелинейным режимом фильтрации £гас! Р = -^у) • —

в призабойных зонах с заранее неизвестными радиусами гт. Для расчёта дебйтов скважин <Зт = 2я-Х.т выведена система нелинейных алгебраических уравнений

Система (27) из Зп уравнений замкнутая, число неизвестных в ней Хь 7-2, • •••Дп, Рь Рг» ••• ,Рп, Г1, Г2, гп соответствует числу уравнений.

V

. (27)

Основные результаты 5-ой главы: 1) разработаны общие математические модели, описывающие работу в изотропном неоднородном пласте а) одиночной скважины, б) группы скважин, в) группы скважин со скачками проницаемостеи в ПЗС, г) группы скважин с нелинейным режимом фильтрации в ПЗС; 2) предложен метод построения серии точных решений (в постановке для двухсвязных областей) задач фильтрации к круговой скважине с конечным радиусом; 3) предложены вариационные методы расчета верхних и нижних оценок дебита одиночной скважины; 4) по предложенным математическим моделям выполнены вычислительные эксперименты и сделаны выводы.

У

В

х°=0

О

©

и-«

©

©

.и

щ-1

©

°=/

М

X1 х2 хЬ2 х'-1

х4 Xм х°-2 хп-1 Б X

Рис. 13. х1" = ; х" = £(1к 31 ; <!' = х' -хы ; к-1 к«|

£! _ безразмерная постоянная, коэффициент анизотропии /-Тх ........

го слоя; у, = у' -Г 00;. % = е' -у' -Г 00»' Г (х) - безразмерная функция, характеризующая закон неоднородности 1-го слоя.; Г(х'4) = 1; Г(х') = т'. Постоянная х1 - коэффш{иент неоднородности г-го слоя, у1 - размерная постоянная (проницаемость). сГ - ширина 1-го слоя. Функция о!(у) - плотность распределения источников в /-ом слое.

В 6-й главе разработана теория расчёта плоскопараллельных фильтрационных течений в многослойной области G в виде криволинейного четырехугольника, ограниченного дугами ко-

ординатных линий ортогональной изотермической системы координат Р, Q. Расчётная область заполнена многослойной неоднородной анизотропной средой (МС-средои)., границы отдельных слоев которой совпадают с линиями Р = const (или Q = const).

В изотермических Р, Q и в декартовых (для прямоугольной области) координатах х, у расчёт поля в МС-среде осуществляется по алгоритмам, которые отличаются лишь непринципиальными деталями. Поэтому без ограничения общности далее рассматривается область в виде прямоугольника MBED (рис. 13), заполненного средой с прямолинейной анизотропией. Её физические характеристики претерпевают конечные разрывы во внутренних точках

< xn-i < хп = ГНА всюду совпадают с осями х и у, а собственные значения Ti(x) и Гг (х) тензора проницаемости среды на отрезках Aj = [xi-i, Xj] задаются равенствами

r.L, = Yi. = Уi' fi(x> и ггЦ = Ун = ei • Уi ■ fi(x>» i=1>2.....n-

Поле скоростей фильтрации б(х,у) = ох (х, у) • i + оу (х, у) j в такой среде описывается 1) законом Дарси

о, = -Г, ,и„ =-Г, , в котором потенциал, как обычно, Эх у ду

связан с приведённым давлением Р формулой ф(х, у) = Р(х, у)/р.

и 2) уравнением неразрывности divo = -fi(y). В последнем

Q(y) задаёт плотность источников, определяемых в каждом i-ом

слое по заданным кусочно-непрерывным функциям ю,(у) по

формуле Q(y) = Yj - <о,(у), i = 1, п. После подстановки ох

и v)y в уравнение неразрывности для потенциала ф = ф(х,у) получаем неоднородное уравнение эллиптического типа

L[9(x,y)|8,F(x)]S|-

Р(Х).|£ +е-Р(х).|-? = Д(у) (28) дх] ду

с кусочно-непрерывньши коэффициентами е |хеД| = е1 ; ВД|в еД = ^(х); 0(у)[хеД = со,(У)» которое для послойно перенумерованных значений потенциа-

32

ла ф;(х, у) эквивалентно системе уравнений эллиптического типа

Ь[ф;(х,у)|е(,|;(х)]= Го; (у); 1 = й. (29)

Уравнение (28) и соответствующая система (29) решаются совместно с граничными условиями: на сторонах ВЕ и МР задаются условия Дирихле:

ф£(х,0)|^еД =Ф,(х); Ф;(х,Ь)]х еД1 = Ф2(х); ¡ = й ,(30)

где Ф1(х) и Фг(х) - непрерывные на [0, £] функции. На сторонах МВ и РЕ задаются граничные условия

= F2(y) ,(31)

где ai*, г.2 , b,\ Ьг* - заданные постоянные, a Fi(y) и F2(y) - заданные функции.

На границах контакта слоев выполняются условия сопряжения, выражающие непрерывность давления и нормальных составляющих v„, т.е. при х = хм : фи = ф1 и

«-5= (32)

Расчёты потенциальных полей для задач электротехники с частными случаями кусочно-однородных сред (когда все fi(x)si) и с однородными граничными условиями (30) ранее выполнял В.Н. Острейко. В диссертации сформулированная задача решается для кусочно-неоднородных сред с граничными условиями (30) общего вида. Для этого автор разработал метод перехода к модельной задаче с помощью построения в областях gi = {хц <x<x;;0<y<h} передаточных функций \|/;(х,у), удовлетворяющих однородному уравнению (29) и принимающих в вершинах gi заданные значения

4/i(x_M>°) = <pw; Vi(xw.b) = ф®; Vi(*i.o) = ф^; чл(х;,ь)=фш ,

(i = 1,п). Такие частные решения имеют вид

У dx J f (х)

Vi(x,y) = a, + b, +c; — , (33)

r dx

,J„w

где а; =ФМ, bf = фт -фм, С; = ф1В-ф;мД = Фш + Ф,м - Ф,в " Ф® • Если значения v|/i(x,y) в вершинах gi задавать по формулам Фм = $i(xi-i); Ф1в = Ф2(хм); Фю = Oi(xi); ФiE р^хЛ, то Vi(x,y)-Ha

т v т РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ

,, БИБЛИОТЕКА

Cnenpfijfpr 05 ГЭ «кг

границах у = Оиу = Ьв точках х;, 0,п примут значения граничных условий Ф](х) и Фг(х). Поэтому, разбивая МБ на достаточно мелкие частичные отрезки А-, = [хм, хД, с помощью функций у,(х,у) удастся сравнительно точно удовлетворить граничным условиям (30). Решения уравнений (29), удовлетворяющие условиям (30), получены в виде ср,(х,у) = у,(х,у) + wl(x,y), в котором ш,(х,у) представлены рядами Фурье

^(х»У) = 2,ил(х).5т(А.ку), где Хк =~~ . (34) ы Ь

Функции и,к(х) в рядах Фурье (34) автор представляет в специальном, ориентированном на «многослойные» задачи виде

и>(х)=:Сак-8к(х) + В>-р<,(х)- \ , (35)

, ч зЬЦ^к -Сх, -х)] л/т" - вЬОЗа, • (х - х^)] где = 1-Рй^ (х) = /-

^=х!-х1_1; Р:к = Ак"е, + а? ;

2й{

Ал. = —■ [со. (у) • бш — у |ёу; а С;к и - произвольные посто-

ь I \ ь ;

янные. Законы изменения неоднородности £(х) в каждом слое в (35) выбираются отдельно по любому из трёх перечисляемых вариантов: П. Однородно - анизотропный слой, когда £(х) = 1; (т; = 1). 2).'Анизотропный слой с квадратичным законом изме-

.. х -/тГ.(х—х, ,)+(х,-х) нения неоднородности: 1;(х)= ------—----

Xi-xM

ЗУ Анизотропный слой с экспоненциальным законом: Гх-Х.

f;(x) = ехр-— • ¿п т; В случае произвольного закона f(x)

4xi xi-l

отрезок MD на рис.13 разбивается на частичные отрезки, на которых f(x) аппроксимируется перечисленными выражениями. Для окончательного решения задачи, как это следует из формул (34) и (35), остаётся вычислить коэффициенты разложений С,к и

Цк в рядах Фурье для \у,(х,у). Разработанный алгоритм расчёта этих коэффициентов из граничных условий (31) и (32) сведён к применению метода прогонки.

Кроме изложенного первого, в диссертации подробно рассмотрен второй случай, когда источники поля в МС-среде отсутствуют, С2(у) = 0, а границы МБ и ВЕ для фильтрационного потока непроницаемы, т.е. V* = 0, или

дер1

ду

_ дер'

у-0 Ъ

= 0; 0 = 1,2,...,п) . (36)

у«Ь

Граничные условия на сторонах МВ и ЕБ и на границах контакта слоев во втором случае тоже записываются в виде (31) и (32).

Разработанная теория применялась к исследованию на конкретных примерах точности расчётов фильтрации в слоистых средах методом интегрального однородно-анизотропного эквивалентирования.

Основные результаты главы 6: 1) разработан математический аппарат расчёта линейной фильтрации в кусочно-неоднородных многослойных средах в областях, топологически эквивалентных прямоугольнику; 2) с помощью развитой теории на конкретных примерах выполнены дополнительные исследования точности расчётов в МС-средах методом интегрального однородно-анизотропного эквивалентирования; 3) на примере разработанной теории указаны общие подходы к расчётам полей в многослойных средах в других областях - полосе, полуполосе, круге и н. др., а также в топологических аналогах этих областей в изотермических системах координат.

В приложении 1 приведены справочные сведения по законам ортогонального преобразования базисов, координат векторов и тензоров 2,3 и 4 рангов.

В приложении 2 приводится каталог тензоров прони-цаемостей для линейной фильтрации в средах с конкретными законами распределения ГНА.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании выполненных исследований разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в развитии теории двумерной фильтрации 1) в искривлённых слоях конечной переменной толщины и 2) в многослойных и анизотропных средах.

Основные результаты работы, полученные лично автором:

1. Разработаны алгоритмы для расчёта тензоров проницаемостей тех анизотропных сред, главные направления анизотропии которых известны априори (к ним относятся распространённые в естественных условиях трансверсально-изотропные и ортотроп-ные среды, некоторые периодические, трещиноватые и слоистые среды) при линейном и нелинейном режимах фильтрации.

2. Предложена математическая модель двумерных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в неоднородных анизотропных искривлённых пластах конечной переменной и постоянной толщины.

3. Проведены исследования точности фильтрационных расчётов в слоистых средах методом однородно-анизотропного эквива-лентирования.

4. Разработаны математические модели учёта индивидуальных фильтрационных свойств призабойных зон скважин при исследовании течений к одиночным и групповым скважинам.

5. Предложена качественная и точная количественная математическая модель работы скважины с гравийным фильтром.

6. Предложены математические модели работы основных конструкций промышленных фильтров нефте- и вододобывающих скважин.

7. Предложены качественные математические модели работы скважин при вертикальном и горизонтальном гидроразрыве пласта.

8. Предложена теория расчётов двумерных фильтрационных течений в многослойных и неоднородных средах в области, ограниченной дугами координатных линий изотермических систем координат.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. ЖЕРНОВОЙ А.Д., ДОНЦОВ К.М., ТОЛПАЕВ В.А. Математическая модель вскрытия радиально-анизотропного пласта щелевым способом //Изв. высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. - 1996. - № 1. - С.36-41.

2. ТОЛПАЕВ В.А. Математические модели для фильтрационного расчета гидротехнических сооружений // Изв. ВННИГ им. Б.Е. Веденеева. - Санкт-Петербург, 2001. - Т. 239. - С. 98-109.

3. ТОЛПАЕВ В.А. Математические модели нелинейной фильтрации в грунтах с обобщенной анизотропией // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. - 2000. - № 2. -С.33-36.

4. ТОЛ ПАЕВ В. А. Математическое моделирование нелинейной фильтрации в анизотропных средах обобщённым методом С.Н. Нумерова // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Ес-теств. науки. Приложение. -2003. -№ 12. - С.3-11.

5. ТОЛПАЕв В.А. О построении точных решений задач.напор-ной фильтрации в некоторой серии анизотропных сред // Изв. СКНЦВШ. Естеств. Науки. - 1979. -№4. - С. 33-36.

6. ТОЛПАЕВ В.А. Обобщение фильтрационных теорем об окружности и прямой для анизотропных сред // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. -1984. - №3. - С.32-35.

7. ТОЛПАЕВ В.А. Расчет напорных фильтрационных течений методом виртуальных трубок тока // Сб. мат. Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в научных исследованиях». - Ставрополь, СГУ, 27-30 сентября 2000 г.-Ч. 1.-С.160-164.

8. ТОЛПАЕВ В.А. Расчет статических полей в прямоугольной многослойной области // Изв. вузов СССР. Электромеханика. -199О.-Х°7.-С.5-14.

9. ТОЛПАЕВ В.А. Решение задач фильтрации в кусочно-неоднородных средах методом моделирования границ раздела эквипотенциалями течения // Изв. вузов. СевероКавказский регион. Естеств. науки. -1999. -№ 4. - С.39-43.

10. ТОЛПАЕВ В.А. Решение краевых задач со смешанными краевыми условиями в прямоугольной многослойной области // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. -1998.-№4.-С.47-55.

11. ТОЛПАЕВ В.А. Уравнения линейной напорной плоскопа-раллелыюй фильтрации в анизотропных средах // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. -1984. - № 2. - С.45-49.

12. ТОЛПАЕВ В.А. Уравнения нелинейной фильтрации в анизотропных средах //Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Ес-теств. науки. Приложение. - 2003. - № 7. - С. 7-18.

13. ТОЛПАЕВ В.А. Численно-аналитические методы расчета дебитов одиночных и групповых скважин в неоднородных средах // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки.- 2000. -№ 1.-С.53-52.

14. ТОЛПАЕВ В .А., ЖЕРНОВОЙ А.Д. Решение краевой задачи Дюпюи для среды с прямолинейной анизотропией // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. -1988. - № 4. - С.80-87.

15. ТОЛПАЕВ В.А., ЖЕРНОВОЙ А.Д., ПЕТРЕНКО В.И. Численный расчет емкости цилиндрического конденсатора с анизотропным диэлектриком // Изв. вузов СССР. Электромеханика. -1989. -№6. -С.5-12.

16. ТОЛПАЕВ В .А., ЗАХАРОВ В.В., ПЕТУХОВ А.А. Комплексные потенциалы фильтрационных течений в прямоли-

нейно анизотропных средах с произвольной ориентацией осей тензора проницаемости // Мат. IV Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике». ЮРГТУ (НПИ) - Новочеркасск, 23 января 2004 г. - 4.2. -С.39-42.

17. ТОЛПАЕВ В.А., ИВАНОВА Е.Ф. Интегрирование систем дифференциальных уравнений модифицированным методом исключения // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Ес-теств. науки. -1998. -№ 3. -С.107-110.

18. ТОЛПАЕВ В.А., КРЫМИНЛ.Г. О приближенном расчете электротехнических характеристик плоскопараллельного поля плотности постоянного тока в неоднородном изотропном проводнике // Изв. вузов. Электромеханика. - 1987. - № 4. -С.11-17.

19. ТОЛПАЕВ В.А., ЛЕДОВСКОИ В.И. Расчёт коэффициентов проводимости для изотропных пластов вращения постоянной толщины // Мат. IV Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике». ЮРГТУ (НПИ) - Новочеркасск, 23 января 2004 г. - 4.2. - С.43-46.

20. ТОЛПАЕВ В.А., МАТВЕЕВ Ю.Т. Построение решений некоторых уравнений гиперболического типа методом перехода //Сб. научно-методических статей по математике. - М.: Высшая школа, 1983.-вып. 11.-С.98-107.

21. ТОЛПАЕВ В.А., СЕРБИНАЛ.И. Расчет тензора проницаемости для сред с цилиндрическими законами распределения главных направлений анизотропии // Изв. вузов. СевероКавказский регион. Естеств. науки. -1997. - № 2. - С.41-42.

22. ТОЛПАЕВ В А, ХАРЧЕНКО Ю.В., ЗАХАРОВ В.В. Влияние проницаемости гравийного фильтра на дебит буровой скважины при линейном законе Дарси // Изв. вузов. СевероКавказский регион. Естеств. науки. - 2003. - № 3. — С. 36-41.

23. ТОЛПАЕВ ВА, ШАХНАБАТОВА Л.Б. Комплексные потенциалы плоско-параллельных электрических и магнитных полей в анизотропных средах // Изв. вузов. Электромеханика. -1984. - №3. - С. 5-9.

24. ТОЛПАЕВ В .А., ШАХНАБАТОВА Л.Б. О точности моделирования в статических расчётах мелкослойчатых сред анизотропными // Изв. вузов СССР. Электромеханика. - 1988. - № бТ-С.13-18.

25. ТОЛПАЕВ ВА, ШАХНАБАТОВА Л.Б., КРЫМИНЛ.Г. Об

аппроксимации в электротехнических расчетах мелкослойчатых сред анизотропными // Изв. вузов. Электромеханика. -1985.-№11.-С.23-32.

Объём 2 п.л. Формат А-5. Тираж 100 экз. Заказ 975 Типография Северо-Кавказского государственного технического университета. 355029 г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2

»1119t

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ И АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ.

ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В

АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ РАСЧЁТОВ В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ МЕТОДОМ АНИЗОТРОПНОГО

ЭКВИВАЛЕНТИРОВАНИЯ.

ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ

4 В ПРИЗАБОЙНЫХ ЗОНАХ СКВАЖИН (ПЗС).

ГЛАВА 5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ К ОДИНОЧНЫМ И ГРУППОВЫМ СКВАЖИНАМ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ ПРИ ЛИНЕЙНОМ И НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМАХ

ФИЛЬТРАЦИИ.

ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ РАСЧЕТОВ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ В МНОГОСЛОЙНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ В

ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

г ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ И АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ.29

1.1. Математическое моделирование линейной фильтрации в периодических средах методом анизотропного эквивалентирования.29

1.2. Определения полей главных направлений анизотропии (ГНА) и главных проницаемостей в линейных анизотропных моделях периодических сред.38

1.3. Расчёт эффективных тензоров проницаемостей по заданным полям ГНА и главных проницаемостей при линейном режиме фильтрации.40

1.4. Математическое моделирование нелинейной фильтрации в анизотропных средах методами кристаллофизики.43

1.4.1. Векторно-матричная форма обобщённого закона Дарси (ОЗД) нелинейной фильтрации в анизотропных средах.45

1.4.2. Задача построения тензоров заданной симметрии.46

1.4.3. Математические модели нелинейной фильтрации для конкретных примеров анизотропных сред.48

1.5. Математическое моделирование нелинейной фильтрации в анизотропных средах обобщённым методом С.Н.Нумерова.52

1.6. Пример построения математической модели нелинейной фильтрации в анизотропной среде обобщённым методом С.Н. Нумерова.56

ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В

АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ.62

2.1. Уравнения неразрывности для пространственных, двумерных и плоскопараллельных и фильтрационных потоков жидкости.62

2.1.1 Уравнение неразрывности для трёхмерного пространственного фильтрационного течения.62

2.1.2 Уравнение неразрывности для двумерных фильтрационных течений сжимаемой и несжимаемой жидкости в искривлённых слоях переменной толщины.63

2.1.3 Уравнение неразрывности для двумерных течений несжимаемой жидкости в теории О.В. Голубевой.65

2.1.4 Уравнение неразрывности для плоскопараллельного фильтрационного течения. Функция тока плоскопараллелъного течения.66

2.2. Уравнения линейной двумерной фильтрации несжимаемой жидкости в анизотропных искривлённых слоях переменной толщины.67

2.2.1. Вывод уравнений двумерной фильтрации в ортогональных криволинейных системах координат общего вида.68

2.2.2. Расчёт коэффициентов проводимости для двумерной фильтрации в анизотропных искривлённых слоях постоянной конечной толщины.74

Пример 1. Слои вращения.75

Пример 2. Цилиндрические слои постоянной толщины.76

2.3. Уравнения плоскопараллельных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в анизотропно-неоднородных средах и их связь с обобщёнными аналитическими функциями комплексного переменного .78

2.4. Уравнения плоскопараллельных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в анизотропно-однородных средах и их связь с аналитическими функциями комплексного переменного.80

2.5. Комплексные потенциалы плоскопараллельных фильтрационных течений в анизотропно-однородных средах со специальными законами распределения ГНА.82

2.5.1. Теорема о комплексном потенциале для специальной серии законов распределения ГНА.82

2.5.2. Следствие 1. Конгруэнтные законы распределения ГНА.83

2.5.3. Следствие 2. Центрально-симметричные законы распределения ГНА.84

2.5.4. Следствие 3. Изотермические законы распределения ГНА.85

2.5.5 Типичные граничные условия для комплексных потенциалов плоскопараллельных течений в анизотропных средах.87

2.6. Комплексные потенциалы плоскопараллельных течений в однородных средах с прямолинейной анизотропией при произвольной ориентации ГНА.87

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ РАСЧЁТОВ В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ МЕТОДОМ АНИЗОТРОПНОГО

ЭКВИВ АЛЕНТИРОВ АНИЯ.92

3.1. Исследования точности расчётов дебита центральной скважины в слоистой круговой области методом анизотропного эквивалентирования .92

3.1.1. Обобщение формулы Дюпюи для сред с центрально-симметричными законами распределения ГНА.93

3.1.2. Постановка задачи и численные расчёты дебита центральной скважины в круговых анизотропных пластах.94

3.1.3. Исследования точности методов интегрального и локального однородно-анизотропного эквивалентирования в расчётах дебита центральной скважины в слоистой среде.101

3.2. Обобщение фильтрационных теорем об окружности и прямой для анизотропных сред.104

3.2.1. Теорема об окружности.105

3.2.2. Теорема о прямой.107

3.2.3. Примеры применения теорем.108

3.3. Искажение поступательного фильтрационного потока в изотропной среде круглым включением с прямолинейной анизотропией.111

3.4. Исследования точности аппроксимации включений из слоистых сред их анизотропными моделями.114

3.4.1. Искажение плоскопараллельных течений круглым слоистым включением.115

3.4.2. Сравнение фильтрационных потоков в слоистой среде и в её радиально-анизотропной модели.117

3.4.3. Расчёт коэффициентов разложения для комплексных потенциалов изотропных колец.120

3.5. Исследование точности фильтрационных расчётов в слоистых средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования.122

3.5.1. Расчёт полного фильтрационного потока в прямоугольной анизотропной области.123

3.5.2. Расчёт фильтрационного потока в слоистой области.126

ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В ПРИЗАБОЙНЫХ ЗОНАХ СКВАЖИН (ПЗС).131

4.1. Причины выделения исследования течений в призабойных зонах скважин в самостоятельный раздел теории фильтрации.131

4.2. Влияние неопределённости в критериях существования линейного режима фильтрации на погрешность в расчётах дебитов скважин.133

4.3. Исследование фильтрации в призабойной зоне и в стволе нефтедобывающей скважины с гравийным фильтром.139

4.3.1. Постановка задачи.139

4.3.2. Вывод основных уравнений.139

4.3.3. Анализ работы гравийного фильтра при при линейном режиме фильтрации.145

4.3.4. Выводы:.149

4.4. Точное решение задачи фильтрации к скважине с гравийным фильтром при линейном законе Дарси.150

4.4.1. Постановка задачи.150

4.4.2. Уравнения и граничные условия.151

4.4.3. Расчет потенциала ç>i(r,z).153

4.4.4. Расчет потенциала Ç2(t,z).155

4.4.5. Алгебраизация граничных условий сопряжения.156

4.4.6. Вычисление дебита скважины.158

4.5. Математическая модель работы фильтра каркасно-стержневой конструкции.162

4.6. Математическая модель работы фильтра кольчатой конструкции.165

4.7. Математическая модель работы фильтра перфорационной конструкции.167

4.8. Выводы из вычислительных экспериментов по исследованию работы фильтров нефтедобывающих скважин.169

4.9. Теорема о подобии фильтрационных полей в грунтах со специальными законами изменения проницаемости и её применения.170

4.9.1 Теорема о подобии фильтрационных полей.170

4.9.2. Фильтрация под плоским флютбетом в кусочно-однородном грунте.172

4.9.3 Фильтрация к скважинам с кусочно — однородной призабойной зоной (1-ый способ расчета ).173

4.9.4 Фильтрация к скважинам с кусочно — однородной призабойной зоной. (2—ой способ расчета ).176

4.10. Математическое моделирование фильтрации к скважине с вертикальными трещинами гидроразрыва.181

4.11. Математическое моделирование фильтрации к скважине с горизонтальными трещинами гидроразрыва.186

ГЛАВА 5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ К ОДИНОЧНЫМ И ГРУППОВЫМ СКВАЖИНАМ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ ПРИ ЛИНЕЙНОМ И НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМАХ

ФИЛЬТРАЦИИ.193

5.1. Расчёт дебита и поля давления для одиночной скважины.193

5.1.1. Методом функций Грина.193

5.1.2. Построение серий точных решений полуобратных граничных задач о дебите круговой скважины в однородных изотропных средах в постановке для двухсвязных областей.196

5.2 Применение вариационных методов для расчёта двусторонних оценок дебитов одиночных скважин в анизотропных средах при линейном режиме фильтрации.202

5.2.1. Метод пробных эквипотенциалей.203

5.2.2. Метод пробных линий тока.205

5.3. Расчёт двусторонних оценок дебитов скважин при нелинейных режимах фильтрации.208

5.3.1. Уравнения движения и граничные условия.208

5.3.2. Вариационная формулировка краевых задач.210

5.3.3. Верхняя оценка дебита скважины.213

5.3.4. Нижняя оценка дебита скважины.214

5.3.5. Дебит скважины в пласте овальной формы.216

5.4. Расчёт дебитов и поля давления для группы скважин (многоскважинная система без учёта ПЗС).218

5.4.1 Постановка задачи и общий метод решения.219

5.4.2 Интерференция скважин, эксплуатирующих однородный круговой пласт.221

5.4.3 Вычислительные эксперименты по интерференции скважин, произвольно расположенных в изотропном однородном пласте круговой формы.222

5.5. Расчёт дебитов и поля давления для группы скважин обладающих индивидуальными фильтрационными свойствами в призабойных зонах (многоскважинная система с учётом индивидуальных свойств ПЗС).225

5.5.1 Постановка задачи учёта особых фильтрационных свойств ПЗС и общий метод её решения.225

5.5.2 Пример. Влияние скачков проницаемости ПЗС на интерференцию скважин, произвольно расположенных в однородном пласте круговой формы. Обобщение формулы

Щелкачева В.Н.227

5.6. Интерференция скважин с нелинейным режимом фильтрации в призабойных зонах.230

ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ РАСЧЕТОВ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ В МНОГОСЛОЙНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ.233

6.1. Постановка задачи и принятые обозначения.233

6.2. Граничные условия 1-го типа (Дирихле по одной паре противоположных сторон прямоугольника и смешанные — по другой паре).235

6.3. Передаточные функции. Переход к модельной задаче.236

6.4. Формулировка граничных условий в модельной задаче.238

6.5. Представление решений \^(х,у) рядами Фурье.239

6.6. Алгебраизация граничных условий в модельной задаче.241

6.7. Вычисление коэффициентов в рядах Фурье методом прогонки.243

6.8. Применения развитой теории.245

6.8.1 Метод интегрального эквивалентирования кусочно-неоднородных сред. Однородно-анизотропное эквивалентирование. 246

6.8.2 Расчёт полей в изотропных неоднородных средах методом многослойного эквивалентирования.251

6.9 Граничные условия 2 — го типа (Неймана по одной паре противоположных сторон прямоугольника и смешанные по другой паре).257

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.267

ЛИТЕРАТУРА.268

ПРИЛОЖЕНИЕ!. ЗАКОНЫ ОРТОГОНАЛЬНОГО

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАЗИСОВ, КООРДИНАТ ВЕКТОРОВ И

ТЕНЗОРОВ.294

П1.1 Закон преобразования базисов.294

П1.2 Закон преобразования координат векторов.297

П1.3 Закон ортогонального преобразования координат тензора 2-го ранга.298

П1.4 Законы ортогонального преобразования координат тензоров третьего и четвёртого рангов.300

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. КАТАЛОГ ТЕНЗОРОВ ПРОНИЦАЕМОСТЕЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В СРЕДАХ С КОНКРЕТНЫМИ

ЗАКОНАМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГНА.304

П2.1. Тензор проницаемости для среды с прямолинейным законом распределения ГНА.304

П2.2. Тензор проницаемости для среды с круговым цилиндрическим законом распределения ГНА.305

П2.3. Тензор проницаемости для среды со сферическим законом распределения ГНА.307

П2.4. Тензор проницаемости для сред с цилиндрическими законами распределения ГНА.309

П2.4.1 Общий случай задания цилиндрических законов распределения ГНА.309

П2.4.2 Случай совпадения одного из ГНА цилиндрических законов с координатной осью (осью Ог).313

РИСУНКИ.317

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы и обзор литературы. Целый ряд актуальных проблем государственного значения связан с движением жидкости и газа в пористых средах. К таким проблемам относятся: водоснабжение; добыча энергетического сырья (нефти и газа); проектирование, строительство и эксплуатация гидротехнических и гидромелиоративных сооружений; борьба с загрязнением и засолением грунтовыми водами сельскохозяйственных площадей и т.д. Решение таких проблем требует разработки теории фильтрационных процессов в моделях пористых сред, наиболее адекватных к естественным условиям.

Процессы фильтрации нефти, газа, воды происходят в пористых средах, которые в зависимости от своих физико-механических свойств относятся к группе изотропных или анизотропных грунтов. Изотропными называются грунты, фильтрационные свойства которых в каждой точке одинаковы по всем направлениям. Анизотропными же называются фунты, фильтрационные свойства которых в каждой точке различны в разных направлениях.

Кроме того, продуктивные природные пласты, содержащие нефть и газ, проявляют не только изотропные или анизотропные и однородные или неоднородные фильтрационные свойства, но они почти всегда искривлены и имеют переменную толщину.

Именно поэтому теоретические исследования математических моделей двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах являются актуальными.

Поскольку аналитические методы исследования фильтрации существенно зависят от типа пористой среды, то литературный обзор уместно провести по типам пористых сред: изотропным, анизотропным, кусочно-непрерывным, в частности, кусочно-постоянным и др.

Теория фильтрации в неоднородных изотропных средах представлена обширной литературой. Общим математическим аппаратом для исследования стационарной линейной двумерной фильтрации жидкости в таких средах служит теория р-аналитических функций, которая была развита в работах JI. Берса, А. Гельбарта, М.А. Лаврентьева, И.Н.Векуа, Г.Н.Положего и др. в [28, 234, 235]. Двумерными моделями описывают плоскопараллельную фильтрацию, осе-симметричную и плановую фильтрацию в неоднородных средах, и фильтрацию в весьма тонких криволинейных слоях переменной толщины и проницаемости [41, 118]. С помощью методов теории р-аналитических функций описывается также нелинейная фильтрация с законом вида v = Уф, которая в плоскости v годографа вектора v приводится к системе линейных уравнений Г.Н. Положен) [108].

Другой путь изучения двумерной фильтрации в неоднородных средах связан с выбором специальных классов дифференцируемых функций, характеризующих проницаемость к, для которых можно построить течения от всех типов (источник, диполь, мультиполи) особых точек с помощью метода перехода [32, 34, 127, 143, 155, 193]. В работах [23, 32, 34, 100, 101, 104, 155, 254] построены потенциалы течений от всех типов особых точек для проницаемостей к(у) вида еау, уа, tgaby, thaby, lgaby и др. В [35,224,225] построены потенциалы течений от источника в средах с проницаемостью к, задаваемой некоторыми цилиндрическими функциями или удовлетворяющей определенным уравнениям.

В целом теория р-аналитических функций из-за громоздкости своего аппарата не получила такого же широкого, как аналитические функции, применения. К тому же функции изменения проницаемости к, для которых известны решения соответствующих уравнений двумерной фильтрации, как правило, неограниченно возрастают до бесконечности (или убывают до нуля), что затрудняет их применение для аппроксимации проницаемости естественных грунтов.

Для расширения возможностей аппроксимации проницаемости реальных грунтов в теории фильтрации стали разрабатываться методы построения особых точек течений в средах с кусочно-непрерывными, в частности, с кусочно-постоянными функциями проницаемости. Это привело к необходимости решения задач сопряжения для эллиптических уравнений. Сложность решения задач сопряжения существенно зависит от числа неоднородных зон (слоев), формы их границ, вида функции проницаемости в этих зонах и от характера особых точек течений в зонах.

На практическую важность задач сопряжения для теории фильтрации обратили внимание давно. Ещё в 1942 г. ПЛ. Полубаринова-Кочина рассматривала задачу о притоке к скважине в кусочно-неоднородном грунте. Заслуживает внимания и работа М.А. Лукомской [83], в которой по существу впервые была представлена модель работы скважины, учитывающая индивидуальные фильтрационные свойства призабойной зоны, отличающиеся от свойств пласта. Для двух однородных изотропных зон, разделенных или окружностью или прямой, О.В. Голубевой в [41,42] задача сопряжения решена в общем виде методом изображений (теоремы об окружности и прямой). Применение методов изображений, преобразования Лапласа, последовательного применения теоремы об окружности и разложения в ряды Тейлора в [69, 71, 75] привело к общему решению задачи сопряжения в кусочно-однородных зонах с двумя и тремя параллельными прямыми или концентрическими окружностями. Затем полученное решение в [116, 231] В.М.Радыгиным и А.Г.Ярмицким с помощью дробно-линейных отображений и биполярных координат обобщено на две неконцентрические окружности. Общие решения задач сопряжения для двух однородных зон, разделенных кривыми второго порядка, указаны О.В. Голубевой и АЛ. Шпилевым в [46] на основе разработанного ими для этого класса задач метода конформных отображений с применением вспомогательных течений на римановых поверхностях- М.Ф. Бариновой в [9] методом изображений построено решение для восьми однородных зон, разделенных прямыми и окружностью, с двумя чередующимися значениями проницаемости в зонах. Особые точки течения должны при этом располагаться осесимметрично, а их мощности должны удовлетворять определённым уравнениям связи. В [74] была сделана попытка решить методом изображений задачу сопряжения для произвольного числа однородных зон, разделённых параллельными прямыми, что привело к многократным рядам (с кратностью равной числу зон) и к сложной системе уравнений, оставленной без исследования.

Диссертантом в [208] построено общее решение задачи сопряжения для п концентрических окружностей, когда произвольные особые точки потенциала поля располагаются во внешней зоне, а проницаемости в слоистой среде чередуются. Кроме того, автор этой работы в [165] показывает, как с помощью доказанной им теоремы о подобии фильтрационных полей можно строить серии точных решений задач фильтрации в п-слойных средах с кусочно-постоянной проницаемостью.

Ещё один метод решения задач сопряжения в кусочно-однородных зонах основан на представлении потенциалов в виде интегралов по линиям сопряжения с сингулярными ядрами и неизвестной плотностью. Это приводит к системе интегральных уравнений или к задаче Римана [102, 110]. В [37, 38] задачи сопряжения для течения от источника решены для произвольного числа однородных зон, разделенных концентрическими окружностями, софокусными эллипсами или лучами. Конкретные краевые задачи сопряжения для двух, трех и четырех однородных зон, разделенных прямыми, приведены в [243].

Подчеркнём, что перечисленные методы становятся непригодными в случае неоднородных слоев с различными функциями проницаемости в них, так как полученные выше решения строились исходя из того, что потенциалы во всех слоях удовлетворяли одному уравнению (уравнению Лапласа). Для слоистой кусочно-неоднородной прямоугольной области, границы раздела п слоёв в которой параллельны одной из сторон прямоугольника, автором этой работы в [151, 162,164,167] развит метод точного решения задач сопряжения.

Задачи фильтрации в кусочно-неоднородных средах с двумя зонами и с криволинейной границей их раздела решались в [110], где с помощью известной функции Грина для каждой зоны задача сопряжения сводилась к обобщённой задаче Римана.

Для осесимметричных течений в кусочно-однородных пористых средах с одной или двумя концентрическими сферами раздела сред в [33, 70] дано обобщение сферической теоремы Вейса [86]. Для течения типа поступательного потока через систему п круговых или сферических слоев дано решение в [58].

Трудности аналитического решения многих практических задач в кусочно-неоднородных (например, в слоистых) средах способствовали появлению большого количества приближенных методов. В частности, Л.В. Старшинова для расчёта функции давления в макронеоднородном пласте предложила применять метод коллокации [132]. Для случая произвольной общей границы двух однородных сред М.И. Хмельником в работах [214, 215] развит приближенный метод, основанный на усреднении условий сопряжения на границах зон. (При этом потенциалы выражаются через решения двух вспомогательных задач обтекания, соответствующих непроницаемым и проницаемым границам, которые, в свою очередь, можно построить приближенно методом особых точек). Диссертант для приближённого решения задач сопряжения для расчёта течений под гидротехническими сооружениями в [146] предложил применять модифицированный им метод фрагментов акад. Н.Н. Павловского.

Подводя итог, отметим, что аналитические решения задач сопряжения потенциалов течений с произвольными особыми точками построены в основном только для двух и трех однородных зон. Применяемые же методы решения этих задач с увеличением числа зон, изменением формы их границ и замене постоянной проницаемости на переменную становятся малопригодными.

Более сложными по строению являются неоднородные анизотропные среды. Типичными представителями анизотропных пород являются трещиновато-пористые грунты и слоистые среды. Впервые исследования линейной плоскопараллельной фильтрации жидкости в анизотропных средах были, по-видимому, проведены Р. Дахлером [236] и Ф. Шаффернаком [256] в 1933 г. В результате проведенных исследований Р. Дахлер в Ф. Шаффернак приходят к выводу, что плоскопараллельные течения жидкости в слоистых средах (составленных из изотропных слоев весьма малой мощности) эквивалентны однотипным течениям жидкости в некоторой фиктивной пористой среде, проницаемость к| которой вдоль напластования изотропных слоев отлична от проницаемости кц вдоль их простирания. Причем для определения kj. и кц авторы указали расчётные формулы.

В России плоскопараллельная фильтрация жидкости в прямолинейных слоистых средах изучалась в 1937 г. В.И. Аравиным [2-6]. В.И. Аравин показывает, что путем аффинного преобразования плоскости течения жидкости в рассматриваемой среде, которое сводится к увеличению или уменьшению масштаба одной из осей декартовой системы координат в n=const раз, изучение фильтрации в анизотропном грунте можно свести к изучению плоскопараллельного движения жидкости в некотором фиктивном однородном изотропном грунте. В 1940 г. В.И. Аравиным в работе [4] исследована плоскопараллельная фильтрация жидкости в однородных грунтах с радиальной анизотропией, то есть в таких мелкослоистых грунтах, чередующиеся изотропные слои которых располагались или по концентрическим окружностям, или вдоль лучей, выходящих из одной точки. И в этом случае, как показывает В.И. Аравин, расчёт фильтрации в анизотропном грунте с помощью подходящего преобразования области течения сводится к расчёту течения в изотропном однородном грунте. Заметим, что впервые указанный в работах В.И. Аравина метод сведения расчёта плоскопараллельной фильтрации в анизотропном однородном грунте к расчёту течения жидкости в изотропном однородном грунте был затем использован для решения различных фильтрационных задач и другими авторами. Так, B.C. Козлов [67] исследовал этим методом движения жидкости под гидротехническими сооружениями в однородных грунтах с прямолинейной анизотропией. П.Я. Полубаринова-Кочина [106] изучала в этих же грунтах приток жидкости к дрене на водоупоре.

В первых трудах В.И. Аравина и в последовавших за ними работах других авторов закон Дарси для случая фильтрации жидкости в анизотропных средах выписывался путем формального обобщения закона Дарси для изотропных грунтов так, как это было в 1938 г. сделано [119] Б.К. Ризенкампфом. Впервые физическое и математическое обоснование обобщенному на случай анизотропных грунтов закону Дарси дал в 1948 г. в работе [237] Ж. Феррандон. Экспериментальное подтверждение тензорной природы проницаемости анизотропных грунтов сделал в 1954 г., анализируя экспериментальные данные К. Джонсона и Р. Хагеса [240], А. Шейдеггер [257,258].

Открытие в России в конце 50-х - начале 60-х годов крупных месторождений нефти и газа в трещиноватых коллекторах поставило перед исследователями новые задачи по теории фильтрации жидкости в анизотропных средах. В частности, стали предприниматься попытки дать объяснение анизотропии грунтов в отношении их фильтрационных свойств на основе менее грубых, чем модель Ж. Феррандона, представлений. Е.С. Роммом в работе [121], а также в его совместной с Б.В. Позиненко статье [122] вопрос о проницаемости трещиновато-пористых горных пород, характеризующихся наличием пространственно ориентированных систем трещин, решается на основе представления результирующей скорости фильтрации в виде суммы скоростей фильтрации трещинных потоков и скорости фильтрации в пористой среде. В результате проведенных исследований Е.С. Ромм другим путем доказал тензорную природу проницаемости трещиновато-пористых горных пород. Во всех моделях анизотропных сред, предлагаемых Ж. Феррандоном, Б.К. Ризенкампфом, А. Шейдеггером, априори предполагалось, что тензоры проницаемости положительно определены и симметричны. Для теоретического обоснования этих положений обычно используются энергетические соображения, теория кристаллографии и принцип Онсагера теории необратимых термодинамических процессов [49, 73, 93]. Экспериментальное определение компонентов тензора проницаемости основано на измерении направленных проницаемостей и направленных фильтрационных сопротивлений [12,15,49,246].

При решении задач плоскопараллельной фильтрации в анизотропных средах в большинстве работ рассматриваются среды с постоянными диагональными тензорами проницаемости в некоторой изотермической системе координат. Это позволяет с помощью линейной изотропизирующей подстановки свести уравнения движения к уравнению Лапласа [21,29,47,88,113, 120,121,168,170,

209,216,218] и др. Для анизотропных сред более сложной структуры уравнения движения приводятся к каноническому виду, соответствующему р-гармоническим функциям [157,218].

Основная трудность решения фильтрационных задач сопряжения для кусочно-однородных анизотропных сред в том, что при сведении этих задач к изотропным средам изотропизирующую деформацию зон однородности нужно строить так, чтобы она была непрерывной на границах раздела зон. Диссертантом это было сделано для двух однородных анизотропных зон, разделенных окружностью или прямой [45, 154]. Ряд конкретных краевых задач в кусочно-однородных анизотропных средах решён С.Е. Холодовским в работах [219,220, 222].

Для линейной фильтрации в композитных средах с периодической структурой применяются методы осреднения дифференциальных операторов, основанные на разложении решений в ряды по степеням малого параметра - периода коэффициентов уравнений [17] или на осреднении уравнений движения по объёму элементарной ячейки с целью вычисления эффективного тензора проницаемости [11]. В работах С.Е. Холодовского эффективные тензоры проницаемости для линейного режима фильтрации строятся методом гидродинамического осреднения [216,217,223].

При изучении фильтрации в трещиноватых средах часто обнаруживается, что трещины имеют пространственную ориентацию. В этой ситуации в работах [66, 120, 121, 241] результирующую скорость фильтрации находили методом суммирования в элементарном объёме скоростей фильтрации в отдельных трещинах, считая справедливым для них закон Буссинеска, и по ней строили тензоры эффективной проницаемости для анизотропных моделей трещиноватых сред. В [6, 24, 260] методом осреднения потоков во взаимно перпендикулярных направлениях найдены компоненты тензоров эффективной проницаемости многослойных сред.

Для трещиноватых сред с хаотичным распределением трещин в пространстве применяют перколяционные модели, основанные на вероятностных методах и приводящие к изотропному континууму [82].

В работе [22] для слоистых сред развит метод осреднения, в котором в отдельных слоях потенциалы аппроксимируются полиномами, а уравнения осред-няются по толщине слоев.

Теория нелинейной фильтрации в анизотропных средах стала развиваться с появлением в 1973 г. публикации С.Н. Нумерова [96, 250], а затем статей А.В. Костерина [73], Е.Г. Шешукова [227], Ю.М. Молоковича [93]. Математические модели нелинейной фильтрации они сводили к обобщению известного тензорного закона Дарси, основанного на тензоре 2-го ранга. Дальнейшее развитие теории нелинейной фильтрации в анизотропных средах сделали К.С. Басниев и Н.М. Дмитриев [13,14, 15,49,50,51]. Основываясь на том, что при фильтрации жидкости между полями V и УР существует связь, которая в наиболее общем виде выражается формулами ЛТ = р(к,у,р,ц) (либо у = ?(к,УР,р,ц)) и применяя теорию (Л.И. Седов, В.В. Лохин [124, 125], Ю.И. Сиротин [128, 129] и др.) нелинейных тензорных функций нескольких тензорных аргументов, они предложили эту связь между полями V и УР аппроксимировать зависимостями следующего вида (которые без принципиальных ограничений представим для ортонормиро-ваннош базиса) где Яу, сук/ - тензоры, задающие нелинейные фильтрационные свойства пористой среды, а ^Р - проекции вектора УР на соответствующие оси.

Итак, в математическом моделировании нелинейной фильтрации в анизотропных средах существуют два внешне различных подхода: 1) берущий начало от работ С.Н. Нумерова и 2) развиваемый в трудах Н.М. Дмитриева.

В целом, по обзору литературы можно сделать следующие выводы. Во-первых, требуется установить взаимосвязь двух разных направлений (Н.М. Дмитриева и Н.С. Нумерова) в моделировании нелинейной фильтрации в анизотропных средах. Во-вторых, существует ряд вопросов, касающихся обоснования моделей фильтрации в периодических, в частности, слоистых средах (как построить для слоистой среды, трещиноватой, периодической наиболее близкую к ней по фильтрационным свойствам анизотропную модель). В-третьих, какие возникают погрешности в значениях фильтрационных потоков и давлений в периодической (слоистой) среде, если расчёт течения жидкости в ней выполнять на анизотропной модели. В-четвёртых, несмотря на давний срок существования теории движения жидкости в искривлённом весьма тонком слое переменной толщины, оценок погрешности этой теории не делалось, и реального порядка толщины слоя, когда выводы теории двумерных течений верны, не сделано. В-пятых, практически нет исследований особенностей течений жидкости в призабойных зонах скважин. В частности, не исследовано, как влияет изменение проницаемости в призабойной зоне на интеференцию скважин. В-шестых. для уверенного применения в фильтрационных расчётах течений в слоистых средах метода анизотропного моделирования нужна теория точных послойных расчётов для многослойных областей конкретного вида. Тогда с помощью сопоставительных расчётов течений по этой теории и по анизотропной модели среды можно узнать границы применимости анизотропных моделей слоистых сред.

В соответствии с наметившимися по обзору литературы вопросами в диссертации ставилась следующая цель исследования.

Цель исследования — разработать общие методы решения задач двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах и на их основе предложить математические модели для изучения конкретных инженерно-технических проблем в нефте- и газодобывающей промышленности, в водоснабжении, в проектировании гидротехнических и гидромелиоративных сооружений, а также для изучения других динамических процессов, описываемых двумерными эллиптическими уравнениями.

Научная новизна и теоретическое значение результатов диссертации заключается в следующем.

Разработаны алгоритмы для расчёта эффективных тензоров проницае-мостей периодических и слоистых сред при линейном и нелинейном режимах фильтрации.

Проведены исследования точности расчётов фильтрации в периодических средах методом анизотропного эквивалентирования.

Предложена новая математическая модель двумерных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в неоднородных анизотропных искривлённых пластах с конечной переменной толщиной, которая по сравнению с известной в этом направлении моделью О.В. Голубевой [41,43] точнее учитывает особенности двумерных течений и поэтому значительно повышает точность расчётов.

Разработаны математические модели, учитывающие индивидуальные фильтрационные свойства призабойных зон скважин (ПЗС) при исследовании течений к одиночным и групповым скважинам.

Развита теория расчётов двумерных фильтрационных течений в многослойных неоднородных анизотропных средах для областей, ограниченных дугами координатных линий изотермических систем координат.

Предложены: качественная и точная количественная математические модели работы скважины с гравийным фильтром; качественные математические модели работы основных конструкций промышленных фильтров нефте- и вододобываюгцих скважин; качественные математические модели работы скважин при вертикальном и горизонтальном гидроразрыве пласта.

Практическая значимость. Результаты диссертации могут найти применение: при исследовании фильтрационных течений в искривлённых слоях с конечной постоянной и переменной толщиной, пористые среды которых могут быть как анизотропными, так и изотропными, однородными и неоднородными; в точных послойных расчётах фильтрационных течений в многослойных анизотропных и изотропных средах; в расчётах фильтрационных течений в неоднородных средах методом эквивалентирования последних подходящими многослойными средами; в расчётах течений к скважинам с вертикальными или с горизонтальными трещинами гидроразрыва, учитывающими конечную проницаемость и размеры трещин; в разработке спецкурсов для студентов, специализирующихся по профилям: теория аналитических и обобщённых аналитических функций комплексного переменного и её приложения, механика, прикладная математика, а также для студентов нефтегазовых специальностей.

Достоверность и обоснованность научных положений и результатов исследований подтверждаются следующим:

1) корректностью применения апробированного математического аппарата (теория аналитических функций комплексного переменного, теория уравнений математической физики, методы дифференциальной геометрии, линейной алгебры, тензорного исчисления);

2) результаты исследований других авторов (теория двумерной фильтрации О.В. Голубевой [41, 43]; теория фильтрации В.П. Пилатовского в тонких круговых конических и параболоидных пластах [102]; методы «изотро-пизирующих» преобразований для расчётов плоскопараллельной фильтрации в однородных анизотропных средах В.И. Аравина [2 - 6], Е.С.Ромма [121], Г.К. Михайлова [90, 91]; теория В.Н. Щелкачёва [229] работы круговой батареи скважин; методика расчётов потенциальных полей в многослойных средах из однородных изотропных слоёв В.Н. Острейко [97]) следуют из результатов защищаемой работы как частные случаи;

3) результаты, вытекающие из предложенных математических моделей влияния особенностей ПЗС на дебиты скважин, согласуются с экспериментальными и теоретическими данными других исследователей (с теорией фильтрации В.П. Пилатовского [102] к скважине с системой круговых порогов и с системой лучевых трещин; с данными Г.Б. Пыхачева и Р.Г. Исаева [112] о влиянии призабойной неоднородности пласта на дебит скважины; с результатами опытно-промышленных испытаний [31] P.A. Гасумова, В.А. Машкова и др., исследовавших влияние глинисто-песчаных пробок на дебит скважины).

Основные положения, выносимые на защиту:

1). Расчётные алгоритмы тензоров проницаемостей анизотропных моделей периодических и слоистых пористых сред для линейных и нелинейных режимов фильтрации жидкости.

2). Математические модели линейной фильтрации в искривлённых анизотропно-неоднородных (в частном случае, в изотропно-неоднородных и изотропно-однородных) пластах постоянной и переменной конечной толщины.

3). Математические модели фильтрации жидкости в призабойных зонах скважин (ПЗС).

4). Математические модели влияния особых фильтрационных свойств ПЗС на работу групповых скважин в неоднородных средах.

5). Теория расчётов плоскопараллельных фильтрационных течений в многослойных неоднородных анизотропных средах в областях, ограниченных дугами координатных линий изотермических систем координат.

Апробация работы. Основные результаты работы по мере их получения докладывались:

1) на семинарах по гидродинамике и математической физике под руководством проф. О.В. Голубевой в МОИП при МГУ (1974-1978 гг.);

2) на семинарах по математической физике и гидродинамике под руководством акад. П.Я. Кочиной и проф. О.В. Голубевой в ИПМ АН СССР (1974-1985 гг.);

3) на семинарах по прикладной электродинамике под руководством чл.-корр. АН СССР H.H. Тиходеева в НИИПТ АН СССР (г. Ленинград, 1987, 1989 и 1991 гг.);

4) на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» (Воронеж, 1996 г.) и на зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 1999 г.);

5) на 3-ем и 4-ом Всероссийских симпозиумах «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск, 1999 и 2000 гт);

6) на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в научных исследованиях» (г. Ставрополь, СГУ, 2000 г.);

7) на 1-ой и 3-ей региональных научных конференциях «Проблемы компьютерных технологий и математического моделирования в естественных, технических и гуманитарных науках», (г. Георгиевск, СевКавГТУ, 2001, 2003 гг.);

8) на 7-ой и 9-ой Всероссийских научно-технических конференциях «Современные проблемы математики и естествознания» и «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве», (Нижний Новгород, НГТУ, 2003);

9) на 4-ой Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (г. Новочеркасск, Южно-Российский государственный технический университет, январь 2004 г.)

10) результаты диссертации в целом докладывались на научном семинаре кафедры прикладной математики и компьютерного моделирования в Российском государственном университете нефти и газа им. И.М.Губкина (г. Москва) 18 декабря 2003 г. (Рук. семинара — М.Г. Сухарев, доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 82 научных статьях [18, 45, 53, 55, 56, 94, 126, 127, 136-210], 25 из которых - в центральной научной печати. Во всех совместных статьях автором работы поставлены задачи и получены их аналитические решения, по которым соавторы представляли решения иллюстративных примеров и проводили числовые расчёты.

Краткое содержание работы. Работа состоит из введения, 6 глав, заключения, списка литературы из 260 наименований, 2-х приложений, 17 таблиц и 69 иллюстраций.

В 1 -ой главе предлагаются математические модели линейной и нелинейной фильтрации жидкости в пористых средах с периодической структурой, получающиеся в результате трояко-периодического повторения в пространстве основного структурного элемента (ячейки) си этой среды, имеющего в диссертационном исследовании вид прямоугольного параллелепипеда.

В диссертации анизотропные среды рассматриваются как модели таких периодических, структурный элемент со которых представляет прямоугольный параллелепипед с весьма малыми по сравнению с характерным размером облас ти фильтрации размерами. К этим периодическим структурам относятся распространённые в естественных условиях слоистые среды, трещиноватые коллекторы с одной системой трещин или с двумя и тремя взаимно ортогональными системами трещин, осадочные породы, образованные частицами вытянутой формы с упорядоченной ориентацией их в пространстве и н. др. Метод построения линейной анизотропной модели пористой среды с названными периодическими структурами базируется на первичных понятиях главных направлений анизотропии (ГНА) и главных проницаемостей. Основное определяющее свойство ГНА в том, что в фильтрационных течениях вдоль них векторы V и УР колли-неарны. Проницаемость пористой среды вдоль ГНА названа главной. Для линейных анизотропных моделей рассматриваемых периодических сред ГНА известны априори - ими служат перпендикулярные к боковым граням структурных ячеек со оси симметрии Ь,,Ь2 и Ь3. Главные проницаемости Дг и Х,з в анизотропных моделях этих сред находим из решений задач усреднения. В зависимости от постановок задач усреднения главные проницаемости Х2 и Х,3 могут вычисляться в смысле метода 1) локального или 2) предлагаемого автором интегрального анизотропного эквивалентирований. Выбор метода зависит от вида расчётной области и геометрии конкретной периодической структуры и влияет на точность расчётов фильтрации в периодической среде, моделируемой анизотропной. Исследования точности метода анизотропного эквивалентирования слоистых сред в диссертации проводятся в 3-ей и отчасти в 6-ой главах.

В прикладных задачах теории фильтрации поле ГНА и отвечающие ему поля главных проницаемостей часто можно рассматривать как заданные. В диссертации развиты способы задания широкого круга серий триортогональных систем криволинейных поверхностей, векторы нормалей к которым определяют ГНА, и для каждой серии выведены расчётные формулы для тензоров проницаемостей. В приложении 2 представлен каталог тензоров проницаемостей для различных серий законов распределения ГНА.

Во 2-ой главе выводятся общие уравнения двумерной линейной фильтрации в анизотропных средах, указываются способы приведения их к кано1 ническому виду и общие методы решения.

В диссертации предложена теория линейной двумерной фильтрации жидкости в искривлённых однородных и неоднородных анизотропных слоях постоянной и переменной конечной (имеющей в нефтегазовой отрасли промысловое значение) толщины с непроницаемыми подошвой и кровлей^ Как частные случаи двумерной рассмотрены уравнения плоскопараллельной фильтрации в однородных и неоднородных анизотропных средах.

В 3-ей главе исследуется точность фильтрационных расчётов в слоистых средах методами однородно-анизотропного эквивалентирования.

В методе локального однородно-анизотропного эквивалентирования расчёт главных проницаемостей анизотропной модели осуществляется в местных для ячейки о декартовых координатах. Главные проницаемости находятся из равенства потоков вдоль осей симметрии Ь„ Ь2, Ь3 в ячейке со соответствующим потокам (при тех же граничных условиях) в объёме со, принятом за анизотропную среду с ГНА Ь,, Ь2, Ь3.

В методе интегрального однородно-анизотропного эквивалентирования расчёт главных проницаемостей выполняется для всей многослойной области

26

О в целом в системе координат, координатные линии которой совпадают как с границами раздела чередующихся изотропных слоев многослойной среды, так и с границами дС1 области О. Они находятся из равенства потоков вдоль слоёв Ь, и перпендикулярно к ним Ь2 в многослойной области О соответствующим потокам (при одинаковых граничных условиях) в этой же области, принятой за анизотропную среду с ГНА И,, Ь2. Недостаток метода интегрального однородно-анизотропного эквивалентирования: координатные линии выбираемой системы могут совпадать с границами раздела слоёв, но не совпадать с границами дС1 расчётной области. В этом случае расчёт главных проницаемостей анизотропной модели неизбежно приходится выполнять по методу локального однородно-анизотропного эквивалентирования, что и объясняет его широкое применение на практике.

В 4-ой главе исследуются особенности фильтрации в призабойных зонах скважин (ПЗС). В частности, влияние на дебит скачка проницаемости в ПЗС. Учёт конструктивных особенностей скважинных фильтров и наличия трещин гидроразрыва требует пространственной детализации картины течения в ПЗС. Изучение некоторых из этих проблем составило содержание четвёртой главы.

В 5-ой главе исследуются математические модели интерференции нефтедобывающих скважин, уточняющие постановки В.Н. Щелкачёва для таких же задач. В ПЗС учитывается возможность, во-первых, скачков проницаемости и, во-вторых, перехода фильтрации от линейного режима к нелинейному. В 6-й главе разработана теория расчёта плоскопараллельных фильтрационных течений в многослойной области в в виде криволинейного четырехугольника, ограниченного дугами координатных линий ортогональной изотермической системы координат Р, (2.

В заключении перечисляются основные результаты работы.

В приложении 1 приведены справочные сведения по законам ортогонального преобразования базисов, координат векторов и тензоров 2, 3 и 4 рангов.

В приложении 2 приводится каталог тензоров проницаемостей для линейной фильтрации в средах со следующими законами распределения главных направлений анизотропии:

1. Тензор проницаемости для среды с прямолинейным законом распределения ГНА.

2. Тензор проницаемости для среды с круговым цилиндрическим законом распределения ГНА.

3. Тензор проницаемости для среды со сферическим законом распределения ГНА.

4. Тензор проницаемости для сред с цилиндрическими законами распределения ГНА.

4.1 Общий случай задания цилиндрических законов распределения ГНА

4.2 Случай совпадения одного из ГНА цилиндрических законов с координатной осью (осью Ог)

В заключение скажем о принятом в диссертации порядке нумерации параграфов и формул. В работе применяется двойная нумерация параграфов. При ссылке на параграф (например, на 2-ой) из главы (например, 1-ой) пишется §1.2. Аналогично даются ссылки на параграфы приложений. Например, запись §П1.2 обозначает 2-ой параграф из приложения 1. Для формул применяется традиционная тройная нумерация (например, (1.2.3) — формула (3) в §2 из 1-ой главы) в сокращённом, по примеру книги [17], варианте её записи. А именно, в пределах любого параграфа главы или приложения идёт сквозная одинарная нумерация формул. При ссылке внутри текущей главы на формулу (3) из §2 добавляется номер параграфа и в тексте в круглых скобках пишется (2.3). При ссылке в текущей главе на формулу (3) из §2 из другой главы (например, из 1-ой) добавляется номер главы, затем номер параграфа и потом номер формулы и пишется (1.2.3). Все ссылки на формулы из приложений делаются аналогично. Например, запись (П1.2.3) означает ссылку на формулу (3) в §2 из приложения 1.

Основные результаты работы, полученные лично автором

1. Разработаны алгоритмы для расчёта тензоров проницаемостей для тех анизотропных сред, у которых главные направления анизотропии известны априори (к таким относятся распространённые в естественных условиях трансверсально-изотропные и ортотропные среды, некоторые периодические, трещиноватые и слоистые среды) при линейном и нелинейном режимах фильтрации.

2. Предложена математическая модель двумерных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в неоднородных анизотропных искривлённых пластах конечной переменной и постоянной толщины.

3. Проведены исследования точности фильтрационных расчётов в слоистых средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования.

4. Разработаны математические модели учёта индивидуальных фильтрационных свойств призабойных зон скважин при исследовании течений к одиночным и групповым скважинам.

5. Предложена качественная и точная количественная математическая модель работы скважины с гравийным фильтром.

6. Предложены математические модели работы основных конструкций промышленных фильтров нефте- и вододобывающих скважин.

7. Предложены качественные математические модели работы скважин при вертикальном и горизонтальном гидроразрыве пласта.

8. Предложена теория расчётов двумерных фильтрационных течений в многослойных и неоднородных средах в области, ограниченной дугами координатных линий изотермических систем координат.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации на основании выполненных исследований разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в развитии теории двумерной фильтрации 1) в искривлённых слоях конечной переменной толщины и 2) в многослойных и анизотропных средах.

1. АМИРАСЛАНОВ И.А., ЧЕРЕПАНОВ Г.П. Фильтрация жидкости в криволинейных слоях переменной толщины // ПММ. — 1981. — вып.6. — С. 1142-1146.

2. АРАВИН В.И. К вопросу о фильтрации в анизотропно-водопроницаемых грунтах // Тр. Ленинградского индустриального ин-та. —1937. вып.2. - № 9. -С. 3-12.

3. АРАВИН В.И. Расчет плоской фильтрации в грунтах с криволинейной анизотропией // Изв. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. -1974. Т. 104. С.3-9.

4. АРАВИН В.И. Фильтрация в анизотропно-водопроницаемом грунте // Тр. Ленинградского индустриального ин-та. —1940. — вып.1.-№ 1. С.3-14.

5. АРАВИН В.И., НОСОВА О.И. Натурные исследования фильтрации. Л.: Энергия, 1969.-256 с.

6. АРАВИН В.И., НУМЕРОВ С.Н. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой пористой среде. М.: Гостехиздат, 1953. - 616 с.

7. АРБЕА.Г. Физические основы фильтрации подземных вод. — М.: Недра, 1984.-101 с.

8. БАРЕНБЛАТТ Г.И. и др. Движение жидкостей и газов в природных пластах / Г.И. Баренблатг, В.М. Ентов, ВМ. Рыжик. М: Недра, 1984. - 208 с.

9. БАРИНОВА М.Ф. К вопросу о построении фильтрационных течений в прерывно однородных пластах // Уч. зап. МОПИ им. ШС Крупской. — 1971. - Т.299. - вып. 1. - С.38^4.

10. БАСАРЫГИН Ю.М. и др. Заканчивание скважин / Ю.М. Басарыгин, А.И. Булатов, Ю.М. Проселков. М.: Недра, 2000. - 670 с.

11. БАСНИЕВ К.С., БЕДРИКОВЕЦКИЙ П.Г., ДЕДИНЕЦЕ.Н. Определение эффективной проницаемости трещиновато-пористой среды // ИФЖ. — 1988. Т.55. - № 6. - С.940-948.

12. БАСНИЕВ К.С., ДМИТРИЕВ Н.М. К определению проницаемости и фильтрационного сопротивления для анизотропных пористых сред // Изв. вузов. Нефть и газ. -1985. №2. - С. 26,43,44.

13. БАСНИЕВ К.С., ДМИТРИЕВ Н.М. Обобщенный закон Дарси для анизотропных пористых сред // Изв. вузов. Нефть и газ. —1986. №5. - С.54-59.

14. БАСНИЕВ К.С., ДМИТРИЕВ Н.М. Определяющие соотношения для анизотропных пористых сред, проявляющих ассиметрию фильтрационных свойств // Изв. вузов. Нефть и газ. — 1987. №10. - С. 56-61.

15. БАСНИЕВ К.С., ДМИТРИЕВ Н.М. Соотношения между значениями направленной проницаемости для анизотропных коллекторов // Изв. вузов. Нефть и газ. -1988. №8. - С. 70-94.

16. БАСНИЕВ К.С., ДМИТРИЕВ Н.М., РОЗЕНБЕРГ Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.-480 с.

17. БАХВАЛОВ Н.С., ПАНАСЕНКО Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. — 352 с.

18. БАХВАЛОВ ЮА., ТОЛПАЕВ В.А., ШАХНАБАТОВА Л.Б. Качественное исследование электрического поля в межобмоточных промежутках высоковольтных трансформаторов // Изв. вузов СССР. Электромеханика. — 1987. № 9. - С. 16-26.

19. БОРИСЕНКО А.И., ТАР АЛОВ И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: «Высшая школа», 1966. — 251 с.

20. БОЯРСКИИ Б.В. Гомеоморфные решения систем Бельтрами // ДАН СССР. — 1955. — Т. 102. №4. С.661-664.

21. БРАГИНСКАЯ В.А. Некоторые задачи фильтрации в анизотропном грунте // ПММ. 1942. - Т.6. - вып. 2-3.

22. БУЙКИС A.A. Моделирование процессов фильтрации в слоистых средах методом консервативного осреднения : Дисс. д-ра физ.-мат. наук. Рига, 1987.-358 с.

23. БЫСТРОВК.Н. Построение течений с точечными особенностями в искривленных слоях переменной толщины // Изв. АН СССР. МЖГ. —1968. — № 1.-С.169-175.

24. БЭР Я. и др. Физико-математические основы фильтрации воды / Я.Бэр, Д.3аславски, СИрмей. М.: Мир, 1971. - 452 с.

25. ВАНЬКО В.И., ЕРМОШИНА О.В., КУВЫРКИН Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление. М.: изд-во Mi ГУ им. Н.Э.Баумана, 1999.-487 с.

26. ВАСИЛЬЕВ В.А., ШУЛЬГИН Д.Ф. О работе фильтра буровой скважины // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. -1961.—№1.

27. ВАСИЛЬЕВ Ю.Н., БАШКИРОВ А.И. Приближенное решение задачи о притоке к скважине с горизонтальной трещиной // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. —1961.-№ 5. С.183-185.

28. ВЕКУА И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз. — 1959. -628 с.

29. ВЕРЕМЧУК И.А., ПРУСОВ И.А. Комплексный потенциал плоской установившейся фильтрации несжимаемой жидкости в пористой анизотропной среде // Вестник Белорусского госуниверситета. Сер.1. «Математика. Физика, Механика». — Минск, 1975.—№3. С.78-79.

30. ГАВРИЛКО В.М., АЛЕКСЕЕВ B.C. Фильтры буровых скважин. М.: Недра, 1985.-334 с.

31. ГЛАДЫШЕВ ЮА. О методе перехода при решении задач фильтрации в пластах с переменными по простиранию мощностью и проницаемостью. // Гидромеханика. М.: МОПИ им. Н.К.Крупской, 1974. — вып. 3. — С.217-221.

32. ГЛАДЫШЕВ ЮА. Об одном обобщении теоремы об окружности и ее приложении в теории фильтрации // Избранные задачи гидродинамики. МОИП. М.: Наука, 1977. - С.40-43.

33. ГЛАДЫШЕВ Ю.А. Построение потенциальных стационарных течений идеальной жидкости в искривлённом слое переменной толщины методом перехода // Тр. МОПИ им. Н.К. Крупской. —1964. Т. 142. - вып. 5. — С.39-48.

34. ГОЛУБЕВ Г.В. О некоторых точных решениях задачи об определении поля давлений в неоднородном нефтяном пласте // Изв. вузов. Нефть и газ. 1966. -№2.-С. 86-87.

35. ГОЛУБЕВ Г.В. Об одном методе определения поля давлений в неоднородной пористой среде // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. - № 3. — С.180-182.

36. ГОЛУБЕВ Г.В. Определение поля давлений в кусочно однородных пластах различной формы // Тр. ун-та / Казанский ун-т. — 1958. — Т. 118. — Кн.2.-С.166-192.

37. ГОЛУБЕВ Г.В., ТУМАШЕВ Г.Г. Фильтрация несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1972. — 195 с.

38. ГОЛУБЕВАО.В. Двумерные динамические процессы в анизотропных средах // ПММ.-1980.-Т.44.-ВЫП.1.-С. 166-171.

39. ГОЛУБЕВА О.В. Задачи фильтрации в анизотропных средах. // Сб. науч. тр. «Исследования по теории функций комплексного переменного с приложениями к механике сплошных сред». — Киев: Наукова думка, 1986. — С.57-63.

40. ГОЛУБЕВА О.В. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа, 1972. -364 с.

41. ГОЛУБЕВА О.В. Обобщение теоремы об окружности на фильтрационные течения // Изв. АН СССР. МЖГ. 1966.-№ 1.-С.113-116.

42. ГОЛУБЕВА О.В. Уравнения двумерных движений идеальной жидкости по криволинейной поверхности и их применение в теории фильтрации // ПММ. -1950. т. 14. - вып. 3. - С. 287-294.

43. ГОЛУБЕВА О.В., САПИЯНОВ Т.Н. Математические модели фильтрации при учёте неоднородности среды. — АН Киргизской ССР. Фрунзе: «Илим», 1990.-236 с.

44. ГОЛУБЕВА О.В., ТОЛПАЕВ В.А., КУТУЗОВ В.Г., СОЛОМКО Ю.Л. О фильтрации в однородно — анизотропных средах // Гидромеханика. М.: МОПИ им. ШСКрупской. -1975. вьш.4. - С.163-171.

45. ГОЛУБЕВА О.В., ШПИЛЕВОЙ АЛ. О плоской фильтрации в средах с прерывно изменяющейся проницаемостью вдоль кривых второго порядка // Изв. АН СССР. МЖГ. -1967. № 2. - С.174-179.

46. ГОРБУНОВ А.Т. Некоторые задачи фильтрации в анизотропных средах // НТС ВНИИ. -1962. вып. 16.

47. ДАНИЛОВ В.Л. Дебит нефтяных скважин при произвольной форме контура питания // Изв. КФАН СССР. Серия физ.-мат. и техн. наук. — 1954. — вып. 5. С.52-69.

48. ДМИТРИЕВНМ. Модели фильтрации в анизотропных средах. / Дисс. . д.т.н. ГАНГ им. КМГубкина. М., 1997. - 316 с.

49. ДМИТРИЕВ Н.М. О нелинейных определяющих уравнениях для анизотропных пористых сред. // Вопросы подземной гидромеханики и оптимизации нефтедобычи / Тр. Казан, физ.-техн. ин-та. Казан, фил. АН СССР. Казань, 1985. - С. 20-24.

50. ДМИТРИЕВ НМ., МАКСИМОВ В.М. Нелинейные законы фильтрации для анизотропных пористых сред // ПММ. — 2001. — Т.65. вып.6. - С.963-970.

51. ДОМАНСКИИ А.В. Гидравлический разрыв в неоднородном пласте // Изв. АН СССР. МЖГ. -1988. -№ 5. С.109-114.

52. ДОНЦОВ КЖ, ТОЛПАЕВ ВЛ., ЖЕРНОВОЙ А.Д. Развитие математической модели фильтрации в анизотропных средах // Тез. докл. XXIV научно-технической конференции. СтПИ. — Ставрополь, 1994. -Т.2. — С.86.

53. ЕНТОВВ.М., МУРЗЕНКОВ.В. Стационарная фильтрация однородной жидкости в элементе разработки нефтяного пласта с трещиной гидроразрыва // Изв. РАН. МЖГ. -1994. -№ 1. С.104-112.

54. ЖЕРНОВОЙ А.Д., ДОНЦОВ К.М., ТОЛПАЕВ В.А. Математическая модель вскрытия радиально-анизотропного пласта щелевым способом // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естесгв. науки. -1996. — № 1. С.36-41.

55. ЖЕРНОВОЙ А. Д., ДОНЦОВ К.М., ТОЛПАЕВ В.А. Учет влияния течения жидкости по щелям // Тез. докл. XXV научно-технической конференции. Ставропольский государственный технический университет. — Ставрополь, 1995.-Т. Ш.-С.51.

56. ЗАЗОВСКИИА.Ф., ТОДУАГ.Т. О стационарном притоке жидкости к скважине с вертикальной трещиной гидроразрыва большой протяженности // Изв. АН СССР. МЖГ. -1990. -№ 4. С.107-116.

57. ЗАЙЦЕВ АЛ., ФОМЧЕНКОВ В.В., ШПИЛЕВОЙ АЛ. Об определении течения поступательного потока через систему круговых или сферических слоев различной проницаемости // Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 6. - С.162-165.

58. ЗАЙЦЕВ В.Ф., ПОЛЯНИН С Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. — М.: Физматлит, 2003.-416 с.

59. ИЛЬИН ВА., КИМ Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.: Изд-во МГУ, 2002. - 319 с.

60. ИЛЬИН В А., ПОЗНЯК Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука-Физматлит, 2000.-4.1,2.-616+447 с.

61. ИОССЕЛЬ ЮЛ., КОЧАНОВ Э.С., СТРУНСКИЙ М.Г. Расчет электрической емкости. Л.: Энергоиздат, 1981. - 288 с.

62. КАДЕТ В.В., СЕЛЯКОВ В.И. Фильтрация флюида в среде, содержащей эллиптическую трещину гидроразрыва // Изв. вузов. Нефть и газ. — 1988. — № 5. С.54-60.

63. КАНЕВСКАЯ Р.Д. О притоке жидкости к скважине с вертикальной трещиной гидроразрыва в кусочно-однородном анизотропном пласте // Изв. РАН. МЖГ. -1999. № 2. - С.64-71.

64. КАНЕВСКАЯ Р.Д., КАЦР.М. Аналитические решения задач о притоке жидкости к скважине с вертикальной трещиной гидроразрыва и их использование в численных моделях фильтрации // Изв. РАН. МЖГ. 1996. -№6.-С.59-80.

65. КАЧАНОВ M.JI. Об анизотропии фильтрационных свойств трещиноватой среды // Изв. АН СССР. МЖГ. -1975.—№ 4. С.171-173.

66. КОЗЛОВ B.C. К вопросу о расчете движения воды под гидротехническими сооружениями в анизотропно-водопроницаемых грунтах // Изв. АН СССР, ОТН. -1940. №3. - С. 59-79.

67. КОЛЛИНЗ Р. Течение жидкостей через пористые материалы. — М.: Мир, 1964,-350 с.

68. КОПАЕВ А.В., РАДЫГИН В.М. Фильтрационные теоремы о прямых // Изв. PAR МЖГ. -1992. №5. - С.86-90.

69. КОПАЕВ А.В., РАДЫГИН В.М. Фильтрационные теоремы о сферах // Изв. РАН. МЖГ. -1991. № 2. - С.105-109.

70. КОПАЕВ А.В., РАДЫГИН В.М. Фильтрационные теоремы об окружностях // Изв. АН СССР. МЖГ.- 1990.-№ 1.-С.179-183.

71. КОРЕНЕВ ГБ. Тензорное исчисление. М.: МФТИ, 2000. - 239 с.

72. КОСТЕРИН А.В. Об уравнениях нелинейной анизотропной фильтрации // Изв. АН СССР. МЖГ. -1980. №5. - С.158-160.

73. КОСТИЦЫНА Л.И. Динамические процессы в средах с тремя и более параллельными границами раздела зон однородности // Гидромеханика. -М.: МОПИ им.Н.К.Крупской, 1976. вып.5. - С.80-90.

74. КОСТИЦЫНА ЛЛ. К вопросу о движении фильтрационного потока в кусочно однородной пористой среде // Тр. МОПИ им. Н-К.Крупской. -1966. - Т.164. - вып.6. - С.67-82.

75. КОЧИН Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — М.: Наука, 1965.-426 с.

76. КОЧИНА И.Н., МИХАЙЛОВ Н.Н. Фильтрация через глинистые корки // Изв. АН СССР. МЖГ. -1976. №6. - С.70-75.

77. ЛАВРЕНТЬЕВ М.А., ШАБАТ Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

78. ЛЕЙБЕНЗОНЛ.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. М.-Л., 1947. - 244 с.

79. ЛЕЙБЕНЗОН Л.С. Нефтепромысловая механика. 4.2. Подземная гидравлика воды, нефти и газа. М.-Грозный-Л.-Новосиб.: Горногеолнефтеиздат, 1934. -352 с.

80. ЛЕОНОВ Е.Г., ИСАЕВ В.И. Гидроаэромеханика в бурении. — М.: Недра, 1987.

81. ЛОВЕЦКИЙ Е.Е., СЕЛЖОВВ.И. Перколяционные модели фильтрационных свойств среды // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. — № 3. -С.81-86.

82. ЛУКОМСКАЯМ.А. Решение некоторых задач о притоке жидкости к скважинам // ПММ. -1947.—Т. XI. вып. 6.

83. МАКОВЕЙ К Гидравлика бурения. М.: Недра, 1986. - 536 с.

84. МАСКЕТМ. Течение однородных жидкостей в пористых средах. — М.-Л.: ГНТИ, 1949.-628 с.

85. МИЛН-ТОМСОН Л.Н. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир, 1964. — 655 с.

86. МИРЗАДЖАНЗАДЕА.Х., АМЕТОВ И.М., БАСНИЕВ К.С. Подземная гидрогазодинамика. М.: ГАНГ, 1992. - 88 с.

87. МИХАИЛОВ Г.К. К задаче о фильтрации в анизотропных земляных плотинах трапецеидального профиля на горизонтальном водоупоре // ДАН СССР. -1951. Т. 80. - №4. - С. 553-556.

88. МИХАИЛОВ Г.К. Применение модели предельно анизотропных грунтов для оценки решений некоторых краевых задач о движении потока грунтовых вод по водоупору // Инж. сб. АН СССР. 1953. - Т. XV. - С. 159-168.

89. МИХАИЛОВ Г.К. Упрощение способа расчета фильтрации в однородно-анизотропном грунте // Инж. сб. АН СССР -1954. Т. XIX. - С.159-160.

90. МИХАЙЛОВ Г.К., НИКОЛАЕВСКИЙ В.Н. Движение жидкостей и газов в пористых средах // Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1970. - Т.2. - С. 585-648.

91. МИХАИЛОВ Н.Н. Изменение физических свойств горных пород в околоскважинных зонах. Мл Недра, 1987. —152 с.

92. МОЛОКОВИЧ Ю.М. К вопросу нелинейной фильтрации в анизотропных (ортотропных) по проницаемости средах // Гидродинамика и разработка нефтяных месторождений. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1977. — С. 124128.

93. НАХУШЕВА.М., СЕРБИНА Л.И., ТОЛПАЕВ В.А. Расчет расхода жидкости на фильтрацию под плотиной в средах с конгруэнтным типом анизотропии // Вестник Кабардино-Балкарского гос. ун-та. Серия: физикоматематические науки. Нальчик, 1996. - вып. 1. - С.96-103.

94. НИКОЛАЕВСКИИ В.Н. О точном и приближённом решениях одной плоской задачи фильтрации при смешанных граничных условиях // Изв. АН СССР. ОТН- 1957.-№10.-С. 102-105.

95. НУМЕРОВ С.Н. К вопросу о нелинейной фильтрации газа в анизотропной среде // Изв. ВНИИГ им.Б.Е.Веденеева. Л., 1974. - Т. 104. - С.292-293.

96. ОСТРЕЙКО В.Н. Расчет электромагнитных полей в многослойных средах. — Л.: Изд-во Ленинградского ун-та. -1981.-152 с.

97. ПЕТРОВА В А. К вопросу об оценке точности метода Хоу / Докл. XXVI научной конференции «Вопросы прикладной математики и геометрического моделирования» ЛИСИ. Л., 1968. - С.16-21.

98. ПЕТРОВА В А. Решение плоской электростатической задачи для двух контуров // Изв. вузов СССР. Математика. — 1969. №8. - С.52-63.

99. ПИВЕНЬ В.Ф. К теории осесимметричных обобщенных аналитических функций в динамических процессах // Докл. АН СССР. 1990. - Т.313. -№6.-С.1424-1426.

100. ПИВЕНЬ В.Ф. О теории двумерных процессов в слоях переменной проводимости, характеризуемых степенью гармонической функции // ДАН. 1995. - Т.344. - №5. - С. 327-629.

101. ПИЛАТОВСКИИ В.П. Основы гидромеханики тонкого пласта. М.: Недра, 1966.-317 с.

102. ПИРВЕРДЯН A.M. Нефтяная подземная гидравлика. Баку: Азнефтеиздат, 1956.-332 с.

103. ПОЛОЖИМ Г.Н. Обобщение теории аналитических функций комплексного переменного. Киев: Изд-во Киевск. ун-та, 1965. - 442 с.

104. ПОЛОЖИИГЛ. Теория и применение р-аналитических и (p,q)-аналитических функций. Киев: Наукова думка, 1973. - 424 с.

105. ПОЛУБАРИНОВА-КОЧИНА ПЛ. О фильтрации в анизотропном грунте // ПММ. -1940. Т.4. - вып.2. - С.101-104.

106. ПОЛУБАРИНОВА-КОЧИНА ПЛ. Об источниках и стоках на поверхности // ПММ. -1950. Т. 14. - вып. 1.

107. ПОЛУБАРИНОВА-КОЧИНА ПЛ. Теория движения грунтовых вод. М.: Недра, 1977.-664 с.

108. ПОЛУБАРИНОВА-КОЧИНА ПЛ., ПРЯЖИНСКАЯ В.Г., ЭМИХВ.Н. Математические методы в вопросах орошения. — М.: Наука, 1969. 414 с.

109. ПРУСОВ И.А. Двумерные краевые задачи фильтрации. — Минск: Изд. университетское, 1987.-182 с.

110. ПРУСОВ И.А., ВЕРЕМЧУКИ.А. Вывод основных уравнений фильтрации жидкости в анизотропной среде // Изв. АН БССР. Серия физ.-мат. наук. — Минск, 1974. -№1. С.109-112.

111. ПЫХАЧЕВ Г.Б., ИСАЕВ Р.Г. Подземная гидравлика. М.: Недра, 1973. -360 с.

112. РАБИНОВИЧ Н.Р. Инженерные задачи механики сплошной среды в бурении. М: Недра, 1989. - 270 с.

113. РАДЫГИН В.М. К вопросу о работе круговой батареи скважин в неодродном искривоенном пласте // Гидромеханика. М.: МОПИ им.Н.К.Крупской, 1973. вып. 2. - С.62-67.

114. РАДЫГИН В.М. О фильтрации к цепочке совершенных скважин в неоднородном пласте // Гидромеханика. М.: МОПИ им.Н.К.Крупской, 1973. — вып. 2. — С .57-61.

115. РАДЫГИН В М. Фильтрационная теорема о двух окружностях // Задачи гидродинамики при усложненных моделях среды. МОИП. — М.: Наука, 1985. -С.18-23.

116. РАДЫГИН В.М., ГОЛУБЕВАО.В. Применение функций комплексного переменного в задачах физики и техники. — М.: Высшая школа, 1983. —160 с.

117. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР / Под ред. ПЛЛолубариновой-Кочиной и др. — М.: Наука, 1969. 545 с.

118. РИЗЕНКАМПФ Б.К. Гидравлика грунтовых вод. 4.1. Уч. зап. Саратове к. ун-та, сер. физ. матем. -1938. — Т. 14. - вып. 1. - С. 89-113.

119. РОММЕ.С. Структурные модели порового пространства горных пород. — Л.: Недра, 1985. 240 с.

120. РОММЕ.С. Фильтрационные свойства трещиноватых горных пород. — М.: Недра, 1966.-238 с.

121. РОММ Е.С., ПОЗИНЕНКО Б.В. О проницаемости анизотропных трещиноватых горных пород // Инженерный журнал. —1963. — Т. 3.—№2.

122. СВЕШНИКОВ А.Г., ТИХОНОВ А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1970. - 304 с.

123. СЕДОВ Л.И. Механика сплошной среды. Т.1. — М.: Наука, 1983. 528 с.

124. СЕДОВ Л.И., ЛОХИНВ.В. Описание с помощью тензоров точечных групп симметрии // ДАН СССР. -1963. Т. 149. - №2. - С. 796-797.

125. СЕРБИНА Л.И., ТОЛПАЕВ В.А. О построении общих решений уравнений и систем уравнений эллиптического типа методом формул перехода // Тр. унта / Ставропольский гос. технич. ун-т. Ставрополь, 1996. - С. 120-132.

126. СИРОТИН Ю.И. Построение тензоров заданной симметрии // Кристаллография. -1961. Т.6. - вып.З. - С.ЗЗ 1-340.

127. СИРОТИН Ю.И., ШАСКОЛЬСКАЯМП. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1979.-640 с.

128. СОЛОМКО Ю.Л. О моделировании работы скважины в анизотропном грунте // МОИП. Избранные задачи гидродинамики. М.: Наука. - 1977. — С.92-96.

129. Справочник по специальным функциям. / Под ред. Абрамовича М. и Стегана И. М.: Наука, 1979. - 830 с.

130. СТАРШИНОВА Л.В. Об определении функции давления в макронеоднородном пласте методом коллокации // Тр. по теории фильтрации и гидродинамике нефтяного пласта. Казан.гос.ун-т. Казань, 1961. - Т.121. - С.103-110.

131. СТАРШИНОВА Л.В. Применение метода конечных разностей для определения давления в неоднородных пластах // Изв. КФАН СССР. Серия физ.-мат. и техн. наук. —1959. — №13. С27-36.

132. ТИМАШЕВ Г.В., АТАКУЛОВТ., КАЛНИН О.Ж., ГОРОШКОАА. Скважинные фильтры (по патентным материалам зарубежных стран) // ВНИИЭГАЗПРОМ. НТО. Серия "Разработка и эксплуатация газовых и газоконденсатных месторождений". М., 1977. — вып. 13. - С.45.

133. ТИХОНОВ А.Н., САМАРСКИИ А.А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.-735 с.

134. ТОЛПАЕВ В.А. Математическое моделирование нелинейной фильтрации в анизотропных средах обобщённым методом С.Н. Нумерова // Изв.вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. Приложение. 2003. -№ 12.-С.3-11.

135. ТОЛПАЕВ В А. Влияние некоторых типов криволинейной анизотропии грунтов на расход жидкости под плоским флютбетом // МОИП. Избранные задачи гидродинамики. М.: Наука, 1977. - С.101-105.

136. ТОЛПАЕВ В А. Влияние неопределенности в критериях существования линейного режима фильтрации на погрешность в расчетах дебетов скважин // Тр. ун-та. Серия «Нефть и газ». - Ставрополь, СевКавГТУ, 2000. - выпЗ. -С.137-143.

137. ТОЛПАЕВ В.А. Влияние скачка проницаемости призабойной зоны на дебит скважины // Сб. научн. тр. 3-го Всероссийского симпозиума "Математическое моделирование и компьютерные технологии". — Кисловодск, 1999. -ТЗ. С32-33.

138. ТОЛПАЕВ В.А. Двусторонние оценки дебитов скважин в анизотропно-неоднородных; средах // Мат. XXIX научно-технической конференции СтГТУ. Ставрополь, 1999. - Т.1. - CJ-4.

139. ТОЛПАЕВ В.А. Исследование плоскопараллельного течения жидкости от источника в упруго деформируемых анизотропных средах // Сб. научн. тр. МОИП «Новые вопросы гидродинамики». - М.: Наука, 1974. — С.78-82.

140. ТОЛПАЕВ В.А. К вопросу о построении плоскопараллельных течений жидкости в упруго-деформируемых анизотропных грунтах // Гидромеханика. М.: МОПИ им. HJC. Крупской, 1975. вып. 4. - С. 17-26.

141. ТОЛПАЕВ В А. К теории двумерной стационарной фильтрации жидкости ванизотропных средах / Автореферат дисск.ф.-м.н. ИПМ АН СССР. — М.,1976.-19 с.

142. ТОЛПАЕВ В.А. Квазиконформная ковариантность уравнений плоскопараллельной фильтрации в анизотропно-неоднородных средах // Гидромеханика. М.: МОПИ им. Н.К. Крупской, 1976. вып. 5. - С.30-32.

143. ТОЛПАЕВ В.А. Математическая модель горизонтального гидроразрыва пласта // Сб. научн. тр. СевКавГТУ. Серия "Естественнонаучная". — Ставрополь, 2001. вып.4. - С.83-88.

144. ТОЛПАЕВ В.А. Математические модели для фильтрационного расчета гидротехнических сооружений // Изв. ВННИГ им. Б.Е. Веденеева. Санкт-Петербург, 2001. - Т.239. - С. 98-109.

145. ТОЛПАЕВ ВА. Математические модели нелинейной фильтрации в грунтах с обобщенной анизотропией // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2000. - № 2. — С.33-36.

146. ТОЛПАЕВ ВА. Метод аппроксимации эпюр скорости фильтрации в расчетах гидротехнических сооружений // Сб. научн. тр. СевКавГТУ. Серия «Естественнонаучная». Ставрополь, 2000. — выпЗ. - С.54-64.

147. ТОЛПАЕВ ВА. О построении точных решений задач напорной фильтрации в некоторой серии анизотропных сред // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. -1979.-№4.-С. 33-36.

148. ТОЛПАЕВ В А. О расчетах потенциальных полей в многослойных средах с циклически изменяющимися характеристиками // Мат. 6 Международной конференции "Циклы природы и общества". Часть 2. -Ставрополь, 1998. — С.11-19.

149. ТОЛПАЕВ В.А. О точности аппроксимации граничных условий передаточными функциями 1-го рода // Вестник Ставропольского ун-та. — Ставрополь, 1998. вып. 3-4. - С.153-158.

150. ТОЛПАЕВ В.А. Обобщение уравнения Буссинеска для анизотропно-неоднородных сред // Сб. научн. тр. СевКавГТУ. Серия "Физико-химическая". Ставрополь, 1999. - вып.З. - С. 135-138.

151. ТОЛПАЕВ В.А. Обобщение фильтрационных теорем об окружности и прямой для анизотропных сред // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. -1984. -№3. С.32-35.

152. ТОЛПАЕВ В.А. Построение плоско-параллельных фильтрационных течений несжимаемой жидкости методом перехода // Гидромеханика. — М.: МОПИ им. ШСКрупской, 1974. вып. 3. - С.27-37.

153. ТОЛПАЕВ В.А. Применение вариационных методов для расчета двусторонних оценок дебитов скважин // Мат. XLIV научно-методической конференции Ставропольского государственного университета. — Ставрополь, 1999.-С.45-52.

154. ТОЛПАЕВ В.А. Применение р-аналитических функций для описания плоско — параллельной фильтрации в анизотропно — неоднородных грунтах // Гидромеханика. М.: МОПИ им. ШСКрупской, 1974. - вып.З. - С.18-26.

155. ТОЛПАЕВ В.А. Расчет двусторонних оценок дебитов скважин при нелинейных режимах фильтрации // Мат. Первой Международной Конференции "ЦикльГ. Часть 2. Ставрополь, 1999. - С.89-95.

156. ТОЛПАЕВ В.А. Расчет дебита центральной скважины, работающей в круговом пласте с прямолинейной анизотропией // Теория гидродинамических моделей технических задач. Сб. научн. тр. Свердловск, 1988.-С.41-46.

157. ТОЛПАЕВ В.А. Расчет дебитов скважин при сосуществовании линейного и нелинейного режимов фильтрации // Сб. научн. тр. IV Всероссийского симпозиума "Математическое моделирование и компьютерные технологии" Кисловодск, 2000. - Т.2. - Ч. 2. - С.62-64.

158. ТОЛПАЕВ В А. Расчет напорных фильтрационных течений методом виртуальных трубок тока // Сб. мат. Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в научных исследованиях». СГУ. — Ставрополь, 27-30 сентября 2000. Ч. 1. - С.160-164.

159. ТОЛПАЕВ В А. Расчет статических полей в прямоугольной многослойной области // Изв. вузов СССР. Электромеханика. — 1990.—№ 7. С.5-14.

160. ТОЛПАЕВ В.А. Расчет температурного поля в однородной полуплоскости с прямолинейной анизотропией // Сб. тр. «Избранные задачи гидродинамики». МОИП. М.: Наука, 1977. - С.58-59.

161. ТОЛПАЕВ В.А. Решение задач фильтрации в кусочно-неоднородных средах методом моделирования границ раздела эквипотенциалями течения // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 1999. - № 4. -С.39-43.

162. ТОЛПАЕВ ВА. Решение краевых задач напорной фильтрации в некоторых сериях неоднородных сред // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Воронеж, 1999. - С.188-189.

163. ТОЛПАЕВ В А. Решение краевых задач со смешанными краевыми условиями в прямоугольной многослойной области // Изв. вузов. СевероКавказский регион. Естеств. науки. —1998.—№ 4. — С.47-55.

164. ТОЛПАЕВ В А. Связь плоскопараллельных течений в изотропных и анизотропных грунтах // Гидромеханика. — М.: МОПИ им. Н.К. Крупской, 1975.-вып. 4. -С.11-16.

165. ТОЛПАЕВ В А. Уравнения гидродинамики для течений жидкости в крупноячеистых средах // «Современные методы в теории краевых задач». Воронежская весенняя математическая школа. — Воронеж, 1996. С. 176.

166. ТОЛПАЕВ В.А. Уравнения линейной напорной плоскопараллельной фильтрации в анизотропных средах // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. — 1984. № 2. - С.45-49.

167. ТОЛПАЕВ В.А. Уравнения нелинейной фильтрации в анизотропных средах // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. Приложение. 2003. - №7. - С. 7-18.

168. ТОЛПАЕВ В.А. Уравнения осесимметричных винтовых течений идеальной несжимаемой жидкости // Мат. V региональной научно-технической конференции. Серия «Естественные и точные науки». — Ставрополь: СевКавГТУ, 2001. -4.1. С.7-9.

169. ТОЛПАЕВ В.А. Фильтрация жидкости в анизотропных и неоднородных грунтах: Учеб. пособие. Ставрополь: СевКавГТУ, 2000. —196 с.

170. ТОЛПАЕВ В.А. Численно-аналитические методы расчета дебитов одиночных и групповых скважин в неоднородных средах // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2000. - №1. - С.53-57.

171. ТОЛПАЕВ В.А. Эффект минимизации потока потенциального векторного поля в многослойных средах // Сб. научн. тр. СтГТУ. Серия "Физико-химическая".- Ставрополь, 1998. — вып.1. — С.71-76.

172. ТОЛПАЕВ В А., ВАРЯГОВ С.А., ЕРЕМИНА Н.В., КУРСА В.В. Решения задач о продвижении газо-водяного контакта для лабораторной проверки модели нулевой вязкости газа // Вестник СевКавГТИ. — Ставрополь, 2001. — вып. 1, —С.87-93.

173. ТОЛПАЕВ В.А., ЖЕРНОВОЙ А.Д. Решение краевой задачи Дюпюи для среды с прямолинейной анизотропией // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. — 1988.—№ 4. С.80-87.

174. ТОЛПАЕВ ВА., ЖЕРНОВОЙ А.Д., ПЕТРЕНКО В.И. Численный расчет емкости цилиндрического конденсатора с анизотропным диэлектриком // Изв. вузов СССР. Электромеханика. —1989. №6. — С.5-12.

175. ТОЛПАЕВ ВА., ЗАХАРОВ В.В. Гидродинамические особенности течения жидкости в призабойной зоне скважины // Вестник СевКавГТУ. Серия «Физико-химическая». — Ставрополь, 2003. №1(7). — С. 120-127.

176. ТОЛПАЕВ В.А., ИВАНОВА Е.Ф. Интегрирование систем дифференциальных уравнений модифицированным методом исключения // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. — 1998. — № 3. -С. 107110.

177. ТОЛПАЕВ В А, КИРИЛЛОВ B.C. Исследование эффективности вертикального гидроразрыва нефтяного пласта // Мат. II международной конференции «Циклы». СевКавГТУ. - Ставрополь, 2000. - 4.2. - С.49-53.

178. ТОЛПАЕВ В А, КИРИЛЛОВ B.C., ХАРЧЕНКО Ю.В. Влияние скачка проницаемости в призабойной зоне скважин на суммарный дебит круговой батареи // Мат. III региональной научно-технической конференции СевКавГТУ.-Ставрополь, 1999. С.35-36.

179. ТОЛПАЕВ В А, КРЫМИН Л.Г. О приближенном расчете электротехнических характеристик плоскопараллельного поля плотности постоянного тока в неоднородном изотропном проводнике // Изв. вузов. Электромеханика. 1987. -№4.-С.11-17.

180. ТОЛПАЕВ В А., КУРСА В.В. Теория Голубевой О.В. течений идеальной жидкости в искривленных слоях переменной толщины и ее приложения к задачам фильтрации // Циклы. СевКавГТУ. Ставрополь, 2000. - вып.5. — С. 14-50.

181. ТОЛПАЕВ В.А., КУТОВОЙА.С. Закон Дарси для фильтрации в средах с обобщенной анизотропией // Деп. в ВИНИТИ. 23.09.87. № 6837 В87. -19 с.

182. ТОЛПАЕВ В.А., ДЕДОВСКОЙ В.И. Применение теории триортогональных поверхностей для задания законов распределения главных направлений анизотропии // Сб. научн. тр. СевКавГТУ. Серия «Физико-химическая». -Ставрополь, 2002. вып.6. - С.93-98.

183. ТОЛПАЕВ В А., МАТВЕЕВ Ю.Т. Построение решений некоторых уравнений гиперболического типа методом перехода // Сб. научно-методических статей по математике. — М.: Высшая школа, 1983. — вып.11. — С.98-107.

184. ТОЛПАЕВ В.А., СЕРБИНА Л.И. Оптимизация расчета статических полей в многослойных средах с циклически изменяющимися характеристиками // СКНЦ ВШ, СтГТУ. — Сб. научн. статей «Методологические проблемы научного исследования». Ставрополь. — 1994. - С.41-51.

185. ТОЛПАЕВ В.А., СЕРБИНА Л.И. Расчет дебитов скважин с кусочно-однородной призабойной зоной // Сб. научн. тр. СтГТУ. Серия "Физико-химическая". Ставрополь, 1999. - вып.2. - С. 116-119.

186. ТОЛПАЕВ В.А., СЕРБИНА Л.И. Расчет тензора проницаемости для сред с цилиндрическими законами распределения главных направлений анизотропии // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. — 1997. -№2.-С.41-42.

187. ТОЛПАЕВ ВА., СИЛАНТЬЕВ А.Н. Применение метода Howe к приближенному решению краевых задач теории фильтрации // Мат. Ш региональной научно-технической конференции СевКавГТУ. — Ставрополь, 1999.-C.il.

188. ТОЛПАЕВ В А., ХАРЧЕНКО ЮБ. Построение точных решений задач фильтрации жидкости к скважине методом характеристических функций // Сб. научн. тр. СевКавГТУ. Серия «Естественнонаучная». Ставрополь, 2002. — вып.5 - С.98-101.

189. ТОЛПАЕВ В.А., ХАРЧЕНКО Ю.В. Потенциалы фильтрационных течений от источников и стоков в областях круговой формы, полуплоскости, квадранта // Вестник СевКавГТУ. Серия «Физико-химическая». — Ставрополь. 2003. - №1(7). - С. 150-158.

190. ТОЛПАЕВ В А., ХАРЧЕНКО Ю.В. Учет скачка проницаемости призабойной зоны скважины с помощью метода ЭГДА // Мат. Ш региональной научно-технической конференции СевКавГТУ. Ставрополь. - 1999.-С34-35.

191. ТОЛПАЕВ В.А., ХАРЧЕНКО Ю.В., ЗАХАРОВ В.В. Влияние проницаемости гравийного фильтра на дебит буровой скважины при линейном законе Дарси // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2003. - № 3 - С. 36-41.

192. ТОЛПАЕВ В А., ХАРЧЕНКО Ю.В., КИРИЛЛОВ B.C. Вычислительные эксперименты по оптимизации размещения нефтедобывающих скважин в круговом пласте // Сб. научн. тр. СевКавГТУ. Серия «Нефть и газ». -Ставрополь, 2000. вып. 3. - С.131-136.

193. ТОЛПАЕВ В.А., ХАРЧЕНКО Ю.В., КИРИЛЛОВ B.C. Математическая модель циклического взаимодействия скважин с индивидуальными фильтрационными свойствами призабойных зон // «Циклы». — Ставрополь, СевКавГТУ, 2000. вып. 2. - С.57-62.

194. ТОЛПАЕВ В.А., ШАХНАБАТОВА Л. О точности моделирования в статических расчетах мелкослойчатых сред анизотропными // Изв. вузов СССР. Электромеханика. -1988. -№ 6. С.13-18.

195. ТОЛПАЕВ В.А., ШАХНАБАТОВА Л.Б. Комплексные потенциалы плоскопараллельных электрических и магнитных полей в анизотропных средах // Изв. вузов. Электромеханика. — 1984. №3. - С. 5-9.

196. ТОЛПАЕВ В.А., ШАХНАБАТОВА Л.Б., КРЫМИН Л.Г. Об аппроксимации в электротехнических расчетах мелкослойчатых сред анизотропными // Изв. вузов. Электромеханика. — 1985.—№11. — С.23-32.

197. УМОВ H.A. О стационарном движении электричества на проводящих поверхностях произвольного вида. — Математический сборник. — 1878. — Т.9.-С. 121-127.

198. ФИХМАНАС Р.Ф., ФРИДБЕРГ П.Ш. Метод Хоу расчёта ёмкости тел и его связь с вариационными принципами // ЖТФ. — 1970. — Т.40. — вып.6. — С.1327-1328.

199. ФИХТЕНГОЛЫДГ.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука. -1970. - Т2-3. - 800 С.+656 с.

200. ХМЕЛЬНИК М.И. Исследование некоторых течений в двусвязной области и их применение в теории фильтрации // Тр. ун-та / МОПИ им. Н.К.Крупской. -1968. -Т.200. вып.7. - С.100-113.

201. ХМЕЛЬНИК М.И. Математическая модель течения на многосвязных и многолистных поверхностях // Некоторые проблемы математики в задачах физики и механики.—М.: Изд-во МФТИ, 1988.- С. 95-100.

202. ХОЛОДОВСКИИ С.Е. Линейная фильтрация жидкости в анизотропных средах // Задачи динамических процессов в сплошных средах. Свердлов, гос. пед. ин-т. Свердловск, 1991. - С.15-19.

203. ХОЛОДОВСКИИ С.Е. О гидродинамическом осреднении сильно неоднородных пористых сред при линейной фильтрации // Изв. РАН. МЖГ. -1993.—№5.-С.190-192.

204. ХОЛОДОВСКИИ С.Е. О фильтрации в неоднородных средах с криволинейной анизотропией // Проблемы математики в задачах физики и техники. Моск. физико технич. ин-т. - М., 1992. - С. 153-155.

205. ХОЛОДОВСКИИ С.Е. О фильтрации в пластах с кольцевыми неоднородными анизотропными зонами, трещинами и завесами // Докл. АН

206. СССР. -1991.- Т.317. -№ 3. С.606-608.—

207. ХОЛОДОВСКИИ С.Е. О фильтрации в слоистых средах с пересекающимися трещинами и завесами // Докл. PAR 1994. - Т. 338. - № 5. - С.622-624.

208. ХОЛОДОВСКИИ С.Е. О фильтрационных течениях с экранированным шаровым включением // Изв. PAR МЖГ. 2002. - № 4. - С.98-104.

209. ХОЛОДОВСКИИ С.Е. Об анизотропной модели слоисто анизотропных трещиноватых сред при линейной фильтрации // Вычислительная математика и математическая физика. Моск. гос. пед. ин-т. - М., 1988. — С. 14-17.

210. ХОЛОДОВСКИИ С.Е. Тензор эффективной проницаемости сильно неоднородных грунтов // Инженерно — физический журнал Б АН и РАН. — 1992.—Т.63.-№ 1, —С. 18-22.

211. ХОРЬКОВ В.А. Некоторые краевые задачи установившейся фильтрации жидкости в слоях переменной толщины // Задачи динамических процессов в сплошных средах: Межвуз. сб. / Свердл. гос. пед. ин-т. Свердловск, 1991. -С.52-56.

212. ЧЕРНЯЕВ AJL Фильтрация в искривленных неоднородных пластах с проводимостью некоторого класса // ПММ. -1983. Т.47. - вып. 6. — С.10471049.

213. ШЕИДЕГГЕР А.Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. М.: Гостоптехиздат, 1960. - 250 с.

214. ШЕШУКОВ ЕJT. О нелинейной фильтрации в анизотропной среде // Гидродинамика и разработка нефтяных месторождений. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1977.-С. 183-194.

215. ЩЕЛКАЧЕВ В.Н. Критический анализ исследований, посвященных определению верхней границы закона фильтрации Дарси // Упругий режим фильтрации и термодинамика пласта. — М.: Недра, 1972. С. 3-12.

216. ЩЕЛКАЧЕВ В.Н., ЛАПУК Б.Б. Подземная гидравлика. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 200L - 736 с.

217. ЯНКЕ Е., ЭМДЕ Ф., ЛЁШ Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977. -342 с.

218. ЯРМИЦКИИ А.Г. Фильтрационная теорема о двух окружностях // Изв. АН СССР. МЖГ.-1986. -№ 4. С.76-82.

219. ALLEN A.J.C. On some problems in the conduction of electricity // Quarterly Journal of pure and applied mathematics, 1881, vol. 17, p. 65-86.

220. BELTRAMI E. Intorno ad un caso di moto a due coordinate // Rendiconti d. Reale Istituto Lombardo di Scienze e Lettere, 1878, vol. 11, p. 199-210.

221. BERS L. Theory of pseudo-analytic functions. Lecture notes (mimeographed). New York University, 1953.

222. BERS L., GELBART A. On the class of functions defined by partial differential equations. Transactions of the American Mathematical Society, v. 56, № 1,1944.

223. DACHLERR. Uber Stekerwasserstromungen in geschichtetem Material // Wasserwirtschaft, 1933, №2, p. 15-20.

224. FERRANDON J. Les lois de lecoulement defiltration. Genie Civil, 125, no 24, 1948.

225. HILL M.J. The steady motion of electricity in spherical current sheets. — Quarterly Journal of pure and applied mathematics, 1879, vol. 16, p. 306-323.

226. IRMEY B. Darcys low for nonisotropicsoils. Proc. Ass. Gen. Bruxelless Ass. Int. Hydrol. (UGGI), 2,179,1951.

227. JONSON W.E., HUGHES R.V. Directional permeability measurements and their significance. Producers monthly, 1948,13, p. 17-25.

228. LEVY T. Filtration in a porous fissured rock: influence of the fissures connexity // Eur. J. Mech. 1990. V.9. № 4. C309-327.

229. LITWINISZIN J. Stationary flows in heterogeneously anisotropic mediums. Ann. Polon. Math. 1950.22.185p.

230. MAAS C. Groundwater flows to a well in a layered porous medium // Water resources research. 1987. V.23. № 8. C.1675-1681.

231. MARCUS H. The permeability of sample of an anisotropy medium // J. Geophys. Res. 1962. V. 67. №13, p. 5215-5225.

232. MARCYS H., EVENSOND.E. Directional permeability in anisotropy porous media // Univ. Calif. Bercely. Water Resources Center contrib. 1961, 31. oct, p. 105.

233. MEEGODA N.J., KING I.P., ARULANDANK. An expression for the permeability of anisotropy granular media // Int. J. number, anal, methods in geomechanics. 1989. V. 13. p. 575-598.

234. MUSKAT M. Physical principles of oil production. New York. McGraw-Hill. 1949.922 p.

235. MUSKAT M. The flow of homogenous fluids through porous media. Ann. Arbour. Mich. Edwards. 1946.736 p.

236. NIKOLAEVSKIJ V.N. Mechanics of Porous and Fractured Media. Singapore: World Scientific. 1990.472p.

237. NUMEROV S.N. Non-linear seepage in anisotropy media // Proceedings 15 congress IAHR. 1973. Vol3. p.39.

238. ODA M. Permeability tensor for discontinuous rock masses // Geotecknique. 1985. V35. № 4. C.483^95.

239. OLENDORFF F. Potentialfelder der Elektrotechnik. Berlin, 1932.395 s.

240. PETERSEN J.S., ROCHWERC., ALBERTSON M.L. Effect of well screens on flow into wells // Proc. Amer. Soc. Civil Engrs. 1953,79, № 365.

241. PIVEN' V.F. The theory of two-dimensional processes in inhomogeneous layers with power law of their conductivity variation // J. Appl. Maths. Mechs. 1997, Vol. 61, №4, P. 577-586.

242. PRATS M. Effect of vertical fractures on reservoir behaviour in compressible fluid case // Soc.Petrol. Eng. Journal. 1961. V.l.№2. C.105-118.

243. SCHAFFERN AK F. Erforschung der physikalischen Gesetze, nach welchem die Durchsikerung des Wassers eine durch Talsperre oder den Untergrund stattfindet. Wasserwirtschaft. 1933. №30. s. 10-20.

244. SCHEDDEGGER A. On directional permeability // Geophys. Pura Appl. 1956. V. 33. P. 111.

245. SCHEDDEGGER A.E. The phusics of flow through porous media. Univ. of Toronto Press. 1974,3d edition. 353 p.

246. SNOW D.T. Anisotropy permeability of fractured media // Water Resour. Research. 1969. V.5. № 6. C.1273-1284.

247. ZIJL W., STAM J.M. Modelling permeability in imperfectly layered porous media // Math. Geol. 1992. V.24. № 8. C.865-883.