автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели двумерных течений жидкости в задачах гидродинамики и теории фильтрации

На правах рукописи

Ледовскон Валерий Иванович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВУМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ В ЗАДАЧАХ ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь — 2006

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Северо-Кавказского государственного технического университета (СевКавГТУ)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Толпаев Владимир Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Семенчин Евгений Андреевич

доктор физико-математических наук, профессор Чеканов Владимир Васильевич

Ведущая организация: Российский государственный университет.

нефти и газа им. И.М. Губкина, г. Москва

Защита состоится «22» сентября 2006 года в 14— часов на заседании регионального диссертационного совета ДМ 212.245.09 при Северо-Кавказском государственном техническом университете по адресу: 355029, г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2, ауд. 529.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СевероКавказского государственного технического университета.

Автореферат разослан « 2006 года

Ученый секретать диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук, доцент

О.В. Мезенцева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертационного исследования обусловлена широким кругом важных с теоретической и практической точек зрения проблем, решение которых требует развития новых эффективных методов математического моделирования гидродинамических и фильтрационных течений в искривлённых (однородных и неоднородных) слоях постоянной и

переменной толщины. - .....>

К таким проблемам в нефтегазовой гидромеханике приводя!; во-первых, задачи разработки неоднородных продуктивных пластов сложной геологической структуры с непроницаемыми криволинейными подошвой и кровлей.,

Во-вторых, в практике нефте- и газодобычи получило широкое распространение строительство горизонтальных, многоствольных и наклонных скважин, в призабойных зонах которых фильтрационные течения носят ярко выраженный пространственный характер. Если всё пространство течения к таким скважинам разбить с помощью некоторого зафиксированного семейства поверхностей тока на криволинейные слои, то данный класс течений приближённо можно описать как совокупность двумерных движений жидкости в искривлённых слоях переменной толщины.

В-третьих, проблемы охраны окружающей среды выдвигают в качестве важнейшей задачу исследования миграции загрязнённой (засолённой) воды. Так как водоносные пласты, как правило, искривлены, неоднородны, имеют переменную толщину, то и в этом классе задач требуются новые методы математического моделирования специфических для искривлённых слоев пространственных фильтрационных течений жидкости.

В-четвёртых, проблемы развития авиационной, космической и корабельной техники постоянно выдвигают требования разработки новых, более адекватных к реальным условиям, математических моделей пространственных движений жидкости. Некоторым шагом в приближённом изучении пространственных течений жидкости вблизи тел со сложной геометрической формой может стать метод расчленения таких течений на совокупность двумерных движений в искривлённых слоях переменной толщины.

Все перечисленные проблемы выдвигают как актуальную задачу разработки новых методов математического моделирования гидродинамических и фильтрационных течений в искривлённых (однородных и неоднородных) слоях постоянной и переменной толщины. Именно этому классу задач и посвящена тема диссертации.

Целью работы является создание и исследование новых математических моделей гидродинамических и фильтрационных течений несжимаемой жидкости в искривленных слоях постоянной и переменной конечной толщины, а также оценка точности расчётов как по известным, так и по предлагаемой схемам.

Научная новизна и теоретическое значение работы определяются следующим:

1. Построена новая математическая модель потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости в искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины.

2. Построена новая математическая модель фильтрационных течений, подчиняющихся линейному закону Дарси, несжимаемой жидкости в искривлённых неоднородных слоях постоянной и переменной конечной толщины.

3. Развит метод построения специализированных ортогональных криволинейных координат, приспособленных для исследования течений в искривленных слоях переменной толщины.

4. Предложены двумерные математические модели течений жидкости в искривленных слоях конкретных типов (в цилиндрических, осесимметрич-ных, клиновидных и сферических слоях).

5. Указаны классы криволинейных слоёв постоянной конечной толщины, течения в которых с позиций предложенной математической модели можно описывать комплексными потенциалами, представляющими собой аналитические функции.

6. С позиций предложенной математической модели указана новая гидродинамическая интерпретация теории р -аналитических функций Г.Н. По-ложего, открывающая для них широкий круг приложений.

Наконец, развитый математический аппарат можно применять не только к задачам гидродинамики идеальной жидкости и линейной теории фильтрации, но и для исследования процессов и явлений различной физической природы, протекающих в искривлённых слоях переменной толщины и описываемых уравнениями вида v = k(x,y,z)■ grad <р; div v = 0.

Достоверность и обоснованность научных положений и результатов диссертации подтверждается следующим:

1. Корректностью применения апробированного математического аппарата (векторный анализ, уравнения математической физики, теория аналитических функций, дифференциальная геометрия, численные методы);

2. Корректностью использования апробированных специализированных программных сред (Maple 7, MathCAD 8, Visual С++ 2005, Matlab 5);

3. Результаты исследований других авторов (О.В. Голубевой, А.П. Крылова, ЮЛ. Иосселя, В .П. Пилатовсшго) вытекают из результатов защищаемой

работы как предельные частные случаи, когда толщина искривлённого слоя стремится к нулю;

4. Результаты классической модели гоюскопараллельных течений из предложенной вытекают как частный случай для слоя с непроницаемыми плоскими параллельными друг другу подошвой и кровлей, эксплуатируемого прямолинейными перпендикулярными к слою скважинами.

Практическая значимость. Построенные математические модели применены к решению актуальных граничных задач, возникающих при разработке нефтеносных (водоносных) слоёв грунта с осесимметричной структурой. Выведены формулы для вычисления дебита совершенной скважины, расположенной в куполе осесимметричного пласта, как для линейного, так и. для нелинейного законов фильтрации. т

Исследована точность аппроксимации трёхмерных фильтрационных течений в искривлённых слоях конечной толщины как по известным схемам, так и по новой предложенной схеме. Сделаны практические рекомендации.

Для конкретных криволинейных слоев постоянной толщины (эллиптический слой, параболический, гиперболический, гипертангенсальный, горбо-образный, осесимметричные слои, цилиндрические слои) построены ортогональные криволинейные координаты, приспособленные для исследования в этих слоях векторных полей различной физической природы, описываемых уравнениями вида V = к(х,у, г) ■ <р; <Л'у У = 0.

Апробация работы. По мере получения основных результатов и в завершённом виде диссертация докладывалась на научном семинаре кафедры прикладной математики СевКавГТУ.

Результаты диссертации докладывались на:

- Междисциплинарном научном семинаре «Циклы» вузов Северо-Кавказского региона (СевКавГТУ, 2002 г.);

' - Научно-технической конференции «Естественные и точные науки» (СевКавГТУ, 2003 г.);

- Седьмой всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания» (Нижний Новгород, 2003 г.);

- Девятой всероссийской научно-технической конференции «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве» (Нижний Новгород, 2003 г.); .

- Третьей и четвёртой региональной научной конференцях «Математическое моделирование и информационные технологии в технических, естественных и гуманитарных науках» (Георгиевск, 2003,2004 гг.);

- Четвёртой международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 2004 г.);

- Пятом всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2004 г.);

- Первой и второй международной научно-технической конференциях «Инфотелекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании» (СевКавГТУ, 2004 г., 2006 г.);.

- Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2005 г.).

Публикации. По теме диссертации всего опубликовано в соавторстве 16 работ, из них 6 в научных журналах из перечня ВАК РФ. В опубликованных в соавторстве работах соискателю принадлежат выводы расчётных формул и разработка программ для выполнения вычислительных экспериментов.

Структура и объём работы. Общий объём диссертации 291 стр., из них 169 стр. основной части. Основная часть состоит из введения, четырёх глав, содержащих 24 пункта, заключения и списка литературы из 105 названий, из которых 10 на иностранных языках. Диссертация содержит 23 таблицы, 46 графиков и рисунков и четыре приложения объёмом 122 стр.

Положения, выносимые на защиту:

1. Методы построения специализированных ортогональных криволинейных систем координат для описания течений в искривлённых цилиндрических и осесимметрических слоях постоянной конечной толщины;

2. Новые методы математического моделирования потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости в искривлённых слоях конечной толщины;,

3. Новые методы математического моделирования линейной фильтрации жидкости в однородных и неоднородных изотропных искривлённых пластах конечной толщины;

4. Результаты вычислительных экспериментов по исследованию точности аппроксимации трёхмерных фильтрационных течений в искривлённых пластах конечной толщины их двумерными математическими моделями.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий обзор литературы по теме диссертации, обосновывается актуальность исследования, формулируются цели и задачи исследования, научная новизна, практическая значимость, указываются выносимые на защиту основные положения и кратко перечисляются основные результаты.

В 1-ой главе диссертации предложены общие методы построения специализированных ортогональных криволинейных систем координат

предназначенных для описания течений жидкости в искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины. Системы координат (<!;,т],£) в диссертации выбираются так, чтобы в семейство £ -координатных поверхностей входили непроницаемые поверхности £ = ^ = const подошвы и £ — const кровли криволинейного слоя (рис. 1).

Рисунок 1. — Выбор ортогональной расчётной системы координат г},

1 - координатная поверхность £ = , подошва искривлённого слоя;

2 — координатная поверхность 4* = <Г->» кровля искривлённого слоя;

3 — 4* -координатная линия, дугой которой можно с определённой точностью моделировать ствол добывающей скважины;

4-^* -координатные поверхности.

Для построения ортогональных координат (хв криволинейных цилиндрических слоях с постоянной конечной толщиной Н на рис. 2, серединная поверхность /0 которых задаётся параметрическим уравнением

3

У а! + = /(«) • 7 + £(<*)• *

(1)

выведены формулы

х = х, у = /(<*)-

z = g(a) +

С-Н-Па)

2-у[Ща) '

2-4Ца) '

где £(«) = /'•'(а)+ я'2(«)-

•<2

в

Рисунок 2. — Сечение цилиндрического пласта вертикальной плоскостью "Оу. Координатные поверхности А В и А, В, —соответственно, подошва и кровля пласта

Для построения ортогональных координат (£,/7,0 в осесимметричных пластах с постоянной конечной толщиной Н выведены формулы

У =

(3)

......\ш-°-гЮ-2-тт-' (4)

Г"" Е(!;У={гХ4))г+{:Х4))\

в которых х = и г = — параметрические уравнения линии сечения серединной поверхности такого слоя с координатной плоскостью хО:.

В п. 1.3 приведены конкретные примеры ортогональных систем координат, предназначенных для описания течений в эллиптическом, параболическом, гиперболическом, гипертангенсальном, горбообразном, цилиндрических и осесимметрических криволинейных слоях.

Во 2-ой главе делается постановка основной краевой задачи для трёхмерного уравнения эллиптического типа

которому удовлетворяет трёхкоординагный потенциал <р = , точно

описывающий пространственные течения жидкости в искривлённом слое переменной толщины с непроницаемыми подошвой £ = ^ и кровлей = . В уравнении (5) через Я,, Н2, Нг обозначены параметры Ламе системы координат а через — безразмерный коэффициент, описывающий проницаемость пористой среды, заполняющей слой. Если т}, = 1, то уравнение (5) описывает как потенциальные течения идеальной жидкости, так и линейную фильтрацию в изотропной однородной среде.

На непроницаемых подошве и кровле слоя решения уравнения (5) должны удовлетворять граничным условиям

д<р 8С

«Г\' «

_ д(р

Кроме условий (6) решения уравнения (5) должны удовлетворять дополнительным краевым условиям, своим для каждой конкретной задачи. Например, дополнительные краевые условия могут иметь вид

<pjr = (рс = const и q\n = <рп = const, (7)

где С и П- заданные поверхности, моделирующие поверхности ствола скважины и области питания.

Задача (5), (6) + дополнительные краевые условия в работе названа основной краевой задачей для трёхмерного уравнения (5). Сложность этой задачи в том, что, как правило, коэффициенты уравнения (5) не позволяют применять для её решения классические аналитические методы, в частности, метод Фурье. Кроме того, поверхности С и Я в дополнительных краевых условиях могут не совпадать с координатными поверхностями - const или г] = const и, к тому же, эти поверхности могут быть построенными не из £ -координатных линий. Всё это делает основную краевую задачу очень сложной не только для аналитического, но и дня численного решения. Именно поэтому возникает необходимость в разработке специальных методов математического моделирования течений в искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины.

В 3-ей главе диссертации приводится сопоставительный обзор двумерных математических моделей течений жидкости в искривлённых слоях — модель О.В. Голубевой (схема 1) и модель В.А. Толпаева (схема 2).

Идейная сторона построения математических моделей фильтрационных течений жидкости по схемам 1 и 2 последовательно представлена на рит сункахЗ,4, и5. -

Рисунок 3. — Участки линий тока и эпюра скоростей фильтрации реального течения в искривлённом слое переменной толщины (1 и 2 - непроницаемые подошва и кровля слоя; 3 - координатные поверхности ¿Г = const; 4 - 4* - координатная линия; - 5 - линии тока, соответствующие перемещениям жидких частиц за одну единицу времени)

. //«дь

Si

Рисунок 4. — Кинематическая схема двумерной модели течения в теории О.В. Го-лубевой. Затемнённые участки указывают на главные источники погрешностей в схеме О.В. Голубевой. Н (£,/}) - локальная «толщина» слоя в точке

Рисунок 5. — Кинематическая схема двумерной модели течения в теории В.А. Тол-паева. Поверхности тока рассматриваются совпадающими с координатными поверхностями £ = const

По результатам анализа схем 1 и 2 далее была поставлена задача о разработке новой двумерной модели течений жидкости в искривлённых слоях, которая, не сильно уступая в точности расчётов схеме 2, была бы не намного сложнее схемы 1. Эта новая двумерная математическая модель, идейная сторона которой показана на рис. 6, в диссертации названа схемой 3.

Рисунок 6. — Участки линий тока и эпюра скоростей фильтрации при моделировании течения в искривлённом слое переменной толщины по предлагаемой схеме. Затемнённые участки указывают на главные источники погрешностей в расчётах по предлагаемой схеме. Погрешности противоположных знаков примерно равносильны, их суммарное влияние на окончательный результат в расчётах дебитов скважин практически неощутимо

Для разработки математической модели по схеме 3 предварительно в п.3.3 был сделан вывод уравнения неразрывности в осреднённой по толщине слоя форме. Затем с помощью осреднённого уравнения неразрывности и линейного закона Дарси выведено уравнение

Ц[<р] =

Н

977

МШ 8т]

= 0

(8)

эллиптического типа для двух координатного потенциала <р = т]), описывающего с некоторой степенью точности течения жидкости в криволинейном слое, ограниченном непроницаемыми подошвой ( = ^ и кровлей В уравнении (8) геометрические параметры слоя я,, з2, Л, и К± вычисляются через параметры Ламе //,, Н2, //, ортогональной криволинейной системы координат £,77,^ по формулам

= 7,Со); ^(£,77) (9)

и

■*,(<?,?) = }//,(#, ^А-Яз^,,/,^; Ч) = г/, С) ■ "з(#> п, СЖ, (10)

а .г, '

в которых 4*0 —значение координаты в точках серединной поверхности криволинейного слоя.

В пп. 3.5-3.11 рассмотрены криволинейные слои с конкретными геометрическими свойствами (цилиндрические и осесимметрические слои постоянной толщины) и указаны те частные случаи криволинейных сло-ёв, течения жидкости в которых с позиций предложенной математической модели можно описывать при помощи аналитических функций комплексного переменного.

В 4-ой главе диссертации проводятся исследования точности аппроксимации трёхмерных фильтрационных течений в искривлённых слоях конечной толщины их двумерными математическими моделями по схемам 1,2 и 3. Для этого делаются сопоставительные расчёты конкретных типов течений в точной постановке основной трёхмерной краевой задачи и в постановках двумерных математических моделей. Конкретно, с этих позиций рассматривались поступательные потоки, направленные 1) вдоль образующих в криволинейных цилиндрических слоях и 2) перпендикулярно к образующим в этих же слоях.

Например, расчёты полного фильтрационного расхода О в поступательном течении в круговом цилиндрическом слое на рис. 7 показали, что относительные погрешности (в %) в схемах 1 и 3 имеют значения, указанные в таблице 1.

Рисунок 7. — Схема поступательного потока, перпендикулярного к образующим в круговом цилиндрическом слое с толщиной Н = Л2 — Л,

Таблица 1. Относительные погрешности (в %) в расчете полного фильтрационного потока (2 в круговом цилиндрическом слое постоянной толщины по схеме 1 и схеме 3 (схема 2 приводит

к точному значению фильтрационного потока)

I 3, (в%) <5, (в %) г <5, (в%) <5, (в %)

0,000 0,000 -0,000 0,700 31,919 -2,282

0,010 0,499 -0,001 0,800 36.104 -2,783

0,020 0,997 -0,003 0,900 40,219 -3,297

0,030 1,493 -0,007 1,000 44,270 -3,820

0,040 1,987 -0,013 1,250 54,144 -5,142

0,050 2,480 -0,020 1,500 ■ 63,703 -6,455

0,060 2,971 -0,028 1,750 72,993 -7,737

0,070 3,461 -0,038 2,000 82,048 -8,976

0,080 3,949 -0,049 2,100 85,610 -9,458

0,090 4,435 -0,062 2,200 89,141 -9,933

• 0,100 4,921 -0,076 2,210 89,493 -9,980

0,200 9,696 -0,276 2,220 89,844 -10.027

0,300 14,345 -0,570 2,230 90,195 -10,073

0,400 18,881 -0,933 2,240 90,545 -10,120

0,500 23,315 -1,348 2,250 -90,896 -10,167

0,600 27,659 -1.801 2,500 99.559 -11,307

Примечание, г = —; Л, и /?, — соответственно радиусы подошвы и кровли слоя;

Н — Кг— — толщина слоя; (в %) и 8Ъ (в %) - относительные погрешности расчёта 0 по схеме 1 и по схеме 3.

Из таблицы 1 видно, что в рассматриваемом слое для расчёта фильтрационных потоков с относительной погрешностью не более чем 9,7% схему 1 можно применять для слоёв с толщиной У] <, 0,2 ■ Л,, а схему 3 — для сдоёв со значительно бульшей толщиной Н < 2,15 • Л,.

Результаты другого вычислительного эксперимента по оценке относительной ошибки ¿>(%) в расчёте по схеме 3 поля давления в поступательном потоке (перпендикулярном к оси х -ов) в гипертангенсальиом слое на рис. 8 представлены визуально на рис. 9.

Результаты на рис. 9, во-первых, подтверждают справедливость принятой в схеме 3 гипотезы о возможности применения в расчётах равномерной эпюры скорости фильтрации, показанной на рис. 6. Во-вторых, результаты расчётов на рис. 9 подтверждают работоспособность предложенной математической модели, так как относительные ошибки расчёта поля давлений оказались весьма малыми (около ±0,2%) и они сконцентрированы онсшо подошвы и кровли в местах наибольшей кривизны слоя. В серединной же поверхности слоя поле давлений по схеме 3 практически вычисляется точно.

Рисунок 8. — Координатная сетка в вертикальном сечении гипертангенсального слоя постоянной толщины. Уравнение серединной линии сечения слоя г = а • ¡И(Ь - . Ось х -ов направлена на наблюдателя перпендикулярно к чертежу ;

' : •• Ь-а.

• !!'"■■■ - Р(а С)

Рисунок 9. - Линии уровня безразмерного давления и(а,£) ~ ' и вели-

Рп ~ ^о

чина относительной ошибки 5{а, = ^ ~ ^ ^ ■ 100% при ——— = 1;

Pi.cc,О

Р.-Рл

~ = 2; Ь-Н — 3 . Через Р0 и Рп обозначены заданные постоянные давления на 'о

границах Ъ • а = 3 и Ь ■ а =.—3 соответственно

В следующем примере исследовались относительные погрешности расчёта дебита скважины, расположенной в куполе сферического пласта (рис. 10).

Рисунок 10. — Разрез сферического пласта и вертикальной скважины. А В — ствол скважины, СО — поверхность питания

Для расчёта дебита такой скважины методом конечных разностей (методом сеток) решалась основная краевая задача в сферических координатах для уравнения (5). Затем по найденному сеточному решению численными методами вычислялся дебит скважины на рис. 10. Кроме того, эта же самая задача решалась в постановках двумерных моделей схем 1, 2 и 3. По сопоставлениям результатов расчётов дебита по схемам 1, 2 и 3 с результатами численного решения были получены относительные погрешности двумерных моделей, представленные графически на рис. 11, Из рисунка 11 видно, что схема 1 пригодна для расчётов дебитов скважин с относительной погрешностью не выше 6% для слоев с толщиной Н меньшей « 70% от наименьшего радиуса кривизны подошвы слоя. В то же время схемы 2 и 3 с этой же точностью позволяют рассчитывать дебиты скважин в значительно более мощных слоях с толщинами Н <, ЗЛ,.

В последнем п. 4.7 исследуется важная для нефтепромысловой практики математическая модель нелинейной фильтрации жидкости к скважине, работающей в произвольном осесимметричном пласте. В постановке схемы 3 сделан вывод формул для дебита такой скважины для нелинейных режимов фильтрации и, как частный случай, для линейного. В конце 4-ой главы по результатам всех вычислительных экспериментов сделаны практические выводы.

Погрешность* %

37.90 . ... , (В) У =100 2||1§§

25.27 =160 / гс V =100 /ч __

12.63 У =160

II

Н/Я1

3.00

8 94

10.92

12.90

Рисунок 11. — Относительные погрешности расчёта дебита скважины в куполе сферического пласта по схеме О.В. Голубевой -1 и по схемам 2 и

3 — II. Исходные данные: в случае А

Гп

рл

= 0,6; начальное значение

Л Р

100, конечное значение —!- = 118; в случае В — —= 0,6; начальное

значение — = 100, конечное значение — = 160.

В заключении кратко перечисляются результаты научного исследования по теме диссертации.

В приложении, содержащем четыре пункта, приводятся необходимые сведения о свойствах эллиптических систем двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Приводится обзорная (по результатам главы 3) справка по двумерным математическим моделям течений в конкретных криволинейных слоях. Приводится программа численного решения основной краевой задачи для исследования течения к совершенной скважине, расположенной в куполе сферического пласта. И, наконец, приводятся в табличном виде результаты расчётов по названной программе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Разработаны методы построения новых классов ортогональных криволинейных координат ¿;, г/, £, приспособленных для исследования фильтрационных и гидродинамических течений жидкости в искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины.

2. Для точного описания фильтрационных и гидродинамических течений в искривлённых слоях, ограниченных непроницаемыми подошвой и кровлей, сделана постановка основной краевой задачи для трёхмерного уравнения эллиптического типа.

3. Проведён сопоставительный анализ точности фильтрационных расчётов по существующим двумерным математическим моделям трёхмерных течений жидкости в искривлённых слоях конечной толщины — модели О.В. Голубевой (схема 1) и модели В.А. Толпаева (схема 2). Показано, что схема 2 по сравнению со схемой 1 приводит к значительно более точным расчётам течений.

4. Была поставлена и решена задача о разработке новой двумерной математической модели (схемы 3) трёхмерных течений в искривлённых слоях с конечной толщиной, которая приводит к двумерному эллиптическому уравнению с более простыми по сравнению со схемой 2 коэффициентами, и, при этом, не сильно уступает ей в точности расчётов. В ходе решения поставленной задачи были выведены уравнения двумерных течений (в рамках схемы 3) несжимаемой жидкости в изотропных однородных цилиндрических и осесимметричееких слоях постоянной толщины. Установлена связь между решениями выведенного двумерного эллиптического

уравнения I^tp] = 0 схемы 3 и р -аналитическими функциями Г.Н, Поло-жего, открывающая новый круг для многочисленных практических приложений теории р -аналитических функций. ,

5. Проведены исследования точности аппроксимации трёхмерных течений несжимаемой жидкости в искривлённых слоях постоянной толщины двумерными математическими моделями 1, 2 и 3. Точность аппроксимации оценивалась по результатам сопоставительных расчётов течения жидкости в искривлённом слое по основной трёхмерной краевой задаче с расчётом этого же течения в постановках двумерных математических моделей. По проведённым вычислительным экспериментам сделаны практические выводы. -.

6. Построено сеточное решение основной краевой задачи о фильтрации жидкости к скважине, расположенной в куполе сферического пласта. На языке MS Visual С++ 2005 разработана программа Kupol для расчёта поля давления в течении к скважине в куполе сферического пласта и её дебита. С помощью программы Kupol проведены вычислительные эксперименты, результата которых представлены в виде визуальных диаграмм, графиков и таблиц. По результатам вычислительных экспериментов сделаны практические выводы.

7. Впервые выведены формулы для дебита скважины, расположенной в куполе произвольного осесимметричного пласта постоянной конечной толщины как для линейного, так и для нелинейных режимов фильтрации.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Толпаев В.А., Ледовской В.И. Аналитические способы задания законов распределения главных направлений анизотропии в средах с циклическими структурами // Циклы. Материалы междисциплинарного научного семинара вузов Северо-Кавказского региона. Вторая часть. — Ставрополь: Северо-Кавказский государственный технический университет, Научно-исследовательский институт «Циклы природы и общества». - 2002г. - С. 20-23.

2. Толпаев В.А., Ледовской В.И. Математическое моделирование фильтрационных течений несжимаемой жидкости в искривлённых пластах конечной толщины // Обозрение прикладной и промышленной математики. - Том 12. - В. 2. - М. - 2005. - С. 524-527.

3. Толпаев В.А., Ледовской В.И. Оценки точности расчёта дебитов скважин в искривленных пластах // НТЖ «Нефтепромысловое дело». — №12. — М.: ОАО «ВНИИОЭНГ»-2004. - С. 9-13.

4. Толпаев В.А., Ледовской В.И. Построение ортогональных координат для криволинейного слоя, ограниченного параллельными поверхностями // Математическое моделирование и информационные технологии (в технике, науке, природе и обществе). IV региональная научная конференция (1617 апреля 2004 г., Георгиевск). - Ставрополь. - 2004. - С. 17-24.

5. Толпаев В.А., Ледовской В.И. Применение теории триортогональных поверхностей для задания законов распределения главных направлений анизотропии // Сборник научных трудов. Серия «Физико-химическая». Выпуск 6. — Ставрополь: Северо-Кавказский госуд арственный технический университет.

2002.-С. 93-98.

6. Толпаев В.А., Ледовской В.И. Расчет дебита нефтедобывающей скважины, расположенной в куполе осесимметричного пласта // НТЖ «Нефтепромысловое дело». — № 1. - М.:ОАО «ВНИИОЭНГ» -2005. -С. 20-23.

7. Толпаев В.А., Ледовской В.И. Расчёт коэффициентов проводимости для изотропных пластов вращения постоянной толщины. // 1. Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике. Материалы IV Международной нгучно-пракгической конференции. Часть 2. — Новочеркасск. - 2004. — С. 43-46.2. Вестник Северо-Кавказского государственного технического университета. Серия Естественнонаучная. — № I (7). — Ставрополь. - 2004. - С. 202-207.

8. Толпаев В.А., Ледовской В.И. Расчёты фильтрационных течений в пластах со сферической подошвой и кровлей // Математическое моделирование и информационные технологии в технических, естественных и гуманитарных науках. Сборник трудов третьей региональной научной конференции (1719 апреля 2003 г. Георгиевск). -Ставрополь: СевКавПУ - 2003. - С. 37-39.

9. Толпаев В. А., Ледовской В.И. Уравнения двумерной ламинарной фильтрации несжимаемой жидкости в искривлённых слоях переменной толщины // I. Информационные технологии в науке, проектировании и производстве (Computer-Based Conference). Материалы девятой Всероссийской научно-технической конференции. Июнь 2003 г. — Н. Новгород: НГТУ. —

2003. — С. 46-48. 2. Материалы XXXII научно-технической конференции по результатам работы профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов СевКавГТУ за 2002 год. Том 1. Естественные и точные науки. — Ставрополь: Северо-Кавказский государственный технический университет. - 2003. - С. 3-5.

10. Толпаев В.А., Ледовской В.И. Уравнения двумерной фильтрации в круговых цилиндрических слоях // Современные проблемы математики и естествознания. Материалы седьмой Всероссийской научно-технической конференции. 23 декабря 2003 г. - Н. Новгород: НГТУ -2003. - С. 26-27.

11. Тсшпаев В.А., Ледовской В.И. Уравнения линейной двумерной фильтрации в искривлённых пластах конечной толщины // Обозрение прикладной и промышленной математики. Пятый всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Весенняя сессия. Тезисы докладов. Часть I.-М.:ОПиПМ-2004.-С. 143-146.

12. Толпаев В.А., Ледовской В.И. Уравнения линейной двумерной фильтрации жидкости в анизотропных искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Приложение. — №2. — Ростов-на-Дону-2004.-С. 19-30.

13. Толпаев В.А., Ледовской В.И. Линейная и нелинейные математические модели фильтрации жидкости к скважине', расположенной в куполе осе-симметричного пласта // Инфокоммуникационные технологии в науке и технике: Вторая международная научно-техническая конференция, г. Ставрополь, 24-28 апреля 2006 п / СевКавГТУ- Часть I. -С. 111-114.

14. Толпаев В.А., Ледовской В.И. Комплексные потенциалы двумерных течений в однородном изотропном круговом коническом слое постоянной толщины // Вестник Северо-Кавказского государственного технического университетм. — №2(6). — ГОУ ВПО «СевКавГТУ». - Ставрополь. -2006.-С. 38-41.

15. Тсшпаев В.А.,"Ледовской В.И. Двумерные Математические модели течений жидкости в круговом коническом слое постоянной толщины // Международная научная конференция «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования». — Воронеж. - 2005. — С. 222.

16. Толпаев В А., Ледовской В.И., Колесников A.B., Колесников В.В. Новый класс ортогональных криволинейных систем координат // Первая международная научно-техническая конференция «И iгфотелеком муника-ционные технологии в науке, производстве и образовании»: СевКавГТУ. — 2004. — С.546-553.

Подписано в печать 15.08.06 Формат 60x84 '/16 Усл.леч.л. 1,22 Уч.-изд.л. 1,09

Бумага офсетная Тираж 100 экз. Заказ 286

Отпечатано в Издательско-полиграфическом комплексе Ставропольского государственного университета. 355009, Ставрополь, ул.Пушкина, 1.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ЗАДАНИЯ ГЕОМЕТРИИ ИСКРИВЛЁННЫХ СЛОЁВ ПОСТОЯННОЙ И ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ.

1.1. Общий подход к построению ортогональных систем координат для описания течений в искривлённых слоях конечной переменной толщины.

1.2. Общий метод построения ортогональных координат в искривленных цилиндрических слоях постоянной толщины.

1.3. Примеры построения ортогональных координат для конкретных искривлённых цилиндрических слоёв постоянной толщины.

1.3.1. Эллиптический слой постоянной толщины.

1.3.2. Параболический слой постоянной толщины.

1.3.3. Гиперболический слой постоянной толщины.

1.3.4. Гипертангенсалъный слой постоянной толщины.

1.3.5. Горбообразный слой постоянной толщины.

1.4. Общий метод построения ортогональных координат в искривленных осесимметричных слоях постоянной толщины.

ГЛАВА II. УРАВНЕНИЯ ТРЁХМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ В ИСКРИВЛЁННЫХ СЛОЯХ С КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНОЙ.

2.1. Уравнения потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости в искривлённых слоях с конечной толщиной.

2.2. Уравнения линейной фильтрации несжимаемой жидкости в искривлённых изотропных неоднородных пластах с конечной толщиной

ГЛАВА III. ДВУМЕРНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ И ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ В ИСКРИВЛЁННЫХ СЛОЯХ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ.

3.1. Двумерные модели течений несжимаемой жидкости в искривлённых слоях О.В. Голубевой (схема 1) и В.А. Толпаева (схема 2).

3.2. Новая двумерная модель течений несжимаемой жидкости в искривлённых слоях конечной толщины (схема 3).

3.3. Вывод уравнения неразрывности для течений жидкости в искривлённых слоях по предложенной кинематической схеме.

3.4. Двумерная математическая модель (схема 3) фильтрации жидкости в изотропных неоднородных искривлённых пластах постоянной и переменной конечной толщины.

3.5. Двумерная математическая модель (схема 3) потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости в искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины.

3.6. Двумерная математическая модель (схема 3) течений несжимаемой жидкости в цилиндрических слоях постоянной толщины.

3.7. Комплексные потенциалы двумерных течений в однородном изотропном круговом цилиндрическом слое постоянной толщины.

3.8. Двумерная математическая модель (схема 3) течений несжимаемой жидкости в осесимметричных слоях постоянной толщины.

3.9. Комплексные потенциалы двумерных течений в однородном изотропном сферическом слое постоянной толщины.

3.10. Комплексные потенциалы двумерных течений в однородном изотропном круговом коническом слое постоянной толщины.

3.11. Уравнения двумерных течений в плоскопараллельном и в клиновидном слоях.

ГЛАВА IV. ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ АППРОКСИМАЦИИ ТРЁХМЕРНЫХ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ В ИСКРИВЛЁННЫХ СЛОЯХ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ ИХ ДВУМЕРНЫМИ МОДЕЛЯМИ.

4.1. Точность аппроксимации схемами 1, 2 и 3 поступательных потоков, направленных вдоль образующих в криволинейных цилиндрических слоях.

4.2. Погрешность расчёта потоков при аппроксимации фильтрационных течений, перпендикулярных к образующим слоёв, по схемам

1,2 и 3.

4.2.1. Общая постановка задачи.

4.2.2. Точность аппроксимации схемами 1, 2 и 3 поступательного потока в круговом цилиндрическом слое.

4.3. Погрешность расчёта поля давления в поступательных потоках, перпендикулярных к образующим цилиндрических слоёв, при аппроксимации течений по схеме 3.

4.4. Расчёт по схемам 1, 2 и 3 дебита скважины, расположенной в куполе осесимметричного пласта.

4.4.1. Вывод формул для дебита скважины в куполообразном пласте общего вида.

4.4.2. Расчёт дебита скважины, расположенной в куполе сферического пласта.

4.4.3. Расчёт дебита скважины, расположенной в куполе кругового конического пласта.

4.5. Исследования точности расчётов дебита скважины, расположенной в куполе а) сферического и б) кругового конического пластов по двумерным моделям течений.

4.5.1. Исследования точности расчётов дебита скважины в сферическом пласте. ф 4.5.2. Исследования точности расчётов дебита скважины в круговом коническом пласте.

4.6. Сеточное решение задачи о течении к скважине в куполе сферического пласта и его приложения.

4.6.1. Постановка задачи и выбор безразмерных переменных.

4.6.2. Построение сеточной области.

4.6.3. Дискретизация дифференциального уравнения и граничных ф,. условий.

4.6.4. Организация и блок-схемы вычислительного процесса.

4.6.5. Результаты вычислительного эксперимента.

4.7. Математические модели нелинейной фильтрации жидкости к скважине, расположенной в куполе осесимметричного пласта.

1. Актуальность темы диссертационного исследования обусловлена широким кругом важных с теоретической и практической точек зрения проблем, для решения которых в работе предложены новые эффективные методы математического моделирования.

Проблемы развития авиационной, космической и корабельной техники постоянно выдвигают требования разработки новых, более адекватных к реальным условиям, математических моделей движения жидкости [34, 92]. Например, требования более точного и полного решения задач обтекания жидкостью реальных тел заставляют результаты классических моделей плоскопараллельных и осесимметричных течений уточнять на математических моделях определённых классов пространственных течений. В частности, сложное пространственное течение можно с определённой точностью рассматривать как сумму течений, ограниченных воображаемыми твёрдыми криволинейными поверхностями. При этом движение между двумя соседними зафиксированными ограничивающими поверхностями тока изучать как течение в заданном недеформируемом искривлённом слое переменной толщины.

В нефтегазовой гидромеханике практика разработки неоднородных продуктивных пластов сложной геологической структуры [9, 24, 39] также требует прогностические расчёты по классическим моделям плоскопараллельных движений уточнять на математических моделях фильтрации жидкости в искривлённых неоднородных слоях переменной толщины [66].

Широкое распространение в практике нефте- и газодобычи строительства горизонтальных, многоствольных и наклонных скважин [1, 2,1, 39], в при-забойных зонах которых фильтрационные течения носят ярко выраженный пространственный характер, тоже требует разработки новых методов математического моделирования специфических классов пространственных фильтрационных течений.

Проблемы охраны окружающей среды выдвигают в качестве важнейшей задачу исследования миграции загрязнённой (засоленной) воды. Так как водоносные пласты, как правило, искривлены, неоднородны, имеют переменную толщину, то и в этом классе задач требуется разработка новых методов математического моделирования пространственных фильтрационных течений жидкости.

Все указанные проблемы выдвигают как актуальную задачу разработки новых методов математического моделирования гидродинамических и фильтрационных течений в искривлённых (однородных и неоднородных) слоях постоянной и переменной толщины. Именно этому классу задач и посвящена тема диссертации.

2. Обзор литературы. Потенциальные течения идеальной несжимаемой жидкости в весьма тонких искривлённых слоях стали изучаться приблизительно с 80-х годов XIX века в работах Бельтрами Е. [97], Аллена А. [96], Умова Н.А. [87], Хилла М. [100] и др. Подошва и кровля таких слоёв считались непроницаемыми.

Примерно через 70 лет (конец 1940-х - 1950-е годы) к теории течений в искривлённых весьма тонких пластах переменной толщины обратились другие механики - это Голубева О.В. [16, 17], Полубаринова-Кочина П.Я. [50], Крылов А.П. [32]. Они теорию течений в искривлённых весьма тонких слоях стали применять к решению задач разработки нефтепромыслов. Однако в задачах нефтепромысловой гидромеханики пласты имеют не весьма тонкую, а конечную толщину. Поэтому появилась необходимость в оценках точности тех расчётов, которые выполнялись на базе теории (в диссертации называемой схемой 1 или, по наибольшему количеству работ школы О.В. Голубевой, схемой О.В. Голубевой), созданной для течений в весьма тонких слоях.

Тем не менее оценкам точности фильтрационых расчётов по схеме 1 внимания практически не уделялось. Впервые на эту проблему обратил внимание В.А. Толпаев [66], следуя которому в диссертации продолжены исследования точности расчётов дебитов скважин с позиций схемы 1.

Оригинальной модификацией схемы 1 служит математическая модель фильтрации жидкости в криволинейных слоях переменной толщины, предложенная Амираслановым И.А. и Черепановым Г.П. [4]. Их модель тоже предназначена для весьма тонких пластов. Отличие же в том, что вместо р -гармонического уравнения [48, 49], применяемого в схеме 1 [16, 17,45, 46, 57, 58, 69, 91, 104], в [4] задача сводится к решению уравнения Пуассона. Однако и в [4] проблема точности фильтрационных расчётов по схеме 1 и по её модификации [4] не рассматривалась.

На важность развития теории пространственных течений указывали известные математики М.А. Лаврентьев и Б.В. Шабат [34]. Они отмечают теорию пространственных гидро- и аэродинамических течений как наименее развитый на сегодняшний день раздел гидромеханики. Причиной этого в [34] называется отсутствие пространственного аналога метода годографа, пространственного аналога теории аналитических функций комплексного переменного, аналога теории конформных отображений. В связи с этим в [34] выделяются определённые классы пространственных течений, для которых разрабатываются конкретные математические модели. В частности, в [34] рассматривались течения в узких трубах, в узких слоях и течения, близкие к плоским, переходящие на бесконечности в поступательные потоки. Эвристическая ценность идей [34] в том, что здесь наглядно показано, как, предвидя кинематику реального пространственного течения, можно построить его достаточно точную математическую модель.

Следуя общей методологии [34] в [66, 67, 68] была предложена новая математическая модель течений жидкости в искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины - схема 2, или, по-другому, схема В.А. Толпаева. В основе математической модели течений в схеме 2 лежит достаточно близкая к реальности специальная аппроксимация кинематики действительных течений в искривлённых слоях конечной толщины.

Достоинством схемы 2 является её повышенная по сравнению со схемой 1 точность фильтрационных расчётов, в частности, дебитов добывающих скважин. Недостатком схемы 2 является то, что вместо достаточно полно изученного в работах учеников О.В. Голубевой [10, 13, 14, 45, 46, 55, 56, 57, 58, 89, 91, 104] ^-гармонического уравнения и гидродинамических свойств его решений в новой схеме [66, 67, 68] для расчёта течений требуется решать краевые задачи для двухкоординатного уравнения эллиптического типа с гораздо более сложными по сравнению со схемой 1 коэффициентами. К тому же схема 1 опирается на достаточно развитый математический аппарат 2-моногенных функций JL Берса и А. Гельбарта [98, 99], операции 2-дифференцирования и 2 -интегрирования этого класса обобщённых аналитических функций. Кроме того, в схеме 1 могут широко применяться р-аналитические функции Г.Н. Положего [48, 49], для которых найдены аналоги теоремы Коши и формулы Коши, сделана классификация особых точек, построена теория вычетов, найдены интегральные представления р -аналитических функций с характеристиками р = хк через аналитические функции.

В схеме В.А. Толпаева (схеме 2) коэффициенты эллиптического уравнения таковы, что применение разработанного математического аппарата JI. Берса, А. Гельбарта и р -аналитических функций Г.Н. Положего затруднено, и поэтому приходится опираться лишь на общие идеи Е. Пикара о возможности построения теории функций, подобно теории аналитических функций, удовлетворяющих системе уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Поэтому схема 2 позволяет применять лишь самые общие результаты теории обобщённых аналитических функций, изложенные в монографии И.Н. Векуа [12], и общие идеи теории квазиконформных отображений, разработанной трудами М.А. Лаврентьева, Б.В. Шабата, З.Я. Шапиро, Л.И. Волковыского, Б.В. Боярского [33,34].

Кроме названных авторов в теорию пространственных течений идеальной жидкости внёс большой вклад известный механик Ф.И. Франкль [39, 88]. Им развита теория течений достаточно тонких плёнок идеальной несжимаемой жидкости по криволинейным поверхностям. В отличие от схем 1 и 2 в рассматриваемых Ф.И. Франклем течениях жидкость имела свободную поверхность.

В смежных областях естествознания - в электрофизике, исследования трёхмерных электро- и магнитостатических полей проводили Ю.Я. Иоссель [23], А.И. Князь [29] и др. Для расчёта плотности постоянного тока в искривлённой электропроводящей пластинке Ю.Я. Иоссель [23] применял метод, аналогичный схеме О.В. Голубевой - схеме 1. А.И. Князь [29] для частного класса трёхмерных электростатических полей нашёл такую подстановку в трёхмерном уравнении эллиптического типа, в результате которой задача сводилась к интегрированию двухкоординатного эллиптического уравнения в частных производных. Теоретический интерес метода [29] в том, что указанный частный класс трёхмерных задач электростатики методом двухкоор-динатных потенциалов решается точно. Однако при переходе к гидродинамическим аналогиям класса задач [29] видно, что одна (или обе) поверхности, ограничивающие искривлённый слой, не являются жёсткими поверхностями тока. Последнее снижает практический интерес задач [29] с точки зрения теории фильтрации.

Весьма оригинальным методом точного расчёта частных классов трёхмерных электростатических полей является метод Ламе [43]. Эвристическая привлекательность метода Ламе в том, что для специального частного класса пространственных электростатических полей в [43] указан способ сведения краевых задач для трёхмерного уравнения Лапласа к решению краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Идея метода Ламе, позволившая перейти от трёхмерного уравнения Лапласа к обыкновенному дифференциальному уравнению основана на предвидении общей картины распределения в пространстве семейства эквипотенциальных поверхностей в исследуемых электростатических полях. Заметим, что идея метода Ламе сродни идее методов [34, 66, 67, 68]. Только в работах [34, 66, 67, 68] авторы опирались на моделирование траекторий движения жидких ф частиц, приближенное к реальному течению, а в методе Ламе основой служит аппроксимация семейства эквипотенциалей исследуемого поля.

Серьёзные математические трудности построение аналитических решений пространственных задач аэрогидродинамики, теории фильтрации, элек-стро- и магнистостатики и др., способствовали развитию численных методов решения такого класса задач. В аэрогидродинамике появилось специальное направление - вычислительная аэрогидродинамика [92]. В теории фильтра-^ ции конечно-разностные методы решения для плоскопараллельных задач стали применять Старшинова Л.В. [63, 64], Вахитов Г.Г. [11] и др. Численные методы решения трёхмерных уравнений упругого режима теории фильтрации развиваются Каневской Р.Д. [27], Кадетом В.В. [26] и другими авторами [35, 36]. Буйкисом А.А. [9] разработан численный метод консервативного осреднения для моделирования процессов фильтрации в слоистых средах. В смежных научных областях - в вычислительной геометрии и физике численные методы решения уравнений в частных производных продолжают развиЛ ваться многими известными специалистами [25,26,28,30,31, 60].

Методы построения приближённых аналитических решений пространственных задач теории фильтрации на основе вариационного принципа наименьшей скорости рассеяния энергии разработаны в трудах В.Л. Данилова [18]. В [66] предложены вариационные методы решения двумерных задач напорной фильтрации жидкости в анизотропных средах.

Однако, как показали литературные исследования, во всех перечислен-ф ных работах разработке численных методов решения задач теории фильтрации в искривлённых слоях конечной толщины специального внимания не уделялось. Поэтому это направление в нефтегазовой гидромеханике пока остаётся молисследованным.

В целом анализ исследований показывает, что теория фильтрационных течений в искривлённых слоях конечной толщины далека от своего завершения. Схема 1 хотя и имеет большую законченность, но вместе с этим зачас-Ш тую приводит лишь к грубым оценочным результатам. Схема 2 обладает повышенной точностью фильтрационных расчётов в пластах с толщиной промыслового значения. Однако математический аппарат для решения рассматриваемых задач гидродинамики и теории фильтрации с позиций схемы 2 оказывается громоздким и сложным. Именно поэтому возникает необходимость в такой модификации схемы 2, чтобы, не особенно снижая её точность, получить более приближённый к схеме 1 математический аппарат исследования течений в искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины.

3. Целью работы является создание и исследование новых математических моделей гидродинамических и фильтрационных течений несжимаемой жидкости в искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины и исследование точности расчётов как по известным, так и по предлагаемой схемам.

4. Методы исследования. Для решения рассматриваемых в диссертации задач фильтрации жидкости в искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины в качестве основного метода исследования систематически применяется новая разработанная математическая модель, опирающаяся на теорию двухкоординатных уравнений эллиптического типа в частных производных с переменными коэффициентами. Указываются классы задач, допускающие применение в качестве основных методов исследования теории аналитических функций. Проводится анализ аналитических и численных, с использованием ЭВМ, решений для конкретных классов течений и делаются выводы практического характера.

5. Достоверность и обоснованность научных положений и результатов диссертации подтверждается следующим:

5.1. Корректностью применения апробированного математического аппарата (векторный анализ, уравнения математической физики, теория аналитических функций, дифференциальная геометрия, численные методы);

5.2. Корректностью использования апробированных специализированных программных сред (Maple 7 [19], MathCAD 8 [20], Visual С++ 2005 [21], Matlab 5 [37, 52]);

5.3. Результаты исследований других авторов (О.В. Голубевой [16, 17], А.П. Крылова [32], Ю.Я. Иосселя [23], В.П. Пилатовского [47]) вытекают из результатов защищаемой работы как предельные частные случаи, когда толщина искривлённого слоя стремится к нулю;

5.4. Результаты классической модели плоскопараллельных течений из предложенной математической модели вытекают как частный случай для слоя с плоскими параллельными друг другу подошвой и кровлей, эксплуатируемого прямолинейными скважинами, перпендикулярными к слою.

6. Научная новизна и теоретическое значение работы определяются следующим:

6.1. Построена новая математическая модель потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости в искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины - схема 3;

6.2. Построена новая математическая модель фильтрационных течений несжимаемой жидкости в искривлённых неоднородных слоях постоянной и переменной конечной толщины - схема 3;

6.3. Развит метод построения специализированных ортогональных криволинейных координат, приспособленных для исследования течений в искривлённых слоях переменной толщины;

6.4. Предложены с позиций новой схемы 3 двумерные математические модели течений жидкости в искривлённых слоях конкретных типов (в цилиндрических, осесимметричных, клиновидных и сферических слоях);

6.5. Указаны классы криволинейных слоёв постоянной конечной толщины, течения в которых в приближении схемы 3 можно описывать комплексными потенциалами, представляющими собой аналитические функции;

6.6. С позиций предложенной схемы 3 указана гидродинамическая интерпретация теории р -аналитических функций Г.Н. Положего, открывающая для них новый широкий круг приложений.

Развитый аппарат можно применить не только к задачам гидродинамики идеальной жидкости и линейной теории фильтрации, но и для исследования процессов и явлений различной физической природы, описываемых уравнениями вида v = к(х, у, z) • grad q>\ divv = 0.

7. Практическая значимость. Построенные математические модели применены к решению актуальных граничных задач, возникающих при разработке нефтеносных (водоносных) слоёв грунта с осесимметричной структурой. Найдены формулы для вычисления дебита совершенной скважины, расположенной в куполе осесимметричного пласта, как для линейного, так и для нелинейного законов фильтрации.

Исследована точность аппроксимации трёхмерных фильтрационных течений в искривлённых слоях конечной толщины как по известным схемам (схемам 1 и 2), так и по новой предложенной схеме 3. Сделаны практические рекомендации.

Для конкретных криволинейных слоёв постоянной толщины (эллиптический слой, параболический, гиперболический, гипертангенсальный, горбооб-разный, осесимметричные слои, цилиндрические слои) построены ортогональные криволинейные координаты, приспособленные для исследования в этих слоях потенциальных векторных полей различной физической природы.

8. Апробация работы. По мере получения основных результатов и в завершённом виде диссертация докладывалась на научном семинаре кафедры прикладной математики СевКавГТУ (рук. д.ф.-м.н. Толпаев В.А.).

Отдельные результаты диссертации докладывались на:

- Междисциплинарном научном семинаре вузов Северо-Кавказского региона «Циклы» (СевКавГТУ, 2002г.);

- Научно-технической конференции «Естественные и точные науки» (СевКавГТУ, 2003г.);

- Седьмой всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания» (Нижний Новгород, 2003г.);

- Девятой всероссийской научно-технической конференции «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве» (Нижний Новгород, 2003 г.);

- Третьей и четвёртой региональной научной конференцях «Математическое моделирование и информационные технологии в технических, естественных и гуманитарных науках» (Георгиевск, 2003,2004гг.);

- Четвёртой международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 2004г.);

- Пятом всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2004г.);

- Первой и второй международной научно-технической конференциях «Инфотелекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании» (СевКавГТУ, 2004г., 2006г.);

- Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2005г.).

9. Публикации. По теме диссертации всего опубликовано в соавторстве 16 работ [70-85]. Из них в реферируемой центральной научной печати 7 работ [71, 72, 75, 80, 81, 83-85]. В опубликованных в соавторстве работах соискателю принадлежат выводы расчётных формул и разработка программ для выполнения вычислительных экспериментов. Руководителю - постановка проблемных задач, общее руководство, проверка выводов расчётных формул и независимые сопоставительные расчёты.

10. Основные положения, выносимые на защиту:

10.1. Методы построения специализированных ортогональных криволинейных систем координат для описания течений в искривлённых цилиндрических и осесимметрических слоях постоянной конечной толщины;

10.2. Новые методы (схема 3) математического моделирования потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости в искривлённых слоях конечной толщины;

10.3. Новые методы (схема 3) математического моделирования линейной фильтрации жидкости в однородных и неоднородных изотропных искривлённых пластах конечной толщины;

10.4. Результаты вычислительных экспериментов по исследованию точности аппроксимации трёхмерных фильтрационных течений в искривлённых пластах конечной толщины их двумерными математическими моделями.

11. Личный вклад автора. Диссертационное исследование соискатель выполнял под общим научным руководством доктора физико-математических наук В.А. Толпаева. Основные результаты, вынесенные на защиту, получены автором самостоятельно. Достоверности и логичности выводов в немалой степени способствовали многочисленные обсуждения материалов работы с научным руководителем, за что автор выражает Толпаеву Владимиру Александровичу искреннюю благодарность.

12. Структура и объём работы. Общий объём диссертации 291 стр., из них 169 стр. основной части. Основная часть состоит из введения, четырёх глав, содержащих 24 пункта, заключения и списка литературы из 105 названий, из которых 10 на иностранных языках. Диссертация содержит 23 таблицы, 46 графиков и рисунков и четыре приложения объёмом 122 стр. Каждая глава диссертации начинается с краткого вступления, в котором перечисляются её основные цели и задачи и заканчивается формулировкой основных результатов главы.

Основные результаты главы IV

В 4-ой главе проводились исследования точности аппроксимации трёхмерных течений несжимаемой жидкости в искривлённых слоях постоянной толщины двумерными математическими моделями 1,2 и 3. Точность аппроксимации оценивалась по результатам сопоставительных расчётов течения жидкости в искривлённом слое в трёхмерной постановке задачи с расчётом этого же течения в постановке двумерной математической модели. По проведённым вычислительным экспериментам в пп. 4.1, 4.2 и 4.3 были получены следующие выводы.

1. Математические модели 1, 2 и 3 приводят к точному расчёту поступательных фильтрационных потоков, направленных вдоль образующих в криволинейных цилиндрических слоях постоянной толщины.

2. Математическая модель по схеме В.А. Толпаева (схема 2) приводит к точному расчёту фильтрационных потоков в поступательных течениях, направленных перпендикулярно к образующим в криволинейных цилиндрических слоях постоянной толщины.

Для таких же течений в таких же слоях предложенная в диссертации математическая модель (схема 3) позволяет рассчитать величину фильтрационного потока с погрешностью 5в < 5% для слоёв с толщиной Я < 1,257?, а схема

Голубевой (схема 1) - для слоёв с толщиной Я < 0,1 R, где R - наименьший главный радиус кривизны подошвы слоя.

3. Наибольшие погрешности расчёта поля давления по предложенной в работе математической модели (схеме 3) сконцентрированы около кровли и подошвы слоя в местах наибольшей кривизны. В серединной поверхности слоя расчёт поля давления по схеме 3 приводит к практически точным значениям.

4. В пп. 4.4 и 4.5 выведены формулы для расчёта дебита скважины в куполе произвольного осесимметрнчного пласта постоянной конечной толщины (4.4.11) - с позиций схемы О.В. Голубевой, (4.4.19') - с позиций схемы В.А. Толпаева и (4.4.27) - с позиции, предложенной в диссертации схемы 3. Данные формулы были применены к исследованию точности расчёта по схемам 1, 2 и 3 дебита скважины, расположенной в куполе а) сферического и б) кругового конического пласта. Результаты расчётов относительных погрешностей представлены в таблицах 9 и 10.

5. В п. 4.6 построено сеточное решение задачи о течении к скважине в куполе сферического пласта в осесимметричной постановке. На языке MS

Visual С++ 2005 разработана программа Kupol для расчёта поля давления в течении к скважине в куполе сферического пласта и её дебита. С помощью программы Kupol проведены вычислительные эксперименты, результаты которых в п. 4.6 представлены в виде визуальных диаграмм, графиков и таблиц. В конце п. 4.6 по результатам вычислительных экспериментов сделаны выводы.

6. В заключительном п. 4.7 впервые приведён вывод формул для дебита скважины, расположенной в куполе произвольного осесимметричного пласта постоянной конечной толщины для нелинейных режимов фильтрации. Формула (4.7.15) выведена для квадратичного закона фильтрации и формула (4.7.17) - для закона фильтрации с начальным градиентом. Подчеркнём, что фильтрация жидкости в искривлённых слоях конечной толщины, описываемая нелинейными законами Дарси, насколько известно автору, ранее не изучалась.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации развито новое перспективное научное направление в гидродинамике идеальной несжимаемой жидкости и теории линейной фильтрации, заключающееся в разработке 1) нового метода математического моделирования (схемы 3) гидродинамических и фильтрационных течений в искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины и 2) в эффективном решении на его основе задач фильтрации в осесимметричных пластах постоянной толщины.

К основным результатам диссертации относятся следующие.

1. Разработаны методы построения новых классов ортогональных криволинейных координат приспособленных для исследования фильтрационных и гидродинамических течений жидкости в искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины.

2. Для точного описания фильтрационных и гидродинамических течений в искривлённых слоях, ограниченных непроницаемыми подошвой и кровлей, сделана постановка основной краевой задачи для трёхмерного уравнения эллиптического типа.

3. Проведён сопоставительный анализ существующих двумерных математических моделей трёхмерных течений жидкости в искривлённых слоях конечной толщины - модели О.В. Голубевой (схема 1) и модели В.А. Тол-паева (схема 2). Показано, что схема 2 по сравнению со схемой 1 приводит к значительно более точным расчётам течений.

4. Была поставлена и решена задача о разработке новой двумерной математической модели (схемы 3) трёхмерных течений в искривлённых слоях с конечной толщиной, которая приводит к двумерному эллиптическому уравнению с более простыми по сравнению со схемой 2 коэффициентами, и, при этом, не сильно уступает ей в точности расчётов. В ходе решения поставленной задачи были выведены уравнения двумерных течений (в рамках схемы 3) несжимаемой жидкости в изотропных однородных цилиндрических и осе-симметрических слоях постоянной толщины. Установлена связь между решениями выведенного двумерного эллиптического уравнения L[<p] = 0 схемы 3 и р -аналитическими функциями Г.Н. Положего, открывающая новый круг для многочисленных практических приложений теории р -аналитических функций.

5. Проведены исследования точности аппроксимации трёхмерных течений несжимаемой жидкости в искривлённых слоях постоянной толщины двумерными математическими моделями 1, 2 и 3. Точность аппроксимации оценивалась по результатам сопоставительных расчётов течения жидкости в искривлённом слое по основной трёхмерной краевой задаче с расчётом этого же течения в постановках двумерных математических моделей. По проведённым вычислительным экспериментам сделаны практические выводы.

6. Построено сеточное решение основной краевой задачи о фильтрации жидкости к скважине, расположенной в куполе сферического пласта. На языке MS Visual С++ 2005 разработана программа Kupol для расчёта поля давления в течении к скважине в куполе сферического пласта и её дебита. С помощью программы Kupol проведены вычислительные эксперименты, результаты которых представлены в виде визуальных диаграмм, графиков и таблиц. По результатам вычислительных экспериментов сделаны практические выводы.

7. Впервые выведены формулы для дебита скважины, расположенной в куполе произвольного осесимметричного пласта постоянной конечной толщины как для линейного, так и для нелинейных режимов фильтрации.

1. АЗИЗ X., СЕТТАРИ Э. Математическое моделирование пластовых систем. Москва - Ижевск: 2004. - 405 с.

2. АЛИЕВ З.С., СОМОВ Б.Е., ЧЕКУШИН В.Ф. Обоснование конструкции горизонтальных и многоствольно-горизонтальных скважин для освоения нефтяных месторождений. М.: Издательство «Техника». ООО «Тума групп», 2001. - 192 с.

3. АЛИЕВ З.С., ШЕРЕМЕТ В.В. Определение производительности горизонтальных скважин, вскрывших газовые и газонефтяные пласты. М.: Недра, 1995. -131с.

4. АМИРАСЛАНОВ И.А., ЧЕРЕПАНОВ Г.П. Фильтрация жидкости в криволинейных слоях переменной толщины // ПММ. 1981. - вьт.6. - С. 1142-1146.

5. АРЬЕ А.Г. Физические основы фильтрации подземных вод. М.: Недра, 1984. -101 с.

6. БАСНИЕВ К.С., ДМИТРИЕВ Н.М., РОЗЕНБЕРГ Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 480 с.

7. БАСНИЕВ К.С., АЛИЕВ З.С., ЧЕРНЫХ В.В. Методы расчетов дебитов горизонтальных, наклонных и многоствольных газовых скважин. М.: ОАО «Газпром», 1999.-47с.

8. БОЯРСКИИ Б.В. Гомеоморфные решения систем Бельтрами // ДАН СССР. -1955.-Т.102.-№4. С.661-664.

9. БУЙКИС А.А. Моделирование процессов фильтрации в слоистых средах методом консервативного осреднения : Дисс— д-ра физ.-мат. наук. Рига, 1987. -358 с.

10. БЫСТРОВ К.Н. Построение течений с точечными особенностями в искривленных слоях переменной толщины // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. -№ 1. -С. 169-175.

11. ВАХИТОВ Г.Г. Разностные методы решения задач разработки нефтяных месторождений. М. - Недра. -1970. - 300с.

12. ВЕКУА И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз. - 1959. -628 с.

13. ГЛАДЫШЕВ Ю.А. О методе перехода при решении задач фильтрации в пластах с переменными по простиранию мощностью и проницаемостью. // Гидромеханика. М.: МОПИ им. Н.К.Крупской, 1974. - вып. 3. - С.217-221.

14. ГЛАДЫШЕВ Ю.А. Построение потенциальных стационарных течений идеальной жидкости в искривлённом слое переменной толщины методом перехода // Тр. МОПИ им. Н.К. Крупской. 1964. - Т. 142. - вып. 5. - С.39-48.

15. ГОЛУБЕВА О.В. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа, 1972. -364 с.

16. ГОЛУБЕВА О.В. Уравнения двумерных движений идеальной жидкости по криволинейной поверхности и их применение в теории фильтрации // ПММ. 1950. - т. 14. - вып. 3. - С. 287-294.

17. ДАНИЛОВ В.Л. Вариационный принцип наименьшей скорости рассеяния энергии при фильтрации жидкостей в пористой среде и его приложения. Москва -Ижевск: 2003.-107 с.

18. ДЬЯКОНОВ В.П. Maple 7. Спб.: Питер. - 2002.

19. ДЬЯКОНОВ В.П. Mathcad 8/2000. Специальный справочник. СПб.: Питер. -2000.-592с.

20. ЖАРКОВ В7А. Visual С++ 2005 в учебе, науке и технике. М.: Жарков Пресс.-2006.-814с.

21. ИЛЬИН В.А., ПОЗНЯК Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука-Физматлит, 2000. - 4.1,2. - 616+447 с.

22. ИОССЕЛЬ Ю.Я. Расчёт потенциальных полей в энергетике. Л.: Энергия. -1978.-350с.

23. ИСТРАТОВ И.В. Горная геометрия и газонефтяная геология Северного Кавказа. М.: ООО «Издательский дом «Грааль». - 2004. - 378с.

24. ИЛЬИН В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука. -1985.-334с.

25. КАДЕТ В.В. Методы математической физики в решении задач нефтегазового производства. Москва Ижевск: 2004. - 148 с.

26. КАНЕВСКАЯ Р.Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов. Москва - Ижевск: 2003. -128 с.

27. КИРЕВ В.И. Численные методы решения задач математической физики. -М.: Наука.-1972.

28. КНЯЗЬ А.И. Двухкоординатные потенциалы в расчётах трёхмерных полей. -Ордена В.И. Ленина институт кибернетики АН УССР. Препринт 73-21. Киев. -1973.-130с.

29. КОРНИШИН М.С., ПАЙМУШИН В.Н., СНИГИРЁВ В.Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. М., Наука, 1989. - 230 с.

30. КОЖИН Г.Л., ЧЕРКАССКИИ B.C. Численное моделирование физических процессов. Новосибирск: НГУ. - 1998. -123 с.

31. КРЫЛОВ А.П. и др. Научные основы разработки нефтяных месторождений. М.-Л.: Гостоптехиздат. -1948.

32. ЛАВРЕНТЬЕВ М.А., ШАБАТ Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1973. 736 с.

33. ЛАВРЕНТЬЕВ М.А., ШАБАТ Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука. 1973. - 416с.

34. МАКСИМОВ М.М., РЫБИЦКАЯ Л.П. Математическое моделирование процессов разработки нефтяных месторождений. М.: Недра. - 1976. - 264с.

35. МАЛЫХ А.С., ЦЫБУЛЬСКИЙ Г.П. Специальный курс математического моделирования фильтрационных потоков. М., ОАО «ГАЗПРОМ», ООО «Научно-исследовательский институт природных газов и газовых технологий -ВНИИГАЗ» 2002 г., 135 с.

36. МАРТЫНОВ Н.Н., ИВАНОВ А.П. Matlab 5.Х. Вычисления, визуализация, программирование. М.: КУДИЦ-ОБРАЗ. - 2000. - 332 с.

37. МАСКЕТ М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. Москва -Ижевск: 2004. 628 с.

38. Методические указания по созданию постоянно действующих геолого-технологических моделей нефтяных и газонефтяных месторождений. Часть 2. Фильтрационные модели. М.: ОАО «ВНИИОЭНГ». - 2003. - 228с.

39. Механика в СССР за 50 лет. Т. 2. / Под редакцией Седова Л.И. М.: Наука, 1970.-712с.

40. МИЛН-ТОМСОН Л.Н. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир, 1964. -655 с.

41. МИРЗАДЖАНЗАДЕ А.Х., ГУСЕЙНЗАДЕ М.А. Решение задач нефтегазо-промысловой механики. М.: Недра. - 1971. - 200с.

42. МИРОЛЮБОВ Н.Н., КОСТЕНКО М.В., ЛЕВИНШТЕЙН М.Л., ТИХОДЕЕВ Н.Н. Методы расчёта электростатических полей. М.: Высшая школа, 1963. -С.259-277.

43. МУРАВЬЁВ ИМ., АНДРИАСОВ Р.С., ГИМАТУДИНОВ Ш.К., ГОВОРОВА Г.Л., ПОЛОЗКОВ В.Т. Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений. М., «Недра», 1970 г. 446 с.

44. ПИВЕНЬВ.Ф. К теории осесимметричных обобщенных аналитических функций в динамических процессах // Докл. АН СССР. 1990. - Т.313. - №6. -С.1424-1426.

45. ПИВЕНЬ В.Ф. О теории двумерных процессов в слоях переменной проводимости, характеризуемых степенью гармонической функции // ДАН. -1995. Т.344. - №5. - С. 327-629.

46. ПИЛАТОВСКИИВ.П. Основы гидромеханики тонкого пласта. М.: Недра, 1966.-317 с.

47. ПОЛОЖИИ Г.Н. Обобщение теории аналитических функций комплексного переменного. Киев: Изд-во Киевск. ун-та, 1965. - 442 с.

48. ПОЛОЖИМ Г.Н. Теория и применение р-аналитических и (p,q)-аналитических функций. Киев: Наукова думка, 1973. - 424 с.

49. ПОЛУБАРИНОВА-КОЧИНА П.Я. Об источниках и стоках на поверхности // ПММ. -1950. Т. 14. - вып. 1.

50. ПОЛУБАРИНОВА-КОЧИНА П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Недра, 1977.-664 с.

51. ПОТЕМКИН Г.В. Система Matlab. Справочное пособие. М.: Диалог-МИФИ. -1998. - 314 с.

52. ПРУСОВ И.А. Двумерные краевые задачи фильтрации. Минск: Изд. университетское, 1987. -182 с.

53. ПЫХАЧЕВ Г.Б., ИСАЕВ Р.Г. Подземная гидравлика. М.: Недра, 1973. -360 с.

54. РАДЫГИН В.М. К вопросу о работе круговой батареи скважин в неодрод-ном искривленном пласте // Гидромеханика. М.: МОПИ им.Н.К.Крупской, 1973. вып. 2. - С.62-67.

55. РАДЫГИН В.М. О фильтрации к цепочке совершенных скважин в неоднородном пласте // Гидромеханика. М.: МОПИ им.Н.К.Крупской, 1973. вып. 2. -С.57-61.

56. РАДЫГИН В.М., ГОЛУБЕВА О.В. Применение функций комплексного переменного в задачах физики и техники. М.: Высшая школа. -1983. - 160с.

57. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР / Под ред. П.Я.Полубариновой-Кочиной и др. М.: Наука, 1969. - 545 с.

58. РАШЕВСКИЙ П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.: УРСС, 2003. -428с.

59. САМАРСКИИ А.А., ГУЛИН А.В. Численные методы математической физики. М.: Научный мир. - 2000. - с. 187-191.

60. СВЕШНИКОВ А.Г., ТИХОНОВ А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1970. - 304 с.

61. Справочник по специальным функциям. / Под ред. Абрамовича М. и Стига-на И. М.: Наука, 1979. - 830 с.

62. СТАРШИНОВА JI.B. Об определении функции давления в макронеодно-родном пласте методом коллокации // Тр. по теории фильтрации и гидродинамике нефтяного пласта. Казан.шс.ун-т. Казань, 1961. - Т. 121. - С. 103-110.

63. СТАРШИНОВА Л.В. Применение метода конечных разностей для определения давления в неоднородных пластах // Изв. КФАН СССР. Серия физ.-мат. и техн. наук. -1959. -№13. С.27-36.

64. ТИХОНОВ А.Н., САМАРСКИЙ А.А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1972.-735 с.

65. ТОЛПАЕВ В.А. Математические модели двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах // Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук. Ставрополь. 2004. -355с.

66. ТОЛПАЕВ В.А. Метод аппроксимации эпюр скорости фильтрации в расчетах гидротехнических сооружений // Сб. научн. тр. СевКавГТУ. Серия «Естественнонаучная». Ставрополь, 2000. - вып.З. - С.54-64.

67. ТОЛПАЕВ В.А. Расчет напорных фильтрационных течений методом виртуальных трубок тока // Сб. мат. Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в научных исследованиях». СГУ. Ставрополь, 27-30 сентября 2000. - 4.1. - С. 160-164.

68. ТОЛПАЕВ В.А., КУРСА В.В. Теория Голубевой О.В. течений идеальной жидкости в искривленных слоях переменной толщины и ее приложения к задачам фильтрации // Циклы. СевКавГТУ. Ставрополь, 2000. - вып.5. - С. 14-50.

69. ТОЛПАЕВ В.А., ДЕДОВСКОЙ В.И. Математическое моделирование фильтрационных течений несжимаемой жидкости в искривлённых пластах конечной толщины // ОПиПМ. Том 12. - В. 2. - М. - 2005. - С. 524-527.

70. ТОЛПАЕВ В.А., ДЕДОВСКОЙ В.И. Оценки точности расчета дебитов скважин в искривленных пластах // Нефтепромысловое дело. №12. - М.:ОАО «ВНИИОЭНГ» - 2004г. - С. 9-13. о

71. ТОЛПАЕВ В .А., ДЕДОВСКОЙ В.И. Расчет дебита нефтедобывающей скважины, расположенной в куполе осесимметричного пласта // Нефтепромысловое дело. №1. - М.:ОАО «ВНИИОЭНГ» - 2005г. - С. 20-23.

72. ТОЛПАЕВ В.А., ЛЕДОВСКОЙ В.И, КОЛЕСНИКОВ А.В, КОЛЕСНИКОВ

73. B.В. Новый класс ортогональных криволинейных систем координат // Первая международная научно-техническая конференция «Инфотелекоммуникацион-ные технологии в науке, производстве и образовании»: СевКавГТУ. 2004г.1. C.546-553.

74. ТОЛПАЕВ В.А, ХАРЧЕНКО Ю.В. Значение простейшей модели плоскорадиального фильтрационного потока для практики разработки пластов // НТЖ «Нефтепромысловое дело». М.: ОАО «ВНИИОЭНГ». - №10. - 2005. - С. 9-13.

75. УМОВ Н.А. О стационарном движении электричества на проводящих поверхностях произвольного вида. Математический сборник. - 1878. - Т.9. -С. 121-127.

76. ФРАНКЛЬ Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. / Под редакцией Г.И. Майкапара). -М.: Наука. 1973. - 880с.

77. ХОРЬКОВ В.А. Некоторые краевые задачи установившейся фильтрации жидкости в слоях переменной толщины // Задачи динамических процессов в сплошных средах: Межвуз. сб. / Свердл. гос. пед. ин-т. Свердловск, 1991. -С.52-56.

78. ЧАРНЫЙ И.А. Подземная гидрогазодинамика. М.: Гостоптехиздат. - 1963. -396с.

79. ЧЕРНЯЕВ А.П. Фильтрация в искривленных неоднородных пластах с проводимостью некоторого класса // ПММ. -1983. Т.47. - вып. 6. - С.1047-1049.

80. ШЕВЕЛЁВ Ю.Д. Пространственные задачи вычислительной аэрогидромеханики. М.: Наука. - 1986. - 367с.

81. ЩЕЛКАЧЕВ В.Н., ЛАПУК Б.Б. Подземная гидравлика. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 736 с.

82. ЯКУБОВИЧ Е. И. Новые аналитические методы исследования течений несжимаемой жидкости. //Автореферат дисс. на соискание уч. степени доктора физ.-мат наук. Нижний Новгород, 2003. 23 с.

83. ЯНКЕЕ., ЭМДЕФ., ЛЁШФ. Специальные функции. М.: Наука, 1977. -342 с.

84. ALLEN A.J.C. On some problems in the conduction of electricity // Quarterly Journal of pure and applied mathematics, 1881, vol. 17, p. 65-86.

85. BELTRAMI E. Intorno ad un caso di moto a due coordinate // Rendiconti d. Reale Istituto Lombardo di Scienze e Lettere, 1878, vol. 11. P. 199-210.

86. BERS L. Theory of pseudo-analytic functions. Lecture notes (mimeographed). New York University, 1953.

87. BERS L., GELBART A. On the class of functions defined by partial differential equations. Transactions of the American Mathematical Society, v. 56, № 1,1944.

88. HILLMJ. The steady motion of electricity in spherical current sheets. -Quarterly Journal of pure and applied mathematics, 1879, vol. 16. P. 306-323.

89. MUSKATM. Physical principles of oil production. New York. McGraw-Hill. 1949.-922 p.

90. MUSKATM. The flow of homogenous fluids through porous media. Ann. Arbour. Mich. Edwards. 1946. 736 p.

91. NIKOLAEVSKIJ V.N. Mechanics of Porous and Fractured Media. Singapore: World Scientific. 1990. 472p.

92. PIVEN' V.F. The theory of two-dimensional processes in inhomogeneous layers with power law of their conductivity variation // J. Appl. Maths. Mechs. 1997, Vol. 61, №4. P. 577-586.

93. SCHEIDEGGER A.E. The phusics of flow through porous media. Univ. of Toronto Press. 1974,3d edition. 353 p.