автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное исследование задач фильтрации несмешивающихся жидкостей

На правах рукописи

Телегин Игорь Григорьевич

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Барнаул 2005

Работа выполнена на кафедре прикладной информатики Горно-Алтайского государственного университета

Научный руководитель:

Кандидат физико-математических наук, доцент Бочаров Олег Борисович

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук Кашеваров Александр Александрович

Кандидат физико-математических наук, доцент Кузиков Сергей Семенович

Ведущая

Институт Теплофизики СО РАН

организация:

Защита состоится 30 августа 2005 г. в 13 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.005.04 в Алтайском государственном университете по адресу: 656049, Барнаул, пр. Ленина, 61, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Алтайского государственного университета.

Автореферат разослан " 14 - и ьЗЛ-Я_2005 г

Ученый секретарь

диссертационного совета, д.ф.-м.н., профессор

Безносюк С.А.

$4)06 Шво

ашш

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. На данный момент тепловые способы извлечения высоковязких и парафинистых нефтей являются наиболее употребительными, это связано с их высокой эффективностью. Повышение температуры в пласте приводит к снижению вязкостей фаз, что позволяет существенно повысить нефтедобычу. Для выработки оптимальной стратегии эксплуатации месторождения необходимо правильно прогнозировать происходящие в пластах процессы. Математическому моделиро-, ванию процессов неизотермической фильтрации несмешиваю-щихся жидкостей посвящены работы М.Г.Алишаева, О.Б.Бочарова, В.Я.Булыгина, М.Д.Розепберга, В.Н.Монахова, А.Е.Осо-кина, Л.И.Рубинштейна, Е.В.Теслюка, Э.Б.Чекалюка и других Модель фильтрации Баклея-Леверетта (БЛ) двух несмеши-вающихся жидкостей без учета капиллярных сил реализуется составной эллиптико-гиперболической системой дифференциальных уравнений и допускает разрывные решения. Это вызывает определенные сложности при получении численных решений. Разностные схемы для БЛ модели изучались в работах А.Н.Коновалова, А.Б.Королева, Ю.П.Крупнова, Б.И.Лови, А.Н.Сычева, В.Б.Таранчука, Б.В.Шалимова, М.И.Швидлера и других. Тестирование желательно проводить не только на разных сетках, но и на возможно более разнообразных точных решениях.

Уравнение для насыщенности в модели фильтрации Маскета-Леверетта (МЛ), учитывающей капиллярные силы, является « квазилинейным уравнением в частных производных параболического типа. Обращение относительных фазовых проницаемо-стей в нуль, как показывают исследования С.Н.Антонцева, О.Б. Бочарова, С.Н.Кружкова, В.Н.Монахова и А.А.Папина приводит модель к вырождающейся системе дифференциальных уравнений. Последнее порождает сложности как при постановке граничных условий, так и при численной Ква-

зилинейность и вырождение уравнений затрудняют создание эффективных тестов для численных алгоритмов и получение точных решений. В связи с этим становиться весьма актуальным изучение автомодельных уравнений двухфазной неизотермической фильтрации, которые могут использоваться как эталоны (тесты) при построении различных приближенных методов решения более общих уравнений.

Задачи сопряжения активно исследуется в связи с наличием в средах различных пограничных слоев которые малы по размерам, но оказывают значительное влияние на общую структуру решения. Такими слоями применительно к задачам нефтедобычи являются прискважинные зоны.

Цель работы. Численное исследование математической модели неизотермической фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости, изотермической модели с относительными фазовыми подвижностями, задач сопряжения моделей фильтрации разного порядка сложности. Построение тестовых решений и тестирование на них модифицированных разностных схем.

Автором представляются к защите результаты исследований влияния температурного поля на гидродинамические показатели процесса вытеснения, результаты исследований задач сопряжения различных моделей, результаты исследования разностных схем.

Научная новизна.Численными методами исследованы задачи изотермической и неизотермической фильтрации двухфазной жидкости в физических переменных и задачи сопряжения 1 различных моделей фильтрации в автомодельных и физических переменных с учетом и без учета температурного влияния. *

Практическая ценность диссертационной работы заключается в возможности использования полученных результатов для повышения продуктивности разработки пластов с высоко-вязкйми нефтями, а также для улучшения методов прогнозирования различных показателей нефтедобычи. Использование

модифицированных разностных схем позволяет улучшить качество получаемых численных решений.

Достоверность научных положений изложенных в диссертации, обосновывается соответствием рассматриваемых моделей фундаментальным чаконам сохранения, а также соответствием полученных численных решений результатам расчетов и экспериментов уже исследованных ранее задач, которые представляли из себя частные случаи рассматриваемых моделей.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

• 37, 38, 40 и 41 Международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1999, 2000, 2002, 2003);

• I Международной студенческой научно-практической конференции "Молодежь и наука на пороге 21 века" (Красноярск, 2000);

• Научно-практических конференциях преподавателей и студентов Горно-Алтайского государственного университета (Горно-Алтайск, 2000 2005);

• Всероссийской конференции "Математические методы в механике природных сред и экологии" (Барнаул, 2002);

• Второй Всероссийской конференции молодых ученых "Материаловедение, технологии, и экология в третьем тысячелетии" (Томск, 2003);

• Всероссийской конференции молодых ученых "Проблемы механики: Теория, эксперимент и новые технологии" (Новосибирск, 2004);

• Конференции-конкурсе молодых ученых Института Водных и экологических проблем СО РАН (Барнаул, 2004);

• на семинаре лаборатории моделирования гидрофизических и экологических процессов ИВЭП СО РАН (Новосибирск, 2005);

• на семинаре кафедры прикладной информатики ГАГУ (Горно-Алтайск, 2005);

• на объединенном семинаре ИВТ СО РАН и НГУ "Информационно-вычислительные технологии" (Новосибирск, 2005);

• на семинаре лаборатории фильтрации Института Гидродинамики СО РАН (Новосибирск, 2005);

Работа также обсуждалась с чл.-корр. РАН А.Н.Коноваловым.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Результаты численного моделирования задач неизотермической фильтрации в одномерных постановках в физических переменных при закачке горячей и холодной воды.

2. Результаты исследований в изотермическом случае разностных схем, точных и тестовых решений.

3. Результаты решения задач сопряжения моделей Маскета-Леверетта и Баклея-Леверетта в физических и автомодельных переменных при разных температурных условиях.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Работа содержит 111 рисунков, 7 таблиц, библиографии - 118 наименований. Общий объем диссертации - 127 страниц.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, общий объем 29 п.л., в том числе личный вклад 15.5 п.л.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во ведении приводится обзор состояние проблемы, показывается актуальность темы, приводится цель работы и ее основные результаты.

В первой главе описываются три математические модели двухфазной фильтрации. Формулируются, используемые в работе, начально-краевые условия. Обсуждаются особенности этих моделей, обусловленные свойствами функциональных параметров.

Приведены выводы систем дифференциальных уравнений на основе базовых гипотез для МЛ модели и ФП модели (модели с относительными фазовыми подвижностями) в изотермическом случае и вывод неизотермической модели фильтрации

(МЛТ) с постоянными остаточными насыщенностями. Отдельно выписаны постановки в автомодельных переменных и в одномерном случае. Для этих постановок проведено обезразмерива-ние. Одномерная МЛТ модель, которая в основном исследуется в данной работе, в однородной изотропной пористой среде при заданном суммарном расходе фаз записывается в следующем безразмерном виде:

= (еарх -Са- Ъ)х = , .

0, = (е\дх - тв)х, ^

где я - динамическая насыщенность смачивающей фазы (водо-насыщенность), 9 - температура, х пространственная координата, I, - время, £ - капиллярное число, а = ^1^2/(^2(^1 + А^г)), р = — Лэ)'у(в) - капиллярное давление, 7(5) - функция Леве-ретта, 7(0) - коэффициент поверхностного натяжения, С гравитационное число, Ъ — кх/^кх + ¡1к2) - функция подвижности смачивающей фазы, V - расход смачивающей фазы, ¡л — кг(з) - относительные фазовые проницаемости, /лг (в) - вязкости фаз, е - температурный параметр, А(з, 9) - безразмерный коэффициент температуропроводности, т - эффективная пористость.

Если в = в0, то получаем МЛ модель:

б^ = (еазх - С?а - Ь)х = -ьх, (2)

где а = —кг^зЦкг +рк2). При е = 0 будем иметь неизотермическую модель Баклея-Леверетта (БЛТ). Без учета температуры и при е = 0 система (1) сводится к одному уравнению Баклея-Леверетта (БЛ).

Без учета гравитационных сил, температуры, неоднородности и при заданном суммарном расходе, уравнение ФП-модели записывается в безразмерном виде:

= (£а6вх - Ь)х,

(3)

где а6 = -Зз/{ 1 +

Во 2-ой главе изучается ряд конечно-разностных методов для изотермических задач двухфазной фильтрации несмешива-ющихся жидкостей.

В параграфе 2.1 исследуется начально-краевая задача для уравнения Баклея-Леверетта:

в* = ~ЬХ, ®|о;=о = 1, в|*=о = «о(я). (4)

С помощью правила Рунге и метода дифференциального приближения исследуются три классические разностные схемы: явная с центральной разностью, схема Лакса, схема Лакса-Вендроф-фа. Показывается, что все три схемы в задачах фильтрации дают неудовлетворительные решения. Поэтому каждая схема модифицируется, первая введением регуляризатора, вторая специальными усреднениями, а третья с использованием ТУБ-технологий монотонизации разностных схем. Исследуется несколько ТУБ-модификаций схемы Лакса-Вендроффа. Для модифицированных схем приводятся порядки сильной и слабой сходимо-стей. Выбирается оптимальная схема. Для МЛ модели приведена противопотоковая разностная схема, для этой схемы исследуются порядки сходимостей.

В параграфе 2.2 для изотермического случая МЛ и Б Л моделей построены тесты для разностных схем. Оригинальность этих тестов заключается в том, что базисные функции использованные для построения тестов являются функциями подвижности фаз. Такая методика позволяет получать разнообразные тесты, которые хорошо согласованны с решаемой задачей.

В параграфе 2.3 строится ряд точных решений для Б Л модели. Начальный профиль яо(х) трансформируется на момент времени £ и строится график функции г). Следуя физике, в каждой точке должны иметь одну насыщенность. Поэтому возникающие неоднозначности убираются введением разрывов с учетом закона сохранения массы. Полученные решения от-

личаются друг от друга по структуре, монотонности, наличию разрывов.

В параграфе 2.4, используя точные решения из п.2.3, тестируются широко распространенная явная противопотоковая схема и ТУБ-модификация схемы Лакса-Вендроффа (рис. 1). Приводятся порядки сильной сходимости вычисленные по правилу Рунге.

В параграфе 2.5 сравниваются решения по модели Маскета-Леверетта и по модели с фазовыми подвижностями. Приводятся графики сравнения численных решений по этим моделям, также проводится сравнение с натурными экспериментами по стационарному и нестационарному вытеснению. Сравнивается экономичность расчетов, разница интегральных показателей, структура решений.

Рис. 1: Немонотонное решение для Б Л модели, тонким обозначено точное решение, толстым - решение по ТУБ-модификации схемы Лакса-Вендроффа, пунктир - по противопотоковой схеме

В 3-ей главе численно анализируются решения неизотермической модели Маскета-Леверетта в одномерном случае при закачке горячей и холодной воды.

В параграфе 3.1 исследуется как температурное воздействие на капиллярные силы и на вязкости фаз влияет на процесс вытеснения, без учета гравитации (<3 = 0). В этом случае к системе (1) добавлялись следующие начально-краевые условия:

з|х=о = 1,еорв|ж=1 = 0; в|*=о = 0,26(0,1]; 0|х=о = вг,£Хвх\х=1 = 0; 0|<=о = 00{х), хф, 1].

При закачке горячей воды 9\ = 1 в0 = 0, при закачке холодной 01 = 0 в0 = 1. В расчетах используются противопотоковые схемы.

Закачка горячего вытеснителя воздействующего на капиллярные силы может приводить к появления немонотонности графика водонасыщенности рисунок 2а) (на рис. 2 толстые линии - неизотермические решения .5(2;, ¿), тонкие - контрольный расчет в изотермическом случае, тонкие с кружками - темпе-

Рис. 2: Графики я и в при закачке горячей и холодной воды

ратурные профили). Закачка горячего вытеснителя влияющего на вязкости фаз ведет к выполаживанию и появлению дополнительного фронта вытеснения, рисунок 26). При закачке холодной воды изменяющей вязкости также имеет место появление немонотонности (рис. 2в)), а при влиянии температуры на капиллярные силы появляется небольшое выполаживание со слабым дополнительным фронтом вытеснения, (рис. 2г)). Приведены данные при которых имеет место формирование немонотонности. Исследования показали, что использование горячего вытеснителя предпочтительней для повышения нефтеотдачи. Также более эффективным оказывается воздействие на вязкости фаз с целью увеличения значения фронтовой насыщенности в модели Баклея-Леверетта.

В параграфе 3.2 исследуется как гравитация влияет на распределение насыщенности в неизотермическом случае. Рассматриваются задачи вытеснения горячей и холодной водой при закачке сверху (G > 0) и снизу (G < 0).

В параграфе 3.3 изучается задача о гравитационной ловушке, т.е. в случае когда G ф const. В качестве примеров рассматривались нагнетание воды в выпуклый верх пласт и нагнетание воды в выпуклый вниз пласт. Изучается влияние горячего и холодного вытеснителей на решение s(x,t).

В параграфе 3.4 рассматриваются две задачи о противоточ-ной капиллярной пропитке в неизотермическом случае. Система уравнений термопропитки выписывается в следующем безразмерном виде:

J st = (арх - Ga)x, /_ч

\ et = (s\ex)x. w

В первой задаче полагается G = 0 и исследуется влияние температуры через вязкости и капиллярное давление на решение. При этом начально-краевые условия брались в виде:

s|x=0 = 1) @\х=0 — #1) s|t=o = 0, в|t=0 = #0, SX|X=1 = вх\х-\ = 0.

и

Во второй задаче исследуется подача воды сверху и снизу в наклонный пласт (G ф 0). Соответственно начально-краевые условие были взяты следующими:

s|x=0 = 1,0|х=О = 01)S|t=O = O,0|t=o = #0,

âpx - Gâ|I=i = 0,ёХвх\х=1 = 0.

В 4-ой главе численно исследуются задачи сопряжения моделей фильтрации Маскета-Леверетта и Баклея-Леверетта в * физических и автомодельных переменных и различных температурных условиях. f

В параграфе 4.1 приводится постановка задачи сопряжения для изотермических МЛ и БЛ моделей. Область fioi (Цгп обозначение для {x,t\z < x<n,t>0}, ze[Q,l), n£(l, 1]) разбивается на две. В области П01 фильтрация двухфазной жидкости описывается МЛ моделью, а в области fin - БЛ моделью. В области действия МЛ модели рассматривается следующая начально-краевая задача:

st = (easx-b)x s -vx, x e (0, /); s|t=0 = So(z); = 1, as®|»=i = 0,

(6)

где l - линия сопряжения. В области действия Б Л модели (fin):

st = -bx, x € (/, 1]; s|t=o = s\x=i = Si(t), (7)

где Si(t) определяется из решения (6). Задача (6), (7) называется далее s-склейкой. После смены эволюционной переменной ■ с t на х уравнение (7) можно записать в виде:

Vx = -Mv)> х е (г> !]; v\t=о = v0(x), = Vi(t), (8)

где s = <p(v) - функция обратная к зависимости v — b(s), v0(x) = b[s0(x)], Vi(t) = 6[5i(i)]. Задача (6), (8) называется далее v-склейкой. На линии сопряжения x = I предполагается, что [s]x=î = [v]x=i = 0 ([/]I=i = {f(l — 0, t) — f(l + 0,i)} - скачок функции f(x,t)).

Рис. 3: Решения по модели сопряжения (б), (7) с зоной гладкого перехода (толстые линии), с выделением I (тонкие линии с кружками), контрольный расчет по МЛ (тонкие линии), пунктир - линия сопряжения

В параграфе 4.2 проводится численное исследование особенностей ^-склейки. Численно анализируются два семейства разностных схем для уравнения (8), выбирается оптимальная схема. На основе алгоритма, описанного в п.2.2, проводится тестирование задачи сопряжения. Проведены исследования слабой и сильной сходимости для задачи сопряжения (6), (8). Подробно исследуются особенности решений задачи сопряжения. Этими особенностями являются:

- подъем и выполаживание графика в точке х = 1 — 0 (рис. 3);

- эффект недобегания, который выражается в том, что в О.а формируется скачкообразный профиль водонасыщенности и поэтому приход воды в задаче сопряжения на эксплутационную

скважину происходит позднее, чем в задаче для МЛ модели во всей области.

В этом же параграфе исследуется влияние параметров I, ¡л, £ на решение задачи сопряжения. Определены условия применимости модели сопряжения.

К главным недостаткам метода ?;-склейки относятся:

1. Смена эволюционной переменной.

2- = что затрудняет применение градиентных ите-

рационных методов при линеаризации разностного уравнения.

3. В уравнении (8) искомой функцией является V, поэтому для нахождения 5 необходимо обращение функции Ь в уравнении и = ¿(5), что в случае сложных кг трудоемко.

В параграфе 4.3, в связи с наличием недостатков у -у-склейки численно исследуются три метода решения задачи й-склейки. Первый метод - метод расчета с выделением линии склейки (рис. 3), этот метод проще в реализации чем щ-склейка, но сохраняет нефизичное выполаживание в точке х = I — 0. Метод сквозного счета, т.е. решение во всей области уравнения для МЛ модели с разрывным е{х) оказался проще в реализации, но не решил проблему выполаживания. Третий метод - метод сквозного счета с введением зоны гладкого перехода оказался самым эффективным, так как избавил от выполаживания (рис. 3). Приводятся графики сильной и слабой сходимостей для метода расчета г выделением линии склейки. В этом же параграфе приведен пример решения задачи сопряжения БЛ-МЛ моделей.

В параграфе 4.4 численно изучается неизотермическая я-склейка. Эта задача формулируется в виде:

зг = (еарх - Ь)х, в|х=о = 1, еарх\х^1 = 0, = в0(ж), х € (О, I]]

= -Ьх; я\х=1 = £/(£); = «о(я), 1]; в1 = (е\вх - тв)х,в\х=0 = виёХ0х\х=1 = О,0|4=о - в0(х),хф, 1].

Уравнение для температуры решается во всей области а во-донасыщенность находиться отдельно, в области действия МЛТ модели и в области действия БЛТ модели. Исследуется влияние температуры через капиллярное давление и вязкости на решение задачи сопряжения. Проводится анализ гидродинамических показателей.

Задачи сопряжения в автомодельных переменных параболического типа изучаются в параграфе 4.5. Показано, что в общем

* случае в изотермическом случае нельзя склеить одновременно s и v. В неизотермическом случае за счет температурного вля-

* яния, варьируя Z, при некоторых параметрах можно построить решения задачи сопряжения с непрерывными v и s.

В параграфе 4.6 рассматривается задача сопряжения на элементе симметрии при 5-ти точечной схеме заводнения пласта. Изучаются три метода решения задачи сопряжения: гьсклейки, s-склейки и метод сквозного счета. Методы анализируются с точки зрения простоты реализации и экономичности. В параграфе также проводится анализ гидродинамических характеристик, исследуется движение фронтов.

В заключении сформулированы основные результаты работы:

1. Для моделей Маскета-Леверетта и Баклея-Леверетта построен ряд тестовых и точных решений, на них протестированы несколько модифицированных разностных схем.

2. Проведено детальное сравнение модели фильтрации с фазовыми подвижностями и модели Маскета-Леверетта.

3. Численными методами исследованы задачи неизотермической фильтрации в одномерных постановках в физических переменных при закачке горячей и холодной воды. Проанализировано влияние тепла через вязкости фаз и через капиллярное давление на структуру решений.

4. В неизотермическом случае рассмотрено влияние гравитационных сил на решение.

5. С помощью вычислительных экспериментов изучены задачи сопряжения моделей Маскета-Леверетта и Баклея-Леверетта в физических и автомодельных переменных. В неизотермическом случае исследовано влияние температуры на структуру решения задачи сопряжения.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Телегин И.Г. Численная реализация сопряжения основных моделей фильтрации двухфазной жидкости // Динамика сплошной среды. Сб. науч. тр. Новосибирск: ИГиЛ СО РАН, 2000. Вып. 116. С. 107-111.

2. Бочаров О.Б., Телегин И.Г. Экспериментальное исследование некоторых разностных схем при сопряжении различных моделей фильтрации двухфазной жидкости // Вычислительные технологии. 2002. Том 7. №1. С. 34-40.

3. Бочаров О.Б., Телегин И.Г. Численный анализ некоторых методов сопряжения двух моделей фильтрации несмеши-вающихся жидкостей // Вычислительные технологии. 2002. Том 7. №5. С. 11-20.

4. Бочаров О.Б., Монахов В.Н., Телегин И.Г. Численное решение задачи сопряжения различных моделей неизотермической фильтрации двухфазной жидкости // Математические методы в механике природных сред и экологии: Материалы Всероссийской конференции. Барнаул, 2002. С. 24-25.

5. Бочаров О.Б., Телегин И.Г. О некоторых особенностях неизотермической фильтрации несмешивающихся жидкостей // Теплофизика и аэромеханика. 2002. Том 9. №3. С. 459-466.

6. Бочаров О.Б., Телегин И.Г. Численное исследование процесса вытеснения при сопряжении различных моделей фильтрации двухфазной жидкости // Наука, культура, образование: Труды ПАНИ. Горно-Алтайск: Изд-во ГАГУ, 2002. №10-11, С. 118-125.

7. Телегин И.Г., Бочаров О.Б. Численное решение задачи сопряжения двух моделей фильтрации двухфазной жидкости в неизотермическом случае // Наука, культура, образование: Труды ПАНИ. Горно-Алтайск: Изд-во ГАГУ, 2002. №12. С. 86-92.

8. Телегин И.Г. Сопряжение основных моделей фильтрации двухфазной жидкости в автомодельных переменных // Студент и научно-технический прогресс: Материалы 40 международной научной студенческой конференции, математика. Новосибирск: Изд-во НГУ, 2002. С. 168-169.

9. Телегин И.Г., Бочаров О.Б. Многопараметрические тесты для моделей фильтрации двухфазной жидкости // Вычислительные технологии. 2003. Том 8. №2. С. 96-101.

10. Бочаров О.Б., Телегин И.Г. Сравнительный анализ некоторых разностных схем для задач двухфазной фильтрации без учета капиллярных сил // Вычислительные технологии. 2003. Том 8. т. С. 23-31.

11. Телегин И.Г. Немонотонные стационарные решения фильтрации двухфазной несмешивающейся жидкости // Студент и научно-технический прогресс: Материалы 41 международной научной студенческой конференции, дополнительный сборник. Новосибирск: Изд-во НГУ, 2003. С. 45-46.

12. Телегин И.Г., Бочаров О.Б. О точных решениях задачи Коши для уравнения Баклея-Леверетта // Материалове-

дение, технологии, и экология в третьем тысячелетии: Материалы II всероссийской конференции молодых ученых. Томск: ИФПМ СО РАН, 2003. С. 272-275.

13. Бочаров О.В., Телегин И.Г. Численный анализ TVD-mo-дификаций схемы Лакса-Вендроффа для задачи Баклея-Леверетта // Наука, культура, образование: Труды ПАНИ. Горно-Алтайск: Изд-во ГАГУ, 2003. №13-14. С. 71-73.

14. Телегин И.Г., Бочаров О.Б. Численное моделирование двумерного сопряжения моделей фильтрации Маскета-Леверет-та и Баклея-Леверетта // Проблемы механики: Теория, эксперимент и новые технологии: Сборник тезисов IV Всероссийской конференции молодых ученых. Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 2004. С. 3-4.

15. Бочаров О.Б., Телегин И.Г. Численное исследование неизотермической фильтрации несмешивающихся жидкостей в гравитационном поле // Теплофизика и Аэромеханика. 2004. Том 11. №2. С. 281-290.

16. Бочаров О.Б., Телегин И.Г. Сравнение модели фильтрации несмешивающихся жидкостей с фазовыми подвижностями с моделью М ас кета- Лев еретта / / Теплофизика и Аэромеханика. 2004. Том И. №4. С. 597 605.

17. Телегин И.Г., Бочаров О.Б. Численное исследование эффекта гравитационной ловушки в задачах иеизотермиче-ской фильтрации // Наука, культура, образование: Труды ПАНИ. Горно-Алтайск: Изд-во ГАГУ, 2004. №15 -16. С. 98-100.

Подписано в печать 25.06.2005 г. Заказ № 99. Тираж 100 экз. объем 1.0 п.л.

Типография Горно-Алтайского государственного университета, 649000, г.Горно-Алтайск, ул.Ленкина, 1

>14185

PUB PyCCKHH (})OH/l

2006-4 20160

Введение

Список условных обозначений

Глава I. О некоторых моделях двухфазной фильтрации несме-шивающихся жидкостей

1.1 Модель Маскета-Леверетта.

1.2 Неизотермическая модель Маскета-Леверетта в физических и автомодельных переменных.

1.3 Модель фильтрации с функциями фазовых подвижностей

Глава II. Разностные методы решения задач изотермической двухфазной фильтрации несмешивающихся жидкостей

2.1 Сравнительный анализ разностных схем для моделей фильтрации

2.2 Многопараметрическое тестирование разностных схем.

2.3 Описание алгоритма построения точных решений для уравнения Баклея-Леверетта, примеры точных решений.

2.4 Тестирование разностных схем на точных решениях для уравнения Баклея-Леверетта

2.5 Сравнение численных решений модели Маскета-Леверетта с решениями по модели с функциями фазовых подвижностей

Глава III. Численное исследование одномерных задач неизотермической двухфазной фильтрации

3.1 Анализ решений задачи вытеснения.

3.2 Исследование неизотермических течений с учетом гравитации

3.3 Моделирование гравитационной ловушки.

3.4 Моделирование противоточной термопропитки.

Глава IV. Численное исследование сопряжения различных моделей фильтрации несмешивающихся жидкостей

4.1 Постановка задачи сопряжения моделей Маскета-Леверетта и Баклея-Леверетта, в физических переменных.

4.2 Решение одномерной задачи сопряжения с заменой искомой переменной.

4.3 Решение задачи сопряжения без замены искомой функции

4.4 Исследование задач сопряжения моделей Маскета-Леверетта и Баклея-Леверетта в неизотермическом случае.

4.5 Сопряжение различных моделей фильтрации в автомодельных переменных.

4.6 Пример численного решения двумерной задачи сопряжения моделей Маскета-Леверетта и Баклея-Леверетта.

Целью математического моделирования является определение оптимальных условий протекания процесса, управление на основе математической модели и выработка управляющих решений. В связи с этим построенные на основе физических представлений модели должны качественно и количественно описывать свойства моделируемого процесса. В подземной гидродинамике математическое моделирование является важнейшим инструментом получения новых знаний. Это связано с дороговизной проведения натурных экспериментов, а также большим количеством параметров, которые влияют на их результаты. Совместная фильтрация несмешивающихся жидкостей является важным разделом подземной гидродинамики. В настоящее время в связи с широким применением ЭВМ сложилась вполне определенная "технологическая цепочка" расчета конкретных задач механики сплошной среды, в том числе и задач фильтрации многофазных жидкостей. Схематически эта цепочка выглядит следующим образом: от изучаемого явления - к его математической модели, далее, - к численному алгоритму, программе, реализующей этот алгоритм на ЭВМ и, наконец, к анализу полученных результатов.

Данная диссертационная работа посвящена численному исследованию и сравнению решений различных моделей двухфазной фильтрации, а также приводится сравнение с экспериментами.

Первоначальная постановка задачи вытеснения нефти водой в работе Л.С.Лейбензона предполагала полное вытеснение нефти [57]. Эта "поршневая" модель применяется и в настоящее время. Однако многочисленные позднейшие исследования показали, что вода не вытесняет нефть полностью и происходит образование большой зоны, где движутся совместно обе фазы.

В диссертации рассматриваются модели фильтрации, в которых в качестве основного уравнения движения для каждой фазы используются обобщенные законы Дарси, кроме того они включают законы сохранения массы уравнения состояния. Одной из самых распространенных моделей этого типа является модель Баклея-Леверетта (далее БЛ-модель), предполагающая равенство фазовых давлений. Эта модель, предложенная Бакли и Леве-реттом в [112], подробно изучалась в работах А.Н.Коновалова, Б.И.Леви, З.Узакова, И.А.Чарного, М.И.Швидлера и многих других [44, 74, 86, 97, 101, 109]. Уравнение для насыщенности порового пространства какой-либо фазой в БЛ модели является нелинейным уравнением в частных производных гиперболического типа. Для этого уравнения характерно наличие разрывов в решении. Так как почти единственным способом получения прогнозной информации являются численные методы, в частности использующие различные разностные схемы. Возникает проблема отбора схем, хорошо передающих качества решения. Разностные схемы для БЛ модели анализировались, например, в работах А.Б.Королева, Ю.П.Крупнова, Б.И.Леви, А.Н.Сычева, В.Б.Таранчука, Б.В.Шалимова, М.И.Швидлера и других [34, 46, 49, 48, 54, 55, 98].

Однако к настоящему времени появились новые принципы построения разностных схем и методов их анализа [33, 52, 71, 72, 73, 76, 78, 115, 116, 118]. Развиваются эти подходы, как правило для уравнений газовой динамики, "мелкой воды" и их модельных одномерных аналогов вида: Ж + = где = - вогнута. Развитие численных методов подземной гидродинамики традиционно шло вслед за вышеуказанными разделами вычислительной механики, с учетом той особенности, что в задачах двухфазной фильтрации f(u) не является ни выпуклой, ни вогнутой.

В данной работе проводится сравнение результатов применения некоторых классических разностных схем и их модификаций к решению задач фильтрации с учетом современного уровня численного анализа. Кроме метода Рунге для сравнения разностных схем строится ряд нетрадиционных точных решений.

Другой распространенной моделью фильтрации является модель Маскета-Леверетта (МЛ модель) в этой модели, в отличии от модели Баклея-Леверетта учитываются капиллярные силы, и в систему уравнений добавляется закон Лапласа. МЛ-модель интенсивно исследовалась такими учеными как С.Н.Антонцев [8], Г.И.Баренблатт [11], О.Б.Бочаров [16], В.М.Ентов [35], Н.В.Зубов [40, 41], А.Н.Коновалов [44, 45], С.Н.Кружков [47], В.Н.Монахов [4, 38, 39], А.А.Папин [7], З.Узаков [86, 96, 97], Н.В.Хуснутдинова [9, 65, 99, 100], М.И.Швидлер [56, 109] и многими другими [1, 43, 50, 51, 56, 59, 60, 66, 82, 87, 103, 109, 110, 111, 113, 114, 117].

В МЛ модели возможен богатый набор комбинаций искомых функций [44]. Наиболее удачные искомые функции для исследования качественных свойств модели вероятно предложили С.Н.Антонцев и В.Н.Монахов [5] (s - водонасыщенность, р - эффективное давление).

Уравнение для насыщенности в МЛ-модели является квазилинейным уравнением в частных производных параболического типа. Обращение относительных фазовых проницаемостей в нуль, как показывают исследования приведенные в монографии С.Н.Антонцева, А.В.Кажихова В.Н.Монахова [4], приводит модель к вырождающейся системе дифференциальных уравнений. Последнее порождает сложности как при постановке граничных условий, так и при численной реализации модели. Этот анализ подробно проведен А.Н.Коноваловым в [44].

Эти сложности затрудняют создание эффективных тестов для численных алгоритмов и точных решений. В данной работе предлагается оригинальная методика создания тестов для MJl-модели. Отметим, что эта методика может быть использована и для других моделей фильтрации, например для БЛ-модели или же для уравнения пропитки (МЛ модель без конвективного переноса).

Оставаясь в рамках линейной связи скорости фильтрации с градиентом давления, в работе С.Н.Антонцева и В.Н.Монахова [6] была предложена весьма общая форма обобщенного закона Дарси, учитывающая присутствие другой фазы еще и дополнительным слагаемым, названным относительной фазовой подвижностью далее просто фазовой подвижностью. Этот подход был реализован в работе З.Узакова [96] путем введения в законы Дарси для каждой фазы специальных функций фазовой подвижности, призванных отражать потерю скорости фазы за счет запирания части порового пространства другой фазой. В результате такой постановки получается невырождающееся параболическое уравнение для насыщенности. Для удобства изложения эта модель называется ниже моделью с фазовыми подвижностями (ФП-модель).

В данной диссертационной работе проводится подробное сравнение решений для ФП и МЛ моделей. Приводятся графики сравнения численных решений по этим моделям, а также проводится сравнение с экспериментами.

Наиболее применяемыми и подготовленными в технологическом отношении методами разработки месторождений высоковязких и парафини-стых нефтей, а также истощенных участков месторождений легких (маловязких) нефтей, являются тепловые методы. Термическое воздействие на пласт основано на резком снижении вязкости нефти при нагреве и, тем самым, на увеличении ее подвижности, а для парафинистых нефтей дополнительно и на предотвращении процесса кристаллизации парафина в порах.

Имеются две основные термические технологии: паротепловое вытеснение (ПТВ) нефти путем закачки теплоносителя (пара или горячей воды) через нагнетательные скважины и паротепловая обработка добывающих скважин (ПТОС). Разновидностями этих технологий являются циклические закачки теплоносителя и холодного агента (воды) в нагнетательные или добывающие скважины с возможными остановками некоторых из них (паузами), а также комбинации этих методов, в частности, смена назначения скважин с режима добывающих на нагнетательные и наоборот.

При реализации термических технологий возникают различные гидродинамические схемы вытеснения нефти из пласта: однонаправленное вытеснение в системе нагнетательная - добывающая скважины с чередованием прогрева и охлаждения участков пласта; термокапиллярная пропитка при остановках скважин; обтекание застойных зон (целиков) нефти и др. Поэтому реальный прогноз результатов применения сложных термических технологий нефтедобычи с помощью только инженерных расчетов (например, на основе балансовых соотношений или статистики) является практически невозможным и требует применения современных методов математического моделирования. Этому посвящены работы М.Г.Алишаева, М.Д.Розенберга, Е.В.Теслюка [3], В.Я.Булыгина [32], Э.Б.Чекалюка [102], Л.И.Рубинштейна [77], и других [104, 105, 106, 107, 108]. Естественно при этом в систему уравнений добавляется уравнение энергии и изменяется уравнение для насыщенности. Зачастую эти модели требуют экспериментального определения параметров смесей, что крайне сложно. Они сложны для качественных исследований и, как следствие, это вызывает сложности при конструировании численных методов для них.

Для преодоления этих недостатков О.Б.Бочаровым и В.Н.Монаховым в работе [17] была построена более простая модель неизотермической двухфазной фильтрации, для которой удалось доказать разрешимость основной краевой задачи. Данная модель получила название температурная модель Маскета-Леверетта (МЛТ-модель). Главной гипотезой используемой при этом является положение о равенстве температуры нефти, воды и пористой среды. Это позволило создать модель, не требующую параметров кроме справочных, которая к тому же эффективно реализуется численно. Модель изучалась б автомодельных переменных как численно, так и аналитически [19, 21, 22, 61, 63, 68, 69, 70]. В данной диссертационной работе численно анализируется задачи вытеснения для одномерного случая в физических переменных. Кроме того, исследуется влияние учета гравитационных эффектов.

В случае когда капиллярные силы незначительны, а температура оказывает воздействие, через вязкости фаз, имеет смысл говорить о температурной модели Баклея-Леверетта (БЛТ-модель). В работе исследуется как же температурное воздействие на капиллярные силы влияет на процесс вытеснения.

Применение математических моделей, таких как МЛТ-модель МЛ-модель, требует достаточно сложного математического аппарата. Особую ценность представляют подходы, использующие более простые и доступные для практического применения методы. Одним из таких подходов, до настоящего времени успешно применяемым на практике, является описание процесса вытеснения нефти в пласте с помощью приближенных формул, получаемых на основе точных решений уравнений исходной модели. К ним относятся стационарные решения, зависящие только от переменной ж, автомодельные решения параболического типа, зависящие от = x(t + I)1/2, типа бегущей волны, зависящие от z = x+ct (с = const), и некоторые другие решения. Простые формулы М.Маскета (законы вытеснения), И.А.Чарного (зоны влияния скважин) и другие [101], построенные на основе параболической автомодельности, до сих пор служат надежным инструментом инженерного анализа разработки нефтяных месторождений изотермическими методами.

Автомодельные решения используются для:

• исследования свойств решений в исходных переменных;

• в некоторых случаях, как рабочий инструмент для прогнозных оценок;

• предварительного численного или аналитического изучения особенностей исходных уравнений;

• ассимптотического представления решений весьма широких классов задач;

• как тесты при построении различных приближенных методов решения более общих уравнений;

• сами по себе автомодельные решения представляют самостоятельный интерес, как специальные решения исходных уравнений.

Модель Маскета-Леверетта рассматривалась в автомодельных переменными такими учеными как Г.И.Баренблатт, В.М.Ентов, В.М.Рыжик [11, 79, 80], А.В.Кажихов [42], Н.В.Хуснутдинова [99] и другими [35, 75, 83]. MJlT-модель в автомодельных переменных изучалась численно и аналитически О.Б.Бочаровым, В.Н.Монаховым и А.Е.Осокиным [17, 20, 22, 39, 58, 61, 63, 67, 68, 69, 70].

При определенных условиях капиллярные силы в МЛ-модели играют значительную роль, а в некоторых случаях роль капиллярных эффектов является определяющей. В первую очередь это процесс капиллярного впитывания смачивающей жидкости в пористые среды, насыщенные несмачи-вающей жидкостью или газом. Явление это, называемое обычно капиллярной пропиткой, помимо своей важности для технологии добычи нефти и газа, имеет определенное значение и для почвоведения, некоторых процессов химической технологии и т.д. Процессы капиллярной пропитки изучались в работах А.А.Боксермана, В.М.Ентова, В.М.Рыжика, И.А.Чарного и других [10, 13, 36, 37, 79, 80, 83,109]. В работе О.Б.Бочарова и А.Е.Осокина [20] исследован режим термокапиллярной пропитки в автомодельных переменных в случае закачки горячей воды. В данной диссертационной работе численно исследуется ряд задач пропитки для одномерного случая.

Одной из особенностей MJl-модели является то, что естественные граничные условия для нее являются плохо обусловленными за счет обращения в ноль функций относительных фазовых проницаемостей (градиенты решения в окрестности границы становятся бесконечно большими), это исследовано А.Н.Коноваловым в [44]. В работе О.Б.Бочарова [14] в качестве граничного условия на эксплутационной скважине рассмотрено уравнение модели Баклея-Леверетта. В.Н.Монаховым в работах [39, 62] предложено применять Б Л модель в окрестности эксплутационной скважины. В итоге возникает задача сопряжения МЛ и БЛ моделей, разрешимость которой в одномерном случае доказана в [62]. Другим примером возникновения задачи сопряжения МЛ и БЛ моделей является появление сильно обводненной части нефтяного пласта. В этом случае считается, что капиллярные силы оказывают слабое влияние на процесс фильтрации. Это позволяет в этой области использовать БЛ-модель. Отметим также, что расчет задачи сопряжения несколько экономит процессорное время (так как БЛ-модель считается существенно быстрее). В работе численно исследуются примеры сопряжения этих моделей фильтрации, в физических переменных, автомодельных, в неизотермическом и изотермическом случаях. Отметим, что впервые подобная задача о сопряжении ортогональных потоков величины s(x,t) применительно к уравнениям пограничного слоя изучена в [65].

Цель работы. Численное исследование математической модели неизотермической фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости, изотермической модели с относительными фазовыми подвижностями, задач сопряжения моделей фильтрации разного порядка сложности. Построение тестовых решений и тестирование на них модифицированных разностных схем.

Автором представляются к защите результаты исследований влияния температурного поля на гидродинамические показатели процесса вытеснения, результаты исследований задач сопряжения различных моделей, результаты исследования разностных схем.

Научная новизна.Численными методами исследованы задачи изотермической и неизотермической фильтрации двухфазной жидкости в физических переменных и задачи сопряжения различных моделей фильтрации в автомодельных и физических переменных с учетом и без учета температурного влияния.

Практическая ценность диссертационной работы заключается в возможности использования полученных результатов для повышения продуктивности разработки пластов с высоковязкими нефтями, а также для улучшения методов прогнозирования различных показателей нефтедобычи. Использование модифицированных разностных схем позволяет улучшить качество получаемых численных решений.

Достоверность научных положений изложенных в диссертации, обосновывается соответствием рассматриваемых моделей фундаментальным законам сохранения, а также соответствием полученных численных решений результатам расчетов и экспериментов уже исследованных ранее задач, которые представляли из себя частные случаи рассматриваемых моделей.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

• 37, 38, 40 и 41 Международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1999, 2000, 2002, 2003);

• I Международной студенческой научно-практической конференции "Молодежь и наука на пороге 21 века" (Красноярск, 2000);

• Научно-практических конференциях преподавателей и студентов ГорноАлтайского государственного университета (Горно-Алтайск, 2000 - 2005);

• Всероссийской конференции "Математические методы в механике природных сред и экологии" (Барнаул, 2002);

• Второй Всероссийской конференции молодых ученых "Материаловедение, технологии, и экология в третьем тысячелетии" (Томск, 2003);

• Всероссийской конференции молодых ученых "Проблемы механики: Теория, эксперимент и новые технологии" (Новосибирск, 2004);

• Конференции-конкурсе молодых ученых Института Водных и экологических проблем СО РАН (Барнаул, 2004);

• на семинаре лаборатории моделирования гидрофизических и экологических процессов ИВЭП СО РАН (Новосибирск, 2005);

• на семинаре кафедры прикладной информатики ГАГУ (Горно-Алтайск, 2005);

• на объединенном семинаре ИВТ СО РАН и НГУ "Информационно-вычислительные технологии" (Новосибирск, 2005);

• на семинаре лаборатории фильтрации Института Гидродинамики имени М.А.Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2005);

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Результаты численного моделирования задач неизотермической фильтрации в одномерных постановках в физических переменных при закачке горячей и холодной воды.

2. Результаты исследований в изотермическом случае разностных схем, точных и тестовых решений.

3. Результаты решения задач сопряжения моделей Маскета-Леверетта и Баклея-Леверетта в физических и автомодельных переменных при разных температурных условиях.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Работа содержит 111 рисунков, 7 таблиц, библиографии - 118 наименований. Общий объем диссертации - 127 страниц.

Основные результаты работы сводятся к следующему:

1. Для моделей Маскета-Леверетта и Баклея-Леверетта построен ряд тестовых и точных решений, на них протестированы несколько модифицированных разностных схем.

2. Проведено детальное сравнение модели фильтрации с фазовыми по-движностями и модели Маскета-Леверетта.

3. Численными методами исследованы задачи неизотермической фильтрации в одномерных постановках в физических переменных при закачке горячей и холодной воды. Проанализировано влияние тепла через вязкости фаз и через капиллярное давление на структуру решений.

4. В неизотермическом случае рассмотрено влияние гравитационных сил на решение.

5. С помощью вычислительных экспериментов изучены задачи сопряжения моделей Маскета-Леверетта и Баклея-Леверетта в физических и автомодельных переменных. В неизотермическом случае исследовано влияние температуры на структуру решения задачи сопряжения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. М.: Недра, 1982. 407 С.

2. Алексеев Г.В., Хуснутдинова Н.В. О разрешимости первой краевой задачи и задачи Коши для уравнения одномерной фильтрации двухфазной жидкости // ДАН СССР. 1972. Том 202. №2. С. 310-312.

3. Алишаев М.Г., Розенберг М.Д., Теслюк Е.В. Неизотермическая фильтрация при разработке нефтяных месторождений. М.: Недра, 1985. 271 С.

4. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: СО Наука, 1983. 316 С.

5. Антонцев С.Н., Монахов В.Н. О некоторых задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Новосибирск: ИГиЛ СО АН, 1969. Вып. 2. С. 5-17.

6. Антонцев С.Н., Монахов В.Н. Об общей квазилинейной модели фильтрации несмешиваю-щихся жидкостей // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Новосибирск: ИГиЛ СО АН, 1969. Вып. 3. С. 5-17.

7. Антонцев С.Н., Папин А.А. О глобальной гладкости решений уравнений двухфазной фильтрации // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Новосибирск: ИГиЛ СО АН, 1978. Вып. XXXV. С. 3-28.

8. Антонцев С.Н., Папин А.А. Приближенные методы решения регулярных и вырождающихся задач двухфазной фильтрации // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Новосибирск: ИГиЛ СО АН, 1982. Вып. 54. С. 15-48.

9. Артемова Г.Н., Хуснутдинова Н.В. Об ассимптотике решений двумерного уравнения типа нестационарной фильтрации двухфазной жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Новосибирск: ИГиЛ СО АН, 1969. Вып. 2. С. 91-99.

10. Асланов Р.Т., Боксерман А.А., Желтов Ю.П., Огаджанянц В.Г. Фильтрация несмешиваю-щихся жидкостей в слоистых пористых средах // В кн. Теория и практика добычи нефти. М.: Недра, 1966.

11. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Недра, 1972. 288 С.

12. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984.

13. Боксерман А.А., Данилов В.Л., Желтов Ю.П., Кочешков А.А. К теории фильтрации несме-шивающихся жидкостей в трещиновато-пористых средах // В кн. Теория и практика добычи нефти. М.: Недра, 1966.

14. Бочаров О.Б. О задаче с сосредоточенной емкостью для одномерных уравнений двухфазной фильтрации // Механика быстропротекающих процессов (Динамика сплошной среды): Сб. науч. тр. Новосибирск: ИГиЛ СО АН, 1985. Вып. 73. С. 149-155.

15. Бочаров О.Б. Начально-краевые задачи теории неизотермической фильтрации двухфазной жидкости // Дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н. Новосибирск: НГУ, 1989. 118 С.

16. Бочаров О.Б., Кузнецов В.В., Чехович Ю.В. О структуре решений задачи Раппопорта-Лиса // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Новосибирск: ИГиЛ СО АН, 1988. Вып. 85. С. 13-21.

17. Бочаров О.Б., Монахов В.Н. Краевые задачи неизотермической двухфазной фильтрации в пористых средах // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Новосибирск: ИГиЛ СО АН, 1988. Вып. 86. С. 47-59.

18. Бочаров О.Б., Монахов В.Н. Неизотермическая фильтрации несмешивающихся жидкостей с переменными остаточными насыщенностями // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Новосибирск: ИГиЛ СО АН, 1988. Вып. 88. С. 3-12.

19. Бочаров О.Б., Монахов В.Н., Осокин А.Е. Численно-аналитические методы исследования задач тепловой двухфазной фильтрации // Математические методы фильтрации и их приложения: Сб. науч. тр. Новосибирск: ИГиЛ СО РАН, 1999. С. 46-59.

20. Бочаров О.Б., Осокин А.Е. Численное моделирование автомодельного режима термокапиллярной пропитки // Сибирский журнал индустриальной математики. 1998. Том 1. №2. С. 73-80.

21. Бочаров О.Б., Осокин А.Е. Численное исследование автомодельных задач неизотермической двухфазной фильтрации // Сибирский журнал индустриальной математики. 2002. Том 5. №1. С. 8-20.

22. Бочаров О.Б., Телегин И.Г. Экспериментальное исследование некоторых разностных схем при сопряжении различных моделей фильтрации двухфазной жидкости // Вычислительные технологии. 2002. Том 7. №1. С. 34-40.

23. Бочаров О.Б., Телегин И.Г. О некоторых особенностях неизотермической фильтрации несмешивающихся жидкостей // Теплофизика и аэромеханика. 2002. Том 9. N«3. С. 459-466.

24. Бочаров О.Б., Телегин И.Г. Численное исследование процесса вытеснения при сопряжении различных моделей фильтрации двухфазной жидкости // Наука, культура, образование: Труды ПАНИ. Горно-Алтайск: Изд-во ГАГУ, 2002. №10-11, С. 118-125.

25. Бочаров О.Б., Телегин И.Г. Численный анализ некоторых методов сопряжения двух моделей фильтрации несмешивающихся жидкостей // Вычислительные технологии. 2002. Том 7. №5. С. 11-20.

26. Бочаров О.Б., Телегин И.Г. Сравнительный анализ некоторых разностных схем для задач двухфазной фильтрации без учета капиллярных сил // Вычислительные технологии. 2003. Том 8. №4. С. 23-31.

27. Бочаров О.Б., Телегин И.Г. Численный анализ TVD-модификаций схемы Лакса-Вендроффа для задачи Баклея-Леверетта // Наука, культура, образование: Труды ПАНИ. Горно-Алтайск: Изд-во ГАГУ, 2003. №13-14. С. 71-73.

28. Бочаров О.Б., Телегин И.Г. Численное исследование неизотермической фильтрации несме-шивающихся жидкостей в гравитационном поле // Теплофизика и Аэромеханика. 2004. Том 11. №2. С. 281-290.

29. Бочаров О.Б., Телегин И.Г. Сравнение модели фильтрации несмешивающихся жидкостей с фазовыми подвижностями с моделью Маскета-Леверетта // Теплофизика и Аэромеханика. 2004. Том 11. №4. С. 597-605.

30. Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта. М.: Недра, 1974. 230 С.

31. Воеводин А.Ф., Остапенко В.В. О расчете прерывных волн в открытых руслах // Сибирский журнал вычислительной математики. 2000. Том 3. №4. С. 305-321.

32. Гущин И.С., Земитис А.А. О разностных схемах для уравнения Баклея-Леверетта // Разностные методы математической физики: Сб. науч. тр. М., 1979. С. 3-14.

33. Ентов В.М., Зазовский А.Ф. Гидродинамика процессов повышения нефтеотдачи. М.: Недра, 1989. 232 С.

34. Ентов В.М., Шыганаков Н. О капиллярной пропитке гидрофобных нефтенасыщенных пород раствором активной примеси // ПМТФ. 1981. №4. С. 116-118.

35. Ентов В.М., Шыганаков Н. О противоточной капиллярной пропитке пористой среды раствором активной примеси в неизотермических условиях // ДАН СССР. 1979. Том 246. №4. С. 819-823.

36. Жумагулов Б.Т., Зубов Н.В., Монахов В.Н., Смагулов Ш.С. Новые компьютерные технологии в нефтедобыче. Алма-Аты: "ГЫЛЫМ", 1996. 166 С.

37. Жумагулов Б.Т., Монахов В.Н. Гидродинамика нефтедобычи. Алма-Аты: КазгосИНТИ, 2001. 336 С.

38. Зубов Н.В. О некоторых частных решениях задачи вытеснения нефти водой с учетом капиллярных сил // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа. 1968. №2. С. 157-161.

39. Зубов Н.В. Цыбульский Г.П. Численно-аналитический метод решения одномерных задач двухфазной фильтрации с учетом капиллярных сил // Численные методы решения задач фильтрации несжимаемой жидкости: Сб. науч. тр. Новосибирск: ВЦ СО АН, 1975. С. 117-128.

40. Кажихов А.В. Некоторые автомодельные задачи нестационарной фильтрации и их численное решение // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Новосибирск: ИГиЛ СО АН, 1969. Вып. 3. С. 33-44.

41. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы. М.: Мир, 1964. 350 С.

42. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: СО Наука, 1988. 166 С.

43. Коновалов А.Н., Монахов В.Н. О некоторых моделях фильтрации многофазных жидкостей // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Новосибирск: ИГиЛ СО АН, 1976. Вып. XXVII. С. 51-65.

44. Королев А.Б., Шалимов Б.В., Швидлер М.И. О некоторых разностных схемах для численного решения задачи Баклея-Леверетта // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости: Сб. науч. тр. Новосибирск: ВЦ СО АН, 1975. с.137-154.

45. Кружков С.Н. О единственности решений смешанных задач для вырождающейся системы теории двухфазной фильтрации // Вест. моек, ун-та, Серия математика механика. 1985. №2. С. 28-33.

46. Крупное Ю.П. Об одном семействе разностных схем для решения одномерной задачи Баклея-Леверетта // Изв. АН БССР, Серия физико-математических наук. 1981. №2. С. 127-129.

47. Кузнецов В.В. Капиллярные явления, тепломассообмен и волновые процессы при двухфазном течении в пористых системах и засыпках // Дисс. на соиск. уч. ст. д.ф.-м.н. Новосибирск: Институт Теплофизики СО РАН, 1995.

48. Кузнецов В.В., Бочаров О.Б., Витовский О.В. Вязкостное языкообразование в пористой среде // Гидродинамика и тепломассообмен в неподвижных зернистых слоях: Сб. науч. тр. Новосибирск: Институт теплофизики СО АН, 1991. С. 41-71.

49. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001.

50. Курбанов А.К., Куранов И.Ф., Влияние смачиваемости на процесс вытеснения нефти водой. ВНИИ, НТС по добыче нефти: Гостоптехиздат, 1963. №24.

51. Леви Б.И., Зайдель Я.М. Об одной неявной разностной схеме для численного решения задач двухфазной фильтрации // Численные методы механики сплошной среды: Сб. науч. тр. Новосибирск: ВЦ СО АН, 1976. Том 7. №3. С. 117-122.

52. Леви Б.И., Швидлер М.И. О капиллярно-гравитационном разделении несмешивающихся жидкостей в пористых средах // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа. 1968. №1. С. 162-166.

53. Лейбензон Л.С. Нефтепромысловая механика. ч.2. Подземная гидравлика воды, нефти и газа. М., Л., Новосибирск, 1934. 352 С.

54. Математические методы фильтрации и их приложения: Сб. науч. тр. Новосибирск: ИГиЛ СО РАН, 1999. 204 С.

55. Мартынцив О.Ф. Экспериментальное исследование влияния некоторых параметров, характеризующих неоднородность пласта на процесс вытеснения нефти водой // Изв. АН СССР, Механика и машиностроение. 1965. №б. С. 142-147.

56. Мартынцив О.Ф., Рыжик В.М. Исследование процесса вытеснения нефти водой из неоднородных пластов // Изв. АН СССР, Механика и машиностроение. 1965. №5. С. 175-181.

57. Монахов В.Н. Автомодельные решения тепловой двухфазной фильтрации // ПМТФ. 1999. Том 40. №3. С. 9-17.

58. Монахов В.Н. Сопряжение основных математических моделей фильтрации двухфазной жидкости // Математическое моделирование. 2002. Том 14. №40. С. 109-115.

59. Монахов В.Н. Тлюстен С.Р. Тестовые решения начально-краевых задач для системы уравнений двухфазной фильтрации // Краевые задачи фильтрации (Динамика сплошной среды): Сб. науч. тр. Новосибирск: ИГиЛ СО РАН, 1994. Вып. 108. С. 121-125.

60. Монахов В.Н., Хуснутдинова Н.В. О сопряжении каналовых и фильтрационных течений вязкой несжимаемой жидкости // ПМТФ. 1995. №1. С. 95-99.

61. Никифоров А.И. Решение задач двухфазной фильтрации в системе скважин методом конечных элементов // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости: Сб. науч. тр. Новосибирск: ИТПМ СО АН, 1980. С. 198-203.

62. Осокин А.Е. Численное моделирование неизотермической фильтрации двухфазной жидкости // Сибирская конференция по неклассическим уравнениям: Сборник тезисов. Новосибирск, 1995. С. 74.

63. Осокин А.Е. Метод Ротэ решения одномерной задачи неизотермической фильтрации в автомодельных переменных // Семинар "Математические проблемы механики сплошных сред": Сборник тезисов. Новосибирск, 1997. С. 105-106.

64. Осокин А.Е. Автомодельные задачи неизотермической двухфазной фильтрации и теплового пограничного слоя // Дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н. Новосибирск: НГУ, 1998. 112 С.

65. Осокин А.Е. Обоснование одного приближенного метода в двухфазной неизотермической фильтрации // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Новосибирск: ИГиЛ СО РАН, 1998. Вып. 113.

66. Остапенко В.В. Разностная схема повышенного порядка сходимости на нестационарной ударной волне // Сибирский журнал вычислительной математики. 1999. Том 2. №1. С. 49-54.

67. Остапенко В.В. О построении разностных схем повышенной точности для сквозного расчета нестационарных ударных волн // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. Том 40. №12. С. 1857-1874.

68. Пинчуков В.И. О построении монотонных схем типа предиктор-корректор произвольного порядка аппроксимации // Математическое моделирование. 1991. Том 3. №9. С. 95-103.

69. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР. М.: Наука, 1969. 545 С.

70. Рахимкулов И.Ф., Швидлер М.И. Автомодельная задача о совместном движении нефти и воды // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа. 1962. №2. С. 136-137.

71. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Недра, 1978.

72. Рубинштейн Л.И. Температурные поля в нефтяных пластах. М.: Недра, 1972. 275 С.

73. Русанов В.В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного расчета разрывных решений // ДАН СССР. 1968. Том 180. №6. С. 1303-1305.

74. Рыжик В.М. О механизме капиллярной пропитки пористой среды // Изв. АН СССР, Механика и машиностроение. 1959. №1. С. 151-153.

75. Рыжик В.М. О капиллярной пропитке нефтеносного гидрофильного пласта // Изв. АН СССР, Механика и машиностроение. 1960. №2. С. 149-151.

76. Рыжик В.М. Вытеснение нефти водой в пористой среде с малопроницаемыми включениями // Изв. АН СССР, Механика и машиностроение. 1964. №1.

77. Рыжик В.М. Обзор работ по взаимному вытеснению несмешивающихся жидкостей из пористой среды // Изв. АН СССР, Механика и машиностроение. 1961. №2. С. 130-141.

78. Рыжик В.М., Парный И.А., Чэнь Чжун-Сян. О некоторых точных решениях уравнений нестационарной фильтрации двухфазной жидкости // Изв. АН СССР, Механика и машиностроение. 1961. №1. С. 121-126.

79. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М: Наука, 1971. 552 С.

80. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. М.: Наука, 1999. 319 С.

81. Селиванов И.А., Узаков 3. Об одном способе построения тестов для задачи Баклея-Леверетта // Численные методы механики сплошной среды (Газовая динамика): Сб. науч. тр. Новосибирск: ВЦ СО АН, 1979. Том 10. №1. С. 119-123.

82. Таиров М.А. Решение одной нелинейной задачи двухфазного течения в пористой среде // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Том 6. №1.

83. Телегин И.Г. Численная реализация сопряжения основных моделей фильтрации двухфазной жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Новосибирск: ИГиЛ СО РАН, 2000. Вып. 116. С. 107-111.

84. Телегин И.Г., Бочаров О.Б. Численное решение задачи сопряжения двух моделей фильтрации двухфазной жидкости в неизотермическом случае // Наука, культура, образование: Труды ПАНИ. Горно-Алтайск: Изд-во ГАГУ, 2002. №12. С. 86-92.

85. Телегин И.Г., Бочаров О.Б. Многопараметрические тесты для моделей фильтрации двухфазной жидкости // Вычислительные технологии. 2003. Том 8. №2. С. 96-101.

86. Телегин И.Г., Бочаров О.Б. О точных решениях задачи Коши для уравнения Баклея-Леверетта // Материаловедение, технологии, и экология в третьем тысячелетии: Материалы II Всероссийской конференции молодых ученых. Томск: ИФПМ СО РАН, 2003. С. 272-275.

87. Телегин И.Г., Бочаров О.Б. Численное исследование эффекта гравитационной ловушки в задачах неизотермической фильтрации // Наука, культура, образование: Труды ПАНИ. Горно-Алтайск: Изд-во ГАГУ, 2004. №15-16. С. 98-100.

88. Узаков 3. Об одной математической модели фильтрации многофазной несжимаемой жидкости в пористой среде // Динамика неоднородной жидкости (Динамика сплошной среды): Сб. науч. тр. Новосибирск: ИГиЛ СО АН, 1980. Вып. 44. С. 127-138.

89. Узаков 3. Математическое моделирование в задачах фильтрации // Дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н. Новосибирск: ВЦ СО АН, 1986. 190 С.

90. Халимов Э.М., Леви Б.П., Дзюба В.И., Пономарев С.А. Технология повышения нефтеотдачи пластов. М: Недра, 1984. 271 С.

91. Хуснутдинова Н.В. Об ассимптотических свойствах решений уравнения одномерной нестационарной фильтрации двухфазной жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Новосибирск: ИГиЛ СО АН, 1979. Вып. 39. С. 119-134.

92. Хуснутдинова Н.В. О стабилизации решений нелинейного уравнения фильтрации двухфазной жидкости // ПМТФ. 1999. Том 40. №3. С. 30-36.

93. Чарный И.А., Подземная гидрогазодинамика. М.: Гостоптехиздат, 1963. 396 С.

94. Чекалюк Э.Б. Термодинамика нефтяного пласта. М.: Недра, 1965. 238 С.

95. Чень Чжун-Сян. Фильтрация двухфазной жидкости с массовыми силами в неоднородной пористой среде // ПМТФ. 1962. №2.

96. Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости: Сб. науч. тр. Новосибирск, 1972. 228 С.

97. Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости: Сб. науч. тр. Новосибирск, 1975. 318 С.

98. Численные решение задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости: Труды III Всесоюзного семинара. Новосибирск, 1977. 240 С.

99. Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости: Труды IV Всесоюзного семинара. Новосибирск, 1980. 264 С.

100. Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Динамика многофазных сред: Материалы V Всесоюзного семинара. Новосибирск, 1982. 334 С.

101. Швидлер М.И., Леви Б.И. Одномерная фильтрация несмешивающихся жидкостей. М.: Недра, 1970. 156 С.

102. Шейдеггер М.И. Физика течения жидкостей через пористые среды. М,: Гостоптехиздат, I960.

103. Эфрос Д.А. Исследование фильтрации неоднородных систем. М.: Гостоптехиздат, 1963.

104. Buckley J. and Leverett M.C. Mechanism of Fluid Displacement in Sands. Trans. AIME. 1942. V. 146.

105. Douglas I., Brair P.M., Wagner R.I. Calculation of Linear Waterflood Behavior Including the Effects of Capillary Pressure. Trans. AIME. 1958. Vol. 213.

106. Douglas I., Peaceman D.W., Rachford H.H. A Method for Calculating Multi- Dimensional Immiscible Displacement. Trans. AIME. 1959. Vol. 216.

107. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws J. Сотр. Phys. 1983. V. 49. No. 3. P. 357-372.

108. Lax P.D. Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves. Philadelphia: SIAM. 1972.

109. Rapoport L.A. and Leas W.J. Properties of Linear Waterfloods. Trans. AIME. 1953. V. 198.

110. Van Leer B. Toward the ultimate conservative difference scheme. V.A second-order sequel to Godunovs method. J. Comput. Phys. 1979. V. 32. P. 101-136.