автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разностные схемы с пространственно расщепленной временной производной для задач двухфазной фильтрации

Введение.

Глава1 Нелинейная коррекция одномерной разностной схемы для уравнения конвективного переноса с пространственно расщепленной временной производной

§1 Разностная схема "кабаре".

1.1 Операторно-характеристический способ получения схемы "Кабаре".

1.2 Свойства схемы "Кабаре".

§2 Процедура нелинейной коррекции.

2.1 Алгоритм нелинейной коррекции.

2.2 Результаты численных расчетов.

§3 Сравнение с неосциллирующими схемами Хартена.

3.1 Неосциллирующие схемы Хартена.

3.2 Сравнение схем Хартена со схемой "Кабаре".

§4 Модифицированный алгоритм коррекции.

4.2 Примеры тестовых расчетов.

§5 Случай неоднородной правой части уравнения переноса

5.1 Алгоритм расщепления.

5.2 Примеры тестовых расчетов.

Во многих областях науки и техники важную роль играют задачи, связанные с фильтрацией жидкости и газа. Примерами таких задач, в частности, являются задачи, связанные с распространением загрязнений в зоне неполного влагонасыщения [1-3] и интенсификацией нефте-газодобычи [4-6] и поземного газохранения [7,8].

В настоящее время большое внимание уделяется повышению экологической безопасности на различных объектах, представляющих опасность для окружающей среды. К таким объектам относятся захоронения радиоактивных и химических отходов производства урана и плутония. При распространении радио и химически активных загрязнений сквозь толщу породы, примыкающей к водному горизонту (фильтрация в зоне неполного влагонасыщения), возможно загрязнение грунтовых вод. Для оценки риска заражения окружающего населения становится важным рассчитывать характерные времена, за которые загрязнения достигнут грунтовых вод.

При добыче нефти из нефтеносного пласта-коллектора изначально высокое внутрипластовое давление позволяет выбирать фонтанированием в среднем до 30% от общего объема месторождения. В дальнейшем на естественных режимах нефтедобыча резко уменьшается, и для дальнейшей разработки необходимо применять дополнительные меры. Весьма популярными на практике являются методы нефтехимического заводнения, где вытеснение остаточной нефти происходит с помощью горячей воды, пара и различных поверхностно активных добавок, поступающих через систему нагнетательных скважин. Характерной опасностью, возникающей при нефтехимическом заводнении, является обводнение добывающей скважины, когда далеко ушедшие "языки" вытесняющего агента достигают добывающей скважины ("прорыв воды"), и дальнейшая нефтедобыча практически прекращается. В результате возникает необходимость достаточно точно предсказывать результаты воздействия на пласт, прежде чем применять ту или иную методику воздействия на практике.

Другой актуальной задачей, возникающей в смежной с нефтедобычей области — газодобычи, является задача увеличения эффективности использования подземных газохранилищ (ПХГ), которые необходимы для регулирования сезонных колебаний в спросе на газ. Значительное число ПХГ создается искусственным закачиванием газа в водонасыщенные пласты, в число которых входит крупнейшее в Европе Касимовское ПХГ (Московская Область). В процессе приготовления ПХГ через пробуренную в пласте скважину закачивают газ до давления значительно выше атмосферного и закрывают. В дальнейшем некоторая часть объема закаченного газа, называемая буферным объемом, остается в пласте и используется для поддержания давления при отборе активного объема газа. Однако при проведении многократных циклов закачки -отбора газа происходит обводнение скважины и вытеснение части буферного газа на периферию хранилища, где он уже перестает играть свою полезную роль и, таким образом, становится потерян, а доля буферного газа в общем объеме газа хранилища возрастает. Чтобы минимизировать потери газа в ПХГ необходимо оптимальным образом выбрать методику отбора и закачки газа.

Из-за сложности геометрии в большинстве практически интересных случаев необходимо использовать численные методы решения, что в последнее время стало возможно благодаря развитию вычислительной техники. В разработке математических методов исследования фильтрационных процессов значительный вклад был сделан в работах А.Н. Коновалова, Г.Е. Баренблата, И.А. Чарного и др.[9-13]

Для удовлетворительного описания реальных процессов в пористой среде, возникающих, например, при нефтедобыче, создаваемая математическая модель должна быть достаточно сложна и включать в рассмотрение по меньшей мере 20 различных компонент смеси [14,15]. При этом к сложностям моделирования, вызванным многокомпонентностью смеси, когда любой компонент может находится сразу в нескольких фазах, прибавляются сложности, связанные с учетом происходящих многочисленных химических реакций между агентами смеси и пористой породой, направление протекания которых в пленочных слоях зачастую сложно предсказать[2].

Разработка полнокомпонентных многофазных моделей, даже не говоря о чрезвычайных вычислительных затратах, является задачей, не решенной в общем случае до конца. Причиной этому послужило отчасти нехватка единой разработанной теории, а отчасти то, что специфика каждой реальной задачи заключается в литографических особенностях области фильтрации [16]. Отвлекаясь пока от классификации моделей фильтрации по литографическим особенностям, рассмотрим основные классы используемых моделей фильтрации [17].

В основном большинство используемых на практике моделей фильтрации подразумевает, что все фазы в произвольной точке пласта находятся в термодинамическом равновесии. Между тем предпринимается большое число попыток описать неравновесные процессы как детерминистическими так и вероятностными методами [18-21], хотя в отсутствии фундаментальной теории зачастую приходится ограничиваться различными феноменологическими соображениями [22-25]. К числу наиболее известных неравновесных моделей можно отнести теоретическую модель неравновесной фильтрации — модель "двойной" пористости по Г.Е. Баренбладту (dual porosity model), основанную на предположении о запаздывании перестройки потоков фаз при изменении насыщенности, предложенной в [26]. Типичными трудностями, возникающими при пользовании такого рода феноменологических моделей, является то, что они не предоставляют способов определения основных практически интересных характеристик процессов фильтрации как, например, времени прорыва вытесняющего агента к скважине.

Не рассматривая неравновесные процессы, т.е. полагая термодинамическое равновесие в пласте, получают равновесные модели класса пар-жидкость (V.L.E. models). Несмотря на название, такие модели могут описывать существенно более широкий, чем только взаимодействие жидкой и газообразной фазы, круг явлений [27-29].

Полагая далее, что все процессы в пласте проходят при постоянной температуре, получают, так называемую, изотермическую модель. Данная изотермическая модель является приемлемой для описания многих фильтрационных процессов, допуская возможность для каждого компонента находится во всех или нескольких фазах смеси. Данная модель применима во многих случаях, когда существенным оказывается учет адсорбции и сегрегации компонент, например, когда массообмен усложнен химическими реакциями между компонентами сложной смеси и пористой средой, а также фазовыми переходами внутри самой многокомпонентной смеси. Изотермическая модель позволяет хорошо описывать особенности гидромеханики течений в пористых средах смесей частично или полностью взаиморастворимых жидкостей и газов, например, подземного растворения солей и выщелачивания подземных ископаемых и фильтрацию нефти и воды с образованием эмульсии и адсорбцией. Взятая в полном объеме, изотермическая модель является очень дорогой в отношении вычислительных затрат, что в большинстве случаев заставляет ограничиваться её различными упрощенными вариантами [30,31].

Один из распространенных упрощенных вариантов изотермической модели можно получить рассматривая только три фазы: гидрокарбонатную, жидкую с растворенным газом и газообразную фазу. В результате этого упрощения получают часто используемые на практике трехфазные модели {black oil models) [32-34]. Данное семейство трёхфазных моделей может с успехом применятся к решению достаточно реалистичных задач, поскольку данные модели могут учитывать трёхфазное течение нефти, газа и воды, сжимаемость, неньютоновские свойства жидкостей (подчиняющихся аномальному закону Дарси) и, что очень существенно в процессах нефте-газо добычи, присутствие растворенного газа в нефти.

Наконец, полагая фазы несжимаемыми и несмешивающимися, приходят к классической модели Бакли-Лаверетта [35,36]. Данная простая модель примечательна тем, что сфокусировала на себе основные вычислительные трудности более сложных моделей фильтрации и поэтому является весьма часто используемой при тестировании новых численных методов [37-40]. Остановимся кратко на основных проблемах, возникающих при решении уравнений фильтрации в рамках модели Бакли-Лаверетта

9]

Прежде всего следует сказать о возникающем вырождении краевых условий и самих уравнений фильтрации при достижении предельных фазовых насыщенностей, когда все коэффициенты дифференциальной системы уравнений обнуляются [41]. Данное вырождение стимулировало исследования подходов к построению алгоритмов, в которых условие невырожденности выполняется автоматически [42]. Другой характерной особенностью задач в модели Бакли-Лаверетта является формирование и перемещение областей больших градиентов решений. Благодаря этой особенности применение конечных элементов в задачах о вытеснении не имело ожидаемого успеха [43,44]. В одномерном случае распространение резких градиентов решений хорошо описывается методами типа подгонки скачка [45,46], основанных на физических методах типа Годунова [47-50]. Однако в многомерном случае аппроксимация членов уравнений фильтрации, ответственных за перенос представляется одним из ключевых моментов.

Ошибки аппроксимации приводят не только к количественному, но и к качественному искажению решения, порождая как "размазывание" решения, так и паразитные осцилляции. Обычно [49] выделяют диссипативные, т.е. амплитудные ошибки, вызванные наличием схемной вязкости и дисперсионные, т.е. фазовые ошибки, вызванные наличием аппроксимационной дисперсии. Уменьшить аппроксимационную диффузию возможно повысив порядок аппроксимации.

Между тем, известно, что увеличение порядка аппроксимации зачастую сопровождается ухудшением дисперсионных свойств. Например, в статье [51], являющейся продолжением работы [52], предложена компактная схема направленных разностей CUD-5 пятого порядка точности, где платой за высокий порядок аппроксимации является появление паразитных осцилляций при переносе профилей с большими пространственными вариациями.

Очередное подтверждение этому можно найти в [53], где показано, что построенные в [54,55] высокоточные схемы семейства TVD и UNO имеют за фронтом нестационарной ударной волны меньший порядок аппроксимации, чем классическая схема "крест" с введенной стандартным образом искусственной вязкостью.

Данные примеры подтверждают, что высокий порядок аппроксимации схемы на гладких решениях вовсе не гарантирует такой же высокий порядок и на решениях с большими пространственными вариациями, не говоря о разрывных решениях. К тому же, большинство разностных схем высокого порядка точности аппроксимируют исходное уравнение на расширенном шаблоне, что приводит к проблемам как при задании граничных условий, так и при аппроксимации на произвольных расчетных сетках [56-58]. При этом отличающиеся неявностью схемы высокого порядка оказываются неудобными для распараллеливания, без которого невозможны расчеты реальных задач [59,60].

С другой стороны, улучшение дисперсионных свойств путем понижения порядка аппроксимации может привести к появлению заметной аппроксимационной диффузии [8,61,62].

На данный момент практически все разностные схемы, используемые в реальных расчетах, способны транспортировать нетривиальные начальные распределения на расстояния порядка нескольких характерных масштабов его определения на реально "грубых" расчетных сетках [63].

Ввиду большой своей практической значимости проблема поиска новых направлений кардинального улучшения дисперсионных и диссипативных свойств является чрезвычайно актуальной. Об этом, кроме всего прочего, свидетельствует и количество публикаций на эту тему. В разное время она получила отражение в работах А.А. Самарского, О.М. Белоцерковского, С.К. Годунова, Б.Л. Рождественского, Н.Н. Яненко, В В. Русанова, А.П. Фаворского, В.Ф. Тишкина и др. [64-67]

В последнее время большое распространение получили нелинейные разностные схемы, улучшающие свойства лежащих в их основе классических линейных разностных схем с помощью различных нелинейных добавок-регуляризаторов [68-71]. Например, в работах [72-75] получены различные семейства улучшенных нелинейных схем высокого порядка точности, имеющие в своей основе схему Годунова [48] или Лакса-Вендроффа [76]. Однако очевидно, что естественный предел этого улучшения заложен в свойствах исходных разностных схем, иными словами, невозможно до бесконечности улучшать изначально "плохую" разностную схему. Между тем, лучший результат можно ожидать, взяв за основу линейную разностную схему с улучшенными свойствами. Одним из важных свойств является выполнение закона сохранения не только для переносимой функции, но также и для ее квадрата, который в ряде случаев удобно называть "энергией" [77].

Поиск наиболее перспективной с точки зрения дальнейшего улучшения линейной разностной схемы еще далеко не исчерпан. Здесь одной из самых перспективных схем является явная трехслойная разностная схема "Кабаре", обладающая улучшенными свойствами. Эта схема второго порядка точности с пространственно расщепленной временной производной была предложена и подробно исследована для уравнения одномерного конвективного переноса в работах А.А. Самарского и В.М. Головизнина [63,78]. Данная определенная на компактном разностном шаблоне схема бездиссипативна и наряду с консервативностью обладает двумя независимыми квадратичными законами сохранения. Хорошие дисперсионные свойства "Кабаре" позволяют переносить без искажений относительно гладкие начальные распределения на порядки дальше, чем классические линейные схемы.

Замечательные свойства схемы "Кабаре" делают схему привлекательной для дальнейшего обобщения - работы, начатой под руководством В.М. Головизнина. Для использования "Кабаре" в фильтрационных расчетах [79,80] необходимо построение ее консервативного алгоритма коррекции, улучшающего ее дисперсионные свойства [81]. Следующим шагом является обобщение схемы "Кабаре" на двумерный случай [82].

Таким образом, первым этапом работы по распространению схемы "Кабаре" на более общие случаи можно считать построение регуляризации схемы "Кабаре", обобщение "Кабаре" на двумерный случай и построение разностных моделей двухфазной фильтрации в простейших случаях. Выполнению этой программы и посвящена настоящая диссертация.

Работа состоит из трех глав. Первая глава посвящена построению алгоритма нелинейной коррекции одномерной схемы "Кабаре". Во второй главе рассмотрены примеры обобщения схемы "Кабаре" на двумерный случай. Третья глава посвящена созданию разностных моделей двухфазной фильтрации несмешивающихся и несжимаемых жидкостей на основе построенных разностных схем и примерам их численной реализации.

В первом параграфе первой главы рассматривается разностная схема "Кабаре" как обобщение разностной схемы "уголок" на множество трехслойных схем для одномерного уравнения конвективного переноса и перечисляются ее основные свойства.

Во втором параграфе первой главы рассматривается алгоритм нелинейной коррекции одномерной схемы "Кабаре" для переноса профилей с большими пространственными вариациями. Приводятся результаты численных тестов по переносу на равномерной сетке при различных числах Куранта.

В третьем параграфе первой главы продемонстрировано преимущество схемы "Кабаре", модифицированная алгоритмом коррекции, над двумя наиболее известными нелинейными схемами Хартена: TVD и UNO. Показывается что модифицированная "Кабаре" позволяет значительно лучше переносить профили с большими пространственными вариациями.

В четвертом параграфе первой главы рассматривается модификация предложенного в предыдущем параграфе алгоритма коррекции схемы "Кабаре" для переноса профилей с большими пространственными вариациями на произвольных пространственных сетках. Эффективность нового алгоритма продемонстрирована на тестовых расчетах переноса на нерегулярных пространственных сетках.

В пятом параграфе первой главы предлагается очередная модификация алгоритма нелинейной коррекции — для переноса начальных распределений с большими пространственными вариациями при решении одномерного линейного уравнения конвективного переноса с неоднородной правой частью. Для ряда случаев, отвечающих различным типам источников, приведены примеры тестовых расчетов.

В первом параграфе второй главы рассматриваются новые подходы для обобщения схемы "Кабаре" на двумерный случай: случае метод сдвинутых сопряженных операторов и метод виртуальных потоков. Показано, что в одномерном случае также, как и операторно-характеристический метод, они приводят к схеме "Кабаре".

Во втором параграфе второй главы рассматривается треугольный разностный оператор схемы "уголок" для аппроксимации двумерного уравнения конвективного переноса.

Рассмотрены его основные свойства: устойчивость, диссипативные и дисперсионные свойства. Описана тестовая задача на вращение твердого тела на равномерной расчетной сетке. Приводятся результаты расчетов по схеме "уголок" для этой задачи.

В третьем параграфе второй главы рассматривается схема "крест", полученная симметризацией схемы "уголок". Рассмотрены ее свойства, и приведены результаты расчетов тестовой задачи второго параграфа.

В четвертом параграфе второй главы приводятся три двумерные разностные схемы семейства "Кабаре", полученные с помощью метода сдвинутых сопряженных операторов. Для одной из разработанных схем предлагается вариант консервативного алгоритма нелинейной коррекции для переноса профилей с большими пространственными вариациями. Представлены результаты тестовых расчетов тестовой задачи второго параграфа.

В пятом параграфе второй главы рассматривается двумерная схема, полученная обобщением "Кабаре" на двумерный случай с помощью метода виртуальных потоков. Исследуются ее свойства. Рассматривается вариант нелинейной коррекции схемы. Приводятся результаты численных расчетов для тестовой задачи второго параграфа.

В первом параграфе третьей главы рассматриваются основные определения теории фильтрации несмешивающихся жидкостей. Получены основные соотношения модели несмешивающихся и несжимаемых жидкостей, а также приведены основные постановки задач и их автомодельные решения.

Во втором параграфе третьей главы рассматриваются разностные модели одномерной фильтрации несмешивающихся и несжимаемых жидкостей. Вначале этого параграфа на основе разностного шаблона "Кабаре" со специально введенной диссипацией моделируются эксперименты по определению фильтрационных характеристик в пористых образцах. Затем с помощью алгоритма нелинейной коррекции строятся модели горизонтального вытеснения и гравитационной сегрегации в пористом пласте. Приводятся результаты численных расчетов, сравненные аналитическим решением, и результатами, полученными по схеме "уголок".

Третий параграф третьей главы посвящен двумерному моделированию двумерной фильтрации несмешивающихся и несжимаемых жидкостей на примере пятиточечной схемы вторичной нефтедобычи. На основе одной из двумерных схем семейства "Кабаре", построенных в предыдущей главе, строится разностная модель и сравнивается с разностной моделью, основанной на классических направленных разностях схемы "уголок". Приводятся результаты численных расчетов.

Автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность профессору Головизнину В.М. за постоянное внимание, поддержку и помощь в работе, а также ст.н.с. ИБРАЭ РАН Семенову В.Н. за полезные обсуждения и конструктивные замечания.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Предложен новый алгоритм нелинейной коррекции одномерной разностной схемы "Кабаре", позволяющий переносить резкие начальные распределения с постоянной скоростью на равномерных сетках без искажений на порядки дальше, чем широко известные монотонные разностные схемы Хартена - TVD и UNO. Показана эффективность нового алгоритма на произвольных пространственных сетках и при наличии источника в правой части уравнения переноса.

2. Проведено обобщение схемы "Кабаре" на двумерный случай. Представлены и исследованы четыре новые разностные схемы, являющиеся обобщением одномерной схемы "Кабаре" на двумерный случай:

• СВТ-1, явная схема, совпадающая с одномерной "Кабаре" при переносе по диагонали к расчетной сетке,

• СВТ-2, неявная схема, совпадающая с одномерной "Кабаре" при переносе и по диагонали к расчетной сетке, и параллельно осям координат,

• СВТ-3, явная схема, совпадающая с одномерной "Кабаре" при переносе параллельно осям координат.

• СВТ-4, явная схема, совпадающая с одномерной "Кабаре при переносе и по диагонали к расчетной сетке, и параллельно осям координат.

Показано, что две последние схемы - СВТ-3,4 - приводят к наилучшим результатам в тесте на вращение твердого тела. Для этих схем построены алгоритмы нелинейной коррекции для переноса профилей с большими пространственными вариациями. Для схемы СВТ-4 доказан второй порядок аппроксимации и получен вид квадратичного закона сохранения в случае постоянных скоростей и равномерных сеток. На основе СВТ-4 построена разностная модель двумерного вытеснения Бакли-Лаверетта, качественно правильно описывающая процессы двухфазной фильтрации.

Рассмотрены разностные модели двухфазной фильтрации несмешивающихся и несжимаемых жидкостей, построенные на основе схемы "Кабаре" применительно к задачам вытеснения и сегрегации. Показано, что в сравнении с моделями, использующими в своей основе классическую схему "уголок" разностные модели "Кабаре" позволяют получать решения с заметно меньшим влиянием аппроксимационной диффузии. В ряде случаев это позволяет получать качественно более правильное описание фильтрационных процессов.

1. DOE. Groundwater/Vadose Zone Draft Stratagy, September 17, 1998.

2. G.F. Lee, PhD, DEE, Technical Advisor, DSCSOC. Comments on "Draft Final One-Dimentional Vadose Zone Modeling" for the LEHR National Superfund Site Prepared by Weiss Associates Dated April 9, 1997. Internet.

3. B.C. Голубцов, Г.Н. Кричевец. Динамика геотехнологических процессов. М: Недра, 1989.

4. Дж. А ми кс, А. Басс. Физика нефтянного пласта. М.: Гостоптехиздат, 1962.

5. Ю.П. Коротаев, Б.Л. Кривошеий и др. Термогазодинамика газопромысловых систем. М.: Недра, 1991.

6. Ю.П. Желтое. Разработка нефтянных месторождений. М: Недра, 1989.

7. ВНИИГАЗ. Отделение подземного хранения газа. Сборник трудов под ред д.т.н. С.Н. Бузинова. Москва, 1995.

8. А.Н. Коновалов. Задачи фильтрации несжимаемой жидкости. Новосибирск: Наука, 1988.

9. Г.Е. Баренбладт. Движение жидкости и газа в пористых пластах. М.: Недра, 1984.

10. И.А. Чарный. Подземная гидромеханика. М.: Гостопехиздат, 1963.

11. Л.С. Лейбензон. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. М.; Л: Гостоптехиздат, 1947.

12. Д.А. Эфрос. Исследование фильтрации неоднородных систем. М.: Гостоптехиздат, 1963.

13. D.W. Реасетап. Fundamentals of Numerical Reservoir Modeling. Elsevier, Amsterdam, 1977.

14. М.Д. Розенберг, С. А. Кундин. Фильтрация газированной жидкости и других многокомпонентных смесей в нефтянных пластах. М.: Недра, 1969.

15. X. Азис, Э. Сеттари. Математическое моделирование пластовых систем, М.: Недра, 1982.

16. Donald W. Реасетап. Survey of Problems in numerical reservoir modeling, //Mathematics of Reservoir Simulation, R.E. Ewing, ed., SI AM, Philadelphia, 1983, pp.68-84.

17. B.B. Кадет, P.M. Мусин, В.И. Селяков. Влияние вязкостных свойств жидкостей и межфазного натяжения на развитие процесса нестационарной двухфазной фильтрации.// Жур. Мех. жидкости и газа 1994, №1.

18. А.И. Гриценко, Г.С. Акопова, В.М. Максимов. Экология, Нефть и Газ. М.: Наука, 1997.

19. Gerard Wagner. Use of invasion percolation models to study the secondary migration of oil and related problems// A thesis in partial fulfillment of the requuirements for the degree of doctor scientiarum, 1997. Internet.

20. Kalucrachi Jagath JAbdin Alaa E., Barakat Abdallah. Monte-Carlo analysis of two-phase (water and oil) flow in heterogeneous porous media// IAHS Publ, 1995, №227, pp.213-222.

21. Г.П Цибульский. Модели макронеравновесных фильтрационных потоков, процедуры пространственного осреднения балансовых уравнений// Проблемы мат. моделирования газодобычи. ВНИИГАЗ, 1997, с. 150-164.

22. М.Б. Панфилов, И.В. Панфилова. Макроскопическая модель процесса целикообразования при 2-х фазном вытеснении жидкостей в пористую среду// Известия А.Н. Мех. жидкости и газа, 1995, №3, с.92-101.

23. Н. Т. Карагурин, С.А. Кондратцев и др. К обратной задаче теории 2-х фазной фильтрации// Жур. Пр. мат. и механика, 1996, т.60, вып.З.

24. G.K. Pradhan, Р.К. Pradhan, Ragasekhara S. Stability of fluid flow through a porous medium//J. Math. AndPhys. Sci, 1994, 28, №4, pp. 149-167.

25. Т.Е. Баренблатт, BM\ Ентов. Неравновесные эффекты при фильтрации несмешивающихся жидкостей// Численные методы решения задач фильтрации многокомпонентной несжимаемой жидкости: Тр./ Всесоюз. Семинар, Новосибирск, 1971.

26. М.Т. Абасов, Ф.Г. Оруджалиев. Газогидро-динамика и разработка газо-коденсатных месторождений. М.: Недра, 1989.

27. И.И. Богданов. Расчет теплового воздействия на слоисто неоднородный пласт// Жур. Мех. жидкости и газа, 1994, №3.

28. Т.С. Potempa. Three-dimensional simulation of steamflooding with minimal grid orientation. //Paper SPE 11726, 1983 California Regional Meeting, Ventura, С A, 1983.

29. А.А. БарминД.И. Гарагаш. О фильтрации эмульсии в пористой среде с учетом межфазного массообмена компонентами// Жур. Мех. жидкости и газа, 1997, №1.

30. В.М. Ентов. Гидродинамическое моделирование неоднородных нефтяных пластов. Н Жур. Мех. жидкости и газа, №1995, №6, с.87-93.

31. М.Г. Бернадиер, В.М. Ентов. Гидродинамическая теория фильтрации аномальных жидкостей. М: Наука, 1975.

32. А.Ш. Кадырова, A.M. Никифоров. О моделировании двухфазной фильтрации в глиносодержащих нефтяных пластах// 4 Междунар. Конф. «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», Казань, 3-7 июля, 1995, Тез. Докл., Новосибирск, 1995, с.74.

33. S.E. Buckley and М.С. Laverett. Mechanism of fluid displacement in sands. //Trans AIME, 1942, 146, pp.107-116.

34. М. Маскет. Течение однородных жидкостей в пористой среде. М.; Л: Гостоптехиздат, 1949.

35. Р. Коллинз. Течение жидкости через пористые материалы, М.: Мир, 1964.

36. М.И. Швидлер, Б.И. Леей. Одномерная фильтрация несмешивающихся жидкостей. М.: Недра, 1970.

37. Guo Dali, Lui Cigun. Two-phase flow for a horisontal well penetrating a naturally fractured reservoir with edge water injection//Appl.Math. and Mech. Engl. Ed., 1995, 16, №10, pp.937-942.

38. Ersland Brit Gunn, S. Especial. Numerical methods for flow in a porous media with internal boundaries//Rept./Dep. Appl. Math. Univ. Bergen, 1997, №105, pp. 1-30.

39. C.H. Антонцев. Локализация решений вырождающихся уравнений механики сплошных сред, Новосибирск: ИгиЛ СО АН СССР, 1986.

40. А.Ю. Семенов. Метод расчета нелинейного уравнения фильтрации, обеспечивающий выполнение двусторонних оценок для решения. //Жур. выч. мат. и мат. физики, 1996, т. 36 ,№11, с. 173-175.

41. T.F. Russel and M.F. Wheeler. Finite element and finite difference methods for continuous flows in porous media. //The Mathematics of Reservoir Simulation, R. E. Ewing, ed., SIAM, Philadelphia, 1983, pp.35-106.

42. Zhang Zi-xiang, Qu de-bin, Fau Jiang. A finite element and boundary element method of numerical simulation of two-dimensional and two-phase flow. //Int. Conf. Hydrodyn., Wuxi, 30th Oct. 3rd Nov., 1994, 1994: ICHDAY-Beijing, 1994.

43. James Glimm, Brent Lindquisi et al. A front tracking reservoir simulator, five spot validaion studies and the water coning problem. //Mathematics of Reservoir Simulation, R E. Ewing, ed., SIAM, Philadelphia, 1983, pp. 107-135.

44. K.-Lie, К Haugse, and K. Hvistendahl Karsen. Dimensional splitting with front tracking and adaptive grid refinment//Accepted in Numer. Methods Partial Differential Equations. Internet

45. L.M. Barker. SWAP a computer program for shok wave analysis, No. SC4796(RR), SandiaNat. Labs., Albuquerque, NM, 1963.

46. C.K. Годунов, B.C. Рябенький. Разностные схемы. M.: Наука, 1980.

47. А.А. Самарский, Ю.П. Попов. Разностные методы решения задач газовой динамики. М: Наука, 1980, 352 с.

48. V.M. Goloviznin, М.А Ryazanov, A.A. Samarskii, O.S. Sorokovikova. Completely conservative correction of fluxes in problems of gas dynamics.// Soviet Math. Dokl. 1984, v.29, №1, pp.44-48.

49. M.A. Tolstykh. The responce of a variable resolution semi-Lagrangian NWP model to changes in horisontal interpolatiuon/ Q.J. Meteorol. Soc., 1996, 122, pp.765-778.

50. A.M. Толстых. К классу несимметричных компатных разностных схем, основанных на аппроксимации Паде/ Докл. АН СССР, 1944, с.69-73.

51. В.В. Остапенко. О сходимости разностных схем за фронтом нестационарной ударной волны//Жур. выч. мат. и мат. физики, 1997, т.37, №10, е. 1201-1212.

52. A. Harten. High resolution schemes for hyperbolic concervation laws// J. Сотр. Phys. 1983, v.49, pp.357-393.

53. A. Harten, S. Osher. Uniformly high-order accurate nonoscillatory schemes// SIAM J. Numer. Anal. 1987, v.24, №.2, pp.279-309.

54. G.-S. Jiang, D. Levy, C.-T. Lin, S. Osher, E. Tadmor. High-resolution non-oscillatory schemes with non-staggered grids for hyperbolic conservation laws// Rep. Sept. 29, 1997. Internet.

55. Б.М. Палатник, В.И. Пискарев. Применение численной схемы повышенной точности для моделирования двухфазной фильтрации// Жур. выч. мат. и мат. физики, 1996, т.36,. № 11, с. 115-126.

56. Ю.П. Крупное, А.Н. Сычев, В.Б. Таранчук. О применении трехслойных разностных схем для численного решения одномерной задачи Бакли-Лаверетта. //Численные методы решения задач фильтрации многокомпонентной жидкости: Тр./Всесоюз. Сем., Рига, 1974.

57. B.N. Chetverushkin, М V. Iakobovski, М.А. Kornilina. Parallel Simulation of Oil Extraction. //Parallel Computational Fluid Dynamics: Algorithms and Results Using Advanced Computers, 1997 Elsevier Science B.V., pp.282-288.

58. Thomas Haywel Rhys, Li Chi Leung Welkin. A parallel computing solution of heat and moisture transfer in unsaturated soil// Int. J. Numer. Meth. Eng., 1996, 39, №22, c.3793-3808.

59. А.Х Пергамент, С.Б. Попов. Двумерные задачи двухфазной фильтрации. //Жур. Мат. моделирование и выч. эксперимент, т. 10, 1998, №2, с.48-70.

60. В.И. Васильев, Т.С. Тимофеева. Численное решение задачи Баклея-Лаверетта// Мат. заметки ЯГУ, 1995, 1, №1, с. 110-119.

61. В.М. Головизнин, А.А. Самарский. Разностная аппроксимация конвективного переноса с пространственным расщеплением временной производной. //Жур. Мат. моделирование, 1998, т. 10, №1, с. 86-100.

62. А.А. Самарский. Теория разностных схем. М: Наука, 1983, с.31-42.

63. Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко. Системы квазилинейных уравнений. М: Наука, 1978, 688 с.

64. В.В. Руссанов. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений//Докл. АН СССР. 1968. т. 180. №6. с.1303-1305.

65. П. Роуч. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.

66. В. Koren. Numerical methods for advection-diffusion problems/ Notes on numerical fluid mechanics, Vieweg, Braunschweig, 1993, v.45, p. 117.

67. R. Sanders. A third-order accurate variation non-expansive difference scheme for single Conservation Laws, Math. Сотр., 1988, 41, pp.538-558.

68. M. G. Edwards, B. Pubin. Total variation diminishing schemes and the two points upstream mobility weighting schemes. //REC'D. Sept. 05. 1991. SPE Techn. Publics. 23947.

69. P.K. Sweby. High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic concervation laws/ SINUM, 1984, 21, N 5, pp.995-1011.

70. W. Hundsdorfer, B. Koren et al A positive finite-difference advection scheme/ Journal of computational physics, 1995, 117, pp.35-46.

71. G.-S. Jiang, C.-W. Shut Efficient implementation of weighted ENO schems, JCP. 1996, 126, pp.202-208.

72. D. Levy, E. Tadmor, Nonoscillatory central schemes for the incompressible 2-D Euler equations, UCLA CAM Report, 1996, 96-37.

73. X. -D. Liu, S. Osher. Nonoscillatory high order accurate self-similar Maximum principle satisfying shock capturing schemes. I, SINUM, 1996, 33, №2, pp.760-779.

74. P.D. Lax, В. Wendroff. Systems of conservation laws. Comm. Pure. Appl. Math., 1960, v. 13, pp. 217-237.

75. М.И. Бакирова, В.В. Никишин, Н.Н Тюрина, А. П. Фаворский. Энергетически согласованные консервативные схемы для уравнения переноса. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1996, 100.

76. В.М. Головизнин, А.А. Самарский. Некоторые свойства разностной схемы "Кабаре". //Жур. Мат. моделирование, 1998, т. 10, №1, с. 101-116.

77. С.А. Карабасов, В.Н. Семенов. Одномерная модель двухфазной фильтрации жидкости в пористых средах. Препринт ИБРАЕ -97-04.

78. С.А. Карабасов. Применение разностной схемы «Кабаре» в задачах двухфазнойфильтрации несмешивающихся жидкостей. Препринт ИБРАЕ -97 -15.

79. V.M. Goloviznin, S.A. Karabasov. Nonlinear correction of Cabaret scheme. //Second International Conference on Finite Difference Methods in Minsk, 5lh-9th Jul., 1998, proceedings, v.2.

80. В.М. Головизнин, С.А. Карабасов. Некоторые примеры численного моделирования двухфазной фильтрации. Препринт ИБРАЕ -98-13.